Om sttionär flöden och Guss sts i plnet Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning Här diskuterr vi den mtemtisk formuleringen v det uppenbr fktum tt om vi hr en ström v prtiklr genom ett område, så gäller tt nettoflödet ut ur området ges v hur mycket som bilds och försvinner i området. Den mtemtisk formuleringen v dett går under Guss sts och är en generlisering v insättningsformeln i endim.
Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 1 (9) 1 En ny titt på nlysens huvudsts Anlysens huvudsts säger tt om f är en C 1 funktion v en vribel definierd på ett intervll [, b], så gäller tt b f ()d = f(b) f(). Vi sk i det här vsnittet ge denn formel en tolkning som gör det möjligt för oss tt få en nturlig generlisering till nlys i fler dimensioner. Betrkt därför en endimensionell, sttionär strömning v någon vätsk. En sådn strömning krkterisers v en funktion u() som nger hstigheten v vätskn i punkten. Som konvention säger vi tt om u() > så sker rörelsen åt höger i punkten och om u() < så sker den åt vänster. Att strömningen är sttionär innebär tt hstigheten är oberoende v tiden. Vidre ntr vi tt vätskn hr en täthet ρ, som vi för enkelhets skull ntr är konstnt. Funktionen u() mäter hstigheten v vätskn i punkten (enhet: m/s) medn tätheten mäter vikt per längdenhet (enhet: g/m). Produkten f() = ρ u() klls flödet i punkten och beskriver hur mycket, och i vilken riktning, vätsk som flöder genom punkten (enhet: g/s). Betrkt nu ett litet segment [, b] v -eln. Storheten f(b) f() f() f(b) mäter då nettoflödet ut ur intervllet [, b]. Kvoten b f(b) f() b mäter därför nettoflödet ut ur intervllet per längdenhet. Om vi sätter = och b = +h och sedn låter h, så ser vi tt f () mäter nettoflödet genom punkten per längdenhet. Det innebär tt om f () >, så är punkten en käll för vätskn, eftersom vätsk tillförs i denn punkt. En punkt i vilken f () < blir på motsvrnde sätt en brunn. I en punkt där f () = finns vrken en käll eller en brunn. Ett område i vilket f () = sägs därför vr källfritt. Vi kllr f () för källtätheten för den sttionär vätskn. Anlysens huvudsts b f ()d = f(b) f() får nu en enkel tolkning: netto-flödet ut ur ett intervll [, b] (högerledet) bestäms v hur stor produktion/konsumtion v vätsk som sker inne i intervllet (vänsterledet). Denn tolkning hr nturligtvis sin motsvrighet i högre dimensioner. Hr vi en sttionär vätsk i ett pln så gäller tt nettoflödet ut ur ett område bestäms v nettoproduktionen i området. Problemet består i tt hitt en br formulering v dett uppenbr påstående. Vi sk i fortsättningen nt tt ρ = 1, så tt vi kn tolk u både som en hstighet och ett flöde.
Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 2 (9) 2 Flödesintegrler Låt = {c(t); t b} vr ett kurvstycke i plnet och N() en normlvektor v längden 1 till som beror kontinuerligt på punkten på. Dett innebär tt N() lltid pekr åt smm sid på. En formel för N() får mn genom tt mn observerr tt vektorn ( c 2(t), c 1(t)) är vinkelrät mot tngentvektorn c (t) = (c 1(t), c 2 (t)) till i punkten = c(t). Det betyder tt N() = ± 1 c (t) ( c 2(t), c 1(t)). Då N() sk bero kontinuerligt på måste smm teckenvl gäll på hel. Antg nu tt i vrje punkt på är givet en vektor u(). T.e. kn mn tänk sig tt en vätsk strömmr i närheten v och tt u() är strömningshstighet i punkten. Betrkt integrlen (u, N)ds (1) där (u(), N()) betecknr sklärprodukten v vektorern u() och N(). Om u() tolks som strömningshstighet och om vätskns msstäthet är 1, så mäter denn integrl hur mycket som strömmr igenom per tidsenhet åt det håll som N pekr. I dett kpitel sk vi se närmre på integrler v dett slg, och börjr då med tt påminn oss tt den kn uttrycks i prmetriseringen som (u, N)ds = ± b N() ( u 1 (c(t))c 2(t) + u 2 (c(t))c 1(t))dt. (2) Här hr vi nvänt tt ds = c (t) dt. Tecknet i (2) beror på vilket vl v normlriktning vi hr gjort på. Eempel 1 Låt vr den del v ellipsen 2 + 4y 2 = 4 som ligger i först kvdrnten och N den enhetsnorml på som pekr bort från origo. Definier u(, y) genom u(, y) = ( 2 y 2, y). För tt beräkn (u, N)ds y (, y) u(, y) väljer vi först prmeterfrmställningen c(t) = (2 cos t, sin t), t π 2 för. Den enhetsnorml som pekr bort från origo hr riktningen ( c 2(t), c 1(t)) = (cos t, 2 sin t),
Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 3 (9) vilket svrr mot minustecknet frmför integrnden i högerledet v (2). Vi får π/2 (u, N)ds = ((4 cos 2 t sin 2 t) cos t + (2 cos t sin t)2 sin t)dt = π/2 (4 sin 2 t) cos tdt = 11 3. Eempel 2 Låt vr en funktionskurv y = φ(), b. Då kn mn välj som prmeter för och formeln (2) tr formen b (u, N)ds = ± ( u 1 (, φ())φ () + u 2 (, φ()))d. I det speciell fllet då u(, y) för ll är prllell med y-leln, d.v.s. då u 1 (, y) =, får mn b (u, N)ds = ± u 2 (, φ())d. Här och i den föregående formeln svrr plusteckent frmför integrlen i högerledet mot tt N är den uppåtriktde normlen på, d.v.s. tt ndrkoordinten för N är positiv. 3 Guss sts och divergensen v ett vektorfält Guss sts hndlr om integrler v formen (1) där är en eller fler enkl slutn, styckvis C 1 kurvor. Låt vr en öppen, begränsd, mängd i plnet. Mn säger tt hr C 1 rnd om består v ändligt mång enkl, slutn, kurvor 1,..., n som inte skär vrndr och om mn på vrje kurv i kn välj en kontinuerlig enhetsnorml N() som pekr ut från. (Det sist villkoret grnterr tt endst ligger på en sidn om i.) Kurvintegrlen över definiers då genom tt summer integrlern över 1,..., n. Om rndbitrn endst är styckvis C 1 definierr vi inte normlen i hörnpunktern. Sts 1 (Guss sts) Låt vr en öppen, begränsd, mängd i plnet med styckvis C 1 rnd och låt N() vr den yttre enhetsnormlen till. Om u 1 och u 2 är C 1 funktioner definierde i en omgivning v och u = (u 1, u 2 ), så är (u, N)ds = ( 1 u 1 + 2 u 2 )ddy. (3) Innn vi diskuterr beviset för stsen, låt oss tolk den fysikliskt. I dett ligger tt ge en tolkning v integrnden 1 u 1 + 2 u 2 i (3). Denn klls divergensen v vektorfältet u och beteckns div u. För en cirkelskiv = {; < r} gäller tt den hr ren πr 2, och eftersom integrnden är kontinuerlig hr vi tt 1 ( 1 u 1 + 2 u 2 )() = lim r πr 2 <r ( 1 u 1 + 2 u 2 )ddy. Vidre gäller Guss sts för en cirkelskiv, och nvänder vi den på högerledet följer tt vi hr tt 1 div u() = lim (u, N)ds. (4) r πr 2 =r
Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 4 (9) Den först konsekvensen v den är tt divergensen inte beror v vlet v ON-system i plnet, trots tt definitionen nvänder koordintuppdelningen u = (u 1, u 2 ) och tt vi deriverr i de speciell koordintriktningrn. Men högerledet i (4) beror inte v vl v ON-system, så då kn inte divergensen gör det. Anmärkning Vi kn också se direkt tt divergensen inte beror v vilken ON-bs vi nvänder. Vi hr nämligen tt divergensen är spåret v derivtn, funktionsmtrisen u (). Låt T vr en ortogonl trnsformtion i plnet och sätt y = T. Då gäller tt vektorfältet i den ny bsen blir v(y) = T u(t 1 y), och divergensen v den fås ur kedjregeln till Sp(T u (T 1 y)t 1 ) = Sp(T 1 T u (T 1 y)) = Sp(u (T 1 y) = div u(). Det vi nvänt här är tt Sp(AB) = Sp(BA). Om mn tänker på u som strömningshstighet, säger (4) tt div u() pproimtivt kn uppftts som den vätskemängd per reenhet och tidsenhet som strömmr ut genom en liten cirkel med centrum i. T.e. kn mn tänk sig tt vtten strömmr över ett stycke mrk på så sätt tt vtten på sin ställen tränger ner i mrken och på ndr ställen sipprr ut ur mrken. Divergensen v strömningshstigheten är då positiv där vtten sipprr ut och negtiv där vtten tränger ner i mrken. Som vslutning på dett vsnitt tr vi ett eempel på hur mn kn nvänd Guss sts till tt beräkn integrlen i Eempel 1. Dett trots tt kurvn ifråg inte är rnden till ett öppet område. Det bör dock påpeks tt denn lösning på inte sätt är enklre än den tidigre. Eempel 3 Låt vr det område i först kvdrnten som begränss v koordintlrn och ellipsen 2 + 4y 2 = 4. Om är den del v som ligger på ellipsen och 1, 2 de delr v som ligger på - respektive y-lrn, så är (u, N)ds = (u, N)ds+ (u, N 1 )ds+ (u, N 2 )ds 1 2 där N 1 = (, 1) och N 2 = ( 1, ) är de utåtriktde normlern på 1 och 2. Eftersom u(, y) = ( 2 y 2, y) så är (u, N 1 ) = y = på 1 och (u, N 2 ) = y 2 2 = y 2 på 2. Vi hr lltså 1 (u, N)ds = (u, N)ds + y 2 dy = Å ndr sidn ger Guss sts = Härur följer tt div uddy = 3ddy = 1 N 2 2 y (u, N)ds + 1 3. 4 4y 2 ( 3d)dy = (u, N)ds = 4 1 3 = 11 3. 1 1 N 1 N 3(2 2y 2 )dy = 4.
Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 5 (9) 4 Bevis för Guss sts Vi sk nu i steg hitt ett först bevis för Guss sts som är både illustrtivt och intuitivt. Ett mer generellt bevis finns i kpitlet Differentilformer i R n. Lemm 1 Låt T vr innehållet i en rätvinklig tringel. Då gäller Guss sts för godtycklig vektorfält u som är definierde på T. Bevis. Vi hr sett tt Guss formel inte beror v vilket ortonormert koordintsystem vi väljer, så vi därför nt tt tringeln hr hörn i punktern (, ), (, ) och (, b) där, b >. På 1 = {(t, ); t 1} gäller tt N = (, 1) och ds = dt, så 1 (u, N)ds = u 2 (t, )dt, 1 och på På 2 = {(, bt); t 1} gäller tt N = (1, ), ds = bdt, så 1 (u, N)ds = bu 1 (, bt)dt. 2 Vidre gäller på 3 tt N = ( b, )/c där c = 2 + b 2. En prmetrisering ges v t t(, b), t 1 för vilken det gäller tt ds = cdt. Vi får därför 1 (u, N)ds = ( bu 1 (t, bt) + u 2 (t, bt))dt 3 y T (, b) Adderr vi integrlern får vi tt 1 (u, N)ds = (u 1 (, bt) u 1 (t, bt))bdt + 1 (u 2 (t, bt) u 2 (t, ))dt = Men vi hr tt b u 1 (, y) u 1 ( y b, y)dy + u 2 (, b ) u 2(, ))d. u 1 (, y) u 1 ( y b, y) = y/b 1 u 1 (, y)dy, u 2 (, b ) u 2(, ) = b/ 2 u 2 (, y)dy så (u, N)ds = b ( y/b = 1 u 1 (, y)d)dy + T ( 1 u 1 + 2 u 2 )ddy. Dett visr tt Guss sts gäller för dett speciell område. b/y ( 2 u 2 (, y)d)dy Näst lemm är närmst en självklrhet (se figur)
Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 6 (9) Lemm 2 Antg tt dels v C 1 -kurvn i två öppn delr 1 och 2. Antg tt Guss sts gäller för ll vektorfält på två v 1, 2 och. Då gäller Guss sts också i den tredje delen. N 1 N 2 2 N 1 N 2 2 1 1 Bevis. Skriv i = i +, i = 1, 2 och låt N i beteckn den utåtriktde normlen på rnden till i. Enligt förutsättningrn gäller då tt div u ddy = div u ddy+ div u(, y) ddy = (u, N 1 )ds+ (u, N 1 )ds 1 2 1 2 = (u, N 1 )ds + (u, N 2 )ds + (u, N 1 )ds + (u, N 2 )ds = (u, N)ds. 1 2 I den sist likheten hr vi här nvänt tt = 1 + 2 och tt N 2 = N 1 på, så tt de två sist integrlern är lik stor men med motstt tecken. Dett visr tt Guss sts gäller för om den gäller för 1, 2. 2 Om Guss sts istället gäller för 1 och får vi tt 1 div u(, y) ddy = div u ddy div u ddy = (u, N)ds (u, N)ds = (u, N 2 )ds (u, N 1 )ds = 1 2 (u, N 2 )ds. 2 Som en direkt konsekvens v dett hr vi tt Guss sts gäller för ett godtyckligt tringelområde i plnet, inte br för rätvinklig tringlr. Och dessutom för vrje område som kn dels upp i tringlr. Den totl dubbelintegrlen är summn v ll dubbelintegrler över tringlr och integrtionen längs rndbitr som dels v två tringlr tr ut vrndr, så endst integrtion längs de ytterst rndbitrn blir kvr. Men då gäller Guss sts för vrje område som godtyckligt väl kn pproimers med områden v denn typ, vilket betyder områden med styckvis C 1 rnd. Därmed är (det intuitiv) beviset för Guss sts klrt.
Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 7 (9) 5 Flödet ur en punktkäll Vi sk nu betrkt flödet u(, y) = (, y)/( 2 + y 2 ). Denn är inte definierd i origo utn representerr en punktkäll i denn punkt. Låt vr ett öppet, begränst område med C 1 rnd sådnt tt origo inte ligger på dess rnd. Vi sk då beräkn nettoflödet ut ur dett område. Enligt vår tidigre diskussion ges denn v integrlen (u, N)ds. Vi sk nvänd Guss sts för tt beräkn denn integrl. Vårt först mål är då tt beräkn divergensen v vektorfältet. Denn är div u(, y) = 2 2 + y 2(2 + y 2 ) 2 ( 2 + y 2 ) =. 2 Vi ser lltså tt denn vätskeströmning är källfritt utom i origo. Vi hr nu två fll: ) Om origo inte ligger i gäller tt området är källfritt. Det sker lltså ingen nettoinströmning ut ur, så den sökt integrlen är noll. Dett följer direkt ur Guss sts. y b) Om origo ligger i kn vi inte nvänd Guss sts rkt frm. Det beror på tt u(, y) inte är definierd i denn punkt. För tt komm förbi dett problem tr vi en liten cirkelskiv C ɛ = {(, y); 2 + y 2 ɛ} kring origo med rdien ɛ >, så liten tt den helt ligger i. Att det är möjligt tt finn en sådn cirkelskiv följer v tt är en öppen mängd. Tr vi bort denn cirkelskiv från får vi en ny öppen mängd ɛ som inte innehåller origo och i vilken flödet är källfritt.
Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 8 (9) y ǫ Nettoflödet ur ɛ är lltså noll. Men det betyder tt inflödet till ɛ över C ɛ är precis lik stort som utflödet över. Eftesom enhetsnormlen till C ɛ som pekr in i ges v N(, y) = (, y)/ɛ, vrför vi hr tt (u, N) = ( 2 + y 2 )/ɛ 3 = 1/ɛ på C ɛ på vilken 2 + y 2 = ɛ 2. Dett medför tt (u, N)ds = (u, N)ds = C ɛ Cɛ 2 + y 2 ds = 1 ɛ 3 ɛ ds = 2πɛ C ɛ ɛ Smmnfttningsvis får vi därför tt om origo ligger i, så gäller tt (u, N)ds = 2π. = 2π. Ett nnt sätt tt säg dett är tt genom vrje enkel sluten kurv som går ett vrv runt origo är utströmningen lltid 2π. 6 Strömning och diffusion i två rumsvribler Vi betrktr nu en gs eller vätsk som rör sig i ett pln. Beteckn med u(, y, t) och ρ(, y, t) strömningshstigheten respektive tätheten i punkten (, y) tid tiden t. Storheten q(, y, t) = ρ(, y, t)u(, y, t) mäter då flödet i denn punkt vid smm tidpunkt. Vårt mål är tt härled en ekvtion som relterr ändringen i täthet med ändringen i flöde. Låt B vr en godtycklig cirkelskiv i plnet. Den totl mängden gs/vätsk i B vid tiden t ges då v M(t) = ρ(, y, t)ddy. B
Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 9 (9) Om vi förutsätter tt ρ är kontinuerligt deriverbr får vi genom tt deriver under integrltecknet tt M (t) = t ρ(, y, t)ddy, B som betyder mssökning i B per tidsenhet. Om vi förutsätter tt substnsen inte nybilds eller ombilds till något nnt, så beror denn ökning endst på inströmningen v mteri i B över rnden B. Låt N beteckn den utåtriktde normlen på B. Integrlen (q(, y, t), N(, y))ds B mäter då den mängd substns som strömmr in i B per tidsenhet. Vi hr lltså tt t ρ(, y, t)ddy = (q(, y, t), N(, y))ds. B Om q också är kontinuerligt deriverr kn vi här tillämp Guss sts på integrlen i högerledet och får då ( t ρ(, y, t) + div,y q(, y, t))ddy =. B (div,y betecknr divergensen v funktionen som funktion v, y för fit t.) Eftersom integrnden är kontinuerlig och B är en godtyckligt vld cirkeskiv följer tt dett endst är möjligt om integrnden är noll överllt: B t ρ(, y, t) + div,y q(, y, t) =. Denn ekvtion klls kontinuitetsekvtionen för gsen eller vätskn och är lltså ett uttryck för mssns oförstörbrhet. En diffusionsprocess krkterisers v tt flödet sker mot koncentrtionsgrdienten (Fick s lg), d.v.s q(, y, t) = k grd,y ρ(, y, t). Stoppr vi in dett i kontinuitetsekvtionen får vi Här hr vi infört den s.k. Lplce-opertorn Ekvtionen t ρ = k div,y (grd,y ρ) = k ρ. ρ = 2 ρ + 2 yyρ. t ρ = k ρ klls diffusionsekvtionen (eller värmeledningsekvtionen om det rör sg om värmeströmning, i vilket fll ρ är temperturen).