Anlys 36 En webbserd nlyskurs Grundbok X. Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com
X. Integrlklkyl (8) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn smm symbol som den primitiv funktionen f(x) dx, men mn måste nog håll isär dem. I den endimensionell nlysen gäller den s.k. insättningsformeln F (x) = f(x) dx f(x) dx = F (b) F (), så släktskpet är uppenbrt. Men den bestämd integrlen definiers egentligen på ett helt nnt sätt: mn kn se den som ren under grfen till f, om vi räknr ren med tecken så tt den är negtiv då ren ligger under x-xeln. På ett motsvrnde sätt definiers integrlen v funktioner v två vribler som en volym med tecken, o.s.v. Vi sk här introducer den bestämd integrlen genom insättningsformeln, eftersom det är så vi rbetr med den när vi sk bestämm den. Därefter sk vi se hur den så definierde bestämd integrlen kn tolks som en re med tecken. På vägen ser vi då tt vi till en godtycklig kontinuerlig funktion kn konstruer en primitiv funktion genom tt mät just ren under grfen och får därför tt ll kontinuerlig funktioner hr en primitiv funktion. Slutligen sk vi se lite på hur vi numeriskt kn bestämm en bestämd integrl när vi inte kn bestämm en formel för den primitiv funktionen. En ordentlig genomgång v den bestämd integrlen kräver egentligen tt mn börjr i ndr änden och definierr den som en re eller volym. Dett görs i integrtionsteorin, men det lämnr vi till en egen kurs. Efter tt vi på dett sätt hr bestämt vd en bestämd integrl är, tittr vi närmre på dess tolkning i form v ett gränsvärde v summor, s.k. Riemnnsummor. När vi gör det tittr vi också närmre på vd integrnden egentligen är för typ v objekt och vi ntyder hur tolkningen vi Riemnnsummor hjälper oss tt förstå de prktisk tillämpningrn v integrler. Slutligen generliserr vi den bestämd integrlen lite. Vi kn se den bestämd integrlen som tt vi integrerr en funktion längs ett intervll med vseende på x. Betydelsen v x är tt den mäter båglängd på dett kurvstycke. Mer precist, dx är längden v ett (infinitesimlt) liten bit v intervllet. Dett kn generlisers till tt vi integrerr funktioner (v två vribler) längs pln kurvor med vseende på båglängden, lltså längden v kurvn. Krvet är br tt kurvn är en styckvis C -kurv, så tt vi kn definier båglängden på den. Vi sk se hur dett definiers och tt den prktisk beräkningen v en sådn integrl innebär tt vi beräknr en vnlig bestämd integrl. Vi vslutr sedn med någr tillämpningr på hur mn kn beräkn volymer och reor v rottionskroppr. Den bestämd integrlen Låt f vr en funktion som är kontinuerlig i en omgivning till [] intervllet [, b]. Om F är en primitiv funktion till f i denn omgivning, kllr vi skillnden F (b) F () för den bestämd integrlen v f över intervllet [, b]. Denn beror uppenbrligen inte på vilken primitiv funktion vi väljer, ty om G är en nnn primitiv funktion till f så vet vi tt G(x) = F (x) + C för någon konstnt C. Det följer tt G(b) G() = F (b) F ().
X. Integrlklkyl 2 (8) Den bestämd integrlen beror därför endst v f och intervllet [, b] och vi inför därför beteckningen f(x) dx för denn. En nnn beteckning som är oft nvänd är [F (x)] b. Vi hr därför tre olik beteckningr för smm sk: f(x) dx = [F (x)] b = F (b) F (). Av dess sk vi ge den först en lterntiv tolkning i näst vsnitt medn den mellerst är en bekväm kortform v den till höger, som är vår ursprunglig definition. Exempel Vi hr tt 6 3 [ x x 2 3 dx = 3 ] 6 3 = 63 3 33 3 = 63. När mn nvänder den först v beteckningrn ovn kn det vr värt tt noter tt det inte spelr någon roll vd mn kllr integrtionsvribeln. Vi hr t.ex. f(x) dx = f(u) du = f(t) dt och så vidre, eftersom i ll fllen är det tlet F (b) F () som sk beräkns. Vi tillåter fllen = och b = under förutsättning tt integrlen får mening som ett gränsvärde. T.ex. sk tolks som f(x) dx X lim f(x) dx = lim (F (X) F ()). X X Exempel 2 Vi hr tt dx x 2 = [ x ] = lim X ( X + ) = + =.
X. Integrlklkyl 3 (8) På smm sätt tillåter vi tt funktionen f endst är definierd och kontinuerlig på det öppn intervllet ], b[ om vi kn beräkn integrlen över ll intervll [α, β], där < α < β < b, och får ett gränsvärde när α och β b. Här behöver vi inte gör gränsövergång i en ände där integrnden f är kontinuerlig. Exempel 3 dx dx = lim = lim(2 2 α) = 2. x α α x α Vi hr lite terminologi till dett. En integrl f(x) dx där f är kontinuerlig på det öppn intervllet (, b), men inte på det slutn intervllet [, b], klls en generliserd integrl. En sådn måste lltså beräkns genom (minst) en gränsövergång. Om dett gränsvärde existerr och är ändligt sägs integrlen konverger, nnrs sägs den diverger. Anmärkning Det är oft möjligt tt vgör om en generliserd integrl är konvergent eller inte utn tt de fcto beräkn den. Speciellt enkelt är dett om integrnden är, för då finns det br två möjligheter för den generliserde integrlen, ntingen () är den konvergent, eller (2) så blir gränsvärdet. Kn mn då hitt en lite större funktion vrs integrl är konvergent, så blir också den givn integrlen konvergent. Alterntivt, om mn hittr en lite mindre funktion, vrs integrl är divergent, så blir också den givn integrlen divergent. Vi sk nu ge ett ntl räkneregler för den bestämd integrlen, vilk ll är direkt konsekvenser v dess definition: ) f(x) dx =, b) c) d) f(x) dx = b cf(x) dx = c f(x) dx, f(x) dx, (f(x) + g(x))dx = f(x) dx + g(x) dx, e) f(x) dx = c f(x) dx + f(x) dx. c Den sist formeln är ekvivlent med tt F (b) F () = (F (c) F ()) + (F (b) F (c)). Noter tt det inte finns något krv på tt c sk ligg melln och b. En nnn viktig observtion är tt om g(x) f(x) i [, b] så gäller tt g(x) dx f(x) dx.
X. Integrlklkyl 4 (8) Bevis. Vi börjr med fllet tt g(x) = överllt. Då är f(x) och dess primitiv funktion är därför växnde i intervllet, vrför f(x) dx = F (b) F (). Ur dett följer sedn tt om f(x) g(x) överllt, så är Dett är påståendet. f(x) dx g(x) dx = (f(x) g(x)) dx. En direkt konsekvens v dett är tt om m f(x) M för x b, så gäller tt m b f(x) dx M. Till dess räkneregler kommer sedn formeln för prtiell integrtion: f(x)g(x)dx = [F (x)g(x)] b F (x)g (x)dx, vilken följer direkt ur motsvrnde formel för primitiv funktioner, smt Sts : Stsen om vribelsubstitution Om f är en kontinuerlig funktion och g en deriverbr och strängt monoton funktion sådn tt g(α) = och g(β) = b, så gäller tt f(t) dt = β α f(g(x))g (x)dx. Denn sts följer nturligtvis direkt ur kedjeregeln som tidigre. Hur mn prktiskt kn skriv ut räkningrn frmgår v näst exempel. Exempel 4 xdx + x 2 = t = + x 2 dt = 2xdx t() =, t() = 2 2 dt [ ] 2 2 t = t = 2. Funktionern g(x) i stsen ges lltså här v g(x) = + x 2 men nvänds som en ny vribel t.
X. Integrlklkyl 5 (8) Om Mclurinutvecklingr Redn i kpitlet Anlys v polynomfunktioner diskuterde vi den s.k. Tylorutvecklingen v en funktion kring en punkt. Vi sk nu se hur mn enkelt får denn formel med hjälp v prtilintegrtion och ett välkänt trick. För tt förenkl diskussionen börjr vi med tt nt tt = (Tylorutvecklingen klls då Mclurinutvecklingen). Vi ntr tt vi hr en funktion f definierd i en omgivning v origo som är så mång gånger deriverbr som resonemnget kräver, och tt ll dess derivtor är kontinuerlig. Insättningsformeln ger nu tt f(x) f() = x f (u)du = x f (xt)dt. Här hr vi i sist likheten infört ny vribel t genom smbndet u = xt (x i resonemnget är ett fixt tl). Men här kn vi skriv integrnden som f (xt) och prtilintegrer genom tt t t som primitiv funktion till :n: ) x f (xt)dt = x f (xt)d(t ) = x ([(t )f (xt)] (t )f (xt)x dt Med ndr ord, = xf () + x 2 ( t)f (xt) dt. f(x) = f() + xf () + x 2 ( t)f (xt) dt. Innebörden v dett är tt om vi pproximerr skillnden f = f(x) f() med df = f ()x så ges skillnden v uttrycket f df = x 2 ( t)f (tx)dt. Dett kn nvänds till mycket, men vi vhåller oss ifrån tt diskuter det här [2]. Istället fortsätter vi processen och betrktr integrlen ( t)f (xt)dt. Nu är ( t) 2 /2 en primitiv funktion till ( t), så vi hr tt ( t)f (xt)dt = f (xt)d( ( t)2 f (xt)xdt = f () + x 2 2 2 Tillsmmns med formeln ovn får vi nu tt f(x) = f() + f ()x + f () x2 2 + x3 2 ] ( t)2 ( t)2 ) = [ f (xt) 2 2 ( t) 2 f (xt)dt. ( t) 2 f (xt)dt. Dett klls Mclurinutvecklingen v ordning 2 v funktionen f. Andrgrdspolynomet utgör Mclurinpolynomet medn den sist termen, den med integrlen, utgör resttermen. Upprepr vi förfrndet en gång till (gör det som övning) får vi f(x) = f() + f ()x + f () x2 2 + f () x3 6 + x4 6 ( t) 3 f (4) (xt)dt,
X. Integrlklkyl 6 (8) vilket då klls Mclurinutvecklingen v ordning 3 v funktionen f. Vi inser nu tt vi llmännre hr Mclurinutvecklingen v ordning n: f(x) = n k= f (k) () xk k! + xn+ n! ( t) n f (n+) (xt)dt, där polynomet klls Mclurinpolynomet v ordning n och den sist termen är resttermen. Resttermen i Mclurinutvecklingen kn lterntivt skrivs på Lgrnge s form x n+ R n+ (x) = f (n+) (θx) (n + )! där θ i llmänhet beror på x. Att så är fllet följer med hjälp v följnde sts. Sts 2: Integrlklkylens medelvärdessts Antg tt f, φ är två kontinuerlig funktioner på ett kompkt intervll [, b] sådn tt φ överllt. Då finns ett θ ], b[ sådnt tt f(t)φ(t) dt = f(θ) φ(t) dt. Bevis. Dett följer v tt f min f(t)φ(t) dt φ(t) dt f mx, där f min, f mx är minst respektive störst värdet v f på det kompkt intervllet [, b]. Men enligt stsen om mellnliggnde värden följer då tt det finns ett θ i intervllet sådnt tt kvoten ovn är lik med f(θ). För tt få Lgrnge s form på resttermen ur dett tr vi som f i stsen t f (n+) (xt) och φ(t) = ( t) n. Vi får då x n+ n! ( t) n f (n+) (xt)dt = xn+ n! f (n+) (θx) Den llmänn Tylorutvecklingen kring en punkt f(x) = n k= f (k) (x )k () k! + (x )k+ k! x n+ ( t) n dt = f (n+) (θx) (n + )!. ( t) k f (k+) ( + (x )t)dt, fås genom tt nvänd Mclurinutvecklingen på funktionen g(t) = f( + t) och sätt t = x. Nturligtvis kn resttermen skrivs på (en modifiktion v) Lgrnges form även nu.
X. Integrlklkyl 7 (8) Integrlen mäter en re Vi sk nu gör en geometrisk tolkning v uttrycket f(x) dx, som i sin tur sk gör det möjligt för oss tt konstruer en primitiv funktion till en godtycklig kontinuerlig funktion. Vi börjr med tt gör en indelning = x < x <... < x n = b v intervllet [, b] i delintervll. Vi hr då tt F (b) F () = n (F (x k ) F (x k )). k= Ur medelvärdesstsen [3] och eftersom F = f, följer tt det i vrje intervll [x k, x k ] finns (minst) ett ξ k sådnt tt F (x k ) F (x k ) = f(ξ k )(x k x k ). Högerledet kn tolks som ren v en rektngel med bs v bredd k x = x k x k och höjd f(ξ k ). Noter tt ren här räkns med tecken: om f(ξ k ) < blir ren negtiv. Om vi summerr ll bidrgen får vi tt f(x) dx = F (b) F () = n f(ξ k ) k x. k= Högerledet åskådliggörs i figuren nedn. y x x 2... x k ξ k x k+... b x Av figuren verkr det som tt summn v rektngelreorn är lik stor som ren under kurvn. [4] Vi vill därför tolk f(x)dx = Aren under grfen y = f(x) över [, b].
X. Integrlklkyl 8 (8) Vi nvänder här uttrycket ren under grfen till tt men ren melln grfen och x- xeln, räknd positiv om grfen ligger ovnför x-xeln och negtiv om grfen ligger under x-xeln. Även om vi nu gjort dett troligt, så hr vi inte vist det strängt. För det måste vi nämligen först definier vd vi menr med ren under grfen och sedn dr slutstsen tt resonemnget ovn ger resulttet. Denn diskussion lämns till en diskussion om den s.k. Riemnn-integrlen, vilket är det begrepp som fyller igen hålen i resonemngen ovn. Det vi åstdkommit är tt vi fått en definition v f(x) dx även om vi inte hr en primitiv funktion till f, under förutsättning tt ren under grfen är väldefinierd. Men nu visr det sig tt vi kn nvänd denn definition till tt konstruer en primitiv funktion till en godtycklig kontinuerlig funktion. För tt gör dett låter vi f vr en kontinuerlig funktion på [, b] och vi definierr S(x) = x f(t) dt, x b. () Här beräkns högerledet lltså som ren under grfen till f. Vi sk då vis tt S är en primitiv funktion till f. Sts 3: Anlysens huvudsts Om f är kontinuerlig på intervllet [, b] så gäller tt funktionen S(x) definierd v () är deriverbr med derivtn S (x) = f(x). Bevis. För tt vis tt S är deriverbr i punkten c skriver vi S(x) S(c) = x c f(t) dt = H(x)(x c), (2) där höjden H(x) är npssd så tt rektngeln som hr som bs det intervll som hr ändpunkter c och x och höjd H(x), hr smm re (räknd med tecken) som området (grått i figuren) under grfen över intervllet [c, x]. Men vi ser då tt H är en kontinuerlig funktion i x = c; dess värde i x = c är helt enkelt H(c) = f(c). Dett därför tt H(x) min [c,x] f(x) H(x) mx f(x) [c,x] c x och om f är kontinuerlig i c gäller tt mx [c,x] f(x) min [c,x] f(x) då x c. Men enligt (2) visr dett både tt S är deriverbr och tt S är en primitiv funktion till f. Dett bevisr stsen.
X. Integrlklkyl 9 (8) Enligt nlysens huvudsts hr lltså vrje kontinuerlig funktion en primitiv funktion, vilken kn konstruers genom tt vi beräknr ren under dess grf från en strtpunkt. Om vi byter strtpunkt ändrr vi endst funktionen med en konstnt. Anmärkning Vi kunde kortt beviset lite genom tt hänvis till integrlklkylens medelvärdessts. Exempel 5 Det går inte tt hitt en primitiv funktion till funktionen f(x) = e x2 som kn uttrycks i de elementär funktionern. Anlysens huvudsts säger emellertid tt det finns en primitiv funktion; en sådn kn definiers genom S(x) = x e t2 dt och beräkns lltså genom tt vi beräknr ren melln grfen y = e t2 över intervllet [, x]. och t-xeln Anmärkning Med integrlen definierd som ren under kurvn kn vi lltså se tt vrje kontinuerlig funktion hr en primitiv funktion. Om F = f på [, b] hr vi sett ovn tt f(x) dx = F (b) F (), (3) och därmed lltså vår ursprunglig definition. Därmed gäller utomtiskt de räkneregler som vi diskuterde i föregående vsnitt. Det är därför genom dett resonemng den riktig definitionen v den bestämd integrlen går. Upplägget här vr mest till för tt börj med tt gör kopplingen till primitiv funktioner. Formeln (3) klls nu för insättningsformeln. Vi bevisde den i börjn v dett vsnitt, där den nvändes till tt motiver definitionen v den bestämd integrlen som en re under kurvn. Mn kn också härled den enkelt ur nlysens huvudsts. Ett sätt tt definier den nturlig logritmen Det som krkteriserr den nturlig logritmen ln x är tt den är noll då x = och tt dess derivt är /x. Men det betyder tt vi hr tt ln x = x Vi kn fktiskt nvänd dett till tt definier den nturlig logritmen. Vi hr ju ovn sett tt högerledet definierr en deriverbr funktion vrs derivt är /x och funktionen är då x = eftersom vi då integrerr endst över en punkt. Vi sk nu se vilk egenskper den funktion får som vi definierr på dett sätt (mer precist sk vi se tt vi ur denn definition kn härled logritmens ll egenskper). dt t.
X. Integrlklkyl (8) Det först vi ser är tt ln x är positiv då x > och negtiv då x < och noll då x =. Vidre gäller tt xy dt x t = du u = ln x y vilket mn ser genom tt gör vribelbytet t = yu. Men då ser vi tt xy dt t = y dt t + xy y dt t = y dt t + Dett är inget nnt än den grundläggnde logritmlgen Vi kn vis den ndr logritmlgen på ett motsvrnde sätt: x y ln(xy) = ln x + ln y. ln x y = y ln x dt x t = yu y du x ydu = u y u där vi gjorde vribelbytet t = u y i integrlen. x = y ln x, Vi hr därmed härlett logritmens viktigste egenskper, de som gör den så nvändbr. När vi hr den nturlig inversen kn vi nturligtvis konstruer dess invers. Den så uppkomn funktionen blir exponentilfunktionen exp(x). Som invers till logritmen ser vi tt den får egenskpen tt exp = exp och tt exp() =. Vidre följer direkt ur logritmlgrn tt exp(x + y) = exp(x) exp(y) och (exp(x)) y = exp(yx). Ur dess ser vi sedn tt exp(x) = e x där e = exp(). Härigenom hr vi nu konstruert en funktion som löser problemet y (x) = y(x), y() =. dt t. Anmärkning Det kn vr intressnt tt noter tt x t α dt = xα α = eα ln x α ln x då α. Om numerisk beräkning v integrler Om vi inte kn beräkn en integrl f(x) dx genom tt finn en primitiv funktion, hur gör mn då för tt beräkn den?
X. Integrlklkyl (8) Det finns ett flertl numerisk metoder för dett ändmål. En enkel sådn klls trpetsmetoden och tillgår på följnde sätt. Först delr vi in intervllet i n delr: = x < x <... x n = b och inför beteckningen y k = f(x k ) för funktionsvärdet i indelningspunktern. Oft väljer mn indelningspunktern så tt vrje delintervll [x k, x k ] hr smm längd, men det är inte nödvändigt och iblnd inte ens önskvärt. y x x 2 x 3 x 4 b x Trpetsmetoden innebär nu tt mn i intervllet [x k, x k ] ersätter funktionskurvn med den rät linje som förbinder ändpunktern (x k, y k ) och (x k, y k ) (se figuren nedn). Aren v det så uppkomn prllelltrpetset är då y k + y k (x k x k ). 2 Summerr vi ll dess trpetsreor får vi tt ren under polygonkurvn blir n k= Dett ger en pproximtion v integrlen, dvs y k + y k (x k x k ). 2 f(x)dx n k= y k + y k (x k x k ). 2 Hur br denn pproximtion är, är en nnn fråg som vi inte bryr oss om här. Om delintervllen [x k, x k ] ll är lik, med intervllängd x = x k x k, blir denn formel gnsk enkel. Utom i ändpunktern förekommer y k två gånger i summn, vilket betyder tt det då gäller tt f(x)dx ( y + y n 2 n + y k ) x. k=
X. Integrlklkyl 2 (8) Exempel 6 Låt oss pproximtivt beräkn d (lltså ln 2) genom tt del in intervllet [, 2] i 5 lik stor delintervll och nvänd trpetsformeln på dett. Vi får då följnde värdetbell Trpetsformeln blir i dett fll dx x x k :..2.4.6.8 2. y k :..833.74.625.556.5. +.5.2 ( +.833 +.74 +.625 +.556) =.695 2 vilket därför blir ett närmevärde på integrlen. Det exkt värdet, till tre decimler, är.693. Integrlen är en oändlig summ Vi hr sett tt integrlen f(x)dx nturligt tolks som en re. Det är emellertid för mång tillämpningr inte det sätt mn sk tolk integrlen på. I vår diskussion såg vi tt vi också hde tt n f(x)dx = f(ξ i ) i x, i x = x i x i i= för någr tl ξ i [x i, x i ]. Vi kn därför tolk integrltecknet som en uppmning tt summer uttryck på formen f(x)dx; fktum är tt integrltecknet är just ett svängt S för summ. För tt gör dett lite mer konkret sk vi försök tolk uttrycket f(x)dx. Men den stor poängen med denn diskussion är tt den hjälper oss tt se när och hur integrler dyker upp i tillämpningr. Det hndlr då om tt bygg storheter genom tt lägg ihop delr som vi kn beräkn. Ett enkelt exempel är volymen v rottionskroppr. Exempel 7 Om vi roterr grfen y = f(x), x b runt x-xeln uppstår en kropp. Dess volym kn beräkns med hjälp v en integrl på följnde sätt. Argumentet beskrivs i text nedn, och finns grfiskt illustrert i en figur efter texten. Vi tänker oss tt vi snittr kroppen med pln som går vinkelrät mot rottionsxeln (lltså x-xeln). Snittet som ligger på vståndet x från origo består v en cirkeskiv med rdien f(x) och centrum på rottionsxeln, så dess re är därför lik med A(x) = πf(x) 2. Vrje snitt tänker vi oss hr en tjocklek dx, vilken vi tr som väldigt
X. Integrlklkyl 3 (8) liten. Då får snittet en volym, som beräkns genom dv (x) = A(x)dx = πf(x) 2 dx. Den totl volymen v kroppen får vi genom tt summer dess skivor, vilket enligt resonemnget ovn innebär tt vi sk beräkn integrlen V = dv (x) = πf(x) 2 dx. Anmärkning Här tänker vi på det som tt vi hr tunn skivor vrs volym vi pproximerr med A(x)dx. Vi får då en pproximtion v volymen i form v en Riemnnsumm, som pproximtivt är integrlen. En pproximtion som br bli bättre om vi gör ännu tunnre skivor. Dett resonemng görs solitt i kpitlet om Riemnnintegrlen. y dx y = f(x) f(x) x x Snittets dimensioner: Are: πr 2 = π[f(x)] 2 Tjocklek: dx Volym: dv = Are tjocklek = π[f(x)] 2 dx Integrtion längs en kurv För tt vidre illustrer integrlen som en summ sk vi utvidg den till tt definier och beräkn integrtion längs en kurv i plnet. Dett kommer tt vr en generlisering v integrlen f(x) dx, men när mn de fcto sk beräkn en sådn integrl återförs problemet på tt beräkn en vnlig bestämd integrl.
X. Integrlklkyl 4 (8) Vi sk börj med tt definier båglängden v ett kurvstycke γ = {c(t) = (x(t), y(t)), t [, b]}. Dett är en funktion s(x, y) som mäter hur långt det är längs kurvn från en ändpunkten, säg c(), till punkten (x, y) på kurvn. Om vi tolkr t som en tid, så ges frten vid tiden t v uttrycket c (t). Frten gånger tiden är sträckn, så under ett litet tidsintervll [t, t+dt] bör vi hinn sträckn ds = c (t) dt. Summerr vi ll sådn små delsträckor får vi den totl båglängden som L = c (t) dt. Anmärkning Det finns ett ekvivlent sätt tt definier båglängden som är intressnt i sig själv. Vi börjr då med tt definier ett polygon som en kurv som består v rät delstycken. Längden v en sådn beräkns enkelt: om hörnpunktern är (x i, y i ) så ges vståndet melln (x i, y i ) och (x i, y i ) enligt Pytgors sts v L i = (x i x i ) 2 + (y i y i ) 2 och den totl längden v polygonet blir då L P = n i= L i. Om vi nu väljer dess punkter på vårt kurvstycke så tt (x i, y i ) = c(t i ), så kn vi skriv dett som L P = n (x(ti ) x(t i )) 2 + (y(t i ) y(t i )) 2. i= Men nu ger medelvärdesstsen tt x(t i ) x(t i ) = x (ξ i )(t i t i ) med t i ξ i t i, och likdnt för y. Vi ser därför tt om vi gör indelningen finre och finre så får vi tt L P x (t) 2 + y (t) 2 dt = L. Vi ser tt vi får smm integrl tt beräkn med denn (mer mtemtiskt korrekt) härledning. Exempel 8 Vi sk räkn ut längden v kurvn γ = {c(t) = (3t 2, 3t t 3 ); t 2}. Deriverr vi prmetriseringen får vi tt c (t) = (6t) 2 + (3 3t 2 ) 2 = 3 + 3t 2, så längden ges v c (t) dt = 2 γ (3 + 3t 2 )dt =. Följnde exempel visr nu vrför det kn finns nledning tt integrer en funktion m..p. båglängden.
X. Integrlklkyl 5 (8) Exempel 9 Vi tänker oss tt kurvstycket γ i en krt beskriver en väg i ett bergigt lndskp. Om vi vill kör en bil längs den vägen så tt vi håller frten konstnt hel tiden, kommer bensinförbrukningen (L/mil) tt vrier i olik punkter på γ: i uppförsbckr går det åt mer bensin än i nedförsbckr, och hur mycket beror v hur brnt bcken är. Om vi fixerr vilken hstighet vi sk åk med, kn vi tänk oss tt det finns en funktion, definierd på vägen men ingen nnnstns, sådn tt f(x, y) ger bensinförbrukningen i punkten (x, y) på γ. Vi vill nu beräkn den totl bensinförbrukningen längs hel vägen. Om vi kör en miniml sträck ds från punkten (x, y), så kommer bensinförbrukningen på den lill delsträckn tt vr f(x, y)ds. Om vi summerr ll sådn bidrg får vi den totl bensinförbrukningen längs vägen. Genom tt generliser diskussionen i exemplet leds vi till tt för funktioner f som är kontinuerlig på ett kurvstycke γ definier en integrl, som vi betecknr f(x, y)ds. Om γ = {c(t), t b} kn vi beräkn denn integrl med hjälp v formeln f(x, y)ds = f(c(t)) c (t) dt. Dett därför tt ds = c (t) dt. γ γ Exempel Låt oss integrer funktionen f(x, y) = x + y längs kurvstycket i föregående exempel. Då gäller tt f(c(t)) = 3t 2 +3t t 3 och eftersom c (t) = 3+3t 2 får vi tt 2 f(x, y)ds = (3t + 3t 2 t 3 )(3 + 3t 2 )dt = 8.3. γ Kort om någr ytterligre tillämpningr v integrler Vi hr ovn diskutert hur viss rottionsvolymer och båglängd kn beräkns med hjälp v integrler. I dett, sist, vsnitt sk vi kort diskuter någr ndr tillämpningr v liknnde typ. Rörformeln Vi såg ovn tt en rottionskropp som uppkommer genom tt vi roterr en kurv runt x-xeln får en volym som ges v integrlen πy 2 dx.
X. Integrlklkyl 6 (8) Här bestäms y v x (även om den inte måste vr given som en funktion v x [5] ). Om vi istället roterr runt y-xeln får vi en motsvrnde formel som är d c πx 2 dy där nu x bestäms v y. Den volym vi får är den volym vi får om vi roterr området melln y-xeln och kurvstycket runt y-xeln. Formeln är helt nlog med den för rottion runt x-xeln vi br byter roll på x och y. Prktiskt innebär det tt om kurvstycket är givet v y = f(x) så måste vi beräkn inversen x = f (y). Det finns ett lterntivt sätt tt beräkn en rottionsvolym runt y-xeln (som nturligtvis hr en motsvrighet för rottioner runt x-xeln). För tt introducer det betrktr vi först ett exempel. Exempel Vi vill beräkn den volym vi får om vi roterr en rektngel ett vrv runt y-xeln. Dett är illustrert i figuren nedn. y x x 2 Om rektngeln hr som bs intervllet [x, x 2 ] och höjd y blir den roterde rektngeln området melln två cirkulär cylindrr, den yttre med rdien x 2 och den inre med rdien x. Båd hr höjden y. Bsren för området är πx 2 2 πx 2, så volymen blir V = π(x 2 2 x 2 )y = π(x 2 + x )(x 2 x )y. Om vi låter x vr mittpunkten i intervllet, x = (x + x 2 )/2 och dx intervllets längd, dx = x 2 x, betyder det tt volymen är V = 2πxydx. Hur kn vi nvänd denn informtion till tt förstå hur vi kn beräkn volymen som fås om vi roterr det grå området i figuren till höger ett vrv runt y-xeln? Vi tänker oss tt vi styckr upp området melln x- xeln och kurvn i sml strimlor v bredd dx, illustrert med den blå linjen. När en sådn roters runt y-xeln blir den en cylinder vrs bsre är 2πx dx och höjd y. Genom tt summer ll dess tunn cylindrrs volymer får vi följnde formel för volymen under ytn och plnet: 2πxydx. d x dx y b
X. Integrlklkyl 7 (8) Denn formel klls rörformeln. Noter dock tt när vi nvänder rörformeln får vi en nnn volym än den volym vi får när vi nvänder formel π d c x2 dy ovn. Den volym vi beräknr med den senre är den volym vi får om vi roterr det gul området i figuren runt y-xeln. Anmärkning Allmänt gäller tt 2πxydx = π(b 2 d 2 c) vilket vi kn få genom en prtilintegrtion: 2πxydx = π yd(x 2 ) = π[yx 2 ] b π d c πx 2 dy, x 2 dy = π(b 2 d 2 c) Läsren kn själv identifier formeln grfiskt genom tt observer tt π(b 2 d 2 c) = π(b 2 2 )d + π 2 (d c). d c πx 2 dy. Rottionsreor Den yt vi får när vi roterr ett kurstycke runt en xel kn vi också vilj beräkn ren v. Dett är i grunden lite subtilre, och kräver en ordentlig definition v vd som mens med ren v ett ytstycke. Men utn tt h en sådn kn vi härled en formel som rimligen ger ren v en rottionsyt (och gör det, när mn gjort grundrbetet). Liksom ovn börjr vi med ett exempel: Exempel 2 Om vi roterr ett litet linjestycke runt en xel får vi en yt såsom illustrers nedn. Denn kn ses som ett bnd på en cirkulär kon som illustrers med hjälp v de streckde linjern. För tt beräkn ren v bndet klipper vi upp konen längs den röd linjen och vecklr ut den. Vi får då en cirkelsektor som i figuren till höger. y 2 y ds 2πy 2 2πy α R ds x x 2 Aren v en cirkesektor är hlv vinkeln gånger rdien i kvdrt. Med beteckningr från figuren hr vi dessutom tt αr = 2πy, α(r + ds) = 2πy 2, från vilket det följer
X. Integrlklkyl 8 (8) tt A = α 2 ((R2 + ds) 2 R 2 ) = α 2 (2R + ds)ds = π(y + y 2 )ds = 2πy ds. Här hr vi stt y = (y + y 2 )/2. Om vi nu roterr en kurv som är styckvis linjär runt x-xeln så ser vi tt vi sk summer ett ntl reor v typen i exemplet. En (styckvis) C kurv kn pproximers godtyckligt väl med styckvis linjär kurvor, vilket gör tt vi kn tänk oss tt när vi roterr ett sådnt kurvstycke runt x-xeln så får vi en rottionsyt uppbyggd v väldigt tunn bnd och den totl ren är summn v bndens reor. Dett leder till följnde formel för rottionsren: A = 2πy ds. Exempel 3 Om kurvstycket ges v grfen v en funktion: y = f(x), x b så sk vi i formeln sätt y = f(x) och ds = + f (x) 2 dx. Med ndr ord, ren ges v integrlen A = 2π f(x) + f (x) 2 dx. Noteringr. Alltså i ett lite större, öppet, intervll. 2. Till viss del gjorde vi det i kpitlet Anlys v polynomfunktioner. 3. Se kpitlet Anlys v polynomfunktioner. 4. Vilket de också är, om vi ccepterr tolkningen v integrlen som en re. I vrje rektngel gäller tt den vit ren under kurvn är precis lik stor som den grå ren ovnför kurvn. Dett p.g.. vårt speciell vl v ξ k i intervllet [x k, x k+ ]. 5. Vi kn t.ex. h en kurv given på prmeterform som vi roterr. Då blir integrlen som sk beräkns β α πy(t)2 x (t)dt.