f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0
|
|
- Birgit Hellström
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 ½»¾¹¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ñ ØÖ Ö Ë Ø ÙØ Ö Ú p(a) Ö p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ ÆÙ ÐÐ Ú Ú ÙÖ Ñ Ò Ò Ò Ö f(a) Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ö f(x) ÓÑ Ò Ú Ö ÒØÖ Ö f(x) = f t (x) = e tx ÓÑ Ö e ta Ö ËÝ Ø Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ö f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. Î Ú ÐÐ ØØ Ò Ø ÓÒ Ò Ú f(a) ÐÐ Ú Ö Ò ØØ Ú ÒÐ Ò Ô ÖÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ö Ø Ü Ò Ö Ú ØØ Ò ØÓÒ ÖÒ Ú cos A Ó sin A ÐÐ Ú Ö Ò ØØ (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, Ø Ö ÓÑ cos 2 z + sin 2 z = 1º ÖÙÒ Ò Ö ØØ ÔÐÓ Ö Ñ Ò ÓÖÑ Ð Ö p(a) p Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ð Ò Ú Ô ØØ Ò ØÙÖÐ Ø Ú Ò Ö ØØ p Ñ fº Ú ÐÙ Ö Ò Ú p(a) Ñ ÐÔ Ú π A Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÈÓÐÝÒÓÑ Ø p(x) Ö ØØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ú ÓÖ Ò Ò m ÔÙÒ Ø Ò x = α ÓÑÑ p(x) = (x α) m q(x) Ö q(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ñ q(α) 0º Ä ÑÑ Ì ÝÐÓÖ ÓÖÑ Ð Ö ÔÓÐÝÒÓѵ ÄØ p Ú Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö N Ó ÐØ α Cº ÐÐ Ö p(x) = N p (k) (α) (x α) k, ½µ Ó p Ö ØØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ú ÓÖ Ò Ò m α ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ p (k) (α) = 0 Ö k < m Ó p (m) (α) 0. ¾µ ½
2 Ú Ø Ö ÓÑ p (N+1) (x) = 0 Ö ÐÐ x Ð Ö ½µ Ö Ø Ú Ì ÝÐÓÖ ÓÖÑ Ð Ú ÓÖ Ò Ò Nº ÐØ ÖÒ Ø ÚØ Ò Ú ÓÒ Ø Ø Ö ØØ q(t) := p(α + t) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö Nº ÐÐØ ÒÒ Ó ÒØ Ö q 0,..., q N ØØ p(α + t) = q(t) = N q k t k. Ø Ð Ö ØØ Ö j N p (j) (α) = q (j) (0) = q j j!, Ú q j = p(j) (α) j! Ø Ò Ö Ô Ø Ò Ø Ð Ö Ú ØØ ÓÑ p(x) = (x α) m q(x) Ö Ú ÓÒ Ú ½µ Ñ (x α) m ØØ. q(x) = N p (k) (α) (x α) k m. À Ö Ò Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÑ ÒØ Ö Ú ÒÒ Ö x = α ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ ¾µ ÐÐ Öº ÄØ A Ú Ö Ò n n Ñ ØÖ Ñ ÓÐ ÒÚÖ Ò λ 1,..., λ q º Å Ò Ñ ÐÔÓ¹ ÐÝÒÓÑ Ø Ø ÐÐ A Ö π A (x) = (x λ 1 ) s1 (x λ j ) sj (x λ q ) sq, µ Ö s j = Ò Ü Ö λ j Ö ØÓÖÐ Ò Ô Ø Ø Ö Ø ÂÓÖ Ò ÐÓ Ø Ñ ÒÚÖ λ j Ô ÐÐØ ÐÐ Ö s := gradπ A = s s q n. µ Ø ÐÐ Ö π A (A) = 0 Ó Ú Ö ÔÓÐÝÒÓÑ p ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö p(a) = 0 Ö Ð ÖØ Ñ π A º Å ÐÔ Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ú ÓÒ Ö Ú ÓÑ Ð ÖØ Ä ÑÑ ½ ÄØ A Ú Ö ÓÑ ÓÚ Ò Ó ÐØ p Ú Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ú Ö Ðº ÒÒ ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ r p = r p,a Ñ gradr < s = gradπ A ÒØ ØØ p(a) = r p (A). ¾
3 Ú Î Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö p Ñ π A p(x) = q(x)π A (x) + r p (x), Ö gradr p < grad π A º ÀÖ Ú Ð Ö p(a) = q(a)π A (A) + r p (A) = q(a) 0 + r p (A) = r p (A). ÈÓÐÝÒÓÑ Ø r Ò Ú ÔÖ Ò Ô Ö Ñ ÒÓÑ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú ÓÒº ØØ Ö Ó ÒØ Ò ÓÒ ÓÖÑ Ð Ú Ð Ò Ú Ò Ö ØØ p Ñ Ò ÐÐÑÒÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ f Ó ÙØÓÑ Ö ÐÐ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ú ÓÒ Ò Ö Ø ÖÚ Ò ÓÑ p Ö Ø Ö Ø Ðº Ä ÑÑ ¾ ÈÓÐÝÒÓÑ Ø r p Ä ÑÑ ½ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö s = s s q Ú Ø ÓÒ ÖÒ r (k) p (λ j) = p (k) (λ j ), 0 k s j 1, 1 j q. µ Ú Ø ÓÒ Ö ÔÐÙ Ú ÐÐ ÓÖ Ø grad r < s ØÑÑ Ö r ÒØÝ Øº Ú ËØØ w(x) = p(x) r p (x)º ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ú r p Ö w(x) Ð ÖØ Ñ π A (x)º ËÔ ÐÐØ Ö Ö Ú Ö j ÔÓÐÝÒÓÑ Ø w ØØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ú ÓÖ Ò Ò s j λ j º Ø Ð Ö ÒÙ Ú Ä ÑÑ ½ ØØ p (k) (λ j ) r (k) p (λ j) = w (k) (λ j ) = 0, 0 k s j. ØØ Ú Ö ØØ r p ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ú Ø ÓÒ ÖÒ µº Ö ØØ Ú ÒØÝ Ø Ò Ó ¹ ÖÚ Ö Ö Ú ØØ ÓÑ r p = r 1 Ó r p = r 2 Ð Ö µ Ó Ö Ö < s ÓÑÑ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ø r 1 r 2 ØØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ú ÓÖ Ò Ò s j λ j º Ø Ð Ö Ú Ð ÑÑ ½ Ò ØØ r 1 r 2 Ö Ð ÖØ Ñ π A ÓÑ Ö Ö = sº Ø Ö ÓÑ grad(r 1 r 2 ) < s Ñ Ø Ø ÐÐ r 1 r 2 = 0º Ü ÑÔ Ð ½ ÄØ A = J 4 (λ) = λ λ λ λ,
4 Ú Ö ØØ ÂÓÖ Ò ÐÓ Ñ ÒÚÖ λ ØØ π A (λ) = (x λ) 4 Ú q = 1 Ó s = 4º Á ØØ ÐÐ ÐÐ ÐÐØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø r p Ö < 4 Ó ÙÔÔ ÝÐÐ Ú Ø ÓÒ ÖÒ r (k) p (λ) = p(k) (λ), 0 k 3, Ú r p ÐÐ ÑÑ Ö Ú ØÓÖ ÓÑ p ÔÙÒ Ø Ò λ Ø ÐÐ Ó Ñ ÓÖ Ò Ò 3º Î Ò Ö Ö Ø ØØ 3 p (k) (λ) r p (x) = (x λ) k, Ú Ð Ø Ö p(a) = r p (A) = 3 p (k) (λ) (A λi) k. Ø Ö ÓÑ A λi = N Ö (N) k ij = δ j i k Ð Ö ØØ p(a) = p(λ) p p (λ) (λ) p (λ) 2 3! 3 p (k) (λ) 0 p(λ) p p (λ) (λ) N k 2 =. 0 0 p(λ) p (λ) p(λ) ÅÓØ Ú Ö Ò ÐÐ Ö Ö ÂÓÖ Ò ÐÓ Ú ÒÒ Ò ØÓÖÐ º ÆÓØ Ö ØØ Ú Ò Ö Ú p(a) = 3 p (k) (λ) φ k (A), µ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ò φ l (x) = (x λ) l ÙÔÔ ÝÐÐ Ö φ(k) l = δ kl Ó ØØ ÖÐ Ø µ Ö Ñ Ò Ò Ö Ú Ö ÙÒ Ø ÓÒ p Ñ Ö Ú ØÓÖ ÙÔÔ Ø ÐÐ ÓÖ Ò Ò 3 x = λº Ü ÑÔ Ð ¾ ÒØ ØØ π A (x) = (x λ 1 )(x λ 2 ) ØØ s 1 = s 2 = 1 Ó s = = 2º Î Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ r p Ú Ö ¾ Ú Ú Ö Ö Ö Ò Ð Ò ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö r p (λ 1 ) = p(λ 1 ) (λ) r p (λ 2 ) = p(λ 2 ),
5 Ú r p ÐÐ Ð Ò Ò ÒÓÑ ÔÙÒ Ø ÖÒ (λ 1, p(λ 1 )) Ó (λ 2, p(λ 2 ))º Ä Ò Ò Ò Ò Ö Ú r p (x) = p(λ 1 ) + p(λ 2) p(λ 1 ) λ 2 λ 1 (x λ 1 ) = p(λ 1 ) x λ 2 λ 1 λ 2 + p(λ 2 ) x λ 1 λ 2 λ 1, Ú Ð Ø Ö ÒÒ Ò Ö Ú p(a) = r p (A) = p(λ 1) λ 2 λ 1 (λ 2 I A) + p(λ 2) λ 2 λ 1 (A λ 1 I). p(a) = 2 p(λ j )φ j (A), j=1 Ö φ 1 (x) = λ 2 x φ 2 (x) = x λ 1 λ 2 λ 1 λ 2 λ 1 ÙÔÔ ÝÐÐ Ö φ j (λ r ) = δ jr º À ÖÐ Ø µ Ö Ñ Ò Ò Ö Ú Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ò Ö x = λ 1 Ó x = λ 2 º µ À ÖÑ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Î Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ö Ò Ö Ô Sp(A) ÓÑ ÖÐ Ò µ Ö Ñ Ò Ò p = f Ú ÓÑ Ø Ö 1 j q ÐÐ Ö ØØ f (k) (x) Ü Ø Ö Ö Ó Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ö k s j 1 x Ø ÐÐ Ö Ò ÓÒ Ð Ø Ò Ö Ð Ú Ö Ò λ j º Ø Ö ÒÙ Ò ØÙÖÐ Ø ØØ Ö Ò Ö f(a) ÓÑ r f (A) Ö r f Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö < s ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö r (k) f (λ j) = f (k) (λ j ), 0 k s j 1, 1 j q. µ Ä ÓÑ Ä ÑÑ ¾ Ò ØØ Ø Ø Ò ÒÒ ØØ ÒØ ÔÓÐÝÒÓѺ Ö ÑÓØ Ú Ö Ú Ú ÖØÝ Ó ÓÑ ØØ Ø ÒÒ Ò Ð Ò Ò Ø Ö ÓÑ Ú Ø Ö Ä ÑÑ ½ ÒØ ÙÒ Ö Ö p ÒØ Ö ÔÓÐÝÒÓѺ Ä ÑÑ À ÖÑ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒµ ÄØ λ 1,..., λ q Ó s 1,..., s q Ú Ö ÓÑ Ø Ö Ó ÐØ α jk, 0 k s j 1, 1 j q,
6 Ú Ö s = s s q ØÝ Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Ðº ÒÒ ØØ ÒØÝ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ r Ú Ö < s ÒØ ØØ r (k) (λ j ) = α jk, 0 k s j 1, 1 j q. µ Ø ÒÒ s ØÝ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ φ jk (x) 0 k s j 1 1 j q Ú Ö < s Ò ØØ ( q sj ) 1 r(x) = α jk φ jk (x). ½¼µ j=1 k=1 ÒÑÖ Ò Ò ÈÓÐÝÒÓÑ Ò φ jk ÐÐ À ÖÑ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ñ Ú Ò Ô ÔÙÒ Ø ÖÒ λ 1,..., λ q Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ø ÖÒ s 1,..., s q º Ø Ð Ö Ú ½¼µ ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø φ j0 k 0 Ö Ð Ò Ò Ò Ø ÐÐ µ α jk = { 1 j = j0, k = k 0 0 ÒÒ Ö º Ø Ö ØØ ÔÐÓ Ö Ñ ÓÖÑÐ Ö Ö ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Òº Ö ÔÖ Ø µ ÒÚÒ Ò Ò Ö Ø Ó Ò Ð Ö ØØ ØÑÑ Ñ ÒÓÑ ØØ ØÐÐ ÙÔÔ Ð Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ö Ó ÒØ ÖÒ º Ë Ü ÑÔ Ð Ò Òºµ Ú ËØØ V s = {p C[x] : gradp < s}º Ö V s ØØ ÓÑÔÐ ÜØ Ú ØÓÖÖÙÑ Ñ dim V s = sº ØÖ Ø Ò Ð Ò Ö Ú Ð Ò Ò Ò ρ : V s C s Ú Ò Ú ( ) p p(λ 1 ),..., p(s 1 1) (λ 1 ), p(λ 2 ),..., p(s 2 1) (λ 2 ) (s 1 1)! (s 2 1)!,..., p(λ q),..., p(sq 1) (λ q ). (s q 1)! Ø Ö ÓÑ dim C s = dim V s = s < Ö ρ Ø Ú ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ ρ Ö Ò Ø Ú Ó ρ Ö Ò Ø Ú ÒÐ Ø Ö ÙÑ ÒØ Ø Ö ÒØÝ Ø Ä ÑÑ ¾º Ü ÑÔ Ð ÄØ λ 1 = 1 s 1 = 4 λ 2 = 2 s 2 = 1 λ 3 = 3 Ó s 3 = 1 ØØ s = s 1 + s 2 + s 3 = 6º ØÑ µ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ñ Ú Ò Ô ÔÙÒ Ø Ö µ ÙØØÖÝ ØØ ÐÐÑÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ñ ÐÔ Ú º
7 Ú Ð Ò Ò Ò ρ Ú Ø Ú Ð ÑÑ Ò ØØ ÐÐ Ö Ú Ö V 6 p ρ(p) = p(1) p (1) p (1 2 p (1) 3! p(2) p(3) C 6, V 6 = {p : p(x) = z 1 + z 2 x + z 3 x z 6 x 5 }. ØØ ØÑÑ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò φ 10 φ 11 φ 12 φ 13 φ 20 φ 30 ÒÒ Ö ØØ ØÑÑ p Ú Ó ÒØ ÖÒ z 1,..., z 6 ØØ ρ(p) = I l 1 l 6º ØØ Ö Ô Ð ÐÐ Ú ÔÖÓ Ð Ñ Ø ØØ ÒÒ p ØØ ρ(p) = Y = [y 1 y 2... y 6 ] T º Ø Ò Ò ÖÒ Ö Ò Ð ØØ Ò Ü ØÐÐ Ø Ö ØÚ ÓÑ Ú ÐÐ Ö Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ö ψ 1,..., ψ 6 º Î Ò ÙÔÔ ØØ z 1,..., z 6 ÓÑ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ Ö p Ñ Ú Ò Ô Ò e j = x j 1 1 j 6 Ñ Ò y 1,..., y 6 Ö ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ Ö Y Ñ Ú Ò Ô Ò f j = I j 1 j 6 Ö C 6 º Ø ÒÒ ÐÐØ Ò Ñ ØÖ B ρ Ú Ð Ò Ò Ñ ØÖ Ò Ö ρ Ñ Ú Ò Ô Ö Ò ØØ B ρ Z = B ρ z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 = y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6. Ä ÑÑ Ö ÒØ Ö Ö ØØ B ρ Ö ÒÚ ÖØ Ö Ö Ú Ö Z = Bρ 1 Y º ËÔ ÐÐØ Ó ÒØ ÖÒ Z j Ú Ö Ò ÑÓØ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ψ j Ú Z j = Bρ 1 I j = ( ) Bρ 1 j. ÇÑ Ú ØØ Ö H = B 1 ρ ÐÐ Ö ÐÐØ ψ j (x) = H kj x k 1, 1 j 6. ½½µ k=1
8 Ø Ø Ö ØÖ ØØ Ö Ò B ρ Ó H ÚÖØ Ðк Ú p(x) = 6 k=1 z kx k 1 Ð Ö Ñ Ð Ø Ö Ò Ò µ ØØ p (m) (x) m! = k=1 (k 1)...(k m) z k x k 1 m = m! k=m+1 ( ) k 1 x k 1 m z k, m Ó ÐÐØ ÐÐ Ö p(1) p (1) p (1 2 p (1) 3! p(2) p(3) = ( ) k 1 1 k 1 z k 0 ( ) k 1 1 k 2 z k 1 ( ) k 1 1 k 3 z k 2 ( ) k 1 1 k 4 z k 3 ( ) k 1 2 k 1 z k 0 ( ) k 1 3 k 1 z k 0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=1 k=1 = Z, Ú Ö Ö B ρ = ÐØ ÖÒ Ø ÚØ Ò Ú ÒÚÒ ØØ ÓÐÓÒÒ j A ρ ÐÐ ÒÒ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ Ö ρ(e j ) Ö e j (x) = x j 1 º
9 Î Ö Ñ ÐÔ Ú Å ØÐ µ H = Bρ 1 = ÀÖÙÖ Ò Ú Ø Ü ÚÐ ÓÐÓÒÒ ØØ φ 30 (x) = ψ 6 (x) = 1 16 ( 2 + 9x 16x2 + 14x 3 6x 4 + x 5 ). ØØ Ò ØÓÖ Ö ψ 6 (x) = 1 16 (x 1)4 (x 2), ½¾µ Ú Ö Ú Ø Ö ÐØØ ØØ ÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ ψ 6 (1) = ψ 6 (1) = ψ 6 (1) 2! = ψ 6 (1) 3! = ψ 6 (2) = 0 ψ 6 (3) = 1. µ ÇÑ p V 6 ÐÐ Ö p(x) = 3 p (k) (1) φ 1k (x) + p(2)φ 20 (x) + p(3)φ 30 (x), ½ µ ØÝ ÐÐÒ Ò Ñ ÐÐ Ò Ö¹ Ó ÚÒ Ø ÖÐ Ö ØØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ú ÓÖ Ò Ò Ñ Ò Ø x = 1 ÑØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò x = 2 Ó x = 3º Ò Ö ÐÐØ Ð Ö Ñ (x 1) 4 (x 2)(x 3)º ÓÖÑ Ð ½ µ Ö ØØ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÙØ Ö Ò Ö V 6 Ò ØØ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ Ö p Ú ρ(p)º ÒÑÖ Ò Ò Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔÐ Ø ½µ Ö ØØ H = Bρ 1 Ô Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÓÖÑ ÒÚÒ ØØ detb ρ Bρ 1 = adjb ρ Ö Ò Ñ ØÖ Ñ ÐØ Ð Ð Ñ Òغ ¾µ Î ÙÒ Ö Ú Ø Ò ÓÖÑ ÐÒ ½¾µ Ò Ø Ò Ö Ø Ø Ö ÓÑ Ú ÒÒ Ö ÐÐ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ñ ÓÖ Ò Ò Ö Ö ψ 6 º ÅÓØ Ú Ö Ò ÐÐ Ö Ö ψ 4 Ó ψ 5 º Ö ÑÓØ Ö Ø ÚÖ Ö ØØ ÔÐÓ Ö Ñ ψ 1 ψ 2 Ó ψ 3 Ö Øº
10 Ò Ø ÓÒ Ú f(a) Ä ÑÑ Ö ÒØ Ö Ö ØØ ÓÑ f Ö Ò Ö Ô ËÔ(A) Ó φ jk 0 k < s j 1 j q Ø Ò Ö À ÖÑ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ñ Ú Ò Ô ÒÚÖ Ò Ö A Ó Ö Ò Ü Ð Ö r f (x) = q j=1 ( sj 1 ) f (k) (λ j ) φ jk (x) ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö µº Ð Ò Ò Ø ÓÒ Ð Ö ÐÐØ Ñ Ò Ò ÙÐÐ Ò Ø ÓÒ º½ ÒØ ØØ f(x) Ö Ò Ö Ô ËÔ(A)º Ò Ö f(a) ÒÓÑ ( q sj ) 1 f (k) (λ j ) f(a) = r f (A) = φ jk (A). ½ µ Î Ö Ö Ø ØØ g(a) = f(a) ÓÑ j=1 g (k) (λ j ) = f (k) (λ j ), 0 k < s j, 1 j q. ½ µ Ø Ð Ö Ú Ì ÝÐÓÖ ÓÖÑ Ð ØØ Ú ÐÐ ÓÖ Ö ÙÔÔ ÝÐÐ ÓÑ f(x) g(x) = o( x λ j s j 1 ) ÒÖ x = λ j, 1 j q, ½ µ Ú ÓÑ f(x) g(x) lim x λ j x λ j = 0, 1 j q. s j 1 Ò Ø ÓÒ Î Ö ØØ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ f Ó g Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ Ú ¹ Ò Ô Sp(A) Ö Ú Ø f g Ô Sp(A) ÓÑ Ö Ò Ö Ô Sp(A) Ó ½ µ ÐÐ Öº Å ÒÒ Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ö Ð ÑÑ ØØ Ø Ø ÐÐ Ú Ö ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÑ Ö Ò Ö Ô Sp(A) ÒÒ ØØ ÒØÝ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ r f Ú Ö < s ÒØ ØØ f r f Ô Sp(A) Ó Ò Ø ÓÒ º½ ØØ f(a) = r f (A)º Ø Ø Ö ØÖ ØØ ÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ Ú Ð Ò Ò Ò f f(a) ÖÐ Ø ÑÒ Ú Ö Ö Ò Ô ÖÒ Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ò fº ØØ Ö ÒØ Ö Ú Ð Ò Ø Öº ½¼
11 Ë Ø ½ = Ë Ø º Ó Òµ ÒØ ØØ f Ó g Ö Ò Ö Ô Sp(A)º ÐÐ Ö ØØ ½º (f + g)(a) = f(a) + g(a)º ¾º (fg)(a) = f(a)g(a)º º f(s 1 AS) = S 1 f(a)sº º ÇÑ f g Ô Sp(A) Ö f(a) = g(a)º Ü ÑÔ Ð Å f(x) = cosx Ó g(x) = i sin x ØØ (f + g)(x) = e ix Ó (fg)(x) = i 2 sin 2x Ö ½º ØØ eia = cosa + i sin A Ó ¾º ØØ sin(2a) = 2 cosasin Aº Ø Ö ÓÑ (fg)(x) = (gf)(x) Ò Ò Ø Ð Ø Ò Ó Ö Ú sin(2a) = 2 sinacosaº È ÑÑ ØØ Ò ØØ f(a)g(a) = g(a)f(a) ÐÐÑÒغ Ü ÑÔ Ð Ö Ò Ò Ú f(a) Ú ÂÓÖ Ò ÒÓÖÑ Ð ÓÖѵ ÇÑ A = SJS 1 Ö J m1 (µ 1 ) J m2 (µ 2 ) J = 0 0 J m3 (µ 3 )... 0 º º º º ºº º J mp (µ p ) ÐÐ Ö f(a) = Sf(J)S 1 = Sr f (J)S 1 r f (J m1 (µ 1 )) r f (J m2 (µ 2 )) = S 0 0 r f (J m3 (µ 3 ))... 0 º º º ºº º º r f (J mp (µ p )) f(j m1 (µ 1 )) f(j m2 (µ 2 )) = S 0 0 f(j m3 (µ 3 ))... 0 S 1, º º º º ºº º f(j mp (µ p )) ½½ S 1
12 Ö Ú ÒÚÒØ ØØ r f (J) = Blkdiag(r f (J m1 (µ 1 )),..., r f (J mp (µ p ))) Ø Ö ÓÑ r f Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ó ØØ r f f Ô ËÔ(J mk (µ k )) Ø Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ð¹ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ö ÐÓ Ò Ð Ö Ñ Ò Ñ ÐÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ö Aº ÐÓ Ò f(j) Ö ÑÑ ÓÖÑ ÓÑ Ñ ØÖ Ò Ü ÑÔ Ð ½ Ø Ñ p Ö ØØ Ú fº Ë Ø ¾ ÒØ ØØ g Ö Ò Ö Ô Sp(A) Ó ØØ f Ö Ò Ö Ô ËÔ(g(A))º ÐÐ Ö f(g(a)) = (f g)(a), Ö (f g)(x) = f(g(x))º Ü ÑÔ Ð Å g(x) = log x Ø Ü ÔÖ Ò Ô Ð Ö Ò Ò Ó f(y) = e y Ö Ú (f g)(x) = xº ÐÐØ ÐÐ Ö e log A = A ÓÑ log A Ö Ò Ö º Ö ÑÓØ ÐÐ Ö Ó Ø log(e A ) A Ø Ö ÓÑ Ø Ü g(f(2πi)) = log(e 2πi ) = log 1 = 0 2πi ÓÑ Ú ÒÚÒ Ö ÔÖ Ò Ô Ð Ö Ò Òº ÇÑ Ú Ø Ú Ø ½ µ Ö Ö Ò Ð Öº µ Ð Ö Ú ØØ r f (S 1 AS) = S 1 r f (A)S Ø Ö ÓÑ r f Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ Ø Ö ÐØØ ØØ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ñ Ö Ð ÑÑ º½ Ó Òµ ØØ r f + r g f + g Ó r f r g fg ½µ Ó ¾µ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ (r f + r g )(A) = r f (A) + r g (A) (r f r g )(A) = r f (A)r g (A), Ú Ð Ø Ö ÒØ Ø Ö ÓÑ Ú Ö Ò Ú Ø ØØ (p+q)(a) = p(a)+q(a) Ó (pq)(a) = p(a)q(a) ÓÑ p Ó q Ö ÔÓÐÝÒÓѺ Ë Ø ¾ Ú Ô Ð ÖØ Ø ØØ Ø Ö ÐØØ ØØ ÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ (p q)(a) = p(q(a)) ÓÑ p Ó q Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ó ÒÓÑ ÙÔÔÖ Ô ÒÚÒ Ò Ò Ú Ö ÐÒ Ð Ö Ø ØØ f g r f r g Ô Sp(A)º Ö Ò Ò Ú f(a) Ñ ÐÔ Ú p A ÒØ ØØ Ú Ö ÒÒ Ö Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø p A Ó ÒØ Ñ Ò Ñ Ð¹ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø π A Ú ÒÚÖ Ò λ j Ó Ö Ð Ö µ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ø Ö m j Ñ Ò ÒØ Ö Ò Ü s j m j º ½¾
13 Ò Ú Ñ ÐÔ Ú ÖÑ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ñ Ú Ò Ô λ j Ó m j 1 j q ØÑÑ ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ r f Ú Ö < n = m m q ÒØ ØØ r (k) f (λ j) = f (k) (λ j ), 0 k m j 1, 1 j q. ½ µ Ú ÐÐ ÓÖ ÒÒ ØØ Ö Ú ÐÐ ÓÖ Ò µ Ú Ö Ö r f f Ô Sp(A) Ó ÐÐØ f(a) = r f (A)º Ö Ö Ð Ò ØØ Ð ÔÔ ØÑÑ Ò Ü Ò s j Ö Ú Ø Ð ÒÓÑ ØØ Ö¹ Ñ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ò Ð Ö Ñ Ö Ö Ø Ñ n ØÝ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö < n ØÐÐ Ø Ö s < n ØÝ Ò Ú Ö < sº ÇÑ A Ö ØÓÖ ÐÐ Ö Ö ØÓÖ Ð Ñ ÒØ Ö Ø ÙØÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ð ØØ Ú ÒÚÒ ÓÒ Ø ÔÓØ Ò Ö Ú A ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Òº ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ö ÇÚ Ò Ò Ö Ú f(a) Ú ÓÖÑ Ð µº Ê ÓÒ Ñ Ò Ø Ò ÑÑ Ò ØØ f Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ö f(a) Ò Ò ØÙÖÐ Ò Ø ÓÒº Å ÐÔ ÔÓÐÝÒÓѹ Ú ÓÒ Ñ Ñ Ò Ñ ÐÔÓÐÝÒÓÑ Ø π A Ú Ú ØØ ÓÖÑ ÐÒ µ ÐÐ Ö ØØ ÐÐ Ó ÖÐ Ø Ö Ñ Ò Ò Ö Ú Ö f ÓÑ Ö Ò Ö Ø Ô Sp(A)º Ö Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÒÒ Ø Ó Ò Ö Ö Ñ ØÐÐÒ Ò Ö Ú f(x) Ú Ð Ø Ô ØØ Ò ØÙÖÐ Ø ØØ Ö ØØ Ö ØØ Ú Ö ÐÒ x Ñ Ñ ØÖ Ò A ÒÑÐ Ò ½µ Ì ÝÐÓÖÙØÚ Ð Ò f(x) = f (k) (α) (x α) k, x α < R, ½ µ ÓÑ f Ö Ò ÐÝØ Ö Ð Ú Ò x α < R Ó ¾µ Ù Ý ÒØ Ö Ð ÓÖÑ Ð f(x) = 1 f(z) 2πi z x dz, ½ µ ÓÑ C Ö Ò Ò Ð ÐÙØ Ò ÔÓ Ø ÚØ ÓÖ ÒØ Ö ÙÖÚ ÖÙÒØ x C Ó f Ö Ò ÐÝØ Ô Ó ÒÒ Ò Ö Cº ÀÖ Ö Ø Ò ØÙÖÐ Ø ØØ Ö ÝØ x k ÑÓØ A k Ö Ô Ø Ú (z x) 1 ÑÓØ (zi A) 1 Ú C f(a) = f (k) (α) (A αi) k, ¾¼µ ½
14 Ö Ô Ø Ú f(a) = 1 f(z)(zi A) 1 dz. ¾½µ 2πi C Ø Ú Ö Ø ÖÒ º Ó º Ó Ò ØØ ØØ ÙÒ Ö Ö ÙÒ Ö Ú ÖÙØ ØØÒ Ò Ö ØØ Sp(A) Ö ÒÒ ÐÐ Ø Ö Ð Ú Ò x α < R Ö Ô Ø Ú ØØ ÙÖÚ Ò C ÓÑ ÐÙØ Ö Sp(A) Ó Ö ÑÑ Ñ ØÖ f(a) ÓÑ Ø Ö º ½
ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾
Å Ø Ñ Ø Ò ¾¼½¾¹¼ ¹½ Æ Ö Ò Ð Ð Ö Ò ØÓÖ Æ Ð Ö ÓÒ Ò Ð º Ö ÓÒ Úº ½ ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ñ ÒØ ÙÔÔ Ú Ö Ö Ú Ò
Läs merÌ ÆÌ Å Æ ËØ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Á ÌÅ˽ ¼ ÑÒ Ò Ò ½ Ñ Ö ¾¼¼ Ð Ô Îº ÂÓÙÖ ÂÓ Ò Ù Ø Ú ÓÒ Ò Òº ½ À ÐÔÑ Ð ÍØ Ð ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ö Ì Ô ÙÖ Ò ÒÚÒ ÓÖ Ð Ø Ó ØÝÔ Ó Ò Ö Ò Ó º ÈÓÒ Ö Ò Ò ÍÔÔ Ø ÖÒ Ö Ú ÖÚ Ð ØÝÔ Ö Ò Ø ØØ ÐØ
Läs merÖ ÙÔ ØÙ Ú ÖÖ Ö ÓØÐ Ò Ä Ö ÆÓÖ Ò ËÚ Ö Ñ Ø ÓÖÓÐÓ Ó Ý ÖÓÐÓ Ò Ø ØÙØ ÆÓÖÖ Ô Ò ¾¼ Ñ Ö ¾¼½¾ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ÍØÖ Ò Ò ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò Ö Ö Å ØÓ º½ Ö Ò Ò Ú Ö ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ð ÓÖ
Läs merÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ø Ð Ö
ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ö ÔØ Ú È ¹Ð Ö Ö ØÓ Ö Ê ÑÕÙ Ø Ê Ö Ò Ö Ê Ö Ä ÓÒ Ö Ø Ò Ä Æ Ð ÓÒ Ò Ö Ë ÖÐÙÒ Ù Ø Ú Ì ÒÓ ½¾ Ñ ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ
Läs merÖ Ò histogramtransformationº
ÍÐØÖ Ð Ù Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÌË ½ Å Ò Ð Ö ÍØÚ Ð Ú Å Ø Ò Ö ÓÒ ÁÅ̵ ¾¼½ ÍÔÔ Ø Ö Ú Å Ö Å ÒÙ ÓÒ ÎÄ ÁË µ ¾¼½ ÓÒØ ÒØ ÍÔÔ Ø Ò Ä Ò Ê ¹ Ø Ò Ê ÒÒ ØÖÐ Ó ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ Ñ Ú Ö ØÙÖ ËÙ ÑÔÐ Ò Ò
Läs merx 2 + ax = (x + a 2 )2 a2
ÅÐ Ö Î ½ ½º ÒØ Ñ Å ÔÐ º ¾º Î Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ð Ö º º ÇÐ ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÒ Ö ÔÐ Ò Ø»ÖÙÑÑ Øº µ ÁÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ø Ö Ð Ñ Å ÔÐ Ð Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ö µ ÐÐ Ø Ü Ð Ò Ö Ó Ò Ö Ö ÙÖÚÓÖ º Á Å ÔРй Ð Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ô ÙÖ ÙÖÚ
Läs merÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Å Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ØÝÔ Ö Ó Ú Ö Ð Ö Î ØÓÖ Ö»Ð ØÓÖ ½ ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ
Läs mer0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n
Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ È ÚÓ Ë ÐÑ Ò Ò ÒÙ Ö ¾¼½¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÒÓÐ Ø ÑØØ ¾ ¾ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÇÑ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Ò ½¼ º½ ÈÓ ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÓÑ Ð Ö ÐÒ Ò º ½½ º¾ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ó ÖÙØ Ó
Läs mers N = i 2 = s = i=1
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ ¹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö ËÖ Ôع Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö ÄÓ ÙØØÖÝ Î ÐÐ ÓÖ Ø Ö ¹ Ø Ö Ê Ô Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÐÓÓÔ Öµ ÓÖ¹ Ø Ö Û Ð ¹ Ø Ö ½ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÐ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ØØ ÔÖÓ
Läs merÖ Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ
Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö
Läs mer2E I L E I 3L E 3I 2L SOLUTIONS
Ä Ò Ô Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ú ÐÒ Ò Ò Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ Ò Ð Ä ÖÑ Ö Ð Á Ì ÓÖ Ð Á ÒÙÑÑ Ö Ì ÆÌ Å Æ ÌÅÅÁ½ ¹ ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÖÙÒ ÙÖ ¾¼½ ¹¼ ¹¾ ½ ½º Ò Ö ØØ ÙÔÔÐ Ð ÓÖ Ú ØÐ Ö ØØ Ú Ò ÐÙÑ Ò ÙÑÔÖÓ Ðº ÒÒ Ð Ð Ø Ñ Ò ÔÙÒ ØÐ Ø F Ô Ñ Øغ ÀÙÖ
Läs meru(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ)
Ã Ô ¹ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÌÚ ÖÙÒ ÔÖ Ò Ô Ö Ö ØØ Ý Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ö Ó Ø µ Ý Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ý º ÒÚÒ Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ð Ò Ò Ö Ð Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ö Ø Øµº Á Ð Ò Ú ÝÔÓØ Ö Ó ÑÔ Ö Ñ Ò µº Ë Ã Ô ¾ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÒ Ø Ò ÑÒ ËÝ Ø Ñ
Läs merDlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) =
ÃÓÑÔ Ò ÙÑ ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ú Å Ð Ò À Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ Ó ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ ÁÒØ Ö Ð Ö ¾º½ Ö Ú Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ
Läs merÎ Ö Ä Ì ½º Ì Ö Ò Ø Üع Ð ÓÑ ÒÔÙغ ¾º ÈÖÓ Ö Ö Ð Ò Ó ØÑÑ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò Øº º Ö ÙØ Ò ÎÁ¹ Ð Ú ¹ÁÒ Ô Ò Òصº º ÎÁ¹ Ð Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ò È ¹ к
ÐÐÑÒØ ÓÑ Ä Ì Ä Ì Ö Ò Ú Ö ÙØÚ Ð Ò Ú Ì ¹ Ý Ø Ñ Ø ÓÑ ÙØÚ Ð Ô ¼¹Ø Рغ Ì ÐÐØ Ö ØÚ Ò Ö µ Ö ÒØ Ò ØØ ØÒ Ñ Ö Ô ÒÒ ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ò º Ò ÐØ ØØ Ô ØÖÙ ØÙÖ Ö Ó ÙÑ ÒØ ÁÒÒ ÐÐ ÖØ Ò Ò ÃÐÐ ÖØ Ò Ò ÓØÒÓØ Ö Ê Ö Ò Ö ØÓ Ø Ò Ö
Läs mer1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Å»Ì Æ Ð Ö ÓÒ ¾¼½¾¹¼ ¹¾ ½ Á Ñ» ܺ ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º Ì ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ È. Î Ò ÐÑØØ Ø Ö Ò Ö Ë ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò º Ò Ø ÓÒ Öº ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ Ø Ø Ö ÌÖ Ò Ð
Läs merFöreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen.
Ä Ò Ö Ó ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ö Ò Ö Ö Ã Ð Å Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ Ö Ð Ò Ò ½ Æ ÙÖ Ð ÒØÚ Ö ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ È Ö ÔØÖÓÒ Ð Ö Ð Ö ËÙÔÔÓÖØ Î ØÓÖ Å Ò ÀÓÔ Ð ÓÐØÞÑ ÒÒÑ Ò Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØØ ÒÝØØ Ö Ò Ò ØØ È Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ø Ö Ò Ø ÁÒÐÖÒ Ò ÇÔØ
Läs merStapeldiagram. Stolpdiagram
Á Î Ù Ð Ö Ò Ö Ñ ¹ Ö Ö Å ØÖ Ö Ó Ð Ö ÇÖ ÒØ Ö Ò º Ä ÐÚºµ ½ À ØÓ Ö Ñ Ó Ø Ô Ð Ö Ñ Å ÓÑÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ñ Ó Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ø Ô Ð Ö Ñ Ö Ô Ø Ú ØÓ Ö Ñº ØÓÐÔ Ö Ñ ËÝÒØ Üº Ö Üµ Ê Ø Ö ØØ Ø Ô Ð Ö Ñ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ò Üº Ø Ñ Üµ Ê Ø
Läs merÈÖÓ Ö ÑÚ Ö Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÑ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ò Ã Ò Ø Ö Ø ÒÓÑ Ú Ð Ò Ò Ö ÙØ Ð Ò Ò Ò Ú ÐÑ Ö ÂÓÒ Ø Ò Ð Ø Ø ÝÐÐ Ö Ò Ø ÒÒ ÙÖ Ö Ò Ê ÑÐ ÂÓ Ò Î ÐÐÝ ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ú Ø Ò Ô Ö ÐÑ Ö Ø Ò ÓÐ Ø ÓÖ ÙÒ Ú Ö
Läs merËØÝÖÒ Ò Ú Ð Ò Ñ Ò ØÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö ÁË ÓÖ ÓÒ Ý Ø Ñ ½ Ù Ù Ø ¾¼¼¾ ÂÓ Ò Ð Ò ÜÜÜÜÜܹÜÜÜÜ È Ö Ö ¼ ½½¹ Ô ÖÓ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ Ð Ò Ò ¾º½ ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÀÖ
Läs merx + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 2011-12-13 kl 1419 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Läs merÃÓÑÔÙØØÓÒÐÐ ÁÒØÐÐÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ Ê ËÚÒÖ ÖÞ ÅÙ Ø ÀÒ ÇÐÓ ÓÒ ÑÖ ¾¼¼¾ ÁÒÒÐÐ ½ ËÝØØ Ñ ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ ÌÓÖ ÒÐÝ º½ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÅÖ ÖÙ º º º º º º º º º º º º
Läs merÁÒÒ ÐÐ Á ÝÖ ÖÒ ÓÑ ËÙÖ Ð¹ Ö ÓÑ ØØ Ö ÁÁ ÌÖ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ó Ò Ð Ø Ö ÁÁÁ йÀ Ò Ö Ñ Ö Ð ÓÒ ÁÎ Ò Ö Ø ÖÙÒ Ò Î Ò Ò Ö ÖÙÒ Ò ÃÒÒ ÓÑ ÓÑ ÚÖ Ö Ð ÓÒ Á ¹ Ð Ñ
ØÖ ÖÙÒ ÖÒ Ë Ý ¹ÙйÁ Ð Ñ ÅÓ ÑÑ Á Ò Ð¹Ï Á ÐÐ Æ ÑÒ Ò Æ Ö Ò ÖÑ ÖØ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÐÐ Ö Ñ Ö Ø ÐÐ ÐÐ Ó Ñ Ö Ó ÚÐ Ò Ð Ö Ú Ö Ñ ÈÖÓ Ø Ò ÅÓ ÑÑ º ØØ Ö ØÖ ÖÙÒ ÖÒ ÒØÐ Ò Ø Ò ÖÒ ÖÙй Ø ºÓÑ Ñ Ö Ø ÐÐØ Ð ÓÑ Ö Ú Ò Ñ Ð Ø Ö Ð
Läs mer¾ ½ ½¼ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ø Ò Ö Ì½ Ä ÓÖ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ø ¾¼¼¼»¾¼¼½ ÝÐÐ ØØ Ò ÑÒ Ó Ô Ö ÓÒÒÙÑÑ Ö Ñ Ð ÐÐ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò º Ç Ë ÇÑ ÒØ ÒÒ Ú ØØ Ò Ø Ñ Ú Ö ÓÚ Ò Ò Ò Ö Ù Ò Ò Ú ØØ Ò Ö Ùй Ø Ø Ø Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò Ý Ø Ñ
Läs merÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ
Läs merÖ ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Ø
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Øº Ö ÑØ º ÌÀÆÇ»ËÍÆ Ì Ë ½ ÓÔÝÖ Ø ÅÒ Æ Ð ÓÒ ¾¼¼¾ À ØÓÖ
Läs merÐ ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼
Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ú ÙÒ ÙÐ Ø Ø Ø Ð Ö Ð Ð Ò ÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ
Läs merVerktyg för visualisering av MCMC-data. JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK
Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete Stockholm, Sverige 2010 Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete i datalogi om 15
Läs mer¾
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ Ò Ö ÀÓÐ Ø ¾ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ
Läs merÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ¾ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ö Ò Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ö Ú
Läs mer1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt
Ë Ñ Ò ÖÚÓÖØÖ Ö Ð Ó ÓÒ ËØÖ Ò Ò Ö ÖÓ Ö Ø ¾½º Å ¾¼¼ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÏÓÖÙÑ Ø³ ¾ ¾ Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò ¾ ¾º½ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ º º º º º º º
Läs merÄ Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô Ó ÐÖ Ò Ú ÐÒ Ò ÁÒ Ø ØÙØ
Läs merAnpassning av copulamodeller för en villaförsäkring
Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring Emma Södergren Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2012:9 Matematisk statistik December
Läs merFrån det imaginära till normala familjer
Från det imaginära till normala familjer Analytiska konvergenser Linnea Widman Vt 2010 Examensarbete 1, 15 hp Kandidatexamen i matematik, 180 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik ÖÒ
Läs merÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ
ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¹ ¾¼½ Ò Ø ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ + Ú º º Ý Ø ÑØ Ò ÁÒ Øº º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ø + ÈÓÛ Ö ËÝ Ø Ñ ÀÎ ÄÙ Ú ½ Ñ Ö ¾¼½ ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò
Läs mer( ) = 3 ( + 2)( + 4) ( ) =
ÊÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÔØÐ ÓÑÔÒØ º½ ËÖÚ Ý ØÑÒ ÒÒ Ô ØÐÐ ØÒ ÓÖѺ ÒØ ØØ Ù Ö Ò ÒÐ Ó Ý ÙØ ¹ Òк µ µ Ý(Ø) + Ý(Ø) 2 Ý(Ø) + 3 Ý(Ø) 5 µ 4 Ú(Ø) + 5Ú(Ø) 2 Ý(Ø) + 2Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ú(Ø) + 2Ú(Ø) 3 Ý(Ø) + 7 Ý(Ø) + 4Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ý (3)
Läs merÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½ ÊÇÊ Ì ÖÑ Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö ØØ ÑÝ Ø Ö ØØ Ô ØÖÙÑ Ú ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÑ Ô ØØ ÐÐ Ö ÒÒ Ø ØØ
Läs merØ Ú Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ç Ð ÓÒ ² Ñ Ð À Ú Ð Ö Ò Ú Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø Ö Ø ÓÑ ÖÚ Ö ØØ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ü Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ôº ÐÐØ Ñ Ø Ö Ð ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ð Ø ÒØ Ö ÚÖØ Ø Ö Ð Ú Ø ØÝ Ð Ø ÒØ Ö Ø Ó Ò Ø
Läs merσ ϕ = σ x cos 2 ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ xy sinϕcos ϕ
ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ì Ò Ñ Ò Ú º Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ù Ù Ø ¾¼½¾ ½ ËÔÒÒ Ò Ö τ σ ÆÓÖÑ Ð ÔÒÒ Ò σ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ò ØØÝØ Ë ÙÚ ÔÒÒ Ò τ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÒØ ÐÐØ Ø ÐÐ Ò ØØÝØ ËÔÒÒ Ò
Läs merTentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi
Ì ÒØ Ñ Ò ÌÅÅ ¾ Ì Æ½µ Å Ò Ö Ì ÒØ Ñ Ò ØÙÑ ¾¼½ ¹¼ ¹½ к ½ ¹½ º Ü Ñ Ò ØÓÖ Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº ÂÓÙÖ Ú Ò Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº Ì Ð ÓÒ ¼½ ¹¾ ½½¾¼º Ö Ø ÒØ Ñ Ò ÐÓ Ð Ò Ðº ½ Ó ½ º ¼º À ÐÔÑ Ð Ê ØÚ Ö ØÝ ÑØ ØØ ¹ Ð ÓÖµ Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ò
Läs merMultivariat tolkning av sensordata
Multivariat tolkning av sensordata Totalförsvarets forskningsinstitut, FOI Hanna Smedh Examensarbete i matematisk statistik 3, 30 högskolepoäng Vt/ht 2009 Handledare: Peter Anton, Leif Nilsson och Pär
Läs meru(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω)
Ã Ô Ø Ð ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØØ Ö Ã Ô Ø Ð Ø ÐÐ ÓÑÔ Ò Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ó Ö Ø Ñ Ô Ø ÒØ Òº Á Ô Ø Ð ¾ ÙØ Ö Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÙÖ Ñ Ò ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ö Ñ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Öº Î Ö Ó ÒØ Ø ØØ ÑÓ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÝÒ Ñ ÑÓ
Läs merÐ ËÅ ½¹½¾¹¼¾ ½ ÅØØ ØÐ ÔÔÒÒ ÇÖÖÒÒ ÖÐÖ ÑØØ ÔÔÒØ ÐÓÒ ½º¾ Ñ ¼ ØÒÓÐÓÖ ÒÖÚÖÒº ¾ ÓÖÑÐ µ ÌÐÐ ÑØ ÓÖÖÒ ÚÐ ÓÖ ÂÓÑ ÅÐÐ ÚÖº µ ÌÐÐ ÑØ ÖØÖÖ ÚÐ Ö ÒÒ Ö ÓÒ ÚÖº µ ÌÐÐ Ù ØÖÒ ÑÒ ÚÐ ÌÓÑ ÏÖ ÜØÙ ÑÙ ÑØ ÂÓÒ ÀÖ ØÖØÙ ¹ ÑÙ º µ ÁÒ
Läs merÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò ½½ ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖ Ò Ô ËÎ ÓÒÒ ØÖ Ð ØÖÙØÙÖ ³ÙÒ Ö Ú ÓÒÒ ØÖ Ð ÙÖ Ë ÚÓ Ö Ö ÖÓÙÔ Ö ÙÒ
Läs merVattenabsorption i betong under inverkan av temperatur
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LUNDS UNIVERSITET Avd Byggnadsmaterial Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur Tina Wikström Rapport TVBM-5084 Lund 2012 ISRN: LUTVDG/TVBM--12/5084--SE (1-66) ISSN:
Läs merØ Ú Ø Ò Ô ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ¾¼¼¼ Ö ØØ ÖÒ Ó Ã ÖÐ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø
Läs merG(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1)
ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ËÁÃÍÅ ÎÆÁÆ ËÄ ÇÊ ÌÇÊÁ Ì Ê ËÈÊÁ ÆÁÆ ¹ Á Á Ê ÃÌÁÇÆËÅ ÆËÌ Ê ÎÁ Ê ÆÌ Æ Á Ê ÃÌÁÇÆ ÆÄÁ Ì ¹Ë À ÊÊ ÊË Å ÌÇ ½ºÁÒÐ Ò Ò º ÃÓÖØ ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ÖÙÒ Ð Ò Ø ÓÖ ºµ Ç º ÒÒ ÒÐ Ò Ò Ö ÒØ Ú ØØ ÙØ ÖÐ Ø Ö
Läs merImperativ programering
Imperativ programering Lösningen till Inlämningsuppgift 1A sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 21 juni 2007 1 Program 1 1.1 C - غ ÒÙ Ø Óº ÒÙ Ø º ÒØ Ñ Ò µ Ö ÓÖ ³ ³ ³ ³ µ ÔÖ ÒØ ± µ ÔÖ ÒØ Ò µ Ö ØÙÖÒ ÁÌ ËÍ ËË
Läs merÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ø ÑØ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ü Ñ Ò Ö Ø Ö ØØÖ Ò Ú ÙÓÖÓ ÓÔ Ð Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ÙØ ÖØ Ð Ò Ð Ò Ú Ì Ò ÓÐ Ò Ä Ò Ô Ò Ú À Ò ÖÓÐÙÒ ÄÁÌÀ¹ÁË ¹ ¹¼» ¾ ¹Ë Ä Ò Ô Ò ¾¼¼ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ä Ò Ô
Läs merInförande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem
Avdelning för datavetenskap Andréas Jonsson Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem Introduction of object oriented patterns to increase software modifiability
Läs merËÐ ½ ÁÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ËÐ ¾ ÈÖÒÔ Ö ÒÙÑÖ Ð ÒÒ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ Ô ÚÖ ÐÒØÖÚÐÐ [Ü Ü+]
Läs merÅ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖ Ö ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐ Ö Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ø Ò ÓÐÓÖ
ÅØÑØ ØØ Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖÖ ¾ ÙÙ Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐÖ Ó ØÐÐÖ ØÐÐ ÅØÑØ ØØ Ø Ô ÙÒÚÖ ØØ Ó ØÒ ÓÐÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ÄÓÖÑ ÒÒÓÐØ ÖÐÒÒ Ô ØØ ÒÐØ ÙØÐÐ ÖÙÑ Ë ÇÑ ÐÐ ÙØÐÐ Ö Ð ÒÒÓÐ ÐÐÖ Ö Ò ÒÐ ØØ È µ Ò µ Ò Ëµ ØØ Ö Ò Ð ÒÒÓÐØ ÒØÓÒÒº
Läs merËÐ ½ ØØ ÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÐØ ÓÑ ÖØ ÖÒ Ð ËÐ ¾ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ÆÙÑÖ Ð ÒÒ ÔÖÒÔ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ÒÐÒÒ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2011 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Intervjuer: Raghunathan, Björner, Laptev Popular Mathematics: Ulf Persson John Milnor -
Läs merhuvudprogram satser funktionsfil utparametrar anrop av funktionsfil satser satser
Á ÈÖÓÖÑ ØÖÙØÙÖ Ð ÒÒ ½ ÀÙÚÙÔÖÓÖÑ Ó ÙÒÖÔÖÓÖÑ ÆÖ ÑÒ Ð Ö ØÓÖ ÔÖÓÐÑ Ö Ö ÑÒ ÓØ Ð ÙÔÔ ÔÖÓÐÑØ ÐÔÖÓÐѺ ËÒ ÖÚÖ ÑÒ Ò Å¹Ð Ö ÚÖ Ðº ÌÝÔ Ø ÖÚÖ ÑÒ Ò ÓÑÑÒÓл ÖÔØÐ ÓÑ ÐÐ ÙÚÙÔÖÓÖѵ ÓÑ ÒÖÓÔÖ ÙÒØÓÒ ÐÖ ÓÑ Ó ÐÐ ÙÖÙØÒÖ ÐÐÖ ÙÒÖÔÖÓÖѵº
Läs merÏ Ö Ð Ä Æ Ò Ò ÐÝ Ó Ø Ë ÙÖ ØÝ Ò Æ Ó Á ¼¾º½½ ¹ À Ò Ð Ò Ò ÙÖ Ò ¾¼¼½ ÌÓ ÂÓÒ ÓÒ Ø Ó º Ø º Ö ÈÖÓ Ø Ø Ø ÊÓÝ Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÃÌÀµ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å ÖÓ Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý ÁÅÁ̵ Á ÓÖ Ø Ò ½ ¼ Ã Ø ËÛ Ò
Läs mer½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº
Æ Ö Ø Ö Â ÒÙ Ö ¾¼¼ ½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº Ö ÒØÞ Ö Ð Ó Ð Û Ñ Ð Û ÓÒ Ò ÓØØ
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Dinner with the Devlin: Persson Logikern Pelle Lindström död: Dag Westerståhl More Sex.
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 1 maj 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström En brevväxling: Olle Häggström och Anders Hallberg Uppsala Gästabud: Ulf Persson Uppsalas
Läs merË ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÃÓ ÑÓÐÓ ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ÙѺ ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ö Ø Ð ÜØ Ö Ú Ñ¹ Ñ ØÖÐÒ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ó ÒØ Ñ Ò ØÖÓ ÓÑÑ ÙÖ ÓÐÐ Ó
ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ Ú ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ò ØÙ ØØ Ú ÍÒ Ú Ö ÙÑ Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò Ú Ò Ë Ó Ó Ø º Ö Ö Ò Ð Ö ÖÓ Ø º Ë ½¼ Ü Ñ Ò Ö Ø ÒÓÑ Ø Ò Ý ÖÙÒ Ò Ú ½ ¼ Ô À Ò Ð Ö Ð Ü ÊÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ë ÓÐ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
Läs merÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Î ØÙ Ö Ö Ò Ñ ØÓ Ö ØÑÑ Ò Ú ÔÙÒ Ø Ú Ö Ò ØÑÑ
Läs merÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð ¹ Ò Ð Ò Ôº Ì˵ Ö ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø Ò Ö Æ ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó
Läs mer¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½
Ó ÙÚÐ º Ú ÓÖ ÓÖ ØÓÚº Ú Ö Ø Ò Ò Ø Ò Ö Ù Ù Ø ¾¼¼½º ¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½ Á Ö Ø
Läs merÅ Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓ
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓÔ Ë Û ÖÞÛ ÐÐ Ö ÌĐÙ Ò ½ Ì Ö ÑĐÙÒ Ð Ò ÉÙ Ð Ø ÓÒ ½ º½¾º½
Läs mera = ax e b = by e c = cz e
ËÁÃÍÅ ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÈÊÇ Ä ÅË ÅÄÁÆ Ê ÃÇÆ ÆË Ê Å Ì ÊÁ ÆË ËÁà РÁ Ĺ ½ ½º ÃÖ Ø ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ½¹½º ÃÓÔÔ Ö Ö ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ó Ò Ø Ø Ò º»Ñ 3 º Ö Ò Ñ ÐÔ Ö Ú µ à ÒØÐÒ Ò Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Òº µ Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ
Läs merÊ Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º ÇÒ ½ Û Ö Ú Ò Ö Ò ÓÑ Û Ð Û Ø º º º ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ö Ò ÓÑ
Läs merSjälvorganiserande strömningsteknik
Självorganiserande strömningsteknik i Viktor Schaubergers fotspår Lars Johansson Morten Ovesen Curt Hallberg Institutet för Ekologisk Teknik Forskningsrapporter 1 Malmö - 2002 Ë ÐÚÓÖ Ò Ö Ò ØÖ ÑÒ Ò Ø Ò
Läs merÚ Ö Ö ÐÒ Ö ØØ Ö Ú Ø Ú Ò Ò ¹ Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ö ¹ Ø Öº ËØÝÖ Ú ØØ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ò ÑÓØ Ð ÙÐÐ º Á Ó Ç ÓÐ ÔÖ Ð Ú ÝÒº ÍÒ Ø Ö ÖÒ ÐÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ò ÀÓÑ ÖÓ Ö Ø
ÒØ Ò Ò Ö ÄÎ ÂÓ Ò Î ÐÐ ÙÑ Ñ Ö ¾¼¼ ÒÑÖ Ò Ò Ö Å Ò Ó ÙÐÐ ÓÖ ÒØ Ò Ò Ö ÑØ Ò Ø Ò Ò Ö ½ ½º½ ÐÐÑÒØ ÀÓÑ ÖÓ ÁÐ Ò Ó Ç Ý Ò ØÚ Ð Ö Ú Ò ØÖÓ Ò Ý ÐÒ ÓÑ ØÓ Ú ÔÓ º ÁÒØ ÑÝ Ø Ú Ö Ø ÖÒ ÒÒ Ú Ö º ÁÐ Ò º ¹ ¼ Ç Ý Ò º ¼ Ö Ò Ö º
Läs merÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ã Ò Ø Ö Ø Ú Ð Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ø Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø ¹ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò Ú ÐÒ Ò Ò Ö ØÓÖØ Ò À ÄÅ
Läs merÂ Ú ËÖ ÔØ ÇŠغ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼
Â Ú ËÖ ÔØ Øº Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ò ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ ÔÖ Ò Ô Ù Ë ÚÓ Ö Ò Ú Ù Ö Ò Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö ÙÒ ØÝ ³ÙÒ Ñ ÒØ Ù Ë ÚÓ Ö ÓÖ Ö ÙÒ
Läs merº º ËÝÒ ÔØ ÔÐ Ø Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Æ ÙÖÓØÖ Ò Ñ ØØ Ö º º º º º º º º º º
Æ ÙÖÓ Ý ÓÐÓ ¹ Ò ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ Ú Ö ÓÒ ¼º½¾ Ò Ø Ä ÙÒ ÕÙ Ø ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ö Ö Ò Ö Ú Ú Ø Ø ÓÒ ÔØ Ò ÓÑ Ö ÓÑÑ Ö Ã Ò Ð Ë Û ÖØÞ ² Â Ð Ó ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ ½
Läs merTentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg
Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M004M Tentamensdatum 200-03-24 Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00-4.00 Lärare: Thomas Strömberg Jourhavande lärare: Thomas Strömberg Tel: 0920-49944 Resultatet
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 februari 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm What should a Mathematician Know?: Davis & Mumford Två klassiska läroböcker i analys:
Läs merImperativ programering
Imperativ programering Inlämningsuppgift 1 sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 12 juni 2007 1 Deluppgift A Nedan finns fem program skrivna i fem olika språk. Er uppgift är att skriva alla fem programmen i
Läs merTmem. ::= {mem data := Tmem data ;mem free := Tmem free ;mem null := Tmem null ;mem code := Tmem code }
ÓÖÑ Ð Î Ö Ø ÓÒ Ó Å ÑÓÖÝ ÅÓ Ð ÓÖ ¹Ä ÁÑÔ Ö Ø Ú Ä Ò Ù Ë Ò Ö Ò Ð ÞÝ Ò Ú Ö Ä ÖÓÝ ÁÆÊÁ ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò ßË Ò Ö Ò º Ð ÞÝ Ú ÖºÄ ÖÓÝÐ ÒÖ º Ö ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ÓÖÑ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÕ ÔÖÓÓ Ø ÒØ Ó Ñ ÑÓÖÝ
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2008 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Brändén och Karlsson Wallenbergpristagare: Borcea och Benedicks Lund under luppen: Magnus
Läs merFrågetimmar inför skrivningarna i oktober
MATEMATIK Frågetimmar inför skrivningarna i oktober (Tomas Carnstam, Johan Richter, ) fredag 9 oktober 55 7 (Obs) tisdag 2 oktober 05 2 onsdag 24 oktober 05-2 torsdag 25 oktober 05 2 fredag 26 oktober
Läs merPLANERING MATEMATIK - ÅK 7. Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter. Elevens namn: Datum för prov
PLANERING MATEMATIK - ÅK 7 HÄLLEBERGSSKOLAN Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor
Läs merArticle available at or
Å Ø º ÅÓ Ðº Æ Øº È ÒÓѺ ÎÓк ÆÓº ¾ ¾¼¼ ÔÔº ¾ ¹ ÅÓ ÐÐ Ò ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ê ÙÐ ØÓÖÝ Æ ØÛÓÖ Ò ÖØ Ð Ø Ö º Ë Ò Þ¹ a,c º È Ö ÓÒ a ºź È b Ò º ÐÓÒ ½,a,c a ÄÁÊÁË ÆÊË ÍÅÊ ¾¼ ÁÆË ¹ÄÝÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÄÝÓÒ ¾½ Î ÐÐ ÙÖ ÒÒ Ö Ò
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 januari 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström Mittag-Lefflers testamente: Arild Stubhaug Reminiscenser av Mittag-Lefflerinstitutet:
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 november 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm ICM 2010 - Hyderabad: Ulf Persson The Good, the Bad and the Ugly: Bill Casselman Platons
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm 19P 10P 2P 11P 20P 29P 6P 15P 24P P 25P 16P 7P 30P 21P 12P 3P 26P 17P 8P John Tate - Abelprisvinnare:
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Intervjuer: Lithner och du Sautoy: Ulf Persson From Sweden with Love: An Yajun Boij och Nyström
Läs merarxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008
Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁËÃ Ê ÈËÇ Á arxiv:0809.0708v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008 Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò º Ö Ð Ò Ò Ð Ö Ò ËÔ ÐÐ Ê Ð Ø Ú Ø Ø Ø ¹ ÓÖ Ò Ñ ØÓÖ ÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÑØ Ú Ö Ö ØØ ÑÓ Ö Ø ÓÖ Òº ÌÖÓØ Ñ Ö Ò ÙÒ Ö Ö Ô Ò Ò ÒÒ Ø Ò Ø ÓÑ
Läs merB:=0; C:=0; B:=B+2; C:= 0; B>0 -> B:= B-2; B>0 -> B:= B-2;
ËÝÑ ÓÐ Ò ÐÝ Ó ÌÖ Ò Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÁÒÚ Ø Ô Ô Ö Ø Ø Ëž¼¼¼ ÏÓÖ ÓÔ Æ Ø Ö Ò Ë Ò Ö ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ËÊÁ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Å ÒÐÓ È Ö ¼¾ ÍË Ò Ö ÓÛÖ Ðº Ö ºÓÑ ÍÊÄ ØØÔ»»ÛÛÛº к Ö ºÓÑ» Ò Ö» È ÓÒ ½ ¼µ ¹ ¾ ¾ Ü ½ ¼µ ¹¾
Läs mer¾¼ Ë Ò ÓÐ ÖØ Ö Ò ÓÒÒ Ö ËØÓ ¹ ÓÐÑ ½ ¼ º ½½ º Í ÍÍ Ë ÄÍÅ ÆÍ Å Ú Ò ØØ Ö Ú Ë Ö ØÖ Ñº ÀÒÚ ÖÒ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¼½ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ¾º ¾½ Ö À Ò ËÚ Ò Ú Ö º ÍÖ ÇÖ Ó
Ë ÙÖ Ö ÐÐ Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò Ö Ö ÐÐ ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Á Ë Ð Ò ½ ½ Ë Ð Ð Ø ÐÓ Ð³ Ô ÖÓ Ì ÐÐ ÓÔÔ Ø Ø Ö¹ Ò µº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ÒÖ ½ º Ø Ô Ô Ö ÒØÓº Ë ÑÑ ÔÙ Ð Ø ÓÒ ÓÑ ½ ¼º ¾ Ë Ô Ö ÑÓ Ô Ö Ñµº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ¹ ÒÖ ½ º ÃÓÖØ
Läs merVindkraft och försvarsintressen på Gotland
Dnr 421-2744-10 1(15) Vindkraft och försvarsintressen på Gotland Redovisning av ett samverkansprojekt mellan Länsstyrelsen, Region Gotland och Försvarsmakten 2011 Projektet har bekostats av Energimyndigheten,
Läs merarxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008
Å ÖÓ ÓÔ Ù Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ë Ö È Ö Þ¹Å ÖØ Ò Ò ÄºÅº ÊÓ Ð Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ì Ö ¹ Á ÙÐØ Ò ÍÒ Ú Ö ÙØ ÒÓÑ Å Ö ¾ ¼ Å Ö ËÔ Ò Ì ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Û ÐÝ Ù Ò Ñ Ò Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ØÖ Ø Ø ÝÒ Ñ
Läs mer15 = f(3) = 9a + 3b + c 9 = f( 3) = 9a 3b + c
½ ÁÌÇÊÁ Ä Î Ð Ú Ä Ò ÁØ ÓÑ ØÓ ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ Ø Ø ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔ Ö Ò Ò ÊÍ Û Ø Å À Å Ú Ò Ù Ñ ØØ ØÓ ÓØ Ö ÔÐ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑ ÊÍ Û Ø Å À Å ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÔÔ Ö ÓÒ ÖØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ¹ ÓÐÚ Ò Û Ø º Ï Ð Ø ØÖ Ò Ó ÓÒÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÚ
Läs merÍØÚÖ Ö Ò Ú ËË ¹ Ò Ð Ö Ò ÓÑ Ö Ö Ò Ò Ø Ð ÓÔ Ö Ø Ö ÓÔ Ö Ø Ú Ú Ö Ñ Ø Å ØØ Ë Ð Ò Ö Ñ ¾¼¼ Å Ø Ö³ Ì Ò ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò ¾¼ Ö Ø ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Ø Ë¹ÍÑÍ Â ÖÖÝ Ö ÓÒ Ü Ñ Ò Ö È Ö Ä Ò ØÖ Ñ ÍÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò Ë
Läs mermarkera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE FYRA FYRA klart
PLANERING MATEMATIK - ÅK 8 Bok: Y (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Bråk och procent Kapitel : 2 Bråk och potenser Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE
Läs merERE 102 Reglerteknik D Tentamen
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för signaler och system Reglerteknik, automation och mekatronik ERE Reglerteknik D Tentamen 5--3 8.3.3 M Examinator: Bo Egardt, tel 37. Tillåtna hjälpmedel: Typgodkänd
Läs merarxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007
Ð Ñ ÒØ Ó Ê Ó Ï Ú arxiv:0712.4029v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007 Ö Ò ÓÖ Á ÑÓ À Ð ÂÙ ÅØØÐ ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Å ÜÛ ÐÐ ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp, 2008-03-25 OBS! Denna tentamen avser nya versionen av kursen Beräkningsvetenskap
Läs mer=
ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ½ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÑÖÒ ÑÖÓÐÞ Ó ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ð ÖÒÒ Ú ÒÚÖÒ Ó Ò¹ ÚØÓÖÖ ÑØ ÓÒÐ ÖÒ Ú ÑØÖ Ö Ñ ÐÔ Ú ÅØÐ Ó ÅÔÐ Ð Ð ÒÒ Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖ Ñ ÐÔ Ú ÅÔк À ÐÖÓÓÒ
Läs mer1 k j = 1 (N m ) jk =
ÂÓÖÒ ÖÒ ½ ÖÙÖ ¾¼¼ ÀÙÚÙÖ ÙÐØØØ ÓÒ ÔØÐ Ö ØØ ÚÖ ÚÖØ ÑØÖ Ö ÐÓÖ¹ Ñ Ñ Ò ÓÖÒÑØÖ ÓÑ Ú ØÐÐØÖ ÓÑÔÐÜ ÑØÖ ÐÑÒص ÓÑ ÐÐ ÂÓÖÒ ÒÓÖÑÐÓÖÑ Ö ÑØÖ Òº ËÓÑ ÔÔ ÓÒ Ö ÒÓÖÑÐÓÖÑÒ Ò¹ Ö Ø ØØ ØÓÖØ Ø ÚÖØÝ ØÖ ÓÑ Ò ÐÐÑÒØ ÒØ ÖÓÖ ÓÒØÒÙÖÐØ
Läs merErrata. by Afif Osseiran. August 17, 2006
Ú Ò ÒØ ÒÒ Ò Ï Ö Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó¹ÐÓ Ø ² ØÖ ÙØ Á ÇËË ÁÊ Æ ÓØÓÖ Ð Ì ËØÓ ÓÐÑ ËÛ Ò ¾¼¼ ÌÊÁÌ ¹Á ̹ Ç˹¼ ¼¾ ÁËËÆ ½ ¹ ÁËÊÆ ÃÌÀ»ÊË̻ʹ¹¼»¼¾¹¹Ë ÃÌÀ Á Ì Ë ¹½ ¼ ËØÓ ÓÐÑ ËÏ Æ Ñ Ú Ò Ð Ò ÓÑ Ñ Ø ÐÐ ØÒ Ú ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
Läs merTentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3
Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Måndag 9 jan 212, kl 8.3-12.3 i Väg och vatten -salar. Hjälpmedel: Physics
Läs merPREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS
TKK Dissertations 195 Espoo 2009 PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS Doctoral Dissertation Johnny-Stefan Lönnroth Helsinki University of Technology Faculty
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs mer