Tentamen i Matemati, HF sep, l 8:-: Examinato: min Halilovic Undevisande läae: Fedi Begholm, Jonas Stenholm, Elias Said Fö godänt betyg ävs av max poäng Betygsgänse: Fö betyg, B, C, D, E ävs,,, espetive poäng Kompletteing: poäng på tentamen ge ätt till ompletteing (betyg Fx) Vem som ha ätt till ompletteing famgå av betyget Fx på MIN SIDOR Kompletteing se c:a två veco efte att tentamen ä ättad Om ompletteing ä godänd appoteas betyg E, annas appoteas F Hjälpmedel: Endast bifogat fomelblad (miniänae ä inte tillåten) Till samtliga inlämnade uppgifte fodas fullständiga lösninga Siv endast på en sida av pappeet Siv namn och pesonnumme på vaje blad Inlämnade uppgifte sall maeas med yss på omslaget Denna tentamenslapp få ej behållas efte tentamenstillfället utan sa lämnas in tillsammans med lösninga Uppgift (p) (Uppgift an du som ä godänd på KS hoppa öve) a) (p) Veton v (,,) ä placead så att den sluta i punten (,,) Vila oodinate ha denna vetos statpunt? b) (p) Veton u ä längdenhete lång och itad åt at motsatt håll mot v Bestäm u på oodinatfom c) (p) Te vetoe ä givna: a (, ), b (, ) och c (,) Det gälle att c x a + y b Bestäm x och y Uppgift (p) Vi betata tiangeln OB vas hön ä i puntena O(,,), (,,) och B(,, ) Låt M och M vaa mittpuntena på sidona OB och B Bestäm oodinatena fö mittpunten på stäcan M M Uppgift (p) Bestäm volymen av den paallellepiped som spänns upp av vetoena a (,, ), b (,,) och c (,, ) Va god vänd
Uppgift (p) Tyngdpunten (masscentumet), T, fö ett system av fya patila definieas på följande sätt: T, dä patiel numme i ha massan mi och befinne sig i punten i Bestäm tyngdpunten fö följande system av fya patila: Patiel väge g och befinne sig i (,, ) Patiel väge g och befinne sig i (,, ) Patiel väge g och befinne sig i (,, ) Patiel väge g och befinne sig i (,, ) Uppgift (p) nge evationen fö det plan som ligge mitt emellan (ie på samma avstånd fån) och ä paallell med följande två plan x y + z och x y + z Fö full poäng sall svaet motiveas Uppgift (p) Låt och B a) Fö vila väden på onstanten ä matisen inveteba? (p) b) Sätt i matisen och lös följande evationssystem: X B (p) Uppgift (p) En ljusståle efleteas mot planet z x + y Den sicas ut fån punten P (,,) så att efletionspunten R bli oigo (,,) Vilen vetoitning (a, b, c) få den efleteade stålen, om ljusstålen efleteas så att vineln mot planets nomal i efletionspunten fö infallande ståle vineln mot nomalen fö efletead ståle De båda stålana och nomalen ligge i samma plan Lyca till
FCIT Uppgift (p) (Uppgift an du som ä godänd på KS hoppa öve) a) (p) Veton v (,,) ä placead så att den sluta i punten (,,) Vila oodinate ha denna vetos statpunt? b) (p) Veton u ä längdenhete lång och itad åt at motsatt håll mot v Bestäm u på oodinatfom c) (p) Te vetoe ä givna: a (, ), b (, ) och c (,) Det gälle att c x a + y b Bestäm x och y a) Om vetons statpunt ä och dess slutpunt ä B så ä beänas vetons oodinate med: v OB O O OB v (,,) (,,) (,, ) b) v (,, ) En veto itad åt at motsatt håll ä v (,, w w (,, (,, Bilda en enhetsveto i denna itning: (,, w + ( ) + ( Detta ge u (,, (,, ) c) c x a + y b Fö in givna väden: (,) x (,) + y (, ) Denna enda vetoevation ge två saläa evatione, en fö vadea oodinatitning: x + y x y Multiplicea ev med -: x + y x + y ddea ledvis: x y 8y Ev ge: y, 8 x + y x y, Sva: a) (,, ) b) u (,, (,, ) c) x, y, Rättningsmall: oet +p a) Rätt elle fel b) Rätt elle fel c) Ställe upp evationssystemet i x och y Uppgift (p) Vi betata tiangeln OB vas hön ä i puntena O(,,), (,,) och B(,, ) Låt M och M vaa mittpuntena på sidona OB och B Bestäm oodinatena fö mittpunten på stäcan M M
O (,,), OB (,,), OM OB (/,, /), OM ( O +OB) / (,, ) Låt S vaa mittpunten på stäcan M M Då gälle OM + OM OS (,, ) (,, ) (Uppgiften an ocså lösas med lifomighet) SVR: Koodinatena (x,y,z) (/,/,/) Rättningsmall: Helt ätt p Rätt OM och OM ge p Fel i båäninga (med ätt metod) ge -p Uppgift (p) Bestäm volymen av den paallellepiped som spänns upp av vetoena a (,,), b (,,) och c (,, ) Lösning Volymen absolutbeloppet av deteminanten med adena (,,), (,,), (,,): (()()) (()()) +()()) ( + Volymen ve Sva: ve Uppgift (p) Tyngdpunten (masscentumet), T, fö ett system av fya patila definieas på följande sätt: T, dä patiel numme i ha massan mi och befinne sig i punten i Bestäm tyngdpunten fö följande system av fya patila: Patiel väge g och befinne sig i (,, ) Patiel väge g och befinne sig i (,, ) Patiel väge g och befinne sig i (,, ) Patiel väge g och befinne sig i (,, ) Lösning Ta definitionen av tyngdpunten och sätt in givna väden: T (,-, - ) + (,, ) + (,, ) + (, -, ) + + + (,-, - ) + (,, ) + (,, ) + (, -, )
(,-, - ) (,-, - ) - - (,, ) Sva: T (,-, - ) Rättningsmall: Koetsubstitution i fomel p, Koet uttyc llt oet p (,-, - ) + (,, ) + (,, ) + (, -, ) ge + p (totalt p) Uppgift (p) nge evationen fö det plan som ligge mitt emellan (ie på samma avstånd fån) och ä paallell med följande två plan x y + z och x y + z Fö full poäng sall svaet motiveas Lösning Eftesom det plan som ligge mitt emellan ä paallell med de anda omme det att ha samma nomalveto, dvs n (,,) Planets evation ä PL : x y + z + d Det åtestå att hitta onstanten d och däfö behöve vi en punt tillhöande planet PL Fö att göa detta välje en godtyclig punt fån espetive plan, tex P,,) och P (,, ) Mittpunten på stäcan mellan P och P ä då ( + + + M (,, ) (,, ) som tillhö mittplanet PL Insättning av punten M i planets evation: PL : + + d d lltenativ lösning: Det söta planet ä paallell med de givna planen ge att n (,,) ä planets nomalveto En punt i planet ä mittpunten på stäcan mellan två punte P och P, dä P ligge på den ena och P på den anda av givna plan (välj t ex x och z i vaje plan) + + + P (,, ) och P (,, ) M (,, ) (,, ) Planets evation: ( x ) ( y + ) + ( z ) x y + z Sva: Evationen fö det plan som ligge mitt emellan ä ( x ) ( y ) + ( z ) elle x y + z ( elle x y + z ) Rättningsmall: - Rätt nomalveto elle planets evation utan beäning av onstanten d +p - Fel mittpunt -p -Koet metod, en mittpunt och en nomalveto men fel beäningp - Endast sva utan motiveing p
Uppgift (p) Låt B och a) Fö vila väden på onstanten ä matisen inveteba? (p) b) Sätt i matisen och lös följande evationssystem: B X (p) B och a) Matisen ä inveteba om och endast om det() det Matisen ä inveteba om och endast om b) Fö B X B EXE B EX B X B X B Bestämning av invesen till matis via Jacobis-metoden: 8 B X Rättningsmall: a) Rätt elle fel
b) Koet invesmatis p Koet uttycet fö X dvs llt oet i b-delen p X B +p Uppgift (p) En ljusståle efleteas mot planet z x + y Den sicas ut fån punten P (,,) så att efletionspunten R bli oigo (,,) Vilen vetoitning (a, b, c) få den efleteade stålen, om ljusstålen efleteas så att vineln mot planets nomal i efletionspunten fö infallande ståle vineln mot nomalen fö efletead ståle De båda stålana och nomalen ligge i samma plan ngivet plan gå genom oigo (,,) efletionspunten Punten P(,,) Låt v OP (,,) Betecna med en veto paallell med s spegelbilden av v med avseende på nomalen Planets nomal ä N (,,) eftesom planets evation ä x+yz Låt w vaa pojetionen av v OP på nomalen Då gälle ( olla fomelblad): v N w ( ) N (,, ) N N N Fö spegelbilden s gälle (se figuen) P Q R s OP + PR OP + PQ v + ( w v) w v v w s (,, ) (,,) O (,, ) + (,,) (,, ) lltså ä (,, ) en itningsveto fö den efleteade stålen Vi an välja vilen som helst veto paallell med s t ex (,, ) Sva: (,, ) Rättningsmall: p fö oet pojetion p fö oet uppställd fomel fö att omma till spegelbilden vdag fö enstaa slavfel i utäningana Baa utäninga med oet sva utan motiveinga ge p