Optimering av synvinkeln i en biosalong The Mad Mathematician s Mathematical Consultancy Bureau Johanna Kilander
Optimering av synvinkeln i en biosalong Frågeställning Mitt uppdrag är att ta reda på vart i biosalongen man ska sitta för att få så stor synvinkel som möjligt. Värdet x är det värde som ska undersökas och är den längd på rampen som lutar 25. x-värdet ska vara mellan 0 och 15. I min diskussion tar jag även upp om det är möjligt att ändra biosalongens mått så att den största vinkeln uppkommer då x 7,5. Givna mått från uppgiften (rödmarkerade): Bilden visar en biosalong där bioduken är 6 meter lång och sitter 2 meter ovanför marken. Stolsraderna börjar 2 meter från väggen och rampen bildar en vinkel till golvet som är 25. Man har också räknat med att ögonen på personen sitter en meter ovanför stolsraden och de parametrar som går från personen till bioduken är personens synvinkel. Svar Genom mätningar och uträkningar har jag kommit fram till att för att få den optimala synvinkeln ska man sitta ca 1.7 m upp i salongen vilket innebär rad 2 om man antar att det är 1 m mellan varje rad. Genom att ha använt programmen Geogebra och Wolfram Alpha har jag lyckats ta fram resultat med två olika metoder.
Lösning För att lösa detta problem så har jag använt mig av två olika metoder; geogebra och algebraiskt. Metodbeskrivning. Metod 1 Genom geogebra. Genom att använda geogebra har jag kunnat rita upp modellen och undersökt vart du ska sitta för att få den optimala synvinkeln. Alla angivna mått är givna i uppgiften. Resultat. Metod 1 Genom geogebra Med mått givna i uppgiften byggde jag upp en modell som jag sedan kunde använda för att få fram synvinkeln i de olika avstånden. Genom att använda funktionen spåra kunde jag lätt se i kalkylbladet vilket avstånd som gav den maximala synvinkeln. I det andra graffönstret syns även värdena som ett maximum av en kurva.
Resultatet blev att den optimala synvinkeln gavs vid 1.7 m upp i salongen. Metodbeskrivning. Metod 2 Algebraiskt Genom att ersätta de okända variablerna har det varit möjligt att få fram ett resultat. Resultat. Metod 2 Algebraiskt
Givna värden i figuren : b + c = 6 + = v = 25 Genom trigonomiska regler fås : d = x sin( ) e = x cos( ) a = e + 2 = x cos( ) + 2 c = d + 1-2 = x sin( ) -1 b = 6 - c = 7 - x sin( ) Detta ger, genom känd trigonometrisk identitet : tan(v) tan( ) tan( ) tan( ) b 1 tan( )tan( ) c c a 1 bc a 2 a(b c) a 2 bc 6(x cos( ) 2) x 2 cos 2 ( ) 4x cos( ) 4 7 x 2 sin 2 ( ) 8x sin( ) Genom trigonomiska ettan fås : 6(x cos( ) 2) tan(v) 11 x(4 cos( ) 8 sin( )) x 2 För att få fram ett uttryck för vinkeln v används trigonomiska regler för att hitta koordinaterna till de olika variablerna. Dessa kan sedan användas för att få ett uttryck där vi endast har en okänd variabel, x. För att hitta den optimala synvinken måste maxpunkten hittas genom derivata. Av derivatans divisionsregel fås : D(h) ( f g ) f ' g g' f g 2 f 6(x cos( ) 2) g 11 x(4 cos( ) 8 sin( )) x 2 f ' 6 cos( ) g' 4 cos( ) 8 sin( ) 2x Genom att förenkla uttrycket kan man derivera och sedan sätta uttrycket = 0 för att hitta derivatans nollpunkter och på så sätt få reda på den optimala synvinkeln. Detta ger : y (6 cos( ) (11 x(4 cos( ) 8 sin( )) x2 ) (4 cos( ) 8 sin( ) 2x) 6(x cos( ) 2)) 11 x(4 cos( ) 8 sin( )) x 2 h'= 0 ger nu täljaren = 0 dvs y = 0 Wolfram Alpha ger : x 1 = 16 cos(25 ) sin(25 ) 3 cos(25 )2 4 2 cos(25 6.1222 x 2 16 cos(25 ) sin(25 ) 3 cos(25 )2 4 2 cos(25 1.70869 Då synvinkeln inte kan vara negativ kan vi bortse från x 1
Diskussion Båda metoder har gett samma svar, dock är metod två (algebraiskt) mer precis och noggrannare. Dock kan man tänka att i det praktiska så spelar detta ingen roll, då man i en biosalong sitter på rader med ca 1meters mellanrum. Du kommer hamna på samma rad med både modellen från geogebra och med den algebraiska redogörelsen och det spelar ingen roll i praktiken om det är en millimeter mer noggrant med metod två. Geogebra metoden är enklare att använda och du behöver inte lika mycket matematiskkunskap som du behöver med den algebraiska metoden. En ytterligare fördel med geogebra är att det är visuellt, det syns direkt när man har gjort fel och det går att rätta till på en gång. Med den algebraiska metoden är det ofta svårt att upptäcka fel i tid vilket gör att man sitter i slutet med helt fel svar utan att veta varför. Ska man sedan simulera andra salonger så är det lättare och det går snabbare att byta värden i geogebra vilket gör att arbetet tar kortare tid vilket resulterar i att det kostar mindre för kunden. Enligt mina egna praktiska utvärderingar avviker upplevelsen med det teoretiska resultatet. Det är ofta så att man hellre sitter i mitten av biosalongen, inte på rad 2 utifrån uppfattningen att det är bättre att sitta lite högre upp. Nu vet vi hur långt upp man ska sitta, men spelar det någon roll om man sitter i mitten av raden eller på kanten? För att få den perfekta platsen måste man fortskrida undersökningen och även ta reda på vart du ska sitta på horisontellt läge. Men även om vi tar reda på det så ger det oss inte säkert den ultimata bioupplevelsen. Det är flera faktorer utöver synvinkeln som spelar in i den perfekta bioplatsen så som akustik, godis och långa personer. Om man vill ändra måtten på biosalongen för att få den största vinkeln då x=7. 5 går det lättast att flytta bioduken på höjden, då det inte finns någon lösning om man ska ändra vinkeln på rampen. För att göra detta använde jag geogebra, då det är smidigast. Svaret jag fick var att bioduken ska sitta ca 1.2 m över marken istället för 2 meter.
Källförteckning Wolfram Alpha, URL: http://www.wolframalpha.com/ Hämtad 2012-04-16 Fråga Lund om matematik, Kjell Elfström, http://www.maths.lth.se/query/answers/q200512.html#20051208221252, Hämtad 2012-03-28 Jonas Hall