ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ

Transkript

1 ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¹ ¾¼½ Ò Ø ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ + Ú º º Ý Ø ÑØ Ò ÁÒ Øº º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ø + ÈÓÛ Ö ËÝ Ø Ñ ÀÎ ÄÙ Ú ½ Ñ Ö ¾¼½

2 ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ Ø Ö Ð Ø Ö Ö Ø Ô ÓÑÔ Ò Ø ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ö Ú Ø Ú ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ ¾¼¼¾º Ú Ò ØØ Ñ Ö Ö Ñ Ö Ú Ö ÙÖ º ÁÒ Ö ¾¼½¾ Ö Ú Ö ÓÒ Ò Ú ÓÑÔ Ò Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ò Ö ÓÖØ ØØ ÒÝØØ Ú Ò ØØ Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ú Ð ØÖ Ö Ø Ö Ö Ð Ø Ø ÐÐ Ô Ø Ð º Ò Ø ÓÖ Ø Ò ÐÝ Ò Ô Ø Ð Ö Ö Ú Ø ÓѺ ØØ ÒØ Ð Ñ Ð Ó Ó Ð Ö Ø Ö Ö ÖØØ Ø º Á ¾¼½ Ö Ú Ö ÓÒ Ö ØØ ÒØ Ð Ñ Ð ÖØØ Ø º Ò Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑØ ÐÐ Ö Ú Ò Ð Ø Ò Ø ÓÑÔ Ò Ø ÇÑ Ù ØØ Ö Ð ÐÐ Ö Ó Ð Ö Ø Ö ÓÑÔ Ò Ø ÚÓÖ Ú Ø ÑÑ ÓÑ Ù Ö ØØ Ñ Ð ÓÑ ØØ Ø ÐÐ Ò Øº ÖÐ ÓÒ ØºÙÙº º

3 ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¹ Ò Ö ÖÙÒ Ð Ò Ö ÔÔ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ó ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Å Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ö ÒØ Ð¹ Ó Ö Ò Ú Ø ÓÒ Ö ¾º½ Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú Ø Ò Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú Ð Ò Ú Ø ÓÒ Ö ÖÒ Ö ÓÐ ØÝÔ Ö Ú Ý Ø Ñ ½½ ¾º¾º½ ÃÓÒ Ø ØÙØ Ú Ö Ð Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º¾º¾ Æ Ö ÔÖ Ø Ü ÑÔ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º Ò ÐÓ Ö Ñ ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ý Ø ÑØÝÔ ÖÒ º º º º º º º º º ½ ¾º¾º Æ Ö Ø Ö Ø Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ¾º Æ Ö Ò Ø ÓÒ Ö ÖÙÒØ Ö ÔÔ Ø Ý Ø Ñº º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ËØ Ð Ø Ø Ö ÔÔ Ø ÒÐ Ò Ù ÓÒ º º º º º º º º º º º º ¾ Ì ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñ ¾ º½ Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ý Ø Ñ º º º º º º º º ¾ º½º½ ÁÑÔÙÐ Ú Ö Ó Ø Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º¾ ÈÓÐ Ö ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ó Ø Ð Ø Ø Ö Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñ º½º Ë Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò ÔÓÐÐ Ó Ö ÔÓÒ Ø ÔÐ Ò Ø º º º º º º½º ØØ ÖÐ Ö Ò Ö Ö Ò Ö Ð Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ö º º º º º º º½º ÃÐ Ö Ò Ú Ý Ø Ñ ÙØ ÖÒ Ö ÔÓÒ Ø ÔÐ Ò Ø º º º ½ º¾ Ö Ú Ò Ö ÚÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ Ö Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ Ó Ö Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º Ó Ö Ñ Ó Ø Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ú Ð ØÖ Ö Ø Ö º º º º º º º º º º º º ¾ º º½ ÁÑÔ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Æ Ö Ü ÑÔ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ö Ø ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñ ½ º½ Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ø Ö Ø Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º ¾ º½º½ ÒÚÒ Ò Ò Ú Ö ÙØÒ Ò ÓÔ Ö ØÓÖÒ º º º º º º º º º º º½º¾ ÃÐ Ö Ò Ú Ý Ø Ñ ÙØ ÖÒ Ö ÔÓÒ Ø ÔÐ Ò Ø º º º º½º ÈÙÐ Ó Ø Ú Ö Ö Ø Ö Ø Ý Ø Ñ º º º º º º º º º

4 º½º ÈÓÐ Ö ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ó Ø Ð Ø Ø Ö Ø Ö Ø ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñ º½º Ë Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò ÔÓÐÐ Ó Ö ÔÓÒ Ø ÔÐ Ò Ø º º º º º º¾ Ö Ú Ò Ö ÚÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ø Ð ÐØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ë ÑÔÐ Ò Ú Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò Ð Ö º½ Ë ÑÔÐ Ò Ú Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ë ÒÒÓÒ ÑÔÐ Ò Ø ÓÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ú Ò Ú Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÔÔÖÓÜ Ñ Ö Ò Ú Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ö º º º º º º º Ì ÐÐ ØÒ ÑÓ ÐÐ Ö Ö ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñ º½ Ì ÐÐ ØÒ ÑÓ ÐÐ Ö Ö Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º½º½ ÐÐÑÒ Ø ÐÐ ØÒ Ö ÚÒ Ò Ö ÐÐ Ø m < n º º º º º º º ¼ º½º¾ ÐÐÑÒ Ø ÐÐ ØÒ Ö ÚÒ Ò Ö ÐÐ Ø m = n º º º º º ½ º½º ØØ ØØ ÙÔÔ Ø ÐÐ ØÒ Ö ÚÒ Ò Ö º º º º º º º º º º º ½ º½º Ü ÑÔ Ð Ô Ø ÐÐ ØÒ Ö ÚÒ Ò Ö ÐÐ Ø m < n º º º º º½º ØØ ÖÒ Ø ÐÐ ØÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ º¾ Ì ÐÐ ØÒ Ö ÚÒ Ò Ö Ö Ø Ö Ø ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñ º º º º º º º º¾º½ ÁÒÐ Ò Ü ÑÔ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ ÐÐÑÒ Ö ÚÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º ÖÒ Ø ÐÐ ØÒ Ö ÚÒ Ò Ø ÐÐ Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º¾º Ö Ø Ö Ò Ú Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø ÐÐ ØÒ ÑÓ ÐÐ Ö º º º¾º Ä Ò Ò Ú Ø ÐÐ ØÒ Ú Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º Æ ÓØ ÓÑ ÓÐ Ò Ö Ý Ø Ñ ½ º½ Ä Ò Ö Ö Ò Ú ÓÐ Ò Ö Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÔÓÖØÖØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ ÔÓÖØÖØØ Ö Ð Ò Ö Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º ÔÓÖØÖØØ Ö ÓÐ Ò Ö Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÔÓÖØÖØØ ÒÖ ÑÚ Ø ÔÙÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÔÓÖØÖØØ ÐÒ Ø ÖÒ ÑÚ Ø ÔÙÒ Ø Ö º º º º º º º º º º º ÄÝ ÔÙÒÓÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ½¼ º½ Á ¹Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ØÓ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¼ º½º½ ÁÑÔÙÐ Ú Ö Ó Ø Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º½º¾ Ö Ú Ò Ò ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º½º ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¾ º¾ È Ö Ñ Ø Ö ØØÒ Ò Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ö º º º º º º º º º ½½¾ º¾º½ Ü ÑÔ Ð Ô Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ö º º º º º º º º º º ½½ º Å Ò Ø Ú Ö ØÑ ØÓ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º½ ÖÐÙ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º¾ Å Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

5 º º Ò Ñ ØÖ ÓÖÑÙÐ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º ØØ Ü ÑÔ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º ÅÓ ÐÐ Ú Ð Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º½ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º¾ Î Ö Ò Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾ º Î Ð Ú ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Ó ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò º º º º º º º º º º º º ½¾ º ÃÓÑÑ ÒØ Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º Ä Ø Ñ ØÖ Ð Ö Ó Ú Ú Ñ Ò Ø Ú Ö ØÑ ØÓ Ò º º º º º ½¾ º Æ Ö ÖÙÒ Ð Ò Ø Ø Ø Ö ÔÔ º º º º º º º º º º º º º ½¾ º Æ ÓØ ÓÑ Ô Ö Ñ Ø Ö ØØÒ Ò Ö ÔÙÒ Ø ØØÒ Ò µ º º º º º º º º ½¾ Ê Ö Ò Ð ØØ Ö ØÙÖ ½¾ Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑØ ÐÐ

6 Ã Ô Ø Ð ½ ÁÒÐ Ò Ò ¹ Ò Ö ÖÙÒ Ð Ò Ö ÔÔ ËÝ Ø Ñ Ö ÔÔ Ø ÒÚÒ ÒÓÑ ÑÒ ÔÐ Ò Ö Ò ÐÙ Ú Ò Ø Ò ÐÐ Ò Ò¹ Ö Ú Ö Ñ Øº Ç Ø ÒÚÒ Ý Ø Ñ Ö ÔÔ Ø Ö ØØ Ö Ú Ò ÖÙÔÔ Ú ÑÚ Ö Ò Ð Ö» ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÓÑ Ð Ö Ò Ð Ø Ó ÓÑ Ô Ò ÓØ ØØ Ó Ö Ø Ý Øµ Ö Ô Ö Ö ÖÒ Ò ÚÖ ÚÖÐ Òº Î Ð Ø Ú Ý Ø Ñ ¹ ÖÓÖ ÐØ Ô Ú Ð Ø Ý Ø Ñ Ò Ö Ò Ú ÔÖÓ Ð Ñ ØÐÐÒ Ò Ð Ö Ø ÐÐ Ú Ð Ø Ý Ø Ñ Ñ Ò ÚÐ Ö ØØ ØÙ Ö º ÁÒÓÑ Ý Ø ÑØ Ò Ò Ó Ò ÖÒ Ò ÔÐ Ò Öµ ÒÚÒ Ý Ø Ñ Ö Ô¹ Ô Ø Ú Ñ Ò Ò Ó ÓÖ Ø Ý Ø Ñ ÒÚÒ Ö ØØ Ö Ú Ò Ú ÖÒ Ð Ú Ú Ö Ð Ø Ò ÓÑ Ñ Ò Ú ÐÐ ØÙ Ö º ØØ ØÝ Ö ØØ ØØ Ý Ø Ñ Ò ÒÚÒ Ö ØØ Ø Ò ÐÐØ ÖÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ú Ð ØÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ø ÐÐ ÚÖÐ ¹ ÓÒÓÑ Òº Å Ò Ö Ò Ø ÓÒ Ò Ú Ý Ø Ñ Ò Ø Ñ Ø ÚÖ ÓÑ ÚÒ Ò Ú Ö Ý Ø Ñ Ø Ü Ú ÒØ Ø Ñ ÓÖ ÓÒ ËÚ Ö ÓÒÓÑ ØØ ÖÒ Ö Ø¹ Ú Ö ÐÐ Ö Ò Ô ÔÔ Ö Ñ Òº ÌÝÔ ÔÖÓ Ð Ñ ØÐÐÒ Ò Ö Ö Ý Ø Ñ Ö ÔÔ Ø ÒÚÒ Ø Ø Ö ÒÖ Ñ Ò Ú ÐÐ Ö Ø Ð Òº Ü ÑÔ Ð Ô Ú ÒÐ Ö ØÐÐÒ Ò Ö ÀÙÖ ÙÒ Ö Ö Ò Ö Ð ØÖ Ö Ø Ò ÀÙÖ Ò ÚÖÐ ÓÒÓÑ Ò Ö Ú Ç Ø Ú Ö Ñ Ò ØØ ÓÖ Ò Ó Ð Ò Ò Ò Ø ÐÐ ØØ ÔÖÓ Ð Ñº Ü ÑÔ Ð Î Ö Ö Ø ÒÒ Ö Ô ÔÔ Ö Ñ ¹ Ò Ò ÀÙÖ Ò Ú Ñ Ò Ö Ø Ð Ø Ò ÀÙÖ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ö ÖÒ ØÖ Ò º ËÝ Ø Ñ Ø ÓÑ ØÝÔ Ø Ú ÐØ ÙØ ÖÒ Ò Ú Ò ÔÖÓ Ð Ñ ØÐÐÒ Ò µ ÒÒ Ø Ò Ú ÓÐ Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ò ÓÑ Ô Ò ÓØ ØØ Ò Ö ØÖ Ö Ø Ü Ñ Ò ÑØ Ú Ö Ò ÓÖµº Ò Ú Ö Ð ÐÐ Ö Ú Ö Ð Öµ Ý Ø Ñ Ø ÓÑ Ú ÔÖ ¹ ÑÖØ Ú ÐÐ ØÙ Ö Ó Ô Ò ÓØ ØØ Ò ÑØ µ ÐÐ Ö ÙØ Ò Ðº ÇÑ Ñ Ò Ú Ò ÜØ ÖÒ Ú Ö Ð ÐÐ Ö Ö µ Ò ÔÚ Ö Ý Ø Ñ Ø ÙÔÔ Ö Ò Ó ÖÑ ÙØ Ò Ð Ò ÚÖ ÖÙ Ö ÒÒ Ú Ö Ð ÐÐ Ö Ò Ò Ð ÐÐ Ö ØÝÖ Ò Ðµº Ëݹ Ø Ñ Ø Ø Ò Ò Ó Ó Ø ÖÓ Ú ÝØØÖ Ú Ö Ð Ö ÓÑ ÒØ Ö ØØ ÔÚ Ö º ½

7 Ë Ò Ú Ö Ð Ö ÖÙ Ö Ó Ø ÐÐ Ø Ö Ò Ð Ö ÐÐ Ö ÓÖØ Ó ÓØØ Ø ÖÒ Ò Öº Á ÙÖ ½º½ Ú Ò Ñ Ø Ð Ú ØØ Ý Ø Ñº Ø ÒÒ Ò Ø ÓÑ Ò Ö Ö ØØ Ý Ø Ñ Ø Ð Ò Ö ÙÔÔ Ý Ø Ú ÑÚ Ö Ò Ð Ý Ø Ñº ÆÓØ Ö ØØ Ý Ø ¹ Ñ Ø Ø Ð Ò Ú Ú Ý Ø Ñ Ö ÚÒ Ò Ò Ó Ú Ð Ø Ú Ý Ø Ñ ÖÒ Ò Ú Ú ÓÑ Ò ÐÙ Ö Ö Ô Ø Ú Ü ÐÙ Ö Ö ÚÒ Ò Ò Ú Ö Ú Ý Ø Ø Ú Ð Ö ÓÖ Ú ÐÐ Ú Ú Ö µ Ñ ØÙ Òº v(t) u(t) S y(t) ÙÖ ½º½ Ë Ñ Ø Ð Ú ØØ Ý Ø Ñ S Ñ Ò Ò Ð u(t) Ø Ö Ò Ð v(t) Ó ÙØ Ò Ð y(t)º Ö ÙÑ ÒØ Ø t Ò Ö ØØ Ú Ö Ð ÖÒ ÒØ Ú Ö Ö Ñ Ø Òº ØØ Ú ÒÐ Ø Ö Ö Ò ÒÖ Ñ Ò ÐÐ ÙÒ Ö ØØ Ý Ø Ñ Ø Ò Ö ØØ ÒÚÒ Ò ÓÒ ÓÖÑ Ú ÑÓ ÐÐ Ú Ý Ø Ñ Øº Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÓÒ ÓÖÑ Ú ¹ Ö ÚÒ Ò Ú Ý Ø Ñ Øº ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú Ö Ú ÓÐ Ð Ñ Ò ÒÖ Ú ÒÚÒ Ö ÓÖ Ø ÑÓ ÐÐ ÒÒ Ø ÜØ Ú ÐÐØ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ö ÚÒ Ò Ú Ý Ø Ñ Øº ÅÓ ÐÐ Ò Ò Ó Ø ÒÚÒ ØÐÐ Ø Ö ØØ Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ô Ø Ú Ö Ð Ý¹ Ø Ñ Øµ Ö ØØ ÙÒ Ô Ò ÓÑ Ý Ø Ñ Øº ØØ Ò Ö ÒÓÑ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÐÝ Ú ÑÓ ÐÐ Ò ÐÐ Ö ÒÓÑ ØØ ÑÙÐ Ö ÑÓ ÐÐ Òº Å Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÓÐ Ò Ô Ö Ó Ø Ö Ñ Ô ÓÐ ØØ Ø Ü ÒÓÑ Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ã Ô Ø Ð ¾µ ÐÐ Ö Ö Ø ÖÒ ÙÔÔÑØØ Ø ÖÒ Ý Ø Ñ Øº Ø ÒÒ ÑÒ Ð Ø ÐÐ ØØ Ø Ö Ñ Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ö ØØ Ö Ú Ó Ò ÐÝ Ö ÓÐ Ö Ø Ð Ö Ú ØØ Ý Ø Ñº Ò ÑÓ ÐÐ Ò Ø Ü ÒÚÒ Ö ØØ Ò ÐÝØ Ø Ø Ö Ñ ÓÐ Ò Ô Ö Ó Ý Ø Ñ Øº ØØ Ö Ó Ö ÓÑ ÑÓ ÐÐ Ò Ö Ø ÐÐÖ Ð Ø Ò Ðº Ç Ø Ö Ñ Ò ÒÚ Ø ÐÐ ØØ ÑÙ¹ Ð Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ò ØÓÖº Ö Ð Ò Ñ ØØ ÑÙÐ Ö Ò ÑÓ ÐÐ Ñ ÖØ Ñ ØØ ÒÓÑ Ö ØØ Ö Ø Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ô Ý Ø Ñ Ø Ö Ö º Ø Ò Ó Ø Ú Ö ÝÖØ Ø Ò Ó ÖÐ Ø ØØ ÒÓÑ Ö ØØ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ñ Ò ÑÑ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒÓÑ Ò ÑÙÐ Ö Ò Ò ÑÝ Ø Ú Ö ÚÙÒÒ Øº ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ó ¹ ÑÙÐ Ö Ò ÒÚÒ Ö Ö ÒÓÑ ÔÖ Ø Ø Ø Ø ÐÐ ÓÑÖ Òº ÆÖ Ò ÑÓ ÐÐ ÒÚÒ Ö ØØ ÑÙÐ Ö Ò Ð Ñ Ð Ø Ð Ö Ñ Ò Ó Ø ÓÑ ÑÙÐ ØÓÖ Ö ÐÐ Ö Ú ÖØÙ ÐÐ Ú Ö Ð Øº Ì Ü ÒÒ ÑÙÐ ØÓÖ Ö Ö Ý ¹ й Ó ÖÒ Ö ØØ ÐÐÑÔÒ Ò Öº Ø Ö Ó Ú Ø Ø ØØ ÓÑÑ ØØ Ò ÑÙÐ Ö Ò ÐÐØ Ý Ö Ô Ò ÑÓ ÐÐ ÓÑ Ö Ò ÓÑ Øµ Ö Ú Ò ÖÒ Ð Ú Ú Ö Ð Ø Òº Ò ÙÚÙ ÙÔÔ Ø ÐÐØ Ð ÑÓ ÐÐ Ý Ö ØØ Ø Ö Ñ Ø ÐÐ ÖÐ ØлØÖÓÚÖ ÑÓ¹ ÐÐ Öº ÐÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ö ØØ ÖÒ Ø ÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ü Æ ÛØÓÒ Ñ Ò ¾

8 ÐÐ Ö Ö Ø Ø Ö ÓÑ Ö Ú ÒØÐ Ø Ñ Ò Ö Ò Ð Ù Ø Ø Òµº ÒÚÒ ÑÓ¹ ÐÐ Ò ÙØ Ò Ö ØØ ÐØ Ø ÓÑÖ Ö Ø ÒØ ØØ Ð Ø Ô Ö ÙÐØ Ø Øº Î Ú ÐÐ Ö Ô Ô ØØ Ø Ö ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ö ØÙ ÓÖ ÓÜ ÒØ ÐÐÝ ÐÐ ÑÓ Ð Ö ÛÖÓÒ ÙØ ÓÑ Ö Ù Ùк ÁÒÓÑ Ý Ø ÑØ Ò»Á̹ÓÑÖ Ø ÒÚÒ ÑÓ ÐÐ Ö ÖÙØÓÑ Ö ÓÐ ÑÙÐ ¹ Ö Ò ØÙ Öµ Ø Ü Ö Ê Ð ÖØ Ò Ò Ö ØØ Ô ØØ Ú Ø ØØ ÙÒÒ ØÝÖ ÓÐ ÔÖÓ Ö ÚÐ Ò Ö Ò Ò Ð uµ ÖÚ Ö ÑÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÐÐÒ Ò Ö ØØ Ñ Ò Ö Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ Ðк ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙØÚ ÒÒ Ò Ø Ñ Ò Ò µ Ö ØØ ÙÒÒ Ò ÐÝ Ö Ó ØÓÐ ØÓÖ ÓÑÔÐ Ü Ø ÑÒ Ö ¹ Ú ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ð Ö Ö Ø ÐÐ Ø ÓÑ ØÙ Ö µº ÅÓ ÐÐ Ö ÒÓ Ó Ð Ø Ø Ö Ò ÖÐÝ Û ÖÒ Ò Ý Ø Ñ µ Ö ØØ Ø Ø ÙÒÒ ÙÔÔØ ØØ Ð ØØ Ý Ø Ñ Ò Ñ Ò Ñ Ö ÑÓ¹ ÐÐ Ò ÙØ Ò Ð Ñ Ø Ú Ö Ð Ý Ø Ñ Ø ÙØ Ò Ðº ÇÑ Ò Ð ÖÒ ÔÐ Ø Ð Ø Ð Ö Ø Ò ØØ ÖÓ Ô ØØ Ð Ý Ø Ñ Øº ÅÓ ÐÐ ¹ Ö Ð Ø Ø Ö Ò Ð Ö ÐÐØ Ú ÒÐ Ö ÑÒ Ø Ò Ý Ø Ñ Ø Ü ÑÓ ÖÒ Ð Öº Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ç Ø ÒÒ ÐÐ Ö Ò Ò Ð ÒØ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙØ Ò Ó ÓÐ ØÝÔ Ö Ú Ó Ò Ø ÖÒ Ò Ö Ó ÖÙ º Ö ØØ Ö ÓÑ Ñ Ð Ø ÙÒÒ Ô Ö Ö ÙØ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÖÒ Ò ÖÙ Ò Ð Ú Ó Ø Ò ÑÓ ÐÐ Ú Ò Ð Ò Ó Ø ÖÒ Ò ÖÒ º ÅÓ ÐÐ Ò Ò ÒÚÒ Ö ØØ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö Ø Ð ÐØ Öµ ÓÑ Ò Ø Ö Ñ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ò Ð Òº ÈÖ Ø ÓÒ Ö»ÈÖÓ ÒÓ Ö Ö ØØ ÙÒÒ Ö ÖÙØ Ð Ö Ú ØØ Ò ÒÚÒ ÒÓÖÑ ÐØ Ò ÑÓ Ðк Ì Ò Ò ÒÚÒ ÒÓÑ ÑÒ ÓÑÖ Ò Ø Ü Ö Ú ÖÔÖÓ¹ ÒÓ Ò Ö ÙÐØ Ø Ò Ú Ò ÑÓ ÐÐ ÓÑ Ð Ö Ö Ø Ú Ú Ö Ø º ½º½ ÝÒ Ñ Ó ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÇÖ Ø ÝÒ Ñ Ö Ø ÑÑ Ö ÖÒ Ø Ö ÓÖ Ø Ö Ö Øº Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð ¹ Ò ØÙÖÚ Ø Ò ÔÐ ØÝ Ð Ò Ú ÓÖ Ø Ö ÐÖ Ò ÓÑ ÖÓÔÔ Ö ÚØ ÓÖ Ó Ö Ö Ö Ð º Ò Ú Ö Ð ØÝ Ð Ò Ú ÓÖ Ø Ö ØØ Ò ÓØ ÓÑ Ö ÝÒ ¹ Ñ Ø Ö Ö ÖÐ Ø Ó ÖÒ ÖÐ Ø ÑÓØ Ø Ø ÐÐ Ò ÓØ Ø Ø Ø ÓÑ Ù Ö Ø ÐØ Ó

9 ÓÖ ÖРغ ÁÒÓÑ Ý Ø ÑØ Ò Ò Ö Ö ÔÔ Ò Ø Ø Ø ÓÒØÖ ÝÒ Ñ Ø ØØ Ò Ò Ö ÐÐ Ö Ö ÒØ Ñ Ø Ñ Ø ÒÒ Ö ËØ Ø Ý Ø Ñ ÒØ ØØ Ú Ö ØØ Ý Ø Ñ Ñ Ò Ò Ð u(t) Ø Ö Ò Ð v(t) ÑØ Ò Ö ÙÐØ ¹ Ö Ò ÙØ Ò Ð Ò y(t)º Ö ØØ Ø Ø Ø Ý Ø Ñ ÐÐ Ö ØØ y(t) = f(u(t),v(t)) Ö f(.,.) Ö Ò ÓÒ Ó ØÝ Ð Ð Ò Ö ÐÐ Ö ÓÐ Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒº ØØ Ø Ø Ø Ý Ø Ñ ÒÒ Ø Ò ÐÐØ Ú ØØ ÙØ Ò Ð Ò y Ú Ò Ø ÔÙÒ Ø t Ò Ø Ö ÖÓ Ò Ú Ò Ò Ð Ó Ø ÖÒ Ò Ú ÑÑ Ø ÔÙÒ Øº ØØ Ü ÑÔ Ð Ô ØØ Ø Ø Ø Ñ Ò Ö Ç Ñ Ð u(t) = Ri(t)º ÀÖ Ö Ð Ø Ö Ú ØØ ÓÒ Ø ÒØ Ð ØÖ Ø ÑÓØ ØÒ Ö Ø Ò µ R ÔÒÒ Ò Ò ½ u Ú Ö ÑÓØ ØÒ Ø Ú Ø Ò t Ø ÐÐ ØÖ ÑÑ Ò i ÒÓÑ ÑÓØ ØÒ Ø Ú ÑÑ Ø ÔÙÒ Øº ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÒÒ ØÝÔ Ú Ý Ø Ñ ÒÒ Ø Ò Ú Ò ÒÖ ØÖ Ø Ø Ú ÐÐ Ò ÒÙÚ ¹ Ö Ò ÙØ Ò Ð Ò y(t) ÖÓÖ ÒØ Ò ÖØ Ú Ò Ò Ð Ò Ú Ø Ò t ÙØ Ò Ú Ò Ô Ø Ö ÚÖ Ò Ô Ò Ò Ðu Ó Ø Ö Ò Ð vº Ê ÒØ ÔÖ Ø Ø ÙÔÔ ØÖ Ó Ø ÒÒ ÒÖ ØÖ Ø Ô ÖÙÒ Ú Ò Ö ÙÔÔÐ Ö Ò Ó ØÖ Ò ÔÓÖØ Ö Ö Ò Ò Öº ØØ Ô Ö Ú Ö Ð Ü ÑÔ Ð Ú ÝÒ Ñ ØØ ÓÖ ÓÒ Ø Ø Ò Ö ÒØ ÑÓÑ ÒØ ÒØ Ñ Ò ØÖÝ Ö Ô Ô Ð Ò Ò Ò Ð Ò Ö Ù ÓÑ Ö Ú ÒÒ Ö ÒØ Ö Ø Ñ Ò Ø Ö Ñ Ò Ø Ð Ö ÒØ Ú ÖÑØ Ú ØØÒ Ø Ò ÓÖØ Ø Ð Ö Ú ÖÑØ ÙØÓÑ Ù º Å Ø Ñ Ø Ø Ò ÝÒ Ñ ÒÓÑ Ò Ö Ú ÒÐ Ø y(t) = F(u(τ),v(τ),τ t) Ú Ð Ø Ú Ö ØØ ÚÖ Ø Ô ÙØ Ò Ð Ò Ú Ø Ò t ÖÓÖ Ú Ò Ò Ð Ò Ó Ø ÖÒ Ò ¹ ÖÒ Ú ÐÐ Ø Ö Ø ÔÙÒ Ø Öº ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ò Ñ Ò Ó Ø Ö Ú ÑÓ ÐÐ Ö µ Ñ ÐÔ Ú Ö ÒØ Ð¹ ÐÐ Ö Ö Ò Ú Ø ÓÒ Öº Á ÙØØÖÝ Ø ÓÚ Ò Ò Ö Ò Ø Ø Ò ÓÑ Ó ÖÓ Ò Ú Ö Ðº Ö ÒØ Ð Ú ¹ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ö ÖÓÖ Ú Ò Ó ÖÓ Ò Ú Ö Ð ÐÐ ÓÖ ÒÖ Ö ÒØ Ð Ú ¹ Ø ÓÒ Ö Ç µº Ò ÙØÚ Ò Ò Ö ØØ Ø ÐÐØ Ö Ó ÖÓ Ò Ú Ö Ð Ö ØÝÔ Ø Ø ¹ Ó ÖÙÑ Ú Ö Ð Öº Î Ö Ò Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ô ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖ Ñ Ú Ò Ô Ø Ó ÖÙѺ ÒÒ ØÝÔ Ú Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ô ÖØ ÐÐ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ö È µº ÌÝÔ Ü ÑÔ Ð ÒÖ È ÒÚÒ Ö Ö ØØ Ö Ú ÚÖÑ ÔÖ Ò Ò ØØ Ñ ÙÑ ÚÖÑ Ð Ò Ò Ú Ø ÓÒ Òµ ÐÐ Ö ½ ÆÓØ Ö ØØ Ú Ö ÒÚÒ Ö Ú Ö ÐÒ ÑÒ Ø u Ö ØØ Ø Ò Ò ÙØ Ò Ðº ÇÖ Ò Ö ØØ u Ö Ø Ò Ö Ø Ò Ò Ö ÔÒÒ Ò º

10 Ø Ò Ø Ó ÓÐ Ú ÓÖ Ø Ü Ð Ù Ú ÓÖ Ð Ù Ú ÓÖ Ó Ú ØØ ÒÚ ÓÖ Ú Ú ¹ Ø ÓÒ Òµº Î ÓÑÑ Ö ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ò Ø Ø ÙÔÔ ÑÓ ÐÐ Ö Ö Ô Ç Ó Ö Ò Ú Ø ÓÒ Öº Ø Ö Ø ÐÐ ØØ Ø Ú Ö Ð Ý Ø Ñ Ø ÐÐ Ò Ò ØÙÖ Ö ÝÒ Ñ ¹ ØØ ÐÐ Ö ÚÐ Ø Ò Ó Ò ØÙÖÚ Ø Ò ÔÐ Ý Ø Ñ ÓÑ ÑÓ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò ÓÐÓ Ó ÓÒÓÑ Ý Ø Ñº Î Ö Ð Ø Ò Ö ÝÒ ¹ Ñ

11

12 Ã Ô Ø Ð ¾ Å Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ö ÒØ Ð¹ Ó Ö Ò Ú Ø ÓÒ Ö ¾º½ Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú Ø Ò Ý Ø Ñ ØØ Ú Ò ØØ Ý Ø Ö Ø ÐÐ ØØ Ò ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÑØ ØØ ÒØÖÓ Ù Ö Ò Ö Ò Ð Ü ÑÔ Ð Ô Ú Ö Ð Ý Ø Ñ ÓÑ Ò Ö Ú Ñ Ö ÒØ Ð¹ Ó Ö Ò Ú Ø ÓÒ Öº Î ØÓÒ Ö ØØ Ø Ú Ø ÒØ Ö ØØ Ð¹ Ö ÓÐ Ý Ø Ñ ÙØ ÒØ ÐÐ ÐÐ Ö ØØ Ö Ø Ú Ö Ð Ø Ò Ð Ú Ý Ø Ñ Ò Ø Ð ÙØ Ò Ò Ö Ö ØØ Ø ÐÐ Ò ØØ ØØ ØØ ØÒ Ó Ò Ö Ø Ð Ö ÙÖ ÓÐ ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑÑ Ö Ø Ðк Ø Ö ÓÑ Ý Ø ÑØ Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ö Ò Ö ÐÐ Ö Ø Ú Ø ÙÖ Ñ Ò Ò Ð Ö Ò ÒØÐ Ö ÒØ Ð» Ö Ò Ú Ø ÓÒ ÒØ Ú Ð ØÓÖ Ø Ö ÓÑ Ò Ö Ú Ø ÓÒ Òº Á Ò Ö Ð Ö Ú ÙÖ Ò ÓÑÑ Ö Ú Ó Ø ØØ ÙØ ÖÒ Ò Ú Ò ÑÓ Ðк Ö ØØ ÙÒÒ Ö Ú Ó Ò ÐÝ Ö ÓÐ ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÙÔÔ Ö Ò ÖÚ Ó Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ Ðк ØØ ØØ ØØ Ö Ñ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Ö Ö ÓÑ Ø Ö Ø ØØ ØÐÐ ÙÔÔ Ö ÒØ Ð¹ ÐÐ Ö Ö Ò Ú Ø ÓÒ Ö Ö Ø ¹ ØÙ ÐÐ Ý Ø Ñ Ø ÙØ Ò ÖÒ Ò Ý Ð Ñ Ò º Ú Ò Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ò Ó Ø Ò Ð Ò ØÙÖÐ Ö ÒÚÒ Ö ØØ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ÑÓ Ðк Å Ò Ö Ø Ò ØØ Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ò ÒÚÒ Ö ÐÐØ Ý Ö Ô Ö ÐÐ Ò Ú Ò Ð Ñ Ò Ö Ö Ò Ð Ò ÒØ Ò Ò ÓÖØ º Ö Ñ Ö ÓÑÔÐ Ö Ý Ø Ñ Ò Ö Ö ÑÓ ÐÐ Ò ÐÐØ Ò Ú Ö Ò Ö ÓÔÔÒ Ò Ú Ø ÐÐÖ Ð Ø Ó ÔÔÖÓÜ ¹ Ñ Ø ÓÒ Ú Ú Ö Ð Ø Òº ÓÖØ ØØÒ Ò Ú ÐÐ Ú ØÙ Ö ÖÙÒ ÖÒ Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ó ÐÐÙ ØÖ Ö Ñ ØØ ÒØ Ð Ü ÑÔ Ð Ø Ò ÖÒ ÓÐ ÓÑÖ Òº Å Ò Ò Ò Ö ÐÐØ ØØ Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÓÑ Ò Ð Ò ØÙÖ¹ Ú Ø Ò Ô Ò ÖÙÒ Ö Ô Ó Ö Ø Ö Ö Ú ÒØ Ø Ø ÖÒ Ñ Ó Ò Ö º Ö Ñ ÐÐ Ö ØØ Å Ò ÒØ Ö Ø Ö Ó Ö Ö Ö Ò ØÓØ Ð Ñ Ò Ó ÖÒ Ö º Å Ò Ú Ö ÓÐ ÓÖÑ Ö ÖÒ Ø Ü ÚØ Ø ÐÐ Ò Ó ÖÒ Ò

13 Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÐÐ Ò ÒÒ Òº È ÑÑ ØØ ÐÐ Ö Ö Ò Ö Ò Ö Ò ÒØ Ö Ø Ö Ó Ö Ö Ö Ò ØÓØ Ð Ò Ö Ò Ó ÖÒ Ö º Ò Ö Ò Ú Ö ÓÐ ÓÖÑ Ö Ø Ü ÖÒ Ñ Ò Ò Ö Ø ÐÐ ÚÖÑ Ò Ö º ÖÙÒ Ð Ò Ò Ô Ö Ó ØÓÖ Ø ÖÒ Ñ Ó Ò Ö Ö ÙÔÔ ÓÚ Ø ÐÐ ÐÐ Ð Ò Ú Ø ÓÒ Öº ÁÒÓÑ Ò Ú ÖÒ Ð Ú Ú Ö Ð ¹ Ø Ò ÓÑ Ý Ø Ñ Ø ÙØ Ö Ö Ò Ô Ö ØØ Ò Ð Ò Ñ Ø Ö º Ø ÒÒ Ö ØØ ÙÑÑ Ò Ú Ò Ñ ÐÐ Ö Ò Ö ÓÑ Ö Ò ØØ Ý Ø Ñ Ô Ö Ø Ò Ø Ó Ò Ñ ÐÐ Ö Ò Ö ÓÑ ÔÖÓ Ù Ö Ý Ø Ñ Ø Ú Ö Ø Ò Ø Ñ Ø Ú Ö Ð Ñ ÙÑÑ Ò Ú Ò Ñ ÐÐ Ö Ò Ö ÓÑ Ö ÙØ Ú Ö Ø ¹ Ò Ø Ó Ò Ñ ÐÐ Ö Ò Ö ÓÑ ÓÑ ÙÑÙÐ Ö Ý Ø Ñ Ø Ô Ö Ø Ò Øº Î Ò ÙØØÖÝ ØØ Ñ Ò ÓÖÑ Ð ÓÑ ÁÒ ÈÖÓ Ù Ø ÓÒ ÍØ ÙÑÙÐ Ø ÓÒ ËÓÑ ÒÐ Ò Ò Ò Ú ØÖ Ø Ð Ò ÔÖ Ò Ô ÐÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ü ÑÔ Ðº Á Ù Ø ØØ Ü ÑÔ Ð ÙØ ÐÑÒ Ö Ú Ö Ò Ð Ø ÙÐÐ Ø Ò Ü Ø t Ñ Ò Ú Ò Ø ÐÐ Ò Ö Ò ØÒ Ó ØØ ÐÐ Ú Ö Ð Ö ÙÖ ¾º½ Ö Ø Ú Ö Ð Ü ÑÔ Ð ¾º½º Î ØÒ Ö Ó ØØ Ú Ö Ò ØÓØ ÐÓÑ Ð Ò Ø Ò Ñ ÚØ ÙÖ ¾º½º Q in c in T in ρ c T ρ V Q ut c T ρ ÙÖ ¾º½ Ë Ñ Ø Ð Ú Ò ØÓØ ÐÓÑ Ð Ò Ø Ò º ÒØ Ò Ø ÓÑ ØÓØ ÐÓÑ Ð Ò Ò Ò ÒÒ Ö ØØ Ú Ò ÒØ ØØ ÓÒ ÒØÖ Ø Ó¹ Ò Ò Ú ÓÐ ÑÒ Ò ÑØ ÚØ Ò Ò Ø Ø Ö Ò ÑÑ Ð Ø Ò Ò Ó ÙØ Øº ÁÒ Ø ÐÐ Ø Ò Ò Ö Ò ÚØ Ñ Ø Ø Ò Q in Ñ 3» º ÍØ Ø Ú ÚØ Ö Q ut Ñ 3» º Î ÒØ Ö Ö Ò Ð Ø ÙÐÐ ØØ ÚØ Ò Ò Ø Ø Ö ÓÒ Ø ÒØ ρ»ñ 3 Ò Ó Ø Ò Ó ÖÑ Ó ÙØ Ø Ô ÖÙÒ Ú ØÓØ ÐÓÑ Ð Ò Ò Ò Òº Ò Ò Ò ÚØ Ò Ö Ò Ú Ø ÑÔ Ö ØÙÖT in à º Á Ò Ø ÒÒ Ó ØØ ÑÒ A Ð Ø ÚØ Ò Ñ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ò c in»ñ 3 º Á ÐÚ Ø Ò Ò Ö Ò Ö Ø ÓÒ ØØ ÐÐ ÜÓØ Öѵ ØØ Ö Ò Ø Ö Ú ÑÒ Ø

14 Ð ÙÒ Ö ÚÖÑ ÙØÚ Ð Ò º ÃÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ò Ú ÑÒ Ø Ø Ò Ò Ø Ò c»ñ 3 º ÎÖÑ ÙØÚ Ð Ò Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ö Ø ÐÐ ØØ ÚÖÑ ÙÔÔ ÚØ Ò Ø Ò Ò ÓÑ ÖÚ Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò T à º Î Ö Ö ÚØ ÚÓÐÝÑ Ò Ø Ò Ò V Ñ 3 º ÍØ Ò ÖÒ ÒÒ ÓÑ Ò ÓÑ Ú Ö Ð ÖÒ ÓÚ Ò Ò Ñ Ò Ö ÚØ Ò Ø Ò Ò ØÐÐ ÙÔÔ Ð Ò ÔÖ Ò Ô ÐÐ Ð Ò Ú Ø ÓÒ Ö ÌÓØ Ð Ñ ÖÒ Ö Ò Ô Ö Ø Ò Ø Ö ÚØ Ò Ø Ò Ò» Ò Ò Ñ ¼ ÔÖÓ Ù Ö Ñ µ ÙØ Ò Ñ Ñ ÖÒ Ö Ò Ø Ò Ò Ë ÑØÐ Ú Ö Ð Ö ÙØØÖÝ Ø ÓÚ Ò Ö Ö Ò Ô Ö Ø Ò Øº Ö ØØ ÖØÝ Ð ÐÐ Ú Ö Ñ Ø Ñ Ø Ø Ò Ö ÓÐ Ø ÖÑ ÖÒ ÙØØÖÝ Øº Ò Ñ ÓÑ Ö Ò Ý Ø Ñ Ø Ú Ö ÙÒ Ñ Ø Ú Ö Ð Ñ ÚØ Ò Ñ Ô Ö ÚÓÐÝѹ Ò Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ø Ñ Ò ÚÓÐÝÑ ÚØ ÓÑ Ö Ò Ú Ö ÙÒ Ø Ú ÐÐ Ò Ø Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ Ø Q in ρº Ë ÑÑ Ö ÓÒ Ñ Ò Ö ÙØ Ø Ú Ñ Ð Ö Ø ÐÐ ØØ Ò Ñ ÓÑ Ö ÙØ Ú Ö Ø Ò Ø Ñ Ø Ú Ö Q ut ρº ÇÑ Ú ØØ Ö ÚØ Ò Ø Ò Ò ØÓØ Ð Ñ Ø ÐÐ m Ò Ú Ö Ú Ñ ÖÒ ¹ Ö Ò Ò Ø Ò Ò ÓÑ dm º Î Ú Ø Ú Ö ØØ Ò ØÓØ Ð Ñ Ò Ø Ò Ò m Ö dt ÚØ Ò Ò Ø Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ ØÓØ Ð ÚÓÐÝÑ Ø Ú ÐÐ m = ρv º Î Ò ÐÐØ Ö Ú dm = d(ρv) º ÖÑ Ö Ú ØØ Ö Ñ Ò Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ dt dt ÓÑ Ö Ú Ö ØÓØ Ð Ñ ÖÒ Ö Ò Ò Ø Ò Ò Ô Ö Ø Ò Ø ÒÑÐ Ò d(ρv) dt = Q in ρ Q ut ρ ÍÒ Ö ÒØ Ò Ø ØØ ÚØ Ò Ò Ø Ø ρ Ö ÓÒ Ø ÒØ ÐÙØÐ Ò ÙØØÖÝ Ø dv dt = Q in Q ut ¾º½µ Î ÓÖØ ØØ Ö Ü ÑÔÐ Ø Ñ ØØ ØÙ Ö ÙÖ Ñ Ò Ó ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ò Ú ÑÒ Ø A ÖÒ Ö Ô Ö Ø Ò Ø Ø Ò Òº Æ ØÙÖÐ ØÚ Ò ÒØ Ò Ø Ö Ú Ñ¹ Ò Ø A Ð ÙÖ ØÓÑÑ ÒØ Ø Ñ Ò Ú ÒØ Ö ØØ Ò Ö Ø ÓÒ Ô Ò ÓØ ØØ Ö Ò Ø Ö Ø Ø Ü ÒÓÑ Ø ÐÐ Ø Ú Ò ÓØ ÑÒ ÐÐ Ö ÒÓÑ ØØ ÙØ ÝØ Ñ Ø¹ ÑÓ Ö Ò Å ÖÒ Ö Ò Ô Ö Ø Ò Ø Ö ÑÒ Ø A Ø Ò Ò» Ò Ò Ñ Ú ÑÒ Ø Ñ Ú ÑÒ Ø ÓÑ Ð Ö Ø ÓÒ Ò ÙØ Ò Ñ Ú ÑÒ Ø Ñ ÖÒ Ö Ò Ú ÑÒ Ø Ø Ò Ò

15 ÈÖ ÓÑ ÐÐ Ø Ñ Ò ØÓØ Ð Ñ Ò Ö Ò ÐÐØ ÐÐ Ú Ö Ð Ö ÓÚ Ò Ô Ö Ø Ò Øº Å Ò Ú ÑÒ Ø A ÓÑ Ö Ò Ø Ò Ò Ô Ö Ø Ò Ø Ñ Ø ÒÙ Ú Ö Ð Ñ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ò Ú ÑÒ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ø Ñ Ø Ø Ú ÐÐ c in Q in º È ÑÑ ØØ Ò ÙØ Ò Ñ Ò Ú ÑÒ Ø Ô Ö Ø Ò Ø Ú cq ut º Ö Ò Ð Ø ÙÐÐ ÒØ Ö Ú ØØ Ò ÒÑÒ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ö Ò Ø Ö Ú ÑÒ Ø A Ð Ö Ñ Ò Ö Ø ÓÒ Ø Ø rv Ø Ú ÐÐ rv» Ð Ú ÑÒ Ø Ø Ò Òº Ò ØÓØ Ð Ñ Ò Ú ÑÒ Ø A Ø Ò Ò Ò Ö Ú ÓÑ cv Ó Ú Ö ÐÐ Ö Ö Ö ØØ Ñ ÖÒ Ö Ò Ò Ú ÑÒ Ø A Ô Ö Ø Ò Ø Ø Ò Ò Ö d(cv) Ñ Ö ÐÐ Ø Ñ Ò ØÓØ Ð Ñ Òµº ÍØ ÖÒ ØØ Ò ÝØØ ÖÐ Ö Ò dt Ò Ð Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ Ö d(cv) = Q in c in Q ut c+rv dt Ç Ø Ò Ñ Ò ÒØ ØØ ÚØ ÚÓÐÝÑ Ò Ø Ò Ò Ö ÓÒ Ø ÒØ Ú Ð Ø Ñ Ö ØØ Q in = Q ut = Qº ÐÐ Ö ØØ d(cv) = V dc Ó Ú Ø ÓÒ Ò ÓÚ Ò Ò Ö Ú ÓÑ dt dt ÓÑ dc dt = r + Q V (c in c) ¾º¾µ Ö Ò Ö Ø ÓÖ Ò Ò Ò Ñ Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ö Ú Ö ØØ r = kc Ö k Ö Ò ÓÒ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð Ø Ø ÓÒ Ø ÒØ Ó Ñ Ò Ö dc dt = kc+ Q V (c in c) ¾º µ ËÐÙØÐ Ò ÐÐ Ú Ó ØÐÐ ÙÔÔ ØØ ÙØØÖÝ ÓÑ Ö Ú Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÝÒ Ñ Ø Ò Ò ÖÒ Ö Ò Ú ÚÖÑ Ò Ö Ô Ö Ø Ò Ø Ø Ò Ò Â» ÚÖÑ Ò Ö Ó Ò Ò ÚØ ÚÖÑ Ò Ö ÓÑ Ö Ö Ö Ø ÓÒ Ò ÚÖÑ Ò Ö Ó ÙØ Ò ÚØ ÚÖÑ Ò Ö ÓÑ ÙÑÙÐ Ö Ø Ò Ò Ú Ò Ö Ö Ò Ú Ö Ð ÖÒ Ô Ö Ø Ò Øº Î Ö ÒØ ÒÓÑ ÓРѹ Ò Ò Ø Ð ØØ ÐÐ ÙØ Ò Ò Ö Ó Ñ ØØ ÓÒ Ø Ø Ö ØØ Ñ Ò ÙØ ÖÒ Ð Ò Ú Ø ÓÒ Ò ÓÚ Ò Ò ÐØ Ò Ö Ñ Ò Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ú Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÖÒ Ö Ò Ò Ø Ò Ò Ô Ö Ø Ò Øº Æ ØÙÖÐ ØÚ ÖÓÖ ÚÖÑ Ò Ö¹ Ò Ò ÓÑÑ Ò ÚØ Ô Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ó Ò ÑÑ T in º Ä Ð ÖÓÖ ÚÖÑ Ò Ö Ò ÙØ Ò ÚØ Ô Ò ØÙ ÐÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò T Ó Ò ÚÖ¹ Ñ Ò Ö ÓÑ Ö Ö Ö Ø ÓÒ Ò ÖÓÖ Ú rº Ò ÚÖÑ Ò Ö ÓÑ ÙÑÙÐ Ö Ø Ò Ò ÖÓÖ Ö Ø Ú Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÖÒ Ö Ò Ò Ø Ò Ò Ó Ñ Ò Ò Ö ØØ Ñ Ò Ø Ð Ö ÚÐ Ø Ð Ø Ñ Ð Ò Ú Ø ÓÒ ÖÒ º Å Ò Ò Ö Ú Ø ÐÙØÐ Ñ Ò Ø ÓÑ dt dt = k 1r + Q V (T in T) ½¼

16 Ö k 1 Ö Ò ÓÒ ÓÒ Ø Òغ ¾º¾ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú Ð Ò Ú Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ö ÓÐ ØÝÔ Ö Ú Ý Ø Ñ Î ÔÖ Ø Ø Ö Ø Ñ ØØ Ø Ö Ñ Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ø Ó Ø Ú Ö ÚÖØ ØØ ÙØ Ö Ø ÖÒ ÔÖ Ò Ô ÖÒ ÓÑ Ñ Ò Ó Ò Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ø ÓÑ ÖÖ Ú Ò ØØ Øº Æ Ò ÓÑÔÐ ØØ Ö Ö Ú Ö Ö Ñ Ò Ö ÝØØ ÖÐ Ö Ô ¹ Ð ÐÐ ÒÚÒ Ö Ö Ò Ö ÓÐ Ý Ø ÑØÝÔ Ö ÑØ ÑÑ Ò ØØ Ö Ø ÓÑ Ö Ò Ø º Ë ÑØÐ Ú Ø ÓÒ Ö Ö ÖÐ Ö ÖÒ ÖÙÒ ÔÖ Ò Ô ÖÒ º Î Ú Ö Ö ÖÒ Ó Ñ ÒÙ ÐÚ Ø ÐÐ Ò Ñ Ö ÒÓØ Ø ÓÒ Ú ÐÐ Ö Ø ¹ Ö Ú ØÓÖ ÒÑÐ Ò df = f Ö f Ö Ò ÓÒ Ø Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒº Ç ÖÚ Ö ØØ dt Ð Ò Ú Ø ÓÒ Ö ÐÐØ Ö Ð Ø Ö Ö ØÓÖ Ø Ö Ý Ð Ú Ö Ð Öµ Ú ÑÑ Ð º ÎÒ Ø Ö Ó ÖÐ Ú Ø ÓÒ ÖÒ Ñ Ø Ö Ö ÑÑ Ñ Ò ÓÒ Ø Ú ÐÐ ÑÑ Ò Øº Ð ØÖ Ö Ø Ö Ö ØØ ØÖ Ñ Ò Ð ØÖ Ö Ø ÐÐ Ö Ã Ö Ó Ö Ø Ð µ [ ] Summan av alla ØÖ ÑÑ Ö in till en knutpunkt [ ] Summan av alla ØÖ ÑÑ Ö = ut ÖÒ en knutpunkt ¾º µ ËÔÒÒ Ò Ð Ò Ò Ð ØÖ Ö Ø Ã Ö Ó Ò Ö Ð µ Î [ Summan av alla ÔÒÒ Ò ÖÒ Ö Ò Öi en sluten krets ] = 0 ¾º µ Å Ò Ý Ø Ñ ÃÖ Ø Ð Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ö ØÖ Ò Ð Ø Ö Ò Ý Ø Ñµ Ñ» 2 Ò Ö Ò av [ ] [ ] Drivande Belastande Ö Ö Ð ÑÒ = ¾º µ kraf ter kraf ter per tidsenhet Ö Ö Ö Ð ÑÒ Ò Ö ÓÑ ØØ Ö ÑÐ Ñ m ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ø Ñ Ø Ø v Ø Ú ÐÐ mvº ÖÒ Ö Ò Ò Ö Ö Ð ÑÒ Ô Ö Ø Ò¹ Ø Ð Ö Ö Ö Ñ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ø Ñ Ð Ö Ø ÓÒ Ò d (mv) = m v = dt ma Ñ Ò Ö ÓÒ Ø Òصº ½½

17 ÅÓÑ ÒØ Ð Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ö ÖÓØ Ö Ò Ý Ø Ñµ Ñ 2» 2 Ò Ö Ò av [ ] [ ] Drivande Belastande Ö Ö Ð ÑÒ ÑÓÑ ÒØ = moment moment per tidsenhet ¾º µ Ö Ö Ö Ð ÑÒ ÑÓÑ ÒØ Ø Ö ØØ ÖÓØ Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ö ÓÑ Ý Ø ¹ Ñ Ø ØÖ Ø ÑÓÑ ÒØ Jµ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ø Ñ Ú Ò Ð Ø Øω Ø Ú ÐÐ Jωº ÖÒ Ö Ò Ò Ö Ö Ð ÑÒ ÑÓÑ ÒØ Ô Ö Ø Ò Ø Ð Ö Ö Ö ØÖ Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ø Ñ Ú Ò Ð Ð Ö Ø ÓÒ Ò d (Jω) = J ωµº dt Ã Ñ Ó ÓÐÓ Ý Ø Ñ ÃÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ð Ò Ü ÑÔ Ð ¾º½ ¾º¾µµ ѻл Ò Ö Ò av [ ] ÁÒ Ò massa ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ = per volyms och tidsenhet per tidsenhet + ÃÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ò per tidsenhet p g a reaktioner [ ÍØ Ò massa per volyms och tidsenhet ¾º µ ] + Ò Ö Ò Ö Ð Ò Â» Ò Ö Ò av [ ] Inkommande ÙÔÔÐ Ö energi = effekt per tidsenhet [ ] ÍØ Ò effekt ¾º µ Ö ØÓÖ Ø Ò Ø ÐÐØ Ú Ö Ò Ö ÙØÚ Ð Ò» Ò Ö Ö ÖÙ Ò Ò Ô Ö Ø Ò¹ غ ¾º¾º½ ÃÓÒ Ø ØÙØ Ú Ö Ð Ø ÓÒ Ö Ø Ö Ö ÒØ ØØ Ö Ø Ú Ð Ò Ð Ò Ú Ø ÓÒ ÓÑ ÐÐ ÒÚÒ ØØ ÔÖ ¹ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ðк ÖÓ Ò Ô ÙÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ò Ö ØÐÐ Ú Ð Ú Ö Ð Ö ÓÑ Ò ÑØ Ó Ú Ñ Ò Ú ÐÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ñ Ø ÓÐ Ö Ð¹ Ð ÓÒ Ø ØÙØ Ú Ö Ð Ø ÓÒ Ö ÒÚÒ º Ö Ð Ø Ö Ö ØÓÖ Ø Ö Ú ÓÐ Ð Ø Ü Ò Ñ Ö Ø Ö Ó ÔÒÒ Ò Ñ ØÖ Ñº Æ Ò ØØ Ø Ð Ü ÑÔ Ð Ô Ò Ö Ð Ø ÓÒ Öº Á Ú Ò ØØ ¾º¾º¾ ÑØ Ö Ò ÚÒ Ò ÖÒ ÓÑÑ Ö ÝØØ ÖÐ Ö Ü ÑÔ Ð Ø ÙÔÔº ½¾

18 Ö Ø ÓÒ ÑÓØ ØÒ Ú Ú Ö Ø ÓÒº Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ò F(t) Æ Ò Ó Ø ÒØ Ú Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ Ö ÑÐ Ø Ø Øv(t) Ñ» ØÖ Ò Ð ØÓÖ Ý Ø Ñµ ÐÐ Ö Ú Ò Ð Ø Ø ω(t) Ö» ÖÓØ Ö Ò Ý Ø Ñµº Å Ò Ö F(t) = kv(t) ØÖ Ò Ð ØÓÖ µ ÐØ ÖÒ Ø ÚØ F(t) = kω(t) ÖÓØ Ö Ò µº Ë ÑÑ ØÝÔ Ú Ñ Ò ÐÐ Ö Ö ÑÓØ ØÒ Ö Ø Ò Ú Ú ÑÔÒ Ò º Ð ØÖÓÑ Ò ÑÓÑ ÒØ Ú Ö Ö Ò º Ø Ö Ú Ò ÑÓÑ ÒØ Ø T d (t) ÆÑ ÖÒ Ò Ð ØÖ ÑÓØÓÖ Ò ÒØ Ú Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐØ ÑÓØ ØÖ ÑÑ Ò i(t) ÒÓÑ ÑÓØÓÖÒ Ø Ú ÐÐ T d (t) = k m i(t) Ök m Ö Ò ÑÓØÓÖ ÓÒ Ø Òغ Ç Ñ Ð Ö Ú Ö Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò ÔÒÒ Ò v(t) Î Ó ØÖ Ñ i(t) Ú Ö ØØ Ð ØÖ Ø ÑÓØ ØÒ Rº Ø ÐÐ Ö ØØ v(t) = Ri(t) ÅÓØ Ú Ö Ò Ñ Ò ÒÒ Ö Ò Ö Ð ØÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ø Ü ÔÓ¹ Ð Ö Ó ÓÒ Ò ØÓÖ Ö Ü ÑÔ Ð ¾º º Å ÐÔ Ú Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÓÑÑ Ö Ú Ú Ò ØØ º ØØ Ø Ö Ñ Ó Ñ Ð Ô ÓÑÔÐ Ü ÓÖÑ ÓÑ ÐÐ Ö Ö ÑÓØ ØÒ ÔÓÐ Ö Ó ÓÒ Ò ØÓÖ Öº Ö ÙØ ÖÒ Ò Ø Ò Ñ Ö ØØ ÙØ ÐÐ ÐÐ Ö ÒÐ Ø ÖÒÓÙÐÐ Ð ØØ ÚØ Ø ÙÖ Ø Ò Ò Q(t) Ñ 3» Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐØ ÑÓØ Ú Ö ØÖÓØ Ò Ú ÚØ Ò h(t) Ñ ÓÚ Ò Ö ÙØ ÐÐ Ø Ø Ú ÐÐ Q(t) = k h(t) Ç ÖÚ Ö ØØ Ú Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð Ø Ø ÓÒ Ø ÒØ ÖÒ Ö Ð Ø ÓÒ ÖÒ ÓÚ Ò Ö Ò ¹ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ù ØØ Ò Ø Ò ÚÒ Ø ÖÐ Ø Ñ Ø Ú Ö ÑÑ ÓÑ Ò Ø Ò ÖРغ ÀÖ Ö ÙØ ÐÑÒ Ø Ö Ò Ð Ø ÙÐк ¾º¾º¾ Æ Ö ÔÖ Ø Ü ÑÔ Ð Ö ØØ ÐÐÙ ØÖ Ö ÙÖ Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØÐÐ ÙÔÔ ÙØ Ò ÖÒ Ð Ò ¹ Ú Ø ÓÒ Ö Ó ÓÒ Ø ØÙØ Ú Ö Ð Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ö ÝØØ ÖÐ Ö Ò Ö Ü ÑÔ Ðº Ö ØØ Ö Ü ÑÔÐ Ò Ò Ò ØÝ Ð ÓÑ Ñ Ð Ø Ò ÜÔÐ Ø Ú Ð Ú Ö Ð Ö ÓÑ Ö Ø Ú Ö Ö Ò º Ü ÑÔ Ð ¾º¾º Ö¹Ñ Ý Ø Ñ ÈÓ Ø ÓÒ Ò y(t) Ó Ø Ø Ò v(t) Ö Ò Ñ ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ú Ø ÑÔ Ö ÒÐ Ø ÙÖ ¾º¾ ØÑ ÒÐ Ø Æ ÛØÓÒ ½ Ð ØÖ Ò Ð ØÓÖ Ö ¹ Ö Ð µ Ú Ð Ò Ú Ø ÓÒ Ò ¾º µº Å Ò Ñ Ú Ø Ò m Ó Ö Ö Ð ÑÒ mv(t) ÔÚ Ö Ú Ò ÝØØÖ Ö Ú Ò Ö Ø F d (t)º ÖÒ Ò Ö Ö Ö Ò ÑÓØ Ö Ø Ð Ø Ò µ ÓÖÑ Ú Ö Ö Ø Ò ½

19 b k m F d (t) y(t) ÙÖ ¾º¾ Ë Ñ Ø Ð Ú Ö Ý Ø Ñ Øº ÓÑ Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ ÙÖ ÑÝ Ø ÖÒ Ö ÙØ Ö Ò ÖÒ Ú ÐÓÐ Ø Ø Ú ÐÐ y(t)º ÑÔ Ö Ò ÖÒ Ò Ö Ö Ö Ò ØÙÖ Ò ÑÓØ Ö Ø ÓÑ Ö ÔÖÓ¹ ÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ Ø Ø Ò v(t)º Ö Ö Ø Ò Ò ÐÐØ Ö Ú ÓÑ ky(t) Ó ÑÔ Ö Ø Ò ÓÑ bv(t) Ö k Ó b Ö ÓÒ Ø ÒØ Ö ÓÑ ÖÓÖ Ú ÖÒ Ó ÑÔ Ö Ò Ò Ô Öº Ð Ò Ú Ø ÓÒ Ò Ö ÙÐØ Ö Ö Ö Ö Ñ Ò Ø m v(t) = F d (t) bv(t) ky(t) Ö Ò Ö Ò Ò Ú Ö Ö Ð ÑÒ Ô Ö Ø Ò Ø Ö ÔÖ ÒØ Ö Ú Ø Ö Ú Ø Ò d(mv) = m v ÙÒ Ö ÒØ Ò Ø ØØ Ñ Ò Ö ÓÒ Ø Òغ Ö ØØ ÙØØÖÝ Ø dt Ô Ò Ñ Ö ÑÐ ÓÖÑ Ò Ñ Ò Ò ÙØÒÝØØ ØØ Ø Ø Ò Ö Ø Ö Ú Ø Ò Ú ÔÓ Ø ÓÒ Ò Ø Ú ÐÐ v(t) = ẏ(t) Ó mÿ(t)+bẏ(t)+ky(t) = F d (t) ¾º½¼µ Î Ö Ò Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ú Ö ÙÖ Ñ Ò ÔÓ Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ñ Ø Ò Ý Ø Ñ Ø ÔÚ Ö Ú Ò ÝØØÖ Ö Øº Å Ò Ø ÖÑ ÒÓÐÓ ÓÑ Ò¹ ÚÒ Ã Ô Ø Ð ½ Ò Ú ÔÓ Ø ÓÒ Ò y ÓÑ Ý Ø Ñ Ø ÙØ Ò Ð Ó Ò ÝØØÖ Ö Ø Ò F d ÓÑ Ò Ò Ò Ðº Ü ÑÔ Ð ¾º º ÊÓØ Ø ÓÒ Ñ Ø Ð Ü Ð Á ØØ Ü ÑÔ Ð ÒØ Ö Ú ØØ Ò Ð Ø Ñ µ Ñ ØÖ Ø ÑÓÑ ÒØJ ÐÐ ÖÓØ Ö ÙÖ ¾º º Î Ò ÐÐ Ø Ö ÖÓØ Ø ÓÒ Ò Ø Ò θ(t) Ö Ó Ú Ò Ð Ø Ø Ò T d (t) J θ(t) ω(t) B ÙÖ ¾º ÊÓØ Ö Ò Ð Ø Ö Ú Ò Ñ Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÑÓØÓÖº ω(t) Ö» Ó Ö Ö Ð ÑÒ ÑÓÑ ÒØ Ö Ö Ö Jω(t)º ÊÓØ Ø ÓÒ Ò ÒØ Ú Ò Ø Ð Ü Ð ÓÑ ÔÚ Ö Ú ØØ Ö Ú Ò ÑÓÑ ÒØ T d (t) Ú Ð Ø ØÝÔ Ø ½

20 Ò Ò Ö Ö Ú Ò Ð ØÖ Ñ ÑÓØÓÖº Ç ØØ Ð Ø Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ú ØØ Ð Ø Ò ÙØ ØØ Ö Ú Ö Ø ÓÒ ÙÒ Ö ÖÓØ Ø ÓÒ Ö Ö Ð Òº ØØ Ð Ø Ò ÑÓÑ ÒØ Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐØ ÑÓØ Ö ÑÐ Ø Ú Ò Ð Ø Ø Ó Ú Ò Ö Ú Ø ÓÑBω ÖB Ö Ò ÓÒ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð Ø Ø ÓÒ Ø Òغ ÒÐ Ø Ð Ò Ú Ø ÓÒ Ò ¾º µ Ö ÖÓØ Ö Ò Ñ ÒÙ J ω(t) = T d (t) Bω(t) ÇÑ Ú ÙØÒÝØØ Ö ØØ θ(t) = ω(t) Ò ÙØØÖÝ Ø ÓÖÑÙÐ Ö ÓÑ ÓÑ J θ(t)+b θ(t) = T d (t) ¾º½½µ Ó Ú Ö ÖÑ Ò Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ú Ö ÙÖ Ú Ò ÐÐ Ø θ ÖÓÖ Ú Ø Ö Ú Ò ÑÓÑ ÒØ Ø T d ÖÒ ÑÓØÓÖÒº Ò ÑÓ Ö Ò Ú ÙØØÖÝ Ø ¾º½½µ ÙÔÔ ÓÑÑ Ö Ð Ø Ò ÙØÓÑ Ö Ò ÔÒ Ò Ú Ú Ò Ú Ö Ò µ Ü Ðº Ò ÑÓØ Ö Ø ÓÑ Ð ØÖ Ú Ò ÔÒÒ Ò Ò Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ Ñ Ò Ú Ò ÐÐ Ö ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ò Ø Ò ÔÒÒ Ò Òº Å Ò Ö ÐÐ Ö J θ(t)+b θ(t)+kθ(t) = T d (t) ¾º½¾µ Ü ÑÔ Ð ¾º º Ò Ò Ð Ð ØÖ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ð ØÖ Ö Ø Ò ÙÖ ¾º Ñ Ö Ú ÔÒÒ Ò v(t) ÒÓÑ Ú Ð Ò Ø ÝØ Ö Ò ØÖ Ñ i(t)º + L R v(t) C i(t) ÙÖ ¾º Ë Ñ Ø Ð Ú Ò Ð ØÖ Ö Ø Òº ÃÖ Ø Ò ÙÖ ¾º ÐÐ Ö Ò Ö ÓÒ Ò Ö Ø ÐÐ Ö ÄÊ ¹ Ö Ø Ó ØÖ Ú Ò ÔÓÐ Ñ Ò Ù Ø Ò L Ò ÓÒ Ò ØÓÖ Ñ Ô Ø Ò C Ó ØØ ÑÓع ØÒ Ñ Ö Ø Ò Rº Å Ò Ò Ò ÐØ ÙØØÖÝ Ø ØØ ÔÓÐ Ò Ò Ù Ø Ò Ö ØØ ÑØØ Ô ÑÓØ ØÒ Ø ÑÓØ ØÖ Ñ ÖÒ Ö Ò Ö ÒÓÑ Ò ÑÑ Ó ÓÒ Ò¹ ØÓÖÒ Ô Ø Ò Ö ØØ ÑØØ Ô ÒÒ ÖÑ ØØ Ð Ö Ð ØÖ Ð Ò Ò º Ö ÑÓØ ØÒ Ø Ú Ø Ú ØØ ÔÒÒ Ò Ò Ú Ö Ø ÑÑ Ñ Ç Ñ Ð Ò Ö Ú ½

21 ÓÑ v r (t) = Ri(t)º Ø Ò Ò Ò i Ö ØÖ Ñ Ö ØØ Ú Ø Ò Ö Ø Ö Ú ¹ Ø Ò Ñ di º Ä Ò Ò ÓÒ Ø ØÙØ Ú Ñ Ò ÒÒ Ö ÔÓÐ Ò Ó ÓÒ Ò ØÓÖÒº dt ËÔÒÒ Ò Ò Ú Ö ÔÓÐ Ò Ò Ö Ú ÓÑ Ó ÔÒÒ Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ò ØÓÖÒ ÓÑ v l (t) = L di(t) dt v c (t) = 1 C t 0 i(τ)dτ ¾º½ µ Î Ú ÐÐ ÒÙ ÙÒ Ö ÙÖ ÔÒÒ Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ò ØÓÖÒ Ú ÒØ Ö ØØ v c (0) = 0) ÔÚ Ö Ú Ò Ö Ú Ò ÔÒÒ Ò Òº ÖÒ Ð Ò Ú Ø ÓÒ Ò ¾º µ Ú Ø Ú ØØ ÙÑÑ Ò Ú ÐÐ ÔÒÒ Ò ÖÒ Ö Ò Ö Ñ Ò Ö ÖÙÒØ Ö Ø Ò ÐÐ Ú Ö ¼º Å Ò Ö ÐÐ Ö Ö Ú Ò Ó Ð Ø Ò ÔÒÒ Ò Ö Ö Ò Ñ ÓÐ Ø Òµ ØØ v r (t)+v l (t)+v c (t) v(t) = 0 Ú Ð Ø Ñ ÙØØÖÝ Ò ÓÚ Ò Ò ØØ Ò ÓÖÑÙÐ Ö ÓÑ L di(t) dt +Ri(t)+ 1 C t 0 i(τ)dτ = v(t) ¾º½ µ Å Ò Ò Ò ÖÒ Ú Ø ÓÒ ¾º½ µ ØØ i(t) = C v c (t)º ËÙ Ø ØÙ Ö Ö Ñ Ò Ò ØØ Ú Ø ÓÒ ¾º½ µ Ð Ò Ú Ø ÓÒ ÓÑ Ö ¹ Ú Ö ÙÖ ÔÒÒ Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ò ØÓÖÒ ÖÓÖ Ú Ö Ø Ò Ö Ú Ò ÔÒÒ Ò LC v c (t)+rc v c (t)+v c (t) = v(t) ¾º½ µ Ü ÑÔ Ð ¾º º Ò Ø Ò Ñ Ö ØØ ÙØ ÐÐ Ò Ø Ò Ñ Ö ØØ ÙØ ÐÐ ÙØÐÓÔÔµ Ú Ð ÙÖ ¾º º ÎØ Ò h(t) Ñ ÑØ ÖÒ ÙØ ÐÐ Ø Ø ÐÐ ÚØ ÝØ Ò Ó ÚØ Ò Ø ¹ Ø ÙØÐÓÔÔ Ø Ö v Ñ» º ÎØ Ò Ò Ø Ø Ö ρ»ñ 3 º Ì Ò Ò Ö Ô Ø Ú ÙØÐÓÔÔ Ø Ö ÓÖ Ø Ò A Ó a Ñ 2 º Î ÒØ Ö Ó ØØ Ú Ò ÝÐÐ Ô Ø Ò Ò Ñ ØØ Q in Ñ 3» º ÇÑ Ñ Ò ÒØ Ö ØØ ÐÙ ØØÖÝ Ø Ô ÚØ ÝØ Ò Ö Ø¹ ÑÑ ÓÑ Ú ÙØ Ø Ó ØØ ÚØ Ø Ø Ò Ø Ò Ò Ö ÑÝ Ø Ñ Ò Ö Ò ÚØ Ø Ø Ò Ú ÙØÐÓÔÔ Ø ÐÐ Ö ÒÐ Ø Ò ÖÒÓÙÐÐ Ð ÒÓÑ ÔÖ Ò Ô Ò Ö Ò Ö ÓÒ ÖÚ Ö Ò µ ØØ ρgh = ρv2 2 ½

22 Q in h(t) A a Q ut ÙÖ ¾º Ò Ø Ò Ñ Ö ØØ ÙØ Ðк Ú Ð Ø Ñ Ö ØØ ÙØ Ø Ú Ú ØØ Ò Q ut Ñ 3 ÓÑ Ö Ú ØØ Ò Ø Ø Ò ÑÙÐØ ¹ ÔÐ Ö Ø Ñ ÙØÐÓÔÔ Ø ØÚÖ Ò ØØ Ö Ò Ö Ú Ñ Ö Ñ Ò ÓÒ Ø ØÙØ Ú Ö Ð Ø ÓÒ ÓÑ Ú Ú Ò ØØ ¾º¾º½µ Q ut = av = a 2gh Ö g Ñ» 2 Ö ØÝÒ Ð Ö Ø ÓÒ Òº Á Ò ÐÓ Ñ ¾º½µ ÐÐ Ö ØØ ÖÒ Ö Ò Ò Ú ÚØ ÚÓÐÝÑ Ò Ø Ò Ò Ô Ö Ø Ò Ø Ö Ð Ñ Ò Ø Q in Ù ØÖ Ö Ø Ñ ÙØ Ø Q ut Ó Ú Ö dv(t) = d(ah(t)) = Q in (t) a 2g h(t) dt dt Ú Ð Ø Ø Ö ÓÑ Ø Ò Ò ØÚÖ Ò ØØ Ö Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò Ö Ú dh(t) = a 2g Q in (t) h(t)+ dt A A = f(q in,h) ¾º½ µ ÓÑ Ù Ö Ò Ö Ø ÓÖ Ò Ò Ò Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö ÓÐ Ò Ö Ñ Ú Ò¹ Ô ÚØ Ò hº Ø Ú Ö Ð Ý Ø Ñ Ö ÓÐ Ò Ö Ø ÐÐ Ò Ò ØÙÖº ØØ Ò Ö ÔÔ ØØ Ö ØØ ÙÒÒ Ò ÐÝ Ö Ó Ô ØØ Ò ÐØ ØØ Ö Ø Ñ ÓÐ Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ö ØØ ¹ ÒÓÑ Ò Ö Ø ÓÖ Ò Ò Ò Ì ÝÐÓÖÙØÚ Ð Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ö Ò ÓÐ Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ò ØØ ÐÐ ¾º½ µ Ñ Ò Ð Ò Ö ÑÓ Ðк Î ÓÑÑ Ö Ò Ö ÙÖ Ò Ò Ñ Ö Ø Ð Ô Ò Ò Ö ÐÐ Ö Ø Ò Ö ØØ Ñ Ò Ú Ö Ò Ú Ö ØÐ Ø Ö Ú ÐÙØÖ ÙÐØ Ø Ø Ð Öº ÒØ ØØ Ú Ö ØØ ÓÒ Ø ÒØ Ò Q in,0 Ó ÐØ h 0 Ú Ö Ò ÚØ ÓÑ Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ú Ö Ø ÙÒ Ö ÑÝ Ø ÐÒ ÓÒ Ð µ Ø º ÈÙÒ Ø Ò Q in,0 h 0 µ Ò Ú Ö Ò Ø Ø ÓÒÖ ÑÚ Ø ÔÙÒ Ø Ø ÐÐ Ý Ø Ñ Øº ÒÓÑ Ì ÝÐÓÖÙØÚ Ð Ò Ò Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ ÓÑ ÐÐ Ö Ò ÒÖ Ø Ú ÔÙÒ Ø Ò Q in,0 h 0 µ Ó ÓÑ Ö Ð Ø Ö Ö ÚÚ Ð Ò h ÖÒ ÑÚ Ø Ò Ø ÐÐ ÚÚ Ð Ò Q ÖÒ ÑÚ Ø Ò Ø ÒÐ Ø h(t) dt = Q in,0 h(t)+ Q in,0 2Ah 0 A ½ ¾º½ µ

23 Ü ÑÔ Ð ¾º º Ò Ò Ð ÓÐÓ Ö ØÓÖ Á ØØ Ü ÑÔ Ð ÐÐ Ò Ò Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÓÐÓ Ö ØÓÖ ØÐÐ ÙÔÔº ÒÒ ØÝÔ Ú ÑÓ ÐÐ ÒÚÒ Ó Ø Ö ØØ Ö Ú ÓÐÓ ÔÖÓ Ö ÒÓÑ Ú ØØ ÒÖ ¹ Ò Ò Ø Ü ÓÐÓ ÚÚ Ö Ò Ò µº Ê ØÓÖÒ ØÖ Ú Ò ØÓØ ÐÓÑ Ð Ò Ø Ò Ñ ÚÓÐÝÑ V Ñ 3 ÙÖ ¾º º ÒÓÑ Ø Ò Ò Ö ÚØ Ñ Ø Q Q X in S in X S V Q X S ÙÖ ¾º Ë Ñ Ø Ð Ú ÓÖ ØÓÖÒº Ñ 3» º Á Ò Ò ÓÑÑ Ò ÚØ Ò Ö ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ò Ú ÓÑ Ú ÒÐ ØÚ Ø Ö ÖµX in Ñ»Ð Ó ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ò Ú ØØ Ù ØÖ ØS in ѻРº ÓÑ Ð¹ Ø Ò Ø Ò Ò ÒÑÒ X(t) Ó Ù ØÖ Ø ÐØ Ò S(t)º Á Ø Ò Ò ÒØ ÓÑ Ò Ø ÐÐÚÜ ÒÓÑ ØØ Ø ÐÐ Ó Ó Ö Ò Ö ÖÒ Ù ØÖ Ø Øº Ì ÐÐÚÜØ Ø Ø Ò Ö Ø ÓÒ Ø Ø Òµ Ö ÓÑ Ò Ø Ò R X (t)º ÓÑ Ò Ø ÐÐÚÜ Ö Ø Ö Ò Ú ÑÒ Ù ØÖ Ø Ô Ö Ø Ò Øº ÅÒ Ò Ù ØÖ Ø ÓÑ Ø Ö Ô Ö Ø Ò Ø Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ ÓÑ Ò Ø ÐÐÚÜØ Ø Ø Ó Ö Ø ÓÒ Ø ¹ Ø Ò Ö Ù ØÖ Ø Ø Ð Ö Ö Ö 1 R Y X(t)º ÃÓÒ Ø ÒØ Ò Y ÐÐ ÙØ ÝØ ÓÒ Ø Òغ ØØ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð Ø Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ö Ú Ô ÓÖÑ Ò 1 Ò ÒÒ ÖÚ ÖÖ Ò Ñ Ò Y Ö ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÒÓÑ ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÓÖ ØÓÖ Öº ÍØÒÝØØ ÒÙ Ð Ò Ú Ø ÓÒ Ò ¾º µ Ò Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÓÑ Ö Ô Ø Ú Ù ØÖ Ø Ö Ú Ẋ(t) = R X (t)+ Q V (X in X(t)) Ṡ(t) = 1 Y R X(t)+ Q V (S in S(t)) ¾º½ µ ¾º½ µ ØØ Ú ÒÐ Ø ØØ ØØ Ö Ú ÙÖ Ø ÐÐÚÜØ Ø Ø Ò R X (t) ÖÓÖ Ú Ù ØÖ Ø¹ Ó ÓÑ ÐØ Ö Ö ØØ ÒÚÒ ÐÐ ÅÓÒÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ñ Ö ÓÑ ¹ Ò ÓÑÑ Ö ØØ Ý ÙÔÔ Ö Ò Ò Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÖÒ µº Á ØØ ÐÐ Ö Ñ Ò S(t) R X (t) = µ max X(t) Ö µ K S +S(t) max Ó K S Ö ÓÒ Ø ÒØ Öº ËØØ Ö Ú Ò ØØ ÙØØÖÝ ¾º½ µ¹ ¾º½ µ S(t) Ẋ(t) = µ max K S +S(t) X(t)+ Q V (X in X(t)) Ṡ(t) = 1 Y µ S(t) max K S +S(t) X(t)+ Q V (S in S(t)) ¾º¾¼µ ¾º¾½µ ½

24 ÓÑ Ö ØØ Ý Ø Ñ Ú Ö Ø ÓÖ Ò Ò Ò ÓÐ Ò Ö Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ö Ø Ú ÐÐ Ö Ú ØÓÖÒ ÖÓÖ Ô ØØ ÓÐ Ò ÖØ ØØ Ú Ú Ö Ð ÖÒ S(t) Ó X(t)º Î Óѹ Ñ Ö ØØ Ø Ö ÓÑÑ Ø ÐÐ ÓÐ Ò Ö Ý Ø Ñ ÐÐÑÒ Ø Ó ØØ Ü ÑÔ Ð Ò Ö ÓÑÔ Ò Øº ËÓÑ ÝÒ Ö ÓÒ Ø ØÙØ Ú Ñ Ò Ò Ò Ð Ø ÑÝ Ø Ð Ø Ø Ü ÑÔ Ðº ËÝ Ø Ø Ö ÒØ ØØ ÐÖ ÙØ ÒØ ÐÐ ÙØ Ò Ò Ö Ö ØØ Ú Ø Ò Ú Ð Ò Ú Ø ÓÒ Ó ÓÒ Ø ØÙØ Ú Ñ Ò ÓÑ ÐÐ Ö ÙÒÒ ØÐÐ ÙÔÔ Ò Ð Ö ÑÓ ÐÐ Öº È Ö Ò ÚÒ Ò ÖÒ ÓÑÑ Ö Ö Ü ÑÔ Ð ØØ ÒÓѺ ÅÒ Ý Ø Ñ Ö ØÝ Ð Ø Ñ Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Ü ÑÔ Ð ÓÑ Ö ÓÚ Ø ÓÚ Òº Ö Ñ Ö ÓÑÔÐ Ü Ý Ø Ñ Ö Ø Ó Ø Ö Ð Ø Ø ØØ Ö Ð ÙÔÔ Ý Ø Ñ Ø Ñ Ò Ö Ð Ý Ø Ñ Ó Ö Ñ ÑÓ ÐÐ Ö Ö Ö Ô Ø Ú Ð Ý Ø Ñº ËÓÑ Ø Ö ÒÑÒØ ØÑÑ Ö Ý Ø Ø Ñ ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ò Ø Ð Ò ÚÒ Ô ÑÓ ÐÐ Ò Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö Ó Ð Ö Ò Ö ÓÑ Ö º ËÔ ÐÐØ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ò Ñ Ò Ú ÒÚÒ Ú ÝÔÓØ Ö Ó ÑÔ Ö Ñ Ò º Å Ò Ò Ó ÐÔ Ú ØÓÖ Ø Ö ÑÓ ÐÐ Ý Øº ¾º¾º Ò ÐÓ Ö Ñ ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ý Ø ÑØÝÔ ÖÒ ËÓÑ Ò ØØ Ó ÔÔ Ø Ö Ò Ø ÜØ ÒÒ ÑÒ Ð Ø Ö Ñ ÐÐ Ò ¹ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ò ØÐÐ ÙÔÔ Ñ Ð Ò Ú Ø ÓÒ Öº Î ÐÐ Ö Ñ Ö Ò Ö Ú Ý Ø Ñ ÓÑ ÔÖ ÒØ Ö Ø ÓÚ Òº Ì ÐÐ ØØ Ö Ñ ÐÐ Ò Ö Ò Ö ÓÖ Ò Ò Ò Ý Ø Ñ Ø Ú ÐÐ Ý Ø Ñ ÓÑ Ö Ú Ñ Ö ÒØ Ð Ú Ø Ó¹ Ò Ö ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ò Ö Ö Ú ØÓÖµ ØÖ Ø ÒÑÐ Ò ¾º½¼ ¾º½¾ Ó ¾º½ º Î ÑÓ Ö Ö Ó ÙØØÖÝ Ò ÓØ Ö ØØ Ñ Ô ÑÑ ÓÖѺ ÌÖ Ò Ð Ø Ö Ò Ö Ö Ð ÊÓØ Ö Ò Ö Ö Ð Ð ØÖ Ö Ø m dv(t) dt J dω(t) dt L di(t) dt +bv(t)+k +Bω(t)+K +Ri(t)+ 1 C t 0 t 0 t 0 v(τ)dτ = F d (t) ω(τ)dτ = T d (t) i(τ)dτ = u(t) ¾º¾¾µ ¾º¾ µ ¾º¾ µ ËÓÑ ÝÒ Ö ØÖ ÑÓ ÐÐ ÖÒ ÓÚ Ò Ò ÑÝ Ø Ð ÖØ ØÖÙ ØÙÖ Ú Ð Ø Ó Ö Ñ Ò ÑØ Ñ ÑÒ ÑÓ ÐÐ Ö Ö Ò Ö ØÝÔ Ö Ú Ý Ø Ñº Á Ì ÐÐ ¾º½ ÑÑ Ò ØØ ØÖ ÑÓ ÐÐ ÖÒ Ó Ö Ò Ô Öº È ÑÑ ØØ Ò Ú ÑÑ Ò ØØ Ö Ø ÓÖ Ò Ò Ò Ý Ø Ñ ÖÒ ¾º µ Ó ¾º½ µ Ò ÓØ ÑÓ Ö ÖÒ ÖÙÒ ÙØØÖÝ Òµº ½

25 ÌÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÊÓØ Ø ÓÒ Ð ØÖ Ö Ø ÁÒØ Ò Ø Ø ÃÖ Ø F d ÎÖ Ò ÑÓÑ ÒØ T d ËÔÒÒ Ò u Ð À Ø Ø v Î Ò Ð Ø Ø ω ËØÖ Ñ i µdt Ä y Î Ò Ð θ Ä Ò Ò q ÌÖ Ø Å m ÌÖ Ø ÑÓÑ ÒØ J ÁÒ Ù Ø Ò L ÑÔÒ Ò ÑÔÒ Ò b ÑÔÒ Ò B Ê Ø Ò Ê Ð Ø Ø Ø Ö Ò k ËØÝÚ Ø K ½»Ã Ô Ø Ò 1 C Ì ÐÐ ¾º½ Ò ÐÓ Ö Ñ ÐÐ Ò ÑÓ ÐÐ ÖÒ ¾º¾¾µ¹ ¾º¾ µº Ì Ò Ö ØÓÖ Ì Ò Ñ Ö ØØ ÙØ V dc(t) dt A h(t) dt +(Q+kV)c = Qc in + Q in,0 2h 0 h(t) = Q ¾º¾ µ ¾º¾ µ Ò ÐÓ ÖÒ Ñ ÐÐ Ò Ý Ø Ñ Ú Ì ÐÐ ¾º¾º Ì Ò Ö ØÓÖ Ì Ò Ñ Ö ØØ ÙØ ÐÐ ÁÒØ Ò Ø Ø ÃÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ c ÎØ h Ð È ÖØ Ð Qc Ð Q ÍÔÔÐ Ö Ò ÎÓÐÝÑ V Ö A Ì ÓÒ Ø ÒØ ¾V 0 /Q in,0 V/(Q+kV) Ì ÐÐ ¾º¾ Ò ÐÓ Ö Ñ ÐÐ Ò ÑÓ ÐÐ ÖÒ ¾º¾ µ¹ ¾º½ µº Ì ÓÒ Ø ÒØ Ò Ö ØØ ÑØØ Ô Ý Ø Ñ Ø Ö Ø ÓÒ Ø ÓÑ Ú ÐÐ ÙØ Ö Ñ Ö Ò Ò Ò Ö º ¾º¾º Æ Ö Ø Ö Ø Ý Ø Ñ Å ØØ Ø Ö Ø Ý Ø Ñ Ñ Ò Ö Ú ØØ Ý Ø Ñ Ö ÙØ Ò Ð Ò Ú Ò Ú Ø ¹ ÔÙÒ Ø ÖÓÖ Ú ÒÙÚ Ö Ò Ó Ð Ö ÚÖ Ò Ô Ò Ò Ð Ó Ø ÖÒ Ò ÖÒ Ú Ö Ø Ø ÔÙÒ Ø Öº Ä Ø Ñ Ö ÓÖÑ ÐÐØ Ò Ñ Ò ØØ Ò Ø Ö Ø Ò Ð Ö Ò ÙÔÔÖ Ò Ò Ö Ú Ò º ØØ Ø Ö Ø Ý Ø Ñ Ö ØØ Ý Ø Ñ ÓÑ Ú Ö Ö Ô Ò Ø Ö Ø Ò Ò Ð Ó ÔÖÓ Ù Ö Ö Ò Ø Ö Ø ÙØ Ò Ðº Ç Ø ÒÚÒ Ø Ö Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ö Ò Ú Ø ÓÒ Öµ ÓÑ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö Ú Ø ÓÒØ ÒÙ¹ ÖÐ Ý Ø Ñ Ñ Ö Ø Ü ÙÐ Ö Ñ ØÓ ÒÓÑ ÒÙÑ Ö Ò ÐÝ µº ÆÓØ Ö ØØ Ö ØØ ÙÒÒ ÑÙÐ Ö Ò ÑÓ ÐÐ Ú ØØ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø ÝÒ Ñ Ø Ý Ø Ñ Ò ØÓÖ Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ò Ú Ø ÓÒ Ö Ð Ø Ö Ø Ø ÔÙÒ Ø Öº ¾¼

26 ÇÑ Ñ Ò Ø Ü Ú ÐÐ ÓÒ ØÖÙ Ö Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ø ÖÒ ÙÔÔÑØØ Ø Ö Ø Ù ÙØ ÐÙØ Ò ØØ Ñ Ò Ö Ø ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ø Ö Ø Ø Ñ Ú Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ñ ÐÐ Ò ÑØÒ Ò ÖÒ Ø ÒÒ Ò ÚÐ ÙØÚ Ð Ø ÓÖ Ö Ø ÐÐÚ Ò ØØ Ø Ú ÒÒ ØÝÔ Ú ÑÓ ÐÐ Ö Ò µº Ö Ò Ð ÐÐ Ø Ü ÒÓÑ ÓÒÓÑ Ó Ð Ö Ðй Ò Ò ÐÐ Ö Ø Ó Ò ØÙÖÐ Ø ØØ Ö Ø ØÐÐ ÙÔÔ Ø Ö Ø ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Öº Æ Ò Ø ÝÖ Ü ÑÔ Ð ÙÔÔº Ü ÑÔ Ð ¾º º Ò Ò Ø ÓÒ Ð ÓÒÓÑ ÑÓ ÐÐ ÁÒÓÑ Ò Ø ÓÒ Ð ÓÒÓÑ ÒÚÒ ÑÒ Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ú Ú Ö Ö Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Øº Î Ú ÑÓ ÐÐ Ö Ý Ø Ö Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ÐÒ Ö ÖÙØØÓÒ ¹ Ø ÓÒ ÐÔÖÓ Ù Ø Æȵ Ó Ú ÐÐ Ö Ø ØØ Ô Ò Òº Î Ò Ö Ø Ò Ò Ò y(k) Ö ÖÙØØÓÒ Ø ÓÒ ÐÔÖÓ Ù Ø Ò Ö kº Ú Ö Ð Ö ÓÑ Ò Ö Ö ÔÔ Ø ÆÈ Ö ÓÒ ÙÑØ ÓÒ Ò c(k) ÙÒ Ö Ö Ø ÒÚ Ø Ö Ò Ö i(k) ÓÑ ÓÖØ ÙÒ Ö Ö Ø ÑØ Ø Ø Ò ÙØ Ø Ö ÙÒ Ö Ö Ø g(k)º Ò Ø ÓÒ Ñ Ø ÐÐ Ö ØØ y(k) = c(k)+i(k)+g(k) ¾º¾ µ Ë ÐÚ Ð ÖØ ÒÒ Ø ØØ ÒØÖ Ö ØØ Ô ØØ Ò ÐØ ØØ ÙÒÒ ÖÙØ ÔÖ ¹ Ø Ö µ ÆÈ ØØ ÒØ Ð Ö Ö ÑØ Ø Òº Ö ØØ Ö ØØ Ò Ñ Ò ÙØÒÝØØ ØØ Ø ÖÙØÓÑ ¾º¾ µ ÒÒ Ò Ö Ñ Ö ÑÔÐ Ø Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò Ú Ö Ð ÖÒ º Á Ú Ö Ð Ø Ò Ö Ñ Ò ÓÑÔÐ Ö Ó Ø Ö ÒØ ØØ ÓÑ ¹ Ö Ò Ú Ò ØØ ÙØÒÝØØ ØÑ Ò ØÙÖÐ Öº Ø Ö Ó ØØ Ö Ò Ð Ö Ò Ð Ò ÒØ Ò Òº ØØ Ü ÑÔ Ð Ô Ò Ö Ð Ò ½º ÃÓÒ ÙÑØ ÓÒ Ò Ö ÒØ Ú Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ ÆÈ Ö Ò Ö c(k) = ay(k 1) ¾º¾ µ ¾º ÁÒÚ Ø Ö Ò ÖÒ Ò ÒØ Ú Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ Ò Ò Ø Ø Ò ÓÒ¹ ÙÑØ ÓÒ Ò i(k) = b(c(k) c(k 1)) ¾º¾ µ Ú Ø ÓÒ ÖÒ ¾º¾ µ¹ ¾º¾ µ Ö Ú Ö ÒÙ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ø ÓÒÓÑ Ý Ø Ñ Øº Å Ò Ò Ò ØÙÖÐ ØÚ Ö ØØ Ü Ø Ø Ò Ó ÒÒ ÑÓ ÐÐ Ñ Ò ÒØ Ò Ò ÒÒ ØÑ Ò ØÓÒ ÔÖ Ò Ô ÐÐØ Ö ÑÐ º ËÓÑ Ö Ò Ø Ö Ú Ò¹ ØÖ Ö Ú ØØ ÑÓ ÐÐ Ö ÆÈ y(k)µ Ó Ø ÐÐ Ö Ò ØÙÖÐ Ø ØØ ÚÐ ÒÒ ÓÑ ÙØ Ò Ðº ËÓÑ Ò Ò Ð ÚÐ Ö Ú Ø Ø Ò ÙØ Ø Ö Ö k g(k) Ú Ð Ø ÒÒ Ö ØØ Ú Ö ÒÒ ÓÑ Ø Ø Ò Ñ Ð Ø ØØ ÔÚ Ö ÆȺ Å Ò Ò ÒÙ Ð Ñ Ò Ö Ú Ö Ð ÖÒ c(k) Ó i(k) ¾º¾ µ ÒÓÑ ØØ ÒÚÒ ¾º¾ µ Ó ¾º¾ µ Ú Ð Ø ÐÙØ ÐØ Ò Ö Ö Ò Ú Ø ÓÒ Ò y(k) = (a+ab)y(k 1) aby(k 2)+g(k) ¾º ¼µ ÒÒ ÑÓ ÐÐ Ò ÒÙ ÒÚÒ Ö ØØ ÔÖ Ø Ö ÆÈ Ú Ø ØØ Ñ Ò ÒÒ Ö Ø ÐÐ Ø Ø Ò ÙØ Ø Ö Ö Ö Øº ÒÒ ÔÖ Ø ÓÒ Ò Ò Ò ØÙÖ ÒÚÒ Ö ¾½

27 ØØ ÖÙØ ÆÈ Ö Ø Ö Ø Ö Ú Ø ØØ Ñ Ò Ô Ò ÓØ Ú Ò ÙÖ ØÓÖ Ø Ø Ò ÙØ Ø Ö ÓÑÑ Ö ØØ Ú Ö º Ø Ö ÒÑÒ ØØ ÔÖ Ø ÓÒ Ò Ô ÖÙÒ Ú ÑÓ ÐРе Ò ØÙÖÐ ØÚ Ð Ö Ó Ö Ö Ù ÐÒ Ö Ö Ñ Ø Ò Ñ Ò Ú ÐÐ ÔÖ Ø Ö ÔÖ ÓÑ Ö Ú ÖÔÖÓ ÒÓ Öº ØØ Ú ÒÐ Ö ØØ ØØ Ö Ú Ö Ò Ú Ø ÓÒ Ö ÓÑ ¾º ¼µ Ö ØØ ÑÐ Ùع Ó Ò Ò ÐØ ÖÑ Ö Ô Ú Ö Ò Ó Ñ Ò Ö y(k) (a+ab)y(k 1)+aby(k 2) = g(k) ¾º ½µ Ü ÑÔ Ð ¾º º Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ð Ö ÐÐÒ Ò Ø Ö ÓÑ Ø Ö Ó Ø ÑØ ØØ Ö Ö Ö Ó Ò Ù ØÖ ØØ ÐÐ ÖØ Ð Ö Ð Ö Ö Ø Ú Ø Ø ØØ Ô Ò ÓØ ØØ ÙÒÒ Ö Ò ÔÖÓ ÒÓ Ú Ö ÒØ Ð Ø ÖØ Ð Ö Ð Ö Øº Å Ò Ò ÒÚÒ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ú Ö Ð Ö ÐÐÒ Ò Òº Æ Ò ÐÐ Ú ÔÖ ÒØ Ö Ò ÑÝ Ø Ò Ð Òº ÄØ y(k) Ú Ö ÒØ Ð Ø ÖØ Ð Ö Ð Ö Ú Ø Ò Òµ kº Î ÐØ Ö Ú Ö u(k) Ú Ö Ò ØÐÐÒ Ò Ú Ú ÖÓÖ Ø ÐÐ Ð Ö Ø Ú Ø Ò Òµ kº Î ÒØ Ö Ó ØØ Ò ØÐÐ Ú Ö Ò Ð Ú Ö Ö Ø ÐÐ Ð Ö Ø ØÚ Ø Ò Ø Ö Öµ Ò Ö º ØØ Ò ÐØ Ñ Ò ÓÑ Ö Ú Ö ØØ ÖÐÓÔÔ Ð Ö y(k) = y(k 1)+u(k 2) ¾º ¾µ Æ ØÙÖÐ ØÚ Ú Ó Ò Ø ÖÑ ÓÑ Ö Ú Ö Ø Ð ÙØØ Ø ÙÖ Ð Ö Øº ÒÒ Ø ÖÑ Ô Ö Ú Ø ÐÐ v(k)º ØØ Ö ØØ ØÝÔ Ø Ü ÑÔ Ð Ô Ò Ø ÖÑ ÓÑ ÒØ Ò Ð Ö Ò Ú Ö Ò ÔÚ Ö Ó Ø Ö Ö Ö Ò ØÙÖÐ Ø ØØ ÒÒ ÓÑ Ò Ø Ö Ò Ðº È ÑÑ ØØ Ö Ù ØÐÐÒ Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ö Ø u(k)µ Ò ÓØ ÓÑ Ò Ð Ö Ò Ú Ö ÐÚ ØÑÑ Ö Ú Ð Ø Ñ ÚÖ Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ö Ò Ø ÐÐ Ò ÐÑÔÐ Ò Ò Ðº ÁÒ Ö Ú Ø ÖØ ÖÑ Ò v(k) ÙØØ Òµ ¾º ¾µ Ö Ú ÐÙØÐ Ò y(t) = y(k 1)+u(k 2) v(k) ¾º µ Ü ÑÔ Ð ¾º º Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò Ò ÑÝ Ø Ú ÒÐ Ü ÑÔ Ð Ô Ø Ö Ø Ý Ø Ñ Ö Ð ÓÖ ØÑ Ö ÓÑ ÒÚÒ Ö Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò º ØØ ØÝÔ Ø Ü ÑÔ Ð Ö Ñ Ò Ö Ò Ø Ö Ø Ò Ð Ö Ñ Ò Ú ÐÐ Ö Ñ Ú Ó» ÐÐ Ö ÙÒ ÖØÖÝ Ú Ò Ô Öº Ì Ü Ò Ò Ð Ò ÒÒ ÐÐ ÐÙÑÔÑ Ø ÖÒ Ò Ö ÓÑ Ñ Ò Ú ÐÐ Ö Ù Ö º Å Ò Ø Ð Ö Ó Ø ÓÑ Ø Ð ÐØ Ö ÓÑ ÐØ Ò ÐØ Ö ØØ Ø Ö Ø Ý Ø Ñ ÓÑ ÒÚÒ Ö ØØ Ò Ð Ò Ø Ö Ø Ò Ðº ØØ Ü ÑÔ Ð Ô ØØ Ø ÐØ ÐØ Ö Ö ØØ Ö Ò ØØ Ð Ò Ñ ÐÚÖ Ö Ø Ô N ØÝ Ò ÑØÒ Ò Öº ÇÑ Ú Ø Ò Ö Ñ ÐÚÖ Ø Ú Ø Ò k Ñ Ý µ Ò Ú Ö Ú Ø Ø Ö Ø Ý Ø Ñ Ø Ø Ð ÐØÖ Øµ ÓÑ y(k) = 1 N p=n 1 p=0 ¾¾ u(k p) ¾º µ

28 Ö u Ø Ò Ö Ò Ø Ö Ø Ò Ð ÓÑ ÐØÖ Ö º ÂÙ Ø ÖÖ N ÚÐ Ù Ø ¹ Ú Ö ÓÑÑ Ö ÐÙÑÔÑ Ø ÖÒ Ò Ö ØØ ÐØÖ Ö º Ó Ñ Ò Ö ÖÑ Ò ØØ Ò Ø Ð Ú Ö Ð ÖÒ Ö Ò Ö Ò Ð Ò u N Öº ØØ Ñ Ö ÐÐÑÒØ Ð Ò ÖØ Ó Ø ÒÚ Ö Òص Ø ÐØ ÐØ Ö Ò Ö Ú M a m y(k m) = m=0 p=n p=0 b k u(k p) ¾º µ ÍÔÔ Ø Ò Ö ÒÙ ØØ Ò Ó ÒØ ÖÒ {a m } M m=0 {b p } N p=0 ØØ ÐØÖ Ø Ö ÐÑÔÐ Ò Ô Öº Ø ÒÒ Ò ÑÒ ÓÐ Ñ ØÓ Ö Ö ØØ Ö ØØ º Ü ÑÔ Ð ¾º½¼º Ì Ö Ø ØÓ Ø ÔÖÓ Ö Ø Ö ÑÝ Ø Ú ÒÐ Ø ØØ Ò Ø Ö Ö Ò ÐÙÑÔÑ Ú Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ö ÒØ Ò Ö Ú Ô Ò ÓØ ÒÒ Ø Øصº ØØ Ò Ø Ü ÐÐ Ò ØÙÖ Ö Ø Ð Ö Ú Ö¹ Ú Ö Ø ÓÒ Ö Ú Ú ÓÖµ Ø Ò Ý Ø Ñ Ø ÖÒ Ò Ö ÐÒØ Øµ Ó ÓÒÓÑ Ý Ø Ñ Ö ÙÖ Ò ÙØÚ Ð Ò µº Ö ØØ Ö Ú ÐÙÑÔÑ ÖÐÓÔÔ Ó Ò Ò Ð ÒÚÒ ÒÓÖÑ ÐØ Ø ¹ Ö Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ú ÒØÐ Ò ÑÝ Ø Ò Ð Ö Ñ ÖØ Ñ ÓÑ ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÑÓ ÐÐ Ö ÒÚÒ µº ØØ Ø Ò Ö Ö Ô Ö ØØ Ö ØØ Ö Ú ØØ ÐÙÑÔÑ Ø ÖÐÓÔÔ Ö ØÓ Ø ÔÖÓ Öº Ì ÓÖ Ò Ö ØÓ ¹ Ø ÔÖÓ Ö Ö Ò ÓÑÔÐ Ü Ó Ö Ú Ö Ü ÑÔÐ Ö ÓÔÔÐ Ò Ò Ø ÐÐ Ø Ö Ø Ý Ø Ñº ØØ Ü ÑÔ Ð Ô Ò ØÓ Ø ÔÖÓ Ö Ð Ò Ö Ò Ú Ø ÓÒ y(k) = ay(k 1)+e(k) ¾º µ Ö e(k) Ö Ò Ú Ò Ú Ó ÓÖÖ Ð Ö ÐÙÑÔÑ Ú Ö Ð Ö Ñ Ñ ÐÚÖ ÒÓÐÐ Ó Ú Ö Ò λº Ò Ò Ú Ò ÐÐ Ú ØØ ÖÙ º Å Ø Ñ Ø Ø Ò Ò ¹ Ô ÖÒ Ö Ú ØØ ÖÙ ÙØØÖÝ E{e(t)} = 0 E{e 2 (t)} = λ Ó E{e(t)e(j)} = 0 Ö t jº Å ÓÐ ÚÖ Ò Ô a Ò ÓÐ ÐÙÑÔÑ ÖÐÓÔÔ Ò Ö Ö Ø Ü ÓÑ a Ö ÒÖ ØØ ÓÑÑ Ö ØÚ ÒÖÐ Ò ÚÖ Ò Ú y ØØ Ò Ø Ö ÔÓ¹ Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÑ Ö ÒÖ ¹½ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÓÑ y(k) Ö ÔÓ Ø Ú Ö Ø Ò ØÓÖ ÒÒÓÐ Ø ØØ y(k + 1) Ö Ò Ø Úµº Ò ØÓ Ø ÔÖÓ ÓÑ Ö Ú Ú ¾º µ ÐÐ Ò ÙØÓÖ Ö Ú ÔÖÓ Ú ÓÖ Ò Ò ½ ÐÐ Ö ÓÖØ Ê ½µ ÔÖÓ º Ò Ò Ö Ð Ö Ò Ú Ê Æµ ÔÖÓ Ò ÓÑ Ò Ö Ú y(k) = p=n p=1 a p y(k p)+e(k) ¾º µ Ø Ö ÚÖØ ØØ ÒÓØ Ö ØØ Ø Ö ÑÝ Ø ÐÐ Ò ÓÑ ÚÖ Ø Ô a Ò Øѹ Ñ Ñ Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÙØ Ò Ñ Ò Ö ÒÓÖÑ ÐØ ÒÚ Ø ÐÐ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú Ö Ã Ô ¾

29 Ü ÑÔ Ð ¾º½½º Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ð Ö ÐÐÒ Ò ¹ ÓÖØ ØØÒ Ò Ø Ö Ò ØÙÖÐ Ø ØØ ÒØ ØØ ÙØØ Òv(k) ÖÒ Ð Ö Ò Ö ÐÙÑÔÑ º Ó Ö ÙØØ Ò Ò Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ØØ ØÓÖØ ÙØØ Ñ Ö Ò ØÓÖ ÒÒÓÐ Ø Ö ØØ ØÓÖØ ÙØØ ÑÓÖ ÓÒº ØØ Ü ÑÔ Ð Ô Ò Ò ÑÓ ÐÐ Ö v(k) = (e(k)+0.9e(k 1)) ¾º µ Ö e(k) Ö Ú ØØ ÖÙ Ñ ÒÙ Ø Ò Ø ÔÚ Ö Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ø Ø ÙØ Ò Ò Ö Ö Ö ØØ Ð ÔÔ ØØ Ñ ÒÙ Ø Ò ÓÖÑ ÐÒ Ò Òµº ØØ Ö Ò ØÓ Ø Ð ÖÑÓ ÐÐ ÒÐ Ø y(t) = y(k 1)+u(k 2)+e(k)+0.9e(k 1) ¾º µ Ø Ö Ò ØÙÖÐ Ø ØØ Ú Ö Ð ÖÒ ÑØ Ö ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ò ÒÓÖÑ ÐÒ Úº ¾º Æ Ö Ò Ø ÓÒ Ö ÖÙÒØ Ö ÔÔ Ø Ý Ø Ñº ØØ ØØ Ò Ò ÒÝ Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ø Ö ÐÐØ Ð Ø Ø º ÁÒÓÑ Ý Ø ÑØ Ò Ò ÒÒ Ò ÙÔÔ Ú Ö ÔÔ Ó Ò Ø ÓÒ Öº Î ÐÐ Ö Ø ÙÔÔ Ò Ö Ò Ó Ö Ö Ð Ö Ñ Ô ØØ ÒØÙ Ø ÚØ Øغ ØØ Ý Ø Ñ Ñ Ò Ò¹ Ó Ò ÙØ Ò Ð Ò ÐÐÑÒØ ÙØØÖÝ Ô ÓÖÑ Ò F(t, dn y(t) dt,...,y(t), dn u(t) n dt,...,u(t)) = 0 n ÇÑ Ý Ø Ñ Ø Ö Ø ÒÚ Ö ÒØ Ö Ú ÒÒ Ö Ø ÜÔÐ Ø ÖÓ Ò Ø Ú Ø Ò t Ó Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ù Ö Ø ÐÐ F( dn y(t) dt n,...,y(t), dn u(t) dt n,...,u(t)) = 0 Ö ØØ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø Ý Ø Ñ ÓÑ Ö Ø ÒÚ Ö ÒØ ÐÐ Ö ØØ ÓÑ y(t) Ö Ò ÙØ Ò Ð Ò ÓÑ Ú Ö Ö ÑÓØ Ò Ò Ò Ð u(t) ÐÐ Ö ØØ ÓÑ Ò Ò Ð Ö u(t t o ) Ö ÙØ Ò Ð Ò y(t t o )º Ò Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ú Ö Ð Ò Ö ÓÑ Ö Ú Ø Ò Ú Ø ÓÖ Ò Ò Ú ÙØ Ò Ð Ò Ò Ö Ú ÓÑ Ò Ð Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ð Ö ÓÖ Ò Ò Ò Ö Ú ØÓÖ ÑØ Ò Ò Ð Ò Ó Ö Ú ØÓÖ Ú ÒÒ º Ò ÐÐÑÒÒ ÓÖÑ Ò Ö ØØ Ð Ò ÖØ Ø Ò¹ Ú Ö ÒØ Ý Ø Ñ ØØ ÐÐ Ø ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñµ Ú d n y(t) d n 1 y(t) d m u(t) dt n +a 1 dt n a n y(t) = b 0 dt m +b d m 1 u(t) 1 dt m b m u(t) ¾º ¼µ Ì ÓÖ Ò Ö ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñ Ö ÑÝ Ø ÚÐ ÙØÚ Ð Ó Ø ÙÒ ÖÐØØ Ö Ò ÐÝ Ò Ú ÒØÐ Ø ÓÑ Ñ Ò Ò Ö Ú» ÔÔÖÓÜ Ñ Ö ØØ Ý Ø Ñ ÓÑ ØØ ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñº Ì Ü ÐÐ Ö ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ÔÖ Ò Ô Òº ÇÑ u(t) = c 1 u 1 (t)+c 2 u 2 (t) ¾º ½µ ¾

30 Ð Ö ÙØ Ò Ð Ò y(t) = c 1 y 1 (t)+c 2 y 2 (t) ¾º ¾µ Ö y k (t) Ö ÙØ Ò Ð Ò Ò Ò Ð Ò Ö u k (t)º ØØ Ø Ö Ø ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñ Ò Ö Ú ÓÑ y(k)+a 1 y(k 1)+...+a n y(k n) = b 0 u(k)+b 1 u(k 1)+...+b n u(k n) ¾º µ ÐÐ Ý Ø Ñ Ú Ø Ø ÙÔÔ ØØ Ô Ø Ð Ö Ð Ò Ö ÙØÓÑ Ø Ò Ü ÑÔÐ Ø Ü ÑÔ Ð ¾º Ó ÓÖ ØÓÖÒ Ü ÑÔ Ð ¾º º Á Ø Ò Ü ÑÔÐ Ø ÖÓÖ Ù Ø Ü Ø ÓÖ Ò Ò Ò Ö Ú Ø Ú ÚØ Ò Ô Ú Ö ØÖÓØ Ò Ú ÚØ Òº ÇÑ ØØ Ý Ø Ñ Ö Ù ÐØ ÖÓÖ ÙØ Ò Ð Ò Ú Ò Ø ÔÙÒ Ø y(t) Ò Ø Ô u(t) Ó Ð Ö ÚÖ Ò Ô Ò Ò Ð Ò Ø Ú ÐÐ ÒØ Ú Ö ÑØ Ò Ò ÐÚÖ Òº ÐÐ Ú Ö Ð Ý Ø Ñ Ö Ù Ð º Å Ò ÑÚ Ø ÔÙÒ Ø Ñ Ò Ö Ú Ò ÔÙÒ Ø Ö Ý Ø Ñ Ø ÒÒ Ö Ú Ð Ø Ú ÐÐ Ö ÐÐ Ö Ú ØÓÖ Ú Ò¹ Ó ÙØ Ò Ð ÓÑ Ò Ö Ý Ø Ñ Ö ÚÒ Ò Ò Ö ÒÓÐк Ò Ò ÔÙÒ Ø ÐÐ Ó Ø Ø Ø ÓÒÖ ÔÙÒ Øº ¾º ËØ Ð Ø Ø Ö ÔÔ Ø ÒÐ Ò Ù ÓÒ ØØ ÑÝ Ø Ú Ø Ø Ö ÔÔ Ñ Ò ØÙ Ö Ö Ñ Ö ÒØ Ð¹ Ó Ö Ò Ú ¹ Ø ÓÒ Ö Ö Ø Ð Ø Øº ËØ Ð Ø Ø ÓÑ Ò Ò Ö Ô ÓÐ ØØ Ö ÐÐÑÒ Ø ÒØ Ò Ý Ø Ñ Ò Ô ÙØ Ò Ò Ò Ô Ó Ò Ð Ò Ò Ò Ø ÐÐ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒº ØØ ÔÚ Ø Ð Ø Ø Ö Ò ÐÐÑÒ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ö ÐÐØ ØØ ÚÖغ Î Ö ÖÒ Ù ÓÒ Ò Ø ÐÐ ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñº Ò Ò ØÙÖÐ Ò Ø ÓÒ Ô Ø Ð Ø Ø Ö ØØ ØØ Ý Ø Ñ Ö Ø ÐØ ÓÑ Ò ÖÒ Ò Ò Ð Ö Ò ÖÒ ÙØ Ò Ðº ØØ Ý Ø Ñ Ö Ò Ò Ð¹ÙØ Ò Ð Ø ÐØ ½ ÓÑ Ø ÐÐ Ö ØØ Ö ÐÐ tº u(t) < y(t) < Ö ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñ Ö Ø ÑÝ Ø Ò ÐØ ØØ ÒÓÑ Ö Ò Ø Ð Ø Ø Ò ÐÝ Ø Ú Ö ØØ Ø Ð Ø Ø Ö ÑÑ Ò ÐÐ Ö Ñ Ò Ú Ý Ø Ñ Ò Ôº ØØ ÐÐ Ú Ø ØØ ÒÖÑ Ö Ô Ã Ô Ø Ð º Á Ã Ô Ø Ð ÐÐ Ú Ø ÙÔÔ Ò ÓØ ÓÑ Ø Ð Ø Ø ¹ Ò ÐÝ Ö Ö ÓÐ Ò Ö Ý Ø Ñº ½ Ò Á Ç Ø Ð ØÝ ÓÙÒ ¹ÁÒÔÙØ ÓÙÒ ¹ÇÙØÔÙØ Ø Ð Øݺ ¾

31 ØØ ÒÒ Ø Ú ÒÐ Ø Ö ÔÔ Ö ÝÑÔØÓØ Ø Ð Ø Øº ØØ ÝÒ Ñ Ø Ý¹ Ø Ñ Ö ÝÑÔØÓØ Ø Ø ÐØ ÓÑ y(t) 0 ÒÖ t Ö ÐÐ ÝÒÒ Ð Ø Ðй ØÒ ÒÖ u = 0º Ö Ð Ò Ö Ý Ø Ñ ÐÐ Ö ØØ ØØ ÝÑÔØÓØ Ø Ø ÐØ Ý Ø Ñ Ö Ò Ò Ð¹ÙØ Ò Ð Ø Ðغ ¾

32 Ã Ô Ø Ð Ì ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñ ËÝ Ø Ø Ñ ØØ Ô Ø Ð Ö ØØ ØØ Ò Ä ÔÐ ¹ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ØØ Ý Ø ÑØ ¹ Ò Ø ÑÑ Ò Ò º Ë Ð Ø Ø ÐÐ ØØ ÒÚÒ Ä ÔÐ ¹ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ö ØØ Ò ÐÝ Ó Ð Ò Ò Ú Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ö ÙÒ ÖÐØØ Ú ÒØРغ ÙØÓÑ Ö Ò ØØ ÓÑÔ Ø ØØ ØØ Ö Ú Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Öº Î ÓÑÑ Ö ØØ ØÓÖ Ùع ØÖ Ò Ò ÒÚÒ Ó Ú Ü ÑÔ Ð ÓÑ ÔÖ ÒØ Ö Ø Ã Ô Ø Ð ¾º Å Ò Ö ØÓÒ ØØ Ø ÓÖ Ò Ñ Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ò Ò ÐÝ ÓÑ Ý Ö Ô ØØ Ö ÔÔ Ò Ø Ö Ø ÐÐÑÔ Ö Ô Ð Ò Ö Ø ÒÚ Ö ÒØ Ý Ø Ñ ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñµº Î Ö Ö Ñ ØØ Ö Ô Ø Ö Ò Ö ÖÙÒ Ð Ò Ö Ò Ö Ð Ö Ö Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Öº ËÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒº Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ò ÓÑ Ò Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ Ó Ö¹ Ö ÐÐ Ö ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ÔÖ Ò Ô Ò Ö Ð Ò Ö Ý Ø Ñº Å Ø Ñ Ø Ø Ò Ú Ö Ú ØØ ÓÑ L{a 1 y 1 (t)+a 2 y 2 (t)} = a 1 Y 1 (s)+a 2 Y 2 (s) Ö Ú Ö Ò º Ø ÐÐ Ö ØØ L{ dy } = sy(s) y(0)º Ö Ö ÓÖ Ò Ò Ò dt Ö Ú ØÓÖ ÐÐ Ö ØØ L{y (k) } = s k Y(s) s k 1 y(0) s k 2 y (1) (0)... y (k 1) (0) Ç Ø Ò Ñ Ò ÒØ ØØ Ø Ý Ø Ñ Ñ Ò Ö Ø Ö Ñ Ö Ú Ð Ú Ò ¹ ÐÝ Ò» ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ö Ò ÓÑ Ú ÒÐ ØÚ Ò Ö ÓÑ t = 0) Ú Ð Ø ÒÒ Ö ØØ ÝÒÒ Ð ÚÖ Ò Ö y Ó ÐÐ Ö Ú ØÓÖ Ö ÒÓÐк ¹ Ø Ö ÓÑ Ý Ø Ñ Ø Ö Ð Ò ÖØ Ö Ø ÒØ ÐÐ Ö Ò ÓÒ ÖÒ Ò Ò ØØ ÒØ ØØ y(0) = 0 Ú Ò ØÖ Ø y ÓÑ ÚÚ Ð Ö ÖÒ Ò Ö Ø ÔÙÒ Øº ÒØ Ò Ò Ö ØØ L{y (k) } = s k Y(s) ÁÒØ Ö Ø ÓÒº Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÔÐ Ò Ø ÐÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÑÒ Ò ØØ L{ t 0 y(τ)dτ} = 1 s Y(s) ¾

33 ÐØÒ Ò º Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÑÒ Ò Ú Ö Ö ÑÓØ Ò ÐØÒ Ò Ø ÓÑÒ Ò Ú L 1 {F(s)G(s)} = t 0 f(τ)g(t τ)dτ Î ÐÐ ÒÙ ØØ Ò Ö ÔÔ ØØ Ý Ø ÑØ Ò ÑÑ Ò Ò º º½ Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ø ÓÒØ ÒÙ ÖРݹ Ø Ñ Î ÙØ Ö ÖÒ Ò ÐÐÑÒÒ Ð Ò Ö Ø ÒÚ Ö ÒØ µ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò d n y(t) d n 1 y(t) d m u(t) dt n +a 1 dt n a n y(t) = b 0 dt m +b d m 1 u(t) 1 dt m b m u(t) º½µ Ö Ú ÖÚ Ö ØØ m n Ö Ð Ö Ò Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ÓÑÑ Ö Ò Ö Ô ØРصº ÇÑ Ñ Ò ÖÙØ ØØ Ö ØØ Ý Ø Ñ Ø Ö Ú Ð Ú t = 0 y Ó u Ó ÐÐ Ö Ö Ú ØÓÖ Ö ÝÒÒ Ð ÚÖ Ø ¼µ Ð Ö Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ú º½µ (s n +a 1 s n a n )Y(s) = (b 0 s m +b 1 s m b m )V(s) º¾µ Ö Y(s) Ó V(s) Ö Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ ÖÒ Ú Ò Ð ÖÒ y(t) Ó u(t)º ËÝ Ø Ñ Ø Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ G(s) ÒÙ ÒÓÑ ØØ Ð ÚÓØ Ò Ñ ÐÐ Ò Y(s) Ó V(s) ÓÑ G(s) = Y(s) V(s) = b 0s m +b 1 s m b m s n +a 1 s n a n º µ Ø Ö Ó Ú ÒÐ Ø ØØ ÓÖÑÙÐ Ö º µ ÒÐ Ø Y(s) = G(s)V(s) Ø Ú ÐÐ Ú Ò Ø ÐÐ Ò Ö Ò Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÑ ØØ Ò Ø ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ ¹ Ö Ó Ö Ø Ö Ð Ð Ò Ö Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ö Ñ Ö Ñ Ø Ö ÙÖ Ðµº ËÖ ÐØ Ø ÐÐ Ò ÖØØ ÓÑÑ Ö ÒÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ G(s) Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Óѹ ÔÐ Ü Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ò Ú Ö ÚÖ ØØ Ð Ö Ø Ø ÓÑÒ Ò Ñ Ò ÐØØ ÓÑ Ñ Ò Ø Ö Ú Ò Ú Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Òº Ò ÒÒ Ò ÑÝ Ø ØÓÖ Ö Ð Ñ ØØ ÒÚÒ Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÑ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ú ØØ Ð Ò ÖØ Ý Ø Ñ Ö ØØ Ò Ö Ø ÑÝ Ø Ò ÐØ ØØ Ý ÓÔ ØÓÖ Ý Ø Ñ Ú ÑÒ Ð Ý Ø Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Öº ¾

34 Î ÐÐÙ ØÖ Ö Ö Ö ÔÔ Ø Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ð Ò Ü ÑÔ Ð Ü ÑÔ Ð º½º Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö¹Ñ Ý Ø Ñ Ø Ü ÑÔ Ð ¾º¾ ØÖ Ø Ü ÑÔ Ð ¾º¾ Ö Ò Ñ m Ò Ò Ö Ó Ò ÑÔ Ö ÙÒ Ö ÒÚ Ö Ò Ú Ò ÝØØÖ Ö Ø F d º Å Ò ÔÓ Ø ÓÒ Ð Ö ÒØ Ð Ú Ø Ó¹ Ò Ò mÿ(t)+bẏ(t)+ky(t) = F d (t) ÐÐ Ö Ò ÓØ ÓÑ ÓÖÑÙÐ Ö Ø ÿ(t)+ b mẏ(t)+ k m y(t) = 1 m F d(t) Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö Ú ÙØØÖÝ Ø ÓÚ Ò Ú ÒØ Ö ØØ Ý Ø Ñ Ø Ö Ú Ð Ú t = 0µ Ó Ð Ö Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÖÒ Ö Ø Ò F d Ò Ò Ðµ Ø ÐÐ ÔÓ Ø ÓÒ Ò y ÙØ Ò Ðµ ØØ ÐÐ ÐÐ Ö Ô Ò Ú ÒÐ Ö ÓÖÑ Ò G(s) = Y(s) F d (s) = 1/m s 2 +(b/m)s+k/m Y(s) = 1/m s 2 +(b/m)s+k/m F d(s) º µ ÃÒÒ Ö Ú ÐÐØ F d (t) Ó Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ F d (s) Ò Ú Ò ÐØ Ú Ò Ø ¹ ÐÐ Ú Ö ÒÚ Ö Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö ØÑÑ ÔÓ Ø ÓÒ Ò y(t) ÓÑ L 1 (Y(s))º È ÑÑ ØØ Ò Ñ Ò Ø Ö Ñ Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÐÐ Ð Ò Ö Ý Ø Ñ ÓÑ ÔÖ ÒØ Ö Ã Ô Ø Ð ¾º º½º½ ÁÑÔÙÐ Ú Ö Ó Ø Ú Ö Á ØØ Ú Ò ØØ ÐÐ Ð Ò Ò Ò Ú Ð Ò Ö Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ö Ô ¹ ÐÐ Ú Ð Ú Ò Ò Ð Ö ÙÒ Ö º ÖÒ ØÖ Ò ÓÖÑØ ÓÖ Ò Ú ØØ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ä ÔÐ ÓÑÒ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ò ÐØÒ Ò Ø ÓÑÒ Òº ÇÑ Ú ÐÐØ Ö Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ñ Ò Ø Y(s) = G(s)V(s) º µ Ä ÔÐ ÓÑÒ Ò Ò ÙØ Ò Ð Ò Ø ÓÑÒ Ò Ö Ú ÓÑ Ò ÐØÒ Ò y(t) = t 0 g(τ)u(t τ)dτ º µ ¾

35 Ö g(t) = L 1 (G(s)) Ø Ú ÐÐ Ò ÒÚ Ö Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ø ÐÐ Ú Ö ¹ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Òº ÒÒ ÖÙ Ö Ó Ø ÒÑÒ Ú Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ö ÓÑ g(τ) Ò Ö ÙÖ ÑÝ Ø Ò Ò Ð Ò u(t τ) ÐÐ Ú Ø ØÑÒ Ò Ò Ú ÙØ Ò Ð Ò y(t) Ú Ø ÔÙÒ Ø Ò tº Ò ÒÒ Ò ÒÑÒ Ò Ô Ú Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò g(t) Ö ÑÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ö ÐÐ Ö Ò ÓØ ÓÖØ Ö ÑÔÙÐ Ú Öº Î ØÒ Ö Ó ØØ Ú ÚÐ Ö Ò Ò Ð Ò ÓÑ Ò Ö ¹ ÔÙÐ u(t) = δ(t) Ó Ö y(t) = t 0 g(τ)δ(t τ)dτ = g(t) º µ Ø Ö ÓÑ Ò Ò Ð Ò Ö ¼ ÙØÓÑ τ = t Ó Ö Ò ÙÒ Ö ÑÔÙÐ Ò Ö ½º ÍØ Ò Ð Ò y(t) Ö ÐÐØ Ð Ñ Ò ÒÚ Ö Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò g(t) Ø ÐÐ Ú Ö Ö Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ò G(s) Ú Ð Ø ÑÓØ Ú Ö Ö ÒÑÒ Ò ÖÒ ÓÚ Òº Ø Ö Ò ØÙÖÐ ØÚ ÓÑ Ð Ø ØØ Ú Ö Ð Ø Ò Ò Ö Ö Ò Ò Ò Ð ÓÑ Ö Ò Ð Ö ¹ÔÙÐ Ø Ö ÓÑ ÒÒ Ö ÓÒ Ð ÑÔÐ ØÙ º Î Ñ Ò ÔÖ Ø Ò Ö Ö Ö ØØ Ô ÐÑÔÐ Ø ØØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ö Ò Ð ÑÔÙÐ Òº Î Ò Ö ÙÖ ÑÔÙÐ Ú Ö Ø ÔÖ Ø Ø Ò ØÑÑ ÒÓÑ ØØ Ò ÐØ ÜÔ Ö Ñ Òغ Î Ò ÐÝØ Ö Ò Ò Ö Ö Ø Ó Ø ØÝ Ð Ø Ò Ð Ö ØØ ÒÚÒ Ò Ð Ñ¹ ÔÙÐ Òº ËÝ Ø Ñ Ø Ø Ú Ö Ö Ô ÑÑ ØØ ÙØ Ò Ð Ò Ö ÔÓÒ Ò Ò Ð Ò u(t) Ö ØØ À Ú ¹µ Ø º ØØ Ø Ö Ù ÓÑ Ú Ú Ø Ø ÓÑÒ Ò Ð Ñ ¼ t <¼ Ø Ú ÐÐ Ý Ø Ñ Ø Ö Ú Ð µ Ó Ö ÚÖ Ø A t ¼º Ä ÔÐ ¹ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ú Ö V(s) = A º ÇÑ A ½ ÐÐ Ö Ñ Ò Ø Ø Ö ØØ Ò Ø Ø º s ÒØ ÒÙ ØØ Ú Ö ØØ Ò Ø Ø ÓÑ Ò Ò Ðº ÖÒ º µ Ö Ú Ö Ø ØØ y(t) = t 0 g(τ)dτ º µ Ø Ö ÓÑ u(t) =½ Ð Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø ¼ τ tº ÎÐ Ö Ñ Ò ØØ Ø ØØ Ô Ø Ð Ä ÔÐ ÓÑÒ Ò Ö Ñ Ò ÖÒ º µ ØØ Y(s) = G(s) 1 Ó ÖÑ ØØ s y(t) = L 1 (G(s) 1 s ) º µ Ó Ø Ö ÓÑ 1 Ä ÔÐ ÓÑÒ Ò ÑÓØ Ú Ö Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÑÒ Ò Ð ¹ s ÓÑ Ò ØÓÖ s ÑÓØ Ú Ö Ö Ò Ö Ú Ö Ò µ Ø Ú Ö Ø ÒÐ Ø Ø Ö ÓÑ y(t) = t g(τ)dτº 0 Æ Ò ÐÐ Ú ÙÒ Ö ÑÔÙÐ Ó Ø Ú Ö Ö ØØ Ô Ö Ú Ý Ø Ñ Ò ÖÒ Ã Ô Ø Ð ¾º ¼

36 Ü ÑÔ Ð º¾º ÁÑÔÙÐ Ó Ø Ú Ö Ö ÖÚÓ Ý Ø Ñ Ø Ü ÑÔ Ð ¾º µ Á Ü ÑÔ Ð ¾º ØÐÐ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò Ö ØØ Ý Ø Ñ Ö Ò Ñ ÖÓع Ö Ñ Ò ÑÓØÓÖ Ú Ò Ø Ð Ü Ðº ÇÑ Ú ÒØ Ö ØØ Ñ Ò ØÖ Ø ÑÓÑ ÒØ J =½ Ñ 2»Ö Ó Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ó ÒØ Ò B =½ Ñ 2»»Ö ÒÐ Ø ¾º½½µ θ(t)+ θ(t) = T d (t) Ó ÒÓÑ Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÖÒ Ø Ö Ú Ò ÑÓÑ ÒØ Ø T d Ø ÐÐ Ú Ò ÐÐ Ø θ ÓÑ G(s) = θ(s) T d (s) = 1 s(s+1) Ø Ú ÐÐ 1 θ(s) = G(s)T d (s) = s(s+1) T d(s) Ö Ø ÒØ Ö Ú ØØ Ø Ö Ú Ò ÑÓÑ ÒØ Ø T d ÖÒ ÑÓØÓÖÒ Ö Ò ÑÔÙÐ º ÐÐ Ö ÒÐ Ø º µ ØØ θ(t) = g(t) = L 1 (G(s)) = L 1 1 ( s(s+1) ) = 1 e t º½¼µ Á ÙÖ º½ Ú ØØ ÑÔÙÐ Ú Ö Ó Ö ÙÐØ Ø Ø ÒÒ ÒØÙ Ø ÚØ Ý Ð Ø Ö Ñ¹ Рغ Å Ò Ò Ñ Ö ØØ Ð Ô Ò ÑÔÙÐ Ñ ØØ ÓÖØÚ Ö Ø Ð Ô ÑÓØÓÖÒ Ó ÙÒ Ö ØØ ÓÖØ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò Ö Ö ØØ ÚÖ Ò ÑÓÑ Òغ Á ØØ ÒØ ÐÐ Ö Ù Ð Ø Ò ÓÖØÚ Ö Ø ÖÓØ Ö Ö ØØ Ò Ø ÒÒ Ò ÓØ ÒÝØØ Ú Ò ÐÐ º ع Ø Ö Ù ÔÖ Ú ÓÑ ÙÖ Òº ØÖ Ø Ö Ú ÒÙ Ø Ú Ö Ø Ú Ø Ú ØØ ØØ Ú θ(t) = L 1 ( G(s) s ) = 1 1 L 1 ( s(s+1) s ) [ ] È ÖØ Ð Ö ¹ = = L 1 ( 1 ÙÔÔ ÐÒ Ò s 1 2 s(s+1) ) = L 1 ( 1 1 ( s 2) L 1 s(s+1) ) = = t (1 e t ) º½½µ Ú Ð Ø Ó Ö Ý Ð Ø Ö ÑРغ ËØ Ø ÑÓØ Ú Ö Ù Ú ØØ Ú ÐØ Ö ÑÓØÓÖÒ Ò Ö Ö ØØ ÓÒ Ø ÒØ ÑÓÑ ÒØ Ø Ú ÐÐ ÑÓØÓÖÒ Ö Ô Ð Ò Ð Ø Òº Å Ò Ö Ù Ð Ø Ò ÖÓØ Ö ÖÙÒØ Ò Ü Ð Ó Ú Ò ÐÐ Ø ÖÑ º ØØ ÑÓØ Ú Ö Ù Ö Ú ØØ Ð Ò Ò Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ò Ö Ò t¹ø ÖÑ Ó ÖÑ Ö ÑÓØ ÓÒ Ð Ø Ò Ñ Ø Òº Ö Ø ½¼ ÙÒ ÖÒ Ú Ø Ú Ö Ø ÒÒ ÔÐÓØØ ÙÖ º¾º ½

37 1.2 1 Slutlig nivå för impulssvaret 0.8 Vinkelläge θ [rad] tid [s] ÙÖ º½ ÁÑÔÙÐ Ú Ö Ö Ý Ø Ñ Ø Ñ ÖÓØ Ö Ò Ñ º Vinkelläge θ [rad] tid [s] ÙÖ º¾ ËØ Ú Ö Ö Ý Ø Ñ Ø Ñ ÖÓØ Ö Ò Ñ º Ü ÑÔ Ð º º ÁÑÔÙÐ Ó Ø Ú Ö Ö Ö¹Ñ Ý Ø Ñ Ø Ü ÑÔ Ð º½ ÒØ ÒÙ ØØ Ñ Ò Ö Ú Ø Ò Ö¹Ñ Ý Ø Ñ Ø Ö m =½ º Ö¹ ÓÒ Ø ÒØ Ò k =½» 2 Ú Ð Ø Ö ÑÑ Ò Ø ÓÑ Æ»Ñ Ø Ú ÐÐ Ò Ö Ø ÖÒ Ú Ö Ö Ñ Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ö ÙØ Ö Òµ Ó ÑÔÒ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò b =¼º» º ËØØ Ö Ú Ò ÓÒ Ø ÒØ Ö ÚÖ º µ Ñ Ò Ø Y(s) = 1 s s+1 F d(s) º½¾µ ¾

38 ÒØ Ö Ú ÒÙ ØØ Ö Ö Ø Ò F d (t) Ö Ò ÑÔÙÐ ÒÐ Ø Ö ÓÒ Ñ Ò Ø ÓÚ Ò Ñ ÐÔ Ú Ò Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑØ ÐÐ ØØ y(t) = g(t) = L 1 (G(s)) = L 1 1 ( s s+1 ) 1 = e 0.25t sin( t) º½ µ ØØ ÑÔÙÐ Ú Ö Ú ÙÖ º º Ê ÙÐØ Ø Ø ÒÒ ÒØÙ Ø ÚØ Ö ÑÐ Ø Ö ØØ Ý Ø Ñ ÓÑ Ñ Ò Ð Ö Ô Ò ÓÖØÚ Ö Ö Ø ÑÔÙÐ Ö Ñ Ò ÐÑÒ ØØ Ñ¹ Ú Ø Ð y =¼µ Ñ Ò ÑÒ Ò ÓÑ Ú ÒØÙ ÐÐØ Ú Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÒÖ ÒÚ Ö Ò Ú ÑÔÙÐ Ò ÚØ Øº Position y(t) [m] Jämviktsnivå tid [s] ÙÖ º ÁÑÔÙÐ Ú Ö Ö Ö¹Ñ Ý Ø Ñ Øº È ÑÑ ØØ Ò Ñ Ò Ñ ÐÔ Ú Ø ÐÐ Ò Ö Ò ÙØ Ø Ú Ö Ø ÓÑ y(t) = L 1 ( G(s) s ) = 1 1 L 1 ( s s+1s ) º½ µ Ú Ð Ø Ó Ö ÙÔÔ ÓÚ Ø ÐÐ Ò Ð Ö Ò Ò Ö ÓÑ Ú ÓÔÔ Ö Ú Ö Öº ËØ Ú Ö Ø ÒÒ Ó ØØ ÙÖ º º Ú Ò ØØ Ö ÙÐØ Ø ÒÒ ÒØÙ Ø ÚØ Ö ÑÐ Ø Ð Ö Ñ Ò Ô Ò ÓÒ Ø ÒØ Ö Ö Ø Ö Ù Ñ Ò ÐÑÒ ØØ ÑÚ Ø Ð Ó ÙØÓÑ Ö Ð ÙØ Ö Òº Å Ò Ò Ö Ú Ú Ø Ò Ö Ñ ØØ ÙÒ Ö Ý Ø Ñ Ø Ö ÔÓÒ Ö Ò Ð Ò Ò Ð Ö ÓÑ ÑÔÙÐ Ö Ó Ø º ØØ Ú Ö Ô Ö Ò Ö ØØ Ø Ö ÐØØ ØØ ÙØ ÖÒ Ö ÔÓÒ Ö Ö Ð Ú Ò Ô Ö Ó Ý Ø Ñ Òº Î Ú Ö Ø Ü ÙÖ ÑÝ Ø ÑÔÙÐ Ú Ö Ø Ö Ö¹Ñ Ý Ø Ñ Ø Ó ÐÐ Ö Ö ÒÒ Ò Ø Ø Ö Ö

39 1.5 1 Position y(t) [m] 0.5 Slutlig nivå för stegsvaret tid [s] ÙÖ º ËØ Ú Ö Ö Ö¹Ñ Ý Ø Ñ Øº Ø ÐÐ ÑÚ Ø Ð Ø Ó Ú Ú Ö ÙÖ Ò Ø Ñ Ò ÒÖ ÐÙØÚÖ Ø Ö Ø Ú Ö Ø ËÚ Ö Ø Ð Ö Ò ØÙÖÐ ØÚ Ý Ø Ñ Ø ØÖÙ ØÙÖ Ó ÓÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÚÖ Òº ÎØ ÖÒ Ü ÑÔÐ Ò ÓÚ Ò Ò Ñ Ò Ó Ò ÓÚ Ø Ú ØØ Ò Ö ÐÐØ Ö ÑÚ Ö Ö ØØ Ö Ú Ó Ò ÐÝ Ö Ò Ô Ö Ó ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ó Ø Ö Ó Ú Ò Ø Ú Ò ØØ ÐÐ Ò Ð ÓѺ º½º¾ ÈÓÐ Ö ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ó Ø Ð Ø Ø Ö Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñ ÒØ ØØ Ú Ö ØØ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñ Ñ Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò G(s) = B(s) A(s) = b 0s m +b 1 s m b m s n +a 1 s n a n ËÝ Ø Ñ Ø ÔÓÐ Ö Ò Ö ÓÑ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ø ÐÐ Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÒÑÒ ÖÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ú ÐÐ Ö ØØ ÖÒ Ø ÐÐ s n +a 1 s n a n = 0 ÓÑ Ó ÐÐ Ò Ö Ø Ö Ø Ú Ø ÓÒ Òº ËÓÑ Ú Ò ÖØ ÐÐ ÙØ Ö Ö ÔÓÐ ÖÒ Ð Ò ØÓÖ ØÝ Ð Ö Ø ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ø ÙÔÔ Ö Ò º ÆÓÐÐ ØÐÐ Ò Ö ØØ Ý Ø Ñ Ô ÑÑ ØØ Ú ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ø ÐÐ Ú Ö Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ØÐ ÖÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ú ÐÐ Ö ØØ ÖÒ Ø ÐÐ b 0 s m +b 1 s m b m = 0 Î ÓÑÑ Ö Ö ÑÐ ÒØ ØØ ÙØ Ö ØÝ Ð Ò Ú ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ö ÐØ ÑÝ Øº

40 Ö ØØ ÐÐÙ ØÖ Ö Ö ÔÔ Ò ÔÓÐ Ö Ó ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ø ØØ Ö Ú Ô ØØ Ò ÐØ Ü¹ ÑÔ Ð Ü ÑÔ Ð º º ÈÓÐ Ö Ó ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ö Ý Ø Ñ Ø Ñ Ñ ÓÑ ÖÓع Ö Ö Ô Ø Ð Ü Ð Ü ÑÔ Ð º¾µ Á Ü ÑÔ Ð º¾ ÓÒ Ø Ø Ö ØØ ÖÚÓ Ý Ø Ñ Ø Ö ØØ Ú Ø Ú Ð Ú Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ö Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò 1 G(s) = s(s+1) ËÝ Ø Ñ Ø ÔÓÐ Ö ÐÐØ Ú Ú Ø ÓÒ Ò s(s+1) =¼ Ø Ú ÐÐ ÔÓÐ ÖÒ Ö s =¼ Ó s = ½º Ø Ö ÓÑ Ú ÒØ Ö Ò ÓØ ÔÓÐÝÒÓÑ ØÐ Ö Ò Ö Ý Ø Ñ Ø Ò ÒÓÐÐ ØÐÐ Òº Á Ú Ò ØØ ¾º ÙØ Ö ÓÖØ Ø Ð Ø Ø Ö ÔÔ Øº Î ÐÐ Ö ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ú Ð Ú ÐÐ ÓÖ ØØ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö ÓÐ Ò Ø Ó¹ Ò ÖÒ º Å Ò Ò Ú ØØ Ö Ö Ð ÖØ Ò ÙÖ Òµ ØØ Ð Ò ÐÐ Ö ÐÐ Ö ØØ Ý Ø Ñ Ö Ò Ò Ð¹ÙØ Ò Ð Ø ÐØ ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ ÐÐ ÔÓÐ Ö Ö ØÖ Ø Ò Ø Ú Ö Ð Ðº ØØ Ý Ø Ñ Ö ÐÐ ÔÓÐ Ö Ö ØÖ Ø Ò Ø Ú Ö Ð Ð Ö Ó ÝÑÔØÓØ Ø Ø ÐØ Ú y(t) 0 ÒÖ t Ö ÐÐ ÝÒÒ Ð Ø ÐÐ ØÒ ÒÖ u = 0º ÀÖÒ Ø ÐÐ Ú ÙØ Ö Ò Ø Ð Ø Ø Ò ÐÝ Ö Ý Ø Ñ Ò Ü ÑÔ Ð º¾ Ó Ü ÑÔ Ð º º Ü ÑÔ Ð º º ËØ Ð Ø Ø Ò ÐÝ Ö ÖÚÓ Ý Ø Ñ Ø Ü ÑÔ Ð º¾ Î Ö Ú Ø ØØ ÖÚÓ Ý Ø Ñ Ø Ñ Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò G(s) = 1 Ö Ò s(s+1) ÔÓÐ s =¼ Ó Ò s =¹½º Ø Ö ÓÑ Ò Ú ÔÓÐ ÖÒ Ö Ð Ð Ö ÒÓÐÐ Ñ Ò Ò Ò Ö Ö Ò ØÖ Ø Ò Ø Ú Ö Ð Ð Ö Ý Ø Ñ Ø Ò Ò Ð¹ÙØ Ò Ð Ø Ðغ ØØ Ý Ø Ñ Ø ÒØ Ö Ò Ò Ð¹ÙØ Ò Ð Ø ÐØ Ò Ú ÐØØ ÙÖ º¾º ÀÖ Ö Ú Ò ÓÒ Ø ÒØ ÖÒ Ò Ò Ð u =½µ Ñ Ò Ý Ø Ñ Ø ÙØ Ò Ð ÚÜ Ö Ð Ø Ò t Öº ØØ Ö ÔÖ Ø Ú Ö Ú Ø Ø Ö Ø Ö ÓÑ Ú ÒØ Ö ØØ ÑÓØÓÖÒ Ö Ö Ú Ö Ñ ØØ ÓÒ Ø ÒØ ÑÓÑ ÒØ ÓÑÑ Ö Ñ Ò Ð Ø Ò ØØ ÓÖØ ØØ ÖÓØ Ö Ó Ú Ò ÐÒ ÓÑÑ Ö ÖÑ ØØ º Ü ÑÔ Ð º º ËØ Ð Ø Ø Ò ÐÝ Ö Ö¹Ñ Ý Ø Ñ Ø Ü ÑÔ Ð º Î Ö ÓÒ Ø Ø Ö Ø ØØ ÚÖØ Ý Ø Ñ Ö Ò Ñ Ú Ö ÙÔÔ Ò Ò Ö Ó Ò ÑÔ Ö Ö ØØ Ú Ø Ú Ð Ú Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò G(s) = 1 s s+1

41 Ó Ò Ö Ø Ö Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ö Ú ÙØØÖÝ Ø s s+1 ¼º Ä Ö Ñ Ò ÒÒ Ú Ø ÓÒ ÔÓÐ ÖÒ s = 1 4 ±i 15 4 Ó Ý Ø Ñ Ø Ö ÖÑ Ò Ò Ð¹ÙØ Ò Ð Ø ÐØ Ø Ö ÓÑ Ú Ö ØØ ÓÑÔÐ Ü ÓÒ¹ Ù Ö Ø ÔÓÐÔ Ö Ñ ØÖ Ø Ò Ø Ú Ö Ð Ð Ó ÖÚ Ö ØØ ÓÑÔÐ Ü ÔÓÐ Ö ÐÐØ Ö ÓÑÔÐ Ü ÓÒ Ù Ö µº ÂÑ Ö Ú ÒÙ Ö ÙÐØ Ø Ø ÖÒ Ø Ð Ø Ø Ò ÐÝ Ò Ñ Ý Ø Ñ Ø Ø Ú Ö ¹ ÙÖ º µ Ö Ú ØØ ÚÐ Ú Ö Ò ØÑÑ Öº Ö Ò ÓÒ Ø ÒØ ÖÒ Ò Ò Ð Ö Ö Øµ Ö ÐÐ Ò ÖÒ ÙØ Ò Ð ÔÓ Ø ÓÒµº º½º Ë Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò ÔÓÐÐ Ó Ö ÔÓÒ Ø ÔÐ Ò Ø Á Ö Ò Ú Ò ØØ Ö Ú ÙØ Ö Ø Ú ÓÑ Ò Ö ØØ Ý Ø Ñ ÒØ Ö Ø ¹ Ðغ Ö Ò Ö ÒÙ ÙÖ ÔÓÐ ÖÒ Ð Ø ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÔÐ Ò Ø ÔÚ Ö Ö Ö ÔÓÒ Ò Ø ÔÐ Ò Ø Ö ØØ Ø ÐØ Ý Ø Ñº Î ÐÐ Ø ÐÐ ØØ Ö Ñ ØÙ Ö ØØ Ò ÐØ Ü ÑÔ Ðº Ü ÑÔ Ð º º Ë Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò ÔÓÐÐ Ó Ø Ú Ö Ö ØØ Ö Ø ÓÖ ¹ Ò Ò Ò Ý Ø Ñ ÒØ ØØ Ú Ö ØØ Ö Ø ÓÖ Ò Ò Ò Ý Ø Ñ Ú Ø ÓÑ Y(s) = a s+a V(s) Ö a Ö Ò ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Öº ÄØ ØØ Ú ÐØ Ö a ÒØ ÚÖ Ò ½ ¾ Ó Ú Ð Ø ÑÓØ Ú Ö Ö ØØ Ý Ø Ñ Ø ÔÓÐ ÓÑÑ Ö ØØ Ð ¹½ ¹¾ Ö Ô Ø Ú ¹ º Á ÙÖ º ÒÒ Ø Ú Ö Ø Ö ØÖ ÐÐ Ò ÔÐÓØØ º ÎÖ ÙÖ Ò Ò Ñ Ò ÙØÐ ØØ Ø Ú Ö Ø Ð Ö Ò Ö Ù ÐÒ Ö ÖÒ ÓÖ Ó ÔÓÐ Ò Ð Öº Å Ò Ö Ó ØØ Ý Ø Ñ Ø Ø Ú Ö ÒØ Ö Ó ÐÐ Ø ÚØ Ö Ò ÓØ Ú Ð Ú Ý Ø ÑÔÓк ÆÑÒ Ò Ó ØØ ÓÑ Ñ Ò ÚÐ Ö a ¼ Ò ÔÓÐ Ö ÐÚÔÐ Ò Ó Ð Ò Ò Ò Ö ÑÓØ ÓÒ Ð Ø Òº ÖÒ ØØ Ü ÑÔ Ð Ò Ñ Ò Ö ÐÙØ Ø Ò ØØ Ù ÐÒ Ö ÖÒ ÓÖ Ó ØØ Ý Ø Ñ ÔÓÐ Ö Ð Ö ØÓ Ò Ö Ö Ý Ø Ñ Ø Ö ÔÓÒ Ú Ð Ø Ó Ö Ò Ò Ö ÐÐ ÒÒ Ò º Ø Ö Ó Ò Ö ÐÐØ ÒØ ØØ Ö ÔÓÒ Ò ÖÒ ØØ Ý Ø Ñ Ñ Ö ÒØ Ö ÐÐ Ò Ø Ú ÔÓÐ Ö ÒØ ÙÔÔÚ Ö Ò Ö Ó ÐÐ Ø ÓÒ Öº Î ÐÐ ÖÒ Ø Ø ØØ Ô ØØ Ý Ø Ñ Ñ ÑÑ ØÖÙ ØÙÖ ÓÑ ÚÖØ Ö¹Ñ Ý Ø Ñ Ø Ú ÐÐ ØØ Ý Ø Ñ Ñ ÓÑÔÐ Ü ÓÒ Ù Ö ÔÓÐ Öº

42 a=3 y(t) 0.6 a=2 0.4 a= t [s] ÙÖ º ËØ Ú Ö Ö Ý Ø Ñ Ø a s+a Ö ÓÐ ÚÖ Ò Ô aº Ü ÑÔ Ð º º Ë Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò ÔÓÐÐ Ó Ø Ú Ö Ö ØØ Ò ÐØ Ò ¹ Ö ÓÖ Ò Ò Ò Ý Ø Ñ Î ÙØ Ö ÖÒ Ý Ø Ñ Ø b Y(s) = s 2 +2s+b V(s) Ö b Ö Ò ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Öº Î ÚÐ Ö ÒÙ b =½ ¾ ½¼ Ú Ð Ø ÑÓØ Ú Ö Ö ØØ Ý Ø Ñ Ø ÔÓÐ Ö ÑÒ Ö s =¹½ s =¹½±i s =¹½± 3i Ö Ô Ø Ú s =¹½± iº ËØ Ú Ö Ò Ö ÝÖ ÐÐ Ò ÒÒ ÔÐÓØØ ÙÖ º º y(t) b= b=4 0.4 b=2 0.2 b= t [s] ÙÖ º ËØ Ú Ö Ö Ý Ø Ñ Ø b s 2 +s+b Ö ÓÐ ÚÖ Ò Ô bº ËÓÑ Ø ÖÖ Ü ÑÔÐ Ø ØØ Ò Ø Ò Ö ÔÓÒ Ò Ö Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓÐ Ò Ó ÓÖ Ó Ø ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÔÐ Ò Ø Öº Ò Ò Ö ÒØÖ ÒØ

43 Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ñ Ò Ò Ö Ö ØØ Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÖÒ Ø Ú Ö Ø Ö ÔÓÐ Ò Ñ ¹ ÒÖ Ð Ð Ö Ø ÖÖ Ö Ð Ø ÚØ Ö Ð Ð Òº Î ÐÐ Ò Ò ÑÑ Ò ØØ Ú Ú ØØ Ü ÑÔÐ Ò ÓÚ Ò Ñ Ö ¹ Ò Ö ÐÐ ÓÖ Ð º Ê ÔÓÒ Ò Ô Ò Ò Ð Ò Ö ØØ Ø ÐØ Ý Ø Ñ Ö Ò Ö Ù ÐÒ Ö ÖÒ ÓÖ Ó Ý Ø Ñ Ø ÔÓÐ Ö Ð Öº ØØ Ý Ø Ñ Ñ Ö ÒØ Ö ÐÐ ÔÓÐ Ö Ö ÒØ Ó ÐÐ Ø Úغ ØØ Ö Ø ÓÖ Ò Ò Ò Ý Ø Ñ Ö Ö Ö Ð Ö Ó ÐÐ Ø Úغ ÂÙ Ø ÖÖ ÔÓÐ ÖÒ ÓÑÔÐ Ü Ð Ö Ö ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ò Ö ÐÐ Ð Ò ØÓ Ñ Ö Ó ÐÐ Ø ÚØ Ø Ö Ý Ø Ñ Øº ÒÓÑ ØØ ØÙ Ö ØØ Ø Ú Ö ÐÐ Ö ÑÔÙÐ Ú Ö Ö ØØ Ý Ø Ñ Ò Ñ Ò ÐÐØ Ö Ú ÐÙØ Ø Ö ÓÑ Ý Ø Ñ Ø ÓÖ Ò Ò Ó Ú Ð Ò ØÝÔ Ú ÔÓÐ Ö Ø Ö ØØ Ú Ø Ø Ø Ø ÐÐ Ö ØØ Ð Ö Ý Ø Ñ Øº Á ÙÖ Ò Ê Ð ÖØ Ò ÓÑÑ Ö Ö ÓÒ Ñ Ò Ò ÓÚ Ò ØØ Ö Ñ ØÐÐ Ô ØØ Ñ Ö ÓÖÑ ÐÐØ Øغ º½º ØØ ÖÐ Ö Ò Ö Ö Ò Ö Ð Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ö Ø Ø Ö Ú Ö Ò Ö Ð ÖÒ Ö Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ø Ö ÓÑÑ Ö Ó Ø Ú Ò ÐÝ Ö Ú ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñ Ú ÐÐ Ö Ø ÙÔÔ ÝØØ ÖÐ Ö Ò Ö Ú Ø Ö Ò Ö Ð Ö ËÐÙØÚÖ Ø ÓÖ Ñ Øº ÒÒ Ø ÒÚÒ Ö ØØ ØÙ Ö ØØ Ý Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÓÒÖ µ Ò Ô Ö Ø Ú ÐÐ Ú Ý Ø Ñ Ø ÙØ Ò Ð ÓÒÚ Ö Ö Ö ÑÓØ t º Ö Ò Ò Ð y(t) ÐÐ Ö ØØ limy(t) = lim sy(s) t s 0 Ò Ú Ø ÖÙØ ØØÒ Ò Ö ØØ ÐÙØÚÖ Ø ÓÖ Ñ Ø ÐÐ ÐÐ Ö ØØ ÖÒ ¹ ÚÖ Ø y( ) Ú Ö Ð Ò Ü Ø Ö Ö Ú Ð Ø ÐÐ Ö y(t) ÓÒÚ Ö Ö Ö ÑÓØ ØØ ÓÒ Ø ÒØ ÚÖ º ËÐÙØÚÖ Ø Ö Ò Ø ÒÚÒ Ö Ø Ð Ý Ø Ñº ÁÒ ¹ Ò Ð Ò Ø ÐÐ Ý Ø Ñ Ò Ö ÐÐ Ö ÒØ Ú Ö Ò ØØ ÙØ Ò Ð Ò y Ó ÐÐ Ö Ö Ó ÑÔ Ø ÐÐ Ö Ú Ö Ö Öº Ç ÖÚ Ö Ö ÐØ ØØ ÐÙØÚÖ Ø ÓÖ Ñ Ø ÒØ ÐÐ Ö ÒÙ Ò Ð Ö ÒÚÒ ÓÑ Ò Ò Ð Ø ÐÐ ØØ Ð Ò ÖØ Ý Ø Ñº ÝÒÒ Ð ÚÖ Ø ÓÖ Ñ Øº Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ö Ò Ò Ð Ö Ú Ò Ò ÝÒÒ Ð ÚÖ Ø ÓÖ Ñ Ø ÒÚÒ Ö ØØ ØÑÑ Ò Ð Ò ÚÖ t 0 + ÒÐ Ø lim t 0 +y(t) = lim sy(s) s Ú Ð Ø Ö ØÝ Ð Ø Ò Ð Ö Ò ØØ ØÑÑ y(t) Ö Ò Ó ØÝ Ð Ø t Ó Ò Ô ÐÐØ ØÑÑ y(0)º Ç ÖÚ Ö ØØ Ò ÑÒ Ø ÝÒÒ Ð ÚÖ Ø ¹ ÓÖ Ñ Ö Ñ Ú Ò Ø ÓÖ Ñ Ø ÒØ Ö Ú ÓÑ Ò Ö t = 0 ÙØ Ò

44 t 0 + º Ø Ö ÐÐØ ÒØ ÝÒÒ Ð Ú ÐÐ ÓÖ Ø Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò Ñ Ò Ò Ö Ñ ÙØ Ò ÓÑ y(t) ÙÔÔØÖ Ö Ô ØØ ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø Ú t 0 + º Ì Ü Ò Ñ Ò ÙÒ Ö ÓÑ y(t) Ö Ò Ø ÖÒ Ö Ò t = 0º Ö ÙØÒ Ò Ö ÐÒº ÅÒ Ú Ö Ð Ý Ø Ñ ÒÒ ÐÐ Ö Ø Ö Ö Ò Ò Ö Ø Ú ÐÐ Ý Ø Ñ Ø Ú Ö Ö Ö Ø Ø Ö Ò Ú Ø º ØØ ÐÐ Ö Ø Ü ÑÒ Ý Ø Ñ ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ò ÓÒ ÓÖÑ Ú ØÖ Ò ÔÓÖغ Ì Ü Ù Ò Ø Ö Ø Ò Ú Ø ÖÒ ØØ Ø ÖÑÓ Ø Ø Ò Ò Ö Ø ÐÐ ØØ Ø Ò Ú ÖÒ Ö Ò Ò ÒÖ Ù Ö Òº ÒØ ØØ Ú Ö ØØ Ý Ø Ñ Ñ Ò Ö Ò Ø Ö Ö Ò Ò y(t) = u(t T d ) Ø Ú ÐÐ T d Ö Ò Ø ÓÑ Ý Ø Ñ Ø Ö Ö Ö ÒÚ Ö Ò Ú Ò Ò Ð Òº ÐÐ Ö ØØ Y(s) = e st d V(s) ÐÐØ Ö Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ö Ò Ö Ò Ø Ö Ö Ò Ò T d Ð Ñ e st d º Î ÐÐ Ö ÐÐÙ ØÖ Ö ÐÙع Ó ÝÒÒ Ð ÚÖ Ø ÓÖ Ñ Ø ØØ Ü ÑÔ Ð Òѹ Ð Ò Ö¹Ñ Ý Ø Ñ Øº Ü ÑÔ Ð º º ËÐÙØ Ó ÝÒÒ Ð ÚÖ Ö Ö¹Ñ Ý Ø Ñ Ø Ü¹ ÑÔ Ð º Á Ü ÑÔ Ð º ÓÒ Ø Ø Ö ØØ Ö¹Ñ Ý Ø Ñ Ø Ö ØØ Ú Ø Ú Ð Ú Ô ¹ Ö Ñ ØÖ Ö Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò Ñ ÐÔ Ú Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ Ö Ú ÓÑ 1 Y(s) = s s+1 F d(s) ÇÑ Ú ÚÐ Ö Ò Ò Ð Ò ÓÑ ØØ Ò Ø Ø F d (s) = 1 Ò Ú Ä ÔÐ ÓÑÒ Ò s ÙØØÖÝ Ø Ú Ö Ø ÓÑ 1 1 Y(s) = s s+1s ÒØ ÒÙ ØØ Ú Ö ÒØÖ Ö Ú ØØ Ö Ñ Ø ÐÙØ ÐØ Ø Ø ÓÒÖ µ ÚÖ Ø Ô ÔÓ Ø ÓÒ Ò y Ø Ú ÐÐ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ò Ð Ò Ú Ö Ø ÙÒ Ö ÓÒ Ð Ø ÐÒ Ø º ËÐÙØÚÖ Ø ÓÖ Ñ Ø Ö Ø ÐÐÑÔÐ Ø Ó Ú Ö ØØ lim y(t) = lim sy(s) = lim s 1 1 t s 0 s 0 s s+1s = 1 = lim s 0 s s+1 = 1 Ò Ø Ø Ø Ú Ö Ø ÙÒ Ö ÐÒ ÓÒ Ð µ Ø Ö ÐÐØ Ñ Ò ÔÓ Ø ÓÒ Ú Ö ½ Ñ Ø Ö ÖÒ ÒÓÐÐÔÙÒ Ø Òº Á ÙÖ º Ö Ú Ó ØØ ØØ Ö Ú Ö ÐÐ Ø Ö Ò Ø Ö ¾ ÙÒ Ö Ö Ñ Ò ØÝ Ð Ø ÚÒ Ø Ò ÑÓØ Ò ÔÓ Ø ÓÒ ½ Ñ Ø Ö ÖÒ ÒÓÐÐÔÙÒ Ø Òº

45 ÝÒÒ Ð ÚÖ Ø ÓÖ Ñ Ø Ö ÒÙ lim t 0 +y(t) = lim sy(s) = lim s 1 s s s s+1 1 = lim s s s+1 = 0 1 s = Ú Ð Ø Ó Ú Ö Ò ØÑÑ Ö Ñ Ö ÙÐØ Ø Ø ÙÖ º Ø Ú Ö Ø Ö Ò ÓÔÔ Ö Ò Ú ÖÐÓÔÔ Øº Ü ÑÔ Ð º½¼º ØØ ÖÐ Ö ØØ Ü ÑÔ Ð Ô ÝÒÒ Ð ÚÖ Ø ÓÖ Ñ Ø Î ÐÐ ÒÙ ØÖ Ø ØØ ÐÐ Ö Ò ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ò ÔÖ Ñ ÐÔ Ú Ø ÐÐ ÝÒÒ Ð ÚÖ Ø ÓÖ Ñ Øº Î ØÖ Ø Ö Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ú ÒØ Ö ØØ y(0) = 0º ØØ Ö y(t)+ẏ(t) = u(t)+2u(t) Y(s) = s+2 V(s) º½ µ s+1 ËØ Ú Ö Ø u(t) Ö ØØ Ò Ø Ø Ú t = 0µ Ö ØØ Ý Ø Ñ ÒÒ Ø Ö Ú Ø ÙÖ º º Î Ö Ö Ø ÙÖ ÙÖ Ò ØØ ÐÙØÚÖ Ø Ö Ý Øµ Ö ¾ Ú Ð Ø Ú Ó utsignal y(t) t[s] ÙÖ º ËØ Ú Ö Ö Ý Ø Ñ Ø Ú Ø Ú º½ º Ò Ú Ö Ö Ô ÑÑ ØØ ÓÑ Ø Ø Ö Ü ÑÔРغ ÁÒØÖ ÒØ Ö Ö Ø ØØ ØÖ Ø ÝÒÒ Ð ÚÖ Ø Ö y(t)º ØØ Ú Ö Ö ÙÖ º Ú Ö Ð Ñ ½ ØÖÓØ ØØ Ú Ù y(0) = 0º ØØ Ò Ö Ð Ö Ñ ÝÒÒ Ð ÚÖ Ø ÓÖ Ñ Øº Î ¼

46 Ö ØØ lim t 0 +y(t) = lim sy(s) = lim s s+2 = lim s s+1 = 1 ss+2 s s+1 1 s = Ä Ò Ò Ò y(t) Ö Ö ÐÐØ ¼ Ñ Ò ÓÔÔ Ö ÓÑ Ð ÖØ Ø ÐÐ ½ t 0 + º ÒÒ ØÝÔ Ú ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ö Ò Ñ Ò ÐÐØ ÔÖ Ñ ÝÒÒ Ð ÚÖ Ø ÓÖ Ñ Øº ØØ Ü ÑÔ Ð Ô Ö ÒÒ ØÝÔ Ú ÓÔÔ Ò ÙÔÔ ÓÑÑ Ö Ð ØÖ Ö Ø Öº ÖÒ Ü ÑÔÐ Ø ÓÚ Ò Ò ØØ Ø Ú Ö Ø Ö Ò Ö ØØ ÓÔÔ ÓÑ m nº ËØÓÖÐ Ò Ô ÓÔÔ Ø Ú G( )º Ë Ú Ò Ø ØÝ Ø Ú Ò ØØ º¾º½ Ö Ò Ù ÓÒ ÓÑ ÑÓ ÐÐ Ö Ö m nº º½º ÃÐ Ö Ò Ú Ý Ø Ñ ÙØ ÖÒ Ö ÔÓÒ Ø ÔÐ Ò Ø Ö ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ð Ö Ñ Ò Ô ØÖ Ò ÒØ Ó Ø Ø ÓÒÖ Ò Ô Öº ØØ Ý Ø Ñ ÔÚ Ö Ú Ò Ò Ò Ð Ö Ö Ø ØØ Ò ÚÒ Ò Ò ÖÐÓÔÔ Ò ØÖ Ò ÒØ ÒÒ Ò Ú Ö Ò Ö Ø ÐÐ Ø Ø Ø ÓÒÖ Ø ÐÐ ØÒ Øº Î ØÖ Ò ÒØ Ò ÐÝ ÐØ Ö Ñ Ò Ö Ð Ò ÑÔÙÐ ØØ Ø ÐÐ Ö Ò Ö ÑÔ Ø Ò ÓÑ Ò Ò Ðº Á Ù Ó¹ Ò Ò Ò Ò ÐÐ Ú ØÓÖØ ØØ ÖÒ Ó Ø ÐÐ ÐÐ Ø Ñ ØØ Ø ÓÑ Ò Ò Ð Ø ÐÐ ØØ Ø ÐØ Ý Ø Ñ ÒÓØ Ö ØØ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ò Ò ÒØ ÖÓÖ Ú ØÖ Ò ÓÖÑÑ ¹ ØÓ ÖÒ Ó ÖÑ ÐÐ Ö Ú Ò Ö ÓÐ Ò Ö Ý Ø Ñµº ØØ ØÝÔ Ø Ø Ú Ö Ö ØØ Ø ÐØ Ý Ø Ñ Ú ÙÖ º Ó Ð Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ò Ö Ö Ö ØÖ Ò¹ ÒØ Ò Ô ÖÒ º Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ò Ò ÐÐ Ö Ú Ò Ö ÑÔÙÐ Ú Ö Ö Ø Ð Ý Ø Ñ ÓÑ Ø Ü ÖÚÓ Ý Ø Ñ Ø Ü ÑÔ Ð ¾º º ËØ Ø Ò t r Ö Ò Ø Ø Ø Ö Ö ÙØ Ò Ð Ò ØØ ÖÒ ½¼± Ø ÐÐ ¼± Ú ÐÙØÚÖ Øº ÁÒ ÚÒ Ò Ò Ø Ò t 5% Ö Ò Ø ÙØ Ò Ð Ò y(t) Ö ÚÒ Ø Ò ÒÒ Ò Ö ÓÑÖ Ø 0.95y( ) < y(t) < 1.05y( )º ÎØ Ò Ð Ò Ñ Ø ÐÐØ Ø ÒÒ ÒÓÑ ØØ ÓÑÖ Ø Ö Ø Ò t 5% º Ì ÓÒ Ø ÒØ Ò Ö ØØ Ý Ø Ñ T 63% Ö Ò Ø ÙØ Ò Ð Ò y(t) ÒØØ ± Ú ÐÙØÚÖ Øº Å Ü Ñ Ð Ö Ð Ø Ú Ú Ö ÐÒ M Ò Ö Ö ÔÓ Ø Ú y ÓÑ M = max t(y(t)) y( ) y( ) ½

47 1.5 M y(t) t T 63% t [s] 5% t r ÙÖ º ËØ Ú Ö Ñ Ô Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ö ØØ Ø ÐØ Ý Ø Ñº ÇÚ Ò Ö Ú ÙØ Ö Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ö ØØ Ô Ö ØØ Ý Ø Ñ ØÖ Ò ÒØ Ò Ô Öº ØØ ÙÒ Ñ ÒØ ÐØ Ö ÔÔ ÓÑ Ò Ö Ö ØØ Ý Ø Ñ Ø Ø Ø ¹ Ø ÓÒÖ µ Ò Ô Ö Ö Ø Ø Ö ØÖ Ò Ò º Ò Ò Ð Ò Ö Ò ÓÒ Ø ÒØ u 0 Ó ÙØ Ò Ð Ò ÚÒ Ö Ò ÑÓØ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ú y( ) = lim y(t) Ò Ö t Ò Ø Ø Ö ØÖ Ò Ò Ò ÓÑ K = y( ) u 0 º½ µ Ö ØØ ÒÒ Ò Ø ÓÒ Ú Ö Ñ Ò Ò ÙÐÐ Ñ Ø Ý Ø Ñ Ø Ú Ö Ò Ò Ð¹ ÙØ Ò Ð Ø ÐØ Ø Ö ÓÑ ÖÒ ÚÖ Ø y( ) Ü Ø Ö Ö Ú ÓÒ Ø ÒØ Ò Ò Ðº ØØ Ñ Ö Ò ØÙÖ ØØ ÐÙØÚÖ Ø ÓÖ Ñ Ø Ö ÒÚÒ º Ò Ò Ð Ò Ö ØØ Ø Ñ Ò ÚÒ u 0 ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ö t > 0µ Ö Ú ØØ ÙØ Ò Ð Ò Ö ØØ ÝÒ Ñ Ø Ý Ø Ñ Y(s) = G(s)V(s) ÓÒÚ Ö Ö Ö ÑÓØ y( ) = lim t y(t) = lim s 0 sy(s) = lim s 0 sg(s) u 0 s = G(0)u 0 º½ µ Ó Ò Ø Ø Ö ØÖ Ò Ò Ò Ö ØØ Ý Ø Ñ Ð Ö Ö Ö K = y( ) u 0 = G(0) º½ µ ÌÓÐ Ò Ò Ò Ú Ö ÔÔ Ø Ø Ø Ö ØÖ Ò Ò Ò Ð Ø ÖÒ º½ µ Ó Ö ÐØ Ò ÐØ ÙÖ ÑÝ Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ò Ð Ö ØÖ Ú Ý Ø Ñ Ø ÐÐ ØÖ Ò ÒØ Ö Ú Ð Ò Øº ¾

48 ÒØ ØØ Ú Ö ØØ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø ÄÌÁ¹ Ý Ø Ñ Ñ Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò G(s) = B(s) A(s) = b 0s m +b 1 s m b m s n +a 1 s n a n ÇÑ Ý Ø Ñ Ø Ö Ò Ò Ð¹ÙØ Ò Ð Ø ÐØ Ò Ø Ø Ö ØÖ Ò Ò Ò Ú K = G(0) = b m a n º½ µ º¾ Ö Ú Ò Ö ÚÒ Ò ËÓÑ ÒÑÒØ Ø Ö Ö Ò Ú Ø Ò Ô Ó Ð Ò Ö Ý Ø Ñ ØØ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ¹ ÔÖ Ò Ô Ò ÐÐ Ö Ø Ú ÐÐ ØØ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ú Ò Ò Ð Ö Ð Ö Ø ÐÐ Ò ÙØ Ò Ð ÓÑ Ö ÑÑ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ú ÑÓØ Ú Ö Ò ÙØ Ò Ð Öº Ò ÑÝ Ø ÒÚÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ð Ö Ö ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÖÒ º ÖÒ Ø ÓÖ Ò ÓÑ ÓÙÖ Ö Ö Ö Ú Ø Ú ØØ Ú Ö Ô Ö Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ú ÓÑ Ò Ñ Ð Ò ÓÒ Ð µ ÙÑÑ Ú ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Öº ÇÑ Ú Ò Ö Ú ÙÖ ØØ Ý Ø Ñ ÙØ Ò Ð Ö ÙØ Ò Ó ØÝ Ð ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ð Ú Ø Ú Ð Ø Ö Ø Ø ÙØØÖÝ Ø ÒÓÑ ØØ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ÔÖ Ò Ô Ò ÐÐ Ö ÙÖ ÙØ Ò Ð Ò Ö ÙØ Ö Ò Ó ØÝ Ð Ô Ö Ó Ò Ò Ðº Ò ÓÖÑ ÐÐ ÖÙÒ ÓÑ Ö Ú Ø ÓÚ Ò Ú Ö Ñ Ò ÐÐ Ò Ö Ø Ñ º Ø Ú Ø ÑÑ Ò Ò Ø Ö ØØ Ô Ö Ó Ò Ò Ð Ö Ò ÙÔÔ ØØ ÓÑ Ùѹ ÑÓÖ Ú ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Å Ò Ò ÐÝ Ö Ö Ý Ø Ñ Ø Ò Ô Ö Ø ÙØ ØØ Ö Ò Ó ÐÐ Ö Ò Ò Ò Ð Ñ Ò Ô Ú Ò Ð Ö Ú Ò ½ ω Ö» º ÒÓÑ ØØ ÙÒ Ö Ò Ô Ö Ö ØØ ØÓÖØ Ú Ò Ð Ö Ú Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò Ñ Ò Ö Ô Ý Ø Ñ Ø ÖÑ ØØ ÒØ Ö Ò Ð Ö ÓÐ Ö Ú Ò ÓÑÖ¹ Òº ØØ Ö ØØ Ò Ò Ö Ñ Ø ÑÝ Ø Ø ÐÐØ Ð Ò ÝÒ ØØ ÓÑ Ö ÑÒ Ø ÐÐÑÔÒ Ò ÓÑÖ Òº ÁÒÓÑ Ø Ü ÔÖÓ Ò Ù ØÖ Ò Ö Ø Ö Ñ Ò Ó Ø Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ ÔÚ Ö Ú Ô Ö Ó Ø ÖÒ Ò Ö Ó ÒÓÑ ØØ Ø ÐÐÑÔ Ö Ú Ò Ò ÐÝ Ô Ý Ø Ñ Ø ÖÒ Ø ÖÒ Ò Ø ÐÐ ÙØ Ò Ð Ò Ø ÖÒ Ò Ò ÒÚ Ö Ò ÖØÐ Ó Ñ Ò Ñ Ö º º¾º½ Ö Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÅÓØ ÖÙÒ Ú Ø ÓÑ Ø ÓÚ Ò Ö Ú ÐÐØ Ö ÐØ ÒØÖ Ö Ú ØØ Ö Ò ÙØ Ò Ð Ò ÖÒ ØØ Ð Ò ÖØ Ý Ø Ñ Ò Ò Ð Ò Ö Ò ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒº ØÖ Ø Ö Ö ØØ Ð Ò ÖØ Ø ÐØ Ý Ø Ñ Y(s) = G(s)V(s) º¾¼µ ½ Î ÓÑÑ Ö Ú ÖÐ ØØ ÒÚÒ Ö Ú Ò Ö ØØ Ø Ò Ú Ò Ð Ö Ú Ò º ÆÓØ Ö Ñ Ò¹ Ø f = ω/(2π) ÀÞº

49 Ö Ú Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò g(t) = L 1 {G(s)}º Î ÒØ Ö ØØ Ò Ò Ð Ò Ø ÐÐ Ý Ø Ñ Ø Ö u(t) = Asinωtº ÒÒ Ò Ò Ð Ò Ú Ñ ÐÔ Ú ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ö Ú ÓÑ ÓÑ u(t) = A Im (cosωt+isinωt) = A Im e iωt Ó Ú ÒØ Ö Ú Ö ØØ ÒÒ Ò Ò Ð ÔÚ Ö Ø Ý Ø Ñ Ø Ò t = º Ì ÐÐѹ Ô Ö Ñ Ò ÒÙ ÐØÒ Ò Ø Ò Ô Ý Ø ÑÑÓ ÐÐ Ò º¾¼µ ÒÒ Ö ØØ ØØ y(t) = 0 = A Im g(τ)u(t τ)dτ = Im 0 g(τ)e iωτ dτe iωt 0 g(τ)ae iω(t τ) dτ = º¾½µ Ò Ø ÓÒ Ò Ú G(s) ÓÑ Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ú g(t) Ø Ú ÐÐ G(s) = 0 g(τ)e sτ dτ Ñ Ö ØØ Ò Ø ÒØ Ö Ð Ò º¾½µ Ö Ò ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Ò G(iω)º ÇÑ Ú ÒÙ Ø Ò Ö Ö ÙÑ ÒØ Ø Ö Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ø G(iω) ÓÑ arg(g(iω)) Ó ÐÓÔÔ ÓÑ G(iω) Ò ÙØØÖÝ Ø º¾½µ Ñ ÐÔ Ú Ò ÔÓÐÖ ÓÖÑ Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ö Ú ÓÑ ÓÑ y(t) = A Im (G(iω)e iωt ) = A Im ( G(iω) e iarg(g(iω)) e iωt ) = = A G(iω) Im e i(ωt+arg(g(iω))) = A G(iω) sin(ωt+arg(g(iω))) º¾¾µ Î Ö Ö ÐÐØ Ú Ø ØØ Ò Ò Ð Ò Ø ÐÐ ØØ Ð Ò ÖØ Ý Ø Ñ G(s) Ö Ò ÒÙ ¹ Ò Ð u(t) = Asinωt Ð Ö Ú Ò Ý Ø Ñ Ø ÙØ Ò Ð Ø Ö ÐÒ Ø µ Ò ÒÙ Ò Ð ÒÐ Ø y(t) = A G(iω) sin(ωt + arg(g(iω))) º¾ µ Ø Ú ÐÐ ÙØ Ò Ð Ò ÑÔÐ ØÙ Ö Ö ØÖ Ø Ñ Ò ØÓÖ G(iω) Ó ÙØ ¹ Ò Ð Ò Ö Ö ÙØ Ò arg(g(iω)) Ö Ò Ö Ö ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ò Ò Ð Òº Ø Ö ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò G(iω) Ö Ò Ú Ò Ö Ú Ò ω ØÑÑ Ö ÙØ Ò Ð Ò Ø Ò ÐÐ ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒº Ö ÙÑ ÒØ Ø Ò Ö ÓÑ ÔÓ Ø ÚØ ÙØ Ò¹ ÑÓØÙÖ ÖÒ ÔÓ Ø Ú Ö ÐÐ Ü ÐÒº Á Ø ÐÐ Ö ÐÐ ØØ Ò Ø ÚØ Ö ÙÑ ÒØ ÐØ Ò ÐØ Ô ÖÙÒ Ú ØØ ÙØ Ò Ð Ò Ð Ö Ø Ö Ò Ò Ð Ò º Î ÐÐ ÐÐÙ¹ ØÖ Ö Ö Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ñ ØØ Ô Ö Ü ÑÔ Ð Ü ÑÔ Ð º½½º Ë ÒÙ Ú Ö Ö ØØ Ö Ø ÓÖ Ò Ò Ò Ý Ø Ñº ØÖ Ø Ø Ö Ø ÓÖ Ò Ò Ò Ý Ø Ñ Ø Y(s) = G(s)V(s) = s+1 s+2 V(s)

50 ÇÑ Ú ÒÙ ÒØ Ö ØØ ØØ Ò Ò Ð Ò u(t) Ø ÐÐ Ý Ø Ñ Ø Ö Ò ÒÙ Ò Ð Ñ ÑÔ¹ Ð ØÙ A Ó Ö Ú Ò ω Ø Ú ÐÐ u(t) = Asin(ωt) Ò Ú ÒÐ Ø Ø ÓÖ Ò ÓÚ Ò Ö Ú ÙØ Ò Ð Ò ÓÑ y(t) = A G(iω) sin(ωt + arg(g(iω))) Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ð Ò ÑÔÐ ØÙ Ö ØÖ Ò ØÓÖ G(iω) Ó ÙØ Ò Ð Ò Ö ÙØ arg(g(iω) Ö Ò Ö Ö ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ò Ò Ð Òº ØØ ØÑÑ G(iω) Ó arg(g(iω) Ö ÒØ ÔÖ Ø Ø Ö ÒØ ÚÖØ ÓÑ Ñ Ò Ö ÓÖ Ò Ò Ô ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Òº G(iω) Ó arg(g(iω) Ö Ù ÐØ Ò ÐØ ÐÓÔÔ Ø Ó Ò Ö Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ø G(iω)º Á ØØ ÐÐ ÐÐØ Ö ÙÑ ÒØ Ø Ú Ö ÓÑ G(iω) = s+1 s+2 = s=iω = iω +1 iω +2 = ω2 +1 ω2 +4 = ω2 +1 ω 2 +4 arg(g(iω)) = arg( s+1 s+2 ) iω +1 s=iω = arg( iω +2 ) = Ó ÙØ Ò Ð Ò y(t) Ð Ö ÖÑ = arg(iω +1) arg(iω +2) = arctanω arctan ω 2 w2 +1 y(t) = A ω 2 +4 sin(ωt+arctanω arctan ω 2 ) Ü ÑÔ Ð º½¾º Ë ÒÙ Ú Ö Ö Ò Ø Ö Ö Ò Ò ØÖ Ø Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ø Ö Ö Ò Ò G(s) = e st º ÒØ ØØ Ò Ò Ð Ò Ø ÐÐ ØØ Ý Ø Ñ Ö u(t) = sinωtº ÍØ Ò Ð Ò Ú Ö Ó Î Ò ÐÐØ Ö Ú y(t) = G(iω) sin(ωt + arg(g(iω))) G(iω) = e iωt = 1 arg(g(iω)) = arg(e iωt ) = ωt y(t) = sin(ωt ωt) Ò Ö Ò Ø Ö Ö Ò Ò ÔÚ Ö Ö ÐÐØ ÒØ ÙØ Ò Ð Ò ÐÓÔÔ ÙØ Ò Ö¹ ÙØ Ö Ò Ö wt Ö Ò Ö Ö ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ò Ò Ð Òº

51 Ü ÑÔ Ð º½ º Ë ÒÙ Ú Ö Ö ÊÄ ¹ Ö Ø Ò Ü ÑÔ Ð ¾º Á Ü ÑÔ Ð ¾º Ú Ú ØØ ÔÒÒ Ò Ò v c Ú Ö Ò ÓÒ Ò ØÓÖ Ò ÐÐ ÊÄ ¹ Ö Ø ÙÒ Ö Ú ÒÓÑ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò LC v c (t)+rc v c (t)+v c (t) = v(t) º¾ µ Ö v Ö Ò Ö Ú Ò ÔÒÒ Ò Ò Ö Ø Ò v c Ö ÔÒÒ Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ò ØÓÖÒ Ó R L Ó C Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ö Ò ÔÔ Ñ ÓÐ Ð ØÖ ÓÑÔÓÒ Ò¹ Ø ÖÒ Ö Ø Òº ÇÑ Ú ÚÐ Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò ÓÑ L = 1 R = 2 Ó C = 1 Ò Ñ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò Ò Ò Ð v Ó ÙØ Ò Ð v c Ä ÔÐ Ó¹ ÑÒ Ò ÙØØÖÝ ÓÑ V c (s) = G(s)V(s) = 1 s 2 +2s+1 V(s) = 1 (s+1)(s+1) V(s) Î Ú ÐÐ ÒÙ Ø ØØ Ô ÒÙ Ú Ö Ø Ö ØØ Ñ Ò Ð Ò ÐÝØ Ø Ð Ú ÑÙ¹ Ð Ö Ò Ö Ò Ò Ð Ò Ö Ò ÒÙ Ò Ð Ñ Ó ØÝ Ð Ö Ú Ò ωº Î ÒØ Ö ØØ ÐÐ ØØ Ò Ö Ú Ò ÔÒÒ Ò Ò Ö Ò ÒÙ Ò Ð Ñ ÑÔÐ ØÙ ½ ÒÐ Ø v(t) = sinωtº Î Ú Ø ØØ ÙØ Ò Ð Ò Ø Ú ÐÐ ÔÒÒ Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ò¹ ØÓÖÒ Ó ÓÑÑ Ö ØØ Ú Ö Ò ÒÙ Ò Ð Ó ÒÐ Ø º¾ µ ÙÒÒ Ö Ú ÓÑ v c (t) = G(iω) sin(ωt+arg(g(iω))) Ö G(iω) Ö ÙØ Ò Ð Ò ÑÔÐ ØÙ Ó arg(g(iω)) Ò Ö Ö ÙØÒ Ò Ö ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ò Ò Ð Òº Á ØØ ÐÐ Ö Ú ØØ G(iω) = 1 (iω +1)(iω +1) = 1 ω 2 +1 Ó ( ) 1 arg(g(iω)) = arg = arctan(ω) arctan(ω) = 2 arctan(ω) (iω +1)(iω +1) Ú Ð Ø Ö ØØ v c (t) = 1 ω 2 +1 sin(ωt 2arctan(ω)) º¾ µ Ç ÖÚ Ö Ö ØØ Ö Ò Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö ÙÔÔ Ð Ö Ø ÓÖ Ò Ò ¹ Ò ØÓÖ Ö ÐÐ Ö ØØ ÐÓÔÔ Ö Ð Ñ ÔÖÓ Ù Ø Ò Ú ØÓÖ ÖÒ ÐÓÔÔº Ö ÙÑ ÒØ Ø Ö Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ð Ñ ÙÑÑ Ò Ú Ö ÙÑ ÒØ Òº ÇÑ Ñ Ò Ö Ò Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ ÒØ Ö Ô ØÓÖ Ö ÓÖÑ Ò Ñ Ò ÐÚ ØÓÖ Ö Ò Ú Ð Ø Ö ØØ Ö ÓÑÑ Ò Ö ÐÐ Ö Ó ÐÚ ÐÐ Ö Ô Ú Ð Ò Ú Ö ÒØ Ñ Ò ÒÒ Ö Ö ØØ Ö ÙÑ ÒØ Ø ÐÐ Ð ÓÖÖ Øº Ç Ö¹ Ú Ö Ó ØØ Ú Ò Ð Ö Ú Ò Ò ω ÒÐ Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ö Ò Ø Ò Ö» Ó ØØ Ö ÙØÒ Ò Ò Ö Ö Ö Ò Ø Ò Ö Ò Öº

52 Á ÙÖ º Ó º½¼ Ö Ý Ø Ñ Ø Ò¹ Ó ÙØ Ò Ð ÑÙÐ Ö Ø Ö Ò Ò Ð ÖÒ v(t) = sint Ó v(t) = sin2tº Á ÙÖ º ω = 1µ Ö Ñ Ò ØØ ÙØ Ò Ð Ò ÑÔÐ ØÙ Ö Ð Ø Ò Ú Ò Ò Ð Ò Ó ØØ ÙØ Ò Ð Ò Ð Ö ¹π»¾ Ö Ò Ö Ø Ö Ò Ò Ð Ò º ØØ Ö Ó Ú Ñ Ò Ö ÙÖ ÙØØÖÝ Ø º¾ µ Ø Ú ÐÐ G(i1) = 1 2 Ó arg(g(i1)) = π/2º Î Ö Ô ÑÑ ØØ ØØ Ø Ø ÓÖ Ø ÙØØÖÝ Ø º¾ µ ØÑÑ Ö Ú Ò Ö ω = 2º 1.5 Utsignal Insignal 1 Utsignal v c (t) [V], Insignal v(t) [V] tid [s] ÙÖ º ËÔÒÒ Ò Ò v c (t) Ú Ö ÓÒ Ò ØÓÖÒ ÊÄ ¹ Ö Ø Ò v(t) = sintº 1.5 Utsignal Insignal 1 Utsignal v c (t) [V], Insignal v(t) [V] tid [s] ÙÖ º½¼ ËÔÒÒ Ò Ò v c (t) Ú Ö ÓÒ Ò ØÓÖÒ ÊÄ ¹ Ö Ø Ò v(t) = sin2tº

53 Î Ü ÑÔÐ Ø ÓÚ Ò ØØ Ö ØÖ Ò Ò Ò ÚØ Ö Ó Ö ÙØÒ Ò Ò Ö ω º Ö ÐÐ Ý Ø Ñ Ñ Ö ÔÓÐ Ö Ò ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò ÐÐ Ö lim G(iω) 0 ω ØØ Ö Ò Ò Ô ÓÑ ÐÐ Ö Ö ÐÐ Ú Ö Ð Ý Ø Ñ Ö Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ø ÐÐØ ÐÐ ØØ m < n º½µº Ó Ò Ñ Ò Ò ÑÓ ÐÐ ÓÑ Ö ÔÖ Ø Ø ÒÚÒ Ö ÒÓÑ ØØ Ú Ø Ö Ú Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ó ÒÓÑ ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò m = n ÐÐ Ö Ñ Ö ÐÐ Òµ m > nº Ó Ñ Ø Ñ Ò Ú Ö Ñ Ú Ø Ò ÓÑ ØØ Ø Ö Ö Ò ÑÓ ÐÐ ÓÑ ÐÐ Ö ÒÓÑ ØØ Ú Ø Ö Ú Ò ÓÑÖ Ø Ñ Ò Ò ÐØØ Ú ØØ ÓÑ m > n ÐÐ Ö lim G(iω) Ú Ð Ø ÒØ Ò ÐÐ Ö Ò ÓØ Ú Ö Ð Ø Ý Ø Ñµº ω º¾º¾ Ó Ö Ñ ØØ Ú ÒÐ Ø ØØ ØØ Ö Ø ÔÖ ÒØ Ö Ö Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò G(iω) Ö ØØ ÐÐ Ø Ó Ö Ñº Á ØØ Ó Ö Ñ ÔÐÓØØ ÐÓÔÔ ÙÖÚ Ò ÐÐ Ó ÑÔÐ ØÙ ¹ ÙÖÚ Òµ G(iω) Ó Ö ÙÑ ÒØ Ø arg(g(iω)) ÑÓØ ÐÓ Ö ØÑ Ò Ú Ú Ò Ð Ö Ú Ò¹ Òº Á Ö Ð Ö Ø Ó Ö Ñ Ñ ÐÔ Ú ÔÖÓ Ö ÑÚ ÖÙÚ Ö ØÝ Ø Ü Å ÌÄ º Ç Ø Ò ÐÓÔÔ Ø Ò Ð Ð µ Ö ÚÖ Ø Ú 20log 10 G(iω) º Á ÙÖ º½½ Ú Ó Ö ÑÑ Ø Ö ÊÄ ¹ Ö Ø Ò Ü ÑÔ Ð º½ º G(iω) arg(g(iω)) [grader] log ω ÙÖ º½½ Ó Ö Ñ Ö ÊÄ ¹ Ö Ø Ò Ü ÑÔ Ð º½ º ÆÓØ Ö ÐÓ Ö ØÑ ÐÓÖÒ Á ÙÖ º½¾ Ú Ö Ú Ó Ö ÑÑ Ø Ö Ø Ö Ö Ò Ò Ò Ü ÑÔ Ð º½¾º

54 2 1.5 G(i ω) arg(g(i ω)) ω [rad/s] ÙÖ º½¾ Ó Ö Ñ Ö Ø Ö Ö Ò Ò Ò Ü ÑÔ Ð º½¾º ÆÓØ Ö ØØ ¹ ÐÓÖÒ Ö ÒØ Ú ÐØ ÐÓ Ö ØÑ º º¾º Ó Ö Ñ Ó Ø Ú Ö Î ØØ Ú Ò ØØ ÐÐÙ ØÖ Ö Ò Ö Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò Ø Ú Ö Ø Ö ØØ Ý Ø Ñ Ó ÑÓØ Ú Ö Ò Ó Ö Ñº Î Ö Ö Ñ Ò Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ò ω B Ö ØØ Ý Ø Ñ Ö Ò Ö Ú Ò Ö Ö ØÖ Ò Ò Ò ÙÒ¹ Ø Ñ Ò ØÓÖ 1 2 = 3dB Ñ ÖØ Ñ Ò Ø Ø Ö ØÖ Ò Ò Ò G(0) º Ö Ò Ö Ò ÐÐ Ö ÐÐØ G(iω B ) G(0) = 1 2 º¾ µ Î Ö Ö Ñ ØØ ØÙ Ö Ð Ò ØÚ Ý Ø Ñ G 1 (s) = 9 s 2 +9s+9 ; G 2(s) = 100 s 2 +20s+100 ËÝ Ø Ñ Ø G 1 Ö Ò Ù ÐÔÓÐ ¹ Ó G 2 Ö Ò Ù ÐÔÓÐ ¹½¼º Á ÙÖ º½ Ú Ø Ú Ö Ó Ó Ö Ñ Ò Ø ÐÓÔÔ ÙÖÚ Òµ Ö ØÚ Ý Ø Ñ Òº ËÝ Ø Ñ G 1 Ö Ò Ò Ö Ô ¾ Ö» Ó G 2 ÖÝ Ø Ö» º Î Ö ÖÒ ÙÖ Ò ØØ Ù Ò Ö Ø Ú Ö ØØ Ý Ø Ñ Ö ØÓ Ø ÖÖ Ò Ö Ö Øº

55 Step Response Amplitude 0.6 G2 0.4 G Time (sec) Bode Diagram Magnitude (db) G1 G Frequency (rad/sec) ÙÖ º½ ËØ Ú Ö Ó Ó Ö Ñ Ö G 1 Ó G 2 º Á Ò Ø Ü ÑÔ Ð ØÙ Ö Ð Ò ØÚ Ý Ø Ñ G 3 (s) = 9 s s+9 ; G 4(s) = 100 s 2 +2s+100 ËÝ Ø Ñ Ø G 3 Ö ÔÓÐ Ö 0.3 ± 3i Ó G 4 Ö ÔÓÐ Ö 1 ± 10iº Á ÙÖ º½ Ú Ø Ú Ö Ó Ó Ö Ñ Ò Ø ÐÓÔÔ ÙÖÚ Òµ Ö ØÚ Ý Ø Ñ Òº ËÓÑ ÚÒØ Ø ÓÑÔÐ Ü ÔÓÐ Öµ Ö Ý Ø Ñ Ò ØØ ÚÒ Ø Ø Ú Öº ØØ Ú Ö Ó Ö ÑÑ Ò ÓÑ Ò Ö ÓÒ Ò ØÓÔÔº ÂÙ Ö ÙÔÔ Ö Ú Ò ÓÑ Ö Ó¹ Ò Ò ØÓÔÔ Ò ÒÒ ØÓ Ö Ö Ú Ò Ö ÚÒ Ò Ò ÖÒ Ø Ú Ö Øº Ú ÐÙØÒ Ò Ú Ú ÙÖ º½ Ø Ú Ö Ó Ó Ö Ñ Ò Ø ÐÓÔÔ ÙÖ¹ Ú Òµ Ö ØÚ Ý Ø Ñ Ò G 5 Ó G 6 º ØÚ Ý Ø Ñ Ò Ö Ö ÓÒ Ò ØÓÔÔ Ò Ú ÑÑ Ö Ú Ò Ñ Ò ÓÐ Ô Ö ÓÒ Ò ØÓÔÔ Ò Ó Ö ÑÑ Ø ÙÖ º½ µº Î Ö ØØ Ù Ö Ö ÓÒ Ò ØÓÔÔÔ Ò Ö ØÓ Ñ Ö Ó ÑÔ Ø ÚÒ Øµ Ð Ö Ø Ú Ö Ø Ó Ú Ú Ö ºµ ¼

56 Step Response G3 Amplitude System: sys4 Time (sec): 3.32 Amplitude: G4 0 Time (sec) 20 Bode Diagram 10 0 G4 Magnitude (db) G Frequency (rad/sec) ÙÖ º½ ËØ Ú Ö Ó Ó Ö Ñ Ö G 3 Ó G 4 º Step Response G5 Amplitude G Time (sec) Bode Diagram Magnitude (db) G5 G Frequency (rad/sec) ÙÖ º½ ËØ Ú Ö Ó Ó Ö Ñ Ö G 5 Ó G 6 º ½

57 º Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ú Ð ØÖ Ö Ø Ö ËÓÑ Ò Ú ÐÙØ Ò Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ú ØØ Ô Ø Ð ØÙ Ö ÙÖ Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ò Ò ÒÚÒ Ö ØØ Ò ÐÝ Ö Ð ØÖ Ö Ø Öº Ò Ð ØÖ Ö Ø ØÖ Ú ØØ ÒØ Ð Ð ØÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÑÑ Ò ÓÔÔÐ Ñ Ð ØÖ Ð Ò Ò Öº ÀÙÖ ÓÐ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖÒ Ö ÓÔÔÐ Ö Ñ Ö Ú ØØ Ö Ø Ñ º Рع Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ð Ó Ø ÙÔÔ Ø Ú Ó Ô Ú ÓÑÔÓÒ ÒØ Öº Ò Ø Ú ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÑ Ú Ö Ò Ñ ØÒ Ò ÔÒÒ Ò º ÌÚ Ü ÑÔ Ð Ö ØÖ Ò ØÓÖ Ö Ó ÒØ Ö Ö Ö Ø Öº Ò Ô Ú ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÑ ÙÒ Ö Ö Ò Ö Ø ÙØ Ò ÝØØÖ ÔÚ Ö Ò Ú º ÙØ Ò Ò Ñ ØÒ Ò ÔÒÒ Ò º Ü ÑÔ Ð Ô Ô Ú ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ö Ö ØÓÖ Ö ÓÒ Ò ØÓÖ Ö Ó Ò Ù ØÓÖ Ö ÔÓÐ Öµº Î ÓÑÑ Ö ÒÒ Ö Ñ ØÐÐÒ Ò ØØ Ò Ø Ò Ð Ò Ð Ð ØÖ Ö Ø Ö Ñ Ô Ú ÓÑÔÓÒ ÒØ Öº Î ÓÑÑ Ö ØØ ÒØ ØØ ÐÐ ÝÒÒ Ð ÚÖ Ò Ö ÒÓÐÐ Ú t = 0 Ó ÐØ Ö v(t) Ø Ò ÔÒÒ Ò Î Ó i(t) ØÖ Ñ º º º½ ÁÑÔ Ò ÁÑÔ Ò Ö Ø Ð ØÖ ÑÓØ ØÒ Ø Ö Ò ÚÜ Ð ØÖ Ñº ÁÑÔ Ò Ò ØÖ Ú ØÚ ÑÓØ Ú Ö Ò Ö Ú Ò ÐÖØ ÓÖØÓ ÓÒ Ð µ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ò Ö Ø Ò Ó Ò Ö Ø Ò º Ê Ø Ò Ò Ó Ò Ö Ø ÙÔÔÚ Ö Ò Ö Ò Ù Ø Ú ÐÐ Ö Ô Ø Ú ¹ Ö ØÖ Ó ÓÖ Ö Ò ÚÖ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÔÒÒ Ò Ó ØÖ Ñ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø ¹ ¼ o Ø ÐÐ ¼ o º Ê ØÓÖÒ Ò Ò Ð Ø Ô Ú ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ö Ö ØÓÖÒ ÑÓØ ØÒ Øµº Ë Ñ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÒÒ Ò ØÖ Ñ Ó Ö Ø Ò Ú Ç Ñ Ð Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ö v(t) = Ri(t) V(s) = RI(s) º¾ µ º¾ µ ÁÑÔ Ò Ò Ö Ò Ö ØÓÖ Ö ÐÐØ Z R = R ÓÑ Ö ØØ Ö ÐÐØ Ø Ðº ØØ ØÝ Ö ØØ ØÖ Ñ Ó ÔÒÒ Ò Ö º Ê Ô Ø Ö Ú ÓÚ Ñ Ò Ò Ö Ö ¹ Ó Ô Ö ÐÐ ÐÐ ÓÔÔÐ Ò Ú ÑÓØ ØÒ º ÃÓÒ Ò ØÓÖÒ ÃÓÒ Ò ØÓÖ Ö Ò Ô Ú Ð ØÖÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÑ Ö ÖÑ Ò ØØ Ð Ö Ò Ú Ð ØÖ Ð Ò Ò º ÃÓÒ Ò ØÓÖÒ Ö ØÖ Ö Ú Ò Ô Ø Ò ÓÑ ¾

58 ÑØ Ò Ø Ò Ö º Ë Ñ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÒÒ Ò ØÖ Ñ Ó Ô Ø Ò Ú Ú Ò Ü ÑÔ Ð ¾º µ Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ö v(t) = 1 C t 0 i(τ)dτ V(s) = 1 sc I(s) º¾ µ º ¼µ ÁÑÔ Ò Ò Ö Ò ÓÒ Ò ØÓÖÒ Ö ÐÐØ Z C = 1 ÓÑ Ö ØØ ÓÑÔÐ ÜØ Ø Ðº Î sc Ò ØÓÐ ØØ ÓÑ ØØ ÝÒ Ñ Ø Ý Ø Ñ Ñ Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ G(s) = 1 º sc ÆÓØ Ö ØØ G(iω) = 1 º Ö ÙÑ ÒØ Ø Ö G(iω) Ö iωc ¹ ¼o Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ ÓÑ ØÖ ÑÑ Ò Ö Ò ÒÙ Ò Ð ÓÑÑ Ö ÔÒÒ Ò Ò ØØ Ú Ö Ò ÒÙ Ò Ð Ñ ÑÑ Ö Ú Ò Ñ Ò ÚÖ Ò ¹ ¼ o º ÑÔÐ ØÙ Ò Ô ÔÒÒ Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ò ¹ ØÓÖÒ Ñ Ò Ö Ñ Ö Ú Ò Ô ØÖ ÑÑ Ò Ø Ö ÓÑ G(iω) = 1 º¾ µº ωc ÆÓØ Ö Ó ØØ I(s) = scv(s) Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ ØÖ ÑÑ Ò ÒÓÑ ÓÒ Ò ¹ ØÓÖÒ Ñ Ò Ö Ñ Ñ Ò Ö Ú Ò Ô ÔÒÒ Ò Ò Ö Ò Ö Ò ¹ Ò Ð ω = 0 ÑÓØ Ú Ö Ö ÓÒ Ò ØÓÖÒ ØØ Ú ÖÓØغ ÁÒ Ù ØÓÖÒ ÁÒ Ù ØÓÖÒ ÔÓÐ Òµ Ö Ò Ô Ú Ð ØÖÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÑ ÒÓÖÑ ÐØ ØÖ Ú Ò ØÙÒÒ Ð Ò Ò ÓÑ Ð Ò Ø ØØ ÒØ Ð Ú ÖÚ ÖÙÒØ Ò ÖÒ ÖÒ ÐÐ Ö Ð Ò Ö ÐÙ Ø Òº ÁÒ Ù ØÓÖÒ ØÝÖ Ò ÓÑ Ò Ù Ø Ò º ÁÒ Ù Ø Ò ÑØ ÒÖÝ À º Ë Ñ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÒÒ Ò ØÖ Ñ Ó Ò Ù Ø Ò Ú Ú Ò Ü ÑÔ Ð ¾º µ v(t) = L di(t) º ½µ dt Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ö V(s) = sl I(s) º ¾µ ÁÑÔ Ò Ò Ö Ò Ù ØÓÖÒ Ö ÐÐØ Z L = sl ÓÑ Ö ØØ ÓÑÔÐ ÜØ Ø Ðº Î Ò ØÓÐ ØØ ÓÑ ØØ ÝÒ Ñ Ø Ý Ø Ñ Ñ Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ G(s) = sl Ó Ö Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ G(iω) = iωlº Ö ÙÑ ÒØ Ø Ö ¼ o Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ ÓÑ ØÖ Ñ¹ Ñ Ò Ö Ò ÒÙ Ò Ð ÓÑÑ Ö ÔÒÒ Ò Ò ØØ Ú Ö Ò ÒÙ Ò Ð Ñ ÑÑ Ö Ú Ò Ñ Ò ÚÖ Ò ¼ o º ÑÔÐ ØÙ Ò Ô ÔÒÒ Ò Ò Ö Ñ Ö Ú Ò Ø Ö ÓÑ G(iω) = ωlº ÇÑ ØÖ ÑÑ Ò Ö Ò Ö Ò ¹ Ò Ð Ð Ö ÔÒÒ Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ò ØÓÖÒ ÒÓÐÐ Ú Ð Ø ÑÓØ Ú Ö Ö Ò ÓÖØ ÐÙØÒ Ò º ÃÓÑÔÐ Ü ÑÔ Ò Ó Ç Ñ Ð ÐÐ Ô Ú Ö Ø Ö ÒÒ Ø Ò Ú Ò ÓÑÔРܵ ÑÔ Ò Z(s) Ð Ò Ö Ú Ö Zµ Ó Ú Ö Ð Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ Ò Ç Ñ Ð µ V(s) = Z(s)I(s) º µ

59 Ø Ö ÚÖØ ØØ ÒÓØ Ö ØØ Ñ Ò Ø ÓÚ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö ØØ Ð Ò ÖØ ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÐÐ Ò ÐÝ ÓÑ ÔÖ ÒØ Ö Ø Ø Ö ØØ Ô Ø Ð Ò ÒÚÒ Ö ØØ ÙÒ Ö Ö Ø Ò ÒÓØ Ö ØØ Z(s) Ò ÒÒ ÐÐ Ò ÑÑ Ò ÓÔÔÐ Ò Ú Ó ¹ ØÝ Ð Ø ÑÒ Ô Ú ÓÑÔÓÒ ÒØ Öµº ÒÑÖ Ò Ò º Á Ø ÐÖÓ Ö ÐÐÖ ÒÚÒ jω ØÐÐ Ø Ö s Ö j Ø Ò Ö Ø ÓÑÔÐ Ü Ò Ø Ò ¾ ºÅ ØÓ Ò Ö Ò ÙÒ Ö Ò ÑÒ Ø jω¹ñ ØÓ Ò Ó Ò ÒÚÒ ØÖ ÑÑ Ö Ó ÔÒÒ Ò Ö Ö ÒÙ ÓÖÑ Ú Ð Ø Ö Ð¹ Ð Ø ÚÜ Ð ØÖ Ñ Ö Ø Öº Ö jω ¹Ñ ØÓ Ò ÐÐ Ö ØØ º µ Ö ØØ Ú V(jω) = Z(jω)I(jω)º º º¾ Æ Ö Ü ÑÔ Ð Æ Ò ØØ Ô Ö Ü ÑÔ Ð Ô ÙÖ Ò Ö Ò Ð Ö Ø Ö Ò Ò ÐÝ Ö Ñ ÐÔ Ú ÑÔ Ò Ö ÔÔ Øº Á ÔÖ Ò Ô Ò Ñ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ Ô Ú ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ô ÑÑ ØØ ÓÑ Ú Ö Ú ÒÐ ÑÓØ ØÒ ÓÑ Ñ Ò ÒÚÒ Ö ÑÔ Ò Ò Ö Ö Ô Ø Ú ÓÑÔÓÒ Òغ Ë Ö ÓÔÔÐ Ò ÒØ ØØ Ú Ö Ò Ö ÓÔÔÐ Ò Ñ n ØÝ Ò ÑÔ Ò Ö Z 1, Z 2,... Z n º Ò ØÓØ Ð ÑÔ Ò Ò Ð Ö Z s = n k=1 Z k ÙÖ º½ º Z 1 Z 2 Z n =..... Z s = Z 1 +Z Z n ÙÖ º½ Ë Ö ÓÔÔÐ Ò Ú n ØÝ Ò ÑÔ Ò Öº Ò Ö ÓÔÔÐ Ò Ú ØØ ÑÓØ ØÒ ÑÔ Ò Êµ Ò Ò Ù Ø Ò ÑÔ Ò slµ Ó Ò ÓÒ Ò ØÓÖ ÑÔ Ò 1 µ ÐÐÙ ØÖ Ö ÙÖ º½ Ö Ò ØÓØ Ð sc ÑÔ Ò Ò Z s (s) = R+sL+ 1 sc ¾ ÆÓØ Ö ØØ Ú ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ ÒÚÒ Ö ÑÑ Ø Ò Ò Ö ØÖ Ñ ØÝÖ Ó Ò ÓÑÔÐ Ü Ò Ø Òº

60 ÇÑ ÔÒÒ Ò Ò Ú Ö Ö Ø Ò Ö V Ó ØÖ ÑÑ Ò I Ö Ú ÐÐØ ØØ V(s) = Z s (s)i(s)º ÒÓÑ ØØ ØÙ Ö Z s (iω) Ò Ú ÒÐ Ø Ã Ô Ø Ð º Ö Ò ÙÖ Ò ÒÙ Ò Ð ÔÚ Ö Ö ØÖ Ó ÚÖ µ Ú Ö Ø Òº ÙÖ º½ Ë Ö ÓÔÔÐ Ò Ú Ò Ö ØÓÖ ÔÓÐ Ó ÓÒ Ò ØÓÖº