SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + + 4 + 8 +... = + + 3 + 4 +... I det först fllet är det lätt tt, med hjälp v formeln för geometris summor, övertyg sig om tt svret bör bli : N ( ) ( ) N+ (3) = när N. I det ndr fllet går det ocså tt övertyg sig om tt summn bör bli oändlig: (4) = + ( + 3 + ) ( + 4 5 +... + ) ( + 8 9 +... + ) + 6 } {{ } } {{ } } {{ } 4 = 4 8 = 8 6 = ( + 7 +... + ) 3 } {{ } 6 3 = ( + 33 +... + ) 64 } {{ } 3 64 = +... + +... + = n, där n n väljs hur stort som helst om vi br grupperr ihop tillräcligt mång termer. Men hur gör vi med följnde oändlig summor? Eempel 3. (5) eller ( ) = + + +...

MARTIN TAMM Eempel 4. (6) ( ) = + 3 4 +... I Eempel 3 går det nppst tt tl om något värde lls på summn. I Eempel 4 n mn, som vi s återomm till senre, summer västerledet till precis vilet reellt tl som helst om mn br lägger ihop termern i lämplig ordning (Se Kpitel 6)! Dess svårigheter hänger ihop med tt ddition v oändligt mång tl inte är något som är definiert i de tlsystem som vi nvänder. Ovnstående resonemng är därför i princip inte legitim, utn bygger på någon sorts intuitiv generlisering, bserd på vår unsper om ändlig summor. I mtemtien n den här typen v släpphänthet få tstrofl onsevenser. Vi n omöjligt ccepter metoder som iblnd leder rätt och iblnd fel, utn tt vi vet vrför. Därför är vi, för tt omm vidre, tvungn tt ersätt den intuitiv idén om oändlig summor med en strit definition: Definition. Ett uttryc på formen definiers som s = lim om dett gränsvärde eisterr. s N = = lls för en serie. Seriens summ s N N N =, = lls för seriens N:te prtilsumm. Mn n lltså säg tt vi återför begreppet oändlig summ på begreppet gränsvärde, som vi redn hr en br teori för. Det är vitigt tt noter tt definitionen fungerr li br för omple tlföljder { } = som för reell, även om vi här huvudsligen ommer tt disuter det sistnämnd fllet. För den llmänn teorin spelr det nästn ldrig någon roll vd är. Smm typer v resonemng fungerr för t e serier v följnde typer: (7), = 5, eller. =7 I fortsättningen formulerr vi de flest stser så tt indeeringen börjr från eller, och överlåter den trivil generliseringen till mer llmänn inde åt läsren. Som en först onsevens n vi noter tt serier lltså inte är summor utn gränsvärden. Med dett synsätt blir det ocså helt nturligt tt viss serier onvergerr (och tt vi då n tl om ders gränsvärden som summor), medn ndr serier divergerr (och därför snr summ). I prtien är det ocså ändmålsenligt tt tl om en series (oändlig) summ om s N ±. Om vi smmnfttr vår eempel ovn så gäller tt serien i Eempel ovn verligen hr summ medn seriens i Eempel är divergent (s = ). Serien i Eempel 3 är divergent och snr summ, eftersom vrnnn prtilsumm blir och vrnnn blir. I Eempel 4 medför definitionen ovn tt seriens summ blir

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 3 ln. Dett viss enlst med hjälp v McLurin-utveclingen v ln( + ) (se []): N ( ) + (8) ln( + ) = + ( ) N ( + θ) N+ n +, < θ <. Om vi nu sätter = och låter N, så ser vi tt resttermen går mot och tt högerledet därför onvergerr mot den givn serien, medn vänsterledet är li med ln. Det finns mång eempel på serier som går tt berän et, men det finns ingen systemtis metod för hur dett s görs. Eempel 5. Eempel n lätt generlisers till en godtyclig serie v typen (9) = om <. Observer tt även n vr omplet. Serien i Eempel 5 är ett eempel på en potensserie: () f() = ( ). Potensserier n i viss mening betrts som polynom v oändligt grdtl, och det finns mång liheter med vnlig polynom (men även oliheter). n vr en reell vribel, men det är ännu vnligre (och vitigre) tt studer potensserier där vribeln och även oefficientern får vr omple. Vi återommer till teorin för potensserier i ursen Anlys B. Eempel 6. Ett nnt eempel som vi lätt n berän är serien () ( + ). Vi gör observtionen () vilet ger (3) (( lim ) + N ( + ) = +, ( + ) = lim ( ) +... + 3 N N ( ( N N + Den tillsynes närbeslätde serien (4) = π 6 ) = + )) = lim N ( ) =, N + är det emellertid betydligt svårre tt omm åt (en vnlig metod är tt nvänd Fourier-nlys, men det finns ocså elementär bevis, se t e []). Men oft är inte den vitigste frågn tt et bestämm värdet på en serie. I mång fll räcer det tt vet om serien onvergerr eller divergerr. För tt vgör dett finns det förhållndevis effetiv metoder, och det är frmför llt dess som ommer tt ts upp i de följnde pitlen.

4 MARTIN TAMM. Integrler som är generliserde i + Det finns en när nlogi melln serier och generliserde integrler v typen f(). På smm sätt som serier egentligen inte s betrts som summor utn som gränsvärden (v summor), så s generliserde integrler inte heller betrts som integrler utn som gränsvärden (v integrler). För en integrl som är generliserd i + är definitionen Definition. f() = lim f(), R om dett gränsvärde eisterr ändligt. Den generliserde integrlen säges då vr onvergent, nnrs säges den vr divergent. Om gränsvärdet eisterr oegentligt så säger mn oft tt den är li med + eller. Eempel 7. (5) + = lim R + = lim R [rctn ]R = lim R rctn R = π. Den generliserde integrlen är lltså onvergent med värdet π/. I det här fllet n vi tol det som tt ren v det område i först vdrnten som ligger under grfen är ändlig med ren just π/. Eempel 8. (6) + = lim R + = lim R [ln( + )]R = lim ln( + R) =. R Den generliserde integrlen är lltså divergent (= + ), och ren v det område i först vdrnten som ligger under grfen är oändlig. Eempel 9. (7) cos = lim R cos = lim R []R = lim sin R. R Det sist gränsvärdet eisterr vren egentligt eller oegentligt så den generliserd integrlen är divergent (och det är lönlöst tt försö tl om något värde). Eempel. (8) = lim R I det här fllet visr det sig tt gränsvärdet ftist eisterr och är li med π/ (för onvergensen, se Sts 4 i Kpitel 7). Men det går inte tt tol resulttet som någon re. Det här eemplet påminner i mycet om Eempel 4 i Kpitel, men det är betydligt svårre tt utför beräningen v integrlen. En metod (som bygger på nlytis funtioner) gås igenom i Anlys B. Det n ocså påpes tt vi här behndlr integrlen som generliserd endst i oändligheten. Men vd händer egentligen när? Där blir ju integrnden ocså odefinierd? Ftum är tt den här typen v generlisering i stort sett är helt och hållet problemfri, eftersom funtionen ftist går tt utvidg till en funtion som är ontinuerlig även i origo. I fortsättningen ommer vi inte tt uppmärsmm

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 5 sådn singulriteter utn behndlr sådn generliserde integrler som om de hde hft ontinuerlig integrnder redn från börjn. Det finns mycet som är gemensmt i metodern för tt vgör onvergens och divergens hos serier och generliserde integrler. Men det finns ocså, som vi ommer tt upptäc, en del sillnder som är värd tt observer. 3. Generell egensper hos serier och generliserde integrler Innn vi går vidre med specifi riterier för onvergens och divergens så n det vr värt tt noter någr generell egensper. Lemm. (α + βb ) = α + β b, Dett är egentligen en trivil tillämpning v ränereglern för gränsvärden v tlföljder på följdern v prtilsummor. Precis som för vnlig gränsvärden s lemmt tols som tt om seriern i högerledet onvergerr så onvergerr även vänsterledet och lihet gäller. Anmärning. Mn n ocså formuler vrinter v lemmt som t e säger tt summn v en onvergent och en divergent serie är divergent, men detljern lämns åt läsren. Det är även värt tt observer tt (den formell) summn v två divergent serier mycet väl n vr onvergent, t e ( (9) ( ) + ( ) + = ( ) + ( ) +) = =. Här är det lltså i vänsterledet inte frågn om tt vi lägger ihop två tl, utn det hndlr om en rent formell opertion på serier. Motsvrnde lemm för generliserde integrler ser ut så här: Lemm. (αf() + βg()) = α f() + β g(). En nnn vitig egensp tt noter är tt en serie endst n onverger om termern går mot noll: Sts. Om är onvergent så följer tt. Dett följer v definitionen v prtilsumm i Definition ovn. Vi n helt enelt sriv = s s och noter tt om serien är onvergent med summn s så blir lim = lim s lim s = s s =. Sts n ftist vr ett nvändbrt riterium för tt vis tt viss serier inte onvergerr. I viss fll då inget nnt verr funger n det vr värt tt ontroller tt termern verligen går mot noll.

6 MARTIN TAMM Eempel. Serien! är divergent eftersom () =! =... 3... = 3.... Mn s t sig för tt tro tt villoret är ett tillräcligt villor för onvergens. T e går termern i serien i Eempel ovn mot noll, utn tt serien för den sull sulle onverger. Det visr sig tt nlogin till Sts för generliserde integrler är fls: Det finns eempel på generliserde integrler som är onvergent, trots tt integrnden inte går mot noll. Ett eempel på en sådn är () sin ( ). I själv veret övergår integrlen efter vribelbytet t = i () sin t t dt, som n viss onverger med smm metoder som vi senre ommer tt möt i Sts 4 i Kpitel 7. 4. Positiv serier En positiv serie är en serie sådn tt för ll. För en sådn serie utgör följden {s N } v prtilsummor en monotont vände tlföljd. Enligt stsen om monoton onvergens finns det därmed br två lterntiv: ntingen är följden v prtilsummor begränsd och serien är onvergent, eller så är den obegränsd och serien divergerr (hr summ + ). Oft nvänder mn därför för positiv serier betecningrn (3) < respetive = för tt mrer om de är onvergent eller divergent. Däremot s mn inte nvänd dem för serier som inte är positiv. Motsvrnde gäller för övrigt även generliserde integrler. Teorin för positiv serier är betydligt enlre än det llmänn fllet. Det visr sig tt om ll termer är positiv så leder vår intuitiv uppfttning om oändlig summor oss för det mest rätt. Dessutom n mn i mång fll nvänd positiv serier för tt dr slutstser om serier som inte är positiv med hjälp v Sts 5 nedn. Hur s mn gå tillväg för tt vgör om en positiv serie onvergerr? Om vi inte n berän serien et så n vi försö hitt en enlre serie tt jämför med: Sts (Jämförelseriterium I). Antg tt b för =,,... () Om b är onvergent så är även onvergent. () Om är divergent så är även b divergent.

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 7 Bevis: Dett är en diret följd v disussionen innn stsen: om b är onvergent så finns en övre begränsning B till seriens prtilsummor. Men eftersom N N (4) b B så blir smm B en övre begränsning till prtilsummorn till serien ger tt, vilet onvergerr. Andr hlvn viss på linnde sätt, genom tt tillämp lgen om oliheter för gränsvärden på en först oliheten i (4): Om så följer ju tt även N b. N Anmärning. Ett ändligt ntl termer i börjn v en serie n ldrig påver frågn om onvergens eller divergens. Därför räcer det i princip tt oliheten b är uppfylld för ll N för något visst N. En nnn observtion är tt det räcer tt vis tt cb för någon positiv onstnt c >, eftersom serien b onvergerr om och endst om cb gör det. Eempel. Serien + (5) och är onvergent. Dett beror på tt +, är onvergent enligt Eempel. + Eempel 3. Även serien är onvergent. Dett n i princip ocså viss med Jämförelseriterium I om vi t e observerr tt ( ) + (6), 3 + / ( ) för stor. Dett följer v tt = + 3 ( ) stället jämför med som ocså är onvergent. 3 ( ) 3. Vi n då i 4 Den här tillämpningen änns nse något mindre nturlig än föregående; vi måste själv gör viss överläggningr innn vi n tillämp stsen. Nedn s vi se tt det finns en lång rd med oli vrinter v Sts som pssr för oli situtioner.

8 MARTIN TAMM Sts 3 (Jämförelseriterium II). Antg tt <, b för ll stor, och ntg vidre tt lim = A, där < A <. Då gäller tt är onvergent om b och endst om b är onvergent. Beviset följer v Jämförelseriterium I: om tillämpr gränsvärdesdefinitionen på gränsvärdet lim = A med ɛ = A/ så följer tt b (7) A b < A A < < 3 A för N, b för något visst N. Det följer nu tt b (/A) för N, vilet enligt Sts och Anmärning ger tt om onvergerr så onvergerr även b. På linnde sätt ser vi tt 3 Ab, vilet ger tt om onvergerr även. Eempel 4. Avgör om serien + = + + b onvergerr så är onvergent. De dominernde termern i täljre respetive nämnre är respetive. Därför bör serien för stor bär sig åt ungefär som b =. Vi observerr tt (8) b = + + + vilet enligt jämförelseriterium II medför tt om b gör det. Men lltså för., onvergerr om och endst är enligt Eempel divergent, så detsmm gäller Det är vitigt tt både och b förutsätts vr positiv i Jämförelseriterium II, vilet frmgår v följnde Eempel 5. Betrt de båd seriern (9) = ( ), = ) ln ( + ( ).

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 9 Eftersom ln( + ) för när, så verr det rimligt tt förmod seriern borde h smm onvergensegensper. Om vi som i Sts 3 betrtr gränsvärdet (3) lim = lim b ( ) ( ) =, ln + ( ) så verr dett stödj vår förmodn. Men den först serien är onvergent medn den ndr är divergent! Det är lltså inte orret tt dr någon slutsts v (3) i det här fllet eftersom seriern inte är positiv. Konvergensen v den först serien s vi vis lite senre i Sts 8. Här s vi br noter en orret tillämpning tt Sts 3 ger tt båd seriern inte n vr onvergent, eftersom sillnden melln dom ftist är en divergent serie. För tt se dett observerr vi tt McLurin-utvecling ger tt ln(+) = +O( 3 ), vilet med = ( ) / ger tt (3) = ( ) ln = ( + ( ) ) = = ( ( )) + O, 3/ där serien i högerledet är positiv för stor och därmed divergent, eftersom vi n nvänd jämförelseriterium II för tt jämför med serien i Eempel.. En nnn rftfull metod för tt vgör om en positiv serie onvergerr är tt jämför med integrler. Eftersom vi hr tillgång till integrllylens huvudsts så är det mycet lättre tt et berän integrler än tt berän summor. Men för tt unn nvänd dett måste vi ocså unn jämför summor med integrler. Den idé som gör dett möjligt är tt vi n uppftt ändlig summor som integrler v trppfuntioner. Om vi speciellt betrtr en positiv och vtgnde funtion f() på intervllet [, [ så är det lätt tt övertyg sig om tt (3) n+ f() f() + f() +... + f(n). Högerledet n ju tols som integrlen över intervllet [, n + ] v den trppfuntion Ψ() f() som definiers v tt Ψ() = f() på [, + [. Se den övre grfen i Figur. Å ndr sidn hr vi ocså tt (33) f() + f(3) +... + f(n) n f(), eftersom vänsterledet n uppftts som integrlen över [, n] v den trppfuntion Φ() f() som definiers v tt Φ() = f() på [, [. Se den undre grfen i Figur. Om vi sätter ihop dess oliheter får vi (34) n+ f() f() + f() +... + f(n) f() + Ur dett ser vi tt prtilsummorn s n = om och endst om integrlern hr därmed bevist n n f(). n f() är uppåt begränsde (då n ) f() är uppåt begränsde (då n ). Vi

MARTIN TAMM Figur. Jämförelse melln trppfuntionerns och f():s integrler Sts 4 (Cuchys integrlriterium). För en positiv vtgnde funtion på [, [ gäller tt (35) f() onvergent f() onvergent. Eempel 6. För vil värden på α > onvergerr serien α? Enligt integrlriteriet gäller dett för precis smm α som för vil motsvrnde integrl onvergerr. Men (36) { α = (α ) om α >, om α. Vi drr slutstsen tt serien onvergerr om och endst om α >. (Vi n för övrigt observer tt det är trivilt tt serien divergerr för α, eftersom termern då inte går mot.)

Eempel 7. Serien (37) SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER = ln ln = lim N. är divergent eftersom integrlen N ln = lim N [ln(ln )]N =. Noter tt vi här som en vrition hr nvänt integrlriteriet på intervllet [, [ i stället. Integrlriteriet och jämförelseriterium II n vr mycet effetiv i ombintion med Tylor-utvecling: ( Eempel 8. Avgör om serien = sin sin ) är onvergent. Vi börjr med tt Mclurin-utvecl sin() = 3 + O( 5 ), eller med = /: (38) = sin sin = ( ) 3 + O 5. Vi vet nu tt serien för stor bär sig åt ungefär som serien b = 3 som enligt integrlriteriet ovn är onvergent. Det ligger därför när till hnds tt jämför just med denn. Vi observerr därför tt + O ( ) (39) = 3 5 b, 3 vilet enligt jämförelseriterium II medför tt om b gör det. är lltså onvergent. onvergerr om och endst 5. Andr onvergensriterier En fundmentl sts som återför en stor del v teorin för llmänn serier på teorin för positiv serier är följnde: Sts 5. Om onvergerr så onvergerr även. Bevis: Antg först tt serien är reell och låt + = m(, ) och = m(, ). Då gäller tt +,, och = +. Det följer tt (4) = +, eftersom seriern i högerledet är positiv och onvergent enligt jämförelseriterium I. Stsen följer därför v Lemm. Om = u + iv är omple så observerr vi tt u, v, vilet ger tt u och v är onvergent enligt jämförelseriterium I, vrefter den

MARTIN TAMM först delen v beviset ger tt u och är onvergent enligt Lemm. Om en serie hr egenspen tt v är onvergent och slutligen tt onvergerr så lls serien bsolutonvergent. Stsen ovn n därför smmnftts som tt bsolutonvergens för en serie medför onvergens. Serier som är onvergent utn tt vr bsolutonvergent lls betingt onvergent. För sådn serier n mycet märlig ser inträff. Vi återommer till dett i Kpitel 6. Ett eempel på ett mer specifit onvergensriterium, men som smtidigt oft är lätt tt nvänd är Sts 6 (Cuchys rotriterium). Antg tt serien är sådn tt (4) lim / = A för något A [, ]. Om A < så är serien bsolutonvergent. Om A > så är serien divergent. Idén bom stsen är mycet enel: förutsättningen säger tt A, dvs serien bär sig åt ungefär som en geometris serie med voten A, som ju är onvergent då A < och divergent då A >. För tt gör resonemnget precist nvänder vi gränsvärdesdefinitionen och jämförelseriterium I: Bevis: Om A < så n vi välj ett tl r så tt A < r <. Välj ett heltl N så stort tt N / < r. Då blir r för N, vilet betyder tt serien n uppstts med en onvergent geometris serie. Påståendet i stsen följer därför v jämförelseriterium I. I fllet A > så ger gränsvärdesdefinitionen i stället tt för ll N för något tl N. Därmed n inte termern gå mot noll och divergensen följer v Sts. Om vi nu återvänder till Eempel 3 så ser vi tt rotriteriet är ett mycet effetivre hjälpmedel än jämförelseriterium I för tt vis onvergens. Det räcer nu tt observer tt ( ) / + (4) / ( + )/ = = < när. Ett nnt eempel där rotriteriet fungerr väl är Eempel 9. Avgör om serien fll tt (43) / = ( ) är onvergent eller ej. Vi ser i dett ( ) < när, e vilet enligt rotriteriet visr tt serien är onvergent.

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 3 Å ndr sidn finns det mång fll där rotriteriet inte går tt nvänd. En vnlig typ v fll är då gränsvärdet A ovn blir, och rotriteriet inte ger någon slutsts lls. Dett gäller t e för ll serier v typen α. Ett riterium som hr linnde nvändningsområde som rotriteriet är följnde Sts 7 (d Alemberts votriterium). Antg tt serien för ll och är sådn tt + (44) lim = A för något A [, ]. Om A < så är serien bsolutonvergent. Om A > så är serien divergent. Idén i stsen är precis densmm som i Cuchys rotriterium, nämligen tt gränsvärdesvilloret medför tt bär sig åt ungefär som en geometris serie med voten A. Bevis: Om vi ntr tt A < n vi, precis som i beviset v rotriteriet, välj r så tt A < r < och med hjälp v gränsvärdesdefinitionen hitt N så tt (45) + < r för N, dvs + < r för ll N, vilet för ett godtycligt > N ger tt (46) < r < r <... < r N N+ < r N N. Vi n lltså (bortsett från de N + först termern) uppstt den givn serien med en onvergent geometris serie vilet ger påståendet. I fllet A > ger gränsvärdesdefinitionen i stället tt det finns N så tt för > N så måste (47) + >. Men då är + > för > N, vilet betyder tt följden { } =N är vände och lltså inte n gå mot. Oft är det en sms om mn vill nvänd rot- eller votriteriet. Men i viss fll n det en riteriet ge betydligt enlre räningr än det ndr. Eempel. Vi undersöer onvergensegenspern hos serien hjälp v votriteriet: (48) + (!) ()! = (( + )!) ()! (!) (( + ))! = ( + ) ( + )( + ) = + ( + ) 4 <, med vilet visr tt serien är onvergent. Observer tt det hde gått tt vis smm s med rotriteriet, men då hde vi behövt uppstt (!) / och (()!) /, t e med hjälp v Stirlings formel.

4 MARTIN TAMM 6. Betingt onvergent serier En serie som är onvergent men inte bsolutonvergent lls, som tidigre nämnts, betingt onvergent. Ett enelt eempel på en sådn är den så llde lternernde hrmonis serien i Eempel 4. Vi hr ju vist tt seriens summ är ln, men ocså tt motsvrnde serie när vi tr bsolutbeloppen v ll termer (den hrmonis serien i Eempel ) är divergent. Dett är ett eempel på en mer generell typ v betingt onvergent serier: Sts 8 (Leibniz onvergensriterium för lternernde serier). Låt { } vr en positiv vtgnde tlföljd sådn tt då. Då är serien ( ) + onvergent. Eempel. Seriern (49) är båd (betingt) onvergent. Bevis v stsen: Låt s N = ( ) + och ( ) + ln( + ) N ( ) + som vnligt betecn seriens prtilsummor. Vi tittr först på följden {s m } v prtilsummor med ett jämnt ntl termer. Denn följd är monotont vände eftersom (5) s (m+) s m = m+ m+, där vi i det sist steget nvänt tt följden är vtgnde. Följden är positiv eftersom den är vände och s =, men följden är ocså uppåt begränsd, eftersom (5) s m = + 3 4 + 5... m + m m = ( 3 ) ( 4 5 )... ( m m ) m } {{ } } {{ } } {{ } }{{} för ll m =,,... Enligt en änd egensp hos monoton tlföljder betyder dett tt följden {s m } onvergerr mot ett tl s som uppfyller s. Men även följden {s m+ } m= v prtilsummor med udd ntl termer onvergerr mot s, eftersom s m+ = s m + m+ s + = s. Ur dett följer tt hel följden {s N } N= onvergerr mot s, vilet bevisr stsen. Som tidigre nämnts hr betingt onvergent tlföljder gns ptologis egensper. För tt illustrer dett definierr vi en omordning η v de positiv heltlen Z + som en bijetiv vbildning η : Z + Z +. Givet en sådn omordning η n vi nu även definier motsvrnde omordning v en godtyclig tlföljd { }, som den ny tlföljden { η() }, och v en godtyclig serie som den ny serien η(). Sts 9 (Riemnns omordningssts). En reell betingt onvergent serie n lltid omordns så tt den ny seriens summ blir li med vilet på förhnd givet reellt tl som helst (eller li med + eller ).

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 5 Dett märlig resultt sll jämförs med följnde Sts. Om en bsolutonvergent serie hr summn s så hr även ll omordningr v serien summ s. Så fort vi släpper rvet på bsolutonvergens så blir lltså den ddition som serien ger sig ut för tt representer i llr högst grd ice-ommuttiv! Det är bl därför som det är bättre tt inte se sådn serier som ddition utn helt enelt som gränsvärden. Ingen v ovnstående stser är speciellt svår tt vis. Men för tt förstå idén med Riemnns omordningssts n det ändå vr bättre tt titt på ett onret eempel. Vi vet redn tt den lternernde hrmonis serien ( ) (5) = + 3 4 +... är onvergent med summn ln. Hur s vi ordn om termern om vi i stället vill tt summn s bli t e? Vi börjr med tt del upp termern i positiv och negtiv, och noterr tt dess bildr divergent serier: (53) (54) = + 3 + 5 + 7 + 9 +... = +, = 4 6 8... =. Dett n enelt viss, t e genom tt jämför med den vnlig hrmonis serien i Eempel och nvänd Jämförelseriterium II. Men det följer ocså v generell egensper för betingt onvergent serier: Om den en v seriern (53) och (54) vore onvergent och den ndr vore divergent så sulle ju ders summ (5) ocså vr diverent (vilet vi vet är flst). Om å ndr sidn både (53) och (54) vore onvergent så sulle den vnlig hrmonis serien vr bsolutonvergent, eftersom denn just är sillnden melln (53) och (54) (vilet ocså är flst enligt Eempel ). Om vi vill tt summn s bli men smtidigt se till tt ll termer i båd seriern ommer med så är en nturlig strtegi tt välj en ordning där vi går igenom den övre följden i snbbre tt. Vi börjr därför med tt ploc så mång termer ur denn som behövs för tt ders summ s bli större än två. Det visr sig tt det behövs ått termer: (55) + 3 + 5 + 7 + 9 +... +.8 >. 5 Nu är det dgs tt stopp in den först negtiv termen: (56) + 3 + 5 + 7 + 9 +... + 5.58 <. Därefter fyller vi på med positiv termer tills summn blir större än igen: (57) + 3 + 5 + 7 + 9 +... + 5 + 7 +... +.4 >. 4

6 MARTIN TAMM Vi lägger nu till näst negtiv term /4 och därefter ytterligre positiv termer tills summn återigen blir större än : (58) + 3 + 5 +... + 5 + 7 +... + 4 4 + 43 +... +.95 >. 69 Efter ytterligre en negtiv term och tillräcligt mång positiv får vi: (59) + +...+ 3 5 + +...+ 7 4 4 + +...+ 43 69 6 + +...+ 7 95 >. Det är inte svårt tt se tt om vi fortsätter på dett sätt så ommer summorn tt onverger mot, och vi ommer ocså tt så småningom inluder ll termer i den ursprunglig serien, även om de positiv termern ts med i en betydligt snbbre tt. 7. Oli typer v generliserde integrler I Kpitel hr vi infört generliserde integrler v typen f() som hr mycet gemensmt med serier. Men det finns mång oli typer v generliserde integrler. En integrl n vr generliserd därför tt integrtionsintervllet är oändligt eller för tt integrnden är obegränsd, ntingen i det inre v integrtionsområdet eller då vi närmr oss någon v ändpuntern. Här följer någr eempel: Eempel. (6), e, π tn. Gemensmt för ovnstående eempel är tt de är odefinierde som vnlig integrler, men n ges mening som gränsvärden: = lim ɛ + ɛ [ ] = lim = lim ( ) ɛ + ɛ ɛ =, ɛ + (6) e = lim e = lim R R R [e ] R = lim ( e R ) =, R π tn = lim ɛ + π ɛ tn = lim ɛ + [ ln(cos )] π ɛ = lim ɛ + ( ln(cos( π ɛ) ) =. Men det är inte lls ovnligt tt integrler n vr generliserde på fler sätt t e: (6) e, ( )( ). Grundregeln för sådn generliserde integrler är tt mn s del upp dem i integrler över oli intervll, som vr och en endst innehåller en generlisering (en gränsövergång) i någon v intervllets ändpunter. Och den generliserde

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 7 integrlen är onvergent om och endst om ll delrn är det. tol den först integrlen som (63) e = = lim R e + R e = e + lim R e. Således n vi Att vi här vlt tt del upp integrtionsintervllet just i origo spelr ingen roll. Det är lätt tt övertyg sig om tt vi sulle få smm onvergensegensper och numeris värde om vi hde delt i någon nnn punt. När det gäller den ndr integrlen sulle motsvrnde indelning unn se ut så här (64) lim ɛ + / ɛ ( )( ) = + lim ɛ + ɛ / + lim ɛ + / 3/ +ɛ + / + lim ɛ + + 3/ ɛ 3/ + 3/ + 3 + = 3 3 + lim + lim ɛ + +ɛ R I dess två fll visr det sig tt ll de ingående delrn är onvergent, vilet lltså betyder tt båd de generliserde integrlern i (6) onvergerr. Mn n fråg sig om det inte vore enlre tt t e tol den först generliserde integrlen i (6) som ett end gränsvärde? (65) e = lim R R e. Just i det här fllet sulle det inte spel någon som helst roll; vi sulle få et smm numeris värde med denn definition som med den i (63). Men så är inte lltid fllet. Jämför t e med följnde: (66) är divergent men lim R R =. Det som gör tt vi får lihet i (65) är, grovt tlt, tt integrnden är positiv. Motsvrnde gäller även under något llmännre villor, men vi går inte in på et villor här. Gränsvärdet till höger i (65) lls principlvärdet v den generliserde integrlen. Sådn principlvärden n vr mycet intressnt i mång tillämpningr, men mn bör omm ihåg tt de inte lltid betyder detsmm som motsvrnde generliserde integrler. Hur går mn då tillväg för tt vgör om en generliserd integrl onvergerr i de fll då den inte går tt berän et? Vi n börj med tt onstter tt de båd jämförelseriteriern för serier diret går tt översätt till integrler: Sts (Jämförelseriterium I). Antg tt f(), g() är ontinuerlig och f() g() för [, [. () Om () Om g() är onvergent så är även f() är divergent så är även f() onvergent. g() divergent. 3.

8 MARTIN TAMM Sts (Jämförelseriterium II). Antg tt f(), g() är ontinuerlig och < f() f(), g() för [, [, och ntg vidre tt lim = A, där < A <. Då g() gäller tt f() är onvergent om och endst om g() är onvergent. Här hr riteriern formulerts för fllet då integrlern är generliserde i +, men det går lätt tt översätt dem till ndr typer v generliseringr. Vi vstår från eplicit formuleringr, men se Eempel 4 nedn. Bevisen är ocså mycet snrli motsvrnde för serier och utelämns här. sin Eempel 3. Vi undersöer om den generliserde integrlen är + onvergent. Integrlen är generliserd i och eftersom sin är det nturligt tt uppstt integrnden med /( + ): (67) sin + + sin <, + enligt jämförelseriterium I, eftersom vi redn vet från Eempel 7 tt onvergerr. Eempel 4. Vi undersöer om den generliserde integrlen + är onvergent. Integrlen är generliserd i och i närheten v denn punt vet vi tt. Det ligger då när till hnds tt jämför integrnden med / : f() (68) lim + g() = lim + = lim + =, vilet ger tt den generliserde integrlen onvergerr enligt jämförelseriterium II, eftersom vi redn vet från Eempel tt integrlen v / är onvergent. När det gäller rotriteriet och votriteriet så finns det ingen nturlig motsvrighet för generliserde integrler. Däremot n begreppen bsolutonvergens och betingd onvergens lätt överförs på integrler: Sts 3. Om f() onvergerr så onvergerr även f(). Precis som för serier finns det gott om eempel där den först integrlen divergerr, medn den ndr onvergerr. Lisom för serier lls dett fenomen för betingd onvergens. Vi nöjer oss med tt nlyser ett eempel: Sts 4. Den generliserde integrlen En tenist reltivt enel bevismetoden ser ut så här: är betingt onvergent. Bevis: Vi måste både vis tt den generliserde integrlen onvergerr och tt motsvrnde med bsolutbelopp divergerr. Vi observerr först tt det inte spelr någon roll för onvergensen om vi i stället betrtr integrlen, eftersom integrnden är begränsd på [, ]. Vi

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 9 Figur. De reor som svrr mot. n nu prtilintegrer: (69) N = [ cos ] N N cos. Den först termen i högerledet onvergerr mot cos när N. Den ndr termen hr ocså ett ändligt gränsvärde eftersom observtionen cos och = < ger tt den är bsolutonvergent enligt Jämförelseriterium I. För tt vis tt = + observerr vi tt sin, vilet ger tt (7) (7) N N N sin = N cos = ln N 4 N [ sin cos ] N 4 N = sin, eftersom den sist integrlen är bsolutonvergent v smm säl som gällde för den sist termen i (69). Ovnstående rgument är nse det tenist enlste för tt vis stsen, men det ger ingen djupre insit i vrför integrlen ftist är betingt onvergent. Här följer ett lterntivt bevis som bygger på observtionen tt integrlen i stsen hr stor liheter med de summor som föreommer i Leibniz riterium för lternernde serier (Sts 8). Alterntivt bevis: Vi börjr med tt noter tt (7) s N = Nπ N = ( ) +, där = π ( )π där vi hr nvänt tt är positiv på [( )π, π] om är udd och negtiv om är jämnt (se Figur ). För tt vis tt följden {s N } N= onvergerr räcer det enligt Leibniz riterium för lternernde serier tt vis tt följden är vtgnde.,

MARTIN TAMM Figur 3. En uppsttning nedåt v integrlen v f(). Dett följer lätt genom ett vribelbyte, t = + π: (73) π (+)π sin(t π) = = dt t π ( )π π (+)π π sin t t dt = +. Strängt tget hr vi br vist tt lim eisterr när R ntr värden R π. För tt vis tt gränsvärdet eisterr när R är en godtyclig reell vribel, räcer det tt observer tt π (74) = R + π, där är det störst heltlet med egenspen tt π R. Den först termen i högerledet onvergerr enligt vd vi just vist, medn den ndr går mot noll eftersom (75) π R π π π π = då R. För tt vis tt integrlen divergerr noterr vi tt (76) π+5π/6 π+π/6 ( + )π π 3 = 3( + ). Här hr vi nvänt tt på ll intervll [π + π/6, π + 5π/6], oberoende v, och tt ( + )π på smm intervll, smt tt intervllets längd är π/3. Oliheten i (76) svrr i själv veret mot tt vi hr uppsttt integrlen med ren v motsvrnde retngel i Figur 3. Intervllen I = [π + π/6, π + 5π/6], =,,... är disjunt och är ll innehålln i [, [, vilet medför tt (77) 3( + ) = 3 = + enligt Eempel, vilet visr påståendet. I

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 8. Övningr 8.. Serier. Avgör om följnde serier onvergerr eller divergerr: ) d) g) j) m) + b) ( ) ln( + ) e) ( )! h) cos π + ) (ln(!)) n) = + 3 c) ( ) ln( + ) f) ( ) 3! i) ln( + ) ln l) ( ) o) + = ( cos ) ( ) + 4! ln(!) = (ln ) Svr: b, c, e, g, i, j,, m, n, o är onvergent, övrig divergentn. 8.. Generliserde integrler. Avgör om följnde generliserde integrler onvergerr eller divergerr: ) d) g) 3 + 5 + 3 + b) 3 + e) e h) ln( + ) c) ln( + ) ( ) f) ln e / + i) 3 π π π e cos ln() Svr:, b, c, g är onvergent, övrig divergent. Litterturförtecning [] Apostol The Mthemticl Intelligencer, September 983, Volume 5, Issue 3, pp 59-6 [] Persson & Böiers, Anlys i en vribel, Studentlittertur (3:e upplgn).