F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så säger mn tt f är inverterbr Mn betecknr lösningen med f 1 () och kllr funktionen f 1 för inversen till f T e är funktionen f() = 3, R, inverterbr Ekvtionen = f() = 3 hr ju den entdig lösningen = f 1 () = 1/3 Låt funktionen f vr definierd på ett öppet intervll I och ntg tt f är strängt monoton och deriverbr på I Om I och f () 0, så är f 1 deriverbr i punkten f() och (f 1 ) (f()) = 1/f () Funktionen f() = 3 är strängt monoton och deriverbr på hel R och f () = 3 Vi ser tt f () = 0 br då = 0 Därför är f 1 deriverbr i 3, då 0, och (f 1 ) ( 3 ) = 1/f () = 1/(3 ) Sätter vi = 3, så är = 1/3 och formeln ger oss tt (f 1 ) () = 1/f ( 1/3 ) = 1/(3( 1/3 ) ) = (1/3) /3 Smm resultt erhålls nturligtvis, om mn direkt deriverr f 1 () = 1/3 i punkten Funktionen rcsin Funktionen sinus är inte inverterbr, eftersom den ntr viss -värden för fler olik -värden Vi studerr restriktionen f() = sin, π/ π/ Då är D f = [ π/,π/] och V f = [ 1,1] Eftersom f är kontinuerlig, och f () = cos > 0, då π/ < < π/, så är f strängt vände i [ π/,π/] Ekvtionen f() = hr därför till vrje [ 1,1] en entdigt bestämd lösning [ π/,π/] Vi kllr denn lösning för Det gäller lltså tt = f 1 () = rcsin = sin = rcsin, då π/ π/ och 1 1 T e är rcsin 1 = π/ och rcsin 3/ = π/3 Då π/ < < π/, så är f () = cos > 0 Om = sin, där π/ < < π/, gäller det därför tt D rcsin = 1 f () = 1 cos = 1 cos = 1 1 sin = 1 1 Vi låter och bt roller och formulerr dett resultt som en sts: Sts 1 Då 1 < < 1, är D rcsin = 1 1 Copright c 01 b Kjell Elfström 1
De hperbolisk funktionern Inspirerde v Eulers formler cos = ei + e i och sin = ei e i i definierr vi de hperbolisk funktionern cosinus hperbolicus och sinus hperbolicus genom cosh = e + e och sinh = e e Mn ser direkt tt D sinh = cosh, och den hperbolisk ettn följer v cosh sinh = 1 cosh sinh = e + + e e + e = 1 Eftersom D sinh = cosh > 0 för ll reell, så är sinh inverterbr Vi betecknr inversen med rsinh Det gäller lltså tt = sinh = rsinh för ll reell och Som tidigre får vi, om = sinh, tt D rsinh = Sts För ll reell gäller det tt 1 D sinh = 1 cosh = 1 1 + sinh = 1 1 + D rsinh = 1 1 + Ekvtionen = sinh är ekvivlent med = e e Multiplicerr vi båd led med e, får vi den ekvivlent ekvtionen e = (e ) 1 Skriver vi t = e, övergår den i t t = 1 t = ± 1 +, och eftersom t = e > 0, så duger br lösningen t = + 1 + = ln( + 1 + ) Vi hr härmed bevist följnde sts Sts 3 För ll reell tl gäller det tt rsinh = ln ( + 1 + ) Någr integrler Stsern 1, och 3 ger oss direkt Sts d 1 = rcsin + C, 1 < < 1, d 1 + = rsinh + C = ln ( + 1 + ) + C, R
Med hjälp v prtiell integrtion får vi tterligre ett pr primitiv funktioner 1 I = d = 1 1 d = 1 1 d = 1 + d = 1 1 + 1 + d 1 1 = 1 1 J = + d = = 1 + = 1 + Löser vi ut I och J, får vi Sts 5 1 d + 1 d 1 = 1 I + rcsin 1 1 + d = 1 + 1 + d = 1 + 1 + d + 1 + + 1 1 1 + d 1 + d d 1 + = 1 + J + rsinh 1 d = 1 + rcsin + C, 1 1, (1) 1 + d = 1 + + rsinh + C, R () Att formel (1) gäller till höger i 1 och till vänster i 1 kn viss med hjälp v medelvärdesstsen Enligt integrlklklens huvudsts är F 1 () = 1 t dt 0 en primitiv funktion till f() = 1 Mn kn därför också vis (1) genom tt vis tt F 1 () och F () = 1 + rcsin skiljer sig åt med en konstnt, då 1 1 Då 0 1, är F 1 () ren v det skuggde området i figuren nedn Eftersom sin ϕ =, så är ϕ = rcsin Cirkelsektorns re är ϕ/, och tringelren är 1 / Vi får därför tt F 1 () = 1 + ϕ = 1 + rcsin = F (), 0 1, och eftersom både F 1 och F är udd funktioner, så är F 1 () = F (), då 1 1 = 1 t ϕ ϕ 1 1 t 3
Eempel 1 En cirkelskiv skll dels i tre lik stor delr med två prllell rk snitt Vr skll snitten plcers, om de skll ligg lik långt från cirkelns medelpunkt? Vi ntr tt cirkelns rdie är 1 Aren v den skuggde biten är 1 t dt = 1 t dt = ( 1 + rcsin ) 0 Hel cirkelren är π Mittenbiten, och även de båd övrig bitrn, upptr en tredjedel v cirkelskivn, då 1 + rcsin = π 6 Denn ekvtion, som br kn löss numeriskt, hr lösningen 0,693086 t + = 1 = 1 + rcsin π π 6 t 1 0,65 1 π Eempel En oljestick skll tillverks till en liggnde clindrisk tnk Hur skll den grders? Vi ntr, som i det förr eemplet, tt clinderrdien är 1 Vätskns volm är tnkens längd gånger vätskns vertikl tvärsnittsre Vätskevolmen är lltså proportionell mot nämnd tvärsnittsre, som är 1 t dt = π + 1 + rcsin 1 Full tnk motsvrr tvärsnittsren π Förhållndet melln vätskevolmen och tnkens volm är därför f() = 1 + 1 + rcsin π Låter vi d vr vätskedjupet, där d = 1 motsvrr hel tnkens djup, så är d = ( + 1)/ Värden i tbellen nedn hr frmkommit genom tt vi löst ekvtionen f() = k/10 då k = 0,1,,,10 t t + = 1 Volm Djup 0,0 0,000 0,1 0,156 0, 0,5 0,3 0,30 0, 0,1 0,5 0,500 0,6 0,579 0,7 0,660 0,8 0,76 0,9 0,8 1,0 1,000
Eempel 3 En get skll binds vid en stolpe på periferin v en cirkulär äng Hur långt skll bndet vr, om geten skll kunn bet v hlv ängen? Vi ntr tt ängens rdie är 1 och tt bndets längd är r Då är 1 < r < + = 1 ( 1) + = r Ängen är den vänstr cirkelskivn, och geten kn bet den skuggde delen, som består v två cirkelsegment med reorn 1 r r ( 1) d och 1 1 d Cirklrns skärningspunkter hr -koordinten För tt bestämm denn subtrherr vi den en cirkelns ekvtion från den ndrs r 1 = ( 1) + = + 1 Vi löser ut och får tt = = 1 r / Substitutionen 1 = rt i den först integrlen ger tt 1 (π r ( 1) d = r 1 t dt = r 1 r r/ r ) ( r ) r 1 rcsin Eftersom 1 = 1 är den ndr integrlen 1 1 d = π ) (1 r r 1 ( ) 1 r = r r ( r ), = r 1 ( ) r rcsin (1 ) r Aren v det skuggde området är summn ( A(r) = r π rcsin r ) + π ) (1 rcsin r ( r r 1 ) v dess integrler För tt förenkl dett uttrck sätter vi ϕ = π rcsin(r/) Då är rcsin (r/) = π/ ϕ/, vilket ger tt r/ = sin (π/ ϕ/) = cos (ϕ/) Vi får också tt 1 r / = 1 cos (ϕ/) = cos ϕ = sin(ϕ π/), vrför rcsin (1 r /) = ϕ π/ Använder vi formlern cos (ϕ/) = 1 + cos ϕ och cos (ϕ/) sin (ϕ/) = sin ϕ, får vi A(r) = ϕcos ϕ + π ϕ cos ϕ sin ϕ = π + ϕcos ϕ sin ϕ Löser vi ekvtionen π + ϕcos ϕ sinϕ = π/ numeriskt, får vi ϕ 1,90569579, vilket ger r 1,1587873 5
Båglängd En kurv given på prmeterformen = g(t), = h(t), t b, där g och h är kontinuerligt deriverbr funktioner, hr längden (g (t)) + (h (t)) dt En kurv v formen = f(), b, där f är en kontinuerligt deriverbr funktion, kn skrivs = t, = f(t) och hr därför båglängden 1 + (f (t)) dt Eempel Vi söker längden v kurvn =, b Om f() =, så är f () =, och formeln oven ger tt längden är Vi sätter t = och får L = 1 + d L = 1 [ t 1 + t 1 + t dt = + rsinht = b 1 + b 1 + ] b + ln(b + 1 + b ) ln ( + 1 + ) Eempel 5 Kurvn = t cos t, = t sin t, t 0, utgör en spirl Vi beräknr längden v den del där t b Här är d/dt = cos t t sint och d/dt = sin t + t cos t Därför är ( ) d + dt ( ) d = cos t + t sin t t cos t sin t + sin t + t cos t + t cos t sint dt = (1 + t )(cos t + sin t) = 1 + t, och längden är 0 1 + t dt = b 1 + b + ln (b + 1 + b ) 6