Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ"

Transkript

1 Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½

2 Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ Ô ÖÒ Ò Ö ÖÙÒ Ð Ò Ò Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÙÖ ÖÒ Ú ÙÐØ Ø Òº ½ Å Ø Ö Ð Ø Ö Ö Ø Ô Ò Ò Ø Ò Ð ØØ Ö ØÙÖ ÖØ Ò Ò º Ó Ñ Ö ¾¼½

3 ¾

4 Ä ØØ Ö ØÙÖ ÖØ Ò Ò ½ º ÙÔ Ó Åº ÃÙÖÙÐ º ÈÖÓÔ ÙØ Å Ø Ñ Ø Áº Å Ø Ñ ¹ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ ¾¼¼ º ¾ º ÙÔ Ó Åº À º ÈÖÓÔ ÙØ Å Ø Ñ Ø ÁÁº Å Ø Ñ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ ¾¼¼ º ʺ º Ñ º ÐÙÐÙ º ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º È Ö ÓÒ Ù Ø ÓÒ» ÓÒ Ï Ð Ý ÌÓÖÓÒØÓ Ø Ø ÓÒ ¾¼¼ º ú¹ º À ÐÓÑ Å Ø Ñ Ø Á Ó ÁÁ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Öº Ä ÓÖ ¹ ØÓÖ Ø Ö Ê Ð ÖØ Ò Ó Ñ ¾¼¼¾º º ÃÖ Ý Þ º Ú Ò Ò Ò Ö Ò Å Ø Ñ Ø º ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ ÁÒº Æ Û ÓÖ Ø Ø ÓÒ ½ º

5 ÄÁÌÌ Ê ÌÍÊ ÊÌ ÃÆÁÆ

6 ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½º½ ÆÝØØ Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ì Ò Ò ÔÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º à ÖÖ Ö Ó Ñ Ø Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾ ÖÙÒ Ð Ò ½½ ¾º½ Ì ÐÓÑÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º¾ ÆÓØ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º Ê ÐÐ Ø Ð Ò Ü ÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÈÓØ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÈÓÐÝÒÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ê Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º ÃÚ Ö ØÖÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ú Ø ÓÒ Ö Ó ÇÐ Ø Ö ¾ º½ Ö Ø Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ó ¹ÓÐ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ó ¹ÓÐ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º Ê Ø ÓÒ ÐÐ ÓÐ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÚ Ö ØÖ ØØ Ö Ó ÓÐÙØ ÐÓÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º º½ Ú Ø ÓÒ Ö Ñ Ú Ö ØÖ ØØ Ö º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ ÇÐ Ø Ö Ñ Ú Ö ØÖ ØØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ÓÐÙØ ÐÓÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú Ø ÓÒ Ö Ñ ÓÐÙØ ÐÓÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º ÇÐ Ø Ö Ñ ÓÐÙØ ÐÓÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º

7 ÁÆÆ À ÄÄ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º½ Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ô Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ë ÑÑ Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÎÜ Ò Ó ÚØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒÚ Ö ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Æ Ö Ú ÒÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ø ÐÐÑÒÒ ÖÓØ Ö ÔÔ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ø ÐÐÑÒÒ ÔÓØ Ò Ö ÔÔ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÄÓ Ö ØÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÓÑ ØÖ Ó ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ º½ Î Ò Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÌÖ Ò ÐÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½ ÊØÚ Ò Ð ØÖ Ò ÐÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ò Ø Ö ÐÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ê ÙÖ ÓÒ ÓÖÑÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ö º º º º º º º º º º º º Ø ÓÒ ÓÖÑÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¼ º Ú Ø ÓÒ Ö Ñ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º ½¼¾ º º½ Ú Ø ÓÒ Ö Ú ÓÖÑ Ò f(u) = f(v) º º º º º º º º º º º º ½¼¾ º º¾ ÁÒÚ Ö ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º ½¼ ÖÒ ÚÖ Ó ÃÓÒØ ÒÙ Ø Ø ½½½ º½ ÖÒ ÚÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ Ê Ò Ö Ð Ö Ö ÖÒ ÚÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¾ º Ò ÖÒ ÚÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º ÖÒ ÚÖ Ò Ó ÓÒ Ð Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾ º º½ Ç ÒØÐ ÖÒ ÚÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º¾ ÖÒ ÚÖ Ò ÓÒ Ð Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º ÃÓÒØ ÒÙ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º Ò Ô Ö Ó ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º ½ ¾ Ö Ú Ø ½ ½ º½ Ò Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º¾ Ö Ú Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

8 ÁÆÆ À ÄÄ º Ö ØÓÐ Ò Ò Ú Ö Ú Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ö Ú Ö Ò Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º º½ Ö Ú Ö Ò Ú Ò ÔÖÓ Ù Ø Ó Ò ÚÓØ º º º º º º º º º º ½ ½ º º¾ Æ Ö Ú ÒÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º À Ö Ö Ú ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ò Ö Ú ØÓÖ Ö Ú Ö Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ö Ú Ø Ò Ú Ò ÑÑ Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º ÜØÖ ÑÚÖ Ò Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º½ Ö Ú Ø Ò Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º¾ ÄÓ Ð ÜØÖ ÑÚÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÐÓ Ð ÜØÖ ÑÚÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º ÜØÖ ÑÚÖ ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÁÒØ Ö Ð Ö ½ ½ º½ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º¾ ÁÒØ Ö Ð Ò Ú Ò ÑÑ Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú Ö ÒØ Ö Ö Ò Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º ½ º ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ú ÒØ Ö Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ò Ô Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½¼ º ÁÒØ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½½ º ÁÒØ Ö Ö Ò Ñ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º º½ ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º º¾ È ÖØ Ð Ö ÙÔÔ ÐÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾¾ º º È ÖØ ÐÐ ÒØ Ö Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º Ö Ö Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º½ ÌÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ÃÓÑÔÐ Ü Ì Ð ¾ º½ Ò Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ê Ø Ò ÙÐÖ ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÃÓÒ Ù Ø Ø Ú ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ º ÃÓÑÔÐ Ü Ø ÐÔÐ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÈÓÐÖ ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ê ÐÐ Ó ÓÑÔÐ Ü Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼ º Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½

9 ÁÆÆ À ÄÄ ½¼ Ð Ö Ó Ë Ö Ö ¾ ½¼º½ Ì Ð Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º¾ ÅÓÒÓØÓÒ Ó ÖÒ Ø Ð Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º ÖÒ ÚÖ Ú Ò Ø Ð Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼ ½¼º Ë Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ½¼º Ë Ö Ö Ó ÓÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½½ Î ØÓÖ Ö ¾ ½½º½ Ë ÐÖÔÖÓ Ù Ø Ó ÔÖÓ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½½º¾ Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ½¾ Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ ¾ ½¾º½ ÃÓÑ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º½º½ ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÔÖ Ò Ô Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º½º¾ Î Ð Ñ Ò ÝÒ Ø ÐÐ ÓÖ Ò Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º½º Î Ð ÙØ Ò Ò ÝÒ Ø ÐÐ ÓÖ Ò Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º¾ ÑÔ Ö ÒÒÓÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º Ø Ð ÒÒÓÐ Ø Ö ÔÔ Ø º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ ½¾º Ê Ò Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º Ç ÖÓ Ò Ò Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º Ç ÖÓ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º Ø ÓÒ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÒÓÑ Ð ÒÒÓÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ ½¾º ËØÓ Ø Ú Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º½¼ Ö Ø ÒÒÓÐ Ø Ö ÐÒ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º½½ Ö ÐÒ Ò Ö Ö Ø Ö Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º½¾ÃÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ö ÐÒ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º½ ÆÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼

10 Ã Ô Ø Ð ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú ÓÑ ÖÙÒ Ñ Ø Ö Ð Ø ÐÐ Ö ¹ Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø º Ø Ö ÓÑ ÙÖ Ò ÓÑ ØØÒ Ò Ò Ø Ö ¾ Ô ÑÓØ Ú Ö Ò Ò ØÓØ Ð Ö Ø Ò Ø ÓÑ Ø ÑÑ Ö Ö Ñ Ø Ö Ð Ø ÑÑ Ò¹ ØÐÐØ ÙØ Ò ÖÒ ØØ Ñ ÖÔ ÖØ Ò Ú ØÓ Ø Ö ÒØ ÖÒ ÝÑÒ ÙÖ ÖÒ ÑÒ Øº ÇÖ Ò Ø ÐÐ Ò Ö Ð Ø ÚØ ÓÑ ØØ Ò Ö Ñ ØÐÐÒ Ò Ò Ö ÒÝØØ Ò Ñ ØØ ÑØÐ Ú Ø Ø Ñ Ò ÑÐ Ô ØØ ØÐÐ Ó Ö ÓÑÑ Ò Ö Ú ÓÚ ÝÑÒ Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò ÓÑ Ö Ú Ð Ò Ò º Ì ÓÖ Ò Ö Ö Ð Ú Ö Ò Ö Ð Ø ÚØ Ò Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ñ Ò ÙÖ Ò ØÝÒ ÔÙÒ Ø ÓÑÑ Ö ØØ Ð Ô Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ó ÚÒ Ò Ö Ñ ØØ ÙÖÚ Ð Ú ÐÑÔÐ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ ÓÑÑ Ö ØØ ÔÖ ÒØ Ö ÙÒ Ö ÙÖ Ò Ò º ½º½ ÆÝØØ Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø ÁÒØÖ Ø Ö Ñ Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÐ Ó ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ö ÙÒ Ö Ò Ø ÒÒ ÖÒ ÚØ Ø Ð Ú ØÚÖÐ Òº ØØ Ö ÓÖ Ø Ò ÐÐÑÒ Ò Ò Ò Ú ÙÒ Ô Ò ÚÒ Ñ Ø Ñ Ø ÒÓÑ ÝÑÒ ÙØ Ð Ò Ò Ò Ó ØÓ¹ Ö ÚÖ Ø Ö Ñ Ö ÖÝØ Ö Ò Ó Ö ÙÒ Ô Ö Ö ÝÖ ÓÐ ¹ Ó ÙÒ ¹ Ú Ö Ø Ø ØÓÖÒ Ñ Ø Ñ Ø Ø ÒÖ Ø ÙØ Ð Ò Ò Öº Ò ÐÐÑÒ ØØ ØÝ Ö¹ ÑÖ Ò Ø ÐÐ ÑÒ Ò Ö Ó ÙÒÒ Ø ÑÖ Ó Ø Ö Ò Ø Ò Ð Ú Ø ØÖ Ò¹ Ø ØØ ØØ Ñ Ò ÒØ Ö ØÖ Ò ÓØ Ú Ñ Ø Ñ Ø ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ò Ó¹ Ð Òº Ò ØÝÔ Ö Ò Ø ÐÐ ÐÖ Ö Ò Ö Ð Ú Ø ¹ Î Ú Ö Ú ØØ Ø ÐÐ Ö Ò ÙÒ Ò Ú Ö Ñ ¹ Ø Ò Ñ Ò ÒØ Ú Ø ÒÒÙ º Ò ¹ ÔÐÓÑ Ò Ò Ö ÐÐ Ö Ø ÒÓÐÓ Ñ Ø Ö ÓÑÑ Ö Ö ÑØ Ò ÒÒÓÐ Ø ØØ Ú Ö Ñ Ò Ø ¼ Ö Ö Ø Ð Ú Ø Ñ Ú Ö Ö Ò Ö Ø ÙÔÔ Ø Öº ØØ ØÝ Ö ØØ

11 ½¼ à ÈÁÌ Ä ½º ÁÆÌÊÇ ÍÃÌÁÇÆ ØÙ ÖÒ ÒØ Ò Ú Ö Ò ÝÖ ÙØ Ð Ò Ò Ö Ò ÓÒ Ô Ò Ù ØÖ ¹ ØÓÖ ÐÐ Ö Ò ÐÓ Ð Ò Ù ØÖ Ò ÓÚ ÙØ Ò Ñ Ø Ö Ô Ø ÐÐÖ Ð Ø Ðй ÑÒ Ð Ò Ó ÓÑ ØØ Ò ÖÙÒ ØÙ Ö Ñ ØÝÒ ÔÙÒ Ø Ô Ñ Ø Ñ Ø Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Öº ÁÒÓÑ Ø Ò Ò ÓÑÑ Ö ÙØÓÑ Ö Ú Ò Ô Ñ Ø Ñ Ø Ø ÙÒÒ Ò ØØ Ö ÑØ Ò Ö ÐØ Ö ÐÒ Ö ÙÒÒ ÔÐÓÑ Ò Ò Ö Ö ÓÑ Ö Ø Ö Ü ÑÔ ÐÚ ÒÓÑ ÔÖÓ Ù ØÙØÚ Ð Ò º ½º¾ Ì Ò Ò ÔÖ Å Ø Ñ Ø Ò Ö ØÖ Ø ÓÒ ÐÐØ ØÖ Ø Ø ÓÑ Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ò ÔÖ Ñ Ò Ø Ö ÓÑ Ø Ò Ò ÑÝ Ø ÐÒ Ø Ö Ô Ò ØÙÖÚ Ø Ò ÔÐ Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ö Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð Ú Ø Ú Ò Ø Ò Ò ÔÖ º ÅÒ ÑÓ ÖÒ Ø¹Ø ÐÐÑÔ¹ Ò Ò Ö ÓÑ Øº ܺ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÓÑ Ò Ò Ñ Ò Ô ÒØ Ø Ö Ö Ô Ö Ñ Ø ÒÓÑ Ú ÓÑÖ Ò Ú Ò ÑÓ ÖÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙ ÐÐ ÐÐ Ø Ò º º Ð Ò Ö Ð Ö Òº Ò Ö ÓÑÖ Ò ÓÑ Ò ÒÑÒ Ö ÓÔØ Ñ Ö Ò ÓÑ ÒÚÒ ÒÓÑ ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò Ó ÐÓ Ø Ó Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ ÒÚÒ Ö ØØ ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ý Ý Ø Ñ Ø Ø Ò Òº ½º à ÖÖ Ö Ó Ñ Ø Ñ Ø Ò ÔÐÓÑ Ò Ò Ö ÐÐ Ö Ø ÒÓÐÓ Ñ Ø Ö Ñ Ø Ò ÚÖÐ Ú Ö Ö Ô ØØ ÖÖ Ö Ò Ò Ø Ñ Ø ÓÚÒØ ÚÒ Ò Ò Öº Ö Ö Ö Ø Ú Ø Ø Ö Ö Ø Ñ Ð Ø Ö Ó Ð Ò ÙØÚ Ð Ò ØØ Ò Ø Ö ÙÒ Ô ÔÖÓ¹ к Ø Ñ Ò Ö Ð Ò Ö ØØ Ö ÓÖ ÒØРغ ÇÚ ÒÐ ÑÒ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ó Ô Ð Ö Ò Ò Ó Ô ÐÒ Ø Ó ÖÖ ÖÑ Ð Ø Öº ܹ ÑÔ ÐÚ ÔÐÓÑ Ö Ø Ö ÒÓÑ ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò ÓÔØ Ñ Ö Ò Ó ØÖ Ñ¹ Ò Ò Ö Ò Ò Ö Ò Ø Ö Ò Ø Ó Ø Ö Ö Ò Ø ÐÐ ÜÔ ÖØÙÔÔ Ø Ö Ò Ù ØÖ Ò Ó ÓÒ ÙÐØ ÓÐ º Ø ÒÐ Ö Ò Ò Ñ Ò ÓÒ ÓÖÑ Ú ÜÔ Öع ÐÐ Ö Ö Ø ÙÔÔ Ø Ö Ú ÒÐ Ò ÓÔÔÐ Ø ÐÐ ÔÐÓÑ Ö Ø Ø Ø Ñ º Ë ¹ Ò Ö ÓÖØ ØØ Ö ÑÒ Ñ Ð Ò Ò ÙÔÔ Ø Ö Ñ Ò Ò Ö Ô Ð Ö Ö Ò ÜÔ ÖØÙÔÔ Ö Ó Ð Ö Øº ܺ ÓÒ ÙÐØ Öº Ñ Ò ÑØ ÑØÐ ÐÐ Ö Ò ÒÚÒ Ò Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø Ú Ö ØÝ Ú Ð Ø Ö Ñ Ð ÓÖØ Ú Ö Ñ Ø ØØ ÓÑ Ò Ö Ö Ò Ò Ô Ø Ø Ó ÒÝ Ø ÓÖ Ø Ö ÙÐØ Ø Ö Øº ܺ ØÓÖ Ð ÓÔØ Ñ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñº ØØ Ö Ð ØØ Ø ÐÐ ØØ Ñ Ø Ñ Ø Ø ÙÒÒ Ò Ö ØØ ÐÐØ Ø ÖÖ ØÝ Ð Ð Ò Ò ¹ Ó ÜÔ ÖØÙÔÔ Ø Öº ÇÔ Ö Ø Ú ÐÙØ Ö Ö ÒÙÑ Ö Ô ÓÑÔÐ Ö ÐÙØ ÙÒ ÖÐ Ö ÑØ Ò Ñ ØÓÖ Ö Ò Ò Ö Ó ¹ ÑÙÐ Ö Ò Ö ÓÑ ÖÚ Ö Ò Ø Ö Ñ Ø Ñ Ø ÖÙÒ ¹ ÙØ Ð Ò Ò Ö ØØ ÙÒÒ ØÓÐ ÖØغ

12 Ã Ô Ø Ð ¾ ÖÙÒ Ð Ò Á ØØ Ô Ø Ð Ö Ô Ø Ö Ö Ú ÖÙÒ Ð Ò Ü ÓÑ Ò Ó Ö ÔÔ Ò ÖÒ ÝÑÒ Ñ Ø Ñ Ø Òº ÓÑÑ Ö ØØ Ú Ò Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö ØØ Ö Ø Ò Ð Ø Ö Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ø Ò Ò ÖÒ º ¾º½ Ì ÐÓÑÖ Ò Ì Ð Ò Ö ÙÒ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ò ÙØÚ Ð Ò ÓÑÑ Ø ØØ Ò Ð Ø ÐÓÑÖ Ò ÒÐ Ø ÒÚÒ Ò Ò Ó ÐÐØ Ø Ö ÓÑ ÒÝ Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ö ÙÔÔ ØØØ Ö ÒÝ Ø ÐÓÑÖ Ò ÒØÖÓ Ù Ö Ø º Ò Ò Ñ Ø ÙÔÔ Ò Ö ÒÒ Ö Ò Ú Ø Ð Ö ÒÖ Ñ Ò Ú ÐÐ Ö Ú ÒØ Ðº ØØ Ö ÙØ Ò ÔÙÒ Ø Ò Ö Ø ÐÓÑÖ Ò Ó Ø Ð ÓÑ Ö Ú Ö ÒØ Ð ÖÙ Ö ÐÐ Ò ØÙÖÐ Ø Ð Ñ Ø Ò Ò Ò N = {0,,,...} Ò ØÙÖÐ Ø Ðº Ö ØØ ÙÒÒ ÒØ Ö Ò Ø Ú Ø Ð Ú Ö Ñ Ò ÐØ Ð Ò Z = {...,, 0,,,...} Ð Ø Ðº Ò ØÙÖÐ Ø Ð Ò Ö ÐÐØ Ò ÐÑÒ Ú ÐØ Ð Òº Á Ð Ò Ö ÓÑÑ Ö Ú Ò Ø Ò Ò Ò Z ± = {±, ±,...} ÔÓ Ø Ú»Ò Ø Ú Ð Ø Ðº Ö ÔÓ Ø Ú Ö Ô Ø Ú Ò Ø Ú ÐØ Ð Òº Ç ÖÚ Ö ØØ ÔÓ Ø Ú ÐØ Ð Ò Ö ØØ ÖÚÜÐ Ñ Ò ØÙÖÐ Ø Ð Ò ÓÑ Ù Ú Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ø Ð Ø ¼º Ö ØØ Ö Ú Ö Ð Ö Ú Ö Ñ Ò Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ð Ò ÒÐ Ø Q = {x x = m } n, m, n Z, n 0 Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ðº ½½

13 ½¾ à ÈÁÌ Ä ¾º ÊÍÆ Ä Æ ØÖ Ð Ú ÐÐ Ø Ð ÓÑ Ò Ö Ú ÓÑ Ö º Ø Ö ÓÑ Ö ÐÐ Ø Ö ÐÐ ÐØ Ð Ö Ò ÐÑÒ Ú Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ð Òº Ì Ø Ø ØØ Ñ Ò Ñ ÐÐ ÖØ Ô Ø Ð ÓÑ ÒØ Ò Ö Ú ÓÑ Ö Øº ܺ ÐÒ Ò Ú ÓÒ Ð Ò Ò Ú Ö Ø Ñ ÐÒ Ò Øغ Å Ò ÐÐ Ò Ø Ð ÖÖ Ø ÓÒ ÐÐ Ó ÒØÖÓ Ù Ö Ø Ö ÐÐ Ø ÐÓÑÖ Ø R = {Q ÑØ ÐÐ ÖÖ Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ð} Ö ÐÐ Ø Ðº Å Ò ÓÑ Ñ Ò Ò Ö Ð Ú Ø ÓÒ Ò x = Ö Ö ÒØ ØØ ÐÐ ¹ Ò Ð Ø ÐÓÑÖ Ò Ø Ðк Î Ú Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ò Ñ Ø Ò Ò Ò i = ÒÐ Ø C = { a + bi, a, b R, i = } ÓÑÔÐ Ü Ø Ðº ¾º¾ ÆÓØ Ø ÓÒ Å ÒÓØ Ø ÓÒ Ú Ö ØØ Ø Ò Ò Ý Ø Ñº ØØ ÒØ Ö Ò ÚÒ Ø Ñ Ò Ö Ø Ö Ñ ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ø ÓÑ Ò Ú Ö Ø Ð ÐÐ Ö Ñ¹ Ð Ò Ö Ú Ø Ð ÑÒ Öµº Ö ØØ ØØ Ø Ò Ò Ý Ø Ñ ÓÑ Ö ÒØÝ Ø Ó ÓÖØ ØØ Ø Ö Ñ Ò Ø Ø ÖÙ Ñ Ø Ñ Ø ÝÑ ÓÐ Ö Ü ÑÔ ÐÚ ÝÑ ÓÐ Ò = Ø Ò Ö ØØ ØÚ Ó Ø Ú ÑÑ ØÝÔµ Ö Ð º Ò ÑÐ Ò Ú Ó Ø Ð¹ Ð Ò ÑÒ Ó Ò Ð Ó Ø Ò ÑÒ Ò Ð Ñ Òغ ÅÒ Ö ÖÙ Ö Ø Ò Ñ ØÓÖ Ó Ø Ú Ñ Ò Ñ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ú ÒÐ Ò ÒÚÒ Ö Ð Ø Ò Ó Ø Úº Ü ÑÔ Ð ¾º¾º½º N Ö Ò ÑÒ Ñ Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ú Ø Ð Ò 0,,,...º Ø ÒÒ ÓÒ Ð ÑÒ Ö Ñ ÓÒ Ð Ø ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ó Ò Ð ÑÒ ¹ Ö Ñ Ò Ð Ø ÒØ Ð Ð Ñ Òغ Ü ÑÔ Ð ¾º¾º¾º N Ö Ò ÓÒ Ð ÑÒ Ñ Ò ÑÒ Ò A = {0,,, 3, 5} Ö Ò Ð º ØØ ØØ Ð Ñ ÒØ Ø ÐÐ Ö Ò ÑÒ ÖÙ Ö Ø Ò 0 N Ñ Ò ÑÓع Ø Ò Ø Ò Ñ 0 / Z + º Ü ÑÔ Ð ¾º¾º º Ö ÑÒ Ò A = {0,,, 3, 5} ÐÐ Ö ØØ 6 N Ñ Ò 6 / Aº

14 ¾º¾º ÆÇÌ ÌÁÇÆ ½ ÇÑ Ñ Ò Ö ØÚ ÑÒ Ö A Ó B Ò ØØ ÐÐ Ð Ñ ÒØ ÓÑ Ø ÐÐ Ö A Ú Ò Ø ÐÐ Ö Bº ÐÐ A Ò ÐÑÒ Ú B Ó ØØ Ø Ò A B. Ö ÑÓØ ÐÐ Ö ÒØ ØØ N Ö Ò ÐÑÒ Ú A Ú Ö Ö µ Ó Ñ Ò Ö Ú Ö A Nº Î Ñ Ö Ð Ú Ð Ñ ÒØ Ò ØÚ ÐÐ Ö Ö ÑÒ Ö ÓÑÑ Ö Ñ Ò Ö Ñ Ø ÐÐ Ö ÔÔ Ò Ò ØØ Ó ÙÒ ÓÒº ËÒ ØØ Ø Ú ØÚ ÐÐ Ö Ö ÑÒ Ö Ö Ò ÑÒ ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ ÓÑ Ò Ö ÑØÐ ÑÒ Ö ÓÑ Ñ Ö Ó Ø Ò º Å Ò Ö ØØ Ü ÑÔ Ð ¾º¾º º A N = {0,,, 3, 5} = A. ËÒ ØØ Ø Ò Ó Ú Ö ØÓÑØ ºÚº º Ø ÒÒ Ò Ð Ñ ÒØ ÓÑ Ò Ö ÑØÐ Ñ Ö ÑÒ Ö Ú Ð Ø Ø Ò Ü ÑÔ Ð ¾º¾º º Z A = {..., 3,, } {0,,, 3, 5} = {} =. ÍÒ ÓÒ Ò Ú ØÚ ÐÐ Ö Ö ÑÒ Ö Ö Ò ÑÒ ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ ÓÑ Ò Ö Ñ Ò Ø Ò Ú ÑÒ Ö ÓÑ Ñ Ö Ó Ø Ò º Å Ò Ö ØØ Ü ÑÔ Ð ¾º¾º º Z A = {..., 3,, } {0,,, 3, 5} = {..., 3,,, 0,,, 3, 5}. À ØØ ÐÐ Ö Ú Ö Ò Ø ÙÔÔ Ð Ñ ÒØ Ò Ö ØØ Ö Ú Ò Ð ÑÒ Ö ÓÑ Ò Ð Ø º ØØ Ö Ó Ó Ø ÓÔÖ Ø Ø ØÐÐ Ø Ö Ò Ð Ð ¹ Ñ ÒØ Ò Ò Ñ Ò Ö Ú Ò Ú Ò Ô Ó Ö ØØ Ò ÓÖØ ØØ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ú ÓÖÑ Ò {x x Ö Ò Ú Ò Ô}, Ö ØØ Ø Ò ÑÒ Ò Ú ÐÐ Ð Ñ ÒØ x ÓÑ Ö Ò Ú Ò Ôº Ü ÑÔ Ð ¾º¾º º A = {0,,, 3, 5} = {x N x 4 x 5}.

15 ½ à ÈÁÌ Ä ¾º ÊÍÆ Ä Æ ËÝÑ ÓÐ Ò ØÝ Ö Ö Ó º ÐØ ÖÒ Ø ÚØ Ò Ñ Ò ÒÚÒ ÓÑÑ Ø ¹ Ò ÓÑ Ø Ö Ò Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ð Ò Ö ØØ ÙØ ÐÙØ Ú ÓÒ Ñ ÒÓÐк Ö ØØ Ø Ò ÐÐ Ö ÖÙ Ö Ñ Ò ÒÚÒ ÝÑ ÓÐ Ò º ØØ ÐÐ Ö Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ü ÐÙ Ö ÙÖ Ò ÑÒ Ñ \ Ú Ð Ø Ø Ò Ö ÑÒ ¹ Ö Ò Òº Ü ÑÔ ÐÚ ÐÐ Ò ØÙÖÐ Ø Ð ÙØÓÑ Ø Ð Ø ¼ ÓÑ Ù Ö ÑÒ Ò Ú ÔÓ Ø Ú ÐØ Ð Ò Z + µ Ø Ò Ü ÑÔ Ð ¾º¾º º Z + = {N \ 0}. Ò Ö Ò Ú ÐÐ Ñ Ò Ó Ø ØØ Ò Ú Ò Ô ÐÐ ÐÐ Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ò ÑÒ º ÒÚÒ ÓÑ ÙØÐ Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ü ÑÔ ÐÚ ÐÐ Ö ÐÐ Ø Ð ÓÑ ÒØ ÒÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ñ ÐÐ Ò ¼ Ó ¾ Ü ÑÔ Ð ¾º¾º º x R : x 0 x. ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ò ÖÙØÓÑ Ñ ÓÐ Ø Ø Ò Ú Ò ÓÖØ ØØ Ø Ö Ú Ñ Ð ÑÑ Ö 0 x Ö Ú x [0, ]º ÇÑ Ñ Ò ÒØ Ú ÐÐ Ñ Ò ¹ ÔÙÒ Ø Ö ÚÒ Ð ÑÑ ÖÒ ÙØØ ÒÐ Ø x [0, [ Ö 0 x < º ÇÑ Ø ÒÒ Ñ Ò Ø ØØ Ð Ñ ÒØ Ñ Ò Ú Ò Ô Ò ÑÒ ÒÚÒ Ö Ñ Ò ÓÑ ÙØÐ Ø Ü Ø Ö Ö Ü ÑÔ Ð ¾º¾º½¼º a Q + : a 7. Ü ÑÔÐ Ø ÓÚ Ò Ö ÐÐØ ØØ Ø ÒÒ Ñ Ò Ø ØØ ÔÓ Ø ÚØ Ö Ø ÓÒ ÐÐØ Ø Ð ÓÑ Ö Ø ÖÖ Ò ¾º ÇÒ Ð Ø Ò Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ñ ÝÑ ÓÐ Ò º ÇÒ Ð Ø Ò ÐÐ ØÖ Ø ÓÑ ØØ Ö ÔÔ ÒØ ÓÑ ØØ Ø Ð ØÝ Ö Ò Ö Ð ÖÒ Ö Ø Ð ÐÐ Ö ÒØ Ö º ÐÐØ Ñ Ò Ø Ø Ö Ô ØØ Ö Ø Ð ØØ Ú Ö ÜØÖ Ö Ø Ó ÓÑÑ ØØ ØÖ Ø Ö ÔÔ ÒØ Ò ÚÒ ØÚ Ð Ö Ú ÒÐ Ö ØÑ Ø Ö Ð Öº Á Ñ Ø Ñ Ø Ú ÒØ Ö Ö Ñ Ò Ô Ø Ò Ò Ñ ÑÐ Ø ØØ ÔÚ ØØ Ö ÒØ Ò Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ð º ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ú ÒÐ Ò ÒÙ¹ Ñ Ö Ø ÓÖ ÒØ Ö ÑÓØ Ö Ò Ò Ö Ò Ö Ö Ò Ø ÓÖ Ø Ö ØÐÐÒ Ò Ö ÓÑ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ö Ø Ö Ñ º ÆÓØ Ö Ó ØØ Ò Ò Ö Ñ Ö Ò Ò ¹ Ö Ó Ú ÑÒ Ò ØÖ Ø ÓÑ Ú Ö Ô Ö Ò Ò Ö Ó ÐÙØ Ø Ö Ú Ò ØÝÔ Ö Ñ Ò Øº ܺ Ñ Ö ÓÒÓÑ ÐØ ÖÒ Ø Úº Ñ Ò Ö¹ Ø Ö Ñ Ô Ø Ò Ò ÓÑ ÐÐ Ú ÒÚÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ø Ò Ò ÖÒ Ó Ñ Ð Ò ØÝ Ð Öº

16 ¾º º Ê ÄÄ Ì Ä ÆË ÁÇÅ ½ ÄØ A Ó B Ø Ò Ô Ø Ò Ò ÐÐ Ö ÙØ ÓÖº ÐÐ Ö Ê Ð ¾º¾º½½º ÄÓ º ÇÑ A Ö ÒØ Ö B Òغ ÇÑ B Ö ÒØ Ö A Òغ A B. A B. A B. ÇÑ A Ö ÒØ Ö B ÒØ Ó ÓÑ B Ö ÒØ Ö A Òغ È Ø Ò Ò A Ó B Ú Ö Ú Ú Ð ÒØ º ¾º Ê ÐÐ Ø Ð Ò Ü ÓÑ Î Ö Ô Ø Ö Ö ÒÙ Ö Ò Ö Ð ÖÒ Ö Ö ÐÐ Ø Ð Ò ÓÑ Ú Ò ÖÙ Ö ÐÐ Ü ÓѺ ÒÑÒ Ò Ò Ü ÓÑ ÒÚÒ Ö ÖÙÒ ÒØ Ò Ò Ñ Ò ÙØ Ö ÖÒ Ö ØØ Ú ÒÝ Ö ÙÐØ Øº Ê Ò Ö Ð ÖÒ Ò Ò Ö ÐÐ Ö ÐÚ Ð Ö Ñ Ò ÙØ Ö Ò Ú Ø ÖÙÒ Ö ØØ ÓÑ ØØ Ò Ø ÓÖ Ý Ñ Ø Ñ Ø Òº Ö a, b, c R ÐÐ Ö Ä Ò ÓÑ ÐÙØ Ò Ø ÃÓÑÑÙØ Ø Ú Ð Ò Ó Ø Ú Ð Ò a + b R Ó a b R. a + b = b + a Ó a b = b a. a + (b + c) = (a + b) + c Ó a (b c) = (a b) c. ØÖ ÙØ Ú Ð Ò a (b + c) = a b + a c Ó (a + b) c = a c + b c. Æ ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ ÁÒÚ Ö Ø Ð Ñ ÒØ Ø ÓÒ 0 a + 0 = 0 + a = a ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ a = a = a Ø ÓÒ ÑÓØ ØØ Ø Ð Ø a a + ( a) = ( a) + a = 0 ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÒÚ ÖØ Ö Ø Ð Ø, (a 0) a a a a

17 ½ à ÈÁÌ Ä ¾º ÊÍÆ Ä Æ ÒÑÖ Ò Ò ¾º º½º Ø Ð Ò Ö ØØ Ð Ò ØÒ ÒÓÑ Ú Ð Ú ÓÚ Ò Ø¹ Ò Ö Ò Ö Ð ÖÒ ÓÑ Ø ÐÐÑÔ Ú ÖÙØ ÒÑ Ö Ò Ò Öº Ü ÑÔ ÐÚ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò 3 45 ÙØ Ö ÒÐ Ø 3 45 = 3 (40 + 5) = ØÖº = ÓÑѺ Óº (3 4) 0 = = Ç ÖÚ Ø ÓÒ ¾º º½º Ê Ò Ö Ð ÖÒ ÐÐ Ö ÒØ Ö º Ü ÑÔ ÐÚ ÓÑ Ñ Ò Ú Ø ØØ a, b ÙØÐ Ö ÑÓØ ÓÒ Ð Ø Ò µ ºÚº º ÚÜ Ö ÙØ Ò ÖÒ Ö Ò Ö Ñ Ò Ò ÖØ ØØ c = a + b Ó Ö ÑÓØ ÓÒ Ð Ø Ò Ó ÐÐØ ÚÜ Ö Ó ÖÒ Øº Ò Ñ Ò ÐÐØ Ò Ò Ö Ñ Ø Ö Ú ØØ + = Ú Ð Ø ÙÔÔ Ò ÖØ ÙÐÐ ØÖ ÑÓØ Ö Ð ÖÒ Ú Ð Ò»Ú Ð µ ÐÐ ÚÓÖ Ú ÖØ Ø ÓÑ ØØ Ø Ðº Ä Ö ÐÐÑÒ Ø 0 Ó ÙØ Ò Ö Ó ØÑ ÙØØÖÝ º ¾º ÈÓØ Ò Ö ÈÓØ Ò Ö Ò Ö ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ò ÓÑ Ø Ò Ò Ö Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú ØØ ÒØ Ð ØÓÖ Ö Ú ÑÑ Ø Ð Ü ÑÔ ÐÚ = 3 º Ë Ò Ö Ö Ö ÔÔ Ø ÙØÚ Ø Ø ÐÐ ØØ ÐÐ Ñ Ö ÐÐÑÒØ ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ ¾º º½º ÈÓØ Ò Ò a n Ò Ö ÓÑ a n = } a a {{ a}, n غ Ö Ò a R Ó ÜÔÓÒ ÒØ Ò n Nº ÍØØÖÝ Ø ÙØÐ ÓÑ a ÙÔÔ Ø n ÐÐ Ö ÓÖØ Ö a n Ø º ÙØÓÑ Ö Ñ Ò Ö a R \ 0 Ó n N a 0 =, a n = a n. Ë Ò Ö ÓÑÑ Ö Ú ØØ ØØ ÔÓØ Ò Ö Ò Ò Ö Ú Ò Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ö ÖÒ ØØ Ø ÖÖ Ø ÐÓÑÖ º Ü ÑÔ Ð ¾º º½º 3 = 9 ( 3) = ( 3) ( 3) = 9 3 = (3 ) = = 3 = 3 = 9

18 ¾º º ÈÇÌ ÆË Ê ½ Å Ò Ò ÖÐ Ð Ò Ö Ò Ö Ð Ö Ö ÔÓØ Ò Ö ÙÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ê Ð ¾º º¾º ÄØ a, b R \ 0 Ó m, n Nº ÐÐ Ö ½º a m a n = a m+n ¾º am a n = a m n º (ab) m = a m b m º ( ) a n b = a n b n º (a m ) n = a mn Ü ÑÔ Ð ¾º º º Ö Ò Ð ÙØØÖÝ Ø (x y) n (y x) n+ º Å Ò Ò Ö Ñ ØØ ÖÝØ ÙØ ØØ Ñ ÒÙ Ø Ò ÙÖ ÒÑÒ Ö Ò (x y) n (y x) n+ = (x y) n (( )(x y)) n+, ÒÚÒ Ö Ö Ò Ö Ð ÖÒ Ö ØØ ÓÑ Ö Ú = (x y) n ( ) n+ (x y) n+. Ç ÖÚ Ö Ö ÒÙ ØØ n N ÐÐ Ö ØØ n Ö ØØ ÑÒØ Ø Ð Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ n + Ö Ù º ÐÐØ Ñ Ø ( ) n+ = Ú ÖÚ Ö Ò Ð Ò Ö ÓÖØÒ Ò µ Ö (x y)n = (x y) n+ = (x y) n (n+) = y x.

19 ½ à ÈÁÌ Ä ¾º ÊÍÆ Ä Æ ¾º ÈÓÐÝÒÓÑ Å ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ò ÙÑÑ Ú Ø ÖÑ Ö Ú ÓÖÑ Ò a n x n Ö a n Ö Ò ÓÒ Ø ÒØ Ó ÒØ ÓÑ ÒÙÑÖ Ö Ñ Ò Ü Ø n Nº ÎÖ Ø Ô a n Ö ÐÐØ ÐÐÑÒ Ø ÓÐ Ö Ú Ö ÔÓØ Ò Ú Ú Ö ÐÒ xº ÐÐÑÒØ Ò Ñ Ò Ö Ú Ò Ø ÓÒ ¾º º½º ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ú Ö Ø Ð n N Ú Ö ÐÒ x p(x) = a n x n + a n x n + a n x n + + a x + a x + a 0, Ö a 0 a a... a n a n Ó a n 0 Ö ÓÒ Ø ÒØ Öº Ü ÑÔ Ð ¾º º½º ÈÓÐÝÒÓÑ Ø 3x 5 + 4x + 7x Ö Ö Ø Ð Ø n = 5 Ñ a 0 = a = 7 a = 4 a 3 = 0 a 4 = 0 Ó a 5 = 3º ÈÓÐÝÒÓÑ Ø x 3 x Ö Ö Ø Ð Ø n = 3 Ñ a 0 = 0 a = a = 0 Ó a 3 = º ÈÓÐÝÒÓÑ Ò Ö Ú Ö Ð Ö ÓÑ Ò Ò Ü ÑÔ Ð ¾º º¾º ÈÓÐÝÒÓÑ Ø 8x 36x y xy 7y 3 Ö Ú Ö Ð ÖÒ x Ó yº Ö Ø Ð Ø ØÑ Ú Ò Ø ÖÑ Ö ÙÑÑ Ò Ú Ú Ö Ð ÖÒ ÜÔÓÒ ÒØ Ö Ö Ø Ö Ø ÐÐØ ØØ ÐÐ Ø ÖÑ Ò 36x y 4 Ú Ð Ø Ö Ö Ø Ð Ø + 4 = 6º Ì ÖÑ ÖÒ 8x 54xy Ó 7y 3 Ö Ö Ø Ð Ò ¾ Ö Ô Ø Ú º ÈÓÐÝÒÓÑ Ñ Ò Ø ØÚ Ø ÖÑ Ö ÐÐ ÒÓÑ Ó Ö Ò ÐÐ Ö Ö ¹ Ò Ö Ð ÖÒ Ê Ð ¾º º º ÃÚ Ö Ö Ò Ö ÐÒ Ê Ð ¾º º º ÃÓÒ Ù ØÖ ÐÒ (a + b) = a + ab + b (a + b)(a b) = a b

20 ¾º º ÈÇÄ ÆÇÅ ½ Ê Ð ¾º º º ÁË Ö Ø ØØ Ö Ø ÁÒÒ Ö Ø Ë Ø µ¹ö ÐÒ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Ü ÑÔ Ð ¾º º º ÍØÚ Ð Ö ÒÓÑ Ø ( x ) º ÆÙ Ö a = x Ó b = Ú ÖÚ Ñ ÒÚÒ Ò Ò Ú Ú Ö Ö Ò Ö ÐÒ ( x ) ( = x + x ) ( + ) = x x 4. Á ÐÐ ÒÓÑ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ö ØØ Ó ØÝ Ð Ø Ø Ð m Ò Ñ Ò Ø ÐÐÑÔ Ê Ð ¾º º º ÒÓÑ Ø (a + b) m Ò ÙØÚ Ð Ñ Ó ÒØ Ö ÙÖ È Ð ØÖ Ò Ð ÓÑ Ö m = 4 Ö ÙØ ÓÑ Ð Ò Ø Ð ÐÐ ÒÓÑ Ð Ó ÒØ Ö Ó Ú Ö Ø Ð ØÖ Ò ÐÒ ÖÒ Ó Ñ Ò Ö Ö Òµ Ð ÓÑ ÙÑÑ Ò Ú ØÚ Ø Ð ÓÑ ÒÒ Ò ØØ ÓÚ Ò Ö Ô Ö Ò Ö º Å Ò Ò ÓÖÑÙÐ Ö ØØ Ö ÔØ Ö ØØ ÙØÚ Ð ÒÓÑ Ø (a + b) m ÒÐ Ø ½º Ç ÖÚ Ö ÚÖ Ø Ô mº ÍØÚ Ð È Ð ØÖ Ò Ð Ñ m + Ö Ö ØØ Ò Ð Ö Ø ÖÝ Ø ÐÐ m Ö ØÓÖØ Ñ Ò Ø ÒÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ ØÓ Öµº ¾º ÚÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ó ÒØ Ö ÖÒ ØÖ Ò ÐÒ Ø Ö º º ÈÓÐÝÒÓÑ Ø Ø ÖÑ Ö Ö Ú ÐÐ Ò ÔÓØ Ò Ö ÖÒ a n º Ç ÖÚ Ö ØØ ÒÒ Ö Ø Ø ÖÑ Ö Ñ Ò Ñ Ö ÐÐ ÚÖ Ò Ô m Ø Ö ÓÑ ØÖ ¹ Ò ÐÒ ÚÒ ØÖ Ò ØÖ Ú Ò ÖØ ØØÓÖº Ö Ø Ð Ø Ö Ú Ö Ø ÖÑ ÙÑÑ Ò Ú ÔÓØ Ò ÖÒ Ó a Ó bµ Ö Ú Ö m Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ ØÓÖÒ ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö b Ú Ö Ø ÖÑ ÓÑÑ Ö ØØ Ø Ò ÔÓØ Ò º

21 ¾¼ à ÈÁÌ Ä ¾º ÊÍÆ Ä Æ Ü ÑÔ Ð ¾º º º Ë Ö Ú Ö ÒÓÑ Ø (x 3y) 4 ÓÖÑ Ò Ú ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ Á ØØ ÐÐ Ö a = x b = 3y Ó m = 4 Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ó ÒØ Ö ÒÒ ÐÐØ Ô Ö Ö Ò È Ð ØÖ Ò Ðº ÐÐÑÒØ Ö m = 4 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 Ó Ø Ö ÐÐ Ø Ö Ò ØØÒ Ò Ú Ú Ö ÐÚÖ Ò (x 3y) 4 = (x) 4 + 4(x) 3 ( 3y) + 6(x) ( 3y) + 4(x)( 3y) 3 + ( 3y) 4 = 6x 4 96x 3 y + 6x y 6xy 3 + 8y 4. Ê Ð ÖÒ ÓÚ Ò Ò Ó ÙØÒÝØØ Ò Ö Ú Ò ºÚº º Ö ØØ ÙØ Ò ÖÒ ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÑÑ Ö Ñ Ø ÐÐ ØØ ÒÓÑ ÐÐ Ö Ñ Ö ÐÐÑÒØ Ö ØØ ØÓÖ ¹ Ö ÔÓÐÝÒÓѺ Á Ò Ö ÖÑ Ø ØØ Ö Ò Ð» Ö ÓÖØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÑØ ØØ ØÑÑ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò ºÚº º ÚÖ Ò Ô x Ö Ú Ð p(x) = 0º Î ØÓÖ Ö Ò Ú Ö Ñ Ò ÙØÓÑ Ó Ø Ø ÖÙÔÔ Ö Ø ÖÑ ÖÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ö Ñ Ò Ò Ø ÐÐÑÔ Ö Ð ÖÒ º ÖÙÔÔ Ö Ò Ö ØØ Ñ Ò Ú ÓÚ ÝØ Ö ÓÖ Ò Ò Ð Ô Ø ÖÑ ÖÒ Ó ÖÝØ Ö ÙØ Ú ØÓÖ Ö Ö ØØ Ø ÓÑÑ Ñ Ò ÑÑ ØÓÖ Ö Ö Ø ÖÑ ÖÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Øº Æ ÓÒ Ø Ð Ö Ö Ð Ö ÙÖ ØØ Ö ÒÒ ÙØ Ò Ñ Ò Ñ Ø ÔÖ Ú Ö Ñ ÖÒ ÐÐ Ø ÐÐ Ðк Ü ÑÔ Ð ¾º º º Ì ÖÑ ÖÒ Ö ÖØØ ÓÖ Ò Ò Ð ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ô ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ Î ÖÝØ Ö ÙØ x ÙÖ ØÚ Ö Ø Ø ÖÑ ÖÒ Ó 4 ÙÖ ØÚ Ø º x 3 3x 8x + = x (x 3) 4(x 3) ÆÙ Ö Ú ØØ Ø ÖÑ ÖÒ Ö Ð Ø Ö Ò Ñ Ò ÑÑ ØÓÖÒ x 3 ÓÑ Ò ØÙÖ Ò ÖÝØ ÙØ = (x 4)(x 3). Ì ÐÐÑÔ ÒÙ ÓÒ Ù ØÖ ÐÒ Ô Ò Ö Ø ØÓÖÒ x 4 = (x + )(x ) Ö Ú = (x + )(x )(x 3).

22 ¾º º Ê ÌÁÇÆ ÄÄ ÍÌÌÊ Ã ¾½ ¾º Ê Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ ØØ Ö Ø ÓÒ ÐÐØ ÙØØÖÝ r(x) Ò Ö Ú ÓÖÑ Ò r(x) = p(x) q(x), Ö p(x) ØÐ Ö Ò Ó q(x) ÒÑÒ Ö Ò Ö ÔÓÐÝÒÓѺ ÍØØÖÝ Ø Ö Ò Ö Ø Ö ÐÐ x¹úö Ò Ö ÒÑÒ Ö Ò ÒØ Ö Ð Ñ ÒÓÐк ÔÙÒ Ø Ö Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ð Ñ ÒÓÐÐ ÖÙ Ö ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÒÓÐÐ ØÐÐ Òº Á ØØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ó ÒÑÒ Ö Ò Ö Ð Ú ÓÒ Ñ ÒÓÐÐ Ú Ð Ø Ñ Ø Ñ Ø Ò ØÖ Ø ÓÑ ØØ Ó ØÑØ ÐÐ Ö Ó Ò Ö Øµ Ö ÙÐØ Øº Ö Ò Ò Ö ÓÑ Ö Ö ØØ Ò Ú Ö Ñ Ò Ò Ð Ó Ö Ö Ö ÓØ ÐÐØÒ º Ð ØÐ Ò Ö Ø Ö Ø ØØ ÐÐØ Ñ Ò ÒØ Ö Ö Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ ÐÐ Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÚÓØ Ö Ö ØÐ Ö Ó ÒÑÒ Ö ÒÒ ÐÐ Ö ÒÒ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ø ÓÒØÖÓÐÐ Ö ÐÐ Ø ÒÒ ÔÙÒ Ø Ö Ö ÙØØÖÝ Ø Ö Ó Ò Ö Øº Ü ÑÔ Ð ¾º º½º ÄØ p(x) = 3x + 4x 3 Ó q(x) = x º Ò Ò ØÓÖ Ö Ò Ú ÒÑÒ Ö Ò Ñ ÓÒ Ù ØÖ ÐÒ Ö q(x) = x = (x + )(x ) Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ ÒÑÒ Ö Ò Ö ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò ± Ú Ö Ö µº Ö ÐÐØ ØÚ ÚÖ Ò Ô x Ú ÓÒ Ñ ÒÓÐÐ Ó r(x) Ö ÐÐØ Ò Ö Ø Ö ÐÐ ÚÖ Ò ÙØÓÑ ØÚº Å Ò Ö ØØ Ø Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ Ø Ö Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò D r = {x R \ q(x) 0} = {x R \ ±}. Ê Ð ¾º º¾º ÍÒ Ö ÐÐØ Ö Ø Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò Ö r(x) Ö ØØ ÙÒ ¹ Ú ØØ Ò ÓØ ÓØ ÐÐØ Ø Ö Ö Ò Ò ÖÒ º ÖÓ Ò Ô ÒÚÒ Ò Ò Ò Ú Ö Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ Ó Ø Ý Ü Ñ¹ Ô ÐÚ ÓÑ Ø ØÖ Ú Ò ÙÑÑ Ú Ö Ö Ø ÖÑ Öº Î Ö Ô Ø Ö Ö Ö Ö ÐØ ÓÖØ Ú ÒÐ Ø ØØ Ò ØØ ÓÑ ÓÖÑ Ñ ½º ÖÐÒ Ò Ò º ÒÚÒ ÙØØÖÝ Ø ØÖ Ú Ò ÙÑÑ Ú Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ Ó ÒÒ Ö ØØ Ö Ø ÖÑ ÖÒ ÖÐÒ Ñ ÐÑÔÐ ØÓÖ Ö ØØ Ö ÒÑÒ Ö Ð Ö Ð º Ü ÑÔ ÐÚ r(x) = x x + x + x

23 ¾¾ à ÈÁÌ Ä ¾º ÊÍÆ Ä Æ Ö Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò D r = {x R \ } Ó ÓÒ Ù Ø¹ ÑØ Ú ¹ Ö Ö Ò Ö Ð ÖÒ Ö r(x) = (x )(x ) + )(x + ) (x (x + )(x ) (x )(x + ) = (x ) (x + ) x = 4x x. ¾º ØÓÖ Ö Ò Ó Ö ÓÖØÒ Ò º ÒÚÒ Ø ÒÒ ØÓÖ Ö ÓÑ Ö Ñ Ò ÑÑ Ö ØÐ Ö Ò p(x) Ó ÒÑÒ Ö Ò q(x)º Ç Ø Ø Ö Ø ÒØ ÙÔÔ Ò ÖØ Ú Ð ØÓÖ Ö Ö Ú Ð Ø Ñ Ö ØØ Ñ Ò Ñ Ø ÓÑ ÓÖÑ ÙØØÖÝ Òº Ü ÑÔ ÐÚ ÐÐ Ø r(x) = x3 3x 8x + x + 4x + 4 Ö Ñ Ò ØØ ÒÑÒ Ö Ò Ò Ö Ú ÓÖÑ Ò q(x) = x +4x+4 = (x+) Ñ ÒÚÒ Ò Ò Ú Ú Ö Ö Ò Ö ÐÒ Ó ØØ Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò Ö D r = {x R \ }º Î Ö x 3 3x 8x + x + 4x + 4 = x3 3x 8x + (x + ). Ò Ö Ö ÓÖ Ò Ò Ð Ò Ô Ø ÖÑ ÖÒ ØÐ Ö Ò = x3 8x 3x + (x + ). ÖÝØ Ö ÙØ ÐÑÔÐ ØÓÖ Ö Ò Ö ØØ ÓÑÑ Ö Ñ Ø ÐÐ Ò ÓØ ÓÑ Ð Ò Ö ÒÑÒ Ö Ò = x(x 4) 3(x 4) (x + ). ÆÙ Ò ØÐ Ö Ò Ö Ò Ð Ø Ö ÓÑ Ú Ø ÖÑ Ö ÒÒ ÐÐ Ö ¹ ØÓÖÒ (x 4) ÙØÒÝØØ Ö ÓÒ Ù ØÖ ÐÒ ØÐ Ö Ò = (x 4)(x 3) (x + ), = (x + )(x )(x 3) (x + ).

24 ¾º º Ê ÌÁÇÆ ÄÄ ÍÌÌÊ Ã ¾ Ö ÓÖØÒ Ò Ö ÐÙØÐ Ò = (x )(x 3) x + º ÈÓÐÝÒÓÑ Ú ÓÒ Ò ÙØ Ö ÒÐ Ø Ò Ñ ØÓ Ö Ö Ú ÓÒ Ó¹ Ð Ò Øº ܺ ØÖ ÔÔ µº Ø Ö ÓÑ ØØ ÖÚ Ö ÒÔ Ò Ò Ø ÐÐ Ò Ô ÐÐ Ñ ØÓ Ò Ö ÒÚÒ Ö Ú Ö Ò ÒÒ Ò Ö Ñ ØÐÐÒ Ò º ØÖ Ø Øº ܺ Ø Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ Ø r(x) = x3 x x Ñ D r = {x R \ ±}º Î ÒÓØ Ö Ö ÓÖÑ Ò Ó ÒÑÒ Ö Ò q(x) = x Ó Ö Ú Ö ÓÑ ØÐ Ö Ò p(x) = x 3 x ØØ Ñ Ò Ò ÖÝØ ÙØ q(x) ÙÖ ÒÒ Ø Ö Ù Ñ Ò Ú Ö Ö ÔÖ Ø Ò Ö Ö ÙÖ ÑÒ Ò Ö ÒÑÒ Ö Ò Ö ØÐ Ö Òµº Ó Ù Ö Ö Ô Ø ÖÑ Ò Ú Ø Ö Ø Ð ØÐ Ö Ò Ó ÓÖÖ Ö Ö ÓÖØ ÜØÖ Ø ÖÑ Ö x 3 x x = x(x ) + x x x ÒÙ Ô Ð ØÐ Ö Ò ÙÔÔ Ó Ñ Ò Ö ÓÖØ Ö = x(x ) x + x x x,. = x + x x x ØØ Ú Ö Ú ÓÒ Ò Ö Ø Ø Ö Ø Ö Ø ØØ Ö Ú Ô Ö Ø Ò ÓÑ ÙÔÔ¹ ØÓ = x x x + x = x (x ) + x + x ÍÔÔ Ô Ð Ò Ò Ò Ú ÓÒ Ò Ó Ö ÓÖØÒ Ò Ò ÙÔÔÖ Ô = x + x 4 x. ØØ Ö ÐÙØÖ ÙÐØ Ø Ø Ø Ö ÓÑ Ö Ø Ò ÙÔÔ ÓÑÒ Ö Ø Ò Ö Ò ØÐ Ö ÓÑ ÒØ Ö Ð Ö Ñ x º..

25 ¾ à ÈÁÌ Ä ¾º ÊÍÆ Ä Æ y 3.5 y = x x ÙÖ ¾º½ Ö Ò Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò y = xº ¾º ÃÚ Ö ØÖÓØ Ò Ø ÓÒ ¾º º½º ÄØ a > 0º ÃÚ Ö ØÖÓØ Ò ÙÖ Ø Ð Ø a Ö Ø ¹Ò Ø Ú Ö ÐÐ Ø Ð Ø x ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ú ÐÐ ÓÖ Ø x = a. ÃÚ Ö ØÖÓØ Ò Ø Ò x = a Ö a ÐÐ Ö Ò Ö ÐÐ a 0 ÐÐ Ö ÐÐØ ØØ a 0 Ó ( a) = aº ÙØÓÑ ÐÐ Ö Ê Ð ¾º º½º Ê Ò Ö Ð Ö Ö Ú Ö ØÖ ØØ Öº ½º a b = ab a, b 0º ¾º a b = a b º a = a = a 0, b > 0º { a, a 0, a, a < 0. ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ö Ú Ø Ø ÐÐ Ø Ö Ð Ö Ú Ö Ø Ð Ø Ø Ö a < 0º a Ü ÑÔ Ð ¾º º¾º ÀÝ ÖÓØÙØØÖÝ Ø 3 º ÄØ a 0 > bº 8b

26 ¾º º ÃÎ Ê ÌÊÇÌ ¾ ÍØÒÝØØ Ö Ð ÖÒ ½ Ó ¾ a 3 a a 8b = a 8b = a 8b, ÑØ Ö Ð Ó ÙØ Ò ÒØ Ò Ø a 0 > b Ú Ð Ø Ö a = a b = b = a a 9b = a a 9b. Ü ÑÔ Ð ¾º º º ÀÝ ( x) x. Ä Ò Ò Ø Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ Ø ÙÒ Ö ÖÓØ Ò Ö Ò Ö Ø ÐÐ ÒÑÒ Ö Ò Ö ÓÐ ÒÓÐÐ ÙØÓÑ Ñ Ø Ú ÓÑÑ Ö ÖÓØ Ò ØØ Ö Ò Ò Ñ Ø Ú Ö ÔÓ Ø Úº ËÐ ÖÚ ØØ (x ) > 0 Ú Ð Ø Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ x > ÃÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ µº Á ØØ ÐÐ Ö Ú Ó ØØ x < 0 Ó Ú Ò ÙØÒÝØØ Ö Ð ÖÒ Ö ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ê Ô Ø Ö ÖÒ ÓÐ ÙÖ Ò Ú ÓÚ µ Ó Ö Ð ÓÚ Ò ( x) x ( x) = x x = x ( x) = x = x.

27 ¾ à ÈÁÌ Ä ¾º ÊÍÆ Ä Æ

28 Ã Ô Ø Ð Ú Ø ÓÒ Ö Ó ÇÐ Ø Ö Î Ö Ô Ø Ö Ö ÖÙÒ ÖÒ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ö Ò Ð Ú Ø ÓÒ Ö Ó ÓÐ Ø Öº Ä Ò Ò Ò Ø ÐÐ ÐÐØ ØØ Ñ Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ö Ö ÙØØÖÝ Ò Ø ÐÐ Ð ¹ Ò Ò ÑÒ Ò Ò ÚÐ º Á Ö ÓÑ Ú Ø ÓÒ Ö ØÖ ÒÒ ÑÒ Ó Ø Ú Ö Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ø ÐÚÖ Òµ Ñ Ò Ö ÓÑ ÓÐ Ø Ö Ò Ø Ò Ð ÓÑ ØØ ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø ÓÑÖ Ú Øº ܺ Ö ÐÐ Ø Ðº Î Ö Ø Ö Ñ Ò Ó ÒØ Ú Ö Ð Ó Ø x Ó ÑÐ ØØÒ Ò Ò Ñ Ð Ò Ò Ò Ö ØØ ØÑÑ Ø ÐÐØÒ ÚÖ Ò Ô ÒÒ ÓÑ Ð Ö Ð Ò Ò ÑÒ Òº Ú Ø ÓÒ Ö Ó ÓÐ Ø Ö Ò ÖÙØÓÑ Ó ÒØ Ú Ö Ð Ö Ú Ò ÒÒ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÓÑ Ú Ð Ò Ò Ò ØÖ Ø ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ Ñ Ò ÓÑ Ò ÒÚÒ Ü ÑÔÐ Ú Ö ØØ ØÙ Ö Ö ÓÐ ØÙ Ø ÓÒ Ö»ÔÖÓ Ð Ñ ØÐÐÒ Ò Ö Ö ÓÒ Ø ÒØ ÖÒ Ò ÓÐ ÚÖ Òº Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò D Ö Ò ÑÒ Ú Ð Ò ÚÖ Ò Ô Ó ÒØ Ú Ö Ð ÖÒ Ó Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ Ð Ö Ö ØØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ú Ø ÓÒ Ò ÐÐ Ö ÓÐ Ø Òµ ÐÐ Ú Ö Ò Ö Ø Ô ØØ Ñ Ò Ò ÙÐÐØ Øغ Ä Ò Ò ÑÒ ¹ Ò L ØÖ Ú ÚÖ Ò D ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ú Ø ÓÒ Ò ÐÐ Ö ÓÐ Ø Òº Ç ÖÚ Ö ØØ L ÒØ Ò ÚÒ ØÚ Ú Ö Ú Ö Ð Dº Î Ö Ö Ñ ØØ Ø ØØ Ô Ö Ø ¹ Ó Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ó ¹ÓÐ Ø Öº Ð Ö ÙØ Ò ÖÒ Ò Ø ÔÓØ Ò Ò Ó Ò Ò Ø Ö¹ Ñ ÖÒ º Ö Ø Ö ØÙ Ö ÓÐ Ø Ö Ñ Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ Ó Ú Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ö º ÆÓØ Ö ØØ Ú Ø ÓÒ Ö Ñ Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ Ò ÐØ Ò ÓÑ ÓÖ¹ Ñ Ø ÐÐ Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö ÒÓÑ ØØ ÖÐÒ ÐÐ Ø ÖÑ Ö ØØ Òѹ Ò Ö Ò Ð Ö Ñ Ò Ñº Ö Ñ Ò Ò Ð Ø Ñ ÐÐ Ò Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ ÓÑ Ö Ñ Ò Ñ ÒÑÒ Ö Ó ÓÐ ØÐ Ö Ú ÖÚ Ñ Ò Ò Ö Ú Ò Ö Ð ¹ Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØÐ ÖÒ ÓÑ Ò Ú Ø ÓÒ ØØ Ö Ø Ú Ö Ñ º Ä Ø Ò Ñ ÐÐ Ò Ñ Ò ÑÑ ÒÑÒ ÖÒ Ö Ò ÒØ Ø Ø ºÚº º Ò Ú Ø ÓÒ ÓÑ ÐÐ Ö Ö ÐÐ ÚÖ Ò Ö ÙØØÖÝ Ò Ö Ò Ö º ÒÒ Ò ÐÑÒ ÓÖØ ÖÒ Ò ¾

29 ¾ à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê ÓÖØ ØØ Ð Ò Ò Ò Ú Ú Ø ÓÒ Òº º½ Ö Ø Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ó ¹ÓÐ Ø Ö Ò Ú Ø ÓÒ Ú Ö Ø Ö Ò Ö ÓÖÑ Ò ax + b = 0, Ñ Ò Ò ÓÐ Ø Ú Ö Ø Ö Ò Ö ÓÖÑ Ò ax + b > 0, Ö Ò ÓØ Ú ÓÐ Ø Ø Ò Ò Ò Ò Ö ÐÐ Öº Ö ÐÐ ÓÒ Ø ÒØ ÖÒ a, b R Ö Ô Ö Ñ ØÖ Öº Ú Ø ÓÒ Ò Ó ÓÐ Ø Ò ÓÚ Ò Ò Ó ÐÐ Ð Ò Ö Ó ÓÐ Ø Ò ÙØÐ ax + b Ö Ø ÖÖ Ò ÐÐ Ö Ð Ñ ÒÓÐÐ ÚÖ Ø Ò Øµ ÐÐ Ö ax + b Ö Ø ÖÖ Ò ÒÓÐÐ Ò Ö Ø Ò Øµº ÆÓØ Ö ØØ ÐÐ ÓÐ Ø Ö Ò Ö Ò ÓÖÑ Ò ÓÚ Ò Ø Ö ÓÑ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ú ÐÐ Ø ÖÑ Ö ÓÐ Ø Ò Ñ ØØ Ò Ø ÚØ Ø Ð ÚÒ Ö Ô ÓÐ Ø Ø Ò Øº Ü ÑÔ ÐÚ 3 x 0 Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ ÖÚ ÓÑ ØØ µ ( )(3 x) ( ) x 0, Ú Ð Ø Ö Ò ÐÐÑÒÒ ÓÖÑ Ò ÓÚ Ò Ñ a = Ó b = 3º Ö ØØ Ø Ö Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò ÓÚ Ò Ò Ú ÓÒ Ø Ø Ö ØØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ØØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ñ Ò Ò ÙÐÐØ Ó Ð ÚÐ ÓÖÑÙÐ Ö Ø Ö ÐÐ x Rº ËÐ Ö D = Rº Î Ò Ð Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ö Ñ ØØ Ó ÖÚ Ö ØØ ÐÐ Ø a 0 Ö Ñ Ò ax + b = 0 ax a + b a = 0 a x + b a = 0 x = b a.

30 º½º ÊËÌ Ê Ë ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ¹ÇÄÁÃÀ Ì Ê ¾ ÇÑ a = 0 Ñ Ø Ñ Ò Ð Ñ ÐÐ Ò ØÚ ÓÐ Ðк Î Ö Ú Ø ÓÒ Ò 0x + b = 0, ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ø Ö µ Ö ÐÐ x D ÐÐ Ñ Ò Ö Ö b = 0º Å Ò ÖÙ Ö ÔÖ Ø ÓÑ ØØ Ú Ø ÓÒ Ò ÐÐ Ö ÓÐ Ø Òµ ÙÔÔ ÝÐÐ ÒØ Ø Ó ØØ Ñ Ò Ö ØØ Ö Ñ Ò ÒØ Ø Øº Ä Ò Ò ÑÒ Ò Ö ØØ ÐÐ L = D = Rº ÌÝÚÖÖ ÖÙ Ö Ø Ú Ö Ú ÒÐ Ö ØØ b 0 Ú ÖÚ Ø Ð Ô Ø Ò Ø 0 b = 0º ØØ Ò ÒØ Ú Ö ÒØ Ö Ò ÓØ x Ó Ö Ð Ò Ò ÑÒ Ò ØÓÑ Ú Ð Ø Ò Ö Ú L = º Î Ö ÒÙ Ð Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ö ÐÐ ÚÖ Ò Ô Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ a Ó b Ó Ñ Ò ÖÙ Ö Ø Ð ÓÑ Ò Ú Ø ÓÒ Ñ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Öº Ü ÑÔ Ð º½º½º Î Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ò 3x + 5 = 7 x x D = Rº Î Ö Ö Ñ ØØ ÝØØ Ú Ö ÐÐ Ø ÖÑ Ö ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö x Ø ÐÐ ÚÒ ØÖ Ð Ø Ó ÚÖ Ø ÐÐ Ö Ð Øº Ú ÓÒ Ú Ð Ò Ñ 7 3x + 5 = 7 x 3x + x = 7 5 7x = Ö Ð Ò Ò Ò 7 x 7 = x = 7 = 4 7. Ü ÑÔ Ð º½º¾º Î Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ò = 3 º ÃÓÒ Ø Ø Ö Ö Ö Ø ØØ x x+ x Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò ÒØ Ö Ð R Ø Ö ÓÑ Ö Ò ÒÒ Ö ØØ Ñ Ò Ñ Ø ÙÒ Ú Ú ÓÒ Ñ ÒÓÐк ËÐ Ö Ú x D = {R \, 0} ØÝ ÒÑÒ ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ö Ö Ð Ð Ñ ÒÓÐк Î Ö Ö Ñ ØØ ÝØØ Ú Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÚÒ ØÖ Ð Øº x 3 x x + = 0 x x + = 0

31 ¼ à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ú ÐÐ Ø ÖÑ Ö Ñ ¹½ Ö x + x + = 0. Ö Ò Ñ Ò Ø Ñ Ò ÑÑ ÒÑÒ Ö Ö ÒÙ x(x + ) Ó Ú Ò ÖÐÒ º x + x(x + ) + x x(x + ) = 0. x + + x x(x + ) = 0. Ø Ö ÓÑ ÒÑÒ Ö Ò ÒØ Ò Ð ÒÓÐÐ D ÓÑÑ Ö Ú Ø ÓÒ Ò ØØ Ø Ö Ò Ø ÓÑ ØÐ Ö Ò Ð Ö ÒÓÐк Î Ö 3x + = 0 3x = x = 3. Ä Ò Ò ÑÒ Ò Ö ÐÐØ L = { 3} D Ú Ð Ø Ö Ø ÐÐØ Ø Ð Ö Ú ¹ Ø ÓÒ Ò Ò Ø ÓÒ ÑÒ µº Ü ÑÔ Ð º½º º Î Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ò x x = 3x+ º ÃÓÒ Ø Ø Ö Ö Ó ¹ x x+ x 4 Ö ØØ Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò ÒØ Ö Ð R Ø Ö ÓÑ Ö Ò ÒÒ Ö ØØ Ñ Ò Ñ Ø ÙÒ Ú Ú ÓÒ Ñ ÒÓÐк ËÐ Ö Ú x D = {R \ ±} ØÝ ÒÑÒ ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ö Ö Ð Ð Ñ ÒÓÐк Ö ÒÑÒ ÖÒ ÚÒ ØÖ Ð Ø ÒÓØ Ö Ö Ú ØØ Ñ Ò Ø Ñ Ò ÑÑ Ö (x + )(x ) = x 4 Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ ÚÒ ØÖ Ð Ø Ò ÓÑ ÓÖÑ º x x x x + = 3x + x 4 (x )(x + ) x(x ) x 4 x 4 = 3x + x 4 (x )(x + ) x(x ) = 3x + x 4 x 4.

32 º½º ÊËÌ Ê Ë ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ¹ÇÄÁÃÀ Ì Ê ½ ÆÙ Ö ÒÑÒ ÖÒ ÒØ Ø Ð Ð Ö ÐÐ x Dµ Ó Ò Ú ÓÖØ ØØ Ñ Ð Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØÐ ÖÒ º (x )(x + ) x(x ) = 3x + x + x x x + x = 3x +. 3x = 3x + 3x 3x = + 0x = 4, Ö Ò Ø Ð Ø Ò ÒØ Ò ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ò ÓØ ÚÖ Ô x D Ø Ö ÓÑ 0x = 0 Ó ÙØ Ò 0 = 4 Ö ÙÔÔ Ò ÖØ Ð µ Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ Ð Ò Ò ¹ ÑÒ Ò Ö L = º Ú Ø ÓÒ Ò Ö ÐÐØ Ò Ð Ò Ò Öº Ü ÑÔ Ð º½º º Î Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ñ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ö ax a = x 4 Ö a R Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ó x D = R Ö Ú Ö Ðº Î Ò Ö ÐÐØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò Ñ Ú Ò Ô x Ö ÐÐ ÚÖ Ò Ô Ô Ö Ñ Ø ÖÒ aº Ä Ò Ò Ò Ö Ø ÐÐ Ô Ú ÒÐ Ø Ú Ú ÝØØ Ö Ú Ö Ø ÖÑ ÖÒ ÒÒ ÐÐ Ò x Ø ÐÐ ÚÒ ØÖ Ð Ø Ó ÚÖ Ø ÐÐ Ö Ð Øº ax a = x 4 ax x = a 4 Î Ö Ò Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ò ÒÓÑ ØØ Ö Ø ÖÝØ ÙØ Ò Ñ Ò ÑÑ ØÓÖÒ x ÚÒ ØÖ Ð Ø Ó ÒÓØ Ö ØØ ÓÒ Ù ØÖ ÐÒ Ö Ð Ø Ö a 4 = (a + )(a )º x(a ) = (a + )(a ) Ú ÓÒ Ú ÐÐ Ø ÖÑ Ö Ñ ØÓÖÒ a ÙÒ Ö ÖÙØ ØØÒ Ò ØØ a 0 a Ö x = a +. Î Ö ÒÙ Ð Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ö a {R \ }º ÐÐ Ø a = Ò Ø ÓÑ ØØ Ô Ð ÐÐ Ö Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ú Ø ÓÒ Ò ÐÝ Ö x 4 = x 4 x x = 4 4 0x = 0,

33 ¾ à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ú Ð Ø ÙÔÔ ÝÐÐ ÒØ Ø Ö ÐÐ x D = Rº ËÐ Ö Ò ÙÐÐ ØÒ Ð Ò Ò Ò { a +, a R \, x = R, a =. ÆÖ Ñ Ò Ð Ö ÓÐ Ø Ö Ú Ö Ø Ö Ú Ú Ö Ð Ö Ö ØØ Ø ÙÖ Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ ÖÒ ÔÚ Ö Ö ÓÐ Ø Ø Ò Øº Ê Ð º½º º ÇÖ Ò Ò Ò Ô Ö Ö Ö ÐÐ Ø Ðº ÒØ ØØ Ø Ð Ò a, b, c Rº ÐÐ Ö ½º a < b b < c a < cº ÍØÐ ÇÑ a Ö Ñ Ò Ö Ò b Ó b Ö Ñ Ò Ö Ò c Ö a Ñ Ò Ö Ò cº ¾º Ü Ø ØØ Ú Ð Ò Ô Ø Ò Ò ÐÐ Ö µ a < b µ a > b µ a = b º a < b a + c < b + c º a < b, c > 0 ac < bc º a < b, c < 0 ac > bc Ü ÑÔ Ð º½º º Î Ð Ö ÓÐ Ø Ò x + 4x + > º x + 4x + > (x + x + ) > Ê Ò Ö Ð Ö Ö Ú Ö ØÖÓØ Ö x + x + > ÃÚ Ö Ö Ò Ö ÐÒ Ö (x + ) >

34 º½º ÊËÌ Ê Ë ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ¹ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ê Ò Ö Ð Ö Ö Ú Ö ØÖÓØ Ö x + > ÆÙ Ñ Ø ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ø ÒÚÜÐ Ò ÖÓ Ò Ô x Ø ÓÑ x+ 0 ÐÐ Ö x + = x + Ó ÓÑ x + < 0 ÐÐ Ö x + = (x + ) ÒÐ Ø Ö Ò Ö Ð ÖÒ Ö ÓÐÙØ ÐÓÔÔºµ x : (x + ) > x < : (x + ) > ÀÝ Ö ÖÓØ Ò Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ö Ñ Ò Ö ÓÐ Ø Ò x : x + > = ( ) x < : x + < x : x > x < : x <. Î Ö ÐÐØ ØÚ ÓÐ Ø Ö ÓÑ ÐÐ ÐÐ ÑØ Ø Ö Ô Ø Ú ÐÐ Ø x : x > ÐÐ ÐÐ ÐÐ Ö x < : x < ÐÐ ÐÐ º Ñ Ò Ö ØÚ ÓÐ Ø Ö ÓÑ ÐÐ Ö ÑØ Ø ÓÑÑ Ö Ö Ð Ò Ò ÑÒ Ö ØØ Ð Ú Ò ØØ Ø Ú ØÚ ÐÓÐ Ø ÖÒ Ð Ò Ò ÑÒ Öº ËÐ ÓÑ ÓÑÖ Ø x Ö Ø Ô Ø ÐÐ Ò Ò ÓÑÑ Ö ÓÑÖ Ø x > 0, 4 ØØ ÒÒ ÐÐ ØØ Ó Ò ØØ Ø Ú ØÚ Ø ÐÓÑÖ Ò Ð Ö x > º È ÑÑ ØØ Ø Ò Ö ÐÐ Ø x <, 4º ØØ Ö ÐÐØ ÐÙØÖ ÙÐØ Ø Ø ÓÑ Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ö Øº ܺ ÒÓÑ ØØ Ö Ò ÚÖ Ø ÐÐ Ó Ö Ø ÙÔÔ ÙÖÚ Ò y = x + 4x + Ó Ø ØØ Ø Ö Ú Ö ÒÒ Ö Ø ÖÖ Ò º Ä ÓÑ Ó Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ò ÓÐ Ø Ö ÒÒ ÐÐ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Öº Å ÓÐ Ø Ö Ñ Ø Ñ Ò Ó Ø Ø Ò Ò Ô Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ Ø Ö ÓÑ ØØ Ò ÔÚ Ö Ö ØÒ Ò Ò Ó ÓÐ Ø Ø Ò Øº Ö Ö Ð Ö Ñ Ò Ò ÓÐ Ø Ñ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÔÖ Ø Ò Ô Ö Ø Ö ØØ ÒØ Ð ÓÐ ÐÐ ÓÑ Ø Ö ÓÐ ÚÖ Ò Ô Ò Ö Ô Ö Ñ Ø ÖÒº ØØ ÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ò Ü ÑÔ Ð º½º º Î Ð Ö ÓÐ Ø Ò ax a < x 4º ax a < x 4 x(a ) < a 4 = (a + )(a ) Á ÚÒ ØÖ Ð Ø Ö Ú ÒÙ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ó ÒØ Ò a º ÖÓ Ò Ô Ø Ò ÓÑÑ Ö ÓÐ Ø Ø Ò Ø ØØ ÔÚ Ö Ú Ð Ö ÓÐ Ø Òº ÇÑ a > 0 Ö Ú a > Ú Ð Ø Ú Ú ÓÒ Ñ a Ð Ò Ö x < a +.

35 à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ò Ö Ò ÓÑ a < 0 Ö Ú a < Ú Ð Ø Ô ÑÑ ØØ ÓÑ ÓÚ Ò Ö x > a +. Á ÐÐ Ú Ö Ö a = 0 Ö Ù a = Ó Ö Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð ÓÐ Ø Ò ÙØ Ò Ø x 4 < x 4 0x < 0, Ú Ð Ø ÒØ Ö Ð Ò Ò Öº Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú Ö ÓÐ Ø Ò Ð Ò Ò ÑÒ {R x < a + }, a >, L = {R x > a + }, a <,, a =. Ò Ö Ø Ö Ò ÙØÐ ÐÐØ ÑÒ Ò Ú ÐÐ Ò x R Ò ØØ x < a + Ö a > º º¾ Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ó ¹ÓÐ Ø Ö Ò Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ú ÓÖÑ Ò ax + bx + c = 0, Ö a 0µ b Ó c Ö ÓÒ Ø ÒØ Öº Î ÐÐ ÒÙ Ð ÒÒ Ú Ø ÓÒ Ñ Ò¹ ÚÒ Ò Ò Ú Ú Ö Ø ÓÑÔÐ ØØ Ö Ò ÓÑ Ö Ø ÐÐ ØØ Ú Ö Ö Ö Ú ÓÑ ÚÒ ØÖ Ð Ø ØØ Ú Ö Ö ØØ Ú Ö ØÙØØÖÝ Ö Ú Ø Ñ Ú Ö Ö Ò ¹ Ö ÐÒ Ú ØØ Ø Ö º Ø Ö ÓÑ a 0 Ò Ú Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ñ ÒÒ ÓÒ Ø ÒØ Ó Ú Ö x + b a x + c a = 0. ÒÐ Ø Ú Ö Ö Ò Ö ÐÒ ÐÐ Ö (p + q) = p + pq + q Ó Ú ÐØ Ö p = x ÑØ pq = b xº Ñ Ø ÐÐØ q = b Ó q = b ÑØ a a a q = ( b º a) ÌÝÚÖÖ Ö Ú Ù ÒØ Ö Ø (p+q) = p +pq+q ÚÒ ØÖ Ð Ø Ú ÚÖ Ú Ø ÓÒ Ñ Ò Ø Ö ÐÐØ Ø ÐÐØ Ø ØØ Ö Ø ÐÐ Ø ÓÑ Ú ÐÐ Ú Ö Ö Ø ÐÐ

36 º¾º Æ Ê Ê Ë ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ¹ÇÄÁÃÀ Ì Ê ÑÑ Ö Ð Ø ØØ Ö ØØ ØÖ ÓÑ Ò Ú Ö ÚÖØ ØØ ÓÑÑ ÑÑ Ø Ö ÓÑÑ Ö Ó Ø µº ËÐ Ò ÚÖ Ú Ø ÓÒ Ö Ú x + b ( ) b a x + + c ( ) b a a = a ÐÝØØ Ö Ú Ö Ò ÓÒ Ø ÒØ Ó Ý Ö ÀÝ Ö Ö Ð Ø ( x + b ) ( ) b = c a a a ( x + b ) ( ) b = 4ac a a (a) [ ( a x + b )] = b 4ac a Ö Ö ÖÓØ Ò ÙÖ Ð Ò Ú Ñ Ø ÖÚ ØØ b 4ac 0 ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ø ËÐÙØÖ ÙÐØ Ø Ø ÒÓÑ ØØ Ð ÙØ x ( a x + b ) = b a 4ac ( a x + b ) = ± b a 4ac x = b ± b 4ac a. ØØ ÖÙ Ö ÐÐ ÖÓØ ÓÖÑ ÐÒ Ö Ð Ò Ò Ú Ò Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒº ÓÖ¹ Ñ ÐÒ ÙÒ Ö Ö Ú Ò Ö Ô Ð ÐÐ Ò b = 0 Ó» ÐÐ Ö c = 0º Á ÖÐ Ò Ò Ò ÖÚ Ú ØØ b 4ac 0 Ó ÚÒ ØÖ Ð Ø Ú ÒÒ ÓÐ Ø ÖÙ Ö ÐÐ Ö Ñ Ò ÒØ Ò Ó Ò Ö ÒÐ Ø Ð Ò

37 à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ò Ø ÓÒ º¾º½º Ö Ñ Ò ÒØ Ò Ö Ò Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ ax +bx+c = 0 Ö D = b 4ac. Ö Ñ Ò ÒØ Ò ØÑÑ Ö Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ò ÑÒ Ú Ö Ð Ò Ê Ð º¾º½º Ä Ò Ò ÑÒ Ò Ó Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ò ax + bx + c = 0º ½º ÇÑ D > 0 Ö Ú Ø ÓÒ Ò ØÚ Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ö L = {x, x R}º ¾º ÇÑ D = 0 Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ò Ö ÐÐ Ð Ò Ò ÓÑ ÖÙ Ö ÐÐ Ù ¹ ÐÖÓØ ºÚº º L = {x = x R}º º ÇÑ D < 0 Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ò Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ö L = º ½ Å Ò Ú Ö ÒØ ÐÐØ ÒÚÒ ÖÓØ ÓÖÑ ÐÒ Ö ØØ Ð Ò Ö Ö Ú ¹ Ø ÓÒ Ò ax +bx+c = 0 ÐÐ Ø ÒÒ ØÚ Ö ØØ Öº Á ÝÒÒ Ö Ø ÓÑ Ð Ò Ò ÖÒ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ø ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ax + bx + c ÐÐ Ú Ò ÑÒ ÑÑ Ò Ò Ö ØØ Öµ Ö Ö Ú Ö ÐØ Ð Ö Ñ Ò ÒÝØØ Ú Ð Ò Ò Ô Ç ÖÚ Ø ÓÒ º¾º¾º Ê ØØ ÖÒ Ò Ô Ö Ö Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ò ax + bx + c = 0º Î Ø Ò Ö ÐÐ Ö x = b + b 4ac a, x = b b 4ac a. x + x = b+ b 4ac a + b b 4ac a = b a = b a, x x = ( b+ b 4ac)( b b 4ac) ( = ( b) b 4ac) (a) (a) ËÐ ÓÑ Ñ Ò ÓÑ ÓÖÑ Ö Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ø ÐÐ x + b a x + c a = 0, = b b ( 4ac) (a) = c a. Ò Ñ Ò ÚÐ Ö ØØ ÖÒ Ö Ø ÖÒ Ó ÒØ ÖÒ ÐÐ Ñ Ò Ò ØØ ØÚ Ø Ð Ú Ö ÙÑÑ Ö b a Ó Ú Ö ÔÖÓ Ù Ø Ö c a º Ø Ðº ½ Ø ÒÒ Ó ØØ ÐÐ ÓÑÔÐ Ü Ð Ò Ò Ö Ñ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ ÓÑÔÐ Ü

38 º¾º Æ Ê Ê Ë ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ¹ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ü ÑÔ Ð º¾º º ØÑ Ð Ò Ò ÖÒ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò x 5x + = 0. ÆÙ Ö a = b = 5 Ó c = º Ö ÖÓØ ÓÖÑ ÐÒ x, = b ± b 4ac a = 5 ± ( 5) 4 4 = 5 ± 9 4 = 5 ± 3 4 ÐÐØ Ö Ú Ö Ñ Ò ÒØ Ò D = b 4ac = 9 > 0 Ó ØÚ Ð Ò Ò ÖÒ x = Ó x = º ÇÑ Ú ÒÓÑ Ú ÓÒ Ñ a ÓÑ ÓÖÑ Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ø ÐÐ x 5 x + = 0, ÙÒ Ú ÚÐ Ø Ö ØØ ÖÒ Ö Ø ÖÒ Ò ÓÑ ÓÖÑ Ú Ø ÓÒ Ò Ó ¹ ÒØ Ö Ø Ö ÓÑ x + x = 5 Ó x x = º Ü ÑÔ Ð º¾º º ØÑ Ð Ò Ò ÖÒ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò 3x x + = 0. ÆÙ Ö a = 3 b = Ó c = º Ö ÖÓØ ÓÖÑ ÐÒ x, = b ± b 4ac a = ± ( ) = ± 0 6. =. ÐÐØ Ö Ú Ö Ñ Ò ÒØ Ò D = b 4ac = 0 Ó Ø ÒÒ Ò Ø Ò Ð Ò Ò x = x = º ÇÑ Ú ÒÙ ÒÓÑ Ú ÓÒ Ñ a ÓÑ ÓÖÑ Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ø ÐÐ x 4x + 4 = (x ) = 0, ÙÒ Ú Ð Ø Ù ÐÖÓØ Ò Ö Ø ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ò x = 0º Ü ÑÔ Ð º¾º º ØÑ Ð Ò Ò ÖÒ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò 5x x + = 0. ÆÙ Ö a = 5 b = Ó c = º Ö ÖÓØ ÓÖÑ ÐÒ x, = b ± b 4ac a = ± ( ) = ± 6 0 R. Ö Ñ Ò ÒØ Ò Ö D = b 4ac = 6 < 0 Ó Ø ÒÒ Ò Ö ÐÐ Ð Ò Ò Öº

39 à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ü ÑÔ Ð º¾º º Ö Ú Ð ÚÖ Ò Ô ÓÒ Ø ÒØ Ò k Ö Ú Ø ÓÒ Ò x + k = 3 x ØÚ ÓÐ Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ò ÓÑ ÓÖÑ Ø ÐÐ ÚÖ Ú ÒÐ ÓÖÑ Ö Ò Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ x + x + k 3 = 0º Î Ö ÒÙ ØØ a = b = Ó c = k 3º ÒÐ Ø Ø ÓÖ Ò Ö ÒÒ ØÚ ÓÐ Ö ÐÐ Ö ØØ Ö Ö Ñ Ò ÒØ Ò ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ú ÐÐ ÓÖ Ø D = b 4ac = 4(k 3) > 0º Î Ú Ö ÐÐØ Ð Ò ÓÐ Ø Ñ k ÓÑ Ú Ö Ð ÒÐ Ø 4(k 3) > 0 4 > 4(k 3) > k > k k < 4. ÐØ ÖÒ Ø ÚØ ÙÒ Ú Ð Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ñ ÖÓØ ÓÖÑ ÐÒ Ó Ò Ú Ò ÓÑÑ Ø Ö Ñ Ø ÐÐ ØØ ÑÓØ Ú Ö Ò Ú ÐÐ ÓÖ ÓÑ Ú Ö Ö Ö Ñ Ò ÒØ Òº Á ÐÐ Ø Ü Ø Ö Ö Ö ØØ Ö Ò ÖÓØ ÓÖÑ ÐÒ ÖÙØÓÑ Ø ÐÐ ØØ Ð Ò Ö Ö Ú ¹ Ø ÓÒ Ö Ú Ò ÒÚÒ Ø ÐÐ ØÓÖ Ö Ò ÙÔÔ ÐÒ Ò Ú ÔÓÐÝÒÓÑ ØÓÖ Öµ Ø Ö ÓÑ Ú Ö ØØ ØØ Ö ØØ ÖÒ x Ó x Ö Ò Ô ÖÒ x + x = b a Ó x x = c Ó Ð Ö a Ç ÖÚ Ø ÓÒ º¾º º a(x x )(x x ) = a ( x x x x x + ( x )( x ) ) = a [ ] x (x + x )x + x x ( = a x + b a x + c ) a = ax + bx + c = 0, Ú Ð Ø Ù Ú Ö ØØ ØØ Ó ØÝ Ð Ø Ò Ö Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ØÓÖ Ö Ñ ÐÔ Ú Ò Ö ØØ Öº ØØ ÐÐÙ ØÖ Ö Ö Ú Ò Ð Ò Ö Ð ÓÑ Ö ÓÑ Ú Ø ÓÒ Ö ÔÖ Ø Ò ØÝ Ö ØØ ØÓÖ Ö Ò Ó ØÑÒ Ò Ú ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ö Ú Ú Ð ÒØ º Ê Ð º¾º º ÆÓÐÐÖ ÐÒ ab = 0 a = 0 b = 0.

40 º¾º Æ Ê Ê Ë ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ¹ÇÄÁÃÀ Ì Ê 3.5 D < 0 D = 0 D > 0.5 y x ÙÖ º½ ÈÖ Ò Ô Ú y = ax + bx + c a > 0 Ö ÓÐ ÚÖ Ò Ô Ö Ñ Ò ÒØ Ò D = b 4acº Ä Ò Ò Ú Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ò ÙØÒÝØØ Ö Ð Ò Ò Ú Ò¹ Ö Ö ÓÐ Ø Ö ax + bx + c 0, Ö ÓÐ Ø Ø Ò Ò Ú Ò Ò Ú Ö ØÖÒ > Ö Ô Ø Ú <µº ÆÓØ Ö ØØ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ú ÐÐ Ø ÖÑ Ö Ñ ÚÒ Ö Ô ÓÐ Ø Ø Ò Ø Ø Ö Ò Ò ØÝ Ð Ú Ð Ø Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ö Ñ Ö Ñ Ò Ö ÓÒ Ú Òغ ÓÐ Ø Ö Ò Ð ÒÓÑ ØØ Ö Ø Ð Ú Ø ÓÒ Ò ax +bx+c = 0 Ó Ò ÒØ Ò Ò Ø Ö Ñ Ò ÒØ Ò Ó Ø Ò Ø Ó Ó ÒØ Ò a ÐÐ Ö ÒÓÑ ØØ ØÐÐ ÙÔÔ ØØ Ø Ò Ñ Ö ÙÖÚ Ò y = ax + bx + c Ñ Ø Ò Ú Ö ØØ ÖÒ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Òº ÃÙÖÚ Ò ÙØ Ò Ö ÓÐ Ø Ò Ô Ó ÒØ Ò a Ó Ö Ñ Ò ÒØ Ò ÐÐÙ ØÖ Ö ÙÖ ÖÒ º½ Ó º¾º ÇÑ a > 0 ÓÑÑ Ö

41 ¼ à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê 0.5 D > 0 D = 0 D < y x ÙÖ º¾ ÈÖ Ò Ô Ú y = ax + bx + c a < 0 Ö ÓÐ ÚÖ Ò Ô Ö Ñ Ò ÒØ Ò D = b 4acº y ØØ ÚÜ ÑÓØ + Ù ÐÒ Ö ÓÖØ ÖÒ ÓÖ Ó x Ö Ô Ö ÐÒ ÔÔÒ Ö Ð ÙÔÔغ Ò Ö Ò ÓÑ a < 0 ÓÑÑ Ö y ØØ ÚÜ ÑÓØ Ù ÐÒ Ö ÓÖØ ÖÒ ÓÖ Ó x Ö Ó Ô Ö ÐÒ ÔÔÒ Ö ÐÐØ Ò Øº ØØ Ø ÐÐ ÑÑ Ò Ñ Ö Ñ Ò ÒØ Ò Ö Ø Ö Ö Ò Ú Ö ØØ ÖÒ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò ax +bx+c = 0 Ö Ø Ñ Ð Ø ØØ Ð ÓÐ Ø Òº Î ÓÑÑ Ö ØØ D > 0 ØÝ Ö ØØ Ø ÒÒ ØÚ Ö ÐÐ Ö ØØ Ö ØØ D = 0 ØÝ Ö ØØ Ø ÒÒ Ò Ù ÐÖÓØ Ó ØØ D < 0 ÒÒ Ö ØØ Ø ÒØ Ü Ø Ö Ö Ö ÐÐ Ö ØØ Öº Ü ÑÔ Ð º¾º º ÄØ f(x) = ax + bx + c, a < 0. Î Ð Ö ÒÙ ÓÐ Ø Ò f(x) 0º Ø ÒÒ ØÖ ÐÐ ØØ Ø ÖÓ Ò Ô Ö Ñ Ò ÒØ Ò ÚÖ

42 º¾º Æ Ê Ê Ë ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ¹ÇÄÁÃÀ Ì Ê ½ Ì ÐÐ º½ Ä Ò Ò ÑÒ Ò Ö Ò Ö Ö ÓÐ Ø Ö Ñ ÓÐ Ô Ö Ñ Ø Ö¹ ÚÖ Òº Ø Ò Ò Ò a Ú Ö Ú Ö Ø Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ Ó D Ø Ò Ö Ö Ñ Ò ÒØ Òº Ø Ö ÓÑ a Ò Ú Ö ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ö Ò Ø Ú f(x) = ax +bx+c Ò Ú Ö ØÖÒ Ø» ¹ ØÖÒ Ø ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ö Ò Ø Ú Ó Ö Ñ Ò ÒØ Ò Ò Ú ¹ Ö ÔÓ Ø Ú ÒÓÐÐ ÐÐ Ö Ò Ø Ú ØÓØ ÐØ ¾ ÓÐ ÓÒ Ø ÐÐ Ø ÓÒ Ö Ö ÓÐ Ø Ò Ð Ò Ò ÑÒ º f(x) L D > 0 D = 0 D < 0 < 0 ]x, x [ a > 0 0 [x, x ] {x } > 0 ], x [ ]x, [ R \ {x } R 0 ], x ] [x, [ R R < 0 ], x [ ]x, [ R \ {x } R a < 0 0 ], x ] [x, [ R R > 0 ]x, x [ 0 [x, x ] {x } ½º D > 0 Ú Ø ÓÒ Ò f(x) = 0 Ö ÒÙ ØÚ Ö ØØ Ö x Ó x º È Ö ÐÒ ÔÔÒ Ö Ò Ø ØÝ a < 0 Ó Ú Ö ØÙ Ø ÓÒ Ò ÙÖ º¾ Ú Ö Ø ÙÖÚ Òµº Ð Ö ÙÖÚ Ò ÓÚ Ò Ö ÐÐ Ö Ô x¹ Ü ÐÒ Ö x¹úö Ò ÒØ Ö¹ Ú ÐÐ Ø [x, x ] ºÚº º x x x µ Ó Ð Ò Ò ÑÒ Ò Ö Ù Ø ØØ ÒØ ÖÚ Ðк ¾º D = 0 Ú Ø ÓÒ Ò f(x) = 0 Ö ÒÙ Ò Ù ÐÖÓØ x = x º È Ö ÐÒ ÔÔÒ Ö Ò Ø ØÝ a < 0 Ó Ú Ö ØÙ Ø ÓÒ Ò ÙÖ º¾ Ñ ÐÐ Ö Ø ÙÖÚ Òµº Ð Ö ÙÖÚ Ò ÓÚ Ò Ö ÐÐ Ö Ô x¹ Ü ÐÒ Ò Ø Ö ÚÖ Ø Ô Ù ÐÖÓØ Ò Ó Ð Ò Ò ÑÒ Ò Ö ÔÙÒ Ø Ò x º º D < 0 Ú Ø ÓÒ Ò f(x) = 0 Ö ÒÙ Ò Ö ØØ Öº È Ö ÐÒ ÔÔÒ Ö Ò Ø ØÝ a < 0 Ó Ú Ö ØÙ Ø ÓÒ Ò ÙÖ º¾ Ò Ö Ø ÙÖÚ Òµº Ð Ö ÙÖÚ Ò ÓÚ Ò Ö ÐÐ Ö Ô x¹ Ü ÐÒ Ö Ò x¹úö Ò Ó Ð Ò Ò ¹ ÑÒ Ò Ö ØÓѺ Á Ø ÐÐ Ò ÓÚ Ò ÑÑ Ò ØØ ÓÐ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÓÐ Ø Ò Ð Ò Ò Öº Ì ÐÐ Ò Ö ÒØ Ú Ö Ý Ø Ñ Ø ÒÐÖÒ Ò ÙØ Ò ÖÑ Ø ÓÑ Ò ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ÓÐ Ð Ò Ò Ö ÓÑ Ò Ö ÓÑÑ Ö Ó Ð Ô Ö ¹ Ñ Ø ÖÚÖ Òº

43 ¾ à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê º Ê Ø ÓÒ ÐÐ ÓÐ Ø Ö Å Ò Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÓÐ Ø Ú Ò ÓÐ Ø ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ Ü ÑÔ ÐÚ Ú ÓÖÑ Ò r(x) = p(x) q(x) < 0, Ö ØÐ Ö Ò p(x) Ó ÒÑÒ Ö Ò q(x) Ö ÔÓÐÝÒÓѺ Ò ÐÐÑÒ Ø Ò Ö ØØ Ð ÓÐ Ø Ò ÓÚ Ò Ö ØØ ÙÒ Ö ØÐ Ö Ò Ó ÒÑÒ Ö Ò Ú Ö Ö ¹ ÒÓÑ ØØ ØÑÑ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ó Ø Ò Ö Ò º Ö ØØ Ñ Ø Ñ Ò Ó Ó Ø ÓÑ ÓÖÑ ÓÐ Ø Ò Ö ØØ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ò ÓÚ Òº ØØ ÒÒ Ö Ó Ø ØØ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ö ØØ Ø ÓÑÑ Ð ÒÑÒ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ò Ú Ø ÖÑ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ö Ó Úº ÆÑÒ Ö Ò ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ñ Ø Ó ÐÐØ ØÑÑ Ö ØØ Ö Ñ Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò Ö r(x)º Ò Ø Ú Ñ ØÓ ØØ Ö Ò ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ó Ö ÓÑ ÚÒ Ò Ö Ö Ø Ö ØØ Ö ÙÔÔ ØØ Ø Ò Ñ ÓÑ Ø Ö ØÐ Ö Ò Ó ÒÑÒ Ö Òº Ü ÑÔ Ð º º½º Ä ÓÐ Ø Ò x 5x + 6 x 7x + <. Î Ö Ö Ñ ØØ ØÑÑ Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò ÒÓÑ ØØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ø ÐÐ ÒÑÒ Ö Ò q(x) = x 7x + = 0º ÊÓØ ÓÖÑ ÐÒ Ö ÐØ ÖÒ Ø ÚØ Ò Ö ØØ ÖÒ ÚÐ Ö Ø ÖÒ Ó ÒØ ÖÒ ÒÐ Ø ÓÚ Òµ x, = ( 7) ± ( 7) 4 = 7 ±. ËÐ Ö Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò D = R \ {3, 4}º Ø Ö ÓÑ ÓÐ Ø Ò ÒØ Ö

44 º º Ê ÌÁÇÆ ÄÄ ÇÄÁÃÀ Ì Ê ÓÖÑ Ò r(x) < 0 Ò Ò ÓÑ ÓÖÑ ÒÐ Ø x 5x + 6 x 7x + < (x 5x + 6) (x 7x + ) x 7x + (x 7x + ) < 0 x 0x + x + 7x < 0 (x 7x + ) x 3x (x 7x + ) < 0 x(x 3) (x 3)(x 4) < 0 x (x 4) < 0 f(x) = x x 4 < 0. ÆÙ ØÐÐ Ö Ú ÙÔÔ Ø Ò Ñ Ø Ö ØÐ Ö Ó ÒÑÒ Ö x x f(x) ÇÐ Ø Ò Ø Ö ÙÔÔ ÝÐÐ µ ÐÐØ Ö f(x) Ö Ò Ø ÚØ Ú ÒÚÒ Ö Ö Ø Ò Ò Ò Ö ÚÖ Ò ÓÑ ÒØ Ø ÐÐ Ö Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò D = R\{3, 4}µ Ó Ò Ð Ò Ò ÑÒ Ò ÚÐ ÖÒ Ø Ö Ò Ø Ò Ñ Ø ÓÑ ÚÖ Ò Ö f(x) = º ËÐ Ö Ú ÐÙØÖ ÙÐØ Ø Ø L =]0, 4[\{3}. ÐØ ÖÒ Ø ÚØ ÙÒ Ñ Ò ÙØ ØØ ÖÒ Ò ÐÚ Ý ÓÐ Ø Ò 0 ÒÐ Ø ÑÑ Ñ ØÓ ÓÑ Ú Ú ÖÚ Ø Ò Ñ Ø ÙÐÐ Ð Ú Ø Ø ÑÑ Ñ Ò Ñ Ò ÒØ ÚØ ÓÑÑ ØØ ÔÙÒ Ø Ò {3} ÒØ Ø Ðй Ö Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò Ø Ö ÓÑ ÒÒ Ý Ø ÙÔÔ Ø ÐÐ Ò ÓÑ ØØ ÒÓÐй ØÐÐ Ø ÐÐ ÒÑÒ Ö Òº x 3x < (x 7x+)

45 à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê 4 3x + x y x ÙÖ º ØØ Ð Ò ÖØ Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ñ ØÚ Ú Ø ÓÒ Ö Ó ØÚ Ó Ò¹ Ø Ò Ö Ø Ö ÔÖ ÒØ Ö ÓÑ ØÚ Ð Ò Ö (x, y)¹ ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñ Øº Ò Ú ÒØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ò Ç ÖÚ Ö ØØ Ò ÓÒ Ð Ò Ò ÒØ Ò ÚÒ ØÚ Ú Ö ÒÒ µ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ú Ð Ò ÖÒ ÖÒ Ò ÔÙÒ Øº º Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Î ØÙ Ö Ö Ð Ò Ò Ú Ð Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ú ÓÖÑ Ò { a x + b y = c a x + b y = c, Ö Ó ÒØ ÖÒ a a b 0 Ó b 0 ÑØ ÓÒ Ø ÒØ ÖÒ c Ó c Ö Ò º Î Ö ÒÙ ÒØÖ Ö Ú ÚÖ Ò Ô x Ó y ÓÑ ÑØ Ø Ø Ö Ö Ú Ø ÓÒ ÖÒ ÐØ Ú Ö x 0 Ö Ô Ø Ú y 0 º Ä Ò Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ö Ø Ò ÔÙÒ Ø (x 0, y 0 ) (x, y)¹ ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñ Ø Ö Ð Ò ÖÒ y = a b x+

46 º º ÃÎ ÌÁÇÆËË ËÌ Å c b Ó y = a b x+ c b Ö Ú Ö Ò Ö º Á ÐÐ Ð Ò ÖÒ Ö Ô Ö ÐÐ ÐÐ ºÚº º a a b Ö ÒØ Ú Ö Ò Ö Ó Ü Ø Ö Ö ÐÐ Ö Ò Ò Ð Ò Ò Ø ÐÐ Ý Ø Ñ Øº Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø { 3x + y = b = x + y = Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÐÐÙ Ø Ö ÙÖ º Ö ÖÒ Ò ÔÙÒ Ø Ò (x 0, y 0 ) = ( 3 5, 4 5) ÙØ Ö Ý Ø Ñ Ø Ð Ò Ò Ó Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø Ö ÐÐØ Ð Ò Ò ¹ ÑÒ Ò L = { (x, y) = ( 3 5, 4 5)} º Ö ØØ ÙÒ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ö Ò Ð Ð Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÐÐ Ú Ô Ü ÑÔ Ð Ñ ØÚ ÓÐ Ñ ØÓ Ö Ø ÓÒ Ñ ØÓ Ò Ó Ò ØØÒ Ò Ñ ¹ ØÓ Òº Ñ ØÓ ÖÒ ÒÒ Ö ÔÖ Ò Ô ØØ Ò Ú ØÚ Ú Ö Ð ÖÒ x Ó y Ð Ñ Ò Ö ÑØ Ø Ñ Ò Ú ØÚ Ú Ø ÓÒ ÖÒ º Å ØÓ ÖÒ Ð Ö Ò Ø ÐÚ ÙØ Ö Ò Ø Ú ÒÒ Ð Ñ Ò Ö Ò º ½º Ø ÓÒ Ñ ØÓ Ò Ü ÑÔ Ð º º½º Ä Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø { 4x + 3y = 8 6x + y = Ú Ø ÓÒ ÖÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÒÙ Ñ ÐÑÔÐ ØÓÖ Ö ØØ Ø ÖÑ Ö ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ò Ú Ú Ö Ð ÖÒ x Ó y Ö Ú ÒÒ Ö Ö ÙÐØ Ö Ò Ú Ø ÓÒ ÖÒ Ö º { 4x + 3y = 8 Ø ÓÒ Ö ÒÙ 6x + y = ( 3). 8x + 6y = 6 + 8x 6y = 36 0x = 0 Ò Ø Ö Ø Ò Ú Ø ÓÒ Ò Ö ÒÙ Ð Ò Ò Ò x = Ó ØØ Ö Ñ Ò Ò ØØ Ò ÓÒ Ú ÙÖ ÔÖÙÒ Ð ØÚ Ú Ø ÓÒ ÖÒ Øº ܺ 8 + 6y = 6 Ú Ð Ø Ö y = 0º Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø Ö ÐÐØ Ð Ò Ò ÑÒ Ò L = {(x, y) = (, 0)}º ¾º ÁÒ ØØÒ Ò Ñ ØÓ Ò

47 à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ü ÑÔ Ð º º¾º Ä Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø { x 5y = 3x y = 5 Á ÒÒ Ñ ØÓ ÙØ Ö Ñ Ò ÖÒ Ò Ú Ð Ö µ Ú Ú Ø ÓÒ ÖÒ Ö ØØ Ð ØØ ÙØØÖÝ Ö Ò Ò Ú Ó Ò Ú Ö Ð ÖÒ x Ó y ÓÑ Ö¹ Ø Ö ØØ Ò Ò Ò Ö Ú Ø ÓÒ Òº Ø ÖÙ Ö Ú Ö Ñ Ø ÔÖ Ø Ø ØØ ÙØÒÝØØ Ò Ú Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ò Ñ Ò Ø Ó ÒØ Ò Ö Ò Ú Ú Ö Ð ÖÒ ÓÑ ÐÐ Ð Ñ Ò Ö º Á ØØ ÐÐ Ö Ò Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ò 3x y = 5 ØØ ÙØØÖÝ Ö Ú Ö ÐÒ y ÒÐ Ø y = 3x + 5º ØØ Ò ØØ Ò Ò Ö Ø Ú Ø ÓÒ Ò x 5(3x + 5) = x 5x 5 = 3x = 3, ÓÑ Ö Ð Ò Ò Ò x = º ËØØ ØØ Ò ÚÖØ ÙØØÖÝ Ö Ò Ò Ö Ú Ö ÐÒ y y = 3 ( ) + 5 = º Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø Ö ÐÐØ Ð Ò Ò ÑÒ Ò L = {(x, y) = (, )}º Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ò Ö Ó ÒØ Ó Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ò ØÚº ¾ ËÝ ¹ Ø Ñ Ø Ñ ØÓ Ö Ö Ö Ø Ð Ò Ò Ú Ð Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÔÑ ÒÒ Ö ÓÑ Ò ÓÚ Ò Ò Ð Ø ÓÒ Ñ ØÓ Òº º Ú Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ö ØØ Ð Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ ÒÒ Ö ØØ Ñ Ò Ö Ö ØØ ÖÒ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò µ Ø ÐÐ ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö Ø Ð Ø ÖÖ Ò ØÚº ËÐ Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ò Ó Ò Ú Ö ÐÒ x ÓÖÑ Ò p(x) = a n x n + a n x n + a n x n + + a x + a x + a 0 = 0, ¾ Ä Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ö ÓÑÑ Ö ÑÒ Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ò Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ¹ Ø Ø Ò Ý Ó ÔÖÓ Ø Ò º ÒØ Ð Ø Ú Ø ÓÒ Ö Ò Øº ܺ Ú Ö Ò Ò Ú ØÖ Ñ¹ Ò Ò ÐØ Ò Ù ØÖ ÐÐ ÒÐ Ò Ò Ö Ú Ö Ñ Ð ÓÒ Öº ØØ Ö Ð ØØ Ø ÐÐ ØØ Ù Ø Ð ÓÖ ØÑ Ö Ö Ø Ú Ð Ò Ò Ú Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ö Ò ½ ¼¹Ø Ð Ø Ú Ö Ø ØØ Ø ÚØ ÓÖ Ò Ò Óѹ Ö ÒÓÑ ÒÙÑ Ö Ñ Ø Ñ Ø º Ø ÒÒ Ú Ò º º Ø Ö Ø Ú Ñ ØÓ Ö ÓÑ ÒÒ Ö ØØ Ñ Ò Ð Ö Ý Ø Ñ Ø ÒÓÑ ØØ Ö Ø Ö Ò ÙØ Ò Ò Ò ÓÑ Ò Ø Ú Ö ØØÖ Ø ÐÐ Ñ Ò ÓÑÑ Ö Ø ÐÖ Ð Ø ÒÖ Ð Ò Ò Ò

48 º º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Î À Ê Ê Ö a 0 a a... a n a n Ó a n 0 Ö ÓÒ Ø ÒØ Ö Ó n 3º Ú Ø ÓÒ Ò ÓÚ Ò Ö n Ö ØØ Ö x 0 x... x n Ñ Ò Ú Ö ÒØ Ú Ö Ö ÐÐ ÙØ Ò Ò Ð ÐÐ Ö ÐÐ Ú Ö ØØ ÖÒ Ò Ú Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Øº ܺ ÐÐ Ø p(x) = x + = 0µº ÚÖÖ ÒÒ Ø Ò Ò Ý Ø Ñ Ø Ñ ØÓ ØØ ØÑÑ ÐÐ Ö ØØ Ö ÐÐ n 5 Ö Ñ Ò Ó Ø Ø Ò Ñ ÒÙÑ Ö Ö Ò Ò ÓÐ ÓÖÑ Ö Ú ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö Ö Ô ØÓÖ Ö Ò Ò Öµº Ø Ö Ó ÒØ Ú Ð Ò Ö Ö ØØ ÖÒ ÓÑÑ Ö ØØ Ð ÒÓÑ ÖÓ Ò Ô Ó ÒØ ÖÒ ÚÖ Ò Ó ØØ Ò ÙØÒÝØØ Ö ØØ ÙØÚÖ Ö Ö ÙÐØ Ø Ò ÖÒ ÒÙÑ Ö Ö Ò Ò ÖÒ º Ñ Ò Ý Ø Ñ Ø Ñ ØÓ ÖÒ Ö ÐÐ Ò n = 3 4 ÐÐ Ö ÙØ Ò Ö ÒÒ ÙÖ Ø Ö ØÖ ÖÑ Ø ÓÐ Ô Ð ÐÐ ÓÑ Ò ÙØÒÝØØ Ö ØØ ØÑÑ Ö ØØ ÖÒ º Ö Ú Ö Ð ÝØ ØÓÖ Ö Ò Ñ ÐÔ Ú ÖÙÔÔ Ö Ò ÑØ ØÓÖ Ö Ò Ñ ÐÔ Ú ÔÖ ÚÒ Ò Ó ÐÐÙ ØÖ Ö Ñ Ü ÑÔÐ Ò Ò Òº Ü ÑÔ Ð º º½º Î Ö Ð ÝØ x 4 3x 4 = 0. Ö Ò Ð Ø ÙÐÐ ÖÚ Ö Ú ØØ Ð Ò Ò ÖÒ ÐÐ Ú Ö Ö ÐÐ º Ú Ø ÓÒ Ò Ò ÒØ Ö ÒÓÑ ØØ Ñ Ò Ô Ö ÓÑ Ú Ö ÐÒ Ñ Ò Ö ØØ Ñ Ò Ö ØØ Ú Ö Ð ÝØ µ ÒÐ Ø x = t Ú ÖÚ Ò ÒÝ Ú Ø ÓÒ Ò Ú Ö ØÚ Ò ÒÝ Ú Ö ÐÒ t t 3t 4 = 0, ÓÑ Ö Ö ØØ ÖÒ t = Ó t = 4 ÃÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ Ñ ÚÖ Ø Ö Ò Ð Ò Ú Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö µ ÆÙ Ö Ú Ñ Ø Ò Ú Ú Ö ¹ Ð ÝØ Ø ØÚ Ú Ø ÓÒ Ö x = ÑØ x = 4º Ò Ö Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ö Ò Ö Ó Ò x¹úö Ò Ö ØØ Öµ Ñ Ò Ò Ò Ö Ú ¹ Ø ÓÒ Ò Ö Ð Ò Ò ÖÒ x = Ó x = Ú Ð Ø Ö Ó Ö ÐÙØÖ ÙÐØ Ø Øº Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ò ÑÒ Ö Ð L = {±}º Ü ÑÔ Ð º º¾º ÖÙÔÔ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Ò x 3 x x + 4 = 0. Î Ò ÖÝØ ÙØ ØÓÖÒ x ÙÖ ØÚ Ö Ø Ø ÖÑ ÖÒ Ó ØÓÖÒ ÙÖ ØÚ Ø Ø ÖÑ ÖÒ Ú Ð Ø Ñ Ð Ö ÖÙÔÔ Ö Ò Ò Ó ØÓÖ Ö Ò Ò x (x ) (x ) = 0 (x )(x ) = 0 x = 0 x = 0 x = ± x =,

49 à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ö Ø Ò Ø Ø Ø Ø ÖÒ Ø ØÓÖ Ö ÙØØÖÝ Ø Ø ÐÐ ØÚ Ú Ø ÓÒ ÖÒ ÑÓØ Ú Ö Ú ÒÓÐÐÖ ÐÒº Ê ØØ ÖÒ Ö ÐÐØ x = x = Ó x 3 = º Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ò ÑÒ Ö L = {, }º Ü ÑÔ Ð º º º ÈÖ ÚÒ Ò Ó ØÓÖ Ö Ò p(x) = x 3 + x 3 = 0. Î Ö Ö ÒÒ Ò ÖÓØ Ñ ÔÖ ÚÒ Ò ÐÐ Ö Ö Ò Ò Ò µº ØØ Ò Ö Ú Øº ܺ ØØ Ñ Ò Ö Ø Ö ÙÔÔ Ö Ò y = p(x) Ó Ø ØØ Ö ÙÒ Ö Ú Ö ÒÒ Ö x¹ Ü ÐÒº Å Ò Ò Ó Ö Ø ØÐÐ ØØ ÓÑÖ Ö Ú Ö Ò ÖÓØ Ò ÒÒ Ú Ö Øº ܺ ØØ p(0) = 3 < 0 ºÚº º ØØ Ö Ò Ð Ö ÙÒ Ö x¹ Ü ÐÒ ÓÖ Óµ Ó ØØ p() = 9 > 0 Ö Ò Ð Ö Ú Ö x¹ Ü ÐÒ ÔÙÒ Ø Ò x = µº Ò Ú ÐÐØ ÚÒØ Ó ØØ Ø ÒÒ Ò ÖÓØ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø ]0, [º Ø Ö Ð Ø ÙÒ Ö Ò Ö Ú Ö Ø ØØ x = Ø Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ Ò Ú Ö ØØ Ö Ö Øغ ÒÐ Ø ÒÓÐÐÖ ÐÒ Ó ÚÖ Ø Ö Ò Ð Ò Ú ØÓÖ Ö Ò Ò Ú Ø ÓÒ Ò ÓÑ Ö Ú ÒÐ Ø p(x) = x 3 + x 3 = 0 ( ) x 3 + x 3 (x ) = 0 x ( ) x (x ) + x + x 3 (x ) = 0 x ( ) x (x ) + x(x ) + 3x 3 (x ) = 0 x ( ) x (x ) + x(x ) + 3(x ) (x ) = 0 x (x ) ( x + x + 3 ) = 0 x = 0 x + x + 3 = 0 x = x =, Ö Ø Ø Ò Ñ Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ò Ú ÒÓÐÐÖ ÐÒ Ö Ò ÐÓ Ñ Ö ¹ Ò Ü ÑÔ Ðº Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ò ÓÑ ÙÔÔ ØÖ Ö Ò Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ö Ø Ö ÓÑ Ò Ö Ò Ø Ú Ö Ñ Ò ÒØ ÃÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ Ñ Ø Ú ÚÖ Ø ¹ Ö Ò Ð Ò Ú Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö µº Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ò ÑÒ Ö Ð ØÐ Ò L = {}º

50 º º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Î À Ê Ê Ü ÑÔ Ð º º º ÈÖ ÚÒ Ò Ó ØÓÖ Ö Ò p(x) = x 4 x 3 + 9x 3x + 3 = 0. Ø Ö Ò Ñ Ø Ú ÒÚÒ ÔÖ ÚÒ Ò º Ø Ú Ö ØØ x = Ö Ò Ð Ò Ò Ó Ò Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ú ÓÖÑ Ò p(x) = x 4 x 3 + 9x 3x + 3 = (x )q(x) = 0, Ö q(x) = p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö Ø Ð ØÖ Ú Ö Ö µº ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò x Ú ØÑÑ ÓÑ Ö Ò Ü ÑÔ Ð Ñ Ò Ñ Ò Ò Ó ÒÚÒ Ö Ø ØÖ ÔÔ Ø ¹ Ú ÓÒ ÐÐ Ö Ò ÓÒ ÒÒ Ò Ú ÓÒ Ñ ØÓ ÖÒ ÓÐ ÙÖ Òµ ÒÐ Ø x 3 9x + 0x 3 x x 4 x 3 + 9x 3x + 3 x 4 x 3 9x 3 + 9x 9x 3 + 9x 0x 3x 0x 0x 3x + 3 3x Ú ÓÒ Ò Ú ÐÐØ Ö ÙÐØ Ø Ø q(x) = x 3 9x + 0x 3 Ó ÒÓÐÐÖ ÐÒ Ö Ó Ò ÒÝ Ú Ø ÓÒ Ò q(x) = 0 ØØ Ð º ÍÔÔÖ Ô ÔÖ ÚÒ Ò Ú Ö ØØ x = Ö Ò Ð Ò Ò Ó Ø ÐÐ ÒÒ Ú Ø ÓÒ Ó Ú Ò ØÑÑ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø s(x) = q(x) Ú Ö Ø Ð ØÚº Ú Ò ÒÒ Ú ÓÒ Ò ÙØ Ö Ñ x ØÖ ÔÔ Ø Ñ ØÓ Ò ÒÐ Ø x 7x + 3 x x 3 9x + 0x 3 x 3 x 7x + 0x 7x + 7x 3x 3 3x 3 0

51 ¼ à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ê ÙÐØ Ø Ø Ð Ú ÒÙ s(x) = x 7x+3 Ó Ú Ö Ð Ò ØÓÖ Ö Ú Ø ÓÒ Ò p(x) = (x )q(x) = (x )(x )s(x) = (x ) (x 7x + 3) = 0. ÆÓÐÐÖ ÐÒ Ð Ö ÒÙ Ø ÐÐ ØÚ Ú Ø ÓÒ ÖÒ (x ) = 0 Ó x 7x+3 = 0 ÓÑ Ò ÐØ Ò Ð º Ò Ö Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ù ÐÖÓØ Ò x, = ÒÒ Ö Ù Ö Ò Ð Ø ØÚ ÔÖ ÚÒ Ò ÖÒ Ú ÙØ Ö µ Ó Ò Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ñ Ð Ò Ò ÖÒ x 3,4 = ( 7) ± ( 7) 4 3 = 7 ± 5 4 = 7 ± 5 4 Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ò ÑÒ Ö Ð ØÐ Ò L = {,, 3} º º ÃÚ Ö ØÖ ØØ Ö Ó ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Á ØØ Ú Ò ØØ Ö Ô Ø Ö Ö Ú Ú Ø ÓÒ Ö Ó ÓÐ Ø Ö ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ú Ö ØÖ Ø¹ Ø Ö Ó ÓÐÙØ ÐÓÔÔº Ð Ò Ö Ð Ò Ú Ö Ø ÐÐ ÒÝØØ Ë Ø º º½º ÄØ 0 a, b R Ö ÐÐ Ø Ð ÓÑ Ö Ø ÖÖ Ò ÐÐ Ö Ð Ñ ÒÓÐеº ÐÐ Ö µ a = b a = b º µ a > b a > b º µ a b a b º Ú º µ Ø Ö ÓÑ Ô Ø Ò Ø ÒÒ ÐÐ Ö Ò Ú Ú Ð Ò Ù ÐÖ Ø Ô Ðµ ÐÐ Ñ Ò Ú Ö ØÒ Ò ÖÒ ºÚº ØØ a = b Ð Ö Ø ÐÐ ØØ a = b Ó Ú Ú Ö º ËÐ ÓÑ Ú ÒØ Ö ØØ a = b Ð Ö Ú Ö Ö Ò Ú Ð Ò Ö Ø Ø ÐÐ ØØ a = b Ó Ö Ú Ú Ø a = b a = b º Ò Ö Ò ÓÑ Ú ÒØ Ö ØØ a = b Ñ Ø Ú Ò a b = 0º ØØ Ò ØÓÖ Ö Ñ ÓÒ Ù ØÖ ÐÒ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò (a+b)(a b) = 0º ÒÐ Ø ÙØ Ò ÒØ Ò Ø ÓÚ Ò Ú ØØ a, b 0 Ú Ð Ø ÒØ Ò Ò ØÝ Ö ØØ a = 0 Ó b = 0 ÐÐ Ö ØØ a b = 0 Ö ØØ Ú Ø ÓÒ Ò ÐÐ Ø Ö ÙÔÔ ÝÐÐ µ Ó ØØ ÒÒ Ö Ù ØØ a = bº Î Ö ÐÐØ Ú Ø a = b a = b Ú Ð Ø Ú Ö Ú Ú Ð Ò Òº

52 º º ÃÎ Ê ÌÊ ÌÌ Ê Ç À ËÇÄÍÌ ÄÇÈÈ ½ ÐØ ÖÒ Ø ÚØ ÙÒ Ñ Ò Ö Ø Ö Ø Ñ Ú Ú Ð Ò Ö ÒÐ Ø a = b a b = 0 (a + b)(a b) = 0 a = 0 = b a b = 0 a = b. µ µ Î Ö Ö Ñ Ô Ø Ò Ø a > b a > b º a > b (a+b)(a b) > 0º Ò ØÖÒ ÓÐ Ø Ò ÙØ ÐÙØ Ö ÐÐ Ò a = 0 = b ÑØ a = b Ó Ñ Ø a Ó b Ú Ö ÔÓ Ø Ú Ú Ð Ø ÒÒ Ö ØØ a + b > 0 Ó Ú Ö ØØ a b > 0 a > bº µ ÇÑÚÒØ ÓÑ Ú ÒØ Ö ØØ a > b ÐÐ Ö ÒÐ Ø ÙØ Ò ÒØ Ò Ø ØØ a > b 0 Ó ÐÐ Ö a + b > 0 ÑØ a b > 0 Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ a b > 0 Ó Ò ØÙÖ Ø a > b º µ ØØ Ô Ø Ò Ò Ú Ñ Ø Ú µ ÓÚ Òº Î Ö º º½ a b a = b a > b a = b a > b a b. Ú Ð Ø ÙÐÐ Ú µ Ú Ø ÓÒ Ö Ñ Ú Ö ØÖ ØØ Ö Á Ö Ø Ø Ñ Ú Ø ÓÒ Ö ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ú Ö ØÖ ØØ Ö ÙØÒÝØØ Ö Ú Ø º º½ Ø Ø ÖÑ Ø Ú Ú Ö Ö Ò ÙØØÖÝ Ö ØØ Ð Ú Ñ Ú Ö ØÖ ØØ Öº Ü ÑÔ Ð º º¾º ØÖ Ø Ú Ø ÓÒ Ò x + = x x. Î Ö Ö Ñ ØØ ÙÒ Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ò Ø ÓÒ ÑÒ º ÍØØÖÝ Ø ÙÒ Ö ÖÓØ Ò Ö ÒØ Ð Ò Ø ÚØ ÐÐØ Ñ Ø x + > 0 Ú Ð Ø ÐÐ Ö x Rº ËÐ Ö D = Rº Ø Ö ÓÑ ÖÓØÙØØÖÝ Ø ÚÒ ØÖ Ð Ø ÙÔÔ ÝÐÐ Ö x + > 0 Ñ Ø Ú Ò Ö Ð Ø ÙÔÔ ÝÐÐ ÑÓØ Ú Ö Ò ÓÐ Ø Ó x > 0 x < x x 0º ØØ Ö Ò Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÓÐ Ø Ø Ò Ö ÓÖÑ Ò ÓÚ Òµ ÓÑ Ö Ò Ö Ô ÑÒ Ò R \ {0} Ó Ñ Ø Ò Ñ Ö Ñ Ò ØØ Ð Ò Ò ÑÒ Å Ò Ò Ö Ú Ò ØÒ Ò Ñ Ð Ö Ú Ö ÒØ ÒÑÐ Ò ØØ x + 0 ÓÑ ÙÒ ¹ Ö Ö Ð ÚÐ Ú Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ò Ú Ø Ò º º½ Ñ Ò ÙØ Ò ÒØ Ò Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ú Ò Ð Ø Òº ËÐÙØÖ ÙÐØ Ø Ø Ð Ò Ò Ò Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ö Ò ÑÑ ØÖÓØ ØØ Ð Ò Ò ¹ ÑÒ Ò ÖÒ Ö ÒÙ Ø ÐÐ Ú Ð Ø Ö ÓÒ Ñ Ò Øº

53 ¾ à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ö ], [ ]0, [º Ë ÑÑ ÐÙØ Ø ÓÑÑ Ö Ñ Ò Ø ÐÐ ÒÓÑ ØØ ØÙ Ö ÙÖ Ò Ò Ò Ö Ñ Ò Ö Ø Ö ØØ f(x) g(x) = x Ö ÔÓ Ø ÚØ ÒÒ x ÑÒ º Ë ÑÑ ÒØ Ø Ö Ú ØØ ÚÒ ØÖ Ó Ö Ð Ø Ò ÙÖ ÖÔÙÒ Ð Ú Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓ Ø Ú Ô ÑÒ Ò ], [ ]0, [ Ó ÐÒ x ÒØ Ö ÚÖ Ò ÒÒ ÑÒ Ò Ø Ò º º½ ÙØÒÝØØ Ö ØØ Ú Ö Ö Ð Ò Ó Ð Ú Ñ Ú Ö ØÖÓØ Òº ÇÑ Ö ÚÒ Ò Ú Ö Ð Ø ÑØ Ú Ö Ö Ò Ñ Ú Ö Ý Ò Ò Ö x + = ( x ) x x 4 + x = ( x ) x + 4x = x = ± 4 = ±. Ú ØÚ Ð Ò Ò Ö Ö Ø Ò Ø Ò ÔÓ Ø Ú ÓÑ ÐÐ Ö ÒÓÑ Ð Ò Ò ¹ ÑÒ Ò ÓÚ Ò Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ò Ö x = Ú Ð Ø Ò Ú Ö Ö ÒÓÑ Ò ØØÒ Ò Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ú Ø ÓÒ Òº Ä Ò Ò Ò Ö Ò Ò¹ Ð Ò Ò º Ë Ò ÖÙ Ö ÙÔÔØÖ Ö x¹úö Ò ÓÑ ÒØ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ø Ò º º½ ÙØ Ò ÒØ Ò Ò ÒÑÐ Ò Ø ØØ a, b 0µº º º¾ ÇÐ Ø Ö Ñ Ú Ö ØÖ ØØ Ö ÇÐ Ø Ö ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ú Ö ØÖ ØØ Ö ÒØ Ö ÔÖ Ò Ô Ô ÑÑ ØØ ÓÑ Ú Ø ÓÒ Ö Ñ Ò Ñ Ò Ñ Ø Ú Ö ÒÓ Ö ÒÒ Ñ Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò Ö Ò Ò ÙØØÖÝ Ò Ó ÐÐ Ö Ô Ö ØÒ Ò Ò Ó ÓÐ Ø Ø Ò Øº Á ÐÐ Ø ÖÑ ÖÒ ÓÐ Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ú Ö µ Ñ ØØ Ò Ø ÚØ Ø Ð ÝØ Ö ÓÐ ¹ Ø Ø Ò Ø Ö ØÒ Ò º ØØ Ö ÐÔÑ Ð Ö Ö Ò Ú ÚÒ ØÖ Ó Ö Ð Ø ÓÐ Ø Ò ÓÑ ÐÐÙ ØÖ Ö Ö Ú Ö ÓÐ Ø Ò ÐÐ Öº Ü ÑÔ Ð º º º Î ØÖ Ø Ö ÓÐ Ø Ò x + x < 0. Ö Ö Ñ ØØ ÒÓØ Ö ØØ Ú Ö ØÖÓØ Ò Ö Ò Ö Ò Ø x + 0 Ñ Ò Ø ÖÑ Ò x Ö Ò Ö Ö ÐÐ Ö ÐÐ Ø Ðº ÇÐ Ø Ò Ò ÒÙ ÓÑ Ö Ú ÓÖÑ Ò x + < x,

54 º º ÃÎ Ê ÌÊ ÌÌ Ê Ç À ËÇÄÍÌ ÄÇÈÈ 4 f(x) = x g(x) = x y x ÙÖ º ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ f(x) = Ó g(x) = x Ö Ð Ø Ú Ú Ø ÓÒ Ò x ÓÚ Òº Ö Ú Ö ØÖÓØ Ò ÙÔÔ ÝÐÐ Ö x + 0 Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò D = [, [º ÓÐ Ø Ò ÐÐ Ö Ñ Ö ØØ ØØ 0 x + < x Ú Ð Ø Ö x > 0º ÃÚ Ö Ö Ñ Ò ÓÐ Ø Ò x + < x x x > 0. Ö Ò Ú x x Ö Ò Ô Ö Ð ÓÑ ÔÔÒ Ö ÙÔÔØ Ó Ö x¹ Ü ÐÒ Ö ØØ ÖÒ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò x x = 0 ÓÑ Ö Ñ ÖÓØ ÓÖÑ ÐÒ ÐÐ Ö Ö Ø ÚÐ Ò Ò Ú Ó ÒØ ÖÒ µ Ó º ËÐ Ø Ö ÓÐ Ø Ò x x > 0 Ú ], [ ], [ Ò Ð Ø ÒÓÑ ØØ Ö Ø Ø Ò ¹ Ñ µº Ó ÒÓØ Ö Ú ÓÚ Ò ØØ Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð ÓÐ Ø Ò ÖÚ Ö ØØ ÙÒ Ú ÒÐ Ò Ò Ö Ú Ú Ö Ö Ò Òµ ØØ x > 0 Ú Ð Ø Ö ÐÙØÖ ÙÐØ Ø Ø Ö Ð Ò Ò ÑÒ Ò L =], [º Ü ÑÔ Ð º º º ËØÙ Ö ÓÐ Ø Ò 3 x x. ÃÚ Ö ØÖÓØ Ò Ö Ò Ö 3 x 0 x 3 x 3º ÆÙ Ö Ú Ö ØÖÓØ Ò ÚÒ ØÖ Ð Ø Îĵ ÐÐØ ¹Ò Ø Ú Ñ Ò Ø Ö ÓÑ ÒÒ

55 à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê ÐÐØ ÐÐ Ú Ö Ø ÖÖ Ò ÐÐ Ö Ð Ñ x ÒÒ Ö ØØ Ò Ø ÐÐ Ö Ú Ô Ð Ò Ò ÑÒ Ò ºÚº º D =], 3]º ÍØØÖÝ Ø x Ö Ð Ø Àĵ Ò ÑÝ Ø ÚÐ Ú Ö Ò Ø ÚØ ÙØ Ò ØØ ØØ Ö ÒÐ Ò Ò Öº Ó Ñ Ø Ñ Ò Ø ØØ Ú Ú Ö Ö Ò ÓÑ ØØ Ø º º½ ÐÐ Ö Ò Ø Ö ÔÓ Ø Ú Ø Ðº ØØ ØÝ Ö ØØ ØÙ Ø ÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÚØ ÀÄ Ñ Ø ÙÒ Ö ÐÐغ Ö ÐÐØ x < 0 x < x > 3 x > 3 = 3 x > Ó ÓÐ Ø Ò ÙÔÔ ÝÐÐ ÐÐØ º ÃÚ Ö Ö Ò Ý Ò Ò Ó Ð Ò Ò ÑÑ ØÝÔ Ú Ô Ö Ð ÓÑ Ö Ò Ü ÑÔ Ðµ Ö ÒÙ 3 x (x ) 3 x x x + 0 x x x. Å Ø Ò Ú Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò D =], 3] Ó Ö ÓÒ Ñ Ò Ø Ö Ò Ø ÚØ ÀÄ ÓÚ Ò ÐÙØÖ ÙÐØ Ø Ø L =], ] [, ] =], ]º Ê Ø Ö Ñ Ò ÙÔÔ ÎÄ Ó ÀÄ ÙÖ Ò Ò Ò ØØ Ö ÙÐØ Ø Ø Ö ÓÖÖ Øº 4 f(x) = 3 x g(x) = x y x ÙÖ º ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ f(x) = 3 x Ó g(x) = x ÚÒ ØÖ Ö Ô Ø Ú Ö Ð Ø Ú ÓÐ Ø Ò ÓÚ Òº

56 º º ÃÎ Ê ÌÊ ÌÌ Ê Ç À ËÇÄÍÌ ÄÇÈÈ º º ÓÐÙØ ÐÓÔÔ ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ú ØØ Ø Ð Ò ØÓÐ ÓÑ Ú ØÒ ÖÒ ÓÖ Ó Ô Ø ÐÐ Ò¹ Òº Ú ØÒ Ö Ù ÐÐØ ÔÓ Ø Ú ØØ ÐÐ Ö Ú Ò Ö ÓÐÙØ ÐÓÔÔº Ú Ö Ô Ø Ö Ö Ð Ò Ò Ø ÓÒ º º½º ÄØ x Rº Ö ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ú x { x, ÓÑ x 0 x = x, ÓÑ x < 0 ËÐ ÐÐ Ö Ü ÑÔÐ Ú ØØ ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ú 3 Ö 3 Ø Ö ÓÑ 3 0 Ñ Ò ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ú Ö ( ) = Ø Ö ÓÑ < 0º Î ÒØ ¹ Ö Ò Ú ÙØØÖÝ ÒÒ ÐÐ Ò ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ú ÖÙØÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò Ú Ò Ð Ò Ö Ð Ö ÓÑ Ò Ú ÙØ Ò ÖÒ Ò Ø ÓÒ Òº Ê Ð º º º Ö a, b R ÐÐ Ö ½º ab = a b ¾º a = a b b º a = a Ü ÑÔ Ð º º º ØÑÑ Ö Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú f(x) f(x) = 3x º Î Ö Ö Ñ ØØ Ö Ò Ð ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø ÙØ Ò ÖÒ Ò Ø ÓÒ Ò { 3x, ÓÑ 3x 0 f(x) = 3x = (3x ), ÓÑ 3x < 0 { 3x, ÓÑ 3x = 3x +, ÓÑ 3x < { 3x, ÓÑ x 4 = 3x +, ÓÑ x < 4 Ü ÑÔ Ð º º º ØÑÑ Ö Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú x º Î Ö Ö Ñ ØØ Ö Ò Ð ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ø Ú ÙØ Ò ÖÒ Ò Ø ÓÒ Ò ÓÚ Òº Ñ Ò Ö Ò ØÐ ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ò Ñ Ò Ø ÖØ Ñ Ø ÒÒ Ö Ø ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø ØØ ÐÐ x ÓÑ Ù ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ò ÒØ Ö ÓÐ ÚÖ Ò Ö x 0 Ö Ô Ø Ú x < 0º Î Ö ÙÔÔ ÐÒ Ò Ò

ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾

ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Å Ø Ñ Ø Ò ¾¼½¾¹¼ ¹½ Æ Ö Ò Ð Ð Ö Ò ØÓÖ Æ Ð Ö ÓÒ Ò Ð º Ö ÓÒ Úº ½ ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ñ ÒØ ÙÔÔ Ú Ö Ö Ú Ò

Läs mer

ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ø Ð Ö

ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ø Ð Ö ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ö ÔØ Ú È ¹Ð Ö Ö ØÓ Ö Ê ÑÕÙ Ø Ê Ö Ò Ö Ê Ö Ä ÓÒ Ö Ø Ò Ä Æ Ð ÓÒ Ò Ö Ë ÖÐÙÒ Ù Ø Ú Ì ÒÓ ½¾ Ñ ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ

Läs mer

s N = i 2 = s = i=1

s N = i 2 = s = i=1 ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ ¹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö ËÖ Ôع Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö ÄÓ ÙØØÖÝ Î ÐÐ ÓÖ Ø Ö ¹ Ø Ö Ê Ô Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÐÓÓÔ Öµ ÓÖ¹ Ø Ö Û Ð ¹ Ø Ö ½ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÐ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ØØ ÔÖÓ

Läs mer

Ö ÙÔ ØÙ Ú ÖÖ Ö ÓØÐ Ò Ä Ö ÆÓÖ Ò ËÚ Ö Ñ Ø ÓÖÓÐÓ Ó Ý ÖÓÐÓ Ò Ø ØÙØ ÆÓÖÖ Ô Ò ¾¼ Ñ Ö ¾¼½¾ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ÍØÖ Ò Ò ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò Ö Ö Å ØÓ º½ Ö Ò Ò Ú Ö ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ð ÓÖ

Läs mer

Ì ÆÌ Å Æ ËØ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Á ÌÅ˽ ¼ ÑÒ Ò Ò ½ Ñ Ö ¾¼¼ Ð Ô Îº ÂÓÙÖ ÂÓ Ò Ù Ø Ú ÓÒ Ò Òº ½ À ÐÔÑ Ð ÍØ Ð ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ö Ì Ô ÙÖ Ò ÒÚÒ ÓÖ Ð Ø Ó ØÝÔ Ó Ò Ö Ò Ó º ÈÓÒ Ö Ò Ò ÍÔÔ Ø ÖÒ Ö Ú ÖÚ Ð ØÝÔ Ö Ò Ø ØØ ÐØ

Läs mer

ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú

ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Å Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ØÝÔ Ö Ó Ú Ö Ð Ö Î ØÓÖ Ö»Ð ØÓÖ ½ ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ

Läs mer

f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0

f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0 ½»¾¹¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ñ ØÖ Ö Ë Ø ÙØ Ö Ú p(a) Ö p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ ÆÙ ÐÐ Ú Ú ÙÖ Ñ Ò Ò Ò Ö f(a) Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ö f(x) ÓÑ Ò Ú Ö ÒØÖ Ö f(x) = f t (x) = e tx ÓÑ Ö e ta Ö ËÝ Ø Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ

Läs mer

x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2

x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2 ÅÐ Ö Î ½ ½º ÒØ Ñ Å ÔÐ º ¾º Î Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ð Ö º º ÇÐ ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÒ Ö ÔÐ Ò Ø»ÖÙÑÑ Øº µ ÁÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ø Ö Ð Ñ Å ÔÐ Ð Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ö µ ÐÐ Ø Ü Ð Ò Ö Ó Ò Ö Ö ÙÖÚÓÖ º Á Å ÔРй Ð Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ô ÙÖ ÙÖÚ

Läs mer

Ö Ò histogramtransformationº

Ö Ò histogramtransformationº ÍÐØÖ Ð Ù Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÌË ½ Å Ò Ð Ö ÍØÚ Ð Ú Å Ø Ò Ö ÓÒ ÁÅ̵ ¾¼½ ÍÔÔ Ø Ö Ú Å Ö Å ÒÙ ÓÒ ÎÄ ÁË µ ¾¼½ ÓÒØ ÒØ ÍÔÔ Ø Ò Ä Ò Ê ¹ Ø Ò Ê ÒÒ ØÖÐ Ó ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ Ñ Ú Ö ØÙÖ ËÙ ÑÔÐ Ò Ò

Läs mer

ÁÒÒ ÐÐ Á ÝÖ ÖÒ ÓÑ ËÙÖ Ð¹ Ö ÓÑ ØØ Ö ÁÁ ÌÖ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ó Ò Ð Ø Ö ÁÁÁ йÀ Ò Ö Ñ Ö Ð ÓÒ ÁÎ Ò Ö Ø ÖÙÒ Ò Î Ò Ò Ö ÖÙÒ Ò ÃÒÒ ÓÑ ÓÑ ÚÖ Ö Ð ÓÒ Á ¹ Ð Ñ

ÁÒÒ ÐÐ Á ÝÖ ÖÒ ÓÑ ËÙÖ Ð¹ Ö ÓÑ ØØ Ö ÁÁ ÌÖ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ó Ò Ð Ø Ö ÁÁÁ йÀ Ò Ö Ñ Ö Ð ÓÒ ÁÎ Ò Ö Ø ÖÙÒ Ò Î Ò Ò Ö ÖÙÒ Ò ÃÒÒ ÓÑ ÓÑ ÚÖ Ö Ð ÓÒ Á ¹ Ð Ñ ØÖ ÖÙÒ ÖÒ Ë Ý ¹ÙйÁ Ð Ñ ÅÓ ÑÑ Á Ò Ð¹Ï Á ÐÐ Æ ÑÒ Ò Æ Ö Ò ÖÑ ÖØ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÐÐ Ö Ñ Ö Ø ÐÐ ÐÐ Ó Ñ Ö Ó ÚÐ Ò Ð Ö Ú Ö Ñ ÈÖÓ Ø Ò ÅÓ ÑÑ º ØØ Ö ØÖ ÖÙÒ ÖÒ ÒØÐ Ò Ø Ò ÖÒ ÖÙй Ø ºÓÑ Ñ Ö Ø ÐÐØ Ð ÓÑ Ö Ú Ò Ñ Ð Ø Ö Ð

Läs mer

u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ)

u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ) Ã Ô ¹ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÌÚ ÖÙÒ ÔÖ Ò Ô Ö Ö ØØ Ý Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ö Ó Ø µ Ý Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ý º ÒÚÒ Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ð Ò Ò Ö Ð Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ö Ø Øµº Á Ð Ò Ú ÝÔÓØ Ö Ó ÑÔ Ö Ñ Ò µº Ë Ã Ô ¾ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÒ Ø Ò ÑÒ ËÝ Ø Ñ

Läs mer

Î Ö Ä Ì ½º Ì Ö Ò Ø Üع Ð ÓÑ ÒÔÙغ ¾º ÈÖÓ Ö Ö Ð Ò Ó ØÑÑ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò Øº º Ö ÙØ Ò ÎÁ¹ Ð Ú ¹ÁÒ Ô Ò Òصº º ÎÁ¹ Ð Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ò È ¹ к

Î Ö Ä Ì ½º Ì Ö Ò Ø Üع Ð ÓÑ ÒÔÙغ ¾º ÈÖÓ Ö Ö Ð Ò Ó ØÑÑ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò Øº º Ö ÙØ Ò ÎÁ¹ Ð Ú ¹ÁÒ Ô Ò Òصº º ÎÁ¹ Ð Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ò È ¹ к ÐÐÑÒØ ÓÑ Ä Ì Ä Ì Ö Ò Ú Ö ÙØÚ Ð Ò Ú Ì ¹ Ý Ø Ñ Ø ÓÑ ÙØÚ Ð Ô ¼¹Ø Рغ Ì ÐÐØ Ö ØÚ Ò Ö µ Ö ÒØ Ò ØØ ØÒ Ñ Ö Ô ÒÒ ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ò º Ò ÐØ ØØ Ô ØÖÙ ØÙÖ Ö Ó ÙÑ ÒØ ÁÒÒ ÐÐ ÖØ Ò Ò ÃÐÐ ÖØ Ò Ò ÓØÒÓØ Ö Ê Ö Ò Ö ØÓ Ø Ò Ö

Läs mer

ÈÖÓ Ö ÑÚ Ö Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÑ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ò Ã Ò Ø Ö Ø ÒÓÑ Ú Ð Ò Ò Ö ÙØ Ð Ò Ò Ò Ú ÐÑ Ö ÂÓÒ Ø Ò Ð Ø Ø ÝÐÐ Ö Ò Ø ÒÒ ÙÖ Ö Ò Ê ÑÐ ÂÓ Ò Î ÐÐÝ ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ú Ø Ò Ô Ö ÐÑ Ö Ø Ò ÓÐ Ø ÓÖ ÙÒ Ú Ö

Läs mer

Verktyg för visualisering av MCMC-data. JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK

Verktyg för visualisering av MCMC-data. JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete Stockholm, Sverige 2010 Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete i datalogi om 15

Läs mer

Dlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) =

Dlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) = ÃÓÑÔ Ò ÙÑ ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ú Å Ð Ò À Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ Ó ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ ÁÒØ Ö Ð Ö ¾º½ Ö Ú Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ

Läs mer

Föreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen.

Föreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen. Ä Ò Ö Ó ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ö Ò Ö Ö Ã Ð Å Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ Ö Ð Ò Ò ½ Æ ÙÖ Ð ÒØÚ Ö ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ È Ö ÔØÖÓÒ Ð Ö Ð Ö ËÙÔÔÓÖØ Î ØÓÖ Å Ò ÀÓÔ Ð ÓÐØÞÑ ÒÒÑ Ò Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØØ ÒÝØØ Ö Ò Ò ØØ È Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ø Ö Ò Ø ÁÒÐÖÒ Ò ÇÔØ

Läs mer

2E I L E I 3L E 3I 2L SOLUTIONS

2E I L E I 3L E 3I 2L SOLUTIONS Ä Ò Ô Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ú ÐÒ Ò Ò Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ Ò Ð Ä ÖÑ Ö Ð Á Ì ÓÖ Ð Á ÒÙÑÑ Ö Ì ÆÌ Å Æ ÌÅÅÁ½ ¹ ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÖÙÒ ÙÖ ¾¼½ ¹¼ ¹¾ ½ ½º Ò Ö ØØ ÙÔÔÐ Ð ÓÖ Ú ØÐ Ö ØØ Ú Ò ÐÙÑ Ò ÙÑÔÖÓ Ðº ÒÒ Ð Ð Ø Ñ Ò ÔÙÒ ØÐ Ø F Ô Ñ Øغ ÀÙÖ

Läs mer

Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ

Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô Ó ÐÖ Ò Ú ÐÒ Ò ÁÒ Ø ØÙØ

Läs mer

ËØÝÖÒ Ò Ú Ð Ò Ñ Ò ØÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö ÁË ÓÖ ÓÒ Ý Ø Ñ ½ Ù Ù Ø ¾¼¼¾ ÂÓ Ò Ð Ò ÜÜÜÜÜܹÜÜÜÜ È Ö Ö ¼ ½½¹ Ô ÖÓ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ Ð Ò Ò ¾º½ ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÀÖ

Läs mer

ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ

ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¹ ¾¼½ Ò Ø ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ + Ú º º Ý Ø ÑØ Ò ÁÒ Øº º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ø + ÈÓÛ Ö ËÝ Ø Ñ ÀÎ ÄÙ Ú ½ Ñ Ö ¾¼½ ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò

Läs mer

¾ ½ ½¼ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ø Ò Ö Ì½ Ä ÓÖ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ø ¾¼¼¼»¾¼¼½ ÝÐÐ ØØ Ò ÑÒ Ó Ô Ö ÓÒÒÙÑÑ Ö Ñ Ð ÐÐ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò º Ç Ë ÇÑ ÒØ ÒÒ Ú ØØ Ò Ø Ñ Ú Ö ÓÚ Ò Ò Ò Ö Ù Ò Ò Ú ØØ Ò Ö Ùй Ø Ø Ø Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò Ý Ø Ñ

Läs mer

0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n

0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ È ÚÓ Ë ÐÑ Ò Ò ÒÙ Ö ¾¼½¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÒÓÐ Ø ÑØØ ¾ ¾ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÇÑ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Ò ½¼ º½ ÈÓ ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÓÑ Ð Ö ÐÒ Ò º ½½ º¾ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ó ÖÙØ Ó

Läs mer

Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring

Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring Emma Södergren Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2012:9 Matematisk statistik December

Läs mer

Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Ø

Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Ø Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Øº Ö ÑØ º ÌÀÆÇ»ËÍÆ Ì Ë ½ ÓÔÝÖ Ø ÅÒ Æ Ð ÓÒ ¾¼¼¾ À ØÓÖ

Läs mer

Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem

Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem Avdelning för datavetenskap Andréas Jonsson Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem Introduction of object oriented patterns to increase software modifiability

Läs mer

ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼

ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Î ØÙ Ö Ö Ò Ñ ØÓ Ö ØÑÑ Ò Ú ÔÙÒ Ø Ú Ö Ò ØÑÑ

Läs mer

σ ϕ = σ x cos 2 ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ xy sinϕcos ϕ

σ ϕ = σ x cos 2 ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ xy sinϕcos ϕ ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ì Ò Ñ Ò Ú º Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ù Ù Ø ¾¼½¾ ½ ËÔÒÒ Ò Ö τ σ ÆÓÖÑ Ð ÔÒÒ Ò σ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ò ØØÝØ Ë ÙÚ ÔÒÒ Ò τ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÒØ ÐÐØ Ø ÐÐ Ò ØØÝØ ËÔÒÒ Ò

Läs mer

Stapeldiagram. Stolpdiagram

Stapeldiagram. Stolpdiagram Á Î Ù Ð Ö Ò Ö Ñ ¹ Ö Ö Å ØÖ Ö Ó Ð Ö ÇÖ ÒØ Ö Ò º Ä ÐÚºµ ½ À ØÓ Ö Ñ Ó Ø Ô Ð Ö Ñ Å ÓÑÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ñ Ó Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ø Ô Ð Ö Ñ Ö Ô Ø Ú ØÓ Ö Ñº ØÓÐÔ Ö Ñ ËÝÒØ Üº Ö Üµ Ê Ø Ö ØØ Ø Ô Ð Ö Ñ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ò Üº Ø Ñ Üµ Ê Ø

Läs mer

Ð ËÅ ½¹½¾¹¼¾ ½ ÅØØ ØÐ ÔÔÒÒ ÇÖÖÒÒ ÖÐÖ ÑØØ ÔÔÒØ ÐÓÒ ½º¾ Ñ ¼ ØÒÓÐÓÖ ÒÖÚÖÒº ¾ ÓÖÑÐ µ ÌÐÐ ÑØ ÓÖÖÒ ÚÐ ÓÖ ÂÓÑ ÅÐÐ ÚÖº µ ÌÐÐ ÑØ ÖØÖÖ ÚÐ Ö ÒÒ Ö ÓÒ ÚÖº µ ÌÐÐ Ù ØÖÒ ÑÒ ÚÐ ÌÓÑ ÏÖ ÜØÙ ÑÙ ÑØ ÂÓÒ ÀÖ ØÖØÙ ¹ ÑÙ º µ ÁÒ

Läs mer

ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½

ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ

Läs mer

Ø Ú Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ç Ð ÓÒ ² Ñ Ð À Ú Ð Ö Ò Ú Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø Ö Ø ÓÑ ÖÚ Ö ØØ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ü Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ôº ÐÐØ Ñ Ø Ö Ð ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ð Ø ÒØ Ö ÚÖØ Ø Ö Ð Ú Ø ØÝ Ð Ø ÒØ Ö Ø Ó Ò Ø

Läs mer

ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼

ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ¾ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ö Ò Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ö Ú

Läs mer

Självorganiserande strömningsteknik

Självorganiserande strömningsteknik Självorganiserande strömningsteknik i Viktor Schaubergers fotspår Lars Johansson Morten Ovesen Curt Hallberg Institutet för Ekologisk Teknik Forskningsrapporter 1 Malmö - 2002 Ë ÐÚÓÖ Ò Ö Ò ØÖ ÑÒ Ò Ø Ò

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 1 maj 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström En brevväxling: Olle Häggström och Anders Hallberg Uppsala Gästabud: Ulf Persson Uppsalas

Läs mer

¾

¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ Ò Ö ÀÓÐ Ø ¾ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ

Läs mer

ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½

ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½ ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð ¹ Ò Ð Ò Ôº Ì˵ Ö ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø Ò Ö Æ ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó

Läs mer

ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½

ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½ ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½ ÊÇÊ Ì ÖÑ Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö ØØ ÑÝ Ø Ö ØØ Ô ØÖÙÑ Ú ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÑ Ô ØØ ÐÐ Ö ÒÒ Ø ØØ

Läs mer

ÃÓÑÔÙØØÓÒÐÐ ÁÒØÐÐÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ Ê ËÚÒÖ ÖÞ ÅÙ Ø ÀÒ ÇÐÓ ÓÒ ÑÖ ¾¼¼¾ ÁÒÒÐÐ ½ ËÝØØ Ñ ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ ÌÓÖ ÒÐÝ º½ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÅÖ ÖÙ º º º º º º º º º º º º

Läs mer

1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210

1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210 ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Å»Ì Æ Ð Ö ÓÒ ¾¼½¾¹¼ ¹¾ ½ Á Ñ» ܺ ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º Ì ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ È. Î Ò ÐÑØØ Ø Ö Ò Ö Ë ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò º Ò Ø ÓÒ Öº ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ Ø Ø Ö ÌÖ Ò Ð

Läs mer

Multivariat tolkning av sensordata

Multivariat tolkning av sensordata Multivariat tolkning av sensordata Totalförsvarets forskningsinstitut, FOI Hanna Smedh Examensarbete i matematisk statistik 3, 30 högskolepoäng Vt/ht 2009 Handledare: Peter Anton, Leif Nilsson och Pär

Läs mer

½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº

½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº Æ Ö Ø Ö Â ÒÙ Ö ¾¼¼ ½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº Ö ÒØÞ Ö Ð Ó Ð Û Ñ Ð Û ÓÒ Ò ÓØØ

Läs mer

Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÃÓ ÑÓÐÓ ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ÙѺ ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ö Ø Ð ÜØ Ö Ú Ñ¹ Ñ ØÖÐÒ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ó ÒØ Ñ Ò ØÖÓ ÓÑÑ ÙÖ ÓÐÐ Ó

Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÃÓ ÑÓÐÓ ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ÙѺ ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ö Ø Ð ÜØ Ö Ú Ñ¹ Ñ ØÖÐÒ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ó ÒØ Ñ Ò ØÖÓ ÓÑÑ ÙÖ ÓÐÐ Ó ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ Ú ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ò ØÙ ØØ Ú ÍÒ Ú Ö ÙÑ Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò Ú Ò Ë Ó Ó Ø º Ö Ö Ò Ð Ö ÖÓ Ø º Ë ½¼ Ü Ñ Ò Ö Ø ÒÓÑ Ø Ò Ý ÖÙÒ Ò Ú ½ ¼ Ô À Ò Ð Ö Ð Ü ÊÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ë ÓÐ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò

Läs mer

Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur

Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LUNDS UNIVERSITET Avd Byggnadsmaterial Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur Tina Wikström Rapport TVBM-5084 Lund 2012 ISRN: LUTVDG/TVBM--12/5084--SE (1-66) ISSN:

Läs mer

ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ø ÑØ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ü Ñ Ò Ö Ø Ö ØØÖ Ò Ú ÙÓÖÓ ÓÔ Ð Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ÙØ ÖØ Ð Ò Ð Ò Ú Ì Ò ÓÐ Ò Ä Ò Ô Ò Ú À Ò ÖÓÐÙÒ ÄÁÌÀ¹ÁË ¹ ¹¼» ¾ ¹Ë Ä Ò Ô Ò ¾¼¼ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ä Ò Ô

Läs mer

Ï Ö Ð Ä Æ Ò Ò ÐÝ Ó Ø Ë ÙÖ ØÝ Ò Æ Ó Á ¼¾º½½ ¹ À Ò Ð Ò Ò ÙÖ Ò ¾¼¼½ ÌÓ ÂÓÒ ÓÒ Ø Ó º Ø º Ö ÈÖÓ Ø Ø Ø ÊÓÝ Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÃÌÀµ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å ÖÓ Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý ÁÅÁ̵ Á ÓÖ Ø Ò ½ ¼ Ã Ø ËÛ Ò

Läs mer

ËÐ ½ ØØ ÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÐØ ÓÑ ÖØ ÖÒ Ð ËÐ ¾ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ÆÙÑÖ Ð ÒÒ ÔÖÒÔ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ÒÐÒÒ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ

Läs mer

Från det imaginära till normala familjer

Från det imaginära till normala familjer Från det imaginära till normala familjer Analytiska konvergenser Linnea Widman Vt 2010 Examensarbete 1, 15 hp Kandidatexamen i matematik, 180 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik ÖÒ

Läs mer

Ø Ú Ø Ò Ô ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ¾¼¼¼ Ö ØØ ÖÒ Ó Ã ÖÐ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2011 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Intervjuer: Raghunathan, Björner, Laptev Popular Mathematics: Ulf Persson John Milnor -

Läs mer

ËÐ ½ ÁÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ËÐ ¾ ÈÖÒÔ Ö ÒÙÑÖ Ð ÒÒ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ Ô ÚÖ ÐÒØÖÚÐÐ [Ü Ü+]

Läs mer

Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼

Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ú ÙÒ ÙÐ Ø Ø Ø Ð Ö Ð Ð Ò ÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ

Läs mer

¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½

¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½ Ó ÙÚÐ º Ú ÓÖ ÓÖ ØÓÚº Ú Ö Ø Ò Ò Ø Ò Ö Ù Ù Ø ¾¼¼½º ¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½ Á Ö Ø

Läs mer

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò ½½ ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖ Ò Ô ËÎ ÓÒÒ ØÖ Ð ØÖÙØÙÖ ³ÙÒ Ö Ú ÓÒÒ ØÖ Ð ÙÖ Ë ÚÓ Ö Ö ÖÓÙÔ Ö ÙÒ

Läs mer

Ú Ö Ö ÐÒ Ö ØØ Ö Ú Ø Ú Ò Ò ¹ Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ö ¹ Ø Öº ËØÝÖ Ú ØØ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ò ÑÓØ Ð ÙÐÐ º Á Ó Ç ÓÐ ÔÖ Ð Ú ÝÒº ÍÒ Ø Ö ÖÒ ÐÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ò ÀÓÑ ÖÓ Ö Ø

Ú Ö Ö ÐÒ Ö ØØ Ö Ú Ø Ú Ò Ò ¹ Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ö ¹ Ø Öº ËØÝÖ Ú ØØ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ò ÑÓØ Ð ÙÐÐ º Á Ó Ç ÓÐ ÔÖ Ð Ú ÝÒº ÍÒ Ø Ö ÖÒ ÐÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ò ÀÓÑ ÖÓ Ö Ø ÒØ Ò Ò Ö ÄÎ ÂÓ Ò Î ÐÐ ÙÑ Ñ Ö ¾¼¼ ÒÑÖ Ò Ò Ö Å Ò Ó ÙÐÐ ÓÖ ÒØ Ò Ò Ö ÑØ Ò Ø Ò Ò Ö ½ ½º½ ÐÐÑÒØ ÀÓÑ ÖÓ ÁÐ Ò Ó Ç Ý Ò ØÚ Ð Ö Ú Ò ØÖÓ Ò Ý ÐÒ ÓÑ ØÓ Ú ÔÓ º ÁÒØ ÑÝ Ø Ú Ö Ø ÖÒ ÒÒ Ú Ö º ÁÐ Ò º ¹ ¼ Ç Ý Ò º ¼ Ö Ò Ö º

Läs mer

( ) = 3 ( + 2)( + 4) ( ) =

( ) = 3 ( + 2)( + 4) ( ) = ÊÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÔØÐ ÓÑÔÒØ º½ ËÖÚ Ý ØÑÒ ÒÒ Ô ØÐÐ ØÒ ÓÖѺ ÒØ ØØ Ù Ö Ò ÒÐ Ó Ý ÙØ ¹ Òк µ µ Ý(Ø) + Ý(Ø) 2 Ý(Ø) + 3 Ý(Ø) 5 µ 4 Ú(Ø) + 5Ú(Ø) 2 Ý(Ø) + 2Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ú(Ø) + 2Ú(Ø) 3 Ý(Ø) + 7 Ý(Ø) + 4Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ý (3)

Läs mer

G(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1)

G(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1) ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ËÁÃÍÅ ÎÆÁÆ ËÄ ÇÊ ÌÇÊÁ Ì Ê ËÈÊÁ ÆÁÆ ¹ Á Á Ê ÃÌÁÇÆËÅ ÆËÌ Ê ÎÁ Ê ÆÌ Æ Á Ê ÃÌÁÇÆ ÆÄÁ Ì ¹Ë À ÊÊ ÊË Å ÌÇ ½ºÁÒÐ Ò Ò º ÃÓÖØ ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ÖÙÒ Ð Ò Ø ÓÖ ºµ Ç º ÒÒ ÒÐ Ò Ò Ö ÒØ Ú ØØ ÙØ ÖÐ Ø Ö

Läs mer

x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0

x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 2011-12-13 kl 1419 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade

Läs mer

Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖ Ö ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐ Ö Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ø Ò ÓÐÓÖ

Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖ Ö ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐ Ö Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ø Ò ÓÐÓÖ ÅØÑØ ØØ Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖÖ ¾ ÙÙ Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐÖ Ó ØÐÐÖ ØÐÐ ÅØÑØ ØØ Ø Ô ÙÒÚÖ ØØ Ó ØÒ ÓÐÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ÄÓÖÑ ÒÒÓÐØ ÖÐÒÒ Ô ØØ ÒÐØ ÙØÐÐ ÖÙÑ Ë ÇÑ ÐÐ ÙØÐÐ Ö Ð ÒÒÓÐ ÐÐÖ Ö Ò ÒÐ ØØ È µ Ò µ Ò Ëµ ØØ Ö Ò Ð ÒÒÓÐØ ÒØÓÒÒº

Läs mer

Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º

Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º ÇÒ ½ Û Ö Ú Ò Ö Ò ÓÑ Û Ð Û Ø º º º ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ö Ò ÓÑ

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Dinner with the Devlin: Persson Logikern Pelle Lindström död: Dag Westerståhl More Sex.

Läs mer

1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt

1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt Ë Ñ Ò ÖÚÓÖØÖ Ö Ð Ó ÓÒ ËØÖ Ò Ò Ö ÖÓ Ö Ø ¾½º Å ¾¼¼ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÏÓÖÙÑ Ø³ ¾ ¾ Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò ¾ ¾º½ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ º º º º º º º

Läs mer

u(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω)

u(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω) Ã Ô Ø Ð ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØØ Ö Ã Ô Ø Ð Ø ÐÐ ÓÑÔ Ò Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ó Ö Ø Ñ Ô Ø ÒØ Òº Á Ô Ø Ð ¾ ÙØ Ö Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÙÖ Ñ Ò ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ö Ñ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Öº Î Ö Ó ÒØ Ø ØØ ÑÓ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÝÒ Ñ ÑÓ

Läs mer

ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ

ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ã Ò Ø Ö Ø Ú Ð Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ø Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø ¹ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò Ú ÐÒ Ò Ò Ö ØÓÖØ Ò À ÄÅ

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 februari 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm What should a Mathematician Know?: Davis & Mumford Två klassiska läroböcker i analys:

Läs mer

º º ËÝÒ ÔØ ÔÐ Ø Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Æ ÙÖÓØÖ Ò Ñ ØØ Ö º º º º º º º º º º

º º ËÝÒ ÔØ ÔÐ Ø Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Æ ÙÖÓØÖ Ò Ñ ØØ Ö º º º º º º º º º º Æ ÙÖÓ Ý ÓÐÓ ¹ Ò ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ Ú Ö ÓÒ ¼º½¾ Ò Ø Ä ÙÒ ÕÙ Ø ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ö Ö Ò Ö Ú Ú Ø Ø ÓÒ ÔØ Ò ÓÑ Ö ÓÑÑ Ö Ã Ò Ð Ë Û ÖØÞ ² Â Ð Ó ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ ½

Läs mer

Imperativ programering

Imperativ programering Imperativ programering Lösningen till Inlämningsuppgift 1A sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 21 juni 2007 1 Program 1 1.1 C - غ ÒÙ Ø Óº ÒÙ Ø º ÒØ Ñ Ò µ Ö ÓÖ ³ ³ ³ ³ µ ÔÖ ÒØ ± µ ÔÖ ÒØ Ò µ Ö ØÙÖÒ ÁÌ ËÍ ËË

Läs mer

Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓ

Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓ Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓÔ Ë Û ÖÞÛ ÐÐ Ö ÌĐÙ Ò ½ Ì Ö ÑĐÙÒ Ð Ò ÉÙ Ð Ø ÓÒ ½ º½¾º½

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2008 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Brändén och Karlsson Wallenbergpristagare: Borcea och Benedicks Lund under luppen: Magnus

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 januari 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström Mittag-Lefflers testamente: Arild Stubhaug Reminiscenser av Mittag-Lefflerinstitutet:

Läs mer

Tentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi

Tentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi Ì ÒØ Ñ Ò ÌÅÅ ¾ Ì Æ½µ Å Ò Ö Ì ÒØ Ñ Ò ØÙÑ ¾¼½ ¹¼ ¹½ к ½ ¹½ º Ü Ñ Ò ØÓÖ Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº ÂÓÙÖ Ú Ò Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº Ì Ð ÓÒ ¼½ ¹¾ ½½¾¼º Ö Ø ÒØ Ñ Ò ÐÓ Ð Ò Ðº ½ Ó ½ º ¼º À ÐÔÑ Ð Ê ØÚ Ö ØÝ ÑØ ØØ ¹ Ð ÓÖµ Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ò

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 november 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm ICM 2010 - Hyderabad: Ulf Persson The Good, the Bad and the Ugly: Bill Casselman Platons

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Intervjuer: Lithner och du Sautoy: Ulf Persson From Sweden with Love: An Yajun Boij och Nyström

Läs mer

huvudprogram satser funktionsfil utparametrar anrop av funktionsfil satser satser

huvudprogram satser funktionsfil utparametrar anrop av funktionsfil satser satser Á ÈÖÓÖÑ ØÖÙØÙÖ Ð ÒÒ ½ ÀÙÚÙÔÖÓÖÑ Ó ÙÒÖÔÖÓÖÑ ÆÖ ÑÒ Ð Ö ØÓÖ ÔÖÓÐÑ Ö Ö ÑÒ ÓØ Ð ÙÔÔ ÔÖÓÐÑØ ÐÔÖÓÐѺ ËÒ ÖÚÖ ÑÒ Ò Å¹Ð Ö ÚÖ Ðº ÌÝÔ Ø ÖÚÖ ÑÒ Ò ÓÑÑÒÓл ÖÔØÐ ÓÑ ÐÐ ÙÚÙÔÖÓÖѵ ÓÑ ÒÖÓÔÖ ÙÒØÓÒ ÐÖ ÓÑ Ó ÐÐ ÙÖÙØÒÖ ÐÐÖ ÙÒÖÔÖÓÖѵº

Läs mer

B:=0; C:=0; B:=B+2; C:= 0; B>0 -> B:= B-2; B>0 -> B:= B-2;

B:=0; C:=0; B:=B+2; C:= 0; B>0 -> B:= B-2; B>0 -> B:= B-2; ËÝÑ ÓÐ Ò ÐÝ Ó ÌÖ Ò Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÁÒÚ Ø Ô Ô Ö Ø Ø Ëž¼¼¼ ÏÓÖ ÓÔ Æ Ø Ö Ò Ë Ò Ö ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ËÊÁ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Å ÒÐÓ È Ö ¼¾ ÍË Ò Ö ÓÛÖ Ðº Ö ºÓÑ ÍÊÄ ØØÔ»»ÛÛÛº к Ö ºÓÑ» Ò Ö» È ÓÒ ½ ¼µ ¹ ¾ ¾ Ü ½ ¼µ ¹¾

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm 19P 10P 2P 11P 20P 29P 6P 15P 24P P 25P 16P 7P 30P 21P 12P 3P 26P 17P 8P John Tate - Abelprisvinnare:

Läs mer

Â Ú ËÖ ÔØ ÇŠغ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼

Â Ú ËÖ ÔØ ÇŠغ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼ Â Ú ËÖ ÔØ Øº Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ò ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ ÔÖ Ò Ô Ù Ë ÚÓ Ö Ò Ú Ù Ö Ò Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö ÙÒ ØÝ ³ÙÒ Ñ ÒØ Ù Ë ÚÓ Ö ÓÖ Ö ÙÒ

Läs mer

arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008

arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁËÃ Ê ÈËÇ Á arxiv:0809.0708v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008 Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò º Ö Ð Ò Ò Ð Ö Ò ËÔ ÐÐ Ê Ð Ø Ú Ø Ø Ø ¹ ÓÖ Ò Ñ ØÓÖ ÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÑØ Ú Ö Ö ØØ ÑÓ Ö Ø ÓÖ Òº ÌÖÓØ Ñ Ö Ò ÙÒ Ö Ö Ô Ò Ò ÒÒ Ø Ò Ø ÓÑ

Läs mer

¾¼ Ë Ò ÓÐ ÖØ Ö Ò ÓÒÒ Ö ËØÓ ¹ ÓÐÑ ½ ¼ º ½½ º Í ÍÍ Ë ÄÍÅ ÆÍ Å Ú Ò ØØ Ö Ú Ë Ö ØÖ Ñº ÀÒÚ ÖÒ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¼½ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ¾º ¾½ Ö À Ò ËÚ Ò Ú Ö º ÍÖ ÇÖ Ó

¾¼ Ë Ò ÓÐ ÖØ Ö Ò ÓÒÒ Ö ËØÓ ¹ ÓÐÑ ½ ¼ º ½½ º Í ÍÍ Ë ÄÍÅ ÆÍ Å Ú Ò ØØ Ö Ú Ë Ö ØÖ Ñº ÀÒÚ ÖÒ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¼½ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ¾º ¾½ Ö À Ò ËÚ Ò Ú Ö º ÍÖ ÇÖ Ó Ë ÙÖ Ö ÐÐ Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò Ö Ö ÐÐ ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Á Ë Ð Ò ½ ½ Ë Ð Ð Ø ÐÓ Ð³ Ô ÖÓ Ì ÐÐ ÓÔÔ Ø Ø Ö¹ Ò µº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ÒÖ ½ º Ø Ô Ô Ö ÒØÓº Ë ÑÑ ÔÙ Ð Ø ÓÒ ÓÑ ½ ¼º ¾ Ë Ô Ö ÑÓ Ô Ö Ñµº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ¹ ÒÖ ½ º ÃÓÖØ

Läs mer

a = ax e b = by e c = cz e

a = ax e b = by e c = cz e ËÁÃÍÅ ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÈÊÇ Ä ÅË ÅÄÁÆ Ê ÃÇÆ ÆË Ê Å Ì ÊÁ ÆË ËÁà РÁ Ĺ ½ ½º ÃÖ Ø ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ½¹½º ÃÓÔÔ Ö Ö ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ó Ò Ø Ø Ò º»Ñ 3 º Ö Ò Ñ ÐÔ Ö Ú µ à ÒØÐÒ Ò Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Òº µ Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ

Läs mer

Tmem. ::= {mem data := Tmem data ;mem free := Tmem free ;mem null := Tmem null ;mem code := Tmem code }

Tmem. ::= {mem data := Tmem data ;mem free := Tmem free ;mem null := Tmem null ;mem code := Tmem code } ÓÖÑ Ð Î Ö Ø ÓÒ Ó Å ÑÓÖÝ ÅÓ Ð ÓÖ ¹Ä ÁÑÔ Ö Ø Ú Ä Ò Ù Ë Ò Ö Ò Ð ÞÝ Ò Ú Ö Ä ÖÓÝ ÁÆÊÁ ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò ßË Ò Ö Ò º Ð ÞÝ Ú ÖºÄ ÖÓÝÐ ÒÖ º Ö ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ÓÖÑ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÕ ÔÖÓÓ Ø ÒØ Ó Ñ ÑÓÖÝ

Läs mer

Imperativ programering

Imperativ programering Imperativ programering Inlämningsuppgift 1 sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 12 juni 2007 1 Deluppgift A Nedan finns fem program skrivna i fem olika språk. Er uppgift är att skriva alla fem programmen i

Läs mer

ÍØÚÖ Ö Ò Ú ËË ¹ Ò Ð Ö Ò ÓÑ Ö Ö Ò Ò Ø Ð ÓÔ Ö Ø Ö ÓÔ Ö Ø Ú Ú Ö Ñ Ø Å ØØ Ë Ð Ò Ö Ñ ¾¼¼ Å Ø Ö³ Ì Ò ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò ¾¼ Ö Ø ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Ø Ë¹ÍÑÍ Â ÖÖÝ Ö ÓÒ Ü Ñ Ò Ö È Ö Ä Ò ØÖ Ñ ÍÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò Ë

Läs mer

Article available at or

Article available at   or Å Ø º ÅÓ Ðº Æ Øº È ÒÓѺ ÎÓк ÆÓº ¾ ¾¼¼ ÔÔº ¾ ¹ ÅÓ ÐÐ Ò ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ê ÙÐ ØÓÖÝ Æ ØÛÓÖ Ò ÖØ Ð Ø Ö º Ë Ò Þ¹ a,c º È Ö ÓÒ a ºź È b Ò º ÐÓÒ ½,a,c a ÄÁÊÁË ÆÊË ÍÅÊ ¾¼ ÁÆË ¹ÄÝÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÄÝÓÒ ¾½ Î ÐÐ ÙÖ ÒÒ Ö Ò

Läs mer

Errata. by Afif Osseiran. August 17, 2006

Errata. by Afif Osseiran. August 17, 2006 Ú Ò ÒØ ÒÒ Ò Ï Ö Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó¹ÐÓ Ø ² ØÖ ÙØ Á ÇËË ÁÊ Æ ÓØÓÖ Ð Ì ËØÓ ÓÐÑ ËÛ Ò ¾¼¼ ÌÊÁÌ ¹Á ̹ Ç˹¼ ¼¾ ÁËËÆ ½ ¹ ÁËÊÆ ÃÌÀ»ÊË̻ʹ¹¼»¼¾¹¹Ë ÃÌÀ Á Ì Ë ¹½ ¼ ËØÓ ÓÐÑ ËÏ Æ Ñ Ú Ò Ð Ò ÓÑ Ñ Ø ÐÐ ØÒ Ú ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò

Läs mer

Frågetimmar inför skrivningarna i oktober

Frågetimmar inför skrivningarna i oktober MATEMATIK Frågetimmar inför skrivningarna i oktober (Tomas Carnstam, Johan Richter, ) fredag 9 oktober 55 7 (Obs) tisdag 2 oktober 05 2 onsdag 24 oktober 05-2 torsdag 25 oktober 05 2 fredag 26 oktober

Läs mer

arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008

arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008 Å ÖÓ ÓÔ Ù Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ë Ö È Ö Þ¹Å ÖØ Ò Ò ÄºÅº ÊÓ Ð Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ì Ö ¹ Á ÙÐØ Ò ÍÒ Ú Ö ÙØ ÒÓÑ Å Ö ¾ ¼ Å Ö ËÔ Ò Ì ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Û ÐÝ Ù Ò Ñ Ò Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ØÖ Ø Ø ÝÒ Ñ

Läs mer

Vindkraft och försvarsintressen på Gotland

Vindkraft och försvarsintressen på Gotland Dnr 421-2744-10 1(15) Vindkraft och försvarsintressen på Gotland Redovisning av ett samverkansprojekt mellan Länsstyrelsen, Region Gotland och Försvarsmakten 2011 Projektet har bekostats av Energimyndigheten,

Läs mer

15 = f(3) = 9a + 3b + c 9 = f( 3) = 9a 3b + c

15 = f(3) = 9a + 3b + c 9 = f( 3) = 9a 3b + c ½ ÁÌÇÊÁ Ä Î Ð Ú Ä Ò ÁØ ÓÑ ØÓ ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ Ø Ø ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔ Ö Ò Ò ÊÍ Û Ø Å À Å Ú Ò Ù Ñ ØØ ØÓ ÓØ Ö ÔÐ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑ ÊÍ Û Ø Å À Å ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÔÔ Ö ÓÒ ÖØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ¹ ÓÐÚ Ò Û Ø º Ï Ð Ø ØÖ Ò Ó ÓÒÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÚ

Läs mer

PLANERING MATEMATIK - ÅK 7. Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter. Elevens namn: Datum för prov

PLANERING MATEMATIK - ÅK 7. Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter. Elevens namn: Datum för prov PLANERING MATEMATIK - ÅK 7 HÄLLEBERGSSKOLAN Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-08-29 Skrivtid: 08 00 11 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat

Läs mer

markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE FYRA FYRA klart

markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE FYRA FYRA klart PLANERING MATEMATIK - ÅK 8 Bok: Y (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Bråk och procent Kapitel : 2 Bråk och potenser Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE

Läs mer

arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007

arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007 Ð Ñ ÒØ Ó Ê Ó Ï Ú arxiv:0712.4029v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007 Ö Ò ÓÖ Á ÑÓ À Ð ÂÙ ÅØØÐ ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Å ÜÛ ÐÐ ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-12-16 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat

Läs mer

PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS

PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS TKK Dissertations 195 Espoo 2009 PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS Doctoral Dissertation Johnny-Stefan Lönnroth Helsinki University of Technology Faculty

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp, 2008-03-25 OBS! Denna tentamen avser nya versionen av kursen Beräkningsvetenskap

Läs mer

=

= ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ½ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÑÖÒ ÑÖÓÐÞ Ó ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ð ÖÒÒ Ú ÒÚÖÒ Ó Ò¹ ÚØÓÖÖ ÑØ ÓÒÐ ÖÒ Ú ÑØÖ Ö Ñ ÐÔ Ú ÅØÐ Ó ÅÔÐ Ð Ð ÒÒ Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖ Ñ ÐÔ Ú ÅÔк À ÐÖÓÓÒ

Läs mer

Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg

Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M004M Tentamensdatum 200-03-24 Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00-4.00 Lärare: Thomas Strömberg Jourhavande lärare: Thomas Strömberg Tel: 0920-49944 Resultatet

Läs mer

1 k j = 1 (N m ) jk =

1 k j = 1 (N m ) jk = ÂÓÖÒ ÖÒ ½ ÖÙÖ ¾¼¼ ÀÙÚÙÖ ÙÐØØØ ÓÒ ÔØÐ Ö ØØ ÚÖ ÚÖØ ÑØÖ Ö ÐÓÖ¹ Ñ Ñ Ò ÓÖÒÑØÖ ÓÑ Ú ØÐÐØÖ ÓÑÔÐÜ ÑØÖ ÐÑÒص ÓÑ ÐÐ ÂÓÖÒ ÒÓÖÑÐÓÖÑ Ö ÑØÖ Òº ËÓÑ ÔÔ ÓÒ Ö ÒÓÖÑÐÓÖÑÒ Ò¹ Ö Ø ØØ ØÓÖØ Ø ÚÖØÝ ØÖ ÓÑ Ò ÐÐÑÒØ ÒØ ÖÓÖ ÓÒØÒÙÖÐØ

Läs mer

level days

level days ÌÓÑÑÝ ÆÓÖÖ ÅØÑØ ØØ Ø ÐÑÖ ² Í ½ ÑÖ ¾¼¼ ÈÓ ÓÒÔÖÓ Ò Ó ÜØÖÑ Ð ØÖ ÒÒ ÖÐ ÒÒ Ú ØÓÖØ Ö ÐØ ÖÒ Ô ØÑØ ÓÚÒÐ ÒÐ Öº Î ÖÖ Ñ ØØ ÒÖ ÈÓ ÓÒÔÖÓ Ò ÓÑ ÓØ Ö Ò Ö ÑÓÐÐ Ö ÒÖ ØÒ ÓÚÒÐ ÒÐ Ö ÒØÖÖº ËÒ Ú Ñ Ò ÈÇ̹ÑØÓÒ ØØ ØÓÖÐÒ ÐÐÖ ØÝÖÒ

Läs mer

Programmering med Java. Grunderna. Programspråket Java. Programmering med Java. Källkodsexempel. Java API-exempel In- och utmatning.

Programmering med Java. Grunderna. Programspråket Java. Programmering med Java. Källkodsexempel. Java API-exempel In- och utmatning. Programmering med Java Programmering med Java Programspråket Java Källkodsexempel Källkod Java API-exempel In- och utmatning Grunderna Erik Forslin ÓÒ º Ø º Rum 1445, plan 4 på Nada 08-7909690 Game.java

Läs mer