Formelamlg tll Geodetk och fotogrammetrk mätg- och beräkgtekk Vero 015-03-04 Tllägg 018-10- Geodetk och fotogrammetrk mätg- och beräkgtekk by Latmäteret m.fl. lceed uder a Creatve Commo Erkäade-Ickekommerell-IgaBearbetgar 3.0 Uported Lcee.
1. Jordmodeller E ellp bekrv med hjälp av de två axlara a och b elgt: X a b Z 1 där a är halva toraxel och b är halva lllaxel (e Fgur 1.1). Rotataoellpode bekrv då elgt: X Y a Z b 1 där X, Y och Z är gva ett koordatytem med orgo rotataoellpode (ellpodk jordmodell) mttpukt (dv. ett geocetrkt kartekt koordatytem, e Fgur 1.1). (1.1) (1.) Fgur 1.1. Rotatoellpod med axlara a och b. X, Y och Z utgör ett geocetrkt kartekt koordatytem. vplattge (f) på rotatoellpode är deferat om: a b f (1.3) a Sambad för att traformera mella ett färkt koordatytem och ett geocetrkt kartekt koordatytem: X ( R h )co co Y ( R h Z ( R h )co ) (1.4) där R är jordrade (ka approxmera tll 6 370 000 m), φ är färk lattud, λ är färk logtud och h är höjd över färe.
Omvät ambad defera elgt: R Z Y X h Y X Z X Y ta ta (1.5) Sambadet för att traformera mella ett geografkt koordatytem (lattud (φ) logtud (λ) och höjd över ellpode (h)) och ett geocetrkt kartekt koordatytem är: ) ) (1 ( )co ( co )co ( h e N Z h N Y h N X (1.6) där N är tvärkrökgrade och e är de förta excetrctete. Dea båda parametrar betäm av ellpode form och defera om: ) ( 1 e a N f f e (1.7) Det vera ambadet mella karteka koordater och geografka koordater ge av följade formelambad: N p h ae p e ae Z X Y co co 1 ta ta 3 3 (1.8) där 1 ta,och e p Z Y X p 1.1. vtådberäkgar Eukldkt avtåd: ) ( ) ( ) ( B B B E Z Z Y Y X X d (1.9)
Sfärkt avtåd (e beteckgar Fgur 1.): d R (1.10) co, B co, co, B co(,, ) (1.11), B där R är jordrade (ka approxmera tll 6 370 000 m) och ψ är bågavtådet.. Kartprojektoer Fgur 1.. Sfärkt avtåd (d ). Omräkg av färka koordater tll koordater Mercator projektoe (N, E): N R l ta 4 E R där färk lattud (φ ) och färk logtud (λ ) age radaer. (.1) 3. Höjdytem För koverterg mella olka höjdytem aväd: h = höjde över ellpode, H = höjde över geode, och N = geodhöjd. H h N (3.1) Sambad mella höjde över ellpode SWEREF99, geodhöjde SWEN08_RH000 och höjde över havet RH 000 är: H h N (3.) RH 000 SWEREF 99 SWEN 08_ RH 000
4. Koordattraformatoer Helmerttraformato (lkformg traformato) två dmeoer ge av (e beteckgar Fgur 4.1): E N E N där m är kalfaktor och R är de tvådmeoella rotatomatre. 0 0 E mr (4.1) N Fgur 4.1. Helmerttraformato. De tvådmeoella rotatomatre R är e fukto av vrdge α och defera om: co R (4.) co Om ma aväder uttrycket för rotatomatre R formel 4.1 erhåll följade ambad för Helmerttraformatoe: E E E m co N m 0 N N E m N m co 0 (4.3)
5. Mätutrutg Sambad mella våglägd (λ), utbredghatghet (c) och frekve (f) för elektromagetka vågor: Utbredghatghete, c, beräka elgt: c (5.1) f c 0 (5.) c där c 0 är ljuhatghete vacuum (,997945810 8 m/) och är brytgdex. Lägdberäkg med mpultrumet: där t är gågtde. d c t 0 (5.3) Lägdberäkg med faklladmätg: d N (5.4) där N är atalet hela våglägder och Δλ är de mot fakllade varade dele av e hel våglägd. Gvet frå faräkare är fakllade, varar mot dea fakllad blr då:, och de reterade dele av e våglägd om (5.5) Det adra mometet är att betämma atalet hela våglägder (N). Om v ekvato (5.4) ätter λ/=u och Δλ/=R, å får v: d NU R (5.6) U kalla ockå för ehetlägd och hela atalet hela våglägder ka beräka om v mäter lägde med olka frekveer. V får då: f : f : d N U R 1 1 1 1 d N U R f : d NU R (5.7)
Ekvatoytemet ka löa geom att välja f 1 å att U 1 alltd är törre ä de mätta träcka. Då är N 1 =0 och de förta ekvatoe är d=r 1, och v har e etydg lög av träcka d. Löge begräa dock av upplöge famätge.
6. Mätmetoder Formel för e oreterad rktg mella puktera och B lyder: B EB E E arcta( ) arcta( ) N N N där ma måte hålla reda på vlke kvadrat rktge lgger. Formel för avtåd har uteedet: B B B B (6.1) d ( N N ) ( E E ) N E (6.) olär mätg Koordatberäkg vd polär mätg ker elgt följade (e Fgur 6.1): N N d co( ) (6.3) E E d ( ) Bakåtobjekt B Imätt/utatt detalj d Statopukt Fgur 6.1. olär mätg Ibdg Koordatberäkg vd bdg med följade förutättgar (e Fgur 6.): Gvet: N, E = koordater för pukte N B, E B = koordater för pukte B Mätt: d d B = avtådet mella och = avtådet mella B och Sökt: N, E = koordater för pukte Fgur 6.. Ibdg
Beräka med följade formelambad: co d B d d B B d B d = B + B N E N d co (6.4) E d vvägg Grudprcpe vd avvägg formulera om (e Fgur 6.3): B F h h B F (6.5) Mätrktg vläg bakåt = B vläg framåt = F Höjdkllad h Fgur 6.3. Grudprcpe vd avvägg. Trgoometrk höjdmätg De kompletta formel för trgoometrk höjdmätg mella puktera och B lyder (e Fgur 6.4): l z (1 0.14) H B H B H ( h h ) l co z (6.6) R där H är höjdkllad och H beteckar höjd. De ta terme är korrektoe för jordkrökg och refrakto. R (jorde krökgrade) varerar beroede på var ma befer g på jorde; Sverge ka R ätta tll 6 390 km.
Sgal h h l *co z z l B h Itrumet Fgur 6.4. Trgoometrk höjdmätg. 6.1 reaformel rea av e polygo (a) där koordatera är käda för begrägpuktera och där begrägljera mella puktera är räta ljer beräka elgt formel: 1 a N ( E E ) (6.7) 1 1 1 där N = N-koordat för e brytpukt på polygoe E = E-koordat för e brytpukt på polygoe, och är atalet brytpukter. Obervera att puktera ka umrera medol (medur) ordg (e Fgur 6.5). Fgur 6.5. uktumrerg vd areaformel. Obervera att ta pukte (här 4) ockå får beteckge oll och att förta pukte ockå får beteckge +1 (här 5), där är atalet brytpukter. Detta är ett krav för att dexe formel 6.6 ka bl korrekta.
6. olygotåg Momet vd beräkg av polygotåg: 1) Iförade av data; ) Kotroll och utjämg av brytgvklar: Vkellutgfelet beräka geom följade formel: fördela på de mätta brytgvklara elgt 3) Beräkg av ΔN och ΔE; 4) Koordatlutgfelet, fn eller fe beräka geom följade formel: där Nlut =N-koordat för polygotåget alutgpukt Ntart = N-koordat polygotåget tartpukt Elut = E-koordat för polygotåget alutgpukt Etart = E-koordat polygotåget tartpukt 5) Utjämg av koordatfel Förbättrg N: Motvarade formel gäller för E-koordatera. 6) Då korrektoera är framräkade ka de lutlga koordatera f ör ypuktera beräka elgt följade:
Där N = ktuell koordat för pukte Motvarade formel gäller för E-koordatera. 7) Redova ypuktera koordater 7 Mätoäkerhet och mta kvadratberäkgar 7.1 Mätoäkerhet Stadardoäkerhete e ekld mätg l e mätere är detamma om tadardavvkele: där l är medeltalet 1 1 u( l) u ( l l ) v ( 1) 1 ( 1) 1 l (7.1) 1 l 1 (7.) är atalet mätgar och 1 atalet överbetämgar. v beäm förbättrg. Ett vktat medeltal beräka om: p l p l... p l l p l p 1 1 / p1 p... p 1 1 (7.3) där p beteckar repektve mätg vkt. Motvarghete tll tadardavvkele beäm vktehete tadardoäkerhet och beräka elgt: 1 1 u p l l p v ( ) 1 1 1 1 (7.4) ur vlke de eklda mätge tadardoäkerhet ka beräka om: u( l ) u / p (7.5) Sammalagd tadardoäkerhet är e tllämpg av lage om fortplatg av mätoäkerhet på formel: Dea lag lyder: x f ( l, l, l,...) (7.6) 1 3 u ( xˆ ) c u ( l ) c u ( l ) c u ( l )... (7.7) c 1 1 3 3 x De partella dervatora c beäm kälghetfaktorer. Idexet c tår för combed. l Tllämpg av fortplatglage ger följade formler för beräkg av (det ekla) medeltalet tadardoäkerhet: u( l ) u( l) / u / (7.8)
och det vktade medeltalet tadardoäkerhet: Utvdgad mätoäkerhet beräka om: u( l ) u / p (7.9) 1 95 95 U ( xˆ) k u( xˆ) (7.10) (för kattge ˆx ). k 95 är täckgfaktor och 95 täckggrade %.
7. Mta-kvadratutjämg med matrer Ivere tll e *-matr B beräka elgt: 1 b11 b1 1 b b1 b b b b b b b b 1 11 1 1 1 11 Obervatoekvatoera vd elemetutjämg formulera om: (7.11) xˆ l v (7.1) xˆ l v xˆ l v 11 1m 1 1 1 1 m m där (*m) är koeffcetmatre, om ager ambadet mella tycke mätgar l och m tycke obekata, om katta av ˆx. Vektor v ehåller förbättrgara. Geom att löa ormalekvatoera: där T beteckar matre beteckar vktmatre: T T xˆ l (7.13) : trapoat, erhåll mta-kvadratkattgara: T -1 T x ˆ ( ) l (7.14) (7.15) 0 11 0 om, lkom ehetmatre, är e dagoalmatr, där p. Vktehete tadardoäkerhet ge av (jfr 7.4): och kattgara vara-kovaramatr av: u T v v m ˆ ˆ ˆ u ( x1) u( x1, xm) T -1 xˆ u u( xˆ, ˆ ˆ m x1 ) u ( xm) Skattgara korrelato ka mäta med (jfr 7.3): (7.16) Q ( ) (7.17) u( xˆ, ˆ ) ( ˆ, ˆ x j u x x j ) j u ( xˆ ) u ( xˆ ) u( xˆ ) ( ˆ u x j) (7.18) och tadardoäkerhete för e (ljär) fukto ˆ fx av de obekata ge av: j u ( fxˆ ) fq T ˆ u T -1 T xf f( ) f (7.19)
7.3 Utjämg av koordater När utjämg av koordater kall ke frå lägd och vkelmätg med hjälp av MK- metode måte ma omforma problemet å att det aluter tll de gva ljära förutättgara. Taylor utvecklg för e fukto med e varabel y = f(x) är där y 0 = f(x 0 ) och Δx = x x 0 Koordatutjämg vd lägdmätg När de mätta torhete är lägd får ma följade ambad mella koordater och lägd: Taylorutvecklg ger: N, E= koordater för pukte, ärmevärde eller käda NB, EB= koordater för pukte B, ärmevärde eller käda N, E= förbättrg för pukte NB, EB= förbättrg för pukte B Nu gäller äve att: db m = mätt värde. Nb = Nb (ärmevärde) + dnb db app = approxmatvt värde Eb = Eb (ärmevärde) + deb
7.4 Regreo och korrelato Ljär regreo går ut på att apaa e rät lje (e Fgur 7.1): y a bx (7.0) tll parva mätdata två erer. Obervera att v här aväder matematka deftoer på x och y. y y = a + bx a x Grudformel (8.1) ger ekvatoytemet: Fgur 7.1. Ljär regreo 1 x1 y1 v1 aˆ bˆ 1 x y v (7.1) Utfrå detta ka ma eda beräka kattgara på parametrara a och b, oäkerhetmått etc. på edvalgt maér. Det f dock ett bättre ätt, e eda. Kovarae mella två mäterer: u( x, y) 1 ( x x)( y y) 1 (7.) mäter grade av amvarato. Korrelatokoeffcete är e ormerad kovara, ett tal mella -1 och +1, om beräka om (jfr 7.18): xy 1 ( x x)( y y) ( x x) ( y y) 1 1 (7.3) Med hjälp av dea torhet ka formel för ljär regreo krva om tll: uy ( ) y y xy ( x x ) (7.4) ux ( ) om edat utyttjar medeltale ( x, y ), tadardavvkelera ( u( x), u( y ) ) amt korrelatokoeffcete. Ljeapage är megfull bara om 0,7 (grov tumregel). xy xy
7.5 Jämförele med termolog matematk tattk GUM-termer lage om fortplatg av mätoäkerhet medeltalet tadardoäkerhet tadardoäkerhet, u( ) tadardoäkerhet kvadrat, u ( ) överbetämgar Motvarade tradtoella termer är e tllämpg av Gau approxmatoformler medelvärdet tadardavvkele tadardavvkele vara frhetgrader