LOGARITMEKVATIONER Vi ska visa först hur man löser två ofta förekommande grundekvationer Typ 1. log aa ff(xx) = nn och Typ2. log aa ff(xx) = log aa gg(xx) När vi löser logaritmekvationer måste vi tänka på att argument till logaritmer måste vara positiva. ( i ovanstående ekvationer ff(xx) > 0 och gg(xx) > 0). Det är best att börja lösningsprocess med ekvationens definitionsmängd. Bland våra formella lösningar accepterar vi endast de som ligger i ekvationens definitionsmängd. ========================================================== Typ1-ekvationer löser vi enligt logaritmens definition log aa ff(xx) = nn ff(xx) = aa nn ========================================================== Typ2-ekvationer löser vi genom att identifiera argument log aa ff(xx) = log aa gg(xx) ff(xx) = gg(xx) dessutom måste alla argument vara positiva d v s ff(xx) > 0 och gg(xx) > 0. ============================================================ Exempel 1. ( Typ1) Lös ekvationen Ekvationen är definierad om 2xx 3 > 0 d v s om villkor V1: x > 33/22 är uppfylld log 5 (2xx 3) = 2. 1 av 6
Vi har log 5 (2xx 3) = 2 2xx 3 = 5 2 2xx = 28 xx = 14 Eftersom x=14 satisfierar villkor V1, accepterar vi lösningen. Svar: = 14. Exempel 2. (Typ2) Lös ekvationen log 3 (xx 3) = log 3 (7 xx) Ekvationen är definierad om följande två villkor är uppfyllda: V1: xx 3 > 0 dvs xx > 3 och V2: 7 xx > 0 dvs xx < 77 Båda villkor är uppfyllda om 3< x <7 Nu har vi log 3 (xx 3) = log 3 (7 xx) ( typ 2; vi identifierar argument) xx 3 = 7 xx 2xx = 10 xx = 5 Eftersom xx = 5 satisfierar båda villkor, V1 och V2, accepterar vi lösningen. Svar: x = 5 ===================================================================== Om vi har mer komplicerade ekvationer använder vi logaritmlagar och förenklar ekvationer till Typ1 eller Typ2. Oftast använder vi följande tre lagar: log aa xx + log aa yy = log aa (xxxx) log aa xx log aa yy = log aa (xx/yy) nn log aa xx = log aa (xx nn ) Vi upprepar att lgxx = log 10 xx och lnxx = log ee xx där e 2.7 ===================================================================== 2 av 6
Exempel 3. Lös ekvationen log 3 (xx 2) + log 3 xx = 1 Villkor V1: xx 2 > 0 dvs xx > 22 Villkor V2: x > 00 Anmärkning: Varje lösning måste uppfylla båda villkor. ( I vårtexempel, om x>2 är båda villkor uppfyllda.) Vi löser ekvationen genom att skriva vänsterledet som en logaritm: log 3 (xx 2) + log 3 xx = 1 log 3 [x(xx 2)] = 1 x(xx 2) = 3 1 xx 2 2xx 3 = 0 ( aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) xx 1 = 3 ooooh xx 2 = 1 Endast lösningen xx 1 = 3 uppfyller båda villkor V1 och V2. Svar : En lösning xx 1 = 3 Exempel 4. Lös ekvationen lg(xx + 2) + lg 4 = lg(x + 1) + lg 2 V1: xx + 2 > 0 dvs xx > 2 V2: xx + 1 > 0 dvs xx > 1 Anmärkning 1. Om xx > 1 är båda villkor samtidigt uppfyllda. 3 av 6
Anmärkning 2. Argument i lg 4 och lg 2, d v s konstanter 4 och 2, är positiva. Vi skriver varje sida som EN logaritm: lg(xx + 2) + lg 4 = lg(x + 1) + lg 2 lg[ 4(xx + 2)] = lg[ 2(x + 1) ] ( vi identifierar argument) 4xx + 8 = 2xx + 2 2xx = 6 xx = 3 Eftersom 3 INTE uppfyller krav V1, V2, kan vi INTE acceptera xx = 3 som en lösning. Svar: Ekvationen har INGEN lösning. Exempel 5. Lös ekvationen ln(xx + 2) 2ln 5 = 3 ln 2 V1: xx + 2 > 0 dvs xx > 2. Med hjälp av logaritmlagar skriver vi varje sida som EN logaritm: ln(xx + 2) 2ln 5 = 3 ln 2 ( vi använder regeln nn ln xx = ln xx nn ) ln(xx + 2) ln 5 2 = ln 2 3 ( vi använder regeln ln xx llllll = ln xx ) yy ln (xx+2) 25 xx+2 25 = ln 8 ( vi identifierar argument) = 8 xx + 2 = 200 xx = 198 Eftersom xx = 198 satisfierar villkor V1 är det en lösning. Svar: x = 198 4 av 6
Uppgift 1. Lös nedanstående ekvationer. a) log 4 (xx 2) = 2 b) 3log 2 (xx + 1) = 2 c) 3lg(2 xx) = 6 d) 2 ln(2xx + 1) = 4 e) lg(xx + 1) + 2 lg 3 = 1 Lösning c) Definitionsmängd: 2 xx > 0 2 > xx xx < 2 3lg(2 xx) = 6 lg(2 xx) = 2 2 xx = 10 2 2 xx = 100 xx = 98 Eftersom vi accepterar lösningen eftersom xx = 98 uppfyller kravet xx < 2. Svar: a) xx = 18 d) = 1+ee2 2 b) xx = 1 + 2 2/3 c) xx = 98 e) xx = 1/9 Uppgift 2. Lös nedanstående ekvationer. Tipps: Glöm inte ekvationens definitionsmängd. a) log 2 (xx 2) + log 2 (5) = log 2 (xx 3) + log 2 (3) b) lg(xx 3) + lg(5) = lg(xx 4) + lg(6) c) lg(xx) + lg(xx 1) = lg 2 Svar: a) Ingen lösning b) xx = 9 c) x =2 ( notera att definitionsmängden är x > 1) Uppgift 3. Lös nedanstående ekvationer med hjälp av lämpliga substitutioner. a) (lg xx) 2 5 lg xx + 6 = 0 b) (ln xx) 2 3 ln xx + 2 = 0 Lösning a) ekvationen är definierad om xx > 0 Substitutionen llll xx = tt ger tt 2 5tt + 6 = 0 och tt 1 = 2, tt 2 = 3. Från llll xx = tt får vi lg xx = 2 xx = 10 2 xx 1 = 100 lg xx = 3 xx = 10 3 xx 2 = 1000 5 av 6
Båda lösningar ligger i definitionsmängden. Svar: a) xx 1 = 10 2, xx 2 = 10 3 b) xx 1 = e, xx 2 = ee 2 Uppgift 3. Lös nedanstående ekvationer a) xx llllll = 10 4 b) xx ( 3+llllll ) = 10 4 Tips. Logaritmera båda leden. Lösning a) Definitionsmängd: x>0 xx llllll = 4 lg(xx llllll ) = lg 10 4 lg xx lg xx = 4 (lg xx) 2 = 4 lg xx = ±2 xx 1 = 10 2, xx 2 = 10 2 Svar: a) xx 1 = 10 2, xx 2 = 10 2, b) xx 1 = 1/10, xx 2 = 10 4, 6 av 6