Dlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) =

Transkript

1 ÃÓÑÔ Ò ÙÑ ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ú Å Ð Ò À Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ Ó ¾¼¼

2 ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ ÁÒØ Ö Ð Ö ¾º½ Ö Ú Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º ¾º ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º ¾º ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ØÖ Ò Ò ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º ½¼ ¾º ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÑÑ Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º ½ ¾º Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú Ö Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ¾º Ò Ø ÓÒ Ô ÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ú ÒØ Ö Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÁÒØ Ö Ð Ò Ò Ô Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º½¼ ÁÒØ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½½ ÁÒØ Ö ÐÖ Ò Ò Ñ ÐÔ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º ¾º½¾ Ö Ö Ò Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½ Ö Ö Ò Ò ØÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½ ÎÓÐÝÑ Ö Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½ Ò Ö Ð Ö ÒØ Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½ Î Ö Ð ÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½ È ÖØ Ð Ö ÙÔÔ ÐÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½ È ÖØ ÐÐ ÒØ Ö Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ÃÓÑÔÐ Ü Ø Ð º½ Ò Ø ÓÒ Ô ÓÑÔÐ Ü Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÃÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ô ÓÖÑ Ò a + ib º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÓÒ Ù Ø Ø Ú ÓÒ Ñ ÓÑÔÐ Ü Ø Ð º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ø ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÔÐ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ó Ö ÐÐ Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

3 ÁÆÆ À ÄÄ ¾ Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ ½ º½ ÃÓÑ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÑÔ Ö ÒÒÓÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø Ð ÒÒÓÐ Ø Ö ÔÔ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º Ê Ò Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ º Ç ÖÓ Ò Ò Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º Ç ÖÓ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º Ø ÓÒ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ú ÒÒÓÐ Ø Ö º º º º º º º º º º ½¼ º ÒÓÑ Ð ÒÒÓÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º ËØÓ Ø Ú Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º½¼ Ö Ø ÒÒÓÐ Ø Ö ÐÒ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º½½ Ò Ö ÐÒ Ò Ö Ø Ö Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º½¾ ÃÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ö ÐÒ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾ º½ ÆÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ËÙÑÑÓÖ Ó Ø Ð Ð Ö ½¾ º½ Ì Ð Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾ ÅÓÒÓØÓÒ Ó ÖÒ Ø Ð Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º ÖÒ ÚÖ Ú Ò Ø Ð Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ë Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÃÓÒÚ Ö ÒØ Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

4 Ã Ô Ø Ð ½ ÁÒÐ Ò Ò ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙÚÙ Ö Ú Ø Ú Ò Ð ÙÔ º Â Ö ÓÖØ Ò Ð ÓÖÖ Ö Ò Ö ØØ Ø ÐÐ Ò Ö Ü ÑÔ Ð ÑØ Ö Ø Ø ÙÖ Öº Ø ÓÑ Ø ÙÔÔ Ö ÒØ Ö Ð Ö Ô Ø Ð ¾µ ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ô Ø Ð µ ÒÒÓ¹ Ð Ø ÐÖ Ô Ø Ð µ ÑØ ÙÑÑÓÖ Ó Ø Ð Ð Ö Ô Ø Ð µº ÃÓÑÔ Ò Ø Ö Ö Ô ÖÒ ÝÑÒ Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ó ÁÁÁ Ö ÚÒ Ú Ç Ò ¹ ÃÙ ÓÒ Ò Ñº º Ë ÒØ ÓÑ Ø Ø ÙÔÔ ÓÑÔ Ò Ø Ö ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø Á Ö Ú Ø Ú Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ú Å Ð ÃÙÖÙÐ µ ÒØ Ú Ö ÒØº Ó ¾ º º¾¼¼ Å Ð Ò À

5 Ã Ô Ø Ð ¾ ÁÒØ Ö Ð Ö ¾º½ Ö Ú Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Á ÙÖ Ò ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø Á ØÑ Ú Ö Ú Ø Ò Ø ÐÐ Ò Ú ÙÒ Ø ÓÒº Ü ÑÔ Ð ¾º½ Dlnx = x D 4 x4 = 4 4x3 = x 3. Î ÐÐ ÒÙ ÐÒ º Î ÐÐ ØÑÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ö Ö Ú Ø Ö Ú Òº Ü ÑÔ Ð ¾º¾ ÇÑ Ø Ö Ú Ø ØØ f (x) = 3x ÙÖ Ö f(x) ÙØ Ò Ø ÓÒ ¾º½ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f Ö Ò Ö ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Iº Ö F Ò ÔÖ ¹ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ f ÓÑ F (x) = f(x), Ö ÐÐ x I. Ü ÑÔ Ð ¾º F(x) = x3 + x x3 Ó G(x) = 3 Ø ÐÐ f(x) = x + x ØÝ + x 3 + Ö ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö F (x) = G (x) = x + x = f(x).

6 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê Ì ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒÒ Ø ÐÐØ ÑÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð ¾º Î ØØ F(x) = x + Ö Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ f(x) = x x + º ÖÒ ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø Á Ú Ø Ú ØØ Df n = nf n f º Å ÐÔ Ú ØØ ØØ Ö Ú Ø Ò Ú F(x) Ð Ö D( x + ) = D(x + ) = (x + ) x x = x +. Ë Ø ¾º¾ ÇÑ F Ö Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ f Ö ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ØÝÔ Ò F + C Ö C Ö Ò ÓÒ Ø ÒØµ Ó Ò Ø ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐ f Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö f Ö Ò Ö º ØØ ØÝ Ö ÐÐØ ØØ ÓÑ Ú Ö ØØ Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ØØ Ø ÐÐ Ö Ú ÓÖÑ Ò F + Cº ¾º¾ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Î ÖÚ Ú Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ü ÑÔ Ð ¾º ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ú Ö Ö Ú Ö Ö Ô Ð Ò ¹ Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ó Ö Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º Ö ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ØØ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ñ Ò¹ Ø ÖÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ñ Ø Ú Ú Ö Ö Ø Ô ÐÐØ ÔÙÒ ¹ Ø Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ú Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º ØÑ ÐÐ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐ { x +, x f(x) =, x >. ÀÙÖ Ö F(x) ÙØ Î Ö ÒÖÑ Ö Ò Ô ÙÖ Ñ Ò Ö Ò Ö ÙØ ÒÒ Ò Ø Ú Ò ØØºµ F(x) = { x + x + C, x x + C, x >. Î ØÚ Ö Ú ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ó Ö Ú Ö Ö Ø

7 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ½º Ö F(x) ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÃÖ Ú ÀÖ ÐÐ Ö lim x +F(x) = lim F(x) = F(). x lim x +F(x) = lim x +(x + C ) = + C ( ) lim x F(x) = lim x x + x + C = 3 + C ÆÙ Ñ Ø Ø ÐÐ ØØ + C = 3 + C º ØØ Ö ØØ C = C +. F(x) = ¾º Ö F(x) Ö Ú Ö Ö ÃÖ Ú Ü ÑÔ Ð ¾º ÀÖ { x + x + + C, x x + C, x >. lim x +F (x) = lim x F (x). lim x +F (x) = lim x + = lim x F (x) = lim x (x + ) =. F(x) Ö ÐÐØ Ö Ú Ö Ö Ó Ú F(x) = { x + x + + C, x x + C, x >. ÍÒ Ö ÓÑ Ø ÒÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐ { x, x f(x) = 0, x >. ÀÖ Ö F(x) = { x + C, x C, x >.

8 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ÃÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ö Ú Ø Ö ØØ lim x +F(x) = lim x F(x) C = + C. Ö ÒÒ Ö Ú Ö Ö { F(x) = x + C, x + C, x >. Æ ØÝ lim x +F (x) = lim x +0 = 0 lim x F (x) = lim x x =. Á Ø Ö Ø Ü ÑÔÐ Ø Ü Ø Ö Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ò ÒØ Ø Ò ¹ Ö º Á Ø Ö Ø Ü ÑÔÐ Ø Ú Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ñ Ò ÒØ Ø Ò Ö º Ð Ò Ø ÐÐ Ö Ñ Ò Ú ÒØ Ë Ø ¾º ÇÑ f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ô ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø I Ü Ø Ö Ö ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø Ó¹ Ò Öº ÒÑÖ Ò Ò ¾º Ø Ò ÒÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ò ÓÑ f Ö ÓÒ¹ Ø ÒÙ ÖÐ º ¾º ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØØ Ö Ú Ö Ö Ó Ø Ñ Ò Øº Î Ö Ð Ö Ö Ð Ö ÓÑ Ø Ö ÐØØ ØØ ÒÚÒ¹ º Ö ØØ ØØ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÚ Ó Ø ÙÔÔ ÒÒ Ò Ö ÓÑº Î Ö Ó Ò Ð Ð Ö Ð Ö ÓÑ ÐÔ Ö Ó Ó Ò Ø Ò ÐÐ Ü ÑÔ Ð Ú Ö ÒÓÑ Ô ÙÖ Ò Ð Ö Ö Ú Ó Ñ º Å Ò Ò ÙØØÖÝ Ð Ñ ÒØÖ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö sin x x3 +, x. ØØ ØØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ ØØ ÒØ Ö Ö º Á ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ ¹ Ø Á Ú

9 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê Ö Ú Ø ÓÔ Ö ØÓÖÒ D ÆÙ ÒÚÒ Ö Ú ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖÒ D Ø ÐÐ Ö ØØ Df(x) = f (x), D f(x) = F(x) + C. ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖÒ Ó Ö Ú Ø ÓÔ Ö ØÓÖÒ Ö Ú Ö Ò Ö ÒÚ Ö Ö ØÝ D(D f(x)) = f(x), D (Df(x)) = f(x) + C. Î ÔÖ ÒØ Ö Ö ÒÙ Ò Ö Ö Ð Ö ÓÑ Ú Ò ÒÚÒ Ú ÒØ Ö Ø ÓÒ ½º D [cf(x)] = cd f(x), ºÚº º Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò ÝØØ ÙØ Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖÒº ¾º D [f(x) + g(x)] = D f(x) + D g(x). º D x a = xa+ a+ + C, a. Â ÔÖ ÒØ Ö Ö ØØ Ú Ö Ô Ø Ò 3 Ú D xa+ a º = a+ a+ Dxa+ = a+ (a + )xa = x a. Ç ÖÚ Ö ØØ ØØ ÐÐ Ö Ö Ð Ö Ú Ö Ö ÒÙ ØØ Ú Ò ØÑÑ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð ¾º D (3x 4 ) () = 3D x 4 (3) = 3 5 x5 + C. Ü ÑÔ Ð ¾º D (x +5x+) () = D x +D 5x+D = 3 x3 + 5 x +x+c.

10 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê Ü ÑÔ Ð ¾º D x = D x = 3 x 3 + C = x x + C. 3 Ü ÑÔ Ð ¾º½¼ D x = D x = x + C = x + C ÇÚ Ò Ø Ò Ö ÙÐØ Ø ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò Ö ÑÑ Ò¹ Ò Ò º ÇÑ Ú Ö D f = Ê \ {0} Ð Ö ØØ Ø ÐÐ ØØ D x = { x + C, x > 0 x + C, x < 0. ÀÖ Ö ÓÒ Ø ÒØ ÖÒ C C Ó ÖÓ Ò Ú Ú Ö Ò Ö ØÝ Ú Ò Ò ÒØ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ö x = 0º Ü ÑÔ Ð ¾º½½ Ë ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐ Î Ö Ú Ö ÓÑ f(x) Ó Ö ØØ Ö f(x) = + x x 5, x > 0. f(x) = + x x 5 = x 5 + x 3 = x 5 + x 3. F(x) = D f(x) = D (x 5 + x 3 ) = 4 x 4 + ( ) x + C = 4x 4 x + C. ÇÑ Ú Ö ÒØ Ö ØØ D f = Ê \ {0} ÙÐÐ Ú Ð Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ { + C F(x) = 4x 4 x, x > 0 + C 4x 4 x, x < 0.

11 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ½¼ ¾º ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ØÖ Ò Ò ÒØ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ö Î Ö ØÖ Ò Ò ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ò Ò Ö Ñ + / ÐÐ Ö ÖÓØ Ö Ò Ò º Ü ÑÔ Ð Ö log x e x sin x Óº ºÚº Ü ÑÔ Ð ¾º½¾ D ln x = x, x > 0, D ln( x) = x, x < 0. D x D x = lnx + C, x > 0, = ln( x) + C, x < 0. Î Ö Ð Ò Ö Ð Ö Ö ØÖ Ò Ò ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ½º D x = ln x + C ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÑ ÒØ ÒÒ ÐÐ Ö x = 0º ¾º D e x = e x + C º D a x = ax ln a + C º D sin x = cos x + C º D cos x = sinx + C º D cos x = D ( + tan x) = tanx + C Ö ÐÐ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÑ ÒØ ÒÒ ÐÐ Ö x = π cos x = 0 + nπ n ºÚº º Ö º D sin x = D ( + cot x) = cotx + C Ö ÐÐ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÑ ÒØ ÒÒ ÐÐ Ö x = nπ n ºÚº º Ö sin x = 0º

12 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ½½ Ü ÑÔ Ð ¾º½ ØÑ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ F(x) µ f(x) = 3 x 4. Î Ö Ú Ö ÓÑ f(x) ÓÑ f(x) = 3 º Å ÐÔ Ú Ö Ð x 4 ØØ F(x) = 3 ln x 4 + C. µ f(x) = 3x 3 x. ÀÖ ØØ f(x) = 3x 3 x = 3 x Ó Ñ ÐÔ Ú Ö Ð 3 ØØ F(x) = 3x ln 3 + C. µ f(x) = sin x + sin x. ÆÙ ÐÐ Ö ØØ f(x) = sin x+ = + º ÒÐ Ø Ö Ð 7 ØØ sin x sin x F(x) = x + cotx + C. µ f(x) = tan x. ÇÑ Ö ÚÒ Ò Ö f(x) = tan x = ( + tan ) º ÒÐ Ø Ö Ð 6 F(x) = tanx x + C.

13 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ½¾ Ü ÑÔ Ð ¾º½ ØÑ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐ f(x) = x + x 3. x Î Ö Ö Ñ ØØ Ð ÙÔÔ f(x) Ó Ö f(x) = x + x 3 x = x x + x. Î Ö Ö Ó Ø ÐÐ Ñ ÒÒ ØØ D x a = xa+ a+ + Cº F(x) = ln x x + 3 x3 + C. Ø Ñ Ø ÐÐ ØØ x > 0 Ö ØØ ÙØØÖÝ Ø ÐÐ Ú Ö Ò Ö Øº ØØ Ö ØØ Ü ÑÔ Ð ¾º½ F(x) = lnx x + 3 x x + C. ØÑ f(x) f (x) = sin xº Î ÒÚÒ Ö Ó Ú Ö Ð ÖÒ 4 Ó 5 Ó Ö f (x) = sin x, f (x) = cosx + C, f(x) = sinx + Cx + C.

14 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ½ ¾º ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÑÑ Ò ØØ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ö ØØ Ö ØØ Ú Ø Ø Ó ÑÝ Ø ÖÙÒ Ð Ò Ú Ò ØØº Á Ø Ö Ú Ò ØØ Ö Ú ØØ Ô Ò Ð ÖÙÒ Ö Ð Ö Ñ Ò Ô Ò ÖØ Ð Ö Ö Ñ Ò ÒØ º Î ÐÐ Ô ØØ Ü ÑÔ Ð ÓÑ ÐÝ Ö ØØ Ü ÑÔ Ð ¾º½ D sin x cos x + C, ØÝ D( cos x) = sin x Ôº º º ÒÖ Ö Ú Ø Òº Î Ö Ö Ó Ø ÐÐ Ñ ÒÒ Ö Ú Ö Ò Ö ÐÒ Ö ÑÑ Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö D(g(f(x)) = g (f(x))f (x), Ö f (x) Ö Ø Ú ÐÐ Ö ÒÖ Ö Ú Ø º ÇÚ Ò Ø Ò Ö Ð Ö Ó ÒØ Ö Ö Ò Ö ÐÒ D (g (f(x))f (x)) = g(f(x)) + C. Ò ÒÖ Ö Ú Ø Ò Ø ÐÐØ ÙÔÔ Ú ÒØ Ö Ö Ò º Ü ÑÔ Ð ¾º½ D sin x Ö ØØ ÙÒÒ ÒÚÒ ÓÚ Ò Ø Ò Ö Ð Ö f (x) ÒÒ Ñ ÙØØÖÝ Øº Á ØØ ÐÐ Ö ÒÖ Ö Ú Ø Ò Dx = µº Î Ò ÒØ Ö ØØ Ø ÐÐ ¾ ØÝ Ò Ö Ö Ú Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Òº Ö Ö ØØ Ö Ú Ò Ö Ñ Ö sin xº D sin x = D ( sin x ) = D ( sin x) = ( cos x) + C = cos x + C.

15 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ½ ËÔ ÐÐØ ÐÐ Ö Ð Ò Ö Ð Ü ÑÔ Ð ¾º½ D (f (x)(f(x)) a ) = a + (f(x))a+ + C, a. ØÑ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐ µ g(x) = (4x + 3) 3 ÀÖ Ö ÒÖ Ö Ú Ø Ò 4 ØÝ D(4x + 3) = 4º ØØ Ö G(x) = D g(x) = D (4x + 3) 3 = D 4 4 (4x + 3)3 = 4 D 4(4x + 3) 3 = 4 4 (4x + 3)4 + C = 6 (4x + 3)4 + C. µ g(x) = 4x Î Ö Ú Ö ÓÑ g(x) ÓÑ g(x) = 4x = ( 4x) º ÁÒÖ Ö Ú Ø Ò Ö 4 ØÝ D( 4x) = 4 Ó Ú Ö µ G(x) = ( ) 4 D ( 4)( 4x) = 4 ( 4x)3 + C = 3 6 ( + C. 4x)3 g(x) = (3x + 3)(x + x ) 3 ÁÒÖ Ö Ú Ø Ò ÓÑ D(x + x ) = x + º ÒÒ ÒÒ Ò Ø Ò º

16 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ½ Ö ØØ Ò Ö ÓÑ 3x + 3 Ø ÐÐ x + ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ö Ú Ñ 3 º ÃÓÖ¹ Ö Ö Ò Ø ÖÑ Ò Ð Ö ÐÐØ 3 º Ò g(x) Ö Ú ÓÑ g(x) = (3x + 3)(x + x ) 3 = 3 (x + )(x + x ) 3. ÆÙ Ò Ö ÐÒ ÓÚ Ò ÒÚÒ Ó Ú Ö G(x) = 3 4 (x + x ) 4 + C = 3 8 (x + x ) 4 + C. µ g(x) = x Î Ö Ö Ñ ØØ Ö Ú ÓÑ g(x)º Ø ÐÐ Ö ØØ g(x) = ( x ) º ÁÒÖ Ö Ú Ø Ò Ö º ØØ Ö ( G(x) = D ( x ) ) = ( x ) + C = 4 x + C. µ g(x) = x x x + Ë Ö Ú Ö ÓÑ g(x) g(x) = x x x + = (x )(x x + ). Ö Ú Ö Ö x x+ Ó Ö ØØ ÒÖ Ö Ú Ø Ò Ö x º ÒÒ ÒÒ Ö Ò g(x) Ú Ú Ö ÐÐØ ÒØ ØØ Ø ÐÐ Ò ÓÒ ÒÖ Ö Ú Ø º G(x) = (x x + ) + C = x x + + C.

17 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ½ µ g(x) = x sin x 3 ÁÒÖ Ö Ú Ø Ò Ö 3x º Î ØØ Ö Ø ÐÐ 3º ØØ Ö 3 G(x) = 3 D (3x )(sinx 3 ) = 3 ( cos x3 ) + C = 3 cos x3 + C. µ g(x) = cot x sin x Î Ö Ö Ò Ò Ò Ñ ØØ Ö Ú ÓÑ g(x)º Î Ú Ø ØØ ØØ Ö cot x = tanx = cos x sin x. g(x) = cot x sin x = cos x sin x = cos x(sin x). ÁÒÖ Ö Ú Ø Ò Ú sin x Ö cos xº G(x) = D cos x(sin x) = (sin x) + C = sin x + C. Î ØØ Ö ÐÒ Ö D (f (x)(f(x)) a ) ÒØ ÐÐ Ö Ö a = º Î Ò Ö ÐÐ a = Î Ö Ú Ö Ò Ú ln f(x) f(x) > 0 : f(x) < 0 : D ln f(x) = f (x) f(x) D ln( f(x)) = f (x) f(x)

18 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ½ ØØ Ö ÙÔÔ ÓÚ Ø ÐÐ Ö ÐÒ D f (x) f(x) Ü ÑÔ Ð ¾º½ = ln f(x) + C, ÐÐ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö f(x) 0. ØÑ ÐÐ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐ µ f(x) = x x3, x >. Ö Ú Ø Ò Ú x 3 Ö 3x º ØØ Ö f(x) = x x = 3 3 3x x 3. F(x) = 3 ln x3 + C. Ø Ú Ö Ú Ø ØØ x > º ØØ Ð Ö Ø ÐÐ ØØ x 3 < 0 Ú Ð Ø Ö ØØ F(x) = 3 ln( x3 ) + C. µ f(x) = tanx. Î Ú Ø ØØ tanx = sin x ÑØ ØØ D cosx = sin xº Ø Ò ÓÑ cos x Ò Ö ÐÐØ Ñ ÒÙ Ø Ò Øº Î Ö ( F(x) = D sin x ) = ln cos x + C. cos x ÀÖ Ú Ø Ú Ò Ø ÓÑ ÚÖ Ø Ô cosx Ö Ö Ñ Ø ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ú Ö Ú Öº

19 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ½ µ f(x) = sin x + cos x. ÁÒÖ Ö Ú Ø Ò ÓÑ D( + cos x) = cos ( sin x) = sin x cos x. Î Ú Ø ØØ sin x = sin x cos x Ö Ö Ö Ú Ú Ð Ø Ö f(x) = sin x + cos x = sin x cos x + cos x, F(x) = ln + cos x + C = ln( + cos x) + C, ØÝ + cos x > 0º µ f(x) = x + x x. ÀÖ Ö ØÐ Ö Ò Ö Ö Ø Ð Ò ÒÑÒ Ö Òº Ò Ñ Ò Ú Ö Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Òº ØØ Ö Øº Ü Ñ ØÖ ÔÔ Ø Ñ ØÓ¹ Ò ºµ ÆÖ ØØ ÓÖØ Ö ÐÐ Ö Ú ØØ f(x) = x + x x = x x. ÆÙ ÒÚÒ Ö Ú Ò Ñ ØÓ Ö Ó Ö F(x) = x + 3x + 3 ln x + C. ÇÑ Ñ Ò Ö Ú Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò e f(x) Ö Ñ Ò f (x)e f(x) º ØØ Ö Ö ÐÒ D e f(x) f (x) = e f(x) + C.

20 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ½ Ü ÑÔ Ð ¾º¾¼ ØÑ ÐÐ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐ µ f(x) = ex + e x. Î Ö Ö Ñ ØØ Ö Ú ÓÑ f(x) Ò Ò Ò f(x) = ex + e x = + e x = + e x. ÁÒÖ Ö Ú Ø Ò Ö Ó Ö Ú F(x) = D + D ( ( )e x ) = x e x + C. µ f(x) = e x+. ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ú ÓÑ f(x) = e x º ÁÒÖ Ö Ú Ø Ò Ö Ó Ú Ö ( F(x) = D ) ( )e x = e x + C = + C. ex+ µ f(x) = sin xe cos x. Ø Ö ÓÑ D cos x = sin x f(x) = ( ) ( sin x)e cos x º ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ ÒÙ Ú F(x) = e cos x + C.

21 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¾¼ ¾º Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú Ö Ö Ð Ö ½º D [cf(x)] = cd f(x), ºÚº º Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò ÝØØ ÙØ Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖÒ ¾º D [f(x) + g(x)] = D f(x) + D g(x) º D x a = xa+ a+ + C, a º D x = ln x + C ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÑ ÒØ ÒÒ ÐÐ Ö x = 0 º D e x = e x + C º D a x = ax ln a + C º D sin x = cos x + C º D cos x = sinx + C º D cos x = D ( + tan x) = tanx + C Ö ÐÐ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÑ ÒØ ÒÒ ÐÐ Ö x = π cos x = 0 + nπ n ºÚº º Ö ½¼º D sin x = D ( + cot x) = cotx + C Ö ÐÐ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÑ ÒØ ÒÒ ÐÐ Ö x = nπ n ºÚº º Ö sin x = 0 ½½º ½¾º D (g (f(x))f (x)) = g(f(x)) + C D (f (x)(f(x)) a ) = a + (f(x))a+ + C, a ½ º ½ º D f (x) f(x) = ln f(x) + C, ÐÐ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö f(x) 0 D e f(x) f (x) = e f(x) + C

22 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¾½ ¾º Ò Ø ÓÒ Ô ÒØ Ö Ð Î ÐÐ ØØ Ú Ò ØØ Ò Ö Ö ÔÔ Ø ÒØ Ö Ðº Ö ØØ Ö Ø Ö Ö Ú Ñ ØØ Ü ÑÔ Ðº Ü ÑÔ Ð ¾º¾½ ÍÔÔ ØØ ØÓÖÐ Ò Ú Ø ÓÑÖ ÓÑ ÖÒ Ú Ô Ö ÐÒ y = x ÓÓÖ Ò Ø ÜÐ ÖÒ Ó Ð Ò Ò x = º Ë ÙÖ.µº y y=x x ÙÖ ¾º½ Î Ø Ò Ö Ö Ò Ñ Aº Î Ò ÒØ Ö Ò Ö Ò Ü Ø Ñ Ñ ØÓ Ö Ú ØØ ÐÐ Ö ÐÖØ Ó Ö Ò ÖÒ ÒØ Ú Ö ¹ Ð Ò Öº Ö Ò Ú y = x Ö Ù ÒØ Ò ÖØ Ð Ò ÀÙÖ ÐÐ Ú Ö Å Ò Ò ØÒ ØØ Ô ÓÐ ØØ ÙÔÔ ØØ Ø ÖÒ ÓÑ¹ Ö Øº ÇÑ Ú Ö Ö Ò Ð Ò Ñ ÐÐ Ò ÔÙÒ Ø ÖÒ (0, 0) Ó (, ) Ö Ú ØØ Ö Ò Ð Ö ÙÒ Ö ÒÒ º Ö Ò Ñ Ø ÐÐØ Ú Ö ÙÒ Ö º Ë ÙÖ.µº Ö Ñ ØØ Ö Ð º À Ò ØÑ Ö Ò ÒÓÑ ØØ Ð ÙÒ Ö ØØ Ó Ð Ú Ö ØØ Ö Òº ØØ ÓÖ Ò ÒÓÑ ØØ Ð Ò x¹ Ü ÐÒ ØØ ÒØ Ð Ð ØÓÖ Ø Ö Ó Ñ ÓÐ Ö ¹ Ø Ò Ð Ö ØØ ÝØ Òº Î Ð Ö Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [0, ] ÝÖ Ð ØÓÖ Ð Ö ØØ Ú Ö ÝÖ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Ñ Ò ÔÙÒ Ø ÖÒ 0,,, 3, º Î Ö Ø Ö Ò Ö Ø Ò ¹ Ð Ö Ú Ö Ò ÔÙÒ Ø Ð Ö Ô Ö Òº ÙÖ ÖÒ.3 Ó.4µº Î

23 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¾¾ y y=x y=x x ÙÖ ¾º¾ Ö ÒÙ ØÚ ÙÖ Ö Ö ÙÖ.3 ÖØ Ö Ò ÙÒ Ö ØØÒ Ò Ú Ö Ò Ö x Ó ÙÖ.4 Ñ Ö Ø Ö Ò Ú Ö ØØÒ Ò Ú Ö Ò Ö x º y y=x /4 / 3/4 x ÙÖ ¾º ÒÓÑ ØØ Ö Ò ÙØ Ö Ò Ú Ö Ø Ò Ð ÖÒ Ò Ú ØØ Ö Ò ÙÒ Ö Ö Ò Ñ Ò ØÓÖ ÒÓ Ö ÒÒ Øº Ò Ñ Ò Ö Ö Ò ÐÐ Ò ÙÒ Ö ÙÑÑ Ñ Ò Ò Ø ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ö ÙÑÑ º ÍÒ Ö ÙÑÑ Ò Ø Ò Ñ ØØ ØØ Ð Ø Ø s Ö ØØ Ò Ü Ø Ð Ö ÓÑ ÙÖ ÑÒ Ö Ø Ò Ð Ö Ú Ö Ø Ö Ñ º Ò Ö Ò Ö ØØ Ü ÑÔ Ð ÓÑ

24 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¾ y y=x /4 / 3/4 x ÙÖ ¾º s 4 = ( ( ) = 4 64 ) ( ) + 4 ( 3 ) = 4 = 0, 875. Ú Ö ÙÑÑ Ò Ø Ò Ô ÑÓØ Ú Ö Ò ØØ Ñ ØÓÖØ S Ö Ò Ü Ø Ò Ö ÙÖ ÑÒ Ö Ø Ò Ð Ö Ñ Ò ÒÚÒ Öº Î Ö Ò Ö Ò ØØ ÐÐ ÓÑ S 4 = ( 4 4 ) ( ) + 4 ( 3 ) ( 4 ) = ( ) = = 0, Î Ö ÒÙ ØØ ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ ]0.875, [ ÒÓÑ Ú Ð Ø Ö Ò Ñ Ö Ø Ð Öº ËÓÑ Ú Ö Ö Ú ØØ Ò ØÓÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐº Ö ØØ Ñ Ò ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÖÚ Ø ØØ Ú Ö ÒØ Ð Ø Ö ¹ Ø Ò Ð Öº ÒÓÑ ØØ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø ØØ Ð Ö ØØ Ö Ò A Ð Ö ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø ]0.73, 0.398[º ØØ Ö ØØ ØØÖ Ö ÙÐØ Ø Ñ Ò ÒÒÙ Ö ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø ÖØØ ØÓÖØº Ö ØØ ØØ ØØÖ ÚÖ Ö Ú Ð Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø ÒÒÙ Ö Ö Ø Ò Ð Öº ÒÒ Ñ ØÓ ÓÑ Ú ÒÙ Ö ØØ Ô ÐÐ Ú ÒÚÒ Ö ØØ Ò Ö Ö Ô¹ Ô Ø ÒØ Ö Ðº Î ÐÐ ÙØ ÖÒ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÑ Ö Ò Ö Ô ØØ ÐÙØ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ [a,b]º Î Ò Ð Ö ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ n ØÝ Ò Ð ØÓÖ Ð Ö Ó Ð Ö n ØÝ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÐº Ö Ò ÔÙÒ Ø Ö ÐÐ Ö Ú a = x 0 x,...,x n x n = b Ó Ø ÐÐ Ö ØØ a = x 0 < x <... < x n < x n = bº

25 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¾ ØØ ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÒÒ Ö Ú Ò ØØ ÐÐ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º Î Ñ ÒÒ ÖÒ Ö Ø Ð Ò ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø ØØ ØØ Ñ Ö ØØ Ø Ú Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ [x k,x k ] ÒÒ ØØ Ñ Ò Ø ÚÖ m k Ó ØØ Ø Ö Ø ÚÖ M k º Î ÐÐ Ö ÒÙ ÑÒ Ò Ú ÒØ ÖÚ ÐÐÒ ÔÙÒ Ø Ö D = {x 0,x,...,x n,x n } Ò¹ ÐÒ Ò Ò º Å Ò Ò ÐÒ Ò D Ò Ú Ñ ÐÔ Ú Ñ Ò Ø Ó Ø Ö Ø ÚÖ Ò Ú Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö Ò ÙØ ÙÒ Ö¹ Ó Ú Ö ÙÑÑÓÖÒ s(d) = m (x x 0 ) + m (x x ) n m n (x n x n ) + m n (x n x n ) = m k (x k x k ). k= S(D) = M (x x 0 ) + M (x x ) n M n (x n x n ) + M n (x n x n ) = M k (x k x k ). ËÔ ÐÐØ Ö ØÙ Ø ÓÒ Ò ØØ f(x) 0 Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [a,b] Ò Ñ Ò ÓÑ Ø¹ Ö Ø ØÓÐ ÙÒ Ö¹ Ó Ú Ö ÙÑÑÓÖÒ ÓÑ ÙÑÑÓÖ Ú Ö Ø Ò Ð Ö ÓÖº Î ÐÐ Ô Ò Ö Ò Ô Ö ÓÑ ÙØÑÖ Ö ÙÒ Ö¹ Ó Ú Ö ÙÑÑÓÖº ½º ÍÒ Ö ÙÑÑ Ò Ò ÒØ Ú Ö Ø ÖÖ Ò Ú Ö ÙÑÑ Ò ÐÐØ k= s(d) S(D) Ö ÐÐ Ò ÐÒ Ò Ö D. ¾º Å Ò Ò Ö Ò ÐÒ Ò ºÚº º Ö ÒØ ÖÚ ÐÐµ Ö Ú Ú Ò Ò ØØÖ Ô¹ ÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ú Ö Òº ØØ ØÝ Ö ØØ ÙÒ Ö ÙÑÑ Ò ÚÜ Ö Ó Ú Ö¹ ÙÑÑ Ò ÚØ Öº ÇÑ Ú ÒØ Ö ØØ Ú Ö ØÚ Ò ÐÒ Ò Ö D Ó D Ö D Ö Ò Ò Ö Ò ÐÒ Ò ÐÐ Ö Ø ØØ s(d) s(d ) S(D ) S(D). º Ç ÖÓ Ò Ú ÙÖ Ú Ò Ð Ö ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ö Ú Ö ÙÒ Ö ÙÑÑ s(d ) Ñ Ò Ö Ò ÐÐ Ö Ð Ñ Ú Ö Ú Ö ÙÑÑ S(D )º ÀÙÖ ÐÐ Ú ÒÙ Ú Ö Ö ÖÒ ÂÓ Ñ Ø ÖÖ ÒÓ Ö ÒÒ Ø Ò ÐÒ Ò Ú ÒØ ÖÚ ÐÐ Ó ÒÓÑ ØØ Ø ÐÐÑÔ Ö Ð ÒÙÑÑ Ö ØÚ Ò Ú ØÒ Ó ØØ ÒÒ Ü Ø ØØ Ø Ð A ØØ Ø Ð Ø Ö Ø ÖÖ Ò ÐÐ Ö Ð Ñ Ú Ö ÙÒ Ö ÙÑÑ Ó Ñ Ò Ö Ò ÐÐ Ö Ð Ñ Ú Ö Ú Ö ÙÑÑ º ØØ Ø Ð Ö Ð ØÓÖØ ÓÑ Ò Ø Ö Ò Aº ØØ ÙØ Ö ÖÙÒ Ò Ö Ö ÔÔ Ø ÒØ Ö Ðº

26 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¾ Ò Ø ÓÒ ¾º ÒØ ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ô Ø ÐÙØÒ ÒØ Ö¹ Ú ÐÐ Ø [a,b] ØØ ØÝ Ö ÑØ Ø ØØ Ò Ö ÖÒ µº ÄØ s(d) Ó S(D) Ø Ò ÙÒ Ö¹ Ö Ô Ø Ú Ú Ö ÙÑÑ Ò Ö Ò Ó ØÝ Ð Ò ÐÒ Ò D Ú ÒØ ÖÚ ÐÐ Øº Ø Ö ØØ Ú ØØ Ø Ü Ø Ö Ö ØØ Ó Ò Ø ØØ Ø Ð I ØØ s(d) I S(D). Î ÐÐ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f integrerbar Ó Ø Ð Ø I ÐÐ Ö Ú integralen Ú ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ò f Ú Ö ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [a,b]º Î Ø Ò Ö ÒØ Ö Ð Ò Ñ I = b a f(x)dx ÐÐ Ö b Ø Ò Ò Ò f(x)dx ÙØÐ ÒØ Ö Ð Ò Ú Üµ ÖÒ Ø ÐÐ º Ì Ð Ò a a Ó b ÐÐ Ò ÙÒ Ö Ö Ô Ø Ú Ò ÚÖ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ò f(x) ÐÐ ÒØ Ö Ò Ó x ÒØ Ö Ø ÓÒ Ú Ö Ðº b a f. ¾º ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ú ÒØ Ö Ð Ò Á ÖÖ Ú Ò ØØ Ø Ò Ö Ú Ö ÔÔ Ø ÒØ Ö Ð Ó Ô Ñ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ö Ò ÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÒØ Ö Ð Òº Î ÐÐ ÒÙ ÓÖØ ØØ Ô ØØ Ø Ñ Ó Ô ÒØ Ö Ð Ò ÓÑ Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ú Ö Òº Ü ÑÔ Ð ¾º¾¾ Î ØØ Ò ÓÒ Ø ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f : f(x) = C Ö ÒØ Ö Ö Ö ØØ Ó ØÝ Ð Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ [a,b] Ó ØØ b a Cdx = C(b a). ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ô ØØ ÐÙØ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ó Ö Ö ÒØ ¹ Ö Ö Öº Î ÙØÖ Ò Ò Ú ÒØ Ö Ð Ò ÐÐ Ú Ñ ÒÒ ØØ Ó ÖÓ Ò Ú Ò¹ ÐÒ Ò D ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [a,b] Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÚÖ m k Ð ØÓÖØ ÓÑ Ø Ö Ø ÚÖ Ø M k ÓÑ Ö Ð Ñ C ØÝ C Ö Ö Ò ÓÒ Ø ÒØº Ø ÐÐ Ö ÐÐØ ØØ

27 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¾ s(d) = S(D) = n C(x k x k ) = k= C(x x 0 ) + C(x x ) C(x n x n ) = Cx 0 + Cx Cx + Cx... Cx n + Cx n = Cx n Cx 0 = C(x n x 0 ) = C(b a). Î Ö ÐÐØ ØØ Ø ØØ ÚÖ Ö ÒØ Ö Ð Ò ÒÓÑ ØØ Ú ÙÒ Ð Ò Ø Ñ ÐÐ Ò ÙÒ Ö¹ Ó Ú Ö ÙÑÑÓÖÒ º ËÚ Ö Ø Ö ÐÐØ b a Cdx = C(b a). ÓÑ ØÖ Ø Ò Ñ Ò ØÓÐ ÒÒ ÒØ Ö Ð ÓÑ Ö Ò Ú Ò Ö ¹ Ø Ò Ðº Ü ÑÔ Ð ¾º¾ ØÑ 3 (4 x)dx. ÓÑ ØÖ Ø Ò Ñ Ò Ö Ò ÙØ ÒØ Ö Ð Ò ÓÑ Ö Ò ÙÒ Ö Ð Ò Ò y = 4 x ÙÖ.5µº ÒÒ Ð Ö 4 ØÝ Ö Ò Ö Ö Ø Ò ÐÒ Ö = Ó Ö Ò Ö ØÖ Ò ÐÒ Ö = º y 4 3 y=4 x x ÙÖ ¾º

28 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¾ Î ÐÐ Ò ÒÚÒ Ò Ñ ØÓ Ú ÐÖØ Ó Î ØÒ Ö Ó ØØ Ú Ð Ö Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø n Ð ØÓÖ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐº ÄÒ Ò Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò Ö 3 n = n º Ò ÔÙÒ Ø ÖÒ Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò Ú x 0 = x = + n x = + n x 3 = + 3 n º x n = + (n ) n x n = + n n = 3º ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ØÖÒ Ø ÚØ Ò º ØØ ØÝ Ö ØØ Ò Ö Ú Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ [x k,x k ] ÒØ Ö ØØ Ø Ö Ø ÚÖ f(x k ) Ó ØØ Ñ Ò Ø ÚÖ f(x k )º ÍÒ Ö ÙÑÑ Ò s(d) Ú Ö Ù Ò Ö ÓÑ n k= m k(x k x k )º Á ÙÑÑ Ò Ö m k = f(x k ) = 4 x k = 4 ( + k n ) = 3 k n º Ö Ò Ò x k x k Ú x k x k = +k (+(k ) ) = n n n º ÆÖ Ú ÒÙ Ö Ò ÙÒ Ö ÙÑÑÓÖÒ s n Ö Ú Ð Ò ÙØØÖÝ n n ( s n = m k (x k x k ) = 3 k ) ( = n n) k= k= [( 3 ) ( + 3 ) ( n )] = n n n n [3n ] n n ( n) = 6n n 4 n( n).

29 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¾ ÀÖ ÒÚÒ Ö Ú Ò Ö ÐÒ Ö ÙÑÑ Ò Ú Ò Ö ØÑ Ø Ö Ò Ø ÙÔÔ Ô Ø Ð 5µ n = ØØ Ö ØØ s n Ò Ö Ú ÓÑ n(n + ) = n + n. s n = 6 4 ( n + n ) ( n + n ) = 6 = n n ( n 6 n + n ) = 6 n n = 4 n. Î ÐÐ ÓÖØ ØØ Ñ ØØ Ö Ò Ú Ö ÙÑÑ Òº Ú Ö ÙÑÑ Ò S(D) Ú Ö Ù Ò Ö ÓÑ n k= M k(x k x k )º ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ØÖÒ Ø ÚØ Ò Ú Ð Ø Ð Ö Ø ÐÐ ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [x k,x k ] ÒØ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ØØ Ñ Ü Ñ ÚÖ M k ÔÙÒ Ø Ò f(x k )º ÀÖ M k ÓÑ M k = f(x k ) = 4 x k = 4 (+(k ) ) = n 3 + (k ) n º Ö Ò Ò x k x k ÓÖØ Ö Ò Ú n º Î Ö Ò Ö ÙØ Ú Ö ÙÑÑ Ò n n S n = M k (x k x k ) = (3 (k ) ( ) n ) = n k= k= [(3 ) n 0 + (3 ) n (3 )] n (n ) = [3n ] n n ( (n )) = n 6n n 4 n( (n )). ËÙÑÑ Ò Ö Ò Ö ØÑ Ø Ö Ò (n ) Ö (n )((n )+) = n n º Î Ö ÒÙ ØØ S n = 6 4 ( n n ) ( n n ) = 6 = n n ( n 6 n n ) = 6 + n n = 4 + n.

30 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¾ Î Ö ÒÙ ØØ ÙØØÖÝ Ö ÚÐ ÙÒ Ö¹ ÓÑ Ú Ö ÙÑÑÓÖÒ ÓÑ Ú Ö Ö Ö ÖÓ Ò Ô ÙÖ ÑÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ú Ú ÐØ ØØ Ò Ð [, 3] º ÒÓÑ ØØ ÒØ Ð Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ ØØ Ö ÒØ Ð Ö ÑÓØ ÓÒ Ð Ø Ò Ò Ú ÙÒ Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ö s n Ó S n º Ð Ö lim s n = lim S n = 4. n n Ø Ò Ø Ð I ÓÑ Ò ÙÔÔ ÝÐÐ Ú ÐÐ ÓÖ Ø s n I S n Ö Ú Ö n Ö 4º ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÐÐØ ÒØ Ö Ö Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ô ØØ ÐÙØ Ø ÒØ Ö¹ Ú ÐÐµ Ó 3 (4 x)dx = 4. Î Ú ØØ Ö ÓÑ Ö ÐÐ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò ØÓÖÐ Ò Ô ÒØ Ö Ð Ò Ó Ö Ò ÙÒ Ö Ö Ò Ò ÑÑ Ò ØØ Ò Ø Ë Ø ¾º ÒØ ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [a,b] Ó ¹ Ò Ø Úº Ö Ö Ò Ú Ø ÓÑÖ ÓÑ ÖÒ Ú ÙÖÚ Ò y = f(x) x¹ Ü ÐÒ Ó Ð Ò ÖÒ x = a Ó x = b Ü ÑÔ Ð ¾º¾ A = b a f(x)dx. Ö Ò x dx. Î Ö Ö Ñ ØØ Ö Ø ÙÔÔ Ö Ò ÙÖ.6µ Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò x º Ö Ò Ö ÐÚ Ö ÐÒ x + y = Ö Ú Ö Ô y 0º ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ô [, ] Ó ¹Ò Ø Ú ÐÐØ Ò Ú ÒÚÒ ÓÚ Ò Ø Ò Ø º x dx Ö Ð Ñ Ö Ò ÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò x º ÒÒ Ö π r = π = π.

31 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¼ ÙÖ ¾º Î Ò Ó Ò Ö Ö ÔÔ Ø ÒØ Ö Ð Ö Ú ØÝÔ Ö Ú ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ Öº ÇÑ Ú ØÒ Ö Ó ÒØ Ö Ð Ò ÓÑ Ö Ò ÙÒ Ö Ö Ò Ò Ñ Ò ØÒ ØØ Ö ÓÔ ÓÐ Ö ÓÖ Ñ ÐÐ Ò ÓÒØ ÒÙ Ø Ø ÔÙÒ Ø ÖÒ º Î ÐÐ ÙØÚ ÚÖ Ò Ø ÓÒ Ô Ö ÔÔ Ø ÒØ Ö Ö Öº Ò Ø ÓÒ ¾º ÒØ ØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ö ÖÒ Ó Ö ØØ Ò Ð Ø ÒØ Ð ÓÒØ ÒÙ Ø Ø ØÐÐ Ò x,x,...x n ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [a,b]º Ö f ÒØ Ö Ö Ö Ó b x x xn b f(x)dx = a a f(x)dx + f(x)dx f(x)dx + f(x)dx. x x n x n Ü ÑÔ Ð ¾º¾ ØÑ 3, Ö 3 x < f(x)dx, f(x) = 3, Ö x <, Ö x Î Ò Ö ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [ 3, ] ÒÒ ÓÒØ ÒÙ Ø Ø ÔÙÒ Ø Ö ÒÑÐ Ò Ó º ÒÐ Ø ÓÚ Ò Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ú f(x) ÓÑ

32 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ½ 3 f(x)dx = 3 f(x)dx + f(x)dx + f(x)dx. ÎÖ Ò Ô f(x) ÒÓÑ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò Ú Ö ÚÒ Ó Ü ÑÔ Ð. Ú Ú ØØ C b Ö ÓÒ Ø ÒØ ÐÐ Ö Ø ØØ Cdx = C(b a)º a Ö Ö f(x)dx = dx + 3dx dx = ( ( 3)) + 3( ( )) + ( ) = = 0. Ü ÑÔ Ð ¾º¾ ØÑ f(x)dx, f(x) = {, Ö x > 0, Ö x 0 ÙÒ Ø ÓÒ Ò f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ñ Ò ÖÒ Ó Ö ØØ Ò ¹ Ð Ø ÒØ Ð ÓÒØ ÒÙ Ø Ø ÔÙÒ Ø Ö Ô [, ] ÒÖÑ Ö ØÑØ Ò x = 0µº ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÐÐØ ÒØ Ö Ö Ö Ó f(x)dx = 0 dx + 0 ( )dx = (0 ( )) + ( )( 0) = = 0. Ö Ò Ø ÐÐ f(x) ÒÒ ÙÔÔÖ Ø ÙÖ.7º ÒÑÖ Ò Ò ¾º Á Ü ÑÔÐ Ø Ö Ò Ú Ñ ØØ Ö Ò Ð Ú Ò Ø Úº ØØ ÖÙ Ö Ú ÒØ Ö Ó Ø ÒÒ Ò Ð Ø ÓÚ ÒÐ Øº Ö Ò Ö ÐÐØ ÔÓ Ø Ú Ñ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ò Ú Ö Ò Ø Úº ÇÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ð Ö ÙÒ Ö x¹ Ü ÐÒ Ð Ö ÚÖ Ø Ô ÒØ Ö Ð Ò Ò Ø ÚØº Á Ö Ò Ü ÑÔ Ð Ù ØÖ Ö Ú ÐÐØ Ö Ò ÓÑ Ð Ö ÙÒ Ö x¹ Ü ÐÒ ÖÒ Ò ÓÑ Ð Ö ÓÚ Ò Öº Á Ó Ñ ØØ Ö ÓÖÒ Ö Ð ØÓÖ Ð Ö Ú Ö Ø 0º

33 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¾ y x ÙÖ ¾º Ö Î ØÝ Ö Ø Ò Ò Ò dx ËÚ Ö dx Ò Ö Ñ Ú Ò Ô Ú Ð Ò Ú Ö Ð Ú ÒØ Ö Ö Öº È ÑÑ ØØ ÓÑ x Ø f(x) Ò Ö ØØ Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ú Ö Ö Ö Ñ Ú Ò Ô x ØÝ Ö dx ØØ Ú ÒØ Ö Ö Ö Ñº ºÔº xº ¾º ÁÒØ Ö Ð Ò Ò Ô Ö ÆÖ Ú Ö Ö Ö Ò Ð Ø Ñ Ö Ñ ÒØ Ö Ð Ö Ú Ö Ú Ò Ö Ö Ð Ö ØØ Ú Ò ÒØ Ö Ñº ÒÓÑ ØØ ØÒ Ô ÒØ Ö Ð Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ò Ñ Ò Ö Ø ØØ Ö Ö Ø º Î ÓÑÑ Ö ÒØ ØØ Ò ÐÝØ Ø Ú Ñº Ê Ð Ö ÒØ ØØ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ f g Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ô [a,b] Ó c Ö Ò ÓÒ Ø ÒØº ÐÐ Ö ½º b (f(x) + g(x))dx = b f(x)dx + b a a a g(x)dx. ¾º b cf(x)dx = c b a a º a f(x)dx = 0. a f(x)dx.

34 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ÇÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö a b Ó c ÐÐ Ö º b f(x)dx = a a b f(x)dx º c f(x)dx + b f(x)dx = b a c a f(x)dx, Ó ÖÓ Ò Ú ØÓÖÐ ÓÖ Ò Ò Ò Ô a,b Ó c. º b f(x)dx 0, ÓÑ f(x) 0 Ô Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [a,b]. º b a f(x)dx b a a g(x)dx, ÓÑ f(x) g(x) Ô Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [a,b]. Ü ÑÔ Ð ¾º¾ ØÑ ØØ Ö ÐÐØ Ø Ð a ØØ a (x + )dx a a Å ÐÔ Ú Ö Ð 4 Ò Ú Ö Ú a (x + )dx = a a (x + )dx = 6. a Ë Ò ÒÚÒ Ö Ú Ö Ð 5 Ó Ö ØØ (x + )dx. a (x + )dx + a (x + )dx = 6 a a Î Ö Ø Ö ÙÔÔ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x) = x + ÙÖ.8µº (x + )dx = 6.

35 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê y y=x+ a x ÙÖ ¾º ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ö ÒØ Ú ÐÐ Ø [, a]º Á ÔÙÒ Ø Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ø f() = + = Ó a Ö f(a) = a + º ÍØ Ò ÖÒ Ö Ò Ò Ú Ð ÙÔÔ Ö Ò ØÚ Ð Ö Ò Ö ¹ Ø Ò Ð Ó Ò ØÖ Ò Ðº Ö Ò Ö Ö Ø Ò ÐÒ Ö A R = b h = (a ) = 4a º ÅÓØ Ú Ö Ò Ö Ö ØÖ Ò ÐÒ Ö A T = b h = (a )((a + ) ) = (a ). ÆÙ ÐÐ Ö Ø ØØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò A R +A T = 6º ØØ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ (a ) 4a + = 6 8a 4 + (4a 4a + ) 4a 3 + 4a = 4a + 4a 5 = 0. = 6 ØØ Ö ÒÐ Ø Ð Ò Ò ÓÖÑ ÐÒ Ö Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö ØØ a = 4 ± ( 5) 4 = 4 ± 56 8 = 4 ± 6 8 { a = 3 a = 5

36 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¾º½¼ ÁÒØ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Î Ö ÒÙ Ö Ø Ó Ô ØÚ Ñ ØÓ Ö ØØ Ö Ò ÒØ Ö Ð Ö ÓÑ ØÖ Ø Ö Øµ Ó Ñ Ú Ö¹ Ó ÙÒ Ö ÙÑÑÓÖº Ø Ö Ú Ö Ø Ö Ø ÖÝ Ø Ú Ò Ö Ò Ð ÒØ Ö Ð Ö Ó ÒÒÙ Ú Ø Ú ÒØ Øº Üº Ð Ò Ò Ò Ø ÐÐ 0 x dx. Î ÐÐ ÓÖØ ØØÒ Ò Ò Ô Ñ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò ÒØ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒº ÁÒØ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ ¾º ÒØ ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f Ö ÒØ Ö Ö Ö ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [a,b]º ÁÒ¹ Ø Ö Ð Ò Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò f ÖÒ a Ø ÐÐ x Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ F ÓÑ Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [a,b]º ÀÖ Ö ÐÐØ a x bºµ ÙÒ Ø ÓÒ Ò F ÒÑÒ ÒØ ¹ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ú Ö Ú Ö F(x) = x a f(t)dt. Î ÒÚÒ Ö Ö t ÓÑ Ú Ö Ð Ö f Ó x ÓÑ Ú Ö Ð Ö F º ØØ Ö ØØ ÒØ ÓÒ Ò ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ú Ö Ò Ö º Ü ÑÔ Ð ¾º¾ Ë Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(t) = tº ÇÑ Ú Ö Ø Ö ÙÔÔ Ò Ö Ú Ð Ò ÙÖ ÙÖ.9µº x y y=t x t ÙÖ ¾º

37 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ÇÑ Ú ÙÒ Ö Ö Ö Ò ÙÒ Ö ÙÖÚ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [0,x] Ò Ú Ö Ò ÙØ Ò ÓÑ A = x x = x. ØØ Ö ÐÐØ ØØ ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò F(x) Ö Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ö Ð Ò Òµ F(x) = x 0 tdt = x. Ç ÖÚ Ö Ö ØØ F(x) Ö Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ f(x) = x ØÝ F (x) = xº Ë Ò Ö ÓÑÑ Ö Ú ØØ ØØ ØØ Ñ Ò ÒØ Ö ÐÙÑÔÑ Øº Ë Ø ¾º½¼ Ò ÐÝ Ò ÙÚÙ Ø µ ÒØ ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [a,b]º Ö ÒØ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò F F(x) = x a f(t)dt, Ö Ú Ö Ö ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [a,b] Ó Ö ÐÐ x [a,b] ÐÐ Ö ØØ F (x) = f(x). ÒÑÖ Ò Ò ¾º½½ Á Ø Ò Ö ÐÐØ f(x) ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ f(t) Ñ Ò Ñ Ò ÒÒ Ò Ú Ö Ðº ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ ¾º½¾ Ì ÐÐ Ú Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ f Ü Ø Ö Ö Ø ØÑ Ò ØÓ¹ Ò µ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÒÑÐ Ò ÒØ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ü ÑÔ Ð ¾º¾ ØÝ ÓÑ ÐÐ Ö Ø ØØ D x a x a f(t)dt. (t + ct)dt = x + cx, F(x) = x a (t + ct)dt F (x) = f(x) = x + cx.

38 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê Ü ÑÔ Ð ¾º ¼ Ö ØÖÒ Ø ÑÓÒÓØÓÒ F(x) = x e t dt Î Ú Ø ØØ ÓÑ Ö Ú Ø Ò Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØÖÒ Ø ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ö Ò Ø Ú Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ØÖÒ Ø ÑÓÒÓØÓÒº F (x) = e x Ö ØÖÒ Ø ÔÓ Ø Úº ØØ ØÝ Ö ØØ F Ö ØÖÒ Ø ÚÜ Ò ÐÐØ ØÖÒ Ø ÑÓÒÓØÓÒº Ö Ø Ò Ñ Ò Ó ØÒ ØØ Ö ÙÐØ Øº Ø Ö Ù Ò ¹ ØÙÖÐ Ø ØØ Ö Ò ÙÒ Ö Ö Ò ÚÜ Ö ÒÖ x Ð Ö Ø ÖÖ e t Ö Ù ÔÓ Ø Úµº ¾º½½ ÁÒØ Ö ÐÖ Ò Ò Ñ ÐÔ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Á ØØ Ú Ò ØØ ÓÑÑ Ö Ú ØØ ØÑÑ ÒØ Ö Ð Ö Ñ ÐÔ Ú Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Òº Ò Ø ÓÑ ÒÙ Ð Ö ÖÙ Ö ÐÐ Ò ØØÒ Ò ÓÖÑ ÐÒº Ë Ø ¾º½ ÒØ ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [a,b]º ÇÑ F Ö Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ f ÐÐ Ö b a f(x)dx = F(b) F(a). ÆÖ Ñ Ò ØÑÑ Ö Ò ÒØ Ö Ð Ù ØÖ Ö Ö Ñ Ò ÐÐØ ÚÖ Ø Ú Ò ÔÖ Ñ Ø ¹ Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ò ÙÒ Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ò ÖÒ ÚÖ Ø Ú Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÚÖ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Òº Ø Ò Ò Ö F(b) F(a) = [ ] b F(x) = a b/ F(x). Ö ÔÔ Ø ÒØ Ö Ð Ò Ö ÓÑ ÖÒ ÚÖ Ò Ú Ú Ö¹ Ó ÙÒ Ö ÙÑÑÓÖ ÒÖ ÒØ Ð Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ ÑÓØ ÓÒ Ð Ø Òº Ø Ò Ö ÙØ Ò ÖÒ ØØ Ñ Ò Ú ÐÐ ØØ ÑØØ Ô Ö Ò ÙÒ Ö Ò Ö º ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ö ÑÓØ Ò Ö ÓÑ Ò ÒÚ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ö Ú Ö Ò º a

39 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê Ü ÑÔ Ð ¾º ½ Ö Ò (6x x + )dx. [ 6 (6x x + )dx = 3 x3 x + x] = [ ] x 3 x + x = ( 3 + ) ( ( ) 3 ( ) + ( )) = 4 ( 4) = 8. Ö Î Ö Ö Ö Ú Ò Ò ÓÒ Ø ÒØ Ñ ÒÙ ÒÖ Ú ØÑÑ Ö ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ ËÚ Ö Ø Ö ÓÒ Øº Î Ù ØÖ Ø ÓÒ Ò ÙÐÐ Ò ØÚ ÓÒ Ø ÒØ Ö Ø ÙØ Ú Ö Ò Ö º Ü ÑÔ Ð ¾º ¾ Ö Ò π π ÀÖ ÒÚÒ Ö Ú Ó Ú Ö ÐÒ sin x cos xdx. D f (x)(f(x)) a = (f(x))a+ a + + C, a, ØÝ cos x Ö Ù ØØ ÒÒ Ø ØØ ØØ Ö Ú (cos x) º ÁÒÖ Ö Ú Ø Ò Ö cos x Ö sin x º π π sin x cos xdx = π π ( ) ( sin x) cos xdx = ( ) π ( ( sin x) cos xdx = ] π π )[ 3 cos3 x = π ( )[ ( 3 cos3 π ) ( )] () 3 cos3 ( π) = ( )[ 3 ( )3 ] ( 3 3 = )[ 3 ] = 3 6 = 3, Ö () ØÝ cosπ = Ó cos( π) = cos π = º

40 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê Ü ÑÔ Ð ¾º Ö Ò x dx. ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ú Ø Ú ØØ { x, ÓÑ x x = x, ÓÑ x > ØØ Ö x dx = ] ( x)dx + (x )dx = [ [x x x ] + x = [( ) ( )] [ ( )] + ( ) = [ ] + 3 [ ] = + = 5. Ü ÑÔ Ð ¾º ØÑ Ø Ö Ø Ó Ñ Ò Ø ÚÖ Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x) = ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø x º t dt x Ç ÖÚ Ö ØØ Ú ÒØ Ö Ö Ö Ñº ºÔ t Ó ÒØ x ÓÑ Ú Ö Ú Ò Ñ º Î Ö Ö Ñ ØØ Ö ÙØ ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Øº ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ö ØØ ØÝ Ö ØØ f(t) = { f(t), ÓÑ f(t) 0 f(t), ÓÑ f(t) < 0

41 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¼ t = x, t x, x t ÓÑ t x 0, ºÚº º ÓÑ t x t x ÓÑ t x < 0, ºÚº º ÓÑ t < x t > x ÆÓØ Ö ØØ t Ò Ð ÓÑ Ú Ö Ð Ñ Ò x Ò Ð ÓÑ Ò ÓÒ Ø ÒØº Î Ö Ú Ö ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x) Ó Ö Ò Ö Ò ÒØ Ö Ð Ò x f(x) = t ( dt = x t x) ( dt + x x ) dt = t [ ln t t ] x [ t ] [ + x x ln t t>0 = ln t t ] x [ t ] + x x x ln t = x [( ln x x ) ( ln )] [( ) ( x )] + x x x ln x ln x = ln x 0 + x + x ln + lnx = ln x + 3 ln. x Î Ö Ö Ó Ø ÐÐ Ñ ÒÒ ØØ Ñ Ü Ñ ¹ Ó Ñ Ò Ñ ÚÖ Ò Ò ØØ ½º Ö Ú Ø Ò ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò ¾º f ÓÒØ ÒÙ Ø Ø ÔÙÒ Ø Ö º Ö x¹úö Ò Ö Ö Ú Ø Ò º Ò Ø ÓÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ò ÔÙÒ Ø Öº Î ÙÒ Ö Ö ÔÙÒ Ø Ö Ò Ò Ò ½º ÀÖ Ö Ö Ú Ñ ØØ Ö Ú Ö f(x) Ó Ö f (x) = x 3 x = x 3 x. Î Ö Ò Ö Ò ÙØ Ö Ú Ð ÚÖ Ò Ô x ÓÑ f (x) = 0º ØØ Ö ØØ x 3 = 0 x = 3 º Ø Ö ÓÑ 3 [, ] Ù Ö ÒÒ ÓÑ Ò Ò Ø Ø ÐÐ Ú Ö Ñ Ü¹ ÐÐ Ö Ñ Ò¹ÚÖ Ò Ò ÒÒ º

42 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ½ ¾º f Ò Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ø ÔÙÒ Ø Ö [, ]º º Ø ÒÒ Ò x¹úö Ò [, ] Ö Ú Ð Ö Ú Ø Ò Ò º º Ò Ø ÓÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ö Ò ÔÙÒ Ø ÖÒ x = Ó x = º Ú Ò Ö ÐÐØ Ò Ø Ö Ö Ñ Ü¹ Ó Ñ ÒÚÖ Òº Ø ÒÒ ÐÐØ ØÓØ ÐØ ØÖ Ò Ø Öº Î Ö Ò Ö f(x) ÔÙÒ Ø Ö x = 3 : f( 3 ) = ln ln = ln 3 ln + ln = 3 ln 3 3 ln = ln 9 ln 8 0, 78 x = : f() = ln + 3 ln = ln 0, 3069 x = : f() = ln + 3 ln = ln 0, 93 Å Ü Ñ ÚÖ Ö ÐÐØ f() Ó Ñ Ò Ñ ÚÖ Ö f( 3 )º ¾º½¾ Ö Ö Ò Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Î Ö ØØ ØØ ÒØ Ö Ð Ò Ò ØÓÐ ÓÑ Ö Ò ÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Òº Î ÐÐ ÒÙ Ò Ð Ø ÙÔ Ö Ô ØØ ÓÑÖ Ó ÙÒ Ö Ú ÓÑ Ò Ö Ú ÓÐ Ô Ð ÐÐº Ü ÑÔ Ð ¾º ØÑ Ö Ò Ú Ø ÓÑÖ ÓÑ ÖÒ Ú ÙÖÚ Ò y = 4x y¹ Ü ÐÒ Ó Ð Ò Ò y = º ÙÖ.0µ Å ØÓ Á Î Ö Ú Ö ÓÑ y = 4x ÓÑ y = xº Î ÚÐ Ö ÓÖØ x ØÝ y [0, ]ºµ

43 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¾ ÙÖ ¾º½¼ ÀÖÒ Ø ÒØ Ö Ö Ö Ú x ÖÒ 0 Ø ÐÐ º ØØ Ö Ö Ò ÙÒ Ö ÙÖÚ Òº 0 xdx = 0 [ x ] [ dx = 3 x3 ] = = 4 3. ØØ Ö Ó ÒØ Ö Ò Ú Öº Ö ØØ Ò ÖØØ Ö Ò Ù ØÖ Ö Ö Ú ÓÖØ 4 ÖÒ ÙÖµº 3 ØØ Ö Ú Ö Ø A = 4 3 = 3 a.e. Å ØÓ ÁÁ Á ØÐÐ Ø Ö ØØ ÒØ Ö Ö Ñº ºÔ x Ò Ú ÒØ Ö Ö Ñº ºÔº yº Î Ö Ö Ñ ØØ Ö Ú ÓÑ y = 4x ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ ÖÓÖ Ú y y = 4x x = y 4. ÎÖØ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÑÖ Ö [0, ] Ô y¹ Ü ÐÒ Ö Ò µ A = 0 y 4 dy = 4 0 y dy = [ ] 4 3 y3 = [ 8 ] = 3 a.e.

44 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ÒÑÖ Ò Ò ¾º½ º º Ö Ò Øº Ü ÑÔ Ð Ô Ö Ò Ø Ö Ö cm m º Î Ö Ö Ó Ø ÐÐ Ñ ÒÒ ØØ ÐÒ Ò Ú Ò ØÖ ÒØ Ò Ð Ò Ø Ú Ó ØØ Ú Ö Ö ÒÚÒ Ö Ó ÓÐÙØ ÐÓÔÔ ÒÖ Ú Ö Ò Ö ÐÒ Òº È ÑÑ ØØ Ò Ò Ö ÒØ Ð Ò Ø Úº Î Ú Ø ØØ ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ð Ö ÙÒ Ö x¹ Ü ÐÒ Ð Ö ÒØ Ö Ð Ò Ò Ø Úº ÆÖ Ú Ö Ò Ö Ö ÓÖ Ñ Ø Ú ÓÖÖ Ö ØØ ØØ ÒØ Ö Ò Ð Ö Ò Ø Úº ØØ Ö Ò Ð Ø ÒÓÑ ØØ ÔÐ Ö ØØ Ñ ÒÙ Ö Ñ Ö ÒØ Ö Ð Ò ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ø Úº ÇÑ Ö Ò Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÒØ ÒÒ Ô ÑÑ ÓÑ x¹ Ü ÐÒ Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ò Ú Ð Ò Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÐº ÀÖ Ö Ú ÐÐØ Ò Ö ÐÐÒ Ô ÒØ Ö Ð Ò Ó Ö Òº Ü ÑÔ Ð ¾º ØÑ Ö Ò Ú Ø ÓÑÖ ÓÑ ÖÒ Ú y = x x¹ Ü ÐÒ Ó Ð Ò ÖÒ x = Ó x = eº ÙÖ.µ ÙÖ ¾º½½ ÀÖ Ö f(x) = x < 0, x [,e]. f(x) Ö ÐÐØ Ò Ø ÚØ Ú ÔÐ Ö Ö ØØ Ñ ÒÙ Ø Ò Ö Ñ Ö ÒØ Ö Ð Òº ÆÙ A = e ( ) e [ ] e dx = x x dx = ln x = 0 = a.e.

45 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê Ü ÑÔ Ð ¾º ØÑ Ö Ò Ú Ø ÓÑÖ ÓÑ ÖÒ Ú ÙÖÚ Ò y = x 3 x Ó x¹ Ü ÐÒº ÀÙÖ Ö ÙÖÚ Ò ÙØ ÆÓÐÐ ØÐÐ Ò Ö {, 0, } Ó Ö f(x) = x 3 x ÐÐ Ö ØØ lim f(x) = x lim x f(x) = ÃÙÖÚ Ò Ö ÐÐØ Ð Ò ÙØ Ò ÙÖ.µ ÙÖ ¾º½¾ Î Ö ØØ Ø ÐÐ Ö ØØ f(x) > 0, Ö x [, 0], f(x) < 0, Ö x [0, ] Î Ð Ö ÙÔÔ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Ó Ö

46 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê A = A + A = 0 0 (x 3 x)dx + (x 3 x)dx + 0 ( 0 (x x 3 )dx = [ 4 x4 ] 0 [ x + x ] 4 x4 = 0 [ ( 0 4 [( + )] ] 0 = 4) = a.e. ) (x 3 x)dx = Å Ò Ò Ú Ò Ö Ø Ö Ú A = b f(x) dxº ØØ Ö ÑÑ a Ö ÙÐØ Øº ¾º½ Ö Ö Ò Ò ØÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Á ØØ Ú Ò ØØ Ö Ò Ö Ú Ö ÓÖ ÓÑ ÒØ Ö ÖÒ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó x¹ Ü ÐÒ ÙØ Ò Ú ØÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ü ÑÔ Ð ÙÖ.3µº f(x) a b g(x) x ÙÖ ¾º½ Ö ØØ ØÑÑ ÒÒ Ö ÙØ Ö Ú ÖÒ ØØ f(x) g(x) Ô [a,b]º Î Ö Ò Ö ÒÙ ÙØ Ö ÓÖÒ ÙÒ Ö f Ó g Ó Ù ØÖ Ö Ö Ö Ò ÙÒ Ö g ÖÒ Ö Ò ÙÒ Ö fº Ü ÑÔ Ð ¾º ÃÙÖÚÓÖÒ y = x + x + Ó y = x ÒÒ ÐÙØ Ö ØØ ÓÑÖ º Ö Ò Ö Òº Î Ö Ö Ñ ØØ Ö Ø ÙÔÔ ÙÖÚÓÖÒ ÙÖ.4µ

47 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ÙÖ ¾º½ f(x) = x +x+ Ö Ò ÙÔÔØÖ Ø Ô Ö Ð Ó ÓÑ Ò Ö Ö ØØ Ö D = 4 < 0µº ÌÓÔÔ Ò x¹ ÓÓÖ Ò Ø Ö f (x) = 0 x + = 0 x =. g(x) = x Ö Ò Ò ØÖ Ø Ô Ö Ð Ñ Ö ØØ ÖÒ ± º ÌÓÔÔ Ò x¹ ÓÓÖ Ò Ø Ö g (x) = 0 x = 0 x = 0. Ö ØØ Ú Ø Ú Ö Ú Ð Ø ÓÑÖ Ú ÐÐ ÒØ Ö Ö Ú Ö Ú ÙÖ¹ ÚÓÖÒ ÖÒ Ò ÔÙÒ Ø Öº ÒÓÑ ØØ Ð Ú Ø ÓÒ Ý¹ Ø Ñ Ø { y = x + x + y = x Ù ØÖ Ö Ö = 0 = x + x ÒÒ Ú Ø ÓÒ Ö Ð Ò Ò ÖÒ x = ± 4 ( ) = ± 3 4 { x = x = x¹úö Ò Ö Ò ØÙÖ y¹ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ { y = 7 4 y =

48 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê Î Ò ÒÙ ØÑÑ Ö Ò ÙÒ Ö g f Ò ÚÖ ÙÖÚ Ò Ò ÙÒ Ö µ [ 3 Ü ÑÔ Ð ¾º A = ( x )dx ( x x + )dx = ) 3 ( ( 8 + (x + x + )dx = [ 3 x3 ] x + x = ( ) + ] [ 3 ( )3 ] ( ) + ( ) = ) ( 3 ) = 74 ( 5 ) = ØÑ Ö ÓÖÒ Ú Ø ÓÑÖ ÓÑ ÖÒ Ú ÙÖÚÓÖÒ y = sin x y = cos x ÑØ Ð Ò ÖÒ x = 0 Ó x = πº ÙÖ.5µ ÙÖ ¾º½ Î Ö Ö Ñ ØØ ÙÒ Ö Ð Ò ÖÒ ÖÒ Ò ÔÙÒ Ø Ö ËØØ Ö sin x = cosxº Ø ÐÐ Ö ØØ sin x = cos ( π x) º Ú Ø ÓÒ Ò Ú Ð Ò Ö Ð Ò Ò ÖÒ ( π ) cosx = cos x,

49 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê x = π x + nπ x = π + x + nπ x = π 4 + nπ Ä Ò Ò Ò Á ÒØ Ú ÐÐ Ø [0, π] Ð ÖÒ Ò ÔÙÒ Ø ÖÒ x = π 4 Ó x = 5π 4 º Ú ÒÒ ÓÖ Ö Ú ØÚÙÒ Ò ØØ Ð Ò [0, π] Ð ÒØ ÖÚ ÐÐº Î Ö I = [ 0, π 4] I = [ π, 5π ] I3 = [ 5π, π] º Á I Ö cos x > sin x I Ö sin x > cos x Ó I 3 Ö cos x > sin xº ÆÙ π 4 0 (cos x sin x)dx + A = A + A + A 3 = 5π 4 π 4 (sin x cos x)dx + π [ ] π [ ]5π [ 4 4 sin x + cos x + cos x sin x + sin x + cos x π 0 4 [(sin π 4 + cos π ] 4 ) (sin 0 + cos 0) + [( cos 5π 4 sin 5π 4 ) ( cos π 4 sin π ] 4 ) + [(sin π + cos π) (sin 5π 4 + cos 5π ] 4 ) = [ + [ 0 ] ] = 8 = 4 a.e, 5π 4 (cos x sin x)dx = ] π 5π 4 = [ ] = ØÝ D cosx = sin x Ó D sin x = cos xº ÄØ Ó ÖÒ Ø Ö Ò Ü ÑÔ Ð ¾º Ô ÒÝØØ

50 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê Ü ÑÔ Ð ¾º ¼ ØÑ Ö Ò Ú Ø ÓÑÖ ÓÑ ÖÒ Ú y = x x¹ Ü ÐÒ Ó Ð Ò ÖÒ x = Ó x = eº ÙÖ.µ Ì ÐÐ ÐÐÒ ÖÒ Ü ÑÔ Ð ¾º Ö Ò Ö Ú ÒÙ ÙØ ØØ ÓÑ Ö Ò Ñ ÐÐ Ò ØÚ ÙÒ Ø ÓÒ Öº È Ø ØØ Ø Ú Ö Ú ÒØ ÝÑÖ Ó ÓÑ Ñ ÒÙ Ø Øº ÍÖ ÙÖ. Ö Ú ØØ ÚÖ ÖÒ Ò Ö y = 0 Ó Ò ÙÒ Ö Ö y = º ÒÐ Ø ÙÔÔ Ø Ò ÐÐ Ú ÒØ Ö Ö ÖÒ x = Ø ÐÐ x = eº x A = e e ( ( 0 )) ( dx = dx = x x) ln e ln = 0 = a.e. ØØ ØÑÑ Ö Ú Ö Ò Ñ Ú Ö Ø Ú Ø Ö º [ ] e ln x = ¾º½ ÎÓÐÝÑ Ö Ò Ò Î ÚÓÐÝÑ Ö Ò Ò Ú ÓÐ ÙÖ Ö Ö Ñ Ò Ó Ø ÒÚÒ Ò Ò Ú ÒØ Ö Ð¹ Ð ÝÐº ØØ ÖÓÖ Ô ØØ Ñ Ò Ò Ö Ú ÖÓÔÔ ÖÒ ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ ÖÓØ Ö Ö Ö Ò x¹ Ü ÐÒ ÐÐ Ö y¹ Ü ÐÒº Î Ú Ø ØØ Ö Ò Ö Ò Ö ÝÐ Ò Ö ÐÐ Ö ØØ Ö Ø ÔÖ Ñ Ö ÓØØ Ò Ö Ò B Ò Ö Ò Hº Ø Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ ÐÔ Ú ÒØ Ö Ð Ò Ò Ö Ú ÓØ¹ Ø Ò Ö Ò ØÝ Ö Ø ØØ ÒØ Ö Ð Ð ÝÐ Ò Ö Ú Ø Ú Ö Ò Ò Ú ÚÓÐÝÑ Öº Î Ö Ö Ñ ØØ ØÒ Ó Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ô ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ [a,b] ÙÖ.6 µº ÒÓÑ ØØ ØÒ ØØ ÒÒ ÖÓÔÔ ÖÓØ Ö Ö Ö Ò x¹ Ü ÐÒ Ð Ö Ò Ò º º ÖÓØ Ø ÓÒ ÖÓÔÔ Ö Ú Ð Ò Ú Ú ÐÐ ØÑÑ ÚÓÐÝÑ Ò ÙÖ.6 µº ÀÙÖ ÐÐ Ú Ø ÐÐ Ú ÆÖ Ú ÒØÖÓ Ù Ö Ö ÔÔ Ø ÒØ Ö Ð ÙØ Ú ÖÒ ØØ Ð Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [a,b] ÓÐ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐº ÒÓÑ ØØ ÒØ Ð Ø Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ ÙÒ Ú Ñ Ø ÖÖ ÒÓ Ö ÒÒ Ø ØÑÑ ÚÖ Ø Ô Ú Ö¹ Ó ÙÒ Ö ÙÑÑÓÖÒ Ö ØØ Ú Ð Ø ÚÖ Ú Ô Ö Òº Ú Ò Ö Ö Ú ØØ Ð Ò Ò Ò Ö ÔÔ ØØº Î ØÒ Ö Ó ØØ Ú Ð Ö Ò [a,b] n Ð ØÓÖ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐº Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö

51 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¼ [a = x 0,x ], [x,x ],...[x k,x k ]...[x n,x n = b]. ÇÑ Ú Ö Ô ØØ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ [x k,x k ] Ö ØØ ØØ Ñ ÐØ Ñ ÒØ ÙÖ.6 µº ÖÒ ØØ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ö Ú Ò Ó ØÝ Ð ÔÙÒ Ø t k º ÇÑ Ú ÒÙ ØÒ Ö Ó ØØ ØØ Ñ ÒØ ÖÓØ Ö Ö Ö Ò x¹ Ü ÐÒ Ö Ö Ò Ú Ð Ò Ö ÚÓÐÝÑ Ò Ô Ñ ÒØ Ø ÙÖ.6 µ Î Ú Ø ØØ ÚÓÐÝÑ Ò Ö Ò ÝÐ Ò Ö Ö Ö Ò Ò Ö Òº Ö Ò Ù Ö ÓÑ πr º ÁºÓºÑ ØØ Ú Ö ØØ Ð Ø Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò Ú ÔÔÖÓÜ Ñ ¹ Ö Ö Ò Ñ π f(t k ) º Ë Ñ ÒØ Ø ÚÓÐÝÑ Ò ÐÐØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ö Ñ (x k x k ) π f(t k ) º ØØ Ò Ñ Ø Ò Ò Ò x n Ö (x k x k ) Ö Ú ÓÑ π f(t k ) x n º x a b a b x a) b) x n x n a x k t k x k b x f(t ) k x c) d) ÙÖ ¾º½ Ö ØØ ÚÓÐÝÑ Ò Ö Ð ÖÓÔÔ Ò Ó ÒØ Ö ØØ Ñ ÒØ Ú ÖÓÔÔ Ò Ö Ú ÙÑÑ Ö ÓÔ ÓÐ ÚÓÐÝÑ ÖÒ V n = n π f(t k ) x n. k= ÒÓÑ ØØ ÒØ Ð Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö Ú ÒÓ Ö ÒÒ Ö ÚÓÐÝÑ Ö Ò Ò Ö

52 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ½ V = lim n n π f(t k ) x n. k= ÇÑ Ú Ö Ø ÐÐ ÚÖ ÒØ Ò Ò Ö Ø ÐÐ Ú Ò ØØ.7 ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ú ÒØ Ö Ð Òµ Ö Ú ØØ ØØ ÙØØÖÝ Ð Ò Ö ÑÝ Ø Ø ÙØØÖÝ Ú ÒÖ Ú Ò Ö ÒØ Ö Ð Ò Ñº º º ÙÒ Ö¹ Ó Ú Ö ÙÑÑÓÖº ÔÖ Ò Ô ÙØ ÓÑ Ð Ö A = lim n n f(t k ) x n = k= b a f(x)dx. Å Ø ÐÐÖ Ð Ø ÑÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ n ÙÒ Ö¹ Ó Ú Ö ÙÑÑÓÖÒ ÑÓØ Ñ¹ Ñ Ø Ð Iº ÎÖØ Ö ÓÒ Ñ Ò Ð Ö Ø ÐÐ ØØ Ø Ö Ö Ø Ð Ø ØØ Ñ Ò Ò ¹ Ò Ö ÚÓÐÝÑ Ò Ñº º º Ò ÒØ Ö Ðº Ë Ø ¾º½ Ë Ô Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) ÓÑ Ö ÓÒØ ÒÙ Ð Ô [a,b]º Ò ÚÓÐÝÑ ÓÑ Ð Ú ÖÓØ Ø ÓÒ ÖÓÔÔ Ò f(x) ÖÓØ Ö Ö Ö Ò x¹ Ü ÐÒ Ö Ü ÑÔ Ð ¾º ½ V = π b a [f(x)] dx. ÇÑÖ Ø ÓÑ Ú ÖÒ Ú ÙÖÚ Ò y = x 3 y¹ Ü ÐÒ Ó Ð Ò Ò x = ÖÓØ Ö Ö Ö Ò x¹ Ü ÐÒº Ö Ò ÚÓÐÝÑ Ò Ú Ò ÖÓØ Ø ÓÒ ¹ ÖÓÔÔ ÓÑ ÙÔÔ ØÖº Î Ö Ö Ñ ØØ Ö Ø ÙÔÔ ÙÖ Ò ÙÖ.7µ ÒÐ Ø Ø Ò ÓÚ Ò V = π 0 (x 3 ) dx = π 0 [ ] x 6 dx = π 7 x7 = π 0 7 v.e. v.e ØÖ Ö ÚÓÐÝÑ Ò Ø Ö Ü cm 3 º

53 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¾ ÙÖ ¾º½ ÙÖ ¾º½ Ü ÑÔ Ð ¾º ¾ Ø ÓÑÖ ÓÑ ÖÒ Ú ÙÖÚ Ò y = x 3 y¹ Ü ÐÒ Ó Ð Ò Ò y = ÖÓØ Ö Ö Ö Ò y¹ Ü ÐÒº Ö Ò ÚÓÐÝÑ Ò Ú Ð Ò ÓÑ Ð º ÇÑ Ú ØÖ Ø Ö ÙÖ Ò ÙÖ.8µ Ò Ö Ú ØØ Ø Ö Ò Ð Ø ØØ ØÒ ØØ Ú ÒØ Ö Ö Ö Ñº ºÔº y¹ Ü ÐÒ Ó ÒØ Ñ Ú Ò Ô x¹ Ü ÐÒº Î Ö Ö Ñ ØØ Ö Ú ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ØØ Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ ÖÓÖ Ú y y = x 3 x = 3 y. Î Ò ÒÙ Ö Ø Ø ÐÐÑÔ ÓÖÑ ÐÒ ÓÚ Ò Ó Ö

54 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê V = π Ü ÑÔ Ð ¾º 0 ( ) 3 dy y = π 0 [ y 3 3 ] dy = π 5 y 3 5 = 3π 0 5 v.e. Ö Ò ÚÓÐÝÑ Ò Ú Ò ÖÓØ Ø ÓÒ ÖÓÔÔ ÓÑ ÙÔÔ ØÖ ÓÑÖ Ø Ñ ÐÐ Ò ÙÖÚ Ò y = x x¹ Ü ÐÒ Ó Ð Ò Ò x = ÖÓØ Ö Ö Ö Ò Ð Ò Ò x = º ÇÑ Ú ØØ Ö x = Ö Ú y = 4 Ö Ø Ò ØØÒ Ò µº ÀÙÖ ÐÐ Ú ÒÙ Ö Á Ø ÖÖ Ü ÑÔÐ Ø ÒØ Ö Ö Ú Ñº ºÔ y Ø Ö ÓÑ ÙÖ Ò ÖÓØ Ö Ö Ò y¹ Ü ÐÒº Ú Ò ÒÒ Ò Ö Ú Ò ÙÖ ÓÑ ÖÓØ Ö Ö y¹ð ÙÖ.9µº ØØ Ñ Ö ØØ Ú ÒØ ÐÐ Ô y = x ÙØ Ò Ô x = y y [0, 4]º ÙÖ ¾º½ Á ÚÓÐÝÑ ÓÖÑ ÐÒ ÒØ Ö Ö Ö Ú ÙÔÔ Ö Ò Ú ØØ Ð Ø Ø Ñ ÒØ ¹ ÙÖ Òº ÀÙÖ ÐÐ Ú Ö Ú Ö Ò Ú ØØ Ñ ÒØ Ø Ö ÐÐ Ø ÂÓ ÓÑ Ú Ø Ö π ( y) Ö Ú ØØ ÓÖÖ Ø ÙØØÖÝ ØÝ Ö ¹ Ò Ö Ñ ÒØ Ø Ö Ù ( y) ÙÖµº ØØ Ö Ò ØÙÖ ÚÓÐÝÑ ÓÖÑ ÐÒ

55 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê Ü ÑÔ Ð ¾º V = π 4 0 ( y) dy = π 4 0 (4 4y + y)dy = [ π 4y 4 3 y 3 + ] 4 y = π ( ) = 8π 3 v.e. Ö Ò ÚÓÐÝÑ Ò Ú Ò ÖÓÔÔ ÓÑ Ð ÓÑÖ Ø ÓÑ ¹ ÖÒ Ú ÙÖÚ Ò y = x y¹ Ü ÐÒ Ó Ð Ò Ò y = ÖÓØ Ö Ö Ö Ò y¹ Ü ÐÒº ÙÖ ¾º¾¼ ÀÖ Ö ÐÐØ ÖÓØ Ø ÓÒ Ò Ö Ò y¹ Ü ÐÒ Ó Ú ÒØ Ö Ö Ö Ñº ºÔ yº Ë ÙÖ.0µ Ø Ö Ø Ú Ñ Ø Ö Ö ØØ Ö Ú ÓÑ y = x ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú y ØØ Ö Ü ÑÔ Ð ¾º V = π y = x x = y. 0 (y ) dy = π [ ] ] π 5 y5 = π[ y 4 dy = = 3π 5 v.e. Ö Ò ÚÓÐÝÑ Ò Ú Ò ÖÓØ Ø ÓÒ ÖÓÔÔ ÓÑ ÙÔÔ ØÖ Ø Ò ¹ Ð ÓÑÖ Ø Ñ ÐÐ Ò ÙÖÚÓÖÒ y = x Ó y = x ÖÓØ Ö Ö Ö Ò x¹ Ü ÐÒº

56 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê Ú ØØ Ö Ñ Ö ÓÖ Ñ ÐÐ Ò ØÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ù ØÖ ¹ Ö Ú Ö Ò ÙÒ Ö Ò ÙÒ Ö ÙÖÚ Ò ÖÒ Ö Ò ÙÒ Ö Ò ÚÖ Ö ØØ Ò Ñ ÐÐ ÒÐ Ò Ö Òº ÆÖ Ú Ö Ø Ö Ñ ÖÓØ ÓÒ ¹ ÖÓÔÔ Ö ÒÚÒ Ö Ú ÑÑ Ñ ØÓ º Î Ö Ö Ñ ØØ Ö Ò ÙØ ÖÒ Ò ÔÙÒ Ø ÖÒ x = x x 4 = x x(x 3 ) = 0 x = 0 x =. f(x) = x Ó g(x) = x Ö ÐÐØ Ú Ö Ò Ö x = 0 Ó x = º ØØ Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÑÖ Øº ÙÖ.µ Á ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [0, ] Ö g(x) f(x)º ÙÖ ¾º¾½ Î Ö ÐÐØ ÚÓÐÝÑ Ò π 0 V = π 0 xdx π ( x) dx π 0 x 4 dx = π 0 0 (x ) dx = [ π x ] 5 x5 = π[ ] (x x 4 )dx = = 3π 0 v.e. Ì ÐÐ ÙÔÔ Ø ÀÙÖ ØÓÖØ Ö ÓÑÖ Ø ÓÑ ÙÖ Ò ÖÓØ Ö Ö Ö Ò y¹ Ü ÐÒ ÐÐ Ö Ö Ò Ð Ò Ò x =

57 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ÒÑÖ Ò Ò ¾º½ Ç ÖÚ Ö ØØ ÚÓÐÝÑ Ò Ö Ò Ü ÑÔ Ð ÁÆÌ Ò Ö Ò ÙØ ÓÑ Ü ÑÔ Ð ¾º V = π 0 ( x x ) dx! Ø Ò Ð ÓÑÖ Ø Ñ ÐÐ Ò Ð Ò Ò y = x+3 Ó ÙÖÚ Ò y = 3 x ÖÓØ Ö Ö Ö Ò x¹ Ü ÐÒº Ö Ò ÚÓÐÝÑ Ò Ú Ò ÙÔÔ ÓÑÒ ÖÓØ ¹ Ø ÓÒ ÖÓÔÔ Òº Î Ö Ò Ö Ö Ø ÙØ ÖÒ Ò ÔÙÒ Ø ÖÒ x + 3 = 3 x x + x = 0 x(x + ) = 0 x = 0 x =. Î Ö Ø Ö ÙÔÔ ÙÖÚÓÖÒ ÙÖ.µ Ó Ò Ö ØØ [, 0] Ö g(x) = 3 x f(x) = x + 3º ÙÖ ¾º¾¾ π V = π 0 0 (3 x ) dx π (9 6x + x 4 )dx π π (x + 3) dx = (x + 6x + 9)dx = (9 6x + x 4 x 6x 9)dx =

58 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê = π 0 [ (x 4 7x 6x)dx = π 5 x5 7 3 x3 6 ] 0 x [ ( π 0 5 ( )5 7 )] 3 ( )3 3 ( ) = π ( ) = 3π 5 v.e. = Î Ö ÒÙ ØØ ÙÖ Ñ Ò Ö Ò Ö ÚÓÐÝÑ Ò Ö ÖÓØ Ø ÓÒ ÖÓÔÔ Öº Î Ò ÙØ¹ Ú ØØ Ó Ô ÖÓÔÔ Ö ÓÑ ÒØ Ö ÖÓØ Ø ÓÒ ÖÓÔÔ Ö Ñ Ò ÓÑ Ú Ò Ú ÐÐ Ö Ò ÚÓÐÝÑ Ò Ôº ÇÑ Ö Ò Ú ØØ ÔÐ Ò Ú Ò ÐÖØØ ÑÓØ x¹ Ü ÐÒ Ö Ú Ñ A(x) ÚÓÐÝÑ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [a,b] ÓÑ V = b a A(x)dx. ¾º½ Ò Ö Ð Ö ÒØ Ö Ð Ö À ØØ ÐÐ Ö Ú ØØ Ô ÒØ Ö Ð Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ú Ö Ø ÖÒ Ó Ò Ö Ô ØØ ÐÙØ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐº Ç Ø Ö Ø Ó ÒØÖ ÒØ ØØ ÙÒ Ö Ú ÓÑ Ò Ö ÓÑ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ö ÓÒ Ð Ø Ü ÑÔ ÐÚ f(x)dx, ÐÐ Ö ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ó ÖÒ Ü ÑÔ ÐÚ 0 x dx. Ë Ò ÒØ Ö Ð Ö Ú Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÑÖ Ö ÓÒ Ð Ø ÐÐ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ó ÖÒ ÐÐ Ò Ö Ð Ö ÒØ Ö Ð Öº Ü ÑÔ Ð ¾º Î ÐÐ Ö Ñ ØØ Ô ÒØ Ö Ð Ò ÒÒ Ö ÒØ ÖÒ ØÝ 0 x dx.

59 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê lim x 0 x =. Ò Ö ÒØ ÐÐ Ö Ò Ö Ö x = 0. ÇÑ Ú ØÒ Ö Ó ØØ Ú ÒØ Ö Ö Ö Ñ ÐÐ Ò ØØ Ø Ð s ÓÑ Ð Ö ÒÖ 0 Ó ÙÐÐ Ú s x dx = s x dx = [ ] x = s. s ÒÓÑ ØØ ÙÒ Ö ÖÒ ÚÖ Ø s 0 lim dx = lim( s) =. s 0 s x s 0 Î Ú ÓÑÑ Ö ØØ Ö Ö ØØ Ú Ò Ö Ö Ò Ò Ö Ð Ö ÒØ Ö Ð Ò Ñ ÐÔ Ú ØØ ÖÒ ÚÖ º Î Ö ÐÐØ Ò Ó ¹ ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ò Ò ÖÒ ÝØ º Ü ÑÔ Ð ¾º Ö Ò 0 x dx. Î Ö Ô ÑÑ ØØ ÓÑ Ö Ò Ü ÑÔ Ð Ó Ö ÐÐ Ö 0 [ ] dx = lim dx = lim ln x = x s 0 s x s 0 s (ln ln s) = lim ln s =. lim s 0 Ø Ö ÓÑ ÖÒ ÚÖ Ò Ö Ú ØØ Ò Ò Ö Ð Ö ÒØ Ö Ð Ò dx ÒØ Ü Ø Ö Öº 0 x ÇÑ Ò Ò Ö Ð Ö ÒØ Ö Ð Ü Ø Ö Ö ºÚº º ÓÑ Ú Ö ØØ Ò Ð Ø ÖÒ ¹ ÚÖ Ö Ú ÒÓÑ Ñ Ø Ñ Ø Ò ØØ ÒØ Ö Ð Ò ÓÒÚ Ö Ö Ö ÐÐ Ö ØØ Ò Ö ÓÒÚ Ö ÒØº ÇÑ ÖÒ ÚÖ Ò ºÚº º ÓÑ Ò Ò Ö Ð Ö ÒØ Ö Ð Ò ÒØ Ü Ø Ö Ö ÒØ Ö Ð Ò Ú Ö Ú Ö ÒØ ÐÐ Ö Ú Ö Ö º s 0

60 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê Ü ÑÔ Ð ¾º ÍÒ Ö ÓÑ ÒØ Ö Ð Ò 8 3 x dx ÓÒÚ Ö Ö Öº ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÒØ Ò Ö Ö x = 0º Î Ð Ö ÙÔÔ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ØÚ Ð Ö dx = x 8 3 dx + x 0 3 x dx, Ó ÙÒ Ö Ö ÐØ 0 s [ 3 dx = lim x 3 3 ] s dx = lim x s 0 s 0 x 3 = 3 3 lim s s 0[ 3 3 ( ) ] = 3 Ó x dx = lim lim s 0[ s 0 8 s 3 s ÒØ Ö Ð ÖÒ ÓÒÚ Ö Ö Ö Ó Ú Ö [ x 3 3 ] 8 dx = lim s 0 x 3 = s ] = = dx = x 8 3 dx + x 0 3 x dx = = 9. Ö Î ÙÐÐ ÒØ ÓÑ Ò Ò ÒØ Ö Ð Ò ÓÒÚ Ö Ö Ø Ó Ò Ò Ö Ú Ö Ö Ø ËÚ Ö ÙÐÐ Ú Ø ØØ Ð Ò Ò Ö Ð Ö ÒØ Ö Ð Ò ÙÐÐ Ú Ö Ú Ö ÒØº Ø Ö Ö Ñ ØØ Ò Ð Ú Ò ÒØ Ö Ð Ö Ú Ö ÒØ Ö ØØ Ð ÒØ Ö Ð Ò ÐÐ Ú Ö Ú Ö ÒØº È ÑÓØ Ú Ö Ò ØØ Ñ Ø ÐÐ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ

61 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¼ Ò ÒØ Ö Ð Ú Ö ÓÒÚ Ö ÒØ Ö ØØ Ð ÒØ Ö Ð Ò ÐÐ Ú Ö Øº Á Ð Ò ØÚ Ü ÑÔ Ð ÐÐ Ú Ò Ô Ò Ú Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø º Î ÒØ Ö ØØ Ú Ö ØÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ö f Ó g Ó Ø ÐÐ Ö ØØ f g Ô Ð Ò Ø ÓÒ ¹ ÑÒ Òº ÙØÓÑ ÒØ Ö Ú ØØ g Ö ÓÒÚ Ö ÒØº Ø Ö ÓÑ f g Ö Ú Ö x Ñ Ø Ó f Ú Ö ÓÒÚ Ö ÒØº È ÑÓØ Ú Ö Ò ØØ ÐÐ Ö Ø ØØ ÓÑ f g Ô Ð Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò Ó g Ö Ú Ö ÒØ Ö f Ó Ú Ö ÒØº Ü ÑÔ Ð ¾º ¼ ÃÓÒÚ Ö Ö Ö ÒØ Ö Ð Ò 0 e x dx? Î ÐØ Ö M Ø Ò ØØ ØÓÖØ ÔÓ Ø ÚØ Ø Ðº 0 M [ ] M e x dx = lim e x dx = lim e x M 0 M 0 = 0 ( ) =. ÁÒØ Ö Ð Ò ÓÒÚ Ö Ö Öº Ü ÑÔ Ð ¾º ½ ÃÓÒÚ Ö Ö Ö ÒØ Ö Ð Ò e x dx? Ì ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò e x ÒÒ Ø ÒØ Ö Ø Ò ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒº Á ØØ ÐÐ Ö x > ØÝ Ú ÒØ Ö Ö Ö Ñ ÐÐ Ò Ó µº ÐÐ Ö Ð Ò x < x e x < e x e x > e x e x > e x. ÆÙ Ò Ú Ñ ÐÔ Ú Ø Ò ØØ Ø Ö ÓÑ e x dx ÓÒ¹ Ú Ö Ö Ö Ò ÓÒÚ Ö Ö Ö Ù Ô ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [0, ]µ Ñ Ø Ó e x ÓÒÚ Ö Ö º

62 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ½ ¾º½ Î Ö Ð ÝØ Î ÓÑÑ Ö Ð Ò Ú Ò ØØ Ò ØØ Ò Ð ØÖ Ô ÐÐ Ñ ØÓ Ö ØØ ØØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒº Ñ ØÓ Ö Ö ÑÝ Ø ÒÚÒ Ö Ó Ö Ö ØØ Ö º Ò Ö Ø Ñ ØÓ Ò ÐÐ Ú Ö Ð ÝØ º ØØ ÒÒ Ö ØØ ÒÖ Ú ØØ ÐÐ Ó Ø Ø Ö ÒØ Ö Ö Ø Ñº ºÔº x ÐÐ Ú Ö Ò Ù Ø ØÙØ ÓÒ ØØ ÙØ ÝØ ØØ Ú Ö ØØ ÐØØ Ö ÙØØÖÝ º Î ÐÐÙ ØÖ Ö Ö Ñ ØØ Ü ÑÔ Ð Ü ÑÔ Ð ¾º ¾ ØÑ ÒØ Ö Ð Ò 0 (x + ) 3 dx. Î Ö Ö Ò Ø Ö Ö Ò Ø ÒØ Ö Ð Ö Ú ÒÒ ØÝÔ Ü Ñ¹ Ô Ð ¾º½ µµ ÒÒ Ò Ö Ú Ø Ó Ñº º Ò Ú Ö Ð Ù Ø ¹ ØÙØ ÓÒ ºÚº º Ú ÐÐ ÝØ ÙØ ØØ ÙØØÖÝ ÑÓØ ØØ ÒÒ Ø Ú Ö Ò ÓØ ÓÑ Ö Ò Ð Ö ØØ ÒØ Ö Ö º ØØ ØØ ØØ ÐÑÔÐ Ø ÙØØÖÝ Ö ÒØ ÐÐØ ÐØØ Ð Ò Ò Ð Ö Ø ÓÑ ØØ Ñ Ò Ú Ö Ö Î ØØ Ö x+ = tº Ö ØØ ÙÒÒ ØØ Ò t Ô ÔÐ Ø Ò Ö x+ Ó Ò ÙÒÒ ÒØ Ö Ö Ñ Ø Ú Ö Ò ÓÒØ Ò Ø dxº Î Ú ÐÐ Ö Ö ½º Ä ÙØ x ÙÖ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Òº ¾º Ö Ú Ö ÓÖÒ Ñ Ú Ò Ô tº º Ä ÙØ dxº º ËØØ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ó Ò Ö ÖÒ ÖÒ º Î Ö Ö ½º Ä ÙØ x ÙÖ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Òº x + = t x = t.

63 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¾ ¾º Ö Ú Ö ÓÖÒ Ñ Ú Ò Ô tº ÀÖ ÒØÖÓ Ù Ö Ö Ú Ò ÒÝ Ø Ò Ò dx dt. ØØ ØÝ Ö ØØ Ñ Ò Ö Ú Ö Ö ÙØØÖÝ Ø x Ñ Ú Ò Ô tº Î Ú Ø ØØ x = t = t º Ö Ú Ö Ö Ú ØØ Ñ Ú Ò Ô t Ö Ú ØØ º Ä ÙØ dxº dx dt =. dx dt = dx = dt. º ËØØ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ó Ò Ö ÖÒ ÖÒ º Î Ö Ò Ö Ø x+ = tº ØØ Ö Ð ØØ Ø ÐÐ ØØ dx = dtº Î Ð Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ ÖÒ ÖÒ Ö Ò ÚÖ ÖÒ Ò ÐÐ Ö ØØ t = x + Ó x = º ØØ Ö t = + = 3º È ÑÓØ Ú Ö Ò ØØ Ò ÙÒ Ö ÖÒ Ò x = 0 ÓÑ t = 0 + = º ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ö ÐÐØ [, 3]º Î Ö 0 (x + ) 3 dx = Î Ö Ò Ö Ò ÒÝ ÒØ Ö Ð Ò 3 3 t 3 [ ] dt = t4 3 [ 3 4 ] = t 3 dt. = 80 8 = 0. Ö Î ØÝ Ö Ø ØØ Ö Ú Ö Ñº ºÔ x Ó Ñº ºÔ t

64 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ËÚ Ö Î Ú Ö ØØ Ñ ØØ Ü ÑÔ Ð Î Ø Ö ÙØØÖÝ Ø x t x + 4tº ÇÑ Ú Ö Ú Ö Ö ØØ ÙØØÖÝ Ñº ºÔ x Ò Ð Ö Ú ÐÐ Ò Ö Ó ØÚ Ö ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ Öº ºÚº º Ö Ú Ö Ö Ú ÙØØÖÝ Ø ÓÚ Ò Ñº ºÔº x Ö Ú x t º ÇÑ Ú Ö ÑÓØ Ö Ú Ö Ö Ñº ºÔ t Ò Ð ÐÐ Ó ØÚ Ö ÖÙØÓÑ t ÓÑ ÓÒ Ø Ò¹ Ø Öº ÍØØÖÝ Ø Ö Ú Ö Ø Ñº ºÔº t Ð Ö Ö Ö xt + 4º ØØ ØØ ÐÝ Ú Ö Ð Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ö Ò Ú Ö Ú Ö ÐÙÑÔÑ Øº Ò Ö Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ö Ó Ò ÓÑ Ð Ö Ø ÐÐ ØØ Ø ÙØØÖÝ Ñ Ò ÒØ Ö Ö Ö Ð Ö ÐØ¹ Ø Ö º Ü ÑÔ Ð ¾º Ö Ò π 3 0 sin x cos 3 xdx. Ú Ò ÒÒ ÙÔÔ Ø ÔÑ ÒÒ Ö ÓÑ Ò Ú Ö Ò Ø Ø Ö Ü ¾º ¾µº Î ÐÐ ÒÙ ÒÚÒ Ó Ú Ú Ö Ð Ù Ø ØÙØ ÓÒº ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ú ÒÚÒ Ö Ö cos x = tº Î Ð Ö ÔÙÒ Ø ÖÒ ÖÒ ÖÖ Ü ÑÔÐ Ø Ó Ö ½º Ø Ö ÓÒ Ø ØØ Ð ÙØ x Ø Ð Ö Ö ÑÝ Ø ÖÒ Ð Ö Ú ÓÔÔ Ö Ú Ö ØØ º ¾º Á ØÐÐ Ø Ö ØØ Ö Ú Ö Ñº ºÔ t Ö Ú Ö Ö Ú Ñ Ú Ò Ô xº º Î Ð Ö ÙØ dx Ó Ö sin x = dt dx. dx = dt sin x. º ÀÖÒ Ø Ú Ò Ö ÖÒ ÖÒ º ØØ Ö ÒÓÑ ØØ ØÙÖÚ Ø ØØ Ò ÚÖ Ó ÙÒ Ö ÖÒ Ò Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ò cosx = t x = π 3 t = cos π 3 = x = 0 t = cos 0 =.

65 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê Î ØØ Ö Ò ØØ ÒØ Ö Ð Ò Ó Ö π 3 0 sin x cos 3 xdx () = t 3 dt. () ÐÐ Ö ØÝ Ø ÖÑ Ò sin x Ö ÓÖØ ÓÖØ ÑÓØ ÑÑ Ø ÖÑ ÒÑÒ Ö Ò Ö dtº ÃÓÑ Ñ ÒÙ Ø Ò Ø Ø Ö Ú ÒÒ Ö ÒØ Ø Ò ÓÑ ÒÙ Ø Ö ØÖ Ö ØØ Ð ÒØ Ö Ð Ò t 3 dt = Ü ÑÔ Ð ¾º [ ] t 3 dt = 4 t4 Ö Ò 3 9 x dx. 0 = = 4 64 = ØØ Ö Ò ÒØ Ö Ð ÓÑ Ú ÒØ Ö Ø Ò ØØ Ò ÓÒ ÔÖ Ñ ¹ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐº Î Ö Ö Ñ Ò Ú Ö Ð Ù Ø ØÙØ ÓÒº Ø Ú Ö Ö Ñ Ö ½º ÍØØÖÝ Ø Ö Ð Ø Ñº ºÔ xº x = 3 sin t. ¾º Ö Ú Ö Ö ÓÖÒ Ñº ºÔ t º Ä Ö Ò ÙØ dx dx dt = 3 cos t. dx = 3 costdt. º Ò Ö ÖÒ ÖÒ Ó ØØ Ò Ò ÐÐØ ÒØ Ö Ð Òº ÖÒ Ò Ò ÒØ ØÑÑ ÒÓÑ Ö Ø Ò ØØÒ Ò Ø Ö Ó ÒØ ÚÖØº Î Ø ÖØ Ö Ñ Ò ÙÒ Ö ÖÒ Òº Ö

66 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê Ò Ö x = 0º ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ú Ö Ù x = 3 sin tº Î ÐÐØ ØØ ØØ t Ö Ú Ð Ø 3 sin t = 0º Î Ö ØØ t = 0 Ü ÑÔ ÐÚ Å ÇÄµº È ÑÑ ØØ Ö Ò ÚÖ ÖÒ Ò ØØ x = 3 3 sin t = 3 sin t = t = π. Î ØØ Ö Ò ÒØ Ö Ð Ò Ó Ö π x dx = π 9( sin t) 3 cos tdt = π sin t 3 cos tdt = π 3 cos t 3 cos tdt = cos t 3 cos tdt = π 0 cos tdt. Î Ú Ø ØØ cos x = cos x cos x = cos x +, Ú Ð Ø Ö ØØ π 9 cos tdt = π [ sin t + t ] π (cos t + )dt = 9 0 [( sin π + π ) ( )] sin( 0) + 0 = 9 ( sin π + π ) sin 0 = 9 π = 9π 4. 0 = ¾º½ È ÖØ Ð Ö ÙÔÔ ÐÒ Ò Ò ÒÒ Ò Ñ ØÓ ÓÑ Ó Ø Ò Ú Ö Ò ÚÒ Ö ØØ Ô ÖØ Ð Ö ÙÔÔ Ð º Ø ØÝ Ö ØØ Ñ Ò Ö Ú Ö ÓÑ ØØ Ö Ø ÓÒ ÐÐØ ÙØØÖÝ ØØ Ñ Ò Ð Ö ÙÔÔ Ø Ö ÓÐ Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ ºÎ ÐÐ Ô ØØ Ü ÑÔ Ð Ü ÑÔ Ð ¾º Ö Ò 4 x dx.

67 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ØØ Ö ØØ ÙØØÖÝ ÓÑ Ú ÒØ Ö Ø Ò ØØ Ò ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐº ÆÖ Ú Ö ØØ Ö Ñ Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ Ö Ó Ó Ø Ò Ñ Ø Ö Ñ ÓÑÐ Ú Ò ØØ Ô ÖØ Ð Ö ÙÔÔ Ð º ØØ Ö ÒÐ Ø ½º ØÓÖ Ö ÒÑÒ Ö Òº x = (x + )(x ). ¾º ÍÔÔ Ð Ö Ø ÑÒ Ø ÖÑ Ö ÓÑ Ø ÒÒ ØÓÖ Ö ÒÑÒ Ö Òº ØØ Ö ÒÐ Ø º ØÑ A Ó Bº x = (x + )(x ) = A x + + B x. Î ÒÚÒ Ö Ó Ú Ò Ò Ö Ð Ø Ò. Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ö ÙÔÔ ÚÒ ØÖ Ò ÒÑÒ Ö = (x + )(x ) = A x + + B x A(x + )(x ) B(x + )(x ) + (x + ) (x ) = A(x ) + B(x + ). Á ØØ Ð Ö Ú Ô Ø ÖÑ Ö ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ú Ö ÐÒ x Ó Ò ÓÑ ÒØ Ö Øº = A(x ) + B(x + ) = Ax A + Bx + B 0x + = Ax + Bx A + B 0x + = (A + B)x + ( A + B). Î Ð Ö ÒÙ ØØ Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ { = A + B () 0 = A + B () ÖÒ () Ö Ú ØØ A = Bº Î ØØ Ö Ò ØØ () Ó Ö

68 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê { = B + B = B A = B A =,B =. º ËØØ Ò A Ó B ÙÖ ÔÖÙÒ Ú Ø ÓÒ Òº x = A x + + B x = x + + x. ØØ Ö ØØ ÙØØÖÝ Ú Ò ÒØ Ö Ö Ü ÑÔ Ð ¾º Ö Ò 4 4 ( ) x dx = x + + dx = x 4 x + dx + 4 x dx = [ ] 4 ln x + + [ ] 4 ln x = (ln 5 ln 3) + (ln 3 ln ) = ln 3 ln x + 3x 4 x 3 x x dx. ½º ØÓÖ Ö ÒÑÒ Ö Òº Î Ö Ö Ñ ØØ Ö Ò ÙØ ÒÑÒ Ö Ò ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò x 3 x x = x(x x ) = 0 x = 0 (x x ) = 0. Ö Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ò x x = 0 ÐÐ Ö ØØ x = ± ( ) 4 ( ) = ± 3 x = x =.

69 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê Î Ö ÐÐØ x + 3x 4 x 3 x x = x + 3x 4 x(x )(x + ). ¾º ÍÔÔ Ð Ö Ø ÑÒ Ø ÖÑ Ö ÓÑ Ø ÒÒ ØÓÖ Ö ÒÑÒ Ö Òº º ØÑ A B Ó Cº x + 3x 4 x(x )(x + ) = A x + B x + C x +. Î ÖÐÒ Ö ÖÐ Ú Ø ÓÒ Ò ÓÚ Ò Ö ØØ ÙÒÒ Ö Ú ÐÐØ Ô ØØ Ö ØÖ º Î Ö A x + B x + C x + = A(x )(x + ) + Bx(x + ) + Cx(x ) = x(x )(x + ) A(x x ) + B(x + x) + C(x x) = x(x )(x + ) Ax Ax A + Bx + Bx + Cx Cx = x(x )(x + ) (A + B + C)x + ( A + B C)x + ( A) x(x )(x + ) krav x + 3x 4 x(x )(x + ) ØØ Ö Ó Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø A + B + C =, () A + B C = 3, () A = 4, (3) Î Ö Ö Ø ÖÒ (3) ØØ A = º ËØØ Ö Ú Ò ØØ () Ó () + B + C = + B C = 3 A = B + C = 4, () B C = 5, () A =, (3)

70 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê Ë Ò Ð Ö Ú ÙØ B ÙÖ () ØØ Ö Ò ØØ () Ó Ö Ô Ø ØØ Ø ÙØ Cº ËØØ Ö Ò Ò ÚÖ Ø Ô C () Ö ØØ ØØ ÚÖ Ô Bº B + C = 4 B = 5 + C A = 3C = 9 B = 5 + C A = 5 + C + C = 4 B = 5 + C A = C = 3 B = 5 + ( 3) A = A = B = C = 3 º ËØØ Ò A B Ó C ÙÖ ÔÖÙÒ Ú Ø ÓÒ Òº x + 3x 4 x 3 x x = x x 3 x +. ÆÙ Ò Ú ÒØ Ö Ö º Î Ö x + 3x 4 ( x 3 x x dx = 3 x x 3 ) dx = x + [ ] 4 ln x ln x 3 ln x + = 3 ( ) ( ) ln 4 ln 3 ln 5 ln 3 ln 3 ln 4 = ln ln 3 ln 5 ln ln = 4 ln ln 3 ln 5 ln ln = 9 ln 3 ln 5 ln 3. ÀÖ ÒÚÒ Ö ÐÒ log x r = r log xº

71 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¼ ¾º½ È ÖØ ÐÐ ÒØ Ö Ø ÓÒ È ÖØ ÐÐ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö Ò ØÖ Ñ ØÓ ØØ ÒØ Ö Ö ÒÖ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ø Ö ØØ ØØ º Ò Ö Ô ÐÐØ ÒÚÒ Ö ÒÖ Ú Ö Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú ØÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ ÐÐ ÒØ Ö Ö º Î Ö Ö Ñ ØØ ÖÐ Ö ÐÒ Ö Ô ÖØ ÐÐ ÒØ Ö Ø ÓÒº Î Ú Ø ØØ Ö Ú Ö Ò Ö ÐÒ Ö Ò ÔÖÓ Ù Ø Ö Î ÝØØ Ö ÓÑ Ø ÖÑ ÖÒ Ó Ö D(f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x). f(x)g (x) = D(f(x)g(x)) f (x)g(x). Ë ÙÐÐ Ú ÒÙ Ú Ð ÒØ Ö Ö ÙØØÖÝ Ò Ô ÓÖÒ Ú Ð Ñ ¹Ø Ò Ø ÙÐÐ Ú ØØ Ò Ú Ö Ö ÓÑ Ú Ö ØÚ ÙØØÖÝ ÓÑ Ö Ð Ñ Ø Ú Ò ÒØ Ö Ð Ò Ú Ñ Ú Ö Ð µ b a f(x)g (x)dx = b a D(f(x)g(x))dx b ÁÒØ Ö Ð Ò Ö Ù Ö Ú Ø Ò ÒÚ Ö Ú Ð Ø Ð Ö Ø ÐÐ ØØ b a f(x)g (x)dx = [ ] b f(x)g(x) a b a a f (x)g(x)dx. f (x)g(x)dx. ÇÑ Ú ÒÙ Ö Ô Ø ÙØØÖÝ Ú Ö Ö ØØ Ò Ö Ð Ö ØØ Ö Ú ÓÑ Ò ÒØ Ö Ðº Î ÐÝ Ö Ñ Ò Ö Ü ÑÔ Ðº Ü ÑÔ Ð ¾º Ö Ò e x ln xdx. ÀÖ Ö Ú Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú ØÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ö x Ó ln xº Î ØØ Ö f(x) = lnx g (x) =x. Î ÐÐ ÒÙ Ð f (x) Ó g(x)º Ö

72 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ½ f (x) = x Î Ø ÐÐÑÔ Ö Ö ÐÒ ÓÚ Ò Ó Ö Ü ÑÔ Ð ¾º Ö Ò e g(x) = x. [ e x ln xdx = x ln x] [ e ln e ln ] e e e [ e ] = e e ( x ) x dx = [ x xdx = e = e +. 4 ] e = π 0 x sin xdx. ÀÖ ÚÐ Ö Ú ØØ ØØ f(x) = x Ó g (x) = sinxº ØØ Ö { { f(x) = x f g (x) = sinx (x) = g(x) = cos x Î ÒÚÒ Ö ÒÙ Ö ÐÒ Ö Ô ÖØ ÐÐ ÒØ Ö Ö Ø ÓÒ Ó Ö π 0 [ ] π x sin xdx = x cos x 0 π [ π cos π ] π 0 + cos xdx = sin π sin 0 = 0 =. 0 ( ) ( cos x) dx = [ ] π sin x 0 =

73 Ã ÈÁÌ Ä ¾º ÁÆÌ Ê Ä Ê ¾ Ü ÑÔ Ð ¾º ØÑ ÓÒ Ø ÒØ Ò a ØØ a ln xdx =. ÀÖ Ú Ö Ö Ø Ò ÓÑ ÓÑ Ú ÒØ Ö Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú ØÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ñ Ò ÓÑ Ú ØØ Ö f(x) = lnx g (x) = Ö Ú ØØ Ú Ò ØÓÐ ln x ÓÑ Ò ÔÖÓ Ù Øº Î Ð Ö ÒÙ f (x) = x g(x) =x. Î Ò Ö Ø Ø ÐÐÑÔ Ö ÐÒ Ö Ô ÖØ ÐÐ ÒØ Ö Ø ÓÒ a a ln a ln ln xdx = a [ ] a x ln x a dx = a ln a ( x x ) dx = [ ] a x = a ln a a +. ÆÙ Ø Ö ØÖ ÒÒÙ ØØ ØÑÑ a a ØØ ln xdx = º Î Ö a ln xdx = a ln a a + = a ln a = a ln a = a = e.

74 Ã Ô Ø Ð ÃÓÑÔÐ Ü Ø Ð º½ Ò Ø ÓÒ Ô ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Î Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ð ÙØ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ñ ØØ Ð Ú Ø ÓÒ Ö Ú ØÝÔ Ò x + = 0. Á ÚÖ Ò Ø ÓÒ Ú Ú Ö ØÖÓØ Ò Ö Ú ÖÚØ ØØ Ø Ð Ø ÙÒ Ö Ú Ö ØÖÓØ Ò ÐÐ Ú Ö Ø ÖÖ Ò ÐÐ Ö Ð Ñ ÒÓÐÐº Ò ÙÐÐ Ø ÑÒ ÐÐ Ú Ö ÔÖ Ø Ø ØØ ÒØ ØØ Ö Úº Î ÐÐ ÒÙ ÙØÚ Ð Ø ÐÓÑÖ Ò Ú Ö Ó Ô Ò ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÑÒ Òº Ö ØØ Ö ØØ ÒØ Ö Ú ØØ Ø ÒÒ ØØ Ø Ð i Ñ Ò Ò Ô Ò ØØ i =. Î ÐÐ Ö ØØ Ø Ð i Ö Ò Ñ ÒÖ Ò Øº Ñ ÒÖ ÓÚ Ö Ð ØÒ Øµº Î ÐÐ ÒÙ Ô ØØ Ø Ð a + bi Ö a Ó b Ö Ö ÐÐ Ø Ðº Î ÒØ Ö ØØ Ú Ò Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÔÖ Ô ÑÑ ØØ ÓÑ Ñ Ú ÒÐ ÔÓÐÝÒÓÑº ÙØÓÑ ÐÐ Ú ÒØ Ð ÑÑ ØØ i =. Ü ÑÔ Ð º½ µ (3 + i) + (4 i) = 3 + i + 4 i = 7 + i µ (+3i)(5 i) = 0 i+5i 3i = 0 i+5i+3 = 3+3i.

75 Ã ÈÁÌ Ä º ÃÇÅÈÄ Ì Ä Ö ØØ Ø Ð a + bi Ò Ú Ú Ò Ò Ö Ø Ò Ò Ò (a,b)º Å Ò Ø ¹ Ò Ò Ò ÐÐ Ö Ð Ò ÒØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ º½ ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ò Ö Ø ÐÔ Ö Ö Ú Ð Ø ÓÒ Ó ÑÙÐØ ¹ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Ö Ô Ð Ò ØØ (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) (a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc) ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ò ÑÒ Ø Ò Ñ º Ö ØØ ÓÑÔÐ ÜØ Ø ÐÔ Ö ÐÐ Ö Ø ØØ (a,b) = (c,d) a = c Ó b = d. ÆÖ Ñ Ò Ò Ð Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ÒÚÒ Ö Ñ Ò Ó Ø ÝÑ ÓÐ Ò z ÓÑ Ø ¹ Ò Ò Ô ØØ ÓÑÔÐ ÜØ Ø Ð Ú z = (a,b)º Ü ÑÔ Ð º¾ ËØØ z = (, )º Ö Ò z + (, 3) Ó z º z + (, 3) = (, ) + (, 3) = (3, 5) z = (, ) = (, )(, ) = ( 4, + ) = ( 3, 4) Ü ÑÔ Ð º ØÑ x Ó y ØØ z = z z = (x, ) Ó z = (0, y )º Ö ØØ Ð Ø ÐÐ Ñ Ø Ö ÐÐ Ð ÖÒ Ú Ö Ð Ó Ñ ÒÖ Ð ÖÒ Ú Ø Ð Ò Ú Ö Ð ºÚº º x = 0 x = ± Ó = y y = ±.

76 Ã ÈÁÌ Ä º ÃÇÅÈÄ Ì Ä Î ÐÐ ÒÙ Ò Ö Ö Ò Ö Ð Ö ÓÑ ÐÐ Ö Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ðº Î Ö Ô ØÖ Ó ¹ ØÝ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ð z z Ó z 3 º Ø ÓÒ ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ½º ÃÓÑÑÙØ Ø Ú Ð Ò z + z = z + z z z = z z ¾º Ó Ø Ú Ð Ò z + (z + z 3 ) = (z + z ) + z 3 z (z z 3 ) = (z z ) z 3 º ØÖ ÙØ Ú Ð ÖÒ z (z + z 3 ) = z z + z z 3 (z + z )z 3 = z z 3 + z z 3 º Æ ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ (a,b) + (0, 0) = (a,b) (a,b) (, 0) = (a,b) (0, 0) Ö Ò ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ (, 0) Ö Ò ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ º ÁÒÚ Ö Ø Ð Ñ ÒØ (a,b) + ( a, b) = (0, 0) z z = z = (, 0) z ( a, b) Ö Ø ÑÓØ ØØ Ø Ð Ø z Ö Ø ÒÚ ÖØ Ö Ø Ð Ø Ü ÑÔ Ð º ËØØ z = (3, )º ØÑ Ø ÑÓØ ØØ Ó Ø ÒÚ ÖØ Ö Ø Ð Øº ÖÒ Ø ÐÐ Ò ÓÚ Ò Ö Ú ØØ Ø ÑÓØ ØØ Ø Ð Ø ÓÑ z = ( 3, ). Ö Ø ÒÚ ÖØ Ö Ø Ð Ø Ú Ø Ú ØØ z z = (, 0)º ÇÑ Ú ÐÐ Ö z Ö (a,b) ÐÐ Ö Ø ØØ (3, )(a,b) = (, 0) (3a b, 3b + a) = (, 0) { { 3a b = a = a + 3b = 0 b a + 3b = 0 { a = b + { 3 3 ( b + ) a = b b = 0 4 b + + 3b = { a = b + { 3 3 a = 3 b = b b = 3 3 { a = ( ) = b = 3. Ø ÒÚ ÖØ Ö Ø Ð Ø Ö ÐÐØ ( 3 z = 3, ). 3

77 Ã ÈÁÌ Ä º ÃÇÅÈÄ Ì Ä º¾ ÃÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ô ÓÖÑ Ò a + ib Î ØÒ Ö Ó ÒÙ ØØ Ö ÐÐØ Ø Ð cº Î Ô Ø Ò Ò Ò a + bi Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ðº Ì Ð Ø c Ò Ö Ú ÓÑ c + 0i ºÚº ÓÑ (c, 0)º Î ÐÐ ÑÙÐØ ÔÐ Ö ØØ Ö ÐÐØ Ø Ð t Ñ ØØ ÓÑÔÐ ÜØ Ø Ð (a,b)º t Ò Ö Ú ÓÑ (t, 0) Ó Ö Ð ÖÒ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ú ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ö ØØ (t, 0) (a,b) = (ta 0b,tb + 0a) = (ta,tb). ØØ Ö ÙÔÔ ÓÚ Ø ÐÐ Ð Ò Ö Ð Ê Ð ÈÖÓ Ù Ø Ò Ú Ø Ö ÐÐ Ø Ð Ø t Ó Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ø (a,b) Ö t (a,b) = (ta,tb). Î ÐÐ Ú Ò ÙØ Ò ÖÒ ÚÖ Ò Ø ÓÒ Ô ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ÓÑ Ø ÐÔ Ö Ñ Ú Ò Ô Ö ÖÐ Ò Ò Ô Ô Ø Ð Ø i ÓÑ Ú Ø Ö ØÖÚ ÒÑ¹ Ð Ò ØØ i = º Ø Ö ÓÑ i Ò Ö Ú ÓÑ 0 + i Ò Ú Ø Ò i ÓÑ (0, )º ÇÑ Ú ÙÒ Ö Ö i i Ö Ú ºÚº Ú Ö Ú Ö Ö Ø ØØ Ö ÐÒ ÐÐ Öº i i = (0, )(0, ) = (0, 0 + 0) = (, 0), i = Î ÐÐ ÑÑ Ò ØØ Ú Ú ØØ ÐÐ ØØ ÒÓÑ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ø i = (0, ) ÓÑ ÒÑÒ Ñ ÒÖ Ò Ø ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ð Ø Ò i = º Î Ö ÓÑÔÐ ÜØ Ø Ð z = (a,b) Ò Ö Ú Ô ÓÖÑ Ò z = a + bi Ö a,b Ê. Á Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ø z = a + bi ÐÐ a Ö Ö ÐÐ Ð Ó b ÐÐ Ö Ñ ÒÖ Ðº Å Ò ÖÙ Ö Ø Ò ØØ a =Ê (z) Ó b =ÁÑ(z)º

Visa mer