SVERIGES LANTBRUKSUNIVERSITET Istitutioe för eergi och tekik Uwe Mezel e-post: uwe.mezel@matstat.de Formelsamlig Grudläggade matematiskt statistik 2080822 Saolikhetslära Klassisk saolikhetsdeitio: P A = g m g: atalet utfall som är gysamma för A ; m: atalet möjliga utfall Komplemetsats: Additiossats: Betigade saolikhet: Oberoede hädelser: P A = P A P A B = P A + P B P A B P A B = P A B P B P A B = P A P B eller P A B = P A Lage om total saolikhet: P R = i P R M i P M i P M i = partitio i Bayes sats: P B A = P A B P B P A Diskreta slumpvariabler Saolikhetsfuktio: Normerig: Saolikhet för hädelse A: P X = k = p X k p X k = k Ω P A = k A p X k Fördeligsfuktio: F X a = P X a = k a p X k Saolikhet för itervall: P a < X b = F X b F X a Sammahag p X k och F X k: p X k = F X k F X k Komplemetära hädelser: P X > a = P X a = F X a Mootoi: F X x mootot växade frå 0 till trappsteg
Kotiuerliga slumpvariabler Täthetsfuktio: Normerig: Fördeligsfuktio: Kvatiler: Saolikhet för itervall: f X x reell fuktio f X x dx = F X x = P X x = x f X t dt x α deeras geom: F X x α = α P a < X b = F X b F X a = b a f X x dx Sammahag f X x och F X x: Komplemetära hädelser: f X x = d dx F X x P X > x = P X x = F X x Mootoi: F X x mootot växade frå 0 till Vätevärde Diskreta s.v.: µ = EX = k Ω k p X k E gx = k Ω gk p X k Kotiuerliga s.v: µ = EX = x f X x dx E gx = gx f X x dx Varias, stadardavvikelse Diskreta s.v.: [ V X = E X µ 2] = E X 2 µ 2 = k 2 p X k µ 2 k Ω Kotiuerliga s.v: DX = V X [ V X = E X µ 2] = E X 2 µ 2 = DX = V X x 2 f X x dx µ 2
Lijärtrasformatio av s.v.: E a X + b = a EX + b = a µ + b V a X + b = a 2 V X = a 2 2 D a X + b = a DX = a Stadardiserig av s.v.: EX = µ DX = = Y = X µ har vätevärde 0 och std.avv. Vätevärde, stadardavvikelse för summa/dieres av s.v.: E a X + b Y = a EX + b EY V a X + b Y = a 2 V X + b 2 V Y + 2ab CX, Y V a X + b Y = a 2 V X + b 2 V Y för oberoede X, Y dvs. CX, Y = 0 V X + Y = V X + V Y om X, Y oberoede V X Y = V X + V Y om X, Y oberoede E Xi = E X i gäller allmät V Xi = V X i om X i oberoede Diskreta fördeligar: Likformig diskret fördelig: Biomialfördelig: Poissofördelig: Ω X = {a, a +,..., b} p X k = /N där N = b a + EX = a + b 2 b a + 2 b a V X = 2 X Bi, p Ω X = {0,, 2,..., } p X k = p k p k k EX = p V X = p p X P oµ Ω X = {0,, 2,..., } p X k = µk k! e µ EX = µ V X = µ X P oµ ; Y P oµ 2 = X + Y P oµ + µ 2
Kotiuerliga fördeligar: Likformig kotiuerlig fördelig: Expoetialfördelig: Normalfördelig: X Ua, b f X x = /b a för a x b aars 0 F X x = x a/b a för a x b aars 0 respektive f X x = EX = a + b 2 b a2 V X = 2 X Expλ f X x = λ e λ x för x 0 aars 0 F X x = e λ x för x 0 aars 0 EX = /λ V X = /λ 2 x α = lα λ X Nµ, ] x µ2 exp [ 2π 2 2 x µ F X x = Φ EX = µ V X = 2 x + där Φ fördeligsfuktio för N0, Φ a = Φa b µ a µ P a < X b = F X b F X a = Φ Φ P µ < X µ + 68% P µ 2 < X µ + 2 95% P µ 3 < X µ + 3 99.7% Φ λ α = α kvatiler för N0, P λ α/2 < X λ α/2 = α X Nµ, och Y = a X + b = Y N a µ + b, a X Nµ X, X och Y Nµ Y, Y = X ± Y N µ X ± µ Y, X 2 + 2 Y X i Nµ, oberoede = X i N µ, i= X i Nµ, oberoede = X = X i N gäller också om X i i.i.dµ, och stor CGS X N µ, = X µ / N0, X N µ X, X / ; Ȳ N µ Y, Y / = X ± Ȳ N i= µ, µ X ± µ Y, X 2 + 2 Y X Y
Approximatioer: X Bi, p = X P o p om p < 0. X Bi, p = X N p, p p om V X = p p > 5 detta iebär att FX Bi a + 0.5 p a Φ med halvkorrektio p p X P oλ = X N λ, λ a + 0.5 λ detta iebär att FX P o a Φ λ om λ > 5 med halvkorrektio X HypN,, m = X Bi, m/n om /N < 0. Lijär regressio: Puktskattigar för itercept α och lutig β: β = S xy och α = ȳ β x S xy = x i x y i ȳ = x i y i xȳ; = x i x 2 = x 2 i x 2 i= i= i= i= S yy aalogt Skattigar för varias 2 och stadardavvikelse i ɛ N0, : 2 = s 2 r ; = s r där s 2 r = Q 0 2 och Q 0 = S yy S2 xy Ekvatio för regressioslije: KI för lutig β : µ 0 = α + β x 0 I β = β ± t α/2 2 s r Sxx KI för itercept α : KI för regressioslije µ 0 vid x 0 : I α = α ± t α/2 2 s r I µ0 = µ 0 ± t α/2 2 s r + x2 + x 0 x 2 Förklarigsgrad: Pearsos korrelatioskoeciet ρ: ρ 2 = R 2 S2 xy R 2 = S yy gäller för ekel lijär regressio
Itervallskattig: s 2 = i= KI för µ i Nµ, ; kodesgrad α : [ x i x 2 = ] x 2 i x 2 i= I µ = x ± λ α/2 I µ = x ± λ α/2 är käd s okäd 30 I µ = x ± t α/2 s okäd, litet stickprov Esidiga KI för µ i Nµ, ; kodesgrad α : I µ = x t α s ; + I µ = ; x + t α s okäd, litet stickprov okäd, litet stickprov KI för varias 2 och stadardavvikelse i Nµ, ; kodesgrad α : f s 2 f s 2 I 2 = χ 2 α/2 f; χ 2 α/2 f där f = f f I = χ 2 s; α/2 f χ 2 α/2 f s där f = KI för µ = µ x µ y för två ormalfördeligar Nµ x, x och Nµ y, y ; kodesgrad α : I µ = x ȳ ± λ α/2 D med D = x 2 + 2 y x y är x,y käda I µ = x ȳ ± λ α/2 d med d = s 2 x + s2 y x y är x,y okäda me x och y stora 25 I µ = x ȳ ± t α/2 f d med f = x + y 2 är x = y = okäd och små stickprov och där d = s p + x s 2 x + y s 2 y med s p = x y f KI för förskjutig mella vätevärde µ för 2 parade stickprov frå N ; kodesgrad α: I µ = z ± t α/2 s z med z i = y i x i och där s 2 z = KI för skattig av e proportio för p i Bi, p: z i z 2 i= I p = x ± λ α/2 d där d = x x KI för skattig av skillade mella två proportioer två Bi: I p = x x 2 2 ± λ α/2 d där d = x x + x 2 2 x2 2 2
Hypotestest: Z-test ; ett stickprov ; X i N µ, ; X i oberoede ; käd: Kritiska område: H 0 : µ = µ 0 Z = X µ 0 / N0, om H 0 är sa Ω α = {z > λ α } för H a : µ > µ 0 Ω α = {z < λ α } för H a : µ < µ 0 Ω α = { z > λ α/2 } för Ha : µ µ 0 T-test ; ett stickprov ; X i N µ, ; X i oberoede ; okäd: Kritiska område: H 0 : µ = µ 0 T = X µ 0 S/ t om H 0 är sa Ω α = {t > t α } för H a : µ > µ 0 Ω α = {t < t α } för H a : µ < µ 0 Ω α = { t > t α/2 } för H a : µ µ 0 T-test ; två oberoede stickprov ; X i N µ x, ; Y i N µ y, ; samma som är dock okäd: H 0 : µ x µ y = µ 0 T = X Ȳ µ 0 tf om H 0 är sa S p x + y f = x + y 2 ; S p = Kritiska område: x S 2 x + y S 2 y f ; oftast µ 0 = 0 Ω α = {t > t α f} för H a : µ > µ 0 Ω α = {t < t α f} för H a : µ < µ 0 Ω α = { t > t α/2 f } för H a : µ µ 0 T-test ; två parade stickprov ; X i N µ i, x ; Y i N µ i + µ, y µ = systemat. förskjutig Kritiska område: H 0 : µ = µ 0 T = Z µ 0 S z / t om H 0 är sa z i = x i y i ; s 2 z = z i z 2 ; oftast µ 0 = 0 i= Ω α = {t > t α } för H a : µ > µ 0 Ω α = {t < t α } för H a : µ < µ 0 Ω α = { t > t α/2 } för H a : µ µ 0