FFM234, Klssisk fysik och vektorfält - Föreläsningsnteckningr Christin Forssén, Institutionen för fysik, Chlmers, Göteborg, verige ep 13, 218 4. Integrlstser Minnesregel för strukturen på ll integrlstser (derivt v fält) = D (fält) ( ) D 1 (1) Enkelt exempel: integrtion v funktion v en vribel: b df dx dx = [f(x)]b = f(b) f() (2) Rnden v den endimensionell volymen [, b] är de två punktern och b, så tolkningen v högerledet i det schemtisk uttrycket ovn blir en summ över dess två punkter. Guss sts Mn kn lltid beräkn integrler enligt metodern på förr föreläsningen, men i viss fll kn mn tillämp integrlstser som förenklr beräkningrn. Ett viktigt exempel på en sådn sts är Guss sts. ts: Antg tt F är ett kontinuerligt deriverbrt vektorfält definiert i en volym. = är den slutn ytn som bildr rnden till och d = ˆnd där
ˆn är den utåtriktde enhetsnormlen. Då gäller tt F d = F d. (3) Kvntiteten F = F x x + F y y + F z z kllr vi för divergensen v F. Om mn tänker sig tt F är hstigheten för en vätsk, så kn mn se divergensen v F i en punkt som ett mått på hur mycket vätsk som strömmr ut från den punkten. Lägg märke till tt volymen i Guss sts måste vr smmnhängnde, men tt det inte är nödvändigt tt är smmnhängnde. kn mycket väl bestå v ett ändligt ntl vr för sig gltt ytsegment, så länge som de br tillsmmns bildr en sluten yt. idre kommer vi tills vidre tt begräns oss till "hyfst snällfält. Mer om dett längre frm i kursen. En fysiklisk tolkning v Guss sts är tt högerledet representerr flödet ut genom en yt och tt vänsterledet representerr närvror v källor till dett flöde innnför ytn. Integrnden F klls också för källtäthet. (4) Exempel: Guss sts (tentmen 211-8-25 vrint) Beräkn normlytintegrlen F d, (5) där F = F zẑ/ och är ytn x 2 + y 2 = (z 4) 2 och z 4 med normlen snett uppåt (lltså positiv z-komponent). Lösning: Bestäm utseendet på ytn och rit en tydlig figur. Undersök fältet F. ingulriteter? Beräkn F. lut ytn. Undvik singulriteter inuti den inneslutn volymen. Teckn Guss sts och beräkn integrlen. Hr normlen rätt riktning? år ytn är en kon med spetsen i z = 4 och en öppning nedåt. Den är lltså inte sluten! Fältet är utn singulriteter och divergensen är F = F /. i kn slut ytn genom tt lägg till en bottenpltt, z=, i xy-plnet. Dett blir en cirkelskiv med z = och rdie 4. Normlvektorn blir ẑ 2
för t pek ut från den inneslutn volymen. På den slutn ytn + z= kn vi sedn tillämp Guss sts F d = F d = F d = F 1 + z= 3 π(4)2 4. (6) i kn nu seprt beräkn z= F d =, (7) eftersom F = då z =. lutligen hr vi lltså F d = 64π 3 F 2. (8) Kontinuitetsekvtionen Tänk oss ett fll med en strömmnde fluid där vi ntr tt den totl mssn är bevrd. Densitetsfält ρ( r, t) Hstighetsfält v( r, t) Mssflödestäthet j( r, t) = ρ( r, t) v( r, t) Definier en yt d med normlriktning ˆn. Då blir j ˆn = mss/tidsenhet reenhet genom ytn. Inne i en volym finns mssn m = ρd. i kn räkn ut dm på två dt sätt: Från integrlen ovn: dm dt = ρ t d. Hur mycket mss flödr in i volymen per tidsenhet dm dt = {det som flödr ut} = j d = {Guss sts} = jd (9) mmntget så innebär det tt ( ρ t + ) j d = för ll volymer. Därför får vi kontinuitetsekvtionen (som uttrycker en storhets bevrnde) ρ t + j =. (1) 3
tokes sts Först given på skrivningen för mith s priset i februri 1854 i Cmbridge. (Bäst student J. C. Mxwell). ts: Den slutn kurvn C är rnden till ytn. Då gäller för ett kontinuerligt deriverbrt vektorfält F på tt ( ) F d = F d r, (11) där = C är rnden till och d = ˆnd. Normlriktningen (ˆn) och rndens riktning (C) är orienterde enligt högerhndsregeln. En viktig observtion är tt mn kn välj olik ytor som ll hr smm rnd. Integrlen i vänsterledet är lltså oberoende v vilken mn väljer. Tg två ytor 1 och 2 med smm rnd. Genom tt sätt smmn dem, och vänd riktning på normlen till den en får vi en sluten yt med =. i hr lltså ( ) ( F ) d = ( F ) d =. (12) 1 Eftersom ytn är sluten kn vi nvänd Guss sts, som säger tt dett skll vr lik med ( F )d där =. Integrnden här är identiskt noll. å vänsterledets i tokes sts oberoende v vilken yt mn väljer kn vi Guss sts ses som en konsekvens v identiteten 2 ( F ) =. (13) Inifinitesiml volymer och ytor: uttryck för divergens och rottion i kn nvänd Guss och tokes stser på inifinitesiml volymer och ytor för tt finn koordintoberoende definition v divergens och rottion på ett fält. Divergens i kroklinjig koordinter. Med hjälp v ytintegrlen kn vi konstruer en koordintoberoende definition v divergensen i punkten P (u 1 u 2 u 3 ). Betrkt en volym δ runt P, som är så liten tt F kn betrkts som konstnt, och nvänd Guss sts F 1 = lim δ δ F d δ 1 = lim F d, δ δ (14) (δ ) 4
(δ ) är den infinitesiml volymens begränsningsyt. Dess begränsningsytor väljs som koordintytor för u 1, u 2, u 3 i skriver F = F 1 ê 1 + F 2 ê 2 + F 3 ê 3. Betrkt först integrlen över u 1 -ytorn. torleken på ytelementet blir h 2 h 3 du 2 du 3 och riktningen blir +ê 1 och ê 1 på de två sidorn. Produkten F d kommer därmed h storleken (F 1 h 2 h 3 )du 2 du 3 och vi får inte glömm tt storhetern inom prntesen kn h ett u 1 -beroende F d ( ) = (F 1 h 2 h 3 ) u1+du 1/2 (F 1 h 2 h 3 ) u1 du 1/2 du 2 du 3 u 1 ytorn = (F 1h 2 h 3 ) u 1 du 1 du 2 du 3. (15) Eftersom volymen δ = h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3 blir det totlt ( F du 1 du 2 du 3 = lim (F 1 h 2 h 3 ) + (F 2 h 1 h 3 ) + ) (F 3 h 1 h 2 ) δ h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3 u 1 u 2 u 3 1 3 [ ] h1 h 2 h 3 = F i. (16) h 1 h 2 h 3 u i h i i=1 Exempel: sfärisk koordinter sklfktorer h r = 1, h θ = r, h ϕ = r sin θ Ett vektorfält F = F r ê r + F θ ê θ + F ϕ ê ϕ Divergensen blir ( F 1 ( = r 2 ) r 2 sin θf r + sin θ r = 1 ( r 2 ) 1 r 2 F r + r r sin θ θ (r sin θf θ) + ϕ (rf ϕ) θ (sin θf θ) + 1 r sin θ ) F ϕ ϕ. (17) Rottion i kroklinjig koordinter. Med hjälp v en kurvintegrl kn vi konstruer en koordintoberoende definition v rottionen. För ett infinitesimlt litet ytelement d = ˆnd hr vi ( ) ˆn F 1 = lim F δ δ d δ 1 = lim F d r, (18) δ δ (δ) där δ är ett litet ytelement med normlen ˆn och uttrycket ovn lltså ger komponenten v F längs enhetsvektorn ˆn. 5
i får (exempelvis) u 1 -komponenten v F genom tt låt δ vr en u 1 -yt. Rnden (δ) utgörs då v koordintlinjern för u 2 och u 3. Lägg ihop de fyr bidrgen och del med δ = h 2 h 3 du 2 du 3. Upprep dett för u 2 och u 3 komponentern. lutresulttet blir F 1 h 1 ê 1 h 2 ê 2 h 3 ê 3 == h 1 h 2 h 3 u 1 u 2 u 3 h 1 F 1 h 2 F 2 h 3 F 3. (19) Lplceopertorn i kroklinjig koordinter. lutligen kn kn mn nvänd uttrycken för grdient och divergens för tt få Lplceopertorn på en sklär i kroklinjig koordinter: φ = ( φ) 1 = h 1 h 2 h 3 3 ( ) h1 h 2 h 3 φ. (2) u i u i i=1 h 2 i Exempel (Guss sts): Tentmen 23-8-18 Beräkn integrlen där är ytn och fältet F ges v och F är konstnter. Lösning: i konstterr först tt ytn F d, (21) x 2 + y 2 + z 2 = 2, z >, (22) F = F 2 ( x, y, x 2 + y 2). (23) x 2 + y 2 + z 2 = 2, z > (24) är en hlvsfär med rdien. Fältet F är reguljärt överllt, och det hr divergensen F = F ( 2 x (x) + y (y) + ( x 2 + y 2)) = F z 2 ( + ) = 2F. (25) 6
Allt vi behöver gör för tt kunn tillämp Guss sts är därför tt slut ytn genom tt lägg till en bottenyt 1 med normlen ẑ, smtidigt som vi sätter normlen till till ê r. Guss sts ger oss nu tt F d = + 1 = 2 F F d + F d = 1 2π 3 3 F d = 2 F d = 4πF 2. (26) 3 i övergår nu till tt beräkn integrlen över 1 : F d = F ( ẑ) d = F ( x 2 1 1 1 2 + y 2) d. (27) Det är nu prktiskt tt skriv om integrlen på cylinderkoordinter F d F 2π = 1 2 ρ 2 ρdϕdρ = 2π F [ ] ρ 4 2 = πf 2. (28) 4 2 + 1 i kn nu få frm ett värde på vår sökt integrl F d = F d F d 4πF = 1 2 + πf 2 3 2 = 11πF 2. (29) 6 Exempel (tokes sts): Tentmen 23-8-18 Beräkn integrlen där kurvn C ges v skärningen melln ytorn och C F d r, (3) r 2 sin 2 θ ( 4 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) = 4 2, (31) z =. (32) Kurvn omsluts i moturs riktning sett ovnifrån (dvs högerorienterd reltivt z-xeln). idre ges fältet F v [( F = F r + r ) ( 2 sin2 θ sin 2ϕ ˆr + r cot θ + r ) 4 sin 2θ sin 2ϕ ê θ r ] sin θ sin2 ϕê ϕ. (33) F och är konstnter. 7
Lösning: trtegi: Bestäm kurvn C och rit en tydlig figur Undersök fältet F, singulriteter? Räkn ut F, singulriteter? lut kurvn C och bestäm ytn (oft fler möjligheter). Undvik singulriteter på ytn. Teckn tokes sts och beräkn de integrler som uppträder Kontroller en gång till tt delkurvorn och ytn hr konsistent riktningr. i följer lösningsstrtegin Bestäm kurvn C och rit en tydlig figur Formen på denn kurv tolks knske enklst i krtesisk koordinter x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ (34) z = r cos θ i börjr lltså med tt skriv om i krtesisk koordinter r 2 sin 2 θ ( 4 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) = 4 2 (35) 4x 2 + y 2 = 4 2, (36) vilket är mntelytn till en elliptisk cylinder med hlvxlrn och 2. kärningen med z = plnet blir då en ellips i xy-plnet med mittpunkt i origo och med hlvxlrn och 2. Undersök fältet F, singulriteter? Räkn ut F, singulriteter? i skriver om fältet genom tt grupper termern enligt gemensm prefktor. edn noterr vi tt de två termern blir väldigt enkl om de uttrycks i vrsitt koordintsystem [( F = F r + r ) ( 2 sin2 θ sin 2ϕ ê r + r cot θ + r ) 4 sin 2θ sin 2ϕ ê θ r ] sin θ sin2 ϕê ϕ [ = F r sin θ (sin θê r + cos θê θ ) + r ] sin θ sin ϕ (sin θ cos ϕê r + cos θ cos ϕê θ sin ϕê ϕ ) ( = F ρ êρ + y ) ˆx. (37) Där vi lltså hr nvänt tt projektionen i xy-plnet är ρ = r sin θ och tt ê ρ = sin θê r + cos θê θ och ˆx = cos ϕê ρ sin ϕê ϕ. 8
Noter tt vi hr skrivit F = F 1 + F 2 där vi uttryckt de två termern i olik koordintsystem. Den först termen är uttryckt i ett cylindriskt koordintsystem och den ndr i ett krtesiskt. i konstterr nu tt F är singulär för ρ = (genom F 1 -termen). edn beräknr vi rottionen. Det är inget problem tt vi hr skrivit vektorn som summn v två termer eftersom ( F 1 + F 2 ) = F 1 + F 2. Kom br ihåg tt nvänd rätt uttryck för rottionsopertorn fär de olik koordintsystemen. F = (F ρ ê ρ + F xˆx) = + F xˆx = y ( F y ) ẑ = F ẑ. (38) i noterr tt denn ej beror på ρ och ej är singulär. Fktum är tt det vr gnsk uppenbrt tt den först termen skulle h noll rottion (skiss gärn fältlinjern). lut kurvn C och bestäm ytn (oft fler möjligheter). Undvik singulriteter på ytn. Kurvn C omsluter redn en yt, men singulriteten gör det svårt tt pplicer tokes sts. Noter tt det fktum tt singulriteten sitter längs hel z-xeln (en sk linjesingulritet) gör det omöjligt tt konstruer en yt utn singulritet med br C som rnd. Istället inför vi en inre rnd för tt kunn nvänd tokes sts. Omge z-xeln med en liten cirkel, C ɛ med rdien ɛ. Lägg märke till tt medn vi följer C i moturs riktning, så måste vi följ C ɛ i medurs riktning. Kommentr 1: Högerhndsregeln. tå på ytn med tummen upp i normlens riktning och titt på rnden. Fingrrn ger riktningen. Teckn tokes sts och beräkn de integrler som uppträder tokes sts ger oss tt F d r + F d r = C C ɛ F d, ɛ (39) där ɛ är en yt som hr C och C ɛ till rnd. Denn yt hr normlvektorn ẑ. I gränsen ɛ kommer ɛ. Ytintegrlen, i gränsen ɛ, blir då lim ɛ F d F = ɛ d = F π()(2) = 2πF. (4) För tt räkn ut integrlen över C ɛ prmetriserr vi kurvn med vinkeln ϕ. Eftersom vi skll gå moturs längs en cirkel med rdien ɛ inser vi tt 9
d r = ɛê ϕ dϕ så tt integrlen blir C ɛ F d r = Alltså följer det tt 2π = F 2π C F ( ρ êρ + y ˆx ) ( ê ϕ ) ɛdϕ ɛ sin ϕ sin ϕdϕ då ɛ. (41) F d r = F d r = 2πF. (42) C+C ɛ Kontroller en gång till tt delkurvorn och ytn hr konsistent riktningr. Det är även en god idé tt kontroller enheten som skll vr enheten på F gånger längd (eftersom vi utfört en kurvintegrl). Ytterligre räkneproblem Exempel: Ytintegrl med öppning Beräkn integrlen F d, (43) där F = F / (xˆx + yŷ) och är ytn 2 x 2 y 2 = z och z 2 med normlen snett uppåt (lltså positiv z-komponent). i kn då börj med tt beräkn F = 2F /. Eftersom divergensen hr ett så enkelt uttryck är det locknde tt nvänd Guss sts, men ytn är en kon med spetsen i z = 2 och öppningen nedåt; den är lltså inte en sluten yt. i kn dock slut den genom tt lägg till en cirkelskiv, ɛ i xy-plnet med rdien 2 och normlvektorn ẑ. På den slutn ytn + ɛ kn vi sedn tillämp Guss sts F d = + ɛ F d = 2F d. (44) olymen v konen är d = 1 3 π (2)2 2 = 8π3 3, (45) 1
och lltså blir integrlen F d 2F = + ɛ 8π 3 3 = 16πF 2. (46) 3 i kn nu seprt beräkn ɛ F d, (47) men här lägger vi märke till tt F sknr en z-komponent, så F ẑ =, och integrlen över ɛ blir också noll. lutligen hr vi lltså F d = 16πF 2. (48) 3 Exempel: kurvintegrl längs komplicerd ellips Kommentr 2: PLK Kp. 2.5 Uppg. 3: Beräkn integrlen F d r, (49) där Γ F = [ x 2 (y + z) ] ˆx + ( y 2 z ) ŷ + [ z 2 (x + y) ] ẑ, (5) och Γ är den kurv som utgör skärningen melln cylindern och sfären (x ) 2 + y 2 = 2, z, (51) x 2 + y 2 + z 2 = R 2, R > 2, (52) där är en konstnt med dimensionen längd. Lösning: i kn först konstter tt skärningen melln cylinder och sfär är en ellips vrs exkt form är något komplicerd tt fstställ. Eftersom kurvn Γ är en sluten kurv är det locknde tt nvänd tokes sts, så vi beräknr rottionen F ˆx ŷ ẑ = x y z x 2 (y + z) y 2 z z 2 (x + y) = ( + ) ˆx + ( + ) ŷ + ẑ = ẑ. (53) 11
Alltså är rottionen v F en rent vertikl vektor. i kn nu nvänd tokes sts F d r = F d. (54) Γ Lägg märke till tt ytn skll orienters så tt den följer högerhndsregeln. Dett betyder tt om vi följer kurvn Γ moturs så skll normlen ˆn till pek uppåt. F d = ẑ ˆnd = ẑ ˆnd. (55) klärprodukten i den sist integrlen betyder tt vi projicerr ner ren på ett pln vinkelrät mot ẑ, det vill säg på xy-plnet. I dett plnet är skärningen cylinderns tvärsnittsyt, en cirkel med rdien, och integrlen blir cirkelren π 2. Alltså blir integrlen till slut F d r = π 2 = π 3. (56) Γ Exempel: kurvintegrl för ett krftfält Kommentr 3: PLK Kp. 2.5, Uppg. 2: En prtikel påverks v krftfältet [( πy πz ) F = F + sin ˆx + x ŷ + πx πz ] cos ẑ. (57) ilket rbete uträttr fältet då prtikeln rör sig i positiv riktning kring den cirkel som ges v skärningen melln x 2 + y 2 + z 2 = 2 (58) och Lösning: x = z? (59) För tt få ut rbetet behöver vi beräkn integrlen F d. (6) C i börjr med tt bestämm skärningskurvn C. x 2 + y 2 + z 2 = 2 är en sfär med rdien och centrum i origo, medn x = z är ett pln med normlvektorn ˆn = 1 ( 1,, 1). (61) 2 12
kärningen melln de båd ytorn blir en cirkel med rdien. Den motsvrnde cirkelskivn hr också normlvektorn ˆn. Med det vl som vi hr gjort v normlvektorn, så gäller tokes sts om prtikeln rör sig moturs längs cirkeln. i beräknr nu rottionen ˆx ŷ ẑ F = F πy x = ˆx + F ( π + sin πz y x cos πz π tokes sts ger oss sedn F d r = F d = C vilket är svret. = 1 π 2 π 2 F = πx z cos πz cos πz ) ŷ + F ( 1 π ) 1 π ẑ = F ẑ. (62) 1 π 1 F ẑ ( 1,, 1) d = 1 π F 2 2 π (1 π) 2 F, (63) d Exempel: Ytintegrl hlvcylinder Kommentr 4: PLK Kp. 2.4, Uppg. 7: Låt vr ytn y 2 + z 2 = 1, 1 x 1, z med normlvektor riktd uppåt. Beräkn F d, (64) där F = ( x, x 2 yz 2, x 2 y 2 z ). Lösning: Ytn är en den övre hlvn v en cylinder med x-xeln som symmetrixel. För tt tillämp Guss sts behöver vi slut denn yt, vilket vi kn gör genom tt lägg till två hlvcirklr, 1 och 3 vid x = 1 och x = 1, smt en bottenyt, 2. Normlvektorn till dess ytor skll väljs som en kontinuerlig fortsättning v normlvektorn på. Dett innebär tt 1 och 3 får normlvektorern ˆx och ˆx, smt tt normlvektorn till 2 blir ẑ. i ser nu tt normlvektorn överllt pekr ut från den volym som innesluts v, 1, 2 och 3, vilket är vd som krävs för tt vi skll kunn nvänd Guss sts. 13
i kn nu beräkn divergensen F = x x + ( x 2 yz 2) + ( x 2 y 2 z ) = 1+x 2 z 2 +x 2 y 2 = 1+x 2 ρ 2, (65) y z där vi hr infört ρ 2 = y 2 + z 2. i inför lltså en form v cylindrisk koordinter som utgår från x-xeln istället för som vnligt från z-xeln. i kn nu beräkn volymsintegrlen F d = 1 d + 1 1 π x 2 ρ 2 dϕρdρdx. (66) Tänk här på tt vi br integrerr över en hlvcylinder, så tt integrtionsintervllet för ϕ går från till π. Den först integrlen är br hlvcylindersn volym, så nu får vi F d = 1 2 2π + π [ x 3 3 ] 1 1 [ ρ 4 4 ] 1 ( 1 = π + π 3 + 1 ) 1 3 4 = 7π 6. (67) i får nu t hnd om de enskild begränsningsytorn. F d = xd = d = π 1 1 1 2, (68) eftersom x = 1 på 1. På smm sätt får vi på 3 F d = xd = π 3 3 2, (69) då x = 1 på 3. lutligen så finner vi tt på 2 så är F d = 2 x 2 y 2 zd =, 2 (7) ty z = på 2. Om vi ställer smmn dess uträkningr hr vi F d + F d + F d + F d = 1 2 3 F d, (71) och om vi här löser ut integrlen över smt sätter in värden för de enskild integrlern får vi F d = 7π 6 π 2 π 2 = π 6. (72) 14
Kommentr: För tt ytintegrlen skll vr definierd måste en yt vr orienterbr, det vill säg de skll gå tt kontinuerligt trnsporter normlvektorn från en del v ytn till en nnn. Det finns exempel på ytor som inte är orienterbr, till exempel Möbius-bnd, och för sådn ytor kn mn inte definier en ytintegrl. Exempel: Ytintegrl med koordintbyte Beräkn ytintegrlen ( 2ˆx + yŷ + z 2 ẑ ) d (73) över den slutn ytn : x 2 + y 2 + z 2 = 2z. Lösning: i börjr med tt studer ytn. Den kn skrivs om som Efter kvdrtkomplettering hr vi x 2 + y 2 + z 2 2z =. (74) x 2 + y 2 + (z ) 2 = 2. (75) Dett är en sfär med rdien och centrum i (,, ). Lägg märke till tt eftersom ytn redn är sluten, så råder det inte någon tvekn om hur normlvektorn är riktd. Konventionen säger oss tt normlvektorn för en sluten yt lltid pekr ut från den inneslutn volymen. I och med tt vi redn hr en sluten yt, så är det locknde tt nvänd Guss sts, och därför beräknr vi divergensen ( 2ˆx + yŷ + z 2 ẑ ) = + 2z. (76) Innn vi tr itu med volymsintegrlen byter vi z-koordinten till z = z, så tt sfären i de ny koordintern får sitt centrum i origo. I dess koordinter blir divergensen 3 + 2z. Enligt Guss sts blir vår ytintegrl nu ( 2ˆx + yŷ + z 2 ẑ ) d = (3 + 2z ) d. (77) i byter nu till sfärisk koordinter 2π π (3 + 2r cos θ) r 2 sin θdrdθdϕ = 2π = 2π [ 3r 2 cos θ + r 3 sin 2 θ ] π dr 6r 2 dr = 2π [ 2r 3] = 4π4, (78) 15
vilket är värdet på vår ursprunglig ytintegrl. 16