16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga

Relevanta dokument
13 Generaliserade dubbelintegraler

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag

24 Integraler av masstyp

HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER

MA002X Bastermin - matematik VT16

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

Sfärisk trigonometri

10. Tillämpningar av integraler

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

15 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volymberäkningar

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.

TATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym

6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill

20 Integralkalkyl i R 3

9 Dubbelintegralens definition

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b

9. Bestämda integraler

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

1.1 Sfäriska koordinater

Tillämpad Matematik I Övning 4

Tavelpresentation grupp 5E

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 25/8 2015

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Komplexa tal. j 2 = 1

Tillämpning av integraler

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

10 Beräkning av dubbelintegraler

TENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3.

Lite sfärisk geometri och trigonometri

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.

TATA42: Föreläsning 12 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler

a sin 150 sin 15 BC = BC AB 1.93 D C 39º 9.0

Inför tentamen i Analys I och II, TNA008

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017

Föreläsning 7: Trigonometri

SF1625 Envariabelanalys

1 Föreläsning IX, tillämpning av integral

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 29 augusti, 2008, kl

Matematiska uppgifter


TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING.

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Finaltävling den 20 november 2010

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.

Lösningar till uppgifter i magnetostatik

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

TATA42: Tips inför tentan

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Tyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är

Ï x: 0 Æ 1 Ì [ ] y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

Integraler och statistik

Lösningsförslag till fråga 5

LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4. Masscentrums x-koordinat för den sammansatta kroppen är allmänt. 1 g1 2 g2 3 g3 4 g4.

MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,

93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

SF1625 Envariabelanalys

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

x = x = x = x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x = = 20 x = 65 x + 36 = 46

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (EITF85)

Kontinuerliga variabler

Om stationära flöden och Gauss sats i planet

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym

Lösning till kontrollskrivning 1A

Integranden blir. Flödet ges alltså av = 3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.2

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

Transkript:

Nr 6, ril -5, Ameli 6 Are- och volmberäkningr, reor v buktig tor 6. Någr reberäkningr Eemel (96e) Beräkn ren som begränss v =,=, = och =. 3.5.5.5.5.5.5 3 Lösning: En möjlighet är tt del tn enligt den streckde linjen i figuren (t de båd skärningsunktern hr smm -koordint), och integrer vrje del i -led. å måste ll skärningsunkter beräkns. Vi väljer dock tt beräkn ren med vribelsubstitutionen ½ u =, v = som är frmförllt insirerd v tt gränsern =, = blir enkl: u. Vlet v = kn ge lätt klkler. Vi kn inverter denn substitution, t kn räkn ut i u och v. Vi får = u = u v, lltså ½ = u v. = v. å får vi gränsern u och v = u v smt v = u v, dvs 3 u v 3 u. enn substitution hr funktionldeterminnten (, ) (u, v) = v u v = v.

Vi får då ren till dd = {v-integrtion} = {logritmlgr} = 3 e Z Z v dudv = Z [ln v] 3 u 3 u du = Z = ln du 3 {u-integrtion} = ln 3. Z 3 u 3 u v dvdu Z (ln + ln u ln u)du (ln 3 u ln 3 u)du Svr: Aren är ln 3. Lösning: Beräkn ren v området som begränss v ( + ) = +..5.5 -.5 - -.5.5.5 -.5 - -.5 Ekvtionen ( + ) = + kn skrivs ( + ) + =, dvs ( + )( + ) =. Om (, ) 6= kn vi divider med +, så kvr är ekvtionen för enhetscirkeln + =, vrs re är π. Svr: π. 6. Någr volmberäkningr Eemel (97h) Beräkn volmen som begränss v =, = och lnen + =6smt =.

5 3.75.5-5.5 -.5 5 3.75.5.5.5 5 Lösning: Härhrvii-lnet området, som även begränss v skärningen melln + =6och =. en inträffr i =6. Vi integrerr först i -led från =till =6 över dett område. Så volmen är Z Z 6 Z Z 6 ddd = d d d {-integrtion} = {-integrtion} = = Z 6 Z 6 Z 6 d Z (6 ) d (6 )d (6 3 )d {-integrtion} = [6 3 3 5 5 ] 6 = 4 6 5 36 6 = 48 5 6. Eemel 3 (98) Beräkn volmen v ellisoiden + b + c =. 3

4.5 - -.5 - -4 En ellisoid med =4,b=,c= Lösning: Vi integrerr från = c b till = c b över området + b, där vi nvänder ellitisk koordinter: ½ = r cos ϕ = br sin ϕ. Insättning i + b ger då (r cos θ) (br cos θ) + b. Nu kn och b förkorts, och vi får r. Så tt b = r. enn förenkling är oängen med denn trnsformtion, vilken givetvis fångr in roblemets geometri. Funktionldeterminnten blir här (, ) = (r, ϕ) cos ϕ r sin ϕ b sin ϕ brcos ϕ = br(cos ϕ +sin ϕ) = br. Så volmen blir dubbelintegrl från undre gräns ( c b = cr) till övre (c b = cr): Z Z ddd = brdrdϕd = b = bc E Z Z π Z π (c r ( c r ))rdrdϕ dϕ[ 3 ( r ) 3 ] = 3 bc π =4π 3 bc. 4

Volmen v ellisoiden är 4π 3 bc. Om = b = c = R hrviensfär,ochfårdå 4π 3 R3. et är den känd formeln för volmen v en sfär med rdie R. Svr: Ellisens volm är 4π 3 bc. 6.3 Arenvenbuktigt En t i R 3 är reguljär som den kn rmetrisers v rmetrr (u, v), där u b och c v d : = (u, v) r : = (u, v) = (u, v) och där r u =( u(u, v),u(u, v),u(u, v)) och r v =( v(u, v),v(u, v),v(u, v)) är kontinuerlig och normlen n = r u r v 6= överllt. Vi vet tt r u u är roimtivt båglängden för ett intervll v längd u ( R b r u du är kuvns längd), och å motsvrnde sätt för r v. Nu vet vi tt beloet v krssrodukten b är ren som sänns v vektorern och b. et följer tt r u r v ren v det område å tn som motsvrs v {(u, u + u) och (v, v + v)}. Adders dess små reor får vi ren v den reguljär tn:som dubbelintegrlen r u r v dudv där = { u b, c v d :}. Eemel 4 Beräkn ren v rboloiden = +,..75.5.5 -.5.5 -.5.5 5

Lösning: Med rmetrrn och hr vi rmetriseringen r =(,, + ).Sår =(,, ) och r =(,, ). å är normlen i en unkt(, ). Normlens belo är r r =(,, ) r r = (,, ) = +4 +4. Aren fås genom tt beräkn dubbelintegrlen med olär koordinter: r r dd = +4 +4 dd = = Z Z π +4r rdrdϕ +4r rdrdϕ = π[ ( + 4r ) 3 ] = π 6 (5 3 ). Svr: Prboloidens re är π 6 (5 3 ). Eemel 5 Beräkn ren v ett klot med rdie R. Lösning: Vi hr en rmetrisering med sfärisk koordinter, där r = R som är fi: = R sin θ cos ϕ = R sin θ sin ϕ. = R cos θ Vi får nu genom tt deriver smbnden m... θ och ϕ: r θ =(R cos θ cos ϕ, R cos θ sin ϕ, R sin θ) och r ϕ =( Rsin θ sin ϕ, R sin θ cos ϕ, ). Normlen är krssrodukten v dess vektorer: r θ r ϕ = (R cos θ cos ϕ, R cos θ sin ϕ, R sin θ) ( R sin θ sin ϕ, R sin θ cos ϕ, ) = (R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ sin θ cos ϕ + R cos θ sin θ sin ϕ) 6

vrs belo är (R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ sin θ cos ϕ + R cos θ sin θ sin ϕ) = R sin 4 θ cos ϕ +sin 4 θ sin ϕ +(cosθ sin θ cos ϕ +cosθ sin θ sin ϕ) = R sin 4 θ +cos θ sin θ = {trig. ettn igen} = R sin θ = R sin θ. Alltså blir klotets re r r dd = Svr: Klotets re är 4πR. R sin θdθdϕ = R [ cos θ] π π = 4πR. Klotets re är relterd till begreet rmdvinkel. Som beknt är vinkelmåttet rdin definierd som längden v den båge v enhetscirkeln som svrr mot vinkeln. Miml vinkel är π å grund v tt hel enhetscirkelns båglängd (cirkelns omkrets) är π rdien är. Måttet v en rmdvinkel är å liknnde sätt ren v en viss mängd å enhetsklotet (R =), så miml rmdvinkel är 4π. Mn kn säg tt den vinkel som en mängd M utr från origo kn fås genom tt rojicer mängden å enhetscirkeln, vrje (, ) M skicks å (,) (,), som hr belo och lltså ligger å enhetscirkeln, och därefter kn vi mät längden v kurvn som den rojicerde mängen utr. På nlogt sätt utr en mängd M i rummet en rmdvinkel som är ren v mängden rojicerd å enhetsklotet med vbildningen (,, ) (,,) (,,). Eemel 6 Beräkn ren v konen = +, b. 7

.75.5.5 -.5.5 -.5.5 Lösning: Här är lltså konens lutning (lutningsvinkeln är tn ) och höjden är b. Konen rmetrisers enklst med clindrisk koordinter, då = + blir = r : = r cos ϕ = r sin ϕ = r med rmeterintervllen r b ϕ π. Vi får (t = b och = r ger r = b )och r r =(cosϕ, sin ϕ, ) och r ϕ =( rsin ϕ, r cos ϕ, ), och r r r ϕ = (cosϕ, sin ϕ, ) ( r sin ϕ, r cos ϕ, ) = ( r cos ϕ, r sin ϕ, r cos ϕ + r sin ϕ) {trig. ett} = r( cos ϕ, sin ϕ, ). Beloet v denn vektor är r r r ϕ = r cos ϕ + sin ϕ + = r +. Nu hr vi llt vi behöver i integrlen r r dd, som är ren. Vi får konens re: Z b Z π r +drdϕ = +[ r ] b π r = π b + b. 8

Seciellt, om = b =är lltså konens re π..75.75.75.5.5.5.5.5.5 -.5.5 -.5.5 -.5.5 -.5.5 -.5.5 -.5.5 Are = π. Are = π. Svr: Konensreärπ b + b. Are = π. Eemel 7 Beräkn ren v sirltn (u cos v, u sin v, v), u, v π. 6.5 5 6.5 3.75.5.5.5 -.5 -.5 -.5-5 3.75.5.5.5.5 -.5 -.5 - - Sirltn (u cos v, u sin v, v). Smmtfrånnnnvinkel. Lösning: Här hr vi redn en rmetrisering, (u cos v, u sin v, v), så vi kn genst åbörj beräkningen v r u r v r u =(cosv, sin v, ) och och r v =( u sin v, u cos v, ), r r r v = (cosv, sin v, ) ( u sin v,u cos v) = (sinv, cos v, u cos v + u sin v) {trig. ett} = (sinv, cos v, u). Beloet v denn vektor är r r r v = = sin v +cos v + u u +. 9

Så ren v sirltn är Z Z π Z u +dudv = π u +du {rtilintegrtion} =.π[u u +] π {division} = π Z π {udelning} = π π( = π π( Z Z Z u + u + du u u + du u +du Z u + du) u +du ln( + ). I sist steget nvände vi stndrdintegrlen R du =ln(u + u u +)+C. + Vi fick tillbk smm integrl med ombtt tecken, så om vi flttröverden till vänster sid hr vi Z Z π u +du +π u +du =π +πln( + ). Således är ren π Z u +du = π +π ln( + ). Svr: Sirltns re är π( +ln(+ )). 6.4 Arenvenfunktionsgrf Grfen till en funktion v två vribler f(, ) hr en nturlig rmetrisering: = u = v = f(u, v). å får vi och så r u =(,,f u) r v =(,,f v), r r r v = (,,fu) (,,fv) = ( fv,f u, ). Således hr vi om vi bter tillbk från u och v till och :

Sts 8 Aren v grfen till f(, ) då (, ) R är f + f +dd. Formeln kn jämförs med båglängden v en funktion f() från = till = b, som är R b f +d. Eemel 9 (93i) Beräkn ren v den herbolisk rboloiden = då = { + }. - - -.5.5 -.5 -.5 -.5.5.5 Lösning: Vi hr här Grf till f(, ) = då +. så = och f =, f + f +dd blir integrlen + +dd. Polär koordinter ger Z Z π r +rdrdϕ = π[ 3 (r +) 3 ] = π 3 ( ). Svr: Arenv = då = { + } är π 3 ( ).