x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0"

Åsa Sundberg
för 6 år sedan
Visningar:

1 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA kl 1419 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade och positivt orienterade 1 Lös, för varje värde på a, ekvationssystemet x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0 2 a) Bestäm en ekvation på an form för planet π genom punkterna P 1 : (1, 0, 1), P 2 : (1, 1, 3), och P 3 : (3, 1, 1) (03) b) Bestäm skärningen mellan planet π ovan och linjen som går genom punkterna 3 Låt P 4 : (1, 4, 3) och P 5 : (4, 6, 4) (03) c) Ange den punkt i π som ligger närmast P 5, dvs nn den ortogonala projektionen av punkten P 5 på planet π (04) A = ( ) a) Bestäm alla egenvärden och egenvektorer till A (05) b) Diagonalisera A, dvs ange en inverterbar matris S och en diagonalmatris D sådana att S 1 AS = D (02) c) Lös matrisekvationen (AX I) T = A (03) 4 Bestäm en positivt orienterad ortonormerad bas ê 1, ê 2, ê 3 sådan att ê 1 är ortogonal mot planet π : 2x + 2y + z = 0 och ê 2 är ortogonal mot linjen l : (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(2, 3, 2) Bestäm också en ekvation för π i den nya basen ê 1, ê 2, ê 3 5 Låt F vara en linjär avbildning som avbildar vektorerna (1, 0, 0), (1, 1, 0) och (1, 1, 1) på (2, 1, 0), (0, 0, 1) respektive (0, 1, 3) Låt vidare G vara avbildningen som speglar rummets vektorer i xz-planet, dvs i planet y = 0 Låt slutligen H vara den sammansatta avbildning som innebär att vi först tillämpar F och därefter G a) Bestäm avbildningsmatrisen för H (08) b) Blir volymen av en parallellepiped större eller mindre då vi tillämpar H på den? (02) Var god vänd!

2 6 Antag att vi vrider rummets vektorer vinkeln θ kring linjen (x, y, z) = t (319, 512, 267), i positiv led sett från spetsen av vektorn (319, 512, 267), och låt A vara avbildningsmatrisen för denna avbildning a) Bestäm, för varje värde på θ, rangen av A (03) b) Bestäm, för varje värde på θ, alla (reella) egenvärden till A (03) c) Bestäm, för varje värde på θ, huruvida A är diagonaliserbar eller ej (04) GOD JUL!

3 Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Æ Á ÄÍÆ Å Ì Å ÌÁËÃ ÁÆËÌÁÌÍÌÁÇÆ Æ Ä ËÆÁÆ Ê ÄÁÆÂ Ê Ä Ê ¾¼½½¹½¾¹½ ½º Î Ö Ö Ñ ØØ ÙÒ Ö ÒÖ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ö Ó ÒØÑ ØÖ Ò Ö ÒÓÐÐ deta = a a 1 = a2 +2a+3 = 0 a = 3, a = 1 Ö a 3 Ó a 1 Ö Ý Ø Ñ Ø ÒØÝ Ð Ò Ò Ó Ø Ö ÓÑ Ý Ø Ñ Ø Ö ÓÑÓ ÒØ Ö ÒÒ (x,y,z) = (0,0,0)º ÇÑ a = 3 ÐÐ Ö a = 1 ÒÒ ÓÒ Ð Ø ÑÒ Ð Ò Ò Öº Ö a = 3 x+y +z = 0 3x y +z = 0 x 3y z = 0 x+ y + z = 0 4y 2z = 0 4y 2z = 0 x = t y = t z = 2t Ö a = 1 x+y +z = 0 x y +z = 0 x+y z = 0 x+y +z = 0 2z = 0 2z = 0 x = t y = t z = 0 ËÚ Ö ÐÐ Ø a = 3 Ö (x,y,z) = t(1,1, 2), t R Ó a = 1 Ö (x,y,z) = t( 1,1,0), t Rº a 3 Ó a 1 Ð Ö Ð Ò Ò Ò (x,y,z) = (0,0,0)º ¾º µ Î Ö Ò Ö P 1 P 2 = (0,1,2) Ó P 1 P 3 = (2, 1,0)º Ò ÒÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ Ø ÐÐ ÔÐ Ò Ø Ú P 1 P 2 P 1 P 3 = (0,1,2) (2, 1,0) = (2,4, 2) = 2(1,2, 1) Î ÚÐ Ö (1,2, 1) ÓÑ ÒÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ Ú Ð Ø Ö Ú Ø ÓÒ Ò x+2y z +d = 0 Ö πº Ì Ð Ø d ØÑ ÒÓÑ ØØ ØÓÔÔ Ò Ò Ú ÔÙÒ Ø ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ò Øº Üº P 1 Î Ö ÐÐØ π : x+2y z = 0º d = 0 d = 0 µ Î Ö Ò Ö Ò Ö ØÒ Ò Ú ØÓÖ P 4 P 5 = (3,2,1)º ÎÐ Ö Ú P 4 ÓÑ ÔÙÒ Ø Ö Ú ÓÑ Ð Ò Ò Ú Ø ÓÒ (x,y,z) = (1,4,3)+t(3,2,1) = (1+3t,4+2t,3+t) Î ØÓÔÔ Ö ÒÙ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ö ÔÐ Ò Ø Ú Ø ÓÒ (1+3t)+2(4+2t) (3+t) = 0 6t+6 = 0 t = 1 ËÐÙØÐ Ò ÐÐØ ÔÙÒ Ø Ò (1,4,3) 1 (3,2,1) = ( 2,2,2)º

4 µ ÇÖ Ó Ð Ö ÔÐ Ò Ø Ú ÔÖÓ Ö Ö OP 5 Ô ÔÐ Ò Ø ÒÓÖÑ Ð n = (1,2, 1) OP 5 n v = n = (4,6,4) (1,2, 1) (1,2, 1) = 12 (1,2, 1) = 2(1,2, 1) n 2 (1,2, 1) 2 6 ÇÑ Ú Ø Ò Ö Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ Ò Ñ Q ÐÐ Ö Ø ÒÙ ØØ OQ = OP 5 v = (4,6,4) (2,4, 2) = (2,2,6) Ò ÔÙÒ Ø ÓÑ Ð Ö ÒÖÑ Ø P 5 Ö ÐÐØ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ (2,2,6)º ËÚ Ö µ π : x+2y z = 0º µ ( 2,2,2)º µ (2,2,6)º º µ ÒÚÖ Ò Ö Ð Ò Ò ÖÒ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò det(λi A) = 0 det(λi A) = λ λ 1 = (λ 1)2 4 = 0 λ = 3, λ = 1 ÒÚÖ Ò Ö ÐÐØ λ = 3 Ó λ = 1º ÅÓØ Ú Ö Ò ÒÚ ØÓÖ Ö ÓÑ ØÖ Ú Ð Ð Ò Ò Ö Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø (λi A)X = ¼ º Ö λ = 3 Ð Ö Ý Ø Ñ Ø { { ( ) 2x1 x 2 = 0 x1 = t 1 X = t 4x 1 +2x 2 = 0 x 2 = 2t 2 ËÐ ÒÚ ØÓÖ ÖÒ X = t(1,2), t 0 Ø ÐÐ ÒÚÖ Ø λ = 3º È ÑÑ ØØ ÒÒ Ö Ñ Ò ØØ X = t(1, 2), t 0 Ö ÒÚ ØÓÖ Ö Ø ÐÐ λ = 1º µ ÎÐ Ò Ñ ØÖ S Ñ ÒÚ ØÓÖ Ö ÓÑ ÓÐÓÒÒ Ö Ø Øº Üº ( ) 1 1 S = 2 2 Å ØÖ Ò S Ö ÒÚ ÖØ Ö Ö Ó ÒÐ Ø Ø ÓÖ Ò ÐÐ Ö Ø ØØ ( ) 3 0 S 1 AS = D Ö D =, 0 1 Ú º Ú Ö D ÒÓÑ ØØ ÓÑ ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ ÚÐ ÑÓØ Ú Ö Ò ÒÚÖ Òº µ Î Ö Ö Ñ ØØ Ð ÙØ X (AX I) T = A AX I = A T AX = A T +I X = A 1 (A T +I), ÙÒ Ö ÖÙØ ØØÒ Ò ØØ A Ö ÒÚ ÖØ Ö Öº ÁÒÚ Ö Ò Ú A Ö Ò Ø ÐÐ A 1 = 1 ( ) 1 1, Ú Ö X = A 1 (A T +I) = 1 ( ) (( ) ( )) = 1 ( ) ( ) = 1 ( ) ËÚ Ö µ ÒÚ ØÓÖ Ö X = t(1,2), t 0 Ø ÐÐ ÒÚÖ Ø λ = 3 Ó ÒÚ ØÓÖ Ö X = t(1, 2), t 0 Ø ÐÐ ÒÚÖ Ø λ = 1º ( ) ( ) ( ) µ S = D = º µ X = º

5 º ËÓÑ Ö ØÒ Ò Ö ê 1 Ø Ö Ú ÔÐ Ò Ø ÒÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ (2,2,1)º ØØ ê 2 Ö ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÑÓØ l ÒÒ Ö ØØ Ò Ö ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÑÓØ Ö ØÒ Ò Ú ØÓÖÒ (2,3,2)º Ø Ö ÓÑ ê 2 Ú Ò ÐÐ Ú Ö ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÑÓØ ê 1 ÚÐ Ö Ú Ö ØÒ Ò Ø ÐÐ (2,2,1) (2,3,2) = (1, 2,2) Ò Ð Ö ÒÙ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ó ÔÓ Ø ÚØ ÓÖ ÒØ Ö ÓÑ Ú ÓÑ Ö ØÒ Ò Ö ê 3 Ø Ö Ø Ö ÒÓÖÑ Ö Ò Ö Ú ÒÙ (2,2,1) (1, 2,2) = (6, 3, 6) = 3(2, 1, 2) ê 1 = 1 3 (2,2,1), ê 2 = 1 3 (1, 2,2), ê 3 = 1 3 (2, 1, 2) Ø Ö ÓÑ Ú Ú ÐØ ê 1 Ù Ø ÔÐ Ò Ø ÒÓÖÑ ÐÖ ØÒ Ò Ö Ò ÒÓÖÑ Ð Ò ÒÝ Ò ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ (1,0,0) Ú º ÔÐ Ò Ø Ö Ú Ø ÓÒ ˆx = 0º ËÚ Ö Å Ò Ò ÚÐ ê 1 = 1 3 (2,2,1) ê 2 = 1(1, 2,2) 3 Ó ê 3 = 1 (2, 1, 2)º ÈÐ Ò Ø 3 π Ö Ò ÒÝ Ò Ú Ø ÓÒ ˆx = 0º º µ ÄØ A Ú Ö Ú Ð Ò Ò Ñ ØÖ Ò Ö F º ÐÐ Ö Ø ØØ 1 2 A 0 = 1, A 1 = 0, A = Å Ø Ò Ô ÙÖ Ñ ØÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÙÒ Ö Ö Ò Ú ÒÙ Ö Ú A = 1 0 1, Ú º A = ÁÒÚ Ö Ò Ö Ò Ø ÐÐ Ó Ú Ö A = = =, Ö ØØ ØØ Ú Ð Ò Ò Ñ ØÖ Ò B Ö Ú Ð Ò Ò Ò G ÒÚÒ Ö Ú ÔÖ Ò Ô Ò ØØ ÓÐÓÒÒ ÖÒ Ú Ð Ò Ò Ñ ØÖ Ò Ö Ð ÖÒ Ú Ú ØÓÖ ÖÒ º Ø Ö ÓÑ (1,0,0) Ó (0,0,1) Ð Ö xy¹ôð Ò Ø Ú Ð Ô ÐÚ º Î ØÓÖÒ (0,1,0) Ö ÑÓØ Ö ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÑÓØ ÔÐ Ò Ø Ó Ô Ð Ö Ö Ô (0, 1,0)º Î Ö ÐÐØ ØØ (1,0,0) (1,0,0), (0,1,0) (0, 1,0), (0,0,1) (0,0,1), 1 Ú Ö B =

6 Å ØÖ Ò Ö Ò ÑÑ Ò ØØ Ú Ð Ò Ò Ò H Ð Ö ÐÙØÐ Ò C = BA = = µ Î Ö Ò Ö detc = = 2 Ø Ö ÓÑ detc = 2 > 1 Ð Ö Ø ÒÐ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ØÓÐ Ò Ò ÓÑ ÚÓÐÝÑ¹ Ð ØØ Ò Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ô Ô Ö Ò Ø ÖÖ ÚÓÐÝÑ Ú Ø ÐÐÑÔ Ö H Ô Òº ËÚ Ö µ Ú Ð Ò Ñ ØÖ Ò Ö º µ ÎÓÐÝÑ Ò Ð Ö Ø ÖÖ º º µ Ø Ö ÓÑ Ú Ð Ò Ò Ò Ö Ò ÖÓØ Ø ÓÒ Ö ÚÖ ÑÒ Ò Ð ÖÙÑÑ Ø Ú º Ú Ñ Ò ÓÒ 3º Î Ö Ö Ö Ö Ò A = 3º µ Ö ÐÐ θ ÐÐ Ö Ø ØØ Ò Ò ÚÒ Ð Ò Ò Ú Ð Ô ÐÚ Ú ØÓÖ ÖÒ ¼ µ Ô ÒÒ Ð Ò Ð Ö ÒÚ ØÓÖ Ö Ñ ÒÚÖ Ø λ = 1º ÇÑ θ = π(+k 2π) ÚÖ Ö Ú ØØ ÐÚØ Ú ÖÚ Ó Ð Ö ÐÐ Ú ØÓÖ Ö ¼ µ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÑÓØ Ð Ò Ò Ú º ÔÐ Ò Ø 319x 512y+267z = 0µ ÒÚ ØÓÖ Ö Ñ ÒÚÖ Ø λ = 1º ÇÑ Ú ÚÖ Ö Ð Ú ÖÚ θ = k 2πµ Ð Ö ÐÐ Ú ØÓÖ Ö ¼ µ ÒÚ ØÓÖ Ö Ñ ÒÚÖ Ø λ = 1º ÁÒ Ò Ö ÚÖ Ò Ò Ö Ö ÒÚ ØÓÖ Ö ÙØ Ú Ö ÚÖ Ò Ò Ü ÐÒº µ Å ØÖ Ò A Ö ÓÒ Ð Ö Ö ÔÖ Ú Ò ÚÐ 3 Ð Ò ÖØ Ó ÖÓ Ò ÒÚ ¹ ØÓÖ Öº ÒÐ Ø Ö ÓÒÓÑ Ò Ø µ Ö Ú ØØ ØØ Ö Ñ Ð Ø Ò Ø θ = π+k 2π Ó θ = k 2π ÐÐ Ö ÑÑ ÒØ Ø θ = k πº ËÚ Ö µ Ö Ò A = 3º µ Î Ò ÐÒ θ = π + k 2π k Z Ö λ = 1 Ó λ = 1º ÚÖ θ Ö Ò Ø λ = 1º µ ÓÒ Ð Ö Ö Ò Ø θ = k π k Zº

Relevanta dokument

Frågetimmar inför skrivningarna i oktober

MATEMATIK Frågetimmar inför skrivningarna i oktober (Tomas Carnstam, Johan Richter, ) fredag 9 oktober 55 7 (Obs) tisdag 2 oktober 05 2 onsdag 24 oktober 05-2 torsdag 25 oktober 05 2 fredag 26 oktober