=
|
|
|
- Britt-Marie Karlsson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ½ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼½¾ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ Ó ÌÓÑ ÖÒ ØÑ
2 ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö ØÓÖØ ØØ ØÙÖ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ñ ÅØÐ Ó ÅÔÐ ÒÚÖÒ ÒÚØÓÖÖ Ó ÓÒÐ ÖÒ Ñ ÅØÐ Ó ÅÔÐ ÒÖÐ ÖØ ØØÓÒÖ Ð ÒÒÖ ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ Ö ØØ Ø ÖØ Ý ØÑ Ú ÖÒ ÚØÓÒÖ À ÐÖÓÓÒ ËÔÒÒ ½µ Ó ÚÒÒ ØØ ØÐÐÒк Ì ÖÒ Ó Ñ Ò ÅØÐÒÐÒÒ Ù Ö ÚÒ Úº ÌÖÝ ÙØ ÒÒ ÐÒÐÒÒ Ó Ø Ñ Ò ÖÖ ÒÓÑ ØØ Ö ÐÒ Ð ÒÓÑ ÐÒÐÒÒÒ Ó ÒÚ ¹ ÒÒÖÒ ÒÒº ÊÔØÖ ÖÐÚÒØ ØÓÖ ÐÖÓÓÒº ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓÖÖ ½º½ ÅØÐ Ò Ú ÅØÐ ÔÐØØÖ Ö ÒÙÑÖ ÖÒÒ Ú ÒÚØÓÖÖ Ó ÒÚÖÒº ÇÑ ÒÖØ ÒÚÖÒ ÖÖ ÓÑÑÒÓØ µº ÇÑ ÖÑÓØ Ò¹ ÚÖÒ Ó ÒÚØÓÖÖ Ú ÙÒÖÖ ÓÑÑÒÓØ Ë µº ÒÚÖÒ ÒÒ ÓÑ ÓÒÐÐÑÒØ ÓÒÐÑØÖ Ò Ó ÑÓØ ÚÖÒ ÒÚØÓÖÖ ÙÔÔØÖÖ ÓÑ ÓÐÓÒÒÖ ÑØÖ Ò Ëº ÖÒ ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓÖÖ ØÐÐ ÑØÖ Ò [ ] 1 2 = 4 3 ÒÚÖ ÒÚØÓÖ ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ë 1 Ë = º ÅØÖ ÒÚÖ ÖÐÐ Ñ ÒÚº Ð ÚÒ Ö ÒÓØ Ú ÒÚÖÒ λ i Á Ö ÒØ ÑØÖ Ò ÖÐÐ Ñ Ý ¾µ Ó Ú ÓÑ ÒÖ ÒÖ Ù Ö Ö ÒÚÖØÖ ÒÒ ÑØÖ º Î ÑÒ Ñ ØØ Ò ÑØÖ Ö ÒÙÐÖ Ö ÚÒ Ñ λá Ö λ ÒØ Ö ØØ ÒÚÖº ½º¾ ÒÚÒ ÒÐÒÒ Ú ÑØÖ Ò ÖÒ ½º½º ËÖÚ ÓÛ µº Á Ø Ò ØÖ ÓÑ ÓÑÑÖ ÙÔÔ ÔÖ Ù Ñ ÚÒ ØÖ ÑÙ ÒÔÔ Ô Ò ÖÒ ÚØÓÖÒ Üº Å ÑÙ ¹ ÒÔÔÒ ÒØÖÝØ Ö Ù ÚØÓÖÒ Ü ÖÙÒØ ÒØ ÖÐÒº ËØÒÒ ÙÔÔ Ü Ó Ü Ö ÔÖÐÐÐк Ö Ü Ò ÒÚØÓÖº ÎÖÖ ½
3 ÃÓÓÖÒØÖÒ Ö Ü Ò Ù ÒÓÑ ØØ ÖÚ Ü ÒÔÙØ ½µº Á Ø Ö Ò ØÖØ ÓÑÑÖ Ø ÙÔÔ ØØ ÖÓÖ º Ö Ø Ñ ÑÙ Ò ØÐÐ ÔØ Ò Ú Üº Ãй Ñ ÚÒ ØÖ ÑÙ ÒÔÔº Ù Ò ÒÙ ÚÐ ÓÓÖÒØÖÒ Ö Üº Á ÔÖÓÖÑÑØ ÓÛ Ö Ü ÐÐØ ÐÒÒ ½º ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ÒÓÑ ÓÑÑÒÓØ ÒÓÖÑ Üµº ËÖÚ ÒÙ ÜÒÔÙØ ½µ Ó ÝØØ ÖÓÖ Ø ØÐÐ ÔØ Ò Ú Üº Ä Ò ÓÓÖÒØÖÒ Ö Üº Å ÒÓÖѹÓÑÑÒÓØ Ò Ù ÒÙ ØÑÑ ÐÒÒ Ú Üº Î ÐÖ ÒÚÖØ ÂÑÖ Ñ ØÐÐÒ ½º½º ÈÖÚ ÚÒ Ñ ÒÖ ÑØÖ Öº Ò Ð ÒÒ Ö ÐÒº Á ÓÛ¹Ò ØÖØ ÒÒ ÓÚÒÖ Ò ÚØ ÖÙØÒ ØØ ÐØØ Ò ØÖ ÓÑ ÒÒÐÐÖ Ø Ö Ò ÑØÖ ÓÑ Ö ÖÙº ÃÐ Ô Ø ÐÐÐ Ò ØÖØ Ó ØÐÐÒ ØÐÐ Ö ÑØÖ Öº ½º Ä ÐÒ ØÒØÑÒ ÙÔÔغ Ù Ò ÒÚÒ ÅØÐ Ö ØØ ÖÒ ÒÓÒ ÒÚÖ ÑØÖ Ó Ö ØØ ÑÙÐØÔÐÖ ÒÖ ÑØÖ Öº ÒÖ ¾ ¾¼¼½¾½¾º Ö Ò 2 2¹ÑØÖ Ö Ù ÙÒÖ Ò ØÓÖÐÓÖØÓÒ ÙÒÒØ ÒÚÒ ÅØÐÔÖÓ¹ ÖÑÑØ ÓÛ Ö ØØ ÑØØ ÖØ ÙÔÔ ÓÐÓÒÒÑØÖ ÖÒ Ü Ó Üº Å ÐÔ Ú ØÓÖÑÙ Ò ÙÒ Ù ÒÖ ÐØ Ö Ü Ó ÙØÓÑØ Ø Ü ÙØÖغ Á ÙÖÖÒ ÒÒ Ö ÑØÖ ÖÒ Ü Ó Ü ÐÓÖØ Ñ ÔÐÖ ÙØÒ ÖÒ ÓÖÓ ÚÖ Ð ÑÖÖØ Ñ Ò ÐØÒ ÔÙÒغ ÐÐ ÔÐÖÒ ÒØ ÙØ ÖÒ ÓÖÓº Ü 0 Ü Ü 0 Ü Ü 0 Ü µ ÚÐ ÒÚÖÒ ÐØе Ó ÒÚØÓÖÖ ØÐÐ º ¼º µ µ ØÑ º ¼ºµ ½º µ ØÑ Ò ÐÐÑÒÒ Ð ÒÒ ØÐÐ Ý ØÑØ dü dt = Ü Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖº ¼º µ Ø ÒÒ ØØ ÒÐØ ØØ ØØ ÔÐÓ ÙØ ÓÒÐÐÑÒØÒ ÖÒ Ò ÚÖØ ÑØÖ Ó ØØ ÚØ ÓÒÐÐÑÒØÒ Ð Ò ÓÒÐÑØÖ º ÅØÐÓÑÑÒÓØ ØÖ º Ì Ø ÓÑÑÒÓÒ ½ µ ±ÐÖ Ò ÓÒÐÑØÖ Ñ ÚÒ ±ÓÒÐÐÑÒØÒ Ó º ½¼ ½½ ½¾ µ ±ÈÐÓÖ ÙØ ÓÒÐÐÑÒØÒ ÖÒ Ò ÚÒ ÑØÖ Ò º µµ ½ Ø ÓÑ ØÖ ØÖ ± Ö ÓÑÑÒØÖÖ ÓÑ ÒØ ÖÚ Òº ¾
4 ½º Î Ö Ö ÒÙ Ñ Ò ØÖÖ ÑØÖ ÖÒ ÚÒÒ ºµº ØÑ ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓÖÖ Ö ÑØÖ Ò ØØ ÔÐÐÐ Ú ÚÒÒ ºµ = Ò ÒØ ÖÑ Ñ ÓÒ µ Ý µ ½º ÎÐ Ö ÒÚÖÒ ØÐÐ ÑØÖ Ò Ö Ø Ø ÐØкµ ¾º ÎÐ ÑÙÐØÔÐØØÖ Ö ÒÚÖÒ º Ò Ò ÒÚØÓÖ ÓÑ ÚÖÖ ÑÓØ Ø ØÖ Ø ÒÚÖØ ÖÒÐ ÅØÐ ÚÖº ½º ½º ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ ÓÐÓÒÒÖÒ Ë¹ÑØÖ Ò Ö ÒÚØÓÖÖ ØÐÐ º ÅÒ Ò ÔÐÓ ÖÑ Ø Ü ÓÐÓÒÒ Ñ Ë µº ËØØ ÐÐØ Ë µ Ó Ð º Ö ÑÑ Ö Ò ÓÐÓÒÒ ÓÑ ÚÖÖ ÑÓØ Ø ØÖ Ø ÒÚÖغ Î ÐÐ ÒÙ Ó Ô Ò Ò ØÓÖ ÑØÖ º Á ÑÒ Ú Øºµ Ð Ò ¹ÑØÖ Ñ ÐÙÑÔÚ ÚÐ ÐÑÒØ Ñ Óѹ ÑÒÓØ ÖÒÒ ½¼¼µº ÄØ ÅØÐ ÓÒÐ Ö Òº ÈÐÓ ÖÑ ÒÚÖÒ ÒÓÑ ÐÑ µº Ä ÑÖ ØÐÐ ØØ Ò Ð ÒÚÖÒ Ö ÖÐÐ Ó ØØ ÒÖ ÖÓÑÑÖ ÓÑÔÐÜÓÒÙÖ ÔÖº ÎÐØ Ö ÒÚÖ ÒÙÑÑÖ ÐÐ Ø ÐÑ µ Ó ÚÐÒ Ö ÑÓØ ÚÖÒ ÒÚØÓÖ µ ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ð ¹ÐÑ Ö ÐØغ ØÖ ÓÑ ÒÒ ÚØÓÖ Ö ÙÒÖ ÐÑÒØ Ö Ø ÚÖÐØ ØØ Ô Ñ ØØ Øغ Ö ØØ ØØ ÚØÓÖÒ Ö ÐØÒ Ò ÑÒ ØÐÐ ÜÑÔÐ ØÐÐØ Ð ÙÑÑÒ Ú ÓÐÙØÐÓÔÔÒ Ú ÐÑÒØÒ Ñ ÙÑ µµµº ËÙÑÑÒ Ú ÓÐÙØÐÓÔÔÒ Ö Ð ÐÚ Á ÑÒ Ú Øºµ ËÓÑ ÒØ Ö ÒÚÖÒ ÙÑÑ Ð Ñ ÔÖØ Ö ÑØÖ Ò ÓÒÐÐÑÒØÒ ÙÑѵ Ó ÒÚÖÒ ÔÖÓÙØ Ö Ð Ñ ØÖÑÒÒØÒ Ö ÑØÖ Òº Ì Ø ØØ Ö Ò ØÓÖ ÑØÖ Ò ÖÒ ÔÖÓÐѺ Ð ÔÖ Ó ØÖÑÒÒØ Ú Ñ ÓÑÑÒÓÒ ØÖ µ Ö Ô Ø µ Ó ÑÖ Ñ ÒÚÖÒ ÙÑÑ ÙÑ Ðѵ Ö ÔØÚ ÔÖÓÙØ ÔÖÓ Ðѵº È ÖÙÒ Ú ÒÙÑÖ ÚÖÙÒÒÒ Ð Ò ÐÐÒ ÑÐÐÒ ÒÚÖÒ ÔÖÓÙØ Ó Ø µ ÐÒ Ð Ò ØÓÖº ËØÓÖÐ Ú ÑØÖ Ö Ó ÚØÓÖÖ Î ÒÙÑÖ ÖÒÒ Ö ÑÒ Ø Ü ÒØ ÜØ ÚÖÒ Ô ÒÚØÓÖÖ Ó ÒÚÖ¹ Ò Ó Ø Ö ÖÐ ÓÑÐØ ØØ Ò ÚÖÒ Ñ ÒÐØ ÖÒÖصº Á ØÐÐØ Ö ØØ ÚØÓÒÒ = λ ÜØ ÙÔÔÝÐÐ Ö Ú Ò Ó Ñ ØØ λ
5 ÐÖ ÐØغ Ò ÚØÓÖ ÐÐÖ ÑØÖ Ö Ù Ö ÐÑÒØ Ó Ø Ö ÒØ ÒØÝØ ¹ ÚØ ÙÖ ÑÒ ÐÐ ÑØ ØÓÖк ÅØÐ Ö Ò ÙÒØÓÒ ÒÓÖÑ ÓÑ ÑÒ Ò ÒÚÒ Ö ØØ ÒÑк ½º ÇÑ Ù ÓÖØ ½º ºµ ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ÒÙ ØØ ÒÙÑÖ Ø ÐÐ ØØ Ë 1 Ë = Ó ØØ j = λ j j ÒÓÑ ØØ ÖÒ ÒÓÖÑ ÒÚ Ëµ ˹µ Ó ÒÓÖÑ ¹ÐÑ µ Ö ÑØÖ Ò ½ºº Á ÓÒÐ ÖÖ ÑØÖ Ö ½º ½º½¼ ÅØÐ Ò ÒØ Ð Ô ÑØÖ Ö ÓÑ Ö ÓÒÐ ÖÖ Ó Ò ÓÑ ÒØ Ö Ø ÙØÒ ÒÒÖ Ò ÔÔÖÓÜÑØÚ ÓÒÐ ÖÒ ÚÒ Ú ÓÒÐ ÖÖº ÅØÖ Ò = [ ÖÒ ÚÒÒ º¾ Ö ÓÒÐ ÖÖº ÄØ ÅØÐ Ö ÓÒÐ Ö Ò Ñ Ë µº ÌØØ ÒÓ Ô ÑØÖ Ò Ë Ñ ÓÖÑØ ÐÓÒº ËÖ Ò ÒÚÖØÖÖ ÙØ Î ÐÖ Ø Ëµ Î ÒÖ ÓÑ ÑÒ Ö Ö Ð Ë 1 Ë Á ÑÒ Ú Øºµ Ö ØØ ÓÒÐ Ö ÑØÖ Ò ÚÒÒ º½º Î ÐÖ Ø Ëµ ÎÖÖ ÓÐÓÒÒÖÒ Ë ÐÒÖØ ÓÖÓÒ ] ËÝÑÑØÖ Ó ÓÖØÓÓÒÐ ÑØÖ Ö Á ÑÒ Ú Øµ ½º½½ ÌÖÒ ÔÓÒÖÒ ÓÔÖØÓÒÒ ÅØÐ ØÒ Ñ ÔÖÑ ³µº ÆÖÑÖ ØÑØ T ÒÓÑ º³º ÍØÐÑÒ ÔÙÒØÒ Ö ÑÒ ÖÑØ ÓÒÙÖÒ ÚÐØ ÒÒÖ ØÖÒ ÔÓÒÖÒ Ó ÓÑÔÐÜ ÓÒÙÖÒº ØØ Ö Ò ÚØ Ø ÓÔÖØÓÒÒ Ö ÓÑÔÐÜ ÑØÖ Öºµ Ö ÑØÖ Ö Ñ ÖÐÐ ÐÑÒØ ÐÖ Ø ÒÒ ÐÐÒº Á ÑÒ Ú Øºµ ÄØ ¾ Ð ³ Ó º³º = [ 1 3i 2+i 4 5i 6 7i ËÓÑ Ù ÓÑÑÖ ØØ ØÓÖÒ ÔØÐ Ö ÖÐÐ ÝÑÑØÖ ÑØÖ Ö ØÖ ÚØ Ò ÔÖ ] ½º Ö ÐÐØ ÓÒÐ ÖÖ ¾º ÒÚÖÒ Ö ÐÐØ ÖÐÐ º Ò ÓÒÐ ÖÒ ÑØÖ Ò Ë Ò ÐÐØ ÚÐ ÓÖØÓÓÒÐ ÚÐØ ØÝÖ ØØ ÒÚ ËµË³ ÐÐÖ ÚÚÐÒØ ØØ Ë Ë³ Ý Þ Ëµµ 2+iº ¾ 1 3i ÑØ Ò ÓÑ ½¹ ÙØÒ ÑÐÐÒÖÙѺ Ó Ø ÚÖ ÑÐÐÒÖÙÑ ØÐÐ Ò Ø ÐÑÒØ
6 ½º½¾ ½º½ Á ÑÒ Ú Øºµ ÓÒÐ Ö ÑØÖ Ò ÚÒÒ º ¼ Ó ÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ò ÖÐÐÒ ÑØÖ Ò Ë Ö ÓÖØÓÓÒк Ð Ö Ø Ë Ë³ Ó Ë³ Ë Ó Ø Ø Ö ÖØ ÙÐÐ Ò ÒÓÖÑ Ë³ Ë¹Ý µµ Ó ÒÓÖÑ Ë Ë³¹Ý µµº ÈÑÒÒÐ Ý Òµ ØÝÖ ÒØ ÑØÖ Ò Ú ÓÖÒÒ nº ÆÑÒØ ÓÑÑÖ Ú Ø ÒÐ ÙØØÐØ Ú Ó ØÚÒ Iº Î ÐÐ ÒÙ ÓÒØÖÓÐÐÖ ØÓÖÒ Ö Ò ÑÝØ ØÖÖ ÝÑÑØÖ ÑØÖ º Á ÑÒ Ú Øµ Ð Ò ÐÙÑÔÑØÖ Ú ØÓÖÐ Ñ ÖÒÒ ½¼¼µº ÒÓÑ ØØ Ø = + Ì ÐÐØ ³ Ö Ú Ò ÝÑÑØÖ ÐÙÑÔÑØÖ Ú ÒÒ ØÓÖк ÖÒ ÒÙ Ô ÚÒÐØ ØØ ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓÖÖ ØÐÐ º Ò ÚØÓÖ Ñ ÒÚÖÒ Ñ ÐÑ µ Ó Ú Ò Ø Ø ØØ Ö ÖÐÐ Ñ ÒÓÖÑ Ñ Ðѵµº ÆÓÖÑÒ ÐÖ ÃÓÒØÖÓÐÐÖ Ò ÓÑ ÓÚÒ ØØ Ø ÖÐÐÒ Ë¹Ø Ö ÓÖØÓÓÒÐØ Ó ØØ ÒÚ Ëµ ˹ Ö ÐØØ ØÐÐ ÜÑÔÐ Ñ ÒÓÖÑ Ë³ Ë¹Ý ½¼¼µµ Ö ÔØÚ ÒÓÖÑ Ë³ ˹µº ÎÐ ÚÖÒ Ù ÅÔÐ Ø Ö ÖÐØÚØ ÓÚÒÐØ ØØ ÒÚÖÒ ØÐÐ Ò ÑØÖ Ò ÖÒ Üغ Ø ÐÐÖ ÙÚÙ ÓÑ Ö ÖØÓÒÐÐ ØÐ ÐÐÖ Ö ÒÒÐÐÖ ÒÐ ÖÓØÙØØÖݺ ÇÖ¹ Ò Ö ÚÒÐÒ ÝÑÑØÖÒ ÔÖ Ó Ø ÔÖØ ÔÖÓÐÑ ÓÑ ØØ ÙÔÔÓÚ ØÐÐ ÑØÖ Òº Á Ò ÐÐ Ö ÅÔÐ ØØ Ö ÐÔÑк ÅÔÐ ÑØÖ Ö Ò ÚÐ ÚÖ ÝÑÓÐ ÓÑ ÒÙÑÖ º ÅØÖ Ö ½º½ ËØÖØ ÅÔÐ ½ ÐÐÖ ÒÖ ÚÖ ÓÒº ÒÑÖÒ ÇÑ Ù ÚÐÐ ÙÒÒ ÖÚ Ò Ò ÓÑÑÒÓÒ Ô ÑÑ ØØ ÓÑ ÒÒ ÒÐÒÒ Ú Ô Ò Ö Ò Ù Ö Ô ÐÒ ØØ Ö Ñ ÀÐÔËØÖØÙÔ ÐÓºººËØÖØ ÛØ ÐÒ ÏÓÖ Øº Ö Ø ÒÒ Ú Ó ÒÒ Ò ØÐÐÒÒÒ ÌÓÓÐ ÇÔØÓÒ ÔÐÝÁÒÔÙØ ÔÐÝ ÅÔÐ ÆÓØØÓÒ Ó Ú ÐÙØØ ÔÔÐÝ ÐÓÐÐݺ Æ Ø Ò Ù ØÖØÖ ÅÔÐ ¹ ÚÖ Ù Ö ÚÐ ÐÒ ÏÓÓÖ Øº ÆÓØÖ ØØ Ñ ØØ Ò ÖÚÒÒ ØØ Ñ Ø ÚÖ ÓÑÑÒÓ Ú ÐÙØ Ñ ÑÓÐÓÒ ÐÐÖ ÓÐÓÒº Ö ØØ ÐØØ ÙÒÒ ÖÒ Ñ ÑØÖ Ö ÅÔÐ Ö ÑÒ Ö Ø Ø Ü ÓÑÑÒÓØ ÛØ ÐÒеº ØØ ØØ ØØ Ò Ò ÑØÖ ÅÔÐ Ö Ñ ÓÑÑÒÓØ ÑØÖܺ ÅÒ ÒÖ Ö Ø ÒØÐØ ÖÖ Ò ÓÐÓÒÒÖ Ó ØÐÐ ÐÙØ ÑØÖ ÐÑÒØÒ ÓÑ Ò Ð Ø ÒÓÑ ÐÑÑÖ º ËÐ Ò ØÒÖÑØÖ Ò ÒÓÑ ÑØÖÜ ¾ ¾ ½ ¾ µ ÒÖ ÑØÖ Ò ÚÒÒ º¾ ÒÓÑ ÓÑÑÒÓØ ÑØÖÜ ¾ ½ ½ ¾ ¾¼ µ ÅÐÐÒ ÐÒ Ð ØÒ Ö ÔÖØ Ö ØØ ÑÒ ÐÐ ÚÖ Ò ÒÝ Ö ÖÖ ÑÒ ÒØ ÒÚÒ Ö ÅÔкµ
7 ½º½ ÅØÖ Ò ÒÚÖÒ Ó ÑÓØ ÚÖÒ ÒÚØÓÖÖ Ò Ñ ÓÑÑÒÓØ ÒÚØ º ËÖÚ ÅÔÐ ÒÚØ Ó ØÙÖ Ö ÜÑÔÐÒ ÐÙØØ Ú Òº ÆÓØÖ ØØ ÙØØ ÖÓÚ Ö Ö ØÖÙØÙÖÒ [ ÒÚÖØ λ, ÑÙÐØÔÐØØ, ÐÒÖØ ÓÖÓÒ ÒÚØÓÖÖ ÖÒ ØÐÐ λ] ÈÖÚ ÓÑÑÒÓÒ ÒÚØ µ Ó ÒÚØ µº Î ØÝÖ ÓÐ ÐÖÒ Ú ÅÔÐ ÚÖ ½º½ Á ÑÒ Ú Øºµ Î ÐÖ Ó Ò Ò ØÖÖ ÝÑÓÐ ÑØÖ Ñ Ñ ÒÒÝع ÒÒ ÖÒ ÚÒÒ º µº ÒÖ ÑØÖ ÙÒØÓÒÒ À ÒÓÑ À µ ¹ ÑØÖÜ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ µ ÐÐÖ À µ¹ò ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ µ ØÑ ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓÖÖ ØÐÐ ÑØÖ Ò À µº Ö ÑØÖ Ò ÓÒй ÖÖ ½º½ ÄØ ÒÙ ÅÔÐ Ö Ñ ÑØÖ Ò ÖÒ ÙÔÔØ ½º ÓÚÒº Ù Ò ÖÚ Ò ÑØÖ Ò Ñ ÓÑÑÒÓØ ÚÐÑ ÑØÖÜ ½µ ½ µµ ÀÙÖ ÑÒ ÓÖÓÒ ÒÚØÓÖÖ Ö Ò ÇÑ Ù ÚÐÐ ÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ ÒÚØÓÖÖÒ ÚÖÐÒ Ö ÐÒÖØ ÓÖÓÒ Ò Ù ÖÖ Ô ÐÒ ØØ ÒÚÒÚØ µ Ë ÓÒØ ÓÔ ÒÚ½ µ ÓÔ ÒÚ¾ µµ Ø Ëµ ÀÙÖ Ö ÑØÖ Ò Ë ÙÔÔÝ ÎÖ ÒÚØÓÖÖÒ ÐÒÖØ ÖÓÒ ½º½ ÇÑ Ù Ö ÓØØ ÓÑ Øºµ Ö ÚÒ Ñ ÑØÖ Ò ÖÒ ÙÔÔØ ½ºº ÅØÖ ÓÔÖØÓÒÖ ½º½ ÅØÖ ÓÔÖØÓÒÖ ØÒ Ô ÑÑ ØØ ÓÑ ÚÒÐ ÐÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ñ Ø ÙÒÒØØ ØØ ÑØÖ ÑÙÐØÔÐØÓÒÒ Ñ Ø ÖÚ ² ØÐÐØ Ö Ö º Ö ØØ ÅÔÐ ØØ ÙØÖ ÓÔÖØÓÒÖÒ Ñ Ø ÑÒ ÙØÓÑ ÓÑÑÒÓØ ÚÐѺ Ì Ø ÖÒ ÖÒÒÖÒ Ö ÑØÖ Ò ÙÔÔØ ½º½ ÓÚÒ ÒÓÑ ØØ Ð Ò ÑØÖ Ë ÚÖ ÓÐÓÒÒÖ Ö ÒÚØÓÖÖÒ ØÐÐ º ÍÒÖ Ò ÓÑ Ë ÓÒÐ ÖÖ Ñ ÚÐÑ Ë ¹½µ² ² ˵
8 ½º¾¼ Î ÐÐ ÒÙ ÖÒ Ö ÓÐÚÒØÒ ØÐÐ ÒÖ ÑØÖ Öº ÒØ ÑØÖ Ò Ú ÓÖÒÒ n ÖÐÐ ÐØØ Ø Ñ ½ Òµº ØÑ Ö ÓÐÚÒØÒ ØÐÐ ÑØÖ Ò ÒÓÑ ½ µ Ö ÓÐÚÒØÚÐÑ ¹µ ¹½µµ ÖÒ ÚÒ Ø ÖØÖ Ø ÔÓÐÝÒÓÑØ Ñ Ø ¹µµ ÐÐÖ ÖÔÓÐÝ µ Ó ÑÖ Ñ ÒÑÒÖÒ Ö ÓÐÚÒØÑØÖ Òº ÎÐÒ Ö Ö ÓÐÚÒ¹ ØÒ ÒÑÒÖ ½º¾½ Ä ÚÒÒ º µ Ñ ÐÔ Ú Ø º Ò º Ö ØØ Ñ ÅÔÐ ØÑÑ Ò ÒÖÐ ÖØ ØØÓÒÖ Ð ÒÒ ØÐÐ dü dt = Ü + est ÖÚÖ Ù ÙÑ Ø Öе ÓÐÚÐÑ ÒÚÖ ¹µ² ÜÔ Øµµ ÑÔ Ê Óе ½º¾¾ Ö ØØ Ð ÚÒÒ º µ ÚÖ Ù ÚØÚ Ö Ø ÖÚ Ò ÑØÖ ÖÒ Ó Ó ØÐØ sº ÅÔÐÓÑÑÒÓØ ÑÔ Ú ØÖ ÓÑ ÖÐÐÒ ÖÒ Ú Ò ÑØÖ Óк ÇÑ Ù Ö ÓØØ ÓÑ Øºµ ØÑ Ö ÓÐÚÒØÑØÖ Ò ØÐÐ ÑØÖ Ò ÚÒÒ º½º ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ Ò ½º¾ ÅØÐ Ò ÖÒ ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ Ö ÒÙÑÖ Ø Ñ ÓÑÑÒÓØ ÜÔÑ ÑÒ ØØ Ö Ò ÖÒ Ø ÒØÖ º ÅÖ ÚÒ Ö ØØ ÒÚÒ ÅÔÐ Ö Óѹ ÑÒÓØ Ö ÜÔÓÒÒØк ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ÚÖÒ ÙÔÔØ º½ ÚÒÒ ØØ Ñ ÅÔк Ö Ô ØØ ØØ Ö µ ÑØÖÜ ¾ ¾ ¹¾ ¹½ ½ ¹¾ µ ÜÔÓÒÒØРص ÐÐÖ ÑØÖÜ ¾ ¾ ¹¾ ¹½ ½ ¹¾ µ ÜÔÓÒÒØРص ÂÑÖ ÚÒ Ñ ÅÔÐ ÜÔ ÚÐÑ ÜÔ Øµµ Î Ö ØØ ÓÑÑÒÓ Ä Ò ÚÒ º¾ Ñ ÅÔк ËØÙÖ ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ Ò Ö ÑØÖ Ò ÚÒÒ º½º ÚÐ ÜÔÓÒÒØй ÑØÖ Ò ÒÚÖÒ ØÐÐ ÑØÖ Ò º½º ËÑÑ ÙÔÔØ Ö º¾º
9 ½º¾ Ö ØØ ÖÚÖ ÑØÖ Ö Ñ Ø ÑÒ ÒÚÒ ÓÑÑÒÓØ ÑÔ ÓÑ Ö ÒÒ¹ ÖÒ ØØ Ö Ø ÖÙÑÒØ ÙØÖ Ô ÚÖ ÐÑÒØ ÒÖ ÖÙÑÒغ ÖÚÖ ÑØÖ Ò = Ñ Ú Ò Ô tº ÒÚÒ ÓÑÑÒÓÒ [ ] cost sint sint cost ÑØÖÜ ¾ ¾ Ó Øµ ¹ Ò Øµ Ò Øµ Ó Øµ µ ÑÔ Øµ ½º¾ ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ Ò Φ(t) = e ta ÖØÖ Ö Ú ÖÒØÐÚØÓÒÒ Ó ¹ ÝÒÒÐ ÚÐÐÓÖØ dφ = Φ, Φ(0) = I. dt ÂÑÖ Ø ºº ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ö ÑØÖ Ò º¾ ÑØÖÜ ¾ ¹ ººº µ È ÜÔÓÒÒØРص ÚÐÑ ÑÔ È Øµ¹² ȵ ½º¾ ÅØÖ ÖÒ [ 9e t 8e 2t 6e 2t 6e t 12e t 12e 2t 9e 2t 8e t ], [ (1+2t)e 3t te 3t 4te 3t (1t)e 3t cost 1 sint 2 1 sint 2 1 sint + 1 cost cost 2 2 sint cost cost ], Ó Ö ÐÐ ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ Ö Ú ØÝÔÒ e t Ö ÓÐ ÑØÖ Ö º ØÑ ÙØÒ ØØ Ö Ø ÖÒ ÒÚÖÒ ØÐÐ Ö ÔØÚ ¹ÑØÖ Ó ÚÖ ÓÑ ¹ÑØÖ Ò Ö Ö ÓÒÐ ÖÖº ÒÐÖÒ ØØ ÖÒ Ò ÑÓØÚÖÒÖ ØÑ Ò Ö ÔØÚ ÑØÖ ÒÓÑ ØØ ÖÚÖ Ö ÔØÚ ÜÔÓÒÒØй ÑØÖ Ó ÖØÖ ØØ Ò t = 0º ÒÚÒ ¹ÑØÖ Ö Ó ÓÒØÖÓÐÐÖ Ò ÚÖ ÓÚÒº
10 ½º¾ È Ò ÒÒ ¼ Öº Î ÖÒÒÒ ÖÒ ÒÒ Ø x 0 Ö ÓÑÖ A y 0 Ö ÓÑÖ B Ó z 0 Cº ÙÖÒ ÖÖ ÑÐÐÒ ÓÑÖÒ ÒÐØ ÐÒ ÑÓÐÐ Ò ÐÐÖ Öµ ÍÒÖ Ò Ø ÔÖÓ T Ö ¼ % Ú ÖÒ A ØÒÒØ ÚÖ A ¾¼ % Ö ØØ ØÐÐ B Ó ¾¼ % Ö ØØ ØÐÐ C ¼ % Ú ÖÒ B ØÒÒØ ÚÖ B ½¼ % Ö ØØ ØÐÐ A Ó ¾¼ % Ö ØØ ØÐÐ C ¼ % Ú ÖÒ C ØÒÒØ ÚÖ C ¼ % Ö ØØ ØÐÐ A Ó ½¼ % Ö ØØ ØÐÐ B ÄØ x n,y n Ó z n ØÒ ÒØÐØ Ö ÖÓÒÖÒ A,B Ö Ô C ØÖ ØÒ nt. ÐÐÖ x n+1 = 0.6x n + 0.1y n + 0.4z n y n+1 = 0.2x n + 0.7y n + 0.1z n n = 0,1,2,... z n+1 = 0.2x n + 0.2y n + 0.5z n ÀÙÖ ÑÒ Ö ÒÒ ØÖ ÐÒ Ø Ö ÔØÚ ÓÑÖ x n x 0 ËØØ Ú n = y n Ó Ú 0 = y 0 º ËÖÚ Ý ØÑØ Ô ÑØÖ ÓÖÑ Ú n+1 = Ú n º z n z 0 ÒÚÒ ÅÔк ËÖÚ Ò ÑØÖ Ò ÅÔк ÖÒ ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓ¹ ÖÖº ÓÒÐ Ö Ý ØÑÑØÖ Ò Ó ÒÚÒ ÓÒÐ ÖÒÒ Ö ØØ ÖÒ lim n n Ú 0 º ÖÒ ÚÖØ ÐÑÒÖ ÒÓÖÑØÓÒ ÓÑ ÒØÐØ Ö Ö ÔØÚ ÓÑÖº ÅÖ ØÐ Ò Ù Ö Ô ÐÒ ØØ ½»½¼ ÑØÖÜ ½ ÓÖØ ØØ µ ËÝ ØÑÑØÖ Ò ÒÚÒÚØ µ ˽ÓÔ ÒÚ½ µë¾óô ÒÚ¾ µë ÓÔ ÒÚ µ ÜØÖÖ ÒÚØÓÖÖÒ ÙÖ ÒÚº ËÓÒØ Ë½ ˾ Ë µóòð ÖÒ ÑØÖ ÚÐÑ Ë ¹½µ² ² ˵ ØØÒ ½ ½ Ò ¾ ¾ Ò Òµ Ú¼ÑØÖÜ ½ ܼ ݼ Þ¼ µ ÚÐÑ Ë² ØØÒ² Ë ¹½µ² Ú¼µ ÖÒÒ Ú Ò Ú¼ ÑÔ ÐÑØ ± ÒÒÒØÝµØ Ò ÒÙ ÚÐ º ÌÒ Ô ØØ Ü¼ ݼ Þ¼ ¼º Î Ö ÖÐÐÒØ ÑÐÐÒ ÓÓÖÒØÖÒ Ò ÒÚØÓÖ ÖÒ ØÐÐ Ø ØÖ Ø ÒÚÖØ Î Ö ÖÐÐÒØ ÑÐÐÒ ÒØÐØ Ö Ö ÔØÚ ÓÑÖ ËÑÒ Ë ØØ 1, 2 Ó 3 Ö ÒÚØÓÖÖ Ñ ÒÚØÓÖÖÒ λ 1,λ 2 Ö ÔØÚ λ 3 ØÐÐ º ÒÚØÓÖÖÒ Ö ÐÒÖØ ÓÖÓÒ ÚÖÖ Ø ÒÒ ØÐ c 1,c 2 Ó c 3 Ò ØØ Ú 0 = c 1 1 +c 2 2 +c 3 3 º ÖÚ ÐÖ ØØ n Ú 0 = c 1 λ n 1 1 +c 2 λ n 2 2 +c 3 λ n 3 3. ÇÑ λ 1 Ö Ø ÒÚÖ ÓÑ Ö ØÖ Ø ÓÐÙØÐÓÔÔ Ö Ú ØØ n Ú 0 c 1 λ n 1 1 n Ö ØÓÖغ Î Ö ÒÙ ÙÖ ÖÐÐÒØ x n : y n : z n Ö Ø ÑÑ ÓÑ ÑÐÐÒ ÓÓÖÒØÖÒ ÒÚØÓÖÒ 1 ºµ
11 ÒÑÖÒÒº ÈÖÓÐÑØ Ò ÅÔÐ Ó Ð Ñ Ö ÓÐÚ ÑÒ Ö ÑÒ ÒØ ÒÚÖÒ ÒÚÖÒº ÄØØÖØÙÖÖØÒÒ ÈÖعÒÒÖ º ² ËÖ º ¾¼¼½µ ÒÚÒÖÒÐÒÒ Ö ÅØÐ ÁÒ Ø¹ ØÙØÓÒÒ Ö ÒÓÖÑØÓÒ ØÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÍÔÔ Ðº À º ¾¼¼ µ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÅÔÐ ËÔÖÒÖº ËÑÓÒ Ãº ½ µ ÅØÐ ÈÖÑÖ ÔÖØÑÒØ Ó ÅØÑØ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÐÓÖ Ò ÚÐРк ËÔÒÒ Ëº ½µ ÄÒÖ Ý ØÑ Ã˺ ÏÖÒÖ ºº ¾¼¼¾µ ÅÔÐÒÓÒ ÅØÑØÚÐÒÒÒ Æµ ÄÙÒº ½¼
=
ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ½ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÑÖÒ ÑÖÓÐÞ Ó ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ð ÖÒÒ Ú ÒÚÖÒ Ó Ò¹ ÚØÓÖÖ ÑØ ÓÒÐ ÖÒ Ú ÑØÖ Ö Ñ ÐÔ Ú ÅØÐ Ó ÅÔÐ Ð Ð ÒÒ Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖ Ñ ÐÔ Ú ÅÔк À ÐÖÓÓÒ
Ì ÆÌ Å Æ ËØ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Á ÌÅ˽ ¼ ÑÒ Ò Ò ½ Ñ Ö ¾¼¼ Ð Ô Îº ÂÓÙÖ ÂÓ Ò Ù Ø Ú ÓÒ Ò Òº ½ À ÐÔÑ Ð ÍØ Ð ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ö Ì Ô ÙÖ Ò ÒÚÒ ÓÖ Ð Ø Ó ØÝÔ Ó Ò Ö Ò Ó º ÈÓÒ Ö Ò Ò ÍÔÔ Ø ÖÒ Ö Ú ÖÚ Ð ØÝÔ Ö Ò Ø ØØ ÐØ
Ð ËÅ ½¹½¾¹¼¾ ½ ÅØØ ØÐ ÔÔÒÒ ÇÖÖÒÒ ÖÐÖ ÑØØ ÔÔÒØ ÐÓÒ ½º¾ Ñ ¼ ØÒÓÐÓÖ ÒÖÚÖÒº ¾ ÓÖÑÐ µ ÌÐÐ ÑØ ÓÖÖÒ ÚÐ ÓÖ ÂÓÑ ÅÐÐ ÚÖº µ ÌÐÐ ÑØ ÖØÖÖ ÚÐ Ö ÒÒ Ö ÓÒ ÚÖº µ ÌÐÐ Ù ØÖÒ ÑÒ ÚÐ ÌÓÑ ÏÖ ÜØÙ ÑÙ ÑØ ÂÓÒ ÀÖ ØÖØÙ ¹ ÑÙ º µ ÁÒ
Ö ÙÔ ØÙ Ú ÖÖ Ö ÓØÐ Ò Ä Ö ÆÓÖ Ò ËÚ Ö Ñ Ø ÓÖÓÐÓ Ó Ý ÖÓÐÓ Ò Ø ØÙØ ÆÓÖÖ Ô Ò ¾¼ Ñ Ö ¾¼½¾ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ÍØÖ Ò Ò ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò Ö Ö Å ØÓ º½ Ö Ò Ò Ú Ö ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ð ÓÖ
( ) = 3 ( + 2)( + 4) ( ) =
ÊÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÔØÐ ÓÑÔÒØ º½ ËÖÚ Ý ØÑÒ ÒÒ Ô ØÐÐ ØÒ ÓÖѺ ÒØ ØØ Ù Ö Ò ÒÐ Ó Ý ÙØ ¹ Òк µ µ Ý(Ø) + Ý(Ø) 2 Ý(Ø) + 3 Ý(Ø) 5 µ 4 Ú(Ø) + 5Ú(Ø) 2 Ý(Ø) + 2Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ú(Ø) + 2Ú(Ø) 3 Ý(Ø) + 7 Ý(Ø) + 4Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ý (3)
ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ø Ð Ö
ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ö ÔØ Ú È ¹Ð Ö Ö ØÓ Ö Ê ÑÕÙ Ø Ê Ö Ò Ö Ê Ö Ä ÓÒ Ö Ø Ò Ä Æ Ð ÓÒ Ò Ö Ë ÖÐÙÒ Ù Ø Ú Ì ÒÓ ½¾ Ñ ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ
ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾
Å Ø Ñ Ø Ò ¾¼½¾¹¼ ¹½ Æ Ö Ò Ð Ð Ö Ò ØÓÖ Æ Ð Ö ÓÒ Ò Ð º Ö ÓÒ Úº ½ ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ñ ÒØ ÙÔÔ Ú Ö Ö Ú Ò
ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Å Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ØÝÔ Ö Ó Ú Ö Ð Ö Î ØÓÖ Ö»Ð ØÓÖ ½ ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ
ÃÓÑÔÙØØÓÒÐÐ ÁÒØÐÐÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ Ê ËÚÒÖ ÖÞ ÅÙ Ø ÀÒ ÇÐÓ ÓÒ ÑÖ ¾¼¼¾ ÁÒÒÐÐ ½ ËÝØØ Ñ ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ ÌÓÖ ÒÐÝ º½ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÅÖ ÖÙ º º º º º º º º º º º º
ËÐ ½ ØØ ÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÐØ ÓÑ ÖØ ÖÒ Ð ËÐ ¾ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ÆÙÑÖ Ð ÒÒ ÔÖÒÔ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ÒÐÒÒ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ
Ö Ò histogramtransformationº
ÍÐØÖ Ð Ù Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÌË ½ Å Ò Ð Ö ÍØÚ Ð Ú Å Ø Ò Ö ÓÒ ÁÅ̵ ¾¼½ ÍÔÔ Ø Ö Ú Å Ö Å ÒÙ ÓÒ ÎÄ ÁË µ ¾¼½ ÓÒØ ÒØ ÍÔÔ Ø Ò Ä Ò Ê ¹ Ø Ò Ê ÒÒ ØÖÐ Ó ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ Ñ Ú Ö ØÙÖ ËÙ ÑÔÐ Ò Ò
Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖ Ö ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐ Ö Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ø Ò ÓÐÓÖ
ÅØÑØ ØØ Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖÖ ¾ ÙÙ Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐÖ Ó ØÐÐÖ ØÐÐ ÅØÑØ ØØ Ø Ô ÙÒÚÖ ØØ Ó ØÒ ÓÐÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ÄÓÖÑ ÒÒÓÐØ ÖÐÒÒ Ô ØØ ÒÐØ ÙØÐÐ ÖÙÑ Ë ÇÑ ÐÐ ÙØÐÐ Ö Ð ÒÒÓÐ ÐÐÖ Ö Ò ÒÐ ØØ È µ Ò µ Ò Ëµ ØØ Ö Ò Ð ÒÒÓÐØ ÒØÓÒÒº
ËÐ ½ ÁÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ËÐ ¾ ÈÖÒÔ Ö ÒÙÑÖ Ð ÒÒ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ Ô ÚÖ ÐÒØÖÚÐÐ [Ü Ü+]
Î Ö Ä Ì ½º Ì Ö Ò Ø Üع Ð ÓÑ ÒÔÙغ ¾º ÈÖÓ Ö Ö Ð Ò Ó ØÑÑ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò Øº º Ö ÙØ Ò ÎÁ¹ Ð Ú ¹ÁÒ Ô Ò Òصº º ÎÁ¹ Ð Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ò È ¹ к
ÐÐÑÒØ ÓÑ Ä Ì Ä Ì Ö Ò Ú Ö ÙØÚ Ð Ò Ú Ì ¹ Ý Ø Ñ Ø ÓÑ ÙØÚ Ð Ô ¼¹Ø Рغ Ì ÐÐØ Ö ØÚ Ò Ö µ Ö ÒØ Ò ØØ ØÒ Ñ Ö Ô ÒÒ ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ò º Ò ÐØ ØØ Ô ØÖÙ ØÙÖ Ö Ó ÙÑ ÒØ ÁÒÒ ÐÐ ÖØ Ò Ò ÃÐÐ ÖØ Ò Ò ÓØÒÓØ Ö Ê Ö Ò Ö ØÓ Ø Ò Ö
ÁÒÒ ÐÐ Á ÝÖ ÖÒ ÓÑ ËÙÖ Ð¹ Ö ÓÑ ØØ Ö ÁÁ ÌÖ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ó Ò Ð Ø Ö ÁÁÁ йÀ Ò Ö Ñ Ö Ð ÓÒ ÁÎ Ò Ö Ø ÖÙÒ Ò Î Ò Ò Ö ÖÙÒ Ò ÃÒÒ ÓÑ ÓÑ ÚÖ Ö Ð ÓÒ Á ¹ Ð Ñ
ØÖ ÖÙÒ ÖÒ Ë Ý ¹ÙйÁ Ð Ñ ÅÓ ÑÑ Á Ò Ð¹Ï Á ÐÐ Æ ÑÒ Ò Æ Ö Ò ÖÑ ÖØ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÐÐ Ö Ñ Ö Ø ÐÐ ÐÐ Ó Ñ Ö Ó ÚÐ Ò Ð Ö Ú Ö Ñ ÈÖÓ Ø Ò ÅÓ ÑÑ º ØØ Ö ØÖ ÖÙÒ ÖÒ ÒØÐ Ò Ø Ò ÖÒ ÖÙй Ø ºÓÑ Ñ Ö Ø ÐÐØ Ð ÓÑ Ö Ú Ò Ñ Ð Ø Ö Ð
s N = i 2 = s = i=1
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ ¹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö ËÖ Ôع Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö ÄÓ ÙØØÖÝ Î ÐÐ ÓÖ Ø Ö ¹ Ø Ö Ê Ô Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÐÓÓÔ Öµ ÓÖ¹ Ø Ö Û Ð ¹ Ø Ö ½ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÐ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ØØ ÔÖÓ
¾ ½ ½¼ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ø Ò Ö Ì½ Ä ÓÖ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ø ¾¼¼¼»¾¼¼½ ÝÐÐ ØØ Ò ÑÒ Ó Ô Ö ÓÒÒÙÑÑ Ö Ñ Ð ÐÐ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò º Ç Ë ÇÑ ÒØ ÒÒ Ú ØØ Ò Ø Ñ Ú Ö ÓÚ Ò Ò Ò Ö Ù Ò Ò Ú ØØ Ò Ö Ùй Ø Ø Ø Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò Ý Ø Ñ
huvudprogram satser funktionsfil utparametrar anrop av funktionsfil satser satser
Á ÈÖÓÖÑ ØÖÙØÙÖ Ð ÒÒ ½ ÀÙÚÙÔÖÓÖÑ Ó ÙÒÖÔÖÓÖÑ ÆÖ ÑÒ Ð Ö ØÓÖ ÔÖÓÐÑ Ö Ö ÑÒ ÓØ Ð ÙÔÔ ÔÖÓÐÑØ ÐÔÖÓÐѺ ËÒ ÖÚÖ ÑÒ Ò Å¹Ð Ö ÚÖ Ðº ÌÝÔ Ø ÖÚÖ ÑÒ Ò ÓÑÑÒÓл ÖÔØÐ ÓÑ ÐÐ ÙÚÙÔÖÓÖѵ ÓÑ ÒÖÓÔÖ ÙÒØÓÒ ÐÖ ÓÑ Ó ÐÐ ÙÖÙØÒÖ ÐÐÖ ÙÒÖÔÖÓÖѵº
f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0
½»¾¹¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ñ ØÖ Ö Ë Ø ÙØ Ö Ú p(a) Ö p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ ÆÙ ÐÐ Ú Ú ÙÖ Ñ Ò Ò Ò Ö f(a) Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ö f(x) ÓÑ Ò Ú Ö ÒØÖ Ö f(x) = f t (x) = e tx ÓÑ Ö e ta Ö ËÝ Ø Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ
Föreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen.
Ä Ò Ö Ó ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ö Ò Ö Ö Ã Ð Å Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ Ö Ð Ò Ò ½ Æ ÙÖ Ð ÒØÚ Ö ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ È Ö ÔØÖÓÒ Ð Ö Ð Ö ËÙÔÔÓÖØ Î ØÓÖ Å Ò ÀÓÔ Ð ÓÐØÞÑ ÒÒÑ Ò Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØØ ÒÝØØ Ö Ò Ò ØØ È Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ø Ö Ò Ø ÁÒÐÖÒ Ò ÇÔØ
x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2
ÅÐ Ö Î ½ ½º ÒØ Ñ Å ÔÐ º ¾º Î Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ð Ö º º ÇÐ ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÒ Ö ÔÐ Ò Ø»ÖÙÑÑ Øº µ ÁÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ø Ö Ð Ñ Å ÔÐ Ð Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ö µ ÐÐ Ø Ü Ð Ò Ö Ó Ò Ö Ö ÙÖÚÓÖ º Á Å ÔРй Ð Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ô ÙÖ ÙÖÚ
ËØÝÖÒ Ò Ú Ð Ò Ñ Ò ØÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö ÁË ÓÖ ÓÒ Ý Ø Ñ ½ Ù Ù Ø ¾¼¼¾ ÂÓ Ò Ð Ò ÜÜÜÜÜܹÜÜÜÜ È Ö Ö ¼ ½½¹ Ô ÖÓ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ Ð Ò Ò ¾º½ ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÀÖ
u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ)
Ã Ô ¹ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÌÚ ÖÙÒ ÔÖ Ò Ô Ö Ö ØØ Ý Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ö Ó Ø µ Ý Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ý º ÒÚÒ Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ð Ò Ò Ö Ð Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ö Ø Øµº Á Ð Ò Ú ÝÔÓØ Ö Ó ÑÔ Ö Ñ Ò µº Ë Ã Ô ¾ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÒ Ø Ò ÑÒ ËÝ Ø Ñ
2E I L E I 3L E 3I 2L SOLUTIONS
Ä Ò Ô Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ú ÐÒ Ò Ò Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ Ò Ð Ä ÖÑ Ö Ð Á Ì ÓÖ Ð Á ÒÙÑÑ Ö Ì ÆÌ Å Æ ÌÅÅÁ½ ¹ ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÖÙÒ ÙÖ ¾¼½ ¹¼ ¹¾ ½ ½º Ò Ö ØØ ÙÔÔÐ Ð ÓÖ Ú ØÐ Ö ØØ Ú Ò ÐÙÑ Ò ÙÑÔÖÓ Ðº ÒÒ Ð Ð Ø Ñ Ò ÔÙÒ ØÐ Ø F Ô Ñ Øغ ÀÙÖ
Stapeldiagram. Stolpdiagram
Á Î Ù Ð Ö Ò Ö Ñ ¹ Ö Ö Å ØÖ Ö Ó Ð Ö ÇÖ ÒØ Ö Ò º Ä ÐÚºµ ½ À ØÓ Ö Ñ Ó Ø Ô Ð Ö Ñ Å ÓÑÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ñ Ó Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ø Ô Ð Ö Ñ Ö Ô Ø Ú ØÓ Ö Ñº ØÓÐÔ Ö Ñ ËÝÒØ Üº Ö Üµ Ê Ø Ö ØØ Ø Ô Ð Ö Ñ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ò Üº Ø Ñ Üµ Ê Ø
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Ø
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Øº Ö ÑØ º ÌÀÆÇ»ËÍÆ Ì Ë ½ ÓÔÝÖ Ø ÅÒ Æ Ð ÓÒ ¾¼¼¾ À ØÓÖ
1 k j = 1 (N m ) jk =
ÂÓÖÒ ÖÒ ½ ÖÙÖ ¾¼¼ ÀÙÚÙÖ ÙÐØØØ ÓÒ ÔØÐ Ö ØØ ÚÖ ÚÖØ ÑØÖ Ö ÐÓÖ¹ Ñ Ñ Ò ÓÖÒÑØÖ ÓÑ Ú ØÐÐØÖ ÓÑÔÐÜ ÑØÖ ÐÑÒص ÓÑ ÐÐ ÂÓÖÒ ÒÓÖÑÐÓÖÑ Ö ÑØÖ Òº ËÓÑ ÔÔ ÓÒ Ö ÒÓÖÑÐÓÖÑÒ Ò¹ Ö Ø ØØ ØÓÖØ Ø ÚÖØÝ ØÖ ÓÑ Ò ÐÐÑÒØ ÒØ ÖÓÖ ÓÒØÒÙÖÐØ
Verktyg för visualisering av MCMC-data. JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK
Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete Stockholm, Sverige 2010 Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete i datalogi om 15
0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n
Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ È ÚÓ Ë ÐÑ Ò Ò ÒÙ Ö ¾¼½¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÒÓÐ Ø ÑØØ ¾ ¾ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÇÑ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Ò ½¼ º½ ÈÓ ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÓÑ Ð Ö ÐÒ Ò º ½½ º¾ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ó ÖÙØ Ó
Multivariat tolkning av sensordata
Multivariat tolkning av sensordata Totalförsvarets forskningsinstitut, FOI Hanna Smedh Examensarbete i matematisk statistik 3, 30 högskolepoäng Vt/ht 2009 Handledare: Peter Anton, Leif Nilsson och Pär
ÁÒÐÒÒ ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ò ÒØÖÓÙØÓÒ ØÐÐ ÅØк ËÝ ØÑØ ÒÚÒ Ö ÓÑ Ò ÚÒ¹ Ö ÖÒÓ Ñ ÒÝ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ó Öº À Ò ÅØÐÑÒÙÐ ØÐÐÒÐ ÓÑ Ù Ö ÚÒ Úº ÚÒÒÖÒ Ö ØÒØ ØØ ÒÓÑÖ Ô Ò Ò ÑÒ Ú
ÙÒØÓÒ ØÓÖ ÁÒÐÒ ØÓÖÚÒÒÖ Ó ÖÔØØÓÒ Ú ÅØÐ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ò ÒØÖÓÙØÓÒ ØÐÐ ÅØк ËÝ ØÑØ ÒÚÒ Ö ÓÑ Ò ÚÒ¹ Ö ÖÒÓ Ñ ÒÝ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ó Öº À Ò ÅØÐÑÒÙÐ ØÐÐÒÐ ÓÑ Ù Ö ÚÒ Úº ÚÒÒÖÒ Ö ØÒØ
ÈÖÓ Ö ÑÚ Ö Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÑ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ò Ã Ò Ø Ö Ø ÒÓÑ Ú Ð Ò Ò Ö ÙØ Ð Ò Ò Ò Ú ÐÑ Ö ÂÓÒ Ø Ò Ð Ø Ø ÝÐÐ Ö Ò Ø ÒÒ ÙÖ Ö Ò Ê ÑÐ ÂÓ Ò Î ÐÐÝ ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ú Ø Ò Ô Ö ÐÑ Ö Ø Ò ÓÐ Ø ÓÖ ÙÒ Ú Ö
Imperativ programering
Imperativ programering Lösningen till Inlämningsuppgift 1A sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 21 juni 2007 1 Program 1 1.1 C - غ ÒÙ Ø Óº ÒÙ Ø º ÒØ Ñ Ò µ Ö ÓÖ ³ ³ ³ ³ µ ÔÖ ÒØ ± µ ÔÖ ÒØ Ò µ Ö ØÙÖÒ ÁÌ ËÍ ËË
σ ϕ = σ x cos 2 ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ xy sinϕcos ϕ
ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ì Ò Ñ Ò Ú º Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ù Ù Ø ¾¼½¾ ½ ËÔÒÒ Ò Ö τ σ ÆÓÖÑ Ð ÔÒÒ Ò σ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ò ØØÝØ Ë ÙÚ ÔÒÒ Ò τ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÒØ ÐÐØ Ø ÐÐ Ò ØØÝØ ËÔÒÒ Ò
Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼
Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ú ÙÒ ÙÐ Ø Ø Ø Ð Ö Ð Ð Ò ÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô Ó ÐÖ Ò Ú ÐÒ Ò ÁÒ Ø ØÙØ
Självorganiserande strömningsteknik
Självorganiserande strömningsteknik i Viktor Schaubergers fotspår Lars Johansson Morten Ovesen Curt Hallberg Institutet för Ekologisk Teknik Forskningsrapporter 1 Malmö - 2002 Ë ÐÚÓÖ Ò Ö Ò ØÖ ÑÒ Ò Ø Ò
1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt
Ë Ñ Ò ÖÚÓÖØÖ Ö Ð Ó ÓÒ ËØÖ Ò Ò Ö ÖÓ Ö Ø ¾½º Å ¾¼¼ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÏÓÖÙÑ Ø³ ¾ ¾ Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò ¾ ¾º½ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ º º º º º º º
Ø Ú Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ç Ð ÓÒ ² Ñ Ð À Ú Ð Ö Ò Ú Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø Ö Ø ÓÑ ÖÚ Ö ØØ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ü Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ôº ÐÐØ Ñ Ø Ö Ð ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ð Ø ÒØ Ö ÚÖØ Ø Ö Ð Ú Ø ØÝ Ð Ø ÒØ Ö Ø Ó Ò Ø
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò ½½ ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖ Ò Ô ËÎ ÓÒÒ ØÖ Ð ØÖÙØÙÖ ³ÙÒ Ö Ú ÓÒÒ ØÖ Ð ÙÖ Ë ÚÓ Ö Ö ÖÓÙÔ Ö ÙÒ
Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LUNDS UNIVERSITET Avd Byggnadsmaterial Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur Tina Wikström Rapport TVBM-5084 Lund 2012 ISRN: LUTVDG/TVBM--12/5084--SE (1-66) ISSN:
Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem
Avdelning för datavetenskap Andréas Jonsson Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem Introduction of object oriented patterns to increase software modifiability
Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring
Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring Emma Södergren Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2012:9 Matematisk statistik December
Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÃÓ ÑÓÐÓ ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ÙѺ ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ö Ø Ð ÜØ Ö Ú Ñ¹ Ñ ØÖÐÒ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ó ÒØ Ñ Ò ØÖÓ ÓÑÑ ÙÖ ÓÐÐ Ó
ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ Ú ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ò ØÙ ØØ Ú ÍÒ Ú Ö ÙÑ Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò Ú Ò Ë Ó Ó Ø º Ö Ö Ò Ð Ö ÖÓ Ø º Ë ½¼ Ü Ñ Ò Ö Ø ÒÓÑ Ø Ò Ý ÖÙÒ Ò Ú ½ ¼ Ô À Ò Ð Ö Ð Ü ÊÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ë ÓÐ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ
ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¹ ¾¼½ Ò Ø ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ + Ú º º Ý Ø ÑØ Ò ÁÒ Øº º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ø + ÈÓÛ Ö ËÝ Ø Ñ ÀÎ ÄÙ Ú ½ Ñ Ö ¾¼½ ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò
Dlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) =
ÃÓÑÔ Ò ÙÑ ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ú Å Ð Ò À Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ Ó ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ ÁÒØ Ö Ð Ö ¾º½ Ö Ú Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ
½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº
Æ Ö Ø Ö Â ÒÙ Ö ¾¼¼ ½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº Ö ÒØÞ Ö Ð Ó Ð Û Ñ Ð Û ÓÒ Ò ÓØØ
Ø Ú Ø Ò Ô ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ¾¼¼¼ Ö ØØ ÖÒ Ó Ã ÖÐ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø
Ï Ö Ð Ä Æ Ò Ò ÐÝ Ó Ø Ë ÙÖ ØÝ Ò Æ Ó Á ¼¾º½½ ¹ À Ò Ð Ò Ò ÙÖ Ò ¾¼¼½ ÌÓ ÂÓÒ ÓÒ Ø Ó º Ø º Ö ÈÖÓ Ø Ø Ø ÊÓÝ Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÃÌÀµ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å ÖÓ Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý ÁÅÁ̵ Á ÓÖ Ø Ò ½ ¼ Ã Ø ËÛ Ò
x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 2011-12-13 kl 1419 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½
Ó ÙÚÐ º Ú ÓÖ ÓÖ ØÓÚº Ú Ö Ø Ò Ò Ø Ò Ö Ù Ù Ø ¾¼¼½º ¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½ Á Ö Ø
1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Å»Ì Æ Ð Ö ÓÒ ¾¼½¾¹¼ ¹¾ ½ Á Ñ» ܺ ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º Ì ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ È. Î Ò ÐÑØØ Ø Ö Ò Ö Ë ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò º Ò Ø ÓÒ Öº ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ Ø Ø Ö ÌÖ Ò Ð
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-08-29 Skrivtid: 08 00 11 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ø ÑØ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ü Ñ Ò Ö Ø Ö ØØÖ Ò Ú ÙÓÖÓ ÓÔ Ð Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ÙØ ÖØ Ð Ò Ð Ò Ú Ì Ò ÓÐ Ò Ä Ò Ô Ò Ú À Ò ÖÓÐÙÒ ÄÁÌÀ¹ÁË ¹ ¹¼» ¾ ¹Ë Ä Ò Ô Ò ¾¼¼ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ä Ò Ô
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ¾ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ö Ò Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ö Ú
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-12-16 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
Â Ú ËÖ ÔØ ÇŠغ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼
Â Ú ËÖ ÔØ Øº Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ò ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ ÔÖ Ò Ô Ù Ë ÚÓ Ö Ò Ú Ù Ö Ò Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö ÙÒ ØÝ ³ÙÒ Ñ ÒØ Ù Ë ÚÓ Ö ÓÖ Ö ÙÒ
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º ÇÒ ½ Û Ö Ú Ò Ö Ò ÓÑ Û Ð Û Ø º º º ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ö Ò ÓÑ
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 1 maj 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström En brevväxling: Olle Häggström och Anders Hallberg Uppsala Gästabud: Ulf Persson Uppsalas
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2011 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Intervjuer: Raghunathan, Björner, Laptev Popular Mathematics: Ulf Persson John Milnor -
º º ËÝÒ ÔØ ÔÐ Ø Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Æ ÙÖÓØÖ Ò Ñ ØØ Ö º º º º º º º º º º
Æ ÙÖÓ Ý ÓÐÓ ¹ Ò ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ Ú Ö ÓÒ ¼º½¾ Ò Ø Ä ÙÒ ÕÙ Ø ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ö Ö Ò Ö Ú Ú Ø Ø ÓÒ ÔØ Ò ÓÑ Ö ÓÑÑ Ö Ã Ò Ð Ë Û ÖØÞ ² Â Ð Ó ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ ½
Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp, 2008-03-25 OBS! Denna tentamen avser nya versionen av kursen Beräkningsvetenskap
B:=0; C:=0; B:=B+2; C:= 0; B>0 -> B:= B-2; B>0 -> B:= B-2;
ËÝÑ ÓÐ Ò ÐÝ Ó ÌÖ Ò Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÁÒÚ Ø Ô Ô Ö Ø Ø Ëž¼¼¼ ÏÓÖ ÓÔ Æ Ø Ö Ò Ë Ò Ö ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ËÊÁ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Å ÒÐÓ È Ö ¼¾ ÍË Ò Ö ÓÛÖ Ðº Ö ºÓÑ ÍÊÄ ØØÔ»»ÛÛÛº к Ö ºÓÑ» Ò Ö» È ÓÒ ½ ¼µ ¹ ¾ ¾ Ü ½ ¼µ ¹¾
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½ ÊÇÊ Ì ÖÑ Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö ØØ ÑÝ Ø Ö ØØ Ô ØÖÙÑ Ú ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÑ Ô ØØ ÐÐ Ö ÒÒ Ø ØØ
Ú Ö Ö ÐÒ Ö ØØ Ö Ú Ø Ú Ò Ò ¹ Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ö ¹ Ø Öº ËØÝÖ Ú ØØ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ò ÑÓØ Ð ÙÐÐ º Á Ó Ç ÓÐ ÔÖ Ð Ú ÝÒº ÍÒ Ø Ö ÖÒ ÐÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ò ÀÓÑ ÖÓ Ö Ø
ÒØ Ò Ò Ö ÄÎ ÂÓ Ò Î ÐÐ ÙÑ Ñ Ö ¾¼¼ ÒÑÖ Ò Ò Ö Å Ò Ó ÙÐÐ ÓÖ ÒØ Ò Ò Ö ÑØ Ò Ø Ò Ò Ö ½ ½º½ ÐÐÑÒØ ÀÓÑ ÖÓ ÁÐ Ò Ó Ç Ý Ò ØÚ Ð Ö Ú Ò ØÖÓ Ò Ý ÐÒ ÓÑ ØÓ Ú ÔÓ º ÁÒØ ÑÝ Ø Ú Ö Ø ÖÒ ÒÒ Ú Ö º ÁÐ Ò º ¹ ¼ Ç Ý Ò º ¼ Ö Ò Ö º
Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ
Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö
Imperativ programering
Imperativ programering Inlämningsuppgift 1 sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 12 juni 2007 1 Deluppgift A Nedan finns fem program skrivna i fem olika språk. Er uppgift är att skriva alla fem programmen i
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Dinner with the Devlin: Persson Logikern Pelle Lindström död: Dag Westerståhl More Sex.
k=1 r n 1 3n 3, 1 tol n
ÙÒØÓÒ ØÓÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ¾ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ËØÖ Ø ÐÒ Ú ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ÒÐÖ ÓÑ ÓÙÖÖ ÖÖ ÑÒ Ú ØÖØÖ Ñ Ö¹ ÙÑÑØÓÒº ÀÐ ÐÓÖØÓÒÒ ¹ ÙØÓÑ ÙÔÔØ ¾º½ Ö ÅÔÐ Ö ØØ ÖÖ ¹ ÝÖ Ô ÅØк À Ò ÅØÐÑÒÙÐ ÐØØÐÐÒк Î ÐÖ Ò
¾
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ Ò Ö ÀÓÐ Ø ¾ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ
u(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω)
Ã Ô Ø Ð ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØØ Ö Ã Ô Ø Ð Ø ÐÐ ÓÑÔ Ò Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ó Ö Ø Ñ Ô Ø ÒØ Òº Á Ô Ø Ð ¾ ÙØ Ö Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÙÖ Ñ Ò ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ö Ñ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Öº Î Ö Ó ÒØ Ø ØØ ÑÓ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÝÒ Ñ ÑÓ
Tmem. ::= {mem data := Tmem data ;mem free := Tmem free ;mem null := Tmem null ;mem code := Tmem code }
ÓÖÑ Ð Î Ö Ø ÓÒ Ó Å ÑÓÖÝ ÅÓ Ð ÓÖ ¹Ä ÁÑÔ Ö Ø Ú Ä Ò Ù Ë Ò Ö Ò Ð ÞÝ Ò Ú Ö Ä ÖÓÝ ÁÆÊÁ ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò ßË Ò Ö Ò º Ð ÞÝ Ú ÖºÄ ÖÓÝÐ ÒÖ º Ö ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ÓÖÑ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÕ ÔÖÓÓ Ø ÒØ Ó Ñ ÑÓÖÝ
arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008
![arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008](/thumbs/57/41044285.jpg "arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008")
Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁËÃ Ê ÈËÇ Á arxiv:0809.0708v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008 Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò º Ö Ð Ò Ò Ð Ö Ò ËÔ ÐÐ Ê Ð Ø Ú Ø Ø Ø ¹ ÓÖ Ò Ñ ØÓÖ ÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÑØ Ú Ö Ö ØØ ÑÓ Ö Ø ÓÖ Òº ÌÖÓØ Ñ Ö Ò ÙÒ Ö Ö Ô Ò Ò ÒÒ Ø Ò Ø ÓÑ
a = ax e b = by e c = cz e
ËÁÃÍÅ ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÈÊÇ Ä ÅË ÅÄÁÆ Ê ÃÇÆ ÆË Ê Å Ì ÊÁ ÆË ËÁà РÁ Ĺ ½ ½º ÃÖ Ø ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ½¹½º ÃÓÔÔ Ö Ö ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ó Ò Ø Ø Ò º»Ñ 3 º Ö Ò Ñ ÐÔ Ö Ú µ à ÒØÐÒ Ò Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Òº µ Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ
Tentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi
Ì ÒØ Ñ Ò ÌÅÅ ¾ Ì Æ½µ Å Ò Ö Ì ÒØ Ñ Ò ØÙÑ ¾¼½ ¹¼ ¹½ к ½ ¹½ º Ü Ñ Ò ØÓÖ Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº ÂÓÙÖ Ú Ò Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº Ì Ð ÓÒ ¼½ ¹¾ ½½¾¼º Ö Ø ÒØ Ñ Ò ÐÓ Ð Ò Ðº ½ Ó ½ º ¼º À ÐÔÑ Ð Ê ØÚ Ö ØÝ ÑØ ØØ ¹ Ð ÓÖµ Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ò
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Î ØÙ Ö Ö Ò Ñ ØÓ Ö ØÑÑ Ò Ú ÔÙÒ Ø Ú Ö Ò ØÑÑ
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓ
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓÔ Ë Û ÖÞÛ ÐÐ Ö ÌĐÙ Ò ½ Ì Ö ÑĐÙÒ Ð Ò ÉÙ Ð Ø ÓÒ ½ º½¾º½
2π e. P(k, l, q Y, T) P(k, l, q)p(y, T k, l, q) = P(k, l, q) i. P(y i t i, k, l, q) 2 i (yi kti l)2 (2π) P(z Y, T, s) = P(z k, l, q, s)p(k, l, q Y, T)
ÒÐÝ Ó ÔÖØÓÒ Ú ÐØ Ô ÙÐÔÖÓÐÖ Ó ÖÓÑ Ð Ô Ø ÒÖ ÀÓÐ Ø ÑÖ ¾¼½½ ËÁË ÌÒÐ ÊÔÓÖØ Ì¾¼½½½ ÁËËÆ ½½¼¼¹ ½ ËÑÑÒØØÒÒ Î Ö ÓÑ Ò Ð Ú Ø ÎÒÒÓÚ¹ÒÒ Ö ÔÖÓØØ ÍËÌ ÙÒ¹ Ö Ø ÙÖ Ý Ò ØØ Ø ÑÓÐÐÖÒ Ó ÚÚÐ ØØÓÒ Ò ÒÚÒ Ö ØØ ÒÐÝ Ö ÐØ Ô ÙÐÔÖÓÐÖ
G(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1)
ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ËÁÃÍÅ ÎÆÁÆ ËÄ ÇÊ ÌÇÊÁ Ì Ê ËÈÊÁ ÆÁÆ ¹ Á Á Ê ÃÌÁÇÆËÅ ÆËÌ Ê ÎÁ Ê ÆÌ Æ Á Ê ÃÌÁÇÆ ÆÄÁ Ì ¹Ë À ÊÊ ÊË Å ÌÇ ½ºÁÒÐ Ò Ò º ÃÓÖØ ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ÖÙÒ Ð Ò Ø ÓÖ ºµ Ç º ÒÒ ÒÐ Ò Ò Ö ÒØ Ú ØØ ÙØ ÖÐ Ø Ö
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ã Ò Ø Ö Ø Ú Ð Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ø Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø ¹ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò Ú ÐÒ Ò Ò Ö ØÓÖØ Ò À ÄÅ
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 januari 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström Mittag-Lefflers testamente: Arild Stubhaug Reminiscenser av Mittag-Lefflerinstitutet:
S(c 1 w 1 + c 2 w 2 ) = c 1 S(w 1 ) + c 2 S(w 2 ) S(c 1 w 1 + c 2 w 2 ) (c 1 S(w 1 ) + c 2 S(w 2 )).
ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ¾ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö ØÙÙÑ Ú Ò ÒйÙØ ÒÐÖÐØÓÒÖ Ð Ø ÓÑÖØ Ð ÖÚÒ ÓÑÖØ ÑØ Ò ÓÖØ ÒØÖÓÙØÓÒ ØÐÐ ÓÙÖÖØÖÒ ¹ ÓÖÑÖÒ Ñ ÅÔк À ÐÖÓÓÒ Ó ÚÒÒ ØØ ØÐÐÒк
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2008 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Brändén och Karlsson Wallenbergpristagare: Borcea och Benedicks Lund under luppen: Magnus
t
ÝÒÑ ËÝ ØÑ À̼ ÃÓÑÔÐØØÖÒ ÖÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÓÑÔÒØ ÊÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÔØÐ ÓÑÔÒØ º Á Ø ÒÔÙØ ØÓ ÖØÒ Ý ØÑ ÙÒØ ØÔ ØÒ Ø ÓÙØÔÙØ ÛÐÐ ÓÖÒ ØÓ ÙÖ º Ý Øµ ¼ ¼ Ø ÙÖ ËØÔ Ö ÔÓÒ ÓÖ º ÙÑ ØØ Ø ÒÔÙØ Ò Ø Ò ÑÔÙÐ º ÏØ ÛÐÐ Ø ÓÙØÔÙØ Ø ØÑ Ø º ÂÙ
¾¼ Ë Ò ÓÐ ÖØ Ö Ò ÓÒÒ Ö ËØÓ ¹ ÓÐÑ ½ ¼ º ½½ º Í ÍÍ Ë ÄÍÅ ÆÍ Å Ú Ò ØØ Ö Ú Ë Ö ØÖ Ñº ÀÒÚ ÖÒ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¼½ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ¾º ¾½ Ö À Ò ËÚ Ò Ú Ö º ÍÖ ÇÖ Ó
Ë ÙÖ Ö ÐÐ Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò Ö Ö ÐÐ ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Á Ë Ð Ò ½ ½ Ë Ð Ð Ø ÐÓ Ð³ Ô ÖÓ Ì ÐÐ ÓÔÔ Ø Ø Ö¹ Ò µº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ÒÖ ½ º Ø Ô Ô Ö ÒØÓº Ë ÑÑ ÔÙ Ð Ø ÓÒ ÓÑ ½ ¼º ¾ Ë Ô Ö ÑÓ Ô Ö Ñµº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ¹ ÒÖ ½ º ÃÓÖØ
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð ¹ Ò Ð Ò Ôº Ì˵ Ö ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø Ò Ö Æ ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó
Article available at or
Å Ø º ÅÓ Ðº Æ Øº È ÒÓѺ ÎÓк ÆÓº ¾ ¾¼¼ ÔÔº ¾ ¹ ÅÓ ÐÐ Ò ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ê ÙÐ ØÓÖÝ Æ ØÛÓÖ Ò ÖØ Ð Ø Ö º Ë Ò Þ¹ a,c º È Ö ÓÒ a ºź È b Ò º ÐÓÒ ½,a,c a ÄÁÊÁË ÆÊË ÍÅÊ ¾¼ ÁÆË ¹ÄÝÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÄÝÓÒ ¾½ Î ÐÐ ÙÖ ÒÒ Ö Ò
ÍØÚÖ Ö Ò Ú ËË ¹ Ò Ð Ö Ò ÓÑ Ö Ö Ò Ò Ø Ð ÓÔ Ö Ø Ö ÓÔ Ö Ø Ú Ú Ö Ñ Ø Å ØØ Ë Ð Ò Ö Ñ ¾¼¼ Å Ø Ö³ Ì Ò ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò ¾¼ Ö Ø ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Ø Ë¹ÍÑÍ Â ÖÖÝ Ö ÓÒ Ü Ñ Ò Ö È Ö Ä Ò ØÖ Ñ ÍÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò Ë
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 februari 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm What should a Mathematician Know?: Davis & Mumford Två klassiska läroböcker i analys:
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Intervjuer: Lithner och du Sautoy: Ulf Persson From Sweden with Love: An Yajun Boij och Nyström
level days
ÌÓÑÑÝ ÆÓÖÖ ÅØÑØ ØØ Ø ÐÑÖ ² Í ½ ÑÖ ¾¼¼ ÈÓ ÓÒÔÖÓ Ò Ó ÜØÖÑ Ð ØÖ ÒÒ ÖÐ ÒÒ Ú ØÓÖØ Ö ÐØ ÖÒ Ô ØÑØ ÓÚÒÐ ÒÐ Öº Î ÖÖ Ñ ØØ ÒÖ ÈÓ ÓÒÔÖÓ Ò ÓÑ ÓØ Ö Ò Ö ÑÓÐÐ Ö ÒÖ ØÒ ÓÚÒÐ ÒÐ Ö ÒØÖÖº ËÒ Ú Ñ Ò ÈÇ̹ÑØÓÒ ØØ ØÓÖÐÒ ÐÐÖ ØÝÖÒ
ÁÒÐÒÒ Ú ØÖØÖ Ú Ò Ø ÒÒ ÐÐ ÖÚØ ÓÑ ÒÖ Ú ØØ Ò ÚĐÖÔÔÔÖ ÒĐÑÐÒ Ò Øº ØÒ ÔÖ Ú ØÒ Ø ØÒ Ñ Ë Øµº ÄØ ÒÙ Ì ÚÖ ØØ ÚØ ÖÑØ ØÙÑ Ó ÒØ ØØ ØØ Ú Ø ÖÚØ ØÒ Ò ÒÐĐÓ Ú ØÒ Ì Ó ÙØ
½º ÓÑÒÒ ÔÖÒÔÒ ØØ ÚĐÖÔÔÔÖ ÓÑ ÒÖ ØÖÑÖ Ú ÒÖ ÚĐÖÔÔÔÖ ÐÐ ØØ ¹ ÒÒ ÐÐØ ÖÚغ ÊĐØØØÒ ÑÒ ÝÐØÒ ØØ ĐÓÔ ØØ ÚØ ÚĐÖÔÔÔÖ ØØ ÖÑØ ØÙÑ ØÐÐ ØØ ĐÓÖÚĐ ÙÔÔÓÖØ ÔÖ ÐÐ Ò ĐÓÔÓÔØÓÒº ¹ ØÖ Ó ÓÔØÓÒ ÓÒØÖØ ĐÖ ÑÝØ ÑÐ ĐÓÖØÐ Öº ØÖ Ö ÚÖØ
= =
ÌÓÑ Ö ÓÒ ¾¼½ ½ ½ ØÖ ÝØ Ó ÒØ ØØ ÔØÐ Ö Ù ÙÚÙ Ð Ô Ò Òº Â Ö ÓÒÒØÖÖØ Ñ Ô ÄÒÙܹ Ý ØÑØ ÚÒ ÓÑ Ø Ñ Ø ÐÐÖ ÚÒ Ö ÒÖ Ý ØѺ ½º½ ÒÖ ØÐ ØÓÖÖ ÖØÖ ÒÓÖÑÐØ Ñ ØÐ ÙØØÖÝØ Ò ØÚ Ó ÑÒ ØÐÖ ÖÖ ÓÑ ÒÖ Øк Ò Ø Ö Ò ÒÖ Ö ÁÒÖÝ Øµ Ú º ØØ
Problembanken. Grundskola åk 7 9, modul: Problemlösning. Hillevi Gavel, Mälardalens högskola
Problembanken Grundskola åk 7 9, modul: Problemlösning Hillevi Gavel, Mälardalens högskola ÅÓÙÐ ÈÖÓÐÑÐ ÒÒ Ð ½ ÀÐÐÚ ÚÐ ÅÐÖÐÒ ÓÐ ÒÒ ÔÖÓÐÑÒ ÒÒÐÐÖ ½ ÔÖÓÐÑ Ñ ÚÖÖÒ ÒÒÐÐ Ó ÚÖØ Öº ÌÒÒ Ö ØØ Ò ÚÐÖ ÔÖÓÐÑ ØÖ Ú ÓÑ
Ê Ò ÓÑ Ö ÙÐ Ö Ö Ô Ó Ö Å Ð ÃÖ Ú Ð Ú ÒÒÝ ËÙ ÓÚ Ý Î Ò Àº ÎÙ Þ Æ ÓÐ º ÏÓÖÑ Ð Ü ØÖ Ø Ê Ò ÓÑ ¹Ö ÙÐ Ö Ö Ô Ú Ò Û ÐÐ ØÙ Û Ò Ü Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú ÖØ Ó ØÓ Ò Ò Øݺ Ï Ó
ÊÓÑ ÖÙÐÖ ÖÔ Ó Ö ÅÐ ÃÖÚÐÚ Ý ËÙÓÚ Ý Î Àº ÎÙ Þ ÆÓÐ º ÏÓÖÑÐ Ü ØÖØ ÊÓÑ ¹ÖÙÐÖ ÖÔ Ú ÛÐÐ ØÙ Û Ü Ø ÙÑÖ Ó ÚÖØ Ó ØÓ Øݺ Ï ÓØ Ö ÙÐØ Ó ÑÝ Ó Ø ÔÖÓÔÖØ Ó ÖÓÑ ¹ÖÙÐÖ ÖÔ Û µ ÖÓÛ ÑÓÖ ÕÙÐÝ Ø Ô º Ì ÔÖÓÔÖØ ÐÙ ÓØÚØÝ ÑÐØÓØÝ ÔØ
arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008
![arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008](/thumbs/103/160116641.jpg "arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008")
Å ÖÓ ÓÔ Ù Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ë Ö È Ö Þ¹Å ÖØ Ò Ò ÄºÅº ÊÓ Ð Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ì Ö ¹ Á ÙÐØ Ò ÍÒ Ú Ö ÙØ ÒÓÑ Å Ö ¾ ¼ Å Ö ËÔ Ò Ì ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Û ÐÝ Ù Ò Ñ Ò Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ØÖ Ø Ø ÝÒ Ñ
PLANERING MATEMATIK - ÅK 7. Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter. Elevens namn: Datum för prov
PLANERING MATEMATIK - ÅK 7 HÄLLEBERGSSKOLAN Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 november 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm ICM 2010 - Hyderabad: Ulf Persson The Good, the Bad and the Ugly: Bill Casselman Platons
S(c 1 w 1 +c 2 w 2 ) (c 1 S(w 1 )+c 2 S(w 2 )).
ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ¾ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼½¾ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ Ó ÌÓÑ ÖÒ ØÑ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö ØÙÙÑ Ú Ò ÒйÙØ ÒÐÖÐØÓÒÖ Ð Ø ÓÑÖØ Ð ÖÚÒ ÓÑÖغ ÖØÖ ÐÖ Ò ÙÔÔØ ÑØ Ò ÓÖØ Ò¹ ØÖÓÙØÓÒ ØÐÐ ÓÙÖÖØÖÒ ÓÖÑÖÒ