Luftstötvåg. Författare: Morgan Johansson, Reinertsen Sverige AB MSB Publikationsnummer: MSB448 ISBN:

Transkript

1 Lufttötvåg

2 Lufttötvåg Författare: Morgan Johanon, Reinerten Sverige AB MSB ublikationnummer: MSB448 ISBN:

3 Lufttötvåg Innehållförteckning Förord Sammanfattning Beteckningar Inledning. Bakgrund. Syfte och målättning.3 xloionförloet och de effekter orientering.4 Begränningar 3 Grundläggande information 4. Vad är en tötvåg? 4. Hur utår en tötvåg? 4.. Allmänt 4.. Definition av exloion 4..3 Bildandet av en tötvåg 5.3 Hur ufatta en tötvåg? 6 3 Matematika amband 8 3. tbredning av en tötvåg Orientering Konervering av maa Konervering av rörelemängd Konervering av energi 3..5 Tilltåndekvationen - quation of State (OS) 3..6 Rankine-Hugoniotekvationen Stötvågfronten tjocklek 4 3. Samband mellan tötvågarametrar Reflexion Reflexiontyer Normalreflexion Sned reflexion Machreflexion Machvågen utbredning Kritik vinkel Reflexionkoefficient Machvågen höjd Segling I

4 Lufttötvåg 3.4 Diffraktion Stagnationtryck och dynamik vindlat Stagnationtryck Dynamik vindlat 3 4 mirika amband rinciiellt uteende ho tötvåg Skallagar Stötvågtorheter Orientering Samband enligt ConWe (99) Jämförele med Baker (973) Jämförele med Kinney och Graham (985) Jämförele med Förvarmakten () Srängämnet inverkan Inverkan av laddningen uteende 5 5 Dikuion 5 5. Orientering 5 5. olynom för luften tilltåndekvation Seglingfaktor i ConWe Koling mellan tötvågarametrar mirika amband för varaktighet och imultäthet 55 6 Slutater 59 7 Referener II

5 Lufttötvåg Bilaga A Luften tilltåndekvation 6 Bilaga B Samband mellan tötvågarametrar 64 B. Orientering 64 B. Härledning av amband mellan tötvågarametrar 67 B.. Tryck och denitet - () 67 B.. Denitet och tryck - () 67 B..3 Tryck och komreion - (µ) 68 B..4 Komreion och tryck - µ µ() 68 B..5 Stötvåghatighet och artikelhatighet - ( ) 69 B..6 artikelhatighet och tötvåghatighet - ( ) 7 B..7 Tryck och tötvåghatighet - ( ) 7 B..8 Stötvåghatighet och tryck - () 7 B..9 Tryck och artikelhatighet - ( ) 7 B.. artikelhatighet och tryck - () 7 B.. Stötvåghatighet och denitet - () 7 B.. Denitet och tötvåghatighet - ( ) 7 B..3 artikelhatighet och denitet - () 7 B..4 Denitet och artikelhatighet - ( ) 73 B..5 Tryck och energiintenitet - () 74 B..6 nergiintenitet och tryck - () 75 B..7 Denitet och energiintenitet - () 75 B..8 nergiintenitet och denitet - () 76 B..9 nergiintenitet och tötvåghatighet - ( ) 76 B.. Stötvåghatighet och energiintenitet - () 77 B.. nergiintenitet och artikelhatighet - ( ) 77 B.. artikelhatighet och energiintenitet - () 77 B.3 Jämförele av härledda uttryck 78 B.4 ffekt av varierande framför och bakom tötvåg 84 Bilaga C Inverkan av kontant värmekaacitetkvot 86 Bilaga D Härledning av reflekterat tryck vid normalreflexion 9 D. Orientering 9 D. Reflekterat tryck 9 D.3 Reflexionkoefficient 94 Bilaga Definition av Machtal 95 Bilaga F Sned töt 96 F. Orientering 96 F. Stötvågarametrar om funktion av Machhatighet 96 F.3 Reflektionvinkel och våghatighet III

6 Lufttötvåg Bilaga G mirika uttryck av tötvågtorheter G. Orientering G. ttryck enligt Kingery och Bulmah (984) G.. Orientering G.. Oreflekterat övertryck, 3 G..3 Reflekterat övertryck, r 3 G..4 Oreflekterad imultäthet, i 4 G..5 Reflekterad imultäthet, i r 4 G..6 Varaktighet ho oitiv fa, t 5 G..7 Ankomttid, t a 6 G..8 Stötvåghatighet, 6 G.3 Samband enligt Baker (985) 7 G.4 Samband enligt Kingery (966) G.5 Förökdata från Goodman (96) 8 Bilaga H Belatning å byggnad för exloion vid varierande avtånd H. Orientering H. Bakgrund H.3 Frågetällning H.4 Vaeneffekt H.5 kvivalent vaenlat 3 H.6 Slutkommentar 5 Bilaga I Tilltåndekvationen quation of tate (OS) 6 I. Grundläggande ekvationer 6 I. Varför är tilltåndekvationen viktig att beakta? IV

7 Lufttötvåg Förord, raort Denna raort behandlar ukomten av tötvågor orakade av exloion, de utbredning amt med vilken kraft den åverkar in omgivning. Arbetet om reentera här har utfört under erioden januari till oktober. Arbetet har följt av en referengru i form av Björn kengren, Räddningverket, och Leo Laine, Anker Zemer ngineering A/S, och ett tort tack rikta till dea båda för dera aldrig inande idérikedom och umuntran. Göteborg, oktober Morgan Johanon Förord, revidering Denna ublikation är en nyutgåva av raorten Stötvågutbredning i luft, Raort B54-3/, utgiven av Räddningverket. I amband med en allmän udatering av ublikationer om Räddningverket gett ut har en överiktlig revidering gjort under höten. Sakinnehållet är dock detamma om i underliggande raort och foku har legat å att rätta till amt nygga u valda delar av innehållet. Göteborg, oktober Morgan Johanon --5 V

8 Lufttötvåg Sammanfattning tt kyddrum/kyddcentral kall klara av olika tyer av extrema belatningar. n ådan är åverkan av en detonerande rängladdning å nära eller långt håll. Denna raort behandlar ukomten av lufttötvågor orakade av en dylik exloion, tötvågen utbredning amt med vilken kraft den åverkar in omgivning. Det grundläggandet yftet med arbetet är att införkaffa amt dokumentera information om hur en lufttötvåg ukommer, de utbredning amt vad om händer med den då den träffar en byggnad. Vidare behandlar raorten hur dea arametrar behandla för att betämma den belatning om en lufttötvåg kan utgöra å en byggnad. n viktig mål har varit att åtadkomma en grundlig och edagogik dokumentation i ämnet om yftar till att fungera om en god grund för fortatt arbete rörande den åverkan om en lufttötvåg kan ha å in omgivning. n betydande del av arbetet behandlar ambandet mellan olika tötvågarametrar amt jämförelen med häri härledda uttryck med amband givna i litteraturen. Särkild vikt har lagt vid att underöka betydelen av att betrakta luft om en ideal ga med kontant värmekaacitetkvot och det har av detta viat ig att de variation med trycket får märkbar betydele då trycket övertiger omkring ka. Vidare har bakgrunden till de emirika amband om idag nyttja i olika handböcker underökt och bakomliggande utvärderingar har, där å varit möjligt, kritikt grankat. Detta har frambringat en del inkonekventa antaganden om gjort i de urrungliga utvärderingarna och har även höjt ett antal frågetecken rörande giltigheten ho valda delar av de emirika amband om idag nyttja. --5 VI

9 Lufttötvåg Beteckningar Romerka veraler A r k F H I K M M mach r, - tag R R m T V W Y Z area energiintenitet, energi, frigjord energimängd, elaticitetmodul energiintenitet ho otörd luft energiintenitet bakom reflekterad tötvågfront otentiell energi kinetik energi kraft detonationhöjd inkommande tötvåg komreionmodul Machtal Machtal ho Machvåg tryck tryck ho otörd luft reflekterat övertryck oitiv fa övertryck oitiv fa övertryck negativ fa tryck i tagnationunkt gakontant för luft (87 J/kg K), reflekterande tötvåg allmänna gakontanten temeratur, kalad detonationhöjd hatighet tötvåghatighet artikelhatighet volym laddningtorlek kalad Machvåghöjd kalat avtånd --5 VII

10 Lufttötvåg Romerka gemener c ljudhatighet c c v h i, i i - i r ecifik värmekaacitet vid kontant tryck ecifik värmekaacitet vid kontant volym entali imultäthet oitiv fa imultäthet negativ fa reflekterad imultäthet oitiv fa k värmekaacitetkvot för otörd luft (,4) m maa rörelemängd q r t t t - t a u v v x y tryck i otörd luft dynamikt tryck, dynamik vindlat detonationavtånd träcka, Machvåghöjd tid varaktighet oitiv fa varaktighet negativ fa ankomttid hatighet ecifik volym ecifik volym ho otörd luft medium framför tötvåg kontant, medium bakom tötvåg --5 VIII

11 Lufttötvåg Grekika tecken α avklingningfaktor, kontant, arameter av Z β, β infallvinkel β krit δ ε ε vol Λ kritik infallvinkel värmekaacitetkvot (,4 för luft) reflektionvinkel, deformation inkrementellt töjning volymmetrik töjning reflexionkoefficient µ komreion ν tvärkontraktion θ deflektionvinkel denitet r σ denitet ho otörd luft denitet bakom reflekterad tötvågfront denitet bakom oreflekterad tötvågfront änning Index indikerar oitiv fa - indikerar negativ fa indikerar otörd luft r indikerar reflekterad tötvåg indikerar inkommande tötvåg x medium framför tötvåg y medium bakom tötvåg --5 IX

12 --5 X

13 Lufttötvåg Inledning. Bakgrund nligt Skyddrumreglerna, Räddningverket (998), kall ett kyddrum klara av att mottå belatningen från verkan av en tryckvåg motvarande den om åtadkom av en 5 kg minbomb med 5 viktrocent TNT om brierar i det fria 5, m från kyddrummet utida. Detta är ett av flera krav om täll å ett venk kyddrum förmåga att mottå yttre belatning. Denna lat är en definierad balat om bedömt kunna utgöra grunden för de exloionlater om verkar å ett kyddrum. Oraken till jut detta val härrör från rikanalyer där det antagit att totalt ett ton bomber (tillamman innehållande 5 kg TNT) fäll å ett hektar ( x m ) tort område. Avtåndet 5 meter har därefter tillamman med en vald accetan för träffannolikhet, betämt tillåten torlek å de kyddrum om får uföra i enlighet med Skyddrumreglerna. För att förtå bakgrunden till dea krav är det dock nödvändigt att ha törre kunkaer om vad om ligger bakom de belatningar om oraka av en exloion. Med anledning av detta har Räddningverket gett Reinerten AB i udrag att göra en grundläggande tudie där bakgrunden och orakerna till lufttötvågen beteende och latåverkan å in omgivning utred och kartlägg grundligt. Det föreligger en rik att en betydande del av den kunka om under åren lo införkaffat rörande exloionlater och lufttötvågen beteende går förlorad i amband med att viktiga nyckeleroner av en eller annan anledning förvinner från in tidigare tjänt. Med detta om bakgrund blir det därför av än törre betydele att å ett tidigt tadium öka amla in den kunka om finn amt att dokumentera den å ett ådant ätt att andra eroner, med rimlig inat, kan ta till ig denna och nyttja den om å erfordra.. Syfte och målättning Det grundläggandet yftet med arbetet är att införkaffa amt dokumentera information om hur en lufttötvåg ukommer, de utbredning amt vad om händer med den då den träffar en byggnad. Vidare ämnar tudien behandla hur dea arametrar vanligen behandla för att betämma den belatning om en lufttötvåg kan utgöra å en byggnad. n viktig ugift i detta arbete är att åtadkomma en grundlig och edagogik dokumentation i ämnet, för att därigenom underlätta bevarandet av denna kunka för framtida bruk. Arbetet yftar vidare till att kunna fungera om en god grund för fortatta tudier rörande den åverkan om en lufttötvåg kan ha å in omgivning. --5

14 Lufttötvåg.3 xloionförloet och de effekter orientering I detta arbete behandla bebyggelen lufttötvåg från en exloion. n exloion och de effekter den ger uhov till är ett komlext fenomen om kräver beaktande av många olika delar för att ge en fulltändig bild av vad om ker. I Figur. illutrera chematikt vad om inträffar vid en exloion från antändning och detonation av rängämnet till de att en utatt byggnad utett för en kombination av tötvåg och litter från exloionen. Som framgår av figuren finn det ett tort antal olika delar att behärka för att fulltändigt förtå hela exloionförloet och de effekter och delar om behandla i denna raort är markerade. tgångläge Srängämnet önderfall Höljet önderfall Slitterutkat tlät tötvåg exloivämnet kemika ammanättning reaktionrodukterna kemika ammanättning detonationtryck detonationhatighet bomb med ofragmenterat hölje xloivämnet bildningvärmen för ämnena exloivämnet denitet exloivämnet maa er längdenhet exloivämnet totala maa höljet maa er längdenhet frigjord energimängd er maenhet frigjord energimängd er längdenhet totalt deformationarbete er längdenhet littren utkatninghatighet tillgänglig energimängd er längdenhet totalt littren räckvidd tuderat område tötvågen tryck tötvågen varaktighet tötvågen tryck-tidförhållande roagering i omgivningen tötvåg längdenhet enetrering av kyddet verkan i målet Höljet höljet tjocklek er längdenhet höljet materialegenkaer littren materialegenkaer littren torlek, tvärnittyta, form litter höljet denitet littren maa Bomben i helhet bomben geometri bomben lacering bomben initiering littren utkatningvinkel tötvågen infallvinkel Figur. Schematik illutration av vad om händer vid detonation av en bomb. Det område om har tuderat i denna ublikation har markerat i figuren. --5

15 Lufttötvåg.4 Begränningar Som kort berör i bakgrunden i avnitt. å betår den yttre hotbilden, orakad av vaenlat, mot ett kyddrum/kyddcentral av flera olika lattyer. Dea kan grovt dela u i nedantående huvuddelar lufttötvåg marktötvåg litterverkan Av dea behandla i den här raorten endat lufttötvåg. Inverkan av övriga två belatningtyer ingår inte i det här reenterade arbetet varför läaren itället hänvia till exemelvi Laine () reektive Leänen (). Till lufttötvågen inverkan å in omgivning kan även tillföra den ekundära effekten av nedfallande ramaor från omkringliggande byggnader. Normala botad- eller kontorhu är vanligtvi inte dimenionerade för att mottå den ty av belatning om en exloion kan innebära. Vid dimenionering av kyddrum/kyddcentraler anta därför att omkringliggande byggnader kan raa och därmed utgöra ytterligare hot mot det uförda kyddet. Arbetet i denna raort begränar ig dock till att enbart behandla lufttötvågen om ådan och de inverkan å en drabbad byggnad berör därför inte här. För en begränad tudie av tötvågen och ramaorna inverkan hänvia dock till Johanon (999)

16 Lufttötvåg Grundläggande information. Vad är en tötvåg? n tötvåg karakteriera av en våg med en mycket ditinkt vågfront om rör ig genom ett medium i överljudhatighet där vågfronten utgör gränen mellan ett mer eller mindre dikret ho i tryck, temeratur amt denitet ho det aktuella mediet. förandet ho en tötvåg kiljer ig därmed väentligt jämfört med det för en akutik ljudvåg. Den enare bekriver ridningen av en infiniteimal liten trycktörning, vilken utbreder ig med ljudet hatighet. n tötvåg däremot, kan utgöra en kraftig törning gentemot itt omgivande medium och rör ig i överljudhatighet om kan vara flera gånger törre än den för en akutik våg. Att betrakta en tötvåg om en tark akutik våg är dock felaktigt. tbredningen av en tötvåg bekriv av olinjära differentialekvationer och tötvågen beteckna därför om en olinjär våg. Detta innebär bland annat att de familjära lagarna om ueroition och reflektion om gäller för den linjära akutika ljudvågen (bekriven av linjära differentialekvationer) inte kan tilläma. Vid exemelvi en rätvinklig reflektion, där trycket ho en akutik våg dubbla, kommer det för en tötvåg itället medföra en avevärt törre tryckökning. n akutik våg kan, enligt Courant och Friedrich (948), itället tolka om en mycket vag tötvåg, varför den linjära akutika vågen kan äga utgöra ett ecialfall av den olinjära tötvågen. Sålede kommer en tötvåg om förvaga tillräckligt mycket övergå till ett uförande om är detamma om för en vanlig akutik ljudvåg.. Hur utår en tötvåg?.. Allmänt n tötvåg utår vid en lötlig energifrigörele, var källa exemelvi kan vara en exloion eller en kraftig töt. Det är dock inte nödvändigt med ådana excetionella keenden om exloioner för bildandet av en tötvåg. Itället kan en ådan få av betydligt vardagligare händeler. nligt Ben-Dor et al. () är den vanligate naturliga oraken till ukomten av en tötvåg ett vanligt blixtnedlag. Den energi om frigör i detta ger uhov till en tryckvåg i luften och då tryckvågen överkrider ljudhatigheten erhåll en åkallad ljudbang vilket åhöraren ufattar om ett åkmuller. Andra exemel från vardagen kan vara det kara ljud om kan utå från en ika eller av hackandet från en vanlig beninmotor i en bil. Flertalet av ovantående exemel ligger dock utanför omfattningen för det här arbetet och den här raorten begräna därför till att bekriva tötvågor orakade av exloioner... Definition av exloion n vanligen förkniad orak till bildandet av en tötvåg är en exloion av något lag. n exloion karakterera av en lötlig exanion av materia till en mycket törre volym än den urrungliga. nligt FortH (99) innebär en exloion en fyikalik eller kemik tilltåndförändring ho ett material, vilket ger uhov till en lötlig omvandling av otentiell energi till mekanikt arbete. Detta kan exemelvi utgöra av en tarkt komrimerad ga i ett britande tryckkärl eller av de gaer om bilda då ett rängämne detonerar. å grund av den betydande --5 4

17 Lufttötvåg tryckkillnaden önkar gaen rida ig över en törre volym vilket ger uhov till ett mekanikt arbete då den omkringliggande luften tvinga undan. Det kilj ålede å olika tyer av exloioner där de ovan nämnda benämn om fyik (britande tryckkärl) reektive kemik (detonerande ga) exloion. töver dea exiterar även nukleära exloioner, vilket oraka av kärnladdningar. Nedan behandla dock endat kemika exloioner. För att en dylik energifrigörele kall vara möjlig i en kemik exloion kräv att det exloderande ämnet unår in antändningtemeratur. Detta kan ke å flera ätt, exemelvi med hjäl av en rängatron eller då ämnet utätt för en kraftig töt. När exloionen initierat kan den fortkrida å två ätt - genom deflagration eller detonation. Deflagration innebär att omgivande medium antänd av den temeraturökning om erhåll då närliggande material förbränn. n ådan ridning genom det exloderande materialet ker i underljudhatighet och reulterar i en lågexloiv exloion. Den andra antändningmöjligheten, detonation, karakteriera av att ridningen ker i överljudhatighet, vilket reulterar i ett mycket nabbt förlo och en högexloiv exloion. I allmänhet kan tidkalan för en detonation räkna i mikroekunder medan den i en deflagration inträffar i milliekunder. Antändningen av ett gamoln är ett exemel å deflagration. I raktika tillämningar är ett dylikt förlo önkvärt för att lunga iväg en rojektil i ett gevärlo efterom det vid en detonation föreligger rik att gevärian briter. n detonation är dock önkvärd då yftet är att tillfoga omgivningen å tor kada om möjligt och exloioner orakade av rängämnen, åom TNT, är exemel å detta. Om inget annat ange yftar benämningen exloion, i den här raorten, å en detonerande exloion. Magnituden ho en exloion ange i den energimängd om lä fri. nergimängden mät i enheten Joule men av raktika käl kan det vara mer informativt att uttrycka exloionen tyrka i form av en mer tillämar enhet. tt allmänt acceterat måttvärde är den energimängd om utlöe vid en detonation av kg TNT vilket, enligt Kinney och Graham (985), motvarar en energimängd å 46 kj. I det följande ange därför mängden TNT om mått å exloionen tyrka. n kärnladdning innehåller dock en ådan tor energimängd att det blir raktikt olämligt att ange de tyrka i kg TNT. I dea fall ange itället rängtyrkan vanligen med enheten kiloton TNT, dv i enheter om ton TNT...3 Bildandet av en tötvåg n exloion i luft ger uhov till en komakt ga med tort energiinnehåll om under högt tryck tvingar tillbaka den omgivande atmofären. Denna lötliga exanion ger uhov till en tötvåg om i överljudhatighet rör ig ut från exloionen centrum. Omedelbart bakom tötvågfronten finn en region där tryck, temeratur, denitet amt luftartiklarna hatighet kan vara markant högre än i den omgivande luften. Var efterom tötvågen avlägnar ig från exloionen källa, avtar dock energiinteniteten i den åverkade volymen vilket leder till att ovantående arametrar nabbt återgår till itt urrungliga läge. ndantaget är temeraturen om erhåller en vi höjning å grund av den ökande entroin där tötvågen dragit fram. För att illutrera bildandet av en tötvåg utgå i Figur. från en tryckul av godtycklig form. Olika delar av denna tryckul förflyttar ig framåt i olika hatigheter, där hatigheten ho varje del är denamma om ljudhatigheten i det aktuella mediet. Denna ökar med ökande tryck vilket innebär att då tor tryckvariation råder i ulen kommer hatigheten c ho olika delar kilja ig betänkligt. Delar med högt tryck rör ig nabbare än delar med lägre tryck, vilket reulterar i att en ökande tigning av ulen front utveckla. Då ulen vandrat en vi träcka leder detta till att en --5 5

18 Lufttötvåg närmat dikontinuerlig vågfront bilda - en åkallad tötvågfront. Hatigheten ho tötvågfronten motvarar den ljudhatighet om hör amman med fronten tryck. Då fronttrycket är högre än det normala lufttrycket (och därmed innehar en högre ljudhatighet) ufatta dock vågfronten om att den rör ig i överljudhatighet. å motvarande ätt om tötvågfronten bilda, kommer tryckulen avlatningdel att bli flackare var efterom avtåndet mellan ulen hög- och lågtryckdelar ökar. De delar av tryckvågen om har ett lägre tryck färda långammare än de med högre tryck och dea delar kommer därför läa efter i tryckulen utbredning. Tryck Tryck Tryck c( ) c( ) c( ) c( ) c( ) > c( ) c( ) > c( ) Tryckvågen färdriktning Figur. Schematik bild av bildandet av en tötvåg från en godtyckligt formad tryckul. Baerad å Kinney och Graham (985)..3 Hur ufatta en tötvåg? n tötvåg åverkan å omgivningen beror framförallt å det utlöande energiinnehållet amt av avtåndet från exloionen källa. Att rakt av nyttja dea arametrar för att bekriva tyrkan ho en tötvåg är dock raktikt olämligt. Vid dimenionering av en kontruktion önka itället mer detaljerad information om den lat om kommer verka å den, varför torheter åom övertyck, undertryck, varaktighet amt imultäthet använd. Figur. viar en rinciiell tryck-tidkurva ho en ideal tötvåg där dea torheter reentera. n mer genomgående bekrivning av dea ge i kaitel 4. Allmänt kan dock äga att en ökande energimängd i exloionen leder till högre tryck och törre imultäthet. Dea båda arametrar minkar dock med ökande avtånd från exloionkällan medan varaktigheten ökar med ökande avtånd. Vid betraktele av dea torheter är det av vikt att beakta åväl övertryck om imultäthet. I tatika byggnadammanhang är det normalt endat laten maximala torlek om är av intree. n tötvåg är dock ett högt dynamikt fenomen där väldigt höga latvärden verkar under en mycket begränad tideriod. xemelvi kan kontatera att det maximala övertrycket från 5 kg TNT om detonerar å ett avtånd av 5 meter från en byggnad ger uhov till en tryckul var maxvärde är gånger törre än den ekvivalenta tatika lat om ett venkt kyddrum dimenionera för, e Johanon (). Laten varaktighet är dock mycket kort och inom endat 3 m har den åter minkat till en nivå nära noll. Därmed blir det något felaktigt att endat tala om maximala latnivåer då verkan av en tötvåg bekriv. För att även beakta laten högt väentliga varaktighet är det därför ofta betydligt mer informativt att nyttja imulbegreet i kombination med maximalt övertryck

19 Lufttötvåg Tryck övertryck oitiv imultäthet negativ imultäthet normalt lufttryck undertryck varaktighet oitiv fa varaktighet negativ fa Tid Figur. rinciiell bild av ett tyikt tryck-tidamband för en lufttötvåg vid fri avlatning. Sambandet mellan rängtyrka och avtånd amt nämnda tötvågtorheter är bevärliga att ta fram och få normalt med hjäl av emirika amband även om de ockå kan beräkna med numerika metoder. Sådana emirika amband behandla vidare i avnitt 4.3 amt i Bilaga G. I denna raort hänvia å flera tällen till bland annat ConWe (99) vilket är ett rogram, ammantällt av det amerikanka förvaret, om innehåller dylika emirika amband

20 Lufttötvåg 3 Matematika amband 3. tbredning av en tötvåg 3.. Orientering Såom nämn i avnitt. kiljer ig tötvågen utbredning väentligt jämfört med den för en akutik ljudvåg. Det är dock möjligt att teckna ett amband mellan ådana arametrar om tötvågen utbredninghatighet, energiinnehåll, denitet, tryck amt artikelhatighet med nyttjande av termodynamik. Det här avnittet behandlar de bakomliggande termer om ligger till grund för tötvågen utbredning. För att underlätta förtåelen introducera de med ett illutrativt exemel om bekriver ambandet mellan de olika arametrarna. Tid: t t tvärnittarea A,, Tid: t t ammanread otörd luft luft tötvågfront,,,,, t, -,, t tryck denitet energiintenitet tötvåghatighet artikelhatighet Figur 3. Schematik bild av gafylld tub vid generering av en tötvåg. Baerad å Meyer (994). tgå från en tub med kontant tvärnittarea, figur 3., vilken är fylld med en ga med tryck, denitet amt energiintenitet (energiinteniteten kan, vilket bekriv mer ingående i bilaga A, även tolka om en temeratur T ). Vidare anta att gaartiklarna hatighet urrungligen är noll. I tuben ena ände finn en rörlig kolv om vid tiden t t är tillatående. Därefter ätt dock kolven i rörele med en kontant hatighet. Gaen framför kolven ätt då i rörele och en tryckvåg, förflyttande med en hatighet, rör ig framåt i tuben. fter tiden t t har kolven förflyttat träckan, t medan den frambringade tryckvågen har tagit ig träckan, t. Trycket, deniteten amt energiinteniteten om befinner ig i den hotryckta regionen,, har därigenom ändrat till, reektive. Framför den framruande tryckvågen är gaen dock fortfarande oåverkad varför de egenkaer är oförändrade. Vågfronten kan ålede ufatta om ett lan vilket earerar rörlig och tillatående ga i en tub med en rörlig kolv. tgående från ovantående bekrivning kan nu konerverandet av maa, rörelemängd amt energi tälla u för den hotryckta regionen enligt avnitt 3.. till avnitt

21 Lufttötvåg 3.. Konervering av maa Lagen om konerverande maa äger att maan förblir kontant, dv. att maan i ett givet område förblir denamma före och efter det att en törning, åom en tötvåg, aerat området. n utällning av den hotryckta regionen, med beteckningar enligt figur 3., blir då m före m efter (3.) med nyttjande av deniteten och volymen V kan maan m dock kriva om om V V (3.) vilket kan vidareutveckla till, A A ( ) A t A t Förkortning med arean A och tiden t å båda idor reulterar lutligen i att ( ) (3.3) (3.4) (3.5) vilket är ett allmänt vedertaget uttryck för maan bevarande Konervering av rörelemängd Rörelemängd definiera om rodukten av maa och hatighet. Vid en töt nyttja dock även begreet imul vilket bekriver det tillkott i rörelemängd om få vid en kortvarig töt. Konerverandet av rörelemängden kan ålede teckna om före efter m före v före F t m efter v efter (3.6) Med nyttjande av beteckningar enligt figur 3. få då ( ) A ( t t ) A( ) t (3.7) A t Med inättande av att, t amt förkortning med arean A och tiden t få ( ) ( ) (3.8) och med nyttjande av ekvation (3.5) kan detta lutligen kriva om ( ) (3.9) --5 9

22 Lufttötvåg 3..4 Konervering av energi Lagen om konerverande energi anger att arbetet av yttre krafter kall vara lika med ändringen i den otentiella och kinetika energin. Detta kan uttrycka om k (3.) där rereenterar ett eventuellt energitillkott där amt k betecknar ändring i otentiell reektive kinetik energi. Dea termer kan teckna om F δ (3.) ( m) efter ( m) före (3.) ( mv ) efter ( mv ) före k (3.3) där F och δ motvarar kolven tryckande kraft reektive en förflyttning S, t av kolven. Totalt kan energin bevarande ålede uttrycka om A t [ A( ) t A t ] [ A( ) t A t ] (3.4) Med nyttjande av att amt förkortning med A och t å båda idor å få ( ) ( ) (3.5) Nyttjande av uttrycket för konerverande maa, ekvation (3.5), ger dock att ( ) (3.6) Detta uttryck kan förenkla ytterligare till en vanligen använd form, där killnaden i energiinteniteterna och uttryck om funktion av de inblandade trycken och amt tillhörande deniteter och. Skriv om ekvation (3.6) till (3.7) och uttryck hatigheterna och om funktion av tryck och denitet. Konerverande av rörelemängden, ekvation (3.8), kan kriva om till ( ) (3.8) vilket i kombination med bevarandet av maan, ekvation (3.5), ger att --5

23 Lufttötvåg --5 (3.9) Sätt in ekvation (3.9) i ekvation (3.7) och erhåll ( ) ( ) ( ) (3.) Återtår att uttrycka tötvåghatigheten i termer av och. kvation (3.5) kan kriva om om (3.) vilket kombinerat med ekvation (3.9) reulterar i ( ) ( ) (3.) Med inättande av detta i ekvation (3.) få ( ) (3.3) vilket kan förkorta till ( ) (3.4) kvation (3.4) kan förenkla ytterligare till ( ) (3.5) vilket tillamman med definition å ecifik volym v (3.6) även kan uttrycka om ( )( ) v v (3.7) kvation (3.4) och ekvation (3.6) är vanliga uttryck för att bekriva energin bevarande och är även kända om Rankine-Hugoniotekvationen. Detta uttryck utgör en viktig grund för betämning av tötvågarametrarna torheter och behandla mer utförligt i avnitt 3..6.

24 Lufttötvåg 3..5 Tilltåndekvationen - quation of State (OS) I avnitt 3.. till avnitt 3..4 har totalt fem tötvågarametrar introducerat (ex om denitet och ecifik volym ärkilj). ttrycken för bevarandet av maa, rörelemängd och energi ger tillamman tre ekvationer där dea arametrar kan relatera till varandra. För att information om en given arameter kall räcka för att ta fram övriga tötvågarametrar kräv dock ytterligare en ekvation. Det amband om ufyller detta behov benämn om tilltåndekvationen och uttryck ofta om ett amband mellan tryck och denitet, alternativt mellan tötvåghatighet och artikelhatighet (vanligt för metaller, e Meyer (994)). Tilltåndekvationen benämn ofta i enlighet med in engelka förkortning OS, vilket tår för quation of State. I den här raorten använd dock företrädevi benämningen tilltåndekvation. Begreet OS berör vidare i Bilaga I. För luft är det vanligt att nyttja ambandet för en ideal ga RT (3.8) där R och T betecknar den allmänna gakontanten reektive temeraturen. Med användning av uttrycket för entali, e Bilaga A, kan detta edan kriva om om ( ) (3.9) där betecknar gaen värmekaacitetkvot, e figur 3.. Värmekaacitetkvot, [-],4,4,38,36,34,3,3,8,6,4 Tryck, [ka] Figur 3. Luften värmekaacitetkvot om funktion av trycket (normalt lufttryck vid 5 C är omkring,3 ka). Värden är hämtade från ConWe (99) och ge även i tabellformat i Bilaga B. --5

25 Lufttötvåg Värmekaacitetkvoten för luft ätt ofta till ett kontant värde,4 och definiera om c c v (3.3) där c och c v är ecifik värmekaacitet vid kontant tryck reektive vid kontant temeratur. gentligen varierar med trycket men ovantående kontanta värde är dock en fullt godtagbar aroximation förutatt att trycket inte är för högt. I figur 3. illutrera hur varierar med trycket och av detta framgår att vid ett tryck av ka minkat till omkring,39 och att den vid högre tryck minkar ytterligare. Inverkan av att aroximativt ätta,4 oberoende av tryck, ta delvi u i de följande avnitten men behandla framförallt i Bilaga C Rankine-Hugoniotekvationen De i avnitt 3..4 härledda uttrycken för energin bevarande bekriver ambandet mellan trycket och deniteten. Dea uttryck härrör från tötvågvetenkaen barndom och utgör grundläggande information för utbredandet ho en tötvåg. Rankine-Hugoniotekvationen reentera ofta i form av tryck om funktion av denitet eller ecifik volym. Med nyttjande av ekvation (3.4) och (3.7) kan detta amband teckna om ( ) ( ) ( ) ( ) (3.3) eller vid kombination med ekvation (3.6) om ( ) v ( ) v ( ) v ( ) v (3.3) Här använd dock det enare uttrycket i den fortatta betraktelen. Genom nyttjande av ekvation (3.6) kan ekvation (3.3) kriva om till v v (3.33) vilket motvarar den åkallade Rayleighlinjen. Denna bekriver hur tilltåndet ho ett medium ändrar ig då en tötvågfront drar fram genom det. Ändringen ker dikontinuerligt och det är viktigt att åeka att tryckändringen inte följer Rankine-Hugoniotkurvan. Itället ker en tötvi ändring av tryck och ecifik volym från det urrungliga och v till tilltåndet och v alldele bakom tötvågfronten. Detta illutrera i figur 3.3 där (). Härur framgår att för högre tryckändringar å ökar även Rayleighlinjen lutning och därmed även erforderlig tötvåghatighet. I exemlet ökar trycket från ka till 446 ka under det att den ecifika volymen minkar från v,86 till v,38 m 3 /kg. rforderlig tötvåghatighet kan från dea ugifter betämma via ekvation (3.3) till 7 m/ då det är känt att deniteten för otörd luft är (vid en temeratur T 5 C),6 kg/m

26 Lufttötvåg Totalt tryck, [ka] Rankine- Hugoniotkurva v v Rayleighlinje,,,4,6,8, Secifik volym, v [m 3 /kg] Figur 3.3 Rankine-Hugoniotkurva för luft i enlighet med ekvation (3.33) när (). Rayleighlinjen bekriver den tilltåndförändring om ker över tötvågfronten Stötvågfronten tjocklek Stötvågfronten utgör en närmat dikret grän över vilken bland annat tryck och temeratur gör ett lötligt ho. I figur. ymboliera detta av att tigtiden, dv. den tid det tar för trycket att öka från urrungtrycket till det maximala trycket, är att till noll. I verkligheten ker denna förändring dock över ett vit tidintervall, motvarande den tid det tar för tötvågen att ta ig fram en träcka lika med tötvågfronten tjocklek. Stötvågfronten är dock mycket tunn och kan enligt Kinney och Graham (985) teckna om t tötvågfront 7M 8 ( M ) [m] (3.34) där M är tötvåghatigheten uttryckt om ett Machtal (e Bilaga för definition av Machtal) och är deniteten i den otörda luften framför tötvågen. Detta innebär att för ett Machtal M blir tötvågfronten tjocklek mindre än omkring,5 µm vilket i in tur leder till en tighatighet av magnitud 4-4 µ. Med en ådan kort tigtid blir det ockå fullt naturligt att betrakta tötvågfronten om en dikontinuitet där tryck, temeratur och denitet genomgår en lötlig förändring. 3. Samband mellan tötvågarametrar tgående från de ekvationer om tecknat i avnitt 3. är det möjligt att uttrycka amtliga tötvågarametrar om funktioner av övriga arametrar. Härledningar av dea uttryck redovia i Bilaga B och ammanfatta i tabell 3. och 3.. I Bilaga B tabellera även aktuell värmekaacitetkvot för reektive tötvågarameter. Här redovia även egenkaerna för otörd luft

27 Lufttötvåg Tabell 3. ttryck för beräkning av tryck, denitet amt komreion µ. Samtliga amband finn härledda i Bilaga B. Nr. arametrar ttryck Tryck, () () () ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) (3) ( ) ( ) ( ) 6 4 (4) () ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 Denitet, (5) () ( ) ( ) ( ) ( ) (6) ( ) ( ) ( ) (7) ( ) 4 a b a där ( ) ( ) 4 a ( ) b (8) () ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 Komreion, µ (9) (µ) () ( ) ( ) µ µ () µ µ () ( ) ( ) ( ) µ () Nyttjande av,4 ger ingulär löning för tarka tötvågor, e även Bilaga C.

28 Lufttötvåg Tabell 3. ttryck för beräkning av tötvåghatighet, artikelhatighet amt energiintenitet. Samtliga amband finn härledda i Bilaga B. kv. arametrar ttryck Stötvåghatighet, () () ( )( ) () () ( ) ( ) (3) ( ) ( ) ( ) 6 4 (4) () ( ) där ( ) enligt nr (4) artikelhatighet, (5) () ( ) ( ) ( ) (6) () () ( ) ( ) ( ) [ ] (7) ( ) ( ) (8) () ( ) där ( ) enligt nr (4) nergiintenitet, (9) () ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) där ( ) enligt nr (3) () Nyttjande av,4 ger ingulär löning för tarka tötvågor, e även Bilaga C.

29 Lufttötvåg 3.3 Reflexion 3.3. Reflexiontyer Den information om reentera i avnitt.3 gäller för en tötvåg om utbreder ig i luft utan att utätta för några törningar. När tötvågen träffar ett fatare medium kommer de egenkaer dock genomgå dramatika förändringar. För att bättre förtå det tryck-tidamband om en belatad truktur utätt för är det nödvändigt att vara medveten om vad om ker då en tötvåg reflektera mot en yta eller diffrakterar kring ett objekt. Reflexion behandla i detta avnitt medan diffraktion ta u i avnitt 3.4. Reflexionen av en tötvåg kan dela u i två rinciiellt olika tyer: reguljär reflexion och Machreflexion. rincien för reguljär reflexion åminner i mångt och mycket om den om erhåll för en akutik ljudvåg och dela i in tur u i normalreflexion amt ned reflexion och behandla i avnitt 3.3. reektive avnitt Machreflexion, däremot, är en eciell ty av ned reflexion om utår då den infallande vågen träffar en reflekterande yta i en tillräckligt ned vinkel och därmed ger uhov till ett eciellt fenomen den å kallade Machvågen, vilken behandla utförligt i avnitt Normalreflexion Den enklate formen av reflexion är normalreflexion där tötvågen träffar den reflekterande ytan i rät vinkel. Figur 3.4 illutrerar ett ådant fall där den infallande vågen I närmar ig en vägg med hatigheten. Tilltåndet framför vågen är otört och motvarar det för tillatående luft, medan tilltåndet i jälva vågen motvarar det för en fritt utbredande våg. Omedelbart efter reflexionen rör ig den reflekterande vågen bort från väggen med en hatighet r. Tryck, temeratur amt denitet intill väggen ökar till ett värde högre än i den infallande vågen medan artikelhatigheten minkar till noll i tötvågfronten. Övertrycket r benämn om det reflekterade övertrycket och kan vara flera gånger högre än den infallande vågen övertryck. För vaga tötvågor ( << ), där vågen kan aroximera om en akutik ljudvåg, blir det reflekterade övertrycket dubbelt å högt om i den infallande vågen. För tarkare tötvågor kan den här kvoten dock öka flerfaldigt och kan, enligt Baker (973), i extrema fall ugå till en faktor tjugo högre än det infallande övertrycket. I,,,,,, R,,, r r, r, r, (a) (b) Figur 3.4 Schematik bild av normalreflexion av en lan tötvåg: (a) före reflexion, (b) efter reflexion. Baerad å Baker (973) amt Kinney och Graham (985)

30 Lufttötvåg Ovan nämn att artikelhatigheten minkar till noll vid den reflekterande tötvågfronten. Detta innebär att dea artiklar innehar en hatighet relativt de artiklar om fortfarande är i rörele en bit bort från den reflekterande ytan. Denna relativa hatighet är lika tor om den egentliga artikelhatigheten men med motatt riktning. Den reflekterande tötvågen kan ålede ufatta om en våg med amma artikelhatighet om den inkommande (oreflekterade) vågen men med den betydande killnaden att den rör ig genom ett annat medium. I figur 3.4 rör ig den inkommande vågen genom otörd luft. Den reflekterade vågen kommer dock röra ig genom ett medium om utgör av den oreflekterade vågen, vilket innebär att arametrar åom tryck och denitet, beroende å tyrkan ho den inkommande vågen, kan kilja ig betänkligt från otörd luft. Stötvågarametrarna för den reflekterade vågen erhåll därmed å amma ätt om för det oreflekterade trycket men med den killnaden att dea ta fram med utgångunkt att den reflekterande vågen rör ig in i den inkommande tötvågen itället för genom otörd luft. Beräkningmäigt innebär detta att amtliga uttryck i tabell 3. och 3. kan nyttja rakt av med den killnaden att arametrar tillhörande törd och otörd luft byt ut mot reflekterad och törd luft. tgående från detta är det möjligt att teckna det reflekterande trycket r om en funktion av trycket ho den inkommande tötvågen om (för härledning, e Bilaga D) r ( 3 ) ( ) ( ) ( ) [,4] 8 6 (3.35) r detta kan edan reflexionkoefficienten Λ, bekrivande kvoten mellan reflekterat och inkommande övertryck, kriva om r Λ r ( 3 ) ( ) ( ) ( ) [,4] (3.36) Med detta uttryck erhåll för en akutik våg, där, en reflexionkoefficient Λ vilket överentämmer med linjär vågteori. Då, åom är ett vanligt antagande för luft, ätt till,4 reulterar ekvation (3.35) i att Λ 8 då. Denna begränning är dock ett direkt reultat av ovantående antagande. Då hänyn ta till att värmekaacitetkvoten minkar med ökande tryck får detta ockå tydlig inverkan å förhållandet mellan det reflekterande och det infallande övertrycket. I figur 3.5 jämför reflexionkoefficient då,4 amt då den varierar med trycket åom via i figur 3.. Om reflexionkoefficienten uttryck om funktion av den inkommande tötvågen övertryck itället för det totala trycket kan ekvation (3.36) kriva om om ( 3 ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( 3 ) Λ 4 ( ) (3.37) och genom att ätta,4 få 8 Λ [,4] 4 7 (3.38) vilket är det uttryck för normalreflexion om ange i exemelvi FortH (99)

31 Lufttötvåg Reflektionkoefficient, Λ [-] () Oreflekterat övertryck, [ka] Figur 3.5 Förhållande mellan reflexionkoefficient Λ och oreflekterat övertryck. När,4 utgör Λ 8 en aymtot när, e ekvation (3.36) Sned reflexion Normalreflexion kan äga utgöra ett ecialfall av en ned reflexion där infallvinkeln β. Det allmänna fallet utgör dock av någon ty av ned reflexion. Figur 3.6 viar en chematik bild av en tötvåg om med hatigheten faller in mot ett lant underlag med en vinkel β. n ned reflexion ker och den reflekterande vågen lämnar ytan med en hatighet r och vinkeln δ. Till killnad mot en akutik ljudvåg kiljer ig dock vinkeln mellan den infallande och reflekterande vågen, dv. β δ. Detta beror å att reflexionkoefficenten Λ för en tötvåg, vilket gör att det jämvikttilltånd om behöver ufylla i den reflekterade ytan medför att den reflekterande vinkeln δ blir en funktion av den infallande vinkeln β amt den infallande vågen hatighet. Allmänt få att β δ. reflekterad våg B inkommande våg C r, r, r, in δ r δ,,, β A,,, Figur 3.6 Schematik bild av ned reflexion av lan våg. Tre regioner kan urkilja: otörd luft i region A, fri tryckavlatning i region B amt reflekterat tryck i region C. Baerad å Baker (973)

32 Lufttötvåg Tre regioner kan urkilja i figur 3.6: region A, B och C. Region A befinner ig framför tötvågen varför luften däri fortfarande är otörd, tilltåndet i region B motvarar det vid fri tryckavlatning och i region C råder ett tilltånd orakad av den reflekterade vågen aage. Samma tillvägagångätt om vid ned töt, e Bilaga F, använd för att betämma vad om händer i amband med reflexionen, dv. de gränytor om tötvågorna utgör mellan dea tre regioner betrakta om tillatående och att det är luften om trömmar genom dem. Som töd illutrera denna metodik även i figur 3.7. reflekterad våg B δ inkommande våg C θ u 3 θ δ u β β u A Figur 3.7 Schematik illutration av beräkninggång vid betämning av reflexionvinkel vid ned reflexion. Baerad å Kinney och Graham (985). I region A kan tötvågen egentliga utbredninghatighet bekriva med hjäl av en hatighet u arallellt med det reflekterande underlaget. Därigenom kan metodiken för ned tötvåg i Bilaga F ockå använda varvid genomtrömhatigheten i de olika regionerna behandla med hjäl av åkallade Machtal. Machtalet är ett enhetlöt tal om bekriver en hatighet i förhållande till ljudhatigheten åom definiera i Bilaga. Mellan region A och B kommer den arallella tötvågkomonenten avvika med vinkeln θ från in urrungliga bana, ner mot reflexionytan. Mellan region B och C genomgå därefter ytterligare en ned tötvåg där hatighetvektorn u räta u igen med vinkeln θ för att övergå till hatigheten u 3 i Region C med en riktning om åter är arallell med underlaget. Genom att nyttja de uttryck om reentera i amband med ned töt, e Bilaga F, är det möjligt att med en iterativ beräkningroce löa detta åom bekriv i figur 3.8. Mellan region A och B betäm Machtal M och deflektionvinkel θ för vågen u å om bekriv i Bilaga. Våghatigheten M nyttja edan om en ingånghatighet i den reflekterande tötvågfronten (avkiljande region B och C). Samma uttryck använd därefter för att öka en vinkel β ådan att erhållen deflektionvinkel θ mellan region B och C ammanfaller med den deflektionvinkel θ om tidigare utått mellan Region A och B, dv. å att villkoret θ θ ufyll. --5

33 Lufttötvåg tgå från och betäm u ur u in β Ta fram tillhörande Machtal u M c Beräkna vinkeln δ enligt ( ) M in β tanδ tan β M in β ( ) Betäm Machtalet M för reulterande vågen i region B M M ( ) M in β in β ( ) in θ Betäm deflektionvinkeln θ ur θ β δ Sätt M M Antag värde å vinkeln β Beräkna reflexionvinkeln δ ur ( ) M ' in β tanδ tan β M ' in β ( ) Nej Kontrollera om θ θ Ta fram θ ur θ β δ Ja Reflexionvinkeln δ betämd Machtalet för reflekterad våg M r M ' in β Figur 3.8 Flödechema för betämning av reflexionvinkel vid ned reflexion. Ingående uttryck är även bekrivna i Bilaga F och är urrungligen hämtade från Kinney och Graham (985). Med nyttjande av dea villkor kan förhållandet mellan infallande- och reflekterande vinkel betämma. I figur 3.9 via ambandet mellan infall- och reflexionvinkel då värmekaacitetkvoten,4 reektive då () i enlighet med figur 3.. Av detta framgår att då den infallande vågen hatighet ugår till ungefär ett Machtal M,5 eller mer å erhåll inte längre någon reflexionvinkel för törre infallvinklar än omkring 4. För tötvågor av lägre magnitud kan dock infallvinkeln vara betydligt törre för att generera en reguljär ned reflexion en akutik våg med våghatighet M reulterar exemelvi i att infallande- och reflekterande vinkel är denamma. Noterbart är dock att för kraftiga tötvågor (M 5) kräv en märkbar ökning av tillåten infallvinkel för att åtadkomma en reguljär reflexion, när hänyn ta till minkande värmekaacitetkvot, jämför figur 3.9b. --5

34 Lufttötvåg 6 6 Reflexionvinkel, δ [grader] 5 4 3,,5 3 5 Reflexionvinkel, δ [grader] 5 4 3,, Infallvinkel, β [grader] Infallvinkel, β [grader] (a) (b) Figur 3.9 Samband mellan infall- och reflexionvinkel vid ned reflexion då (a).4, och (b) (). Angivna värden i diagrammen anger Machtalet ho den infallande vågen. Från figur 3.9 framgår att det inte är möjligt att det, utgående från utällda amband reenterade i figur 3.8, ej är möjligt att ufylla det tällda villkoret att θ θ för amtliga infallvinklar vid en godtycklig tötvåghatighet. Itället utår ett läge, där det för en kritik infallvinkel β krit, att deflektionvinkeln θ mellan region B och C alltid blir mindre än deflektionvinkeln θ mellan region A och B. Detta får till följd att den reflekterande vågen i Region C börjar kana läng med underlaget itället för att reflektera mot det. Detta fenomen anger ukomten av en å kallad Machreflexion, vilket är ett komlext men viktigt fenomen om bekriv närmare i avnitt Det går att via att det reflekterade trycket r vid en ned reflexion kan beräkna ur [ ] [ M r ( ) ] M ( ) ( ) (3.39) r där M och M r är Machtalet för trömningen i den inkommande reektive reflekterade vågen. tgående från detta kan reflexionkoefficienten vid en ned reflexion uttrycka om r Λ r [,4] [ ] ( ) [ M r ( ) ] M ( ) ( M )( ) [ 7M r ] [ 7M ] 4( M ) 36 (3.4) Något uttryck, liknande det för en normalreflekterad våg, där reflexionkoefficienten ätt u om en funktion av tötvågen tryck reentera inte i Kinney och Graham och har inte heller härlett i denna raort. n närmare jämförele av vilket reflekterat tryck om erhåll vid olika reflexionvinklar gör i avnitt

35 Lufttötvåg Machreflexion Machvågen utbredning Såom berör i föregående avnitt utår en Machreflexion då vinkeln β ho den infallande vågen övertiger en kritik vinkel β krit. Till killnad mot den reguljära neda reflexionen å tudar vågen inte längre iväg från den reflekterande ytan utan glider itället läng den. Detta reulterar i att en ny tötvåg, den å kallade Machvågen, tar form vinkelrätt mot ytan. Den kärningunkt om bilda av den infallande vågen, den reflekterande vågen amt Machfronten, benämn om Machvågen trielunkt. Den mellankillnad θ θ - θ om utår vid infallvinklar β > β krit reulterar i en uåtriktad trömning (engelka: litream) vilken ger uhov till att avtåndet mellan trielunkten och den reflekterande ytan ökar var efterom tötvågen förflyttar ig läng den reflekterande ytan. Trielunkten erhåller därigenom en kurvformad tigning från reflexionytan, åom chematikt illutrera i figur 3., och en ny region (Region D) bilda var termodynamika egenkaer kiljer ig från de övriga tre regionerna. Det tryck om erhåll i amband med en Machreflexion berör närmare i avnitt B β > β krit C u u A uåtriktad trömning u 3 D u 4 u trielunkt Figur 3. byggnad av en Machtötvåg. Baerad å Kinney och Graham (985). Figur 3. Reflexion av tötvåg i olika tadier. I kede (I ) börjar en Machvåg ta form och i kede 3 (I 3 ) har en tydlig Machvåg bildat där den treckade linjen, markerad med, ymbolierar trielunkten tigning. Från Baker (973). I figur 3. illutrera reflexionroceen ho en tark tötvåg udelad i tre earata delar. I det förta tadiet har den infallande vågen I reci nått fram till den reflekterande ytan. Infallvinkeln är dock inte törre än den kritika vinkeln β krit varför någon Machvåg ej utår. Likom den --5 3

36 Lufttötvåg infallande vågen å exanderar även den reflekterande vågen. Den enare kommer dock inte anta en färik form efterom reflexionvinkeln δ är mindre än infallvinkeln β (en reflekterad akutik ljudvåg kulle dock antagit en färik form efterom den infallande och reflekterande vinkeln i det fallet är lika tora). Vid ett vit avtånd från exloionen källa kommer infallvinkeln β vara lika med den kritika vinkeln β krit, vilket betecknar tartunkten för bildandet av en Machvåg (tadium i figur 3.). Då tötvågen exanderar ytterligare växer Machvågen och omluter alltefterom de infallande och reflekterande vågorna. Detta rereentera i Figur 3. av den treckade linjen, markerad med, vilken bekriver trielunkten fortkridande tillväxt. I tadium 3 dominera tötvågen nära marken av Machvågen framfart där en nära nog vertikal vågfront har bildat Kritik vinkel Vilken kritik vinkel β krit om kräv för att en Machvåg kall utå beror å tyrkan ho den infallande vågen. Från figur 3.9 framgår att den kritika vinkeln för tötvåghatigheter av magnitud M.5 ligger å omkring 4. Via en närmare tudie av kritik vinkel β krit i figur 3.8 kan ett amband enligt figur 3. ta fram. Figuren bekriver kritik infallvinkel om funktion av den infallande vågen Machtal och jämför erhållen killnad för,4 amt när den varierar med tötvågen hatighet, (). tt emirikt uttryck för kritik infallvinkel (anaat för fallet,4) ge i Kinney och Graham (985) om β krit.75 ( M ) x 39 (3.4) där M x är den infallande vågen Machhatighet vinkelrätt mot tötvågfronten, och medta om jämförele. Likom i figur 3.8 framgår det även här att erhållen kritik vinkel β krit kiljer ig nämnvärt fört när tötvåghatigheten närmar ig en hatighet av M 5. 5, Machtal ho infallande våg, M [-] 4,5 4, 3,5 3,,5,,5, mirikt gamma,4 gamma gamma() Kritik infallvinkel, β krit [grader] Figur 3. Kritik infallvinkel β krit, vid vilken en Machvåg utår, om funktion av infallande vågen Machtal. mirikt amband via i ekvation (3.39)

37 Lufttötvåg Reflexionkoefficient Den relativa tryckökningen i en Machreflexion blir i de fleta fall lägre än vad om erhåll vid en reguljär ned reflexion. Det reflekterade trycket från en ned reguljär reflexion kan betämma åom bekriv i avnitt För en Machvåg blir tillvägagångättet dock något annorlunda. För en ådan erhåll ingen äkta reflexion efterom tötvågen egentligen endat ändrar riktning och kanar läng med underlaget itället för att reflektera mot det. Med nyttjande av amma reonemang om vid ned reflexion amt det faktum att Machvågen front är riktad ungefär vinkelrätt mot den reflekterande ytan, å kan trycket av denna, nära den reflekterande ytan, betämma utgående från Machvågen hatighet mach, där mach in β (3.4) i enlighet med figur 3.3. Den tryckökning om erhåll beror ålede narare å en ökad våghatighet än å ett reflekterat tryck. Tillhörande reflexionkoefficient Λ kan därmed betämma om mach Λ mach (3.43) där mach M mach ( ) ( ) (3.44) M mach (3.45) mach c B β > β krit C r A β r mach D mach Mach Figur 3.3 Schematik figur av tryck orakad vid Machreflexion. I figur 3.4 redovia hur reflexionkoefficienten varierar med infallvinkeln β vid olika tötvåghatigheter. Vid den kritika vinkeln β krit för reektive våghatighet (β krit 4 ) ker ett dikret ho, i figuren rereenterad med en treckad linje, då reflexionen övergår från ned reguljär reflexion till Machreflexion. Från figuren framgår att för låga tötvåghatigheter kan en Machvåg reultera i en törre tryckökning än vid en ned reflexion men då tötvåghatigheten övertiger Mach,5 få en relativt lägre tryckökning jämfört med den om erhåll vid en reguljär reflexion. I figuren jämför även den killnad om erhåll i reflexionkoefficient då värmekaacitetkvoten anta vara kontant lika med,4 och då anta variera med tötvåghatigheten M i enlighet med --5 5

38 Lufttötvåg figur 3.. Då infallvinkeln närmar ig 9 går ockå reflexionkoefficienten mot,. Sålede erhåll ingen tryckökning å grund av reflexion då exloionkällan är lacerad i kontakt med den reflekterande ytan. Dock erhåll en tryckökning å grund av ökad energiintenitet ho exloionen ett förlo om går under namnet egling och om berör vidare i avnitt Reflexionkoefficient, [-] ,5, Reflexionkoefficient, [-] Infallvinkel, β [grader] (a) 5 3,5, Infallvinkel, β [grader] (b) Figur 3.4 Reflexionkoefficient om funktion av infallvinkel vid olika tötvåghatigheter då (a),4 och (b) ()

39 Lufttötvåg Machvågen höjd Machvågen utbredning har tor inverkan för vilken belatning om exemelvi en byggnad kommer utätta för av en närliggande exloion. Det är därför av vikt att veta vilken höjd över markytan om denna våg kommer ha när den når fram till ett ecifikt mål. I figur 3.5 via ett emirikt amband mellan Machvågen kalade höjd Y om funktion av det kalade avtåndet Z för två olika reflekterande ytor. 4, Skalad Machvåghöjd, Y [kg/m /3 ] 3,5 3,,5,,5,,5,4,6,8,,,4,6,,4,8 h r Z W / 3 r Y /3 W, Skalat avtånd, Z [kg/m /3 ] h T W / 3 Figur 3.5 Machvåghöjd om funktion av kalat avtånd. Siffrorna vid kurvorna anger kalat vertikalt avtånd T mellan detonationunkt och markunderlag. Baerad å Swidak (975) Segling Då en exloion ker nära en reflekterande yta kommer detta åverka tötvågen tyrka och utbredning. fterom tötvågen egenkaer är en funktion av de energiintenitet betyder detta ockå att de är beroende av den volym i vilken utbredningen ker. n jämförele av en exloion långt från eventuella törande reflexioner där fri avlatning är möjligt gör här med vad om händer om exloionen itället ker i kontakt med en reflekterande yta. Den volym om tötvågen kan breda ut ig över blir hälften å tor i fallet med exloion med möjlighet till fri utbredning. I ett idealierat fall, med antagandet av att ingen energi förvinner ner i den reflekterande ytan, innebär detta att den tötvåg om generera vid ett ådant fall för en given laddning W har amma egenkaer om den tötvåg om oraka av en dubbelt å tor laddning (W) om har fri tryckavlatning, e figur 3.6. Detta är dock ett konervativt antagande å äker ida efterom en del av energin kommer gå förlorad då marken ätt i rörele. Baker et al. (983) anger ett ungefärligt värde å,8 itället för en dubbling av laddningvikten. I ConWe varierar denna faktor med övertrycket åom illutrera i figur 3.7. Från denna figur framgår att för att unå ett övertryck ka å varierar eglingkvoten mellan omkring,6 och,7. Vid högre övertryck minkar denna kvot ytterligare vilket innebär att en rocentuellt ett törre andel av energin uta av marken vid höga övertryck. Som jämförele medta även den mängd TNT om erfordra för att åtadkomma angivet övertryck å ett avtånd R 5 m från detonationcentrum

40 Lufttötvåg xloion vid fri avlatning Motvarande exloion vid fri avlatning W xloion vid egling W W Halva energimängden förhindra att gå ner i marken Figur 3.6 Schematik illutration av ideal egling. I realiteten går en del av exloionen frigjorda energi dock ner i marken varför eglingkvoten i verkligheten alltid blir <., 5 Seglingkvot [-],8,6,4, Seglingkvot Maa TNT 4 3 Maa TNT vid fri avlatning [kg], Övertryck, [ka] Figur 3.7 Samband mellan erforderlig maa TNT vid fri färik- reektive halvfärik utbredning för att unå givet övertryck. Angiven mängd TNT motvarar ett avtånd å R 5 m. Baerat å ConWe (99)

41 Lufttötvåg 3.4 Diffraktion När en tötvåg når fram till ett olitt objekt, å om en byggnad, inträffar ett komlicerat förlo om benämn diffraktion. Detta är ett fenomen om kan ha tor betydele för hur en utatt byggnad åverka av en tötvåg, eciellt för tötvågor med lång varaktighet. Med tanke å att varaktigheten ho en tötvåg orakad av konventionella rängämnen, åom TNT, normalt är förhållandevi kort kan det tycka att diffraktion inte är å aktuellt i ådana fall. rincierna är dock deamma, oavett tötvågen varaktighet, och den avlatning om erhåll vid ett hörn kan fortfarande vara av betydande torlek även för en kortvarig tötvåg. Den information om återge i detta avnitt är huvudakligen hämtat från Baker (973) men delvi även från Kinney och Graham (985). I figur 3.8 ge en rinciiell bild av vad om händer i ett tvådimenionellt fall då en lan tötvåg når fram till en byggnad. Då den infallande vågen I når den främta väggen erhåll en reflektionvåg R i motatt riktning vilket ger uhov till att trycket ögonblickligen ökar från till r. Ovanför väggen fortätter dock tötvågen in färd framåt relativt otörd varför trycket bibehåll. Den reulterande tryckkillnaden vid övergången från vägg till tak gör att det reflekterande trycket minkar via en åkallad avlatningvåg om drar ner läng väggen. n luftvirvel med lågt övertryck i itt centrum bilda vid hörnet och bidrar ytterligare till att minka trycket i området. I figur 3.8b är trycket vid väggen nederdel fortfarande r medan trycket vid väggen överdel minkar till en nivå motvarande det åkallade tagnationtrycket, vilket närmare förklara i avnitt 3.5. När tötvågen når byggnaden bakida diffrakterar den ned bakom hörnet varvid en andra luftvirvel kaa. Trycket å byggnaden bakida blir, bakom diffraktionvågen, något lägre än medan den framför denamma innehar trycket för otörd luft, å byggnaden tak förblir trycket. I u infallande tötvågfront avlatningvåg I u tötvågfront främre vägg tak bakre vägg diffrakterad tötvågfront ur (a) R (b) tötvågfront trömvirvlar I u diffrakterad tötvågfront tötvågfront trömvirvlar I u (c) (d) Figur 3.8 Diffraktion av tötvåg för en tvådimenionell byggnad. Baerad å Baker (973). Stötvågen beteende ovan beror även å geometrika betingeler ho byggnaden. Om byggnaden längd är lång är det exemelvi möjligt att avlatningvågen har negligerat inverkan av reflektionen å byggnaden framida innan tötvågen når byggnaden bakida ov. Här bekriv endat ett tvådimenionellt fall men beteendet är detamma även för en tredimenionell truktur. I ett ådant fall kan tötvågen även diffraktera runt byggnaden idor. För utförligare information om de reulterande tryckkurvorna uteende, e Kinney och Graham (985)

42 Lufttötvåg 3.5 Stagnationtryck och dynamik vindlat 3.5. Stagnationtryck I föregående avnitt inför termen tagnationtryck för att beteckna det tryck om ukommer i amband med att en avlatningvåg åverkar en reflekterad tötvåg. Nedan ge en överiktlig förklaring till hur tagnationtryck amt den tillhörande termen, dynamikt tryck, definiera amt vad de raktikt innebär. Bernoulli ekvation ger enligt Bygg (983) att,, (3.46) där termen q (3.47) benämn om det dynamika trycket. Vid trömning vinkelrätt en yta, å om illutrera i figur 3.9, få en unkt där trömninghatighet är noll. Denna unkt benämn tagnationunkt och den linje om kiljer de övre och nedre trömningarna kalla för tagnationlinje. Trycket tag i tagnationunkten benämn om tagnationtrycket och kan, utgående från ekvation (3.43) och (3.44) kriva om tag q (3.48) Figur 3.9 Strömning vinkelrätt en fat yta. Stagnationtrycket tag erhåll där trömninghatigheten (artikelhatigheten) är noll. Trycket kan äga utgöra ett lokalt tatikt tryck om är oberoende av trömningen riktning och hatighet. Stagnationtrycket, däremot, tar även hänyn till mediet trömmande artiklar och är därför alltid högre eller lika med det tatika trycket. Det om här benämn om det dynamika trycket q är dock egentligen inte all ett tryck utan narare en aande benämning å den killnad i tryck om erhåll mellan tagnationtrycket och det tatika trycket å grund av mediet trömning

43 Lufttötvåg nligt ekvation (3.47) kan tagnationtrycket teckna om umman av det tatika och dynamika trycket. Bernoulli ekvation i ekvation (3.46) förutätter dock att trömninghatigheten är relativt låg i förhållande till mediet ljudhatighet för att vara giltig. tt fulltändigare uttryck för tagnationtrycket kan, enligt Kinney och Graham (985), itället kriva om tag ( ) 4 6 q M M... q 8 48 (3.49) där är värmekaacitetkvoten och M är trömninghatigheten uttryckt om Machtal. För låga värden å trömninghatigheten blir killnaden mellan ekvation (3.48) och (3.49) liten. För högre hatigheter kan dock en märkbar förändring yna (för en hatighet M,85 erhåll att,) för att å måningom bli helt dominerande, e figur 3.. Trot detta yne det vara vanligt förekommande att endat nyttja det förenklade ambandet om ge i ekvation (3.48). Tilläggtryck, / [-],,8,6,4,,,8,6,4,,,,,3,4,5,6,7,8,9 Machhatighet, M [-] Figur 3. Skillnad / mellan ekvation (3.48) och (3.49) om funktion av trömninghatigheten Machtal M Dynamik vindlat I amband med exloionlater är det vanligt förekommande att termen dynamik vindlat dyker u. Den dynamika vindlaten (engelka: blat wind) q definiera i ekvation (3.44) och kan äga rereentera det dynamika tryck (engelka: dynamic reure) om ett trömmande medium ger uhov till. I figur 3.8 i avnitt 3.4 via chematikt vad om händer med en tötvåg då denna når en byggnad. För långvariga later, åom kan vara fallet vid framförallt en kärnvaenexloion men även vid kraftfulla konventionella exloioner, kan det tagnationtryck om erhåll å byggnaden framida, i amband med att en avlatningvåg avlägnat inverkan av det reflekterande trycket, vara av tor betydele, e figur

44 Lufttötvåg Figur 3. Schematik figur av vilken inverkan om det reflekterade övertrycket reektive det dynamika trycket har å en byggnad om utätt för en långvarig tötvåg. Från TR- 6 (976). I ett antal referener, exemelvi Baker (973) och TR-6 (976), behandla det dynamika trycket om om detta kulle utgöra en lat utöver det reflekterade/oreflekterade övertrycket. Detta har föranlett att författaren till den här raorten är något oäker å huruvida detta tryck kall beakta om ytterligare något om, förutom det tatika övertrycket, kall belata en utatt byggnad. I figur 3. jämför oreflekterat amt reflekterat tryck med det dynamika tryck om erhåll av en exloion av 5 kg TNT å varierande avtånd från exloionkällan. Av detta framgår att det reflekterade trycket hela tiden övertiger åväl det reflekterade trycket om den dynamika vindlaten (amt även umman av dea båda). Vidare tår det klart att den dynamika vindlaten är törre än det oreflekterade trycket å nära håll men att den junker till ett värde under den enare å törre avtånd de båda termerna är lika tora å ett avtånd av ungefär ju meter. Övertryck, [ka] Oreflekterat övertryck Reflekterat övertryck Dynamik vindlat,,, Avtånd, R [m] Figur 3. Jämförele av oreflekterat tryck, reflekterat tryck amt dynamik vindlat å olika avtånd från en exloion av 5 kg TNT. Värden från ConWe (99)

45 Lufttötvåg Till killnad mot det tatika trycket å kan den dynamika vindlaten äga verka endat i den utbredande tötvågen riktning. Med anledning av detta är det även av intree att titta närmare å hur tecknet å artikelhatigheten förhåller ig till över/undertrycket. Bevarande av maa ger att ( ) och bevarande av rörelemängd ger ( ) ( ) ( ) vilket kombinerat reulterar i att (3.5) (3.5) ( ) (3.5) Detta uttryck gäller dock endat förhållandet i jälva tötvågfronten då denna går in i otörd luft där artikelhatigheten. Det kan dock via att då inverkan av den framförvarande luften artikelrörele beakta, kan ett motvarande amband teckna om ( ) ( ) (3.53) där inte nödvändigtvi är noll. Övertrycket vid tötvågfronten kan ålede teckna om en direkt funktion av artikelhatigheten. Vad händer då med artikelhatigheten tecken då den oitiva faen (jämför figur.) övergår i en negativ fa? Av ekvation (3.5) framgår att då å måte är även. Detta innebär ålede att då den oitiva faen övergår i en negativ fa (övertrycket övergår till ett undertryck) å kommer ockå artikelhatigheten att ändra riktning. Ovantående töd av Kinney och Graham (985) amt NATO (996) och illutrera chematikt i figur 3.. Denna bild är met rereentativ för en långvarig tötvåg där den oitiva reektive negativa faen varar å länge att hela byggnaden kan åverka åom exemlifiera i figuren. rinciiellt ett kan den dock även använda om förklaring av vad om händer i en kortvarig tötvåg

46 Lufttötvåg Figur 3. Schematik bild av hur en byggnad åverka av en framfarandetötvåg under de oitiva och negativa fa. artikelhatigheten är i den oitiva faen riktad åt vänter och i den negativa faen riktad åt höger. Från NATO (996)

47 Lufttötvåg 4 mirika amband 4. rinciiellt uteende ho tötvåg I kaitel 3 behandla de grundläggande torheterna om använd för att bekriva en tötvåg fyik. Vid exemelvi en bedömning av huruvida en given byggnad kommer kunna mottå effekten av en exloion är det dock inte längre raktikt tillämbart att dikutera i termer av tötvåghatighet och denitet. I ett ådant läge är det itället viktigt att överätta dea torheter till något raktikt tillämbart om kan använda vid kaacitetkontroll och/eller dimenionerandet av byggnaden. I detta betrakteleätt är dock trycket, eller rättare agt övertrycket, fortfarande en avgörande arameter. Vidare har tötvågen varaktighet amt tryckvariation i tiden en tor betydele för vilken reon en utatt byggnad erhåller. Såom tidigare berört i Kaitel och 3 beror den tyrka och varaktighet om en lufttötvåg åverkar in omgivning med å flera aker, av vilka de viktigate kan äga vara: exloionen energiinnehåll avtånd och läge till tuderad unkt inverkan av reflexion, fördämning och diffraktion Ju törre energiinnehåll i exloionen, deto högre värden få å tötvågen tryck och våghatighet. Avtåndet mellan exloioncentrum och betraktat mål är en annan mycket viktig faktor. Tryckamlituden och imultätheten minkar med ökande avtånd medan varaktigheten ökar med ökande avtånd detta är ärkilt framträdande å mycket korta avtånd. Förutom avtåndet å blir även laddningen relativa läge i förhållande till målet amt målet geometrika utformning av tor vikt då detta avgör vilken inverkan om reflexion, fördämning amt diffraktion har å den tötvåg om lutligen drabbar målet. Tryck, tuderad unkt oitiv fa r - i negativ fa i - t a t a t t a t t - Tid, t Figur 4. Tyikt tryck-tidamband för ideal lufttötvåg

48 Lufttötvåg Figur 4. viar ett tyikt tryck-tidamband för en ideal tötvåg i en fix unkt. Med ideal våg yfta här å en tötvåg om ukommer vid fri avlatning i luften utan några törande reflexioner. xloionen detonerar vid tiden t och efter tiden t a har tötvågen nått fram till den tuderade unkten. Trycket vid vågfronten ökar då från det omgivande trycket (i otörd luft är,3 ka) till under mycket kort tid. Trycket avtar därefter till de att det vid tiden t a t åter når bakgrundtrycket och därigenom avlutar tryckvågen oitiva fa. n negativ fa med amlitud - tar därefter vid då flöden av luft trömmar mot exloionen centrum och därigenom kaar ett artiellt vakuum. Så måningom återgår trycket till vid tiden t a t t -. Den imul om överför i de båda faerna bekriv av imultätheterna i och i -, vilka ockå är viktiga arametrar i bekrivningen av tyrkan ho en lufttötvåg. Dea kan definiera om ta t i ( ( t) ) t a dt (4.) ta t t i ) ta t ( ( t ) dt (4.) där (t) bekriver trycket variation med tiden t. Den oitiva imultätheten i är tillamman med övertycket amt varaktigheten t viktiga arametrar vid bekrivandet av en tötvåg tyrka och uteende. tt flertal olika former å tötvågen tryck-tidamband har finn förelagna i litteraturen. Baker (973) bekriver ex av dem, där den enklate betår av en linjär funktion endat innehållande trycket och varaktigheten, och den met komlexa betår av en exonentialfunkton inkluderande totalt fem arametrar. Baker rekommenderar dock användandet av ambandet t t α t t ( t) e (4.3) efterom de relativa enkelhet och goda matchningmöjlighet gör den till ett attraktivt alternativ. Här markerar t tiden efter tötvågen ankomt (dv. mätt utgående från ankomttiden t a ) och α en faktor med vilken övertrycket avklingning kan tyra. Detta uttryck förelå även av Kinney och Graham (985) och nyttja även i ConWe (99). Kombinering av ekvation (4.) och (4.3) ger i t α α ( e ) α (4.4) från vilken faktorn α kan löa ut då, i amt t är kända. Framtagningen av ett motvarande uttryck för den negativa faen har enligt Baker (973) nätan fulltändigt ignorerat. Baker förklarar detta med att den negativa faen allmänt har betraktat om relativt oviktig i jämförele med in oitiva motvarighet och/eller att tora vårigheter har åträffat vid mätning eller beräkning av den. Det enda förelagna uttryck om Baker kunnat finna för den negativa faen är från Brode (955) och teckna om t t 4t t ( t) e (4.5) t t

49 Lufttötvåg där tiden t anger tiden mätt från tarten av den negativa faen t a t. Att forkningen kring den negativa faen legat i kymundan av den oitiva faen framgår även med all önkad tydlighet vid en titt i de krifter av idag om allmänt nyttja vid beaktande av lufttötvågen inverkan å in omgivning. Varken venka FortH (99), amerikanka ConWe (99) eller chweizika LS () behandlar inverkan av den negativa faen i någon nämnvärd utträckning. Med anledning av detta har den negativa faen även i den här raorten fått en tarkt underordnad betydele. När en exloion ker i ett lutet utrymme, åom exemelvi kulle kunna vara fallet vid en detonation i ett ammunitionlager eller vid en exloion i en tunnel, kommer de reulterande krafterna å omgivningen kilja ig betydligt gentemot de om få vid en ideal exloion i luft där fri avlatning åt alla håll är möjlig. Den begränade volymen å vilken exloiongaerna kan utbreda ig gör att ett betydligt värre fall än det idealierade fallet erhåll och det rata i ådana ammanhang om tora fördämningeffekter. Förutom ökat övertryck, orakat av de många reflexioner om ofrånkomligen utår, å kommer även trycket varaktighet erhålla en tor ökning. Övertrycket varaktighet blir en funktion av hur nabbt trycket kan utjämna, dv. hur nabbt det kan ira ut ur ventiler och andra öningar från det innelutna utrymmet. Ju tätare byggnad, deto längre varaktighet å den fördämda exloionen. Den här tyen av fördämning kan även utå i andra ammanhang, exemelvi vid en utatt byggnad med ofördelaktig geometri i förhållande till exloioncentrum, figur 4.a, eller till negativa effekter å grund av reflexion mot andra kontruktiondelar amt förhindrande av exloiongaerna att lämna utrymmet å om illutrera i figur 4.b. I det förta fallet minkar den geometrika utformningen de oitiva diffraktioneffekter, e avnitt 3.4, om utår vid ett objekt av begränad torlek. Vidare kommer det inåtgående hörnet ge uhov till en ficka där det reflekterade trycket del blir törre och del får längre varaktighet. Skyddrummet ogynnamma utformning reulterar ålede i ett betydligt farligare belatningfall än vad om exemelvi kulle varit fallet om det itället haft en ren rektangulär form. I det andra fallet, figur 4.b, hamnar exloioncentrum inne i huvudbyggnaden, varvid detonationen hamnar mellan kyddrummet och huvudbyggnaden bärande väggar. De enare kommer annolikt brita av den åföljande åfretningen men kommer fram till de oraka en inte förumbar fördämningeffekt vilket reulterar i en ökning av den totala belatningen å kyddrummet. kyddrum kyddrum exloion (a) (b) Figur 4. xemel å möjliga fördämningeffekter för (a) kyddrum med ogynnam geometri, och (b) kyddrum inhyt i byggnad

50 Lufttötvåg 4. Skallagar Det gäller allmänt för en tötvåg orakad av en exloion att denna egenkaer del beror å exloionen energiinnehåll och del å hur långt från exloionkällan tötvågen har färdat. tgående från exerimentella obervationer och teoretika tudier har kallagar tagit fram vilka gör det möjligt att jämföra effekten av olika rängladdningar å olika avtånd. Den vanligat förkommande av dea är Hokinon kallag, vilken äger att två exloioner kan förvänta ge uhov till likvärdiga tötvågor å avtånd roortionella mot kubikroten av energifrigörelen ho reektive exloion. Detta illutrera grafikt i figur 4.3 och kan matematikt uttrycka om r Z /3 W (4.6) där r är det verkliga avtåndet och Z vanligen benämn om det kalade avtåndet. W i nämnaren ymbolierar exloionen energimängd uttryckt i mängd rängämne (vanligen i kg TNT, e avnitt..). W tuderad unkt i r Z W /3 r t α 3 W α r tuderad unkt α i α r Z α / 3 ( W ) α t 3 / 3 W r Figur 4.3 Grafik illutration av Hokinon kallag. Av figur 4.3 framgår att övertrycket förblir detamma då det kalade avtåndet Z är givet. Detta är dock inte fallet för imultätheten i eller varaktigheten t, vilka även beror å faktorn α. Detta innebär att övertrycket kan teckna om en funktion av det kalade avtåndet men att imultätheten och varaktigheten även måte modifiera med aveende å α. Detta ker genom att dea även kola till den frigjorda energimängden varvid nedantående amband erhåll ( Z ) (4.7) i t i t / 3 ( Z ) W / 3 ( Z ) W (4.8) (4.9) Styrkan ho en lufttötvåg beror å den energiintenitet om erhåll vid en exloion. Ovan givna uttryck förutätter att exloionen ker i en omgivning där utbredning åt alla håll är möjlig varvid den avgivna energimängden rider ig inom en färik volym. Storleken å denna volym är

51 Lufttötvåg roortionell mot kubiken av avtåndet, dv. r 3 vilket ockå är anledningen till kubikroten av avgiven energimängd i definitionen av det kalade avtåndet Z i ekvation (4.6). Om exloionkällan itället utgör av en lång lina erhåll en cylindrik volym centrerad kring linan, e figur 4.4, varvid tötvågen innelutna volym blir roortionell mot avtåndet i kvadrat, dv R, e Baker (973). Om exloionen itället ker i ett begränat utrymme, exemelvi i en lång tunnel, där lufttötvågen utbredningen i rinci endat kan ke åt ett håll blir den innelutna volymen nart roortionell mot avtåndet R. Av detta framgår att det kräv olika kalningregler beroende å hur omgivningen kring exloionen er ut. Sålede kommer tötvågen orakad av en exloion i en tunnel klinga av mycket långammare än vad motvarande tötvåg i fria luften gör. Den långammare avklingningen reulterar följaktligen i att en ådan exloion till törre del behåller in tyrka även å långa avtånd varför det ockå kan äga vara betydligt farligare för in omgivning än en motvarande exloion i det fria. V V(r 3 ) V V(r ) V V(r) r W r W Z3 D Z / 3 D / Z D r W (a) (b) (c) Figur 4.4 Skalat avtånd för olika geometrika fall: (a) exloion i det fria från unktkälla med färik utbredning, (b) exloion i det fria från linjekälla med cylindrik utbredning, (c) exloion i tunnel med lan utbredning. Det kalade avtåndet Z använd när lategenkaer från en given rängladdning å ett godtyckligt avtånd från exloioncentrum kall betämma. Överättningen till reella tötvågtorheter gör med hjäl av emirika uttryck åom behandla i avnitt 4.3. Samtliga redoviade uttryck i den här raorten baerar ig å antagandet att exloionen ker å ett ådant ätt att en färik utbredning är möjlig varför det kalade avtånd Z definiera i enlighet med ekvation (4.6)

52 Lufttötvåg 4.3 Stötvågtorheter 4.3. Orientering För att betämma ådana torheter om övertryck, imultäthet och varaktighet för en given rängladdning å ett godtyckligt avtånd är det inte raktikt lämligt att utföra ett förök eller en olinjär numerik beräkning. Itället har ett antal emirika uttryck, om bekriver ambanden mellan dea arametrar, tagit fram. Dea uttryck är baerade å ett tort antal förök och är begränade till att bekriva vilka torheter om erhåll vid en fri avlatning eller då exloionen ker i kontakt med en yta, en åkallad hemifärik exloion. I det här avnittet amt Bilaga G reentera och jämför de uttryck om hittat i litteraturen. Av dea är kanke de om ingår i Kingery och Bulmah (984) de met nyttjade efterom dea förutom i ConWe (99) även tilläma i LS (). FortH (99) nyttjar amband redoviade i Baker (973). Som jämförele redovia dock här även amband hämtade från Kinney och Graham (985) amt Förvarmakten (). Samtliga emirika uttryck använder ig av det kalade avtånd Z om bekriv i avnitt. Vidare nyttja vikt TNT uttryckt i maa kg (omräknat från amerikanka enheter där å nödvändigt) om tandardenhet för att uttrycka laddningen torlek. Om tryck och imultätheter etc. ök för en annan ty av rängämne än TNT kall laddningtorleken fört modifiera å om bekriv i avnitt Samband enligt ConWe (99) ConWe (99) är ett rogram ammantällt av amerikanka förvaret och erbjuder bland annat möjligheten att utgående från en given mängd av ett antal olika rängämnen ta fram tötvågarametrar åom övertryck, imultäthet, tötvåghatighet etc. fterom ConWe i denna raort å flera tällen nyttja för att verifiera/jämföra härledda uttryck redovia här amband för övertryck, kalad imultäthet, kalad ankomttid och varaktighet amt tötvåghatighet och artikelhatighet vid fri avlatning, e figur 4.5 till 4.8. Redoviade amband har kaat utgående från värden i tabell B.. De matematika uttryck i form av olynomfunktioner om nyttja i ConWe är hämtade från Kingery och Bulmah (984) och redovia i Bilaga G

53 Lufttötvåg Fri avlatning Reflekterad Övertryck, [ka] Skalat avtånd, Z [m/kg /3 ] Figur 4.5 Reflekterat och oreflekterat övertryck om funktion av det kalade avtåndet. Från ConWe (99). Skalad imul, i ' [ka*m/kg /3 ] Skalat avtånd, Z [m/kg /3 ] Fri avlatning Reflekterad Figur 4.6 Reflekterad och oreflekterad imultäthet om funktion av det kalade avtåndet. Från ConWe (99)

54 Lufttötvåg Skalad tid, t' [m/kg /3 ] Ankomttid Varaktighet Skalat avtånd, Z [m/kg /3 ] Figur 4.7 Ankomttid och varaktighet om funktion av det kalade avtåndet. Från ConWe (99). Hatighet, [m/] Stötvåghatighet artikelhatighet Skalat avtånd, Z [m/kg /3 ] Figur 4.8 Stötvåghatighet och artikelhatighet om funktion av det kalade avtåndet. Från ConWe (99)

55 Lufttötvåg Jämförele med Baker (973) I Baker (973) redovia utförliga data för kurvor bekrivande de tötvågarametrar och tötvågtorheter om hör amman med en tötvåg. I figur 4.9 jämgör dea med motvarande värden från ConWe (99). I Bilaga G redovia även amtliga värden från Baker (973) i tabellform. Baker ConWe Baker ConWe Övertryck, r [ka] Övertryck, [ka], Skalat avtånd, Z [m/kg /3 ],, Skalat avtånd, Z [m/kg /3 ] Figur 4.9a Reflekterat och oreflekterat övertryck om funktion av det kalade avtåndet. Jämförele mellan Baker (973) och ConWe (99). Imulintenitet, i /W /3 [ka*m /kg /3 ], Skalat avtånd, Z [m/kg /3 ] Baker ConWe Imulintenitet, i /W /3 [ka*m /kg /3 ], Skalat avtånd, Z [m/kg /3 ] Baker ConWe Figur 4.9b Reflekterad och oreflekterad imultäthet om funktion av det kalade avtåndet. Jämförele mellan Baker (973) och ConWe (99). Ankomttid, t a /W /3 [m/kg /3 ],, Baker ConWe Varaktighet, T /W /3 [m/kg /3 ] Baker ConWe,,, Skalat avtånd, Z [m/kg /3 ], Skalat avtånd, Z [m/kg /3 ] Figur 4.9c Ankomttid och varaktighet om funktion av det kalade avtåndet. Jämförele mellan Baker (973) och ConWe (99)

56 Lufttötvåg Jämförele med Kinney och Graham (985) tt antal uttryck för övertryck, imultäthet amt varaktighet ge i Kinney och Graham (985). Bakgrunden till dea uttryck ange inte varför det är oklart huruvida det är Kinney och Graham jälva om tagit fram dem eller om de är hämtade från någon annan källa. Med anledning av detta framgår det inte heller hur dea uttryck har tagit fram. n jämförele med några andra här redoviade amband gör i figur 4. och 4. i avnitt Övertryck ge om. Z,48 Z 88 4,5 Z,3 Z,35 (4.) där Z är kalat avtånd å om bekriv i avnitt 4.. Varaktigheten t teckna om t W 3 98 Z, Z, Z Z,74 6,9 3 (4.) och imultäthet i få om i W 3,67 Z 3 Z,3 Z, (4.) där W är maa TNT givet i kg. Kinney och Graham ger även motvarande uttryck för övertryck och varaktighet för kärnvaenexloioner. Denna exloionty behandla dock mycket aramt i denna raort. För fulltändigheten kull återge här dock uttrycket för övertryck av en kärnvaenexloion efterom detta uttryck använt i amband med framtagandet av figur 4.3 (i avnitt 4.4). 3, 6 Z 87 Z Z 8 3 (4.3)

57 Lufttötvåg Jämförele med Förvarmakten () Förvarmakten () innehåller matematika uttryck för beräkning av övertryck amt imultäthet vilka återge nedan. Som referen för nedantående värden ange ConWe (99) vilket innebär att de matematika uttryck om ge i Kingery och Bulmah (984), och om redovia i Bilaga G, ligger till grund för här angivna uttryck. Dock har de urrungliga uttrycken tyckat av å ett ådant ätt att överentämmelen med dea i via fall åverka högt märkbart, e figur 4. och 4.. Av detta framgår att det råder en vi (övertryck) reektive avevärd (imultäthet) killnad gentemot de reultat om får från ConWe då de fulltändiga uttrycken nyttja. Övertrycket ange i Förvarmakten () om där y [Ma] (4.4) 3 y,6,69α,8α,337α... (4.5) ( Z ) α,,586 ln (4.6) r Z då,53 < Z < 4 (4.7) 3 W och r betecknar avtånd till detonationcentrum och W mängden TNT mätt i kg. För beräkning av det reflekterande trycket ange att Λ r 8,4,7 då <, 7 Ma (4.8) Λ r 5 3,5 log,7 då, 7 Ma (4.9) där trycket ange i enheten Ma. kvation (4.8) är denamma om ange i ekvation (3.36) i avnitt 3.3. under förutättning att trycket ho otörd luft aroximerat om, Ma. Varifrån uttrycket i ekvation (4.9) är hämtat är oklart (återfinna ej i Kingery och Bulmah) men är ett framgångrikt förök att bekriva den reflektionkoefficient om erhåll då varierar med trycket. n jämförele med ConWe (99), e figur 4.9, viar dock att reflekterat och oreflekterat övertryck inte överentämmer för låga eller höga värden å det kalade avtåndet Z. I ekvation (4.7) ange att uttrycket för i ekvation (4.4) kan använda då,53 < Z < 4. Denna begränning är hämtat från Kingery och Bulmah men tämmer inte riktigt med den förenkling av uttrycket om har gjort i Förvarmakten (). Med uttryck enligt ovan borde en bättre begränning itället vara,3 Z 6 där god överentämmele råder i jämförele med ConWe. tanför detta område blir avvikelen för tor. Detta är ärkilt tydlig för mycket må amt måttligt tora värden å det kalade avtåndet exemelvi få ett ökande övertryck då Z >

58 Lufttötvåg r ConWe (99) Förvarmakten () Övertryck, [ka] Kinney och Graham (985), Skalat avtånd, Z [m/kg /3 ] Figur 4. Reflekterat och oreflekterat övertryck om funktion av det kalade avtåndet. Jämförele mellan ConWe (99), Förvarmakten () amt Kinney och Graham (985). Imultäthet få ur i y W 3 [ka] (4.) Då,53 < Z <,79 gäller y,39,44α,69α... (4.) ( Z ) α,347 ln (4.) Då,79 < Z < 4 gäller y,55,45α,43α... (4.3) ( Z ) α,75 ln (4.4) För den oreflekterade imultätheten är killnaden mellan Förvarmakten () och ConWe (99) mycket tor då Z,8, e figur 4.. För lägre värden å Z är killnaden om met omkring en faktor 3 men ovan denna grän ökar killnaden till en faktor å mellan och 5. Oraken till detta är denamma om för övertryck, dv. att uttrycken i ekvation (4.) till (4.4) har kortat av för mycket jämfört med de urrungliga ambanden om återge i Bilaga G. Avlutningvi ange i Förvarmakten () att r i i r (4.5)

59 Lufttötvåg vilket kan använda för att ukatta den reflekterande imultätheten i r. Den jämförele med ConWe (99), aveende imulkvoten, om gör i figur 4. antyder dock att denna aroximation tämmer dåligt för låga värden å det kalade avtåndet Z. Någon begränning när detta amband kan använda ge inte men av figur 4. att döma är överentämmelen accetabel då Z 3. Detta kan jämföra med den rekommendation i Baker (973) om äger att ekvation (4.5) kan använda om aroximation när, Z 355. Skalad imul, i ' [ka*m/kg /3 ] ConWe (99) Förvarmakten () Kinney och Graham (985),, Skalat avtånd, Z [m/kg /3 ] Figur 4. Oreflekterad imultäthet om funktion av det kalade avtåndet. Jämförele mellan ConWe (99), Förvarmakten () amt Kinney och Graham (985). 3 Imulkvot, i r / i [-] 5 5 ConWe (99) Förvarmakten () 5, Skalat avtånd, Z [m/kg /3 ] Figur 4. Kvoten av reflekterad och oreflekterad imultäthet. Jämförele mellan Con- We (99) och Förvarmakten ()

60 Lufttötvåg 4.4 Srängämnet inverkan Då det tala om tötvågor orakade av exloioner kilj det vanligtvi å exloioner orakade av TNT-laddningar och exloioner orakade av kärnladdningar. Den enare innehåller en betydligt törre energimängd och ange ofta i kiloton TNT, dv. den energimängd om utlöe då ton TNT detonerar. Detta är en avevärt törre rängladdning än vad om är möjligt att unå med åkallade konventionella rängmedel. Som jämförele kan nämna att de tyngta bomberna om SA använde vid ina bombningar av Kabul i oktober, enligt venk media, ugick till ju ton. Det finn en tor mängd andra rearat om kan nyttja för att generera en exloion och den därvid reulterande tötvågutbredningen. Omfattande underökningar med olika tyer av rängmedel har viat att reulterande övertryck och imulinnehåll varierar beroende å rängämne och avtånd. Det har enligt Baker (973) dock fatlagit att de generella egenkaerna ho en tötvåg är likvärdiga, oberoende av vilken ty av rängämne om använd. Härvid är det möjligt att förenkla nyttjandet av olika rängämnetyer genom att relatera de tötvågarametrar till ekvivalenta vikter. Den fria avlatningen ekvivalenta vikt för ett givet rängämne är den vikt av ett tandardierat rängämne (normalt nyttja TNT om referen) om kräv för att åtadkomma en tötvågarameter av amma magnitud om det orakat av en enhetvikt av det aktuella rängämnet. Beroende å vilken tötvågarameter om jämför kan ett rängämne dock ha olika ekvivalenta vikter. Dv. för att åtadkomma amma övertryck om kg TNT kan den ekvivalenta vikten kilja ig för att oraka amma imul i. kvivalenta vikter ange för övertryck amt imul. nligt Swidak (975) kan dea värden om aroximation även använda för att betämma ankomttid och varaktighet - den ekvivalenta vikten härrörande från övertrycket kan använda för att betämma ankomttid och motvarande ekvivalenta vikt tillhörande imulen nyttja för att betämma tötvågen varaktighet. Det är dock viktigt att oängtera att den ekvivalenta vikten även varierar med avtåndet från detonationen, e Swidak (975) varför tryck-avtåndambandet för ett givet rängämne inte nödvändigtvi är roortionellt med tryck-avtåndambandet för TNT. I de fleta fall är det dock tillräckligt att nyttja enbart en ekvivalent vikt, motvarande ett medelvärde över ett givet tryckområde. I tabell 4. redovia ekvivalenta vikter för olika tyer av rängämnen då hänyn tagit till maximalt övertryck amt imultäthet i den oitiva faen. Önka en noggrannare jämförele än detta hänvia till de utförliga grafer om reentera i exemelvi Swidak (975)

61 Lufttötvåg Tabell 4. kvivalent vikt för olika tyer av rängämnen där TNT använd om referen. Notera att olika ekvivalenta vikter erhåll för övertryck och imul. Från ConWe (99). Srängämne kvivalent vikt Övertryck Imul Comoite A-3,9,7 Comoite B,,98 Comoite C-4,37,9 H-6,38.5 HBX-,7,6 entolite,4, RDX,4,9 TNT,, Tritonal,7,96 Faktumet att den ekvivalenta vikten för ett givet rängämne kan variera för övertryck och imultäthet antyder att det inte bara är den utlöta energimängden om är av betydele. Om å varit fallet borde enbart en ekvivalent vikt varit nödvändig och denna hade då inte heller, om nu, varit beroende av avtåndet från exloionen. n annan faktor om är av betydele är enligt Kinney och Graham (985) den volymmetrika torleken å rängladdningen. fterom denitet och energiinnehåll varierar mellan olika rängämnen kommer ockå den totala volymen å rängladdningen att variera. I figur 4.3 jämför kvoten / från en exloion av kg TNT då detta anordnat i en färik laddning reektive en dikret unktkälla. Det enare fallet är karakterierande för en kärnladdning, vilken har ett väentligt törre energiinnehåll än TNT. Från figuren framgår ockå några ditinkta killnader. Då rängämnet har en utbredning i rummet (färik laddning i figur 4.4) erhåll inledningvi ett lägre övertryck. å något längre avtånd kommer dock earation och joniering i luften höga temeratur nära unktkällan reducera den tillgängliga energin å att övertrycket för en kärnladdning minkar i förhållande till vad om erhåll av en färik laddning med TNT. å tillräckligt långa avtånd närmar ig dock de båda kurvorna varandra och enligt Kinney och Graham motvarar övertrycket orakat av en färik laddning en unktladdning med ungefär en tredjedel törre energiinnehåll. Det kan ålede kontatera att förutom exloionen energiinnehåll å åverkar även laddningen volymmetrika torlek de reulterande tötvågarametrarna

62 Lufttötvåg Sfärik laddning unktladdning Sfärik laddning unktladdning / [-], / [-],,,,,, Skalat avtånd, Z [m/kg 3 ] Skalat avtånd, Z [m/kg 3 ] Figur 4.3 Jämförele av övertryckkvot / om funktion av kalat avtånd för en exloion av kg TNT utformad om en färik laddning amt en unktladdning. Sambandet där, via även i en uförtorad verion. Det finn flera anledningar till varför olika tyer av rängämnen generar olika tryck- och imulamband. Den kanke enklate förklaringen är att de inte innehåller amma energimängd/viktenhet. Detta innebär ålede att exemelvi ett kg TNT och ett kg Comoite A-3 vid en detonation läer lö olika tora energimängder. Av tabell 4. framgår dock att den ekvivalenta vikten ej är denamma för övertryck och imul varför det även måte finna någon annan faktor om åverkar egenkaerna ho den reulterande tötvågen. Figur 4.3 viar att det råder relativt tor killnad å reulterande övertryck då exloionkällan energimängd är denamma men av kild geometrik torlek. nergiinteniteten inom den åverkade volymen har ålede en betydande inverkan av hur tötvågen utvecklar ig. n viktig faktor blir därmed även med vilken hatighet om den i rängämnet innelutna energin kan frigöra amt vilken inverkan om de ränggaer har å den omgivande luften. å amma ätt om det är möjligt att numerikt beräkna hur en tötvåg exanderar i luft är det ockå möjligt att, med användandet av rätt materialmodeller, teoretikt beräkna hur energifrigörelen i ett rängämne går till. Detta ligger dock utanför den här raorten område och behandla därför inte heller vidare här. För en grundläggande genomgång av detta område, e exemelvi Meyer (994)

63 Lufttötvåg 4.5 Inverkan av laddningen uteende Förutom mängden amt ty av rängämne om ger uhov till en exloion å har även laddningen geometrika utformning en icke förumbar inverkan. I figur 4.4 illutrera vilken effekt om laddningen geometri har å det oreflekterade övertrycket för en exloion om ker nära markytan (en å kallad hemifärik exloion, e avnitt 3.3.5). n viktig anledning till att laddningen geometrika utformning kan ha tor inverkan är att de volymeterika ridning kan gå övergå från färik till cylindrik utbredning. å längre avtånd minkar dock laddningen utformning i betydele. Figur 4.4 Inverkan av laddningen geometri å en hemifärik laddning. För cylindrar yftar redoviade amband å det kalade avtåndet vinkelrätt mot de längdaxel. Baerad å LS ()

64 Lufttötvåg 5 Dikuion 5. Orientering I detta avnitt ta en del oklarheter och/eller kontigheter u ur det material om reenterat i kaitel 3 och kaitel 4. Vidare använd detta kaitel till att ytterligare lyfta fram valda delar av raorten innehåll. Hänviningar gör till de aktuella avnitten och komlettera där å ane nödvändigt med ytterligare figurer och ekvationer nedan. De delar om behandla i dikuionen är: olynom för luften tilltåndekvation Seglingfaktor i ConWe gentemot nyttjade amband Koling mellan tötvågarametrar mirika amband för varaktighet och imultäthet 5. olynom för luften tilltåndekvation Såom framgår av avnitt 3..5 är det ett vanligt antagande att ätta värmekaacitetkvoten till,4. Såom illutrera i Bilaga B kan denna aroximation dock få betydande konekvener för tötvågor med hög tyrka. I numerika analyer vilka imulerar en exloion kan det därför vara av tor vikt att kunna bekriva luften tilltåndekvation bättre än med antagandet av en ideal ga med,4. Av Figur B. framgår tydligt att den ändring av värmekaacitetkvoten om erhåll vid tryck högre än omkring ka leder till en märkbar förändring i ambandet. Vid ingångdata av luften tilltåndekvation i numerika beräkningrogram är det dock inte nödvändigt att ange den analytikt riktiga ekvationen. Itället kan det vara rimligt att nyttja en aroximation för detta i form av ett olynom, framtaget med hjäl av minta kvadratmetoden, för att inom givna begränningar aroximativt bekriva luften tilltåndekvation. Med anledning av detta ta det nedan fram ett olynomuttryck om kan använda i dylika rogramvaror för att bättre kunna bekriva luften tilltåndekvation. Ofta uttryck ett material tilltåndekvation om en funktion mellan trycket och komreionen µ där den enare enligt Bilaga B kan uttrycka om µ (5.) I ekvation (B.) ge ambandet mellan trycket om funktion av deniteten om ( )( k ) ( )( k ) ( )( k ) ( )( k ) (5.) där () enligt figur 3. och k,4. tgående från detta kan deniteten teckna om en funktion av trycket --5 5

65 Lufttötvåg ( )( k ) ( )( k ) ( )( k ) ( )( k ) (5.3) varvid ekvation (B.4) efter förkortning kan kriva om om ( k ) ( ) ( )( k ) ( )( k ) µ (5.4) Detta uttryck överentämmer med de amband om nyttja i ConWe (99) och jämför i figur 5. med vad om erhåll om k,4. tgående från dea värden har en regreionanaly utfört där ett olynom av jätte graden tagit fram för att bekriva luften tilltåndekvation för tryck u till 6 ka. För högre tryck är uttrycket inte tillämbart. tt olynomutryck anaat för högre tryck kan dock betämma utgående från ekvation (5.) med nyttjande av värden å enligt figur Tryck, [ka] ,4 () olynom från regrionanaly,83 µ 6-3,6789 µ 5 44,685 µ 4 7,9 µ 3 3,6 µ -,85 µ 4, Komreion, µ [-] Figur 5. Samband mellan totalt tryck och komreion µ enligt ekvation (5.) då den ecifika värmekaacitetkvoten är kontant (,4) eller teckna om en funktion av det yttre trycket enligt figur

66 Lufttötvåg 5.3 Seglingfaktor i ConWe I avnitt redogör för begreet egling. I ett idealt fall, där ingen energi från en exloion går ner i marken, erhåll en eglingfaktor å,. Detta är ockå det värde om nyttja i exemelvi FortH (99). I realiteten är en dylik eglingfaktor dock alltid mindre än, efterom en vi energiförlut alltid erhåll. Baker (973) har med hänyn till dylika energiförluter ukattat eglingfaktorn till att vara,8. Detta är ockå den faktor om nyttjat vid omvandling av de reultat av hemifärika exloioner om redovia i Kinney (968), e Bilaga G, att gälla för exloioner med möjlighet till fri avlatning. De amband om redovia i Kingery och Bulmah(984) och om edan nyttja i ConWe (99) är delvi baerade å dea omvandlade värden från Kinney (968) varför det kan tycka att den eglingfaktor om erhåll här ockå borde vara den ovan nämnda eglingfaktorn å,8. Av figur 3.7 framgår dock att å inte är fallet. Där via itället att eglingfaktorn ligger kring,6-,7 för övertryck lägre än ka för att därefter junka tämligen dratikt och nå en eglingfaktor å omkring,3 vid ett övertryck av ka. Denna inkonekven är en följd av att övertycket för exloion med fri färik avlatning i Kingery och Bulmah (984) baera å en tor andel olika referener medan den för hemifärik exloion är fulltändigt baerad å Kingery (968), e Bilaga G. Denna killnad antyder att nyttjandet av en kontant eglingfaktor möjligen kall ifrågaätta. Itället ekar jämförelen i figur 3.7 å att eglingfaktorn borde minka vid kraftigare rängladdningar. Dv. att för törre rängladdningar går rocentuellt ett en törre andel av den utlöta energin ner i marken. Den ovan nyttjade eglingfaktorn å,8 kall ålede inte ufatta om någon heltäckande anning utan kall itället e om en aroximation om nyttjat för att kunna jämföra reultat från hemifärika exloioner med exloioner där fri avlatning varit möjliga. Förutom rängtyrkan torlek yne det deutom rimligt att markunderlaget ammanättning elar inte icke förumbar roll i vilken eglingfaktor om erhåll. Med anledning av detta finn det ålede ytterligare käl att betrakta framtagna emirika amband med vi föriktighet efterom viktiga antaganden nyttjade vid utvärderingen av aktuella förökreultat tundtal kan vara något inkonekventa. 5.4 Koling mellan tötvågarametrar I Bilaga B jämför ambandet mellan olika tötvågarametrar enligt däri härledda uttryck med motvarande amband från ConWe (99). tgående från denna jämförele kan det kontatera att överentämmelen av koling om finn mellan de olika arametrarna är god mellan ConWe och ekvationerna i Bilaga B. De må killnader om kan obervera då (), beror å att olika värden å framför och bakom tötvågfronten ej har beaktat vid framtagandet av nyttjade amband, e avnitt B.3. ffekten av detta är dock liten varför amband i Bilaga B kan nyttja med god reciion. Det är viktigt att oängtera vikten av att nyttja ett rereentativt värde å luften värmekaacitetkvot, dv. att låta vara en funktion av trycket enligt figur 3., och inte nyttja den vanligt förekommande aroximationen att,4. Den killnad om annar erhåll i ambanden mellan de olika tötvågarametrarna redovia i de jämföreler om redovia i Bilaga C

67 Lufttötvåg 5.5 mirika amband för varaktighet och imultäthet De emirika amband om redovia i avnitt 4.3 och Bilaga G är baerade å en tor mängd förökdata från ett flertal olika referener där nyttjad utvärderingmetodik har varierat. Huvuddelen av dea utvärderingar tyck inte ha utfört med någon ty av regreionanaly utan verkar itället ha framtagit med ögat hjäl, kombinerat med enklare matematika felukattningmetodiker, e avnitt G.4. Reulterande amband redovia därför inte heller å någon form av matematikt uttryck utan ge itället i form av tabellerade värden. ndantaget till detta är de uttryck om ge i Kinney och Graham (985), var urrung är oklart, amt Kingery och Bulmah (984). De enare har tagit fram emirika olynomuttryck med hjäl av minta kvadratmetoden. Dea utvärderingar är dock inte baerade å de urrungliga förökreultaten. Itället har förelagna amband från ett antal olika referener nyttjat om indata för framtagandet av de lutliga olynomuttrycken, e avnitt B.. Denna metodik, att inte nyttja urrunglig grunddata, kan dock ifrågaätta. Genom att använda de amband om tagit fram utgående från olika referener blir det inte möjligt att å ett riktigt ätt beakta mängden förökreultat om ligger bakom reektive kurva. Härigenom kan ett amband eller del av ett amband baerat å ett relativt litet antal förök få en orimligt tor genomlagkraft. Huruvida detta å något ett har beaktat av Kingery och Bulmah i dera framtagande av reulterande amband framgår dock inte. Vidare förlorar en dylik regreionanaly en betänklig del av itt värde efterom de data, i form av förelagna amband, om den nu utgår från amband om i in tur är framtagna med en metodik om kan ifrågaätta. xemel å detta utgör av de amband om återge i exemelvi ConWe (99) för oreflekterad imultäthet och varaktighet, e figur 4.5 reektive 4.6. Detta behandla mer ingående nedan. Kingery och Bulmah (984) har använt ig av Goodman (96) vilken innehåller reultat från detonationer med laddningar innehållande entolite. fterom uttryck framtagna av Kingery och Bulmah dock gäller för TNT-exloioner har Goodman reultat fört räknat om i enlighet med vad om bekriv i avnitt 4.4. Den ekvivalenta vikten om nyttjat vid denna omvandling har dock at till,7 vilket kan jämföra med, om ange i tabell 4. för imultätheten. Mill et al. (964) går igenom ett antal referener och har utgående från dea ammantällt vilken ekvivalenta vikt om nyttjat för att omvandla exloion av entolite till TNT. reenterade ekvivalenta vikter varierar mellan,6 och,4, beroende å referen amt vilket kalat avtånd om varit aktuellt, varur författarna drar lutaten att en ekvivalent vikt å, mellan TNT och entolite yne vara ett rimligt värde. n jämförele med det värde å,46 om ange i tabell 4. för framtagning av övertryck, viar å oäkerheten i denna arameter. Detta intryck tärk ytterligare av det faktum att den ekvivalenta vikt om nyttja av ConWe vid framtagning av tötvågarametrar för en given exloionituation är ett medelvärde av ekvivalent vikt vid övertyck reektive imultäthet. Dv. för entolite nyttja i ConWe en ekvivalent vikt å (,46,) /,3. Med ovantående om bakgrund finn det vit fog för att ifrågaätta de gamla anningar om reentera i exemelvi ConWe. tt bra exemel å detta är de lokala maxima i varaktighet och imultäthet om erhåll vid ett kalat avtånd Z, e figur 4.5 och 4.6. Förutom att detta tyck var ett fyikalikt underligt fenomen (om det är nu kan latverkan minka om exloionen ker närmare itt mål) å viar även en jämförele mellan de amlade förökreultaten och framtagna amband lite töd till ett ådant uförande. För varaktigheten är antalet förökunkter tort i det aktuella området. tgående från det amlade intryck om dea reultat ger är det dock vårt att e en förklaring till den di i kurvan om Kingery (966) förelår. Itället yne det rimligare att

68 Lufttötvåg det ker en mjukare övergång i området utan någon lokal maximiunkt. Detta är ockå vad om erhåll i de förök med entolite om reentera i Goodman (96), e figur 5.. å grund av oäkerhet med den ekvivalenta vikten ge där Goodman värden utan omvandling från entolite till TNT. n ådan omräkning reulterar dock endat i en förkjutning av kurvan och åverkar ålede inte de rinciiella uteende. Förökdata enligt Goodman (96) återge i Bilaga G. Varaktighet, T / W /3 [m/kg /3 ] Kingery (966) Kingery (966) Goodman (96),, Skalat avtånd, Z [m/kg /3 ] Figur 5. Jämförele mellan förökdata för varaktighet enligt Kingery (966) och Goodman (96). Heldragen linje motvarar det amband om Kingery förelagit utgående från ina förök. Värden från Goodman motvarar detonation av entolite och har inte omräknat att exloion av motvarande mängd TNT. Vad gäller imultätheten å är mängden förökdata om reentera av Kingery (966) mycket begränad i det aktuella området endat tre unkter finn tillgängliga för den kurvdragning om gjort. Det lilla antalet förökreultat gör dock att en vi föriktighet bör ta vid utvärderingen av dea. I den utvärdering om Kingery och Bulmah (984) gjorde knat år enare behåll denna di i kurvan trot att övriga nyttjade referener ekar å att den inte borde vara å accentuerad, e figur 5.. Författarna åekar jälva att den törta killnaden mellan de nyttjade killnaderna ligger i området,4 Z, men underlåter att kommenterar valet av att låta ambandet enligt Kingery (966) vara tyrande gentemot övriga referener. Goodman (96) innehåller även den förökdata för oreflekterad imultäthet och jämför i figur 5.4 med dem reenterade i Kingery (966). Här, likom i figur 5. är Goodman värden inte omräknade att gälla för TNT. Av jämförelen framgår dock att det råder god överentämmele i det rinciiella ambandet för ett kalat avtånd Z å omkring,5 eller högre. Den lokala di om Kingery redoviar för lägre värde å Z återfinn dock inte i Goodman värden. Det är intreant att notera att Kingery och Bulmah (984) i in utvärdering av olika referener nyttjat Goodman data för reflekterat och oreflekterat övertryck, reflekterad imultäthet amt ankomttid. Av okänd anledning har de dock inte inkluderat Goodman värden ammanhörande med imultäthet och varaktighet

69 Lufttötvåg Ref Kingery (966) Ref 6 Reiler et al. (976) Ref 7 Reiler et al. (977) Ref 8 Swidak (975) Ref 9 DASA (973) Figur 5.3 Jämförele av olynomamband enlig Kingery och Bulmah (984) med övriga referener. Obervera att diagrammet axlar ej är uttryckta i SI-enheter. Baerad å Kingery och Bulmah (984). Imulintenitet, i / W /3 [ka*m /kg /3 ], Skalat avtånd, Z [m/kg /3 ] Kingery (966) Kingery (966) Goodman (96) Figur 5.4 Jämförele mellan förökdata för oreflekterad imultäthet enligt Kingery (966) och Goodman (96). Heldragen linje motvarar amband förelaget i Kingery. Värden från Goodman motvarar detonation av entolite och har inte omräknat att exloion av motvarande mängd TNT

70 Lufttötvåg Med anledning av ovantående finn det käl att tälla ig något tvivlande till de amband för varaktighet och oreflekterad imultäthet om reentera i bland annat Baker (973) och ConWe (99). Den tarkt begränade mängden förökreultat om ligger till grund för dea arametrar å ett kalat avtånd Z eller lägre ger tillamman med de ammantällningar/förökreultat om redovia i Goodman (96), Swidak (973) amt DASA (973), att vedertagna uttryck bör ifrågaätta. tgående från det material om reentera i den här raorten och den dikuion om fört ovan är det därför författaren åikt att de lokala maxima om återfinn för varaktighet och oreflekterad imultäthet, i åväl Baker (973) om ConWe (99), annolikt beror å felaktiga utvärderingar av tillgängliga förökdata. tt rimligare amband torde itället vara en mjukare utjämning av aktuella kurvor ådana att lokala maximumoch minimumvärden ej erhåll

71 Lufttötvåg 6 Slutater Denna raort behandlar ukomten av tötvågor orakade av exloion, de utbredning amt med vilken kraft den åverkar in omgivning. ttryck för amband mellan olika tötvågarametrar har tagit fram och jämför med motvarande amband enligt ConWe (99). Vidare berör fenomen åom reflexion, egling och diffraktion. Nedan gör en kort ummering av lutater dragna utgående från raorten. Luften aroximera ofta om en ideal ga med en värmekaacitetkvot,4. Detta fungerar bra för tryck u till å omkring ka. Därefter börjar dock beroende av trycket få märkbar betydele. I raorten härled amband mellan olika tötvågarametrar och vid nyttjande av dea framgår än tarkare vikten av att använda ett riktigt värde å värmekaacitetkvoten vid höga tryck. Samband mellan olika tötvågarametrar om reentera i litteraturen är ockå framtagna med hänyn tagen till att (). Med anledning av detta reentera ett olynomuttryck att nyttja i exemelvi hydrokodberäkningar för att bekriva luften tilltåndekvation för tryck 6 ka. Den kontanta eglingkvot å,8 om nyttjat vid omvandling av hemifärik exloion till exloion med fri färik avlatning är inte konekvent med vad om erhåll då unådda övertryck jämför i exemelvi ConWe (99). n ådan jämförele viar itället att eglingkvoten varierar mellan omkring,3 och,7 där en lägre kvot erhåll för kraftigare exloion. De uttryck om ange i Förvarmakten () har itt urrung i olynomuttryck från Kingery och Bulmah (984). I Förvarmakten ange dock endat delar av detta uttryck varför de giltighet ockå tarkt begräna. Att förbehållninglöt nyttja uttryck enligt Förvarmakten () kan därför leda till betydande felaktigheter å tötvågarametrarna torlek. De lokala diar om reentera för varaktighet och oreflekterad imultäthet för kalat avtånd Z i bland annat ConWe (99) och FortH (99) har tvivelaktig bakgrund. Det är författaren åikt att dea lokala maxima beror å felaktig utvärdering av tillgängliga förökdata. tt rimligare amband torde itället vara en mjukare utjämning av aktuella kurvor ådana att lokala maximumoch minimumvärden ej erhåll

72 Lufttötvåg 7 Referener Balaz. (997): Beräkningmetoder vid tötvågbelatade kontruktioner. Avdelningen för vaen och kydd, Förvaret forkningantalt, Raort FOA-R , Stockholm. Baker W. (973): xloion in Air. niverity of Texa re, Auitn, SA. Baker W.., Cox.A. Wetine.S., Kulez J.J. Strehlow R.A. (983): xloion Hazard and valuation. levier Scientific ublihing Comany, New York, New York, SA. Ben-Dor G., Igra O., lerin T. (): Handbook of Shock Wave, Volume, Theoretical, xerimental, and Numerical Technique. Academic re, San Diego, SA. Brode H.L. (955): Numerical Solution of Sherical Blat Wave. Journal of Alied hyic, Vo. 6, No. 6, id Bygg (983): Handboken Bygg- Allmänna grunder. LiberFörlag, Stockholm. ConWe (99): ConWe Collection of conventional weaon effect calculation baed on TM , Fundamental of rotective Deign for Conventional Weaon,.S. Army ngineer Waterway xeriment Station, Vickburg, SA. Courant R. och Friedrich K.O. (948): Sueronic flow and hock wave. New York : Intercience ubliher, New York, SA. DASA (973): Simulation of Nuclear Airblat henomena with High xloive. Nuclear Weaon Blat henomena Volume IV, DASA -IV, SA. DO/TIC (98): A Manual for rediction of Blat and Fragment Loading of Structure..S. Deartment of nergy, DO/TIC-68, SA. FortH (99): Fortifikationhandbok del, Kaitel 4-6. Förvaret Läromedelcentral, Stockholm. Förvarmakten (): Handbok i kyddanaly. Förvarmakten, Mediablocket AB, Stockholm, Sverige. Goodman H.J. (96): Comiled Free-air Blat Data on Bare Sherical entolite. Ballitic Reearch Laboratory, Aberdeen roving Ground, Reort No. 9, Maryland, SA. Johanon M. (999): Non-linear Finite lement Analye of Civil Defence Shelter Subjected to xloion Load or Collae Load. Avdelningen för Betongbyggnad, Chalmer Teknika Högkola, Raort 99:8, Göteborg. Johanon M. (): Structural Behaviour in Concrete Frame Corner of Civil Defence Shelter: Non-linear Finite lment Analye and xeriment. Avdelningen för Betongbyggnad, Chalmer Teknika Högkola, Doktoravhandling, ublikation :, Göteborg. Kingery C.N. (966): Air Blat arameter veru Ditance for Hemierical TNT Surface Burt. Terminal Ballitic Laboratory, Aberdeen roving Ground, Reort No. 344, Maryland, SA

73 Lufttötvåg Kingery C.N. och Bulmah G. (984): Airblat arameter from TNT Sherical Air Burt and Hemiherical Surface Burt. Ballitic Reearch Laboratory, Aberdeen roving Ground, Technical Reort ARBRL-TR-555, Maryland, SA. Kinney G.F. och Graham K.J. (985): xloive Shock in Air. Sringer-Verlag New-York Inc., New York, SA. Laine L. (): Marktötvåg. Myndigheten för amhällkydd och beredka. ubl.nr MSB344, Karltad. Leänen J. (): Slitterverkan. Myndigheten för amhällkydd och beredka. ubl.nr MSB345, Karltad. LS (): Lufttohänomene infolge nuklearer und konventioneller exloionen Datenammlung (Lufttötvågfenomen orakade av nukleära och konventionella exloioner. å tyka). Grue Rütung, AC-Laboratorium Siez, Siez, Schweiz. Meyer M.A. (994): Dynamic Behaviour of Material. John Wiley & Son Inc., New York, SA. Mill R.R., Fich F.J., Jezek B.W., Baker W.. (964): Self-conitent Blat Wave arameter. DASA-559, Aircraft Armament Inc., Maryland, SA. NATO (996): NATO Handbook on the Medical Aect of NBC Defenive Oeration AMed- 6(B) art I Nuclear. htt:// Reiler R., ettit, B., Kennedy L. (976): Air Blat Data from Height-of-Burt Studie in Canada, Vol. I: HOB 5.4 to 7.9 Feet., BRL Reort No. 95, SA. Reiler R., ettit, B., Kennedy L. (977): Air Blat Data from Height-of-Burt Studie in Canada, Vol. II: HOB 45.4 to 44.5 Feet., BRL Reort No. 99, SA. Räddningverket (998): Skyddrumregler SR roduktion och vidmakthållande. Räddningverket, ublikation B54-4/98, Karltad. Swidak M.M. (975): xloion ffect and roertie art I xloion ffect in Air. NSWC White Oak Laboratory, Technical Reort 75-6, Maryland, SA. TM 5-3 (969): Structure to Reit the ffect of Accidental xloion. Deartment of the ARmy, the Navy, and the Air Force, TM 5-3, SA. TR 6 (976): Increaing Blat and Fire Reitance in Building: Deign Technique for Combined Nuclear Weaon ffect. Deartment of Defene, Defene Civil rearedne Agency, Technical Reort 6, SA

74 Lufttötvåg Bilaga A Luften tilltåndekvation Luft betrakta ofta om att den fungerar om en ideal ga. Även om detta inte är helt riktigt är det ändå en rimlig aroximation under förutättning att trycket inte är för högt. Det här avnittet redoviar en härledning av luften tilltåndekvation, å om den reentera i avnitt 3..5, och är i tort hämtad från Kinney och Graham (985). Allmänna gakontanten äger att V R m T (A.) där totalt tryck [a] V volym [m 3 ] R m allmänna gakontanten [J/mol] T temeratur [K] vilket även kan uttrycka om RT (A.) där är denitet [kg/m 3 ] och R är gakontanten uttryckt om [J/kg K] där det för luft, enligt Kinney och Graham (985), gäller att R 87 J/kg K (A.3) tgår från den allmänna galagen för att härleda ett annat uttryck för luften tilltåndekvation. Önkar uttrycka termen RT om en funktion av energiinteniteten. Använd uttrycket för entali h, vilket kan kriva om h RT (A.4) Det går enligt Kinney och Graham att via att h c T c v T (A.5) (A.6) där c och c v är värmekaaciteten vid kontant tryck reektive kontant volym. Inatt i ekvation (A.4) ger detta att c T c v T RT c - c v R (A.7) Introducerar värmekaacitetkvoten, vilken definiera om c c v (A.8) och med var nyttjande, ekvation (A.7) kan kriva om om --5 6

75 Lufttötvåg c c c R v v R c v (A.9) ( ) Nu kan energiinteniteten i ekvation (A.6) uttrycka om en funktion av termen RT RT ( ) (A.) och inatt i ekvation (A.) få å lutligen att ( ) (A.) vilket är det uttryck för luften tilltåndekvation om introducera i avnitt

76 Lufttötvåg Bilaga B Samband mellan tötvågarametrar B. Orientering I kaitel 3 reentera de tötvågarametrar vilka använd för att bekriva en tötvåg utbredning. De fyra ekvationer om erhåll via bevarandet av maa, rörelemängd och energi amt materialet tilltåndekvation (OS), e tabell B., ger att då torheten ho en tötvågarameter är känd kan övriga fyra arametrar beräkna utgående från dea uttryck. Dea uttryck reentera fört tabell 3. och 3. men återge även för fulltändigheten kull även i tabell B. och B.3. I detta aendix redovia härledningen av amtliga dea uttryck. Av edagogika käl ker härledningen dock i en annan ordning än å om de redovia i ovan nämnda tabeller. Tabell B. Stötvågen grundläggande ekvationer. Härledning av dea gör i avnitt 3.. Samband Konervering av maa ( ) Konervering av rörelemängd ( ) Konervering av energi ( ) Luften tilltåndekvation (OS) ( ) kvation (B.) (B.) (B.3) (B.4) tryck [a], denitet [kg/m 3 ], tötvåghatighet [m/], artikelhatighet [m/], energiintenitet [J/kg], värmekaacitetkvot [-] fter härledningarna reentera jämföreler mellan framtagna uttryck och reultat erhållna från ConWe (99) för att därigenom kontrollera uttrycken riktighet amt belya eventuella killnader gentemot detta rogram

77 Lufttötvåg Tabell B. ttryck för beräkning av tryck, denitet amt komreion μ. kvationnumret anger var i ektion B. uttrycket återfinn. kv. arametrar ttryck Tryck, (B.) () () ( ) ( ) ( ) ( ) (B.33) ( ) ( ) (B.37) ( ) ( ) ( ) 6 4 (B.68) () ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 Denitet, (B.3) () ( ) ( ) ( ) ( ) (B.48) ( ) ( ) ( ) (B.58) ( ) 4 a b a där ( ) ( ) 4 a ( ) b (B.77) () ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 Komreion, µ (B.7) (µ) () ( ) ( ) µ µ (B.) µ µ () ( ) ( ) ( ) µ () Nyttjande av,4 ger ingulär löning för tarka tötvågor, e även Bilaga C.

78 Lufttötvåg Tabell B. ttryck för beräkning av tötvåghatighet, artikelhatighet amt energiintenitet. kvationnumret anger var i ektion B. uttrycket återfinn. kv. arametrar ttryck Stötvåghatighet, (B.35) () ( )( ) (B.46) () ( ) ( ) (B.9) ( ) ( ) ( ) 6 4 (B.85) () ( ) där ( ) enligt ekvation (B.68) artikelhatighet, (B.4) () ( ) ( ) ( ) (B.54) () () ( ) ( ) ( ) [ ] (B.3) ( ) ( ) (B.9) () ( ) där ( ) enligt ekvation (B.68) nergiintenitet, (B.69) () ( ) ( ) (B.78) () ( ) ( ) ( ) (B.84) ( ) ( ) (B.89) ( ) där ( ) enligt ekvation (B.37) () Nyttjande av,4 ger ingulär löning för tarka tötvågor, e även Bilaga C.

79 Lufttötvåg B. Härledning av amband mellan tötvågarametrar B.. Tryck och denitet - () tgå från luften tilltåndekvation ( ) (B.5) ( ) Tillamman med energin bevarande få ( ) ( ) ( ) ( )( ) (B.6) (B.7) Varvid kan förkorta bort å båda idor vilket ger ( )( )( ) (B.8) tbrytning av och ger att [ ( )( )] [ ( )( )] (B.9) vilket lutligen kan kriva om om ( ) ( ) ( ) ( ) (B.) B.. Denitet och tryck - () tgår från uttryck för () i ekvation (B.). Detta kan kriva om om [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] (B.) Frigörele av och ger att [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] (B.) om lutligen ger att ( ) ( ) ( ) ( ) (B.3)

80 Lufttötvåg B..3 Tryck och komreion - (µ) Ofta uttryck ett material tilltåndekvation (OS) om en funktion mellan det hydrotatika trycket och den volymetrika komreionen. Med anledning av detta är det även av intree att teckna luften OS i dea arametrar. Normalt använd den volymetrika töjningen om ett mått å komreionen men denna kan även teckna med hjäl av materialet denitet. om ett förhållande mellan materialet denitet och i denna raort beteckna komreionen om µ där µ (B.4) vilket kan kriva om om ( ) µ (B.5) Nyttja uttrycket för () i ekvation (B.) och dividera med i täljare och nämnare ( ) ( ) ( ) ( ) Ytterligare förenkling ger att µ µ ( ) ( ) ( )( µ ) ( ) ( ) ( )( µ ) (B.6) (B.7) B..4 Komreion och tryck - µ µ() Nyttjar ekvation (B.7) för att uttrycka komreionen om en funktion av trycket. Då få att [ µ ( ) ] [ µ ( ) ] (B.8) vilket kan vidareutveckla till [( ) ( ) ] ( ) µ (B.9) och lutligen kriva om µ ( ) ( ) ( ) (B.)

81 Lufttötvåg B..5 Stötvåghatighet och artikelhatighet - ( ) tgå från maan bevarande ( ) (B.) Sök ett uttryck för /. Med hjäl av ekvation (B.3) kan / teckna om ( ) ( ) ( ) ( ) (B.) Inatt i ekvation (B.) ger detta att ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (B.3) vilket kan förenkla till ( ) ( ) ( ) (B.4) Behöver nu uttrycka om funktion av och/eller. Nyttja uttryck för konervering av rörelemängden ( ) (B.5) och ätt in i ekvation (B.4). Denna kan då kriva om om ( )( ) ( ) (B.6) ( ) (B.7) vilket reulterar i en andragradekvation ( ) (B.8) var löning kan teckna om ( ) ( ) 6 4 (B.9)

82 Lufttötvåg B..6 artikelhatighet och tötvåghatighet - ( ) Nyttja ekvation (B.8) och lö ut om funktion av. Då få ( ) (B.3) B..7 Tryck och tötvåghatighet - ( ) Konervering av rörelemängd ger att ( ) (B.3) Kombinerat med uttrycket för ( ) i ekvation (B.3) få (B.3) ( ) varvid trycket kan teckna om ( ) (B.33) B..8 Stötvåghatighet och tryck - () tgå från uttrycket för ( ) och lö ut. ( ) varvid kan uttrycka om ( ) ( ) (B.34) ( )( ) (B.35) --5 7

83 Lufttötvåg B..9 Tryck och artikelhatighet - ( ) tgå från konervering av rörelemängden ( ) (B.36) Nyttja uttrycket ( ) i ekvation (B.9) för att teckna ambandet mellan och. Då få ( ) ( ) (B.37) 4 6 B.. artikelhatighet och tryck - () tgå från (, ) i ekvation (B.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (B.38) och ätt in detta i uttrycket för rörelemängden bevarande. Då få att ( ) ( ) ( ) ( ) (B.39) vilket lutligen ger att ( ) ( ) ( ) (B.4) B.. Stötvåghatighet och denitet - () tgår från konerverande av maan ( ) Med nyttjande av ( ) i ekvation (B.3) få (B.4) ( ) (B.4) --5 7

84 Lufttötvåg vilket kan kriva om om ( )( ) ( ) (B.43) [ ( )( )] (B.44) [( ) ( ) ] (B.45) varvid lutligen få (B.46) ( ) ( ) B.. Denitet och tötvåghatighet - ( ) tgående från ekvation (B.45) erhåll [ ( ) ] ( ) vilket ger att (B.47) ( ) ( ) (B.48) B..3 artikelhatighet och denitet - () tgå från konervering av maa och rörelemängd ( ) (B.49) ( ) (B.5) Kombinering av dea två ger att ( ) (B.5) --5 7

85 Lufttötvåg Använd uttrycket för () från ekvation (B.) för att uttrycka - om funktion av. Då erhåll ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (B.5) och med detta inatt i ekvation (B.5) få ( ) ( ) ( ) (B.53) vilket lutligen leder fram till att ( ) ( ) ( ) [ ] (B.54) B..4 Denitet och artikelhatighet - ( ) Nyttja ambandet () i ekvation (B.53). Omkrivet ger detta att ( ) [ ] ( ) [ ] 4 (B.55) vilket kan kriva om till ( ) [ ] ( ) [ ] 4 (B.56) Genom att uttrycka ekvation (B.56) å allmän form b a (B.57) kan löningen lutligen kriva om 4 a b a där ( ) ( ) 4 a ( ) b (B.58)

86 Lufttötvåg B..5 Tryck och energiintenitet - () tgå från energin konerverande ( ) ( ) (B.59) och använd ekvation (B.3) för att uttrycka / om en funktion av. n omkrivning ger att ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (B.6) vilket leder till ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (B.6) och lutligen kan uttrycka om ( ) ( ) (B.6) Inatt i ekvation (B.59) ger detta att ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (B.63) ( ) ( ) ( ) [ ] (B.64) vilket kan kriva om om en andragradekvation av åom ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] (B.65) Men luften tilltåndekvation ger att ( ) (B.66) vilket innebär att ekvation (B.65) kan förkorta till ( ) ( ) ( ) (B.67) var löning kan kriva om ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 (B.68)

87 Lufttötvåg B..6 nergiintenitet och tryck - () Använd ekvation (B.64) och lö ut därifrån. Får då ( ) ( ) (B.69) B..7 Denitet och energiintenitet - () tgå från uttrycket för konervering av energin ( ) (B.7) Använd ekvation (B.) och uttryck om en funktion av ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (B.7) Tillamman ger detta att ( ) ( ) ( ) (B.7) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) (B.73) ( )( ) [ ] ( )( ) (B.74) Luften tilltåndekvation ger dock att ( ) ( )( ) ( ) (B.75) Inatt i ekvation (B.7) ger detta att denna kan kriva om till ( )( ) [ ] ( ) (B.76) var löning är ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 (B.77)

88 Lufttötvåg B..8 nergiintenitet och denitet - () tgå från ekvation (B.73) och lö ut om funktion av. Då få ( ) (B.78) ( ) ( ) B..9 nergiintenitet och tötvåghatighet - ( ) tgå från energin bevarande. ttryck och om funktion av. Konervering av maa och rörelemängd ger ( ) reektive (B.79) ( ) Kombinerat ger dea (B.8) ( ) (B.8) vilket kan omformulera om (B.8) vilket inatt i uttrycket för konervering av energin. ekvation (B.3), reulterar i ( ) Nyttja nu uttryck för ( ) i ekvation (B.33) å få lutligen (B.83) ( ) (B.84)

89 Lufttötvåg B.. Stötvåghatighet och energiintenitet - () Använder ekvation (B.83) och uttrycker om en funktion av och (). Får då att ( ) där ( ) enligt ekvation (B.68) (B.85) B.. nergiintenitet och artikelhatighet - ( ) tgå från energin bevarande. Behöver uttrycka och om funktion av. Konervering av maa och rörelemängd ger ( ) (B.86) ( ) (B.87) vilket tillamman leder fram till ( ) (B.88) Inatt i uttrycket för energin bevarande, ekvation (B.3), få nu att där ( ) enligt ekvation (B.37) (B.89) B.. artikelhatighet och energiintenitet - () tgående från ekvation (B.89) kan artikelhatigheten teckna om ( ) där ( ) enligt ekvation (B.68) (B.9)

90 Lufttötvåg B.3 Jämförele av härledda uttryck I det här avnittet jämför de uttryck om härlett i avnitt B.med de reultat om erhåll från ConWe (99). Syftet med denna jämförele är del att kontrollera riktigheten i framtagna uttryck men även att öka belya bakgrunden till de inbörde amband om ge i ConWe. Stötvågtorheter för otörd luft vid en temeratur av 5 C ge i tabell B.. Dea värden har edan nyttjat vid jämförele av uttrycken om härled i avnitt B.. I tabell B. och B. redovia värden från ConWe å tötvågarametrar erhållna för en rängladdning å 5 kg TNT. Av häri redoviade arametrar ammanfatta värden för tryck, denitet, tötvåghatighet, artikelhatighet amt värmekaacitetkvot edan i tabell B.3. I figur B. till B.7 jämför de härledda uttrycken inbegriande trycket, deniteten, tötvåghatigheten amt artikelhatigheten, någon jämförele gentemot energiinteniteten har inte gjort då denna arameter akna i de reultat om erhåll i ConWe. Av nedantående jämförele kan det kontatera att överentämmelen är övervägande god även om vi avvikele återfinn för tarka tötvågor (dv. då värdena å de ingående arametrarna är höga). n möjlig orak till denna killnad är att det vid härledningen av de uttryck om reentera i avnitt B., ej tagit någon hänyn till att värmekaacitetkvoten inte är denamma framför och bakom tötvågfronten. Detta elar ingen roll för vagare tötvågor (u till ett tryck av omkring ka) efterom för luft i detta område är ungefär lika med,4, e figur 3.. För kraftigare förlo ökar dock avvikelen och blir lutligen å tor att killnader åom de i exemelvi figur B. erhåll. n närmare kontroll huruvida detta är oraken till den killnad om erhåll mellan de uttryck om redovia i avnitt Bilaga B och om erhåll i ConWe, behandla i avnitt B.3. Tabell B. Storheter ho otörd luft vid en temeratur av 5 C. arameter Storhet nhet R 87 J/Kg K T o 88 K,3 ka c 34, m/,6 kg/m 3 6,6 kj/kg

91 Lufttötvåg Tabell B. Stötvågtorheter enligt ConWe (99) för en exloion av W 5 kg TNT vid möjlighet till fri avlatning. Det kalade avtåndet Z är framtaget i enlighet med ekvation (4.6)

92 Lufttötvåg Tabell B.3 Värmekaacitetkvot för olika värden å tryck, denitet, tötvåghatighet och artikelhatighet då tötvågen far fram genom otörd luft med egenkaer i enlighet med tabell B.. Värden är hämtade från tabell B.. [ka] [kg/m 3 ] [m/] [m/] [-] 393, ,5 54, , , , , , , , , , ,83 754, , , , , , , , ,4 96, ,4 3, ,4 83, ,4 47,6 4 94,4 3, ,4 5, ,4, ,4 6, ,4, ,4,3 35,4 7, ,4 6,64 347,4 (rå) rå rå() ConWe Tryck, [ka] Denitet, [kg/m 3 ] Figur B. Tryck om funktion av denitet enligt uttryck i tabell B.. Jämförele gör med amband erhållit från ConWe (99)

93 Lufttötvåg (my) my my() ConWe Tryck, [ka] Komreion, µ [-] Figur B. Tryck om funktion av komreion enligt uttryck i tabell B. och B.3. Jämförele gör med amband erhållit från ConWe (99). () () ConWe Tryck, [ka] Stötvåghatighet, [m/] Figur B.3 Tryck om funktion av tötvåghatighet enligt uttryck i tabell B. och B.3. Jämförele gör med amband erhållit från ConWe (99)

94 Lufttötvåg () () ConWe Tryck, [ka] artikelhatighet, [m/] Figur B.4 Tryck om funktion av artikelhatighet enligt uttryck i tabell B. och B.3. Jämförele gör med amband erhållit från ConWe (99). 8 Stötvåghatighet, [m/] (rå) rå rå() ConWe Denitet, [kg/m 3 ] Figur B.5 Stötvåghatighet om funktion av denitet enligt uttryck i tabell B. och B.3. Jämförele gör med amband erhållit från ConWe (99)

95 Lufttötvåg 7 artikelhatighet, [m/] (rå) rå rå() ConWe Denitet, [kg/m 3 ] Figur B.6 artikelhatighet om funktion av denitet enligt uttryck i tabell B. och B.3. Jämförele gör med amband erhållit från ConWe (99). Stötvåghatighet, [m/] () () ConWe artikelhatighet, [m/] Figur B.7 Stötvåghatighet om funktion av artikelhatighet enligt uttryck i tabell B.3. Jämförele gör med amband erhållit från ConWe (99)

96 Lufttötvåg B.4 ffekt av varierande framför och bakom tötvåg Såom bekriv i föregående avnitt är de härledningar om reentera i avnitt B. inte riktigt fulltändiga aveende behandlandet av värmekaacitetkvoten. Det anta där att kan variera med trycket men att den är denamma framför och bakom tötvågfronten. Denna aroximation är, vilket ockå framgår av de jämföreler om reentera i figur B. till B.7, i regel tillräcklig men för höga tryck, då avvikelen från luften normala värde -,4 - är tor kan den ockå få en tydlig inverkan. tt relativt enkelt ätt att illutrera vilken inverkan detta kan få är genom att närmare tudera luften tilltåndekvation för luften framför tötvågfronten. tgående från ekvation (B.4) kan denna kriva om ( ) där k ( ),4 (B.9) där i otörd luft kan kriva om ( ) k,4 (B.9) av vilket det framgår att,4 (B.93) Om ekvation (B.9) dock nyttja å att kriv om om en funktion av och utan hänyn till att k,4, dv. att ( ) där () (B.94) å innebär detta att,4 (B.95) beroende å vilket tryck om råder. Detta är vad om gjort i härledningarna i avnitt B.. Felet av detta blir dock litet åvida det inte råder tora tryck. Detta förfarande ligger även helt i linje med de uttryck om reentera i exemelvi Baker (973) och Kinney och Graham (985) varför det yne vara allmänt acceterade aroximationer. Här gör dock en ny härledning av () för att via hur ovantående härledningar kulle utfört för att vara fulltändigt riktiga amt för att åkådliggöra vad killnaden blir i del uttrycket komlexitet amt även i det reulterande ambandet. tgå från energin bevarande och luften tilltåndekvation i ekvation (B.3) och ekvation (B.4). Då få att ( ) ( ) ( k ) (B.96)

97 Lufttötvåg där k ( ) rereenterar det kontanta värdet å värmekaacitetkvoten i den otörda luften framför tötvågfronten. Ovantående kan kriva om om [ ( k ) ( ) ] ( )( )( k )( ) (B.97) Förkorta med å båda idor och uttryck om en funktion av [ ( k ) ( )( k )( )] [ ( ) ( )( k )( )] (B.98) vilket lutligen kan kriva om ( )( k ) ( )( k ) ( )( k ) ( )( k ) (B.99) Detta uttryck kan jämföra med det tidigare härledda i ekvation (B.) vilken återfå om k ätt in i ekvation (B.99), dv. ( ) ( ) ( ) ( ) (B.) Dea båda uttryck jämför i figur B.8 med det amband om erhåll från ConWe och av detta framgår det att det råder mycket god överentämmele mellan ekvation (B.99) och ConWe vilket då tyck bekräfta de funderingar om möjlig orak till killnader i figur B. till B.7 om reentera i avnitt B.3. Att beakta olika framför och bakom tötvågfronten även för de övriga härledda uttrycken vore intreant men rymm inte inom detta arbete varför det inte heller behandla ytterligare i denna raort. Tryck, [ka] ekvation (B.) ekvation (B.) ConWe Denitet, [kg/m 3 ] Figur B.8 Tryck om funktion av denitet då killnad i framför och bakom tötvågfronten ej beakta (ekvation (B.)) reektive ta hänyn till (ekvation (B.)). Jämförele gör med amband erhållit från ConWe (99)

98 Lufttötvåg Bilaga C Inverkan av kontant värmekaacitetkvot Det är vanligt att betrakta luft om en ideal ga med värmekaacitetfaktorn,4. Detta är en god aroximation förutatt att lufttrycket inte är för högt. I figur C. via hur varierar med trycket och av detta framgår att för tryck lägre än ka är ändringen ho liten. För högre tryck börjar dock ändringen ho bli åa åtaglig att en betydande inverkan å tötvågarametrarna värden kan erhåll. I tabell B.3 lita hur varierar om funktion av tötvågen olika arametrar. Värmekaacitetkvot, [-],4,4,38,36,34,3,3,8,6,4 Tryck, [ka] Figur C. Luften värmekaacitetkvot om funktion av trycket (normalt lufttryck vid 5 C är omkring ka). Värden är hämtade från ConWe (99) och ge även i tabellformat i tabell C.. I figur C. till C.8 jämför erhållna förhållanden mellan tötvågen olika arametrar, framtagna i enlighet med de uttryck om reentera i tabell 3. och 3., då,4 och () i enlighet med figur C

99 Lufttötvåg g g() g,4 Tryck, [ka] Denitet, [kg/m 3 ] Figur C. Tryck om funktion av denitet enligt uttryck i tabell 3. då värmekaacitetkvoten är kontant eller varierar med trycket i enlighet med figur C.. g g() g,4 Tryck, [ka] Komreion, µ [-] Figur C.3 Tryck om funktion av komreion enligt uttryck i tabell 3. då värmekaacitetkvoten är kontant eller varierar med trycket i enlighet med figur C

100 Lufttötvåg g g() g,4 Tryck, [ka] Stötvåghatighet, [m/] Figur C.4 Tryck om funktion av tötvåghatighet enligt uttryck i tabell 3. då värmekaacitetkvoten är kontant eller varierar med trycket i enlighet med figur C.. g g() g,4 Tryck, [ka] artikelhatighet, [m/] Figur C.5 Tryck om funktion av artikelhatighet enligt uttryck i tabell 3. då värmekaacitetkvoten är kontant eller varierar med trycket i enlighet med figur C

101 Lufttötvåg Stötvåghatighet, [m/] g g() g, Denitet, [kg/m 3 ] Figur C.6 Stötvåghatighet om funktion av denitet enligt uttryck i tabell 3. då värmekaacitetkvoten är kontant eller varierar med trycket i enlighet med figur C.. 7 artikelhatighet, [m/] g g() g, Denitet, [kg/m 3 ] Figur C.7 artikelhatighet om funktion av denitet enligt uttryck i tabell 3. då värmekaacitetkvoten är kontant eller varierar med trycket i enlighet med figur C

102 Lufttötvåg 6 Stötvåghatighet, [m/] g g() g, artikelhatighet, [m/] Figur C.8 Stötvåghatighet om funktion av artikelhatighet enligt uttryck i tabell 3. då värmekaacitetkvoten är kontant eller varierar med trycket i enlighet med figur C

103 Lufttötvåg Bilaga D Härledning av reflekterat tryck vid normalreflexion D. Orientering I avnitt 3.3. introducera ett uttryck för det reflekterade trycket r vid normalreflexion amt den tillhörande reflexionfaktorn Λ. I denna bilaga reentera härledningen av dea uttryck. D. Reflekterat tryck I avnitt 3. och Bilaga B redovia de amband om råder mellan olika tötvågarametrar i luft. Dea amband är framtagna med antagandet att tötvågen drar fram i ett område av otörd luft (markera med indexet för aktuella arametrar). genkaerna ho en reflekterad tötvåg erhåll dock å amma ätt om det oreflekterade trycket men med den killnaden att den reflekterade tötvågen rör ig genom ett annat medium itället för att röra ig genom otörd luft förflyttar ig den reflekterade tötvågen in i ett medium motvarande den infallande tötvågen. Detta innebär att egenkaerna ho den reflekterade vågen erhåll genom att, i de i avnitt 3. reenterade uttrycken, byta ut tötvågarametrar med indexet till tötvågarametrar med indexet (markerar därigenom att den reflekterade tötvågen rör ig genom ett medium varande mot den inkommande tötvågen). I,,,,,, R,,, r r, r, r, (a) (b) Figur D. Schematik bild av normalreflexion av en lan tötvåg: (a) före reflexion, (b) efter reflexion. Baerad å Baker (973) amt Kinney och Graham (985). Det om knyter amman den oreflekterade och reflekterade tötvågen är artikelhatigheten. Såom illutrera i figur D. är torleken ho dea amma i tötvågfronterna men motatt riktade. Det reflekterade trycket r kan därigenom erhålla om r ( ) ( ) 4 6 (D.) där ekvation (D.) varar mot ekvation (3) i tabell 3. men med tryck och denitet ho otörd luft utbytta mot trycket reektive deniteten ho den infallande tötvågen. Värmekaacitetkvoten ätt här till ett värde ammanhängande med trycket ho den oreflekterade vågen, dv. ( ). Riktigheten i denna aroximation kan ifrågaätta efterom någon hänyn därmed inte ta till det törre tryck om råder inom den reflekterade delen av tötvågen (jämför med avnitt B.4 angående nyttjande av olika värden å å öme idor om tötvågfronten)

104 Lufttötvåg För att återgå till härledningen av det reflekterade trycket r å utgå det häri att trycket ho den inkommande (oreflekterade) vågen är känt. Detta innebär att ytterligare information behöv rörande de denitet amt artikelhatighet. Dea kan dock betämma utgående från den infallande vågen tryck om ( ) ( ) ( ) ( ) (D.) och ( ) ( ) ( ) (D.3) utifrån de amband om ge i ekvation (5) reektive (5) i tabell 3. och 3.. kvation (D.) kan kriva om om ( ) ( ) ( ) ( ) r b a 6 4 (D.4) För tydligheten kull beräkna delarna a( ) och b( ) earat. För a( ) få att ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 a (D.5) vilket kan förenkla till ( ) ( )( ) ( ) ( ) a (D.6) För b( ) få med nyttjande av ekvation (D.) och (D.3) att ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) b (D.7)

105 Lufttötvåg å att b( ) kan kriva om ( ) ( ) ( ) ( ) 8 c b (D.8) där täljaren b( ) i rotuttrycket kan förenkla ytterligare ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c (D.9) och lutligen kriva om ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ] c (D.) Sätt in detta i ekvation (D.8) och nyttja (D.) och (D.3) för att uttrycka reektive om funktion av. Då få ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 3 8 b (D.) vilket kan förenkla till ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) b 3 (D.) Sätt nu in (D.6) och (D.) i ekvation (D.4) och lö ut det reflekterade trycket r ( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r d 3 (D.3)

106 Lufttötvåg Förenkla täljaren i (D.3) earat ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d (D.4) och inatt i ekvation (D.3) ger detta lutligen att ( ) ( ) ( ) ( ) r 3 (D.5) vilket är identikt med det uttryck om ange i åväl Baker (973) om Kinney och Graham (985), och är även det amband om reentera i avnitt D.3 Reflexionkoefficient Föregående avnitt härleder ambandet mellan det totala reflekterade trycket r och det oreflekterade trycket. Ofta ange dock det reflekterande trycket om en reflexionkoefficient Λ baerat å det reflekterade och oreflekterade övertrycket r reektive varför ett ådant amband ockå via här. r r Λ (D.6) Nyttjar ekvation (D.4) för att uttrycka r om funktion av varvid (D.6) kan kriva om ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] Λ (D.7) och Λ lutligen kan uttrycka om ( ) ( ) ( ) ( ) 3 Λ (D.8) vilket ockå är det uttryck om ge i ekvation (3.34).

107 Lufttötvåg Bilaga Definition av Machtal Ljudet hatighet är en viktig arameter vid betraktande av en tötvåg framfart. Ljudhatighen c i ett godtyckligt material kan uttrycka om c 4 K G 3 (.) där K och G betecknar materialet komreionmodul reektive kjuvmodul och betecknar materialet denitet. För luft är dock kjuvmodulen G varför ekvation (.) kan förkorta till c K (.) Ovantående uttryck använd vanligen vid betämning av ljudhatigheten i olida material. För en ideal ga är det dock möjligt att med hjäl av allmänna galagen amt uttryck för entroin, Kinney och Graham (985), teckna ljudhatigheten om c RT (.3) där är luften värmekaacitetkvot, R är luften gakontant (e Bilaga A) och T är temeraturen uttryckt i grader Kelvín. Ljudhatigheten för luft är vid en temeratur å 5 C omkring 34, m/. Av raktika käl är det befogat att införa ett nytt dimenionlöt begre vid behandlandet av hatigheter. Detta begre, det å kallade Machtalet, definiera om kvoten mellan trömninghatigheten u i ett medium och ljudhatigheten c i amma medium, dv. u M c (.4) För en ideal ga kan detta, med nyttjande av ekvation (.3), även kriva om M u RT (.5) av vilket framgår att Machtalet bland annat är beroende av temeraturen. Detta innebär ålede att en tötvåg om uar fram genom luften med hatigheten har olika Machtal beroende å luften temeratur. Machtalen torlek kan därför inte jämföra med varandra utan att hänyn ta till det rådande energitilltåndet (dv, temeraturen) om råder i det aktuella mediet

108 Lufttötvåg Bilaga F Sned töt F. Orientering I avnitt 3.3. behandla hur inblandade tötvågarametrar betäm då tötvågen faller in mot ett lan orienterat vinkelrätt mot in färdriktning. Det finn dock anledning att även titta närmare å vad om händer med tötvågen då denna faller in nett mot ett lan. Denna teknik nyttja edan i avnitt och avnitt där ned reflektion och Machreflektion behandla och ta därför u här. Innehållet i detta avnitt är till fullo baerat å Kinney och Graham (985). Några härledningar av nedantående reenterade uttryck ge egentligen inte. Sådana finn dock till tor del att tillgå i den urrungliga referenen. F. Stötvågarametrar om funktion av Machhatighet I Kinney och Graham (985) uttryck förhållandet mellan olika tötvågarametrar med hjäl av Machhatigheten (e Bilaga för definition) i mediet framför och bakom tötvågfronten. Här betrakta även tötvågen genomgående om en tillatående front och att det itället är den omgivande luften om rör ig mot den med en hatighet motvarande tötvåghatigheten, åom illutrera i figur F.. u y Stötvågfront u x y, y, T y y y x Hatighet Tryck x, x, T x x Figur F. Stillatående tötvågfront där luften trömmar från höger till vänter med hatigheten u x för att därefter junka till hatigheten u y bakom fronten. Trycket, deniteten och temeraturen ökar då från x, x och T x till y, y reektive T y. Baerad å Kinney och Graham (985). Beteckningarna om nyttja i Kinney och Graham (985) kiljer ig något gentemot de om använd i övrigt i den här raorten. Samtliga arametrar, förutom hatigheten u y, har dock en direkt motvarighet. Hatigheten u y motvara dock av killnaden mellan tötvåghatighet och artikelhatighet, dv. u y (F.)

109 Lufttötvåg I tabell F. lita de arametrar om använd av Kinney och Graham amt de motvarighet i den här raorten. Tabell F. Förhållande mellan tötvågarametrarna beteckningar nyttjade i Kinney och Graham (985) amt i den här raorten. Beteckning enligt Kinney och Graham Beteckning i den här raorten x y, x y u x u y T x () T y () () Kinney och Graham använder temeratur för att bekriva den interna energin. Förhållandet mellan hatigheterna u y och u x kan enligt Kinney och Graham teckna om ( ) ( ) M u y M 5 M u 6M x x x [,4] x x (F.) där u M x c x x (F.3) betecknar tötvåghatigheten i form av de Machtal. ttrycket i ekvation (F.) använd nedan för att betämma effekten av en ned töt

110 Lufttötvåg F.3 Reflektionvinkel och våghatighet Studera en tötvåg med hatigheten u om faller in mot ett lan med vinkeln β 9. Stötvågen hatighet kan dela u i ina två komoanter u x och u, åom illutrera i figur F.. tötvågfront y x θ u u y u u x β u δ β -θ u y x Figur F. Sned töt mot tötvågfront. Lufttrömmen träffar med en hatighet u i en vinkel β i förhållande till tötvågfronten. Strömmen ändrar riktning med vinkeln θ och lämnar vågfronten med en hatighet u. Baerad å Kinney och Graham (985). Komoanten u, arallellt med det tuderade lanet, förblir oåverkad och kommer verka med amma riktning och torhet å andra idan lanet. Komoanten u x, med riktning vinkelrätt mot lanet, kommer dock att förändra å normalt ätt, dv. betrakta om en rätvinkligt infallande tötvåg åom bekriv i avnitt F.. Därvid kan den reulterande komoanten u y betämma utgående från det uttryck om ge i ekvation (F.) och tillamman med den urrungliga komoanten u kan reflektionvinkeln δ β - θ betämma om tan ( β ' θ ') u y u' (F.4) eller, efter kombinering med ekvation (F.), även uttrycka om tan tan ( β ' θ ') ( ) β ' ( ) M M in β ' 5 M in [.4] in β ' 6M in β ' β ' (F.5) där M M x in β ' u c c x x (F.6) är Machtalet för den nett infallande vågen och c x är ljudhatighet framför tötvågfronten

111 Lufttötvåg Den reulterande våghatigheten u kan betämma om u y u y u' in u ( β ' θ ') (F.7) vilket reulterar i ett Machtal M u c y (F.8) där c y är ljudhatigheten i mediet bakom tötvågfronten. Denna ljudhatighet är dock beroende av tötvågen tyrka varför M inte kan betämma rakt av. Det går dock att via att den reulterande våghatigheten, uttryckt om ett Machtal, kan beräkna om M ( ) M in β ' 5 M in β ' in ( β ' θ ') [.4] (F.9) M in β ' 7M in β ' ( ) Kinney och Graham ammanfattar dea reultat i ett diagram, e figur F.3, ur vilket det relativt enkelt är möjligt att grafikt utläa ambandet mellan ingående och utgående Machhatigheter M och M amt infallvinkel β och deflektionvinkel θ förhåller ig till varandra

112 Lufttötvåg Figur F.3 Grafik framtällning av amband mellan hatigheterna M och M amt vinklarna β och θ. Från Kinney och Graham (985). --5