Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com I den här artikeln ska vi ta en titt på en tillämpning av Jacobis elliptiska funktioner som ger en viss geometrisk insikt i dem. Om vi startar i nordpolen och rör oss med konstant fart så att vi hela tiden skär meridianterna med konstant hastighet så kommer vi att röra oss längs en spiralformad väg på jordklotet som lämpligen parametriseras med hjälp av dessa elliptiska funktioner. Genom att analysera dessa spiraler får vi insikt i de elliptiska funktionernas egenskaper.
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner (6) Introduktion Vi vill starta en flygresa i nordpolen som sker med konstant fart v (d.v.s. ds = vdt) så att vi skär alla meridianer precis en gång per varv runt jordaxeln och som är sådan att vi hela tiden ser samma stjärnor (eller solen) i det plan som bestäms av jordens rotationsaxel och vår punkt. Med tanke på jordens konstanta rotation (vi ignorerar rotationen runt solen) betyder det att vi antar att φ = at där φ anger longitud och a är vår konstanta vinkelhastighet. Det betyder att φ är proportionell mot spiralens båglängd s: φ = ks, k = a/v. Den väg på jordytan vi då kommer att röra oss längs kallas Seifferts sfäriska spiral och beror alltså på en parameter, k. Om vi använder cylindriska koordinater så kommer den att beskrivas av Jacobis elliptiska ekvationer, och syftet med denna artikel är att relatera dessa spiralers beroende av k med egenskaper hos dessa elliptiska ekvationer. Anmärkning När vi passerar en pol måste vi ha en konvention om hur kurvan ska uppföra sig. Vi bestämmer att när φ ska vara oförändrad då. 2 Parametrisering av Seifferts spiral Låt, som i figuren till höger, (r, φ, z) vara cylindriska koordinater i rummet med bågelement ds 2 = dr 2 + r 2 dφ 2 + dz 2. Enhetssfären kan då skrivas r 2 +z 2 =, vilket betyder att rdr + zdz = och alltså ds 2 = dr 2 + r 2 dφ 2 + r2 r 2 dr2 = r 2 dφ 2 + r 2 dr2. På Seiffertspiralen gäller dessutom att dφ = kds, så dess båglängd ges alltså av ds = dr ( r2 )( k 2 r 2 ). Detta i sin tur innebär att r = sn(s, k). Om vi istället uttrycker ds i z, får vi att z = cn(s, k), så Seiffertspiralen har parametriseringen c(s) = (sn(s, k), ks, cn(s, k)). Notera att c() = (,, ) är precis nordpolen.
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner 2 (6) I en godtycklig punkt P skär denna kurva en meridian under en vinkel α (se figur) vilken är sådan att dz2 + dr cos α = 2 = k ds 2 sn 2 (s, k) = dn(s, k). Slutligen, om vi uttrycker ds 2 i θ, dθ, användande att r = sin θ, z = cos θ och dφ 2 = k 2 ds 2 så får vi att s = θ dt k2 sin 2 t. Lösningen θ(s) = am(s, k) av detta kallas amplituden, så vi ser att Jakobis amplitudfunktion am(s, k) inte är något annat än vinkeln θ i figuren ovan. Formlerna sn(s, k) = sin am(s, k), cn(s, k) = cos am(s, k), k 2 sn 2 (s, k)+dn 2 (s, k) = är nu uppenbara. 3 Egenskaper hos Seifferts sfäriska spiral Vi ska nu titta närmare på spiralerna som sådana. Fallet k = är enkelt. Då är φ = hela tiden, och spiralen är precis Greenwich-meridianen. Denna har parametrisering (sin s,, cos s), så vi ser att sn(s, ) = sin s, cn(s, ) = cos s, dn(s, ) =. Låt nu k vara litet, d.v.s. hastigheten v är stor. Då kommer spiralen att skära meridianerna med en liten vinkel α, vilket betyder att dn(s, k) är nära för alla s. Figuren nedan visar att spiralen är antisymmetrisk m.a.p. en reflektion i ekvatorialplanet och periodisk..8.6.4.2.2 2 3 4 5 6 7.4.6.8 Delarna som går mellan polerna erhålls genom att vi roterar klotet lite, och det är naturligt att införa ett periodbegrepp för spiralen: längden av ett segmentet som startar och slutar i samma pol kallas spiralens period. Den blå kurvan i figuren ovan är den första perioden av spiralen. Längden K(k) av bågen mellan polen och ekvatorn kallas den fullständiga elliptiska integralen och fås ur integralen K(k) = dr ( r2 )( k 2 r 2 ).
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner 3 (6) Den totala periodlängden är då 4K(k), vilket blir perioden för r = sn(s, k) och z = cn(s, k). Dessa återvänder nämligen till sina startvärden första gången med samma derivata efter en hel period på spiralen. Däremot är perioden för dn(s, k) lika med 2K(k), vilket följer av att cos α är lika med ett varje gång en pol korsas. Med undantag för vissa specialfall som vi återkommer till gäller att varje punkt på sfären genomlöps två gånger av spiralen, med undantag för polerna, vilka den går igenom oändligt många gånger. Den är av oändlig båglängd, om den inte är en sluten kurva..8.6.4.2.2 2 3 4 5 6 7 8 9 2.4.6.8 När vi låter k kommer vinkeln som spiralen skär meridianerna under att närma sig en rät sådan. Detta därför att r = på ekvatorn och cos α =. Det betyder att spiralen aldrig skär ekvatorn, utan snurrar runt i den övre hemisfären och närmar sig ekvatorn asymptotisk, det senare eftersom den har oändlig längd. Då k = blir φ = s och vi får att sin α = r dφ = r = sin θ, α = θ. ds I ord, när k = gäller att vinkeln som spiralen gör med meridianerna är lika med latituden. Dessutom ser vi att sn(s, t) = sinh(s), cn(s, ) = dn(s, ) = / cosh(s)..9.8.7.6.5.4.3.2. 2 3 4 5 6 7 8 9 Att k är stor innebär att vi flyger långsamt, vilket betyder att banan måste gå runt nära nordpolen. Faktum är att om k > så stannar hela banan i den övre hemisfären, vilket man inser genom att betrakta den punkt P där kurvan antar sitt längsta z-värde. I den punkten är spiralen tangentiell till motsvarande latitudcirkel, vilket betyder att cos α =. Eftersom cos α = k sn 2 (s, k) följer att värdet på r i punkten P är sådan att r = max sn(s, k) = s k,
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner 4 (6) vilket är det längsta spiralen ligger från rotationsaxeln. Motsvarande latitud ges av Detta svarar mot latituden θ = arcsin(/k). z = min s cn(s, k) = /k 2..8.6.4.2.2 2 3 4 5 6 7 8 9.4.6.8 4 Reciprocitetsrelationer för Jacobis elliptiska funktioner Per definition är sn(s, k) inversen till funktionen för vilken vi får I(x/k, k) = x/k vilket betyder att Ur det får vi sedan att I(x, k) = x dt ( t2 )( k 2 t 2 ), dt x ( t2 )( k 2 t 2 ) = ds k ( k 2 s 2 )( s 2 ) = k I(x, /k), cn(ks, /k) = dn(s, k), sn(ks, /k) = k sn(s, k). Dessa formler kan vi också motivera geometriskt. Antag att k < och lägg enhetssfären i en sfär med samma medelpunkt men radien R = /k. Vi projicerar nu Seiffertspiralen på enhetssfären på den yttre sfären, parallellt med rotationsaxeln. Låt φ, r, θ, z tillhöra enhetssfären och motsvarande primmade variabler på den större sfären. Då gäller att φ = φ, r = r = sin θ = R sin θ, och vi får att kds = dθ / k 2 sin 2 θ. Det betyder att sin θ = sn(ks, /k). dn(ks, /k) = cn(s, k). Å andra sidan har vi att sin θ = sn(s, k], vilket leder till reciprocitetslagen för sn.
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner 5 (6) 5 Slutna spiraler En fråga återstår: är några, och i så fall vilka, av Seiffertspiralerna slutna kurvor? Antag att k <, så att kurvorna går mellan polerna, och antag att kurvan startar i riktning av Greenwich-meridianen φ =. Villkoret att kurvan är sluten innebär då att vi ska återvända till nordpolen längs meridianen φ n = 2πn för något positivt heltal n. Vi antar att det är första gången vi återkommer till nordpolen längs någon meridian svarande mot en sådan vinkel. I nordpolen är r = och det vi kräver är att sn(s n, k) =, där s n är båglängden av denna kurva. Men eftersom s n = φ n /k betyder detta att sin(ks n ) =, d.v.s. s n = 2πn/k. Detta i sin tur leder till att sn(2πn/k, k) =, vilket i sin tur betyder att 2πn k = K(k) för något heltal p. Med andra ord, funktionen f(k) = 2 π kk(k) ska anta ett rationellt värde. Eftersom denna varierar mellan och då < k < finns det gott om sådana värden. Vi kan också noter att det rationella talet, som med beteckningarna ovan är p/n (maximalt förkortat) kan tolkas som följer. p är antalet perioder som sn(s, k) genomlöper innan kurvan sluter sig, medan n ger antalet varv kurvan går runt rotationsaxeln. Några exempel visas i figuren nedan. n =, p = 4 n = p = n = 4, p = När k > är situationen lite annorlunda, eftersom kurvan då håller sig i den övre hemisfären. Nu blir villkoret att dn( πp 2kn, k) = där p, n är positiva heltal.
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner 6 (6) Referenser [] Paul Erdös Spiraling the Earth with C.G.J. Jacobi Am. J. Phys., Vol. 68, No. (Oct., 2), pp. 888 895