1 Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori arje uppgift ger 10 poäng. Delbetyget på tentan ges av (total poäng)/10. 1 ektorfältet A är givet av A = m r r 3 där m = mẑ är en konstant vektor, r = (x, y, z) och r = r. Bestäm linjeintegralen A dl där C är en cirkel i xy planet med radien a och medelpunkt i origo. 2 C En sten med volym, yta och utåtriktad ytnormal ˆn befinner sig under vattenytan i en bassäng. attnets densitet betecknas ρ v och lufttrycket P 0. a) Bestäm totala trycket under vattnet som funktion av djupet z. b) Teckna totala tryckkraften på kroppen som en ytintegral över stenens yta. c) Bestäm totala tryckkraften på kroppen genom att lösa ytintegralen i b).
2 3 b a εr α εr Två sfäriska metallskal har gemensamt centrum. Den inre sfären har radien a och den yttre radien b. Bestäm kapacitansen mellan sfärerna i följande tre fall: a) Då det är vakuum mellan sfärerna. b) Då hälften av utrymmet mellan sfärerna är fyllt med ett icke-ledande material med relativ permittivitet ε r medan det i den andra halvan råder vakuum. c) Då en konisk del med öppningsvinkeln α är fylld med ett icke-ledande material med relativ permittivitet ε r medan det i den andra delen råder vakuum. 4 z y 0 + - x R L En lång ledare består av två tunna plana parallella ledare, enligt figur. Avståndet mellan ledarna är d och vardera ledaren har bredd b och längd L. I den ena ändan är en spänningskälla som ger likspänningen 0 inkopplad och i andra ändan är en resistans R inkopplad. Ledarnas resistans är försumbar jämfört med R. Det gäller att d b L och vi kan därför anta att magnetfältet och det elektriska fältet är konstant mellan plattorna och approximativt lika med noll överallt annars. i kan också anta att strömmen är jämnt fördelad över ledarnas tvärsnittsytor. Det råder vakuum utanför ledarna. a) Bestäm det elektriska fältet E mellan plattorna. b) Bestäm magnetfältet H mellan plattorna. c) Är den magnetiska kraften mellan plattorna attraktiv eller repulsiv (ge motivering utan räkningar)? d) Bestäm kvoten F e / F m mellan den elektriska kraften F e och den magnetiska kraften F m på den övre plattan.
3 5 z y x En cirkulär metallslinga med radien a är placerad i xy-planet med centrum i origo. En likadan metallslinga är också placerad i xy-planet men med sitt centrum i punkten (b, 0, 0) där b a. i antar att slingornas självinduktanser är försumbara och att vardera slingan har resistansen R. a) ad är det magnetiska flödet genom den högra slingan om man driver en konstant ström I 0 genom den vänstra slingan. b) Från t = 0 till t = T ökas strömmen i den vänstra slingan linjärt från I 0 till I 1 så att i(t) = I 0 + (I 1 I 0 )t/t Bestäm den inducerade strömmen i den högra slingan under tiden 0 < t < T. c) Går den inducerade strömmen i den högra slingan åt samma håll eller motsatt håll relativt strömmen i den vänstra slingan under tiden 0 < t < T? Motivera utan räkningar. 6 Det elektriska fältet för en cirkulärpolariserad våg som utbreder sig i vakuum är Bestäm strålningsvektorn (z, t). E(z, t) = E 0 (ˆx cos(ωt kz) + ŷ sin(ωt kz))
1 Institutionen för elektrovetenskap Lösningar för tentamen i Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 1 I sfäriska koordinater gäller ẑ r = r sin θ ˆφ. Därmed fås A = m sin θ r 2 För linjeintegralen gäller θ = π/2, r = a och dl = aˆφdφ. Detta ger A dl = 2πm a 2 a) P (z) = P 0 + ρ v gz b) F = P (z)ˆnd c) i kan skriva kraften som F = ˆx P (z)ˆx ˆnd ŷ C ˆφ P (z)ŷ ˆnd ẑ P (z)ẑ ˆnd Genom att använda divergenssatsen på varje term fås F = ˆx ˆxP (z)d ŷ ŷp (z)d ẑ ẑp (z)d P (z) = ˆx x d ŷ P (z) y d ẑ P (z) z d P (z) = ẑ z d = ẑρ vg d = ẑρ v g (detta är inget annat än Arkimedes princip)
2 3 i låter den yttre sfären vara jordad och den inre sfären ha potentialen 0. Kapacitansen ges av C = Q 0 där Q är den fria laddningen på den inre sfären. I samtliga fall gäller att potentialen satisfierar Laplace ekvation i området mellan sfärerna. Potentialen beror endast av den radiella koordinaten r i området a < r < b och därmed gäller Integration ger 1 (r) r 2 r2 r r (r) = A r + B = 0 Integrationskonstanterna A och B bestäms av att (a) = 0 och (b) = 0 vilket ger ( ) a b (r) = 0 r 1 Motsvarande elektriska fält ges av ab 1 E(r) = (r) = ˆr 0 r 2 Ytladdningstätheten på den inre sfären ges av ρ = ˆr D(r = a) b a) När vakuum råder gäller att D = ε 0 E och ρ = ε 0 0. Totala ytladdningen a(b a) blir Q = 4πa 2 ab ρ = 4πε 0 0 och ab C = 4πε 0 b) När halva området är fyllt av ett dielektrikum gäller för r = a att { ε 0 E(a) i vakuum D = ε 0 ε r E(a) i dielektrikumet Därmed fås och Q = 2πa 2 ab (ε 0 E(a) + ε 0 ε r E(a)) = 2πε 0 (1 + ε r ) 0 C = 2πε 0 (1 + ε r ) ab
3 c) detta fall är analogt med det i b) förutom att den yta av den inre sfären som täcks av dielektrikumet ges av d = 2π α/2 0 0 a 2 sin θdθdφ = 2πa 2 (1 cos(α/2)) Ytan där det är vakuum ges av v = 4πa 2 d = 2πa 2 (1 + cos(α/2)). Därmed ges laddningen av och kapacitansen av 4 ab Q = 2π 0 ε 0 ((1 cos(α/2))ε r + 1 + cos(α/2)) C = 2π ab ε 0 ((1 cos(α/2))ε r + 1 + cos(α/2)) i använder det koordinatsystem som angetts i figuren. a) Det elektriska fältet är riktat nedåt och ges av E = 0 d ẑ b) i använder Amperes lag. Magnetfältet är enligt skruvregeln riktat i positiv y led mellan plattorna. Eftersom magnetfältet är konstant mellan ledarna och noll utanför fås H dl = I C H = I b ŷ c) Kraften är repulsiv. d) i får den elektriska kraften från F e = QE 1 där Q är laddningen på den övre ledaren och E 1 är det elektriska fältet från den undre ledaren. Av symmetriskäl är Laddningen ges av E 1 = 1 2 E = 0 2dẑ Q = ρ bl = ẑ DbL = ε 0 0 d bl Den elektriska kraften ges därmed av 0 2 bl F e = ε 0 2d ẑ 2
4 Den magnetiska kraften ges av BIL formeln F m = B 1 ILˆx ŷ = B 1 0 R Lẑ där B 1 är magnetiska flödestätheten från den undre ledaren. Av symmetriskäl gäller B 1 = 1 2 B = µ 0 2 H = µ 0I 2b ŷ Den magnetiska kraften ges alltså av Kvoten ges av 5 2 0 F m = 1 2 µ 0 br Lẑ 2 F e F m = ε 0 b 2 R 2 µ 0 d 2 i använder dipolapproximationen. Dipolformeln ger B(r, θ) = µ 0m 4πr 3 (2ˆr cos θ + ˆθ sin θ) a) I detta fall är det magnetiska momentet m = I 0 πa 2, θ = π/2 och r = b. Därmed fås Φ = B(b, π/2)πa 2 = µ 0π 2 a 4 I 0 4πb 3 b) I detta fall är m(t) = i(t)πa 2, θ = π/2 och r = b. Därmed fås Φ(t) = µ 0π 2 a 4 i(t) 4πb 3 Den inducerade strömmen ges av i ind (t) = 1 dφ(t) = µ 0πa 4 di(t) = µ 0πa 4 (I 1 I 0 ) R dt 4Rb 3 dt 4Rb 3 T c) Enligt Lentz lag måste strömmarna vara riktade åt samma håll. 6 trålningsvektorn ges av Högertrebensregeln ger (z, t) = E(z, t) H(z, t) Detta ger H(z, t) = 1 η 0 ẑ E(z, t) = E 0 η 0 (ŷ cos(ωt kz) ˆx sin(ωt kz)) (z, t) = E2 0 η 0 ( cos 2 (ωt kz) + sin 2 (ωt kz) ) ẑ = E2 0 η 0 ẑ