Nr 6, ril -5, Ameli 6 Are- och volmberäkningr, reor v buktig tor 6. Någr reberäkningr Eemel (96e) Beräkn ren som begränss v =,=, = och =. 3.5.5.5.5.5.5 3 Lösning: En möjlighet är tt del tn enligt den streckde linjen i figuren (t de båd skärningsunktern hr smm -koordint), och integrer vrje del i -led. å måste ll skärningsunkter beräkns. Vi väljer dock tt beräkn ren med vribelsubstitutionen ½ u =, v = som är frmförllt insirerd v tt gränsern =, = blir enkl: u. Vlet v = kn ge lätt klkler. Vi kn inverter denn substitution, t kn räkn ut i u och v. Vi får = u = u v, lltså ½ = u v. = v. å får vi gränsern u och v = u v smt v = u v, dvs 3 u v 3 u. enn substitution hr funktionldeterminnten (, ) (u, v) = v u v = v.
Vi får då ren till dd = {v-integrtion} = {logritmlgr} = 3 e Z Z v dudv = Z [ln v] 3 u 3 u du = Z = ln du 3 {u-integrtion} = ln 3. Z 3 u 3 u v dvdu Z (ln + ln u ln u)du (ln 3 u ln 3 u)du Svr: Aren är ln 3. Lösning: Beräkn ren v området som begränss v ( + ) = +..5.5 -.5 - -.5.5.5 -.5 - -.5 Ekvtionen ( + ) = + kn skrivs ( + ) + =, dvs ( + )( + ) =. Om (, ) 6= kn vi divider med +, så kvr är ekvtionen för enhetscirkeln + =, vrs re är π. Svr: π. 6. Någr volmberäkningr Eemel (97h) Beräkn volmen som begränss v =, = och lnen + =6smt =.
5 3.75.5-5.5 -.5 5 3.75.5.5.5 5 Lösning: Härhrvii-lnet området, som även begränss v skärningen melln + =6och =. en inträffr i =6. Vi integrerr först i -led från =till =6 över dett område. Så volmen är Z Z 6 Z Z 6 ddd = d d d {-integrtion} = {-integrtion} = = Z 6 Z 6 Z 6 d Z (6 ) d (6 )d (6 3 )d {-integrtion} = [6 3 3 5 5 ] 6 = 4 6 5 36 6 = 48 5 6. Eemel 3 (98) Beräkn volmen v ellisoiden + b + c =. 3
4.5 - -.5 - -4 En ellisoid med =4,b=,c= Lösning: Vi integrerr från = c b till = c b över området + b, där vi nvänder ellitisk koordinter: ½ = r cos ϕ = br sin ϕ. Insättning i + b ger då (r cos θ) (br cos θ) + b. Nu kn och b förkorts, och vi får r. Så tt b = r. enn förenkling är oängen med denn trnsformtion, vilken givetvis fångr in roblemets geometri. Funktionldeterminnten blir här (, ) = (r, ϕ) cos ϕ r sin ϕ b sin ϕ brcos ϕ = br(cos ϕ +sin ϕ) = br. Så volmen blir dubbelintegrl från undre gräns ( c b = cr) till övre (c b = cr): Z Z ddd = brdrdϕd = b = bc E Z Z π Z π (c r ( c r ))rdrdϕ dϕ[ 3 ( r ) 3 ] = 3 bc π =4π 3 bc. 4
Volmen v ellisoiden är 4π 3 bc. Om = b = c = R hrviensfär,ochfårdå 4π 3 R3. et är den känd formeln för volmen v en sfär med rdie R. Svr: Ellisens volm är 4π 3 bc. 6.3 Arenvenbuktigt En t i R 3 är reguljär som den kn rmetrisers v rmetrr (u, v), där u b och c v d : = (u, v) r : = (u, v) = (u, v) och där r u =( u(u, v),u(u, v),u(u, v)) och r v =( v(u, v),v(u, v),v(u, v)) är kontinuerlig och normlen n = r u r v 6= överllt. Vi vet tt r u u är roimtivt båglängden för ett intervll v längd u ( R b r u du är kuvns längd), och å motsvrnde sätt för r v. Nu vet vi tt beloet v krssrodukten b är ren som sänns v vektorern och b. et följer tt r u r v ren v det område å tn som motsvrs v {(u, u + u) och (v, v + v)}. Adders dess små reor får vi ren v den reguljär tn:som dubbelintegrlen r u r v dudv där = { u b, c v d :}. Eemel 4 Beräkn ren v rboloiden = +,..75.5.5 -.5.5 -.5.5 5
Lösning: Med rmetrrn och hr vi rmetriseringen r =(,, + ).Sår =(,, ) och r =(,, ). å är normlen i en unkt(, ). Normlens belo är r r =(,, ) r r = (,, ) = +4 +4. Aren fås genom tt beräkn dubbelintegrlen med olär koordinter: r r dd = +4 +4 dd = = Z Z π +4r rdrdϕ +4r rdrdϕ = π[ ( + 4r ) 3 ] = π 6 (5 3 ). Svr: Prboloidens re är π 6 (5 3 ). Eemel 5 Beräkn ren v ett klot med rdie R. Lösning: Vi hr en rmetrisering med sfärisk koordinter, där r = R som är fi: = R sin θ cos ϕ = R sin θ sin ϕ. = R cos θ Vi får nu genom tt deriver smbnden m... θ och ϕ: r θ =(R cos θ cos ϕ, R cos θ sin ϕ, R sin θ) och r ϕ =( Rsin θ sin ϕ, R sin θ cos ϕ, ). Normlen är krssrodukten v dess vektorer: r θ r ϕ = (R cos θ cos ϕ, R cos θ sin ϕ, R sin θ) ( R sin θ sin ϕ, R sin θ cos ϕ, ) = (R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ sin θ cos ϕ + R cos θ sin θ sin ϕ) 6
vrs belo är (R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ sin θ cos ϕ + R cos θ sin θ sin ϕ) = R sin 4 θ cos ϕ +sin 4 θ sin ϕ +(cosθ sin θ cos ϕ +cosθ sin θ sin ϕ) = R sin 4 θ +cos θ sin θ = {trig. ettn igen} = R sin θ = R sin θ. Alltså blir klotets re r r dd = Svr: Klotets re är 4πR. R sin θdθdϕ = R [ cos θ] π π = 4πR. Klotets re är relterd till begreet rmdvinkel. Som beknt är vinkelmåttet rdin definierd som längden v den båge v enhetscirkeln som svrr mot vinkeln. Miml vinkel är π å grund v tt hel enhetscirkelns båglängd (cirkelns omkrets) är π rdien är. Måttet v en rmdvinkel är å liknnde sätt ren v en viss mängd å enhetsklotet (R =), så miml rmdvinkel är 4π. Mn kn säg tt den vinkel som en mängd M utr från origo kn fås genom tt rojicer mängden å enhetscirkeln, vrje (, ) M skicks å (,) (,), som hr belo och lltså ligger å enhetscirkeln, och därefter kn vi mät längden v kurvn som den rojicerde mängen utr. På nlogt sätt utr en mängd M i rummet en rmdvinkel som är ren v mängden rojicerd å enhetsklotet med vbildningen (,, ) (,,) (,,). Eemel 6 Beräkn ren v konen = +, b. 7
.75.5.5 -.5.5 -.5.5 Lösning: Här är lltså konens lutning (lutningsvinkeln är tn ) och höjden är b. Konen rmetrisers enklst med clindrisk koordinter, då = + blir = r : = r cos ϕ = r sin ϕ = r med rmeterintervllen r b ϕ π. Vi får (t = b och = r ger r = b )och r r =(cosϕ, sin ϕ, ) och r ϕ =( rsin ϕ, r cos ϕ, ), och r r r ϕ = (cosϕ, sin ϕ, ) ( r sin ϕ, r cos ϕ, ) = ( r cos ϕ, r sin ϕ, r cos ϕ + r sin ϕ) {trig. ett} = r( cos ϕ, sin ϕ, ). Beloet v denn vektor är r r r ϕ = r cos ϕ + sin ϕ + = r +. Nu hr vi llt vi behöver i integrlen r r dd, som är ren. Vi får konens re: Z b Z π r +drdϕ = +[ r ] b π r = π b + b. 8
Seciellt, om = b =är lltså konens re π..75.75.75.5.5.5.5.5.5 -.5.5 -.5.5 -.5.5 -.5.5 -.5.5 -.5.5 Are = π. Are = π. Svr: Konensreärπ b + b. Are = π. Eemel 7 Beräkn ren v sirltn (u cos v, u sin v, v), u, v π. 6.5 5 6.5 3.75.5.5.5 -.5 -.5 -.5-5 3.75.5.5.5.5 -.5 -.5 - - Sirltn (u cos v, u sin v, v). Smmtfrånnnnvinkel. Lösning: Här hr vi redn en rmetrisering, (u cos v, u sin v, v), så vi kn genst åbörj beräkningen v r u r v r u =(cosv, sin v, ) och och r v =( u sin v, u cos v, ), r r r v = (cosv, sin v, ) ( u sin v,u cos v) = (sinv, cos v, u cos v + u sin v) {trig. ett} = (sinv, cos v, u). Beloet v denn vektor är r r r v = = sin v +cos v + u u +. 9
Så ren v sirltn är Z Z π Z u +dudv = π u +du {rtilintegrtion} =.π[u u +] π {division} = π Z π {udelning} = π π( = π π( Z Z Z u + u + du u u + du u +du Z u + du) u +du ln( + ). I sist steget nvände vi stndrdintegrlen R du =ln(u + u u +)+C. + Vi fick tillbk smm integrl med ombtt tecken, så om vi flttröverden till vänster sid hr vi Z Z π u +du +π u +du =π +πln( + ). Således är ren π Z u +du = π +π ln( + ). Svr: Sirltns re är π( +ln(+ )). 6.4 Arenvenfunktionsgrf Grfen till en funktion v två vribler f(, ) hr en nturlig rmetrisering: = u = v = f(u, v). å får vi och så r u =(,,f u) r v =(,,f v), r r r v = (,,fu) (,,fv) = ( fv,f u, ). Således hr vi om vi bter tillbk från u och v till och :
Sts 8 Aren v grfen till f(, ) då (, ) R är f + f +dd. Formeln kn jämförs med båglängden v en funktion f() från = till = b, som är R b f +d. Eemel 9 (93i) Beräkn ren v den herbolisk rboloiden = då = { + }. - - -.5.5 -.5 -.5 -.5.5.5 Lösning: Vi hr här Grf till f(, ) = då +. så = och f =, f + f +dd blir integrlen + +dd. Polär koordinter ger Z Z π r +rdrdϕ = π[ 3 (r +) 3 ] = π 3 ( ). Svr: Arenv = då = { + } är π 3 ( ).