Anlys 36 En webbserd nlyskurs Anlysens grunder Om konvergens v funktionsföljder Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.om
Om konvergens v funktionsföljder 1 (12) Introduktion I det här kpitlet sk vi diskuter en skärpning v vd det innebär tt en funktionsföljd konvergerr mot en gränsfunktion. Vitsen med den skärpningen är tt om den är uppfylld så gäller tt gränsfunktionen v nödvändighet blir kontinuerlig. Dett konvergensbegrepp, som klls likformig konvergens, tillåter tt mn kstr om diverse gränsproesser. Att gränsfunktionen är kontinuerlig kn skrivs som lim lim f n(x) = lim lim f n (x), n x x n vilket i sig innebär en omkstning v gränsövergångr. Andr gränsövergångr tt kst om ordningen v är derivtion oh integrtion. Vi börjr diskussionen med diskuter ett sätt tt vis tt exponentilfunktionen e x verkligen finns, d.v.s. tt problemet u = u, u() = 1 verkligen hr en lösning. En konstruktion v exponentilfunktionen Som introduktion till innehållet i det här kpitlet sk försök konstruer exponentilfunktiononen som lösningen till begynnelsevärdesproblemet u (t) = u(t), u() = 1. För dett sk vi nvänd en metod med suessiv pproximtioner som bygger på tt vi först skriver om begynnelsevärdesproblemet som en integrlekvtion u(t) = 1 + u(s)ds. Att dett är ekvivlent med begynnelsevärdesproblemet följer ur nlysens huvudsts. Betrkt nu integrlekvtionen. Om vi hr en kontinuerlig funktion u(t) så kn vi bild en ny genom tt beräkn uttryket i högerledet v ekvtionen. Vi kn uppftt högerledet som en sorts funktion T (u) som vbildr kontinuerlig funktioner u på kontinuerlig funktioner v. Mer preist definierr vi v = T (u) som funktionen v(t) = 1 + u(s)ds. Integrlekvtionen innebär då tt den funktion u vi söker sk vr en fixpunkt till vbildningen T, lltså uppfyll u = T (u). Hur kn vi då hitt en sådn fixpunkt? Om u inte hde vrit funktioner utn tl, oh T en reellvärd funktion v en vribel, hde vi knske provt med tt rekursivt definier u n+1 = T (u n ) från någon strtlösning u. Dett diskuters i detlj i kpitlet Anlys v en sklär rekursion, en proess som fungerr om T är en kontrktion oh om vi strtr tillräkligt när fixpunkten. Vi sk försök gör likdnt här, även om vi nu sk iterer funktioner. Som strtvärde, eller snrre strtfunktion, tr vi en enkel sådn, nämligen den som är 1 i vrje punkt: u (t) = 1.
Om konvergens v funktionsföljder 2 (12) Sedn definierr vi u 1 (t) genom u 1 (t) = 1 + 1 ds = 1 + t. Fortsätter vi på dett sätt oh suessivt definierr ny funktioner genom reltionen finner vi (gör någr itertioner) tt Vi ser lltså tt u n+1 (t) = 1 + u n (s)ds, u n (t) = 1 + t + t2 2 +... + tn n!. u n (t) u(t) = k= t k k! då n. Dett är egentligen ett tomt påstående, eftersom vi först måste försäkr oss om tt serien i högerledet verkligen konvergerr. Dett är emellertid inte speiellt svårt. Vi kn börj med tt konstter tt för fixt t > är tlföljden u n (t) strängt växnde. Till dett t kn vi sedn välj ett heltl n sådnt tt n > t. Då gäller tt om k > n Det följer tt t k k! = tn t k n+1 n! (n + 1)(n + 2)... k tn n! ( t n )k n. u N (t) n 1 k= t k k! + tn n! N ( t n )k k= n 1 k= t k k! + tn n! 1 < för ll N, t < n. 1 t/n Här hr vi nvänt tt den geometrisk serien konvergerr när kvoten är < 1 till sitt bsolutbelopp. För vrje t hr vi lltså en växnde, uppåt begränsd tlföljd, vilket betyder tt u n (t) konvergerr för vrje t. Men det räker inte. För tt u(t) sk kunn vr en fixpunkt till vbildningen T måste u(t) okså vr en kontinuerlig funktion. Att serien definierr en kontinuerlig funktion följer emellertid inte med utomtik! Eftersom ll funktionern u n (x) är kontinuerlig funktioner kn vi lös dett problem tt hitt villkor på konvergensen v dess funktioner som säkerställer tt gränsfunktionen är en kontinuerlig funktion. Dett hndlr näst vsnitt om. Likformig konvergens v funktionsföljder I det här vsnittet är {f n } en följd v kontinuerlig funktioner, inte nödvändigtvis v en vribel. Vi säger då tt f n konvergerr punktvis mot f i en mängd S då n, om det gäller tt f n (x) f(x) då n för ll x S.
Om konvergens v funktionsföljder 3 (12) Förutstt tt gränsvärden f(x) finns, förstås. Gränsvärdet v en svit kontinuerlig funktioner behöver inte vr en kontinuerlig funktion som följnde exempel visr. Exempel 1 Funktionern f n (x) = x n är kontinuerlig i intervllet [, 1]. Om vi låter n ser vi tt { då x < 1 f n (x) f(x) =. 1 då x = 1 Gränsfunktionen är lltså inte kontinuerlig. Någr v funktionern i exemplet ovn är illustrerde i figuren till höger. Vi ser tt ju större n, desto längre blir kurvn nästn pln. Dett förnleder oss tt ställ följnde fråg: Hur kn vi grnter tt en följd v funktioner konvergerr mot en gränsfunktion som är kontinuerlig? Problemet består i tt lägg villkor på funktionsföljden som grnterr dett. Som vi snrt sk se är det nu vi verkligen behöver en ordentlig definition v gränsvärdesbegreppet. För tt se hur ett sådnt villkor kn se ut, ntg tt f n (x) f(x) då n 1.9.8.7.6 y.5.4.3.2.1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 x för ll x i någon mängd. För tt vis kontinuitet måste vi vis tt det till vrje ɛ > finns ett δ > sådnt tt x < δ f(x) f() < ɛ. Triket här är tt gör följnde omskrivning f(x) f() = f(x) f n (x) + f n (x) f n () + f n () f(). Tringelolikheten medför då tt f(x) f() f(x) f n (x) + f n (x) f n () + f n () f(). Vi vet tt det till vrje x går tt välj ett N sådnt tt f n (x) f(x) < ɛ 3 då n N. Det är då frestnde tt först välj N så stor tt dett är snt för både x oh oh sedn, med dett vl v N, välj δ så litet tt f N (x) f N () < ɛ/3 då x < δ. Det skulle då följ tt f(x) f() < ɛ då x < δ, oh vi skulle lltså h sett tt f är kontinuerlig i punkten. Men exemplet ovn visr tt det är något i denn rgumentering som inte håller. Vd?
Om konvergens v funktionsföljder 4 (12) Exempel 2 Om vi tr exemplet ovn med f n (x) = x n så hr vi tt om x < 1 gäller tt f(x) f(x) = x n, så vi ser tt f n (x) f(x) < ɛ n > ln(ɛ)/ ln x. Problemet ligger i tt N beror v x! Ju närmre vi tr x, desto större kn vi tvings t N. Är det inte så, hr vi bevist tt gränsfunktionen är kontinuerlig. Vi inför ett speiellt konvergensbegrepp för de fll när mn kn välj N oberoende v x. Definition 1 Låt {f n } vr en svit funktioner definierde på en mängd S. Om det till vrje ɛ > finns ett N sådnt tt f n (x) f(x) < ɛ för ll x i S då n N, så sägs följden {f n } konvergerr likformigt mot gränsfunktionen f på S. Vi hr då vist följnde sts. Sts 1 Gränsfunktionen till en likformigt konvergent följd v kontinuerlig funktioner är en kontinuerlig funktion. När mn diskuterr likformig konvergens är det bekvämt tt inför en speiell betekning. Om E är en mängd oh f en reellvärd funktion definierd på E skriver vi f E = sup f(x). x E Om det är klrt vilken mängden är utelämns oft E:et från betekningen. Oft skrivs den dessutom f v skäl som vi inte går in på här. Vi ser nu tt (då n )) f n f likformigt på E f n f E Den grfisk innebörden v begreppet likformig konvergens är tt ll kurvor y = f n (x) ligger i bndet [f(x) ɛ, f(x) + ɛ] då n N. Exempel 3 Vi kn h en kontinuerlig gränsfunktion trots tt konvergensen inte är likformig. Betrkt t.ex. funktionern
Om konvergens v funktionsföljder 5 (12) nx x 1/n f n (x) = 2 nx 1/n x 2/n. 2/n x 1 Denn funktionssvit konvergerr mot noll punktvis överllt, men 1 y f n f = f n = f n ( 1 ) = 1 för ll n, n så konvergensen är uppenbrligen inte likformig. 1 n x 2 n 1 För tt bli riktigt nvändbrt behöver vi okså en sts som grnterr tt en funktionsföljd är likformigt intervll i ett område. En sådn är Sts 2: Weierstrss Mjorntsts Låt tlföljden { n } vr sådn tt f n+1 (x) f n (x) n för ll x i S oh sådn tt k <. k=1 Om det då gäller tt f n f punktvis då n i S, så är konvergensen likformig. Bevis. Dett följer mer eller mindre direkt v observtionen [1] tt f(x) f n (x) = (f k+1 (x) f k (x)). k=n Med hjälp v tringelolikheten får vi nämlgen tt f f n S k. k=n Genom tt välj n tillräkligt stort kn vi få högerledet här hur litet vi vill h det. Vi kn nu fullfölj konstruktionen v exponentilfunktionen som diskuterdes i föregående vsnitt.
Om konvergens v funktionsföljder 6 (12) Exempel 4 Låt f n (x) = 1 + x + x2 2 +... + xn n! = n Vi vill vis tt denn funktionsföljd är likformigt konvergent på vrje intervll v formen x K genom tt nvänd Weierstrss mjorntsts. Dett görs i prinip på smm sätt som vi tidigre visde den punktvis konvergensen om vi håller lite koll på detljern. Först hr vi tt f n (x) f n 1 (x) = xn n! x n n! Tg nu ett heltl N > K. För n > N gäller då tt K n n! C( K N )n N, k= C = KN N!, v smm skäl som tidigre. Definier tlen { C då n N n = C( K N )n N då n > N. x k k!. Kn n!. Från oh med det N:te indexet utgör dess en geometrisk tlföljd, så summn v dem är konvergent. Förutsättningrn i Weierstrss mjorntsts är därför uppfylld, så funktionsföljden är likformigt konvergent. En konsekvens v dett är tt gränsfunktionen är kontinuerlig, d.v.s. funktionen f(x) = k= x k k! är en kontinuerlig funktion. Är vi därmed klr med tt vis tt differentilekvtionen vi strtde med hr en lösning? Nej, vi vet nämligen inte tt u verkligen uppfyller integrlekvtionen. För tt se det måste vi vis följnde: u(t) = lim n u n+1 (t) = 1 + lim n u n (s)ds = 1 + ( lim n u n (s))ds = 1 + u(s)ds. Den v dess likheter som vi ännu inte vist är den tredje, men den får vi ur följnde sts. Sts 3 Om funktionern f n ll är kontinuerlig på ett intervll [, b] oh f n f likformigt på [, b] då n, så gäller tt b f n (x)dx b f(x)dx då n.
Om konvergens v funktionsföljder 7 (12) Bevis. Givet ɛ > kn vi enligt förutsättningen om likformig konvergens finn ett N sådnt tt det för ll x som uppfyller x b gäller tt Men då hr vi tt b f n (x)dx Dett är beviset. b f n (x) f(x) < ɛ då n N. b f(x)dx = b (f n (x) f(x))dx f n (x) f(x) dx < (b )ɛ. Exempel 5 Betrkt funktionssviten nf n (x) där f n (x) är tringelfunktionern i Exempel 3. Då är ll integrler 1 f n(x)dx = 1, men integrlen v gränsfunktionen nturligtvis noll. Men så hr vi inte likformig konvergens heller. Anmärkning Stsen generlisers direkt till flerdim så tt om f n f likformigt på en kompkt mängd K, så gäller tt integrlern f K n(x)dx f(x)dx. Beviset är K detsmm! Ett närbesläktt oh viktigt resultt är i näst sts. Sts 4 Låt f n vr kontinuerlig på ett intervll [, b] oh deriverbr i det inre. Antg tt f n f punktvis på [, b] oh tt f n g likformigt i (, b). Då är f deriverbr i (, b) oh det gäller tt g = f. Bevis. Vi vet tt g är kontinuerlig i (, b) oh enligt föregående sts gäller tt x g(t)dt = lim n x Anlysens huvudsts ger nu resulttet. f n(t)dt = lim n (f n (x) f n ()) = f(x) f(). En följdsts till dett är tt en oändlig serie kn derivers termvis om den deriverde serien är likformigt konvergent. Även denn sts hr nturligvis en direkt motsvrighet i flerdim: Sts 5 Antg tt f n C 1 (Ω, R m ) är en svit funktioner sådn tt f n f punktvis på Ω oh tt j f g j likformigt på kompkt delmängder v Ω då n, j = 1,..., n. Då följer tt f C 1 (Ω, R m ) oh tt j f = g j, j = 1,..., n.
Om konvergens v funktionsföljder 8 (12) Anmärkning Vi kn lterntivt skriv villkoren som tt f n f punktvis oh df ω likformigt, där ω är en differentilform, oh dr slutstsen tt då gäller tt df = ω. Sts 6 Låt f(x, y) oh dess prtiell derivt 1 f(x, y) vr kontinuerlig på rektngeln R = [, b] [, d]. Då gäller tt d dx d f(x, y)dy = d Speiellt är integrlen i vänsterledet deriverbr. 1 f(x, y)dy. Bevis. Eftersom R är en kompkt mängd oh funktionern f oh 1 f är kontinuerlig blir de likformigt kontinuerlig där, oh därmed blir integrlern Φ(x) = d f(x, y)dy, Ψ(x) = d 1 f(x, y)dy kontinuerlig funktioner på intervllet [, b]. I vrje punkt i [, b] hr vi därför tt x Ψ(t)dt = x ( d 1 f(t, y)dy)dt = d x 1 f(t, y)dtdy = d (f(x, y) f(, y))dy = Φ(x) Φ(x). Det följer tt Φ (x) = Ψ(x) oh stsen är bevisd. Anmärkning Smm bevis fungerr för generliserde integrler (d = ) under förutsättning tt vi dessutom ntr tt integrlen f(x, y)dy konvergerr punktvis oh integrlen 1 f(x, y)dy konvergerr likformigt på [, b]. Slutligen hr vi följnde observtion. Om det för funktionsföljden f n (x) gäller tt det till vrje ɛ > går tt finn ett N sådnt tt f n f m E < ɛ då n, m N, så gäller tt det finns en kontinuerlig funktion f på E sådn tt f n f likformigt på E. En svit som uppfyller dett villkor utgör en Cuhy-svit. Beviset för påståendet följer v tt vi för vrje x E hr tt f n (x) är en Cuhy-svit, oh lltså konvergerr mot något gränsvärde f(x). Låt sedn m i villkoret ovn för tt få den likformig konvergensen.
Om konvergens v funktionsföljder 9 (12) Konvergens v monoton funktionsföljder Sts 7: Dini s sts Om en följd {f n } 1 v kontinuerlig funktioner är monoton i en kompkt mängd K R n oh går mot en kontinuerlig gränsfunktion f, så är konvergensen likformig. Bevis. Genom tt betrkt f n f, som är kontinuerlig, inser mn tt det räker tt vis stsen då gränsfunktionen är. Genom tt eventuellt gå över till f n kn vi okså nt tt följden vtr mot. Låt vr en punkt i K. Den punktvis konvergensen i ger då tt det till vrje ɛ > finns ett n = n() sådnt tt f n() () < ɛ. Av kontinuiteten hos dett f n() följer tt det finns en omgivning ω() till sådn tt f n() (x) < ɛ då x ω(). Utnyttjr vi nu tt följden är vtgnde får vi v dett tt f n (x) < ɛ då x ω() oh n n(). Eftersom den kompkt mängden K enligt Heine-Borels lemm kn täks med ändligt mång omgivningr ω( i ), i = 1..., m gäller därför tt f n (x) < ɛ då x K oh n N, där N är det störst v n( i ). Dett visr tt f n K ɛ då n N, oh därmed tt konvergensen är likformig. Exempel 6 Sätt f n (x) = (1 + x n )n, n = 1, 2,... y Dess funktioner är kontinuerlig oh följden konvergerr som beknt mot den kontinuerlig funktionen e x. Kn vi vis tt följden är monoton följer v Dinis sts tt konvergensen är likformig på vrje kompkt intervll. För tt se tt den är monoton ersätter vi n med en kontinuerlig vribel t oh håller x fixt. Logritmerr vi får vi 2 1 ln(1 + x t )t = t ln(1 + x t ), 1.5.5 1 x oh deriverr vi det m..p. t får vi ln(1 + x t ) x t + x = ln(t + x) ln t x = x t + θx x t + x = x 2 (1 θ) (t + θx)(t + x) t + x
Om konvergens v funktionsföljder 1 (12) Här nvänder vi medelvärdesstsen, oh eftersom < θ < 1 ser vi tt logritmens derivt är positiv, så den är växnde om t > x. På vrje kompkt intervll är följden f n (x) därför växnde, åtminstone för tillräkligt stor n. Anmärkning På intervllet [X, ) är konvergensen däremot inte likformig ty f n f [X, ) =. Det beror på tt exponentilfunktionen växer snbbre mot än ll polynom, speiellt då f n. Ett motsvrnde rgument visr tt konvergsen inte heller är likformig på ett intervll (, X]. Följnde exempel är en viktig konsekvens v Dini s sts. Exempel 7 Låt f n, f vr ike-negtiv funktioner som är integrerbr oh ntg tt f n f monotont då n. Då gäller tt f n (x)dx = f(x)dx. lim n För tt vrför kn vi nt tt f n är växnde. Till givet ɛ > kn vi då t ett tl X sådnt tt Dett medför tt X X f(x)dx + f(x) f n (x) dx + X X f(x)dx < ɛ/2. f(x) f n (x) dx < ɛ för ll n. Men Dini s sts visr tt f n f likformigt på [ X, X],så det följer tt X X f(x) f n (x) dx < ɛ/2 om n är tillräkligt stort, oh dderr vi dem får vi tt totlintegrlen är < ɛ. Speiellt får vi tt om u n (x) är kontinuerlig, ike-negtiv oh integrerbr oh om serien n u n(x) konvergerr punktvis mot en integrerbr funktion s(x), så gäller tt s(x)dx = u n (x)dx. n
Om konvergens v funktionsföljder 11 (12) Ekvikontinuitet Bolzno-Weierstrss sts säger tt vrje begränsd tlföljd hr en konvergent delföljd. En lterntiv formulering är tt om S är en begränsd mängd reell tl så finns minst en punkt sådn tt det finns en oändlig svit k S sådn tt k då k. I mång smmnhng behöver mn en motsvrnde sts för funktioner: gäller det tt en begränsd följd funktioner lltid hr en konvergent delföljd? Inte utn vidre, men låt oss försök oss på ett bevis för en sådn sts. Vi utgår från en följd v kontinuerlig funktioner f n sådn tt det finns en konstnt M för vilken vi hr tt f n (x) M för ll x [, b]. En sådn funktionsföljd sägs vr likformigt begränsd. Låt nu r i vr en uppräkning v ll rtionell tl i intervllet [, b]. Vi kn då hitt en delföljd f m v f n sådn tt f m (x i ) konvergerr för vrje r i. Triket är Cntors digonlrgument. Vi vet tt f n (r 1 ) är en begränsd följd v reell tl, vilket betyder tt den hr en konvergent delföljd f n1 (r 1 ). För f n1 (r 2 ) gäller i sin tur tt den okså är begränsd, oh därför hr en konvergent delföljd f n2 (r 2 ). På det här sättet kn vi fortsätt tt välj ut delföljder f nk sådn tt f nk (r k ) konvergerr. Om vi nu definierr f k ( som det k:te elementet i delsviten f nk, så hr vi konstruert en delsvit f k v f n sådn tt f k (x) är konvergent för vrje rtionellt tl x. Men tt vi hittt en delsvit som konvergerr för ll rtionell tl är ett långt steg ifrån tt den konvergerr för ll reell tl. De rtionell tlen utgör ju en försvinnnde liten del blnd de reell tlen. Så vd mer behöver vi för tt sviten okså sk konverger för ll irrtionell tl? Triket är tt inför ett begrepp snrlikt likformig kontinuitet, fst där likformigheten nu gäller en mängd v funktioner. Definition 2 En mängd F v kontinuerlig funktioner sägs vr ekvikontinuerlig på mängden E om det gäller tt mn till vrje ɛ kn hitt ett δ sådnt tt för ll f F. f(x) f(y) < ɛ om x, y E oh x y < δ Ekvikontinuiteten gör tt vi kn trnsporter konvergensen i rtionell punkter till närliggnde, reell punkter. Innn vi slutför beviset formulerr vi stsen ordentligt. Sts 8: Arzèl-Asolis sts Om en oändlig följd v reellvärd funktioner {f n } definierd på ett kompkt intervll [, b] är likformigt begränsd oh ekvikontinuerlig, så finns en delsvit {f nk } som konvergerr likformigt (mot en kontinuerlig funktion).
Om konvergens v funktionsföljder 12 (12) Anmärkning Omvändingen är okså snn, oh ingår egentligen i stsen: om vrje delsvit hr en konvergent delsvit, så är den ursprunglig sviten likformigt begränsd oh ekvikontinuerlig. Bevis. Vi fortsätter på beviset v tillräkligheten. Vi beteknr nu den utvld delsviten f n. Vd vi hr kommit frm till ovn är tt ovsett vilket ɛ > vi tr oh vilket rtionellt tl x k vi tr i [, b], så finns ett N = N(x k, ɛ) sådnt tt f n (x k ) f m (x k ) < ɛ 3 för ll m, n N. Vidre följer v ekvikontinuiteten tt det till vrje x [, b] finns en öppen omgivning I(x) v x sådn tt f n (x) f n (y) < ɛ/3 för ll n. Dess I(x) utgör en öppen övertäkning v [, b], oh vi kn då hitt en ändlig delövertäkning I(x 1 ),..., I(x m ) enligt Heine-Borels lemm. Tg nu ett x [, b]. Det ligger i något I(x k ) oh i smm omgivning kn vi hitt ett rtionellt tl r k. Vi hr då följnde uppskttning f n (x) f m (x) f n (x) f n (r k ) + f n (r k ) f m (r k ) + f m (x) f m (r k ). Men här är först oh sist termen i högerledet < ɛ/3 p.g.. ekvikontinuiteten. Smtidigt kn vi få mellntermen okså < ɛ/3 ur konstruktionen v delsviten, om vi br tr n, m N där N är det störst v N(r k, ɛ). Vi hr lltså tt f n f m [,b] < ɛ då n, m N, vilket betyder tt f n är en (likformig) Cuhy-svit. Den konvergerr därför mot en kontinuerlig funktion, vilket visr stsen. Anmärkning Vi hr formulert oh bevist stsen för en funktion v en vribel. Den utvidgs lätt till kontinuerlig funktioner på kompkt mängder i llmännre rum. Beviset är i llt väsentligt detsmm. Noteringr 1. Summn är teleskopernde: en ändlig delsumm är N (f k+1 (x) f k (x)) = f N (x) f n (x) i vilken vi låter N. k=n