Splitterverkan. Författare: Joosef Leppänen, Cowi AB MSB Publikationsnummer: MSB345 ISBN:

Transkript

1

2 Författare: Jooef Leppänen, Cowi MS Publikationnummer: MS345 ISN:

3 Innehållförteckning Förord... 5 Sammanfattning... 7 eteckningar... 8 Introduktion... : akgrund... : Syfte och målättning... :3 egränningar... Dynamik... 4 : Introduktion... 4 : Grundläggande amband... 4 : Kraft, rörelemängd, impul och energi... 4 : Elatik töt... 6 :3 Platik töt... 9 :3 Elatik ågutbredning... :4 Elatik töt med ågpropagering... 6 :4 Introduktion till elatik töt... 6 :4 Stöt mot en tel ägg... 3 :43 Symmetrik töt :44 Stöt mellan lika material :5 Stötågparametrar :6 Platik töt med tötågparametrar Splitter : Introduktion : Definition a plitter : rkibomben : Fragmentering :3 Splitterfördelning :3 eräkning a plitterfördelning :3 Splitterfördelningparameter :33 Splitterfördelning för olika bomber :4 Splittertäthet och form :4 Splittertäthet :4 Splitterform :5 Splitterhatighet

4 4 Material : Introduktion : etong : Statik repon : Dynamik repon :3 Stål :3 Statik repon :3 Dynamik repon :4 Tilltåndekation :4 etämning a tilltåndekationen :4 Tilltåndekation för olika material Splittererkan : Introduktion : Penetration :3 Perforation :4 ttötning :5 Jämförele mellan kadefenomen :6 Höghatighetpenetration Kombinerad tötåg- och plitterbelatning : Introduktion : Öerikt om tötågbelatning :3 Skydd mot tötåg- och plitterbelatning... 6:3 Introduktion... 6:3 Egenkaper ho bra kydd... 6:4 Impullatbelatning :4 Enfrihetgradytem (SDOF) :4 Omandling från balk till SDOF :43 Omandlingfaktorer... 6:5 Exempel på kombinerad tötåg- och plitterbelatning :5 Problemtällning :5 Stötågbelatning :53 Splitterbelatning... 6:54 Kontruktionen repon på impullat Slutater Referener

5 ilaga Dynamik - detaljer : Klaik telkroppdynamik : Härledning a hatigheter för elatik töt : Härledning a hatigheter för platik töt : Härledning a konereringlagarna :3 Härledning a Rayleighlinje... 4 :4 Tabulerade tötågparametrar... 4 :5 Härledning a partikelhatighet... 4 :6 Elatik töt mellan olika material :7 Exempel med platik töt beräknat med tötågparametrar :7 Platik töt mellan identika taar :7 Platik töt mellan tå taar a olika material... 5 :73 Platik töt mellan tå taar a olika material med olika längder ilaga Splitter - detaljer : rkibomb : Omandlingfaktorer mellan inch-pound till SI-enheter... 6 :3 Splitterhatighet... 6 :4 Splitterfördelning :5 ombgeometri... 7 :5 Ekialent cylinder... 7 :5 Tangent-ogial noform ilaga C Splittererkan - detaljer C: Penetrationdjup C: ConWep C: k C: Perforation... 8 C:3 ttötning... 8 ilaga D Kombinerad tötåg- och plitterbelatning - detaljer... 8 D: SDOF... 8 D: Explicit central differenmetod... 8 D: Omandlingfaktorer

6 -4-4

7 Förord Denna rapport behandlar plitterbelatning. rbetet om preentera har utfört under perioden april 6 till april på Cowi. Mål med rapporten är att bidra till Myndigheten för amhällkydd och beredkap, MS:, långiktiga arbete med att bygga upp en kunkapbank för fyikt kydd. Tre iktiga delar i denna kunkapbank är områdena lufttötåg, marktötåg och plitter. Denna rapport behandlar plitter och i referenerna går det att hitta andra delar a denna kunkapbank. En tor del a arbetet har arit att inamla befintlig kunkap amt förklara och härleda mer eller mindre komplexa begrepp till ingenjörpråk. Vetenkaplig litteratur är ofta äldigt kortfattad och det akna härledningar från grundläggande amband. För en erkam ingenjör finn ofta inte tid att ätta ig in denna litteratur. mbitionen i kriandet är att pedagogik förklara fyikalika amband amt ia härledningar för ofta komplexa matematika uttryck. Denna bok änder ig till folk om är intreerade a fördjupad kunkap inom områdena plitter, plitterbelatning och materialegenkaper id dynamik belatning amt att få en introduktion i dynamik och tötågteori. rbetet har följt a en referengrupp i form a jörn Ekengren, MS, Morgan Johanon, Reinerten Serige och Leo Laine, LL Engineering; ett tort tack till referengruppen. De har bidragit till tor del a planeringen till innehållet i rapporten genom kontinuerliga dikuioner där i har haft förnöjamma heldagar flertal gånger per år med god förtäring och mycket gla. Rapporten har grankat förutom a referengruppen äen a Göran Sedbjörk, Grontmij. Göran har en mycket lång erfarenhet och beitter tor kunkap inom ämnet. Ett tort tack till Morgan, jörn, Leo och Göran för bra ynpunkter på innehållet i denna rapport. Göteborg, april Jooef Leppänen -4-5

8 -4-6

9 Sammanfattning Syftet med denna rapport är att öka Myndigheten för amhällkydd och beredkap, MS:, nuarande kunkapba för extrema belatningar i betongkontruktioner. Rapporten behandlar främt plittererkan. Den behandlar äen grundläggande fyikalika amband för tötar och tötågor, åom rörelemängd, impul, impultäthet amt kinetik eller potentiell energi. Vidare behandla materialegenkaper id dynamika och extrema belatningar. Ett iktigt mål är att kunna bekria komplexa fyikalika fenomen på ett grundläggande ätt och med en pedagogik framtällning. Exempeli kall ett kyddrum klara en extrem belatning om upptår id en exploion. När en bomb detonerar oraka inte enbart en tötåg utan äen plitter kommer farande mot en betongkontruktion. När tötågen och plittret träffar kontruktionen upptår många komplexa fyikalika fenomen imultant, plitter tränger in i kontruktionen, en tötåg propagerar och orakar komplexa reflexioner i kontruktionen. etongen utätt för en kraftig belatning och plittret orakar kraterbildning id anlaget och om inträngningdjupet är tillräckligt tor kan uttötning eller till och med perforation ke. Komplexiteten gör att det är oerhört årt att hitta analytika löningar för denna typ a belatning. Därför har en betydande mängd empirika och emianalytika amband tagit fram under föregående ekel. Ibland har tankegången bakom dea amband fallit i glömka, där ett matematikt uttryck lämnat till näta generation. I denna rapport granka kritikt och redoia olika empirika amband för hur plitterhatigheten eller kador i kontruktioner kan betämma utifrån en gien belatning. Vidare är ambitionen att härleda och följa tankegången a uttrycken i den mån det är möjligt. En kada ho en kontruktion kan indela i de globala och lokala repon. Global kada kan ara exempeli att kontruktionen utätt för en platik utböjning. Lokal kada kan ara exempeli penetration, perforation eller uttötning. En beräkningmodell redoia i denna rapport för att kunna räkna på impulbelatning orakad a plitter- och tötågbelatning. I denna beakta plittret erkan på ett något förenklat ätt, dock ger modellen en bra bekrining a det fyikalika uppförandet a kontruktionen erkningätt. Nyckelord: plitter, fragmentering, penetration, perforation, uttötning, exploion, tötåg, dynamik, elatik töt, platik töt, betong, tilltåndekation, töjninghatighet. -4-7

10 eteckningar Romerka eraler area, tärnittarea, kontant id beräkning a rotationkapacitet armeringarea Mott kontant C dämpare, kontant id beräkning a rotationkapacitet C d luftmottåndkoefficient C e dämpare för enfrihetgradytem C åghatighet för elatik material E energi, energiintenitet, elaticitetmodul E energiintenitet ho otört medium E f, E e energi före och efter E i, E y inre energi, yttre energi E k, E p kinetik energi, potentiell energi F kraft F e kraft för enfrihetgradytem G kjumodul, exploikontant I impul, tröghetmoment K fjädertyhet, plitterfördelningparameter K e fjädertyhet för enfrihetgradytem K el elatik tyhet L, L b längd, bomben längd M moment, total maa M b bomben maa M e maa för enfrihetgradytem M plitterfördelningparameter M h höljet maa M Rd momentkapacitet N normalkraft, noformfaktor P, P tryck, initial tryck P + -, P öertryck, undertryck R inre mothållande kraft R e inre mothållande kraft för en enfrithetgradytem S yta för fär S, S materialkontanter för att betämning a tötåghatighet T tärkraft p, pi partikelhatighet, infallande partikelhatighet pr, pt reflekterande och tranmitterad partikelhatighet tötåghatighet Q utförd ärme Q tot total lat på balk V, V olym, initial olym -4-8

11 V h, V Q W W i höljet olym, prängämnet olym utfört arbete, laddningikt i kg TNT inre deformationarbete Romerka gemener a acceleration b bredd c åghatighet d diameter, effektihöjd d i, d b höljet ekialenta innerdiameter och ytterdiameter e tudkoefficient f, f, f 3, f 4, f 5 omandlingfaktor mellan inch-pound till SI-enheter f c, f ct betongen tryckhållfathet, betongen draghållfathet f ck, f ctk karakteritik tryck- och draghållfathet för betong f t armeringen flythållfathet (draghållfathet) f y flytpänning g tyngdacceleration h höjd i impultäthet m maa, plittermaa m, m.medel plittermaa, plittren medelmaa m d dimenionerande plittermaa n antal, godtyckligt heltal, kot n antal plitter, totalt antal plitter n m antalet plitter med maan törre än plittermaa m n md antalet plitter om är törre än det dimenionerande plittret maa i impultäthet q utbredd lat r radie, träcka t tid, tjocklek t a, t cr ankomttid, kritik tidteg t +, t - araktighet för poiti och negati fa för en tötåg t h höljet ekialenta tjocklek t p minta tjocklek för att undika perforation t u minta tjocklek för att undika uttötning u, u, u förkjutning, hatighet, acceleration u el, u pl elatik och platik förkjutning u förkjutning i ytempunkten för en enfrihetgradytem pecifik denitet, r, hatighet, plitterhatighet id träckan r, plitterhatighet, f, e utgånghatighet, hatighet före och efter R relati hatighet ytempunkten hatighet i en enfrihetgradytem x inträngningdjup, tryckzonhöjd -4-9

12 Grekika tecken α exploikontant β kontant för att beräkna medelkjuinkel ε töjning ε c, ε betongtöjning, armering κ omandlingfaktorer för en enfrihetgradytem κ M, κ C, omandlingfaktor för maa och dämpare κ K, κ P, omandlingfaktor för fjädertyhet och lat ξ dämpningkoefficient ρ, ρ denitet, initial denitet ρ, ρ denitet för medium och medium Δ ändring inkrementellt σ c, σ y pänning, flytpänning σ c, σ betongpänning, armeringpänning σ I, σ R, σ T, infallande, reflekterad och tranmitterad pänning ω inkelfreken Index f, e före, efter Förkortningar och uttryck rkibomb Enligt anitt 3: MS Myndigheten för amhällkydd och beredkap SDOF Single Degree of Freedom, enfrihetgradytem SR Skyddrumregler TNT Trinitrotoluen, ibland taat trinitrotoulen, är det kemika namnet på prängämnet Trotyl. -4-

13 Introduktion : akgrund Myndigheten för amhällkydd och beredkap, MS, har uppdraget att bygga och underhålla kyddrum i Serige. I dagläget bygg det dock inte många kyddrum i Serige. För att i framtiden kunna bygga äkra kyddrum är det dock nödändigt att beara amt äen förnya befintlig kunkap. MS arbetar därför långiktigt med att bygga upp en kunkapbank för fyikt kydd och genom forkning inom området exploionbelatning blir detta möjligt. Tre mycket iktiga delar gällande belatningen ingår, dea är: lufttötåg, marktötåg och plittererkan. I MS: kyddrumregler, SR9, MS (9), täll kra på hur ett kyddrum kall dimenionera. Dea kra härrör från att kyddrummet kall tåla en belatning om motarar "erkan a en tryckåg motarande den om åtadkom a en 5 kilogram minbomb med 5 iktprocent trotyl om brierar i det fria 5, meter från kyddet utida id fri tryckalatning". Deutom kall kyddrummet, "äen tåla erkan a plitter från en briad". För att förtå och framför allt dokumentera på å ätt att flera peroner enklare kan ätta ig in i de grundläggande mekanimerna bakom plitterbelatning fick författaren till denna bok uppdraget att tudera plittererkan på kontruktioner. : Syfte och målättning Syftet i detta arbete är att öka MS: kunkapba gällande plittererkan och de erkan på kyddande kontruktioner. Rapporten kall kunna fungera om en god grund för fördjupade tudier inom området. Målättningen är att åtadkomma en grundlig och pedagogik framtällning i ämnet plittererkan på kontruktioner, genom detta beara kunkapen för framtida bruk. :3 egränningar Den fyika belatningen på ett kyddrum orakad a en apenlat kan indela i tre huudgrupper enligt nedan: -4-

14 omben i helhet Höljet Exploiämnet Splittererkan - lufttötåg - marktötåg - plittererkan dea tre behandla huudakligen plittererkan i denna rapport. Dock, är många a mekanimerna äen möjliga att direkt applicera till lat a lufttötåg och marktötåg. Inerkan a lufttötåg är grundligt genomgånget a Johanon () och marktötåg a Laine ). ebyggelen mottåndförmåga mot extrem dynamik belatning har tuderat a Johanon och Laine (7, 8 och 9). Efterom kyddrum är byggda a armerad betong, behandla främt armerade betongkontruktioner i denna rapport Dock har ia generella principer äen applicerat till andra material och kontruktioner. Figur :3a iar principiellt ad om ker id en exploion, från att detonationen ker till lufttötågen och plittret når målet. Detta är ett mycket komplicerat förlopp där ett flertal faktorer påerkar den lutgiltiga erkan på målet. Exempel på dea faktorer är exploionämnet kemika ammantällning, bombhöljet denitet eller bomben placering. Huudakligen tuderat område ia i figuren, dock berör äen flera andra områden i detta arbete. tgångläge Sprängämnet önderfall Höljet önderfall Splitterutkat tläppt tötåg exploiämnet kemika ammanättning reaktionprodukterna kemika ammanättning detonationtryck detonationhatighet bomb med ofragmenterat hölje bildningärmen för ämnena exploiämnet denitet frigjord energimängd per maenhet plittren utkatninghatighet längdenhet exploiämnet maa per längdenhet exploiämnet totala maa höljet maa per längdenhet höljet tjocklek per längdenhet frigjord energimängd per längdenhet totalt deformationarbete per längdenhet tillgänglig energimängd per längdenhet totalt plittren torlek, tärnittyta, form plittren räckidd tötågen tryck tötågen araktighet tötågen tryck-tidförhållande propagering i omginingen penetrering a kyddet tötåg erkan i målet höljet materialegenkaper plittren materialegenkaper plitter höljet denitet plittren maa tuderat område bomben geometri plittren utkatninginkel bomben placering tötågen infallinkel bomben initiering Figur :3 a. Schematik illutration från detonation a en bomb till erkan i målet. Inringat område iar tuderat område i denna rapport, ilket är erkan i målet a plitter. -4-

15 ndra iktiga effekter om oraka a en exploion kan ara jonierande trålning från radioaktit afall (främt atombomb), brandgaer, elabrott, attenkador orakade a brutna rör eller dålig luft orakad a kollapade entilationytem. Dea behandla inte i denna rapport, utan läaren hänia till Skyddrumregler, SR9, MS (9). -4-3

16 Dynamik : Introduktion Splitterbelatning är en dynamik belatning i extrem form. För att få en förtåele för ilka mekanimer om är kopplade till plittererkan behö kunkap om de dynamika ambanden, ilket behandla i detta kapitel. Fört behandla grundläggande mekanik åom kraft, rörelemängd, impul och impultäthet, amt energi. Vidare behandla elatik och platik töt i detta kapitel enligt telkroppdynamiken. Stelkroppdynamiken förummar dock ågpropagering i materialet när tå kroppar töter emot arandra. : Grundläggande amband : Kraft, rörelemängd, impul och energi Kraft F definiera enligt Newton andra lag om en produkt a maa m och acceleration a: F ma (:a) där acceleration kan kria om: d a (:b) dt och hatighet om: d (:c) dt där acceleration är ändring a hatighet d öer tiden dt, medan hatighet är ändring a träckan d öer tiden dt. Rörelemängd definiera om produkten mellan maa m och hatighet. p m (:d) När en kropp med maan m och hatigheten påerka a en kraft F(t) under tiden (t - t ) få impulen I, ilket är lika med ändring a rörelemängd. För ett ytem där maan är kontant få ia inättning a ekation (:a) att: -4-4

17 I t t d F( t) dt m dt m d me m dt (:e) t t där e är hatighet efter det att kroppen har utätt för kraften F under tiden (t - t ). Tryck P(t) definiera om en kraft genom arean : F( t) P( t) (:f) inättning i ekation (:e) ger: t I F( t) dt P( t) dt P( t) dt (:g) t t t t t t i P( t) dt (:h) t där i är impultäthet och är lika med arean under tryck-tidkuran i figur :a. P i t t t Figur :a. Tryck-tidamband. Kinetik energi E k ofta äen benämnd om röreleenergi definiera m E k (:i) där m är maan och är hatighet. Potentiell energi E p är inre energi ho en kropp och ofta förknippa detta med lägeenergi. Lägeenergi är dock bara en form a potentiell energi, ilket tyr a tyngdkraften enligt följande: -4-5

18 Elägenener gi mgh (:j) där m är maan, g är tyngdaccelerationen och h är höjden. Ett ätt att idga begreppet potentiell energi är att tänka ig att en pänd fjäder om är tillatående har en högre potentiell energi än i opänt läge. Ifall den pända fjädern frigör omandla den potentiella energin till kinetik energi. Ett annat exempel på detta är när en laddning detonerar. Sprängämnen i laddningen har en i potentiell energi och id detonation frigör den potentiella energin till kinetik energi och ärme. Energin är kontant i ett lutet ytem där det inte tillför ny energi. Omandling i energi E för ett lutet ytem teckna om: där E E k E (:k) p Kinetik energi kan omandla till potentiell energi eller tärtom. I erkligheten finn dock inga ytem där en hundraprocentig energiomandling a kinetik energi till eller från potentiell energi äger rum, utan det finn förluter i form a exempeli ärme eller friktion. Dock är den totala energin kontant i alla ytem där äen ärme Q och utfört arbete W beakta. : Elatik töt Klaik telkroppdynamik bekrier en töt mellan tå kroppar. Studera en fulltändig elatik, rak central töt, där föremålen rör ig läng en rät linje och att umman a alla förluter på grund a ärme och friktion amt att yttre krafter om erkar på ytemet är noll enligt figur :a. Referenriktning är åt höger, ilket innebär att för ett poitit tecken på hatigheten rör ig kroppen åt höger. I figuren är - randen den punkt där dea tå kroppar träffar arandra. Detta innebär med denna definition att kropp inledningi rör ig åt höger (poitit tecken) och kropp åt änter (negatit tecken). Här har deutom kroppen högre hatighet, efterom den är längre från randen. -4-6

19 Före träff - rand referenriktning Vid träff f f e e Figur :a. Elatik töt för kropp och. Kropp har maan m och hatigheten f före och e efter töten. Motarande har kropp maan m och hatigheten f före och e efter töten. tifall hatigheterna före töt och maan ho kropp och är kända kan hatigheten efter töt betämma med följande ekationer, härledning a dea ekationer finn i ilaga :: e e f ( m f m ) m m m m ( m f m f m m ) (:a) (:b) Specialfallet då hatigheten för kropp är noll före töt ger följande hatigheter efter töt: e m m f (:c) m m e m f (:d) m m Genom att tudera ekation (:c) och (:d) kan följande e då kropp töter emot en tillatående kropp : Ifall maan m är mindre än m blir hatigheten negati för kropp, det ill äga att den rör ig åt änter i figur :a. -4-7

20 Ifall maan m är lika med m tannar kropp och kropp rör ig åt höger i figur :a med amma hatighet om kropp träffade kropp. I detta fall tranmittera all rörelemängd från kropp till kropp. Ifall maan m är törre än m färda kropp och åt höger i figur :a. Kropp får högre hatighet än kropp. Figur :b iar ett diagram där kropp töter emot kropp med hatigheten med referenriktning enligt figur :a. Maan för kropp är n gånger maan för kropp. Då n, det ill äga att maan för kropp är mycket lägre än för (motarar en kropp om träffar en fat ägg) får kropp amma hatighet fat med motatt tecken (den tudar tillbaka), medan kropp tår tilla. Då n =, det ill äga kropp äger lika mycket om kropp tannar kropp och kropp rör ig åt höger med hatigheten. Fallet då n, det ill äga att kropp har mycket högre maa än kropp, bibehåller kropp in hatighet medan kropp erhåller dubbla hatigheten. Sammanfattningi å kan kropp aldrig få högre hatighet efter töten än den hade innan töten oaett maan ho kropp, medan kropp aldrig kan få en negati hatighet och hatigheten kan inte öerkrida anlaghatigheten för kropp med mer än dubbelt oaett makillnaden mellan de tå kroppar om töter emot arandra. Detta illutrera i figur :b. Hatighet x,5,,5,,5 -,5 -, -,5,,, Makot, n = m /m e e Figur :b. Hatighet efter töt ho tå kroppar om töter emot arandra. Före töt har kropp hatigheten och kropp tår tilla, n är koten mellan maorna. -4-8

21 :3 Platik töt Med en fulltändig platik töt mellan tå kroppar mena att kropparna itter ihop efter töten och inte lämnar arandra, ilket innebär att båda kropparna får amma hatighet efter töten, e figur :3a. Före töt - rand referenriktning f - rand f Efter töt Figur :3a. En fulltändig platik töt för kropp och. e Hatigheten efter töt e blir: e m f f (:3a) m m m där m och m är maan ho kropp repektie kropp, f och f är hatighet före töt för kropp repektie kropp. Härledning a detta uttryck finn i ilaga :. För en töt om inte är fulltändigt platik introducera tudkoefficienten e, ilken är en materialkontant enligt följande: e e e (:3b) f f ilket bekrier den relatia hatigheten före och efter töt mellan kropparna. Studkoefficienten kan ariera mellan och. Extremärdena och ger: e = fulltändigt elatik töt e = fulltändigt platik töt -4-9

22 Hatighet efter töt för en töt om inte är fulltändigt platik få med följande ekationer: e me( f f m ) m m f m f (:3c) e me( f f m ) m m f m f (:3d) Härledning a dea finn i ilaga :. Genom att ätta tudkoefficienten e till, i ekation (:3c) och (:3d) få en fulltändigt elatik töt jämför med ekation (:a) och (:b), och genom att ätta tudkoefficienten till noll få en fulltändigt platik töt ilket kan jämföra med ekation (:3a). :3 Elatik ågutbredning När en ta töter emot en annan generera en pänningåg från den ena taen till den andra. Denna åg kan ara en elatik eller en platik åg. I klaik telkroppdynamik beakta inte ågutbredning. Ifall plitter eller en tötåg träffar en ägg generera en tryckt pänningåg, ilket propagerar i äggen. Denna åg, med de reflexioner, kan oraka tor kada. Detta kan inte beakta med klaik telkroppdynamik, arför ett alternatit betrakteleätt introducera här. Viktiga referener i detta kapitel är Goldmith (96), Meyer (994) och Zuka (99). En generell löning till tötar mellan tå taar och kan tälla upp med lagen om konerering a energi: E f m f m f E m e e m e W (:3a) där E f och E e är inre energi före repektie efter töt, ilket motarar den potentiella energin, och W repreenterar det arbete om ytemet kräer, indexen f och e tår för före repektie efter. Denna ekation är år att löa direkt utan etkap om den inre energin. Därför är det enklare att löa denna typ a problem om ett ågpropageringproblem. Fört tuderar i dock en elatik åg, för att edan gå idare till en elatik töt amt en platik töt. För att tudera reflexion a elatika ågor mellan tå medium, exempeli något fat material eller luft, e figur :3a. Figur :3a a) iar en infallande pänningåg i medium på äg med en åghatighet c mot medium om är tillatående. När ågen rör ig i medium generera en infallande partikelhatighet pi i mediet i amma riktning om åghatigheten. Våghatigheten bekrier hur nabbt pänningågen rör ig i materialet, medan partikelhatigheten bekrier hur nabbt -4-

23 materialet komprimera eller eparerar. Materialet får infallande pänningen σ I. Våghatigheten c är alltid törre än den infallande partikelhatigheten PI. Det ill äga att pänningågen rör ig alltid nabbare än partiklarna. När ågen c når randen mellan och, e figur :3a b) generera en reflekterad pänningåg σ R och en tranmitterad pänningåg σ T. Kraftjämikt kall råda i randen. Figur :3a c) iar partikelhatighet när ågen har nått randen, den reflekterade och tranmitterade partikelhatigheten beror på de ingående medierna egenkaper. - rand a) pi c dx b) c σ I σ R σ T c c) c pi pr pt c Figur :3a. Schematik bild a en longitudinell pänningåg om rör ig från änter till höger och reflekterar mellan tå medium och. För att beräkna den infallande, tranmitterade och reflekterade pänningen och partikelhatigheten, härled detta utifrån att impulen är lika med ändring i rörelemängd enligt ekation (:e): I t F( t) dt m d me m (:3b) Studera ta i figur :3a a). Efterom hatigheten är noll i en gien punkt innan ågen paerat blir ändringen i partikelhatighet lika med partikelhatighet p. I m p m p (:3c) -4-

24 omkrining ger, där i nyttjar att pänning σ är lika med en kraft genom arean och maan m är produkten mellan denitet ρ och olym V. dt dx p (:3d) där m = ρv = ρdx, där olymen uttryck om en träcka dx multiplicerat med arean. Förkorta bort arean och lö ut pänningen dx p c p (:3e) dt där åghatigheten c dx c (:3f) dt och följande produkt är impedan: c (:3g) där ρ = denitet. Impedanen är en iktig materialegenkap för hur pänningågor (och tötågor) propagerar, amt hur en pänningåg tranmittera eller reflektera mellan olika medium. Denitet och åghatighet är normalt kända materialparametrar, och därmed är äen impedanen känd när materialet är i elatikt tilltånd. Ifall materialet komprimera ökar deniteten och åghatigheten i materialet förändra, något om behandla idare i anitt :6. Därmed kan pänningen beräkna för ett material där impedanen och partikelhatigheten är kända. Ifall pänningen är känd kan partikelhatigheten beräkna enligt ekation (:3e). I randen mellan ta och råder det jämikt, e figur :3a b). Det ill äga den infallande pänningen σ I adderad med den reflekterande pänningen σ R kall ara lika med den tranmitterade pänningen σ T. (:3h) I R T Kontinuitetillkor äger att umman a den infallande partikelhatigheten pi och den reflekterande partikelhatigheten pr kall ara lika med den tranmitterade partikelhatigheten pt, e figur :3b c). pi (:3i) pr pt Partikelhatighet kan beräkna utifrån ekation (:3e). -4-

25 -4-3 I pi c (:3j) R pr c (:3k) T pt c (:3l) För att beräkna den tranmitterade och reflekterade pänningen om funktion a den infallande pänningen kan detta härleda genom inättning a ekation (:3j), ekation (:3k) och ekation (:3l) i ekation (:3i): T R I c c c (:3m) Impedanerna för de tå medierna är ρ c och ρ c, amt inättning a ekation (:3h) i ekation (:3m) ger: T I T I c c c (:3n) ilket kan kria om om: ) ( T I c c c (:3o) ilket kan förenkla till: I T c c c (:3p) på motarande ätt härled den reflekterade pänningen delat med den infallande pänningen, då få uttryck för att beräkna den tranmitterade och den reflekterade pänningen om funktion a den infallande pänningen: I T c c c (:3q) I R c c c c (:3r) tifrån dea tå ekationer blir det uppenbart att den reflekterade och tranmitterade pänningen är beroende på impedanen i båda medierna. Dea amband är grundläggande för att bekria hur en infallande tötåg,

26 exempeli orakad a en exploion, tranmittera och reflektera genom tå olika material. Vidare, ifall impedanen ρ c > ρ c, kommer en åg med amma tecken att reflektera tillbak, eller ifall ρ c < ρ c, en åg med motatt tecken att reflektera. Detta exemplifiera med tå ytterlighetfall där ρ c är noll (fri ände) och ρ c går mot oändligheten (motarande fix ände). Fri ände, ρ c är noll: T I R I, ingen pänning tranmittera (:3), amma amplitud med motatt tecken reflektera. (:3t) Fix ände, ρ c går mot oändligheten: T I R I c c c c c c c, dubbla pänningen tranmittera (:3u), amma pänning reflektera (:3) ttryck för hur den reflekterade och tranmitterade partikelhatigheten förändra i figur :3a c) kan härleda från ekation (:3h) och ekationerna (:3j-l) på liknande ätt om för de tranmitterade och reflekterade pänningarna. För tranmitterad partikelhatighet få: pt pi c c c (:3w) för reflekterad partikelhatighet få: pr pi c c (:3x) c c För fri ände blir de tranmitterade och reflekterade partikelhatigheterna pt pi, tranmitterad (:3y) repektie -4-4

27 pr pi, reflekterad (:3z) och för fix ände blir partikelhatigheterna pt pi, tranmitterad (:3aa) repektie pr, reflekterad (:3ab) pi För dikontinuerliga tärnitt kan på motarande ätt härleda utryck för att beräkna infallande, reflekterande och tranmitterande pänningar och partikelhatigheter enligt modell i figur :3b. - rand c σ I, pi σ R, pr σ T, pt c Figur :3b. Schematik bild a en longitudinell pänningåg om rör ig från änter till höger och reflekterar mellan tå medium och, där tärnittarean mellan dea tå medium arierar. Jämiktamband ger, jämför :3h: ( ) (:3ac) I R T där och är tärnitt area för ta repektie ta. Kontinuitetillkor ger enligt :3i pi pr pt (:3ad) Lö ut den reflekterade pänningen ur ekation (:3ac) och inättning i ekation (:3m) ger uttryck för den tranmitterade pänningen I c ( T I ) c T c (:3ae) förenkla och uttrycket för den tranmitterade pänningen blir T c I c c (:3af) -4-5

28 på motarande ätt få uttryck för den reflekterade pänningen genom att löa ut den tranmitterade pänningen ur ekation (:3ac) och inättning i ekation (:3m) R c c I (:3ag) c c :4 Elatik töt med ågpropagering :4 Introduktion till elatik töt :4 Grundläggande amband till elatik töt Elatika ågor behandlade i anitt.3, där tå taar med olika impedan att ihop. Här tudera en elatik töt mellan tå taar, e figur :4a. Referenriktningen kiljer ig emot den klaika telkroppdynamiken, jämför anitt :. I figur :4a: a) iar tå taar om är infallande mot randen - där de å måningom töter emot arandra. b) iar ögonblicket då taarna träffar arandra. I randen kall det råda kraftjämikt, det ill äga pänningen är lika i båda taarna. c) iar ögonblicket de träffar arandra. I randen kall det råda kontinuitet, det ill äga att id ögonblick de träffar arandra å itter taarna ihop. -4-6

29 - rand a) pi pi σ = σ = b) c σ σ c p p c) c pi Δ p pi Δ p c Figur :4a. Schematik bild a tå taar om töter emot arandra. Innan töt har alla partiklar i ta amma partikelhatighet och rör ig med en hatighet pi åt höger. Motarande gäller för ta men här är hatigheten pi åt änter. Relati hatighet R mellan taarna är umman a hatigheterna efterom de rör ig i motatt riktning: R (:4a) pi pi Spänningen i båda taarna i luften innan de töter emot arandra är noll. I figur :4a b) töter taarna i arandra och en tryckt pänningåg generera i randen. Figur :4a c) iar hur partikelhatigheterna blir direkt efter töten. Jämikt kall råda id randen -, ilket ger: (:4b) enligt ekation (:3e) kan pänningen kria om om: c c (:4c) p p där Δp och Δp betecknar ändring i partikelhatighet. Spänningamplituden beror därmed på ändringen i partikelhatighet ho de båda taarna. Partikelhatigheten ho ta och ta efter töt blir urprungliga hatigheten minu ändring i partikelhatighet och teckna om: -4-7

30 p (:4d) pi p p (:4e) pi p Kontinuitetillkor för partikelhatigheterna, det ill äga att taarna itter ihop, ger: (:4f) p p Genom att kombinera ekationerna (:4d), (:4e) och (:4f) få: pi (:4g) pi p p där den relatia hatigheten R mellan ta och kan teckna om umman a ändring i partikelhatighet: R (:4h) p p Partikelhatigheten om är aocierad till den tryckta pänningågen ho ta och ta direkt efter kolliion kan beräkna genom inättning a ekation (:4h) i ekation (:4c), arid få: p R p c c (:4i) omkrining ger: c c c (:4j) p p R lö ut ändring i partikelhatighet för ta : c p R (:4k) c c På motarande ätt löe ändring i partikelhatighet ho ta om c p R (:4l) c c För att beräkna den erkliga hatigheten efter töt mellan tå taar måte ågpropagering beakta. Den erkliga hatigheten blir den infallande hatigheten i taen minu ändring i partikelhatighet. Vidare kan hatigheten påerka a reflexioner, ilket exemplifiera i kommande anitt. -4-8

31 :4 Generellt fall Nedan ia amband för ett generellt fall där åghatigheten ätt lika mellan tå lika långa taar om töter emot arandra. Dock låter i maan ariera, på å ätt motarar detta klaik telkroppdynamik där åghatighet och torlek på taar ej beakta. Detta ger åghatigheten, c = c, och längden för ta och är lika. Låt ta tå till och ta träffar ta med hatigheten. Låt deniteten för ta ara: n (:4a) där n är ett godtycklig tal. En utförlig bekrining a förloppet med n = redogör i anitt :43 där töt med identika taar behandla. Här redogör för en kortare härledning a ett generellt uttryck. Med ett Lagrangediagram kan en grafik framtällning göra a hur den endimenionella pänningågen propagerar med tiden, e figur :4a. Den horiontella axeln anger ågfronten läge i taen och den ertikala axeln anger tiden. t t 5 t 5 t 3 tryck t 4 t 4 tryck t 3 t drag tryck t t tryck drag t ta l t l x Figur :4a. Lagrangediagram där pänningågen redoia för tå taar om töter emot arandra. -4-9

32 När ta töter emot ta generera id tiden t en tryckåg i gränkiktet mellan och. Denna tryckåg andrar åt änter i ta och åt höger i ta. Vid tidpunkt t för ta och tidpunkt t för ta har tryckågen nått den fria änden i ta repektie ta och reflektera. Den reflekterade tryckågen blir dragen efterom det är en fri ände enligt ekation (:3t). Efterom åghatighet c och längden l är lika för ta och, inträffar tiden t och t amtidigt, amt att tidpunkt och t inträffar amtidigt. Den uppkomna dragågen rör ig åter mot gränytan -, ilket en når id tiden t. Vid denna tidpunkt få ockå en eparation mellan de tå taarna efterom i har en dragåg i bägge taarna. Därmed blir amtliga reflexioner efter tidpunkten t om om reflexionen kulle ke mot en fri ände, ilket innebär att id arje reflexion få ett teckenbyte. För att beräkna den lutgiltiga hatigheten räknar i ut den relatia hatigheten och ändring i partikelhatighet. Enligt ekation (:4a) blir den relatia hatigheten: R pi pi (:4b) och enligt ekation (:4k) och (:4l) få ändring i partikelhatighet. Med c = c och ρ = nρ. p p c c c c c c R R n c c n c c c n c n n n (:4c) (:4d) Sta får en partikelhatighet i gränkiktet på: p pi p (:4e) och hatigheten i ta minkar ucceit till denna hatighet. När tryckågen har nått tidpunkt t, motarande äntra änden i ta, reflekterar denna. Vid denna reflexion få ytterligare en ändring i partikelhatighet om är aocierad till den tryckta ågen om orakade när ta träffade ta. I och med att det är en fri ände blir enligt ekation (:3z) ändringen i partikelhatighet för den dragna ågen lika med ändring i partikelhatighet för den tryckta ågen. Den erkliga hatigheten i taen blir den urprungliga hatigheten PI, ilket är, minu den om är aocierad till den tryckta, amt minu den om är aocierad till den dragna ågen. Denna hatighetändring ker ucceit bakom tötågfronten och id tidpunkt t eparerar ta och. Den lutgiltiga hatigheten efter att taarna har eparerat för ta blir: p (:4f) pi p -4-3

33 inättning a ekation (:4c) ger p n n ( ) (:4g) n n ilket kan kria om om: p n n ( ) (:4h) n n Sta får lutgiltig hatighet på motarande ätt: p (:4i) pi p inättning a ekation (:4d) ger p, det ill äga att rör ig åt höger (:4j) n n Enligt klaik telkroppdynamik med ekation (:c) och (:d) blir hatigheten för ta och ta efter töt då ta inledningi tår till: e m m f (:4k) m m e m f m m (:4l) efterom taarna är lika långa och ρ = n ρ blir m = n m, inättning i :4k och :4l ger e f m m m m f m m / m / m nm / m n (:4m) nm / m n e m f f (:4n) m m m / m nm / m n jämför detta med ekation (:4h) och (:4j). Oberera att referenriktning kiljer ig åt för ta med dea tå olika betrakteleätt. En enkel kontroll om alltid kan göra är om lagen om konerering a rörelemängd är uppfylld. m f m m m (:4o) f e e -4-3

34 Vänterled i ekation (:4o): m f mf m m (:4p) Högerled i ekation (:4o): n m nm n n ( n n) m m n (:4q) Vänterled i ekation (:4o) = högerled i ekation (:4o), ilket iar att lagen om konerering a rörelemängd är uppfyllt. Sammanfattningi blir reultatet identikt med klaik telkroppdynamik när ågpropagering beakta och åghatighet amt längd för båda taar är lika. Ifall åghatigheten mellan materialen kiljer ig åt eller längden ho de tå taarna inte är lika ger klaik telkroppdynamik dock inte längre amma reultat. För att korrekt bekria en generell töt mellan tå taar måte ålede ågutbredning beakta. Detta behandla idare i anitt :44 för lika material med arierande längder och i anitt ilaga :5 för olika material med amma längd. :4 Stöt mot en tel ägg För att tudera en töt mot en tel ägg anänd Lagrangediagrammet i figur :4a, där den horiontella x-axeln anger ågfronten läge i taen och den ertikala axeln anger tiden. -4-3

35 t t 5 t 4 ta t 3 t drag tryck = tryck t t x l Figur :4a. Lagrangiandiagram för en ta om töter emot en tel ägg (fix ände). aerad på Zuka (99). I figur :4b följ teg för teg hur ågutbredningen, pänningen och hatigheten arierar efter töt för taen i figur :4a. En iktig killnad med jämförele mellan telkroppdynamik är att pänningfördelningen i taen arierar när ågutbredning beakta

36 Vågutbredning Spänning Hatighet t < t t = t c c t < t < t - t = t c - t < t < t c + - t = t c + - t > t Figur :4b. + - Vågutbredning, pänning och hatighet ho ta om träffar en tel ägg. Negati pänning innebär tryck och tidpunkterna i figur motarar tidpunkterna i figur :4a. t < t : När taen färda i luften på äg mot äggen är pänningen noll och hatigheten är. t = t : Staen träffar äggen med partikelhatigheten. Efterom den högra änden a taen tannar får i en ändring i partikelhatighet på enligt ekation (:3ab) efterom det är en fix ände. En tryckt pänningåg propagerar till änter, där pänningen blir: c p c (:4a) t < t < t : För tidpunkt t har enbart den högra änden a taen tannat, medan reten a taen "et inte" om att den högra änden har tannat och kommer därmed att fortätta med amma hatighet åt höger. Från den högra änden a taen, där den tryckta pänningågen genererade id tidpunkt t andrar denna pänningåg åt änter i taen med hatigheten c och reducerar ucceit hatigheten i taen med till noll. t = t : Spänningågen når den äntra änden a taen armed hela taen hatighet har reducerat till noll, är tryckt amt har förkortat

37 t < t < t : Den tryckta pänningågen reflekterar om en dragen åg i taen äntra ände. Efterom det är en fri ände, kommer den tryckta pänningågen bli en dragen pänningåg enligt ekation (:3t), amt kommer ändring i partikelhatighet i taen bli åt änter enligt ekation (:3z). Det ill äga att preci efter tidpunkt t börjar den äntra delen a taen röra ig till änter och återgå till in urprungliga längd. Den tryckta och den dragna ågen läcker ut arandra, därmed blir den äntra delen a taen pänninglö. t = t : Den dragna ågen, om är på äg till höger når äggen. t > t : Efterom en dragåg inte kan tranmittera till äggen, kommer den att reflektera om om det ore en fri ände och därmed reflektera den tillbak om en tryckt åg. Den tryckta och den dragna ågen läcker ut arandra, alltå reducera pänningen till noll i hela taen och taen rör ig åt änter med hatigheten. Jämförele med klaik telkroppdynamik med ekation (:c) där m b går mot ger: e m m f (:4b) m m det ill äga att ta rör ig åt änter med amma hatighet om den träffade äggen. Själa äggen tår till enligt ekation (:d): f m f e (:4c) m m m / m / ntag att "äggen" äger kg itället och ta äger kg och rör ig in i äggen med hatigheten m/. Då blir hatigheten ho ta efter töten: 999 e,998 9,96m/ (:4d) och äggen får en hatighet på: f m,,4m (:4e) m m e / efterom äggen itter fat i ränderna kommer den att ibrera något för att därefter återgå till in urprungliga form

38 :43 Symmetrik töt En ymmetrik töt få när tå identika taar töter emot arandra med amma hatighet. Den relatia hatigheten R mellan taarna blir därmed. Efterom denitet och åghatighet är identika få ändring i partikelhatighet med ekationerna (:4k) och (:4l): p c c c R (:43a) p c c c R (:43b) och partikelhatighet i gränkiktet blir p pi p (:43c) p pi p (:43d) det ill äga att taarna får amma pänning och hatighet om om en a dea taar kulle träffa en tel ägg (fix ände) med amma hatighet. Motarande med klaik telkroppdynamik få ekationytem med ekationerna (:a) och (:f), e ilaga :: m f m m m (:43e) f e e e ) (:43f) e ( f f Efterom m a = m b, kan maorna i ekation (:43e) alägna arid: ( ) e e (:43g) ilket innebär att (:43h) e e och inättning i ekation (:43f) ger e ) ( ) (:43i) ( e ilket ger hatigheten e -4-36

39 e (:43j) och med ekation (:43h) få hatigheten e e (:43k) det ill äga att ta rör ig åt änter och ta åt höger med hatigheten. :44 Stöt mellan lika material :44 Identika taar Tå identika taar töter emot arandra där den ena tår tilla enligt figur :44a. Staarna är identika, det ill äga att denitet, åghatighet och längd är amma för båda taarna och den förta, ta, har anlaghatighet på. - rand = Figur :44a. Sta töter emot tillatående ta. Den relatia hatigheten R är efterom ta tår till. Den relatia partikelhatigheten kan äen uttrycka om: R (:44a) p p Efterom ta tår till innan töt blir ändring i partikelhatighet lika Δ p och ta får en ändring i partikelhatighet enligt ekation (:44a): (:44b) p R p p Jämikt kall råda id gränkiktet mellan materialen, det ill äga: c c (:44c) p p Förkorta bort denitet och åghatighet efterom dea är lika, inättning a ekation (:44b) ger: p p p (:44d) -4-37

40 och p p (:44e) Oberera att amma reultat få med ekation (:4k) och (:4l). I figur :44b ia med ett Lagrangediagram hur pänningågen reflekterar för ta och. t t 5 t 5 t 4 t 3 tryck tryck t 3 t drag tryck t tryck drag t x ta l t l Figur :44b. Lagrangiandiagram för en ta om töter emot en tillatående ta. Den aocierade partikelhatigheten till den tryckta pänningåg om andrar åt änter i ta blir /. I gränkiktet blir hatigheten ho ta dock urprunghatighet minu partikelhatigheten aocierad till den tryckta ågen, det ill äga: p pi p åt höger (:44f) ilket innebär att ta rör ig åt höger med hatigheten /. Sta får en ändring i partikelhatighet på /, e ekation (:44d). Efterom ta inte hade någon hatighet innan töten blir hatigheten i gränkiktet lika med partikelhatigheten /

41 Den tryckta pänningågen i ta andrar nu mot äntra änden a ta och när den reflektera få en dragåg med aocierad partikelhatighet till denna. Den erkliga hatigheten P blir den urprungliga PI minu den om är aocierad till den tryckta, amt minu den om är aocierad till den dragna ågen: p (:44g) Sta tannar ålede när dragågen har nått den högra änden a ta, efterom dragågen inte kan tranmittera till ta. Direkt efter töten har ta en partikelhatighet aocierad till den tryckta ågen på / om ockå är den riktiga hatigheten efterom ta tod tilla innan töt. Dock, när den tryckta ågen når den högra änden a taen reflektera den till en dragåg med en aocierad hatighet på /. Den totala hatigheten blir umman a den om är aocierad till den tryckta och den om är aocierad till den dragna ågen. Därmed blir den lutgiltiga hatigheten i ta lika med. Sammanfattningi: ta töter emot en tillatående ta med en hatighet på. åda taarna rör ig direkt efter töten åt höger med en hatighet på /. Vid detta tillfälle har dock inga reflexioner kett ännu i taarna, ilket påerkar dera lutgiltiga hatighet. I det lutgiltiga läget tannar ta medan ta rör ig åt höger med hatigheten. Detta kan illutrera i figur :44c där ågutbredning, pänning och hatighet ho taarna ia för de olika tidpunkterna

42 Vågutbredning Spänning och hatighet t < t = t = t c c = t > t > t c c - t = t c c / / / / = = / / t > t > t c c = t = t c = t > t Figur :44c. Vågutbredning, pänning och hatighet ho tå identika taar om töter emot arandra. I figuren :44c är rörelerna öerdrina för att illutrera den relatia rörelen ho de tå taarna. I erkligheten är tiden å kort för ågen att propagera fram och tillbaka i taen att taarna rörele inte går att uppfatta med ögat. Exempeli om = m/ och taarna kulle ara a tål, med antagen åghatighet på ca 6 m/. För cm långa taar kulle dea tå taar ara i kontakt med arandra,/6 =,7-5. I gränkiktet är partikelhatigheten / = m/, ilket innebär att ta under denna tidperiod förflyttar ig,7-5 =,7-4 m, ilket är lika med,7 mm. Återigen en jämförele med klaik telkroppdynamik ger amma reultat, enligt ekation (:c) och (:d), med m = m få: m m e f (:44h) m m m f e (:44i) m m -4-4

43 :44 Olika längder på taar I föregående anitt jämförde tå identika taar. Här tudera tå taar om töter emot arandra a amma material men med arierande längder enligt figur :44a. Sta har längden l, medan ta har längden nl. Sta träffar den tillatående taen med hatigheten. - rand = l = l l = nl Figur :44a. Sta töter emot tillatående ta. Den relatia hatigheten R blir efterom ta tår till. Denitet och åghatighet är denamma för ta och, det ill äga ρ = ρ och c = c. Ändring i partikelhatighet ho taarna kan beräkna enligt ekation (:4k) och (:4l): p c c c R (:44a) p c c c R (:44b) och partikelhatighet i gränkiktet blir p p pi p (:44c) pi p (:44d) det ill äga att hatigheten i gränkiktet för båda taarna blir / åt höger. Det kan notera att detta är amma reultat om i anitt :44 för tå identika taar. Den initiella partikelhatigheten blir ålede denamma oaett taarna längd. Detta efterom taarna inte et initiellt hur långa de är. Den lutgiltiga hatigheten tyr a materialet och längden ho taarna. Låt längden för ta ara n gånger längden för ta. För n = få tå identika taar, ilket behandlade i anitt :44. Studera fallet n törre än -4-4

44 ett. Exempeli för n = 5 kan ett Lagrangediagram tälla upp enligt figur :44b. Efterom materialen är lika hinner ågen tuda fram och tillbak fem gånger i ta innan ågen tudar tillbaka en gång i ta. t t t 9 t 7 t 5 t 3 t ta drag t 8 t 6 t 4 t tryck t t 5 x l l = 5l Figur :44b. Lagrangiandiagram för en ta om töter emot en tillatående ta om är fem gånger längre. Studera fört rörelen för ta. Vid tidpunkt t reflekterar tryckågen om generade id tidpunkt t i diagrammet, hatigheten i taen i detta ögonblick blir ålede den initiella hatigheten ho taen minu den aocierad till tryckågen, amt minu den aocierad till dragågen: p pi p (:44e) Hatigheten reducera ucceit till noll i taen när den reflekterade dragågen rör ig mot tidpunkten t i Lagrandediagrammet. Vid tidpunkt t kommer hatigheten för ta att ara noll, amt kommer en tryck- och dragåg andra fram och tillbaka, dock läcker dea ut arandra och pänningen i ta blir noll. Studera ta där längden är fem gånger längre än för ta. nder tiden mellan tidpunkt t och t i Lagrangediagrammet generera en tryckåg i ta om andrar åt höger. Efter tidpunkt t generera ingen tryckåg längre till ta, efterom pänningen i ta har läckt ut till noll. Figur :44c iar hur pänning och hatigheten arierar i ta. -4-4

45 Vågutbredning Spänning Hatighet t < t t = t c / t = t t = t 3 t = t 5 = t 5 c c c / / / t = t 6 t = t 7 c c / c t = t 8 + / Figur :44c. Vågutbredning, pänning och hatighet ho ta. I gränkiktet får ta hatigheten / enligt ekation (:44d). När den reflekterade dragågen i ta har nått tillbak till punkt har tryckågen i ta hunnit fram tå femtedelar a de längd. Vid denna tidpunkt har inte tryckågen nått den högra delen a taen och hatigheten i denna ida är därmed noll. Efterom dragågen i ta inte kan tranmittera till ta kommer hatigheten att återgå till noll i ta efter att den tryckta pänningågen har paerat. I randen id tidpunkt t 6 reflektera den tryckta ågen och en dragåg generera. När tryck- och dragågen öerlappar arandra blir den totala hatigheten i denna del a taen den urprungliga hatigheten minu den om är aocierad till tryckågen, amt minu den om är aocierad till dragågen enligt följande: p pi p (:44f) Vid tidpunkt t 6 efter att tryckågen har reflekterat helt reducera hatigheten till: p pi p (:44g) -4-43

46 Efterom tå femtedelar a taen har hatigheten / och tre femtedelar har hatigheten noll kommer hatigheten i ta a en betraktare att uppfatta om: p 3 pi p åt höger (:44h) 5 5 En kontroll a lagen om rörelemängden bearande ger: m pi m m m (:44i) I p p Vänterled i ekation (:44h) blir: m m (:44j) Högerled i ekation (:44h) blir: (:44k) 5 5m m Sammanfattningi, för n blir hatigheten alltid noll för ta och hatigheten för ta uppfatta om: p pi p (:44l) n Jämförele med klaik telkroppdynamik ia i tabell :44a. Sta har maan m = nm efterom tärnittarean och deniteten är denamma ho båda taarna. Tabell :44a. Jämförele med klaik telkroppdynamik och elatik töt där ågutbredning beakta för olika talängder. Längdkot Elatik töt Klaik telkroppdynamik n p [ ] p [ ] e [ ] e [ ] - -/ -/3 /3 4 -/4 -/ / 5 -/5-3/5 /5 -/ -,88,8 -/ -,998, - * Referenriktning kiljer ig åt. Jämför tabell :5a

47 Skillnaden är tor då en jämförele mellan klaik telkroppdynamik gör. Exempeli i fallet då ta är mycket längre än ta blir hatigheten för ta nätan amma om anlaghatigheten med klaik telkroppdynamik, medan hatigheten för ta blir noll då ågpropagering beakta. För att förklara arför det blir killnad i reultat i jämförele med klaik telkroppdynamik återgå till ekation (:3a). E f m f m f E m e e m e W (:44m) där energi, E f och E e beteckningar energi före och efter. ntag att förluterna är noll och inget yttre arbete W har utfört. Före töt är den inre potentiella energin (töjningenergin) noll efterom pänningen är noll i båda taarna, ilket ger änter led i ekation (:44m): E f f f m m m m (:44n) Efter töt tannar ta och de pänning återgår till noll. För alla tidpunkter efter att ta har tannat har all energi tranmitterat till ta. Den ammanlagda energin i ta betår a röreleenergi och töjningenergi. Studera exempeli figur :44c id tidpunkt t. Högerled i ekation (:44m) blir: e e e e Ee m m W Ee m Ee m (:44o) Elaticitetteorin ger att töjningenergin (inre elatik energi) är arean under pänning-töjningkuran enligt figur :44d: σ σ E E e ε ε Figur :44d. Elatik töjningenergi E e där E anger elaticitetmodulen. Töjningenergin i högerled i ekation (:44o) blir: E e V V V dv dv dv E (:44p) E -4-45

48 -4-46 Våghatigheten för ett endimenionellt fall kan uttrycka om: E c (:44q) där E är elaticitetmodulen och ρ är denitet. Lö ut elaticitetmodulen genom att kadrera båda leden och multiplicera med deniteten: E c (:44r) Vid tidpunkt t är endat längden L (tå femtedelar a ta ) tryckt. Sätt ρ = ρ = ρ och c = c = c, då få pänningen i den tryckta delen a taen: c c p och framför ågfronten (:44) Inättning a ekationerna (:44q), (:44r) och (:44) i ekation (:44p) ger: L L c L c c d E E L L L V e 8 5 ) ( 5 5 (:44t) där är tärnittarean. ttryck maan om denitet multiplicerat med olym: L m (:44u) Inättning ger töjningenergin, nyttja att L = 5L, då få: m L L E e (:44) Kinetik energi i högerled i ekation (:44o) blir, då tå femtedelar a taen har hatigheten / och tre femtedelar a taen har hatigheten noll: m m m m e (:44w) Summera ekation (:44) och (:44w) ilket ger högerledet i ekation (:44o): VL m m m m E e e (:44x)

49 där VL = änterled enligt ekation (:44n), det ill äga röreleenergin i ta har tranmitterat till ta där energin är del röreleenergi och del töjningenergi. Den tryckta ågen fortätter att andra idare åt höger i ta och taen kommer att få en ojämn pänningfördelning (i praktiken med ibrationer om följd). Detta iar att klaik telkroppdynamik inte kan löa generella problem för tötar där pänningfördelningen blir ojämn. För generella löningar för töt mellan tå taar måte ågpropagering och den inre töjningenergin beakta enligt ekation (:3a). Dock kommer taen hatighet att utjämna ig till /5 åt höger med tiden enligt ekation (:44g). Som kontroll, tudera tidpunkt t 6 där pänningen är noll i taen och därmed töjningenergin noll i hela taen. Den kinetika energin betår a att endat en femtedel a ta är i rörele med hatigheten, ilket blir: m 5 4 m 5m m VL (:44y) 5 5 där VL = änterled, det ill äga att jämikt råder, jämför ekation (:44n). Energibetraktele fungerar alltid för amtliga fall, där totala energin id arje tidpunkt är den kinetika energin plu töjningenergi. Studera exempeli fallet då en ta töter emot en fix ägg i anitt :4. Staen hade en hatighet på när den träffade äggen. Vid tidpunkt t, e figur :4a tannade taen och hela taen ar tryckt. Spänningen i taen är id denna tidpunkt: c p c (:44z) Töjningenergin E e är enligt ekation (:53m): E e V V V ( c) d d d L E c (:44aa) taen maa är denitet multiplicerat med de olym ilket ger: Ee m (:44ab) Efterom taen tår tilla id denna tidpunkt är den kinetika energin noll. Därmed har all kinetik energi omandlat till töjningenergi i taen. Den kinetika energin ar enligt ekation (:h): Ek m (:44ac) -4-47