0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n
|
|
- Maj-Britt Strömberg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ È ÚÓ Ë ÐÑ Ò Ò ÒÙ Ö ¾¼½¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÒÓÐ Ø ÑØØ ¾ ¾ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÇÑ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Ò ½¼ º½ ÈÓ ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÓÑ Ð Ö ÐÒ Ò º ½½ º¾ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ó ÖÙØ Ó Ó ÖÓ¹ Ò ÖÒ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Ø Ò ÒÒÓÐ Ø ÑØØ Ó Ö ÐÒ Ò Ö ½¾ º½ Ø Ò Ö ÐÒ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÅÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ½ º½ Ë ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÅÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ì ÐÐÑÔÒ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÖÒ ÚÖ Ø Ö ½ º½ ÇÐ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ØÓÖ Ø Ð Ò Ð Ú ÓÖѵ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÃÓÒÚ Ö Ò Ö ÐÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ò ÒØÖ Ð ÖÒ ÚÖ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ Ä ØØ Ö ØÙÖ ¾½ ½
2 ½ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÒÓÐ Ø ÑØØ Ò Ø ÓÒ ½ ÙÒ Ø ÓÒ Ò F Ñ D f = R Ú Ö Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÓÑ µ F Ö ¹ ÚØ Ò Ó Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ µ lim x F(x) = 0 Ó lim x + F(x) = 1. Ü ÑÔ Ð Ð Ò Ö Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ½º Ä ÓÖÑ Ö ÐÒ Ò Ô [a, b] 0, x a x a F(x) :=, a x b b a 1, x b ¾º ÒÓÑ Ð Ö ÐÒ Ò Ñ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ n N Ó p (0, 1) 0, ( ) x < 0 F(x) := m n k=0 p k k (1 p) n k, m x < m + 1, m = 0,..., n 1 1, x n. º ÄØ Q = {r n : n = 1, 2,... } Ú Ö Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ð Òº ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö F(x) := 2 n δ rn (x), n=1 { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n Ö Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ú Ö ÖÖ Ø ÓÒ ÐÐ ÔÙÒ Ø Ó ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ú Ö Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÔÙÒ Øº Ò Ø ÓÒ ¾ ÄØ F Ú Ö Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒº ÇÑ F(x) F(x ) > 0 x Ú Ö F ÔÖÒ ÔÙÒ Ø ÐÐ Ö ÓÔÔ ÔÙÒ Øµ Ó F(x) F(x ) Ö ÔÖÒ Ø ØÓÖÐ º Ë Ø ½ Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÒÙÑÖ Ö ÖØ ÑÒ ÔÖÒ ÔÙÒ Ø Öº Î Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ø ÔÙÒ Ø Ú Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò ÔÖÒ ÔÙÒ Øº ¾
3 Ë Ø ¾ ÄØ F Ú Ö Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó a j, j = 1, 2,... ÔÖÒ ¹ ÔÙÒ Ø Ö Ó b j := F(a j ) F(a j ) ÑÓØ Ú Ö Ò ÔÖÒ ØÓÖÐ Öº ÁÒ Ö F d (x) := b j δ aj (x). j=1 ÐÐ Ö ØØ x F d (x) Ö ¹ ÚØ Ò Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ó lim F d(x) = 0, x lim F d(x) = x + b j 1. j=1 ÙÒ Ø ÓÒ Ò F c (x) := F(x) F d (x) Ö ¹ ÚØ Ò ¹Ò Ø Ú Ó ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º Ò Ø ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò F Ú Ö Ö Ø ÓÑ F c 0 Ó ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÓÑ F d 0. Ò Ø ÓÒ ÄØ Ω Ú Ö Ò Ú Ò ØÖ Øµ ¹ØÓÑ ÑÒ º Ñ Ð Ò F Ú Ω ÐÑÒ Ö Ú Ö Ò σ¹ Ð Ö ÓÑ ( ) F, ( ) A F A C F, ( ) A i F, i = 1, 2,... A i F. Ò Ø ÓÒ Ò Ñ Ò Ø σ¹ Ð Ö Ú R ÐÑÒ Ö ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö ÐÐ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ú ØÝÔ Ò (a, b], (, b], (a, + ), Ö a, b R, ÐÐ R ÓÖ ÐÑÒ Ö Ó Ø Ò Ñ Bº ÒÑÖ Ò Ò Ø ÒÒ ÐÑÒ Ö Ú R ÓÑ ÒØ Ø ÐÐ Ö B Ò Ø ÓÒ ØØ ÒÒÓÐ Ø ÑØØ P (Ω, F) Ö Ò ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ØØ P : F R ( ) P(Ω) = 1 ( ) P(A) 0 A F ( ) P( A i) = P(A i) Ö A i A j =, i j.
4 Ò Ô Ö Ó P ½º P( ) = 0. ¾º P(A C ) = 1 P(A). º A B P(A) P(B) ØÝ B = A (B \ A)µº º ÅÓÒÓØÓÒ ÓÒÚ Ö Ò ÒØ ØØ A n A ÐÐ Ö A n A Ú º A n A n+1 An = A ÐÐ Ö A n A n+1 A n = A Ó ÖÚ Ö ØØ A F Ð Ö ÖÒ Ò Ø ÓÒ Ò Ú Fµº Ö lim n P(A n ) = P(A)º º ÐÐÑÒ Ø ÓÒ ÓÖÑ Ð n n P( A i ) = P(A i A j ) P(A i ) i<j + n P(A i A j A k ) + ( 1) n 1 P( A i ). i<j<k Ë Ø ÄØ P Ú Ö ØØ ÒÒÓÐ Ø ÑØØ (R, B)º ÙÒ Ø ÓÒ Ò F Ò Ö ÒÓÑ F(x) := P((, x]), x R Ö Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒº Ë Ø ÄØ F Ú Ö Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒº ÒÒ Ø ØØ ÒØÝ Ø ÒÒÓ¹ Ð Ø ÑØØ P (R, B) ÒØ ØØ P((, x]) = F(x) x R. ¾ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ò Ø ÓÒ ÄØ(Ω, F,P) Ú Ö ØØ ÒÒÓÐ Ø ÖÙѺ ÙÒ Ø ÓÒ Ò X : Ω R Ú Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð ÓÑ Ö Ú Ö x R ÐÐ Ö ØØ Ü ÑÔ Ð ÄØ A Fº Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö Ðº {ω : X(ω) x} F. 1 A (ω) := { 1, ω A 0, ω / A
5 Ò Ø ÓÒ Ò ØÓ Ø Ú Ö ÐÒ X Ú Ö Ò Ð ÓÑ Ò Ò Ø ÒØ Ö Ò Ð Ø ÑÒ ÓÐ ÚÖ Òº ÀÖÚ Ò X Ö ÔÖ ÒØ Ö ÒÐ Ø X(ω) = n x i 1 Ai (ω), Ö A i = {ω : X(ω) = x i } x i x j, i j. Ò Ø ÓÒ ÄØ X Ú Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö Ðº ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÐÐ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ú Xº F X (x) := P(X x) Ë Ø ÄØ F X Ú Ö Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ú Ò ØÓ Ø Ú Ö ÐÒ X. Ö F X ¹ ÚØ Ò Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ lim F X(x) = 0 och lim F X(x) = 1. x x + ÒÑÖ Ò Ò ÖÒ Ò Ø ÓÒ ØØ ( ) ( ) ( ) P(X = x) = F X (x) F X (x ), P(a < X < b) = F X (b ) F X (a), P(a X b) = F X (b) F X (a ). Ò Ø ÓÒ ½¼ µ X Ú Ö Ö Ø ÓÑ F X Ö Ö Ø Ñ Ó F c 0, Ñ º Ò Ø ÓÒ µº µ X Ú Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÓÑ F X Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º µ X ØØ Ø Ò f ÓÑ Ö Ú Ö x R F X (x) = x f(t)dt ÒÑÖ Ò Ò ÇÑ Ú Ö ÐÒ X Ö ØØ Ø Ò f ÓÑ Ö ÓÒØ ÒÙ Ö x Ð Ö Ø ÖÒ ÒØ Ö Ð Ð ÝÐ Ò ÙÚÙ Ø ØØ F X (x) = f(x). Ò Ø ÓÒ ½½ ÙÒ Ø ÓÒ Ò g : R n R Ú Ö ÓÖ ÐÑØ Ö ÓÑ Ö Ú Ö y R {x R n : g(x) y} B n, Ö B n Ö ÑÒ Ò Ú ÓÖ Ð¹ÑÒ Ö R n.
6 Ë Ø µ ÄØ X Ú Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð Ó g : R R Ò ÓÖ Ð¹ÑØ Ö ÙÒ Ø ÓÒº Ö Y := g(x) Ò ØÓ Ø Ú Ö Ðº µ Ö n N ÐØ X 1, X 2,...,X n Ú Ö ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ó g : R n R Ò ÓÖ Ð¹ÑØ Ö ÙÒ Ø ÓÒº Ö Z := g(x 1, X 2,...,X n ) Ò ØÓ Ø Ú Ö Ðº ÒÑÖ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò g : R R Ö ÓÖ Ð¹ÑØ Ö Øº ܺ Ð Ò ÐÐ µ g Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ µ g Ö ØÝ Ú ÓÒØ ÒÙ ÖÐ µ g Ö Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ó ÚÒ Ø Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ü Ø Ö Ö µ g Ö ÑÓÒÓØÓÒº Ë Ø µ ÄØ {X j : j = 1, 2,... } Ú Ö Ò Ð Ú ØÓ Ø Ú Ö Ð Öº Ö inf X j, sup X j, lim (inf X j j j k), lim (sup X k ) k j j ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ó ÖÚ Ö Ó ØØ Ò ÒØ ÚÖ Ò + ÐÐ Ö µº µ ÒØ ØØ X(ω) := lim j X j (ω) Ü Ø Ö Ö Ö Ú Ö ω Ωº Ö X Ò ØÓ Ø Ú Ö Ðº Ò Ø ÓÒ ½¾ ØÓ Ø Ú Ö Ð ÖÒ X i, i = 1, 2,..., n Ú Ö Ó ¹ ÖÓ Ò ÓÑ B j B, j = 1, 2,..., n k j n P( {X i B i }) = n P(X i B i ). Ë Ø Î Ö Ð ÖÒ X i, i = 1, 2,..., n, Ö Ó ÖÓ Ò ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ Ö Ú Ö x i R, i = 1,...,n, F X1,...,X n (x 1,...,x n ) := P(X 1 x 1,...,X n x n ) n n = P(X i x i ) =: F Xi (x i ) Ë Ø ÒØ ØØ Ò ÑÙÐØ Ò Ö ÐÒ Ò Ò F Xi,...,X n (x i,...,x n ) Ö ØØ Ø¹ Ò f X1,...,X n (x 1,...,x n ) Ò ØØ n x 1 x n F X1,...,X n (x 1,...,x n ) = f X1,...,X n (x 1,...,x n ) x 1,..., x n R,
7 Ó ØØ F Xi, i = 1, 2,..., n, Ö ØØ Ø Ò f Xi, i = 1, 2,..., nº Ö X 1,...,X n Ó ÖÓ Ò ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ Ö Ú Ö x i R, i = 1, 2,..., n, f X1,...,X n (x 1,...,x n ) = n f Xi (x i ). Ë Ø ½¼ ÒØ ØØ Ú Ö Ð ÖÒ X i, i = 1, 2,..., n, Ö Ö Ø Ó Ø Ò Ö Ñ Ò ÑÑ ÒÙÑÖ Ö Ö ÚÖ ÑÒ Ñ V º Ö X i, i = 1, 2,..., n, Ó ÖÓ Ò ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ Ö Ú Ö k i V, i = 1, 2,..., n, p 1,...,n (k 1,...,k n ) := P(X 1 = k 1,...,X n = k n ) = n P(X i = k i ) =: n p i (k i ). Ò Ø ÓÒ ½ ÀÒ Ð ÖÒ A i, i = 1, 2,..., n, Ú Ö Ó ÖÓ Ò ÓÑ Ú Ö Ð ÖÒ 1 Ai, i = 1, 2,..., n, Ö Ó ÖÓ Ò º ÇÑ A i, i = 1, 2,..., n, Ö Ó ¹ ÖÓ Ò ÐÐ Ö Ø ØØ P(A 1 A n ) = P(A 1 )...P(A n ). Ë Ø ½½ ÇÑ X i, i = 1, 2,..., n, Ö Ó ÖÓ Ò Ó g : R k R Ó h : R n k R Ö ÓÖ Ð¹ÑØ Ö Ö Ú Ö Ð ÖÒ g(x 1,...,X k ) Ó h(x k+1,...,x n ) Ó ÖÓ Ò º Ò Ø ÓÒ ½ ÄØ X Ú Ö Ò Ò Ð ØÓ Ø Ú Ö Ð Ú º X = n x i 1 Ai Ö A i = {X = x i } Ó x i x j i jº Ì Ð Ø E(X) = n x i P(A i ) ÐÐ Ö X ÚÒØ ÚÖ º Ë Ø ½¾ ÄØ X Ú Ö Ò ¹Ò Ø Ú ØÓ Ø Ú Ö Ð ÒÒ Ø Ò Úܹ Ò Ð {X i : i = 1, 2,... } Ú Ò Ð ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ò ØØ Ö Ú Ö ω Ω X(ω) = lim n X n (ω).
8 Ë Ø ½ ÄØ X Ú Ö Ò ¹Ò Ø Ú ØÓ Ø Ú Ö Ð Ó {X i } Ó {Y i } ØÚ ÚÜ Ò Ð Ö Ú Ò Ð ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ò ØØ ω Ω lim X i (ω) = lim Y i (ω) = X. ÐÐ Ö ØØ º lim E(X i) = lim E(Y i ). i i Ò Ø ÓÒ ½ µ ÄØ X Ú Ö Ò ¹Ò Ø Ú ØÓ Ø Ú Ö Ð Ó {X i } Ò ÚÜ Ò Ð Ú ÔÔÖÓÜ Ñ Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÓÑ Ò Ö Ë Ø ½¾º ÎÒØ ÚÖ Ø Ú X Ü Ø Ö ÓÑ ÖÒ ÚÖ Ø lim E(X i) i Ü Ø Ö Öº Á ØØ ÐÐ Ò Ö ÚÒØ ÚÖ Ø Ú X ØØ Ú Ö Ð Ñ ÖÒ ÚÖ¹ Ø E(X) := lim i E(X i ) µ Ö Ò Ó ØÝ Ð ØÓ Ø Ú Ö Ð X Ò Ö X + = max(x, 0) och X = min(x, 0). Ö X = X + X Ó X = X + + X º X ÚÒØ ÚÖ Ø E(X) ÓÑ E(X + ) Ó E(X ) Ü Ø Ö Öº ÀÖÚ Ò Ö E(X) := E(X + ) E(X ). ÒÑÖ Ò Ò Ø Ò Ú ØØ ÚÒØ ÚÖ Ø Ú X Ö Ó ÖÓ Ò Ú Ò Ô¹ ÔÖÓÜ Ñ Ö Ò Ð Ò {X i }º Ë Ø ½ E(X) Ü Ø Ö Ö ÓÑÑ E( X ) Ü Ø Ö Öº Ë Ø ½ ÄØ X Ó X i, i = 1,...,n, Ú Ö ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ò ØØ E(X) E(X i ), i = 1,...,n, Ü Ø Ö Öº ÐÐ Ö µ E(cX) = ce(x) c R, µ E( n X i) = n E(X i), µ E( n X i) = n E(X i) ÖÙØ ØØ ØØ X i, i = 1,..., n, Ö Ó ÖÓ Ò º Ë Ø ½ ÄØ X Ú Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð Ò ØØ P(X = c) = 1 Ö Ò ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ c Rº Ö E(X) = cº
9 Ë Ø ½ ÄØ X Ó Y Ú Ö ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ò ØØ E(X) Ó E(Y ) Ü Ø Ö Ö ÑØ P(X Y ) = 1 Ø ØØ X Y Ò Ø Ò ÖØ Òº ºµµº Ö E(X) E(Y )º Ë Ø ½ ÇÑ X 0 Ó E(X) = 0 Ö P(X = 0) = 1º Ø ØØ X = 0 Òº º Ò Ø Ò Öصºµ Ë Ø ½ Ë Û ÖØÞ³ ÓРص ÇÑ E(X 2 ) Ó E(Y 2 ) Ü Ø Ö Ö Ö EXY EX 2 EY 2. Ë Ø ¾¼ Â Ò Ò ÓРص ÄØ g : R R Ú Ö Ò ÓÒÚ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Ó X Ò ØÓ Ø Ú Ö Ðº ÒØ ØØ E(X) Ó E(g(X)) Ü Ø Ö Öº Ö E(g(X)) g(e(x)). Ë Ø ¾½ µ ÄØ X Ú Ö Ò Ö Ø ØÓ Ø Ú Ö Ð Ñ Ö ÐÒ Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ò F X Ó Ö i = 1, 2,... P(X = a i ) = F X (a i ) F x (a i ) =: b i. ÐÐ Ö ØØ EX Ü Ø Ö Ö ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ Ó ØØ ÐÐ ÐÐ Ö ØØ a i b i <, E(X) = a i b i. µ ÄØ X Ú Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ØÓ Ø Ú Ö Ð Ñ ØØ Ø Ò f X º ÐÐ Ö ØØ E(X) Ü Ø Ö Ö ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ Ó ØØ ÐÐ ÐÐ Ö ØØ EX = x f X (x)dx < xf X (x)dx.
10 Ë Ø ¾¾ µ ÄØ X Ú Ö Ò Ö Ø ØÓ Ø Ú Ö Ð ÓÑ Ë Ø ¾½ Ó g Ò ÓÖ Ð¹ÑØ Ö ÙÒ Ø ÓÒº ÒØ ØØ ÚÒØ ÚÖ Ø Ú Y := g(x) Ü Ø Ö Öº Ö E(Y ) = g(a i )P(X = a i ) = g(a i )b i. µ ÄØ X Ú Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ØÓ Ø Ú Ö Ð ÓÑ Ë Ø ¾½ Ó g Ò ÓÖ Ð¹ÑØ Ö ÙÒ Ø ÓÒº ÒØ ØØ ÚÒØ ÚÖ Ø Ú g(x) Ü Ø Ö Öº Ö E(g(X)) = g(x)f X (x)dx. Ò Ø ÓÒ ½ ÄØ X Ú Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð Ò ØØ E(X) Ü Ø Ö Öº Á ÐÐ E((X EX) 2 ) < ØØ Ú Ö Ò Ò Ø Var(X) Ú X Ü Ø Ö Ö Ó Ö Ð Ñ E((X EX) 2 ) : Î Ö(X) := E((X EX) 2 ). Ì Ð Ø Var(X) ÐÐ Ö X Ø Ò Ö ÚÚ Ð º Ë Ø ¾ ÒØ ØØ E(X) Ü Ø Ö Öº Ü Ø Ö Ö X Ú Ö Ò ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ E(X 2 ) Ü Ø Ö Ö Ó Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 º Ë Ø ¾ µ Var(X) = 0 c : P(X = c) = 1. µ Var(aX + b) = a 2 Var(X) Ö Ú Ö a, b R. µ ÇÑ X Ó Y Ö Ó ÖÓ Ò Ö Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ). Úµ ÇÑ {X i, i = 1, 2,..., n} Ö Ô ÖÚ Ó ÖÓ Ò Ú º X i Ó X j Ö Ó ÖÓ¹ Ò Ö Ú Ö i jµ Ö Var(X X n ) = n Var(X i ). ÇÑ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Ò Ò Ø ÓÒ ½ Ò ØÓ Ø Ú Ö ÐÒ X Ú Ö ÈÓ ÓÒ¹ Ö Ð Ñ Ô Ö Ñ Ø ÖÒ λ > 0 ÓÑ Ø Ò Ò X Po(λ)º P(X = k) = λk k! e λ, k = 0, 1, 2,.... ½¼
11 º½ ÈÓ ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÓÑ ¹ Ð Ö ÐÒ Ò ÄØ X Bin(n, p)º Î Ú ÐÐ Ú ØØ ÓÑ n, Ö ØÓÖØ Ó p Ö Ð Ø Ø Ö X appr. Po(np). Á ÔÖ Ø Ò Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò Ò Ø Ö Ò n > 10 Ó p < 0, 01º Ë Ø ¾ Ö n = 1, 2,... ÐØ X n Bin(n, p n ) Ó ÒØ ØØ λ := lim n n p n Ü Ø Ö Ö Ó Ö ÔÓ Ø Úغ ÐÐ Ö Ö Ú Ö k = 0, 1, 2,... ( ) n P(X n = k) = p kn(1 p k n ) n k λk k! e λ n. ÒÑÖ Ò Ò Ç ÖÚ Ö Ë Ø ¾ ØØ p n 0 n. ËÔ ÐÐØ ÓÑ p n = λ/n, Ö Ú ( ) ( ) k ( n λ lim 1 λ ) n k = λk n k n n k! e λ. Á Ú Ø Ú Ë Ø ¾ Ò ÒÚÒ Øº ܺ ËØ ÖÐ Ò ÓÖÑ Ð n! = (2π) 1 2 n n+ 1 2 e n+c n Ö 0 c n 1 º È Ø Ò Ø Ò Ó Ú Ñ ÐÔ Ú ÑÓÑ ÒØ Ò ¹ 12n Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Öº º¾ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ó ÖÙØ Ó Ó ÖÓ Ò ÖÒ Ö Ò Ö ØÖ Ø ØØ ÒÓÑ Ò ÓÑ ÙÔÔÖ Ô Ö Ô ØØ ÐÙÑÔÑ Ø ØØ Ó ÖÓ Ò Ú Ø Ö Ö ÓÑ Ø Ö Øº ܺ Ø ÖÒ ÐÐ ÐÐ Ö ÙÒ Ö ÓÑ ÒÐÒ Ö Ø ÐÐ Ò ÐÚ Ø Ò Ò Öº Ë Ò Ö ÒÓÑ Ò Ú º ÒØ Ð Ø Ö ÓÑ Ø Ö Ò ÙÒ Ö Ú ÒØ Ò Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ñ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Òº Ë Ø ¾ ÇÑ ¹ Ó ÖÓ Ò Ú ÒØ Ð Ø ÖÒ Ö Ò Ö ÙÒ Ö Ø Ò (0, t) ¹ ÒÒÓ¹ Ð Ø Ò Ö Ü Ø Ò ÖÒ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò (t, t + t) Ö c t + o( t) Ó ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ñ Ö Ò Ò ÖÒ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò (t, t + t) Ö o( t) Ö ÒØ Ð Ø ÖÒ Ö Ò Ö ÙÒ Ö Ø Ò (0, t) ÈÓ ÓÒ¹ Ö Ð Ø Ñ Ô Ö Ñ Ø ÖÒ ctº Ø Ò Ò Ò o( t) Ë Ø ¾ Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú t Ò ØØ o( t) ÙÒ Ú Ö Øº ܺ ( t) 2 µº o( t) lim t 0 t ½½ = 0
12 Ø Ò ÒÒÓÐ Ø ÑØØ Ó Ö ÐÒ Ò Ö Ò Ø ÓÒ ½ ÄØ (Ω, F,P) Ú Ö ØØ ÒÒÓÐ Ø ÖÙÑ Ó B F Ò ØØ P(B) > 0º Ò Ø Ò ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ò Ð Ò A Ñ Ú Ò Ô B Ö Ø Ð Ø P(A B) P(A B) :=. P(B) Ë Ø ¾ ÄØ B F Ú Ö Ò ØØ P(B) > 0º Ö (Ω, F,P( B)) ØØ ÒÒÓÐ Ø ÖÙѺ Ë Ø ¾ Ò ÐÐÑÒÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ö ÐÒµ Ö n 2 ÐØ A 1, A 2,..., A n, Ú Ö Ò Ð Ö Ó ÒØ ØØ ÐÐ Ö n P( A i ) > 0. n 1 P( n 1 A i ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 2 A 1 ) P(A n A i ). Ë Ø ¾ ÓÖÑ ÐÒ Ö ØÓØ Ð ÒÒÓРص ÄØ {A i } n, Ú Ö Ò Ð Ö Ò ØØ A i A j =, i j, n A i = Ω, Ñ Óº {A i } n, ÙØ Ö Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ Ú Ω. ÒØ Ó ØØ P(A i) > 0 Ö i = 1, 2,..., n,º ÐÐ Ö Ö B F P(B) = n P(A i )P(B A i ). Ë Ø ¼ Ý ÓÖÑ Ðµ ÄØ {A i } n, Ú Ö ÓÑ Ë Ø ¾ Ó B F Ò ØØ P(B) > 0º ÐÐ Ö Ö k = 1,...,n, P(A k B) = P(A k)p(b A k ) P(B) = P(A k)p(b A k ) n P(A i)p(b A i ) ½¾
13 º½ Ø Ò Ö ÐÒ Ò Ö µ Ø Ö Ø ÐРغ ÄØ Y Ú Ö Ò Ö Ø ØÓ Ø Ú Ö Ð Ñ ÚÖ ÑÒ Ò V Y = {y i : i = 1, 2,... } Ó P(Y = y i ) > 0º ÄØ X Ú Ö Ò Ó ØÝ Ð ØÓ Ø Ú Ö Ðº Ò Ø Ò Ö ÐÒ Ò Ò Ö X Ú Ø ØØ Y = y i Ö P(X x Y = y i ) := P(X x, Y = y i). P(Y = y i ) Ö ØØ ÙÒÒ ØÑÑ Ò Ø Ò Ö ÐÒ Ò Ò Ñ Ø Ñ Ò Ú ÒÐ ØÚ µ Ö Ø ØÑÑ Ö ÐÒ Ò Ò Ö (X, Y )º Á ÐÐ Ó X Ö Ö Ø Ñ V X = {x i : i = 1, 2,... } Ó g X,Y Ö Ö Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö (X, Y ) Ú º g X,Y (x i, y j ) := P(X = x i, Y = y j ), Ö Ò Ø Ò Ö Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö X Ú Ø ØØ Y = y i P(X = x i Y = y i ) = g X,Y (x i, y i ), g Y (y i ) Ö g Y (y i ) := P(Y = y i ), j = 1, 2,... º Ø Ø Ò ÚÒØ ÚÖ Ø Ú X Ú Ø ØØ Y = y i, غ E(X Y = y i ), Ò Ö Ú Ò Ø Ò Ö Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ô Ð Ò ØØ E(X Y = y i ) := x i P(X = x i Y = y i ). µ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÐÐ Ø Ñ ØØ Øº ÄØ f X,Y Ú Ö ØØ Ø Ò Ö (X, Y ) Ñ Óº x y F X,Y (x, y) := P(X x, Y y) = du dv f X,Y (u, v) x, y. Ç ÖÚ Ö ØØ ÓÑ f X,Y Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ (x, y) Ö 2 x y F X,Y (x, y) = f X,Y (x, y). Ò Ø Ò ØØ Ø Ò Ú X Ú Ø ØØ Y = y Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f X,Y (x, y), om f Y (y) > 0, f f X Y (x y) := Y (y) 0, om f Y (y) = 0, ½
14 Ö f Y Ö Y ØØ Øº ÆÙ Ò Ö Øº ܺ P(X x Y = y) := x f X Y (u y) du Ø Ø Ò ÚÒØ ÚÖ Ø Ú X Ú Ø ØØ Y = y Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÒÑÖ Ò Ò º µ ÇÑ E(X Y = y) := + xf X Y (x y) dx. f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) Ö Ú Ö x Ó y Ö X Ó Y Ó ÖÓ Ò º Á ØØ ÐÐ ÐÐ Ö Ó ØØ µ ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ö ÐÒ µ ÓÖÑ ÐÒ Ö ØÓØ Ð ÒÒÓÐ Ø Úµ Ý ÓÖÑ Ð f X Y (x y) = f X (x). f X,Y (x, y) = f X (x)f Y X (y x) f Y (y) = + f X (x)f Y X (y x) dx f X (x)f Y X (y x) f X Y (x y) = + f X(u)f Y X (y u) du Ü ÑÔ Ð ÄØ X 0, Y 0, Ó X Y º Î ØÑÑ Ö Ö ÐÒ Ò Ò Ö X + Y P(X + Y z) = = X Y = z 0 z 0 z 0 P(X + Y z Y = y)f Y (y) dy P(X z y Y = y)f Y (y) dy F X (z y) f Y (y) dy Ü ÑÔ Ð ÄØ X 0, Y 0, Ó X Y º Î ØÑÑ Ö Ö ÐÒ Ò Ò Ö XY P(XY z) = = X Y = P(XY z Y = y)f Y (y) dy P(X z y Y = y) f Y (y) dy F X ( z y ) f Y (y) dy ½
15 ÅÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö º½ Ë ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ø ÓÒ ½ ÄØ X Ú Ö Ò Ö Ø ØÓ Ø Ú Ö Ð Ñ ÚÖ ÑÒ Ò V X = {0, 1, 2,... }. ÙÒ Ø ÓÒ Ò G X (t) := E(t X ) = P(X = k)t k k=0 ÐÐ X ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒº Ç ÖÚ Ö ØØ t G X (t) Ö ÚÐ Ò Ö ØÑ Ò ØÓÒ µ Ö t 1º Ë Ø ½ ÒØ ØØ X ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ G X (t) Ü Ø Ö Ö Ö t < 1 + δ Ö Ò ÓØ δ > 0º ÐÐ Ö µ E(X) = G X (t) t=1, µ E(X 2 ) = G X (t) + G X (t) t=1, µ Var(X) = G X (t) + G X (t) (G X (t))2 t=1. ÒÑÖ Ò Ò Ø Ö ÓÑ G X (t) Ò Ö ÒÓÑ Ò ÔÓØ Ò Ö Ö Ò Ó ¹ ØÝ Ð Ø ÑÒ Ò Ö Ö Ú Ö Ö Ó Ö Ú ØÓÖÒ ÒÓÑ ØØ Ö Ú Ö Ö Ò Ø ÖÑÚ º Ë Ø ¾ Ò ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ú Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð ØÑÑ Ö Ú Ö ÐÒ Ö ÐÒ Ò ÒØÝ Øº Ð Ò Ø Ö ÒØ Ú Ø Ô Ö Ð Ò Ò ÖÒ º Ë Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò G : [0, 1] [0, 1] Ö Ò ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ö Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ú Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ ½µ 0 ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø (0, 1) Ö Ú Ö n = 1, 2,.... ¾µ lim t 1 G(t) = 1 º¾ G (n) X ÅÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ø ÓÒ ¾¼ ÄØ X Ú Ö Ò Ó ØÝ Ð ØÓ Ø Ú Ö Ðº ÙÒ Ø ÓÒ Ò M X (t) := E ( e t X) ÐÐ X ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÙØ ØØ ØØ Ò Ü Ø Ö Ö Ö t < δ Ö Ò ÓØ δ > 0µº ½
16 Ë Ø ÄØ X Ú Ö Ò Ö Ø ØÓ Ø Ú Ö Ð Ñ V X = {0, 1, 2,... } Ó ÒØ ØØ ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ G X (t) Ü Ø Ö Ö Ö t < 1+δ Ö δ > 0º Ö M X (t) = G X (e t ) Ö t < ln(1 + δ)º Ë Ø ÒØ ØØ Ú Ö ÐÒ X Ö Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò M X (t), t < δº Ö Ú Ö ÐÒ Y := ax + b Ö a, b R Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò M Y (t) = e bt M X (at), t < δ a. Ë Ø ÒØ ØØ Ú Ö ÐÒ X Ö Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò M X (t), t < δº Ü Ø Ö Ö ÐÐ ÓÖ ÓÑÓÑ ÒØ E(X n ), n = 1, 2,... ÙÒ Ø ÓÒ Ò t M X (t) Ö Ó ØÝ Ð Ø ÑÒ Ò Ö Ö Ú Ö Ö Ó E(X n ) = M (n) X (t) t=0. ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ ½ ÒØ ØØ Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò M X Ú Ú Ö ¹ ÐÒ X Ö Ö ÙØÚ Ð Ò Ò M X (t) = c n t n, t < δ. Ö n=0 E(X n ) = n!c n. Ð Ò Ø Ö ÒØ Ú Ø Ô Ö Ð Ò Ò ÖÒ º Ë Ø ÒØ ØØ X Ö Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò M X (t), t < δ Ö Ò ÓØ δ > 0º ØÑ X Ö ÐÒ Ò ÒØÝ Ø Ú M X º º Ì ÐÐÑÔÒ Ò Ö ½º ÄØ X i, i = 1, 2,..., n, Ú Ö Ó ÖÓ Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ò ØØ M Xi (t) Ü Ø Ö Ö Ö Ú Ö i t < δ Ñ δ > 0º Ö Y := X X n, Ð Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ E ( e ) ty = E ( e ) t(x 1+...,X n) = E ( e ) tx 1 E ( e ) tx 2 E ( e txn) n = M Xi (t). ËÔ ÐÐØ ÓÑ Ú Ö Ð ÖÒ X i Ö ÒØ Ø Ö Ð ÐÐ Ö Ø ØØ E ( e ty ) = (M X (t)) n, Ö M X (t) Ö Ò Ñ Ò ÑÑ ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ú Ú ¹ Ö Ð ÖÒ X i, i = 1, 2,..., n. ½
17 ¾º ÃÓÑ Ò Ö Ö ¹ Ø Ò Ö ÐÒ Ò Ö ØÖ Ø Ð Ò ØÙ Ø ÓÒ Î Ö ÐÒ X Ö Ò Ú Ò Ò Ö ÐÒ Ò º ÍÔÔ Ø Ò Ö ØØ ØÑÑ Ö ÐÒ Ò Ò Ö Ò ÒÒ Ò Ú Ö Ð Y ÓÑ Ö ÖÓ Ò Ú Xº Ö ÐÒ Ò Ò Ö Y Ú Ø ØØ X = x ÒØ Ú Ö Ò º ÀÖÚ Ö Ø Ó Ø Ò Ð Ø ØØ Ö Ø Ö Ö Y Ö ÐÒ Ò Ú ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒº µ ÒØ ØØ V X = {0, 1, 2,... }º Ö Ö M Y (t) = E ( e ty ) = P(X = n)e(e ty X = n), n=0 E(e ty X = n) = + e ty f Y X (y n)dy ÖÙØ ØØ ØØ Ò Ø Ò ØØ Ø Ò f Y X (y x) Ü Ø Ö Öº µ ÇÑ V X = R Ó X Ö ØØ Ø Ò f X Ö Ú M Y (t) = = + + f X (x) E(e ty X = x) dx dxf X (x) + dy e ty f Y X (y x). ÖÒ ÚÖ Ø Ö º½ ÇÐ Ø Ö Ë Ø Å Ö ÓÚ ÓРص ÒØ ØØ X Ö Ò ¹Ò Ø Ú ØÓ Ø Ú Ö ¹ к ÐÐ Ö Ö Ú Ö a > 0 Ó ÐÐÑÒ Ø Ö n = 1, 2,... P(X a) 1 a E(X). P(X a) 1 a n E(Xn ). ½µ ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ ¾ ÒØ ØØ X Ö Ò ¹Ò Ø Ú ØÓ Ø Ú Ö Ð Ò ØØ µ := E(X) Ü Ø Ö Öº ÐÐ Ö Ö Ú Ö k > 0 P(X kµ) 1 k. ½
18 Ë Ø Ì Ý Ú ÓРص ÒØ ØØ Ú Ö ÐÒ X Ö ÚÒØ ÚÖ Ø µ Ó Ú Ö Ò Ò σ 2 º ÐÐ Ö Ö Ú Ö k > 0 P( X µ kσ) 1 k 2. ¾µ ÒÑÖ Ò Ò ÎÐ ¾µ k = a/σ, a > 0º Ó P( X µ a) σ2 a 2 P( X µ < a) 1 σ2 a 2. º¾ ØÓÖ Ø Ð Ò Ð Ú ÓÖѵ Ò Ø ÓÒ ¾½ Ð Ò {X n } n=1 Ú ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÓÒÚ Ö Ö ÒÒÓÐ Ø ÑÓØ Ú Ö ÐÒ X n ÓÑ lim P( X n X > ε) = 0 ε > 0. n Ë Ø ¼ ÒØ ØØ X n X ÒÒÓÐ Ø Ó X n Y ÒÒÓРغ Ö X = Y Ò Ø Ò ÖØ Ú º P(X = Y ) = 1º Ë Ø ½ Ì Ý Ú Ø µ ÄØ {X i } Ú Ö Ò Ð Ú Ô ÖÚ Ó ÖÓ Ò ØÓ¹ Ø Ú Ö Ð Ö Ò ØØ ËØØ ÐÐ Ö X n := 1 n n X i, Ú º Xn µ n 0 ÒÒÓРغ c i : Var(X i ) c. µ n := 1 n n µ i (µ i := E(X i )). lim P( X n µ n < ǫ) = 1 ε > 0 n ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ ÄØ {X i } Ú Ö Ò Ð Ú Ô ÖÚ Ó ÖÓ Ò Ó ÒØ Ø Ö Ð ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ØØ σ 2 := Var(X i ) Ü Ø Ö Öº Ç ÖÚ Ö ØØ Var(X) Ü Ø Ö Ö E(X) Ü Ø Ö Öºµ ÐÐ Ö X n µ ÒÒÓÐ Ø Ö µ := E(X i )º ½
19 ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ ÖÒÓÙÐÐ Ø µ ÄØ ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ò Ð Ò A Ú Ö p Ó Ò Ö f n (A) := 1 ÒØ Ð Ø Ò Ö A ÒØÖ Ö Ú n Ó ÖÓ Ò ÙÔÔÖ ÔÒ Ò Ö Ú Ö Ø, n Ñ Óº f n (A) Ö Ò Ö Ð Ø Ú Ö Ú Ò Ò Ö Ò Ð Ò A. ÐÐ Ö lim P( f n(a) p ε) = 0 ε > 0. n ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ ÈÓ ÓÒ Ø µ ÄØ A i Ú Ö Ò Ò Ð ÓÑ ÒØÖ Ö Ú Ò i Ø ÙÔÔÖ ÔÒ Ò Ò Ú ØØ Ö Ñ ÒÒÓÐ Ø Ò p i º ËØØ f n := 1 n n 1 Ai. ÐÐ Ö ØØ lim n P( f n p n ε) = 0 ε > 0, Ö p n := 1 n n p iº Ë Ø ¾ Ã Ò Ò Ø µ ÄØ {X i } Ú Ö Ò Ð Ú Ô ÖÚ Ó ÖÓ Ò Ó ÒØ Ø Ö Ð ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ØØ µ := E(X i ) Ü Ø Ö Öº ÐÐ Ö ØØ X n := 1 n X i µ ÒÒÓРغ n º ÃÓÒÚ Ö Ò Ö ÐÒ Ò Ò Ø ÓÒ ¾¾ ÄØ {X n } n=1 Ú Ö Ò Ð Ú ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ó Ø ¹ Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ú X n Ñ F n. Ø ØØ X n X Ö ÐÒ Ò ÓÑ lim n F n(x) = F(x) Ú Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ø ÔÙÒ Ø x Ú X Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ F º Ë Ø ÄØ X, X 1, X 2,... Ú Ö Ö Ø ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÓÑ ÒØ Ö ÚÖ¹ Ò {0, 1, 2,... }. Ø ÐÐ Ö ØØ X n X Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ Ö Ú Ö k = 0, 1, 2,... º lim P(X n = k) = P(X = k) n Ë Ø X n X ÒÒÓÐ Ø X n X Ö ÐÒ Ò º Ð Ò Ø Ú ÒØ Ô Ö Ð Ò Ò ÖÒ º ½
20 Ë Ø ÒØ ØØ Ú Ö ÐÒ X n Ö Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò M n (t), t < δ Ö Ò ÓØ δ > 0 Ö n = 1, 2,... º ÇÑ Ø Ü Ø Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ M ØØ M(t) = lim n M n (t) Ö Ú Ö t < δ Ö M Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð Ð X Ó X n X Ö ÐÒ Ò º º Ò ÒØÖ Ð ÖÒ ÚÖ Ø Ò Ë Ø ÄØ X i, i = 1, 2,... Ú Ö Ó ÖÓ Ò Ó ÒØ Ø Ö Ð ØÓ ¹ Ø Ú Ö Ð Öº ÒØ ØØ M Xi (t), t < δ Ü Ø Ö Ö Ö Ú Ö i = 1, 2,... º ËØØ µ := E(X i ), σ 2 := Var(X i )º ÐÐ Ö Z n := S n nµ σ n Z Ö ÐÒ Ò, Ö Z N(0, 1)º Ð Ò Ø Ö ÒØ Ú Ø Ô Ö Ð Ò Ò ÖÒ º Ë Ø Ä ÔÙÒÓÚ Ø µ ÄØ X i, i = 1, 2,... Ú Ö Ó ÖÓ Ò Ó ÒØ ØØ E(Xi 3 ) Ü Ø Ö Ö Ö Ú Ö i = 1, 2,... º ÁÒ Ö Ó σ 2 i := Var(X i), ρ 3 := E( X i EX i 3 ) n n s n := ( σi 2 )1/2, r n := ( ρ 3 i )1/3. r n ÇÑ lim = 0 ÐÐ Ö Ø ØØ n s n S n E(S n ) Var(Sn ) Z N(0, 1) Ö ÐÒ Ò S n := n X iµº ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ ÄØ X i, i = 1, 2,... Ú Ö Ó ÖÓ Ò Ó ÒØ Ø Ö Ð Ò ØØ E(X 3 i ) Ü Ø Ö Öº ÐÐ Ö S n E(S n ) Var(Sn ) Z N(0, 1) Ö ÐÒ Ò º ¾¼
21 Î ÐÐ ÓÖ Ø lim r n /s n = 0 Ë Ø Ö ÒØ ÐÐØ ÐØØ ØØ ÓÒØÖÓÐÐ Ö º Ø ÐÐ Ö Øº ܺ ÓÑ Ú Ö Ð ÖÒ X i Ö Ð ÓÖÑ Ø ÖÒ Ú Ó ÓÑ lim s n = +. M i : P( X i µ i M) = 1, Ë Ø Ä Ò Ö Ó ÐÐ Ö Ø µ ÄØ {X i } Ú Ö Ó ÖÓ Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ò ØØ σ i := Var(X i ) Ü Ø Ö Ö Ö Ú Ö iº ÒØ ØØ Ö Ú Ö t > 0 1 n (y µ i ) 2 F i (dy) 0, y µ i >ts n s 2 n Ö F i Ö Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ú X i Ó s 2 n := σ σ2 n. ÐÐ Ö ØØ S n E(S n ) Var(Sn ) Z N(0, 1) Ö ÐÒ Ò º ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ ÄØ X i, i = 1,..., n, Ú Ö Ó ÖÓ Ò Ó ÒØ Ø Ö Ð Ò ØØ E(X 2 i ) Ü Ø Ö Öº ÐÐ Ö S n E(S n ) Var(Sn ) Z N(0, 1) Ö ÐÒ Ò º Ä ØØ Ö ØÙÖ ÒØ Ò Ò Ö Ý Ö Ðº º Ô Ð Ò Ð ØØ Ö ØÙÖ ÙÒ Ã¹Äº ÓÙÖ Ò ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÓÖݺ À ÖÓÙÖØ Ö ² ÏÓÖÐ Òº Æ Û ÓÖ ½ µ Ê Äº Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ Ó ËØ Ø Ø º Ð ÓØ ÖÐ Ø ËØÓ ÓÐÑ ½ µ ÌÙÓÑ Ò Ò Èº ÆÓÖÐ ÑÓ Èº ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒØ º Ä Ñ ÖÝ À Ð Ò ½ µ È Ö Ð Ò Ò ÖÒ Ö Ó ÒÚÒØ Ñ Ø Ö Ð ÖÒ Ð Ò Ö ÙØ º Ò ÒØ ÖÑ Ø ÓÙÖ Ò ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÓÖݺ ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ Æ Û ÓÖ ÖÐ Ò À Ð Ö ½ µ ¾½
22 Å Ø Ö Êº Ò ØÙÖ Ð ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÓÖݺ Ö Ù Ö Ð ¾¼¼ µ È ØÑ Ò Âº ÈÖÓ Ð Øݺ ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ Æ Û ÓÖ ÖÐ Ò À Ð Ö ½ µ ¾¾
ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾
Å Ø Ñ Ø Ò ¾¼½¾¹¼ ¹½ Æ Ö Ò Ð Ð Ö Ò ØÓÖ Æ Ð Ö ÓÒ Ò Ð º Ö ÓÒ Úº ½ ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ñ ÒØ ÙÔÔ Ú Ö Ö Ú Ò
Läs merf(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0
½»¾¹¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ñ ØÖ Ö Ë Ø ÙØ Ö Ú p(a) Ö p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ ÆÙ ÐÐ Ú Ú ÙÖ Ñ Ò Ò Ò Ö f(a) Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ö f(x) ÓÑ Ò Ú Ö ÒØÖ Ö f(x) = f t (x) = e tx ÓÑ Ö e ta Ö ËÝ Ø Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ
Läs mers N = i 2 = s = i=1
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ ¹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö ËÖ Ôع Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö ÄÓ ÙØØÖÝ Î ÐÐ ÓÖ Ø Ö ¹ Ø Ö Ê Ô Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÐÓÓÔ Öµ ÓÖ¹ Ø Ö Û Ð ¹ Ø Ö ½ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÐ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ØØ ÔÖÓ
Läs merÌ ÆÌ Å Æ ËØ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Á ÌÅ˽ ¼ ÑÒ Ò Ò ½ Ñ Ö ¾¼¼ Ð Ô Îº ÂÓÙÖ ÂÓ Ò Ù Ø Ú ÓÒ Ò Òº ½ À ÐÔÑ Ð ÍØ Ð ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ö Ì Ô ÙÖ Ò ÒÚÒ ÓÖ Ð Ø Ó ØÝÔ Ó Ò Ö Ò Ó º ÈÓÒ Ö Ò Ò ÍÔÔ Ø ÖÒ Ö Ú ÖÚ Ð ØÝÔ Ö Ò Ø ØØ ÐØ
Läs merÎ Ö Ä Ì ½º Ì Ö Ò Ø Üع Ð ÓÑ ÒÔÙغ ¾º ÈÖÓ Ö Ö Ð Ò Ó ØÑÑ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò Øº º Ö ÙØ Ò ÎÁ¹ Ð Ú ¹ÁÒ Ô Ò Òصº º ÎÁ¹ Ð Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ò È ¹ к
ÐÐÑÒØ ÓÑ Ä Ì Ä Ì Ö Ò Ú Ö ÙØÚ Ð Ò Ú Ì ¹ Ý Ø Ñ Ø ÓÑ ÙØÚ Ð Ô ¼¹Ø Рغ Ì ÐÐØ Ö ØÚ Ò Ö µ Ö ÒØ Ò ØØ ØÒ Ñ Ö Ô ÒÒ ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ò º Ò ÐØ ØØ Ô ØÖÙ ØÙÖ Ö Ó ÙÑ ÒØ ÁÒÒ ÐÐ ÖØ Ò Ò ÃÐÐ ÖØ Ò Ò ÓØÒÓØ Ö Ê Ö Ò Ö ØÓ Ø Ò Ö
Läs merÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ø Ð Ö
ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ö ÔØ Ú È ¹Ð Ö Ö ØÓ Ö Ê ÑÕÙ Ø Ê Ö Ò Ö Ê Ö Ä ÓÒ Ö Ø Ò Ä Æ Ð ÓÒ Ò Ö Ë ÖÐÙÒ Ù Ø Ú Ì ÒÓ ½¾ Ñ ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ
Läs merFöreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen.
Ä Ò Ö Ó ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ö Ò Ö Ö Ã Ð Å Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ Ö Ð Ò Ò ½ Æ ÙÖ Ð ÒØÚ Ö ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ È Ö ÔØÖÓÒ Ð Ö Ð Ö ËÙÔÔÓÖØ Î ØÓÖ Å Ò ÀÓÔ Ð ÓÐØÞÑ ÒÒÑ Ò Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØØ ÒÝØØ Ö Ò Ò ØØ È Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ø Ö Ò Ø ÁÒÐÖÒ Ò ÇÔØ
Läs merÖ ÙÔ ØÙ Ú ÖÖ Ö ÓØÐ Ò Ä Ö ÆÓÖ Ò ËÚ Ö Ñ Ø ÓÖÓÐÓ Ó Ý ÖÓÐÓ Ò Ø ØÙØ ÆÓÖÖ Ô Ò ¾¼ Ñ Ö ¾¼½¾ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ÍØÖ Ò Ò ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò Ö Ö Å ØÓ º½ Ö Ò Ò Ú Ö ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ð ÓÖ
Läs merx 2 + ax = (x + a 2 )2 a2
ÅÐ Ö Î ½ ½º ÒØ Ñ Å ÔÐ º ¾º Î Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ð Ö º º ÇÐ ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÒ Ö ÔÐ Ò Ø»ÖÙÑÑ Øº µ ÁÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ø Ö Ð Ñ Å ÔÐ Ð Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ö µ ÐÐ Ø Ü Ð Ò Ö Ó Ò Ö Ö ÙÖÚÓÖ º Á Å ÔРй Ð Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ô ÙÖ ÙÖÚ
Läs merÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Å Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ØÝÔ Ö Ó Ú Ö Ð Ö Î ØÓÖ Ö»Ð ØÓÖ ½ ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ
Läs merDlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) =
ÃÓÑÔ Ò ÙÑ ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ú Å Ð Ò À Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ Ó ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ ÁÒØ Ö Ð Ö ¾º½ Ö Ú Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ
Läs merStapeldiagram. Stolpdiagram
Á Î Ù Ð Ö Ò Ö Ñ ¹ Ö Ö Å ØÖ Ö Ó Ð Ö ÇÖ ÒØ Ö Ò º Ä ÐÚºµ ½ À ØÓ Ö Ñ Ó Ø Ô Ð Ö Ñ Å ÓÑÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ñ Ó Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ø Ô Ð Ö Ñ Ö Ô Ø Ú ØÓ Ö Ñº ØÓÐÔ Ö Ñ ËÝÒØ Üº Ö Üµ Ê Ø Ö ØØ Ø Ô Ð Ö Ñ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ò Üº Ø Ñ Üµ Ê Ø
Läs meru(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ)
Ã Ô ¹ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÌÚ ÖÙÒ ÔÖ Ò Ô Ö Ö ØØ Ý Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ö Ó Ø µ Ý Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ý º ÒÚÒ Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ð Ò Ò Ö Ð Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ö Ø Øµº Á Ð Ò Ú ÝÔÓØ Ö Ó ÑÔ Ö Ñ Ò µº Ë Ã Ô ¾ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÒ Ø Ò ÑÒ ËÝ Ø Ñ
Läs merÖ Ò histogramtransformationº
ÍÐØÖ Ð Ù Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÌË ½ Å Ò Ð Ö ÍØÚ Ð Ú Å Ø Ò Ö ÓÒ ÁÅ̵ ¾¼½ ÍÔÔ Ø Ö Ú Å Ö Å ÒÙ ÓÒ ÎÄ ÁË µ ¾¼½ ÓÒØ ÒØ ÍÔÔ Ø Ò Ä Ò Ê ¹ Ø Ò Ê ÒÒ ØÖÐ Ó ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ Ñ Ú Ö ØÙÖ ËÙ ÑÔÐ Ò Ò
Läs mer1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt
Ë Ñ Ò ÖÚÓÖØÖ Ö Ð Ó ÓÒ ËØÖ Ò Ò Ö ÖÓ Ö Ø ¾½º Å ¾¼¼ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÏÓÖÙÑ Ø³ ¾ ¾ Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò ¾ ¾º½ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ º º º º º º º
Läs mer2E I L E I 3L E 3I 2L SOLUTIONS
Ä Ò Ô Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ú ÐÒ Ò Ò Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ Ò Ð Ä ÖÑ Ö Ð Á Ì ÓÖ Ð Á ÒÙÑÑ Ö Ì ÆÌ Å Æ ÌÅÅÁ½ ¹ ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÖÙÒ ÙÖ ¾¼½ ¹¼ ¹¾ ½ ½º Ò Ö ØØ ÙÔÔÐ Ð ÓÖ Ú ØÐ Ö ØØ Ú Ò ÐÙÑ Ò ÙÑÔÖÓ Ðº ÒÒ Ð Ð Ø Ñ Ò ÔÙÒ ØÐ Ø F Ô Ñ Øغ ÀÙÖ
Läs merËØÝÖÒ Ò Ú Ð Ò Ñ Ò ØÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö ÁË ÓÖ ÓÒ Ý Ø Ñ ½ Ù Ù Ø ¾¼¼¾ ÂÓ Ò Ð Ò ÜÜÜÜÜܹÜÜÜÜ È Ö Ö ¼ ½½¹ Ô ÖÓ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ Ð Ò Ò ¾º½ ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÀÖ
Läs merÁÒÒ ÐÐ Á ÝÖ ÖÒ ÓÑ ËÙÖ Ð¹ Ö ÓÑ ØØ Ö ÁÁ ÌÖ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ó Ò Ð Ø Ö ÁÁÁ йÀ Ò Ö Ñ Ö Ð ÓÒ ÁÎ Ò Ö Ø ÖÙÒ Ò Î Ò Ò Ö ÖÙÒ Ò ÃÒÒ ÓÑ ÓÑ ÚÖ Ö Ð ÓÒ Á ¹ Ð Ñ
ØÖ ÖÙÒ ÖÒ Ë Ý ¹ÙйÁ Ð Ñ ÅÓ ÑÑ Á Ò Ð¹Ï Á ÐÐ Æ ÑÒ Ò Æ Ö Ò ÖÑ ÖØ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÐÐ Ö Ñ Ö Ø ÐÐ ÐÐ Ó Ñ Ö Ó ÚÐ Ò Ð Ö Ú Ö Ñ ÈÖÓ Ø Ò ÅÓ ÑÑ º ØØ Ö ØÖ ÖÙÒ ÖÒ ÒØÐ Ò Ø Ò ÖÒ ÖÙй Ø ºÓÑ Ñ Ö Ø ÐÐØ Ð ÓÑ Ö Ú Ò Ñ Ð Ø Ö Ð
Läs merÖ ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Ø
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Øº Ö ÑØ º ÌÀÆÇ»ËÍÆ Ì Ë ½ ÓÔÝÖ Ø ÅÒ Æ Ð ÓÒ ¾¼¼¾ À ØÓÖ
Läs merImperativ programering
Imperativ programering Lösningen till Inlämningsuppgift 1A sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 21 juni 2007 1 Program 1 1.1 C - غ ÒÙ Ø Óº ÒÙ Ø º ÒØ Ñ Ò µ Ö ÓÖ ³ ³ ³ ³ µ ÔÖ ÒØ ± µ ÔÖ ÒØ Ò µ Ö ØÙÖÒ ÁÌ ËÍ ËË
Läs merx + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 2011-12-13 kl 1419 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Läs merÐ ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼
Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ú ÙÒ ÙÐ Ø Ø Ø Ð Ö Ð Ð Ò ÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ
Läs merÈÖÓ Ö ÑÚ Ö Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÑ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ò Ã Ò Ø Ö Ø ÒÓÑ Ú Ð Ò Ò Ö ÙØ Ð Ò Ò Ò Ú ÐÑ Ö ÂÓÒ Ø Ò Ð Ø Ø ÝÐÐ Ö Ò Ø ÒÒ ÙÖ Ö Ò Ê ÑÐ ÂÓ Ò Î ÐÐÝ ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ú Ø Ò Ô Ö ÐÑ Ö Ø Ò ÓÐ Ø ÓÖ ÙÒ Ú Ö
Läs merÖ Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ
Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö
Läs merσ ϕ = σ x cos 2 ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ xy sinϕcos ϕ
ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ì Ò Ñ Ò Ú º Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ù Ù Ø ¾¼½¾ ½ ËÔÒÒ Ò Ö τ σ ÆÓÖÑ Ð ÔÒÒ Ò σ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ò ØØÝØ Ë ÙÚ ÔÒÒ Ò τ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÒØ ÐÐØ Ø ÐÐ Ò ØØÝØ ËÔÒÒ Ò
Läs merAnpassning av copulamodeller för en villaförsäkring
Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring Emma Södergren Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2012:9 Matematisk statistik December
Läs merÐ ËÅ ½¹½¾¹¼¾ ½ ÅØØ ØÐ ÔÔÒÒ ÇÖÖÒÒ ÖÐÖ ÑØØ ÔÔÒØ ÐÓÒ ½º¾ Ñ ¼ ØÒÓÐÓÖ ÒÖÚÖÒº ¾ ÓÖÑÐ µ ÌÐÐ ÑØ ÓÖÖÒ ÚÐ ÓÖ ÂÓÑ ÅÐÐ ÚÖº µ ÌÐÐ ÑØ ÖØÖÖ ÚÐ Ö ÒÒ Ö ÓÒ ÚÖº µ ÌÐÐ Ù ØÖÒ ÑÒ ÚÐ ÌÓÑ ÏÖ ÜØÙ ÑÙ ÑØ ÂÓÒ ÀÖ ØÖØÙ ¹ ÑÙ º µ ÁÒ
Läs mer1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Å»Ì Æ Ð Ö ÓÒ ¾¼½¾¹¼ ¹¾ ½ Á Ñ» ܺ ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º Ì ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ È. Î Ò ÐÑØØ Ø Ö Ò Ö Ë ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò º Ò Ø ÓÒ Öº ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ Ø Ø Ö ÌÖ Ò Ð
Läs merÃÓÑÔÙØØÓÒÐÐ ÁÒØÐÐÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ Ê ËÚÒÖ ÖÞ ÅÙ Ø ÀÒ ÇÐÓ ÓÒ ÑÖ ¾¼¼¾ ÁÒÒÐÐ ½ ËÝØØ Ñ ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ ÌÓÖ ÒÐÝ º½ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÅÖ ÖÙ º º º º º º º º º º º º
Läs merÂ Ú ËÖ ÔØ ÇŠغ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼
Â Ú ËÖ ÔØ Øº Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ò ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ ÔÖ Ò Ô Ù Ë ÚÓ Ö Ò Ú Ù Ö Ò Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö ÙÒ ØÝ ³ÙÒ Ñ ÒØ Ù Ë ÚÓ Ö ÓÖ Ö ÙÒ
Läs mer¾ ½ ½¼ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ø Ò Ö Ì½ Ä ÓÖ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ø ¾¼¼¼»¾¼¼½ ÝÐÐ ØØ Ò ÑÒ Ó Ô Ö ÓÒÒÙÑÑ Ö Ñ Ð ÐÐ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò º Ç Ë ÇÑ ÒØ ÒÒ Ú ØØ Ò Ø Ñ Ú Ö ÓÚ Ò Ò Ò Ö Ù Ò Ò Ú ØØ Ò Ö Ùй Ø Ø Ø Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò Ý Ø Ñ
Läs merG(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1)
ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ËÁÃÍÅ ÎÆÁÆ ËÄ ÇÊ ÌÇÊÁ Ì Ê ËÈÊÁ ÆÁÆ ¹ Á Á Ê ÃÌÁÇÆËÅ ÆËÌ Ê ÎÁ Ê ÆÌ Æ Á Ê ÃÌÁÇÆ ÆÄÁ Ì ¹Ë À ÊÊ ÊË Å ÌÇ ½ºÁÒÐ Ò Ò º ÃÓÖØ ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ÖÙÒ Ð Ò Ø ÓÖ ºµ Ç º ÒÒ ÒÐ Ò Ò Ö ÒØ Ú ØØ ÙØ ÖÐ Ø Ö
Läs merVerktyg för visualisering av MCMC-data. JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK
Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete Stockholm, Sverige 2010 Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete i datalogi om 15
Läs merÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò ½½ ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖ Ò Ô ËÎ ÓÒÒ ØÖ Ð ØÖÙØÙÖ ³ÙÒ Ö Ú ÓÒÒ ØÖ Ð ÙÖ Ë ÚÓ Ö Ö ÖÓÙÔ Ö ÙÒ
Läs merÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½ ÊÇÊ Ì ÖÑ Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö ØØ ÑÝ Ø Ö ØØ Ô ØÖÙÑ Ú ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÑ Ô ØØ ÐÐ Ö ÒÒ Ø ØØ
Läs merMultivariat tolkning av sensordata
Multivariat tolkning av sensordata Totalförsvarets forskningsinstitut, FOI Hanna Smedh Examensarbete i matematisk statistik 3, 30 högskolepoäng Vt/ht 2009 Handledare: Peter Anton, Leif Nilsson och Pär
Läs merÊ Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º ÇÒ ½ Û Ö Ú Ò Ö Ò ÓÑ Û Ð Û Ø º º º ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ö Ò ÓÑ
Läs merFrån det imaginära till normala familjer
Från det imaginära till normala familjer Analytiska konvergenser Linnea Widman Vt 2010 Examensarbete 1, 15 hp Kandidatexamen i matematik, 180 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik ÖÒ
Läs merImperativ programering
Imperativ programering Inlämningsuppgift 1 sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 12 juni 2007 1 Deluppgift A Nedan finns fem program skrivna i fem olika språk. Er uppgift är att skriva alla fem programmen i
Läs merË ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÃÓ ÑÓÐÓ ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ÙѺ ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ö Ø Ð ÜØ Ö Ú Ñ¹ Ñ ØÖÐÒ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ó ÒØ Ñ Ò ØÖÓ ÓÑÑ ÙÖ ÓÐÐ Ó
ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ Ú ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ò ØÙ ØØ Ú ÍÒ Ú Ö ÙÑ Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò Ú Ò Ë Ó Ó Ø º Ö Ö Ò Ð Ö ÖÓ Ø º Ë ½¼ Ü Ñ Ò Ö Ø ÒÓÑ Ø Ò Ý ÖÙÒ Ò Ú ½ ¼ Ô À Ò Ð Ö Ð Ü ÊÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ë ÓÐ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
Läs merÏ Ö Ð Ä Æ Ò Ò ÐÝ Ó Ø Ë ÙÖ ØÝ Ò Æ Ó Á ¼¾º½½ ¹ À Ò Ð Ò Ò ÙÖ Ò ¾¼¼½ ÌÓ ÂÓÒ ÓÒ Ø Ó º Ø º Ö ÈÖÓ Ø Ø Ø ÊÓÝ Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÃÌÀµ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å ÖÓ Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý ÁÅÁ̵ Á ÓÖ Ø Ò ½ ¼ Ã Ø ËÛ Ò
Läs merTentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi
Ì ÒØ Ñ Ò ÌÅÅ ¾ Ì Æ½µ Å Ò Ö Ì ÒØ Ñ Ò ØÙÑ ¾¼½ ¹¼ ¹½ к ½ ¹½ º Ü Ñ Ò ØÓÖ Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº ÂÓÙÖ Ú Ò Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº Ì Ð ÓÒ ¼½ ¹¾ ½½¾¼º Ö Ø ÒØ Ñ Ò ÐÓ Ð Ò Ðº ½ Ó ½ º ¼º À ÐÔÑ Ð Ê ØÚ Ö ØÝ ÑØ ØØ ¹ Ð ÓÖµ Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ò
Läs merØ Ú Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ç Ð ÓÒ ² Ñ Ð À Ú Ð Ö Ò Ú Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø Ö Ø ÓÑ ÖÚ Ö ØØ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ü Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ôº ÐÐØ Ñ Ø Ö Ð ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ð Ø ÒØ Ö ÚÖØ Ø Ö Ð Ú Ø ØÝ Ð Ø ÒØ Ö Ø Ó Ò Ø
Läs merÄ Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô Ó ÐÖ Ò Ú ÐÒ Ò ÁÒ Ø ØÙØ
Läs mer( ) = 3 ( + 2)( + 4) ( ) =
ÊÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÔØÐ ÓÑÔÒØ º½ ËÖÚ Ý ØÑÒ ÒÒ Ô ØÐÐ ØÒ ÓÖѺ ÒØ ØØ Ù Ö Ò ÒÐ Ó Ý ÙØ ¹ Òк µ µ Ý(Ø) + Ý(Ø) 2 Ý(Ø) + 3 Ý(Ø) 5 µ 4 Ú(Ø) + 5Ú(Ø) 2 Ý(Ø) + 2Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ú(Ø) + 2Ú(Ø) 3 Ý(Ø) + 7 Ý(Ø) + 4Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ý (3)
Läs merÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ
ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¹ ¾¼½ Ò Ø ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ + Ú º º Ý Ø ÑØ Ò ÁÒ Øº º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ø + ÈÓÛ Ö ËÝ Ø Ñ ÀÎ ÄÙ Ú ½ Ñ Ö ¾¼½ ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò
Läs merÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Î ØÙ Ö Ö Ò Ñ ØÓ Ö ØÑÑ Ò Ú ÔÙÒ Ø Ú Ö Ò ØÑÑ
Läs merÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ
Läs merÅ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖ Ö ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐ Ö Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ø Ò ÓÐÓÖ
ÅØÑØ ØØ Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖÖ ¾ ÙÙ Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐÖ Ó ØÐÐÖ ØÐÐ ÅØÑØ ØØ Ø Ô ÙÒÚÖ ØØ Ó ØÒ ÓÐÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ÄÓÖÑ ÒÒÓÐØ ÖÐÒÒ Ô ØØ ÒÐØ ÙØÐÐ ÖÙÑ Ë ÇÑ ÐÐ ÙØÐÐ Ö Ð ÒÒÓÐ ÐÐÖ Ö Ò ÒÐ ØØ È µ Ò µ Ò Ëµ ØØ Ö Ò Ð ÒÒÓÐØ ÒØÓÒÒº
Läs mer¾
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ Ò Ö ÀÓÐ Ø ¾ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ
Läs merËÐ ½ ÁÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ËÐ ¾ ÈÖÒÔ Ö ÒÙÑÖ Ð ÒÒ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ Ô ÚÖ ÐÒØÖÚÐÐ [Ü Ü+]
Läs merÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ¾ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ö Ò Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ö Ú
Läs merSjälvorganiserande strömningsteknik
Självorganiserande strömningsteknik i Viktor Schaubergers fotspår Lars Johansson Morten Ovesen Curt Hallberg Institutet för Ekologisk Teknik Forskningsrapporter 1 Malmö - 2002 Ë ÐÚÓÖ Ò Ö Ò ØÖ ÑÒ Ò Ø Ò
Läs mer½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº
Æ Ö Ø Ö Â ÒÙ Ö ¾¼¼ ½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº Ö ÒØÞ Ö Ð Ó Ð Û Ñ Ð Û ÓÒ Ò ÓØØ
Läs merÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ø ÑØ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ü Ñ Ò Ö Ø Ö ØØÖ Ò Ú ÙÓÖÓ ÓÔ Ð Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ÙØ ÖØ Ð Ò Ð Ò Ú Ì Ò ÓÐ Ò Ä Ò Ô Ò Ú À Ò ÖÓÐÙÒ ÄÁÌÀ¹ÁË ¹ ¹¼» ¾ ¹Ë Ä Ò Ô Ò ¾¼¼ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ä Ò Ô
Läs merB:=0; C:=0; B:=B+2; C:= 0; B>0 -> B:= B-2; B>0 -> B:= B-2;
ËÝÑ ÓÐ Ò ÐÝ Ó ÌÖ Ò Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÁÒÚ Ø Ô Ô Ö Ø Ø Ëž¼¼¼ ÏÓÖ ÓÔ Æ Ø Ö Ò Ë Ò Ö ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ËÊÁ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Å ÒÐÓ È Ö ¼¾ ÍË Ò Ö ÓÛÖ Ðº Ö ºÓÑ ÍÊÄ ØØÔ»»ÛÛÛº к Ö ºÓÑ» Ò Ö» È ÓÒ ½ ¼µ ¹ ¾ ¾ Ü ½ ¼µ ¹¾
Läs merËÐ ½ ØØ ÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÐØ ÓÑ ÖØ ÖÒ Ð ËÐ ¾ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ÆÙÑÖ Ð ÒÒ ÔÖÒÔ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ÒÐÒÒ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ
Läs merInförande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem
Avdelning för datavetenskap Andréas Jonsson Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem Introduction of object oriented patterns to increase software modifiability
Läs merÅ Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓ
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓÔ Ë Û ÖÞÛ ÐÐ Ö ÌĐÙ Ò ½ Ì Ö ÑĐÙÒ Ð Ò ÉÙ Ð Ø ÓÒ ½ º½¾º½
Läs merØ Ú Ø Ò Ô ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ¾¼¼¼ Ö ØØ ÖÒ Ó Ã ÖÐ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 1 maj 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström En brevväxling: Olle Häggström och Anders Hallberg Uppsala Gästabud: Ulf Persson Uppsalas
Läs mer¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½
Ó ÙÚÐ º Ú ÓÖ ÓÖ ØÓÚº Ú Ö Ø Ò Ò Ø Ò Ö Ù Ù Ø ¾¼¼½º ¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½ Á Ö Ø
Läs merÚ Ö Ö ÐÒ Ö ØØ Ö Ú Ø Ú Ò Ò ¹ Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ö ¹ Ø Öº ËØÝÖ Ú ØØ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ò ÑÓØ Ð ÙÐÐ º Á Ó Ç ÓÐ ÔÖ Ð Ú ÝÒº ÍÒ Ø Ö ÖÒ ÐÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ò ÀÓÑ ÖÓ Ö Ø
ÒØ Ò Ò Ö ÄÎ ÂÓ Ò Î ÐÐ ÙÑ Ñ Ö ¾¼¼ ÒÑÖ Ò Ò Ö Å Ò Ó ÙÐÐ ÓÖ ÒØ Ò Ò Ö ÑØ Ò Ø Ò Ò Ö ½ ½º½ ÐÐÑÒØ ÀÓÑ ÖÓ ÁÐ Ò Ó Ç Ý Ò ØÚ Ð Ö Ú Ò ØÖÓ Ò Ý ÐÒ ÓÑ ØÓ Ú ÔÓ º ÁÒØ ÑÝ Ø Ú Ö Ø ÖÒ ÒÒ Ú Ö º ÁÐ Ò º ¹ ¼ Ç Ý Ò º ¼ Ö Ò Ö º
Läs merhuvudprogram satser funktionsfil utparametrar anrop av funktionsfil satser satser
Á ÈÖÓÖÑ ØÖÙØÙÖ Ð ÒÒ ½ ÀÙÚÙÔÖÓÖÑ Ó ÙÒÖÔÖÓÖÑ ÆÖ ÑÒ Ð Ö ØÓÖ ÔÖÓÐÑ Ö Ö ÑÒ ÓØ Ð ÙÔÔ ÔÖÓÐÑØ ÐÔÖÓÐѺ ËÒ ÖÚÖ ÑÒ Ò Å¹Ð Ö ÚÖ Ðº ÌÝÔ Ø ÖÚÖ ÑÒ Ò ÓÑÑÒÓл ÖÔØÐ ÓÑ ÐÐ ÙÚÙÔÖÓÖѵ ÓÑ ÒÖÓÔÖ ÙÒØÓÒ ÐÖ ÓÑ Ó ÐÐ ÙÖÙØÒÖ ÐÐÖ ÙÒÖÔÖÓÖѵº
Läs merº º ËÝÒ ÔØ ÔÐ Ø Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Æ ÙÖÓØÖ Ò Ñ ØØ Ö º º º º º º º º º º
Æ ÙÖÓ Ý ÓÐÓ ¹ Ò ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ Ú Ö ÓÒ ¼º½¾ Ò Ø Ä ÙÒ ÕÙ Ø ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ö Ö Ò Ö Ú Ú Ø Ø ÓÒ ÔØ Ò ÓÑ Ö ÓÑÑ Ö Ã Ò Ð Ë Û ÖØÞ ² Â Ð Ó ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ ½
Läs mera = ax e b = by e c = cz e
ËÁÃÍÅ ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÈÊÇ Ä ÅË ÅÄÁÆ Ê ÃÇÆ ÆË Ê Å Ì ÊÁ ÆË ËÁà РÁ Ĺ ½ ½º ÃÖ Ø ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ½¹½º ÃÓÔÔ Ö Ö ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ó Ò Ø Ø Ò º»Ñ 3 º Ö Ò Ñ ÐÔ Ö Ú µ à ÒØÐÒ Ò Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Òº µ Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ
Läs merTmem. ::= {mem data := Tmem data ;mem free := Tmem free ;mem null := Tmem null ;mem code := Tmem code }
ÓÖÑ Ð Î Ö Ø ÓÒ Ó Å ÑÓÖÝ ÅÓ Ð ÓÖ ¹Ä ÁÑÔ Ö Ø Ú Ä Ò Ù Ë Ò Ö Ò Ð ÞÝ Ò Ú Ö Ä ÖÓÝ ÁÆÊÁ ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò ßË Ò Ö Ò º Ð ÞÝ Ú ÖºÄ ÖÓÝÐ ÒÖ º Ö ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ÓÖÑ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÕ ÔÖÓÓ Ø ÒØ Ó Ñ ÑÓÖÝ
Läs merTentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg
Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M004M Tentamensdatum 200-03-24 Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00-4.00 Lärare: Thomas Strömberg Jourhavande lärare: Thomas Strömberg Tel: 0920-49944 Resultatet
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 januari 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström Mittag-Lefflers testamente: Arild Stubhaug Reminiscenser av Mittag-Lefflerinstitutet:
Läs merVattenabsorption i betong under inverkan av temperatur
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LUNDS UNIVERSITET Avd Byggnadsmaterial Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur Tina Wikström Rapport TVBM-5084 Lund 2012 ISRN: LUTVDG/TVBM--12/5084--SE (1-66) ISSN:
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2011 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Intervjuer: Raghunathan, Björner, Laptev Popular Mathematics: Ulf Persson John Milnor -
Läs merPLANERING MATEMATIK - ÅK 7. Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter. Elevens namn: Datum för prov
PLANERING MATEMATIK - ÅK 7 HÄLLEBERGSSKOLAN Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Dinner with the Devlin: Persson Logikern Pelle Lindström död: Dag Westerståhl More Sex.
Läs meru(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω)
Ã Ô Ø Ð ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØØ Ö Ã Ô Ø Ð Ø ÐÐ ÓÑÔ Ò Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ó Ö Ø Ñ Ô Ø ÒØ Òº Á Ô Ø Ð ¾ ÙØ Ö Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÙÖ Ñ Ò ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ö Ñ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Öº Î Ö Ó ÒØ Ø ØØ ÑÓ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÝÒ Ñ ÑÓ
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 februari 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm What should a Mathematician Know?: Davis & Mumford Två klassiska läroböcker i analys:
Läs merFrågetimmar inför skrivningarna i oktober
MATEMATIK Frågetimmar inför skrivningarna i oktober (Tomas Carnstam, Johan Richter, ) fredag 9 oktober 55 7 (Obs) tisdag 2 oktober 05 2 onsdag 24 oktober 05-2 torsdag 25 oktober 05 2 fredag 26 oktober
Läs merÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð ¹ Ò Ð Ò Ôº Ì˵ Ö ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø Ò Ö Æ ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2008 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Brändén och Karlsson Wallenbergpristagare: Borcea och Benedicks Lund under luppen: Magnus
Läs merarxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008
Å ÖÓ ÓÔ Ù Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ë Ö È Ö Þ¹Å ÖØ Ò Ò ÄºÅº ÊÓ Ð Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ì Ö ¹ Á ÙÐØ Ò ÍÒ Ú Ö ÙØ ÒÓÑ Å Ö ¾ ¼ Å Ö ËÔ Ò Ì ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Û ÐÝ Ù Ò Ñ Ò Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ØÖ Ø Ø ÝÒ Ñ
Läs mer¾¼ Ë Ò ÓÐ ÖØ Ö Ò ÓÒÒ Ö ËØÓ ¹ ÓÐÑ ½ ¼ º ½½ º Í ÍÍ Ë ÄÍÅ ÆÍ Å Ú Ò ØØ Ö Ú Ë Ö ØÖ Ñº ÀÒÚ ÖÒ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¼½ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ¾º ¾½ Ö À Ò ËÚ Ò Ú Ö º ÍÖ ÇÖ Ó
Ë ÙÖ Ö ÐÐ Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò Ö Ö ÐÐ ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Á Ë Ð Ò ½ ½ Ë Ð Ð Ø ÐÓ Ð³ Ô ÖÓ Ì ÐÐ ÓÔÔ Ø Ø Ö¹ Ò µº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ÒÖ ½ º Ø Ô Ô Ö ÒØÓº Ë ÑÑ ÔÙ Ð Ø ÓÒ ÓÑ ½ ¼º ¾ Ë Ô Ö ÑÓ Ô Ö Ñµº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ¹ ÒÖ ½ º ÃÓÖØ
Läs merArticle available at or
Å Ø º ÅÓ Ðº Æ Øº È ÒÓѺ ÎÓк ÆÓº ¾ ¾¼¼ ÔÔº ¾ ¹ ÅÓ ÐÐ Ò ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ê ÙÐ ØÓÖÝ Æ ØÛÓÖ Ò ÖØ Ð Ø Ö º Ë Ò Þ¹ a,c º È Ö ÓÒ a ºź È b Ò º ÐÓÒ ½,a,c a ÄÁÊÁË ÆÊË ÍÅÊ ¾¼ ÁÆË ¹ÄÝÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÄÝÓÒ ¾½ Î ÐÐ ÙÖ ÒÒ Ö Ò
Läs merÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ã Ò Ø Ö Ø Ú Ð Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ø Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø ¹ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò Ú ÐÒ Ò Ò Ö ØÓÖØ Ò À ÄÅ
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm 19P 10P 2P 11P 20P 29P 6P 15P 24P P 25P 16P 7P 30P 21P 12P 3P 26P 17P 8P John Tate - Abelprisvinnare:
Läs merarxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008
Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁËÃ Ê ÈËÇ Á arxiv:0809.0708v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008 Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò º Ö Ð Ò Ò Ð Ö Ò ËÔ ÐÐ Ê Ð Ø Ú Ø Ø Ø ¹ ÓÖ Ò Ñ ØÓÖ ÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÑØ Ú Ö Ö ØØ ÑÓ Ö Ø ÓÖ Òº ÌÖÓØ Ñ Ö Ò ÙÒ Ö Ö Ô Ò Ò ÒÒ Ø Ò Ø ÓÑ
Läs merErrata. by Afif Osseiran. August 17, 2006
Ú Ò ÒØ ÒÒ Ò Ï Ö Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó¹ÐÓ Ø ² ØÖ ÙØ Á ÇËË ÁÊ Æ ÓØÓÖ Ð Ì ËØÓ ÓÐÑ ËÛ Ò ¾¼¼ ÌÊÁÌ ¹Á ̹ Ç˹¼ ¼¾ ÁËËÆ ½ ¹ ÁËÊÆ ÃÌÀ»ÊË̻ʹ¹¼»¼¾¹¹Ë ÃÌÀ Á Ì Ë ¹½ ¼ ËØÓ ÓÐÑ ËÏ Æ Ñ Ú Ò Ð Ò ÓÑ Ñ Ø ÐÐ ØÒ Ú ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
Läs merÍØÚÖ Ö Ò Ú ËË ¹ Ò Ð Ö Ò ÓÑ Ö Ö Ò Ò Ø Ð ÓÔ Ö Ø Ö ÓÔ Ö Ø Ú Ú Ö Ñ Ø Å ØØ Ë Ð Ò Ö Ñ ¾¼¼ Å Ø Ö³ Ì Ò ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò ¾¼ Ö Ø ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Ø Ë¹ÍÑÍ Â ÖÖÝ Ö ÓÒ Ü Ñ Ò Ö È Ö Ä Ò ØÖ Ñ ÍÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò Ë
Läs merarxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007
Ð Ñ ÒØ Ó Ê Ó Ï Ú arxiv:0712.4029v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007 Ö Ò ÓÖ Á ÑÓ À Ð ÂÙ ÅØØÐ ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Å ÜÛ ÐÐ ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Intervjuer: Lithner och du Sautoy: Ulf Persson From Sweden with Love: An Yajun Boij och Nyström
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 november 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm ICM 2010 - Hyderabad: Ulf Persson The Good, the Bad and the Ugly: Bill Casselman Platons
Läs mer15 = f(3) = 9a + 3b + c 9 = f( 3) = 9a 3b + c
½ ÁÌÇÊÁ Ä Î Ð Ú Ä Ò ÁØ ÓÑ ØÓ ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ Ø Ø ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔ Ö Ò Ò ÊÍ Û Ø Å À Å Ú Ò Ù Ñ ØØ ØÓ ÓØ Ö ÔÐ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑ ÊÍ Û Ø Å À Å ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÔÔ Ö ÓÒ ÖØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ¹ ÓÐÚ Ò Û Ø º Ï Ð Ø ØÖ Ò Ó ÓÒÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÚ
Läs merTentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3
Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Måndag 9 jan 212, kl 8.3-12.3 i Väg och vatten -salar. Hjälpmedel: Physics
Läs mermarkera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE FYRA FYRA klart
PLANERING MATEMATIK - ÅK 8 Bok: Y (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Bråk och procent Kapitel : 2 Bråk och potenser Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE
Läs merLaboration 2: Sannolikhetsteori och simulering
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 2 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT13 Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering Syftet med den här
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp, 2008-03-25 OBS! Denna tentamen avser nya versionen av kursen Beräkningsvetenskap
Läs merVindkraft och försvarsintressen på Gotland
Dnr 421-2744-10 1(15) Vindkraft och försvarsintressen på Gotland Redovisning av ett samverkansprojekt mellan Länsstyrelsen, Region Gotland och Försvarsmakten 2011 Projektet har bekostats av Energimyndigheten,
Läs merPREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS
TKK Dissertations 195 Espoo 2009 PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS Doctoral Dissertation Johnny-Stefan Lönnroth Helsinki University of Technology Faculty
Läs mer1 k j = 1 (N m ) jk =
ÂÓÖÒ ÖÒ ½ ÖÙÖ ¾¼¼ ÀÙÚÙÖ ÙÐØØØ ÓÒ ÔØÐ Ö ØØ ÚÖ ÚÖØ ÑØÖ Ö ÐÓÖ¹ Ñ Ñ Ò ÓÖÒÑØÖ ÓÑ Ú ØÐÐØÖ ÓÑÔÐÜ ÑØÖ ÐÑÒص ÓÑ ÐÐ ÂÓÖÒ ÒÓÖÑÐÓÖÑ Ö ÑØÖ Òº ËÓÑ ÔÔ ÓÒ Ö ÒÓÖÑÐÓÖÑÒ Ò¹ Ö Ø ØØ ØÓÖØ Ø ÚÖØÝ ØÖ ÓÑ Ò ÐÐÑÒØ ÒØ ÖÓÖ ÓÒØÒÙÖÐØ
Läs mer=
ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ½ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÑÖÒ ÑÖÓÐÞ Ó ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ð ÖÒÒ Ú ÒÚÖÒ Ó Ò¹ ÚØÓÖÖ ÑØ ÓÒÐ ÖÒ Ú ÑØÖ Ö Ñ ÐÔ Ú ÅØÐ Ó ÅÔÐ Ð Ð ÒÒ Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖ Ñ ÐÔ Ú ÅÔк À ÐÖÓÓÒ
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs mer