ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½

Transkript

1 ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½

2 Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ ¹ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ½ Å Ø Ö Ð Ø Ö Ö Ø Ô Ò Ò Ø Ò Ð ØØ Ö ØÙÖ ÖØ Ò Ò Ó Ò ØÖ ¹ Ø ÓÑ Ò ÓÖØ ØØÒ Ò Ô ÑÓØ Ú Ö Ò Ñ Ø Ö Ð Ö ÙÖ ÖÒ Ê Ô Ø Ø ÓÒ ¹ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø ¾ Ôº Ì˵ Ó ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Á Ôº Ì˵º Ó Ñ Ö ¾¼½

3 ¾

4 Ä ØØ Ö ØÙÖ ÖØ Ò Ò ½ ̺ ź ÔÓ ØÓк ÐÙÐÙ ÚÓÐÙÑ Á ÓÒ ¹Ú Ö Ð ÐÙÐÙ Û Ø Ò ÒØÖÓ¹ ÙØ ÓÒ ØÓ Ð Ò Ö Ð Ö º ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ Æ Û ÓÖ ¾Ò Ø ÓÒ ½ º ¾ ʺ º Ñ º ÐÙÐÙ º ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º È Ö ÓÒ Ù Ø ÓÒ» ÓÒ Ï Ð Ý ÌÓÖÓÒØÓ Ø Ø ÓÒ ¾¼¼ º ú¹ º À ÐÓÑ Å Ø Ñ Ø Á Ó ÁÁ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Öº Ä ÓÖ ¹ ØÓÖ Ø Ö Ê Ð ÖØ Ò Ó Ñ ¾¼¼¾º º ÃÖ Ý Þ º Ú Ò Ò Ò Ö Ò Å Ø Ñ Ø º ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ ÁÒº Æ Û ÓÖ Ø Ø ÓÒ ½ º

5 ÄÁÌÌ Ê ÌÍÊ ÊÌ ÃÆÁÆ

6 ÁÒÒ ÐÐ ½ Î ØÓÖ Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö Ó Ñ ØÖ Ö ½º½ Î ØÓÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ë ÐÖÔÖÓ Ù Ø Ó ÔÖÓ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º½ Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø Ò ÓÑ Ø ÖÑ Ò ÒØ º º º º º º º º º º º ½ ½º Å ØÖ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ½º º½ Å ØÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ½º º¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö Ó Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ö º º º º º º º º º º º º ¾ ½º º Ä Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ È ÖØ ÐÐ Ö Ú Ö Ò ¾ ¾º½ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ú Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÖÒ ÚÖ Ó ÓÒØ ÒÙ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º È ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÆÓØ Ø ÓÒ Ö Ô ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º È ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖ Ú Ö ÓÖ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ Ã Ö ÐÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ò Ó ÖÓ Ò Ú Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º Ð Ö Ó ÖÓ Ò Ú Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ö ÒØ Ó Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º Ê ØÒ Ò Ö Ú Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Ê Ð Ø Ú ÖÒ Ö Ò Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½¼ Ö ÒØ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ô Ô ÖØ ÐÐ Ö Ú Ö Ò ½ º½ ÜØÖ ÑÚÖ Ò Ö ÖÚ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÃÐ Ö Ò Ú Ö Ø ÔÙÒ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º

7 ÁÆÆ À ÄÄ º ÜØÖ ÑÚÖ ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÜØÖ ÑÚÖ Ò Ô ÖÒ ÓÑÖ Ò º º º º º º º º º º º º º ÅÙÐØ Ô Ð ÒØ Ö Ö Ò º½ Ù Ð ÒØ Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ê Ñ ÒÒ¹ ÙÑÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾ Ù Ð ÒØ Ö Ð Ú Ö ÐÐÑÒØ ÓÑÖ º º º º º º º º º º º º½º Ù Ð ÒØ Ö Ð Ò Ò Ô Ö º º º º º º º º º º º º º º º½º Ö Ò Ò Ú Ù Ð ÒØ Ö Ð Ö Ñ Ò Ô Ø ÓÒ º º º º º ¼ º¾ ÁØ Ö Ø ÓÒ Ú Ù Ð ÒØ Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ç ÒØÐ Ò Ö Ð Ö µ Ù Ð ÒØ Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º ÌÖ ÔÔ Ð ÒØ Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ú Ò Ö Ó Ö Ö ½ º½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½ Ð Ö ÓÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ È ÖØ Ð ÙÑÑ Ó ÓÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÓÑ ØÖ Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÔ ÐÐ Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Ë Ø Ö ÓÑ Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÓ Ø Ú Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÐÙØ Ó Ø Ò ÓÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º ½¼ º º ÃÓÒÚ Ö Ò Ó ÐØ ÖÒ Ö Ò Ö Ö º º º º º º º º º º º ½¼ º º ÈÓØ Ò Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º Ì ÝÐÓÖ¹ Ó Å Ä ÙÖ Ò Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¼ º º½¼ Å Ä ÙÖ Ò¹ Ö Ö Ö Ð Ñ ÒØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º ½¾¾ º º½½ Ò Ö Å Ä ÙÖ Ò¹ Ó Ì ÝÐÓÖ¹ Ö Ö º º º º º º º º º º º ½¾ º Ì ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ô Ì ÝÐÓÖ¹ Ó Å Ä ÙÖ Ò¹ Ö Ö º º º º º º º º ½¾ º º½ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ú ÒØ Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º ½¾ º º¾ Ç ØÑ ÓÖÑ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º Ì ÝÐÓÖ¹ÔÓÐÝÒÓÑ Ó Ì ÝÐÓÖ ÓÖÑ Ð º º º º º º º º º º º ½ ¼ º º ÒÓÑ Ð Ø Ò Ó ÒÓÑ Ð Ö Ò º º º º º º º º º º º º ½

8 Ã Ô Ø Ð ½ Î ØÓÖ Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö Ó Ñ ØÖ Ö ½º½ Î ØÓÖ Ö Ò Ú ØÓÖ Ö Ò ØÓÖ Ø ÓÑ Ö Ñ Ò ØÙ ØÓÖÐ ÐÒ µ Ó Ö ØÒ Ò º Ü ÑÔ ÐÚ Ö Ö Ð Ò Ó Ò Ð Ò Ö Ú Ñ Ò Ú ØÓÖ Ð Ò Ö Ò Ú Ø Ø Ó Ö Ö Ò ØÑ Ö ØÒ Ò º ÇÑ Ð Ò Ö Ö ÖÒ Ò ÔÙÒ Ø A Ø ÐÐ Ò ÔÙÒ Ø B Ò Ö Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ Ò Ú ØÓÖ v = AB ÒÑÖ Ò Ò ½º½º½º Á ØÖÝ Ø Ø ÜØ Ø Ò Ú ØÓÖ Ö Ú ÒÐ Ò Ñ Ø Ø Ð ÒÐ Ø ÓÚ Ò Ó Ò Ö Ø Ú ÒÐ Ò Ñ Ô Ð ÓÚ Ò Ö Ú Ö ÐÒ ÑÒ Ø ÓÑ ÓÚ Ò ABº ÌÚ Ú ØÓÖ Ö ØÖ Ø ÓÑ ÒØ ÐÐ Ö Ö ØÒ Ò Ó ÐÓÔÔ Ñ ¹ Ò ØÙ µ ÑÑ Ò ÐÐ Ö Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ Ö Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ô Ö ÑÑ Ö Ø¹ Ò Ò Ó Ö Ð ÐÒ º Ö Ö Ò Ñ Ò Ó Ø Ø Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ö ÙØ ÝØØ Ò B Y AB = XY A X ÙÖ ½º½ Á ÒØ Ú ØÓÖ Öº

9 à ÈÁÌ Ä ½º Î ÃÌÇÊ Ê Ì ÊÅÁÆ ÆÌ Ê Ç À Å ÌÊÁË Ê ØØ ÐÒ Ó Ö ØÒ Ò ÐÐ µ Ò Ú ØÓÖ ØØ Ñ Ò ÐØ Ö Ø ÖØÔÙÒ Ø Ú Ö ÓÖ Ó Ú ØÓÖÒ ÖÙ Ö Ð Ò ÐÐ ÓÖØ ¹ ÐÐ Ö ÔÓ Ø ÓÒ Ú ØÓÖµº ع Ø Ø ÐÐØ Ö Ò ÙÐÐ ØÒ Ö ÚÒ Ò Ú Ú ØÓÖÒ Ò ÖØ Ñ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ Ö ÐÙØÔÙÒ Øº Ö Ú ØÓÖ ÖÒ AP Ó OX ÐÐ Ö y A = (a, b) q b OX AP p a P = (p, q) q b X = (p a, q b) O = (0, 0) p a x ÙÖ ½º¾ È Ö ÐÐ ÐÐ Ö ÙØÒ Ò Ú Ú ØÓÖ Ö ØØ ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñº ÄÒ AP = (p a) 2 + (q b) 2 = OX. ÄÙØÒ Ò AP = q b p a = ÄÙØÒ Ò OX, Ú Ð Ø ÒÒ Ö ØØ AP = OX = (p a, q b)º ÒÑÖ Ò Ò ½º½º¾º Ë ÓÑ ÓÚ Ò ÒØÝ Ø Ò Ö v ÐÐ Ö AB ÐÒ Ò ÐÐ Ö Ñ Ò ØÙ Ò Ú Ú ØÓÖÒ v ÐÐ Ö ABº Ò Ø ÓÒ ½º½º½º Î ØÓÖ Ø ÓÒ ËÙÑÑ Ò Ú ØÚ Ú ØÓÖ Ö Ñ Ø ÖØÔÙÒ Ø ÖÒ ÔÐ Ö ÓÖ Ó ÒÓÑ Ø ÓÒ Ú Ú ØÓÖ ÖÒ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒÐ Ø u = (a, b), v = (c, d), u + v = (a + c, b + d). Ò Ø ÓÒ ½º½º¾º ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ñ Ò ÐÖ ÇÑ v Ö Ò Ú ØÓÖ Ó t Ö ØØ Ö ÐÐØ Ø Ð ºÚº º Ò ÐÖµ Ö t v Ò Ú ØÓÖ Ú Ö Ñ Ò ØÙ Ö t v = t v Ó ÓÑ Ö ÑÑ Ö ØÒ Ò ÓÑ

10 ½º½º Î ÃÌÇÊ Ê y b + d b v u + v u u d v a c a + c x ÙÖ ½º Ø ÓÒ Ú Ú ØÓÖ Ö ØØ ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñº v ÓÑ t > 0 Ó ÑÓØ ØØ Ö ØÒ Ò ÓÑ t < 0º Ö Ú ØÓÖÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÐÐ Ö v = (a, b), tv = (ta, tb). ÇÑ t = 0 Ö Ú tv = O = (0, 0) ÒÓÐÐÚ ØÓÖÒ ÓÑ Ò Ö Ö ØÒ Ò º y v e y O e x x ÙÖ ½º ÍÔÔ ÐÒ Ò Ú Ò Ú ØÓÖ R 2 ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ñ ÐÔ Ú Ú ¹ ØÓÖ ÖÒ º Ò Ø ÓÒ ½º½º º Ú ØÓÖ Ö Ò Ø Ú ØÓÖ Öµ

11 ½¼ à ÈÁÌ Ä ½º Î ÃÌÇÊ Ê Ì ÊÅÁÆ ÆÌ Ê Ç À Å ÌÊÁË Ê Á xy¹ôð Ò Ø R 2 µ Ö Ú ØÚ Ø Ò Ö µ Ú ØÓÖ Ö ÒÑÐ Ò e x = (, 0), e y = (0, ). Á xyz¹öùññ Ø R 3 µ Ö Ú ØÖ Ø Ò Ö µ Ú ØÓÖ Ö ÒÑÐ Ò e x = (, 0, 0), e y = (0,, 0), e z = (0, 0, ). ÒÑÖ Ò Ò ½º½º º Ò Ö Ø Ò Ò Ö Ö Ú ØÓÖ Ö Ö ÓÑÑ Ö Ó Ü ÑÔ ÐÚ e,e 2,e 3,...,e n ÓÑ Ö Ô ÐÐØ ÐÑÔÐ Ø ÓÑ ÒØ Ð Ø Ñ Ò ÓÒ Ö Ö Ø ÖÖ Ò ØÖ n > 3º Á Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò ÒÚÒ Ó Ø i j Ó k ØÐÐ Ø Ö e x e y Ó e z º ÐÐ Ú ØÓÖ Ö Ò Ö Ú ÓÑ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ú ØÓÖ ÖÒ º Ò Ú ØÓÖ v = (x, y) R 2 Ò Ö Ú ÓÖÑ Ò v = xe x + ye y, Ó Ò ÐÐÑÒ Ú ØÓÖ v = (v x, v y, v z ) R 3 Ò Ö Ú ÓÖÑ Ò v = v x e x + v y e y + v z e y, Ö v x v y Ó v z ºÚº º Ú ØÓÖÒ x¹ y¹ Ó z¹ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÐÐ Ú ØÓÖÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Öº ËÓÑ Ö Ñ Ö Ú Ò Ø ÓÒ ÖÒ ÓÚ Ò ÙØØÖÝ ÙÑÑÓÖ Ó ÐÖ ÑÙй Ø ÔÐ Ö Ú Ú ØÓÖ Ö Ò ÐØ Ñ ÐÔ Ú Ú ØÓÖ ÖÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Öº ÇÑ t Ö Ò ÐÖ Ó Ö Ú u = u x e x + u y e y + u z e z, v = v x e x + v y e y + v z e z, u + v = (u x + v x )e x + (u y + v y )e y + (u z + v z )e z, tu = (tu x )e x + (tu y )e y + (tu z )e z.

12 ½º¾º ËÃ Ä ÊÈÊÇ ÍÃÌ Ç À ÈÊÇ ÃÌÁÇÆ ½½ Ü ÑÔ Ð ½º½º½º Î ÙØØÖÝ Ö Ú ØÓÖÒ 2 AC 3 CB Ñ Ú ØÓÖ ÖÒ R2 A = (2, ) B = (, 4) Ó C = (0, 2)º Ø Ö ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ò Ô Ö ÐÐ Ðй Ö ÙØ ÐÒ Ö ØÒ Ò Ó ÐÒ ÐÐ Ò Ú ÙÔÔ ØØ Ú ØÓÖ ÖÒ ÓÑ Ø ÖØ Ò ÖÒ ÓÖ Ó Ò ÖÙ Ö Ð Ò ÐÐ ÓÖØ Ú ØÓÖ Öµº Î Ò Ð AC = (0 2)e x + (2 ( ))e y = 2e x + 3e y, CB = ( 0)e x + (4 2)e y = e x + 2e y, 2 AC 3 CB = 2 ( 2ex + 3e y ) 3 ( e x + 2e y ) = e x + 0e y = e x. Ò Ò Ø Ú ØÓÖ Ö ÐÒ Ò º Ú ØÓÖ ÖÒ Ö Ü ÑÔ Ð Ô Ò Ø Ú ¹ ØÓÖ Öº Ö Ú Ö Ú ØÓÖ v Ò Ú Ð Ò Ò Ø Ú ØÓÖ e v Ñ ÑÑ Ö ØÒ Ò ÓÑ v ÒÓÑ ØØ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ ÐÖ Ò º Î Ö v e v = v v, e v = v v = v v =. ½º¾ Ë ÐÖÔÖÓ Ù Ø Ó ÔÖÓ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ½º¾º½º Ë ÐÖÔÖÓ Ù Ø ÇÑ u Ó v Ö Ú ØÓÖ Ö u = u x e x + u y e y + u z e z, v = v x e x + v y e y + v z e z, Ö ÐÖ ÔÖÓ Ù Ø Ò u v Ø Ö ÐÐ Ø Ð Ø ÐÖ Òµ u v = u x v x + u y v y + u z v z. ÖÒ Ò Ø ÓÒ Ò ÓÚ Ò Ò Ú ÖÙØ ÒÑ Ø Ú Ö Ö Ð Ò Ö ØÑ Ø Ò Ô Ö u v = v u u (v + w) = u v + u w (tu) v = u (tv) = t (u v), t R u u = u 2 Ð Ò Ö ÙÐØ Ø Ö Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ú ÐÖ ÔÖÓ Ù Ø Ò

13 ½¾ à ÈÁÌ Ä ½º Î ÃÌÇÊ Ê Ì ÊÅÁÆ ÆÌ Ê Ç À Å ÌÊÁË Ê Ë Ø ½º¾º½º Ë ÐÖÔÖÓ Ù Ø ÇÑ θ 0 θ π Ö Ú Ò ÐÒ Ñ ÐÐ Ò Ö ØÒ Ò ÖÒ Öµ Ú ØÓÖ ÖÒ u Ó v ÐÐ Ö u v = u v cos(θ). C D A u u v θ O v u v B v ÙÖ ½º Ó ÒÙ Ø Ò Ø ÐÐÑÔ Ô ØÚ Ú ØÓÖ Ö u Ó u R 2 Ñ Ñ ÐÐ Ò¹ Ð Ò Ú Ò ÐÒ θ 0 θ π º Ú º ØÖ Ø Ú ØÓÖ ÖÒ ÙÖ Ò ½º º Ø ÓÒ Ú Ú ØÓÖ ÖÒ u Ó v Ö Ú ØÓÖÒ OD = u vº Î ØÓÖÒ BA Ö ÒØ Ñ ÒÒ Ø Ö ÓÑÒ OD Ó BA Ö ÑÑ ÐÒ Ó Ö ØÒ Ò º Ì ÐÐÑÔÒ Ò Ú Ó ÒÙ Ø Ò Ô ØÖ Ò ÐÒ OBA Ü ÑÔ ÐÚ Ø ÐÐ ÖÒ ÐÐ Ö Ö Ô Ø Ø ÓÒ ¹» ÓÐ ÙÖ Òµ Ö ÒÙ u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos (θ) = (u v) (u v) = u (u v) v (u v) = u u u v v u + v v = u 2 2u v + v 2. ÂÑ Ö Ð Ú Ö Ð Ò Ò Ö Ø Ó Ò Ø Ð Ø Ò Ö u v = u v cos (θ). Ü ÑÔ Ð ½º¾º¾º Î ØÑÑ Ö Ú Ò ÐÒ Ñ ÐÐ Ò Ú ØÓÖ ÖÒ u = 2e x +e y 2e z Ó v = 3e x 2e y e z º Å ÐÐ ÒÐ Ò Ú Ò Ð θ 0 θ π Ò ØÑÑ

14 ½º¾º ËÃ Ä ÊÈÊÇ ÍÃÌ Ç À ÈÊÇ ÃÌÁÇÆ ½ Ñ ÒÚÒ Ò Ò Ú ÐÖÔÖÓ Ù Ø Ò ÒÐ Ø u v = u v cos(θ) cos (θ) = u v u v ( ) u v θ = arccos u v ( ) ( 2) + ( 2) ( ) = arccos ( 2) ( 2) 2 + ( ) 2 ( ) 6 = arccos 3 4 ( ) 2 = arccos, 0069 (rad). 4 Ò Ø ÓÒ ½º¾º¾º Ë ÐÖ ÔÖÓ Ø ÓÒ Ë ÐÖ ÔÖÓ Ø ÓÒ Ò s Ú Ú ØÓÖÒ u Ö ØÒ Ò Ú Ú ØÓÖÒ v 0 Ö s = u v v = u cos (θ), Ö θ 0 θ π Ö Ú Ò ÐÒ Ñ ÐÐ Ò u Ó vº u θ s u v v ÙÖ ½º ÈÖÓ Ø ÓÒ Ò Ú Ú ØÓÖÒ u Ô Ú ØÓÖÒ vº Ò Ø ÓÒ ½º¾º º Î ØÓÖÔÖÓ Ø ÓÒ Î ØÓÖÔÖÓ Ø ÓÒ Ò u v Ú Ú ØÓÖÒ u Ö ØÒ Ò Ú Ú ØÓÖÒ v 0 Ö Ö s Ö Ò ÐÖ ÔÖÓ Ø ÓÒ Òº u v = se v = s v v = u v v 2 v,

15 ½ à ÈÁÌ Ä ½º Î ÃÌÇÊ Ê Ì ÊÅÁÆ ÆÌ Ê Ç À Å ÌÊÁË Ê u e x + e y 3e x + e y v ÙÖ ½º ÍÔÔ ÐÒ Ò Ú Ú ØÓÖÒ 3e x + e y ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖÒ u Ó vº Ü ÑÔ Ð ½º¾º º Î ÙØØÖÝ Ö Ú ØÓÖÒ 3e x + e y ÓÑ Ò ÙÑÑ u + v Ö Ú ØÓÖÒ u Ö Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ñ Ú ØÓÖÒ e x + e y Ó Ú ØÓÖÒ v Ö Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ uº Î ÓÒ Ø Ø Ö Ö ØØ Ø Ö ÓÑ u ÐÐ Ú Ö Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ñ e x + e y Ò Ú Ú ØÓÖÔÖÓ Ø ÓÒ Ò Ú 3e x + e y Ô Ú ØÓÖÒ e x + e y º Ñ Ò 3e x + e y = u + v u = (3e x + e y ) (e x + e y ) e x + e y 2 (e x + e y ) = (e x + e y ) = 2e x + 2e y. v = 3e x + e y u = 3e x + e y 2e x 2e y = e x e y. ½º Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ø ÓÒ ½º º½º Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø ÖÝ ÔÖÓ Ù Øµ Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø Ò Ú Ò ÐÐ ÖÝ ÔÖÓ Ù Ø Òµ u v Ú ØÚ Ú ØÓÖ Ö u Ó v R 3 Ö Ò ÒØÝ Ú ØÓÖ ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ú ÐÐ ÓÖ Ò µ (u v) u = 0 Ó (u v) v = 0 ºÚº º (u v) u Ó vº µ u v = u v sinθ ½ Ö θ Ö Ú Ò ÐÒ Ñ ÐÐ Ò Ú ØÓÖ ÖÒ u Ó vº ½ u v sin θ Ö Ö Ò Ú Ô Ö ÐÐ ÐÐÓ Ö ÑÑ Ø ÓÑ ÙÔÔ ÔÒÒ Ú Ú ØÓÖ ÖÒ u Ó vº

16 ½º º Î ÃÌÇÊÈÊÇ ÍÃÌ Ç À Ì ÊÅÁÆ ÆÌ ½ u v v θ v sin(θ) u ÙÖ ½º À ÖØÖ Ò u v Ó u vº µ Î ØÓÖ ÖÒ u v Ó u v Ð Ö Ò ÖØÖ º Ë Ø ½º º½º Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÇÑ { u = ux e x + u y e y + u z e z Ö v = v x e x + v y e y + v z e z u v = (u y v z u z v y )e x + (u z v x u x v z )e y + (u x v y u y v x )e z. ÓÑ Ñ ÒÒ Ö Ð Ò Ñ Ò ÒÚÒ Ý Ð Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ò x ւ տ y z Ú º ÍØ Ò ÖÒ Ò Ø ÓÒ Ò Ô ÖÝ ÔÖÓ Ù Ø Ò Ò Ò Ô Ö Ú ÐÐ Ú Ò Ø Ò ÙØØÖÝ Ö u vº Ü ÑÔ Ð ½º º¾º Ö Ò Ò Ú Ú ØÓÖÔÖÓ Ù Ø Ö Ö Ú ØÓÖ Öº e x e x = 0, e x e y = e z, e y e x = e z, e y e y = 0, e y e z = e x, e z e y = e x, e z e z = 0, e z e x = e y, e x e z = e y.

17 ½ à ÈÁÌ Ä ½º Î ÃÌÇÊ Ê Ì ÊÅÁÆ ÆÌ Ê Ç À Å ÌÊÁË Ê ÒÑÖ Ò Ò ½º º½º Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø Ò Ö Ð Ò Ð Ö Ò Ô Ö ÇÑ u v Ó w Ö Ú ØÓÖ Ö Ó t R Ö Ò ÐÖ ÐÐ Ö µ u u = 0º µ u v = v uº µ (u + v) w = u w + v wº Úµ u (v + w) = u v + u wº Úµ (tu) v = u (tv) = t (u v)º Ú µ u (u v) = v (u v) = 0º Ú µ u (v w) (u v) w ÙØÓÑ Ô Ð ÐÐ Ò Ò Ú ØÓÖ ÖÒ Ö Ö Ö Ð Ò Ô Öº Î Ú ÓÖÑÐ ÖÒ ÓÚ Ò ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ú ØÓÖÔÖÓ Ù Ø Ò Ò Ö Ò Ð Ñ ÐÔ Ú Ø ÖÑ Ò ÒØ Òº Ò Ø ÓÒ ½º º¾º Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ú 2 2¹ Ó 3 3¹Ñ ØÖ Öº Ò 2 2 Ñ ØÖ Ö Ò Ð Ø ÐÐ ÒÒ ÐÐ Ò Ö ÐÐ Ø Ð ÒÐ Ø [ ] a b A =, a, b, c, d R. c d Á Ò Ñ Ñ ØÖ Ö Ö ØØ Ñ Ò Ò ÙØ Ö Ö Ò Ò Ö Ñ Ò ÓÑ Ð¹ Ø Ö ØÐÐ Ø Ö Ñ Ñ ØÖ Ò Ò Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ô Ö Ø Ø Ö ÓÑ ÑÒ Ö Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ô Ö Ó Ö ÙÐØ Ø ÓÑ ÐÐ Ö Ö Ò Ð Ø Ð Ò Ò Ö Ð Ö Ø ÐÐ ØØ ÐÐ Ú Ò Ö Ñ ØÖ Öº Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ú Ò 2 2¹ Ñ ØÖ Ö det (A) = a b c d = ad bc. Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ú Ò 3 3¹Ñ ØÖ a b c B = d e f, a, b, c, d, e, f, g, h, i R, g h i Ö det (B) = a b c d e f g h i = aei + bfg + cdh ceg bdi afh.

18 ½º º Î ÃÌÇÊÈÊÇ ÍÃÌ Ç À Ì ÊÅÁÆ ÆÌ ½ ÖÙÔÔ Ö Ò Ú Ø ÖÑ ÖÒ ÙØØÖÝ Ø ÓÚ Ò Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ú Ò 3 3¹ Ñ ØÖ Ö det (B) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). ÇÑ Ô Ö ÒØ ÖÒ ÒØ Ö ÓÑ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö Ú 2 2¹Ñ ØÖ Ö a b c d e f g h i = a e f h i b d f g i + c d e g h. ØØ ÐÐ Ò ÙØÚ Ð Ò ÙÒ Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö ÒÐ Ø Ö Ø Ö Ò Ö Ø Ö¹ Ñ Ò ÒØ Ò det (B) Ú 3 3¹Ñ ØÖ Ò Bº Ò ÙØÚ Ð Ò ÙÒ Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö Ò Ö ÒÐ Ø Ú Ð Ò Ö ÐÐ Ö ÓÐÙÑÒ ÓÑ Ð Øº ÇÑ ØØ Ð Ñ ÒØ ÓÑ Ñ Ò Ø Ö ÓÑ Ó ÒØ ÙØÚ Ð Ò Ò a b Ó c ÙØÚ Ð Ò Ò ÓÚ Òµ ÒÒ Ö Ö i Ó ÓÐÙÑÒ j Ñ ØÖ Ò B Ò Ø ÐÐ Ö Ò ÙÒ Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÓÑ ØØ Ñ Ò ØÖÝ Ö Ö i Ó ÓÐÙÑÒ j Ñ ØÖ Ò B ÓÑ ÙØÚ Ð º ¹ ÙØÓÑ ÐÐ Ò Ú Ø ÖÑ ÙØÚ Ð Ò Ò Ò Ø ÚØ ÖØ Ò ÓÑ i + j Ö Ò ØÙ ÐÐ Ó ÒØ Ò Ö Ù Ó ÔÓ Ø ÚØ ÖØ Ò ÓÑ i+j Ö Ò ØÙ ÐÐ Ó ÒØ Ò Ö ÑÒغ Ü ÑÔ Ð ½º º º ÍØÚ Ð Ò Ú Ñ ØÖ Ò B ÓÚ Ò ÒÐ Ø Ò Ö ÓÐÙÑÒ Ò a b c d e f g h i = b d f g i }{{} i =, j = 2 i + j = 3 + e a c g i }{{} i = 2, j = 2 i + j = 4 h a c d f }{{} i = 3, j = 2 i + j = 5 = b (di fg) + e (ai cg) h (af cd) = a (ei fh) b (di fg) + c (dh eg), Ú Ð Ø Ú Ö Ò ØÑÑ Ö Ñ Ò Ø ÓÒ Òº Ü ÑÔ Ð ½º º º Î Ö Ò Ö 3 3¹ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ñ ÙØÚ Ð Ò Ò Ö Ö ¹ Ò ÐÐ Ö ØÖ ÓÐÙÑÒ Ò Ñ Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ò ÒÓÐÐ Ú Ú Ö Ò Ø Ö Ò ØÚ 2 2¹ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö Ó ÒØ Ò Ö Ò Ú Ð Ö ÒÓÐеº Á ÐÐÑÒ Ø Ð Ò Ö Ø ÐÐØ ØØ Ø ÐÐÑÔ ÒÒ ØÖ Ø Ú ÙØÚ ¹ Ð Ò ÙÒ Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö ÚÐ ÐÐØ Ò Ö ÐÐ Ö ÓÐÙÑÒ ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö

19 ½ à ÈÁÌ Ä ½º Î ÃÌÇÊ Ê Ì ÊÅÁÆ ÆÌ Ê Ç À Å ÌÊÁË Ê Ø ÒÓÐÐÓÖ Á ØØ ÐÐ Ö ÙØÚ Ð Ò ÒÐ Ø Ò Ö Ö Ò Ö ÙÐØ Ø Ø = ( )2+ ( 3) ( ) = 3 (4( 3) ( 2)2) + (( 3) ( 2)2) = 24 + = 23. ÒÑÖ Ò Ò ½º º¾º Ò Ô Ö Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ Öº µ ÇÑ ØÚ Ö Ö ÐÐ Ö ÓÐÙÑÒ Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÝØ Ö ÔÐ Ø ÝØ Ö ¹ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ø Ò d e f a b c g h i = a b c d e f g h i. µ ÇÑ ØÚ Ö Ö ÐÐ Ö ÓÐÙÑÒ Ö Ö Ð Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ ÒÓÐÐ a b c a b c g h i = 0. µ ÇÑ Ò ÑÙÐØ Ô Ð Ú Ò Ö ÐÐ Ö ÓÐÙÑÒµ Ö Ø ÐÐ Ò ÒÒ Ò Ö ÐÐ Ö ÓÐÙÑÒµ Ö Ð Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ó ÖÒ Ö a b c d + ta e + tb f + tc g h i = a b c d e f g h i, t R. Úµ ÇÑ Ò Ö ÐÐ Ö ÓÐÙÑÒµ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ Ò ÓÒ Ø ÒØ t R Ð Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ò ÑÑ ÓÑ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ú Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð ¹ Ñ ØÖ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ ÓÒ Ø ÒØ Ò t Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ó ÖÒ Ö a tb c d te f g th i = t a b c d e f g h i, t R. Ò Ô Ö Ð Ö Ú Ò Ø ÓÒ Ò Ô Ø ÖÑ Ò Òغ

20 ½º º Î ÃÌÇÊÈÊÇ ÍÃÌ Ç À Ì ÊÅÁÆ ÆÌ ½ ½º º½ Ö Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø Ò ÓÑ Ø ÖÑ Ò ÒØ { u = ux e x + u y e y + u z e z v = v x e x + v y e y + v z e z Ú ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ô Ú ØÓÖÔÖÓ Ù Ø Î Ò ÒÙ ÒÓØ Ö Ð Ò Ñ Ò u y v z u z v y = u y v y u z v x u x v z = u z v z u x v y u y v x = u x u v = (u y v z u z v y )e x + (u z v x u x v z )e y + (u x v y u y v x )e z. v x u z v z u x v x u y v y, = u x v x. ØØ Ð Ö Ø ÐÐ ØØ Ú Ò ÙØØÖÝ Ú ØÓÖÔÖÓ Ù Ø Ò ÓÑ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ ÒÐ Ø u v = u y u z v y v z e x u x u z v x v z e y + u x u y v x v y e z e x e y e z = u x u y u z v x v y v z. Ò Ö Ø Ö Ò Ò ÙÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ð Ú ØÓÖ ÖÒ e x e y Ó e z ØÐÐ Ø Ö ÐÖ Öº Ü ÑÔ Ð ½º º º Î ØÑÑ Ö ÚÓÐÝÑ Ò Ú Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ô Ô Ò ÓÑ ÙÔÔ ÔÒÒ Ú ØÖ Ú ØÓÖ ÖÒ u v Ó wº ÎÓÐÝÑ Ò Ú Ö Ò Ú Ò Ó Ô ¹ Ö ÐÐ ÐÐ Ô Ô Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ Ò Ú Ò ÐÖØØ ÑÓØ ÒÒ º Ö Ò Ú Ò ÓÑ ÙÔÔ ÔÒÒ Ú Ú ØÓÖ ÖÒ v Ó w Ö v w º À Ò ÑÓØ Ò¹ Ò Ú ÐÖ ÔÖÓ Ø ÓÒ Ò Ú Ú ØÓÖÒ u ÐÒ Ñ Ú ØÓÖÒ v w ºÚº º u (v w) v w = u cosθ, u z v z,

21 ¾¼ à ÈÁÌ Ä ½º Î ÃÌÇÊ Ê Ì ÊÅÁÆ ÆÌ Ê Ç À Å ÌÊÁË Ê v w u θ w ÙÖ ½º È Ö ÐÐ ÐÐ Ô Ô Ò ÓÑ ÙÔÔ ÔÒÒ Ú ØÖ Ú ØÓÖ ÖÒ u v Ó wºº v Ö θ Ö Ú Ò ÐÒ Ñ ÐÐ Ò Ú ØÓÖ ÖÒ u Ó v wº ÚÓÐÝÑ Ò ÓÑ Ö Ò Ú Ò ÓÑ ÙØ Ö Ò Ö Ò ÒÐ Ø V = v w u cos θ = u (v w). Ò Ø ÓÒ ½º º º Ë ÐÖ ØÖ ÔÔ ÐÔÖÓ Ù Øº ËØÓÖ Ø Ò u (v w) ÐÐ ÐÖ ØÖ ÔÔ ÐÔÖÓ Ù Ø Ò Ú Ú ØÓÖ ÖÒ u v Ó wº Ò ÐÖ ØÖ ÔÔ ÐÔÖÓ Ù Ø Ò Ò ÙØØÖÝ Ñ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö u (v w) = u x v y = w y v z w z u x u y u z v x v y v z w x w y w z u y v x w x. v z w z + u z v x ÖÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ò Ô Ö Ò Ñ Ò ÖÐ Ñ Ò Ò u (v w) = v (w u) = w (u v), u (v w) = u (w v). w x v y w y

22 ½º º Å ÌÊÁË Ä Ê ¾½ ½º Å ØÖ Ð Ö ½º º½ Å ØÖ Ö Ò m n¹ñ ØÖ Ö Ò Ö Ø Ò ÙÐÖ Ø ÐÐ Ñ mn Ð Ñ ÒØ ÖÙÔÔ Ö m Ö Ö Ó n ÓÐÙÑÒ Öº ÇÑ a ij Ö Ð Ñ ÒØ Ø i Ø Ö Ò Ó j Ø ÓÐÙÑÒ Ò Ñ ØÖ Ò A Ö A = (a ij ), i m, j n, a a 2 a n a 2 a 22 a 2n = º º ººº º, a ij R. a m a m2 a mn ÇÑ ÒØ Ð Ø Ö Ö Ö Ø ÑÑ ÓÑ ÒØ Ð Ø ÓÐÙÑÒ Ö ºÚº º m = n й Ð Ñ ØÖ Ò Ú Ö Ø º Ò ØÖ Ò ÔÓÒ Ö Ñ ØÖ Ò A T Ø ÐÐ Ñ ØÖ Ò A Ò Ö a a 2 a m A T a 2 a 22 a m2 = º º ººº º, a ij R. a n a 2n a mn Å ØÖ Ò A T Ö Ö Ö ÐÐØ Ñ ØÖ Ò A ÓÐÙÑÒ Öº Ò n¹ú ØÓÖ x Ò ¹ ØÖ Ø ÓÑ Ò n ¹Ñ ØÖ x x 2 x = º, x i R, x n Ó ÐÐ ÓÐÓÒÒÚ ØÓÖº ØÖ Ò ÔÓÒ Ö Ú ØÓÖ x T = [ x x 2 x n ], xi R, Ö Ò n¹ñ ØÖ Ó ÐÐ Ò Ö Ú ØÓÖº Ò Ø ÓÒ ½º º½º Å ØÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ

23 ¾¾ à ÈÁÌ Ä ½º Î ÃÌÇÊ Ê Ì ÊÅÁÆ ÆÌ Ê Ç À Å ÌÊÁË Ê ÇÑ A = (a ij ) Ö Ò m n¹ñ ØÖ Ó B = (b ij ) Ö Ò n p¹ñ ØÖ Ö ÔÖÓ Ù Ø Ò AB Ò m p¹ñ ØÖ Ñ Ð Ñ ÒØ Ò c ij = AB = C = (c ij ), n a ik b kj, k= { i =,...,m, j =,..., p. Ð Ñ ÒØ Ø c ij Ö Ð ÐÖÔÖÓ Ù Ø Ò Ú Ö i Ñ ØÖ Ò A Ñ ÓÐÙÑÒ j Ñ ØÖ Ò Bº Î Ò Ô Ò Ú Ò Ø ÓÒ Ò ÓÚ Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò ØÙÑÖ Ð Ö Ñ ØÖ ¹ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÓÑ ÐÐÙ ØÖ Ö Ö Ø ÙÖ Ò ½º½¼º ÙÖ ½º½¼ ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ú ØÚ Ñ ØÖ Öº Ç ÖÚ Ø ÓÒ ½º º½º Å ØÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò AB Ò ÙØ Ö Ò Ø ÓÑ Ñ ¹ ØÖ Ò A Ö Ð ÑÒ ÓÐÙÑÒ Ö ÓÑ Ñ ØÖ Ò B Ö Ö Ö Ò Ô ½º º¾º Ö Ñ ØÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÐÐ Ö Ð Ò µ Ó Ø Ú Ø Ø µ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø Ø A (BC) = (AB)C = ABC. AB BA.

24 ½º º Å ÌÊÁË Ä Ê ¾ µ ÌÖ Ò ÔÓÒ Ö Ò (AB) T = B T A T. Ü ÑÔ Ð ½º º º Î Ú Ö ØØ Ñ ØÖ ÖÒ [ ] 2 A =, B = 3 0 [ ] ÒØ ÓÑÑÙØ Ö Ö ºÚº º ØØ AB BAº Î Ò Ð Ñ ØÖ ÔÖÓ Ù Ø ÖÒ [ ][ ] [ ] [ ] ( ) AB = = = ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] BA = = = , Ò Ø ÓÒ ½º º¾º Å ØÖ Ø ÓÒ ÇÑ A Ó B Ö ØÚ m n¹ñ ØÖ Ö Ö Ö ÙÑÑ A +B Ò m n¹ Ñ ØÖ A + B = C = (c ij ) Ö c ij = a ij + b ij, ËÙÑÑ Ö Ò Ò Ö ÐÐØ Ð Ñ ÒØÚ º ½º º¾ { i =,...,m, j =,..., n. Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö Ó Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ö Ò Ú Ö Ø n n¹ñ ØÖ A Ø Ò a a 2 a n a 2 a 22 a 2n det (A) =. º º ººº º a n a n2 a nn Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ò Ö Ò ÒÓÑ Ù Ú ÙØÚ Ð Ò ÙÒ Ö Ø ÖÑ Ò Ò¹ Ø Ö ÒÐ Ø Ò Ö ÐÐ Ö Ò ÓÐÙÑÒ Ò Ø ÐÐ Ñ Ò ÒÖ ÙÒ Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö Ú ØÓÖÐ Ò 2 2 ÐÐ Ö 3 3µ ÓÑ Ò ÐØ Ò ØÑÑ Ñ ÚÒ ÓÖÑÐ Öº ÖÒ Ò Ø ÓÒ Ò Ô Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ñ Ò Ó Ú Ö Ö Ð Ò Ò Ô ½º º º ÇÑ A Ó B Ö n n¹ñ ØÖ Ö ÐÐ Ö

25 ¾ µ µ µ à ÈÁÌ Ä ½º Î ÃÌÇÊ Ê Ì ÊÅÁÆ ÆÌ Ê Ç À Å ÌÊÁË Ê det (ka) = k n det (A), k R. det ( A T) = det (A). det (AB) = det (A)det (B). Ò Ñ ØÖ Ú Ö Ò ÙÐÖ ÓÑ det (A) = 0 ÒÒ Ö Ö Ò ¹ Ò ÙÐÖ ÐÐ Ö ÒÚ ÖØ Ö Öº Ò n n¹ñ ØÖ Ö Ò ÙÐÖ ÓÑ Ö ÖÒ ÐÐ Ö ÓÐÙÑÒ ÖÒ µ ØÖ Ø ÓÑ Ú ØÓÖ Ö Ö ¹ ÐÐ Ö ÓÐÙÑÒÚ ØÓÖ Öµ x,x 2,...,x n Ø Ö Ö Ò ÐÐ Ö Ö Ð Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ö c x + c 2 x c n x n = 0. Ö ØÑ Ò ØÓÒ Ò Ú Ó ÒØ ÖÒ c, c 2,...,c n Ö ÓÐ ÒÓÐк Î ØÓÖ ÖÒ ºÚº º Ö ÖÒ ÐÐ Ö ÓÐÙÑÒ ÖÒ ØØ ÐÐ Ú Ö Ð Ò ÖØ ÖÓ Ò Ø Ö ÓÑ Ò Ú Ñ ÐÐØ Ò ÙØØÖÝ Ñ ÐÔ Ú ÚÖ º Ü ÑÔ ÐÚ ÐÐ Ø c 0 Ö Ú x = c 2 x 2 + c 3 x c n x n. c c c Ò Ú Ö Ø Ñ ØÖ Ò I Ñ dim(i) = n n Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ Ñ ØÖ Ò Ö n Ö Ö Ó n ÓÐÙÑÒ Ö I = º º ººº º, 0 0 Ñ ØØÓÖ Ô ÓÒ Ð Ò Ó ÒÓÐÐÓÖ Ö ÐÐ Ò Ö Ð Ñ ÒØ ÐÐ ÒØ Ø Ø ¹ Ñ ØÖ Òº Á ÒØ Ø Ø Ñ ØÖ Ò ÓÑÑÙØ Ö Ö Ñ ÐÐ Ñ ØÖ Ö Ú ÑÑ ¹ Ñ Ò ÓÒ ØÓÖÐ µ ºÚº º ÐÐ n n¹ñ ØÖ Öº Î Ö Ö dim(a) = n n ØØ AI = IA = A. Á ÒØ Ø Ø Ñ ØÖ Ò Ô Ð Ö ÐÐØ ÑÑ ÖÓÐÐ Ñ ØÖ Ð Ö Ò ÓÑ Ø Ð Ø Ö Ö Ö ÐÐ Ø Ð Òº

26 ½º º Å ÌÊÁË Ä Ê ¾ ÁÒÚ Ö Ò Ø ÐÐ Ò ¹ Ò ÙÐÖ n n¹ñ ØÖ A Ö Ò ¹ Ò ÙÐÖ n n¹ Ñ ØÖ A ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö ÙØÓÑ Ö Ú Ö ÙÐØ Ø Ø A A = A A = I. Ë Ø ½º º º Î Ö ¹ Ò ÙÐÖ Ñ ØÖ A Ö Ò ÙÒ ÒÚ Ö A Ñ Ò¹ Ô ÖÒ µ µ det ( A ) = det (A), ( A )T = ( A T). Ú º Î ÙØÒÝØØ Ö Ø Ö Ò Ð Ò Ô Ö Ó Ñ ØÖ Öº µ Î ÓÒ Ø Ø Ö Ö ØØ det (I) = º ÖÒ Ò Ô ÖÒ Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò = det (I) = det ( AA ) = det (A)det ( A ), Ó Ú ÓÒ Ñ det (A) 0 Ö Ô Ø Ò Øº µ ÖÒ Ò Ø ÓÒ Ò Ô ÒÚ Ö Ñ ØÖ Ò ÒØ Ø Ø Ñ ØÖ Ò ÑØ Ò ¹ Ô ÖÒ Ó Ñ ØÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ö Ú I = (I) T = ( AA ) T = ( A )T A T. ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ú Ð Ø Ò ÓÚ Ò ÖÒ Ö Ñ Ò ¹ Ò ÙÐÖ Ñ ØÖ Ò ( A T) Ö Ô Ø Ò Øº Ü ÑÔ Ð ½º º º Î Ú Ö ØØ Ñ ØÖ Ò [ ] A =

27 ¾ à ÈÁÌ Ä ½º Î ÃÌÇÊ Ê Ì ÊÅÁÆ ÆÌ Ê Ç À Å ÌÊÁË Ê Ö ¹ Ò ÙÐÖ Ó ØÑÑ Ö ÒÚ Ö º Å ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö det (A) = = ( ) = 2 0. ºÚº º A Ö ¹ Ò ÙÐÖ Ó Ð Ó ÒÚ ÖØ Ö Öº ÄØ Ö ÒÙ Ò ÒÚ Ö Ñ ØÖ Ò A Ú Ö [ ] a b A =. c d Ø Ö ÓÑ AA = I Ö Ú Ñ ØÖ Ð Ø Ò [ ][ ] [ a b 0 AA = = c d 0 ÐÐ Ö [ a c b d a + c b + d ] = [ 0 0 ]. ] = I, ØØ Ö Ò Ð Ø Ñ ÐÐ Ò ØÚ Ñ ØÖ Ö Ó Ñ Ø Ð ÐÐ Ð Ñ ÒØÚ º Î Ò Ñ Ö Ð Ñ ÒØ Ò ÑÑ ÔÓ Ø ÓÒ Ö Ö Ô Ø Ú Ñ ØÖ Ö Ó ÓÑÑ Ö Ñ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø a c = b d = 0 a + c = 0 b + d = ÇÑ Ú Ö Ö Ò Ö Ø Ó Ò ØÖ Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ñ Ò Ö c Ó Ú Ö 2a = Ó ÓÑ Ú Ö Ö Ò Ò Ö Ó Ò ØÖ Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ñ Ò Ö d Ó Ú Ö 2b = º Ð Ñ Ò Ö Ú Ö Ð ÖÒ ÒÓÑ Ò ØØÒ Ò Ú a = 2 Ó b = Ò Ö Ø Ö Ô Ø Ú Ò Ö Ú Ø ÓÒ Òº Ê ÙÐØ Ø Ø Ú ØØ Ð Ö 2 c = Ó d = º Ò ÒÚ ÖØ Ö Ñ ØÖ Ò Ò Ö Ú Ò Ö ÒÐ Ø 2 2 ½º º A = 2 [ Ä Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ØØ Ý Ø Ñ Ú n Ð Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ñ n Ó ÒØ x x 2... x n Ö ÓÖÑ Ò a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 º º ºº º º º a n x + a n2 x a nn x n = b n.. ].

28 ½º º Å ÌÊÁË Ä Ê ¾ Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔ Ø ÓÖÑ Ö Ú ÓÑ Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø Ax = b Ö a a 2 a n x b a 2 a 22 a 2n A = º º ººº º, x = x 2 º, b = b 2 º. a n a n2 a nn x n b n ÇÑ Ñ ØÖ Ò A Ö ¹ Ò ÙÐÖ Ö Ý Ø Ñ Ø Ò ÒØÝ Ð Ò Ò Ò x = A b, Ú Ð Ø Ò Ò ÐØ Ú Ö Ö Ax = AA b = Ib = bº ÇÑ Ö ÑÓØ A Ö Ò ÙÐÖ Ò Ö Ý Ø Ñ Ø ÙÒ Ð Ò Ò º Ü ÑÔ Ð ½º º º Î Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø { x x 2 =, x + x 2 =. Á Ñ ØÖ ÓÖÑ Ö Ú Ý Ø Ñ Ø Ax = b Ñ [ ] [ ] [ x A =, x =, b = Ø Ö ÓÑ Ú ÖÒ Ø Ö Ü ÑÔ Ð Ú Ø ØØ A Ö ¹ Ò ÙÐÖ Ó Ð Ò¹ Ú ÖØ Ö Ö Ò Ú ÒÚÒ Ò Ø Ö ØÑ Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ø Ö Ú ÙÔÔ Ý Ø Ñ Ø Ð Ò Ò ÒÐ Ø x = A b ÐÐ Ö x = [ x x 2 ] = A b = [ 2 x 2 ][ ] [ = Ä Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ñ n Ú Ø ÓÒ Ö Ó n Ó ÒØ ÓÑ Ö Ò ÙÒ Ð Ò Ò Ò Ú Ò Ð Ñ ÒÚÒ Ò Ò Ú Ë Ø ½º º º Ö Ñ Ö³ Ö Ð ÄØ A Ú Ö Ò ¹ Ò ÙÐÖ n n¹ñ ØÖ º Ö Ð Ò Ò Ú ØÓÖÒ x Ø ÐÐ Ý Ø Ñ Ø Ax = b ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖÒ x i = det (A i) Ö det (A) a a 2 a (i ) b a (i+) a,n a 2 a 22 a 2(i ) b 2 a 2(i+) a 2,n det (A i ) =, º º ººº º º º ººº º a n a n2 a n(i ) b n a n(i+) a n,n ºÚº º ÓÐÙÑÒ ÒÙÑÑ Ö i Ö ØØ Ñ Ú ØÓÖÒ bº ]. 0 ].

29 ¾ à ÈÁÌ Ä ½º Î ÃÌÇÊ Ê Ì ÊÅÁÆ ÆÌ Ê Ç À Å ÌÊÁË Ê Ú º Î ÙØÒÝØØ Ö Ò Ò Ô Ö Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ Öº ÖÒ Ø Ö Ú Ø Ú ØØ ÓÑ Ò ÑÙÐØ Ô Ð Ú Ò Ö ÐÐ Ö ÓÐÙÑÒµ Ö Ø ÐÐ Ò ÒÒ Ò Ö ÐÐ Ö ÓÐÙÑÒµ Ö Ð Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ó ÖÒ Ö º ÙØÓÑ Ú Ø Ú ØØ ÓÑ Ò ÓÐÙÑÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ð Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ò ÑÑ ÓÑ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ú Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ñ ØÖ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ ÓÒ Ø ÒØ Òº Î Ò Ö Ò det (A i ) ÒÓÑ ÓÑ Ö ÚÒ Ò Ñ Ú Ø ÓÒ ÖÒ Ý Ø Ñ Ø Ax = b ÓÑ Ú ÐÐ Ð a a (i ) (a x + + a n x n ) a (i+) a,n a 2 a 2(i ) (a 2 x + + a 2n x n ) a 2(i+) a 2,n det (A i ) =. º ººº º º º ººº º a n a n(i ) (a n x + + a nn x n ) a n(i+) a n,n ÇÑ Ú ÒÙ Ù ØÖ Ö Ö ÖÒ ÓÐÙÑÒ i ÓÐÙÑÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ x ÓÐÙÑÒ 2 ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ x 2... ÓÐÙÑÒ i ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ x i ÓÐÙÑÒ i+ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ x i+... ÑØ ÓÐÙÑÒ n ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ x n ÓÑÑ Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÚÖ ÒØ ØØ Ò Ö Ó Ú Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÖÑ Ò a a (i ) a i x i a (i+) a,n a 2 a 2(i ) a 2i x i a 2(i+) a 2,n det (A i ) = º ºº º º º º ºº, i n. º º a n a n(i ) a ni x i a n(i+) a n,n Ø Ö ÓÑ ÓÐÙÑÒ i ÒÙ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ ØÓÖÒ x i Ö Ú ØØ Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØ Ò Ò Ö Ú ÓÑ a a (i ) a i a (i+) a,n a 2 a 2(i ) a 2i a 2(i+) a 2,n det (A i ) = x i º ººº º º º ººº º a n a n(i ) a ni a n(i+) a n,n = x i det (A), i n. Ú ÓÒ Ñ det (A) 0 Ö Ô Ø Ò Øº

30 Ã Ô Ø Ð ¾ È ÖØ ÐÐ Ö Ú Ö Ò ¾º½ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ú Ö Ð Ö Ò Ø ÓÒ ¾º½º½º Ð ÖÚ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ú n Ú Ö Ð Ö x x 2... x n Ö Ò Ö Ð ÓÑ Ø ÐÐ Ð Ö Ú Ö ÔÙÒ Ø (x, x 2,..., x n ) Ò ÐÑÒ D(f) Ú R n ØØ ÙÒ Ø Ö ÐÐØ Ø Ð f (x, x 2,...,x n )º D(f) ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ó ÑÒ Ò Ú Ö ÐÐ Ø Ð Ò f (x, x 2,...,x n ) Ö ÐÐÒ ÖÒ ÔÙÒ Ø Ö D(f) ÐÐ ÙÒ Ø Ó¹ Ò Ò ÚÖ ÑÒ R(f)º f : D(f) R n R(f) R. Å Ú ØÓÖ Ø Ò Ò Ò x = (x, x 2,...,x n ) x D(f) Ò ÙÒ Ø ÓÒ ¹ ÚÖ Ø Ö Ú f (x)º Ü ÑÔ Ð ¾º½º½º ÎÓÐÝÑ Ò V Ú Ò ÝÐ Ò Ö Ñ Ö Ò r Ó Ò h Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú ØÚ Ú Ö Ð Ö ºÚº º V = f(r, h), Ö f(r, h) = πr 2 h, (r > 0, h > 0). ¾º¾ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ f (x, x 2,...,x n ) Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ Ò Ö (x, x 2,..., x n, f (x, x 2,...,x n )). ¾

31 ¼ à ÈÁÌ Ä ¾º È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÊÁÆ Ü ÑÔ Ð ¾º¾º½º ÙÒ Ø ÓÒ ÝØÓÖ Ö Ò (x, y, z = f(x, y)) Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) Ö ÝØ Ò z = f(x, y) ÖÙÑÑ Ø R 3 º Ö Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y, z) Ö Ò ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÝÔ ÖÝØ R 4 Ó Ö Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f (x, x 2,...,x n ) Ö Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÝØ R n+ º ØØ ÐØ ÖÒ Ø ÚØ ØØ ØØ Ö Ø Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x, y) Ú ØÚ Ú Ö Ð Ö x Ó y Ö ØØ Ò Ò Ú ÙÖÚÓÖ xy¹ôð Ò Øº f(x, y) = C, C = ÓÒ Ø Òغ Æ Ú ÙÖÚÓÖÒ ÙØ Ö Ú ÖØ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ Ö Ú ÖÒ Ò ÙÖÚÓÖÒ Ñ ÐÐ Ò Ö ¹ Ò z = f(x, y) Ó ÓÖ ÓÒØ ÐÐ ÔÐ Ò Ò z = Cº Á ÔÖ Ø Ò ÚÐ Ö Ñ Ò ØØ ÐÑÔÐ Ø ÒØ Ð Ò Ú ÙÖÚÓÖ Ñ ÚÒ ÚÖ Ò Ô Cº Ü ÑÔ Ð ¾º¾º¾º Å Ò Ò Ò Ð Ú Ò Ú ÐÐÒ Ö Ø ÖÖÒ Ò Ô Ò ÖØ ÒÓÑ ØØ Ö Ø Ò ÙÖÚÓÖº Ë Ò Ö ÓÑÑ Ö Ô Øº ܺ ÓÖ ÒØ Ö Ò Ö¹ ØÓÖ Ó Ö Ú Ö Ò ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ø ÖÖÒ Ò Ô Ò ØÚ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ô ÔÔ Ö ÖØ Òº Ü ÑÔ Ð ¾º¾º º ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) = x 2 + y 2 Ö Ö Ò z = x 2 + y 2 Ó Ò Ú ÙÖÚÓÖÒ z = x 2 +y 2 = Cº Æ Ú ÙÖÚÓÖÒ Ö ÐÐØ Ö Ð Ö Ñ Ñ ØØÔÙÒ Ø ÓÖ Óº Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x, y, z) Ú ØÖ Ú Ö Ð Ö Ö Ò ÚÝØÓÖ ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÖÙÑÑ Ø R 3 ÓÑ Ò Ö Ú Ú Ø ÓÒ ÖÒ f(x, y, z) = C, C = ÓÒ Ø ÒØ. ¾º ÖÒ ÚÖ Ó ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ò Ø ÓÒ ¾º º½º ÖÒ ÚÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) Ú ØÚ Ú Ö Ð Ö Ö ÖÒ ÚÖ Ø L ÒÖ (x, y) ÒÖÑ Ö ÔÙÒ Ø Ò (a, b) ÖÒ Ò Ó ØÝ Ð Ö ØÒ Ò Ó Ú Ö Ú Ö lim f(x, y) = L, (x,y) (a,b) ÓÑ Ø Ö Ú Ö ǫ > 0 Ü Ø Ö Ö ØØ Ø Ð δ > 0 ÒØ ØØ f(x, y) L < ǫ ÓÑ 0 < (x a) 2 + (y b) 2 < δ, Ö (x a) 2 + (y b) 2 Ö Ú ØÒ Ø ÖÒ ÔÙÒ Ø Ò (x, y) Ø ÐÐ ÔÙÒ Ø Ò (a, b)º

32 ¾º º Ê ÆËÎ Ê Ç À ÃÇÆÌÁÆÍÁÌ Ì ½ z ¾ ¼ 2 x y ÙÖ ¾º½ Ö Ò Ñ Ø ÐÐ Ö Ò Ò Ú ÙÖÚÓÖ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) = x 2 +y 2 º Ò Ø ÓÒ Ò ÓÚ Ò Ò ÙØÚ Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ú Ö Ð Ö Ò ØÚ Ó Ú ÒÐ ÖÒ ÚÖ Ö Ð ÖÒ Ò Ò Ö Ð Ö Ø ÐÐ ØØ ÐÐ Ö ÐÐ ÖÚ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Öº ÒÑÖ Ò Ò ¾º º½º ÃÖ Ú Ø ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) ÐÐ ÒÖÑ ÑÑ ÖÒ ÚÖ L Ó ÖÓ Ò Ú ÙÖ (x, y) ÒÖÑ Ö ÔÙÒ Ø Ò (a, b) Ò Ú Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Øº Ü ÑÔ Ð ¾º º½º Î ÙÒ Ö Ö ÖÒ ÚÖ Ø lim (x,y) (0,0) 2x 2 y x 4 + y 2. Î ÓÒ Ø Ø Ö Ö ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) = 2x2 y x 4 +y 2 Ö Ò Ö Ú Ö ÐÐØ ÙØÓÑ Ù Ø ÔÙÒ Ø Ò (a, b) = (0, 0)º

33 ¾ à ÈÁÌ Ä ¾º È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÊÁÆ µ Î Ö ØØ f(x, y) = 0 Ô ÓÓÖ Ò Ø ÜÐ ÖÒ x = 0 ÐÐ Ö y = 0µ Ñ Ò ÐÐØ ÖÒ ÓÖ Ó Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ó Ò Ö º Á ÐÐ ÖÒ ÚÖ Ø Ú Ö¹ ÙÚÙ Ø Ø Ü Ø Ö Ö Ñ Ø Ø ÐÐ ØØ lim (x,y) (0,0) 2x 2 y x 4 + y 2 = 0, ØÝ Ú Ò Ù ÒÖÑ Ó ÓÖ Ó ÐÒ Ò ÓÒ Ú ÓÓÖ Ò Ø ÜÐ ÖÒ º µ Ö ÔÙÒ Ø Ö (x, y) Ô Ò ÖØ Ð Ò ÒÓÑ ÓÖ Ó Ñ Ö ØÒ Ò Ó Ò¹ Ø Ò k ºÚº º y = kx k 0 lim (x,kx) (0,0) 2kx 3 x 4 + k 2 x 2 = lim x 0 µ ÄÒ Ô Ö ÐÒ y = x 2 Ñ ÐÐ ÖØ ØØ Ú Ö Ð ØØ lim n (x, y) (0, 0), y = x 2. lim (x,x 2 ) (0,0) f(x, y) = 2kx x 2 + k 2 = 0. 2x 4 x 4 + x = lim 2x 4 4 x 0 2x =. 4 lim n (x, y) (0, 0), y = x 2. 2x 2 y x 4 + y 2 0 Ó ÖÒ ÚÖ Ø lim (x,y) (0,0) f(x, y) Ò ÐÐØ ÒØ Ü Ø Ö º Ò Ø ÓÒ ¾º º¾º ÃÓÒØ ÒÙ Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÔÙÒ Ø Ò (a, b) ÓÑ lim f(x, y) = f(a, b). (x,y) (a,b) ¾º È ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖ Ò Ø ÓÒ ¾º º½º È ÖØ ÐÐ Ö Ú Ø Ú Ö Ø ÓÖ Ò Ò Ò È ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖÒ Ú Ö Ø ÓÖ Ò Ò Ò Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò z = f(x, y) Ñ Ú Ò Ô Ò Ó ÖÓ Ò Ú Ö ÐÒ x Ö Ô Ø Ú y Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ f(x + h, y) f(x, y) f (x, y) = lim h 0 h f(x, y + h) f(x, y) f 2 (x, y) = lim h 0 h ÙÒ Ö ÖÙØ ØØÒ Ò ØØ ÖÒ ÚÖ Ø Ö Ü Ø Ö Öº,,

34 ¾º º ÆÇÌ ÌÁÇÆ Ê È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÌÇÊ Ç ÖÚ Ø ÓÒ ¾º º½º ÁÒ Ü Ò Ó 2 ÒÚÒ Ö Ö ØØ Ø Ò Ô ÖØ ¹ Ð Ö Ú Ø Ò Ñ Ú Ò Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ö Ô Ø Ú Ò Ö Ú Ö Ð ºÚº º x Ö Ôº yµº Ç ÖÚ Ø ÓÒ ¾º º¾º f (x, y) Ö Ò ÓÖ ÒÖ Ú ÒÐ µ Ö Ú Ø Ú f(x, y) ¹ ØÖ Ø ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ò Ø x Ñ y ÓÒ Ø Òغ Ò ÐÓ Ø Ö f 2 (x, y)º Ü ÑÔ Ð ¾º º º Î ØÑÑ Ö Ô ÖØ Ð Ö Ú ØÓÖÒ Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) = x 2 sin (y)º Ö Ú Ø Ò Ñ Ú Ò Ô x y ÐÐ ÓÒ Ø ÒØ Ð Ö f (x, y) = 2x sin (y), Ó Ö Ú Ø Ò Ñ Ú Ò Ô y x ÐÐ ÓÒ Ø ÒØ Ð Ö f 2 (x, y) = x 2 cos (y). Ç ÖÚ Ö ØØ Ò Ò Ö Ö Ú Ø Ò Ò Ö Ò Ò ÒÖ Ö Ú Ø y µ Ñ Ò y Ö Ö Ò Ó ÖÓ Ò Ú Ö Ð ÔÖ ÓÑ xº ÒÑÖ Ò Ò ¾º º½º È ÖØ ÐÐ Ö Ú Ø Ò f (a, b) Ò Ö ÖÒ Ö Ò Ø Ø Ò Ö f(x, y) Ñ Ú Ò Ô x ÔÙÒ Ø Ò x = a Ñ y Ü Ö ÔÙÒ Ø Ò y = bº Ò ÐÓ ØÓÐ Ò Ò Ú f 2 (a, b)º ¾º ÆÓØ Ø ÓÒ Ö Ô ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖ ÇÐ Ø Ò Ò Ö Ö ÓÑÑ Ö Ö Ô ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖÒ Ú z = f(x, y) f (x, y) = f x (x, y) = z f(x, y) = x x = D f(x, y), f 2 (x, y) = f y (x, y) = z f(x, y) = y y = D 2f(x, y), Ö ÑÓØ Ú Ö Ö Ö ÒØ Ð Ò d Ö ÓÖ ÒÖ Ú ÒÐ µ Ö Ú ØÓÖ Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ò Ú Ö Ðº È ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖÒ ÚÖ Ò Ò ÔÙÒ Ø (a, b) Ø Ò Ô Ð Ò Ò ØØ ) ( f (a, b) = f x (a, b) = f 2 (a, b) = f y (a, b) = f(x, y) x ( f(x, y) y ) (a,b) (a,b) = z x = D f(a, b), (a,b) = z y = D 2 f(a, b). (a,b)

35 à ÈÁÌ Ä ¾º È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÊÁÆ Ú ÒÐ Ö Ú Ö Ò Ö Ð ÖÒ Ö ÙÑÑ ÔÖÓ Ù Ø ÚÓØ ÑØ ¹ Ö ÐÒµ ÐÐ Ö Ö Ô ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖº Å Ò Ö Ú ØÚ ÐÐ Ö Ô Ñ Ú Ò Ô Ú Ð Ò Ú Ö Ð Ñ Ò Ö Ú Ö Ö Ú Ö ÓÒ Ú ÒØ Ó ØÖ Ø ÚÖ Ú Ö Ð Ö ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ º Ü ÑÔ Ð ¾º º½º Î Ö Ò Ö Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ò f (0, π) Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) = e xy cos (x + y). Å ÒÚÒ Ò Ò Ú ÔÖÓ Ù ØÖ ÐÒ Ö Ö Ú Ö Ò Ú Ö Ú Ö Ö Ñ Ú¹ Ò Ô x Ó ØÖ Ø Ö y ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ f (x, y) = ye xy cos (x + y) + e xy ( sin (x + y)) = e xy (y cos (x + y) sin (x + y)). ÁÒ ØØÒ Ò Ú x = 0 y = π Ö ÐÙØÖ ÙÐØ Ø Ø f (0, π) = e 0 π (π cos (0 + π) sin (0 + π)) = (π cos (π) sin (π)) = π ( ) = π. Ò Ø ÓÒ Ò ÓÚ Ò Ú Ô ÖØ ÐÐ Ö Ú Ø Ò Ò ÙØÚ Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú n Ú Ö Ð Ö f (x, x 2,...,x n ) Ú ÖÚ n Ô ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖ ÒÐ Ø f (x, x 2,..., x n ), f 2 (x, x 2,..., x n ), f n (x, x 2,..., x n ). Ü ÑÔ Ð ¾º º¾º Î ØÑÑ Ö Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ò Ñ Ú Ò Ô z Ö ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ò 2xy w(x, y, z) = + xz + yz. Ê ÐÒ Ö Ö Ú Ö Ò Ú Ò Ö ÔÖÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ö ÐÒ Ö Ö Ø Ö Ùй Ø Ø Ø x Ó y ØÖ Ø ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ µ w z = 2xy (x + y). ( + xz + yz) 2 º

36 ¾º º È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÌÇÊ Î À Ê ÇÊ ÆÁÆ Ü ÑÔ Ð ¾º º º Î ØÑÑ Ö ÐÐ Ô ÖØ Ð Ö Ú ØÓÖ Ú Ö Ø ÓÖ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò w(x, y, z) = ln ( + e xyz ) Ó Ú ÐÙ Ö Ö Ö Ú ØÓÖÒ ÔÙÒ Ø Ò (x, y, z) = (2, 0, )º Ö Ú Ö Ò Ñ ÒÚÒ Ò Ò Ú Ö ÐÒ Ö ÒÙ w (x, y, z) = yzexyz + e xyz, w (2, 0, ) = w 2 (x, y, z) = xzexyz + e xyz, w 2(2, 0, ) = 0 ( ) e0 = 0, + e 0 2 ( ) e0 =, + e 0 w 3 (x, y, z) = xyexyz + e xyz, w 3(2, 0, ) = 2 0 e0 + e 0 = 0. ¾º È ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖ Ú Ö ÓÖ Ò Ò ÇÑ Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú ØÚ Ú Ö Ð Ö z = f(x, y) Ò Ú Ñ ÙÔÔÖ ¹ Ô Ô ÖØ ÐÐ Ö Ú Ö Ò ØÑÑ Ð Ò ÝÖ Ô ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖ Ú Ò Ö ÓÖ Ò Ò Ò 2 z x = z 2 x x = f (x, y) = f xx (x, y), 2 z y = z 2 y y = f 22(x, y) = f yy (x, y), 2 z y x = z y x = f 2(x, y) = f xy (x, y), 2 z x y = z x y = f 2(x, y) = f yx (x, y). ØÚ Ö Ø Ö Ö Ò Ó ØÚ Ò Ö Ö Ð Ò Ô ÖØ Ð Ö Ú ØÓÖ Ú Ò Ö ÓÖ Ò Ò Òº Ç ÖÚ Ø ÓÒ ¾º º½º f 2 f xy µ Ò Ö ØØ f Ö Ø Ö Ú Ö Ô ÖØ ÐÐØ Ñ Ú¹ Ò Ô Ò Ö Ø Ú Ö Ð x Ó Ö Ø Ö Ñ Ú Ò Ô Ò Ò Ö Ú Ö Ð yº f 2 f yx µ Ú Ö ÑÓØ ØØ Ö Ú Ö Ò ÓÖ Ò Ò º Ü ÑÔ Ð ¾º º¾º Î ØÑÑ Ö ÝÖ Ô ÖØ Ð Ö Ú ØÓÖÒ Ú Ò Ö ÓÖ Ò Ò ¹

37 à ÈÁÌ Ä ¾º È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÊÁÆ Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) = x 3 y 4 º f (x, y) = x x3 y 4 = 3x 2 y 4 f (x, y) = x 3x2 y 4 = 6xy 4 f 2 (x, y) = y 3x2 y 4 = 2x 2 y 3 f 2 (x, y) = y x3 y 4 = 4x 3 y 3 f 22 (x, y) = y 4x3 y 3 = 2x 3 y 2 f 2 (x, y) = x 4x3 y 3 = 2x 2 y 3. Î ÒÓØ Ö Ö ÒÙ ØØ f 2 (x, y) = f 2 (x, y) ºÚº º Ð Ò Ô ÖØ Ð Ö Ú ØÓÖÒ Ú Ò Ö ÓÖ Ò Ò Ò Ö Ð º ØØ Ö ÐÚ Ú Ö Ø Ò Ò Ô ÓÑ ÐÐ Ö Ñ Ö ÐÐÑÒغ Ë Ø ¾º º º Ð Ò Ô ÖØ Ð Ö Ú ØÓÖ Ö Ð ÒØ ØØ ØÚ Ð Ò Ô ÖØ Ð Ö Ú ØÓÖ Ú n Ø ÓÖ Ò Ò Ò Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÒÒ ÐÐ Ö ÑÑ Ö Ú Ö Ò Ö Ñ Ò ÓÐ ÓÖ Ò Ò º ÇÑ Ô ÖØ Ð Ö Ú ¹ ØÓÖÒ Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò ÔÙÒ Ø P Ó ÓÑ ÐÐ Ô ÖØ Ð Ö Ú ØÓÖ Ú Ð Ö ÓÖ Ò Ò < nµ Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò ÓÑ ÚÒ Ò Ú P Ö ØÚ Ð Ò Ô ÖØ Ð Ö Ú ØÓÖÒ Ú ÓÖ Ò Ò Ò n Ð ÔÙÒ Ø Ò P º Ú º ËÔ Ð Ðе Î ÐØ Ö P = (a, b) Ó Ú Ö Ô Ð ÐÐ Ø f 2 (a, b) = f 2 (a, b) Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y)º ÒØ ØØ f 2 Ó f 2 Ö Ò Ö Ó f f 2 ÑØ f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ô Ò Ö Ð Ú Ñ Ñ ÐÔÙÒ Ø P º ÒØ Ú Ö ØØ f 2 Ó f 2 Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ P º Î ÚÐ Ö ÒÙ Ò ÔÙÒ Ø (a + h, b + k) Ñ Ø ÐÐÖ Ð Ø Ñ h Ó k ØØ ÔÙÒ Ø Ò Ð Ö ÒÒ Ö Ð Ú Òº ÓÑÑ Ö Ó ÑÓØ Ú Ö Ò Ö Ø Ò Ð ÓÑ Ð Ú ÔÙÒ Ø ÖÒ P (a + h, b) (a, b + k) Ó (a + h, b + k) ØØ Ð ÒÒ Ö Ð Ú Òº ÄØ ÒÙ Q = f(a + h, b + k) f(a + h, b) f(a, b + k) + f(a, b). ÓÑÑ Ö ÐÔ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ u(x) = f(x, b + k) f(x, b), v(y) = f(a + h, y) f(a, y)

38 ¾º º È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÌÇÊ Î À Ê ÇÊ ÆÁÆ ØØ Ö Ø Ö Ö Ú u(a + h) u(a) = Q = v(b + k) v(b)º ÒÐ Ø Ö Ò¹ Ø Ð Ð ÝÐ Ò Ñ ÐÚÖ Ø Ö ÒÚ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Öµ Ü Ø Ö Ö ØØ Ø Ð θ 0 < θ < ÒØ ØØ a + θ h Ð Ö Ñ ÐÐ Ò a Ó a + h Ó Q = u(a+h) u(a) = hu (a + θ h) = h [f (a + θ h, b + k) f (a + θ h, b)]. ÇÑ Ú ÒÙ Ø ÐÐÑÔ Ö Ñ ÐÚÖ Ø Ò Ò Ò Ø ÐÐ ÒÒ Ò ØØ Ú ØÖ Ø Ö f ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ò Ò Ö Ú Ö Ð Ü Ø Ö Ö ØØ ÒÒ Ø Ø Ð θ 2 0 < θ 2 < ÒØ ØØ b + θ 2 k Ð Ö Ñ ÐÐ Ò b Ó b + k Ó f (a + θ h, b + k) f (a + θ h, b) = kf 2 (a + θ h, b + θ 2 k). ÒÓÑ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ú ÓÚ Ò Ø Ò Ñ Ò Q = hkf 2 (a + θ h, b + θ 2 k)º ÌÚ Ð Ò Ò Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ú Ñ ÐÚÖ Ø Ò Ô Ð Ø Ò Q = v(b+k) v(b) Ð Ö Ø ÐÐ Q = hkf 2 (a + θ 3 h, b + θ 4 k) Ö θ 3 Ó θ 4 Ö ØÚ Ø Ð Ñ ÐÐ Ò ÒÓÐÐ Ó Øغ Ä ØÐÐ Ö Ñ Ò ØÚ ÙØØÖÝ Ö Q Ó Ö ÓÖØ Ö ÓÖØ Ò Ñ Ò ÑÑ ØÓÖÒ hk f 2 (a + θ h, b + θ 2 k) = f 2 (a + θ 3 h, b + θ 4 k). Ø Ö ÓÑ f 2 Ó f 2 ÒÐ Ø ÒØ Ò Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ P Ò Ú ÐØ h Ó k ÒÖÑ ÒÓÐÐ Ú Ð Ø Ð Ö Ø ÐÐ Ô Ø Ò Ø f 2 (a, b) = f 2 (a, b)º ¾º º½ Ã Ö ÐÒ Î ØÙ Ö Ö Ö ÐÒ Ö ÑÑ Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ú Ö Ð Öº Ø ÒÒ ØÚ Ú Ö ÓÒ Ö Ú Ö ÐÒ Ò Ö Ò Ó ÖÓ Ò Ú Ö Ð Ó Ò Ö Ö Ó ÖÓ Ò Ú Ö Ð Öº ¾º º¾ Ò Ó ÖÓ Ò Ú Ö Ð ÄØ z Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú x Ó y ºÚº º z = f(x, y), Ö x Ó y Ö Ö Ú Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú t ÒÐ Ø x = u(t), y = v(t).

39 à ÈÁÌ Ä ¾º È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÊÁÆ Ú Ø ÓÒ Ö Ö x Ó y ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ú Ø ÓÒ Öº Ã Ö ÐÒ Ø Ö ÓÖÑ Ò dz dt = z dx x dt + z dy y dt. Ò Ó ÖÓ Ò Ú Ö ÐÒ Ô Ö Ñ Ø ÖÒµ t ÔÚ Ö Ö ÐÐØ z Ú x Ó y Ó Ò ØÓØ Ð ÔÚ Ö Ò Ú ÓÖÑ ÐÒ ÓÚ Òº ÒÑÖ Ò Ò ¾º º½º ÓÖÑ ÐÒ ÓÚ Ò Ö Ò Ó ÖÓ Ò Ú Ö Ð Ö Ò ÑÐ ÒØ Ö ÐÒ Ö ØÑÒ Ò Ú Ö Ú Ø Ò Ú Ò ÑÑ Ò ØØ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ò d f (u(t), v(t)). dt Ü ÑÔ Ð ¾º º º Î ØÑÑ Ö ØÓØ Ð Ö Ú Ø Ò dz dt z = f(x, y, t), x = g(t) Ó y = h(t). ÆÓØ Ö ØØ Ò Ó ÖÓ Ò Ú Ö ÐÒ t ÔÚ Ö Ö z ØÖ ÓÐ Ú Ö Ö Ø Ñ ¹ Ò z = f(x, y, t) Ò Ö Ö ØØ f ÖÓÖ Ú t Ó Ò Ö Ø Ú x Ó Ú yº Ò Ö Ð Ö Ò Ú Ö ÐÒ Ö Ò Ó ÖÓ Ò Ú Ö Ð Ð Ö ÒÙ Ø ÐÐ Ö ÙÐØ Ø Ø ¾º º dz dt = z dx x = f x dt + z dy y dt + z t dg dt + f dh y dt + f t = f x g (t) + f y h (t) + f t. Ð Ö Ó ÖÓ Ò Ú Ö Ð Ö ÇÑ z Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú x Ó y ºÚº º z = f(x, y), Ö x Ó y Ö Ö Ú Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ØÚ Ú Ö Ð Ö s Ó t ÒÐ Ø x = u(s, t), y = v(s, t).

40 ¾º º È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÌÇÊ Î À Ê ÇÊ ÆÁÆ Ã Ö ÐÒ Ö ØØ ÐÐ Ö Ú Ø Ò z s = z x x s + z y y s, z t = z x x t + z y y t. x Ó y Ò Ö ØÖ Ø ÓÑ ÔÖ ÑÖ Ú Ö Ð Ö Ö z Ñ Ò s Ó t Ö ÙÒ Ö Ú Ö Ð Öº Ç ÖÚ Ø ÓÒ ¾º º º Ì ÐÐ ÐÐÒ ÖÒ Ö ÐÒ Ö Ò Ó ÖÓ Ò Ú Ö Ð ÒÚÒ Ñ Ò ÒØ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ó ÖÓ Ò Ú Ö Ð Ö Ô ÖØ Ð Ö ¹ Ú ØÓÖ Ú z x Ó y Ø Ö ÓÑ ÔÚ Ö Ú Ñ Ö Ò Ò Ú Ö Ð ÒÑÐ Ò Ú s Ó tº z u v r x y r x y r x y ½µ µ µ x y x y ¾µ µ ÙÖ ¾º¾ ÈÚ Ö Ò Ú Ó ÖÓ Ò Ú Ö ÐÒ x Ô Ò ÖÚ Ö Ð ÙÒ Ø Ó¹ Ò Ò z = f(u, v, r) Ö u v Ó r ÖÓÖ Ú xº Ü ÑÔ Ð ¾º º º ÒÚÒ Ò Ò Ú ÖÓ Ò Ñ Ø Î ÙÒ Ö Ö Ö Ú Ø Ò z x z = f(u, v, r), u = g(x, y, r), v = h(x, y, r) Ó r = k(x, y). Î Ò Ö ÖÓ Ò Ñ Ø ÙÖ Ò ¾º¾º Ñ Ò Ø ÒÒ Ñ Ú Ö ÖÒ Ó ÖÓ Ò Ú Ö ÐÒ x Ø ÐÐ ÖÓ Ò Ú Ö ÐÒ z z x = z u u x + z u r u r x + z v v x + z v r v r x + z r r x.

41 ¼ ¾º à ÈÁÌ Ä ¾º È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÊÁÆ Ö ÒØ Ó Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò Ø ÓÒ ¾º º½º Ö ÒØ Á Ú Ö ÔÙÒ Ø (x, y) Ö Ô ÖØ Ð Ö Ú ØÓÖÒ f Ó f 2 Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) Ü Ø Ö Ö Ò Ö Ö ÒØ Ò Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) ÓÑ Ú ØÓÖÒ f(x, y) = grad(f(x, y)) = f (x, y)e x + f 2 (x, y)e y. ËÝÑ ÓÐ Ò ÐÐ Ò Ð ¹ÓÔ Ö ØÓÖÒµ Ó Ö Ò Ú ØÓÖ ÐÐ Ö ÒØ ÐÓÔ Ö ØÓÖ ÓÑ Ö Ú Ö Ö ÓÔ Ö Ö Öµ Ô Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x, y) Ó Ò Ö Ú Ò º º ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÑ Ò ÓÑ = e x x + e y y. y 2e x + 4e y k 2 = 2 k = 2 ½ ¾µ y = 2 x x x 2 + y 2 = 5 ÙÖ ¾º Ö ÒØ Ò f(, 2) Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) = x 2 + y 2 Ò Ú ÙÖÚ Ò x 2 + y 2 = 5 Ó Ø Ò ÒØ ÔÙÒ Ø Ò (, 2)º Ü ÑÔ Ð ¾º º½º Î ØÑÑ Ö Ö ÒØ Ò Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) = x 2 + y 2 ÔÙÒ Ø Ò (, 2) Ó ÙÒ Ö Ö Ö ÐÐ Ò Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ú ÙÖÚÓÖ Ó ÑÓØ Ú Ö Ò Ø Ò ÒØ Öº Î Ö Ö Ñ ØØ ØÑ Ô ÖØ Ð Ö Ú ØÓÖÒ f (x, y) = 2x, f 2 (x, y) = 2y,

42 ¾º º Ê Á ÆÌ Ç À ÊÁÃÌÆÁÆ Ë ÊÁÎ Ì ½ Ó Ö ÒØ Ò ÔÙÒ Ø Ò (, 2) f(x, y) = grad(f(x, y)) = f (x, y)e x + f 2 (x, y)e y = 2xe x + 2ye y, f(, 2) = 2 e x + 2 2e y = 2e x + 4e y. Î ØÖ Ø Ö ÒÙ Ò Ò Ú ÙÖÚ Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) = x 2 + y 2 ÓÑ Ö ÒÓÑ ÔÙÒ Ø Ò (, 2) ºÚº º Ö ÐÒ f(, 2) = 5 x 2 + y 2 = 5. Ì Ò ÒØÐ Ò Ò ÒÓÑ ÔÙÒ Ø Ò (, 2) Ø ÐÐ ÒÒ Ö Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ò y 2 = y ()(x ) Ó Ö ØÒ Ò Ó ÒØ ÒÓÑ ÑÔÐ Ø Ö Ú Ö Ò ÒÐ Ø d ( x 2 + y 2) = 2x + 2yy = d dx dx 5 = 0, y = x y y (x,y)=(,2) = 2. Ì Ò ÒØÐ Ò Ò Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÚÒ Ò Ú ÙÖÚ Ò Ö Ð y = y (x,y)=(,2) (x ) + 2, = 2 (x ) + 2 = x Î ÒÓØ Ö Ö ÒÙ ØØ ÒÒ Ð Ò Ö ÐÙØÒ Ò Ó ÒØ Ò k = Ó Ö ÐÐØ 2 Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ö ÒØ Ò f(x, y) = 2e x + 4e y ÓÑ ÑÓØ Ú Ö Ö Ò Ð Ò Ñ Ö ØÒ Ò Ó ÒØ Ò k 2 = 2º Ë ÙÖ Ò ¾º º Î ÐÐ ÓÖ Ø k k 2 = Ö ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø Ø ÙÔÔ ÝÐÐ º Ø Ú Ö ØØ ÒÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø Ø Ñ ÐÐ Ò Ö ÒØ Ó Ò Ú ÙÖÚ ÐÐ Ö ÐÐÑÒغ Ë Ø ¾º º¾º ÇÖØÓ ÓÒ Ð Ø Ø Ñ ÐÐ Ò Ö ÒØ Ó Ò Ú ÙÖÚ ÇÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) Ö Ö Ú Ö Ö ÔÙÒ Ø Ò (a, b) Ó Ö ÒØ Ò ÙÔÔ¹ ÝÐÐ Ö Ú ÐÐ ÓÖ Ø f(a, b) 0 ÙØ Ö Ö ÒØ Ò f(a, b) ÒÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ Ø ÐÐ Ø Ò ÒØ Ò Ø Ðе Ò Ú ÙÖÚ Ò f(x, y) = f(a, b)º Ú º Ú Ø Ö ÔÖ Ò Ô Ò Ò Ö Ð Ö Ò Ú Ö ÓÒ Ñ Ò Ø Ü ÑÔÐ Ø ÓÚ Òº Î Ö Ö Ñ ÐÐ Ø f 2 (a, b) 0 ÙÒ Ö ÒØ Ò Ø ØØ f(a, b) 0º Ö ¹ ÒØ Ò Ö f(x, y) = grad(f(x, y)) = f (x, y)e x + f 2 (x, y)e y f(a, b) = f (a, b)e x + f 2 (a, b)e y.

43 ¾ à ÈÁÌ Ä ¾º È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÊÁÆ Ö ØØ ØÑÑ Ø Ò ÒØÐ Ò Ò Ø ÐÐ Ò Ú ÙÖÚ Ò f(x, y) = f(a, b) Ú Ö Ú y (x,y)=(a,b) ÓÑ Ñ ÑÔÐ Ø Ö Ú Ö Ò Ú Ð Ø Ò f(x, y) = f(a, b) ÒÐ Ø d dx f(x, y) = f (x, y) + y f 2 (x, y) = d f(a, b) = 0 dx y (x, y) = f (x, y) f 2 (x, y) y (x,y)=(a,b) = f (a, b) f 2 (a, b). Î Ö ÒÙ ØØ ÚÖØ Ø ÐÐ ÒØ Ò Ö ØÐÐ Ö ØØ Ö ØÒ Ò Ó ÒØ Ò k = f (a,b) f 2 Ö ÚÐ Ò Ö ÒÑÒ Ö Ò Ð Ö ÓÐ ÒÓÐеº Ì Ò ÒØÐ Ò Ò ¹ (a,b) Ú Ø ÓÒ Ö ÖÑ y b = f (a, b) (x a). f 2 (a, b) Ö ÒØ Ò ÒÓÑ ÔÙÒ Ø Ò (a, b) ÑÓØ Ú Ö Ö Ò Ö Ò Ò Ð Ò Ñ Ö Ø¹ Ò Ò Ó ÒØ Ò k 2 = f 2(a,b) f (a,b) Ú Ð Ø Ñ Ö ØØ k k 2 = Ó ÓÖØÓ ÓÒ Ð ¹ Ø Ø Ò Ö ØØ ØÙѺ Á Ô Ð ÐÐ Ø f 2 (a, b) = 0 Ö Ö ÒØ Ò ÒÓÑ ÔÙÒ Ø Ò (a, b) Ð Ñ f(a, b) = f (a, b)e x 0 Ó Ð ÓÖ ÓÒØ Ðк Ì Ò ÒØÐ Ò¹ Ò Ú Ø ÓÒ y b = k (x a) Ò Ö Ú ÓÖÑ Ò x = k (y b) + a Ó Ø Ö ÓÑ k = f 2(a,b) f = 0 Ò Ú ÖØ Ð Ø Ò ÒØ Ò x = aº (a,b) ¾º Ê ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò Ø ÓÒ ¾º º½º Ê ØÒ Ò Ö Ú Ø ÄØ u = u x e x + u y e y Ú Ö Ò Ò Ø Ú ØÓÖ ØØ u = u 2 x + u2 y = º Ê ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) ÔÙÒ Ø Ò (a, b) Ö ØÒ Ò Ú Ò¹ Ø Ú ØÓÖÒ u Ö ÖÒ Ö Ò Ø Ø Ò Ö f ÔÙÒ Ø Ò (a, b) Ñ Ú Ò Ô Ú ØÒ Ö ØÒ Ò Ò Ú Ú ØÓÖÒ uº ÒÒ Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø Ú D u f(a, b) = lim h 0 + f(a + hu x, b + hu y ) f(a, b) h ÇÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) Ö Ö Ú Ö Ö Ñ Ú Ò Ô Ó ÖÓ Ò Ú ¹ Ö Ð ÖÒ x Ó yµ ÔÙÒ Ø Ò (a, b) ÐÐ Ö D u f(a, b) = d dt f(a + tu x, b + tu y ). t=0.

44 ¾º º ÊÁÃÌÆÁÆ Ë ÊÁÎ Ì Ç ÖÚ Ø ÓÒ ¾º º½º Î Ö ÒÙ ØØ Ö u = e x + 0 e y = e x ÙÒ Ö ÑÑ ÒØ Ò Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò ÓÚ Ò Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò Ú f(a + h, b) f(a, b) D ex f(a, b) = lim = f h 0 + h x = f (a, b). (a,b) È ÑÑ ØØ D ey f(a, b) = lim h 0 + f(a, b + h) f(a, b) h = f y = f 2 (a, b). (a,b) Ë Ø ¾º º¾º Ö Ò Ò Ú Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø Ñ ÐÔ Ú Ö ÒØ Ò ÇÑ f(x, y) Ö Ö Ú Ö Ö (a, b) Ö Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò Ú f (a, b) Ö ØÒ Ò Ú Ò Ø Ú ØÓÖÒ u D u f(a, b) = u f(a, b) = f(a, b) cos θ, Ö θ Ö Ú Ò ÐÒ Ñ ÐÐ Ò u Ó f(a, b)º Ú º Î ÙØÒÝØØ Ö Ò Ø ÓÒ Ò Ô Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò Ö ÐÒ Ö ¹ Ö Ú Ö Ò ÑØ Ò Ø ÓÒ Ò Ó Ò Ô ÖÒ Ó ÐÖ ÔÖÓ Ù Ø Ò Ö ØØ D u f(a, b) = d dt f(a + tu x, b + tu y ) Ò Ø ÓÒ Ò t=0 = u x f (a, b) + u y f 2 (a, b) Ö ÐÒ = u f(a, b) ÐÖÔÖÓ Ù Ø = u f(a, b) cosθ = f(a, b) cosθ ( u = ) = f(a, b) cosθ Ü ÑÔ Ð ¾º º º Î ØÑÑ Ö ÖÒ Ö Ò Ø Ø Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) = y 4 + 2xy 3 + x 2 y 2 ÔÙÒ Ø Ò (0, ) Ö ØÒ Ò Ò e x + e y º Ö ÒØ Ò Ö f(x, y) f(x, y) f(x, y) = e x + e y x y = ( 2y 3 + 2xy 2) e x + ( 4y 3 + 6xy 2 + 2x 2 y ) e y f(0, ) = 2e x + 4e y.

45 à ÈÁÌ Ä ¾º È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÊÁÆ Ò Ø Ú ØÓÖÒ u Ò Ò Ö ØÒ Ò Ò e x + e y Ö u = e x + e y e x + e y = e x + e y = 2 2 (e x + e y ). Ò Ø Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò Ð Ö Ð D u f(0, ) = u f(0, ) 2 = 2 (e x + e y ) (2e x + 4e y ) 2 = 2 (2 + 4 ) = 3 2. Ç ÖÚ Ø ÓÒ ¾º º º Ø Ö ÓÑ D u f(a, b) = f(a, b) cosθ Ó cosθ Ñ Ø ÖÒ Ö Ò Ø Ø Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) ÔÙÒ Ø Ò (a, b) ÙÔÔ ÝÐÐ ÓÐ Ø Ò f(a, b) D u f(a, b) f(a, b). Å Ø Ò Ú Ñ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò Ó Ö ÒØ Ò Ò Ú Ô Ò Ú ÒÒ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÐ Ð Ò ÓÑ ØÖ Ò¹ Ô Ö Ó Ö ÒØ Òº Ò Ô ¾º º º µ Á ÔÙÒ Ø Ò (a, b) ÚÜ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ø Ö ØÒ Ò Ú Ö ÒØ Ò f(a, b) Ø Ö ÓÑ cos θ = Ö θ = 0º Ò Ñ Ü Ñ Ð Ø ÐÐÚÜØ Ø Ø Ò Ö f(a, b) º µ Á ÔÙÒ Ø Ò (a, b) ÚØ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ø Ö ØÒ Ò Ú Ò Ø Ú Ö ¹ ÒØ Ò f(a, b) Ø Ö ÓÑ cosθ = Ö θ = πº Ò Ñ Ü Ñ Ð Ñ Ò ¹ Ò Ò Ø Ø Ò Ö f(a, b) º µ Á ÔÙÒ Ø Ò (a, b) Ö ÖÒ Ö Ò Ø Ø Ò Ö f(x, y) ÒÓÐÐ Ö ØÒ Ò Ö Ø Ò Ö Ò Ò Ú ÙÖÚ Ò f(x, y) = f(a, b) Ø Ö ÓÑ cosθ = 0 Ö θ = π 2 º Ü ÑÔ Ð ¾º º º Ì ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÔÙÒ Ø Ò (x, y) ØØ ÓÑÖ Ú xy¹ôð Ò Ø Ö Ú Ö Ö Ð Ù µ Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò T(x, y) = x 2 e y º ØÖ Ø ÔÙÒ ¹ Ø Ò (2, )º Á Ú Ð Ò Ö ØÒ Ò Ö ÒÒ ÔÙÒ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ò Ø Ó ÙÖ ÑÝ Ø Å Ø Ò Ú Ò Ô ÖÒ ÓÚ Ò Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ø Ø Ö ØØ Ò Ò ¹ Ø Ò Ò Ò ÔÙÒ Ø Ò (a, b) = (2, ) ÓÑÑ Ö ØØ Ö ØÒ Ò Ú Ò ÔÓ ¹ Ø Ú Ö ÒØ Ò Ñ Ò Ñ Ü Ñ Ð Ø ÐÐÚÜØ Ø Ø ÓÑ T(2, ) º Ö ÒØ Ò

46 ¾º º Ê Ä ÌÁÎ Ê Æ ÊÁÆ ËÀ ËÌÁ À Ì Ò ØÑÑ ÒÐ Ø T(x, y) T(x, y) T(x, y) = e x + e y x y = 2xe y e x + ( x 2 e y) e y T(2, ) = 4 e (e x e y ). Ò Ø Ö ØÒ Ò Ò Ð Ú Ò Ø Ú ØÓÖÒ 2 2 (e x e y ) Ó Ñ Ü Ñ Ð Ø ÐÐÚÜØ Ø Ø Ò Ð Ö T(2, ) = 4 e e x e y = 4 2 e ( C ) Ú ØÒ Ò Ø. ¾º Ê Ð Ø Ú ÖÒ Ö Ò Ø Ø ÒØ ØØ Ú Ö Ö Ó xy¹ôð Ò Ø Ñ Ø Ø Ú ØÓÖÒ v Ü ÑÔÐ Ø ÓÚ Ò Ú Ð Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÖÒ Ö Ò ÙÔÔÐ Ú Ö Ú ÐÐ Å Ö ÐÐÑÒØ ÙÖ ÙÔÔÐ Ú Ö Ò Ó ÖÚ Ø Ö ÓÑ Ö Ö Ñ Ø Ø Ò v xy¹ôð Ò Ø ØØ Ò ØÓÖ Ø f(x, y) ÖÒ Ö Ø Ò Î Ö ØØ Ó ÖÚ Ø Ö Ò Ö Ö Ò Ö ØÒ Ò ÓÑ Ö Ú Ú Ò Ø Ú ¹ ØÓÖÒ v º ÖÒ Ö Ò Ø Ø Ò Ö f(x, y) ÔÙÒ Ø Ò (a, b) ÒÒ Ö ØÒ Ò v Ú Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò v D v f(a, b) = f(a, b), v v Ö Ò Ø Ò Ö ØÓÖ Ø Ò f Ò Ø Ô Ö Ú ØÒ Ò Øº Ö ØØ Ö ÐÐ ÖÒ ¹ Ö Ò Ø Ø Ò ÙØØÖÝ Ø ØÓÖ Ø Ò f Ò Ø Ô Ö Ø Ò Ø Ö ÓÚ Ò Ø Ò ÙØØÖÝ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ Ó ÖÚ Ø Ö Ò ÖØ v ÓÑ Ù Ö Ò Ø Ò Ú ØÒ Ô Ö Ø º ØØ Ö v v v f(a, b) = v f(a, b) = D vf(a, b), Ö Ò Ø Ð Ø Ò Ð Ö Ú ÚÖ Ø Ö Ò Ð Ò Ú Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø Òº ÆÓØ Ö Ö ØØ Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò ØØ ÒÝ ÑÑ Ò Ò ÒØ ØÑ Ö ØÒ Ò Ú Ò Ò Ø Ú ØÓÖ ÙØ Ò Ö ØÒ Ò Ú Ø Ø Ò v Ó Ó ÖÚ ¹ Ø Ö Òº ØØ Ö ÓÒ Ñ Ò Ö Ð Ú Ø Ö ÙÐØ Ø Ø

47 à ÈÁÌ Ä ¾º È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÊÁÆ Ë Ø ¾º º½º ÖÒ Ö Ò Ø Ø ÒÐ Ø Ó ÖÚ Ø Ö Ö Ö Ð ÖÒ Ö Ò Ø Ø Ò Ó f(x, y) ÔÙÒ Ø Ò (a, b) ÒÐ Ø Ò Ó ÖÚ Ø Ö ÓÑ Ö Ö xy¹ôð Ò Ø ÒÓÑ ÔÙÒ Ø Ò (a, b) Ñ Ø Ø Ò v Ú D v f(a, b) = v f(a, b), ÙØØÖÝ Ø ØÓÖ Ø Ò f Ò Ø Ô Ö Ø Ò Øº Ü ÑÔ Ð ¾º º¾º Ì ÑÔ Ö ØÙÖ Ò T(x, y) ØØ ÓÑÖ Ú xy¹ôð Ò Ø Ú T(x, y) = x 2 2y 2 ( C). Ò ÑÝÖ ÔÙÒ Ø Ò (2, ) Ö Ö Ñ ÖØ Ò k Ö ØÒ Ò Ú Ú ØÓÖÒ e x 2e y º Î Ð Ò ÖÒ Ö Ò Ø Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÙÔÔÐ Ú Ö ÑÝÖ Ò ÅÝÖ Ò Ö ÐÐØ ÚÖ Ó ÖÚ Ø Ö Ö Ö Ð Ó Ú Ò ÒÐ Ñ ØØ Ð Ø Ø Ò v Ú ÒÒ Ö Ö ØÒ Ò Ò ex 2ey e x 2e y Ó ÐÓÔÔ Ø k ÒÐ Ø v = k e x 2e y e x 2e y = k 5 (e x + 2e y ). Ò Ö Ò Ú Ú Ò Ö ÒØ Ò Ú Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÐØ Ø Ú Ð Ò Ò ØÙ ÐÐ ÔÙÒ Ø Ò ÓÑ T(x, y) T(x, y) T(x, y) = e x + e y x y = 2xe x 4ye y T(2, ) = 4 (e x + e y ). Ò Ø ÖÒ Ö Ò Ø Ø Ò Ð Ö ÖÑ D v T(2, ) = v T(2, ) = k 5 (e x + 2e y ) 4 (e x + e y ) = 2k 5 5. ¾º½¼ Ö ÒØ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ Ö Ö ÒØ Ò Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x, y, z) Ú ØÖ Ú Ö Ð Ö x y Ó z Ö f(x, y, z) = e x f(x, y, z) x + e y f(x, y, z) y + e z f(x, y, z) z.

48 ¾º½¼º Ê Á ÆÌ Æ Á Ä Ê ÁÅ ÆËÁÇÆ Ê Ö Ö Ò ØÖ Ñ Ò ÓÒ Ö ÙØ ÒØ Ð Ø Ø ÖÑ Ö Ö Ð Ø Ñ Ò Ø ÖÑ Ø Ò Ú Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ ÑÓØ Ú Ö Ò Ú ØÓÖ Ö Ú Ö Ñ Ò ÓÒº Ö ÒØ Ò Ú ÐÙ Ö ÔÙÒ Ø Ò (a, b, c) Ø Ò f(a, b, c) Ó Ö ÒÓÖ¹ Ñ Ð Ø ÐÐ Ò ÚÝØ Ò ÝÔ ÖÝØ Òµ f(x, y, z) = f(a, b, c) Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y, z) ÒÓÑ ÔÙÒ Ø Ò (a, b, c)º ÖÒ Ö Ò Ø Ø Ò Ö f ÔÙÒ Ø Ò (a, b, c) Ö ØÒ Ò Ú Ò Ø Ú ¹ ØÓÖÒ u Ö D u f(a, b, c) = u f(a, b, c). ËÓÑ Ð Ò Ü ÑÔ Ð ÐÐÙ ØÖ Ö Ö Ò Ö ÒØ Ò ÙØÒÝØØ Ö ØÑÒ Ò Ú Ú Ø ÓÒ Ò Ö ØØ Ø Ò ÒØÔÐ Ò Ø ÐÐ Ò ÝØ ÖÙÑÑ Ø R 3 º z x y 6 ÙÖ ¾º Ë Ö Ò x 2 + y 2 + z 2 = 6 Ñ Ø ÐÐ Ö Ò Ø Ò ÒØÔÐ Òº Ü ÑÔ Ð ¾º½¼º½º Î ØÑÑ Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ò ÒØÔÐ Ò Ø Ø ÐÐ Ö Ò x 2 + y 2 + z 2 = 6

49 à ÈÁÌ Ä ¾º È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÊÁÆ ÔÙÒ Ø Ò (,, 2)º ØÖ Ø ÒÙ Ö Ò ÓÑ Ò Ò ÚÝØ f(x, y, z) = f(a, b, c) Ö (a, b, c) = (,, 2)º Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò f ÒØ Ö ÓÑ f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. ÒÐ Ø Ø ÓÖ Ò Ö Ö ÒØ Ò f(,, 2) ÒÓÖÑ Ð Ø ÐÐ Ö Ò ÔÙÒ Ø Ò (a, b, c) = (,, 2)º Ö ÒØ Ò Ò ØÑÑ ÒÐ Ø f(x, y, z) f(x, y, z) f(x, y, z) = e x + e y x y = 2xe x + 2ye y + 2ze z f(,, 2) = 2e x + 2e y + 4e z. + e z f(x, y, z) z Ö ØØ ØØ Ø Ò ÒØÔÐ Ò Ø ÐÐ Ö Ò Ò ØÙ ÐÐ ÔÙÒ Ø Ò Ò Ú ÙØÒÝØØ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ÒÓÖÑ Ð Ò Ò Ö Ú Ö ÒØ Ò ÓÚ Ò Ó Ø Ò Òع ÔÐ Ò Øº ØØ Ó ØÝ Ð Ø ÔÐ Ò R 3 Ö Ú Ú Ú ØÓÖÒ xe x + ye y + ze z Ó ÓÑ Ú ÙØÓÑ ÖÚ Ö ØØ ÔÙÒ Ø Ò (a, b, c) ÐÐ Ð ÔÐ Ò Ø Ñ Ø ØØ ÑÓ Ö Ø ÐÐ Ú ØÓÖÒ (x a)e x + (y b)e y + (z c)e z = (x )e x + (y + )e y + (z 2)e z, Ú Ð Ø ÒÒ Ö ØØ Ú ØÓÖÒ ØÐÐ Ø Ö ÓÖ Ó Ö ÔÙÒ Ø Ò (a, b, c) = (,, 2) ÓÑ Ø ÖØÔÙÒ Øº ØØ ÔÐ Ò Ö Ú Ò ÐÖØØ ÓÖØÓ ÓÒ Ðص ÑÓØ ÒÓÖÑ Ð Ò f(a, b, c) ÓÑ Ö Ú Ø f(a, b, c) ((x a)e x + (y b)e y + (z c)e z ) = 0 ÙÔÔ ÝÐÐ º ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ô ÐÖ ÔÖÓ Ù Ø Ò Ð Ö ØØ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò f (a, b, c)(x a) + f 2 (a, b, c)(y b) + f 3 (a, b, c)(z c) = 0, ÓÑ Ð Ö Ò ÓÖÑ Ð Ö Ø Ò ÒØÔÐ Ò Ø Ø ÐÐ Ò ÚÝØ Ò f(x, y, z) = f(a, b, c) ÔÙÒ Ø Ò (a, b, c)º Á ÚÖØ ØÙ ÐÐ ÐÐ Ñ (a, b, c) = (,, 2) Ë ÙÖ Ò ¾º º 2(x + ) 2(y ) + 4(z 2) = 0 x + y + 2z = 6.

50 ¾º½¼º Ê Á ÆÌ Æ Á Ä Ê ÁÅ ÆËÁÇÆ Ê Ü ÑÔ Ð ¾º½¼º¾º Ö Ò Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x, y) Ö Ö Ò Ú ÝØ Ò ÓÑ ¹ Ò Ö Ú Ú Ø ÓÒ Ò z = f(x, y) Ø ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÖÙÑÑ Ø R 3 º ÒÒ ÝØ Ö ÑØ Ø Ò ÚÝØ Ò g(x, y, z) = 0 Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò g(x, y, z) = f(x, y) z. ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ÒØ Ò ÔÙÒ Ø Ò (x, y, z) = (a, b, c) g(a, b, c) = f(a, b) z z=c = f (a, b)e x + f 2 (a, b)e y e z z z = f (a, b)e x + f 2 (a, b)e y e z. Ö ÒØ Ò g(a, b, c) Ö ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÑÓØ ÒÓÖÑ Ð Ø Ðе ÝØ Ò g(x, y, z) = 0 ÔÙÒ Ø Ò (x, y, z) = (a, b, c)º È ÑÑ ØØ ÓÑ Ö Ò Ü ÑÔ Ð Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ò ÒØÔÐ Ò Ø ÒÓÑ ÔÙÒ Ø Ò (a, b, c) = (a, b, f(a, b)) ÒÐ Ø g(a, b, c) ((x a)e x + (y b)e y + (z c)e z ) = z=c (f (a, b)e x + f 2 (a, b)e y e z ) ((x a)e x + (y b)e y + (z f(a, b))e z ) = (x a)f (a, b) + (y b)f 2 (a, b) + (f(a, b) z) = 0 z = f(a, b) + (x a)f (a, b) + (y b)f 2 (a, b).

51 ¼ à ÈÁÌ Ä ¾º È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÊÁÆ

52 Ã Ô Ø Ð Ì ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ô Ô ÖØ ÐÐ Ö Ú Ö Ò º½ ÜØÖ ÑÚÖ Ò Ö ÖÚ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ë Ø º½º½º Æ ÚÒ Ú ÐÐ ÓÖ Ö ÜØÖ ÑÚÖ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x, y) Ú ØÚ Ú Ö Ð Ö x Ó y Ö ØØ ÐÓ ÐØ ÐÐ Ö ÐÓ ÐØ ÓÐÙص ÜØÖ ÑÚÖ ÔÙÒ Ø Ò (a, b) D f Ò Ø ÓÑ (a, b) Ö Ò ÓÒ Ö Ú Ð Ò µ Ò Ö Ø ÔÙÒ Ø Ö f ºÚº º f(a, b) = 0º µ Ò Ò ÙÐÖ ÔÙÒ Ø Ö f ºÚº º f(a, b) Ü Ø Ö Ö º µ Ò Ö Ò ÔÙÒ Ø Ö f ºÚº º (a, b) Ð Ö Ô Ö Ò Ò Ú Ò Ø ÓÒ ÑÒ ¹ Ò D f º Ú º ÇÑ (a, b) ÒØ Ö Ò Ö Ø Ò ÙÐÖ ÐÐ Ö Ö Ò ÔÙÒ Ø ÐÐ Ö ØØ f(a, b) 0 Ó ÐÐ Ö ØØ ¹ f Ö Ò ÔÓ Ø Ú Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø Ö ØÒ Ò Ú f(a, b) ¹ f Ö Ò Ò Ø Ú Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø Ö ØÒ Ò Ú f(a, b) ºÚº º f ÚÜ Ö Ò ÓÒ Ö ØÒ Ò Ó ÚØ Ö ÑÓØ ØØ Ö ØÒ Ò Ñ Ò Ö Ö ÓÖØ ÖÒ ÔÙÒ Ø Ò (a, b)º ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ð ÒØ ØØ Ñ Ü ÑÙÑ ÐÐ Ö ØØ Ñ Ò ÑÙÑ Ò ØÙ ÐÐ ÔÙÒ Ø Ò (a, b)º ½

53 ¾ à ÈÁÌ Ä º ÌÁÄÄ ÅÈÆÁÆ Ê È È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÊÁÆ ÒÑÖ Ò Ò º½º½º Ö Ò Ø Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú n Ú ¹ Ö Ð Ö Ñ ÑÑ Ö ÙÐØ Ø Ó Ú º Ç ÖÚ Ø ÓÒ º½º¾º Ö Ò Ø Ö ÒØ ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò ÓØ ÜØÖ ÑÚÖ ÙØ Ò Ò Ø Ú Ö ØØ ÒØ Ñ Ø ÒÒ ÐÐ Ø Ü Ø Ö Öº ܹ Ø Ò Ò Ò Ö Ø Ò ÙØ Ò ÒØ Ò Òº Ë Ø º½º º Ì ÐÐÖ Ð Ú ÐÐ ÓÖ Ö ÜØÖ ÑÚÖ Ò ÇÑ f(x, x 2, x 3,...,x n ) Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ú n Ú Ö Ð ÖÒ x, x 2, x 3,...,x n Ó Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò D f R n Ö ÐÙØ Ò Ó ÖÒ ÒÒ Ø ÔÙÒ Ø Ö D f Ö f Ö ÓÐÙص Ñ Ü ÑÙÑ Ó Ñ Ò ÑÙѺ Ú º Î Ö Ö Ú Ø ÒÓÑ ØØ Ö Ø Ú ÐÔÖ ÙÐØ Ø Ø ÎÖ ¹ ÑÒ Ò R f Ö f(x, x 2, x 3,...,x n ) Ñ Ò Ô Ö ÒÐ Ø ÒØ Ò Ò Ö ÖÒ º ÒØ ØØ ÒØ Ö ÐÐ Ø ÒØ Ø µ Ó ÙØ Ö Ò Ù Ú ÙÔÔ Ð¹ Ò Ò Ú Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò D f º ÇÑ ÒÒ ÐÚ Ö Ö ÒÐ Ø ÚÖ ÒØ Ø f Ó ÖÒ Ô ØÑ Ò ØÓÒ Ò Ú ÐÚÓÖÒ ÓÑ Ú ÐÐ Ö D º À ÐÚ Ö Ò ØÙÖ ÒÒ º ÇÑ Ú ÓÖØ ØØ Ö Ô ØØ ØØ m Ò Ö Ö ÐÐ Ò Ú Ò Ú ÑÒ Ö D m D m D 2 D D f º ÄØ Ö Ú m ÓÑÑ Ö D m ØØ ÓÒÚ Ö Ö µ ÑÓØ Ò ÔÙÒ Ø c D f ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ø ÓÒ ÑÒ º Ø Ö ÓÑ f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÒÒ Ø Ò ÑÒ B ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö ÔÙÒ Ø Ò c Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f Ö ÖÒ Ô ÒÒ ÑÒ ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ó Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÑÔÐ Ö Ö ÐÐØ ØØ ÒÒ Ú Ò Ö ÖÒ ÐÐ ÑÒ Ò Ö ÚÐ ÐÑÔРصº Å Ò ÚÖ ÒØ Ø Ñ Ö Ù ØØ f ÙÐÐ Ú Ö Ó ÖÒ Ô ÑÒ ÖÒ D m D m D 2 D D f Ö Ú Ö m N Î Ö Ð Ò ÑÓØ Ð Ú Ð Ø Ð Ö Ø ÐÐ ØØ ÒØ Ø Ò Ñ Ø Ú Ö Ð º ËÐ Ö Ú Ú Ø ØØ f Ñ Ø Ú Ö ÖÒ Ó ÖÑ Ñ Ø ÐÔÖ ÙÐØ Ø Ø ÐÐ º Ö ÚÖØ ÒØÐ Ú ÙØ Ö Ú Ø Ö Ò ÖÒ Ò ÒØ Ø ÒØ ØØ ÚÖ ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ò ÓØ Ñ Ü ÑÙÑ Ô D f º Ø Ö ÓÑ ÒÐ Ø Ò¹ Ø Ò f Ö ÖÒ Ô D f Ñ Ø ÚÖ ÑÒ R f Ò Ñ Ò Ø ÚÖ ÖÒ ÓÑ Ú Ò ÐÐ M ÓÑ f ÒÐ Ø ÒØ Ø Ò Ð Ö ÒØ Öº ØÖ Ø ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ò g = º ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ó ÖÑ Ú Ò ¹ f M ÖÒ Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ø Ö f Ð Ö ÓÑÑ Ö Ó ØÝ Ð Ø ÒÖ Mº ØØ ÑÓØ Ö ÚÖØ Ú Ð Ú M ÓÑ Ò Ñ Ò Ø ÚÖ ÖÒ Ò Ö R f º ÒØ Ø Ò Ñ Ø ÐÐØ Ú Ö Ð Ó Ô Ø Ò Ø Ö ÐÐ Ø ØØ f Ö ØØ Ñ Ü ÑÙÑ Ö Ú Øº Ú Ø Ö ÐÐ Ø ØØ f Ö ØØ Ñ Ò ÑÙÑ Ö Ò ÐÓ Øº

54 º½º ÌÊ ÅÎ Ê Æ Ê Ä ÊÎ ÊÁ Ä ÍÆÃÌÁÇÆ Ê Ü ÑÔ Ð º½º º ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) = x 2 + y 2 ÐÐÙ ØÖ Ö ÙÖ Ò ¾º½ Ö Ò Ö Ø ÔÙÒ Ø ÓÖ Ó Ñ Ò f(x, y) = 2xe x + 2ye y f(0, 0) = 0. Ø Ö ÓÑ f(x, y) > 0 = f(0, 0) ÓÑ (x, y) (0, 0) Ñ Ø f ØØ ÓÐÙØ Ñ Ò ÑÙÑ ÓÖ Óº z ¾ ¼ ¹¾ ¹ 2 x y 2 ÙÖ º½ Ø Ò z = y 2 x 2 º Ü ÑÔ Ð º½º º ÙÒ Ø ÓÒ Ò g(x, y) = y 2 x 2

55 à ÈÁÌ Ä º ÌÁÄÄ ÅÈÆÁÆ Ê È È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÊÁÆ ÐÐÙ ØÖ Ö ÙÖ Ò º½ Ö Ó Ò Ö Ø ÔÙÒ Ø ÓÖ Ó Ñ Ò Ö Ú Ö Ò Ñ Ò ÑÙÑ ÐÐ Ö Ñ Ü ÑÙÑ ÒÒ ÔÙÒ Øº Î ÒÓØ Ö Ö ØØ g(0, 0) = 0 Ñ Ò g(x, 0) < 0 x 0 Ó g(0, y) > 0 y 0º Ò Ö Ø ÔÙÒ Ø Ò (0, 0) ÐÐ Ò ÐÔÙÒ Øº z ¹¾ ¼¾ ¹ x y ÙÖ º¾ Ø Ò z = x 3 º Ë ÐÔÙÒ Ø Ö Ú Ö ÒØ ÐÐØ ÙØ ÓÑ Ð Ö º Ü ÑÔ ÐÚ ÙÒ Ø Ó¹ Ò Ò h(x, y) = x 3 ÐÐÙ ØÖ Ö ÙÖ Ò º¾ Ö Ò Ð Ò Ú Ö Ø ÔÙÒ ¹ Ø Ö ÐÒ Ñ y¹ Ü ÐÒ Ñ Ò Ò Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ñ Ü ÑÙѺ ÔÙÒ Ø Ö Ð Ò Ö Ò Ü ÓÒ ÔÙÒ Ø Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ò Ú Ö Ð Ñ º Ñ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x) = x 3 µº ÐÐÑÒØ Ò Ñ Ò ØØ Ú Ö Ö Ø ÔÙÒ Ø Ø ÒÖ ºÚº º ÒØ Ô Ö Ò¹ Òµ Ú Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ö Ú Ö Ð Ö Ö Ò ÐÔÙÒ Ø ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÒØ Ö ØØ ÐÓ ÐØ Ñ Ü ÑÙÑ ÐÐ Ö Ñ Ò ÑÙÑ ÔÙÒ Ø Òº

56 º¾º ÃÄ ËËÁ Á ÊÁÆ Î ÃÊÁÌÁËà ÈÍÆÃÌ Ê º¾ ÃÐ Ö Ò Ú Ö Ø ÔÙÒ Ø Ö Î Ò Ð Ö ÒÖ µ Ö Ø ÔÙÒ Ø ÖÒ (a, b) Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x, y) ÒÓÑ ØØ ØÖ Ø Ö Ò Ò f = f(a + h, b + k) f(a, b), Ö Ñ ÚÖ Ò Ô h Ó kº Î Ö Ð Ò µ ÇÑ f 0 h, k Ö f ÐÓ ÐØ Ñ Ò ÑÙÑ (a, b)º µ ÇÑ f 0 h, k Ö f ÐÓ ÐØ Ñ Ü ÑÙÑ (a, b)º µ ÇÑ f > 0 Ö Ò Ö h, k Ó f < 0 Ö Ò Ö h, k Ö f Ò ÐÔÙÒ Ø (a, b)º ÒÒ Ñ ØÓ Ö ÒØ Ö ÐØ Ð ÒØ Ó Ò Ö ÙÐÐØ Ø ÐÐ ÖÐ ØÐ Ò Ø Ö Ø ÓÖ Ò ÐÔÙÒ Ø Öº Ò Ð Ö Ó Ø ÐÐ ÖÙÒ Ö Ð Ò Ö ÙÐØ Ø Ë Ø º¾º½º Ò Ö Ö Ú Ø Ø Ø Ø ÇÑ (a, b) Ö Ò ÒÖ Ö Ø ÔÙÒ Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) Ó Ô ÖØ Ð Ö ¹ Ú ØÓÖÒ Ú Ò Ö ÓÖ Ò Ò Ò Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò ÓÑ ÚÒ Ò Ú ÔÙÒ Ø Ò Ó Ö ÚÖ Ò ÐÐ Ö A = f (a, b), B = f 2 (a, b) = f 2 (a, b), C = f 22 (a, b), µ ÇÑ B 2 AC < 0 Ó A > 0 Ö f ÐÓ ÐØ Ñ Ò ÑÙÑ (a, b)º µ ÇÑ B 2 AC < 0 Ó A < 0 Ö f ÐÓ ÐØ Ñ Ü ÑÙÑ (a, b)º µ ÇÑ B 2 AC > 0 Ö f Ò ÐÔÙÒ Ø (a, b)º µ ÇÑ B 2 AC = 0 Ö ÐÐ Ò Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº Ú º (a, b) Ö Ò ÒÖ Ö Ø ÔÙÒ Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) ÐÐ Ö ØØ f (a, b) = 0 = f 2 (a, b)º Ø Ò ÓÑ ÚÒ Ò Ò Ø ÐÐ ÔÙÒ Ø Ò (a, b) Ñ R Ó ØÖ Ø Ò ÔÙÒ Ø (a + h, b + k) Rº Î Ö Ö ØØ Ð Ò Ñ ÒØ Ñ ÐÐ Ò ØÚ ÔÙÒ Ø ÖÒ Ó ÐØ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ò Ò x = a + th, y = b + tk, 0 t

57 Ã ÈÁÌ Ä º ÌÁÄÄ ÅÈÆÁÆ Ê È È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÊÁÆ Ö Ú Ö Ö Ð ÐÒ Ð Ò Ñ ÒØ Ø Ñ ÐÐ Ò ØÚ ÔÙÒ Ø ÖÒ º ÇÑ Ú Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò F(t) = f(a + th, b + tk) Ö Ö ÐÒ Ö Ö Ú Ö Ò F dx (t) = f dt + f dy 2 dt = hf + kf 2. Ñ Ò f Ó f 2 Ö Ö Ú Ö Ö ÒÐ Ø ÒØ Ò Ö Ô ÖØ Ð Ö Ú ØÓÖÒ Ú Ò Ö ÓÖ Ò Ò Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ µ Ò Ú Ö Ú Ö F(t) Ò Ò Ø ÐÐ Ó Ñ Ø Ò Ú ØØ Ð Ò Ô ÖØ Ð Ö Ú ØÓÖÒ Ú Ò Ö ÓÖ Ò Ò Ò Ö Ð ÒÐ Ø Ø Ö Ø Ö ÙÐØ Ø Ø F (t) = F x dx dt + F dy y dt = h x (hf + kf 2 ) + k y (hf + kf 2 ) = h 2 f + hkf 2 + hkf 2 + k 2 f 22 = h 2 f + 2hkf 2 + k 2 f 22. ÆÙ Ö F Ó F ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ô Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò D F = {t : 0 t } Ó F Ö ÙØÓÑ Ö Ú Ö Ö Ô ÑÓØ Ú Ö Ò ÔÔÒ ÑÒ ]0, [ Ú Ð Ø ¹ ØÝ Ö ØØ Ú Ò Ø ÐÐÑÔ Ì ÝÐÓÖ³ ÓÖÑ Ð ½ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ñ ØÚ Ú Ö Ð Ö ÙØÚ Ð Ö Ò ÓÖ Óº Î Ö ÙØØÖÝ Ø F() = F(0) + F (0)( 0) + F ( 0)2 (c) 2 f(a + h, b + k) = f(a, b) + hf (a, b) + kf 2 (a, b) + ( ) h 2 f + 2hkf 2 + k 2 f 22 2 (a+ch,b+ck) f(a + h, b + k) = f(a, b) + ( ) h 2 f + 2hkf 2 + k 2 f 22 2 (a+ch,b+ck). Ú ÒØÙ ÐÐØ ÜØÖ ÑÚÖ Ö f(x, y) ÔÙÒ Ø Ò (a, b) ØÑ ¾ ÒÙ Ú Ø Ò Ø Ó Ö Ò Ò f(a + h, b + k) f(a, b) ÓÑ ÒÐ Ø ÓÚ Ò ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ð Ø Ò f(a + h, b + k) f(a, b) = 2 ( h 2 f + 2hkf 2 + k 2 f 22 ) (a+ch,b+ck) = Q(c). ½ Ò Ð Ò Ö ÙÖ Ò Ñ Ò Ñ Ö Öº ¾ ÒÐ Ø ÑÑ Ö ÓÒ Ñ Ò ÓÑ ÒÚÒØ Ø Ö ÙÖ Ö Ö ÒÚ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Öº

58 º¾º ÃÄ ËËÁ Á ÊÁÆ Î ÃÊÁÌÁËà ÈÍÆÃÌ Ê ÇÑ Q(0) 0 ÓÑÑ Ö Ø Ò Ø Ô Q(c) ØØ ÑÑ Ò ÐÐ Ñ Ø Ò Ø Ô Q(0) Ö Ø ÐÐÖ Ð Ø Ñ ÚÖ Ò Ô h Ó kº Î Ò Ö Ú Ø Ò Ø Ô Q(0) = h 2 f (a, b) + 2hkf 2 (a, b) + k 2 f 22 (a, b) ÙØ Ò ÖÒ Ø Ò Ò Ô f (a, b) Ó f (a, b)f 22 (a, b) f 2 2(a, b) ÓÑ Ú ÒÓ¹ Ø Ö Ö ØØ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ú Ð Ø Ò ÓÚ Ò Ñ f Ó ÓÑ ÓÖÑÒ Ò Ð Ö Ø ÐÐ ÙØØÖÝ Ø f Q(0) = (hf + kf 2 ) 2 + ( f f 22 f 2 2) k 2 f (a, b)q(0) = (hf (a, b) + kf 2 (a, b)) 2 + ( f (a, b)f 22 (a, b) f 2 2 (a, b)) k 2 AQ(0) = (ha + kb) 2 ( B 2 AC ) k 2. ÖÒ Ò Ø Ð Ø Ò ÓÚ Ò Ó ÖÚ Ö ÒÙ ÐÙØÖ ÙÐØ Ø Ø µ ÇÑ A > 0 Ó B 2 AC < 0 Ö Q(0) > 0 Ö ÐÐ Ø ÐÐÖ Ð Ø Ñ ÚÖ Ò ÓÐ ÒÓÐе Ô h Ó kº Ð ØÐ Ò Ö f ØØ ÐÓ ÐØ Ñ Ò ÑÙÑ (a, b)º µ ÇÑ A < 0 Ó B 2 AC < 0 Ö Q(0) < 0 Ö ÐÐ Ø ÐÐÖ Ð Ø Ñ ÚÖ Ò ÓÐ ÒÓÐе Ô h Ó kº Ð ØÐ Ò Ö f ØØ ÐÓ ÐØ Ñ Ü ÑÙÑ (a, b)º µ ÇÑ B 2 AC > 0 ÒÒ Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ó ØÝ Ð Ø Ñ ÚÖ Ò ÓÐ ÒÓÐе Ô h Ó k Ö Ú Ð Q(0) < 0 Ó Ò Ö Ö Ú Ð Q(0) > 0º Ó ØÝ Ð Ø ÒÖ ÔÙÒ Ø Ò P = (a, b, f(a, b)) Ô ÝØ Ò z = f(x, y) ÒÒ Ø Ð ÔÙÒ Ø Ö ÓÚ Ò Ö P Ó ÔÙÒ Ø Ö Ò Ò Ö P Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ (a, b) Ö Ò ÐÔÙÒ Ø Ö fº µ ÇÑ B 2 AC = 0 Ö Ø Ñ Ð Ø ØØ Q(0) = 0 Ó Ú Ò ÒØ Ö ÐÙØ Ø Ö ÓÑ Ø Ò Ø Ó Q(c)º ÁÒ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö ÐÐ ÐÐØ º Ü ÑÔ Ð º¾º¾º Î ØÑÑ Ö Ó Ð Ö Ö Ö Ø ÔÙÒ Ø ÖÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x, y) = 2x 3 6xy + 3y 2. Ö Ø ÔÙÒ Ø ÖÒ Ø Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ò f(x, y) = 0 ÓÑ Ö Ý Ø Ñ Ø { f (x, y) = 6x 2 6y = 0, f 2 (x, y) = 6y 6x = 0,

59 à ÈÁÌ Ä º ÌÁÄÄ ÅÈÆÁÆ Ê È È ÊÌÁ ÄÄ ÊÁÎ ÊÁÆ Ñ Ð Ò Ò ÖÒ (x, y ) = (0, 0) Ó (x 2, y 2 ) = (, ) ÓÑ Ð ÙØ Ö Ö Ø ÔÙÒ Ø ÖÒ º È ÖØ Ð Ö Ú ØÓÖÒ Ú Ò Ö ÓÖ Ò Ò Ò Ö A = f (x, y) = 2x, B = f 2 (x, y) = f 2 (x, y) = 6, C = f 22 (x, y) = 6. Á ÔÙÒ Ø Ò (x, y ) = (0, 0) Ö Ú Ð ØÐ Ò B 2 AC = 36 > 0 Ó Ò ØÙ ÐÐ ÔÙÒ Ø Ò Ö Ò ÐÔÙÒ Øº Á ÔÙÒ Ø Ò (x 2, y 2 ) = (, ) Ö Ú A > 0 ÑØ B 2 AC = 36 < 0 Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ f Ö ØØ ÐÓ ÐØ Ñ Ò ÑÙÑ ÒÒ ÔÙÒ Øº º ÜØÖ ÑÚÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ò Ü ÑÔ Ð Ú Ö ÙÖ ÜØÖ ÑÚÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ú ØÝÔ Ú Ú ÐÐ ÓÖ Ò Ð º z x y ÙÖ º Ê Ø Ò ÙÐÖ Ð Ñ Ú Ò ÚÓÐÝÑ Ó Ñ Ò Ñ Ð ÖÒ Ò Ò ÝØ º Ü ÑÔ Ð º º½º Î ØÑÑ Ö Ñ Ò ÓÒ ÖÒ Ö Ò Ö Ø Ò ÙÐÖ Ð Ñ ÚÓÐÝÑ Ò V Ñ Ñ Ò Ø Ñ Ð ÖÒ Ò Ò Ö Sº ÇÑ Ð Ò ÐÒ Ö Ø Ò ÒÐ Ø ÙÖ Ò º Ñ x y Ó z Ö Ú ÐÐØ ÙØ Ø Ö ØØ Ñ Ò ¹ Ñ Ö Ò ÖÚ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò S(x, y, z) = 2 (xy + yz + xz),

60 º º ÌÊ ÅÎ Ê Æ È Ê ÆË ÇÅÊ Æ Ñ Ú ÐÐ ÓÖ Ø ØÚÒ Øµ xyz = V, Ö ÚÓÐÝÑ Ò V Ö Ú Òº Î Ò ÒÙ ÙØÒÝØØ Ú ÐÐ ÓÖ Ø Ö ØØ Ö Ù Ö Ò¹ Ø Ð Ø Ú Ö Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÑ ÐÐ Ñ Ò Ñ Ö º Å Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ò z = V xy Ð Ñ Ò Ö Ú Ö ÐÒ z Ó Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú ØÚ Ú Ö Ð Ö ( S(x, y) = 2 xy + (y + x) V ) ( ( = 2 xy + xy x + ) ) V y Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò Ö ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ö D S = {(x, y) x > 0, y > 0}º Î ÓÒ Ø Ø Ö Ö ØØ (x, y) 0, Ð Ö Ø ÐÐ ØØ S º ØØ ÒÒ Ö ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò S(x, y) Ñ Ò ÑÙÑ Ñ Ø Ð Ò ÒÖ Ö Ø ÔÙÒ Øº Ë Ò ÙÐÖ ÔÙÒ Ø Ö Ò º Ö Ø ÔÙÒ Ø ÖÒ Ø Ö Ö Ý Ø Ñ Ø { S (x, y) = 2 ( ) y V x = 0 x 2 y = V, 2 ) S 2 (x, y) = 2 (x Vy = 0 xy 2 = V, 2 Ú Ð Ø Ö Ð Ø Ò x = yº Ö x 3 ( = V Ú Ð Ø Ö x = y = z = 3 V Ó Ö Ò Ú Ð Ò ÖÒ Ò Ò ÝØ S 3 ) V, 3 V = 6 3 V 2 º Ä Ò Ö ÐÐØ Ò Ù º. º ÜØÖ ÑÚÖ Ò Ô ÖÒ ÓÑÖ Ò Ë Ø Ò ÓÑ Ø ÐÐÖ Ð Ú ÐÐ ÓÖ Ö ÜØÖ ÑÚÖ Ò Ö ÒØ Ö Ö ØØ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ô ØØ ÐÙØ Ø Ó ÖÒ Ø ÓÑÖ Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ñ Ü ÑÙѺ Ö ØØ ÒÒ Ñ Ø Ú ÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ð Ò ÔÙÒ Ø Ö ¹ ÁÒÖ Ö Ø ÔÙÒ Ø Ö ¹ Ë Ò ÙÐÖ ÔÙÒ Ø Ö ¹ Ê Ò ÔÙÒ Ø Ö Î Ö Ö Ò Ö ÖØ Ö Ø Ó Ò ÙÐÖ ÔÙÒ Ø Öº Á Ø Ð Ò ÐÐ Ú Ò Ð ÙÒ Ö Ò Ò Ú Ö Ò ÔÙÒ Ø Öº