160819 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 160819 Svar och anvsnngar Uppgft 1 a) Svar: A(1 Bt)e Bt v = dx dt = d dt (Ate Bt ) = Ae Bt ABte Bt = A(1 Bt)e Bt b) Då partkeln byter rktnng har v v = 0, dvs (1 t) = 0. Svar: t = 1 s c) Den resulterande kraften hänger hop med acceleratonen enlgt Newtons andra lag: F = ma Om kraften är noll så är acceleratonen noll. V bestämmer först acceleratonen: a = dv dt = d dt A(1 Bt)e Bt = ABe Bt AB(1 Bt)e Bt = ABe Bt (1+(1 Bt)) = ABe Bt (2 Bt) V ser at t a = 0 då t = 2 Svar: t = 2 s
160819 TFYA16 2 Uppgft 2 a) Enlgt Arkmedes prncp är vattnets lyftkraft: F L = ρ v gv Lyftkraften är uppenbarlgen F L = 1,3 N. V vet föremålets massa, och v kan beräna dess volym från sambandet ovan: och slutlgen densteten: Numerskt får v: Svar: 1700 kg/m 3 ρ = V = F L ρ v g ρ = m V = mg F L ρ v 0,230 9,82 998 kg/m 3 = 1700 kg/m 3 1,3 b) En kväveatom har massan 14,0 u = 2,33 10 26 kg. För harmonsk svängnng gäller: f = 1 k 2π m V löser ut fjäderkonstanten: k = (2πf) 2 m Eftersom v har att göra med två kroppar rörelse under nverkan av varandra kan v använda ovanstående formel endast om v ersätter: där µ är den reducerade massan: Eftersom m 1 = m 2 = m vårt fall får v att: Insatt sambandet för frekvensen får v alltså: m µ µ = m 1m 2 m 1 + m 2 µ = m2 2m = m 2 k = (2πf) 2 µ dvs Numerskt får v nu: k = 2p 2 f 2 m k = 2π 2 (3,0 10 13 ) 2 2,33 10 26 N/m = 410 N/m Svar: 410 N/m
1 N 160819 TFYA16 3 Uppgft 3 m M a) V börjar med att frlägga lådorna. Observera att kraften på repet är lka stor båda ändar! v N 2 N 1 T T F f 2 f 1 mg Mg Eftersom lådorna rör sg med konstant hastghet har v a = för båda två. V tecknar kraftstuatonen på de båda lådorna med hjälp av Newtons andra lag. Den högra lådan: Wednesday, August 24, 2016 : Ma x = F T f 1 = 0 (1) : Ma y = N 1 Mg = 0 (2) och den vänstra lådan: : ma x = T f 2 = 0 (3) : ma y = N 2 mg = 0 (4) För att bestämma T tttar v närmare på ekvaton (3), som säger att: T = f 2 V kan tecknar frktonskraften som: som med ekvaton (4) blr: och således gäller att: Svar: µmg f 2 = µn 2 f 2 = µmg T = µmg b) Arbetet beräknas som: W = F s V behöver alltså bestämma kraften F. Eftersom v vet spännkraften från a) så kan v använda ekvaton (1) och (2) F = T + f 1 = T + µmg = µmg + µmg = µ(m + m)g Arbetet blr alltså: Svar: µ(m + m)gs W = µ(m + m)gs
160819 TFYA16 4 Uppgft 4 a) Eftersom nga yttre kraftmoment verkar på kulorna så kommer rörelsemängdsmomentet att vara bevarat: L 1 = L 2 före och efter sänknngen. Eftersom L = Iω = 2πIf har v: Ett tröghetsmoment, I, kan beräknas som: 2πI 1 f 1 = 2πI 2 f 2 I = m r 2 där r är avståndet från axeln som man beräknar tröghetsmomentet med avseende på. I vårt fall beräknar v tröghetsmomentet krng en lodrät axel genom rotatonscentrum: I 1 = 2mr 2 1 = 2mr 2 sn 2 θ och efteråt: I 2 = 2mr 2 Alltså: 2mr 2 sn 2 θf 1 = 2mr 2 f 2 och v löser ut f 2 enlgt: f 2 = f 1 sn 2 θ Med θ = 30 får v: f 2 = 1 4 f 1 Svar: f 2 = 1 4 f 1 b) V beräknar knetska energn läge 2: E k,2 = 1 2 I 2ω 2 2, där enlgt uppgft a). V vet också att: ( ) 1 I 2 = 2mr 2 = 4 2 mr2 = 4I 1 och kan nu skrva knetska energn som: E k,2 = 1 2 4I 1 f 2 = 1 4 f 1 ω 2 = 1 4 ω 1 ( ) 2 1 4 ω 1 = 1 ( ) 1 4 2 I 1ω1 2 = 1 4 E k,1 Knetska energn läge 2 är alltså endast en fjärdedel av den läge 1. Svar: 4
160819 TFYA16 5 Uppgft 5 För att kunna beräkna något rörelsen för pendelkulan behöver v känna tll dess hastghet/energ just efter kollsonen. Detta kan v beräkna genom att analysera själva stöten, eftersom rörelsemängden (och energn) bevaras. För att kunna analysera stöten behöver v veta rörelsemängden (dvs hastgheten) för den vänstra kulan nnan stötögonblcket. V kan alltså dela upp problemet tre delar. 1. Nedför backen Eftersom ngen frkton fnns säger energprncpen: E k + E p = W f }{{} =0 dvs E k,b E k,a + E p,b E p,a = 0 Eftersom den vänstra kulan startar från vla har v: E k,a = 0 och det är naturlgt att sätta: E p,b = 0 V får då ekvatonen: E k,b = E p,a mu2 = mgh 2 där u alltså är hastgeten vd B just före stöten, som v kan lösa ut: u = 2gh 2. Stöt Rörelsemängden bevaras för de två partklarna stöten, eftersom nga yttre krafter verkar: p före = p efter V kallar den vänstra kulans hastghet efter stöten v, och den tyngre kulans hastghet V. Då säger bevarandelagen att: mu = mv + MV V = m (u v) (1) M Eftersom stöten är helt elastsk bevaras även rörelseenergn: som v kan förenkla och skrva som: 1 2 mu2 = 1 2 mv2 + 1 2 MV 2 m(u 2 v 2 ) = MV 2. Vänsterledet kan v skrva om så att uttrycket får formen: m(u v)(u + v) = MV 2 (2)
160819 TFYA16 6 V är ntresserade av att bestämma V. Eftersom u är känd så vll v helst ha ett uttryck för V som funkton av u, och de ngående massorna. V kan dvdera (2) med (1), med följande resultat: som v förenklar tll: m(u v)(u + v) m(u v) u + v = V = MV 2 MV V har nu ett samband mellan hastgheterna och v kan elmnera v från (1) genom att sätta n v = V u, med följande resultat: m(u (V u)) = MV V (M + m) = 2mu V = 2mu M + m V vet nu hastgheten för pendelkulan just efter stöten. 3. Pendelrörelse Om v betraktar geometrn vd pendelrörelsen så ser v att: h 2 = R R cos θ = R (1 cos θ) (3) Om v kan beräkna hur högt kulan svngas upp y-led så kan v alltså enkelt beräkna vnkeln. V kan återgen utnyttja energprncpen: E k + E p = 0 E k,2 E k,1 + E p,2 E p,1 = 0 Där v med vårt val att E p = 0 vd punkten B får: eftersom E k,2 = 0 vändläget. Alltså: E p,2 = E k,1 Mgh 2 = 1 2 MV 2 V sätter n uttrycket för V : Med uttrycket för u får v: h 2 = 1 2g h 2 = 2 g h 2 = 1 2g V 2 4m 2 u 2 (M + m) 2 = 2 g och med de gvna massorna, M = 3m, blr detta: m 2 u 2 (M + m) 2 2m 2 ( ) 2 gh m (M + m) 2 = 4h M + m ( ) 2 1 h 2 = 4h 1 + 3
160819 TFYA16 7 V sätter nu n detta (3) som ger: h 2 = 1 4 h 1 h = R (1 cos θ) 4 och v löser ut den sökta vnkeln: ( θ = arccos 1 h ) 4R Numerskt får v slutlgen: ( θ = arccos 1 1,20 ) ( = arccos 1 1,20 ) = arccos 13 4 1,60 4 1,60 16 35,7 Svar: 35,7 Kommentar: Man måste nte räkna hela uppgften rent algebraskt. Sätt gärna n numerska värden den uttryck som är nramade ovan.
160819 TFYA16 8 Uppgft 6 a) För statsk jämvkt gäller: och τ = 0 (1) f x, = 0 (2) f y, = 0 (3) V börjar med att rta ut de krafter som verkar på balken. V kallar kraften från väggen F. Hur den är rktad vet v nte med säkerhet på förhand, utan v markerar den med en godtycklg rktnng. För att kunna använda oss av momentekvatonen (1), behöver v bestämma oss vlken punkt v beräkna momenten krng. V bestämmer också att postv momentrktnng är medurs, det har ngen större betydelse. Det är bra att välja punkten P, eftersom momentet från kraften F med avseende på P är noll (kraften passerar ju genom momentpunkten). F θ S mg L τ = mg sn θ SL = 0 2 Här ser v att v drekt kan bestämma spännkraften: De två övrga ekvatonerna blr: f x, = F x + S x = 0 f y, = F y + S y mg = 0 V är ntresserade av beloppet: F = F 2 x + F 2 y S = mg 2 sn 30 = mg 4 θ S v och bestämmer därför komposanterna F x Spännkraftens komposanter är och F y F y mg S x = S cos θ F x och S y = +S sn θ
160819 TFYA16 9 Vårt ekvatonssystem blr nu: som v förenklar tll: dvs Beloppet av kraften blr således: Svar: 52 8 mg F = F x S cos θ = 0 F y + S sn θ mg = 0 F x mg 4 cos 30 = 0 F y + mg 4 sn 30 mg = F y 7 8 mg = 0 F 2 x + F 2 y = mg F x = 3 8 mg F y = 7 8 mg 3 8 2 + 72 52 8 2 = mg 8 2 = 52 8 mg b) För stela kroppar gäller att: τ = Iα där α = θ, dvs vnkelacceleratonen. Om v vet denna kan v beräkna den tangentella acceleratonen för stångens ena ände som: a t = αl För en stång som roterars krng sn ena ände har v: I = 1 3 ML2 enlgt tabell. Kraftmomentet med avseende på punkten Q är: Sammantaget har v alltså: τ = mg L 2 sn θ mg L 2 sn θ = 1 3 ml2 α som v förenklar tll: g 4 = 1 3 Lα α = g 3 L 4 och den sökta acceleratonen är alltså: a t = αl = g 3 L 4 L = 3g 7,4 m/s2 4 Svar: 3g/4