15 = f(3) = 9a + 3b + c 9 = f( 3) = 9a 3b + c

Transkript

1 ½ ÁÌÇÊÁ Ä Î Ð Ú Ä Ò ÁØ ÓÑ ØÓ ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ Ø Ø ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔ Ö Ò Ò ÊÍ Û Ø Å À Å Ú Ò Ù Ñ ØØ ØÓ ÓØ Ö ÔÐ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑ ÊÍ Û Ø Å À Å ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÔÔ Ö ÓÒ ÖØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ¹ ÓÐÚ Ò Û Ø º Ï Ð Ø ØÖ Ò Ó ÓÒÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÚ Ò Û ÐÐ Ø Ð Ò ÕÙ Ø ÔÓÔÙÐ Ö Ø Ò Ú ÖØ Ð Ø ÐÐ Ø Ø Ø ÊÍ Û Ø Å À Å ØÖ Ø ÓÒ Ð ÔÖ ÒØ ÓÙÖÒ Ðº Ì Ñ Ò Ø Ø Ù Ñ ÓÒ ØÓ ÊÍ Û Ø Å À Å ÓÙÐ ÒÓØ Ù Ñ ØØ Ð Û Ö Ò ÓÙÐ ÒÓØ Ú ÐÖ Ý ÔÔ Ö Ð Û Ö ÐØ ÓÙ ÓÑ Ö Ö Ü ÔØ ÓÒ Ñ Ý Ô ÖÑ ØØ ÓÖ ÓÐ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ñ Ý ÒÓØ Ø Ø Û ÐÐ ÒÓÛÒ ØÓ Ýµº Ì ÒÐÙ ÔÖÓ ¹ Ð Ñ ÔÖÓÔÓ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÖØ Ð ÝÓÙ Ù Ñ Ø Ø Ñ ØÓ ÊÍ Û Ø Å À Å Ø Ò Û Ø Ø ÝÓÙ Ó ÒÓØ Ù Ñ Ø Ø Ñ ÒÝÛ Ö Ð Á ÛÓÙÐ Ð ØÓ ÔÓ ÒØ ÓÙØ Ø Ø Ñ Ø Ö Ð Ø Ø Ù Ñ ØØ ØÓ ÊÍ Û Ø Å À Å Ö Ú Ø ØØ ÒØ ÓÒ Ó Ø ØÓÖ Ð Ó Ö Û Ö Ñ ÒÝ ÓÒÐ Ò ÓÙÖ Ó ÒÓØ ÔÖÓÚ Ø Ò Ó ØØ ÒØ ÓÒº ÓÖ Ò Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÐÙØ ÓÒ ØÙÖ Ò ÊÍ Û Ø Å À Å Ö Ø Ò ØÝÔ Ø Û Ø Ö Ò Û Ó ÓÙÖ Ø ØÓ ÐØ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓÔÓ Ð Û Ö Ú º ËÓÑ Ø Ñ Ø Ø Û Ð ØÓ ÔÖÓ ÝÓÙÖ Ñ Ø Ö Ðº ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ú ÐÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓÔÓ Ð ØÓ ÔÖÓ Ù ÓÒÐÝ ½¼¼ ÓÙÖ¹ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÔÙ Ð Ô Ö Ý Ö Û Ö Û Ö Ú ÓÒ Ö ÐÝ ÑÓÖ Ø Ò ½¼¼ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓÔÓ Ð Ý Öº Á Ø Û Ø ØÓÓ ÐÓÒ Ø Ò Û Ú ÒÓØ ÐÖ Ý Ù ÝÓÙÖ ÔÖÓ Ð Ñµ ÝÓÙ Ò Ò ÓÖÑ Ù Ø Ø ÝÓÙ ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ù Ñ Ø ÝÓÙÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Û Ö Ò Û Û ÐÐ Ø Ò Ö ÑÓÚ Ø ÖÓÑ Ø ÕÙ Ù º Ì Ñ ÔÔÐ ÓÖ ÓØ Ö Ñ Ø Ö Ð º Á Ø ÓÑ ØÓ ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ Ø Ø ÓÑ ÙÔÐ Ø ÓÒ ÓÙÖÖ Ø Ò Û Ñ Ý ÒÓØ ÔÙ Ð Ø ÙÔÐ Ø Ñ Ø Ö Ðº À Ú Ò Ø Ø Ó Ú ÓÙ Ø Ø ÓÙÖ ÓÙÖÒ Ð Ò Û Ø Ø Ñ º ÁÒ ÖÙÜ Û ÓÖ Ò ÐÐÝ ÓÙÒ ÙÖ Ý Ä Ó Ë ÙÚ Ò ½ Ò Ø ÒÓØ ÒÐÙ ÓÓ Ö Ú Û ÓÒØÖ ÙØÓÖ ÔÖÓ Ð ÓÖ Å Ý Ñ Ø Ø Ø Ø Ñ Ò Ø Û ÖØ ÒÐÝ ÒÓØ ÔÓ Ø ÓÒ Ø ÒØ ÖÒ Ø Ù Ø ÒØ ÖÒ Ø ÒÓØ Ü Ø Ø Ò ÅÓÚ Ò ÓÖÛ Ö Ø Ò Ú Ø Ð Ø Ø ÊÍ Û Ø Å À Å Û ÐÐ Ò Ý Ø Òº Ò ÐÐÝ Á Ñ ÔÔÝ ØÓ Ö ÔÓÖØ Ø Ø ÛÓÖ ÐÖ Ý Ø ÖØ ÓÒ Ø Â Ñ ÌÓØØ Ò Ô Ð Ù Ð Ø ÓÖ Ë ÔØ Ñ Öº Á Ø Ò ÝÓÙ Ø Ö Ö ÓÖ ÝÓÙÖ Ô Ø Ò Û Ø Ø Ð Ý Ó Ø Ð Ø Ø ÑÓÒØ º Ï Ø Ø Ñ Ú Ð Ð ÓÖ ÔÖ Ô Ö Ø ÓÒ Ø ÙÑÑ Ö ÙÒÐ Ð Ø ÙÑÑ Öµ ÖÙÑ Ø Ò Ö ÚÓÙÖ Ð ÓÖ ÙØÙÑÒ ØÓ Ó ÓÖ Ò ØÓ ÙÐ º

2 ½ ËÃÇÄÁ ÆÓº ½½ Ä ÐÝ Ò Ò ÅÓ Ò À Ò Ò ÈÐ Ò ÝÓÙÖ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ë ÓÐ Ý ½ ÆÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ º ÓÔÝ Ó ÖÙÜ Û ÐÐ ÒØ ØÓ ÓÒ ÔÖ ¹ÙÒ Ú Ö ØÝ Ö Ö Û Ó Ò Ò ÓÐÙ¹ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ð Ò º Ì ÓÒ Ó Ø ØÓÖ Ò Ðº ÇÙÖ ÓÒØ Ø Ø ÑÓÒØ Ø Ð ÖÝ Å Ø Ñ Ø Ð Ó Ø ÓÒ ÂÙÒ ÓÖ À Ë ÓÓÐ Å Ø Ñ Ø ÓÒØ Ø È ÖØ ¾¼¼ º ÇÙÖ Ø Ò Ó ØÓ ÂÓ ÒÒ Ò Ô Ó Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð ÖÝ Ð ÖÝ Ð ÖØ ÓÖ ÔÖÓÚ Ò Ù Û Ø Ø ÓÒØ Ø Ò ÓÖ Ô ÖÑ ÓÒ ØÓ Ô٠Рغ Ï Ð Ó Ø Ò ÊÓÐÐ Ò Ù Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ ÓÐÐ Ó Ëغ ÓÒ Ï ÒÒ Ô Å ÓÖ ØÖ Ò Ð Ø Ò Ø ÓÒØ Øº ÓÒÓÙÖ Ð³ Ó Ø ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ð ÖÝ Æ Ú Ù ÔÖ ÓÒ Ö ÊÓÒ Ò Ð Ô ÖØ ¾¼¼ ½º Ê Ö Ó Ò Ö Ò Ö Ò Ø Ü Ñ ÓÒ ÙÒ Ô Ö Ô ØÖ ÐÓ Òº ÙÜ ÓÑÔ Ò Ø Ü Ó«Ö ÒØ Ð ÙÖ ÖÚ º Ä ÔÖ Ñ Ö ØÙÖ Ð ÒØ ÙÒ Ø ÙÜ Ü ½¼ ¼¼ ÙÕÙ Ð ³ ÓÙØ ÙÒ Ø ÙÜ Ú Ö Ð ¼ ¼ ÔÓÙÖ ÕÙ ÐÓÑ ØÖ Ù ØÖ Ø Ø Ò ÕÙ Ð ÙÜ Ñ ÙÒ Ø ÙÜ Ü ¼¼ Ø ÙÒ Ø ÙÜ Ú Ö Ð ¼ ¼ Ð ÐÓÑ ØÖ º Ê Ö ÓÒ Ø Ø ÕÙ Ð Ó ÙØ Ø Ð Ñ Ñ ÕÙ ÐÐ ÕÙ Ó Ø Ð ÓÑÔ Ò Ó º ÉÙ ÐÐ Ø Ð Ø Ò Ò ÐÓÑ ØÖ Ñ ÓÒ Ù Ô Ö ¾º ÍÒ ÔÓ Ø Ö Ó Ð Ò ÙÒ ÓÒÓÙÖ Ó Ù ÙÒ Ò ÒØ ÔÓÙÖÖ ¹ Ø Ö ÙÜ Ñ Ø Ò Ò ÅÓÒØÖ Ð ÔÙ ³Ý Ñ Ò Ö ÙÒ Ñ ÙÒ ÙÜ Ñ Ø Ó Ø ÙÒ Ñ ÙÜ ÙÜ Ñ Ø Ó Ø ÙÜ Ñ ÙÒ ÙÒ Ñ Ø «Ö Òغ Ä Ò Ø ÕÙ Ð Ñ Ð ÖØÖ Ò ÖÓÐ Ú Ø Ú ÐÝÒ ÓÒØ ØÓÙ Ø Ð Ö Ò ÒØ Ù ÓÒÓÙÖ º ÅÓÒ¹ ØÖ Ö ÓÑÑ ÒØ ÙÒ Ò ÒØ Ô ÙØ Ó Ö Ñ Ô ÖÑ Ð ÖÓÙÔ ÓÒ ÕÙ ÕÙ Ô Ö ³ Ñ Ô ÖÑ Ð ÒÕ Ø Ù ÑÓ Ò ÙÒ Ñ Ø Ò Ñ Ð º º ÙÜ Ø Ø ÓÒØ Ñ Ò ØÖ ÙÒ ÖÓÙÔ ³ ØÙ ÒØ º ÕÙ ØÙ ÒØ Ö Ó Ø ÙÒ ÓÖ ÔÓÙÖ ÙÒ ÙÜ Ø Ø ÓÖ Ø ÒØ ÙÒ ÒØ Ö ÒÓÒ Ò Ø Ù ÔÐÙ Ð 10º Ö Ò Ö Ñ ÖÕÙ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ø Ø ÙÐ Ñ ÒØ ÙÒ ØÙ ÒØ Ö Ù ÙÒ ÓÖ ÔÐÙ Ð Ú ÕÙ ÐÙ Ø ÕÙ Ô Ö ÓÒÒ Ò³ Ð ÓÒ ÓÖ Ð Ò Ø Ñ Ñ ÔÓÙÖ Ð ÙÜ Ñ Ø Øº ÔÖ ÕÙ Ð ÔÖÓ ÙÖ Æ Ð ÓÖ ÑÓÝ Ò ÙÜ Ø Ø Ö Ò ÓÒ Ø Ø ÕÙ³ Ð Ý ÔÐÙ ÕÙ³ÙÒ ØÙ ÒØ Ú ÙÒ ÓÖ ÑÓÝ Ò ÔÐÙ Ð Ú ÕÙ Ð Òº

3 ½ µ ÓÒÒ Ö ÙÒ Ü ÑÔÐ ÓÒÖ Ø ÒÐÙ ÒØ ØÓÙ Ð ÓÖ ÔÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Ø ÔÓ Ð º µ ÉÙ Ð Ø Ð ÔÐÙ Ö Ò ÒÓÑ Ö ³ ØÙ ÒØ ÔÓÙÚ ÒØ ÚÓ Ö ÙÒ ÓÖ ÑÓÝ Ò ÔÐÙ Ð Ú ÕÙ ÐÙ ³ Ö Ò ÜÔÐ ÕÙ Ö Ð Ö Ñ ÒØ ÔÓÙÖÕÙÓ ÚÓØÖ Ö ÔÓÒ Ø ÓÖÖ Ø º º ÇÒ ÓÑÑ Ò Ô Ö ØÖ Ö ÙÒ Ö Ø Ò Ð Ø ÐÐ 6 Ñ Ô Ö 8 Ѻ Ò Ù Ø ÓÒ ØÖ Ð ÖÐ ÖÓÒ Ö Ø Ö Ø Ò Ð ÔÙ ÙÒ ÖÖ ÖÓÒ Ö Ø ÙØÓÙÖ Ù ÖÐ º Ò Ò ÓÒ ØÖ Ð ÖÐ ÖÓÒ Ö Ø Ù ÖÖ ØÓÙØ Ù Ø ÓÒ ØÖ٠غ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÙÖ Ö¹ Ò Ö ÖÐ Ò Ñ º º ËÓ Ø A ÙÒ ÒØ Ö ÔÓ Ø ÙÜ «Ö Ñ ÙÜ Ò ÓÒØ Ò ÒØ ÙÙÒ Þ ÖÓ Ø Ó Ø B ÙÒ ÒØ Ö ÔÓ Ø ØÖÓ «Ö Ñ Ùܺ Ë A± B ÓÒÒ 400 Ø ÖÑ Ò Ö ØÓÙØ Ð Ú Ð ÙÖ ÔÓ Ð A Ø Bº º Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ Ö Ø Ò Ð Ý ÒØ Ð ÙÜ ÔÖÓÔÖ Ø Ù Ú ÒØ µ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÙÒ ÒØ Ö ÑÔ Ö Ø µ ÙÙÒ ÓØ Ò³ Ø ÒØ Öº Ø ÖÑ Ò Ö Ñ ÒØ Ò ÒØ ÙÒ Ö Ø Ò Ð Ý ÒØ Ð ÙÜ ÔÖÓÔÖ Ø Ù Ú ÒØ µ ÙÖ Ø ÙÒ ÒØ Ö Ô Ö Ø µ ÙÙÒ ÓØ Ò³ Ø ÒØ Öº Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÕÙ Ö Ð Ø Ö Ô Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ý ÒØ Ð ØÖÓ ÔÖÓÔÖ Ø Ù Ú ÒØ µ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÙÒ ÒØ Ö ÔÓ Ø µ ÙÖ Ø ÙÒ ÒØ Ö ÔÓ Ø Ø µ ÙÙÒ ÓØ Ò³ Ø ÒØ Öº Ð ÖÝ Å Ø Ñ Ø Ð Ó Ø ÓÒ ÂÙÒ ÓÖ À Ë ÓÓÐ Å Ø Ñ Ø ÓÒØ Ø Ò Ð ÊÓÙÒ È ÖØ ¾¼¼ ½º Ê Ö Ò ØÓ Ó ÖÓÑ ÓÙ ØÓ Ø Ô Ö Ý Ø Ò Ø Ü º Ì Ö Ö ØÛÓ Ø Ü ÓÑÔ Ò Ú Ð Ð º Ì Ö Ø Ø Ü ÓÑÔ ÒÝ Ö Ò Ò Ø Ð Ó Ø Ó ½¼º¼¼ ÔÐÙ ¼º ¼ ÓÖ ÐÓÑ ØÖ ØÖ Ú ÐÐ º Ì ÓÒ Ø Ü Óѹ Ô ÒÝ Ö Ò Ò Ø Ð Ó Ø Ó º¼¼ ÔÐÙ ¼º ¼ ÓÖ ÐÓÑ ØÖ ØÖ Ú ÐÐ º Ê Ö Ö Ð Ø Ø Ø Ó Ø ØÓ Ó ØÓ Ø Ô Ö Ø Ñ Ö Ö Ð Ó Û Ø Ü ÓÑÔ ÒÝ ÓÓ º Ï Ø Ø Ø Ò Ò Ñ ÖÓÑ ÓÙ ØÓ Ø Ô Ö ¾º Ö Ó Ø Ø ÓÒ ÖÙÒ ÓÒØ Ø Ò Û Û ÒÒ Ö Û ÐÐ Ø ØÓ ØØ Ò ØÛÓ Ð ÖÝ Ð Ñ ÔÐ ÝÓ«Ñ Ò ØÓ Ø ÓÒ Ù Ø ØÓ Ñ º Ì Û ÒÒ Ö Ó ÒÓØ Ú ØÓ Ø Ø Ñ Ù Ø ØÓ Ø ØÛÓ Ñ º ÄÙ ÐÝ Ú ÓÓÐ Ö Ò Ð Ó ÖÓÐ Ú Ò Ú Ö ÐÐ Û ÒÒ Ö Ó Ø ÓÒØ Øº Ë ÓÛ ÓÛ Û ÒÒ Ö Ò ÓÓ ØÛÓ ÓØ Ö ÖÓÑ Ø ÖÓÙÔ ØÓ ÓÖ Ö Ù Ø Ó Ø Ø Ô Ö Ó Ø Ú Ö Ò Ø ØÓ Ó ØÓ Ø Ð Ø ÓÒ ÔÐ ÝÓ«Ñ ØÓ Ø Öº

4 ½ º Ð Û Ú Ò ØÛÓ Ø Ø º ÁÒ Ø Ø ØÙ ÒØ Û Ú Ò ÒÓÒ¹ Ò Ø Ú ÒØ Ö ÓÖ Û Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÔÓ Ð ÓÖ Ó 10º Ö Ò ÒÓØ Ø Ø Ò Ø Ø ÓÒÐÝ ÓÒ ØÙ ÒØ ÓÖ Ö Ø Ò Ò ÒÓ Ó Ý ÓØ Ø Ñ ÓÖ º ÙØ Ø Ò Ø Ø Ö ÔÓ Ø Ø Ú Ö Ó Ø ØÛÓ ÓÖ ÓÖ ØÙ ÒØ Ò ÒÓÛ Ø Ö Û ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ ØÙ ÒØ Û Ø Ò Ú Ö ÓÖ Ö Ø Ò Ö Òº µ Ú Ò Ü ÑÔÐ Ù Ò Ü Ø ÓÖ µ ØÓ ÓÛ Ø Ø Ø ÓÙÐ ÔÔ Òº µ Ï Ø Ø Ð Ö Ø ÔÓ Ð ÒÙÑ Ö Ó ØÙ ÒØ Û Ó Ú Ö ÓÖ ÓÙÐ Ö Ø Ò Ö Ò³ Ú Ö ÓÖ ÜÔÐ Ò Ð ÖÐÝ Û Ý ÝÓÙÖ Ò Û Ö ÓÖÖ Øº º Ö Ø Ò Ð Û Ø Ñ Ò ÓÒ 6 Ñ Ý 8 Ñ Ö ÛÒº ÖÐ Ö ÛÒ ÖÙÑ Ö Ò Ø Ö Ø Ò Ð º ÕÙ Ö Ö ÛÒ ÖÙѹ Ö Ò Ø ÖÐ º ÓÒ ÖÐ Ö ÛÒ Ø Ø ÖÙÑ Ö Ø ÕÙ Ö º Ï Ø Ø Ö Ò Ñ Ó Ø Ö ÖÐ º Á A ØÛÓ¹ Ø ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ø Ø Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò Þ ÖÓ Ø B Ø Ö ¹ Ø ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ò A% Ó B 400 Ò ÐÐ ÔÓ Ð Ú ÐÙ Ó A Ò Bº º Ò Ö Ø Ò Ð Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ ÔÖÓÔ ÖØ µ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ó ÒØ Ö Ò µ ÒÓÒ Ó Ø Ò ÒØ Öº Æ ÜØ Ò Ö Ø Ò Ð Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ ÔÖÓÔ ÖØ µ Ø Ö Ò Ú Ò ÒØ Ö Ò µ ÒÓÒ Ó Ø Ò ÒØ Öº Ò ÐÐÝ Ò ÕÙ Ö Ð Ø Ö Ð ÒÓØ Ò Ö ÐÝ Ö Ø Ò Ð µ Û Ø Ø Óй ÐÓÛ Ò Ø Ö ÔÖÓÔ ÖØ µ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö µ Ø Ö ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ò µ ÒÓÒ Ó Ø Ò ÒØ Öº Ï ÒÓÛ Ú ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ð Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø ¾¼¼ Ö ØÓÔ Ö Æ ÛÔÓÖØ ÍÒ Ú Ö ØÝ Å Ø Ñ Ø ÓÒØ Ø Ò Ë ÓÐ ½½½ ¾¼¼ ¾ ¹¾ º ½º Ò Ø Ñ ÔÓ ÒØ Ó Ø ÓÑ Ò Ó Ø ÙÒØ ÓÒ f(x) = 4 x + 5º µ 1 4 µ 3 ËÓÐÙØ ÓÒ Ý Ò ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÐÚ Öº µ 3 µ 5 Ì ÓÑ Ò Ó Ø ÙÒØ ÓÒ f Ø Ø Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö x Ù Ø Ø ÓØ 4 x Ò x + 5 0º Ì Ð ØØ Ö Ò ÕÙ Ð ØÝ Ø Ñ x 5 Ò x 5 º

5 ½ Ì Ö Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ Ø Ñ 4 x + 5 Ó 16 x+5º Ì Ù 11 x Ò 11 xº À Ò Ø ÓÑ Ò Ó f Ø ÒØ ÖÚ Ð [ 5, 11 ] º Ì Ñ ÔÓ ÒØ Ó Ø ÒØ ÖÚ Ð 1 ( ) = 3 Ó Ø Ò Û Ö µº Ð Ó ÓÐÚ Ý ÂÁ Í Æ Ï Æ ØÙ ÒØ ÓÒ Å ÐÐ ÓÐÐ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÌÓÖÓÒØÓ ÇÆ Ò ÄÍ ÍÆ ÀÇÆ ¹ÉÁ Ç ÓÐÙÑ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÐÐ À Ñ ÐØÓÒ Çƺ ¾º Ì ÙÑ a+b Ø ÔÖÓ ÙØ ab Ò Ø «Ö Ò a b ÓÖ ØÛÓ ÔÓ Ø Ú ÒÙÑ Ö a Ò b Ø Ñ ÒÓÒÞ ÖÓ ÒÙÑ Öº Ï Ø b µ µ µ 5 µ ËÓÐÙØ ÓÒ Ý Â ÜÙ Ò Ï Ò ØÙ ÒØ ÓÒ Å ÐÐ ÓÐÐ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÌÓÖÓÒØÓ Çƺ Á ab = a + b Ò ab = a b Ø Ò 1 = ab ab = a b a + b = (a b)(a + b) a + b = a b Ò a = b + 1º Ë Ò ab = a + b Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø (b + 1)b = (b + 1) + b Ó b b 1 = 0º Ì ÕÙ Ö Ø ÓÖÑÙÐ Ý Ð Ø Ø b = 1 ± 5 º Ë Ò b Ú Ò ØÓ ÔÓ Ø Ú b = Ò Ø Ò Û Ö µº Ð Ó ÓÐÚ Ý ÄÍ ÍÆ ÀÇÆ ¹ÉÁ Ç ÓÐÙÑ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÐÐ À Ñ ÐØÓÒ Çƺ º Ä Ø f(x) ÕÙ Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Û Ø f(3) = 15 Ò f( 3) = 9º Ò Ø Ó Æ ÒØ Ó x Ò f(x)º µ µ 3 µ 1 µ ËÓÐÙØ ÓÒ Ý Â ÜÙ Ò Ï Ò ØÙ ÒØ ÓÒ Å ÐÐ ÓÐÐ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÌÓÖÓÒØÓ Çƺ Ë Ò f(x) ÕÙ Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð f(x) = ax + bx + c ÓÖ ÓÑ Ó Æ ÒØ a b Ò cº ÆÓÛ 15 = f(3) = 9a + 3b + c 9 = f( 3) = 9a 3b + c ËÙ ØÖ Ø Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø Ö Ø Ý Ð 6 = 6b Ó b = 1 Ò Ø Ò Û Ö µº Ð Ó ÓÐÚ Ý ÄÍ ÍÆ ÀÇÆ ¹ÉÁ Ç ÓÐÙÑ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÐÐ À Ñ ÐØÓÒ Çƺ ÇÒ ÓÖÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Û Ù Ñ ØØ Ý Ò ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÐÚ Öº º Ô Ö Ó Ö Øº Ï Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø ÙÑ Ó Ø ÒÙÑ Ö ÐÐ Ò ÙÔÔ ÖÑÓ Ø 7 ÓÖ 11 Ø ÒÓÛÒ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÒÙÑ Ö 5 µ 9 µ 7 36 µ 1 9 µ 4 11

6 ½ ËÓÐÙØ ÓÒ Ý Â ÜÙ Ò Ï Ò ØÙ ÒØ ÓÒ Å ÐÐ ÓÐÐ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÌÓÖÓÒØÓ Çƺ ÇÒ Ò ÖÓÐÐ Ø Ð Ø ÓÒ 5 Ò Ð Ú Ò Û Ý Ö Ø Ë ÓÒ ËÙÑ Ç Ø Ø ÙÑ 7 ÓÖ 11 Ò ÓÙÖ Ó Ø ÔÖÓ Ð ØÝ 4 Ò Û Ö µº ÇÒ Ñ Ý Ð Ó Ù Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð ØÝ P(A B) = P(A Ò B) P(B) 11 Ò Ø Û Ö P(A B) Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø A ÔÔ Ò Ú Ò Ø Ø B ÔÔ Òº ÁÒ Ø Ó ÖÓÐÐ Ò Ø A Ø ÙÑ 7 ÓÖ 11 Û Ð B Ø Ð Ø ÓÒ 5 º Ì ÔÖÓ Ð ØÝ Ó ÖÓÐÐ Ò Ø Ð Ø ÓÒ 5 Û Ø ØÛÓ ÓÖ º Ï Ò ÖÓÐÐ Ò ØÛÓ ÓÒ Ñ Ý Ø ÙÑ Ó ÓÖ 11 Ò Ø Ð Ø ÓÒ 5 Ò ÓÙÖ Û Ý Ò Ó P(A Ò B) = 4 36 º Ì ÓÖÑÙÐ ÓÚ ÒÓÛ Ý Ð P(A B) = 4/36 11/36 = 4 ÓÖ º 11 º Ì ÒÙÑ Ö Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÓÖÑ a + b Û Ö a Ò b Ö Û ÓÐ ÒÙÑ Ö Ò b > aº Ï Ø Ø Ú ÐÙ b a µ 4 µ µ µ 3 ËÓÐÙØ ÓÒ Ý Ò ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÐÚ Öº ÆÓØ Ø Ø 57 = = 11 13º Ì Ù = = = ( ) = º À Ò b a = = Ò Ø Ò Û Ö µº Ð Ó ÓÐÚ Ý ÂÁ Í Æ Ï Æ ØÙ ÒØ ÓÒ Å ÐÐ ÓÐÐ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÌÓÖÓÒØÓ ÇÆ Ò ÄÍ ÍÆ ÀÇÆ ¹ÉÁ Ç ÓÐÙÑ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÐÐ À Ñ ÐØÓÒ Çƺ º Ä Ø x = Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÕÙ Ð ØÓ x Ø Ò Ø ÓÒØ ÒÙ Ö Ø ÓÒº Ï ÓÒ Ó µ µ µ µ 15 3

7 ½ ËÓÐÙØ ÓÒ Ý Ò ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÐÚ Öº Ì Ö ÓÖ ÆÓØ Ø Ø x = + x = (3 + x) x = º 3 + x = 3 + x 7 + x º À Ò 7x + x = 3 + x Ó x + 6x 3 = 0 Ò Ø ÕÙ Ö Ø ÓÖÑÙÐ Ý Ð x = 6 ± 60 4 = 6 ± 15 4 = 3 ± 15 Ë Ò x Ð ÖÐÝ ÔÓ Ø Ú x = Ò Ø Ò Û Ö µº Ð Ó ÓÐÚ Ý ÂÁ Í Æ Ï Æ ØÙ ÒØ ÓÒ Å ÐÐ ÓÐÐ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÌÓÖÓÒØÓ Çƺ ( ) 1 + x º Á f = 5x Ò f()º 1 x µ 15 µ 15 1 µ 3 µ 4 ËÓÐÙØ ÓÒ Ý Ò ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÐÚ Öº 1 + x 1 + x Á = Ø Ò 1 x 1 x = 4 Ó 1 + x = 4 4x Û Ò x = 3 º 5 ËÙ Ø ØÙØ Ò x = 3 3 ÒØÓ Ø Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÒÓÛ Ý Ð f() = 5 = 3 Ò 5 5 Ø Ò Û Ö µº Ð Ó ÓÐÚ Ý ÂÁ Í Æ Ï Æ ØÙ ÒØ ÓÒ Å ÐÐ ÓÐÐ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÌÓÖÓÒØÓ ÇÆ Ò ÄÍ ÍÆ ÀÇÆ ¹ÉÁ Ç ÓÐÙÑ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÐÐ À Ñ ÐØÓÒ Çƺ º ÝÓÙ Û ÐÐ Ú ÒÓØ Ø ÒØ ØÝ Ó ÓÒ Ó ÓÙÖ ÓÐÚ Ö Û ÐÓ Ø Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó Ë ÓÐ ØÓÖ º Á ÝÓÙ Ù Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ Ô Ô Ö ÓÖ Ò Ó Ô Ô Ö ÓÐÙØ ÓÒ Û Ö ÕÙ Ø Ø Ø ÝÓÙ ÛÖ Ø ÝÓÙÖ Ò Ñ Ò ÆÐ Ø ÓÒ ÓÒ Øº Ì Ù ³ ÔÖ Þ Ó ÓÒ ÓÔÝ Ó ÖÙÜ Û Ø Å Ý Ñ ÓÖ Ø Ø ÓÐÙ¹ Ø ÓÒ Ó ØÓ Â ÜÙ Ò Ï Ò ØÙ ÒØ ÓÒ Å ÐÐ ÓÐÐ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÌÓÖÓÒØÓ Çƺ Ï ÛÓÙÐ Ú ÖÝ ÑÙ ÔÔÖ Ø Ö Ú Ò ÑÓÖ ÓÐÙØ ÓÒ ÖÓÑ ÓÙÖ ÔÖ ¹ ÙÒ Ú Ö ØÝ Ö Ö º ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ù Ø ÓÑ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð Ó Û ÐÓÑ º

8 ¾¼¼ Å ÌÀ Å ÌÁ Ä Å À Å Å Ø Ñ Ø Ð Å Ý Ñ Ò Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ð ÂÓÙÖÒ Ð ÓÖ Ò Ý À Ë ÓÓÐ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ ËØÙ ÒØ º ÁØ ÓÒØ ÒÙ Û Ø Ø Ñ ÑÔ Ò ÒØ Ö Ð Ô ÖØ Ó ÖÙÜ Å Ø Ñ Ø ÓÖÙÑ Û Ø Å Ø Ñ Ø Ð Å Ý Ñº Ì Å Ý Ñ ØÓÖ Á Ò Î Ò Ö ÙÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ï Ø ÖÐÓÓµº Ì ÓØ Ö Ø «Ñ Ñ Ö Ö ÅÓÒ Ã Ò ÓÒ Ó ÇÙÖ ÄÓÖ Ë ÓÒ ÖÝ Ë ÓÓÐ Å Ù µ Ò Ö ÊÓ ÖØ Ä Ó À Ý À Ë ÓÓÐ Ö Ö ØÓÒµº Å Ý Ñ ÈÖÓ Ð Ñ Î Ù ÐÐ Þ ÒÓÙ ØÖ Ò Ñ ØØÖ ÚÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÙÜ ÔÖÓ Ð Ñ Ù ÔÖ ÒØ ÒÙÑ ÖÓ Ú ÒØ Ð ½ Ó ÙØ ¾¼¼ º Ä ÓÐÙØ ÓÒ Ö Ù ÔÖ ØØ Ø Ò ÖÓÒØ ÔÖ Ò ÓÑÔØ ÕÙ ³ Ð ÒÓÙ Ö Ø Ù Ø ÑÔ Ú ÒØ Ð ÔÙ Ð Ø ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ º ÕÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÔÙ Ð Ò Ð ÙÜ Ð Ò Ù ÓÆ ÐÐ Ù Ò Ò Ð Ø Ö Ò µº Ò Ð ÒÙÑ ÖÓ ½ Ø Ð³ Ò Ð ÔÖ Ö Ð Ö Ò Ø Ò Ð ÒÙÑ ÖÓ ¾ Ø Ð Ö Ò ÔÖ Ö Ð³ Ò Ð º Ä Ö Ø ÓÒ ÓÙ Ø Ö Ñ Ö Ö Â Ò¹Å Ö Ì ÖÖ Ö Ð³ÍÒ Ú Ö Ø ÅÓÒØÖ Ð ³ ÚÓ Ö ØÖ Ù Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Å º ÈÖÓÔÓ Ô Ö Ð³ ÕÙ Ô Å Ý Ñº Ä ÒÓÑ Ö a b c d Ø e ÓÒØ ÒÕ ÒØ Ö Ù º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð «Ö Ò ÒØÖ Ð ÑÓÝ ÒÒ ÖÖ c Ø e Ø ÐÐ ÖÖ a Ø c Ø Ð ÕÙ ØÖ Ó cº Å º Å Ý Ñº ÈÖÓÔÓ Ô Ö Ð³ ÕÙ Ô D Ä ÕÙ Ö Ð Ø Ö ABCD Ø Ø Ð ÕÙ ÙÒ ÓØ Ø Ø Ò ÒØ ÙÒ ÖÐ ÓÒÒ ÓÑÑ Ò Ð ÙÖ ¹ÓÒØÖ º Ë AB = AD ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ BC = CDº C B A Å º ÈÖÓÔÓ Ô Ö Ð³ ÕÙ Ô Å Ý Ñº Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ð ABCD ÓØ AB = 8 Ø BC = 6 ÓÒ Ò Ö Ø Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÙÜ ÖÐ ÒØÖ O 1 Ø O Ò Ð ØÖ Ò Ð ABD Ø BCDº ÌÖÓÙÚ Ö Ð Ø Ò ÒØÖ O 1 Ø O º Å º ÈÖÓÔÓ Ô Ö ÇÚ Ù ÙÖ Ù ÑÔ ÌÙÖÞ ÐÙ ÊÓÙÑ Ò º ÌÖÓÙÚ Ö ØÓÙØ Ð Ô Ö (x, y) ³ ÒØ Ö Ø Ð ÕÙ x 4 x + 1 = y º

9 ¾¼½ Å º ÈÖÓÔÓ Ô Ö Ð³ ÕÙ Ô Å Ý Ñº µ ËÓ Ø r s Ø t Ð Ö Ò Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ù ÕÙ w 3 bw + cw d = 0º Ø ÖÑ Ò Ö b c Ø d Ò Ø ÖÑ r s Ø tº µ ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ a Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö Ö Ðº Ø ÖÑ Ò Ö ØÓÙØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ý Ø Ñ ³ ÕÙ Ø ÓÒ x + y + z = a xy + yz + zx = 1 xyz = a º Å º ÈÖÓÔÓ Ô Ö Æ ÙÐ ËØ Ò Ù ÓÐ Ì Ò ÕÙ ËÙÔ Ö ÙÖ Ë ÒØ ÅÙ Ò Ë Ú Ö ÊÓÙÑ Ò º ÌÖÓÙÚ Ö ØÓÙ Ð ØÖ ÔÐ Ø (a, b, c) ³ ÒØ Ö ÔÓ Ø Ø Ð ÕÙ 3ab 1 abc + 1 Ó Ø ÙÒ ÒØ Ö ÔÓ Ø º Å ¼¼º ÈÖÓÔÓ Ô Ö Å ÐÝ ÒÞ Ö ÓÚ ÊÓÙÑ Ò º ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ a b Ø c ÓÒØ ØÖÓ ÒÓÑ Ö Ö Ð ÔÓ Ø º ËÙÔÔÓ ÓÒ ÔÐÙ ÕÙ a n + b n = c n ÔÓÙÖ ÙÒ ÖØ Ò ÒØ Ö ÔÓ Ø n Ú n º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ k Ø ÙÒ ÒØ Ö ÔÓ Ø Ú 1 k < n ÐÓÖ a k b k Ø c k ÓÒØ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ ÓØ ³ÙÒ ØÖ Ò Ð º Å º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÖÓÔÓ Ý Ø Å Ý Ñ ËØ «º Ì ÒÙÑ Ö a b c d Ò e Ö Ú ÓÒ ÙØ Ú ÒØ Ö Ò Ø Ø ÓÖ Öº ÈÖÓÚ Ø Ø Ø «Ö Ò ØÛ Ò Ø Ú Ö Ó Ø ÕÙ Ö Ó c Ò e Ò Ø Ú Ö Ó Ø ÕÙ Ö Ó a Ò c ÕÙ Ð ØÓ ÓÙÖ Ø Ñ cº Å º ËØ «º ÈÖÓÔÓ Ý Ø Å Ý Ñ D Ì ÕÙ Ö Ð Ø Ö Ð ABCD Ù Ø Ø Ó Ø Ø Ò ÒØ ØÓ Ú Ò ÖÐ ÓÛÒº Á AB = AD ÔÖÓÚ Ø Ø BC = CDº C B A Å º ÈÖÓÔÓ Ý Ø Å Ý Ñ ËØ «º Ì Ö Ø Ò Ð ABCD Ð Ò Ø AB = 8 Ò BC = 6º ÖÐ Û Ø ÒØÖ O 1 Ò O Ö Ò Ö Ò ØÖ Ò Ð ABD Ò BCDº Ø Ö¹ Ñ Ò Ø Ø Ò ØÛ Ò O 1 Ò O º

10 ¾¼¾ Å º ÈÖÓÔÓ Ý ÇÚ Ù ÙÖ Ù ÑÔ ÌÙÖÞ ÐÙ ÊÓÑ Ò º Ø ÖÑ Ò ÐÐ Ô Ö (x, y) Ó ÒØ Ö Ù Ø Ø x 4 x + 1 = y º Å º ÈÖÓÔÓ Ý Ø Å Ý Ñ ËØ «º µ Ì Ù ÕÙ Ø ÓÒ w 3 bw + cw d = 0 ÖÓÓØ r s Ò tº Ø ÖÑ Ò b c Ò d Ò Ø ÖÑ Ó r s Ò tº µ ËÙÔÔÓ Ø Ø a Ö Ð ÒÙÑ Öº Ø ÖÑ Ò ÐÐ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÒ Å º x + y + z = a xy + yz + zx = 1 xyz = a º ÈÖÓÔÓ Ý Æ ÙÐ ËØ Ò Ù Ë ÒØ ÅÙ Ò Ë Ú Ì ÒÓÐÓ Ð À Ë ÓÓÐ Ö ÊÓÑ Ò º Ø ÖÑ Ò ÐÐ ØÖ ÔÐ (a, b, c) Ó ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö ÓÖ Û 3ab 1 abc + 1 ÔÓ Ø Ú ÒØ Öº Å ¼¼º ÈÖÓÔÓ Ý Å ÐÝ ÒÞ Ö ÓÚ ÊÓÑ Ò º ËÙÔÔÓ Ø Ø a b Ò c Ö ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö º ÁÒ Ø ÓÒ ÙÔÔÓ Ø Ø a n + b n = c n ÓÖ ÓÑ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö n Û Ø n º ÈÖÓÚ Ø Ø k ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Û Ø 1 k < n Ø Ò a k b k Ò c k Ö Ø Ð Ò Ø Ó ØÖ Ò Ð º Å º Å Ý Ñ ËÓÐÙØ ÓÒ ÈÖÓÔÓ Ý Ø Å Ý Ñ ËØ «º Ø ÖÑ Ò ÐÐ Ö Ð ÒÙÑ Ö x Ø Ø Ø Ý 3 x+ + 3 = 3 x + 3 x+3 º ËÓÐÙØ ÓÒ Ý Ë Ñ Ð ÖÐ ØÙ ÒØ ÙÖÒ Ý ËÓÙØ Ë ÓÒ ÖÝ Ë ÓÓÐ ÙÖÒ Ý º Ì ÕÙ Ø ÓÒ 3 x+ + 3 = 3 x + 3 x+3 Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÓÖÑ 3 (3 x ) + 3 = 3 x x º ËÙ Ø ØÙØ Ò k = 3 x Û Ó Ø Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ 9k + 3 = k + 7k Ò 9k 8k + 3 = 0º ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓ ÓÐÚ ÓÖ k Ý ØÓÖ Ò Û Ó Ø Ò (k 3)(9k 1) = 0º À Ò k = 3 ÓÖ k = 1 º 9 ËÙ Ø ØÙØ Ò k = 3 x Û Ú 3 x = 3 ÓÖ 3 x = 1 9 Ó x = 1 ÓÖ x = º

11 ¾¼ Ð Ó ÓÐÚ Ý ÁÆ Â ÆÇÎÁ ØÙ ÒØ Ö Ø Ó Ò À Ë ÓÓÐ Ë Ö ÚÓ Ó Ò Ò À ÖÞ ÓÚ Ò ÇÊ ÈÇËÌÇÄÇÈÇÍÄÇË Å ÓÐÓÒ Ö Ç ÅÁÆÀ ÉÍ Æ Æ ÙÝ Ò Ò Ã Ñ À Ë ÓÓÐ Î Ò ÄÓÒ Î ØÒ Ñ Â Ä Æ À Æ ØÙ ÒØ Ï Ø ÖÒ Ò À Ë ÓÓÐ Ð ÖÝ ÄÍÁË ËÇÍË ØÙ ÒØ ÁË̹ÍÌÄ Ä ÓÒ ÈÓÖØÙ Ð ÂÇË À ÊÆ Æ Ë ÆÌÁ Ç ØÙ ÒØ ÍÒ Ú Ö Ì ÒÓÐ Ó Ð Å ÜØ Ç Ü Å Ü Ó Á ÆÆÁË º à ÄÇ Ê ÃÁË Ò Ö Ø Ö ÊÁ Ê È ÁÊ Ç Á Ë ØÓ Î Ð Ò ËÔ Ò ÃÍÆ Ä ËÁÆ À ØÙ ÒØ Ã Ò Ö Ý Î Ý Ð Ý Ë ÓÓÐ Ë ÐÐÓÒ ÁÒ ÅÊÁ ÍÄ ËÁÆ À ØÙ ÒØ Ã Ò Ö Ý Î Ý Ð Ý Ë ÓÓÐ Ë ÐÐÓÒ ÁÒ Ä ËÇÆ ØÙ ÒØ Ð Þ Ø Ð Ö ÈÙ Ð Ë ÓÓÐ Ï Ø ÖÐÓÓ ÇÆ ÇÊ ÌË È ÃÁ ÁË Ö Ò Ó Ö Ï Ê ÌºÀº Ï Æ Ï Ð Ö Ä ÙÖ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ï Ø ÖÐÓÓ ÇÆ ÂÁ Í Æ Ï Æ ØÙ ÒØ ÓÒ Å ÐÐ ÓÐÐ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÌÓÖÓÒØÓ ÇÆ Ò ÊÄÁÆ ÏÀÁÌ ØÙ ÒØ Ð ÓÖÒ ËØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ö ÒÓ ÍË º Ì Ö Û Ö ØÛÓ ÒÓÖÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ñ ØØ º Å º ÈÖÓÔÓ Ý Æ ÙÐ ËØ Ò Ù Ë ÒØ ÅÙ Ò Ë Ú Ì ÒÓÐÓ Ð À Ë ÓÓÐ Ö ÊÓÑ Ò º ÀÓÛ Ñ ÒÝ ÒØ Ö Ò Ø Ð Ø Ö ÑÙй Ø Ò ÓÙ ÐÝ Ô Ö Ø ÕÙ Ö Ò Ô Ö Ø Ù ËÓÐÙØ ÓÒ Ý ÄÙ ËÓÙ ØÙ ÒØ ÁË̹ÍÌÄ Ä ÓÒ ÈÓÖØÙ Ð ÑÓ Ý Ø ØÓÖº Ì ÒØ Ö 008 ÔÖ Ñ ØÓÖ Þ Ø ÓÒ 3 51º Ì Ù 008 k ÔÖ Ñ ØÓÖ Þ Ø ÓÒ ( 3 51 ) k = 3k 51 k º ÓÖ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ö Ø Ö Ø Ò 1 ØÓ Ô Ö Ø ÕÙ Ö Ø ÔÖ Ñ ØÓÖ Þ Ø ÓÒ ÑÙ Ø ÒÐÙ ÓÒÐÝ Ú Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÓÖ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ö Ø Ö Ø Ò 1 ØÓ Ô Ö Ø Ù Ø ÔÖ Ñ ØÓÖ Þ Ø ÓÒ ÑÙ Ø ÒÐÙ ÓÒÐÝ ÜÔÓÒ ÒØ Ú Ð Ý 3º Ì ÜÔÓÒ ÒØ 3k Ò k Ö ÓØ Ú Ò Ò ÓÒÐÝ k Ú Òº Ì ÜÔÓÒ ÒØ 3k Ò k Ö ÓØ ÑÙÐØ ÔÐ Ó 3 Ò ÓÒÐÝ k ÑÙÐØ ÔÐ Ó 3º Ì Ö ÓÖ Ø ÔÓÛ Ö Ó 008 Û Ö Ô Ö Ø ÕÙ Ö Ö Ø ÓÒ Û Ø Ú Ò ÜÔÓÒ ÒØ º Ð Ó Ø ÔÓÛ Ö Ó 008 Û Ö Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Û Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ø Ø Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ó 3º À Ò Ø ÔÓÛ Ö Ó 008 Û Ö Ô Ö Ø ÕÙ Ö Ò Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Û Ó ÜÔÓÒ ÒØ Ö ÓØ ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ò Ó 3º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Ø Ý Ö Ø Ó Û Ó ÜÔÓÒ ÒØ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ó 6º Ì Ð Ö Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ó 6 Ð Ø Ò = Ó Ø Ö Ö 334 ÑÙÐØ ÔÐ Ó 6 Ò Ø Ð Ø º Ì Ø ÐÐ Ù Ø Ø 334 Ó Ø ÒØ Ö Ö ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ Ô Ö Ø ÕÙ Ö Ò Ô Ö Ø Ù º Ì ÒØ Ö 1 Ð Ó Ò Ø Ð Ø Ò ÓØ Ô Ö Ø ÕÙ Ö Ò Ô Ö Ø Ù º Ì Ö ÓÖ Ø Ö Ö = 335 ÒØ Ö Ò Ø Ð Ø Ø Ø Ö ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ Ô Ö Ø ÕÙ Ö Ò Ô Ö Ø Ù º Ð Ó ÓÐÚ Ý ÁÆ Â ÆÇÎÁ ØÙ ÒØ Ö Ø Ó Ò À Ë ÓÓÐ Ë Ö ÚÓ Ó Ò Ò À ÖÞ ÓÚ Ò ÇÊ ÈÇËÌÇÄÇÈÇÍÄÇË Å ÓÐÓÒ Ö Â Ä Æ À Æ ØÙ ÒØ Ï Ø ÖÒ Ò À Ë ÓÓÐ Ð ÖÝ À ÆÌÀÇ ÍÆ À È Ò ÂÍËÌÁÆ À Æ ÊËÀÇÌÌ ØÙ ÒØ Ð ÓÖÒ ËØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ö ÒÓ ÍË ÂÇË À ÊÆ Æ Ë ÆÌÁ Ç ØÙ ÒØ ÍÒ Ú Ö Ì ÒÓÐ Ó Ð Å ÜØ Ç Ü Å Ü Ó ÊÁ À Ê Áº À ËË Ê Ò Ó È ÐÓ Î Ö ÍË ÊÁ Ê È ÁÊ Ç Á Ë ØÓ Î Ð Ò ËÔ Ò ÃÍÆ Ä ËÁÆ À ØÙ ÒØ Ã Ò Ö Ý Î Ý Ð Ý Ë ÓÓÐ Ë ÐÐÓÒ ÁÒ ÅÊÁ ÍÄ ËÁÆ À ØÙ¹ ÒØ Ã Ò Ö Ý Î Ý Ð Ý Ë ÓÓÐ Ë ÐÐÓÒ ÁÒ Ä ËÇÆ ØÙ ÒØ Ð Þ Ø Ð Ö ÈÙ Ð Ë ÓÓÐ Ï Ø ÖÐÓÓ ÇÆ ÇÊ ÌË È ÃÁ ÁË Ö Ò Ó Ö Ò ÂÁ Í Æ Ï Æ ØÙ ÒØ ÓÒ Å ÐÐ ÓÐÐ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÌÓÖÓÒØÓ Çƺ

12 ¾¼ Å º ÈÖÓÔÓ Ý Ø Å Ý Ñ ËØ «º ØÖ Ô ÞÓ DEFG ÖÙѹ Ö ÓÙØ ÖÐ Ó Ö Ù ÓÛÒ Ò Ø Ö Ñº Ì DE Ð Ò Ø 3 Ò Ø Ö Ö Ö Ø Ò Ð Ø E Ò F º Ø ÖÑ Ò Ø Ö Ó Ø ØÖ Ô ÞÓ º G D E F ËÓÐÙØ ÓÒ Ý Â ÜÙ Ò Ï Ò ØÙ ÒØ ÓÒ Å ÐÐ ÓÐÐ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÌÓÖÓÒØÓ Çƺ Ä Ø O Ø ÒØÖ Ó Ø ÖÐ º Ä Ø A Ø ÔÓ ÒØ Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÖÓÑ D ØÓ GF º Ä Ø Ø ÔÓ ÒØ Ó Ø Ò ÒÝ Ó EF DE GD Ò GF ØÓ Ø ÖÐ W X Y Ò Z Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ï ØÛ Ù Ø Ø Ø Ø Ø Ò¹ D X E ÒØ ØÓ Ø Ñ ÖÐ ÖÓÑ Ø Ñ Y ÔÓ ÒØ Ú ÕÙ Ð Ð Ò Ø º Ä Ø GZ =xº Ì Ò GY = x Ý ÕÙ Ð Ø Ò ÒØ º O W Ë Ò OX Ò OW Ö Ô ÖÔ Ò¹ ÙÐ Ö ØÓ DE Ò EF Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ò Ø ØÖ Ô ÞÓ Ö Ø Ò Ð Ø G A Z F E Ø Ò OXEW ÕÙ Ö º Ë Ò Ø Ö Ù Ó Ø ÖÐ Ø Ò OW = Ó XE = º Ë Ò DE = 3 Ø Ò DX = DE XE = 1º Ý ÕÙ Ð Ø Ò ÒØ DY = 1º ÆÓÛ DEFA Ð Ó Ö Ø Ò Ð Ò Ø Ø Ö Ö Ø Ò Ð Ø E F Ò Aµ Ò Ø ÓÙÖØ Ò Ð Ð Ó Ö Ø Ò Ð º Ð Ó XZ Ô Ö ÐÐ Ð ØÓ EF º Ì Ù AZ = DX = 1º Ï ÒÓÛ Ø Ø DA = XO+OZ = + = 4 GD = GY +Y D = x+1 Ò GA = GZ AZ = x 1º Ý Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ì ÓÖ Ñ GD = GA + AD (x + 1) = (x 1) + 4 x + x + 1 = x x Ò 4x = 16 Ò x = 4º Ì Ö ÓÖ GF = GZ + ZF = 4 + = 6 Ò Ó Ø Ö Ó Ø ØÖ Ô ÞÓ 1 (GF + DE)(DA) ÓÖ 1 (6 + 3)(4) = 18º Ð Ó ÓÐÚ Ý ÁÆ Â ÆÇÎÁ ØÙ ÒØ Ö Ø Ó Ò À Ë ÓÓÐ Ë Ö ÚÓ Ó Ò Ò À ÖÞ ÓÚ Ò Ë Ê Ê ÄÌÍÆÌ Ë ØÙ ÒØ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ã ÖÐ ÖÙ Ã ÖÐ ÖÙ ÖÑ ÒÝ ÅÁ Í Ä Å Æ Í Ä ÇÎ Ë Ð Ù Ö Å ÐÐÓÖ ËÔ Ò Ë ÇÌÌ ÊÇÏÆ Ù ÙÖÒ ÍÒ ¹ Ú Ö ØÝ ÅÓÒØ ÓÑ ÖÝ Ä ÍË Ç ÅÁÆÀ ÉÍ Æ Æ ÙÝ Ò Ò Ã Ñ À Ë ÓÓÐ Î Ò ÄÓÒ Î ØÒ Ñ Â Ä Æ À Æ ØÙ ÒØ Ï Ø ÖÒ Ò À Ë ÓÓÐ Ð ÖÝ ÇÍÊÌÁË º ÀÊ ËËÇËÌÇÅÇË Ä Ö Ö ÂÇÊ Æ ÊÁËÌ ØÙ ÒØ Ù ÙÖÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ø ÅÓÒØ ÓÑ ÖÝ ÅÓÒØ ÓÑ ÖÝ Ä ÍË ÄÍÁË ËÇÍË ØÙ ÒØ ÁË̹ÍÌÄ Ä ÓÒ ÈÓÖØÙ Ð ÂÇËÀ Í Å Æ Ò Å Æ È Ê À Ë ØÙ ÒØ Ð ÓÖÒ ËØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ö ÒÓ ÊÁ À Ê Áº À ËË Ê Ò Ó È ÐÓ Î Ö ÍË Á ÆÆÁË º à ÄÇ Ê ÃÁË Ò Ö Ø Ö ÊÁ Ê È ÁÊ Ç Á Ë ØÓ Î Ð Ò ËÔ Ò ÃÍÆ Ä ËÁÆ À ØÙ ÒØ Ã Ò Ö Ý Î Ý Ð Ý Ë ÓÓÐ Ë ÐÐÓÒ ÁÒ Ä ËÇÆ ØÙ ÒØ Ð Þ Ø Ð Ö ÈÙ Ð Ë ÓÓÐ Ï Ø ÖÐÓÓ ÇÆ Ò ÇÊ ÌË È ÃÁ ÁË Ö Ò Ó Ö º Ì Ö Û ÓÒ ÒÓÖÖ Ø Ò ÓÒ ÒÓÑÔÐ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ñ ØØ º

13 ¾¼ Å ¼º ÈÖÓÔÓ Ý Æ ÙÐ ËØ Ò Ù Ë ÒØ ÅÙ Ò Ë Ú Ì ÒÓÐÓ Ð À Ë ÓÓÐ Ö ÊÓÑ Ò º Ø ÖÑ Ò ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö x Ø Ø Ø Ý 3 x = x 3 + 3x + x + 1 º ËÓÐÙØ ÓÒ Ý Ë Ñ Ð ÖÐ ØÙ ÒØ ÙÖÒ Ý ËÓÙØ Ë ÓÒ ÖÝ Ë ÓÓÐ ÙÖÒ Ý º Ï Û ÐÐ ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ Ù ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö º ËÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ö Û ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ xº Ï Ö ÛÖ Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÖÑ 3 x = x ( x + 3x + ) + 1 = x(x + 1)(x + ) + 1 º Ë Ò x > 0 Ø Ð Ø Ú Ð Ý 3º Ì Ö ÓÖ Ø Ö Ø ÓÙÐ Ú Ð Ý 3 Û Ðк ÙØ x(x + 1)(x + ) Ú Ð Ý Ò Ø Ø ÔÖÓ ÙØ Ó Ø Ö ÓÒ ÙØ Ú ÒØ Ö º Ì Ù x(x + 1)(x + ) + 1 Ú Ö Ñ Ò Ö Ó 1 Û Ò Ú Ý 3 Ó ÒÓØ Ú Ð Ý 3º Ì ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ö ÒÓ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ º Ð Ó ÓÐÚ Ý ÁÆ Â ÆÇÎÁ ØÙ ÒØ Ö Ø Ó Ò À Ë ÓÓÐ Ë Ö ÚÓ Ó Ò Ò À ÖÞ ÓÚ Ò Ç ÅÁÆÀ ÉÍ Æ Æ ÙÝ Ò Ò Ã Ñ À Ë ÓÓÐ Î Ò ÄÓÒ Î ØÒ Ñ ÄÍÁË ËÇÍË ØÙ ÒØ ÁË̹ÍÌÄ Ä ÓÒ ÈÓÖØÙ Ð ÊÁ Ê È ÁÊ Ç Á Ë ØÓ Î Ð Ò ËÔ Ò Ä ËÇÆ ØÙ ÒØ Ð Þ Ø Ð Ö ÈÙ Ð Ë ÓÓÐ Ï Ø ÖÐÓÓ ÇÆ ÇÊ ÌË È ÃÁ ÁË Ö Ò Ó Ö Ò ÂÁ Í Æ Ï Æ ØÙ ÒØ ÓÒ Å ÐÐ ÓÐÐ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÌÓÖÓÒØÓ Çƺ Ì Ö Û Ö ØÛÓ ÒÓÑÔÐ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ñ ØØ º Å ½º ÈÖÓÔÓ Ý ÓÖ Ì Ô Ö Ò Ó Ö º Ä Ø a b Ò c ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö º ÈÖÓÚ Ø Ø ab(a + b c) + bc(b + c a) + ca(c + a b) 3abc º ËÓÐÙØ ÓÒ Ý Ë Ñ Ð ÖÐ ØÙ ÒØ ÙÖÒ Ý ËÓÙØ Ë ÓÒ ÖÝ Ë ÓÓÐ ÙÖÒ Ý º Ö Ø Ý Ø Ö Ø Ñ Ø Å Òß ÓÑ ØÖ Å Ò ÁÒ ÕÙ Ð ØÝ Û Ò Ø Ø ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø a b + ab + b c + bc + c a + ca 6 6 (a b )( ab )( b c )( bc )( c a )( ca ) = 6 a 6 b 6 c 6 = abc º a b + ab + b c + bc + c a + ca 6abc º

14 ¾¼ Ê ÖÖ Ò Ò Ø Ð Ø ÜÔÖ ÓÒ Û Ò Ø Ø a b + ab abc + b c + bc abc + c a + ca abc 3abc Û ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ö ÕÙ Ö º ab(a + b c) + bc(b + c a) + ca(c + a b) 3abc Ð Ó ÓÐÚ Ý ÁÆ Â ÆÇÎÁ ØÙ ÒØ Ö Ø Ó Ò À Ë ÓÓÐ Ë Ö ÚÓ Ó Ò Ò À ÖÞ ÓÚ Ò ÅÁ Í Ä Å Æ Í Ä ÇÎ Ë Ð Ù Ö Å ÐÐÓÖ ËÔ Ò ÇÊ ÈÇËÌÇÄÇÈÇÍÄÇË Å ÓÐÓÒ Ö Ç ÅÁÆÀ ÉÍ Æ Æ ÙÝ Ò Ò Ã Ñ À Ë ÓÓÐ Î Ò ÄÓÒ Î ØÒ Ñ ÇÍÊÌÁË º ÀÊ ËËÇËÌÇÅÇË Ä Ö Ö ÄÍÁË ËÇÍË ØÙ ÒØ ÁË̹ÍÌÄ Ä ÓÒ ÈÓÖØÙ Ð ÂÇË ÄÍÁË Á ¹ ÊÊ ÊÇ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÐ Ø Ò Ø ÐÙÒÝ Ö ÐÓÒ ËÔ Ò Æ ÍÌÁ ÊÊ Ò Å Ê ÄÇÎ ÁÆËÁËÁ Æ Å ØÙ ÒØ Ð ÓÖÒ ËØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ö ÒÓ ÍË ÊÁ À Ê Áº À ËË Ê Ò Ó È ÐÓ Î Ö ÍË ÀÍ Ç ÄÍ Ç Ë Æ À ÈÓÒØ ÍÒ Ú Ö Ø ÓÐ Ð È ÖÙ Ä Ñ È ÖÙ ÅÁËËÇÍÊÁ ËÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÈÊÇ Ä Å ËÇÄÎÁÆ ÊÇÍÈ ËÔÖ Ò Ð ÅÇ ÍË ÊÁ Ê È ÁÊ Ç Á Ë ØÓ Î Ð Ò ËÔ Ò ÃÍÆ Ä ËÁÆ À ØÙ ÒØ Ã Ò Ö Ý Î Ý Ð Ý Ë ÓÓÐ Ë ÐÐÓÒ ÁÒ Ä ËÇÆ ØÙ ÒØ Ð Þ Ø Ð Ö ÈÙ Ð Ë ÓÓÐ Ï Ø ÖÐÓÓ ÇÆ Ï Ê ÌºÀº Ï Æ Ï Ð Ö Ä ÙÖ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ï Ø ÖÐÓÓ ÇÆ Ò ÂÁ Í Æ Ï Æ ØÙ ÒØ ÓÒ Å ÐÐ ÓÐÐ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÌÓÖÓÒØÓ Çƺ Å ¾º ÈÖÓÔÓ Ý Å ÐÝ ÒÞ Ö ÓÚ ÊÓÑ Ò º ËÙÔÔÓ Ø Ø x 1 x x n ÕÙ Ò Ó ÒØ Ö Ù Ø Ø x 1 + x + + x n x 1 + x + + x n = º ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ð Ø ÓÒ Ó x 1 x x n ÕÙ Ð 1 ÓÖ 1º ËÓÐÙØ ÓÒ Ý Â ÜÙ Ò Ï Ò ØÙ ÒØ ÓÒ Å ÐÐ ÓÐÐ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÌÓÖÓÒØÓ Çƺ Ï Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ ÙÑ Ø Ø x 1 x x k Ö ÔÓ Ø Ú Ò x k+1 x k+ x n Ö ÒÓØ ÔÓ Ø Ú Ø ÒÓØ Ø Ø Ò Û Ò Ö ÖÖ Ò Ø ÒÙÑ Ö ØÓ Ñ Ø Óµº Ì Ö Ö ÒÓÛ ØÛÓ ØÓ ÓÒ Öº ½ Ï Ú x 1 + x + x x n 0º Ì Ò x 1 + x + x x n = x 1 + x + + x n = x 1 + x + + x k ( x k+1 ) ( x k+ ) ( x n ) = x 1 + x + + x k ( x k+1 + x k+ + + x n ) º ÖÓÑ Ø Û Ú = x 1 + x + + x n x 1 + x + + x n ( = x 1 + x + + x n x 1 + x + + x k ( x k+1 + x k+ + + x n )) = ( xk+1 + x k+ + + x n ) = ( x k+1 + x k+ + + x n ) º

15 ¾¼ ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø x k+1 + x k+ + + x n = 1º Ë Ò Ø ÙÑ ÓÒ Ø Ó ÒÓÒÒ Ø Ú ÒØ Ö ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø ÙÑ ÕÙ Ð ØÓ 1 Ò Ø Ö Ø Ö 0µ Ò ÓÒ Ó Ø ÒÓÒÔÓ Ø Ú µ ÒÙÑ Ö x k+1 x k+ x n ÕÙ Ð 1º ¾ Ï Ú x 1 + x + x x n 0º ÁÒ Ñ Ð Ö Û Ý ØÓ 1 Û Ø Ø x 1 + x + x x n Ì Ö ÓÖ = (x 1 + x + x x n ) = x 1 x x k + ( x k+1 ) + ( x k+ ) + + ( x n ) = x k+1 + x k+ + + x n ( x 1 + x + + x k ) º = x1 + x + + x n x 1 + x + + x n ( = x 1 + x + + x n x k+1 + x k+ + + x n ( x 1 + x + + x k )) = ( x 1 + x + + x k ) = ( x 1 + x + + x k ) º Ì Ö ÓÖ x 1 + x + + x k = 1º Ì ÙÑ ÓÒ Ø Ó ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ó Ø Ü ØÐÝ ÓÒ Ø ÖÑ Û ÕÙ Ð ØÓ 1º À Ò k = 1 Ò x 1 = 1º Ý Ø ØÛÓ ÓÒ Ó x 1 x x n ÕÙ Ð ØÓ 1 ÓÖ 1º Ð Ó ÓÐÚ Ý ÄÍÁË ËÇÍË ØÙ ÒØ ÁË̹ÍÌÄ Ä ÓÒ ÈÓÖØÙ Ð ÅÁËËÇÍÊÁ ËÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÈÊÇ Ä Å ËÇÄÎÁÆ ÊÇÍÈ ËÔÖ Ò Ð ÅÇ ÍË Ä ËÇÆ ØÙ ÒØ Ð Þ Ø Ð Ö ÈÙ Ð Ë ÓÓÐ Ï Ø ÖÐÓÓ ÇÆ Ò ÇÊ ÌË È ÃÁ ÁË Ö Ò Ó Ö º Ì Ö Û ÓÒ ÒÓÑÔÐ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ñ ØØ º ¾ Ò ÚÓ Ý Ö ÔÐ Ò x 1 x x n Û Ø x 1 x x n º ÈÖÓ Ð Ñ Ó Ø ÅÓÒØ Á Ò Î Ò Ö ÙÖ ÓÒØ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÒÚÓÐÚ Ò ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ Ö ÓÒ³Ø ÔÔ Ö Ú ÖÝ Ó Ø Òººº ÈÖÓ Ð Ñ ¾¼¼ Ñ Ö Ò ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ÐÐ Ò µ Ì ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ Ö z ÕÙ Ð ØÓ 9 + bi Û Ö b ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö Ò i = 1º Ú Ò Ø Ø Ø Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ Ó z Ò z 3 Ö ÕÙ Ð Ò bº ººº Ò Û Ò Ø Ý Ó Ø Ý³Ö Ó Ø Ò Ö Ø Ò Ø Ý ÐÓÓ º Ì ÓÒ Ô Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ø Û Ò ØÓ Ö Ñ Ñ Ö Ø Ø Ø Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ Ó ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ Ö Ø Ó Æ ÒØ Ó iº Ø ÑÓÙ ÐÓ Ò ÐÑÓ Øµ Ý Ù Ø ÐÙÐ Ø Ø

16 ¾¼ ËÓÐÙØ ÓÒ Ë Ò z = 9 + bi Ø Ò z = (9 + bi) = (9 + bi)(9 + bi) = bi + b i = bi b = ( 81 b ) + (18b)i Û Ú z 3 = (9 + bi) 3 = (9 + bi) (9 + bi) = [( 81 b ) + (18b)i ] (9 + bi) = ( 79 9b ) + ( 81b b 3) i + (16b)i + ( 18b ) i = ( 79 9b ) + ( 81b b 3) i + (16b)i ( 18b ) = ( 79 7b ) + ( 43b b 3) i º Ì Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ Ó z 18b Ò Ø Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ Ó z 3 43b b 3 º Á Ø Ö ÕÙ Ð Ø Ò 43b b 3 = 18b ÓÖ b 3 5b = 0 ÓÖ b(b 5) = 0 ÓÖ b(b 15)(b + 15) = 0º Ë Ò b > 0 Ø Ò b = 15º Ø Ø ÔÓ ÒØ ÝÓÙ³Ö ÐÐ ÔÖÓ ÐÝ Ö Ð Ú º Ò ÐÐÝ ÈÖÓ Ð Ñ Ó Ø ÅÓÒØ ÓÐÙÑÒ Û Ø ÓÖØ ÓÐÙØ ÓÒº ÙØ ÝÓÙ Ò³Ø Ø Ö Ó Ñ Ø Ø ÐÝ Á Û ØÙ ÐÐÝ Ø ÙÖÔÖ Ý Ø Ò Û Ö b = 15 Ó ØÓ ØÖÝ ØÓ Ò Û Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ò Ö Ð ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ Ö z = a + biº Á Ø ÓÖ ØÛÓ Ö ÓÒ º Ö Ø Á Û Ó Ò ØÓ Ù Ø ØÓ Ú Ö Ý ÑÝ Ò Û Öº Ë ÓÒ Á Û ÙÖ ÓÙ ÓÛ Ø 15 ÔÔ Ö º ÓÖ z = a + bi Ò z = (a + bi) = (a + bi)(a + bi) = a + abi + b i = a + abi b = ( a b ) + (ab)i z 3 = (a + bi) 3 = (a + bi) (a + bi) = [( a b ) + (ab)i ] (a + bi) = ( a 3 ab ) + ( a b b 3) i + ( a b ) i + ( ab ) i = ( a 3 ab ) + ( a b b 3) i + ( a b ) i ( ab ) = ( a 3 3ab ) + ( 3a b b 3) i º ÁÒ Ø Ò Ö Ð Ø Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ Ó z ab Ò Ø Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ Ó z 3 3a b b 3 º Á Ø Ö ÕÙ Ð Û Ú ab = 3a b b 3 b 3 3a b + ab = 0 b [ b ( 3a a )] = 0 º Ì Ù b = 0 ÓÖ b = ± 3a aº ÀÓÛ Ú Ö b > 0 Ó b = 3a aº Ò ÝÓÙ Û Ý 3a a ÒÓØ Ò Ø Ú a Ò ÒØ Ö ÁÒ Ø ÓÖ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ a = 9 Ó Ø Ø b = 3(9 ) (9) = 5 = 15º Ì Ö

17 ¾¼ ÑÝ Ö Ø ÓÒ ÖÒº ÁØ Ð Ó Ú ÓÑ Û Ø Ó Ò Ò Û Ö ØÓ Ø ÓÒ ÓÒ Û ÐÐ ß Ø 15 Ó Ò³Ø ÔÔ Ö Ò ÒÝ Ö ÐÐÝ Ó Ú ÓÙ Û Ýº ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Û ÓÙÐ Ò³Ø Ú Ò Ð ØÓ Ù 15 Ý Ò Ô Ø ÓÒ Ö Ø Ó«Ø Øºµ ÙØ Û Ø Ø Ö ³ ÑÓÖ Áس Ó Ø Ò ÒØ Ö Ø Ò ØÓ Ø Ò ÓÙØ Û Ø ÓØ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û ÓÙÐ º ÇÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø ÑÑ Ø ÐÝ Ñ ØÓ ÑÝ Ñ Ò Û Û Ø Ö ÓÖ ÒÓØ Ø Û ÙÖÔÖ Ò Ø Ø Û ÓØ Ò ÒØ Ö Ò Û Ö ÓÖ b Û Ø a = 9º Ú Ò Ø Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔ Ö ÓÒ Ø ÁÅ Ò Û Ú ÖÝ Ò Û Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÙÐ Ò³Ø Ø Ø ÙÖÔÖ Ò ºµ ÈÙØ Ø «Ö ÒØÐÝ Ø ÓÙ ÓÖ Ö Ò ÓÑ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö a b = 3a a ÐÛ Ý Ò ÒØ Ö ÓÖ a = 9 ÓÑ Û Ø Ô Ð Á a = 1 Û Ø b = 3(1 ) (1) = 1 = 1 Û Ò ÒØ Ö a = 10 Û Ø b = 3(10 ) (10) = 80 Û ÒÓØ Ò ÒØ Öº Æ ÜØ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Û Ø ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ú ÐÙ Ó a b = 3a a ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ì Ö Ø Ö Ö ÙØ ÛÓÖØ ÐÓÓ Ò Øº Ï ³ÐÐ Ø Û Ø Ñ Ò Ø ÐÐÝ Ð Û Ö ÔÔÖÓ Ý Ø ÖØ Ò Û Ø ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö b Ò Ø Ò ØÖÝ Ò ØÓ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ú ÐÙ Ó a Ø Ø Ö ØÙ ÐÐÝ ÒØ Ö º ËÙÔÔÓ Ø Ø b = 3a a ÔÓ Ø Ú ÒØ Öº Ì Ò 3a a = b Ò Ó 3a a b = 0º Ï Ð Ø Ñ Ý Ñ Ø ÙÒÒ ØÙÖ Ð Ø Ø ÔÓ ÒØ ÓÓ ÔÔÖÓ ØÓ ÔÔÐÝ Ø ÕÙ Ö Ø ÓÖÑÙÐ ØÓ ÓÐÚ ÓÖ a Ò Ø ÖÑ Ó bº Ï Ò Û Ó Ø Û Ó Ø Ò a = ( ) ± ( ) 4(3)( b ) (3) = ± 4 + 1b 6 = 1 ± 1 + 3b 3 Ê Ñ Ñ Ö Ø Ø Û ³Ö ØÖÝ Ò ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö b Ø Ø Ú ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ú ÐÙ ÓÖ aº ØÙ ÐÐÝ Û ³Ö Ö ÐÐÝ ÒØ Ö Ø Ò Ø ÓØ Ö Ö Ø ÓÒ ÙØ Ø Ø ÔÔÖÓ Ø Ø Û ³Ö Ø Ò ºµ Ë Ò Û Û ÒØ a ØÓ ÔÓ Ø Ú Û Ò Ó Û Ø Ï Û ÒØ Ø + º Ò ÝÓÙ Û Ý ËÓ Û ÓÙ ÓÒ Ø a = b º ÓÖ a ØÓ Ò ÒØ Ö Û Ø 3 Ò ØÓ ØÖÙ ÖØ ÒÐÝ 1 + 3b Ò ØÓ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ø ÓÙ Ø ØÙ ÐÐÝ ÒÓØ ÕÙ Ø ÒÓÙ Ò 1 + 3b Ò ØÓ Ò ÒØ Ö Ò Û Û ÒØ b ØÓ Ú Ð Ý º Ä Ø³ ÓÙ ÓÒ Ø Ö Ø Ù º ËÙÔÔÓ Ø Ø 1 + 3b = m ÓÖ ÓÑ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö mº ÁÒ Ø 1 + 3b = m ÓÖ m 3b = 1º Ó ÝÓÙ Ö Ó Ò Þ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ì Ò Ü ÑÔÐ Ó È ÐÐ ÕÙ Ø ÓÒº Ç Ö ß Ø Ô ØØ Ò ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø º Ä Ø³ ÙÑÑ Ö Þ ÓÖ ÓÒ ØÓ Û Ö Û Ö º Ï Ö ØÖÝ Ò ØÓ Ò ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö a ÓÖ Û b = 3a a ÔÓ Ø Ú ÒØ Öº Ï ³Ú ÒÓÛ ÓÒÚ ÖØ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÒØÓ Ò Ò ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø È ÐÐ ÕÙ Ø ÓÒ m 3b = 1º Á Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ (m, b) ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ú ÐÙ Ó b Ò Ø Ò Ø ØÓ Ú Ú ÐÙ Ó a Ø Ø ÛÓÖ º Ò Ò ÐÐ Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ù È ÐÐ ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÝÓÒ Ø ÓÔ Ó Ø ÓÐÙÑÒº Á ÝÓÙ³Ú Ò Ú Ö Ò ÓÛ ØÓ Ò Ø ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ m 3b = 1 Ö ³ ÕÙ ÙÑÑ ÖÝ º

18 ¾½¼ ËØ Ô ½ Ò Ø Ñ ÐÐ Ø Ô Ö Ó ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒº ÓÙ Ò Ó Ø Ý Ø ÖØ Ò Û Ø b = 1 Ò ÒÖ Ò b ÙÒØ Ð ÝÓÙ Ò ÓÐÙØ ÓÒº À Ö Û ³Ö ÐÙ Ý Ò b = 1 Ú m = Ó (m, b) = (, 1) Ø Ñ ÐÐ Ø ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒº ËØ Ô ¾ ËØ ÖØ Ò Û Ø ÓÐÙØ ÓÒ (m, b) Û Ò Ø ÒÓØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ (M, B) Ý ÐÙÐ Ø Ò (M, B) = (m + 3b, m + b)º Ý Ø Ñ Ø Ó Û Ò Ø Ò Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ m 3b = 1º Ì Ô Ö (, 1) Ð ØÓ (7, 4) Û Ð ØÓ (6, 15) Û Ð ØÓ (97, 56) Û Ý Ð (36, 09) Ò Ó ÓÖØ º Ì Ó Ó ÝÓÙ Û Ó Ö ÑÓÖ ÒØ Ö¹ ÔÖ Ò ÓÙÐ ØÖÝ ØÓ ÛÖ Ø ÓÛÒ ÓÑ Ò Ó ÐÓ ÓÖÑ ÓÐÙØ ÓÒº Ò Ø ÓÒ Ð ÐÐ Ò ØÖÝ Ù Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò (M, B) Ò (m, b) ØÓ ÓÐÚ ÓÖ m Ò b Ò Ø ÖÑ Ó M Ò Bº Á ÝÓÙ Ò Ó Ø Ø Ò ÝÓÙ Ò Ù Ð Ö Ö ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ò Ö Ø Ñ ÐÐ Ö ÓÒ ºµ Ì Ñ Ø Ó Ú Ù Ð Ø Ó Ú ÐÙ Ó b Ø Ø Û Ñ Ø ØÖݺ Ø Ø Ú ÖÝ Ð Ø Ø Ú ÐÙ Ó b Ñ 1 + 3b Ò ÒØ Ö Ø ÓÙ Ø Ý Ñ Ø ÒÓØ Ñ a Ò ÒØ Ö Ù Ó Ø ÜØÖ ÓÒ Ø ÓÒº Ä Ø³ ØÖÝ Ø Ö Ø Û Á b = 1 Ø Ò a = b 3 ÒØ Öº Á b = 4 Ø Ò a = b 3 Ò ÒØ Öº = 1 + p 1 + 3(1 ) 3 = 1 + p 1 + 3(4 ) 3 Á b = 15 Ø Ò Û ³Ú ÐÖ Ý Ò Ø Ø a = 9º Á b = 56 Ø Ò a = b 3 ÒÓØ Ò ÒØ Öº Á b = 09 Ø Ò a = b 3 Ò ÒØ Öº = 1 + p 1 + 3(56 ) 3 = 1 + p 1 + 3(09 ) 3 = 1 Û Ò = 8 Û ÒÓØ 3 = 98 Û 3 = 11 Û Ø ÕÙ Ð Ò Ø ÔÔ Ö Ø Ø Ú ÖÝ ÓØ Ö Ú ÐÙ Ó b Ò Ø ÕÙ Ò Ú Ò ÒØ Ö Ú ÐÙ Ó a ÙØ Û Ú Ý ÒÓ Ñ Ò ØÙ ÐÐÝ ÔÖÓÚ Ò Ø º ÖØ ÒÐÝ Ú ÖÝ Ú ÐÙ Ó b Ø Ø Û Ø ÓÙØ Û ÐÐ Ú Ù Ò ÒØ Ö Ú ÐÙ ÓÖ 1 + 3b ÙØ Ø Ó ÒÓØ Ù Ö ÒØ Ù ÒØ Ö Ú ÐÙ ÓÖ aº Ä Ø³ ÛÖ Ô ÙÔ Û Ø Û ³Ú ÓÒ º Ï Ø ÖØ ÓÙØ Û Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò¹ ÚÓÐÚ Ò ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ Ö º Ï Ø Ò Ø Ð ÓÙØ ÓÑ Ó Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò ØÖ ØÓ Ó ÓÑ ÒÚ Ø Ø ÓÒ ÒØÓ Û Ø Û ÔÔ Ò Ò Ò Ø Ò º Ï ³Ú ÓÙÒ ØÛÓ ÑÓÖ Ú ÐÙ Ó a Ø Ø ÛÓÙÐ Ú Ù ÒØ Ö Ú ÐÙ Ó bº ÁØ ÐÓÓ Ø Ñ Ø Ó Ñ Ø Ð ØÓ Ñ ÒÝ ÑÓÖ Ù Ú ÐÙ Ø ÓÙ Û Ú Ò³Ø ÔÖÓÚ Ò Ø º ËÓ Û Ø ÖØ Û Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ Ö Ø Ø ÐÓÓ ÖÝ ÙØ Û Ò³Ø ØÙ ÐÐÝ Ø Ø ÓÑÔÐ Ø º Ì ÒÓع Ó¹ÓÑÔÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ù ÓÛÒ ÓÑ ÔÖ ØØÝ ÙÒ ÜÔ Ø Ô Ø º Ì Ö ³ ÐÓØ ÑÓÖ ÒÚ Ø Ø Ò Ø Ø ÓÙÐ ÓÒ Ö ØÓÓ ÓÖ Ò Ø Ò ÐÓÓ Ò Ø Û Ò Ø Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ Ó z Ò z 4 Ñ Ø Õ٠к

19 ¾½½ ÌÀ ÇÄ ÅÈÁ ÇÊÆ Ê ÆÓº ¾ ʺ º ÏÓÓ ÖÓÛ Ï Ø ÖØ Ø ÒÙÑ Ö Û Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø ÀÙÒ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ð ÇÐÝÑÔ ¾¼¼ ¹¾¼¼ Æ Ø ÓÒ Ð ÇÐÝÑÔ Ö ½½¹½¾ Ë ÓÒ ÊÓÙÒ Ò Ò Ð ÊÓÙÒ º Ì Ò Ó ØÓ ÊÓ ÖØ ÅÓÖ ÛÓÓ Ò Ò Ì Ñ Ä Ö ØÓ Ø Ø ÁÅÇ Ò ËÐÓÚ Ò ÓÖ ÓÐÐ Ø Ò Ø Ñ ÓÖ ÓÙÖ Ù º ÀÙÒ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ð ÇÐÝÑÔ ¾¼¼ ß¾¼¼ Æ Ø ÓÒ Ð ÇÐÝÑÔ Ö ½½¹½¾ Ë ÓÒ ÊÓÙÒ ½º Ò Ø ÔÓ Ø Ú Ú ÐÙ Ó x Ø Ø Ø Ý x (sin x cos x) < 1 x º ¾º ÓÖ f(x) = ax bx + c Û ÒÓÛ Ø Ø 0 < a < 1 f(a) = b Ò f(b) = aº ÈÖÓÚ Ø Ø c < 3º º Ì ÓÒÚ Ü ÕÙ Ö Ð Ø Ö Ð ABCD Ø ABC = ACDº Ì Ñ ¹ ÔÓ ÒØ Ó BC Ò AD Ö E Ò F Ö Ô Ø Ú Ðݵ O = AC BD Ò G Ò H Ö Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó O ÓÒ Ø Ð Ò AB Ò CD Ö Ô Ø Ú Ðݵº ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ð Ò EF Ò GH Ö Ô ÖÔ Ò ÙÐ Öº º Ä Ø a b c d Ò n ÒØ Ö Ù Ø Ø n ab n (bc + ad) Ò n bdº ÈÖÓÚ Ø Ø n bc Ò n adº Ò Ð ÊÓÙÒ ½º Ò Ø ÙÒØ ÓÒ t(n) ÓÒ Ø ÒÓÒÒ Ø Ú ÒØ Ö Ý t(0) = t(1) = 0 t() = 1 Ò ÓÖ n > Ð Ø t(n) Ø Ñ ÐÐ Ø ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Û Ó ÒÓØ Ú nº Ä Ø T(n) = t ( t ( t(n) )) º Ò Ø Ú ÐÙ Ó S S = T(1) + T() + T(3) + + T(006) º ¾º Ä Ø A Ò B ØÛÓ Ú ÖØ Ó ØÖ Û Ø 006 º Ï ÑÓÚ ÐÓÒ Ø Ø ÖØ Ò ÖÓÑ A Ò ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ø ØÓ B Û Ø ÓÙØ Ú Ö ØÙÖÒ Ò º Ø ÒÝ Ú ÖØ Ü Û ÓÓ Ø Ò ÜØ ÑÓÒ ÐÐ ÔÓ Ð Ü ÔØ Ø ÓÒ ÓÒ Û Û ÖÖ Ú µ Û Ø ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Øݺ ÇÚ Ö ÐÐ ÔÓ Ð ØÖ Ò Ó Ó Ú ÖØ A Ò B Ò Ø Ñ Ò ¹ ÑÙÑ ÔÖÓ Ð ØÝ Ó ØØ Ò ÖÓÑ A ØÓ Bº

20 ¾½¾ º ÙÒ Ø ÖÐ k Û Ø ÒØÖ K Ò Ð Ò e Ö Ú Ò Ò Ø ÔÐ Ò º Ì Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÖÓÑ K ØÓ e ÒØ Ö Ø e Ò ÔÓ ÒØ O Ò KO = º Ä Ø H Ø Ø Ó ÐÐ ÖÐ ÒØÖ ÓÒ e Ò ÜØ ÖÒ ÐÐÝ Ø Ò ÒØ ØÓ Kº ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ö ÔÓ ÒØ P Ò Ø ÔÐ Ò Ò Ò Ò Ð α > 0 Ù Ø Ø APB = α ÓÖ ÒÝ ÖÐ Ò H Û Ø Ñ Ø Ö AB ÓÒ eº Ø ÖÑ Ò α Ò Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó P º Æ ÜØ Û Ú Ø Ö Ø ÖÓÙÒ Ó Ø ÀÙÒ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ð ÇÐÝÑÔ ¾¼¼ ß¾¼¼ ÓÖ ËÔ Ð Þ Å Ø Ñ Ø Ð Ð º Ì Ò Ò Ó ØÓ ÊÓ ÖØ ÅÓÖ ÛÓÓ Ò Ò Ì Ñ Ä Ö ØÓ Ø Ø ÁÅÇ Ò ËÐÓÚ Ò ÓÖ ÓÐÐ Ø Ò Ø ÓÖ ÓÙÖ Ù º ÀÙÒ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ð ÇÐÝÑÔ ¾¼¼ ß¾¼¼ ËÔ Ð Þ Å Ø Ñ Ø Ð Ð Ö Ø ÊÓÙÒ ½º Á Ø ØÖÙ Ø Ø Ø Ö Ö Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ Ô Ð Ò ÖÓÑ Ò Ø Ö Ø Ñ Ø ÔÖÓ Ö ÓÒ 7k +3 k = 0 1 ÒÙÑ Ö Ô Ð Ò ÖÓÑ Ö Ú Ö Ò Ø Ø Ý Ð Ø Ñ ÒÙÑ Ö ÓÖ Ü ÑÔÐ 131 Ô Ð Ò ÖÓÑ ºµ ¾º Ï Ú Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ÙØ Ø Ð Ø ØÛÓµ ÒÙÑ Ö Ó Ø ÓÖÑ 1 k Û Ó ÙÑ Ø ÑÓ Ø 1º ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ý Ò Ú ÒØÓ ØÛÓ ÖÓÙÔ Ù Ø Ø Ø ÙÑ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ò ÖÓÙÔ Ø ÑÓ Ø 1 º º Ì ÒØ ÖÚ Ð [0, 1] Ú Ý 999 Ö ÔÓ ÒØ ÒØÓ 1000 ÕÙ Ð Ô ÖØ Ò Ý 1110 ÐÙ ÔÓ ÒØ ÒØÓ 1111 ÕÙ Ð Ô ÖØ º Ò Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ø Ò ØÛ Ò Ö ÔÓ ÒØ Ò ÐÙ ÔÓ Òغ ÀÓÛ Ñ ÒÝ Ô Ö Ó ÐÙ Ò Ö ÔÓ ÒØ Ú Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ø Ò º Ø ØÖ ÖÓÒ Ø Ð Ø ÓÙÖ Ø ÑÓ Ø 1 ÙÒ Ø Ò Ð Ò Ø º ¹ Ø ÖÑ Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÔÓ Ð ÚÓÐÙÑ Ó Ø Ø ØÖ ÖÓÒº º Ä Ø k ÖÐ Û Ø ÒØÖ O Ò Ð Ø AB ÓÖ Ó k Û Ó Ñ ÔÓ ÒØ M Ø ÒØ ÖÓÑ Oº Ì Ö Ý ÖÓÑ O Ø ÖÓÙ M Ñ Ø k Ø Rº Ä Ø P ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø Ñ ÒÓÖ Ö AR Ó k Ð Ø PM Ñ Ø k Ò Ø Q Ò Ð Ø AB Ñ Ø QR Ø Sº Ï Ñ ÒØ ÐÓÒ Ö RS ÓÖ PM Ì Ò ÜØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø ¾¼¼ à ĐÙÖ ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ ÀÙÒ Ö Ò ÓÑÔ Ø Ø ÓÒµº Ì Ò Ò Ó ØÓ ÊÓ ÖØ ÅÓÖ ÛÓÓ Ì Ñ Ä Ö ØÓ Ø Ø ÁÅÇ Ò ËÐÓÚ Ò ÓÖ ÓÐÐ Ø Ò Ø ÓÖ ÓÙÖ Ù º

21 ¾½ ¾¼¼ ÃĐÙÖ ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ ½º Ä Ø N > 1 Ò ÙÑ Ø Ø Ø ÙÑ Ó Ø ÒÓÒÒ Ø Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö a 1 a a N Ø ÑÓ Ø 500º ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ò ÒØ Ö k 1 Ò Ø Ö Ü Ø ÒØ Ö 1 = n 0 < n 1 < < n k = N Ù Ø Ø k n i a ni 1 < 005 º i=1 ¾º ÒÒ Ò Ó Ö ÔÐ Ý Ò Ø ÒÒ º Ì Û ÒÒ Ö Ó Ñ Ø Ø ÔÐ Ý Ö Û Ó Ø Ö Ø ØÓ Û Ò Ø Ð Ø ÓÙÖ Ñ Ò Ø Ð Ø ØÛÓ Ñ Ó ÓÖ Ö ÓÔÔÓÒ Òغ ÒÒ Û Ò Ñ Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ p 1 Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ó Ø ÓÙØÓÑ Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ñ º ÈÖÓÚ Ø Ø ÒÒ Û Ò Ø Ñ Ø Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÑÓ Ø p º º ØÓÛ Ö Ù ÐØ Ù Ò ÓÑ ÒÓ Ó Þ 1º Ì Ö Ø Ð Ú Ð Ó Ø ØÓÛ Ö Ö Ø Ò Ð ÓÒ Ø Ò Ó 55 ÓÑ ÒÓ Ò Ù ÕÙ ÒØ Ð Ú Ð Ð Ó Ö Ø Ò Ð ÓÒ Ø Ò Ó 55 ÓÑ ÒÓ Ø Ø Ü ØÐÝ ÓÚ Ö Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ð Ú Ðº Ì ØÓÛ Ö Ø Ù Ù ÐØ ÐÐ Ö ÓÚ ÒØ ÖÒ Ð ÔÓ ÒØ Ó Ø Ö Ø Ö Ø Ò Ð Û ÒÓØ Ö ÔÓ ÒØ Ø Ö Ò ÒØ ÖÒ Ð ÔÓ ÒØ Ó ÓÑ ÓÑ ÒÓ Ó Ø ØÓÛ Öº Ï Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó Ð Ú Ð Ö ØÓÛ Ö Ñ Ý Ú Æ ÜØ Û Ú Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø Ø ÀÓÒ ÃÓÒ Ò µ Å Ø Ñ Ø Ð ÇÐÝÑÔ ÛÖ ØØ Ò ÓÒ Ñ Ö ¾¼¼ º Ì Ò Ó ØÓ ÊÓ ÖØ ÅÓÖ ÛÓÓ Ò Ò Ì Ñ Ä Ö ØÓ Ø Ø ÁÅÇ Ò ËÐÓÚ Ò ÓÖ ÓÐÐ Ø Ò Ø Ñ ÓÖ Ù º Ø ÀÓÒ ÃÓÒ Ò µ Å Ø Ñ Ø Ð ÇÐÝÑÔ ½º ÇÒ ÔÐ Ò Ø Ø Ö Ö 3 005! Ð Ò Ò 005 Ð Ò Ù º Ô Ö Ó Ð Ò ÓÑÑÙÒ Ø Û Ø ÓØ Ö Ò Ü ØÐÝ ÓÒ Ð Ò Ù º Ë ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ö 3 Ð Ò Û Ó ÓÑÑÙÒ Ø Û Ø ÓØ Ö Ò ÓÒ ÓÑÑÓÒ Ð Ò Ù º ¾º ËÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ö Ö 4n Ð Ò Ñ ÒØ Ó ÙÒ Ø Ð Ò Ø Ò ÖÐ Ó Ö Ù nº Ú Ò ØÖ Ø Ð Ò l ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ØÖ Ø Ð Ò l Ø Ø Ø Ö Ô Ö ÐÐ Ð ØÓ ÓÖ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ØÓ l Ò Ù Ø Ø l ÒØ Ö Ø Ø Ð Ø ØÛÓ Ó Ø Ú Ò Ð Ò Ñ ÒØ º º Ä Ø a b c Ò d ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö Ù Ø Ø a + b + c + d = 1º ÈÖÓÚ Ø Ø 6 ( a 3 + b 3 + c 3 + d 3) ( a + b + c + d ) º º Ë ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ÕÙ Ö Ö ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö n Ø Ø Ú 005 n 1º Ò ÒØ Ö ÕÙ Ö Ö Ø ÒÓ ØÓÖ Ó Ø ÓÖÑ d ÓÖ Ò ÒØ Ö d > 1ºµ

22 ¾½ Æ ÜØ Û Ú Ø ØÛÓ ÀÓÒ ÃÓÒ Ì Ñ Ë Ð Ø ÓÒ Ì Ø ÓÖ Ø ÁÒØ Ö¹ Ò Ø ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø Ð ÇÐÝÑÔ ¾¼¼ º Ì Ò Ó ØÓ ÊÓ ÖØ ÅÓÖ ÛÓÓ Ò Ò Ì Ñ Ä Ö ØÓ Ø Ø ÁÅÇ Ò ËÐÓÚ Ò ÓÖ ÓÐÐ Ø Ò Ø Ñ ÓÖ Ø ÓÖÒ Öº ÀÓÒ ÃÓÒ Ì Ñ Ë Ð Ø ÓÒ Ì Ø ½ ½º Ò Ø ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ 7(x + y) = 3 ( x xy + y ) º ¾º Ì ÙÒØ ÓÒ f(x, y) Ò ÓÖ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒØ Ö x Ò y Ø µ f(0, y) = y + 1 µ f(x + 1, 0) = f(x, 1) Ò µ f(x + 1, y + 1) = f ( x, f(x + 1, y) ) º Ò f(3, 005) Ò f(4, 005)º º ÁÒ ØÖ Ò Ð ABC Ø ÐØ ØÙ Ò Ð ØÓÖ Ò Ñ Ò ÖÓÑ C Ú C ÒØÓ ÓÙÖ ÕÙ Ð Ò Ð º Ò Bº º Ä Ø x y Ò z ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö Ù Ø Ø x + y + z = 1º ÓÖ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö n Ð Ø S n = x n + y n + z n º Ð Ó Ð Ø P = S S 005 Ò Q = S 3 S 004 º µ Ò Ø Ñ ÐÐ Ø ÔÓ Ð Ú ÐÙ Ó Qº µ Á x y Ò z Ö Ø ÒØ Ø ÖÑ Ò Û Ó P ÓÖ Q Ø Ð Ö Öº º Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ÔÓ ÒØ Ð Ò ÔÐ Ò Ù Ø Ø Ø Ö Ó Ø ØÖ Ò Ð ÓÖÑ Ý ÒÝ Ø Ö Ó Ø Ñ Ð Ø Ò 1º Ë ÓÛ Ø Ø ÐÐ Ó Ø ÔÓ ÒØ Ð Ò ÓÖ ÓÒ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó ØÖ Ò Ð Û Ø Ö Ð Ø Ò 4º º Ò 006 ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ù Ø Ø µ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö 005 Ø µ Ø Ó ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö 7 ÓÖ Ò 8 µ ÒÝ ØÛÓ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ú Ø ÑÓ Ø Ð Ó Ø Ö Ø Ò ÓÑÑÓÒº ÀÓÒ ÃÓÒ Ì Ñ Ë Ð Ø ÓÒ Ì Ø ¾ ½º Ä Ø ABCD ÝÐ ÕÙ Ö Ð Ø Ö Ðº Ë ÓÛ Ø Ø Ø ÓÖØ Ó ÒØÖ Ó ABC BCD CDA Ò DAB Ö Ø Ú ÖØ Ó ÕÙ Ö Ð Ø Ö Ð ÓÒ ÖÙ ÒØ ØÓ ABCD Ò ÓÛ Ø Ø Ø ÒØÖÓ Ó Ø Ñ ØÖ Ò Ð Ö Ø Ú ÖØ Ó ÝÐ ÕÙ Ö Ð Ø Ö Ðº

23 ¾½ ¾º Ä Ø ABCD ÝÐ ÕÙ Ö Ð Ø Ö Ð Û Ø BC = CDº Ì ÓÒ Ð AC Ò BD ÒØ Ö Ø Ø Eº Ä Ø X Y Z Ò W Ø Ò ÒØÖ Ó ABE ADE ABC Ò ADC Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ë ÓÛ Ø Ø X Y Z Ò W Ö ÓÒÝÐ Ò ÓÒÐÝ AB = ADº º ÈÓ ÒØ A Ò B Ð Ò ÔÐ Ò Ò l Ð Ò Ò Ø Ø ÔÐ Ò Ô Ò Ø ÖÓÙ A ÙØ ÒÓØ Ø ÖÓÙ Bº Ì ÔÓ ÒØ C ÑÓÚ ÖÓÑ A ØÓÛ Ö Ò Ò ØÝ ÐÓÒ Ð ¹Ð Ò Ó lº Ì Ò ÖÐ Ó ABC ØÓÙ BC Ø D Ò AC Ø Eº Ë ÓÛ Ø Ø Ø Ð Ò DE Ô Ø ÓÙ Ü ÔÓ Òغ º Ä Ø ABC Ú ÖÙÑÖ Ù Rº Ä Ø AB = c BC = a CA = b Ò Ð Ø k 1 Ò k Ø ÖÐ Û Ø Ñ Ø Ö CA Ò CB Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ä Ø k Ø ÖÐ Ó Ö Ù r Û Ø Ò ÒØ ØÓ k 1 k Ò Ø Ð Ò ABº µ ÜÔÖ r Ò Ø ÖÑ Ó a b c Ò Rº µ Ò C r = 1 4 Rº Æ ÜØ Û Ú Ø ¾¼ Ø ÆÓÖ Å Ø Ñ Ø Ð ÓÒØ Ø ÛÖ ØØ Ò ÓÒ Å Ö ¼ ¾¼¼ º Ì Ò Ó ØÓ ÊÓ ÖØ ÅÓÖ ÛÓÓ Ò Ò Ì Ñ Ä Ö ØÓ Ø Ø ÁÅÇ Ò ËÐÓÚ Ò ÓÖ Ó Ø Ò Ò Ø ÓÖ Ø ÓÖÒ Öº ¾¼Ø ÆÓÖ Å Ø Ñ Ø Ð ÓÒØ Ø Å Ö ¼ ¾¼¼ ½º Ä Ø B Ò C ÔÓ ÒØ ÓÒ ØÛÓ Ú Ò Ö Ý ÖÓÑ Ø Ñ ÔÓ ÒØ A Ù Ø Ø AB + AC ÓÒ Ø Òغ ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÔÓ ÒØ D Ø ÒØ ÖÓÑ ÔÓ ÒØ A Ù Ø Ø Ø ÖÙÑ ÖÐ Ó Ø ØÖ Ò Ð ABC Ô Ø ÖÓÙ D ÓÖ ÐÐ Ó Ó B Ò C Ù Ø ØÓ Ø Ú Ò ÓÒ ØÖ Òغ ¾º Ì Ö Ð ÒÙÑ Ö x y Ò z Ö ÒÓØ ÐÐ ÕÙ Ð Ò Ø Ý x + 1 y = y + 1 z = z + 1 x = k º Ø ÖÑ Ò ÐÐ ÔÓ Ð Ú ÐÙ Ó kº º Ì ÕÙ Ò {a n } Ó ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ò Ý a 0 = m Ò Ø Ö ÙÖ ÓÒ a n+1 = a 5 n ÓÖ ÐÐ n 0º Ø ÖÑ Ò ÐÐ Ú ÐÙ Ó m ÓÖ Û Ø ÕÙ Ò ÓÒØ Ò Ñ ÒÝ ÕÙ Ö ÒÙÑ Ö ÔÓ Ð º º Ì ÕÙ Ö Ó Ó Ö Ö ÓÐÓÙÖ Û Ø 100 «Ö ÒØ ÓÐÓÙÖ º ÕÙ Ö Ô ÒØ Û Ø ÓÒ ÓÐÓÙÖ ÓÒÐÝ Ò ÓÐÓÙÖ Ù Ü ØÐÝ 100 Ø Ñ º Ë ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÖÓÛ ÓÖ ÓÐÙÑÒ ÓÒ Ø Ó Ö Ù Ø Ø Ø Ð Ø 10 «Ö ÒØ ÓÐÓÙÖ Ö Ù ØÓ Ô ÒØ Ø ÕÙ Ö º

24 ¾½ Ø Ö Ø Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÝÓÙÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÚ Ò ÔÐ ÙÖ ÓÚ Ö Ø Ö Û Ú Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø ½¼ Ø Ò Ø ½½ Ø ÓÖÑ Ó Ø Ø Ò Ðµ ÖÓÙÒ Ó Ø ¾¼¼ ß¾¼¼ ÁÁ ÊÙ Ò Å Ø Ñ Ø Ð ÇÐÝÑÔ º Ì Ò Ó ØÓ ÊÓ ÖØ ÅÓÖ ÛÓÓ Ò Ò Ì Ñ Ä Ö ØÓ Ø Ø ÁÅÇ Ò ËÐÓÚ Ò ÓÖ Ó Ø Ò Ò Ø Ñ ÓÖ ÓÙÖ Ù º Ï Ö Ñ Ö Ø Ø Ø Ó ¹ÒÙÑ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø ½¼ Ø ÓÖÑ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ó ¹ÒÙÑ Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ø ÓÖÑ Ò Ø Ý Ö ÓÑ ØØ º ÁÁ ÊÙ Ò Å Ø Ñ Ø Ð ÇÐÝÑÔ ¾¼¼ ß¾¼¼ Ò Ð ÊÓÙÒ ÓÖÑ Ø Ö Ø Ý ½º ÕÙ Ö Ó Ö Ú ÒØÓ 15 ÙÒ Ø ÕÙ Ö º ËÓÑ Ô Ö Ó ÒØÖ Ó Ò ÓÙÖ Ò ÐÓÒ µ ÐÐ Ö ÓÒÒ Ø Ý Ñ ÒØ Ó Ø Ø Ø Ñ ÒØ ÓÖÑ ÐÓ ÖÓ Ò Ð Ò Ø Ø Ó ÒÓØ ÒØ Ö Ø Ø Ð Ò Ø Ø ÝÑÑ ØÖ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ð º ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ð Ò Ø Ó Ø ÖÓ Ò Ð Ò Ø ÑÓ Ø 00 ÙÒ Ø º ¾º Ë ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÓÙÖ ÒØ Ö a b c Ò d Û Ó ÓÐÙØ Ú ÐÙ Ö Ö Ø Ö Ø Ò Ò Û Ø Ý 1 a + 1 b + 1 c + 1 d = 1 abcd º º ÇÒ ÖÐ 006 ÔÓ ÒØ Ö Ú Òº È Ø Ö ÓÐÓÙÖ Ó Ø ÔÓ ÒØ Û Ø ÓÒ Ó 17 ÓÐÓÙÖ º Ø Ö Ø Ø Å Ð ÓÒÒ Ø Ø ÔÓ ÒØ Ý Ñ ÒØ Ó Ø Ø ØÛÓ Ò ÔÓ ÒØ Ó Ñ ÒØ Ú Ø Ñ ÓÐÓÙÖ Ò Ø Ñ ÒØ Ó ÒÓØ ÒØ Ö Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ñ ÒØ Ó ÒÓØ Ú ÓÑÑÓÒ Ò ÔÓ ÒØ µº Å Ð Û ÒØ ØÓ Ö Û Ñ ÒÝ Ñ ÒØ ÔÓ Ð ÙØ È Ø Ö ØÖ ØÓ Ò¹ Ö Ñº Ò Ø Ö Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ñ ÒØ Å Ð Ò Ö Û Ö Ö Ð Ó È Ø Ö³ ÓÐÓÙÖ Ò º º ÖÐ ω ØÓÙ Ø ÖÙÑ ÖÐ Ó ØÖ Ò Ð ABC Ø A ÒØ Ö Ø AB Ø K Ò ÒØ Ö Ø BCº Ø Ò ÒØ CL ØÓ ω Û Ø L ÓÒ ω Ù Ø Ø Ø Ñ ÒØ KL ÒØ Ö Ø BC Ø T º ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ð Ò Ø Ó BT ÕÙ Ð Ø Ð Ò Ø Ó Ø Ø Ò ÒØ ÖÓÑ B ØÓ ωº ÓÖÑ Ø Ë ÓÒ Ý º Ä Ø a 1 a a 10 ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ù Ø Ø a 1 < a < < a 10 º Ä Ø b k Ø Ö Ø Ø Ú ÓÖ Ó a k Ù Ø Ø b k < a k º Á b 1 > b > > b 10 ÔÖÓÚ Ø Ø a 10 > 500º

25 ¾½ º Ì ÔÓ ÒØ P Q Ò R Ð ÓÒ Ø AB BC Ò CA Ó ØÖ Ò Ð ABC Ù Ø Ø AP = CQ Ò Ø ÕÙ Ö Ð Ø Ö Ð RPBQ ÝÐ º Ì Ø Ò¹ ÒØ ØÓ Ø ÖÙÑ ÖÐ Ó ØÖ Ò Ð ABC Ø A Ò C Ñ Ø Ø Ö Ô Ø Ú Ð Ò RP Ò RQ Ø X Ò Y º ÈÖÓÚ Ø Ø RX = RY º º ÕÙ Ö Ó Ö ÙØ ÒØÓ ÓÑ ÒÓ Ø Ø ÒØÓ 1 Ö Ø Ò Ð µº ÌÛÓ ÔÐ Ý Ö ÔÐ Ý Ñ º Ø ØÙÖÒ ÔÐ Ý Ö Ñ Ý ÐÙ ØÓ Ø Ö ÒÝ ØÛÓ ÒØ ÕÙ Ö Ø Ö ÙØ ØÛ Ò Ø Ñº ÔÐ Ý Ö ÐÓ ÓÖ Ö ÓÒÒ Ø Ø Ó Ö Ø Ù ÐÐÓÛ Ò Ø Ó Ö ØÓ Ð Ø Ý ÓÖÒ Ö Û Ø ÓÙØ Ø ÐÐ Ò Ô Öصº Ï Ó Û ÒÒ Ò ØÖ Ø Ý Ø Ö Ø ÔÐ Ý Ö ÓÖ Ø ÓÒ ÔÐ Ý Ö º ÕÙ Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð f(x) = x + ax + b Ú Òº ËÙÔÔÓ Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ f ( f(x) ) = 0 ÓÙÖ Ø ÒØ Ö Ð ÖÓÓØ Ò Ø Ø Ø ÙÑ Ó ØÛÓ Ó Ø Ñ ÕÙ Ð ØÓ 1º ÈÖÓÚ Ø Ø b 1 4 º ½¼ ÓÖÑ Ø Ö Ø Ý ¾º ÙÑ Ø Ø Ø ÙÑ Ó Ø Ù Ó Ø Ö ÓÒ ÙØ Ú ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ù Ó ÓÑ ÔÓ Ø Ú ÒØ Öº ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ñ Ð ÒÙÑ Ö Ó Ø Ø Ö ÒÙÑ Ö Ú Ð Ý 4º º Ä Ø ABC Ò Ó Ð ØÖ Ò Ð Û Ø AB = ACº Ä Ø ω ÖÐ ØÓÙ Ò Ø AB Ò AC Ò Ñ Ø Ò Ø BC Ø K Ò Lº Ì Ñ ÒØ AK Ñ Ø ω ÓÖ Ø ÓÒ Ø Ñ Ø Mº Ì ÔÓ ÒØ P Ò Q Ö Ø Ö Ø ÓÒ Ó K Û Ø Ö Ô Ø ØÓ B Ò C Ö Ô Ø Ú Ðݺ ÈÖÓÚ Ø Ø Ø ÖÙÑ ÖÐ Ó PMQ Ø Ò ÒØ ØÓ ωº ½¼ ÓÖÑ Ø Ë ÓÒ Ý º Ä Ø K Ò L ÔÓ ÒØ ÐÝ Ò ÓÒ Ø Ö AB Ò BC Ó Ø ÖÙÑ ÖÐ Ó ABC Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ó Ø Ø Ø Ð Ò KL Ò AC Ö Ô Ö ÐРк ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ò ÒØÖ Ó ABK Ò CBL Ö ÕÙ Ø ÒØ ÖÓÑ Ø Ñ ÔÓ ÒØ Ó Ø Ö ABCº º ÕÙ Ö Ú ÒØÓ ÓÑ ÒÓ Ø Ø ÒØÓ 1 Ö Ø¹ Ò Ð µº ÈÖÓÚ Ø Ø ÓÒ Ò Ô ÒØ Ø ÓÑ ÒÓ Û Ø Ø Ö ÓÐÓÙÖ Ù Ø Ø ÓÐÓÙÖ Ù ÕÙ ÐÐÝ Ó Ø Ò Ò Ô Ö Û Ø ÒÓ ÑÓÖ Ø Ò ØÛÓ Ô Ó Ø Ñ ÓÐÓÙÖº ½½ Ø ÓÖÑ Ö Ø Ý ½º ÈÖÓÚ Ø Ø sin x < sin x Û Ò Ú Ö 0 < x < π º

26 ¾½ ¾º ÙÑ Ø Ø Ø ÙÑ Ò Ø ÔÖÓ ÙØ Ó ÓÑ ÔÙÖ Ô Ö Ó Ñ Ð Ö Ø ÓÒ ÔÙÖ Ñ Ð Ö Ø ÓÒ Û Ø Ô Ö Ó T º ÈÖÓÚ Ø Ø Ó Ø ÓÖ Ò Ð Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ó ÒÓØ Ü Ò T º º ÓÒ Ö Ö º ÐÐ Ø Ö ÔÓ ÒØ Ö Ñ Ö º ÌÛÓ ÔÐ Ý Ö Ø ØÙÖÒ ÓÒÒ Ø Ò Ô Ö Ó Ö ÔÓ ÒØ Ý Ñ ÒØ Ó Ø Ø ÒÓ Ö ÔÓ ÒØ Ø Ò ÔÓ ÒØ Ó ØÛÓ Ñ ÒØ º Ì Ñ ÒØ Ö Ö ÛÒ ÙÒØ Ð Ø Ö Ö ÒÓ Ö Ö ÔÓ ÒØ º Ì Ö Ø ÔÐ Ý Ö Û Ò Ø Ö Ø ÔÖÓ Ò ÓÖ ÒØ Ó Ø Ñ ÒØ Ó Ø Ø Ø ÙÑ Ó ÐÐ Ú ØÓÖ Ó Ø Ò ÕÙ Ð ØÓ Ø ÒÙÐÐ Ú ØÓÖ ÓØ ÖÛ Ø ÓÒ ÔÐ Ý Ö Û Ò º Ï ÔÐ Ý Ö Û ÒÒ Ò ØÖ Ø Ý º Ì Ò Ð ØÓÖ BB 1 Ò CC 1 Ó ABC Û Ø B 1 ÓÒ AC Ò C 1 ÓÒ ABµ Ñ Ø Ø Iº Ì Ð Ò B 1 C 1 Ñ Ø Ø ÖÙÑ ÖÐ Ó ABC Ø M Ò Nº ÈÖÓÚ Ø Ø Ø ÖÙÑÖ Ù Ó MIN ØÛ Ø ÖÙÑÖ Ù Ó ABCº ½½ ÓÖÑ Ø Ë ÓÒ Ý º Ì ÕÙ Ò Ó ÔÓ Ø Ú ÒÙÑ Ö {x n } Ò {y n } Ø Ý x n+ y n+ = x n + x n+1 = y n + y n+1 ÓÖ ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö nº ÈÖÓÚ Ø Ø x 1 x y 1 Ò y Ö Ö Ø Ö Ø Ò 1 Ø Ò x n > y n ÓÖ ÓÑ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö nº º Ä Ø SABC Ø ØÖ ÖÓÒº Ì Ò ÖÐ Ó ABC Ò ÒØÖ I Ò ØÓÙ AB BC CA Ø D E F Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ì ÔÓ ÒØ A B C Ð ÓÒ Ø SA SB SC Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ó Ø Ø AA = AD BB = BE Ò CC = CF º Ä Ø SS Ñ Ø Ö Ó Ø ÖÙÑ Ô Ö Ó SABCº ËÙÔÔÓ Ø Ø SI Ò ÐØ ØÙ Ó Ø ÔÝÖ Ñ º ÈÖÓÚ Ø Ø S ÕÙ Ø ÒØ ÖÓÑ A B Ò C º º Ì ÔÓÐÝÒÓÑ Ð (x + 1) n 1 Ú Ð Ý ÔÓÐÝÒÓÑ Ð P(x) = x k + c k 1 x k 1 + c k x k + + c 1 x + c 0 Ó Ú Ò Ö k Ù Ø Ø c 0 c 1 c k 1 Ö Ó ÒØ Ö º ÈÖÓÚ Ø Ø n Ú Ð Ý k + 1º º ÖÓÙÔ Ó Ô ÓÒ Ö ÖÖ Ú Ø ÙÑÑ Ö ÑÔº Ô ÓÒ Ö Ø Ð Ø 50 Ò Ø ÑÓ Ø 100 Ö Ò ÑÓÒ Ø ÓØ Ö º ÈÖÓÚ Ø Ø ÓÒ Ò ØÖ ÙØ Ð Ô Ø Ø ÓÑ Ò 1331 «Ö ÒØ ÓÐÓÖ ÓÒ ØÓ Ø Ô ÓÒ Ö Ó Ø Ø Ø Ö Ò Ó Ô ÓÒ Ö Ú Ô Ó Ø Ð Ø 0 «Ö ÒØ ÓÐÓÖ º

27 ¾½ ÆÓÛ Û Ö ØÙÖÒ ØÓ Ø Ð Ó ÓÐÙØ ÓÒ ÖÓÑ ÓÙÖ Ö Ö ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Å Ý ¾¼¼ ÒÙÑ Ö Ó Ø ÓÖÒ Ö Ò Ø Á ÇÐ ÑÔ Á ÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ú Ò Ø ¾¼¼ ¾½ º ¾º Ä Ø A Ü ÜØ Ö ÓÖ ÔÓ ÒØ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ú Ò ÖÐ Û Ø ÒØÖ O Ò Ö Ù rº Ä Ø M ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø ÖÐ Ò Ð Ø N Ñ ØÖ ÐÐÝ ÓÔÔÓ Ø ØÓ M Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Oº Ò Ø ÐÓÙ Ó Ø ÒØÖ Ó Ø ÖÐ Ô Ò Ø ÖÓÙ A M Ò N Ø ÔÓ ÒØ M Ú Ö ÓÒ Ø ÖÐ º ËÓÐÚ Ý Å Ð Ø ÐÐ ÊÓÙ Ò Ö Ò Ò Ì ØÙ ÚÓÒ ÖÙ ÓÑ Ò Ø ÊÓÑ Ò º Ï Ú Ø ÐÐ ³ ÛÖ Ø ÙÔº Ä Ø U Ø ÖÙѹ ÒØÖ Ó AMNº Ë Ò O Ø Ñ ÔÓ ÒØ Ó MN U UO ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ MN M Ò UM = UO + r 0 º ÙØ UM = UA Ó Û N Ú UA UO = r º ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø U ÓÒ Ð Ò l Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ØÓ AOº A ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ M 0 N 0 O U 0 Ø Ñ Ø Ö Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö M ØÓ AO Ò U 0 Ø ÖÙѹ ÒØÖ Ó AM 0 N 0 Ø Ò l l Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ØÓ N 0 AO Ø ÖÓÙ U 0 º ÆÓØ Ø Ø U 0 Oº ÓÒÚ Ö ÐÝ Ä Ø U ÒÝ ÔÓ ÒØ ÓÒ l Ó Ø Ø UA UO = r µ Ò Ð Ø MN Ø Ñ Ø Ö Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ØÓ UOº Ì Ò UO +r = UM = UN Ó Ø Ø UM = UN = UA Ò U Ø ÖÙÑ ÒØÖ Ó AMN ÒÓØ Ø Ø A M Ò N Ö ÒÓØ ÓÐÐ Ò Ö Ù U 0 Oµº º Ä Ø n Ò k ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ù Ø Ø n Ó ÓÖ n Ò k Ö Ú Òº ÈÖÓÚ Ø Ö Ü Ø ØÛÓ ÒØ Ö a Ò b Ù Ø Ø gcd(a, n) = gcd(b, n) = 1 Ò k = a + bº ËÓÐÙØ ÓÒ Ý Å Ð Ø ÐÐ ÊÓÙ Ò Ö Ò º Á n = 1 Û Ø a = k 1 Ò b = 1 Ó Û ÙÔÔÓ Ø Ø n > 1º Ï Ö Ø ÓÒ Ö Ø Û Ö n Ó º Ä Ø Ø ÔÖ Ñ Ú ÓÖ Ó n p 1 p p r º ÆÓØ Ø Ø p j Ó Ò Ó ÒÓØ Ú ÓØ k 1 Ò k + 1 ÓØ ÖÛ p j Ú (k + 1) (k 1) = µº Ä Ø a j {k 1 k + 1} Ù Ø Ø p j Ó ÒÓØ Ú a j º Ý Ø Ò Ê Ñ Ò Ö Ì ÓÖ Ñ Ø Ö Ü Ø Ò ÒØ Ö a Ù Ø Ø a a j (mod p j ) ÓÖ jº Ï Ø b = k aº Ì Ò ab a j (k a j ) (mod p j ) Û Ø a j 0 (mod p j ) Ò k a j 1 ÓÖ 1º À Ò ab 0 (mod p j ) ÓÖ jº ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø gcd(a, n) = gcd(b, n) = 1 Ò k = a + bº

28 ¾¾¼ Ï ÓÒ Ö Ò ÜØ Ø Û Ö ÓØ n Ò k Ö Ú Òº Á n = m ÓÖ ÓÑ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö m Ø Ò Ò k Ú Òµ a = k 1 Ò b = 1 Ø Ý Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ º ÇØ ÖÛ Û ÒÓØ Ý p 1 p p r Ø Ó ÔÖ Ñ Ú ÓÖ Ó n Ò Ð Ø a j {k 1 k + 1} Ù Ø Ø p j Ó ÒÓØ Ú a j º Ì Ò Ê Ñ Ò Ö Ì ÓÖ Ñ ÔÖÓÚ Ò ÒØ Ö a Ù Ø Ø a a j (mod p j ) ÓÖ j Ò a 1 (mod )º Ë ØØ Ò b = k a ÒÓØ Ø Ø b Ó µ Ø Ö ÐÝ Ò Ø Ø gcd(a, n) = gcd(b, n) = 1 Ò k = a + bº º Ò ÐÐ Ô Ö Ó ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö (a, b) Ù Ø Ø a Ò b Ú ØÛÓ Ø Ò Ù Ø Ø 100a + b Ò 01a + b Ö Ô Ö Ø ÕÙ Ö Û Ø ÓÙÖ Ø º ËÓÐÙØ ÓÒ Ý Ì ØÙ ÚÓÒ ÖÙ ÓÑ Ò Ø ÊÓÑ Ò Ä Ø x y ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ù Ø Ø 100a+b = x Ò 01a+b = y º Ë Ò x Ò y Ú ÓÙÖ Ø Û Ú 3 x y 99º ËÙ ØÖ Ø Ò Ø ØÛÓ ÕÙ Ø ÓÒ Ý Ð 101a = y x = (y x)(y + x) º Ù 101 ÔÖ Ñ y x < 101 Ò y + x < 101 Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø y + x = 101 Ò y x = aº Ì Ö ÓÖ y = 101 x a = 101 x Ò b = x + 00x 10100º Ï Ú x + 00x > 9 Ò b ØÛÓ Ø Ò x > > 41º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Ò x + 00x Û Ú x < 43º Ï ÒÓÛ Ù Ø Ø x = 4 y = 59 a = 17 Ò b = 64 Ø ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñº º ÁÒ Ð Ò ØÖ Ò Ð ABC Ø ÒØ Ö ÓÖ ØÓÖ Ó Ø Ò Ð A B Ò C Ñ Ø Ø ÓÔÔÓ Ø Ø ÔÓ ÒØ A B Ò C Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ä Ø A Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó BC Û Ø Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ØÓÖ Ó AA Ð Ø B Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó AC Û Ø Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ØÓÖ Ó BB Ò Ð Ø C Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó AB Û Ø Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ØÓÖ Ó CC º ÈÖÓÚ Ø Ø A B Ò C Ö ÓÐÐ Ò Öº ËÓÐÙØ ÓÒ Ý Ì ØÙ ÚÓÒ ÖÙ ÓÑ Ò Ø ÊÓÑ Ò Ä Ø a = BC b = CA Ò c = ABº Ä Ø M Ø Ñ ÔÓ ÒØ Ó AA º Ý Ø ØÓÖ Ì ÓÖ Ñ Û Ú A C = ab b + c BA = ac b + c Ò Û Ø α = A µ Ø ÒÓÛÒ Ø Ø AA bc cos α = º Ë Ò b + c MA A = α + C Ò Ø A α M A A B C

29 ¾¾½ ØÖ Ò Ð A A M Û Ó Ø Ò A A = MA cos(α + B) = AA cos(α + C) = bccos α (b + c) cos(α + C) º Í Ò Ø Ä Û Ó Ë Ò Û Ó Ø Ò A B A C = A A A B A A + A C = bccos α accos(α + C) bc cos α + abcos(α + C) = c b = c b Ë Ò cos α 0 Û Ó Ø Ò A B A C = c b = c b = c b = c b sin B cos α sin Acos(α + C) sin C cos α + sin A cos(α + C) sin B cos α sin αcos αcos(α + C) sin C cos α + sin αcos αcos(α + C) º sin B sin αcos(α + C) sin C + sin αcos(α + C) sin B sin(α + α + C) sin(α α C) sin C + sin(α + α + C) + sin(α α C) sin B sin(a + C) + sin C sin C + sin(a + C) sin C sin B sin B + sin C sin C + sin B sin C = c b sin C sin B Ò A B A C = c b º Ý Ø ÓÒÚ Ö Ó Å Ò Ð Ù ³ Ø ÓÖ Ñ Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø A B Ò C Ö ÓÐÐ Ò Öº Æ ÜØ Û ÐÓÓ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÖÓÑ ÓÙÖ Ð ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø ËÛ Å Ø Ñ Ø Ð ÓÒØ Ø ¾¼¼»¾¼¼ ÉÙ Ð Ø ÓÒ ÊÓÙÒ Ú Ò Ø ¾¼¼ ¾½ º ½º Ì Ø A B C D Ò E Ö ÓÒÒ Ø Ý ØÖ Ø ÖÓ ÑÓÖ Ø Ò ØÛÓ Ø Ñ Ý Ð ÓÒ Ø Ñ ÖÓ µº Ì Ø Ò ÖÓÑ A ØÓ B Ò ÖÓÑ C ØÓ D 3 Ѻ Ì Ø Ò ÖÓÑ B ØÓ D 1 Ñ ÖÓÑ A ØÓ C Ø 5 Ñ ÖÓÑ D ØÓ E Ø 4 Ñ Ò Ò ÐÐÝ ÖÓÑ A ØÓ E Ø 8 Ѻ Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ò ÖÓÑ C ØÓ Eº ËÓÐÚ Ý Ì ØÙ ÚÓÒ ÖÙ ÓÑ Ò Ø ÊÓÑ Ò º Ë Ò AB + BD + DE = = 8 = AE Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø Ø Ø A B D Ò E Ö ÓÐÐ Ò Ö ÓÒ Ø Ñ ÖÓ µº

30 ¾¾¾ Ï Ú AC = 5 = = CD + AD Ò Ý Ø ÓÒÚ Ö Ó Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ì ÓÖ Ñ CD Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ØÓ ADº Ý Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ì ÓÖ Ñ Û ÒÓÛ Ó Ø Ò CE = 5º A 3 5 B D 1 3 C 4 E ¾º Ä Ò ÛÖ Ø Ø ÓÙÖ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö a b c Ò d ÓÒ Ô Ó Ô Ô Öº Ë Ò ÑÙ Ý Ö Ø Ñ Ø Ø ÒÙÑ Ö Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ò Ø ÙÑ a + b a + c c + d ÙØ ÓÖ Ø ØÓ ÛÖ Ø ÓÛÒ ÓÒ Ó Ø ÔÓ Ð ÙÑ º Ì Ú ÙÑ Ó Ø Ò Ö Ò 3º Ï ÙÑ Ä Ò ÓÖ Ø Ï Ø Ö Ø ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö a b c d ËÓÐÚ Ý Â Ò¹ Ú ÀÓÙÐ ØÙ ÒØ Å ÐÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÅÓÒØÖ Ð É ÂÓ Ò Ö ÒØ ÅÄÓÙ Ð Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Æ Û ÖÙÒ Û Ö Ö ØÓÒ Æ Ò Ì ØÙ ÚÓÒ ÖÙ ÓÑ Ò Ø ÊÓÑ Ò º Ï Ú ÀÓÙÐ ³ ÓÐÙØ ÓÒ ÑÓ Ý Ø ØÓÖº Ï Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Ð Ø Ø ÙÒ ÒÓÛÒ ÙÑ c + dº Ì Ò Û ÒÓÛ Ø Ø 3(a + b) + (c + d) = = 71º Ë Ò 71 Ó a + b Ð Ó Ó Ò a + b 7 11 ÓÖ 3 Ò Ø Ò c + d 5 19 ÓÖ 1 Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ç Ú ÓÙ ÐÝ c + d = 1 ÑÔÓ Ð Ó a + b + c + d Ø Ö = 3 ÓÖ = 30º Ë Ò ØÛÓ ÒÙÑ Ö Ò { } ÑÙ Ø Ð Ó ÙÔ ØÓ a + b + c + d ÙØ ÒÓ ØÛÓ ÖÓÑ Ø Ø ÙÔ ØÓ 3 Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø a + b = 11 Ò Ø Ø Ä Ò ÓÖ ÓØ Ø ÙÑ c + d = 19º ÆÓÛ a + b = 11 Ò 1 Ø ÙÑ Ó ÒÙÑ Ö ÖÓÑ {a b} Ò ÒÙÑ Ö ÖÓÑ {c d} Ó Û Ñ Ý Ø c = a + 1º Ì Ò a + c = a + 1 Ø Ö 7 ÓÖ 3 Ó a = 3 ÓÖ a = 11º ÀÓÛ Ú Ö a+b = 11 Ò a 11º Ï Ù Ø Ø (a, b, c, d) = (3, 8, 4, 15) Û Ý Ð ÐÐ Ó Ø Ö ÕÙ Ö ÙÑ º º Ø ÖÑ Ò Ø Ö Ø Ø Ò Ø Ð Ø Ú ÐÙ Ó mn (m + n) m Ò n Ö ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö ÒÓØ Ö Ø Ö Ø Ò 004º ËÓÐÚ Ý ÓÖ ÔÓ ØÓÐÓÔÓÙÐÓ Å ÓÐÓÒ Ö Â Ò¹ Ú ÀÓÙÐ ØÙ ÒØ Å ÐÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÅÓÒØÖ Ð É È ÚÐÓ Å Ö ÓÙ È Ö Ö Û Ö ÌºÀº Ï Ò Ï Ð Ö Ä ÙÖ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ï Ø ÖÐÓÓ ÇÆ Ò Ì ØÙ ÚÓÒ ÖÙ ÓÑ Ò Ø ÊÓÑ Ò º Ï Ú ÚÓÒ ÖÙ³ ÛÖ Ø ÙÔº mn Ý Ø Åß Å ÁÒ ÕÙ Ð ØÝ Û Ú (m + n) mn 4mn = 1 Ò Ø 4 Ö Ø Ø Ú ÐÙ 1 Ú Û Ò m = nº 4

31 ¾¾ Ä Ø t = m n º Ë Ò 1 m n 004 Ø Ò 1 t 004º Ï Ú 004 mn (m + n) t (t + 1) 004 ( ) 004t t t 4008t t 0 004t t 004 t t(004t 1) 004(004t 1) 0 (t 004)(004t 1) 0 1 Ò Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ ØÖÙ Ò t 004º À Ò Ø Ð Ø Ú ÐÙ Ú Û Ò (m, n) = (004, 1) ÓÖ (m, n) = (1, 004)º 005 º Ä Ø k Ò n ÒØ Ö Û Ø 1 < k < nº Á Ø Ó n Ö Ð ÒÙÑ Ö Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ø Ø Ñ Ò Ú ÐÙ Ó ÒÝ k Ó Ø Ñ Ò ÒØ Ö ÓÛ Ø Ø ÐÐ n ÒÙÑ Ö Ö ÒØ Ö º ËÓÐÚ Ý Â Ò¹ Ú ÀÓÙÐ ØÙ ÒØ Å ÐÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÅÓÒØÖ Ð É Ò Ì ØÙ ÚÓÒ ÖÙ ÓÑ Ò Ø ÊÓÑ Ò º Ï Ú ÚÓÒ ÖÙ³ ÛÖ Ø ÙÔº Ä Ø A = {a 1 a a n } Ø Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ø Ý Ò Ø ÝÔÓØ º Ì Ö Ö ÒØ Ö z z z k+1 Ù Ø Ø a 1 + a + + a k = kz k+1 a 1 + a + + a k 1 + a k+1 º = kz k º a 1 + a + a a k + a k+1 = kz 3 a 1 + a 3 + a a k + a k+1 = kz Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ó Ø Ò ka 1 + (k 1)(a + a a k+1 ) = k(z + z z k+1 ) º ÆÓÛ Ø Ö Ò ÒØ Ö z 1 Ù Ø Ø a + a a k+1 = kz 1 Ò a 1 = z + z z k+1 (k 1)z 1 Ò a 1 Ò ÒØ Öº ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø a 1 a a n Ö ÒØ Ö º º Ä Ø n Û Ö n 1µ ÔÓ ÒØ Ð Ò Ø ÔÐ Ò Ó Ø Ø ÒÓ ØÖ Ø Ð Ò ÓÒØ Ò ÑÓÖ Ø Ò ØÛÓ Ó Ø Ñº È ÒØ n Ó Ø ÔÓ ÒØ ÐÙ Ò Ô ÒØ Ø ÓØ Ö n ÔÓ ÒØ Ý ÐÐÓÛº Ë ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ö n Ñ ÒØ Û Ø ÓÒ ÐÙ Ò ÔÓ ÒØ Ò ÓÒ Ý ÐÐÓÛ Ò ÔÓ ÒØ Ù Ø Ø Ó Ø n ÔÓ ÒØ Ò Ò ÔÓ ÒØ Ó ÓÒ Ó Ø n Ñ ÒØ Ò ÒÓÒ Ó Ø Ñ ÒØ Ú ÔÓ ÒØ Ò ÓÑÑÓÒº

32 ¾¾ ËÓÐÚ Ý ÇÐ Ú Ö ÙÔ Ð Ö ĐÙ Ð ÆÊÏ ÖÑ ÒÝ Ò Ì ØÙ ÚÓÒ ÖÙ ÓÑ Ò Ø ÊÓÑ Ò º Ï Ú ÙÔ Ð³ ÓÐÙØ ÓÒº Ì Ö Ö Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ Ò Ñ ÐÝ n!µ Ø Ú ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÛ Ò Ø ÐÙ Ò Ø Ý ÐÐÓÛ ÔÓ ÒØ º À Ò Ø Ö Ø Ð Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Γ Û Ö Ø ÙÑ s(γ) Ó Ø ÙÐ Ò Ð Ò Ø Ó Ø n Ñ ÒØ Ñ Ò¹ ÑÙÑ Ú ÐÙ º Ï Û ÐÐ ÔÖÓÚ Ø Ø Ù Γ Ø Ö ÔÖÓÔ ÖØݺ ÙÑ Ø ÓÒØÖ Öݺ Ì Ò Ø Ö Ö ØÛÓ ÐÙ ÔÓ ÒØ Ý A Ò B Ò B ÐÙ µ ØÛÓ Ý ÐÐÓÛ ÔÓ ÒØ Ý X Ò Y Ù A ÐÙ µ Ø Ø Ø Ñ ÒØ AX Ò BY Ö Ö ÛÒ Ò ÒØ Ö Ø Ò ÔÓ ÒØ Ý Sº Ï ÓÒ ØÖÙØ ÒÓØ Ö ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Γ ÖÓÑ Γ Ý Ö ÑÓÚ Ò Ø Ñ ÒØ AX Ò BY Ò Ò Ø Ñ ÒØ AY S Ò BX º ÒÓØ Ø Ø Ý Ø ÝÔÓØ ¹ AY Ò BX ÓÒØ Ò ÒÓ ÓÐÓÙÖ Y Ý ÐÐÓÛµ X Ý ÐÐÓÛµ ÔÓ ÒØ Ü ÔØ Ø Ö Ò ÔÓ ÒØ º Ì ÓÖ¹ Ö ÔÓÒ Ò Γ Ð Ó Ø Ú º Ý Ø ØÖ Ò Ð Ò ÕÙ Ð ØÝ s(γ ) = s(γ) + AY + BX AX BY = s(γ) + (AY AS Y S) + (BX SX SB) < s(γ) ÓÒØÖ Ø Ò Ø Ø Ø Ø s(γ) Ñ Ò ÑÙÑ Ú ÐÙ º Ì ÔÖÓÓ ÓÑÔÐ Ø º Æ ÜØ Û ÐÓÓ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø ËÛ Å Ø Ñ Ø Ð ÓÒØ Ø ¾¼¼»¾¼¼ Ò Ð ÊÓÙÒ Ú Ò Ø ¾¼¼ ¾½ º ½º ÌÛÓ ÖÐ Ò Ø ÔÐ Ò Ó Ø Ñ Ö Ù R ÒØ Ö Ø Ø Ö Ø Ò Ð º ÀÓÛ Ð Ö Ø Ö Ó Ø Ö ÓÒ Û Ð Ò ÓØ ÖÐ ËÓÐÚ Ý ÓÖ ÔÓ ØÓÐÓÔÓÙÐÓ Å ÓÐÓÒ Ö Ò Ì ØÙ ÚÓÒ ÖÙ ÓÑ Ò Ø ÊÓÑ Ò º Ï Ú ÔÓ ØÓÐÓÔÓÙÐÓ ³ Ú Ö ÓÒº Ë Ò O 1 AO = 90 A Ð Ø Ö Ó Ø Ð Ò ¹ Ô Ö ÓÒ Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ R R ÕÙ Ð Ø Ö Ó ÕÙ Ö¹ Ø Ö ÖÐ Ñ ÒÙ Ø Ö Ó O O 1 AO Bº À Ò Ø Ö ÕÙ Ö Ö ( 1 4 πr 1 R) = π R º º Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ø ÖÐ ÒØ Ö Ø Ø θ Ö Ò Ø Ò Ø Ö ØÛ Ò Ø Ñ (θ sin θ)r º R B R

33 ¾¾ º Ì ÙÒØ ÓÒ f Ø f(x) + xf(1 x) = x ÓÖ ÐÐ Ö Ð ÒÙÑ Ö xº Ø ÖÑ Ò Ø ÙÒØ ÓÒ fº ËÓÐÚ Ý ÓÖ ÔÓ ØÓÐÓÔÓÙÐÓ Å ÓÐÓÒ Ö Å Ð Ø ÐÐ ÊÓÙ Ò Ö Ò Û Ö ÌºÀº Ï Ò Ï Ð Ö Ä ÙÖ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ï Ø ÖÐÓÓ ÇÆ Ò Ì ØÙ ÚÓÒ ÖÙ ÓÑ Ò Ø ÊÓÑ Ò º Ï Ú Ï Ò ³ ÛÖ Ø ÙÔº Ì ÓÒÐÝ Ù ÙÒØ ÓÒ f(x) = x + + x x x + 1 º Ê ÔÐ Ò x Ý 1 x Ò Ø ÒØ ØÝ ÓÖ f Û Ó Ø Ò f(1 x) + (1 x)f(x) = (1 x) º ½µ ÅÙÐØ ÔÐÝ Ò Ó ½µ Ý x Û Ú xf(1 x) + x(1 x)f(x) = x(1 x) º ËÙ ØÖ Ø Ò Ø ÒØ ØÝ ÖÓÑ ¾µ Ý Ð ( x x 1 ) f(x) = x 3x + x 3 º À Ò f(x) = x3 + 3x x x x + 1 ÓÒÚ Ö ÐÝ f(x) Ú Ò Ý µ Ø Ò ¾µ = x + + x x x + 1 º µ (1 x) f(1 x) = (1 x) + + (1 x) (1 x) + 1 x = x + 1 x x + 1 f(x) + xf(x 1) = x + + x + x x x + x x + 1 = x + = x Ò Ø ÔÖÓÓ ÓÑÔÐ Ø º º Á tan v = v Ò 0 < v < π 0 Ø Ò Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø sin v < 1 ËÓÐÚ Ý Å Ð Ø ÐÐ ÊÓÙ Ò Ö Ò Ò È ÚÐÓ Å Ö ÓÙ È Ö Ö º Ï Ú Ø ÐÐ ³ ÛÖ Ø ÙÔº ( Ø Ó º ÌÓ ÔÖÓÚ Ø Û ÒØÖÓ Ù Ø ÙÒØ ÓÒ φ(x) = tan x x ÓÖ x 0, π ) Û Ó Ö Ú Ø Ú φ (x) = sec x º ÆÓØ Ø Ø φ(0) = 0 ( Ø Ø φ Ö ÓÒ 0, π ) ( π Ò ÒÖ ÓÒ 4 4, π ) Ò Ø Ø φ(x) + x π ( º Ì Ö ÓÖ φ ÙÒ ÕÙ ÖÓÓØ v 0, π ) Ò φ(x) < 0 ÓÖ ( x (0, v) Ò φ(x) > 0 ÓÖ x v, π ) º Ì Û Ú sin v = tan v = v º

34 ¾¾ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ v < Û Ò ØÙÖÒ ÕÙ Ú¹ ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø sin v < 0 ( ) 1 10 Ð ÒØ ØÓ φ > 0º 41 ( ) 10 ÆÓÛ > 5π 10 Ó Ø Ø tan > tan < 10 3 < + 3 Ó Û ÓÒÐÙ Ø Ø φ ( ) 5π = + 3º Ð Ó 1 ( ) > 0 Ö º º ÕÙ Ö Ó ÒØ Ö n Û Ö n Ú ÒØÓ n ÕÙ Ö Ó 1º Æ ÜØ n 1 ØÖ Ø Ð Ò Ö Ö ÛÒ Ó Ø Ø Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ó Ø Ñ ÐÐ ÕÙ Ö Ø ÓÙÒ ÖÝ ÒÓØ Ò ÒÐÙ Ò Ø ÒØ Ö ÓÖµ ÒØ Ö Ø Ý Ø Ð Ø ÓÒ Ó Ø ØÖ Ø Ð Ò º µ Ú Ò Ü ÑÔÐ Û ÓÛ Ø Ø Ø Ò Ú ÓÖ ÓÑ n º µ Ë ÓÛ Ø Ø ÑÓÒ Ø n 1 ØÖ Ø Ð Ò Ø Ö Ö ØÛÓ Ð Ò Û ÒØ Ö Ø Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ÕÙ Ö Ó nº ËÓÐÙØ ÓÒ Ý ÇÐ Ú Ö ÙÔ Ð Ö ĐÙ Ð ÆÊÏ ÖÑ Òݺ Ï Ù ÖØ Ò ÓÓÖ Ò Ø Û Ø (0, 0) (n, 0) (n, n) Ò (0, n) ¹ Ò Ø ÓÖÒ Ö Ó Ø ÕÙ Ö S n º ÓÖ 0 i j < n Ð Ø S(i, j) ÒÓØ Ø ÙÒ Ø ÕÙ Ö Û Ó ÓÙØ Û Ø ÓÖÒ Ö Ø ÔÓ ÒØ (i, j)º ÙÖ ÙÖ ( ) ÓÖ Ô ÖØ ( µ Û Ú Ò Ü ÑÔÐ Û Ø n = 3º ( Ä Ø g Ø Ð Ò Ø ÖÓÙ 0, 1 Ò 3, 5) Ò Ð Ø h Ø Ð Ò Ø ÖÓÙ 1,3) Ò ( 5, 0) º Ì Ð Ò g ÒØ Ö Ø ÙÖ µ Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó S(0, 0) S(0, 1) S(1, 1) S(, 1) Ò S(, ) Û Ð Ø Ð Ò h ÒØ Ö Ø Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø Ö Ñ Ò Ò ÕÙ Ö S(1, 0) S(, 0) S(0, ) Ò S(1, )º ÓÖ Ô ÖØ µ Ø ÙÆ ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ø Ñ ÒØ ÓÖ ÐÐ n 1 Á m ØÖ Ø Ð Ò Ö Ö ÛÒ Ó Ø Ø µ Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó S(i, j) ÒØ Ö Ø Ý Ø Ð Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ò Ò µ ÒÓ ØÛÓ Ó Ø Ð Ò ÒØ Ö Ø Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó S n Ø Ò m nº Ì ÔÖÓÓ Ý Å Ø Ñ Ø Ð ÁÒ ÙØ ÓÒº Ì Ð Ñ ØÖ Ú Ð ÓÖ n = 1º ÙÑ Ø Ø Ø Ú Ð ÓÖ ÒØ Ö n Û Ø 1 n < Nº Ï ÔÖÓÚ Ø ÓÖ n = Nº

35 ¾¾ ÙÑ Ø Ø m Ð Ò l 1 l, l m Ö Ö ÛÒ Ó Ø Ø µ Ò µ ÓÐ ÓÖ S N º Ï Ð Ø Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø Ð ØØ ÔÓ ÒØ Ó S N Ø ÓÖ Ò Ó ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñ Ó Ø Ø Ø ÒÐ Ò Ø ÓÒ φ Ó l 1 Ø 90 φ < 0º Ì Ð Ò l 1 ÒØ Ö Ø Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ÑÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ð ÕÙ Ö S(k, k) Û Ö 0 k < N Ø Ù Ú Ò S N Ò ÓÙØ Û Ø Ñ ÒØ P ÓÒØ Ò Ò p Ó Ø S(k, k) Ò ÒÓÖØ Ø Ñ ÒØ Q ÓÒØ Ò Ò q Ó Ø S(k, k) Û Ö p+q N 1º Ì Ö ÓÖ P ÓÒØ Ò ÕÙ Ö Ó p Ò Q ÓÒØ Ò ÕÙ Ö Ó qº Ý Ø Ò ÙØ ÓÒ ÝÔÓØ Ø Ð Ø p Ò q Ó Ø Ð Ò l k ÒØ Ö Ø P Ò Q Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ì Ö Ñ Ò ØÖÙ p ÓÖ q Þ ÖÓºµ Ý µ l 1 Ó ÒÓØ ÒØ Ö Ø ÒÝ ÓØ Ö Ð Ò Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó S N º Ì Ö ÓÖ Ø p Ð Ò ÒØ Ö Ø Ò P Ö Ø ÒØ ÖÓÑ Ø q Ð Ò ÒØ Ö Ø Ò Qº Ï ÓÒÐÙ Ø Ø m 1 + p + q N Û ÓÑÔÐ Ø Ø Ò ÙØ ÓÒº ÆÓÛ Û ØÙÖÒ ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø Ð ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ ¾¼¼ ¹¾¼¼ Ú Ò Ø ¾¼¼ ¾½ ¹¾½ º ½º µ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö m ØÖ Ò ÙÐ Ö m = n ÓÖ ÓÑ ÒØ Ö n > 0º Ë ÓÛ Ø Ø m ØÖ Ò ÙÐ Ö 8m + 1 Ô Ö Ø ÕÙ Ö º µ Ì Ó ÔÝÖ Ñ Ö Ø¹ Ò Ð ØÖ Ò Ð Û Ø Ó ÒØ Ö Ð Ò Ø º Ì Ø Ó Ø ÔÝÖ Ñ Ð Ó Ò ÒØ Öº Ë ÓÛ Ø Ø Ø ÚÓÐÙÑ Ó Ø ÔÝÖ Ñ Ò Ú Ò ÒØ Öº ËÓÐÙØ ÓÒ Ý Ì ØÙ ÚÓÒ ÖÙ ÓÑ Ò Ø ÊÓÑ Ò º n(n + 1) µ Ï Ú n = Ó ÐÐ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÒÙÑ Ö Ö Ó Ø ÓÖѺ ËÙÔÔÓ Ø Ø 8m + 1 Ò Ó Ô Ö Ø ÕÙ Ö º Ì Ò Ø n(n + 1) ÕÙ Ø ÓÒ = m ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÓÒÐÝ n + n m = 0 ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö ÖÓÓغ ÀÓÛ Ú Ö Ò 8m + 1 Ò Ó Ô Ö Ø ÕÙ Ö n = m ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö ÖÓÓØ Ó Ø Ð Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò m ØÖ Ò ÙÐ Öº µ Ë Ò Ø Ó Ø ÔÝÖ Ñ Ö Ø¹ Ò Ð ØÖ Ò Ð Û Ø Ó ÒØ Ö Ð Ò Ø Ø Ð Ó Ø ØÖ Ò Ð Ö k mn Ò k ( m n ) Û Ö m n Ò k Ö ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ò m > n > 0º Á Ø Ø Ó Ø ÔÝÖ Ñ h Ø Ò Ø ÚÓÐÙÑ V = 1 3 k mn(m n)(m + n)hº ÁØ ÙÆ ØÓ ÓÛ Ø Ø V = mn ( m n ) 0 (mod 6) Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÛ Ø Ø V Ú Òº Á m ÓÖ n Ú Ò Ø Ò mn Ú Ò Ò ÓØ m Ò n Ö Ó Ø Ò m n Ú Òº À Ò V Ú Òº Ë Ñ Ð ÖÐÝ m ÓÖ n Ú Ð Ý 3 Ø Ò mn Ú Ð Ý 3 Ò ÓØ m Ò n Ö ÒÓØ Ú Ð Ý 3 Ø Ò m n Ú Ð Ý 3 Ò x 1 (mod 3) ÓÖ x 0 (mod 3)µº À Ò V Ú Ð Ý 3º ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø Ø ÚÓÐÙÑ Ó Ø ÔÝÖ Ñ Ò Ú Ò ÒØ Öº

36 ¾¾ ¾º µ Ì Ö Ö Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ù ÕÙ Ö ÙÑ Û Ø Ó Ñ ØÖ ÒØ Ö ÐÝ ÐÐ Û Ø Û Ø Öº Ë ÓÛ Ø Ø Ø ÒÝ Ú Ò Ø Ñ Ø Ö Ò ÓÙÒ ØÛÓ Û Ó Ø Ò Ô ÖØ ÒÓØ Ö Ø Ö Ø Ò 3 Ñ ØÖ º µ Ä Ø A Ø Ø Ó ÐÐ ÔÓ ÒØ Ò Ô Û Ø ÒØ Ö ÓÓÖ Ò Ø º Ë ÓÛ Ø Ø ÓÖ ÒÝ Ò Ò ÔÓ ÒØ Ò A Ø Ö Ö Ø Ð Ø ØÛÓ ÔÓ ÒØ ÑÓÒ Ø Ñ Ù Ø Ø Ø Ñ ÔÓ ÒØ Ó Ø Ñ ÒØ Ó Ò Ò Ø ØÛÓ Ð Ó ÔÓ ÒØ Ò Aº ËÓÐÙØ ÓÒ Ý Ì ØÙ ÚÓÒ ÖÙ ÓÑ Ò Ø ÊÓÑ Ò º µ Ú Ø ÕÙ Ö ÙÑ ÒØÓ 8 Ù 1 Ñ ØÖ ÓÒ º Ì Ö Ö Ø Ð Ø ØÛÓ Ò ÓÒ Ó Ø Ù Ý Ø È ÓÒ ÓÐ ÈÖ Ò ÔÐ Ò Ø Ý Ö ÒÓ ÙÖØ Ö Ô ÖØ Ø Ò Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ø Ù Û 3 Ñ ØÖ º µ Ä Ø P 1 (x 1, y 1, z 1 ) Ò P (x, y, z ) ØÛÓ ( ÔÓ ÒØ Ò Ø Ø Aº Ì x1 + y Ñ ÔÓ ÒØ Ó Ø Ñ ÒØ Ó Ò Ò P 1 ØÓ P M 1, x + y, x ) 3 + y 3 Ò M Ò Ø Ø A Ò ÓÒÐÝ Ø Ô Ö Ø Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ó P 1 Ò P Ö º ÓÖ ÒÝ Ò Ò ÔÓ ÒØ Ò A Ý Ø È ÓÒ ÓÐ ÈÖ Ò ÔÐ Ø Ð Ø Ú ÔÓ ÒØ Ö Ò Ø Ô Ö ØÝ Ó Ø Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø º ÑÓÒ Ø Ú ÔÓ ÒØ Ø Ð Ø Ø Ö Ö Ò Ø Ô Ö ØÝ Ó Ø ÓÒ ÓÓÖ Ò Ø Ò ÑÓÒ Ø Ø Ö ÔÓ ÒØ Ø Ð Ø ØÛÓ ÔÓ ÒØ Ö Ò Ø Ô Ö ØÝ Ó Ø Ø Ö ÓÓÖ Ò Ø º Ì Ù Û Ó Ø Ò Ø Ð Ø ØÛÓ ÔÓ ÒØ P 1 (x 1, y 1, z 1 ) Ò P (x, y, z ) Û Ó Ñ ÔÓ ÒØ Ò Aº º µ Ä Ø ABC Ó Ð Û Ø AB = AC Ò Ð Ø D Ø Ñ ÔÓ ÒØ Ó BCº Ì ÔÓ ÒØ P Ò Q Ð Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÓÒ Ø Ñ ÒØ AD Ò AB Ù Ø Ø PQ = PC Ò Q Bº Ë ÓÛ Ø Ø PQC = 1 BACº µ Ä Ø ABCD Ö ÓÑ Ù Û Ø BAD = 60 º Ä Ø F G Ò H ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø Ñ ÒØ AD CA Ò DC Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ù Ø Ø DFGH Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö Ñº Ë ÓÛ Ø Ø BHF ÕÙ Ð Ø Ö Ðº ËÓÐÚ Ý Å Ù Ð Ñ Ò Ù Ð ÓÚ Ð Ù Ö Å ÐÐÓÖ ËÔ Ò ºÂº ËÑ Ò ÐØ ÓÑÑ Ð Ø Æ Ø ÖÐ Ò Ò Ì ØÙ ÚÓÒ ÖÙ ÓÑ Ò Ø ÊÓÑ Ò º Ï Ú Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ñ Ò Ù Ð ÓÚ º µ Ë Ò PB = PC Û Ú PB = PC = PQº Á Ø Ò Ð Ò Ó Ð ØÖ Ò Ð PQB PBC Ò PCQ Ö x y Ò z Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ø Ò Ò BCQ Û Ú (x+y)+(y+z)+(z+x) = 180 Ò z = 90 (x+y)º Ì Ù PQC = z = 90 (x + y) = 90 ABD = BAD = 1 BACº µ Ë Ò GH AD Û Ú CGH = CADº ÀÓÛ Ú Ö ABCD Ö ÓÑ Ù Ó CAD = ACDº Ì Ö ÓÖ CGH = ACD = GCH Ò Ò CH = GH = FDº Ë Ò ABD Ò BCD Ö Õ٠Рع Ö Ð Û Ð Ó Ú BC = BD Ò BCH = BDF º Ì Ù BCH Ò BDF Ö ÓÒ ÖÙ ÒØ Û Ø µ BH = BF Ò µ CHB = DFBº Ý µ BFH Ó Ð Ý µ DFBH ÝÐ ÕÙ Ö Ð Ø Ö Ð Ó Ø Ø FBH = 180 HDF = 180 ( ) = 60 º Ï ÓÒÐÙ Ø Ø BHF ÕÙ Ð Ø Ö Ð Ö º