Mtte KONVENT Plugg tillsmmns inför de ntionell proven i mtemtik M te m Länktips: tikainnehåll: Mttecentrum.se Pluggtips Formelsmlingen.se Formelsmling Mtteboken.se Ntionell prov från tidigre år Pluggkuten.se I smrbete med rbetsgivrorgnistionen
Så lycks du med det ntionell provet För tt få ut så mycket som möjligt v kvällens mttekonvent vill vi uppmuntr dig tt ställ mång frågor till volontärern. De finns på plts idg för din skull och de vill hjälp till! Självklrt kn du ställ vilk mttefrågor du vill; de behöver inte hndl om en specifik uppgift på övningsprovet. Här följer någr pluggtips från oss på Mttecentrum: Rit upp problemet: Inget förklrr ett problem så br som en figur och det mest går tt rit. Sk du räkn ut måtten på en hge? Rit hgen! Sk du lös en trigonometrisk ekvtion? Rit enhetscirkeln! T problemet steg för steg: De flest v oss kn inte håll mssor v steg i huvudet smtidigt så h för vn tt lltid skriv ner ll delr i din uträkning så blir det färre slrvfel och både du, lärren och volontärern kn lättre följ med i hur du hr tänkt. Jobb med grundteknikern: Inom mtemtiken bygger de mer vncerde metodern oft på grundtekniker som mn hr lärt sig i tidigre mttekurser eller kpitel så se till tt öv lite etr på eempelvis prioriteringsreglern, ekvtionslösning och ndr grundtekniker om de mer vncerde metodern känns knepig. Prt mtte: Hjälp dig själv och ndr genom tt diskuter problemen tillsmmns. Genom tt prt mtte övr du på llt möjligt: din egen förståelse, hur problem kn ttckers på fler olik sätt, ditt mtemtisk språk och ditt mttesjälvförtroende. Kn du förklr en metod för en kompis så vet du tt du själv behärskr den. Prtr du mtte övr och förbereder du dig även inför det muntlig ntionell provet! Kvlitet istället för kvntitet: Tänk kvlitet istället för kvntitet. Ägn hellre en hel lektion åt tt verkligen försök förstå Pytghors sts än tt räkn ut hypotenusn i 0 olik tringlr utn tt förstå vd du fktiskt gör.
Tips för tt lös en specifik uppgift 1 Läs uppgiften noggrnt! Förstår du uppgiften? Vd frågs det efter egentligen? Det kn vr något som sk räkns ut eller något som sk ställs upp för tt sedn räkns ut. Om inte, vd är det du inte förstår? Är det viss ord i uppgiften eller är det ett räknesätt som uppgiften ber dig tt nvänd? Koll upp de delr som du inte förstår genom tt slå upp orden, bäddr bkåt i boken för tt fräsch upp minnet eller fråg en volontär! Innn du börjr lös uppgiften, ställ dig frågn: Förstår jg vilken metod som sk nvänds för tt lös uppgiften? Om inte, koll upp liknnde uppgifter och titt på hur lösningsmetodern är där. När du vet vilken metod som sk nvänds till den uppgift du sitter med kn du ställ dig själv följnde frågor: Förstår jg metoden som nvänds? Förstår jg vrför just denn metod nvänds till denn typ v problem? Om inte, gå tillbk till vsnittet med den metoden i boken och fräch upp minnet eller fråg en volontär. Räknt klrt och svret är glet? Då sk du felsök svret! Gå noggrnt igenom uträkningrn för tt se om du gjorde någr räknefel och ställ dig än en gång frågorn i de först två punktern för tt försäkr dig om tt du verkligen hr förstått frågn och nvänt rätt räkneopertioner. Känns uträkningen och metoden fortfrnde rätt, räkn om uppgiften på en helt ny sid utn tt tjuvkik på den gml uträkningen! Fortfrnde fel svr och svret är detsmm som du fick först gången du räknde? Då hr du troligtvis inte gjort ett slrvfel, utn nvänder fel metod. Gå tillbk och koll hur liknnde uppgifter hr lösts. Känner du tt du ändå inte kommer vidre på egen hnd, fråg en volontär! Läs mer ingående tips på mtteboken.se!
1(4) Formler till ntionellt prov i mtemtik, kurs Algebr Regler ( b) b b ( b) b b ( b )( b ) b Andrgrdsekvtioner p q 0 b c 0 p p b b 4c q Aritmetik Prefi T G M k h d c m n p ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko 10 1 10 9 10 6 10 10 10-1 10-10 - 10-6 10-9 10-1 Potenser y y y y y y ( ) 1 b ( b) b b 1 n n 0 1 Logritmer y 10 lg y lg lg y lg y lg lg y lg y lg p p lg 15-09-07 Skolverket
(4) Funktioner Rät linjen Andrgrdsfunktioner y k m k y y1 1 y b c 0 by c 0, där inte både och b är noll Potensfunktioner Eponentilfunktioner y C y C 0 och 1 Geometri Tringel bh A Prllellogrm A bh Prllelltrpets h( b) A Cirkel πd A πr 4 O πr πd Cirkelsektor v b 60 πr v A π br r 60 Prism V Bh Cylinder V πr h Mntelre A πrh Pyrmid V Bh 15-09-07 Skolverket
(4) Kon πr h V Mntelre A πrs Klot 4πr V A 4πr Likformighet Tringlrn ABC och DEF är likformig. d b e c f Skl Areskln = (Längdskln) Volymskl n = (Längdskln) Topptringel- och trnsverslstsen Om DE är prllell med AB gäller DE CD CE och AB AC BC CD CE AD BE Bisektriss tsen AD BD AC BC Vinklr u v 180 Sidovinklr w v Vertiklvinklr L 1 skär två prllell linjer L och L v w Likbelägn vinklr u w Alterntvinklr 15-09-07 Skolverket
4(4) Kordstsen b cd Rndvinkelstsen u v Pythgors sts b c Trigonometrii sin v c b cosv c tn v b Avståndsformeln Mittpunktsformeln d 1 ( ( ) y y1) m 1 ocho y m y 1 y Sttistik och snnolikhet Stndrdvvikelsee för ett stickprov s ( 1 ) (... ( n 1 ) n ) Lådgrm Normlfördelning 15-09-07 Skolverket
NpM vt 015 Delprov B: Digitl verktyg är inte tillåtn. Endst svr krävs. Skriv din svr direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som sk stå i prentesen för tt likheten sk gäll. ( ) ( 5) = 5 (1/0/0). Koordintsystemet visr en rät linje L och en punkt P som ligger på linjen. ) Ange ekvtionen för den rät linjen L. (1/0/0) b) Ange ekvtionen för en nnn rät linje så tt den tillsmmns med linjen L bildr ett ekvtionssystem som hr sin lösning i punkten P. (1/0/0). På tllinjen finns se punkter A F mrkerde. Vrje tl nedn motsvrs v en mrkerd punkt på tllinjen. Pr ihop vrt och ett v tlen med en punkt på tllinjen genom tt skriv rätt bokstv A F vid rätt tl. (/0/0)
NpM vt 015 4. Två v lterntiven A E visr en ekvtion. Vilk två? A. B. + b + 6 5= C. 9 D. 0 + 50 E. + 5 10 = 16 (1/0/0) 5. Lös ekvtionern. Svr ekt. ) 1 = (1/0/0) b) 9 + 9 + 9 = 7 (0/0/1) 6. Under år 1998 skickdes 44 miljoner sms i Sverige. Under år 01 skickdes 16 514 miljoner sms. Ant tt den årlig procentuell ökningen v ntl sms per år hr vrit lik stor under hel tidsperioden. Beteckn den årlig förändringsfktorn med. Teckn en ekvtion med vrs hjälp kn beräkns. (0/1/0)
NpM vt 015 7. Koordintsystemet visr grfern till en rät linje f och en ndrgrdsfunktion g. Besvr frågorn med hjälp v grfern. ) För vilk värden på gäller tt g< ( )? (0//0) b) För vilk värden på gäller tt f( ) g( ) = 0? (0/0/1) 8. Förenkl följnde uttryck så långt som möjligt. ) 1 1 (9 ) (4 ) (0/1/0) b) 5 1 1 6 ( + 1)( 1) 1 1 6 (0/0/1) 4
NpM vt 015 Delprov C: Digitl verktyg är inte tillåtn. Skriv din lösningr på seprt ppper. 9. Lös ndrgrdsekvtionen 6+ 5= 0 med lgebrisk metod. (/0/0) 10. Lös ekvtionssystemen med lgebrisk metod. ) b) y = 5 y = 4 ( + 4)( y ) = ( 5)( y+ 4) 6y 6= y (/0/0) (0//0) 11. Figuren visr två rektnglr som hr sidlängdern cm respektive ( 8 ) cm. Bestäm den störst totl re som de två rektnglrn kn h tillsmmns. (1//0) b 1. Förenkl uttrycket så långt som möjligt om = + 1 4 och b = 1, 5 (0//0) 5
NpM vt 015 1. För ndrgrdsfunktionen f gäller tt f ( ) = 0,5 + b ) Vis tt grfen till f går genom punkten (0, ) ovsett värde på b. (1/0/0) b) Bestäm för vilk värden på b som f endst hr ett nollställe. (0//0) För en nnn ndrgrdsfunktion g gäller tt g( ) = 0,5 + b c c) Bestäm vilket smbnd som sk gäll melln b och c för tt g endst sk h ett nollställe. (0/0/1) 14. En cirkel med rdien tngerr de positiv koordintlrn. Den tngerr även en mindre cirkel som hr mittpunkten i origo. Se figur. Vis tt den mindre cirkelns rdie är ( 1 ) längdenheter. (0/0/) 6
NpM vt 015 Delprov D: Digitl verktyg är tillåtn. Skriv din lösningr på seprt ppper. 15. En linje går genom punktern (0, 0) och (; 6,45). En nnn linje hr ekvtionen y =,15 +. Vis tt linjern är prllell. (/0/0) 16. För funktionen f gäller tt f ( ) = 4 + C där C är en konstnt. Punkten (5, 7) ligger på funktionens grf. Bestäm koordintern för en nnn punkt som också ligger på grfen. (/0/0) 17. Yml sk köp 100 fiskr till sitt ny kvrium. Hn vill köp blåtetror, slöjstjärtr och ciklider, se bilder. Blåtetrorn kostr 10 kr/st, slöjstjärtrn 50 kr/st och ciklidern 00 kr/st. Yml funderr över om det är möjligt tt köp totlt 100 fiskr för ekt 000 kr om 4 v de 100 fiskrn hn köper är ciklider. Yml ställer upp följnde ekvtionssystem: 4 + + y = 100 800 + 50+ 10y = 000 ) Förklr vd y står för i ekvtionssystemet. Endst svr krävs (1/0/0) b) Bestäm hur mång blåtetror och slöjstjärtr Yml kn köp om hn köper 4 ciklider och totlt sk köp 100 fiskr för 000 kr. (/0/0) 18. Juli hr fått i uppgift tt sätt ut en logisk symbol melln ekvtionern = och = 4 så tt hon får ett snt påstående. Hon väljer felktigt tt sätt ut en ekvivlenspil melln ekvtionern. Vilken logisk symbol borde Juli nvänd istället? Motiver ditt svr. (0//0)
NpM vt 015 19. Beufortskln är en skl för vindhstighet skpd i börjn v 1800-tlet v Sir Frncis Beufort. Vrje steg på skln nges med ett heltl, det så kllde Beuforttlet. I tbellen viss vindhstighet, vindens benämning smt vindens verkningr till sjöss för någr Beuforttl. Beuforttl Vindhstighet (m/s) Vindens benämning till sjöss Vindens verkningr till sjöss 0 0 0, stiltje spegelblnk sjö 1 0, 1,5 nästn stiltje små fiskfjällsliknnde krusningr bilds, men utn skum 1,6, lätt bris kort men utpräglde småvågor som inte bryts,4 5,4 god bris vågkmmrn börjr bryts, glsrtt skum 1,7 orkn stor föremål flyger i luften, fönster blåser in, båtr ksts upp på lnd Smbndet melln vindhstighet v m/s och Beuforttlet B ges v formeln v= 0,865 B Stormen Hilde drbbde stor delr v Sverige den 16 november 01. Högst vindhstigheten uppmättes då till 9 m/s. ) Vid beräkning v B vrunds värdet till heltl. Beräkn Beuforttlet B för vindhstigheten 9 m/s. (/0/0) För etrem vindstyrkor finns det ndr sklor. En sådn är TORRO-skln som nvänds för vindstyrkor upp mot 10 m/s. Smbndet melln vindhstighet v m/s och tlet T enligt TORRO-skln ges v formeln v= 0,865 8 ( T + 4) där T är vrundt till ett heltl. b) Ange en formel för B uttryckt i T. Förenkl så långt som möjligt. (0/1/1)
NpM vt 015 0. Det störst djur som någonsin funnits på jorden är blåvlen. Under de senste hundr åren hr ntlet blåvlr minskt krftigt på grund v jkt. År 1900 fnns det ungefär 9 000 blåvlr i världshven och hundr år senre vr ntlet ungefär 00. Figuren visr grfern till tre funktioner f, g och h där y = f( ), y = g( ) och y = h( ). De tre funktionern representerr tre olik modeller för hur blåvlrns ntl kn h minskt under 1900-tlet. y är ntlet blåvlr och är ntl år från år 1900. Ant tt den årlig procentuell förändringen v ntlet blåvlr vr konstnt under 1900-tlet och fortsätter tt vr konstnt under 000-tlet. ) Vilken v de tre modellern representerr då hur blåvlrns ntl minskr efter år 1900? Motiver ditt svr. (0/1/0) b) Bestäm hur mång blåvlr det finns kvr år 065 om den årlig procentuell förändringen v ntlet blåvlr fortsätter tt vr konstnt. (0//0) 1. För en funktion f där f ( ) = k + m gäller tt f ( + ) f ( ) = f ( 4 ) = m Bestäm funktionen f. (0/0/) 4
NpM vt 015. Ett företg tillverkr nslgstvlor v olik storlekr. Vrje nslgstvl består v en rektngulär pltt omgiven v en rm. Rmen består v fyr delr som sågs till v en 5 cm bred trälist. Delrns ändr är sågde med vinkeln 45 och trälistens utseende gör tt delrn br kn monters på ett sätt. Rmen monters så tt den går cm in över plttns frmsid. Se figur. Mterilkostnden för en nslgstvl beror på plttns re och trälistens längd. Priset för plttn nges i kr/m och för trälisten i kr/m. Mterilkostnden för en nslgstvl med bredden 6 cm och längden 46 cm är 59 kr. För en nslgstvl med bredden 46 cm och längden 56 cm är mterilkostnden 81 kr. Se figur. Teckn ett generellt uttryck för den totl mterilkostnden för nslgstvlor som hr bredden m och längden b m. (0/0/4) 5
NpM vt 015 Bedömningsnvisningr Eempel på ett godtgbrt svr nges inom prentes. Till en del uppgifter är bedömd elevlösningr bifogde för tt nge nivån på bedömningen. Om bedömd elevlösningr finns i mterilet mrkers dett med en symbol. Delprov B 1. M 1/0/0 Korrekt svr ( + 5 ) +1 E P. M /0/0 ) Korrekt svr ( y = + ) +1 E P b) Korrekt svr (t.e. y = 4) +1 E PL. M /0/0 Anger minst tre korrekt lterntiv med korrekt svr +1 E B +1 E B 4. M 1/0/0 Korrekt svr (Alterntiv B: + 6 5= och E: + 5 10 = 16 ) +1 E B 5. M 1/0/1 ) Korrekt svr ( b) Korrekt svr ( = ) +1 E P 1 = ) +1 A P 6. M 0/1/0 14 Korrekt svr (t.e. 16514 = 44 ) +1 C M 9
NpM vt 015 7. M 0//1 ) Godtgbrt ngivet intervll, t.e. då är melln och 4 +1 C B med korrekt nvänd olikhetstecken ( < < 4 ) +1 C K b) Korrekt svr ( = och = 4) +1 A B 8. M 0/1/1 ) Korrekt svr ( 1 ) +1 C P b) Korrekt svr ( 1 ) +1 A P Delprov C 9. M /0/0 Godtgbr nsts, sätter in värden korrekt i formeln för lösning v ndrgrdsekvtioner eller motsvrnde för kvdrtkomplettering +1 E P med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( 1 = 1, = 5 ) +1 E P Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 10. M //0 ) Godtgbr nsts, bestämmer en vribel med lgebrisk metod +1 E P med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( =, y = 1) +1 E P b) Godtgbr nsts, kommer frm till ett förenklt ekvtionssystem, t.e. 9y 6+ 1 = 0 7y 4= 0 +1 C P med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( = 8, y = 4 ) +1 C P 11. M 1//0 Godtgbr nsts, t.e. tecknr korrekt uttryck för rektnglrns totl re, ( 8 ) +1 E PL med godtgbr fortsättning, t.e. visr insikt om tt symmetrilinjen ger funktionens mimum med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( cm ) +1 C PL +1 C PL 10
NpM vt 015 1. M 0//0 Godtgbr nsts, sätter in uttrycken för och b och utvecklr (4 + 4 + 1 ) ( 1, 5 ) 4, +1 C P med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( + 1) +1 C P 1. M 1//1 ) Godtgbrt enkelt resonemng som visr tt f (0) = ovsett värde på b +1 E R Se vsnittet Bedömd elevlösningr. b) Godtgbr nsts, t.e. tecknr ekvtionen funktionens nollställe = b b 4 för beräkning v med fortstt välgrundt resonemng med korrekt svr ( b = ) +1 C P +1 C R Se vsnittet Bedömd elevlösningr. b c) Godtgbr lösning med korrekt svr ( c = eller b= c ) +1 A PL 14. M 0/0/ Godtgbr nsts, t.e. bestämmer vståndet melln origo och den stor cirkelns mittpunkt, +1 A R med fortstt välgrundt och nynsert resonemng som visr tt rdien är ( 1 ) l.e. +1 A R Lösningen kommunicers på A-nivå, se de llmänn krven på sidn 4 +1 A K Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 11
NpM vt 015 Delprov D 15. M /0/0 Godtgbr nsts, t.e. inser tt k-värdet för linjen genom origo sk bestämms med fortstt enkelt resonemng som visr tt linjern är prllell +1 E R +1 E R Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 16. M /0/0 Godtgbr nsts, t.e. bestämmer konstnten C, C = +1 E PL med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr (t.e. (0, )) +1 E PL Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 17. M /0/0 ) Korrekt svr ( ntl blåtetror ) +1 E M b) Godtgbr nsts, bestämmer ett korrekt värde på minst en v vriblern +1 E M med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr (1 slöjstjärtr och 65 blåtetror) +1 E M 18. M 0//0 Korrekt vld logisk symbol, +1 C B Välgrundt resonemng där det frmgår tt även = är en lösning till ekvtionen = 4 +1 C R Kommentr: Bedömningen till denn uppgift vviker från de beskrivn bedömningsmodellern på sidn. Resonemngspoängen kn dels ut ovsett om den först begreppspoängen hr delts ut eller inte. Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 1
NpM vt 015 19. M /1/1 ) Godtgbr nsts, t.e. ställer upp en korrekt ekvtion för bestämning v B, 9 = 0,865 B +1 E M med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr (11) +1 E M Se vsnittet Bedömd elevlösningr. b) Godtgbr nsts, ställer upp likheten 0,865 8 ( T + 4) = 0,865 B +1 C PL med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( B = T + 8 ) +1 A PL 0. M 0/4/0 ) Korrekt svr med godtgbr motivering (t.e. h för tt f är en rät linje och g ökr igen. ) +1 C M Se vsnittet Bedömd elevlösningr. b) Godtgbr nsts, t.e. tecknr en korrekt ekvtion för bestämning v förändringsfktorn, 00 = 9000 +1 C 100 M med i övrigt godtgbr lösning med godtgbrt svr (11) Lösningen kommunicers på C-nivå, se de llmänn krven på sidn 4 +1 C M +1 C K Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 1. M 0/0/ Godtgbr nsts, t.e. bestämmer funktionens riktningskoefficient, 1,5 +1 A B med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( f ( ) = 1, 5 + 6 ) +1 A PL. M 0/0/4 Godtgbr nsts, t.e. ställer upp ett korrekt ekvtionssystem +1 A M med godtgbr fortsättning där t.e. priset v plttn och trälisten beräkns, 150 kr/m för plttn och 5 kr/m för trälisten +1 A M med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr (150b + 41 + 41b + 0,54) +1 A M Lösningen kommunicers på A-nivå, se de llmänn krven på sidn 4 +1 A K Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 1