Matematik och grafik i mikroekonomiska modeller

Transkript

1 Matematik och grafik i mikroekonomiska modeller Hur bestäms resursfördelningen i en marknadsekonomi? Utbud, efterfrågan priser Bakom detta ligger i sin tur beslut av enskilda företag och hushåll, marknadskrafterna Ett grundläggande antagande i den ekonomiska teorin är att dessa aktörer uppträder rationellt, man strävar efter att maximera vinsten eller nyttan optimeringsmodeller Av speciellt intresse är jämvikten på en marknad, därför att man ofta antar att marknadskrafterna leder till jämvikt (utan att någon enskild part strävar efter detta) jämviktsmodeller I kursen tonvikt på grafiska illustrationer av matematiska samband Räkneövningar (Birgit Hagberg) Diagram Funktioner (inklusive deriveringsregler och optimering) Bråk och potenser Procent Ekvationer och ekvationssystem Funktioner y f(x) För varje värde för x, för vilka funktionen är definierad, skall det finnas ett specifikt värde för y 1

2 Exempel: Ett företag säljer en vara till ett konstant pris :-, respektive :- per enhet. Företagets totala intäkt (TR) är en funktion av kvantiteten () TR TR 000 TR Derivatan för (lutningen på) den funktion som visar ett totalsamband visar motsvarande marginella samband Företagets marginalintäkt (MR) är här konstant MR MR MR 00 2

3 Från ytan under den funktion som visar det marginella sambandet kan man också härleda det totala sambandet Hur mycket ökar företagets totala intäkter om ökar från 500 till 00? TR TR Intäktsökning MR Intäktsökning MR

4 Antag att företagets totala kostnader (TC) visas av funktionen TC ,01 2 TC ,01 2 TC Kostnadsökning TC Marginalkostnaden (MC) visas då av derivatan till TC- funktionen, MC 0,02 MC MC 0,02 30 Kostnadsökning /27500 MC

5 Optimering Företagets vinst (π) total intäkt (TR) total kostnad (TC) π ( ,01 2 ) TC TC TR π TR TC π Vinsten maximeras där marginalintäkt marginalkostnad, d.v.s. där lutningen på TR lutningen på TC MC 30 MC MR MR MC Ytterligare exempel: Se Mikroekonomisk analys, uppgift 1:1 5

6 Modeller där axlarna byter plats Efterfrågad kvantitet av en vara som en funktion av priset D f(p), exempelvis D a - bp P a/b Linjens lutning a / b 1 a b D 1 Utgångsläge D 0 D 1 visar vad som händer om efterfrågad kvantitet ökar med 50 % vid alla priser D 2 visar vad som händer om efterfrågad kvantitet stiger med en given storlek ( ) vid alla priser D 0 D 2 a P Utgångsläge D 0 P D 2 D 1 D 0 D 1 visar vad som händer om samtliga konsumenter är beredda att betala 50 % mer för varan D 2 visar vad som inträffar om samtliga konsumenter är beredda att betala ett givet belopp ( P) mer för varan 6

7 Lösningen av ett ekvationssystem Låt såväl efterfrågad kvantitet ( D ) som utbjuden kvantitet ( s ) vara linjära funktioner av priset D a bp S -c + dp P S P* jämviktspris * jämviktskvantitet P* -c a bp c + dp D * a c+ dp a bp a + c P* b + d bp+ dp a+ c ( b+ d) P a+ c a+ c * a bp a b b+ d ab+ ad ab bc ad bc b+ d b+ d ab+ bc a b+ d a( b+ d) ab+ bc b+ d b+ d 7

8 Funktioner av två variabler och nivåkurvor Antag att f(k,l) KL Nivåkurvorna visar olika kombinationer av förklaringsvariablerna som ger ett visst värde för funktionen K 25 12, ,5 25 L Olika kombinationer av K och L som ger 0 K L KL , ,

9 Säg att företaget vill producera 0 så billigt som möjligt. Kombinera nivåkurvan för 0 med nivåkurvor som binder ihop olika kombinationer av K och L som kostar företaget lika mycket Antag att varje enhet K kostar 250:- och varje enhet L kostar 00:- TC f(k,l) 250K + 00L K 40 TC 000:- TC 5000:- K L TC , , , Företagets val , K L TC L Lösningen till företagets problem (K, L 5) finner vi där nivåkurvan som visar den önskade kvantiteten tangerar en nivåkurva som visar kostnaden, d.v.s. där nivåkurvorna har samma lutning 9