k=1 r n 1 3n 3, 1 tol n

Transkript

1 ÙÒØÓÒ ØÓÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ¾ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ

2 ÁÒÐÒÒ ËØÖ Ø ÐÒ Ú ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ÒÐÖ ÓÑ ÓÙÖÖ ÖÖ ÑÒ Ú ØÖØÖ Ñ Ö¹ ÙÑÑØÓÒº ÀÐ ÐÓÖØÓÒÒ ¹ ÙØÓÑ ÙÔÔØ ¾º½ Ö ÅÔÐ Ö ØØ ÖÖ ¹ ÝÖ Ô ÅØÐº À Ò ÅØÐÑÒÙÐ ÐØØÐÐÒÐº Î ÐÖ Ò Ù Ú ÑØ Ô ÙÖ Ò Ñ ØØÔ»»ÛÛÛºÑØ ºÐØº»ÑØÑØÐØ»ÔÖ ÓÒÐ»Ò» ÙÒ¾¼¼»ÙÒ¾¼¼ºØÑÐ ÖÖ ÒÓÑ ØØ ØØØ ÒÓÑ ÒÒ ÒÐÒÒ Ó ÒÚ ÒÒÖÒ Ò¹ Òº ÃÓÑÔÐØØÖ ÑÓØÚÖÒÒ Ô Ò ¾º ÂÑÖ Ò ½¾¾ ÐÖÓÓÒ Ó Ð ÒÒÒ Ú ÚÒÒ º¾¾º Ä Ó ÒÓÑ ÔØÐØ ÓÑ ÓÙÖÖ ÖÖ ÐÖÓÓÒ ÓÑ Ù ÒØ ÓÖØ Ø ÒÒÒº ËÖ ÙÑÑØÓÒ ¾º½ Î ÐÐ ÒÙ ÙØÖ ÒÙÑÖ ÙÑÑØÓÒ Ú ÒÖ ÖÖº Ö ØØ Ö Ø ØØÖ Ú ÓÑ ÒÖ ÐÐ Ù ÐÐ ÜÑÔÐÒ ÖÒ Ð ÙÑÑÓÖÒ Ñ ÙÑ ÙÑµ Ó ØØØ Ô Ñ Ø Ü Ñ ÓÑÑÒÓØ ØÖ º ËÖÒ k 4 Ö ÙÑÑÒ π 4 /90º ÖÒ ÖÒ ÙÑÑ Ñ ØÖ ÖØ ÓÖÖØµ k=1 ÑÐÖº ÌÖ ÖØ ÑÐÖ ØÝÖ ØØ Ú ØÓÐÖÖÖ ØØ Ð ÚÖ ÓÐÙØÐÓÔÔ Ø Ö Ð Ñ tol = º ÂÑÖÐ Ñ ÒØÖÐ Ö Ö ØØÖÑ ÙÔÔ ØØÒÒÒ Ó r n tol ÓÑ r n 1 3n 3, ( ) 1/3 1 1 tol n 3n3 3tol ØÑ ÙÖ ÑÒ ØÖÑÖ ÓÑ Ú Ö ØØ ÖÒ ÙÑÑ Ñ ÑÐÖ ÒÚÒ ÅØÐ Ö ÖÒÒÒµº Ð ÒÙ ØØ ÒØÐ Ú ÖÒ ØÖÑÖ Ó ÙÑÑÖº ÖÒ ÒÖÑÚÖØ Ô π 4 /90º ØØ Ò Ö ÒÓÑ ØØ Ô Ò Ö ÖÚ Ö ÓÖÑØ ÐÓÒ ØÓÐ ¹Ò Ð ½» ØÓÐµ ½» µµ ½Ò ½º»º ÙÑÑ ÙÑ µ ÃÓÒØÖÓÐÐÖ Ú Ð Ö Ö ÒÓÒØÒº Á ØØ ÐÐ Ò Ú ÑÖ Ñ ÅØÐ ÒÝ ÚÖº Ð Ô»¼ ¹ ÙÑÑ Ö ÒÙ ÓÑ ÐÐØ ÑÑÒ ÓÖÑØ ÐÓÒ ÚÖ ÒØ ÙÔÔÖÔ µ Ñ Ó ¹ ÑÐÖ ÒÓÖÒÒØº ÒÚÒ ØÒÒØÒ ÔÐ ÙÔÔØ Ö ØØ ØÖÐÐ ÖÒ Ñ ÅØÐÓÑÑÒÓÒº Ø Ö ÚØÚ ØØ ØÐÐÚÖ Ò ÖÔØÐ ÓÑ Ö ÖÒÒÖÒº ½

3 ËÙÑÑ ÒØÐ ØÖÑÖ ÒØÐ ÖØ ÑÐÖ Ð ÒÐØ ÅØÐ Ð π 4 /90 ÙÑÑ ÊÒÒÖÒ ÜÑÔÐØ ÓÚÒ Ò ÒÚÒ Ö ØØ ØØ ÒÙÑÖ Ø ÚÖ Ô πº Ø ÖÐØÚ ÐØ ÚÖØ Ú π ÖÒØ Ñ ÒÒ ÑØÓ Ò ÖÐØÚØ ÐØØ Ú ½ ÚÖ 1/4 Ú Ø ÖÐØÚ ÐØ Ö ÙÑÑÒ Ø Ö ÐÑÔÐØ ØØ ÖÒ Ö ÙÑÑÒ Ñ ÑÑ ÒØÐ ÑÐÖ ÓÑ ÑÒ Ò Ö πº Î ØÖ ÒÙ Ò Ö ÓÑ Ñ ÖÑÒ Ò ÑÖ Ñ Ò ÓÑØÖ Öº ¾º¾ ÖÒ e 6 ÒÓÑ ØØ ÙÑÑÖ ÖÒ Î Ö ÐÐØ ÖÙÖ ÓÒ ÓÖÑÐÒ k=0 6 k k! a 0 = 1, a k+1 = 6 k + 1 a k Ö ØÖÑÖÒº ÅÓØÚÖ Ö ØØÖÑ ÙÔÔ ØØÒÒÒ ÅÓØÚÖÒ r n 2a n+1 ÓÑ n r n = a n+1 + a n+2 + a n+3 + a n a n a n+1 a n a n a n+1 a n+4...? ÓÖØ ØØ Ó Ú ÐÙØ Ö ÓÒÑÒØ ÖÒ ÒÙ ØÖØÚØ ØÖÑÖ Ó Ð ÙÑÑÓÖ ØÐÐ Ö ØØÖÑÒ ÐÖ ÐØÒ ÓÑ Ò ¹ ØºÅÒ Ò Ö Ö ½ Ö ÒÐÖÒ ÓÑ Ù ÒØ Ö ÚÖØÝº ¾

4 ØÐÐ Ð ÆÛ Å¹Ð ËÖÚ Ò ÐÐÖ ÑØ ÖÒ ÙÖ Ò Ñ µ ÐÒ ÙÒØÓÒ ÒØÐØÖÑÖ ÜÔ ÙÑ ØÓÐµ ± ÒÖ ÒÖÑÚÖØ Ú ±ØÓÐ ØÓÐÖÒ Ò ½ ¼ ¼ ÛÐ ¾ ØÓÐµ ½½µµ» ½µ ½ Ò ÒØÐØÖÑÖ ËÔÖ ÐÒ ÙÒÖ ÒÑÒØ ÜÔ ÙÑº Ù Ö ÒÙ ÔØ ÅØÐ¹ÙÒØÓÒÒ ÜÔ ÙÑº ÒÓÑ ØØ ÅØÐ ÖÚ ÒØÐØÖÑÖ ÜÔ ÙÑ ¹µ Ö Ù ØØ ÒÖÑÚÖ ØÐÐ e 6 Ñ ØÖ ÖØ ÑÐÖº ÂÑÖ ÚÖØ Ñ ÅØÐ ÜÔ µ ÃÖ ÓÑ ÖÒÒÒ Ò Ö ØØ ÑÐÖ ÒÓÖÒÒØ Ó ÑÖ Ò Ò Ò Ñ ÅØÐ ÜÔ µ º Ú ÐÙØ Ñ ÓÖÑØ ØÖÖ ÅØÐ ØÐÐ ØØ Ú ÒÓÖÑÐØ ÒØÐ ÖÓÖº Á ÑÒ Ú Øµ ÒÖ ÙÒØÓÒÒ ÓÚÒ ØØ Ò ØÐÐØ ÖÒÖ e x Ö x 0º ¾º Á ÑÒ Ú Øµ ÖÒ cosxº ÒÚÒ ÑØÓÒ ØØ ÙÑÑÖ ÖÒ k=0 ( 1) k x2k (2k)! ÒÚÒ ØØ ØÖÑÖÒ Ö u k = ( 1) k x 2k /(2k)! Ó Ð ÙÑÑÓÖÒ s n ÙÔÔÝÐÐÖ ÖÙÖ¹ ÓÒÖÒ x 2 u k+1 = (2k + 2)(2k + 1) u k, s k+1 = s k + u k+1. ÎÐ Ö ÝÒÒÐ ÚÖÒ ÂÑÖ Ñ ÅØÐ ÚÖ Ö cosxº ÌÐÐÚÖ Ò ÅØÐ¹ÙÒØÓÒ Ø Ü Ó ÒÙ ÓÑ ÖÒÖ cos x Ó ÐÙØÖ ÐØ ÖÒØÖØ Ö ÑÒÖ Ò Ò ÚÒ ØÓÐÖÒ º ÜÑÔÐÚ Ò ÙÒØÓÒ ÐÒ ÒÐ Ñ ÙÒØÓÒ ÒØÐØÖÑÖ Ó ÒÙ Ü ØÓÐµº ÇÑ Ù ØÖ Ñ ÑÒÙØÖ ÒØ ÐÝØ ØÓÑÑ Ò ÙÒÖÒ ÙÒØÓÒ Ò ÒÐÖÒ ØÔ ÓÑ ÚÖ ÐÔ ÒÒ ØØ ÑØºµ

5 ÒÚÒ ÙÒØÓÒÒ Ö ØØ ÖÒ cos 10, cos 20, cos30 Ó cos 40º ÂÑÖ Ó Ñ ÅØÐ ÚÖº Ë Ô ØÖÑÖÒ ÖÒ Ö Øµ Ó Ö ÖÐÖ Ú ÓÑ Öº ÖÐÖÒ Ì ÓÖØ ÔÖÓÒØØÒØ Ô ÒÖ ÖÒ Ò Ð ÒÐÖÒ Ò ØÐÐÒÐÐº ÖÒ ÒÝÓ cos 40º ØØÖ ÎÖÖ ËÚÖ ÓÙÖÖ ÖÖ ÅØÐ Î ÐÐ ÒÙ Ö ØØ ÜÔÖÑÒØÐÐØ ØÙÙÑ Ú ØÖÓÒÓÑØÖ ÓÙÖÖ ÖÖ Ú ÙÒØÓÒ ÖÖ Ú ÓÖÑÒ ¾ 1 2 a 0 + a k cos(kt) + b k sin(kt), k=1 Ö = a k Ó = b k Ö ÖÐÐ ØÐÐÖº Ò ØÖÑ Ò Ò Ö Ò Ó ÖÚ ÓÑ u k (t) = a k cos(kt) + b k sin(kt) = A k cos(kt + δ k ) Ó Ö ÐÐØ Ò ÖÑÓÒ ÚÒÒÒ Ñ ÚÒÐÖÚÒ k Ó ÔÖÓ 2π/kº ÑÔÐ¹ ØÙÒ Ú ÓÖÑÐÒ A k = a 2 k + b2 k. Î ÐÐ ÐÐØ Ö ÒÙ ÓÖÑ ÙÒØÓÒÖ Ñ Ö Ó Ö ÖÚÒ Öº ¾º ÖÖÐ Ö ÀÑØ Ñ¹ÐÖÒ ÓÙÖÓºÑ Ú ÙÒºÑ Ú ÖºÑ Ó Ú Ð ÙÑÑÓÖºÑ ÖÒ ØÓÖÚÒÒÒ Ñ ÒÚÒ ÖÒÔÔÒ ÆØ Ôµº ÒÖ ØÚ ÐÖ ÒÓÑ Ã ½½¼¼ Ø ¹½¼¼º¼½¼ ÎÖÐÒ Ã ÚÖÖ ÑÓØ ÒÜ k ÓÚÒ Ó Ø Ö Ø ÚÖÐÒº ÒÖ ÒØ ÚÖÐÖ ÓÖØ ØØÒÒÒº ÃÓÒØÖÒ Ó ÐÐ ÐÖ Ò ÐÖ ÚÖÐÒ ÒÓÐÐ Ó ÚØÓÖÖÒ Ó Ó Óº ¾ ÀÖ ÑÓØ ÚÖÖ 1 2 a 0 Ø ÓÑ ÓÖÑÐ ÑÐÒÒ Ó ÖÐ ÒÒÖÒ ÐÐ c 0 º

6 Î ÐÐ ÒÙ ÖÒ Ð ÙÑÑÓÖ ØÐÐ ÙÒØÓÒ ÖÒ k=1 sin kt k = sin t + sin 2t 2 + sin 3t ¾º ËÐ Ò ÒÓÐÐ ¼ Ó ÞÖÓ Þ Ãµµ Ó ÓÒ Þ Ãµµº»Ã ÈÐÓØØ Ù ÚØ ¼ ÒÓÐÐ»¾ ÓÒ Þ Øµµ ÔÐÓØ Ø ¼µ ½ ¼ Ó ½µ Ò Øµ ÔÐÓØ Ø ½µ ¾ ½ Ó ¾µ Ò ¾ Øµ ÔÐÓØ Ø ¾µ ¾ Ó µ Ò Øµ ÔÐÓØ Ø µ Ó ÚÖ ØÐÐ Ù ØÖØØÒÖº ¾º ÎÐÐ ÑÒ ÐÔÔ ÖÚ Ò ÑÝØ Ò ÑÒ Ö Ö ÒÓÐÐ»¾ ÓÒ Þ Øµµ ÓÖ ½½¼¼ Ó µ Ò Øµ ÔÐÓØ Ø µ ØØÐ ³Ð ÙÑÑ ß³ ÒØ¾ ØÖ µ ³Ð³ µ ÔÙ Ò Ì Ö Ô Ú ÔÙ ÒÒÖ ÒÒÒ Ù ØÖØÖ ÖÒÒÒº Ø Ö ØØ ÖÝØ Ñ ØÖÐ¹ ÓÑ ÐÐ ½¼¼ ØÒ ØÖ Ö ÐÒ Øº ÎÖÖ ÓÙÖÖ ÖÒ ÓÒÚÖÖ ÊØ Ò Ú Ù ØÖÓÖ Ö Ö ÙÑÑÒ 4π < t < 4πº π 2 4π 3π 2π π π 2π 3π 4π π 2 t ÃÓÒÚÖÖÖ Ò ØÖÓÒÓÑØÖ ÓÙÖÖ ÖÒ ÐÓÖÑØ Øº Ü 2π < t < 2π ÅØÐ ØÝÖ ÒØ ÓÑ Ö ÐÒ ÖÖ Ø Ö ØØÖ ØØ Ô Ò ÖÔØÐ ÓÑ ÒÒÐÐÖ ÖÒ ÓÚÒ Ó Ö Ò ÖÒ ÓÑÑÒÓÖÒº Ä ÑÖ ØÐÐ ØØ ÐÐ ÒÙ ØÖÑÖ Ó ÖÑ ÚÒ Ð ÙÑÑÓÖÒ Ö Ù ÙÒØÓÒÖº

7 ¾º ËÐ ÒÙ Ò ÓÒØÖ ÒÓÑ a k = 2 π cos(kπ/2) 1 k 2, k 1, a 1 = 1 2, b k = 0 ÒÓÐÐ ¾»Ô Ó¾»Ô Ó Ã Ô»¾µº» ÓÒ Þ Ãµµ¹Ãº Ãµ ± Ó ½µ ÓÒÖ Ó ½µ½»¾ ÓÞÖÓ Þ Óµµ Ó ÖØ ÙÔÔ ÒÖ Ð ÙÑÑÓÖ ÒÓÑ ÒÓÐÐ»¾ ÓÒ Þ Øµµ ÓÖ ½½¼¼ Ó µ Ó Øµ ÔÐÓØ Ø µ ÔÙ Ò ÀÙÖ Ö Ö ÙÐØØØ ÙØ ÖÐÖÒÒ ÒÒ ØÐÐ ØÖ Ø ÐÒ ÚÒÒ º¾º Ë Ó ÚÖØ ØÐÐ ÚÒÒÒºµ Ë Ú ÙÑÑÒ y ½ π ¹ π 2 π 2 π 3π 2 2π 5π 2 3π t ¾º ¾º Ø Ö Ò ÚÖÐØ ØØ Ð Ò ÖÖÒ ÓÚÒ ÖØØº Ö ØØ ÖÒÐ ÒØ¹ ÖÒÒ Ö ÖÚØ ØØ ÖÔØ Ú ÖºÑ ÓÑ ÙØÓÑØ Ø Ú Ö ÙÔÔ ØÖÑÖ Ó Ð ÙÑÑÓÖ ÖÖ Ú ØÝÔÒ ÓÚÒ ÓÑ ÓÒØÖÒ Ö ÒÚÒ ÓÑ ÓÚÒº ÀÑØ ÓÑ Ø ÒØ ÖÒ Ö ÓÖØµ Ú ÖºÑ Ó ÚÖ Ñ¹ÐÖ ÖÒ ÙÖ Ò Ñ º ÒÚÒ ÐÔÙÒØÓÒÒ ÐÔ Ú Ö ËÖÚ Ò ÝÑÒ¹¼º ÝÑÜ½º ÅØÐº ÃÖ Ú Ö Ö ØØ Ô ÖÒ ØÖÑÖ Ó Ð ÙÑÑÓÖº Å ÒÓÖÑÐ ÙÔÔÐ ÒÒ Ô ÖÑÒ Ö Ø ÒØ ÐÒØ ØØ Ø Ñ ÑÖ Ò ¼ ØÖÑÖº ÖÝØ Ò Ñ ØÖÐ¹º 0 t π ÐÐÖ ØØ k=0 cos(2k + 1)t = π (2k + 1) 2 4 (π t). ½µ 2 Á ÑÒ Ú Ø Ò Ù Ú ØØ ÒÓÑ ÒÖÒÒ ÒÓÑ ØØ ØÑÑ Ó ÒÙ ¹ ÖÒ Ö ÖÐØ ½µº Å ÐÔ ÚÅØÐ Ö Ø ÑÐÐÖØ ØØ ÒØ Ö Ø ØÖÓÐØ ØØ ½µ ÐÐÖº

8 ÁÒÒÒ Ù ÒÚÒÖ Ú Ö ÚÖ Ù ÖÚ Ò ÒÓÐÐ Ó Ó Óº Ù Ò ÒÚÒ ØØ Ó ½»¾ ½¹ ¹½µºÃµº» Ãº¾µ ÐÑ ÒØ ÝÑÒ¹½ºÝÑÜ½º ÒÒÒ Ù ÒÚÒÖ Ú Öº ËÒ Ù ÒÚÒØ Ú Ö Ö ØØ ÖØ ÚÒ ØÖÐØ Ò Ù ÑÑ Ò ØÖ ÒÓÑ ÓÑÑÒÓØ ÙÔÐÓØ ¾½½µ ÓÐ ÓÒ ÔÐÓØ Ø Ô» Ô»¾ ÓÒ Þ Øµµ¹Øµ ³Ö³µ ÖØ ÚÒ ÖÐØ Ñ Ö Öº Ö ÚÐ t ÚÖÖ ÐØÒ ØÑÑ ËÚÖ ¾º½¼ ¾º½½ ¾º½¾ Á ÑÒ Ú Øºµ ÄØ ÙÔÔØ º l ÚÖ πº ÊØ ÙÒØÓÒÒ f Ó Ó ÒÙ ¹ Ó ÒÙ ÖÖº ÃÓÒØÖÒ Ò Ù ÑØ ÖÒ Ø ØÐÐ ÙÔÔØÒº Ó ÒÒ Ú ØÖÝÐ Ø ÑÒ ÒÐÖÒ ØÐÐÒÐÐÖ ÖØØ ÚÖÒº ÇÑ ÖÒ ÙÑÑÙÒØÓÒ Ö Ò ÖÒ ÖÒ Ò ÑÒ ÚÒ ÖÒ Ó ÖØ ÙÔÔ Ö ØØÖÑÖº ØØ Ö ØØ Ö Ñ ÖÔØØ Ú Ð ÙÑÑÓÖºÑº Á ¾º Ö ÙÑÑÙÒØÓÒÒ Ò ÐÚÚ ÐÖØ Ó ÒÙ Úº ËÖÚ ÒÝÓ Ò ÒÓÐÐ Ó Ó Ó Ò ÒÒ ÒÐÒÒµº ËÖÚ Ó Ò ÙÒØÓÒ ³ÑÜ Ó Øµ ¼µ³ Ó Ö Ú Ð ÙÑÑÓÖº Á ÑØØÒ Ú Ò Ò Ø ØÐÐ ØÖÑÒ u n ÖØØ Ó Ö ØØÖÑÒ r n ÐØØ º ÚÖ Ø Ú Ð ÙÑÑÒ ÐØØ Ó ÒÖ Ø ÖÒ ÙÑÑ ÖÒØ ÓÑ ÑÒ ÒÚØ Ò ÖØØ ÙÒØÓÒµº Ö ØÓÖ ÖÒ ÙÖÒ ØÖØ ÐØ ÒÓÑ ØØ Ö Ñ ÑÙ Ò ÒÖ Ö ÖÒØµº ÌÖÝ Ô ÚÐÖ ØÒÒØ ÑÐÐÒ Ðµ Ö ØØ Ò Ø Ð ÙÑÑº ÖÝØ Ñ ØÖÐ¹º Å ÐÔ Ú Ú Ð ÙÑÑÓÖ Ò ÑÒ ÓÒØÖÓÐÐÖ ÐÐ ÚÖ ÚÒÒÖÒ Ô ÓÙ¹ ÖÖÓÒØÖº ÇÑ ÑÒ ÒØ ØÝÖ ÓÑ ØØ ÔÖØÐÒØÖÖ Ò ÑÒ ÐØ ÅØÐ ÖÒ ÙØ ÓÒØÖÒº ØØ Ö Ñ Ò ÒÙÑÖ ÑØÓÒ Ò ÓÙÖÖØÖÒ ¹ ÓÖÑØÓÒ Ìµº Ø ÒÒ ÒØÙÖÐØÚ ØØ ÅØÐÓÑÑÒÓ ÓÑ ØÖ Øº Å ÐÔ Ú Ñ¹ÐÒ ÓÙÖÓ Ò ÑÒ ÒÚÒ ØØ Ö ØØ ÖÒ ÓÙÖÖÓÒ¹ ØÖÒ Ö Ò ÚÒ ÙÒØÓÒº ÌØØ Ô ÓÙÖÓºÑ Ó Ð ÑÖ ØÐÐ ØØ ÒÜ Ö Ö ÙØÒ ØØ Ø ØÖ ÓÑ ÅØÐ ÒÖÖ ÚØÓÖÖ Ñ ÖÒ Ô k = 1º Î ÐØÖ ÓÙÖÓ ÖÒ 2 8 = 256 ÓÒØÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÐØ ÚÖÖ ÑÓØ ½¾ ØÖÑÖ Ò ØÖÓÒÓÑØÖ ÓÙÖÖ ÖÒµº Î ÐÐ ÒÙ Ô ÙØÚÐÒÒ Ú Ò ÝÖÒØ Úº Ò Ò ÒÖ ÒÓÑ ÙÒØÓÒ ³ Ø Ôµ ¹ Ø Ôµ³ ØØ Ò ÖÚÖ Ò ÖÐÖÒº ÅØÐ Ö ÐØØÖ Ö ÐÓ ÚÐÐÓÖ Ò ÑÒ ØÒÓÐÓÖº ÇÑ Ø Ö Ò ÚØÓÖ ÐÖ Ø Ôµ Ò ÚØÓÖ Ñ ÑÑ ÒØÐ ÐÑÒØ ÓÑ Øº Ò Ö ØØÓÖ ÐÑÒØ Ö ÚÐÐÓÖØ Ø Ô Ö ÒØ Ø Ó ÒÓÐÐÓÖ Ö ÚÖØº ÊØ ÒÙ ÙÔÔ ÝÖÒØ ÚÒ ÔÖØÐ ÙÑÑÓÖ Ñ ÐÔ Ú ÓÑÑÒÓÒ ÓÙÖÓ Ú Ð ÙÑÑÓÖ

9 ¾º½ ÍÒÖ Ô ÑÑ ØØ ØÖÒÐÚÒ ÓÑ Ò ÖÚ ÓÑ ÙÒØÓÒ ³Øº Ø Ôµ ¾ Ô¹Øµº Ø Ôµ³ ¾º½ Á ÑÒ Ú Øºµ ÒÖ ÒÙ Ò ÐÓÑ ÓÑÔÐÖ ÙÒØÓÒ Ñ ÔÖÒ Ó ÓÐ ÙØ ÒÒ Ô ÓÐ ÐÒØÖÚÐÐº ØØ Ö Ð Ö ÙÒØÓÒ³ ØÔ»¾µº Ø ¹ Ø Ô» µº Ø Ô»¾µ³ ÃÖ ÒÙ ÓÙÖÓ ÖÒ ÓÒØÖÒº ÙØÓÑ ÖØ ÙÒØÓÒÒ ÙÔÔº ÃÖ Ò Ú Ð ÙÑÑÓÖ Ó ÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ð ÙÑÑÓÖÒ ÒÖÑÖ Ò ÚÒ ÙÒØÓÒÒº ÀØØ ÖÒ Ô ØØ Ø ÜÑÔÐ Ô Ò ÓÒ Ø ÙÒØÓÒ Ó ÙÒÖ ÓÙ¹ ÖÖ Öº ¾º½ Ö ÒÒ ÙÔÔØ Ô Ö ÒÓ ÅÔÐ ØØÖ Ò ÅØÐº ÇÑ Ò ÙÒØÓÒ f Ö ÖÐÐ ÓÒØÒÙÖÐ Ó b a f(x) 2 dx = 0 Ö f(x) = 0 Ö ÚÖ x ÒØÖÚÐÐØ [a, b]º Ä ÐÐÖ ØØ ÓÑ f Ó g Ö ÖÐÐ ÓÒØÒÙÖÐ Ó b a (f(x) g(x)) 2 dx = 0 Ö f(x) = g(x) Ö ÚÖ x ÒØÖÚÐÐØ [a, b]º ÀÙÖ Ú Ò ÚÐÖ ÖÐÐ ØÐÒ a 0, a 1, a 2, b 1 Ó b 2 ÐÖ ÖÑÓØ ÒØÖÐÒ 2π 0 (e x ( a a 1 cos x + a 2 cos 2x + b 1 sin x + b 2 sin 2x)) 2 dx ¾µ ÐÖ ¼º ÀÙÖ ÓÒØÖÒ a 0, a 1,...,b 3 ÚÐ Ö ØØ ÒØÖÐÒ ¾µ Ð ÐØÒ ÓÑ ÑÐØ Ö ÒÖ ÜÔÖÑÒØ Ñ ÅÔÐº Ö ØØ ÙÒÒ ÐØØ ÑÖ ÓÐ ÒØÖÐÚÖÒ Ò Ø ÚÖ ÐÑÔÐØ Ñ ÓÑÑÒÓØ ÚÐ ±µ ØÖ Ø ØØ Ò ÒØÖÐ ÖÒØ º ÍØØÖÝØ ¾µ Ò ÙÔÔØØ ÓÑ Ò ÙÒØÓÒ Ú ÚÖÐÖÒ a 0, a 1,...,b 2 º ÖÒ Ò ÖÑÒ ÓÒÐÐ ÒÐÝ Ò ÚØ Ù ØØ Ò ÑÒÑÔÙÒØ Ö Ò ØØÓÒÖ ÔÙÒØº ÅÔÐ Ò ÒÙ ÐÔ ØÑÑ ÓÒØÖÒ a 0, a 1,...,b 2 º ÃÒÒÖ Ù Ò ØÐÒ ÝØ ÒÙ ¾µ e x ÑÓØ f(x) Ó ØÑ ØÐÒ a 0, a 1,...,b 2 ØØ 2π 0 ÐÖ ÑÒÑÐº (f(x) ( a a 1 cosx + a 2 cos 2x + b 1 sin x + b 2 sin 2x)) 2 dx ËÚÖ a k = Ó b k =

10 ¾º½ ÚÖÙÖ µ ÇÔÖØÓÒÒ ØØ ÝØ ÐÐ ÒÙ Ò ÓÙÖÖ Ö ÑÓØ Ó ÒÙ Ó ÐÐ Ó ÒÙ ÑÓØ ÒÙ µ ÐÐ Ö Ò ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑØÓÒº ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ÙÖÖÒ Ô ÓÑ ÐØ ØÐÐ ØÓÖÓÑÔÒØ Ô ÐÒ ØØ ÖÒ Ö Ø ÓÙÖÖÓÒØÖÒ Ö Ò ÝÖÒØ Ú ÓÑ ÓÚÒ Ó Ö Ò ÝØØ ÒÓÑ ÑÐÐÒ Ó Ó Ó Ó ¹ÑÐÐÒ ÒÓÐÐ ¼ Ó Ö Ú Öº Ö ÑÓØ ÚÖÒ Ñ ØÖÒÐÚÒº ¾º½ ÚÖÙÖ µ ÓÙÖÖ ÖÖ Ò ÒÚÒ ÒØ Ö Ö ØØ ÖÔÖ ÒØÖ ÙÒØÓÒÖ ÚÒ Ú ÓÖÑÐÖ ÙØÒ ÚÒ ÒØ ÓÑ ÖÙÖ ÐÐ Ö ÖÙ º ËÒØ Ò ÑÒ ÒÓÑ ØØ ÚÐ ÓÒØÖÒ ÐÙÑÔÚ Ó ÒØ ÐÐØ Ö ÒØ ÚØÒº Ö ÒÙ ØØ ÒÙÑÖ Ø ÜÔÖÑÒØ Ñ ØØº ÆÓÖÑÐÖÐ ÐÙÑÔØÐ ÒÖÖ Ñ ÙÒØÓÒÒ ÖÒÒº Ö ØØ ÑÑ ÒØÐ ÓÒØÖ ÓÑ ÒÒÒ ÖÒ Ú ÓÙÖÓµ Ò Ú Ö Öº ËÙÑÑÙÒØÓÒÒ Ö ÒÙ ÓÒ Ó Ø Ö ÖÖ ÐÑÔÐ Ø ØØ ÒÚÒ Ú Öº Ä½½¾ ± Ã Ö Ú Ù ÒØ ÒÖ Ô ÒÓÐÐ¼ ÓÖÒÒ Þ Óµµº» Ä ¾µ ÓÖÒÒ Þ Óµµº» Ä ¾µ Ú Ö ËØÓÖÐ ÓÖÒÒÒ Ô ÓÙÖÖÓÒØÖÒ ÚÐ ÙÒÖ ÑÑ ÓÑ Ö ÝÖÒØ Ú¹ Òº ÍÔÔÖÔ ÜÔÖÑÒØØ ÒÒÙ Ò Ò ÒÓÑ ØØ Ö ÓÑ ÓÑÑÒÓÒ ÓÑ ØÐÐ¹ ÚÖÖ ÓÒØÖÒ ÐÙÑÔÚ º ÅÒ Ö Ò ÒÒÒ ÙÒØÓÒ ÑÒ Ñ ÐÒÒ ÙØ Òº ÒÒÙ ÚÖÖ ÖÙ Ö ÑÒ ÓÑ ÑÒ ØØÖ Ø Ü ØÖ Ö Ø ÓÒØÖ¹ Ò ØÐÐ ¼º Ó ½ µ¼ ¼ ¼ Ó ½ µ¼ ¼ ¼ Ú Ö ÄÙ ÅØÐ Á ÑÒ Ú Øºµ ÅØÐ Ö Ö ØØ Ñ Ò ÔÖÑØÚ ÐÙÙÒØÓÒ ÓÑ ÒÖ ÙØ ÐÖ ØÐÐ ØÐÖÒ Ñ ØØ Ú 2 13 = 8192 ÐÑÒØ ÙÒÒ Ô Ò Ð Ý ØÑ Ò ÑÒ ÒÖ ÑÔÐÒ ÖÚÒ Òµº ÃÓÑÑÒÓØ Ö ØØ Ò ÚØÓÖ Ü ØÐÐ ØÐÖÒ Ö ÓÙÒ Üµº Ì Ø Ñ Ü Ó ¾ Ô ¼»½¾ ½½¾µµ ÓÙÒ ¼º½ Üµ Ö Ò ÖÒ ØÓÒ Ó Ü ÖÒÒ ½ ½¾µ ÓÙÒ ¼º½ Üµ

11 Ö ÖÒØ ÖÙ º Ò ÓÑ ÚÐÐ Ò ÑØ Ñ¹ÐÒ ØÓÒÒÖØÓÖºÑ Ó Ø ØÖº ÒÒ ÒÚÒÖ Ò ÖÙÖ ÓÒ ÚØÓÒ Ú ÒÖ ÓÖÒÒÒ Ö ØØ ÒÖÖ Ò Ó ÒÙ Ð Ó Ò ØÐÐ ØÐÖÒº Ì Ø ØÐÐ ÜÑÔÐ ØÓÒÒÖØÓÖ ¼ ½ ¼ºµ Ó ØÓÒÒÖØÓÖ ¼ ¾ ¼º¾µº Ø Ö Ø ÖÙÑÒØØ ÒÖ ÖÚÒ Ò Ø ÒÖ ÚÖ¹ ØØÒ Ó Ø ØÖ ÑÔÐØÙÒº ÅÜÑÐÖÚÒ Ò ÐÖ Ô ÙÒÖ ÀÞ Ó ÒÔÔØ Ø Ô ÖÙÒ Ú Ò ÔÔÖÓÜÑØÚ Ó ÒÙ ÖÒÒÒ Ñ ÅÐÙÖÒ¹ ÙØÚÐÒµº Ò ÖÐÖÒ Ú ØÓÒÒÖØÓÖÒ ÒÒ ØØ ÑØ Ô ÙÖ Ò Ñ º ÃÒ Ù ÔÐ ÑÙ Ñ ØÓÒÒÖØÓÖ ÄØØÖØÙÖÖØÒÒ ÖÑÒ Æº ² Ù Ø ÓÒ º ¾¼¼¾µ Ò ÁÒØÖÓÙØÓÖÝ ÅØÐ ÓÙÖ ¹ ÛØ Ò¹ ÒÖÒ ÔÔÐØÓÒ ÔÖØÑÒØ Ó ÐØÖÐ ÒÒÖÒ ÄÒÔÒ ÍÒÚÖ ØÝ ÄÒÔÒº ÖÑÒ Æº ² Ù Ø ÓÒ º ¾¼¼¾µ ÅØÐ ÓÖ ÒÒÖ ÜÔÐÒ ËÔÖÒÖº ÈÖØ¹ÒÒÖ º ² ËÖ º ¾¼¼½µ ÒÚÒÖÒÐÒÒ Ö ÅØÐ ÁÒ ØØÙ¹ ØÓÒÒ Ö ÒÓÖÑØÓÒ ØÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÍÔÔ Ðº ËÑÓÒ Ãº ½ µ ÅØÐ ÈÖÑÖ ÔÖØÑÒØ Ó ÅØÑØ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÐÓÖ¹ º ËÔÒÒ Ëº ¾¼¼µ ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ Á ÃË ½¼