1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt
|
|
|
- Ann Fredriksson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Ë Ñ Ò ÖÚÓÖØÖ Ö Ð Ó ÓÒ ËØÖ Ò Ò Ö ÖÓ Ö Ø ¾½º Å ¾¼¼ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÏÓÖÙÑ Ø³ ¾ ¾ Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò ¾ ¾º½ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ È Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ Ö Ï ÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ Ð Ò¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ð º º º º º º º º º º Æ Ñ Ù¹ ÓØÓ¹Ï Ö ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Û ÙÒ Ð ÙÒ Ö Ð Ø Ú Ø Ò ËØÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º Ê Ò Ò ÙÒ Ò ÙÒ ¹ Ö Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø Ø ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËØÖ Ò Ô ÒÒÙÒ ÙÒ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ÌÖ Ò Ú Ö Ð Û Ò Ø ÙÒ Û ÙÒ Ö Ò ÔÙÒ Ø º º º º º º º ½½ Ä Ø Ö ØÙÖ ½¾
2 ½ ÏÓÖÙÑ Ø³ ½ ÏÓÖÙÑ Ø³ ÁÒ Ö ËØÖ Ò Ø ÓÖ Ú Ö Ù Ø Ñ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ï ÐÛ Ö ÙÒ Ò Ø ØØ Û Ñ ËØ Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ð Ñ ÒØ ÖØ Ð ÒÔ Ý Ñ Ø À Ð ÚÓÒ ÒÙÐÐ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÈÙÒ Ø¹ Ø Ð Ò ÙÖ Ò Ñ Ò ÓÒ Ð ËØÖ Ò ÞÙ Ö Òº ÒÒ ÙÑ Ó Ò Ó Ö ÐÓ Ò ËØÖ Ò Ò ÐÒº Ö Ø Ö Ø Ò Ö Ò Ò ËØÖ Ò Ò Ò ËØÖ Ò Ô ÒÒÙÒ T Ø ÃÖ Ø ÒØÐ Ò ËØÖ Ò Û Ö Ø ÄÒ ËØÖ Ò ÓÛ Ò Å µ ÔÖÓ ÄÒ Ò Ò Øº ÁÑ ÓÐ Ò Ò ÓÐÐ ÒÙÒ Û ÙÒ Ò ÓÐ Ò ËØÖ Ò Ò Ù Ö ÙÒØ Ö ÄÙÔ ÒÓÑÑ Ò Û Ö Òº Ø ÞÙ Ø Ò Ñ Ò ËØÖ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ò¹ ÐÒ ÑÙ º Ù Ø ÙÖ ÉÙ ÒØ ÖÙÒ ËØÖ Ò ÞÙ Ø Ò ÓÑÑ Ò ÙÒ ËØÖ Ò Ø ÓÖ Ö ÙÔØ Ö Ø Ò Ä Ú Ö ØÞ Ò ÍÒ Ú Ö ÙÑ ÓÖÖ Ø ÞÙ Ö Ò Û Ö Ò Ø Ò Ò Òº Ï Ö ØÖ Ø Ò Ð Ó Ò Ò Ð Ò ËØÖ Ò º ÙÒ Ø ÛÓÐÐ Ò Û Ö ÙÒ Ñ Ö Ð Ø Ú Ø Ò ÈÙÒ ØØ Ð Ò ÞÙÛ Ò Ò Ò Å ¹ Ò ÙÒ Ú ÖØÖ ÙØ Ø ÙÑ ÒÒ Ò Ò ÐÓ ÞÙ Û ÙÒ Ð ÙÒ Ö ¹ Ð Ø Ú Ø Ò ËØÖ Ò ÞÙÐ Ø Òº Ï Ö Û Ö Ò ÒØ Ö ÒØ È Ö ÐÐ Ð Ò ÞÛ Ò ÈÙÒ ØØ Ð Ò ÙÒ ËØÖ Ò ÒØ Ò Û Ô Ð Û Ò Ñ Ò Ê Ô Ö ¹ Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞº Ï Ø Ö Ò Û Ö Ù Ê Ò Ò ÙÒ Ò Ò Ò Ò Û Ö¹ Ò Ò Ó Ò Ö ËØÖ Ò Ö ÐÐ Ò ÑÙ ÙÒ Û Ö Û Ö Ò Ø Ø ÐÐ Ò Å ÙÒ ËÔ ÒÒÙÒ ËØÖ Ò Ñ Ø Ò Ò Ö Ú Ö Ò Ô Ø Ò º ÙÑ ÐÙ Û Ö Ò Û Ö ¹ Û ÙÒ Ö Ò ÔÙÒ Ø Ò Ó Ò Ò ËØÖ Ò ØÖ Ø Ò ÙÒ Ò Ñ Ø Ä Ø Û Ò Ø ÙÒ Ò Ö Ø ÞÙÑ ËØÖ Ò Û Òº ¾ Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò ¾º½ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò Ò ØÖ Ð Ø Ú Ø Ï Ö ÙÒ Ò Ö Ò Ì Ð Ò 1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt ÖØ Ò Ø ÞÙ ÐÓÖ ÒØÞ ÒÚ Ö ÒØ Ò Û ÙÒ Ð ÙÒ Òº Ö ÒÒØ Ñ Ò Ñ Ò¹ Ø Ò Ö Ò Ä ÙÒ Ö Û ÙÒ Ð ÙÒ v = ÙÖ Î Ö Ø ÓÒ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð ÓÐ Ø Û ÙÒ Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ö Û Ò Ø Ð Ó Ù ÓÐ Ñ Ø v > c ÞÙРغ Ù Ø Ø ÒÙÒ Ò Ï Ö ÙÒ Ö Ò Ö Ì Ð Ò Ñ Ø Ò Ð Ö ÊÙ Ñ m > ÞÙ ÐÓÖ ÒØÞ ÒÚ Ö ÒØ Ò Û ÙÒ Ð ÙÒ Ò Öغ Ø Û ÙÒ Ð ÙÒ Ò Ò Ñ ÁÒ ÖØ Ð Ý Ø Ñ Ð ÓÖÑ ÒÒ Ñ Òº ¹ Û ÙÒ Ð ÙÒ Ò Ò Ñ Ø Ë Ö Ø ÐÓÖ ÒØÞ ÒÚ Ö ÒØ Û ÒÒ Ö Ø Ï Ö ÙÒ Ð Ø Ò ÄÓÖ ÒØÞ¹Ë Ð Ö Øº Ø ÐÐØ ÐÐ Ö Ò Ò Ø Ö Ò ÖÒ ÙÒ Ò Ï Ö ÙÒ Öº Ò ØÖ Ð Ø Ú Ø Ï Ö ÙÒ Ô Ð Û Ø Ñ Ò ØÞ ÞÙ Ò Ö Ù Ö ÙÐØ Ö Ò Ò Û ÙÒ Ð ÙÒ Ò Ò Ø ÒÚ Ö ÒØ Ò Ö Ð Ð ¹ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò v v + v º Ø Ò Ò Ñ Ð Ò ÁÒ ÖØ Ð Ý Ø Ñ Ò Ø ÐÓÖ ÒØÞ ÒÚ Ö ÒØ Ø ÒÒ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð Ò ÁÒØ Ö Ð Ö Ø Òº Ø Ø Ò Ö ÐÓÖ ÒØÞ¹ ÒÚ Ö ÒØ ÒÞ Ø dτ = ds/c ÞÙ ÒØ Ö Ö Òº ÍÑ Ñ Ò ÓÒ Ò Ö Ï Ö ÙÒ ÞÙ Ö ÐØ Ò ÑÙ Ñ Ò ÒÞ Ø Ñ Ø Ò Ö ÐÓÖ ÒØÞ ÒÚ Ö ÒØ Ò Ö Ö Ñ Ò ÓÒ Ò Ö ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Òº Ø Ø ÊÙ Ò Ö m Ì Ð Ò Òº Å Ò ÒÒ ¾
3 ¾ Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò Ð Ó Ï Ö ÙÒ S = mc P ÔÓ ØÙÐ Ö Ò ÛÓ ÁÒØ Ö Ð Ö ÐÐ Ò Ö Ò Ï ÐØÐ Ò Ò P Ñ Ø Ñ Ö Ø Ò Ò Ò ¹ ÙÒ Ò ÔÙÒ Ø Ñ Å Ò ÓÛ Ö ÙÑ Ù ÖØ Û Ö Ò ÒÒº Ö ÁÒØ ÖÚ ÐÐ ds ÐØ ds 2 = dt 2 + dx 2. ds ½µ Ï Ö ÙÒ Ö Ð Ø Ú Ø Ò ÈÙÒ ØØ Ð Ò Ï ÐØ Ñ Ò ÒÙÒ Ò Ø ÁÒ ÖØ Ð Ý Ø Ñ Ò Ñ ÈÙÒ ØØ Ð Ò Ñ Ø Ö Û Ò Ø v = dx dt Û Ø Ó Ö Ø ÁÒØ ÖÚ ÐÐ ds Ð ds = c dt 1 v2 ÛÓÑ Ø Ï Ö ÙÒ ÓÖÑ S = m tf t i dt 1 v2 ÒÒ ÑÑغ t i ÙÒ t f Þ Ò Ò Ø Ò Ñ Ò Ò ÞÛº Ñ Ò Ö Ï Ðع Ð Ò Pº Ò Ø Ú ÎÓÖÞ Ò Ö Ï Ö ÙÒ ½µ Û Ö Ð Ö Û ÒÒ Ñ Ò Û ÙÒ ¹ Ð ÙÒ Ò Ö Ò Ò ØÖ Ð Ø Ú Ø Ò Ö ÒÞ ÐÐ v c Ù Ø ÐÐغ Ö Ò ÔÓ Ø Ú ÎÓÖÞ Ò Ö ÐØ Ñ Ò Ò Ò Ò Ø Ú Ò º º Ö Û Ò Ø ÒØ Ò Ö Ø ¹ Ø Òµ ÁÑÔÙÐ ÙÒ Ò Ò Ø Ú Ò Ö Ö Ì Ð Òº ¾º¾ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ ÍÑ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð ½µ Ö Ò Ï ÐØÐ Ò P ÞÙ Ö Ò Ò Ø ÒÓØÛ Ò Ò È Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ Ö Ï ÐØÐ Ò ÞÙ Û Ð Òº Ø ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ò Ø Ø Ö ÒÞ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ö ÐÐ Ò È Ö Ñ Ø Ö τ [, τ f ] x µ = x µ τ). ÍÒØ Ö Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ Ö Ï Ö ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ñ Ò Ö Ï ÖØ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð ½µ ÙÒ Ò ÚÓÒ Ö ÓÒ Ö Ø Ò Ï Ð Ö È Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ Øº Ö Ó Ô Ö Ñ ØÖ ÖØ Ï ÐØÐ Ò Ð Ø ÁÒØ ÖÚ ÐÐ ds 2 Ù Ö Ò Ð ds 2 = η µν dx µ dx ν dx µ dx ν = η µν dτ dτ dτ)2. ÐÐ ØÒ Ù Ö Ï ÐØÐ Ò Þ Ø ÖØ Ò Ø ds 2 ÔÓ Ø Ú ÙÒ Ï Ö ÙÒ ¹ ÒØ Ö Ð ½µ Ð Ø Ù Ö Ò Ð τf dx S = mc η µ dx ν µν dτ dτ dτ. Ï ÐØ Ñ Ò ÒÙÒ È Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÙÒ Ø ÚÓÑ È Ö Ñ Ø Ö τ ÞÙ Ò Ñ È Ö ¹ Ñ Ø Ö τ Ö Ó ÓÐ Ø Ò Ö Ã ØØ ÒÖ Ð Ö Ê Ùѹ عÃÓÓÖ Ò Ø Ò dx µ dτ = dxµ dτ dτ dτ, ¾µ
4 Ð ÙÒ ½ Ò Ê Ø Ñ È Ö Ñ Ø ÖÖ ÙÑ Û Ö Ù Ò È Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ Ñ ÇÖØ Ö ÙÑ Ð Ø Ù ½ µº ÛÓÑ Ø Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð ÞÙ τf dx S = mc η µ dx ν dτ µν dτ dτ dτ τ f dx dτ = mc η µ dx ν µν dτ dτ dτ µ Û Ö º Ï Ñ Ò Ð Ø Ö ÒÒØ Ò Ð ÙÒ Ò ¾µ ÙÒ µ Ð ÓÖÑ Û Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ Ö Ï Ö ÙÒ Þ Øº º½ È Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ Ö Ï ÐØ ËÓ Û ÈÙÒ ØØ Ð Ò Ñ Å Ò ÓÛ Ö ÙÑ Ò Ò Ñ Ò ÓÒ Ð Ï ÐØÐ Ò Ö Ø Ö Ø Ò ËØÖ Ò Ò Ò Ö Ê Ùѹ Ø Ñ Ø d Ê ÙÑ Ñ Ò ÓÒ Ò ÙÒ Ò Ö Ø ¹ Ñ Ò ÓÒ Ò ÞÛ Ñ Ò ÓÒ Ð Ï ÐØ º Ò ÞÛ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ò Ò Ñ Ö Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ê ÙÑ Ð Ø ÙÖ Ò ÞÛ Ö Ö ÐÐ Ö È Ö Ñ Ø Ö ξ 1 ÙÒ ξ 2 Ö Òº ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ù Ö Ð¹ Ò ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò xξ 1, ξ 2 ) Ö È Ö Ñ Ø Öº ØÖ Ø Ø Ñ Ò Ò Ò Ò Ø Ñ ¹ Ð Ê Ø Ñ Ø Ò Ã ÒØ ÒÐÒ Ò dξ 1 ÙÒ dξ 2 Ó Û Ö Ù Ò È Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ Ð Ø º ½µ ÚÓÒ Ò Î ØÓÖ Ò dv 1 = x ξ 1 dξ1 ÙÒ dv 2 = x ξ 2 dξ2 Ù Ô ÒÒØ Û Ö º Ö Ð Ò Ò ÐØ È Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ Ø da = dv 1 dv 2 sin θ = dv 1 dv 2 1 cos 2 θ = dv 1 2 dv 2 2 dv 1 2 dv 2 2 cos 2 θ = dv 1 dv 1 )dv 2 dv 2 ) dv 1 dv 2 ) 2 x = dξ 1 dξ 2 ξ 1 x ) x ξ 1 ξ 2 x ) x ξ 2 ξ 1 x ) 2 ξ 2.
5 Ö Ò Ö Ö Ø Ö ÐØ Ñ Ò Ð A = x dξ 1 dξ 2 ξ 1 x ) x ξ 1 ξ 2 x ) x ξ 2 ξ 1 x ) 2 ξ 2. µ ÁÑ ÐÐ Ò Ö Ï ÐØ Ò ÒÒØ Ñ Ò È Ö Ñ Ø Ö Ð ÖÛ τ ÙÒ σ ÙÑ Ù ÞÙ¹ Ö Ò ÙÑ Ò Ò Þ Ø ÖØ Ò ÙÒ Ò Ò Ö ÙÑ ÖØ Ò È Ö Ñ Ø Ö Ò Ðغ Ì Ø Ð Ø Ò Ö Ð Ò Ï Ð ÙÒ Ò Ö È Ö Ñ Ø Ö ÑÑ Ö Ò Ö Þ Ø¹ ÙÒ Ò Ö Ö ÙÑ ÖØ º Ï ÐØ Ø ÒÒ ÙÖ ÃÓÓÖ Ò Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò X µ τ, σ) = X τ, σ), X 1 τ, σ),..., X d τ, σ)) Òº Ø ÃÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ò Ö ËØÖ Ò Ø ÓÖ ÖÓ Ù Ø Ò ÞÙ Ú ÖÛ Ò Ò ÙÑ ËØÖ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ò X µ ÚÓÒ Ò Ê Ùѹ عÃÓÓÖ Ò Ø Ò x µ ÞÙ ÙÒØ Ö Ò Ó Ò Ö ÙÑ ÒØ Ù Ö Ò ÞÙ Ñ Òº Å Ò ÒÒ ÒÙÒ Ú ÐÐ Ò ÐÓ ÞÙ µ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö Ç Ö Ù Ø ÐÐ Òº Ø ÐÐØ ÐÐ Ö Ò Ö Ù ÏÙÖÞ Ð Ò µ ÒÙÖ ÒÒ Ö ÐÐ Û Ö Û ÒÒ Ñ Ò ÎÓÖÞ Ò ÙÒØ Ö Ö ÏÙÖÞ Ð ÙÑ Öغ ÓÖÖ Ø Ð Ò¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ð ÙØ Ø Ð Ó A = dτ dσ X τ X σ ) 2 ) 2 X τ ) 2 X. µ σ Ð ÖÛ Þ Ò Ø Ñ Ò Þ ØÐ Òµ Ð ØÙÒ Ò Ò τ Ñ Ø Ẋ ÙÒ ÖÙÑÐ Òµ Ð ØÙÒ Ò Ò σ Ñ Ø X Ó Ñ Ò µ Ù ÖÞ Ö Ö Ò ÒÒº A = dτ dσ Ẋ X ) 2 Ẋ)2 X ) 2 µ º¾ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ Ð Ò¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ñ Ò ÚÓÒ Ò È Ö Ñ Ø ÖÒ ξ 1 ÙÒ ξ 2 ÞÙ È Ö Ñ Ø ÖÒ ξ 1 ξ 1 ) ÙÒ ξ 2 ξ 2 ) Ö Ó Ø Ð Ò¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ð µ Ó Ò ØÐ Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö Òغ ÁÑ ÐÐ ¹ Ñ Ò Ò ÐÐ Ò Ö Î Ö Ð ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Û Ö Ò ÐÐ Ö Ò È Ö Ñ Ø Ö ξ 1 ÙÒ ξ 2 ÙÖ Ñ Ò ÙÒ Ñ Ò Ö ÐØ Ò Ù Ò È Ö Ñ Ø Ö ξ 1 ξ 1, ξ 2 ) ÓÛ ξ 2 ξ 1, ξ 2 )º ÍÑ Ù ÞÙ Ö Ò ÖØ Ñ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Þ Ò M ÙÒ M Ò Ñ Ø M ij = ξi ξ j ÙÒ Mij = ξ i ξ j. Æ Ñ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ØÞ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÒÒ Û ÓÐ Ø ÁÒ ÓÒ Ö ÓÐ Ø Ö Ù Þ ÙÒ dξ 1 dξ 2 = detm d ξ 1 d ξ 2 d ξ 1 d ξ 2 = det M dξ 1 dξ 2 µ det M detm = 1. µ
6 ÖØ Ñ Ò Ó Ò ÒÒØ Ò ÙÞ ÖØ Å ØÖ g ij ξ) := x ξ x i ξ j Ð Ò¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ð µ Ñ Ø À Ð Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ g := detg ij ) = x ξ 1 x ξ 1 x ξ x 2 ξ 1 x ξ x 1 ξ 2 x ξ x 2 ξ 2 Ò Ó Ð Ø Û ÒØÐ Ú Ö Ò Ò ÞÙ A = dξ 1 dξ 2 g µ Ö Ù ÖÙ ds 2 = dx dx = ) ) x x ξ i dξi ξ j dξj = g ij ξ) dξ i dξ j ÛÓ Ö i ÙÒ j Û Ð ÞÙ ÙÑÑ Ö Ò Øµ ÒØ ÔÖ Ø Ò Ñ Ø Ò Ù Ö Ð ÙÒ ÑÙ Ö Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒØ Òº ÑÙ Ð Ó ÐØ Ò g ij ξ) dξ i dξ j = g pq ξ) d ξ p d ξ q = g pq ξ) ξ p ξ i ξ q Ñ Ø Ö ÐØ Ñ Ò Þ ÙÒ ξ j dξi dξ j. g ij ξ) = g pq ξ) M pi Mqj = M T ) ip g pq ξ) M qj ÛÓÖ Ù Ö ÏÙÖÞ Ð Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ g = det M T ) gdet M) = gdet M) 2 = g det M ½¼µ ÓРغ Ë ØÞØ Ñ Ò ÒÙÒ µ ÙÒ ½¼µ ÙÒØ Ö Î ÖÛ Ò ÙÒ ÚÓÒ µ Ò µ Ò Ó Ö ÐØ Ñ Ò A = g det M det M d ξ1 d ξ 2 = d ξ 1 d ξ 2 g ÛÓÖ Ò Ñ Ò Ó ÓÖØ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ Ö ÒÒغ Ö Ò ÖØÖ Ø Ù Ù Ð Ò¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ð µ Ö Ï ÐØ º º Æ Ñ Ù¹ ÓØÓ¹Ï Ö ÙÒ Ï Ö ÙÒ Ö ÈÙÒ ØØ Ð Ò Û Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ÞÙÖ ÄÒ Ö Ï ÐØÐ Ò º Ð Ø Ð Ó Ò Ö Ò ËØÖ Ò Ò Ï Ö ÙÒ ÒÞÙÒ Ñ Ò ÞÙÖ Ï ÐØ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð Øº ÍÑ Ñ Ò ÓÒ Ò Ö Ï Ö ÙÒ ÞÙ Ö ÐØ Ò ÑÙ Ð Ñ Ø Ò Ö ÃÓÒ Ø Ò¹ Ø Ò Ö Ñ Ò ÓÒ Ï Ö ÙÒ ÔÖÓ ÄÒ º º ÃÖ Ø ÔÖÓ Û Ò Ø ÑÙÐØ ÔÐ Þ ÖØ Û Ö Òº ËØÖ Ò Ô ÒÒÙÒ T Ø Ñ Ò ÓÒ ÃÖ Ø Ð Û Ò Ø ¹ Ø Ø Ò Ø ÖÐ Ä Ø Û Ò Ø c Òº Å Ø Ñ Ò Ò ÚÓÖ Ò Ò Ò Ò Ò ØØ Ò ØÖ Ø Ø Ò Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ö ÐØ Ñ Ò Ð Ó Ó Ò ÒÒØ Æ Ñ Ù¹ ÓØÓ¹Ï Ö ÙÒ S = T c τf dτ σ1 dσ Ẋ X ) 2 Ẋ)2 X ) 2. ½½µ Æ Ñ Ù¹ ÓØÓ¹ Ï Ö ÙÒ Ö ÖÙÒ Ö Ò Ø Ú ÎÓÖÞ Ò Ø Ö Ð Û Ö Ï Ö ÙÒ Ö Ð Ø ¹ Ú Ø Ò ÈÙÒ ØØ Ð Ò º Ç Ò ÎÓÖÞ Ò ÛÖ Ò Ù Ò Û ÙÒ Ð ¹
7 ÙÒ Ò Ö ÙÐØ Ö Ò Ò Ò Ö Ò ÙÒ ÁÑÔÙÐ Ò Ø Úº Ù ÖÙÒ Ö Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ Ð Ò Ò ÐØ Ø Ó Ò ØÐ Ù Æ Ñ Ù¹ ÓØÓ¹Ï Ö ÙÒ Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö Òغ Å Ø Ö Ò ÙÞ ÖØ Ò Å ØÖ ) Ẋ) γ ij ) = 2 Ẋ X Ẋ X X ) 2 γ = detγ ij ) Ð Ø Ï Ö ÙÒ Û Ù ÓÒ Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÖÞ Ö Ö ÙÒ Ù Ò Ö Ø Ò Ð Ð Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒØ Ö ÒÒ Ö Ö Ï Ö Ò S = T c dτ dσ γ. Ù Ö Ñ Ð Ø Ï Ö ÙÒ Ò Ö Ë Ö Û Ò Ù Ö Ñ Ò ÓÒ Ð Ç Ø Ð ËØÖ Ò Þº º ¹ Ö Ò Òµ Ú Ö ÐÐ Ñ Ò ÖÒº º Û ÙÒ Ð ÙÒ Ö Ð Ø Ú Ø Ò ËØÖ Ò Æ Ñ Ù¹ ÓØÓ¹Ï Ö ÙÒ ½½µ Ð Ø Ð ÁÒØ Ö Ð Ò Ö Ä Ö Ò ¹ Ø Ö Ò LẊ, X ) = T Ẋ c X ) 2 Ẋ)2 X ) 2 S = τf dτ L = τf dτ σ1 dσ LẊ, X ). Û ÙÒ Ð ÙÒ Ò ÓÐ Ò ÒÒ Û Ð ÙÖ Î Ö Ø ÓÒ Ö Ï Ö ÙÒ =! τf σ1 [ L δx µ ) δs = dτ dσ + L δx µ ] ) Ẋµ τ X µ, ½¾µ σ ÛÓ Ú ÖÛ Ò Ø ÛÙÖ δ ÙÒ Ú ÖØ Ù Òº Å Ø Ò Þ ÒÙÒ Ò Pµ τ := L = T Ẋ X )X µ X ) 2 Ẋ µ Ẋµ c Ẋ X ) 2 Ẋ)2 X ) 2 P σ µ := L X µ = T Ẋ X )Ẋµ Ẋ)2 X µ c Ẋ X ) 2 Ẋ)2 X ) 2 Ð Ø Î Ö Ø ÓÒ ½¾µ Ö Ò Ð δs = = = τf τf τf dτ dτ σ1 σ1 dσ dσ dτ [ δx µ P σ µ [ Pµ τ δx µ ) + P σ δx µ ] ) µ τ σ [ τ δxµ Pµ) τ + P τ )] σ δxµ Pµ) σ δx µ µ τ + Pσ µ σ ] τf σ1 σ1 P τ ) dτ dσ δx µ µ τ + Pσ µ. ½ µ σ Ö Ö Ø Ì ÖÑ Ò Ñ Ù ÖÙ Þ Ø Ù Ð Ð Ù Ò ÔÙÒ Ø ËØÖ Ò σ = ÙÒ σ = σ 1 ÙÒ Ö Ø ÓÑ Ø Ê Ò Ò ÙÒ Ò Ù Û Ö Ñ Ò Ø Ò Ò ØØ Ò Ò ÛÓÐÐ Òº Ê Ò Ò ÙÒ Ò Û Ö Ò Ó Û ÐØ Ö Ö Ø Ì ÖÑ Ú Ö Û Ò Øº Ñ Ø δs ÆÙÐÐ Û Ö ÑÙ Ö ÞÛ Ø Ì ÖÑ Ò ÐÐ Ö
8 Ð ÙÒ ¾ Î Ö Ò ÙÐ ÙÒ ÚÓÒ Ö Ð Ø¹ Ð Ò µ ÙÒ Æ ÙÑ ÒÒ¹Ê Ò Ò ÙÒ Ò Ö Ø µ Ö Ò Ð Ë Ø ÞÛº Ò Ò Ð Ò ËØÖ Ò Ù ½ µº Î Ö Ø ÓÒ δx µ Ú Ö Û Ò Òº ÖØ ÞÙÖ Û ÙÒ Ð ÙÒ Ö Ò ËØÖ Ò P τ µ τ + Pσ µ σ =. Ð ÙÒ Ø ÞÛ Ö Ù Ò Ö Ø Ò Ð Ò Ù Ø Ö Û ÒÒ Ñ Ò Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ P τ µ ÙÒ P σ µ Ò ÙØ Ò Ï Ö Ø Ù Ö Ø ÓÑÔÐ Þ Öغ Ø Ö Ö ÓÖ ÖÐ Ò ÓÐ È Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÞÙ Û Ð Ò Û ÙÒ Ð ÙÒ Ò Ò Ñ Ð Ø Ò ÓÖÑ ÒÒ Ñ Òº º Ê Ò Ò ÙÒ Ò ÙÒ ¹ Ö Ò Ò Å Ò ÙÒØ Ö Ø Ñ Ï ÒØÐ Ò ÞÛ ËÓÖØ Ò ÚÓÒ Ê Ò Ò ÙÒ Òº Ò Ó¹ Ò ÒÒØ Ò Ö Ð Ø¹Ê Ò Ò ÙÒ Ò Ò ÈÓ Ø ÓÒ Ò Ö Ò ÔÙÒ Ø ËØÖ Ò Ü ÖØ Û Ð ÙØ Ò Ñ Ø Ò Ñ Î Ö Û Ò Ò Ö Ø Ð ØÙÒ Ö Ò ¹ ÔÙÒ Ø Øº Ö Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ò ËØÖ Ò ÙØ Ø ½ µ Û ÙÒ Ð ÙÒ Ö Ð Ø Ú Ø Ò ËØÖ Ò Ö Ð Ø¹ Ê Ò Ò ÙÒ Ò X i Xµ τ, ) = τ τ τ, σ 1) = ÛÓ i = 1, 2,...º Ø Ñ Ò ÓÒ X = ct Ö Ð ØÚ Ö ØÒ Ð Ò Ø Þ Ø¹ Ð Ü ÖØ Òº Î Ö Ø ÓÒ Ö Ò ÔÙÒ Ø Ú Ö Û Ò Ø Ñ ÐÐ Ö Ö Ð Ø¹ Ê Ò Ò ÙÒ Ò ÛÓÑ Ø Ö Ö Ø Ì ÖÑ Ò ½ µ Û Û Ò Ø Ò ÐÐ Ú Ö Û Ò¹ غ Æ ÙÑ ÒÒ¹Ê Ò Ò ÙÒ Ò Ö Ò Ò Ö Ò ÔÙÒ Ø º Ò Ñ ÐÐ Î Ö Ø ÓÒ Ö Ò ÔÙÒ Ø Ò Ø ÞÛ Ò ÐÙ Ú Ö Û Ò Ø ÑÙ ÙÑ Î Ö¹ Û Ò Ò Ö Ø Ò Ì ÖÑ Ò ½ µ ÞÙ Û Ö Ò Ò ÙÒ Æ ÙÑ ÒÒ¹ Ê Ò Ò ÙÒ Ò P σ µ τ, ) = Pσ µ τ, σ 1) = ½ µ ÓÖ ÖØ Û Ö Òº Ö Ö d Ê ÙÑ Ñ Ò ÓÒ Ò ÒÒ ÒÙÒ ÒØÛ Ö Ò Ö Ð Ø¹ Ó Ö Ò Æ ÙÑ ÒÒ¹Ê Ò Ò ÙÒ ÚÓÖÐ Òº Ö Ð Ø¹Ê Ò Ò ÙÒ Ò Û Ö Ò ÙÖ Ó Ò ÒÒØ ¹ Ö Ò Ò ½ Ó Ö Ò Ù Ö p¹ Ö Ò Òµ Ö Ð ÖØ ÛÓ ÙÑ p¹ ¹ Ö Ò Ò Ñ Ò ÓÒ Ð Ç Ø Ò ÐØ Ù Ò Ò Ò ÔÙÒ Ø ËØÖ Ò Û Ò ÒÒ Òº Ä Ò Þº º ÒÙÖ Æ ÙÑ ÒÒ¹Ê Ò Ò ÙÒ Ò ÚÓÖ Ø Ñ Ò Ð Ó Ö Ò ¹ ÔÙÒ Ø Ó Û Ò Ù Ò Ö Ò ÒÞ Ò Ê ÙÑ Ù ÐÐ Ò Ò ¹ Ö Òº ÎÓÐй ØÒ Ü ÖØ Ò ÔÙÒ Ø Ò Ð Ò Ù Ò Ö ¼¹ Ö Òº Ð ÙÒ Þ Ø Ò 2¹ Ö Ò Ò ÔÙÒ Ø ÒÒ Ò Ò Ö x 1 ¹x 2 ¹ Ò Ö Û Ò Ð Ò Ö Ò Ö Ò Ü Öغ ½ Ö Ù Ø Ø Ø Ö Ö Ð Ø
9 Ð ÙÒ Ò 2¹ Ö Ò Ò Ö x 1 ¹x 2 ¹ Ò Ù ½ µº ÁÑ Ò ØÞ ÞÙ Ò Ê ÙÑ Ñ Ò ÓÒ Ò ÒÒ Ö Ø Ñ Ò ÓÒ X Û Ó Ò Ö Ø Ñ Ö Ø ÛÙÖ ÒÙÖ Ò Æ ÙÑ ÒÒ¹Ê Ò Ò ÙÒ ÚÓÖÐ Òº Ö Ó Ò ËØÖ Ò Ò Ò Ê Ò Ò ÙÒ Ò ÚÓÒÒ Ø Òº Ø Ò ÙÐ Ð Ö ÓÐ Ø Ö Ù Ó ÓÖØ Ù Ð ÙÒ ½ µ Ö ÈÙÒ Ø σ = ÙÒ σ = σ 1 ÞÙ ÑÑ Ò ÐÐ Ò Ú Ö Û Ò Ø Ö Ö Ø Ì ÖÑ ÙØÓÑ Ø º º Ø Ø ÙÒ Ö Ó Ò ÒÒØ Ò Ø Ø Ò ÙÒ Û ÐØ Ñ Ò Ò Ö ÖØ È Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ Ö τ Ä Ò Ò Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ñ τ Ò Ò Ñ Ù Û ÐØ Ò ÁÒ ÖØ Ð Ý Ø Ñ Ä Ò Ò Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø X = ct Ò Ñ Ø Ò Ö Ò ÏÓÖØ Ò Ò Ñ Ù Û Ð¹ Ø Ò ÁÒ ÖØ Ð Ý Ø Ñ Û Ö τ = t ØÞغ ÁÒ Ñ ÁÒ ÖØ Ð Ý Ø Ñ Ö Ò Ä Ò Ò Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ñ τ ÒÒ Ò ÅÓÑ ÒØ Ù Ò Ñ ËØÖ Ò Ð Ó Ò ÖÙÑÐ Ö ÃÓÓÖ Ò Ø Òº Ö σ Û Ö Ò Ô Þ ÐÐ È Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ Û ÐØ ÓÒ ÖÒ Ð Ð σ [, σ 1 ] ÓÖ Öغ Ö ÐÓ Ò ËØÖ Ò ÑÙ Ù Ö Ñ Ò Á ÒØ Þ ÖÙÒ τ, σ) τ, σ + σ 1 ) ÚÓÖ ÒÓÑÑ Ò Û Ö Ò ÛÓ σ 1 ÒÒ Ö ÍÑ Ò ËØÖ Ò Øº Å Ø Ö È Ö Ñ ¹ ØÖ ÖÙÒ Ö Ò ÒÙÒ ËØÖ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ) X µ τ, σ) = X µ ct t, σ) = Xt, σ)
10 ÙÒ Ö Ð ØÙÒ Ò Ò τ ÞÛº σ Ö ÐØ Ñ Ò X µ = Xµ σ = X σ, X ) =, ) X σ σ Ẋ µ = Xµ X =, ) X = c, ) X τ t t t ½ µ º ËØÖ Ò Ô ÒÒÙÒ ÙÒ Ò Ö Ö ØÖ Ø Ø ËØÖ Ò Ò Ò Ñ Ø Ò ÁÒ ÖØ Ð Ý Ø Ñµ ÒØÐ Ò Ö x 1 ¹ Ù ¹ ØÖ Ø ÙÒ Ö ÚÓÒ x 1 = x 1 = aº ÍÑ Ô Ý Ð Ê Ð Ö Ö Ø Ò ÓÐ Ò ËØÖ Ò ÞÙ Ø Ø Ò ÛÖ ÒØÐ Ò Ø ÖÞÙ Ø ÐÐ Ò Ö Û ÙÒ Ð ÙÒ ½ µ Ö ÐÐغ Ð Ø Ð Ø ÖÔÖ Ò ÓÐÐ Ö Ö Ò Ø ÚÓÖ ÖØ Û Ö Òº ÁÒ Ö Ø Ø Ò ÙÒ Ö Ò ÒÒ ËØÖ Ò ÓÓÖ Ò ¹ Ø Ò X = cτ = ct, X 1 t, σ) = fσ), X 2 = X 3 =... = X d =. Ø d ÒÞ Ð Ö Ê ÙÑ Ñ Ò ÓÒ Ò ÙÒ f : [, σ] [, a] Ò Ø Ø ÑÓÒÓØÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ø f) = ÙÒ fσ 1 ) = aº Å Ø Ö Ï Ð Ö ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ú Ö Ò Ò Ð ØÙÒ Ò ½ µ ÞÙ Ẋ µ = c,,), X µ =, f,), º º Ñ Ò Ö ÐØ Ẋ)2 =, X ) 2 = f ) 2, Ẋ X =, ÛÓÑ Ø Æ Ñ Ù¹ ÓØÓ¹Ï Ö ÙÒ ½½µ Ò ÐÐ Ø Ö Ú Ö Ò Ø S = T c = T c τf tf t i = T tf t i = T tf = tf ÐÐ Ñ Ò Ø Ï Ö ÙÒ t i dτ dt dt σ1 σ1 σ1 t i dt T a) dσ Ẋ X ) 2 Ẋ)2 X ) 2 dσ + f ) 2 dσ f σ dt fσ 1 ) f)) }{{} =a S = tf t i dt L Ø ÒØ Ö Ð Ö Ä Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ L = T V ÛÓ Ñ ØÖ Ø Ø Ò ÐÐ Ò Ø Ø Ò ËØÖ Ò Ò Ø Ò Ö ÆÙÐРغ Ö Î Ö Ð Ö Ò Ð ¹ ÙÒ Ò Þ Ø Ö ËØÖ Ò ÙÖ Ò ÈÓØ ÒÞ Ð V = T a ½¼
11 Ö Ò Û Ö Ò ÒÒº Ò ÙÐ Ø T a Ð Ó Ò Ö Ñ Ò Ù Ö Ò Ò ÑÙ ÙÑ Ò ËØÖ Ò ÚÓÒ Ö ÄÒ ÆÙÐÐ Ù ÄÒ a ÞÙ Ò Òº Ó ÖÞ Ù Ø ÊÙ Ò Ö Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ÞÙÖ ÊÙ Ñ ËØÖ Ò m = T a. Ö Å µ ÔÖÓ ÄÒ Ò Ò Ø ÐØ Ñ Ø Þ ÙÒ µ = T. ÊÙ Ñ Ò ËØÖ Ò Ø Ð Ó Ö Ø Ñ Ø Ò Ö ËØÖ Ò Ô ÒÒÙÒ Ú Ö Ò Ô Øº Å Ò ÒÒ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ò ËØÖ Ò Ð Ñ ÐÓ Ò ËØÖ Ò Ñ Ø Ò Ö ËÔ ÒÒÙÒ T ÚÓÖ Ø ÐÐ Òº º ÌÖ Ò Ú Ö Ð Û Ò Ø ÙÒ Û ÙÒ Ö Ò ÔÙÒ Ø Ö ÈÙÒ Ø Ò ËØÖ Ò Ú Ö Ò Û Ò ÒÒ Ø Ò Ø Ó Ò Ø¹ Ð Û Ñ Ò ÒÒÚÓÐÐ Ò Û Ò Ø Ö Ò ËØÖ Ò Ò Ö Ò ÒÒº Ð Ø Ö Ø Ø Ð Ò ÓÐ Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒØ Û Ò Ø Ò¹ Òº ÞÙ ØÖ Ø Ø Ñ Ò Ò Û Ò Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ð Ò ËØÖ Ò ÔÙÒ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ ËØÖ Ò Ø Ø ÙÒ Ø Ò ÒØ Ð ÞÙ Ö ÚÓÑ ËØÖ Ò Ñ Ä Ù Ö Ø Ù Ô ÒÒØ Ò ÖÙÑÐ Ò Ð Ú ÖÐ٠غ Ò ÐØ ÙÑ Ò ÌÖ Ò Ú Ö Ð Û Ò Ø v º ÍÑ Ñ Ø Ñ Ø Ù Ö Ò ÞÙ ÒÒ Ò Ö ØÞØ Ñ Ò Ò È Ö Ñ Ø Ö σ ÙÖ Ò Ò Ô Ý Ð Ö Ò È Ö Ñ Ø Ö s Ö Ó Û ÐØ Ø X/ s Ò Ì Ò ÒØ Ò¹ Ò Ø Ú ØÓÖ Ò Ò ËØÖ Ò Øº Ñ Ø Ö Ø ÌÖ Ò Ú Ö Ð Û Ò Ø ÒÒ v = X t X t X ) X s s ÌÖ Ò Ú Ö Ð¹ Û Ò Ø Å Ø À Ð Ö Ó Ò ÖØ Ò ÌÖ Ò Ú Ö Ð Û Ò Ø Ö ÐØ Ñ Ò Þ ÙÒ Ñ Ø Ö Ï Ö ÙÒ ½½µ Ù Ð Ẋ X ) 2 Ẋ)2 X ) 2 = c ds 1 v2 dσ, ½ µ S = T σ1 dt dσ ) ds 1 v2 dσ Ö Ò Ð Øº Ö Ò Ò ËØÖ Ò Ñ Ø Ö Ò Ò ÔÙÒ Ø Ò Ò Û Ö Ò Ð ÙÒ ½ µ ÙÒ Ò P σ µ Ò Ò Ò ÔÙÒ Ø Ò Ú Ö Û Ò Ò ÑÙ º Ï Ö ÒÒ Ò P σ µ Ñ Ø À Ð Ö Ð ÙÒ ½ µ ÙÒ Ò Ö Ò Ò ½ µ Ö Ø Ø Ò ÙÒ ÞÙ P σ µ = T = T X σ X t )Ẋµ + X s X t ds dσ 1 v2 )Ẋµ + 1 v2 )) X t X µ )) X Xµ t s ½ µ ½½
12 Ä Ø Ö ØÙÖ Ú Ö Ò Òº Ö µ = Ö ÐØ Ñ Ò Ò ÓÒ Ö Ù Ö Ø Ø Ò ÙÒ Ẋ = Ẋ = c ÙÒ X / s = X / s = c t/ s = ÙÒ Ñ Ø P σ = T c X s X t 1 v2 Ñ Ø P σ Ò Ò Ò ÔÙÒ Ø Ò Ú Ö Û Ò Ø ÑÙ X s X ) = t Ò ÔÙÒ Ø ) ÐØ Òº v = X/ t Ò ÐØ Ö ÒÒ Ö ÙÑ Û Ò Ø Ö Ò ÔÙÒ Ø ÙÒ X/ s Ø Ò Ì Ò ÒØ Ò Ò Ø Ú ØÓÖ Ò Ò ËØÖ Ò º Ò ÔÙÒ Ø Û Ò Ð Ó Ò Ö Ø ÞÙ ÙÒ Ö Ñ ËØÖ Ò º Å Ø Ö Ò ÙÒ Ú Ö Ò Ø ÒÙÒ ½ µ Ö Ò ÔÙÒ Ø Û Ø Ö ÞÙ ) 1 v2 Xµ Pµ σ Ò ÔÙÒ Ø = T s = T 1 v2 1 v2 X µ s Ò ÔÙÒ Ø Û Ò Ò Ö Ø ÞÙÑ ËØÖ Ò ÙÒ Ò ÙÒ Ù Ö Ê ÙÑ ÓÓÖ Ò Ø Ò P σ µ Ò Ò Ò ÔÙÒ Ø Ò Ú Ö¹ Û Ò Ò Ñ Ò Ð Ø Ð P σ Ò ÔÙÒ Ø = T 1 v2 X s! = ÓÖÑÙÐ Ö Òº X/ s Ò Ò Ø Ú ØÓÖ Ø ÑÙ ÏÙÖÞ Ð Ú Ö Û Ò Ò ÛÓÖ Ù v = c ÓРغ Ò ÔÙÒ Ø Û Ò Ñ Ø Ä Ø Û Ò Øº Ä Ø Ö ØÙÖ Ò ÔÙÒ Ø Û ¹ Ò Ñ Ø Ä Ø¹ Û Ò Ø ½ Û º Ö Ø ÓÙÖ Ò ËØÖ Ò Ì ÓÖÝ Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ Ñ Ö ¾¼¼ µ ¾ Ä Ø º Ì Ò Ëº Ä ØÙÖ ÓÒ ËØÖ Ò Ì ÓÖÝ ËÔÖ Ò Ö ÖÐ Ò ½ µ Ö Ò Åº º Ë Û ÖÞ Âº Àº Ï ØØ Ò º ËÙÔ Ö ØÖ Ò Ø ÓÖÝ ÎÓÐÙÑ ½ ÁÒØÖÓ¹ ÙØ ÓÒ Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ Ñ Ö ½ µ ½¾
ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾
Å Ø Ñ Ø Ò ¾¼½¾¹¼ ¹½ Æ Ö Ò Ð Ð Ö Ò ØÓÖ Æ Ð Ö ÓÒ Ò Ð º Ö ÓÒ Úº ½ ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ñ ÒØ ÙÔÔ Ú Ö Ö Ú Ò
Föreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen.
Ä Ò Ö Ó ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ö Ò Ö Ö Ã Ð Å Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ Ö Ð Ò Ò ½ Æ ÙÖ Ð ÒØÚ Ö ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ È Ö ÔØÖÓÒ Ð Ö Ð Ö ËÙÔÔÓÖØ Î ØÓÖ Å Ò ÀÓÔ Ð ÓÐØÞÑ ÒÒÑ Ò Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØØ ÒÝØØ Ö Ò Ò ØØ È Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ø Ö Ò Ø ÁÒÐÖÒ Ò ÇÔØ
2E I L E I 3L E 3I 2L SOLUTIONS
Ä Ò Ô Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ú ÐÒ Ò Ò Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ Ò Ð Ä ÖÑ Ö Ð Á Ì ÓÖ Ð Á ÒÙÑÑ Ö Ì ÆÌ Å Æ ÌÅÅÁ½ ¹ ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÖÙÒ ÙÖ ¾¼½ ¹¼ ¹¾ ½ ½º Ò Ö ØØ ÙÔÔÐ Ð ÓÖ Ú ØÐ Ö ØØ Ú Ò ÐÙÑ Ò ÙÑÔÖÓ Ðº ÒÒ Ð Ð Ø Ñ Ò ÔÙÒ ØÐ Ø F Ô Ñ Øغ ÀÙÖ
Ì ÆÌ Å Æ ËØ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Á ÌÅ˽ ¼ ÑÒ Ò Ò ½ Ñ Ö ¾¼¼ Ð Ô Îº ÂÓÙÖ ÂÓ Ò Ù Ø Ú ÓÒ Ò Òº ½ À ÐÔÑ Ð ÍØ Ð ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ö Ì Ô ÙÖ Ò ÒÚÒ ÓÖ Ð Ø Ó ØÝÔ Ó Ò Ö Ò Ó º ÈÓÒ Ö Ò Ò ÍÔÔ Ø ÖÒ Ö Ú ÖÚ Ð ØÝÔ Ö Ò Ø ØØ ÐØ
σ ϕ = σ x cos 2 ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ xy sinϕcos ϕ
ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ì Ò Ñ Ò Ú º Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ù Ù Ø ¾¼½¾ ½ ËÔÒÒ Ò Ö τ σ ÆÓÖÑ Ð ÔÒÒ Ò σ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ò ØØÝØ Ë ÙÚ ÔÒÒ Ò τ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÒØ ÐÐØ Ø ÐÐ Ò ØØÝØ ËÔÒÒ Ò
ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Å Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ØÝÔ Ö Ó Ú Ö Ð Ö Î ØÓÖ Ö»Ð ØÓÖ ½ ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ
s N = i 2 = s = i=1
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ ¹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö ËÖ Ôع Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö ÄÓ ÙØØÖÝ Î ÐÐ ÓÖ Ø Ö ¹ Ø Ö Ê Ô Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÐÓÓÔ Öµ ÓÖ¹ Ø Ö Û Ð ¹ Ø Ö ½ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÐ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ØØ ÔÖÓ
Î Ö Ä Ì ½º Ì Ö Ò Ø Üع Ð ÓÑ ÒÔÙغ ¾º ÈÖÓ Ö Ö Ð Ò Ó ØÑÑ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò Øº º Ö ÙØ Ò ÎÁ¹ Ð Ú ¹ÁÒ Ô Ò Òصº º ÎÁ¹ Ð Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ò È ¹ к
ÐÐÑÒØ ÓÑ Ä Ì Ä Ì Ö Ò Ú Ö ÙØÚ Ð Ò Ú Ì ¹ Ý Ø Ñ Ø ÓÑ ÙØÚ Ð Ô ¼¹Ø Рغ Ì ÐÐØ Ö ØÚ Ò Ö µ Ö ÒØ Ò ØØ ØÒ Ñ Ö Ô ÒÒ ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ò º Ò ÐØ ØØ Ô ØÖÙ ØÙÖ Ö Ó ÙÑ ÒØ ÁÒÒ ÐÐ ÖØ Ò Ò ÃÐÐ ÖØ Ò Ò ÓØÒÓØ Ö Ê Ö Ò Ö ØÓ Ø Ò Ö
ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ø Ð Ö
ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ö ÔØ Ú È ¹Ð Ö Ö ØÓ Ö Ê ÑÕÙ Ø Ê Ö Ò Ö Ê Ö Ä ÓÒ Ö Ø Ò Ä Æ Ð ÓÒ Ò Ö Ë ÖÐÙÒ Ù Ø Ú Ì ÒÓ ½¾ Ñ ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ
Ö ÙÔ ØÙ Ú ÖÖ Ö ÓØÐ Ò Ä Ö ÆÓÖ Ò ËÚ Ö Ñ Ø ÓÖÓÐÓ Ó Ý ÖÓÐÓ Ò Ø ØÙØ ÆÓÖÖ Ô Ò ¾¼ Ñ Ö ¾¼½¾ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ÍØÖ Ò Ò ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò Ö Ö Å ØÓ º½ Ö Ò Ò Ú Ö ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ð ÓÖ
Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼
Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ú ÙÒ ÙÐ Ø Ø Ø Ð Ö Ð Ð Ò ÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò ½½ ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖ Ò Ô ËÎ ÓÒÒ ØÖ Ð ØÖÙØÙÖ ³ÙÒ Ö Ú ÓÒÒ ØÖ Ð ÙÖ Ë ÚÓ Ö Ö ÖÓÙÔ Ö ÙÒ
u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ)
Ã Ô ¹ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÌÚ ÖÙÒ ÔÖ Ò Ô Ö Ö ØØ Ý Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ö Ó Ø µ Ý Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ý º ÒÚÒ Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ð Ò Ò Ö Ð Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ö Ø Øµº Á Ð Ò Ú ÝÔÓØ Ö Ó ÑÔ Ö Ñ Ò µº Ë Ã Ô ¾ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÒ Ø Ò ÑÒ ËÝ Ø Ñ
x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2
ÅÐ Ö Î ½ ½º ÒØ Ñ Å ÔÐ º ¾º Î Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ð Ö º º ÇÐ ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÒ Ö ÔÐ Ò Ø»ÖÙÑÑ Øº µ ÁÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ø Ö Ð Ñ Å ÔÐ Ð Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ö µ ÐÐ Ø Ü Ð Ò Ö Ó Ò Ö Ö ÙÖÚÓÖ º Á Å ÔРй Ð Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ô ÙÖ ÙÖÚ
Ö Ò histogramtransformationº
ÍÐØÖ Ð Ù Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÌË ½ Å Ò Ð Ö ÍØÚ Ð Ú Å Ø Ò Ö ÓÒ ÁÅ̵ ¾¼½ ÍÔÔ Ø Ö Ú Å Ö Å ÒÙ ÓÒ ÎÄ ÁË µ ¾¼½ ÓÒØ ÒØ ÍÔÔ Ø Ò Ä Ò Ê ¹ Ø Ò Ê ÒÒ ØÖÐ Ó ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ Ñ Ú Ö ØÙÖ ËÙ ÑÔÐ Ò Ò
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Ø
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Øº Ö ÑØ º ÌÀÆÇ»ËÍÆ Ì Ë ½ ÓÔÝÖ Ø ÅÒ Æ Ð ÓÒ ¾¼¼¾ À ØÓÖ
Stapeldiagram. Stolpdiagram
Á Î Ù Ð Ö Ò Ö Ñ ¹ Ö Ö Å ØÖ Ö Ó Ð Ö ÇÖ ÒØ Ö Ò º Ä ÐÚºµ ½ À ØÓ Ö Ñ Ó Ø Ô Ð Ö Ñ Å ÓÑÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ñ Ó Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ø Ô Ð Ö Ñ Ö Ô Ø Ú ØÓ Ö Ñº ØÓÐÔ Ö Ñ ËÝÒØ Üº Ö Üµ Ê Ø Ö ØØ Ø Ô Ð Ö Ñ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ò Üº Ø Ñ Üµ Ê Ø
f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0
½»¾¹¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ñ ØÖ Ö Ë Ø ÙØ Ö Ú p(a) Ö p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ ÆÙ ÐÐ Ú Ú ÙÖ Ñ Ò Ò Ò Ö f(a) Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ö f(x) ÓÑ Ò Ú Ö ÒØÖ Ö f(x) = f t (x) = e tx ÓÑ Ö e ta Ö ËÝ Ø Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ
ËØÝÖÒ Ò Ú Ð Ò Ñ Ò ØÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö ÁË ÓÖ ÓÒ Ý Ø Ñ ½ Ù Ù Ø ¾¼¼¾ ÂÓ Ò Ð Ò ÜÜÜÜÜܹÜÜÜÜ È Ö Ö ¼ ½½¹ Ô ÖÓ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ Ð Ò Ò ¾º½ ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÀÖ
0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n
Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ È ÚÓ Ë ÐÑ Ò Ò ÒÙ Ö ¾¼½¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÒÓÐ Ø ÑØØ ¾ ¾ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÇÑ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Ò ½¼ º½ ÈÓ ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÓÑ Ð Ö ÐÒ Ò º ½½ º¾ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ó ÖÙØ Ó
1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Å»Ì Æ Ð Ö ÓÒ ¾¼½¾¹¼ ¹¾ ½ Á Ñ» ܺ ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º Ì ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ È. Î Ò ÐÑØØ Ø Ö Ò Ö Ë ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò º Ò Ø ÓÒ Öº ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ Ø Ø Ö ÌÖ Ò Ð
Ð ËÅ ½¹½¾¹¼¾ ½ ÅØØ ØÐ ÔÔÒÒ ÇÖÖÒÒ ÖÐÖ ÑØØ ÔÔÒØ ÐÓÒ ½º¾ Ñ ¼ ØÒÓÐÓÖ ÒÖÚÖÒº ¾ ÓÖÑÐ µ ÌÐÐ ÑØ ÓÖÖÒ ÚÐ ÓÖ ÂÓÑ ÅÐÐ ÚÖº µ ÌÐÐ ÑØ ÖØÖÖ ÚÐ Ö ÒÒ Ö ÓÒ ÚÖº µ ÌÐÐ Ù ØÖÒ ÑÒ ÚÐ ÌÓÑ ÏÖ ÜØÙ ÑÙ ÑØ ÂÓÒ ÀÖ ØÖØÙ ¹ ÑÙ º µ ÁÒ
ÃÓÑÔÙØØÓÒÐÐ ÁÒØÐÐÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ Ê ËÚÒÖ ÖÞ ÅÙ Ø ÀÒ ÇÐÓ ÓÒ ÑÖ ¾¼¼¾ ÁÒÒÐÐ ½ ËÝØØ Ñ ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ ÌÓÖ ÒÐÝ º½ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÅÖ ÖÙ º º º º º º º º º º º º
Tentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi
Ì ÒØ Ñ Ò ÌÅÅ ¾ Ì Æ½µ Å Ò Ö Ì ÒØ Ñ Ò ØÙÑ ¾¼½ ¹¼ ¹½ к ½ ¹½ º Ü Ñ Ò ØÓÖ Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº ÂÓÙÖ Ú Ò Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº Ì Ð ÓÒ ¼½ ¹¾ ½½¾¼º Ö Ø ÒØ Ñ Ò ÐÓ Ð Ò Ðº ½ Ó ½ º ¼º À ÐÔÑ Ð Ê ØÚ Ö ØÝ ÑØ ØØ ¹ Ð ÓÖµ Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ò
ÁÒÒ ÐÐ Á ÝÖ ÖÒ ÓÑ ËÙÖ Ð¹ Ö ÓÑ ØØ Ö ÁÁ ÌÖ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ó Ò Ð Ø Ö ÁÁÁ йÀ Ò Ö Ñ Ö Ð ÓÒ ÁÎ Ò Ö Ø ÖÙÒ Ò Î Ò Ò Ö ÖÙÒ Ò ÃÒÒ ÓÑ ÓÑ ÚÖ Ö Ð ÓÒ Á ¹ Ð Ñ
ØÖ ÖÙÒ ÖÒ Ë Ý ¹ÙйÁ Ð Ñ ÅÓ ÑÑ Á Ò Ð¹Ï Á ÐÐ Æ ÑÒ Ò Æ Ö Ò ÖÑ ÖØ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÐÐ Ö Ñ Ö Ø ÐÐ ÐÐ Ó Ñ Ö Ó ÚÐ Ò Ð Ö Ú Ö Ñ ÈÖÓ Ø Ò ÅÓ ÑÑ º ØØ Ö ØÖ ÖÙÒ ÖÒ ÒØÐ Ò Ø Ò ÖÒ ÖÙй Ø ºÓÑ Ñ Ö Ø ÐÐØ Ð ÓÑ Ö Ú Ò Ñ Ð Ø Ö Ð
Â Ú ËÖ ÔØ ÇŠغ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼
Â Ú ËÖ ÔØ Øº Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ò ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ ÔÖ Ò Ô Ù Ë ÚÓ Ö Ò Ú Ù Ö Ò Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö ÙÒ ØÝ ³ÙÒ Ñ ÒØ Ù Ë ÚÓ Ö ÓÖ Ö ÙÒ
Verktyg för visualisering av MCMC-data. JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK
Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete Stockholm, Sverige 2010 Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete i datalogi om 15
Imperativ programering
Imperativ programering Lösningen till Inlämningsuppgift 1A sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 21 juni 2007 1 Program 1 1.1 C - غ ÒÙ Ø Óº ÒÙ Ø º ÒØ Ñ Ò µ Ö ÓÖ ³ ³ ³ ³ µ ÔÖ ÒØ ± µ ÔÖ ÒØ Ò µ Ö ØÙÖÒ ÁÌ ËÍ ËË
¾ ½ ½¼ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ø Ò Ö Ì½ Ä ÓÖ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ø ¾¼¼¼»¾¼¼½ ÝÐÐ ØØ Ò ÑÒ Ó Ô Ö ÓÒÒÙÑÑ Ö Ñ Ð ÐÐ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò º Ç Ë ÇÑ ÒØ ÒÒ Ú ØØ Ò Ø Ñ Ú Ö ÓÚ Ò Ò Ò Ö Ù Ò Ò Ú ØØ Ò Ö Ùй Ø Ø Ø Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò Ý Ø Ñ
ÈÖÓ Ö ÑÚ Ö Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÑ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ò Ã Ò Ø Ö Ø ÒÓÑ Ú Ð Ò Ò Ö ÙØ Ð Ò Ò Ò Ú ÐÑ Ö ÂÓÒ Ø Ò Ð Ø Ø ÝÐÐ Ö Ò Ø ÒÒ ÙÖ Ö Ò Ê ÑÐ ÂÓ Ò Î ÐÐÝ ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ú Ø Ò Ô Ö ÐÑ Ö Ø Ò ÓÐ Ø ÓÖ ÙÒ Ú Ö
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º ÇÒ ½ Û Ö Ú Ò Ö Ò ÓÑ Û Ð Û Ø º º º ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ö Ò ÓÑ
Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖ Ö ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐ Ö Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ø Ò ÓÐÓÖ
ÅØÑØ ØØ Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖÖ ¾ ÙÙ Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐÖ Ó ØÐÐÖ ØÐÐ ÅØÑØ ØØ Ø Ô ÙÒÚÖ ØØ Ó ØÒ ÓÐÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ÄÓÖÑ ÒÒÓÐØ ÖÐÒÒ Ô ØØ ÒÐØ ÙØÐÐ ÖÙÑ Ë ÇÑ ÐÐ ÙØÐÐ Ö Ð ÒÒÓÐ ÐÐÖ Ö Ò ÒÐ ØØ È µ Ò µ Ò Ëµ ØØ Ö Ò Ð ÒÒÓÐØ ÒØÓÒÒº
( ) = 3 ( + 2)( + 4) ( ) =
ÊÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÔØÐ ÓÑÔÒØ º½ ËÖÚ Ý ØÑÒ ÒÒ Ô ØÐÐ ØÒ ÓÖѺ ÒØ ØØ Ù Ö Ò ÒÐ Ó Ý ÙØ ¹ Òк µ µ Ý(Ø) + Ý(Ø) 2 Ý(Ø) + 3 Ý(Ø) 5 µ 4 Ú(Ø) + 5Ú(Ø) 2 Ý(Ø) + 2Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ú(Ø) + 2Ú(Ø) 3 Ý(Ø) + 7 Ý(Ø) + 4Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ý (3)
x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 2011-12-13 kl 1419 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô Ó ÐÖ Ò Ú ÐÒ Ò ÁÒ Ø ØÙØ
Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring
Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring Emma Södergren Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2012:9 Matematisk statistik December
Multivariat tolkning av sensordata
Multivariat tolkning av sensordata Totalförsvarets forskningsinstitut, FOI Hanna Smedh Examensarbete i matematisk statistik 3, 30 högskolepoäng Vt/ht 2009 Handledare: Peter Anton, Leif Nilsson och Pär
Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÃÓ ÑÓÐÓ ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ÙѺ ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ö Ø Ð ÜØ Ö Ú Ñ¹ Ñ ØÖÐÒ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ó ÒØ Ñ Ò ØÖÓ ÓÑÑ ÙÖ ÓÐÐ Ó
ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ Ú ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ò ØÙ ØØ Ú ÍÒ Ú Ö ÙÑ Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò Ú Ò Ë Ó Ó Ø º Ö Ö Ò Ð Ö ÖÓ Ø º Ë ½¼ Ü Ñ Ò Ö Ø ÒÓÑ Ø Ò Ý ÖÙÒ Ò Ú ½ ¼ Ô À Ò Ð Ö Ð Ü ÊÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ë ÓÐ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓ
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓÔ Ë Û ÖÞÛ ÐÐ Ö ÌĐÙ Ò ½ Ì Ö ÑĐÙÒ Ð Ò ÉÙ Ð Ø ÓÒ ½ º½¾º½
Från det imaginära till normala familjer
Från det imaginära till normala familjer Analytiska konvergenser Linnea Widman Vt 2010 Examensarbete 1, 15 hp Kandidatexamen i matematik, 180 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik ÖÒ
ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ
ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¹ ¾¼½ Ò Ø ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ + Ú º º Ý Ø ÑØ Ò ÁÒ Øº º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ø + ÈÓÛ Ö ËÝ Ø Ñ ÀÎ ÄÙ Ú ½ Ñ Ö ¾¼½ ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò
½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº
Æ Ö Ø Ö Â ÒÙ Ö ¾¼¼ ½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº Ö ÒØÞ Ö Ð Ó Ð Û Ñ Ð Û ÓÒ Ò ÓØØ
Imperativ programering
Imperativ programering Inlämningsuppgift 1 sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 12 juni 2007 1 Deluppgift A Nedan finns fem program skrivna i fem olika språk. Er uppgift är att skriva alla fem programmen i
Dlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) =
ÃÓÑÔ Ò ÙÑ ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ú Å Ð Ò À Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ Ó ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ ÁÒØ Ö Ð Ö ¾º½ Ö Ú Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ
B:=0; C:=0; B:=B+2; C:= 0; B>0 -> B:= B-2; B>0 -> B:= B-2;
ËÝÑ ÓÐ Ò ÐÝ Ó ÌÖ Ò Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÁÒÚ Ø Ô Ô Ö Ø Ø Ëž¼¼¼ ÏÓÖ ÓÔ Æ Ø Ö Ò Ë Ò Ö ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ËÊÁ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Å ÒÐÓ È Ö ¼¾ ÍË Ò Ö ÓÛÖ Ðº Ö ºÓÑ ÍÊÄ ØØÔ»»ÛÛÛº к Ö ºÓÑ» Ò Ö» È ÓÒ ½ ¼µ ¹ ¾ ¾ Ü ½ ¼µ ¹¾
a = ax e b = by e c = cz e
ËÁÃÍÅ ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÈÊÇ Ä ÅË ÅÄÁÆ Ê ÃÇÆ ÆË Ê Å Ì ÊÁ ÆË ËÁà РÁ Ĺ ½ ½º ÃÖ Ø ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ½¹½º ÃÓÔÔ Ö Ö ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ó Ò Ø Ø Ò º»Ñ 3 º Ö Ò Ñ ÐÔ Ö Ú µ à ÒØÐÒ Ò Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Òº µ Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ
ËÐ ½ ØØ ÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÐØ ÓÑ ÖØ ÖÒ Ð ËÐ ¾ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ÆÙÑÖ Ð ÒÒ ÔÖÒÔ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ÒÐÒÒ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ
Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem
Avdelning för datavetenskap Andréas Jonsson Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem Introduction of object oriented patterns to increase software modifiability
Tmem. ::= {mem data := Tmem data ;mem free := Tmem free ;mem null := Tmem null ;mem code := Tmem code }
ÓÖÑ Ð Î Ö Ø ÓÒ Ó Å ÑÓÖÝ ÅÓ Ð ÓÖ ¹Ä ÁÑÔ Ö Ø Ú Ä Ò Ù Ë Ò Ö Ò Ð ÞÝ Ò Ú Ö Ä ÖÓÝ ÁÆÊÁ ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò ßË Ò Ö Ò º Ð ÞÝ Ú ÖºÄ ÖÓÝÐ ÒÖ º Ö ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ÓÖÑ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÕ ÔÖÓÓ Ø ÒØ Ó Ñ ÑÓÖÝ
¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½
Ó ÙÚÐ º Ú ÓÖ ÓÖ ØÓÚº Ú Ö Ø Ò Ò Ø Ò Ö Ù Ù Ø ¾¼¼½º ¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½ Á Ö Ø
Ø Ú Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ç Ð ÓÒ ² Ñ Ð À Ú Ð Ö Ò Ú Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø Ö Ø ÓÑ ÖÚ Ö ØØ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ü Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ôº ÐÐØ Ñ Ø Ö Ð ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ð Ø ÒØ Ö ÚÖØ Ø Ö Ð Ú Ø ØÝ Ð Ø ÒØ Ö Ø Ó Ò Ø
ËÐ ½ ÁÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ËÐ ¾ ÈÖÒÔ Ö ÒÙÑÖ Ð ÒÒ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ Ô ÚÖ ÐÒØÖÚÐÐ [Ü Ü+]
Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ
Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Î ØÙ Ö Ö Ò Ñ ØÓ Ö ØÑÑ Ò Ú ÔÙÒ Ø Ú Ö Ò ØÑÑ
ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ø ÑØ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ü Ñ Ò Ö Ø Ö ØØÖ Ò Ú ÙÓÖÓ ÓÔ Ð Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ÙØ ÖØ Ð Ò Ð Ò Ú Ì Ò ÓÐ Ò Ä Ò Ô Ò Ú À Ò ÖÓÐÙÒ ÄÁÌÀ¹ÁË ¹ ¹¼» ¾ ¹Ë Ä Ò Ô Ò ¾¼¼ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ä Ò Ô
PLANERING MATEMATIK - ÅK 7. Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter. Elevens namn: Datum för prov
PLANERING MATEMATIK - ÅK 7 HÄLLEBERGSSKOLAN Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor
huvudprogram satser funktionsfil utparametrar anrop av funktionsfil satser satser
Á ÈÖÓÖÑ ØÖÙØÙÖ Ð ÒÒ ½ ÀÙÚÙÔÖÓÖÑ Ó ÙÒÖÔÖÓÖÑ ÆÖ ÑÒ Ð Ö ØÓÖ ÔÖÓÐÑ Ö Ö ÑÒ ÓØ Ð ÙÔÔ ÔÖÓÐÑØ ÐÔÖÓÐѺ ËÒ ÖÚÖ ÑÒ Ò Å¹Ð Ö ÚÖ Ðº ÌÝÔ Ø ÖÚÖ ÑÒ Ò ÓÑÑÒÓл ÖÔØÐ ÓÑ ÐÐ ÙÚÙÔÖÓÖѵ ÓÑ ÒÖÓÔÖ ÙÒØÓÒ ÐÖ ÓÑ Ó ÐÐ ÙÖÙØÒÖ ÐÐÖ ÙÒÖÔÖÓÖѵº
Ï Ö Ð Ä Æ Ò Ò ÐÝ Ó Ø Ë ÙÖ ØÝ Ò Æ Ó Á ¼¾º½½ ¹ À Ò Ð Ò Ò ÙÖ Ò ¾¼¼½ ÌÓ ÂÓÒ ÓÒ Ø Ó º Ø º Ö ÈÖÓ Ø Ø Ø ÊÓÝ Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÃÌÀµ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å ÖÓ Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý ÁÅÁ̵ Á ÓÖ Ø Ò ½ ¼ Ã Ø ËÛ Ò
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ
Article available at or
Å Ø º ÅÓ Ðº Æ Øº È ÒÓѺ ÎÓк ÆÓº ¾ ¾¼¼ ÔÔº ¾ ¹ ÅÓ ÐÐ Ò ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ê ÙÐ ØÓÖÝ Æ ØÛÓÖ Ò ÖØ Ð Ø Ö º Ë Ò Þ¹ a,c º È Ö ÓÒ a ºź È b Ò º ÐÓÒ ½,a,c a ÄÁÊÁË ÆÊË ÍÅÊ ¾¼ ÁÆË ¹ÄÝÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÄÝÓÒ ¾½ Î ÐÐ ÙÖ ÒÒ Ö Ò
u(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω)
Ã Ô Ø Ð ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØØ Ö Ã Ô Ø Ð Ø ÐÐ ÓÑÔ Ò Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ó Ö Ø Ñ Ô Ø ÒØ Òº Á Ô Ø Ð ¾ ÙØ Ö Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÙÖ Ñ Ò ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ö Ñ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Öº Î Ö Ó ÒØ Ø ØØ ÑÓ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÝÒ Ñ ÑÓ
º º ËÝÒ ÔØ ÔÐ Ø Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Æ ÙÖÓØÖ Ò Ñ ØØ Ö º º º º º º º º º º
Æ ÙÖÓ Ý ÓÐÓ ¹ Ò ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ Ú Ö ÓÒ ¼º½¾ Ò Ø Ä ÙÒ ÕÙ Ø ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ö Ö Ò Ö Ú Ú Ø Ø ÓÒ ÔØ Ò ÓÑ Ö ÓÑÑ Ö Ã Ò Ð Ë Û ÖØÞ ² Â Ð Ó ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ ½
Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LUNDS UNIVERSITET Avd Byggnadsmaterial Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur Tina Wikström Rapport TVBM-5084 Lund 2012 ISRN: LUTVDG/TVBM--12/5084--SE (1-66) ISSN:
arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008
![arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008](/thumbs/103/160116641.jpg "arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008")
Å ÖÓ ÓÔ Ù Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ë Ö È Ö Þ¹Å ÖØ Ò Ò ÄºÅº ÊÓ Ð Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ì Ö ¹ Á ÙÐØ Ò ÍÒ Ú Ö ÙØ ÒÓÑ Å Ö ¾ ¼ Å Ö ËÔ Ò Ì ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Û ÐÝ Ù Ò Ñ Ò Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ØÖ Ø Ø ÝÒ Ñ
¾¼ Ë Ò ÓÐ ÖØ Ö Ò ÓÒÒ Ö ËØÓ ¹ ÓÐÑ ½ ¼ º ½½ º Í ÍÍ Ë ÄÍÅ ÆÍ Å Ú Ò ØØ Ö Ú Ë Ö ØÖ Ñº ÀÒÚ ÖÒ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¼½ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ¾º ¾½ Ö À Ò ËÚ Ò Ú Ö º ÍÖ ÇÖ Ó
Ë ÙÖ Ö ÐÐ Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò Ö Ö ÐÐ ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Á Ë Ð Ò ½ ½ Ë Ð Ð Ø ÐÓ Ð³ Ô ÖÓ Ì ÐÐ ÓÔÔ Ø Ø Ö¹ Ò µº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ÒÖ ½ º Ø Ô Ô Ö ÒØÓº Ë ÑÑ ÔÙ Ð Ø ÓÒ ÓÑ ½ ¼º ¾ Ë Ô Ö ÑÓ Ô Ö Ñµº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ¹ ÒÖ ½ º ÃÓÖØ
G(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1)
ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ËÁÃÍÅ ÎÆÁÆ ËÄ ÇÊ ÌÇÊÁ Ì Ê ËÈÊÁ ÆÁÆ ¹ Á Á Ê ÃÌÁÇÆËÅ ÆËÌ Ê ÎÁ Ê ÆÌ Æ Á Ê ÃÌÁÇÆ ÆÄÁ Ì ¹Ë À ÊÊ ÊË Å ÌÇ ½ºÁÒÐ Ò Ò º ÃÓÖØ ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ÖÙÒ Ð Ò Ø ÓÖ ºµ Ç º ÒÒ ÒÐ Ò Ò Ö ÒØ Ú ØØ ÙØ ÖÐ Ø Ö
arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008
![arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008](/thumbs/57/41044285.jpg "arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008")
Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁËÃ Ê ÈËÇ Á arxiv:0809.0708v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008 Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò º Ö Ð Ò Ò Ð Ö Ò ËÔ ÐÐ Ê Ð Ø Ú Ø Ø Ø ¹ ÓÖ Ò Ñ ØÓÖ ÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÑØ Ú Ö Ö ØØ ÑÓ Ö Ø ÓÖ Òº ÌÖÓØ Ñ Ö Ò ÙÒ Ö Ö Ô Ò Ò ÒÒ Ø Ò Ø ÓÑ
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Dinner with the Devlin: Persson Logikern Pelle Lindström död: Dag Westerståhl More Sex.
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ¾ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ö Ò Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ö Ú
¾
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ Ò Ö ÀÓÐ Ø ¾ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ
markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE FYRA FYRA klart
PLANERING MATEMATIK - ÅK 8 Bok: Y (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Bråk och procent Kapitel : 2 Bråk och potenser Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE
Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg
Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M004M Tentamensdatum 200-03-24 Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00-4.00 Lärare: Thomas Strömberg Jourhavande lärare: Thomas Strömberg Tel: 0920-49944 Resultatet
Ø Ú Ø Ò Ô ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ¾¼¼¼ Ö ØØ ÖÒ Ó Ã ÖÐ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2011 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Intervjuer: Raghunathan, Björner, Laptev Popular Mathematics: Ulf Persson John Milnor -
Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3
Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Måndag 9 jan 212, kl 8.3-12.3 i Väg och vatten -salar. Hjälpmedel: Physics
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 januari 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström Mittag-Lefflers testamente: Arild Stubhaug Reminiscenser av Mittag-Lefflerinstitutet:
Ú Ö Ö ÐÒ Ö ØØ Ö Ú Ø Ú Ò Ò ¹ Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ö ¹ Ø Öº ËØÝÖ Ú ØØ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ò ÑÓØ Ð ÙÐÐ º Á Ó Ç ÓÐ ÔÖ Ð Ú ÝÒº ÍÒ Ø Ö ÖÒ ÐÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ò ÀÓÑ ÖÓ Ö Ø
ÒØ Ò Ò Ö ÄÎ ÂÓ Ò Î ÐÐ ÙÑ Ñ Ö ¾¼¼ ÒÑÖ Ò Ò Ö Å Ò Ó ÙÐÐ ÓÖ ÒØ Ò Ò Ö ÑØ Ò Ø Ò Ò Ö ½ ½º½ ÐÐÑÒØ ÀÓÑ ÖÓ ÁÐ Ò Ó Ç Ý Ò ØÚ Ð Ö Ú Ò ØÖÓ Ò Ý ÐÒ ÓÑ ØÓ Ú ÔÓ º ÁÒØ ÑÝ Ø Ú Ö Ø ÖÒ ÒÒ Ú Ö º ÁÐ Ò º ¹ ¼ Ç Ý Ò º ¼ Ö Ò Ö º
Självorganiserande strömningsteknik
Självorganiserande strömningsteknik i Viktor Schaubergers fotspår Lars Johansson Morten Ovesen Curt Hallberg Institutet för Ekologisk Teknik Forskningsrapporter 1 Malmö - 2002 Ë ÐÚÓÖ Ò Ö Ò ØÖ ÑÒ Ò Ø Ò
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ã Ò Ø Ö Ø Ú Ð Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ø Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø ¹ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò Ú ÐÒ Ò Ò Ö ØÓÖØ Ò À ÄÅ
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½ ÊÇÊ Ì ÖÑ Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö ØØ ÑÝ Ø Ö ØØ Ô ØÖÙÑ Ú ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÑ Ô ØØ ÐÐ Ö ÒÒ Ø ØØ
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm 19P 10P 2P 11P 20P 29P 6P 15P 24P P 25P 16P 7P 30P 21P 12P 3P 26P 17P 8P John Tate - Abelprisvinnare:
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð ¹ Ò Ð Ò Ôº Ì˵ Ö ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø Ò Ö Æ ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó
arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007
![arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007](/thumbs/95/124973666.jpg "arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007")
Ð Ñ ÒØ Ó Ê Ó Ï Ú arxiv:0712.4029v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007 Ö Ò ÓÖ Á ÑÓ À Ð ÂÙ ÅØØÐ ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Å ÜÛ ÐÐ ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2008 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Brändén och Karlsson Wallenbergpristagare: Borcea och Benedicks Lund under luppen: Magnus
Errata. by Afif Osseiran. August 17, 2006
Ú Ò ÒØ ÒÒ Ò Ï Ö Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó¹ÐÓ Ø ² ØÖ ÙØ Á ÇËË ÁÊ Æ ÓØÓÖ Ð Ì ËØÓ ÓÐÑ ËÛ Ò ¾¼¼ ÌÊÁÌ ¹Á ̹ Ç˹¼ ¼¾ ÁËËÆ ½ ¹ ÁËÊÆ ÃÌÀ»ÊË̻ʹ¹¼»¼¾¹¹Ë ÃÌÀ Á Ì Ë ¹½ ¼ ËØÓ ÓÐÑ ËÏ Æ Ñ Ú Ò Ð Ò ÓÑ Ñ Ø ÐÐ ØÒ Ú ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp, 2008-03-25 OBS! Denna tentamen avser nya versionen av kursen Beräkningsvetenskap
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 februari 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm What should a Mathematician Know?: Davis & Mumford Två klassiska läroböcker i analys:
15 = f(3) = 9a + 3b + c 9 = f( 3) = 9a 3b + c
½ ÁÌÇÊÁ Ä Î Ð Ú Ä Ò ÁØ ÓÑ ØÓ ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ Ø Ø ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔ Ö Ò Ò ÊÍ Û Ø Å À Å Ú Ò Ù Ñ ØØ ØÓ ÓØ Ö ÔÐ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑ ÊÍ Û Ø Å À Å ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÔÔ Ö ÓÒ ÖØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ¹ ÓÐÚ Ò Û Ø º Ï Ð Ø ØÖ Ò Ó ÓÒÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÚ
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Intervjuer: Lithner och du Sautoy: Ulf Persson From Sweden with Love: An Yajun Boij och Nyström
Frågetimmar inför skrivningarna i oktober
MATEMATIK Frågetimmar inför skrivningarna i oktober (Tomas Carnstam, Johan Richter, ) fredag 9 oktober 55 7 (Obs) tisdag 2 oktober 05 2 onsdag 24 oktober 05-2 torsdag 25 oktober 05 2 fredag 26 oktober
Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 2 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT13 Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering Syftet med den här
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 1 maj 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström En brevväxling: Olle Häggström och Anders Hallberg Uppsala Gästabud: Ulf Persson Uppsalas
PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS
TKK Dissertations 195 Espoo 2009 PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS Doctoral Dissertation Johnny-Stefan Lönnroth Helsinki University of Technology Faculty
Programmering med Java. Grunderna. Programspråket Java. Programmering med Java. Källkodsexempel. Java API-exempel In- och utmatning.
Programmering med Java Programmering med Java Programspråket Java Källkodsexempel Källkod Java API-exempel In- och utmatning Grunderna Erik Forslin ÓÒ º Ø º Rum 1445, plan 4 på Nada 08-7909690 Game.java
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-08-29 Skrivtid: 08 00 11 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
ÍØÚÖ Ö Ò Ú ËË ¹ Ò Ð Ö Ò ÓÑ Ö Ö Ò Ò Ø Ð ÓÔ Ö Ø Ö ÓÔ Ö Ø Ú Ú Ö Ñ Ø Å ØØ Ë Ð Ò Ö Ñ ¾¼¼ Å Ø Ö³ Ì Ò ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò ¾¼ Ö Ø ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Ø Ë¹ÍÑÍ Â ÖÖÝ Ö ÓÒ Ü Ñ Ò Ö È Ö Ä Ò ØÖ Ñ ÍÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò Ë
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-12-16 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 november 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm ICM 2010 - Hyderabad: Ulf Persson The Good, the Bad and the Ugly: Bill Casselman Platons
Vindkraft och försvarsintressen på Gotland
Dnr 421-2744-10 1(15) Vindkraft och försvarsintressen på Gotland Redovisning av ett samverkansprojekt mellan Länsstyrelsen, Region Gotland och Försvarsmakten 2011 Projektet har bekostats av Energimyndigheten,
ERE 102 Reglerteknik D Tentamen
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för signaler och system Reglerteknik, automation och mekatronik ERE Reglerteknik D Tentamen 5--3 8.3.3 M Examinator: Bo Egardt, tel 37. Tillåtna hjälpmedel: Typgodkänd