Trigonometri. Sinus och cosinus för alla vinklar... Tangensfunktionen.9. Trigonometriska kurvor.. 4. Tre viktiga satser.. 5. Samband mellan trigonometriska funktioner... 6. Trigonometriska ekvationer..8 o 80 7. radian=...45 8. Derivatan av f () = sin. 48 Fourieranalys (Historia)..55 Facit. 57 Bilder: Akvareller av Ramon Cavaller. Geometriska konstruktioner och diagram av Nils-Göran Mattsson Författarna och Bokförlaget Borken, 0
Sinus och cosinus för alla vinklar Teori Enhetscirkeln Med hjälp av rätvinkliga trianglar kan vi bara ange sinus-, cosinus- och tangensvärden för vinklar mellan 0 och 90. Men vad är sin eller tan( 4 )? Vi ska nu utvidga definitionen till att omfatta alla vinklar, något som ska visa sig vara mycket användbart. För att göra det måste vi lämna den rätvinkliga triangeln och i stället ta hjälp av enhetscirkeln. Enhetscirkeln har sin medelpunkt i origo och radien en längdenhet. Man utgår från vinklar som bildas av positiva -aeln och en rörlig radie. Vinkeln ökar när den rörliga radien vrids moturs (vridning i positiv led) och minskar när den vrids medurs (vridning i negativ led). En vinkel som är större än 60 motsvaras av mer än ett varv moturs. En vinkel som är mindre än 0 motsvarar en vridning medurs. Enhetscirkeln har centrum i origo och radien en längdenhet.
G. Rita en enhetscirkel och markera med hjälp av gradskiva följande vinklar: a) 0 e) 70 b) 45 f) 5 c) 05 g) 60 d) 5 G. Rita en enhetscirkel och markera följande vinklar: a) 90 e) 75 b) 450 f) 600 c) 0 g) 60 d) 00 G. Vilka av följande par av vinklar motsvarar samma läge i enhetscirkeln? a) 0 och 0 e) 60 och 70 b) 45 och 95 f) 55 och 465 c) och 7 g) 90 och 0 d) 75 och 75
Teori Sinus och cosinus Uttryckt med figurens beteckningar gäller dessa definitioner: cosα = = y och sin a = = y. I kvoten är längden av motstående katet till vinkeln α och är längden av hypotenusan. y På samma sätt är kvoten närliggande katet dividerad med hypotenusan. Vi ser att definitionerna för vinklar mindre än en rät stämmer överens med definitionerna som bygger på den rätvinkliga triangeln. Det nya är att vi inte begränsar oss till vinklar mellan 0 och 90. De nya definitionerna gäller alla vinklar. Sinus för vinkeln α är y- koordinaten för den rörliga radiens ändpunkt på enhetscirkeln. Cosinus för vinkeln α är punktens - koordinat. 4
Supplementvinklar Två vinklar vars summa är 80 kallas supplementvinklar. Vinklarna 45 och 5 är supplementvinklar, likaså och 69. Allmänt är vinklarna 80 α och α supplementvinklar. Följande samband gäller sinus och cosinus för supplementvinklar: sin (80 α) = sin α och cos (80 α) = cos α Sinus för en vinkel och sinus för dess supplementvinkel är lika. Cosinus för en vinkel är lika med minus cosinus för dess supplementvinkel. Det finns också ett enkelt samband mellan sinus- och cosinusvärdena för motsatta vinklar, det vill säga vinklar som skiljer sig endast i fråga om tecknet. Figuren visar att följande samband gäller: sin( α) = sin α och cos( α) = cos α 5
Komplementvinklar Vinklarna α och 90 α är varandras komplementvinklar. Dessa båda vinklars summa är 90. Det gäller enkla samband mellan komplementvinklars sinus- och cosinusvärden. De båda trianglarna är kongruenta. Dessa samband gäller: sin α = b cos α = a sin (90 α) = a cos (90 α) = b Av sambanden följer detta cos (90 α) = sin α sin (90 α) = cos Cosinus för en vinkel är alltså lika med sinus för dess komplementvinkel. Sinus för en vinkel är lika med cosinus för dess komplementvinkel. Trigonometriska ettan Använder man Pythagoras sats på den rätvinkliga triangeln får man detta mycket viktiga samband: ( sinα) + ( cosα) = Oftast används detta förenklade skrivsätt: sin α + cos α = För en vinkel α som ligger i andra kvadranten blir kateternas längder sin α och cos α och Pythagoras sats ger ( sin α ) + ( cosα ) = som förenklas till sin α + cos α = Vi ser att samma samband gäller för vinklar upp till 80. På liknande sätt kan man resonera om vinkeln ligger i någon av de andra kvadranterna. Resultatet blir att trigonometriska ettan gäller för alla vinklar. 6
Modell Trigonometriska ettan och 5 lös ekvationen sina = 5 Eempel Det gäller att sin a =, v < 90. Beräkna cos v. 5 Lösning Trigonometriska ettan ger + cos v = 5 cos v =± Vinkeln är spetsig, alltså förkastas det negativa värdet. Alltså är cos v = Eempel Lös ekvationen sinα = 0,45 Lösning Räknare ger α = 6,7. Alltså är även sin(80 6,7 ) = 0,45. Resultat α = 6,7 och α = 5,. Eempel cos α = 0,57 Lösning Räknare ger α = 4,8. Alltså är även cos ( 4,8 ) = 0,57. eller om du vill ha en vinkeln i intervallet 0 α < 60 så är α = 4,8 + 60 = 5,. Resultat α = 4,8 och α = 5,. G.4 Ange största möjliga och minsta möjliga värde för a) sin v b) cos v G.5 Lös följande ekvationer i intervallet a) cos v = 0 c) cos v = b) sin v = 0 d) sin v = 0 < 60 v. e) cos v = f) sin v = 7
G.6 Vilka vinklar i intervallet a) sin v = 0,450 b) sin v = 0,50 c) cos v = 0,70 0 v < 60 uppfyller dessa villkor? d) cos v = 0,090 e) sin v =, V.7 Bestäm alla lösningar v i intervallet 0 v < 60 till följande ekvationer. Använd inte räknare. a) sin v = c) sin v = b) cos v = G.8 Man vet att sin v = 0,6 och att v < 90. Beräkna ett eakt värde på cos v. G.9 En vinkel v ligger i andra kvadranten, det vill säga 90 < v < 80. Det gäller att sin v = 0,8. Vad är cos v eakt? 8
Tangensfunktionen Teori Tangens Tangens för en vinkel definieras med hjälp av rätvinkliga triangeln som kvoten av motstående och närliggande katet. På samma sätt som med sinus och cosinus kan definitionen utvidgas med hjälp av enhetscirkeln. Följande gäller: b sinα tan α = =. a cosα Eftersom nämnaren inte får vara = 0 gäller definitionen för alla vinklar utom de för vilka cos α = 0. Det betyder att vinklarna 90, 70, 450, 540, saknar tangensvärde. Sammanfattat skrivs dessa vinklar 90 + n 80, där n är ett heltal. AB CD Eftersom trianglarna OAB och OCD är likformiga gäller att = OB OD Sträckan OD har längden, sträckan AB längden sin α och OB längden sinα CD cos α. Likheten kan skrivas = eller sin α tanα cos α cosα =. Alltså motsvaras sträckan CD av tan α. Tangens för en vinkel motsvarar alltså y-koordinaten för skärningspunkten mellan förlängningen av den rörliga radie som svarar mot vinkeln och den lodräta linjen =. 9
Modell Ekvation med tangens Lös den trigonometriska ekvationen 6 tan v = 0, i intervallet 0 v 80. 0, Lösning: 6 tan v = 0, tanv = 6 tan v =,77 v = 59,78 + n 80 Den enda lösningen är v = 59,78 eftersom den skall ligga i intervallet 0 v 80. På vissa räknare matar man in [TAN ] ( 0. [ ] 6 ) [=]. Tänk på att kontrollera att räknaren är inställd på grader, åtminstone i detta avsnitt! Knappen [TAN ] kan också heta [arctan]. G. Använd räknare för att bestämma följande värden a) tan0 b) tan80 d) tan70 e) tan90 g) tan80 h) tan50 c) tan00 f) tan60 G. Vilket samband gäller mellan tan α och tan(α + 80 )? V. Vilket samband gäller mellan tan α och tan(90 α)? G.4 Bestäm tan45 med hjälp av en konstruktion i enhetscirkeln. G.5 Beräkna tan5, tan5 och tan5 med hjälp av resultatet i föregående uppgift. G.6 Lös de trigonometriska ekvationerna i intervallet 0 v 80. a) tan v =,6 e) 5cos v = b) tan v = 0,4 f),5 + 0,4cos v =, c),5 + 0,4 tan v =,6 d) sin v = 0
Trigonometriska kurvor Teori Sinus- och cosinuskurvorna Efter att den rörliga radien vridit sig ett varv i enhetscirkeln är vi åter tillbaka till utgångsläget. När vi fortsätter vrida radien upprepar sig sinus- och cosinusvärdena likadant för varje varv. Vinkeln α och vinklarna α + n 60 där n är ett heltal har samma sinus- och cosinusvärden. Funktioner som har denna egenskap kallas periodiska funktioner. Denna egenskap skrivs så här (uttrycket n Z betyder n tillhör de hela talen ): sin (α + n 60 ) = sin α, n Z cos (α + n 60 ) = cos α, n Z Kurvorna y = sin och y = cos får följande utseende i ett koordinatsystem. Båda graferna ligger i området mellan linjerna y = och y =. Det betyder att båda funktionernas värden ligger i intervallet y. Funktionen y = sin varierar så här den första perioden: 0 90 80 70 60 sin 0 0 0
Det lodräta avståndet mellan -aeln och det största (eller det minsta) värdet kallas kurvans amplitud. Kurvorna y = sin och y = cos har båda amplituden =. Funktionen y = cos varierar så här den första perioden. 0 90 80 70 60 cos 0 0 Vi ska nu se hur kurvan ändras, när vi ändrar på olika sätt i funktionsuttrycket. Vi ritar kurvan y = cos i samma koordinatsystem som y = cos och ser att y = cos får amplituden, medan perioden är samma som i y = cos. Varje y-värde är dubbelt så stort i y = cos som i y = cos. (Vad händer om vi ritar kurvorna y = 0,5cos i samma koordinatsystem som y = cos? ) Nu ritar vi kurvan y = cos (den svärtade nedan) och som jämförelse har vi kurvan y = cos. Här blir perioden halverad och är nu 80 i stället för 60, men amplituden är densamma.
Kurvan y = cos får följande utseende: Nu blir perioden fördubblad, men amplituden förblir densamma. Vi ser att funktionerna f() = sin k och f() = cos k (k > 0) har perioden 60 k G. Rita följande kurvor med hjälp av grafritande räknare: a) y = sin e) y = sin 4 b) y = 4sin f) y = sin c) y = 0,5sin d) y = sin G. Rita följande kurvor med hjälp av grafritande räknare. Ange kurvornas period och amplitud: a) y =,5sin b) y = sin 4 c) y = 0,5sin 6 G. Ange period och amplitud för följande funktioner. Använd inte räknare.
a) y = sin c) y = 5, sin sin b) y = V.4 Ange period och amplitud för kurvan y = A sin k. V.5 Bestäm värdemängd och period för funktionerna a) sin y = sin b) y = 4 c) y =, 0 sin 0,05. V.6 Ange uttrycket för en funktion på formen y = Asin k om a) perioden är 80 och värdemängden y. b) perioden är 540 och amplituden 0,75. c) perioden är 080 och värdemängden [ 9, 9]. G.7 Rita följande kurvor med grafritande räknare: a) y = 5cos b) y = 0,cos c) y =,5cos G.8 Rita följande kurvor med grafritande räknare: a) y = cos cos b) y = 0,cos 0,5 c) y = G.9 Rita följande kurvor. Ange period och amplitud: a) cos y = 5 b) y =,5cos c) y = 0,7 cos 0,4 V.0 Ange period och amplitud för kurvan y = A cos k. V. Bestäm värdemängd och period för 5 a) funktionen y = 5cos. 4 b) funktionen = 5cos 4 y. 9 c) funktionen y =,6 0 cos 0,00. V. Skriv cosinusfunktionerna på formen y = A cos k då: 4
a) perioden är 70 och amplituden. b) perioden är 0 och amplituden 0,5 c) perioden är 90 och värdemängden,5 y,5 Teori Kurvor av typen y = A cos(k + v) och y = A sin(k+v) Vi ska nu undersöka hur kurvorna y = cos och y = cos ( + 60 ) ligger i förhållande till varandra. Vi ser att man får kurvan y = cos ( + 60 )(den lila) om man förskjuter kurvan y = cos (den svarta) 60 åt vänster. Sätter man in vinkeln = 60 så får man y = cos( 60 + 60 ) = cos 0 = dvs samma värde som den svarta har för = 0. Vi ändrar nu till y = cos ( 0 )(den lila) och ser att detta innebär en förskjutning åt höger med 0 : 5
Sätts vinkeln = 0 in fås y = cos (0 0 ) = cos 0 = dvs samma värde som den svarta har för = 0. y = cos( α ), α > 0, är α förskjuten åt höger jämfört med kurvan y = cos y = cos( + α ), α > 0, är α förskjuten åt vänster jämfört med kurvan y = cos Ovanstående gäller även för sinuskurvorna. y = sin( α ), α > 0, är α förskjuten åt höger jämfört med kurvan y = sin y = sin( + α ), α > 0, är α förskjuten åt vänster jämfört med kurvan y = sin Modell Kurvor av typen y = Asin(k + v) + b och y = Acos(k+v) + b Vi ska nu se vad som händer om man lägger till en konstant term i funktionsuttrycket. Vi ritar först kurvan y = sin + (den blå)och jämför med y = sin (den lila). 6
Kurvan förskjuts uppåt två enheter. Period och amplitud påverkas inte. Varje y-värde är två enheter större i y = sin + än i y = sin. Kurvan y = cos( + 60 ) är förskjuten med 60 åt vänster och samtidigt med enheter nedåt i förhållande till grundkurvan y = cos. Eempel Hur mycket är kurvan y = cos( + 45 ) fasförskjuten i 4 förhållande till y = cos( ) och vilken är dess period? 4 Lösning cos( + 45 ) = för ( + 45 ) = 0º Û = 45 4 4 4 45 = = 60 Dvs kurvan är förskjuten 60 º åt vänster. Båda /4 60 kurvorna har perioden = 480 4 G. Skissera följande kurvor utan att använda räknare: a) y = sin + 0,5 5sin( 60 ) 6 b) y = cos d) y = c) y = cos( 0 ) + e) = cos( + 60 5 y ) + f) y = 4 sin( + 50 ) 7
G.4 Ange period och värdemängd till funktionerna a) y = sin 4 b) y = sin0, 8 c) y = cos( 40 ) + 0 G.5 Skriv uttrycket för följande se kurvor på formen y = Asin(k + v) 8
V.6 Bestäm A i funktionen y = Acos så att funktionens största värde blir. V.7 Bestäm A i funktionen y = Asin 5 så att funktionens största värde blir. V.8 Bestäm b i funktionen y = sin0,5 b så att funktionens största värde blir 5. V.9 Skriv uttrycken för följande kurvor i formen y = Asin(k + v)+b. Modell Tangenskurvan Både sinus- och cosinusfunktionerna har perioden 60 och då måste tangensfunktionen också ha densamma. Men för tangensfunktionen är denna inte den minsta perioden. Vi ser, att sin( α + 80 ) sinα tan(α + 80 ) = = = tanα cos( α + 80 ) cosα Alltså är tangensfunktionen periodisk med (minsta) perioden 80 : tan(α + n 80 ) = tan α, n Z 9
Vi ser att funktionen är väande för alla vinklar. När vinkeln närmar sig 90 nerifrån väer tangensvärdena obegränsat. För värdet α = 90 eisterar inget tangensvärde, eftersom cos 90 = 0 och sinα tanα =. cosα När vinkeln passerat 90 börjar kurvan om från obegränsat stora negativa värden och väer till obegränsat stora positiva värden när vinkeln närmar sig 70. För värdena α = 45 + n 80, n Z är tangensvärdet lika med (skärningen mellan den röda och blå kurvan). 0 45 90 5 80 5 70 5 60 tan 0 ej def 0 ej def 0 G.0 Rita följande kurvor och ange perioden. a) y = tan d) y = tan + b) y = tan y = e) tan c) y = tan 0
4 Tre viktiga satser Teori Areasatsen Vi känner sedan tidigare till, att arean av en triangel är halva produkten av basen och höjden. Med hjälp av trigonometri kan vi beräkna arean av en triangel på ett annat sätt. Vet vi två sidor och mellanliggande vinkel kan vi beräkna arean med areasatsen. Vi härleder först denna sats när alla vinklar i triangeln är spetsiga. Eftersom triangelns bas är b och höjden c sin α gäller för triangelns area T: b c sinα T = Om vinkeln α är trubbig:
Eftersom sin α = sin(80 α) så gäller ovanstående formel även för den trubbvinkliga triangeln. Areasatsen uttryckt i ord: Arean av en triangel är halva produkten av två sidor och sinus för mellanliggande vinkel. Modell Beräkningar med areasatsen Eempel Beräkna arean av triangeln i figuren. Lösning: Arean blir 6 4 sin8 cm = =7,9 cm Resultat: Arean är 7,9 cm Eempel I en triangel är två sidor cm och 5 cm. Triangelns area är 7,9 cm. Hur stor vinkel bildar sidorna med varandra? Lösning: Vi får ekvationen 5 sin = 7,9 7,9 sin = 5 sin = 0,46 5 80 5 = 55 Resultat: Om vinkeln mellan sidorna är 5,0 eller 55 så blir triangelarean 7,9 cm.
G4. Beräkna arean av nedanstående tre trianglar: G4. Den minsta vinkeln i en triangel är 6,. De tre sidorna är, cm,,8 cm och,0 cm. Beräkna triangelns area. G4. Ett triangelformat tomtområde har arean 866 m. Två sidor som bildar spetsig vinkel är 50 m och 40 m långa. Hur stor är vinkeln? G4.4 Två trianglar har lika stora areor. Den ena har två sidor som är 4, cm och,9 cm och den mellanliggande vinkeln är 4,7. I den andra triangeln är en av sidorna 5,6 cm. Denna sida bildar vinkeln 6,5 med den sökta sidan. Hur lång är den? G4.5 En vinkel i en triangel är 8 och de sidor som den bildar är, cm och 8,cm. Man vill fördubbla arean genom att öka vinkeln. Till vilket värde ska den ökas?
Teori Sinussatsen Vi tecknar arean av triangeln ABC på de tre möjliga sätten med hjälp av bc sin A ac sin B ab sinc areasatsen: = = Multiplikation med ger: bc sin A= ac sin B= ab sinc Division med abc ger sinussatsen: sina sinb sinc = = a b c Sinussatsen uttryckt i ord: Sidorna i en triangel är proportionella mot sinus för motstående vinklar. En triangel är bestämd om vi vet två vinklar och en mellanliggande sida [=ASA] två sidor och en motstående vinkel. [=ASS] Detta inser vi när vi tittar på uttrycket sina = sinb. Känner vi tre av de a b fyra storheterna A, B, a och b, så kan den fjärde beräknas. 4
I det första fallet fås direkt den tredje vinkeln ur triangelns vinkelsumma. Sedan används sinussatsen för att bestämma de två återstående sidorna. I det andra fallet fås två möjliga trianglar om den obekanta vinkeln B står mot den större sidan, det vill säga om b > a. Båda vinklarna fås vid ekvationslösningen. Om den obekanta vinkeln B står mot den mindre sidan fås även då två vinklar vid ekvationslösningen, men den trubbiga vinkeln måste förkastas (varför?). Det blir alltså bara en möjlig triangel. Sinussatsen för 'ASS' finns på gratisdisketten. Genom att laborera med VariabelRadie = S = a kan man inse det andra fallets möjligheter. 5
G4.6 Hur långa är de återstående sidorna i nedanstående trianglar? G4.7 Beräkna arean av följande trianglar: G4.8 Beräkna arean av en parallellogram, vars sidor är 6 m och 67 m och en av vinklarna 49. G4.9 I triangeln ABC är sidan AC = 5 cm och sidan BC = 5 cm. Vinkeln B = 6. Hur stor är vinkeln A? G4.0 Två platser A och B ligger på en strand på ett avstånd av 080 m. En oljetanker befinner sig i en punkt C ute till havs. Man mäter vinklarna ABC och BAC. Vinkeln ABC = 4,5 och vinkeln BAC = 09,. Beräkna avståndet till oljetankern från platserna A respektive B. 6
Teori Cosinussatsen Om vi känner de tre sidorna i en triangel är triangeln entydigt bestämd. Vi har hittills inte haft något verktyg för att bestämma vinklarna i triangeln. Men med cosinussatsen kan vi lösa det problemet. Vi använder Pythagoras sats på triangeln BCP: a = b sin A + (c b cosa) = b sin A + c + b cos A bc cosa = = b (sin A + cos A) + c bc cos A = b + c bc cos A Alltså: a = b + c bc cos A 7
Om vinkeln A är trubbig blir AP = b cos(80 A) = b cosa. Avståndet BP blir då c + ( b cosa) = c b cosa. Ovanstående härledning gäller alltså både om vinkeln A är spetsig eller trubbig. Kvadraten på en sida i en triangel är lika med summan av de övriga två sidornas kvadrater minus dubbla produkten av dessa sidor och cosinus för mellanliggande vinkel. När vi har uppgiften att bestämma alla sidor och vinklar i en triangel använder vi cosinussatsen när vi känner två sidor och mellanliggande vinkel [SAS] känner alla tre sidorna [SSS] I det senare fallet bör vi börja med att bestämma den vinkel som står mot den största sidan. Då får vi veta om den är spetsig eller trubbig. De övriga sidorna kan beräknas med sinussatsen. Eftersom de måste vara spetsiga får vi dem direkt. G4. Beräkna den återstående sidan i triangeln ABC. 8
G4. Beräkna den största vinkeln i triangeln med sidorna a) 8,0 cm, 0,0 cm och,0 cm b),6 m, 8, m och 4,9 m c) 5 cm, cm och cm. G4. Beräkna arean av en triangel, vars sidor är 7,5 cm, 9,0 cm och 0,5 cm. G4.4 Två krafter som har samma angreppspunkt bildar vinkeln 4. Krafternas storlek är 4,5 N respektive 5,7 N. Hur stor är deras resultant? G4.5 Två fartyg lämnar samtidigt en hamn. Det ena går i riktningen S 67,5 O med farten,5 km/h och det andra i riktningen S 5,6 V med farten,8 km/h. Hur långt från varandra är fartygen efter h 0 min? G4.6 En vattenmolekyl består av en syreatom som binder två väteatomer. Bindningsavståndet mellan syre och väte är 97 pm och vinkeln mellan bindningsriktningarna är 04,5. Beräkna avståndet mellan väteatomerna i en vattenmolekyl. V4.7 Bestäm vinkeln ABC i rätblocket här bredvid. 9
V4.8 En båt avgår från en hamn i en kurs som från riktningen norrut avviker med 0 österut med en fart av 0 km/h. Efter timmar lämnar en annan båt en hamn som ligger 60 km rakt öster om den första med en fart av 70 km/h. Vilken kurs ska den båten hålla för att den ska sammanträffa med den första? 0
5 Samband mellan trigonometriska funktioner Teori Additionsformlerna Ett av trigonometrins viktigaste samband är trigonometriska ettan. Men det finns många fler användbara samband. Av dessa har vi sett följande: sin( α) = sin α cos( α) = cos α sin(80 α) = sin α cos(80 α) = cos α cos(90 α) = sin α sin(90 α) = cos α α tanα = sin cos α Additionsformlerna Vi ska nu härleda några fler trigonometriska formler som kan användas för att förenkla trigonometriska uttryck. Med additionsformlerna kan vi skriva eempelvis uttrycken sin(α + β) eller cos( 0 ) som summor. Vi börjar med att härleda formeln för hur man skriver cos(α β) som en summa:
I figuren är två vinklar, α och β och deras differens α β markerade. I den rätvinkliga triangeln ABC har kateten AC längden cosβ cosα och kateten BC längden sinβ sinα. Längden c av hypotenusan AB beräknas med Pythagoras sats: c = (cosβ cosα) + (sinβ sinα) Kvadraterna utvecklas med kvadreringsregeln: c = cos β + cos α cosβ cosα +sin β + sin α sinα sinβ = = sin α + cos α + sin β + cos β cosα cosβ sinα sinβ Eftersom sin α + cos α = och sin β + cos β = (trigonometriska ettan) kan uttrycket förenklas till: c = + cosα cosβ sinα sinβ = (cosα cosβ + sinα sinβ) Vi använder nu cosinussatsen på triangeln AOB. Då fås c = + cos(α β) = cos(α β) Vi jämför till sist de fetmarkerade uttrycken och inser att de måste betyda samma sak. Alltså gäller cos(α β) = cosα cosβ + sinα sinβ () När vi väl härlett denna formel är det lätt att teckna de övriga tre additionsformlerna. Vi byter ut vinkeln α mot dess komplementvinkel (90 α) och får cos(90 α β) = cos(90 α)cosβ + sin(90 α)sinβ cos[90 (α + β)] = cos(90 α)cosβ + sin(90 α)sinβ sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ () Vi byter i stället ut vinkeln β mot β i (). Eftersom cos( β) = cosβ och sin( β) = sinβ fs direkt cos(α + β) = cosα cosβ sinα sinβ () Den fjärde additionsformeln får vi genom att byta vinkeln β mot β i (): sin(α β) = sinα cosβ cosα sinβ (4) Vi sammanfattar additionsformlerna: sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ cos(α + β) = cosα cosβ sinα sinβ sin(α β) = sinα cosβ cosα sinβ cos(α β) = cosα cosβ + sinα sinβ
Modell Förenkling med additionsformlerna Eempel Förenkla uttrycket sin( + 40 ) sin( 40 ). Lösning Vi använder de två additionsformlerna för sinus och gör följande beräkning: sin( + 40 ) sin( 40 ) = sin cos 40 + cos sin 40 (sin cos 40 cos sin 40 ) = cos sin 40 =,9 cos. Eempel Förenkla uttrycket cos(60 + ) + cos(60 ). Lösning Additionsformlerna för cosinus och värdet cos 60 = ger följande: cos(60 + ) + cos(60 ) = cos 60 cos sin 60 sin + cos 60 cos + + sin 60 sin = cos 60 cos = cos = cos. Eempel Visa att cos(70 + ) = sin Lösning Additionsformeln för cosinus och värdena cos 70 = 0 och sin 70 = ger följande: cos(70 + ) = cos 70 cos sin 70 sin = 0 cos ( ) sin = sin. G5. Förenkla följande uttryck med additionsformlerna: a) sin( + 0 ) sin( 0 ) b) cos( + 4 ) + cos( 4 ) c) sin(8 + ) + sin(8 ) d) cos( 60 ) cos( + 60 ) G5. Förenkla med additionsformlerna: a) sin(90 + ) b) cos(80 ) c) cos( 90 ) d) sin(90 )
G5. Förenkla uttrycken och ange deras eakta värden a) cos 80 cos 0 + sin 80 sin 0 b) cos 40 cos 50 sin 40 sin 50 c) sin 70 cos 40 cos 70 sin 40 d) sin 70 cos 0 + cos 70 sin 0 G5.4 Visa att a) sin(70 ) = cos b) sin(90 + ) = cos c) sin( ) = sin (Skriv sin( ) = sin(0 )) d) cos( ) = cos Formler för dubbla vinkeln Vi utgår från dessa additionsformler: sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ cos(α + β) = cosα cosβ sinα sinβ Sätter vi β = α i den första får vi sinus för dubbla vinkeln : sin(α + α) = sinα cosα + cosα sinα = sinα cosα Sätter vi β = α i den andra får vi cosinus för dubbla vinkeln : cos(α + α) = cosα cosα sinα sinα = cos α sin α Trigonometriska ettan sin α + cos α = kan skrivas sin α = cos α eller cos α = sin α Det ger oss möjlighet att skriva cosinus för dubbla vinkeln på två sätt till: cos α = cos α ( cos α) = cos α eller cos α = sin α sin α = sin α Vi sammanfattar formlerna för dubbla vinkeln: sin α = sinα cosα cos α = cos α sin α = cos α = sin α 4
Modell Förenkling med formlerna för dubbla Vinkeln Eempel Bestäm det eakta värdet av cos om sin = 0, Lösning cos = sin. Alltså blir cos = 0, = 0,8 = 0,8 Eempel Beräkna eakta värden på sin v och cos v. Lösning Hypotenusan betecknas. Pythagoras sats ger = + 4 = ± = 5 + 4 (den negativa roten förkastas) Definitionerna på sinus och cosinus ger att sin v = 5 och cos v = 4 5. Vi får direkt 4 4 sin v = sin v cos v = = 5 5 5 och cos v = sin v = 7 = 5 5 G5.5 För en spetsig vinkel gäller att tan v =. Beräkna eakta värden på a) sin v c) cos v b) sin v d) cos v G5.6 För en spetsig vinkel gäller sin v =. Bestäm eakta värden på a) cos v b) sin v 5
G5.7 Bevisa följande formler. a) (sin v + cos v) = + sin v b) cos u = cos 4 u sin 4 u c) sin tan = cos d) (cos v + sin v)(cos v sin v) = cos v V5.8 Bevisa följande formler. a) tan cos = + tan tan b) sin = + tan tan c) tan = tan V5.9 Bevisa följande formler. a) sin = sin 4 sin b) cos = 4 cos cos Tips: Utnyttja likheterna sin = sin( + ) och cos = cos( + ) V5.0 Visa att + tan tan = (CP NT ht 988) cos V5. Bevisa formeln =. tan tan sin V5. Bevisa formeln cos + sin cos sin = tan. cos sin cos + sin 6
6 Trigonometriska ekvationer Modell Trigonometriska ekvationer () Tidigare löste vi trigonometriska ekvationer av formen sin v = a, cos v = a eller tan v = a och begränsade oss till området 0 v < 60 eller 0 v < 80. Men nu ska vi lösa ekvationerna fullständigt. Eftersom de trigonometriska funktionerna är periodiska får vi oftast oändligt många lösningar till trigonometriska ekvationer. Eempel Lös ekvationen sin v = 0 Lösning Ekvationen skrivs = sin v sin v = Vi vet sedan förut att vinklarna 0 och 50 uppfyller denna ekvation, eftersom sin v = sin(80 v). Men de vinklarna är inte de enda som löser ekvationen. Adderar vi 60, alltså ett helt varv, till var och en av dessa vinklar får vi 90 och 50 och dessa vinklar är också lösningar. Subtraherar vi 60 får vi lösningarna 0 och 0. Den rörliga radien kommer ju tillbaka till det ursprungliga läget efter ett helt antal varv. Samtliga lösningar till ekvationen sammanfattas så här: v = 0 + n 60 och v = 50 + n 60 Lägg märke till att n står för heltal, alltså {,,, 0,,, }. Resultat: v = 0 + n 60 eller v = 50 + n 60 7
Eempel Lös ekvationen cos v = 0, Lösning: Vi får direkt att v = 7,5. Lösningarna till ekvationen blir antingen v = 7,5 + n 60 eller, eftersom cos v = cos( v): v = 7,5 + n 60 men de senare lösningarna kan också skrivas v = 87,5 + n 60 Här har vi adderat 60 vilket motsvarar samma läge i enhetscirkeln. Resultat: v = 7,5 + n 60 eller v = 87,5 + n 60. G6. Lös följande ekvationer: a) + sin v = 0 b) v = 0,65 c) sin v = 0,098 d),5 + sin v =,5 e) 4sin v = 0 G6. Bestäm funktionens nollställen: a) f() = sin b) f() = + 5cos V6. Lös ekvationen sin = sin 8 f) 5 + cos v = 4 g) + cos v = sinv h) = 0, c) f() = sin, d) f() = cos 8
Modell Trigonometriska ekvationer () Eempel Lös ekvationen sin(v 4 ) = 0,7 Lösning Vi får dels v 4 = 44,4 + n 60 v = 58,4 + n 60 och v 4 = (80 44,4) + n 60 v 4 = 5,6 + n 60 v = 49,6 + n 60 Resultat: v = 58,4 + n 60 eller v = 49,6 + n 60 Pröva resultatet genom att välja ett godtyckligt n och beräkna värdet av sin(58,4 + 60 4 ) (n = ) eller sin(49,6 60 4 ) (n = ). Värdet ska bli 0,7. Eempel 4 Lös ekvationen sin(v + 0 ) = 0,4 Lösning: Först får vi v + 0 = 9,9 + n 60 v = 9,9 + n 60 v =, + n 0 sedan v + 0 = 60, + n 60 v = 50, +n 60 v = 50,0 + n 0 (Glöm inte att perioden också ska divideras med ) Resultat: v =, + n 0 eller v = 50,0 + n 0 G6.4 Lös följande ekvationer a) sin ( ) = 0,5 b) sin ( + 0 ) = 0, c) sin (0,5 7 ) = 0,04 d) sin ( +5 ) = 7 9
Modell Trigonometriska ekvationer () Eempel 5 Lös ekvationen cos(0,5v 6 ) = 0,7 Lösning. 0,5v 6 = 44,8 + n 60 0,5v = 50,8 + n 60 50,8 60 v = + n 0,5 0,5 v = 0,5 + n 70. 0,5v 6 = 5, + n 60 (Eftersom 44,8 + 60 = 5, har vinklarna 5, och 44,8 samma läge i enhetscirkeln) 0,5v =, + n 60 v = 64,5 + n 70 Resultat: v = 0,5 + n 70 eller v = 64,5 + n 70 Eempel 6 Lös ekvationen 5tan v = 7 Lösning: Vi skriver ekvationen 7 tan v = 5 v = 7,6 + n 80 Resultat: v = 7,6 + n 80 Eempel 7 Lös ekvationen sin v = 4cos v Lösning: Vi får här användning för sambandet tan = sin v v cosv. Division med cos v i båda led ger sinv cosv = 4 tan v = 4 v = 76,0 + n 80 Resultat: v = 76,0 + n 80 40
G6.5 Lös ekvationerna. Ange resultatet med två decimalers noggrannhet. a) cos(0,8v ) = 0,65 b) cos( 4 4 ) = 0, c) tan = d) tan 4 = 5 e) 4sin = cos f) 8cos = sin g) sin = cos (Använd sambandet sin = cos (90 )) Modell Trigonometriska ekvationer (4) Eempel 8 Lös ekvationen sin v = sin v. Markera lösningarnas läge i enhetscirkeln. Lösning. v = v + n 60 v = n 60 v = n 80. v = 80 v + n 60 4v = 80 + n 60 v = 45 + n 90 Resultat: v = n 80 eller v = 45 + n 90 Eempel 9 Lös ekvationen sin 5v = sin(v + 5 ) Lösning. 5v = v + 5 + n 60 4v = 5 + n 60 v =,75 + n 90. 5v = 80 (v + 5 ) + n 60 5v = 80 v 5 + n 60 6v = 65 + n 60 v = 7,5 + n 60 Resultat: v =,75 + n 90 eller v = 7,5 + n 60 4
Vi prövar med att sätta in vinkeln v = 7,5 + 60 i den ursprungliga ekvationen: V. L. = sin[5 (7,5 + 60 )] = 0,0 H. L. = sin(7,5 + 60 + 5 ) = 0,0 Vinkeln är alltså en lösning. Pröva själv några fler vinklar. Eempel 0 Lös ekvationen cosv = cos(v + 6 ) Lösning. v = v + 6 + n 60 v = 6 + n 60 v = 8 + n 80. 4v = 6 + n 60 v = 9 + n 90 Resultat: v = 8 + n 80 eller v = 9 + n 90 Eempel Lös ekvationen cos v = cos(60 v) Lösning. v = (60 v) + n 60 v = 60 + n 60 v = 0 + n 80. v = (60 v) + n 60 60 = n 60 (motsägelse) Resultat: v = 0 + n 80 G6.6 Lös ekvationerna a) sin v = sinv b) cos = cos c) sin v = sin (v + 6 ) d) sin v = sin v (Använd sambandet sin ( v) = sin v) e) sin ( + 5 ) = cos ( + 0 ) G6.7 Lös ekvationerna och markera lösningarnas läge i enhetscirkeln. a) cos = cos (60 ) c) cos 4v = cos 00 v b) cos v = cos ( +6 ) d) cos = cos 5 4
Modell Trigonometriska ekvationer (5) Eempel Lös ekvationen sin v = sin v Lösning sin v cos v = sin v sin v cos v sin v = 0 sin v (cos v ) = 0. sin v = 0 v = n 80. cos v = 0 cos v = v = n 60 (Vinklarna i. finns med i v = n 80.) Resultat: v = n 80 Eempel Lös ekvationen cos v 5cos v = 0 Lösning: Sätt cos v = t och ekvationen övergår i: t 5t = 0 t(t 5) = 0 t = 0 eller t = 5. cos v = 0 v = 90 + n 80. cos v = 5 Saknar lösning Resultat: v = 90 + n 80 Eempel 4 Lös ekvationen sin v + sin v = 0 Lösning Sätt sin v = t och ekvationen övergår i: t + t = 0 + 8 t = ± 4 t = t =. sin v = lösning saknas. sin v = v = 90 + n 60 Resultat: v = 90 + n 60 4
G6.8 Lös ekvationen cos =. G6.9 Lös ekvationen cos cos + = 0 G6.0 Lös ekvationen cos sin = G6. Lös ekvationen sin + cos = 5 4 V6. Lös ekvationen cos + cos + = 0 V6. Lös ekvationen cos + cos = sin V6.4 För vilka vinklar i intervallet 0 < < 80 gäller olikheten 4+ cos 5sin > 0? V6.5 Är följande trigonometriska lösning korrekt? (sin + cos ) = sin + cos + sin cos = sin cos = sin = = 90 + n 60 = 45 + n 80 Resultat: = 45 + n 80 44
o 80 7 radian= Teori Absolut vinkelmått Vi har tidigare nämnt vinkelmåttet radian. Det definieras som den vinkel som upptar båglängden i enhetscirkeln. När vi studerar trigonometriska funktioner och deras derivator använder vi alltid vinkelenheten radianer. Eftersom enhetscirkelns omkrets är längdenheter så gäller följande samband: radianer = 60 radianer = radianer = 60 80 60 80 radian = = Vinkeln radian förkortas rad, men enhetsbeteckningen utelämnas oftast. Man skriver till eempel v = och menar då vinkeln 4 4 radianer. Kontrollera att du vet hur man ställer in räknaren för vinkelenheten radianer. Sedan du gjort det, pröva att mata in [ ] 6 [=] [sin] alternativt [sin] ( [ ] 6 ) [=]. Om du får svaret 0,5 är din räknare rätt inställd på radianer. (Vinkeln 0 = /6 rad, sin (/6) = 0,5.) 45
Modell Omvandling mellan grader och radianer Eempel Skriv vinkeln 5 i radianer. Lösning: 5 5 = 5 = = 0,46 80 6 Eempel Skriv vinkeln i grader. 8 Lösning: 80 = = 67,5 8 8 Eempel Skriv vinkeln 90 i radianer. Lösning: 90 = 90 = =,57 80 G7. Skriv följande vinklar i radianer. Svara eakt. a) 60 d) 0 b) 5 e) 70 c) 90 f) 45 46 g) 00 h) 0 G7. Vinklarna är uttryckta i radianer. Skriv dem i grader. a) 5 b) e) h) c) 5 f) 6 d) g) 6 6 G7. Uttryck i radianer. Svara både eakt och med närmevärde (tre värdesiffror). a) 48 c),6 b) 7 d) 09 G7.4 Uttryck vinklarna i grader. Avrunda till heltal. a) 0,5 rad c) 6,5 rad b) rad d),5 rad
G7.5 Illustrera i en enhetscirkel följande vridningar uttryckta i radianer: a) c) 6 5 b) d) 6 G7.6 Beräkna följande värden med hjälp av räknare. a) sin,5 e) 4 tan b) sin 0,0 4 c) cos 0,5 tan f) d) 0,05 cos(/) 4 G7.7 Beräkna uttryckets värde för =. Avrunda till tre decimaler. a) sin( + ) b) tan( ) 6 c) sin ) ( G7.8 Beräkna f() om f( ) = sin. G7.9 Beräkna f() f(0) om f( ) = cos +. V7.0 Lös ekvationen sin sin = 0 fullständigt. Svara i radianer. V7. Lös ekvationen sin cos = fullständigt. Svara i radianer. 4 d),5 cos ( ) v Om en cirkelsektor har vinkeln v, så är dess area av hela cirkelns 60 v area och dess cirkelbåge b = av hela cirkelns omkrets. 60 v r v r Cirkelbågens längd b = = 60 80 v r v r r br Cirkelsektorns area = = = 60 80 47
8 Derivatan av f () = sin Teori Derivatan av sinusfunktionen För att kunna härleda derivatan av sinusfunktionen måste vi först sin bestämma gränsvärdet lim. Kvoten sin saknar värde för = 0, 0 men om vi beräknar kvoten för olika i närheten av ser vi, att det verkar som om gränsvärdet är =. sin -0, 0,998466-0,0 0,99998-0,00 0,9999998 0 värde saknas 0,00 0,9999998 0,0 0,99998 0, 0,998466 Låt oss kalla punkten (, 0) för E. Av figuren framgår att arean av triangeln AOE är sin a.e., arean av motsvarande cirkelsektor a.e. (cirkelsektorns area se föregående sida) och arean av triangeln BOE tan sin tan a.e. Vi får olikheten < < Vi kan skriva denna olikhet efter multiplikation med som sin < < tan sin och vidare som sin < < som i sin tur ger cos sin sin < och < cos sin För vinklar i intervallet 0 < < gäller då cos < < 48
Eftersom cos går mot när går mot 0, blir sin lim =. 0 Vi tecknar nu ändringskvoten mellan -värdena ( ) och ( + ) för funktionen f() = sin. Anledningen till att vi använder den symmetriska differenskvoten är att det förenklar räkningarna. sin( + ) sin( ) f ( ) = lim = 0 (sin cos + cos sin ) (sin cos cos sin ) = lim = 0 cos sin sin = lim = lim cos = cos 0 0 Om f() = cos så är f () = sin. Vi väntar med att visa detta, tills vi studerat sammansatta funktioners derivator. = f() sin cos f () cos sin 49
Modell Derivatan av sinus- och cosinus Eempel Beräkna f () om f() = sin + cos Lösning f () = cos + ( sin ) = cos sin Eempel Beräkna derivatans nollställen till funktionen f() = 0, + cos Lösning: f () = 0, sin. Vi tecknar ekvationen f () = 0 : 0, sin = 0 sin = 0, = 0,05 + n eller =,87 + n Eempel Funktionen f() = cos är given. Beräkna f () Lösning: f () = + sin. f () = + sin = + 0 = G8. Bestäm följande derivator. a) D(sin ) b) D(cos sin ) c) D( sin ) d) Dsin G8. Derivera funktionerna. a) f() = Acos + Bsin b) f() = (cos ) c) y = cos G8. Bestäm f ( ) då a) f() = + cos b) f() = sin + cos 50
G8.4 Bestäm derivatans nollställen till dessa funktioner. a) f() =cos + sin c) f() = sin + cos b) f() = + V8.5 Bestäm värdet på konstanten a, så att f ( ) = 0, när f() = a cos +? V8.6 Bestäm ekvationen för den tangent till kurvan f() =4cos där =. V8.7 Ange värdet av konstanten k så cos( ) + cos( ) = ksin för alla reella. 4 4 (CP 969 NT åk) Fundera på detta! Förklara med begreppet derivata vad som hänt utifrån den översta kurvan till den nedersta 5
Modell Mer om trigonometriska ekvationer Eempel Rita grafen till funktionen f() = sin ( ). Bestäm de -värden i intervallet 0 för vilka funktionsvärdet är >. Funktionsuttrycket kan skrivas enklare. Hur? Lösning: Vi ritar först kurvan: Kurvan ligger ovanför linjen y = för -värdena, < < 4,0 (avrundat till en decimal). Uttrycket kan förenklas så här: sin ( ) = [sin cos cos sin ] = cos. Resultat: Funktionsvärdet är > för -värdena, < < 4,0. Funktionen kan skrivas f() = cos. 5
Eempel Lös ekvationen cos( + ) =. 6 Lösning: Eftersom cos 4 fås + = ± + n 6 4 Vi får + = + + n 6 4 () eller + = + n 6 4 () () ger = + n, alltså = + n 4 5 5 () ger = + n, alltså = + n 4 5 Resultat: Ekvationslösningarna: = + n eller = + n. 4 4 Eempel Bestäm värdemängden och perioden till funktionen f() = grafen. Lösning: Grafens utseende sin. Rita Faktorn sin antar värden i intervallet. Alltså antar sin 4 värden i intervallet f(). Perioden blir =. Resultat: Värdemängden är f() och perioden 4. 5
G8.8 a) Lös ekvationen sin = cos grafiskt i intervallet. b) Lös grafiskt olikheten sin ( 4 ) 0,5 i intervallet 0. c) Lös ekvationen cos = grafiskt. G8.9 Bestäm den punkt där kurvan y = 6 sin( + 6 ) skär y-aeln. G8.0 Lös ekvationen cos + cos =. G8. På grund av tidvattnet varierar vattendjupet i en hamn Djupet h m beskrivs approimativt av den trigonometriska funktionen h() =,0 +,5 sin där är antalet timmar efter midnatt. 6 a) Rita grafen med grafritande hjälpmedel. b) Bestäm det minsta och det största djupet. c) Vid vilka tidpunkter råder högvatten? d) Mellan vilka klockslag sjunker vattenståndet? V8. Bestäm den största vinkeln i en triangel vars sidor förhåller sig som 8::5. V8. En triangels sidor är cm, 4 cm och 6 cm. Vilken längd har medianen mot den största sidan? (Kalla vinkeln mellan medianen och den största sidan för α och utnyttja cosinussatsen. V8.4 Sidorna i en parallellogram är a och b och diagonalerna d och d. Visa att följande samband gäller: d + d = (a + b ) V8.5 Visa att om A är en vinkel med 0 < A < så är + + > 5 sin A cos A Skolornas matematiktävling 979 54
M atematiken i historien Jean-Baptiste Joseph Fourier (768 80) var fransk matematiker och fysiker. Han undervisade först vid École Polytechnique i Paris som då var en nystartad högskola för utbildning av ingenjörer och militärer. Där undervisades både i ren och tillämpad matematik. Många skickliga matematiker var lärare vid den skolan. Vid École Polytechnique började man också skapa läroböcker som var speciellt avsedda för undervisning. Fram till den tiden hade matematikböcker mest varit avhandlingar skrivna för specialister. År 798 lät sig Fourier liksom många av den tidens franska vetenskapsmän värvas att delta i Napoleons fälttåg till Egypten. Han återvände till Frankrike 80 och tänkte återuppta undervisandet vid École Polytechnique, men fick i stället av Napoleon en utnämning som prefekt för ett departement i sydöstra Frankrike. Parallellt med uppgiften att ställa till rätta den oreda som franska revolutionen åstadkommit arbetade han vetenskapligt. Fourier var mycket intresserad av matematikens användning för att lösa fysikaliska problem och han studerade hur värmeenergi breder ut sig i en fast kropp. Vid arbetet med detta utvecklade han år 807 en metod som kommit att kallas Fourieranalys och som är ett effektivt verktyg för att analysera periodiska fenomen. Fourier kom fram till att en kontinuerlig funktion kan skrivas som en summa av sinus- och cosinusfunktioner. Fouriers resultat togs emot med stor misstänksamhet och det kom att dröja ända till år 8 innan han publicerade sitt viktigaste verk, Théorie 55
analytique de la chaleur (En analytisk teori om värmet) som haft en stor betydelse för användningen av matematik inom naturvetenskaperna. Fourieranalys har mycket vidsträckta tillämpningar. Några eempel: Inom akustiken utnyttjas tekniken bland annat vid digitala musikinspelningar och i kemi och biologi Fourieranalyserar man röntgendiffraktionsmönster för att bestämma strukturen hos makromolekyler. Karta över planeten Pluto sammanställd av data från Hubbleteleskopet. Astronomerna använder tekniken för att analysera bilder av himlakroppar tagna med sonder och satelliter. En Fourierserie är en trigonometrisk serie av typen a0 + ( acos + b sin ) + ( acos + b sin ) + ( acos + b sin ) + = a0 = + ( ancos n + bnsin n) Fourierserier kan användas för att analysera toner från musikinstrument och bestämma vilka deltoner tonerna består av. Det innebär att bestämma Fourierkoefficienterna a n och b n. Den term som svarar mot n = kallas grundtonen, n = första deltonen och så vidare. Uppgift: Använd grafritande hjälpmedel för att rita graferna till Fourierserierna sin sin5 sin 7 sin9 f ( ) = sin + + + + + 5 7 9 sin sin sin 4 sin5 sin 6 och f ( ) = sin + + + 4 5 6 56
Facit 4.0 Antag att sträckan OA är km samt att ballongen befinner sig på höjden h km. h h = tan4 och = tan8 + vilket medför h h = och = + tan4 tan8 h h Alltså är = + eller tan8 tan4,88h = +,h. Ballongens höjd över marken är, km. 4. Antag att det är m till fyren. 70 = tan,5 vilket medför att = 44 Skeppet befinner sig, km från fyren... d c g y e y b d b f a g 4. Eftersom vi har en sjuhörning är 60 60 α = och β = = 5,7 7 4 Alltså är höjden h i triangeln ABC =,5 = tan5,7 Detta innebär att sjuhörningens area = 7,5 = 7 cm = 78 cm tan5,7. c) och d) och e) a e f c.4 a) sinv och sinv b) cosv och cosv.5 a) v = 90 eller v = 70 b) v = 0 eller v = 80 c) v = 0 d) v = 90 e) v = 80 f) v = 70 57
.6 a) v = 6,7 eller v = 5, b) v = 8,0 eller v =,0 c) v = 68, eller v = 9,7 d) v = 95, eller v = 64,8 e) inga vinklar uppfyller villkoret.7 a) Triangeln OAB är en halv liksidig triangel. Lösningarna blir v = 0 eller v = 50. y c) Längden av sidan BO i triangeln OAB betecknas med. Hypotenusan är längdenhet. EF Pythagoras sats ger ( ) + = som ger =. Alltså är cosv = och v = 60. Vinklarna som uppfyller villkoret är alltså v = 60 och v = 0. y A O 50 0 A 0,5 B EF 0 60 B O b) Triangeln OAB är en halv liksidig triangel. Vinkeln A = 0. Lösningarna blir v = 0 eller v = 40 y A.8 Trigonometriska ettan ger (0,6) + (cosv) = (cosv) = (0,6) cosv =± 0,8 Den negativa roten förkastas eftersom vinkeln är spetsig. Resultat: cosv = 0,8. 0,5 B 40 0 O.9 Trigonometriska ettan ger (0,8) + (cosv) = (cosv) = (0,8) cosv =±0,6 Den positiva roten förkastas eftersom vinkeln ligger i andra kvadranten. Resultat: cosv = 0,6 58
. a) 0,76 e) 0,76 b) 5,67 f) 5,67 c) 5,67 g) 5,67 d) 0,76 h) 0,76.5 ( a,a) y (a,a). tan(α + 80 ) = sin(α+80 ) = cos(α+80 ) = sinα = tanα. cosα 5 5 5. tan(90 α) = sin(90 α) = cosα = cos(90 α) sinα =. (Funktionen kallas tanα tanα cotangens för α som förkortas cotα.).4 Triangeln OAB är en halv kvadrat. Då fås tan45 = =. y O ) 45 B A ( a, a) a Följande gäller: tan5 = =, a a tan5 = = a a och tan5 = =. a.6 a) tanv =,6 v = 67,0 b) tanv = 0,4 tanv = 0,4 tanv = 0,7 v = 70 c),5 + 0,4 tanv =,6 tanv =,5 v = 4 d) sinv = v = 4 eller v = 8 e) cosv = 0,6 v = 7 f) cosv = 0,5 v = 0 (a, a) 59
. a) y 60 60 0 80 40 00 d) y 60 60 0 80 40 00 b) y 60 60 0 80 40 00 e) y 90 60 0 0 60 90 0 50 c) 0,8 0,6 0,4 0, y 60 60 0 80 40 00 0, 0,4 0,6 0,8 f) y 0 40 60 480 600 60
. a) 90 60 0 0 60 90 0 50 80 0,5,5,5 Amplitud =,5 Period = 80 b) Amplitud = Period = 440 c) y,5,5 0,5 y 40 480 70 960 00 440 y 0,8 0,6 0,4 0, 90 60 0 0 60 90 0 50 80 0, 0,4 0,6 0,8 Amplitud = 0,5 Period = 60 6. a) Amplitud =, period = 60 = 80 b) Amplitud =, period = 60 c) Amplitud =,5, period = 60 = = 080.4 Amplitud = A, period = 60 k.5 a) Värdemängd: y, Period: 60 = 480. 4 b) Värdemängd:,5 y,5, 60 Period: = 0. c) Värdemängd:, 0 y, 0,.6 60 Period: = 700. 0,05 60 Det gäller att p = där p = perioden. k 60 Då är k =. p y ma y min Amplituden A =. ( ) 60 a) A = = och k = =. 80 Alltså är y = sin. b) A = 0,75 och k = 60 =. 540 Alltså är y = 0,75sin. c) A = 9 ( 9) = 9 och k = 60 =. 080 Alltså är y = 9sin.
.7 a).8 a) 6 5 4 60 60 0 80 40 00 60 4 5 6,5,5 0,5 60 60 0 80 40 00 60 0,5,5,5 b) 0,5 0,4 0, 0, 0, b) 0,5 0,4 0, 0, 0, 60 60 0 80 40 00 60 0, 0, 0, 0,4 0,5 0 0 40 60 480 600 70 0, 0, 0, 0,4 0,5 c),5 0,5 c) 0,8 0,6 0,4 0, 60 60 0 80 40 00 60 0,5,5 0, 0,4 0,6 0,8 80 60 540 70 900 080 6
.9 a) p = 60 = 70, A = = 0,6. 5 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 40 60 480 600 70 0, 0,4 0,6 0,8 b) A =,5, p = 60 = 080 0,8 0,6 0,4 0, 80 60 540 70 900 080 c) A = 0,7, p = 60 = 900 0,4.0 Amplitud = A, period = 60 k. a) Värdemängd: 5 y 5, period: 60 = 88. 5 4 b) Värdemängd:,5 y,5, period: 60 = 90. 4 c) Värdemängd:,6 0 9 y,6 0 9, period: 60 = 0000. 0,00. a) k = 60 = 0,5; A =, 70 Funktionsuttrycket blir y = cos0,5. b) k = 60 = ; A = 0,5, 0 Funktionsuttrycket blir y = 0,5 cos. 60 c) k = = 4; A =,5, 90 Funktionsuttrycket blir y =,5 cos4.. a) Kurvan y = sin förskjuts 0,5 enheter uppåt.,5 0,5 0, 0,4 0,6 0,8 80 60 540 70 900 080 60 60 0 80 40 00 60 0,5,5 6
b) Kurvan y = cos förskjuts enheter nedåt. 0,5 60 60 0 80 40 00 60 0,5,5,5,5 4 c) Kurvan y = cos förskjuts enheter uppåt och 0 åt höger. 5 4,5 4,5,5,5 0,5 0,5 60 0 80 40 00 60 d) Uttrycket skrivs y =,5sin( 60 ). Kurvan y =,5sin förskjuts enheter nedåt och 60 åt höger. 60 60 0 80 40 00 60 40 4 5 6 y e) Sätt + 60 = 0 vilket ger 40. Perioden blir 60 = 40. Kurvan y = cos flyttas 40 till vänster och enheter uppåt. f) Sätt 5 + 50 = 0 vilket ger = 0. Perioden blir 60 = 6 5 Kurvan y = 4 sin 5 flyttas 0 åt vänster och i enhet nedåt. 4 5 5 4 80 80 60 40 0 400 60 0 80 40 00 7 64
.4 a) Period: 60, värdemängd 5 y 60 b) Period: = 00, 0, y min = 8 = 0, y ma = 8 + = 6. Värdemängden blir alltså 0 y 6. c) Period: 60, y min = 0 = 8, y ma = 0 + =. Värdemängden blir alltså 8 y..5 a) Perioden är 60, alltså är k =. Amplituden är, alltså är A =. Sinuskurvan är förskjuten 50 åt vänster. Uttrycket blir y = sin( +50 ). (Uttrycket kan också skrivas y = sin( 0 ) eller y = cos( + 60 )) b) y = sin( 0 ) c) Perioden är 80, alltså är k =. Amplituden är. Maimalt värde fås för = 0. Funktionen kan skrivas y = cos. Uttrycket skrivet som sinusfunktion blir y = sin( + 45 ). d) Perioden är 60 och amplituden,5. Kurvan är förskjuten 45 åt höger. Uttrycket blir alltså y =,5sin( 45 ) e) Perioden är 70, alltså är k = 0,5. Amplituden är. Kurvan är förskjuten 60 åt höger. Uttrycket blir alltså y = sin0,5( 60 ). f) Perioden är 600, alltså är k = 0,. Amplituden är,5. Uttrycket blir alltså y =,5sin0,..6 Acos Acos cos. A Men cos 65 Alltså gäller att = som ger A =. A.7 Asin 5 Asin 8 8 sin. A Men sin 8 Alltså gäller att = som ger A = 8. A.8 sin0,5 b 5 sin0,5 5 + b 5 + b sin0,5 Men sin0,5 5 + b Alltså gäller att = som ger b =..9 a) Kurvan är en sinuskurva med perioden 60 och amplituden. Den är förskjuten enheter nedåt längs y-aeln men inte förskjuten i -led. Alltså är k =, v = 0, b = och A =. Uttrycket blir alltså y = sin b) Kurvan är en sinuskurva med perioden 80 och amplituden. Den är förskjuten enhet uppåt längs y-aeln men inte förskjuten i -led. Alltså är k =, v = 0, b = och A =. Uttrycket blir alltså y = sin + c) Kurvan är en sinuskurva med perioden 60 och amplituden 0,5. Den är förskjuten enhet uppåt längs y-aeln men inte förskjuten i -led. Alltså är k =, v = 0, b = och A = 0,5. Uttrycket blir alltså y = 0,5sin +
.0 a) Perioden blir 80 = 60. 5 4 90 60 0 0 60 90 0 4 5 80 b) Perioden blir = 60. 0,5 y 4 80 90 90 80 70 60 4 80 c) Perioden blir = 80. 4 y 80 0 60 60 0 80 40 00 4 5 d) Perioden blir 80. Grundkurvan y = tan är förskjuten enheter uppåt i y-led. y 7 6 5 4 80 0 60 60 0 80 40 00 e) Perioden blir 80. 0 8 6 4 4 6 8 0 60 0 80 40 00 60 4. Areorna fås med areasatsen: a) A = 4,,7 sin cm =, cm,5 9,7 sin b) A = cm = 5,7cm c) A = = 0,46 0,7 sin(80 (56 +4 )) km = = 0,084 km 4. Den minsta sidan står mot den minsta vinkeln. De två sidorna som bildar den minsta vinkeln är alltså,8 cm och,0 cm. Det ger A =,8,0 sin6, cm = 0,79 cm 4. Antag att vinkeln är v. Areasatsen ger ekvationen 50 40 sinv = 866 sinv = 0,866 v = 60 [v = 0 förkastas, eftersom vinkeln ska vara spetsig.] Resultat: Vinkeln är 60 66
4.4 Antag att den sökta sidan är cm. Sätt de båda trianglarnas areor lika: 4,,9 sin4,7 = 5,6 sin6,5 = 4,,9 sin4,7 = 5,6 sin6,5 =,97... Resultat: Den sökta sidan är,4 cm. 4.5 Antag att vinkeln ska ökas till. 8,, sin8 = 8,, sin = = sin8 = sin 0,989 = sin = 69,87 = 0, Resultat: Arean fördubblas om vinkeln ökas till 70 eller 0. 4.6 a) Sinussatsen tillämpas två gånger sin6 = sin59 b b = 8,96 och sin6 = sin85 c c =,0 Resultat: De återstående sidorna är 9 m och m. b) Den återstående vinkeln är 80 (9 + 06 ) = 45. Sinussatsen ger sin45 = sin9 5 b b = 7,4 och sin45 = sin06 5 c c =,99 Resultat: De återstående sidorna är 7 m och 4 m. 4.7 a) Den återstående vinkeln är 5. Sidan b beräknas med sinussatsen: sin5 = sin9 8 b b = 8 sin9 sin5 8 sin6 8 sin9 Arean blir sin5 cm = = 7 cm Resultat:, 0 cm b) Den återstående vinkeln är 59. Sidan b beräknas med sinussatsen: sin59 = sin5 b b = sin5 sin59 sin5 sin68 Arean blir sin59 cm = = 5,6 cm Resultat: 5 m 67
4.8 Arean blir 6 67 sin49 m = = 4 m Resultat:, 0 m 4.9 sin6 = sina 5 5 sin6 5 sina = 5 sina = 0,664 A = 9,56 Resultat: Vinkeln A = 40 4.0 Vinkeln ACB = 7,. Avstånden AC = a och BC = b. Sinussatsen ger: sin7, =, sin4,5 080 a 080 sin4,5 a = sin7, sin7, =, sin09, 080 b 080 sin09, b = = 0 sin7, Resultat: Det är,6 km från A och, km från B till oljetankern. 4. a) Cosinussatsen ger d = + 4 4 cos55, d = ( ) + EFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF + 4 4 cos55 = =,5. Resultat:,4 cm. b) Cosinussatsen ger d = 4,9 +, 4,9, cos8, d = = + EFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF ( ) 4,9 +, 4,9, cos8 = = 6,0. Resultat: 6 cm. c) Cosinussatsen ger d = 9 + 6 9 6 cos6, d = + EFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF ( ) 9 +6 9 6 cos6 = = 8,5. Resultat: 8,5 cm. 4. a) Den största vinkeln står mot den största sidan. Cosinussatsen ger = 8 + 0 8 0 cosv, cosv =, 8 0 v = 8,8. 8 0 Resultat: 8. b) Cosinussatsen ger,6 = 8, + 4,9 8, 4,9 cosv, cosv =,,6 8, 4,9 8, 4,9 v = 50,58. Resultat: 5. c) Cosinussatsen ger = 5 + 5 cosv, cosv =, 5 v = 90. 5 Resultat: 90. 4. Vi beräknar vinkeln v mellan 7,5 cm-sidan och 9,0 cm-sidan. Cosinussatsen ger cosv =, 0,5 7,5 9,0 v = 78,46. 7,5 9,0 Areasatsen ger sedan A = 7,5 9,0 sin78,46 =,07. Resultat: Arean är cm. [Anm: Man kan också använda Herons formel (se F.8 sid 0 i Matematisk Tanke AB) för att beräkna arean av en triangel, vars tre sidor är kända.] 68
P 4.4 Rita en kraftparallellogram enligt figuren. Sidan PB motsvarar kraften 5,7 N och sidan BR motsvarar 4,5 N. Resultanten r fås ur cosinussatsen enligt r = 5,7 + 4,5 5,7 4,5 cos7 r = 89,6 Resultat: resultanten är 89,6 N. 4 4,5 N A r 5,7 N 7 4.5 De båda fartygens kurser bildar en vinkel av 0,4. 0 Den första båten har nått,5 km 0 och den andra,8 km. Avståndet d fås med cosinussatsen: 0 0 d = (,5 ) + (,8 ) 0 0 (,5 ) (,8 ) cos0,4 d = 09,0. Resultat: Avståndet mellan fartygen är 09 km. 4.6. Avståndet d fås med cosinussatsen: d = 97 + 97 97 97 cos04,5, d = 5,4. Resultat: Avståndet mellan väteatomerna är 5,4 pm 0,5 nm. B 69 R 4.7 Sträckorna AB, BC och AC beräknas med Pythagoras sats: AB = EFFFFFFFFF 9,0 + 4,5 A BC = EFFFFFFFFF 7,5 + 4,5 AC = EFFFFFFFFF 9,0 + 7,5 Vinkeln ABC fås med cosinussatsen: cosv = =, 9,0 +7,5 (7,5 +4,5 ) (9,0 +4,5 ) EFFFFFFFFF 7,5 + 4,5 EFFFFFFFFF 9,0 + 4,5 v = 76,7 Resultat: Vinkeln ABC = 77. (cm) 9,0 4.8 Antag att det tar t h tills båtarna träffas. Sträckan som den första båten går tills de möts är 0t km. Den andra båtens sträcka till mötesplatsen är 70(t ) km. Cosinussatsen ger ekvationen (70(t )) = (0t) + 60 0t 60 cos60 som förenklas till (obs att cos60 = ): 6 85 t t + = 0 45 45 t = ± E FFFFFFFFFFF 76 85 45 45 {t 7 = 45 t = 5 t < (förkastas). B 7,5 C 4,5