ÁÒÐÒÒ ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ò ÒØÖÓÙØÓÒ ØÐÐ ÅØк ËÝ ØÑØ ÒÚÒ Ö ÓÑ Ò ÚÒ¹ Ö ÖÒÓ Ñ ÒÝ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ó Öº À Ò ÅØÐÑÒÙÐ ØÐÐÒÐ ÓÑ Ù Ö ÚÒ Úº ÚÒÒÖÒ Ö ØÒØ ØØ ÒÓÑÖ Ô Ò Ò ÑÒ Ú
|
|
|
- Elsa Andersson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 ÙÒØÓÒ ØÓÖ ÁÒÐÒ ØÓÖÚÒÒÖ Ó ÖÔØØÓÒ Ú ÅØÐ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ
2 ÁÒÐÒÒ ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ò ÒØÖÓÙØÓÒ ØÐÐ ÅØк ËÝ ØÑØ ÒÚÒ Ö ÓÑ Ò ÚÒ¹ Ö ÖÒÓ Ñ ÒÝ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ó Öº À Ò ÅØÐÑÒÙÐ ØÐÐÒÐ ÓÑ Ù Ö ÚÒ Úº ÚÒÒÖÒ Ö ØÒØ ØØ ÒÓÑÖ Ô Ò Ò ÑÒ Ú ØÔÙÒØÖ ÓÑ Ò ÙÖ ÔÖÓÖÑÑغ ÇÑ Ù ØØÖ Ô ÔÖÓÐÑ Ö ÒÓÒ Ú ÐÖÖÒ Ô ÙÖ Òº ÅØÐ Ó ÙÒØÓÒ ØÓÖ ÅØÐ Ö ÖÒ ÖÒ ØØ Ð ÖÒ ØØ ÔÖÓÖÑÐÓØ ÓÑ ÒÒÐÐÖ ÖÙØÒÖ ÖÒ ÐÒÖ ÐÖº ÆÖ ÖÐÖ Ñ ÅØÐ ÓÑ Ö Ý ØÑØ ÐÑÔÐØ Ö ÜÔÖÑÒØÐÐ ÑØÑØ ÚÖ ÙÖ Ó ÒÖ ÙÖ Ö Ö ÅØÐ Ö Ò ÒÐ ÝÒØÜ Ó ÑÒ Ú Ö Ö ÒÚÒØ ÔÖÓÖÑÑØ ØÖº ÁÒ ÐÖØÓÒÖ Ú º Á ÅØÐ Ò ÑÒ ÖØ ÖÒ Ñ ÓÑÔÐÜ Øк ÃÓÑÔÐÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ô ÚØÓÖÖ Ó ÑØÖ Ö Ø Ü ÑØÖ ÔÖÓÙØ Ó Ñ¹ ØÖ ÒÚÖ Ö ÖØ ØÐÐÒÐ Ñ ØØ Ò ÓÑÑÒÓ Ö ÔØÚ ÒÚ µµº ÅØÐ Ö ÒÝØ ÖØÙÐÐ Ö ÓÑÑÒÓÒ ÓÑ Ö Ø ÐØØ ØØ Ð¹ Ö Ö ÙÐØØ Ú ÖÒÒÖº ÅØÐ ÒÒÐÐÖ ØØ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÔÖ ÓÑ Ö Ø ÑÐØ ØØ Ý ÙØ Ý ØÑØ Ñ Ò ÒÝ ÙÒØÓÒÖ Ó ÓÑÑÒÓÒº ÅØÐ ÒÚÒ ÄÙÒ ØØ Ú ÓÖ Ö ÑÒ ÓÑÖÒ ÑØÑØ Ý ÒÙÑÖ ÒÐÝ ÖÐÖØÒ ØÐØÖÒ Ñ ÓÒ ØÓÖ º º º Ó Ù ÓÑÑÖ ØØ ÒÚÒ Ý ØÑØ ÑÖ ÓÑÑÒ ÙÖ Öº Î ÐÐ ÐÒÖ ÖÑ ÒÚÒ ØØ ÒÒØ ÑØÑØ Ø ÔÖÓÖÑ ÒÑÐÒ ÅÔк ØØ Ö ÔÐÐØ ÙØØ Ô ÝÑÓÐ ÑÓØ Ø ØÐÐ ÒÙÑÖ µ ÖÒÒÖº ÆÒ Ò ÓÖØ ÚÖ Ø ÚÖ Ò Ð Úµ ÐÖ Ú ÅØÐ ÓÑ Ö ÖØ ÒÒÝØÒÒ ØÐÐ ÙÒØÓÒ ØÓÖº Ö Ò ÑÖ ÐÐ ÒØÖÓÙØÓÒ ÒÚ ØÐÐ ÅØÐ Ý ØÑÑÒÙÐÖ ÓÑ ÒÖ ÚÖ ÓÒÖ ÒÒ ØÐÐÒÐ ÖÒ ÅØÐ Ý ØÑØ Ø Ü Ú ÓÑÑÒÓØ ÐÔ Ð ÑÖ ØÐÐ ØØ ÐÔÐ ÖÒ ÒÚÒÖ ÂÚ ÖÔصº Ò ÖÙÒÐÒ Ø ØÖÙØÙÖÒ ÅØÐ Ö ÑØÖ ÖÒº Î ÐÐ Ö Ò ØÒ Ò¹ ÖØ ÒÚÒ ÚØÓÖÖ ÒÖÑÖ ØÑØ ÖÚØÓÖÖ Ö ØØ ÖÔÖ ÒØÖ ÐÖº ÐÒ 2, 1, 4, 5 + i, 8 0.3i ÖÔÖ ÒØÖ ÅØÐ ÓÑ ÖÚØÓÖÒ ¾ ½ ¹ ¹¼º º Ø ÐÓÔÖØÓÒÖ Ö ÖØ ÑÓØ ÚÖØÖ ÅØк ÆÒ ÐÖ Ò ÐØÒ ØÐÐ Ñ ÒÖ ÜÑÔÐ Ô ÚØ Ø ½
3 Ð ÚØÓÖ 2, 1, 4, 5 + i, 8 0.3i ¾ ½ ¹ ¹¼º 1, 2, 3, 4, 5, 6 ½ ¾ ËØØ = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ½ ¾ ËØØ = 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 7 3 ¹ ½ º 1, 2, 3 4, 5, 6 (= 4, 10, 18 ) ½ ¹¾ º Σ ÙÑ ÙÑ µ Π ÙÑÔÖÓ µ Ü = k, 0 k 10 Ü ¼½¼ a + kd, 0 k n Ò ar k, 0 k n Öº ¼Òµ Ò ÒØ Ð Ú ÒÓÑ ÅØÐÙÒÐÒ ÎÖ ÑÒ ØÖØÖ ¼º½ ¼º¾ Ö Ø ÒÒ Ù ÚÐÐ Ö ÅØÐ Ò Ø ÚÖ ÐÓØ ØØ ØÐÐÚÖ Ò ØÐÓ»ÑØÐ ÓÑÐÖØ ÙÒÖ Ò ÖÓØØÐÓº Á ÒÒ Ò Ù ÚÒØÙÐÐØ Ð Ò Ð ØÖØÙÔºÑ Ñ ÑØÐÓÑÑÒÓÒ ÓÑ Ö ÚÖ Ò Ù ØÖØÖ ÅØк ØÖ Ò ÓÑÑÖ Ù ØØ ÑØ Ñ Ñ¹ÐÖ ÖÒ ÙÖ Ò Ñ º Ò Ö Ð Ú ÔÐÖ ØÐÓÒ»ÑØк ËØÖØ Ó Ú ÐÙØÒÒ Ú ÅØÐ Ô ÄÒÙܹØÓÖº ½º ÃÐ Ñ ÚÒ ØÖ ÑÙ ÒÔÔ Ô Ò ÌιÐÒÒ ÓÒ Ô ÖÑÒ ÚÖ Ø Öº ØØ ØÖÑÒÐÒ ØÖ ÔÔÒ º ËÖÚ Ö ØÜÑÔ ¹ÚÖÒØ ÒÓÝ º ØØ Ú Ö ØØ Ù ÅØÐ ØÐÐÒ ØÐÐ ÐÐ ØÒº ÍØÒ ÓÑÑÒÓØ Ò Ù ÜÑÔÐÚ ÒØ ÖÚ ¾ ºµ ¾º ÃÐ Ñ ÚÒ ØÖ ÑÙ ÒÔÔ Ô ÔÔÐØÓÒ ÚÖ ÚÒ ØÖ ÖÒØ Ô ÖÑÒº º ÎÐ Ò ØÖØ ÓÑ ÓÑÑÖ ÙÔÔ ÅØ Ó Ò ÅØк ½ ÐÑÒØÚ ÑÙÐØÔÐØÓÒº ¾
4 º ËÖÚ ÅØÐ ÑØÐ Ö ÅØÐ ÔÖÓÑÔØ Ó ÒØ ÖÚ Òº ¾ µ ØØÖ ÅØÐ ÔÖÓÖÑ Ù Ò ÐÖØ ØÐÓÒ»ÑØк º ÚÖÝØ Ò ÔÒ ÖÒÒ ÅØÐ Ñ ÓÑÑÒÓØ ØÖй º Ö ØØ ÐØ ØÒ ÅØÐ Ö Ù ÓÑÑÒÓØ ÜØ ÐÐÖ ÕÙØ º º ÇÑ Ù ÚÐÐ ØÖ ØÐÐ ØÓÖÒ Ø Ò ÚÖ Ö ÅØÐÖÒÒÒ Ò Ù ÔÔÒ ØØ ØÖÑÒÐÒ ØÖ Ó Ø ÖÚ ÓÑÑÒÓØ ØÜÑÔ ¹ÚÖÒØ º º Ù Ö ÐÖ Ð Ô ÓÒÒ ØÓÔ Ô ÚÖ ÖÒ Ó ÚÐ ÐÓ ÓÙغ ËØÖØ Ó Ú ÐÙØÒÒ Ú ÅØÐ Ô ÏÒÓÛ ¹ØÓÖ ½º ØÐÐ ËØÖØ ÐØ Ú ÐÐÈÖÓÖÑ Ó ÐØ ÙÔÔ ÅØÐʾ¼¼º ¾º ËÖÚ ÅØÐ ÑØÐ Ö ÅØÐ ÔÖÓÑÔØ Ó ÒØ ÖÚ Òº 2 µ ØØÖ ÅØÐ ÔÖÓÖÑ Ù Ò ÐÖØ ØÐÓÒ»ÑØк º ÖÝØ Ò ÔÒ ÖÒÒ ÅØÐ Ñ ÓÑÑÒÓØ ØÖй º Ö ØØ ÐØ ØÒ ÅØÐ Ö Ù ÓÑÑÒÓØ ÜØ ÐÐÖ ÕÙØ º ¼º ÒØ Ñ ÅØÐ ÝÒØܺ ÅØÐ Ö Ò ÙØÚ ÑÒ Ú ÖØÑØ ÓÔÖ¹ ØÓÒÖ ØÓÒ ¹ ÙØÖØÓÒ ÑÙÐØÔÐØÓÒ» ÖÚ ÓÒ ÚÒÐ Ú ÓÒµ ÚÒ ØÖÚ ÓÒ ÔÓØÒ ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ý ØÑØ Ò Ð ÓÔ 2 Ó 2 Ñ ÖØØ ÚÖº Î ÐÖ ¾ Ä Ô¹ ÐÐØ ÑÖ ØÐÐ ÑÐØÒ ØØ ÐÐ ØÐÐ ÑÐ ÓÑÑÒÓÒ Ñ ÔйÙÔÔ ØÒÒØÒº Ø Ö Ó ØØ Ö ÖØØÐ Ö Ñº ¾ ÈÖÓÑÔØÒ ÓÑÑÖ ÒØ ÐÐØ ØØ ÖÚ ÙØ ÒÒ ÒÐÒÒº
5 ¼º ¼º ÅØÐ Ö ÑÒ ÒÝ ÑØÑØ ÙÒØÓÒÖº ÀÖ ÐÖ Ò Ð Ø Ô ÒÖ Ú Ñº ÙÒØÓÒ ÖÚÒÒ Ñ ÑØØÑØ ØÖÑÒÓÐÓ Üµ x ÕÖØ Üµ x ÜÔ Üµ e x ÐÓ Üµ ln x ÆØÙÖÐ ÐÓÖØÑÒµ ÐÓ½¼ ܵ lg x ½¼¹ÐÓÖØÑÒµ Ò Üµ sin x Ó Üµ cos x ØÒ Üµ tanx ÓØ Üµ cot x Ò Üµ arcsin x Ó Üµ arccosx ØÒ Üµ arctanx ØÒ¾ Ü Ýµ arg(x + iy) Ö ÖÙÑÒØØ ÚÐ ÒØÖÚÐÐØ ( π, π] Ò Üµ sinh x Ó Üµ cosh x ÈÖÓÚ ÅØÐ ÐÔÙÒØÓÒ ÒÓÑ ØØ Ö Ø ÓÑÑÒÓØ ÐÔ Ó Ò ÚÐ Ò¹ ÓØ ÔÐÐØ ÑÒ Ø Ü ÐÔ ÐÐÖ ÐÔ ÐÔ º ËÖÚÖ ÑÒ Ö ÐÔ Ö ÑÒ Ò ÐÒµ Ð Ø Ô Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÑ ÐÔ ÓѺ ÒÚÒ ÒÒ ÐÔÙÒØÓÒ ÚÖ Ò Ù ØØÖ Ô ÒÓØ ØÜØÒ ÓÑ Ù ÒØ Ö ØÖº Ì Ø ÒÙ ÐÔ ÒÚ ÐÔ ÐÔ ÓÐÓÒµ Ó ÐÔ º ÐÔ Öصº ÔÔÒ ÖÙÐÐÖÒÒ ÀÐÔ Ó ØÙÖ Ö ÙÐÐ ÈÖÓÙØ ÑÐÝ ÀÐÔ ÐÐÖ ÅÌÄ ÀÐÔº ÐÖ Ó Ö ¼º ÐÒ 0, π 6, π 3, π 2,...,2π Ò ÅØÐ ØÓÑÑ Ñ Ø¼Ô»¾ Ô ÇÑ Ù ÚÐÐ ÖÒ sin s s = 0, π, π, π,...,2π Ò ÐÐ ÚÖÒ ÖÒ Ô Ò Ò Ñ ÓÑÑÒÓØ Ý Ò Øµ ÒÓÑ ÔÐÓØ Ø Ýµ ÑÑÒÒ ÔÙÒØÖ Ú ÓÖÑÒ (t k, y k ) Ñ (t k+1, y k+1 ) Ñ Ò ÖØ ÐÒº ÀÖ Ö t k = k π 6 Ó y k = sin(t k ) Ó k = 0, 1, 2,..., 11º ÇÑ Ù ÚÐÐ Ò ÚÖÖ ÒÙ ÙÖÚ Ò Ù Ö ØÐÒÒ ÑÒÖº ÜÑÔÐÚ Ò Ù ÖÚ
6 ؼԻ½¼¼¾ Ô ÔÐÓØ Ø Ò Øµµ ¼º Î ÐÖ ØÒ Ú ÑÓÐÓÒ ÊØ ÙÔÔ ÙÖÚÒ sin(t) 5 t 15 ÒÓÑ ÓÑÑÒÓÒº Ø ¹¼º½½ ÔÐÓØ Ø Ò Øµµ Ë ØÖ Ú Ò Øµ ÒØÐÒ Öº Ö ØØ ÐÔÔ ÙØ ÖØÖ Ú Ö ÙÐØØÒ Ò ÑÒ Ð ØÐÐ ØØ ÑÓÐÓÒ Ô ÐÙØØ Ú ÓÑÑÒÓØ ÐÐØ Ø Ü Ø ¹¼º½½º ÊØ ØÐÐØ ÙÖÚÒ sin(2t) Ô ÑÑ ÒØÖÚÐк ÈÖÓÚ Ò sin(ωt) Ñ ω = 50, 100, 200, 500, 501, 502, 503,504º Î Ò Ø ÚÖ ÖÒ ÓÑ ÃÒ ÑÒ ÐØ Ô ØÓÖ¹ ÖØ ÙÖÖ Ë ÐÖÓÓÒ ÓÖÒ ¾¹ ÜÑÔÐ ½º½µ Ó Ò ¼º ÀÖ ÐÖ ÒÖ ÒÐ ÑÒÔÙÐØÓÒÖ Ú ÐÖº ÍØ Ø Ü ÖÒ ÐÒ Ü = 3, 7, 5, 2, 6 º ÇÑ Ù ÚÐÐ ÐÐ ØÖÑÖ Ñ Ò Ù ÖÚ Ü ¹¾ Ü ÓÒ Þ Üµµ Ö ÓÒ Þ Üµµ Ö Ò ÚØÓÖ Ñ Ð ÑÒ ÐÑÒØ ÓÑ Ó Üº ÐÐ ÐÑÒØ Ö 1º ÅÒ Ø Ö Ð Ö Ñ Ü ¹¾ Ü ¼º ÇÑ Ù ÚÐÐ ÚÖÖ ÐÐ ÐÑÒØÒ ÐÒ Ò Ù ÖÚ Üº Ü ÐÐÖ Üº¾º Ç ÖÚÖ ÔÙÒØÒ Ö ØØ ÒÚÖØÖ ÐÐ ÐÑÒØÒ Ü ÖÚÖ Ù ½º»Üº ÆÓØÖ ÔÙÒØÒ Òº ËÓÑ Ø ÜÑÔÐ ØÒÖ Ú Ó ØØ ØÐØ 2 ÙÔÔ ØÐÐ ÚÖØ Ó ØØ Ú ÐÑÒØÒ Üº ËÖÚ ÅØÐ ¾ºÜº Ö ØØ ÐÑÒØÚ ÓÔÖØÓÒ Ú ÚÒ Ö Ò ÔÙÒغ Ò ÖØÑØ ÙÑÑ ÓÑ ÑÐÚÖØ Ú Ö Ø Ó Ø ØÖÑÒ ÑÙÐØÔÐÖØ Ñ ÒØÐØ ØÖÑÖº ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ö ÐÒ Ò = 0, 1, 2, 3,..., 30 º ÌÐÐÚÖ ÐÖÒ = n(n + 1)/2 Ó = ΣÒ ÒÓÑ ØØ ØØ Ò¼ ¼ Òº Ò ½µµ»¾ ÙÑ ÙÑ Òµ ¼º½¼ Ó ÑÖ Ñ Ø Ü ÒÓÑ ØØ Ð ÐÐÒÒµº ØØ ÖÐÒ Ò Ð Ö ÐØغ ÈÖÓÚ ØÐÐ ÜÑÔÐ ½ ¾
7 ÓÑØÖ Ó ÒÖ ÙÑÑÐÖ ¼º½½ Î ÐÐ ÒÙ ØØØ ÐØ Ô ÓÑØÖ ÐÖº ËÖÚ Ò Ò ½ ¼Ò Ü ¼º ÓÑ Üº ÔÐÓØ Óѵ Ö Óѵ Ü ¼ ¾¼ ¼ ½º µ ØÖ Óѵ ÓÑ ÙÑÑ ÙÑ ÙÑ Óѵ ÔÐÓØ ÓÑ ÙÑѵ Ü ¼ ¾¼ ¼ µ ± ÙÑÑÒ ØÖ ØÖÖ ÔÐØ Ð Ö ÓÑ ÙÑѵ Ü ¼ ¾¼ ¼ µ ØÖ ÓÑ ÙÑѵ Ö Ù ÐÒ Ó Ð ÙÑÑÓÖÒ ÙØÖØ Ô ÓÐ Øغ ¼º½¾ ÇÑ ÑÒ ÚÐÐ Ö ÓÑ ÙÖÖÒ ÓÚÒ Ñ ÓÐ ÒØÐ ØÖÑÖ Ó ÓÐ ÚÖÒ Ô Ü Ö Ø ÐÑÔÐØ ØØ Ö ØØ ÐØØ ÑØÐÔÖÓÖѺ ËÒ ÔÖÓÖÑ ÐÖ ÑÒ ÐÖ Ñ ÜØÒ ÓÒÒ ºÑº ÌÐÐÚÖ Ò Ð Ñ ÒÑÒØ ÓÑ ÙÑºÑ Ñ ÒÒÐÐØ ÓÑ Üº Ð ÙÔÐÓØ ¾½½µ Ö Óѵ ÜÐÐ ³ÓÐ ³µ ÓÑ ÙÑÑ ÙÑ ÙÑ Óѵ ÙÔÐÓØ ¾½¾µ ØÖ ÓÑ ÙÑѵ ÜÐÐ ³ ÙÑÑÓÐ ³µ Ó Ð Ò Ò ØØ ÑØÐÐÓغ Ò Ò ÒÙ Ö Ñ ÓÑÑÒÓØ ÓÑ ÙѺ ÎÐÐ Ù ÒÖ Ô ÚÖØ Ú x ÐÐÖ Ô ÒØÐØ ØÖÑÖ Ó Ö ÓÑ Ö Ø Ö ØØ ÖÚ Ø Ü ¼ ¼ Ü ¹¼º ÓÑ ÙÑ ÈÖÓÚ ØØ Ó ÒÖ ÒÖ x¹úöòº ËØÙÖ Ò Ò ÖÒ Ñ¹ÐÒº ØÖ ØÐÐ ØÐÐ ÐÙØ ÖÒ ØÖØ Ñ
8 ÙÔÐÓØ ½½½µ Ð ¼º½ ÖÑÓÒ ØÐÒ ÙØÖ Ò ÖØ ÑÓØ ÚÖØÒ ØÐÐ ÐÓÖØÑÙÒØÓÒÒº Ë Ð¹ ÖÓÓÒ Ò ½ Ö ÐØØ ØØ Ð ÅØÐ ½¼ À ÙÑ ÙÑ ½º»µ ÊØ ÙÔÔ Ñ Ó ÖØ Ò ÐÓÖØÑÙÒØÓÒÒ ÑÑ ÖѺ ÂÑÖ Ò Ñ ÐÓÖØÑÙÒØÓÒÒº ÓÐ Ó ØÖ Àµ ÓÐ ÓÒ ÔÐÓØ ÐÓ µµ ÓÐ Ó ÔÐÓØ À¹ÐÓ µµ ¼º½ ÍÔÔÖÔ Ö Ø Ñ 40 Ö ØØ Ñ 1000º ÌÖÓÖ Ù ÒÙ Ô ÙÐÖ ÓÒ ØÒØ 1 ÐÒ Ö ÒØÖ ÒØ Ò ÔÖº Î ÐÐ Ö ÓÒ ØÖÙÖ Ò Ó ÖÖ k! Ñ ØØ ØÐÐÚÖ ÙÐØØÖÒº Ö Ù Ð ÒÒÖ ØÐÐ ÖÒ ÚØÓÒÒ x n = nx n 1, x(0) = 1, Ó Ò ÐÐØ ÒÓÑ ØØ Ð ÔÖÓÙØÐÒ ØÐÐ ÐÒ = 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.... Ä ÑÖ ØÐÐ Ò ÙÐ ØØÒ ÖÒº ÆÖ Ú Ò Ö ÙÐØØÖÒ Ö Ø Ö ØØ ÚÖ 1 Ñ Ñº Á ÅØÐ Ö Ø ÒÐØ ÖÚ ½ ½½ ÙÐ ÙÑÔÖÓ µ ÒÚÙÐ ½º»ÙÐ ÒÚÙÐ ÙÑ ÙÑ ÙÑ ÒÚÙе Ç ÖÚÖ ØØ ÅØÐ ÒÚÒÖ ÑÑ ØÒÒ Ö ÙÒØÓÒ ÚÖÒ Ó Ñ¹ ØÖ ÐÑÒغ ÌÐÐ ÜÑÔÐ ØÝÖ ÜÔ ½µ ÚÖØ e 1 Ú ÜÔÓÒÒØÐÙÒØÓÒÒ ÑÒ ÒÚÙÐ ÙÑ ½µ ÒÖ ØÖÑ ÒÙÑÑÖ ½ ÐÒº ÐÐ ÅØÐÐÖ ÒÖ Ñ ÖÒ ÖÒ ½º ÈÐÓØØ Ò ÐÑÒØÒ ÒÚÙÐ Ó ÙÑÑÐ Ó ÙÖ ÚÖÒ Ú ÙÑÑÓÖÒ n 1 s n = k! k=0 ØÝ ÒÖÑ ØØ ÖÒ ÚÖº ÎÐØ ØÖÓÖ Ù Ö ØØ Ø Ø Ò ÝÔÓØ ÓÑ Ú ÓÔÔ ÐÐ Ö ØÐÐØ ÙÔÔ Ò ÑÒ ÑÖ Ø Ü ØÖÑ ½ Ò Øµ ÐÒ Ñ e ÒÓÑ ÓÑÑÒÓØ
9 ÜÔ ½µ ¹ ÒÚÙÐ ÙÑ ½µ ¼º½ Ò ÓÑ ÚÐÐ ÔÖ Ó ÚÒØÙÐÐØ ÖÚ ÙØ ÙÖÖ ÓÑ ÅØÐ ÖØØ Ò Ö ØØ Ñ ÓÑÑÒÓØ ÔÖÒغ Ø ÒÒ Ò ÑÒ ÓÔØÓÒÖ ÓÑ ÑÒ Ö Ñ ÐÔ ÔÖÒغ ÇÑ ÑÒ Ø Ü ÚÐÐ ÔÖ Ò ÙÖ Ò ÈÓ Ø ÖÔØÐ ÐºÔ ÓÑ Ò ÐÐ ÒÐÙÖ Ò Ä ÌÐ ÐÐÖ ÒÓØ ÒÒØ Ý Øѵ Ö ÑÒ ÅØÐÓÑÑÒÓØ ÔÖÒØ ¹Ô Ð ÐÐÖ ÔÖÒØ ¹Ô Ð ÓÑ ÑÒ ÚÐÐ ØÖÝ Öº ÎÐÐ ÑÒ Ò Ð ÓÑ ÐÐ Ò Ñ ØÐÐ Ò ÖÚÖ Ú ÒÓÒ ØÝÔ Ö ÑÒ ØÐÐØ Ö ÓÔØÓÒÒ ¹Ô ØÐÐØ ¹Ô ¹ÐØ Øº ÊÙÖ ÓÒ ÚØÓÒÖ ¼º½ ¼º½ ¼º½ ÅØÐ Ö ÚÒÐ ÓÒØÖÓÐÐ ØÖÙØÙÖÖÒ Ñ ÖÔØØÓÒ ÐÒÓÖ ÓÖ ÛÐ Ó ÐÓ¹ ÚÐ º ÊÔØØÓÒ ÐÒÓÖ ÐÐ ÑÒ Ú ØÚØØ Ð ÙÒÚ ÓÑ Ø Ö ÑÐØ ÑÒ Ö ÐÐ Ú ÒÚÒ Ñ Ö ØØ Ð Ò ÖÒ ÚØÓÒº ÄØ Ó Ö Ñ ÚÒÒ ¾º½ x n = 1.077x n 1 200, x 0 = Î ÚÐÐ ÒÒ Ð ÒÒÒ ÙÒÖ Ö Ø ¼ ÖÒº ØØ Ò Ú ØÐÐ ÙÔÔ Ô Ò Ö Ó Ò ÔÐÓØØ Ð ÒÒÒ Ñ Ò Ø Ö Ô ÐÒ ØØ Ü ½µ½¼¼¼¼ ÓÖ Ò¾¼ Ü Òµ ½º¼ Ü Ò¹½µ¹¾¼¼ Ò ØÖ ¼ ܵ ÈÐÓØ Ø Ò Ö ÙØ ÓÑ Ò Ö ÖÖ ØØ ÅØÐÚØÓÖÖ ÒÚÒØÚ ÒÖ Ñ ÖÒ Ô ½ ÑÒ Ú ØÖØÖ Ú Ö ¼ Ó ÑÓØ ÚÖØÒ ÑÐÐÒ ÑØÑØ Ó ÅØÐ ÐÖ ÖÖ x n Ü Ò ½µº ÎÖÖ ÐØ Ô ÝÒÒÐ Ò ØØÒÒÒ Ó Ú ÓÑ Öº Ä ÑÖ ØÐÐ ÐÓÖÒ ËÔÐÐØ ÒØÖ ÒØ ØÒ ÒÖ ÒÖ 2597 ÖÓÒÓÖº Î Ö ØØ Ñ Ò ÓÒ ØÒØ ÔÖØÙÐÖÐ ÒÒÒ ØØ Ö Ä ÖÙÖ ÓÒ ÚØÓÒÒ x n = ax n 1 x n 2, x 0 = 0, x 1 = 1 Ñ µ a ÐØ ÑÒÖ Ò ¾ Ó µ a ÐØ ØÖÖ Ò ¾º Ø Ö ØØ Ö Ô Ò Ö Ñ Ü ½µ¼ Ü ¾µ½ ÓÖ Ò ¼ Ü Òµ Ü Ò¹½µ¹Ü Ò¹¾µ Ò Ö ÖÐÖ Ö ÙÐØØغ Ë Ò ÐÖÓÓÒ ÙÒÖ ÚÖ ÒÙ ÙÖÚÓÖÒ ÓÑ Ù Ö µ Ñ ÔÐÓØ Üµº ÇÑ Ù ÒÒÖµ Ä Ô ÑÓØ ÚÖÒ ØØ Ò ÓÐÒÖ ÒÖ ÓÖÒÒÒ ÖÒ ÚØÓÒ Ø Ü Ò ÚÒÒ ¾º¾¾º ÀÐÐ ÒÓ Ö Ô Ú n Ö ØØ Ù ÒØ ÓÑÑÖ ØØ Ø Ðº ÒÐ Ø Ö ØØ ÖÒ Ü ¾µ Ö Ò Ó ØÖØ ØÖØÓÒÒ Ñ n = 3º
10 ÅØÖ Ö Ó ÐÒÖ ÚØÓÒ Ý ØÑ ÅØÐ ÔÐØØ Ö ÑØÖ ÖÒÒº Ø ÒÒ ÔÖÒÔ ØÚ ØÝÔÖ Ú ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ ÅØÐ ÐÑÒØÚ ÓÔÖØÓÒÖ ÖÖÝ ÓÔÖØÓÒ µ Ó ÒØÐ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ ÑØÖÜ ÓÔÖØÓÒ µº ÖÖ ÖØÖ Ñ Ò ÑØÖ ÐÐÖ ØÚ Ú ÑÑ ØÓÖÐ Ó ÙØÖ ÓÔÖØÓÒÒ Ô Ò ÔÐØ ØØ ÙØÒ ØØ ÐÒ Ò ÒÖ ÑØÖ ÐÑÒغ ÒÖ ÐÖ ÒÝ ÐÑÒØ ÙÖ ÑÒ Ñк ÌÝÔ ÜÑÔÐ Ô ÒØÐ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ö ÑØÖ ÒÚÖ ÓÒ Ó ÑØÖ ÑÙÐØÔÐØÓÒº ¼º½ ÈÖÓÚ ÐÐÒÒ ÑÐÐÒ Ø Ü º Ó Ö Ò ÚÖØ ÑØÖ µº ËÖÚ Ò Ø Ü ½ ¾ ÚÐØ Ö 2 2¹ÑØÖ Ò ( ) ÌÖÒ ÔÓÒÖÒ Ú ÖÐе ÑØÖ Ö Ö Ñ ÔÖѹÓÔÖØÓÖÒ A T ÖÐÐ Ñ ³º Ð A T A Ó AA T Ö ÑØÖ Ò ÓÚÒº ¼º¾¼ ÅÒ ÚÖ ÓØ ÖÒ ÙØØÖÝ Ú ØÝÔÒ a n 1, an 2,...,an m ÓÑ a 1, a 2,...,a m Ö Ú¹ Òº ØØ Ö ÑÝØ ÒÐØ ÒÚÒ ÓÔÖØÓÒÒ ºº Ö Ø Ü Ñ ½ ¾ º º Ç ÖÚÖ ØØ Ø ÒØ ÒÒ ÒÓÒ ÓÔÖØÓÒ º ØÖ ÓÑ ÑØÖ ØÓÒ ÐÐØ Ö ÐÑÒØÚ º Å ØÐÐÒ ØÐÐ ÅØÐ ÚÖ ÑÒ ÒØ ØÝ ØØ ÐÒÖ ÚØÓÒ Ý ØÑ Ö Ó¹ ØØ Ð ØÑÒ ØÓÒ ÒØ ÚÖØ Ñ ÒØÝ Ð ÒÒº ÅØÖ ÒÚÖ Ò A 1 ÖÐÐ Ñ ÒÚ µº ØØ ØØ ØØ Ð Ø ÐÒÖ ÚØÓÒ Ý ØÑØ Ax = b Ö ÐÐØ ØØ ÒÚÒ ÓÖÑÐÒ x = A 1 b ÚÐØ ÚÖ ØØ ØÐÐ ÅØÐ ÐÖ ÜÒÚ µ º ØØ Ö ÐÐÑÒØ ÒØ Ø Ñ Ø ØÚ ØØØ ØØ Ð Ý ØÑØ ÙØÒ ÑÒ ÐÐ ÐÐÖ ÒÚÒ ÅØй ÓÑÑÒÓØ Ü ºµ ¼º¾½ Ä ÚØÓÒ Ý ØÑØ { x + 2y = 5 3x + 4y = 6 Ö Ò Ó Ñ ÅØÐ Ñ ÒÚÒ ÑØÓÖÒº ¼º¾¾ Ö ØØ Ð ÚØÓÒ Ý ØÑØ { x + 2y = 5 2x + 4y = 6 Ö Ò Ó Ñ ÅØÐ Ñ ÒÚÒ ÑØÓÖÒº
11 ¼º¾ Ö ØØ Ð ÚØÓÒ Ý ØÑØ { x + 2y = 5 2x + 4y = 10 Ö Ò Ó Ñ ÅØÐ Ñ ÒÚÒ ÑØÓÖÒº ÃÒ Ù Ö ÒÖ ÐÙØ Ø Ö Ú Ö ÙÐØØÒ ËØÙÖ ÐÔ Ð º ÈÓÐÝÒÓÑÚØÓÒÖ Å ÅØÐ Ò ÑÒ ÐØØ ÒÙÑÖ Ø Ð ÔÓÐÝÒÓÑÚØÓÒÖº ÇÔÖØÓÒÒ ØÖ ÖÓÓØ º Ö ØØ Ø ØØ ÜÑÔÐ Ö ÑÒ Ð ÒÒÖÒ ØÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑØ x 3 5x+7 ÒÓÑ ÓÔÖØÓÒÒ ÖÓÓØ ½ ¼ ¹ º Ä ÑÖ ØÐÐ ØØ Ò Ð Ú Ñ Ö ÓÑÔÐܺ ÅÒ Ò ÖØ ÙÔÔ Ö ÐÒ Ø ÓÑÔÐÜ ØÐÔÐÒØ ÒÓÑ ÐÒ ÓÔÖØÓÒÖ ÔÐÓØ ÖÓÓØ ½ ¼ ¹ µ ³ ³µ Ü ³ÕÙгµ Ò ÒÖ Ö ØØ ÑÑ Ð Ô ÖÐÐ Ó ÑÒÖ ÜÐÒºµ Ö ÒÙ ÑÑ Ñ ÒÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ü x 9 1º ÄÒÖ ÖÙÖ ÓÒ ÚØÓÒÖ Ø ÓÚÒ ØÒ Ò ÒÙ ÓÑÒÖ Ö ØØ ÖÚ Ò Ð Ö Ú ÝÒÒÐ ÚÖ ÔÖÓÐÑ Ö ÓÑÓÒ ÐÒÖ ÖÙÖ ÓÒ ÚØÓÒÖ ÐÐØ ÔÐÐÐØ ¾ ÓÖÒÒÒµ Ú ØÝÔÒ x n + ax n 1 + bx n 2 = 0, x 0 = α, x 1 = β. ØØ Ö Ù ÐÒ Ø ÐÖÓÓÒµ ØÑÒ ØÓÒ ÓÑ Ø ÖØÖ Ø ÔÓÐÝÒÓÑØ ÒØ Ö ÑÙÐØÔÐÖØØÖ ½º ËÖÚ ÙÔÔ Ò ÖØÖ Ø ÚØÓÒÒº ¾º Ä ÒÒº º ËÖÚ ÙÔÔ Ò ÐÐÑÒÒ Ð ÒÒÒ ØÐÐ ÚØÓÒÒº º ËØØ Ò ÝÒÒÐ ÚÖÒ Ò ÐÐÑÒÒ Ð ÒÒÒº Ø Ö ØØ ÚÖØ Ø ÐÒÖØ ÚØÓÒ Ý ØѺ º ØÑ ÓÒ ØÒØÖÒ Ñ ÐÔ Ú ÝÒÒÐ ÚÖÒ Ú Ð Ø ÐÒÖ Ú¹ ØÓÒ Ý ØÑغ º ÖÒ ÚÖØ Ú Ð ÒÒÒ Ú Ò Ò ØÔÙÒØÒº ½¼
12 ¼º¾ ÐÐ Ø Ò ÐØØ ÙØÖ Ñ ÐÔ Ú ÅØк Ä Ô ØØ ØØ ÝÒÒÐ ÚÖ ÔÖÓÐÑØ x n = x n 1 + x n 2, x 0 = 1, x 1 = 1. ØÑ x 5 Ó x 7 Ó ÑÖ Ñ ÖØ ØÖØÓÒº ¼º¾ Á ÑÒ Ú Øºµ Ò Ð ÒÒ ØÐÐ ÖÙÖ ÓÒ ÚØÓÒÒ x n +ax n 1 +bx n 2 = δ n Ö δ n = 0 ÓÑ n 0 Ó δ 0 = 1 ÐÐ Ò ÙÒÑÒØÐÐ ÒÒº Ò Ù Ð Ò Ò Ú ÒÒ ÒÓÑ ØØ ÖÚ ØØ x n = 0 ÓÑ n < 0 x 0 = 1 ËØØ n = 0 ÚØÓÒÒµ x 1 = a ËØØ n = 1 ÚØÓÒÒºµ x n + ax n 1 + bx n 2 = 0 ÓÑ n > 1 Àµ Ò Ð ÒÒ ØÐÐ Ò ÓÑÓÒ ÚØÓÒÒ Àµ Ò ÒÔ ØÐÐ ÝÒÒÐ ÚÖÒ x 0 = 1, x 1 = aº ÇÑ h Ö Ò ÙÒÑÒØÐÐ ÒÒ Ö h w Ö ØÒÖ ÐØÒÒ Ò ÔÖØÙÐÖÐ ÒÒ ØÐÐ x n + ax n 1 + bx n 2 = w n º Ì Ø Ö ÅØÐ ÒÓÑ ØØ Ö ÔÖÓÖÑÑØ ÔÖØ ÓÐºÑ ÓÑ Ù Ò ÑØ ÖÒ ÙÖ Ò Ñ º ÆÖ Ù Ö ÔÖÓÖÑÑØ Ò Ù Ö Ø ÖÚ ÐÔ ÔÖØ ÓÐ Ó Ò ØÝÔ ÔÖØ Óк Å Ø ÒÖ ÓÑÑÒÓØ Ú Ð ÔÖÓÖÑÓÒº ÀÖÐØ Û Ò Ù ØØ Ô ÐÚ ÐÐÖ ÚÐ ÐÙÑÔÚ Ñ ÐÔ Ú ÛÖÒ ½ Òµ Ö Ò Ö ÒÓØ ÔÓ ØÚØ ÐØк ÆÖ Ù ØÑØ Ö Û ØÖØÖ Ù ÔÖÓÖÑÑØ Ñ ÓÑÑÒÓØ ÔÖØ ÓÐ Ûµ Ö Ó Ö ØØ Ñ ÚÖÒ Ù ÚÐÐ ØØ º ÚÖÙÒÒÒ Ð ¼º¾ ØÐ ÓÑ ÅØÐ ÖÒÖ Ñ Ö ÝØØÐ ÒÐØ Á¹ ØÒÖµº ØØ ÒÒÖ Ø Ü ØØ Ö ØÐ Ú ØÓÖÐ ÓÖÒÒÒ 1 ÖÒÖ Ý ØÑØ Ò Ø µ Ñ ½ ÑÐÖº ÌÐÐ ÜÑÔÐ Ö ÅØÐ ÚÖ Ô π ØØ ÚÖÙÒÒÒ Ð Ú ØÓÖÐ ÓÖÒÒÒ º ØØ Ò ÑÖÖ ÓÒ ÚÒ Ö ÔÐÐØ ÑÒ ÖÒÖ ØÒ ÓÑ ÓÖ ÚÖ Ð Ñ 0º Î Ö ÚÖØ Ú sin(2πk) ÓÑ k Ö ØØ ÐØÐ Ì Ø ØØ ÅØÐ Ö Ö Ò ½¼¼ ¼Ò ÔÐÓØ Ò ¾ Ô µµ ÐÚ Ø ÓÑ Ù ÚÒØ ËØØ n = Ó Ö ÓÑ ÜÔÖÑÒØغ Ö Ó Ñ ØØ ÖØØ ØÓÖØ ÐØÐ kº Î ÐÖ Ø Ü Ò ¾ Ô ½¼½µ ½½
13 ¼º¾ ÚÖÙÖ µ Ö ØØ ÖÐÖ ÙØ ÒØ Ô ÙÖÒ ÖÒ ÙÔÔغ Ø Ö Ð Ñ ØÐÖÔÖ ÒØØÓÒÒ ØÓÖÒ ØØ Öºµ Ò ÐÖÓÑ ÑÒ Ò Ö Ú ÜÔÖÑÒØØ ÓÚÒ Ö ØØ ÚÒ ÓÑ ØÚ ÖÒ ÝØØÐ ÓÖ ÚÖ Ð ÐÖ ÖÐ ÐØ Øº Ö ØØ Ø Ø ÐØ Ú ÝØØÐ Ö ÑÒ ÖÖ ÅØÐ ÒØ ÖÚ Ö ØÖ Ù ÒØ ÝÒØÜÒ ÐÔÖ ÒÓ ÐÔ Ó Ó Ø Ü ÐÔ Ðµ Ü Ý Ö Ò Ð Ö Ò ÒÒÒ Ò ÙØÒ ÒÓØ ØÐ Ñ ØÓÐ ÐÑÔÐØ ÚÐØ ÐØØ ØРܹݵ ØÓÐ Ö Ò Ð Ö Ò ÒÒÒ Ò ¼º¾ Î ÖÒÒ Ñ ÖÐÐ ØÐ ÐÐÖ ÓÑ ÒØ ØØ (a b) c = a (b c)º Á ÅØÐ ÚÖ Ø ÒØ Ðк ËÖÚ ÐÒ ÓÑÑÒÓÒ Ô Ò Ö ÖÒ ÖÒµ ½ ÖÒ ÖÒµ ½ ÓÒ µµ ¹ ÓÒ µ µ ÃÖ ÓÑÑÒÓÒ ÒÖ ÒÖº ÒÚÒ ÔÐ ÙÔÔØ Ö ØØ ØÖÐÐ ÖÒ Ñ ÓÑÑÒÓÒº Ò ÒÖØ ØØÖ Ù ØØ ÐÐ Ø Ø Ö ÙÐØØØ ÒØ ÐÖ ¼º ¹ Ö ÊÔØÖ ÒÖ ÓÐ ØØ ØØ ÔÖ ÒØÖ ¹ Öº ÈÖÚ Ñ ÓÑÑÒÓÒ Ö¾¾ Ó Ö ¼º¾ Î ÒÙ Ö Ø ØÙÖ ÒÙ ÙÒØÓÒÒ w = sin z Ö z Ö ÓÑÔÐÜغ ËÖÚ Ò Ü¼¼º½½ ݼ¼º½¾ Ñ Ö Ü Ýµ Þ ÙÖ ½µ ÙÖ Ü Ý ÖÐ Ò Þµµµ ÙÖ ¾µ ÙÖ Ü Ý Ñ Ò Þµµµ ÙÖ µ ÙÖ Ü Ý Ò Þµµµ ÙÖ µ ÙÖ Ü Ý Ò Þµµ¹ ÕÖØ Ò µº¾ Ò µº¾µµ ½¾
14 ËÖ ÖÒ Ö Ø Ò ØÖØ ÙØ ÓÑ Ù ÚÒØ y = 0 ËØÑÑÖ ÙÖÒ Ò ØÖ Ñ ÚÒÒ º ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ÖÖÒÒ Ú ÜÐÖÒº ÀÙÖ ØÓÖ Ò sin z Ð ¼º ¼ Á ÒÒ ÚÒÒ Ö Ø ÐÓÖØÑÙÒØÓÒÒ ÓÑ ØÙÖ º Î ÖØÖ Ò Ô ØØ ÖÙÐÖØ ÓÑÖº ËÖÚ Ò Ø¹ÔÔ» ¼Ô Ö¼º½¼º½½ ÜÖ³ Ó Øµ ÝÖ³ Ò Øµ ÞÜ Ý ÛÐÓ Þµ ÙÖ ½µ ÙÖ Ü Ý ÖÐ Ûµµ ÙÖ ¾µ ÙÖ Ü Ý Ñ Ûµµ ÙÖ µ ÙÖ Ü Ý ØÒ¾ Ý Üµµ ÎÐÒ ÖÒ Ú ÐÓÖØÑÒ ÒÚÒÖ ÅØÐ ÆÓØÖ ØØ ÙÖÖÒ Ò ØÖ ¾ Ó Ö Ðº ËÖ ÒÚÙÖÚÓÖÒ ÙØ ÓÑ Ù ÚÒØ ÒÚÒ ÙÒØÓÒÒ ØÒ¾ Ö ØØ ÖØ Im(log(z)) ÓÑ log ØÝÖ ÒØÙÖÐ ÖÒÒ Ú ÐÓÖØÑÙÒØÓÒÒº ÄØØÖØÙÖÖØÒÒ ÖÑÒ Æº ² Ù Ø ÓÒ º ¾¼¼¾µ Ò ÁÒØÖÓÙØÓÖÝ ÅØÐ ÓÙÖ ¹ ÛØ ÒÒÖÒ ÔÔÐØÓÒ ÔÖØÑÒØ Ó ÐØÖÐ ÒÒÖÒ ÄÒÔÒ ÍÒÚÖ ØÝ ÄÒÔÒº ÈÖعÒÒÖ º ² ËÖ º ¾¼¼½µ ÒÚÒÖÒÐÒÒ Ö ÅØÐ ÁÒ ØØÙØÓÒÒ Ö ÒÓÖÑØÓÒ ØÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÍÔÔ Ðº ËÑÓÒ Ãº ½ µ ÅØÐ ÈÖÑÖ ÔÖØÑÒØ Ó ÅØÑØ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÐÓÖº ËÔÒÒ Ëº ¾¼¼µ ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ Á ÃË ½
ËÐ ½ ØØ ÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÐØ ÓÑ ÖØ ÖÒ Ð ËÐ ¾ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ÆÙÑÖ Ð ÒÒ ÔÖÒÔ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ÒÐÒÒ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ
ËÐ ½ ÁÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ËÐ ¾ ÈÖÒÔ Ö ÒÙÑÖ Ð ÒÒ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ Ô ÚÖ ÐÒØÖÚÐÐ [Ü Ü+]
ÃÓÑÔÙØØÓÒÐÐ ÁÒØÐÐÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ Ê ËÚÒÖ ÖÞ ÅÙ Ø ÀÒ ÇÐÓ ÓÒ ÑÖ ¾¼¼¾ ÁÒÒÐÐ ½ ËÝØØ Ñ ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ ÌÓÖ ÒÐÝ º½ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÅÖ ÖÙ º º º º º º º º º º º º
ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ø Ð Ö
ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ö ÔØ Ú È ¹Ð Ö Ö ØÓ Ö Ê ÑÕÙ Ø Ê Ö Ò Ö Ê Ö Ä ÓÒ Ö Ø Ò Ä Æ Ð ÓÒ Ò Ö Ë ÖÐÙÒ Ù Ø Ú Ì ÒÓ ½¾ Ñ ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ
ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Å Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ØÝÔ Ö Ó Ú Ö Ð Ö Î ØÓÖ Ö»Ð ØÓÖ ½ ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ
ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾
Å Ø Ñ Ø Ò ¾¼½¾¹¼ ¹½ Æ Ö Ò Ð Ð Ö Ò ØÓÖ Æ Ð Ö ÓÒ Ò Ð º Ö ÓÒ Úº ½ ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ñ ÒØ ÙÔÔ Ú Ö Ö Ú Ò
Ð ËÅ ½¹½¾¹¼¾ ½ ÅØØ ØÐ ÔÔÒÒ ÇÖÖÒÒ ÖÐÖ ÑØØ ÔÔÒØ ÐÓÒ ½º¾ Ñ ¼ ØÒÓÐÓÖ ÒÖÚÖÒº ¾ ÓÖÑÐ µ ÌÐÐ ÑØ ÓÖÖÒ ÚÐ ÓÖ ÂÓÑ ÅÐÐ ÚÖº µ ÌÐÐ ÑØ ÖØÖÖ ÚÐ Ö ÒÒ Ö ÓÒ ÚÖº µ ÌÐÐ Ù ØÖÒ ÑÒ ÚÐ ÌÓÑ ÏÖ ÜØÙ ÑÙ ÑØ ÂÓÒ ÀÖ ØÖØÙ ¹ ÑÙ º µ ÁÒ
( ) = 3 ( + 2)( + 4) ( ) =
ÊÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÔØÐ ÓÑÔÒØ º½ ËÖÚ Ý ØÑÒ ÒÒ Ô ØÐÐ ØÒ ÓÖѺ ÒØ ØØ Ù Ö Ò ÒÐ Ó Ý ÙØ ¹ Òк µ µ Ý(Ø) + Ý(Ø) 2 Ý(Ø) + 3 Ý(Ø) 5 µ 4 Ú(Ø) + 5Ú(Ø) 2 Ý(Ø) + 2Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ú(Ø) + 2Ú(Ø) 3 Ý(Ø) + 7 Ý(Ø) + 4Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ý (3)
huvudprogram satser funktionsfil utparametrar anrop av funktionsfil satser satser
Á ÈÖÓÖÑ ØÖÙØÙÖ Ð ÒÒ ½ ÀÙÚÙÔÖÓÖÑ Ó ÙÒÖÔÖÓÖÑ ÆÖ ÑÒ Ð Ö ØÓÖ ÔÖÓÐÑ Ö Ö ÑÒ ÓØ Ð ÙÔÔ ÔÖÓÐÑØ ÐÔÖÓÐѺ ËÒ ÖÚÖ ÑÒ Ò Å¹Ð Ö ÚÖ Ðº ÌÝÔ Ø ÖÚÖ ÑÒ Ò ÓÑÑÒÓл ÖÔØÐ ÓÑ ÐÐ ÙÚÙÔÖÓÖѵ ÓÑ ÒÖÓÔÖ ÙÒØÓÒ ÐÖ ÓÑ Ó ÐÐ ÙÖÙØÒÖ ÐÐÖ ÙÒÖÔÖÓÖѵº
Ì ÆÌ Å Æ ËØ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Á ÌÅ˽ ¼ ÑÒ Ò Ò ½ Ñ Ö ¾¼¼ Ð Ô Îº ÂÓÙÖ ÂÓ Ò Ù Ø Ú ÓÒ Ò Òº ½ À ÐÔÑ Ð ÍØ Ð ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ö Ì Ô ÙÖ Ò ÒÚÒ ÓÖ Ð Ø Ó ØÝÔ Ó Ò Ö Ò Ó º ÈÓÒ Ö Ò Ò ÍÔÔ Ø ÖÒ Ö Ú ÖÚ Ð ØÝÔ Ö Ò Ø ØØ ÐØ
Ö ÙÔ ØÙ Ú ÖÖ Ö ÓØÐ Ò Ä Ö ÆÓÖ Ò ËÚ Ö Ñ Ø ÓÖÓÐÓ Ó Ý ÖÓÐÓ Ò Ø ØÙØ ÆÓÖÖ Ô Ò ¾¼ Ñ Ö ¾¼½¾ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ÍØÖ Ò Ò ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò Ö Ö Å ØÓ º½ Ö Ò Ò Ú Ö ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ð ÓÖ
s N = i 2 = s = i=1
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ ¹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö ËÖ Ôع Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö ÄÓ ÙØØÖÝ Î ÐÐ ÓÖ Ø Ö ¹ Ø Ö Ê Ô Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÐÓÓÔ Öµ ÓÖ¹ Ø Ö Û Ð ¹ Ø Ö ½ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÐ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ØØ ÔÖÓ
Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖ Ö ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐ Ö Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ø Ò ÓÐÓÖ
ÅØÑØ ØØ Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖÖ ¾ ÙÙ Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐÖ Ó ØÐÐÖ ØÐÐ ÅØÑØ ØØ Ø Ô ÙÒÚÖ ØØ Ó ØÒ ÓÐÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ÄÓÖÑ ÒÒÓÐØ ÖÐÒÒ Ô ØØ ÒÐØ ÙØÐÐ ÖÙÑ Ë ÇÑ ÐÐ ÙØÐÐ Ö Ð ÒÒÓÐ ÐÐÖ Ö Ò ÒÐ ØØ È µ Ò µ Ò Ëµ ØØ Ö Ò Ð ÒÒÓÐØ ÒØÓÒÒº
Ö Ò histogramtransformationº
ÍÐØÖ Ð Ù Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÌË ½ Å Ò Ð Ö ÍØÚ Ð Ú Å Ø Ò Ö ÓÒ ÁÅ̵ ¾¼½ ÍÔÔ Ø Ö Ú Å Ö Å ÒÙ ÓÒ ÎÄ ÁË µ ¾¼½ ÓÒØ ÒØ ÍÔÔ Ø Ò Ä Ò Ê ¹ Ø Ò Ê ÒÒ ØÖÐ Ó ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ Ñ Ú Ö ØÙÖ ËÙ ÑÔÐ Ò Ò
¾ ½ ½¼ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ø Ò Ö Ì½ Ä ÓÖ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ø ¾¼¼¼»¾¼¼½ ÝÐÐ ØØ Ò ÑÒ Ó Ô Ö ÓÒÒÙÑÑ Ö Ñ Ð ÐÐ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò º Ç Ë ÇÑ ÒØ ÒÒ Ú ØØ Ò Ø Ñ Ú Ö ÓÚ Ò Ò Ò Ö Ù Ò Ò Ú ØØ Ò Ö Ùй Ø Ø Ø Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò Ý Ø Ñ
ÁÒÒ ÐÐ Á ÝÖ ÖÒ ÓÑ ËÙÖ Ð¹ Ö ÓÑ ØØ Ö ÁÁ ÌÖ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ó Ò Ð Ø Ö ÁÁÁ йÀ Ò Ö Ñ Ö Ð ÓÒ ÁÎ Ò Ö Ø ÖÙÒ Ò Î Ò Ò Ö ÖÙÒ Ò ÃÒÒ ÓÑ ÓÑ ÚÖ Ö Ð ÓÒ Á ¹ Ð Ñ
ØÖ ÖÙÒ ÖÒ Ë Ý ¹ÙйÁ Ð Ñ ÅÓ ÑÑ Á Ò Ð¹Ï Á ÐÐ Æ ÑÒ Ò Æ Ö Ò ÖÑ ÖØ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÐÐ Ö Ñ Ö Ø ÐÐ ÐÐ Ó Ñ Ö Ó ÚÐ Ò Ð Ö Ú Ö Ñ ÈÖÓ Ø Ò ÅÓ ÑÑ º ØØ Ö ØÖ ÖÙÒ ÖÒ ÒØÐ Ò Ø Ò ÖÒ ÖÙй Ø ºÓÑ Ñ Ö Ø ÐÐØ Ð ÓÑ Ö Ú Ò Ñ Ð Ø Ö Ð
=
ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ½ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÑÖÒ ÑÖÓÐÞ Ó ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ð ÖÒÒ Ú ÒÚÖÒ Ó Ò¹ ÚØÓÖÖ ÑØ ÓÒÐ ÖÒ Ú ÑØÖ Ö Ñ ÐÔ Ú ÅØÐ Ó ÅÔÐ Ð Ð ÒÒ Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖ Ñ ÐÔ Ú ÅÔк À ÐÖÓÓÒ
Î Ö Ä Ì ½º Ì Ö Ò Ø Üع Ð ÓÑ ÒÔÙغ ¾º ÈÖÓ Ö Ö Ð Ò Ó ØÑÑ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò Øº º Ö ÙØ Ò ÎÁ¹ Ð Ú ¹ÁÒ Ô Ò Òصº º ÎÁ¹ Ð Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ò È ¹ к
ÐÐÑÒØ ÓÑ Ä Ì Ä Ì Ö Ò Ú Ö ÙØÚ Ð Ò Ú Ì ¹ Ý Ø Ñ Ø ÓÑ ÙØÚ Ð Ô ¼¹Ø Рغ Ì ÐÐØ Ö ØÚ Ò Ö µ Ö ÒØ Ò ØØ ØÒ Ñ Ö Ô ÒÒ ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ò º Ò ÐØ ØØ Ô ØÖÙ ØÙÖ Ö Ó ÙÑ ÒØ ÁÒÒ ÐÐ ÖØ Ò Ò ÃÐÐ ÖØ Ò Ò ÓØÒÓØ Ö Ê Ö Ò Ö ØÓ Ø Ò Ö
2E I L E I 3L E 3I 2L SOLUTIONS
Ä Ò Ô Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ú ÐÒ Ò Ò Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ Ò Ð Ä ÖÑ Ö Ð Á Ì ÓÖ Ð Á ÒÙÑÑ Ö Ì ÆÌ Å Æ ÌÅÅÁ½ ¹ ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÖÙÒ ÙÖ ¾¼½ ¹¼ ¹¾ ½ ½º Ò Ö ØØ ÙÔÔÐ Ð ÓÖ Ú ØÐ Ö ØØ Ú Ò ÐÙÑ Ò ÙÑÔÖÓ Ðº ÒÒ Ð Ð Ø Ñ Ò ÔÙÒ ØÐ Ø F Ô Ñ Øغ ÀÙÖ
=
ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ½ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼½¾ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ Ó ÌÓÑ ÖÒ ØÑ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö ØÓÖØ ØØ ØÙÖ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ñ ÅØÐ Ó ÅÔÐ ÒÚÖÒ ÒÚØÓÖÖ Ó ÓÒÐ ÖÒ Ñ ÅØÐ Ó ÅÔÐ ÒÖÐ ÖØ ØØÓÒÖ Ð ÒÒÖ ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ
x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2
ÅÐ Ö Î ½ ½º ÒØ Ñ Å ÔÐ º ¾º Î Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ð Ö º º ÇÐ ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÒ Ö ÔÐ Ò Ø»ÖÙÑÑ Øº µ ÁÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ø Ö Ð Ñ Å ÔÐ Ð Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ö µ ÐÐ Ø Ü Ð Ò Ö Ó Ò Ö Ö ÙÖÚÓÖ º Á Å ÔРй Ð Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ô ÙÖ ÙÖÚ
Stapeldiagram. Stolpdiagram
Á Î Ù Ð Ö Ò Ö Ñ ¹ Ö Ö Å ØÖ Ö Ó Ð Ö ÇÖ ÒØ Ö Ò º Ä ÐÚºµ ½ À ØÓ Ö Ñ Ó Ø Ô Ð Ö Ñ Å ÓÑÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ñ Ó Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ø Ô Ð Ö Ñ Ö Ô Ø Ú ØÓ Ö Ñº ØÓÐÔ Ö Ñ ËÝÒØ Üº Ö Üµ Ê Ø Ö ØØ Ø Ô Ð Ö Ñ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ò Üº Ø Ñ Üµ Ê Ø
f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0
½»¾¹¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ñ ØÖ Ö Ë Ø ÙØ Ö Ú p(a) Ö p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ ÆÙ ÐÐ Ú Ú ÙÖ Ñ Ò Ò Ò Ö f(a) Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ö f(x) ÓÑ Ò Ú Ö ÒØÖ Ö f(x) = f t (x) = e tx ÓÑ Ö e ta Ö ËÝ Ø Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ
u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ)
Ã Ô ¹ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÌÚ ÖÙÒ ÔÖ Ò Ô Ö Ö ØØ Ý Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ö Ó Ø µ Ý Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ý º ÒÚÒ Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ð Ò Ò Ö Ð Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ö Ø Øµº Á Ð Ò Ú ÝÔÓØ Ö Ó ÑÔ Ö Ñ Ò µº Ë Ã Ô ¾ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÒ Ø Ò ÑÒ ËÝ Ø Ñ
ËØÝÖÒ Ò Ú Ð Ò Ñ Ò ØÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö ÁË ÓÖ ÓÒ Ý Ø Ñ ½ Ù Ù Ø ¾¼¼¾ ÂÓ Ò Ð Ò ÜÜÜÜÜܹÜÜÜÜ È Ö Ö ¼ ½½¹ Ô ÖÓ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ Ð Ò Ò ¾º½ ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÀÖ
σ ϕ = σ x cos 2 ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ xy sinϕcos ϕ
ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ì Ò Ñ Ò Ú º Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ù Ù Ø ¾¼½¾ ½ ËÔÒÒ Ò Ö τ σ ÆÓÖÑ Ð ÔÒÒ Ò σ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ò ØØÝØ Ë ÙÚ ÔÒÒ Ò τ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÒØ ÐÐØ Ø ÐÐ Ò ØØÝØ ËÔÒÒ Ò
Ø Ú Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ç Ð ÓÒ ² Ñ Ð À Ú Ð Ö Ò Ú Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø Ö Ø ÓÑ ÖÚ Ö ØØ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ü Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ôº ÐÐØ Ñ Ø Ö Ð ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ð Ø ÒØ Ö ÚÖØ Ø Ö Ð Ú Ø ØÝ Ð Ø ÒØ Ö Ø Ó Ò Ø
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Ø
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Øº Ö ÑØ º ÌÀÆÇ»ËÍÆ Ì Ë ½ ÓÔÝÖ Ø ÅÒ Æ Ð ÓÒ ¾¼¼¾ À ØÓÖ
Multivariat tolkning av sensordata
Multivariat tolkning av sensordata Totalförsvarets forskningsinstitut, FOI Hanna Smedh Examensarbete i matematisk statistik 3, 30 högskolepoäng Vt/ht 2009 Handledare: Peter Anton, Leif Nilsson och Pär
Föreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen.
Ä Ò Ö Ó ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ö Ò Ö Ö Ã Ð Å Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ Ö Ð Ò Ò ½ Æ ÙÖ Ð ÒØÚ Ö ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ È Ö ÔØÖÓÒ Ð Ö Ð Ö ËÙÔÔÓÖØ Î ØÓÖ Å Ò ÀÓÔ Ð ÓÐØÞÑ ÒÒÑ Ò Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØØ ÒÝØØ Ö Ò Ò ØØ È Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ø Ö Ò Ø ÁÒÐÖÒ Ò ÇÔØ
1 k j = 1 (N m ) jk =
ÂÓÖÒ ÖÒ ½ ÖÙÖ ¾¼¼ ÀÙÚÙÖ ÙÐØØØ ÓÒ ÔØÐ Ö ØØ ÚÖ ÚÖØ ÑØÖ Ö ÐÓÖ¹ Ñ Ñ Ò ÓÖÒÑØÖ ÓÑ Ú ØÐÐØÖ ÓÑÔÐÜ ÑØÖ ÐÑÒص ÓÑ ÐÐ ÂÓÖÒ ÒÓÖÑÐÓÖÑ Ö ÑØÖ Òº ËÓÑ ÔÔ ÓÒ Ö ÒÓÖÑÐÓÖÑÒ Ò¹ Ö Ø ØØ ØÓÖØ Ø ÚÖØÝ ØÖ ÓÑ Ò ÐÐÑÒØ ÒØ ÖÓÖ ÓÒØÒÙÖÐØ
ÈÖÓ Ö ÑÚ Ö Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÑ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ò Ã Ò Ø Ö Ø ÒÓÑ Ú Ð Ò Ò Ö ÙØ Ð Ò Ò Ò Ú ÐÑ Ö ÂÓÒ Ø Ò Ð Ø Ø ÝÐÐ Ö Ò Ø ÒÒ ÙÖ Ö Ò Ê ÑÐ ÂÓ Ò Î ÐÐÝ ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ú Ø Ò Ô Ö ÐÑ Ö Ø Ò ÓÐ Ø ÓÖ ÙÒ Ú Ö
Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼
Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ú ÙÒ ÙÐ Ø Ø Ø Ð Ö Ð Ð Ò ÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ
½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº
Æ Ö Ø Ö Â ÒÙ Ö ¾¼¼ ½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº Ö ÒØÞ Ö Ð Ó Ð Û Ñ Ð Û ÓÒ Ò ÓØØ
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô Ó ÐÖ Ò Ú ÐÒ Ò ÁÒ Ø ØÙØ
Självorganiserande strömningsteknik
Självorganiserande strömningsteknik i Viktor Schaubergers fotspår Lars Johansson Morten Ovesen Curt Hallberg Institutet för Ekologisk Teknik Forskningsrapporter 1 Malmö - 2002 Ë ÐÚÓÖ Ò Ö Ò ØÖ ÑÒ Ò Ø Ò
Verktyg för visualisering av MCMC-data. JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK
Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete Stockholm, Sverige 2010 Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete i datalogi om 15
0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n
Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ È ÚÓ Ë ÐÑ Ò Ò ÒÙ Ö ¾¼½¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÒÓÐ Ø ÑØØ ¾ ¾ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÇÑ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Ò ½¼ º½ ÈÓ ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÓÑ Ð Ö ÐÒ Ò º ½½ º¾ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ó ÖÙØ Ó
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ¾ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ö Ò Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ö Ú
Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring
Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring Emma Södergren Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2012:9 Matematisk statistik December
Dlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) =
ÃÓÑÔ Ò ÙÑ ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ú Å Ð Ò À Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ Ó ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ ÁÒØ Ö Ð Ö ¾º½ Ö Ú Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ
k=1 r n 1 3n 3, 1 tol n
ÙÒØÓÒ ØÓÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ¾ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ËØÖ Ø ÐÒ Ú ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ÒÐÖ ÓÑ ÓÙÖÖ ÖÖ ÑÒ Ú ØÖØÖ Ñ Ö¹ ÙÑÑØÓÒº ÀÐ ÐÓÖØÓÒÒ ¹ ÙØÓÑ ÙÔÔØ ¾º½ Ö ÅÔÐ Ö ØØ ÖÖ ¹ ÝÖ Ô ÅØк À Ò ÅØÐÑÒÙÐ ÐØØÐÐÒк Î ÐÖ Ò
Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem
Avdelning för datavetenskap Andréas Jonsson Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem Introduction of object oriented patterns to increase software modifiability
Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LUNDS UNIVERSITET Avd Byggnadsmaterial Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur Tina Wikström Rapport TVBM-5084 Lund 2012 ISRN: LUTVDG/TVBM--12/5084--SE (1-66) ISSN:
1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt
Ë Ñ Ò ÖÚÓÖØÖ Ö Ð Ó ÓÒ ËØÖ Ò Ò Ö ÖÓ Ö Ø ¾½º Å ¾¼¼ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÏÓÖÙÑ Ø³ ¾ ¾ Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò ¾ ¾º½ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ º º º º º º º
¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½
Ó ÙÚÐ º Ú ÓÖ ÓÖ ØÓÚº Ú Ö Ø Ò Ò Ø Ò Ö Ù Ù Ø ¾¼¼½º ¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½ Á Ö Ø
Imperativ programering
Imperativ programering Lösningen till Inlämningsuppgift 1A sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 21 juni 2007 1 Program 1 1.1 C - غ ÒÙ Ø Óº ÒÙ Ø º ÒØ Ñ Ò µ Ö ÓÖ ³ ³ ³ ³ µ ÔÖ ÒØ ± µ ÔÖ ÒØ Ò µ Ö ØÙÖÒ ÁÌ ËÍ ËË
Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ
Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-08-29 Skrivtid: 08 00 11 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÃÓ ÑÓÐÓ ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ÙѺ ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ö Ø Ð ÜØ Ö Ú Ñ¹ Ñ ØÖÐÒ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ó ÒØ Ñ Ò ØÖÓ ÓÑÑ ÙÖ ÓÐÐ Ó
ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ Ú ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ò ØÙ ØØ Ú ÍÒ Ú Ö ÙÑ Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò Ú Ò Ë Ó Ó Ø º Ö Ö Ò Ð Ö ÖÓ Ø º Ë ½¼ Ü Ñ Ò Ö Ø ÒÓÑ Ø Ò Ý ÖÙÒ Ò Ú ½ ¼ Ô À Ò Ð Ö Ð Ü ÊÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ë ÓÐ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
¾
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ Ò Ö ÀÓÐ Ø ¾ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-12-16 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
Â Ú ËÖ ÔØ ÇŠغ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼
Â Ú ËÖ ÔØ Øº Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ò ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ ÔÖ Ò Ô Ù Ë ÚÓ Ö Ò Ú Ù Ö Ò Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö ÙÒ ØÝ ³ÙÒ Ñ ÒØ Ù Ë ÚÓ Ö ÓÖ Ö ÙÒ
Ø Ú Ø Ò Ô ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ¾¼¼¼ Ö ØØ ÖÒ Ó Ã ÖÐ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø
Ï Ö Ð Ä Æ Ò Ò ÐÝ Ó Ø Ë ÙÖ ØÝ Ò Æ Ó Á ¼¾º½½ ¹ À Ò Ð Ò Ò ÙÖ Ò ¾¼¼½ ÌÓ ÂÓÒ ÓÒ Ø Ó º Ø º Ö ÈÖÓ Ø Ø Ø ÊÓÝ Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÃÌÀµ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å ÖÓ Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý ÁÅÁ̵ Á ÓÖ Ø Ò ½ ¼ Ã Ø ËÛ Ò
Ú Ö Ö ÐÒ Ö ØØ Ö Ú Ø Ú Ò Ò ¹ Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ö ¹ Ø Öº ËØÝÖ Ú ØØ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ò ÑÓØ Ð ÙÐÐ º Á Ó Ç ÓÐ ÔÖ Ð Ú ÝÒº ÍÒ Ø Ö ÖÒ ÐÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ò ÀÓÑ ÖÓ Ö Ø
ÒØ Ò Ò Ö ÄÎ ÂÓ Ò Î ÐÐ ÙÑ Ñ Ö ¾¼¼ ÒÑÖ Ò Ò Ö Å Ò Ó ÙÐÐ ÓÖ ÒØ Ò Ò Ö ÑØ Ò Ø Ò Ò Ö ½ ½º½ ÐÐÑÒØ ÀÓÑ ÖÓ ÁÐ Ò Ó Ç Ý Ò ØÚ Ð Ö Ú Ò ØÖÓ Ò Ý ÐÒ ÓÑ ØÓ Ú ÔÓ º ÁÒØ ÑÝ Ø Ú Ö Ø ÖÒ ÒÒ Ú Ö º ÁÐ Ò º ¹ ¼ Ç Ý Ò º ¼ Ö Ò Ö º
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º ÇÒ ½ Û Ö Ú Ò Ö Ò ÓÑ Û Ð Û Ø º º º ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ö Ò ÓÑ
ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ
ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¹ ¾¼½ Ò Ø ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ + Ú º º Ý Ø ÑØ Ò ÁÒ Øº º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ø + ÈÓÛ Ö ËÝ Ø Ñ ÀÎ ÄÙ Ú ½ Ñ Ö ¾¼½ ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Dinner with the Devlin: Persson Logikern Pelle Lindström död: Dag Westerståhl More Sex.
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½ ÊÇÊ Ì ÖÑ Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö ØØ ÑÝ Ø Ö ØØ Ô ØÖÙÑ Ú ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÑ Ô ØØ ÐÐ Ö ÒÒ Ø ØØ
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓ
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓÔ Ë Û ÖÞÛ ÐÐ Ö ÌĐÙ Ò ½ Ì Ö ÑĐÙÒ Ð Ò ÉÙ Ð Ø ÓÒ ½ º½¾º½
a = ax e b = by e c = cz e
ËÁÃÍÅ ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÈÊÇ Ä ÅË ÅÄÁÆ Ê ÃÇÆ ÆË Ê Å Ì ÊÁ ÆË ËÁà РÁ Ĺ ½ ½º ÃÖ Ø ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ½¹½º ÃÓÔÔ Ö Ö ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ó Ò Ø Ø Ò º»Ñ 3 º Ö Ò Ñ ÐÔ Ö Ú µ à ÒØÐÒ Ò Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Òº µ Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ
1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Å»Ì Æ Ð Ö ÓÒ ¾¼½¾¹¼ ¹¾ ½ Á Ñ» ܺ ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º Ì ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ È. Î Ò ÐÑØØ Ø Ö Ò Ö Ë ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò º Ò Ø ÓÒ Öº ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ Ø Ø Ö ÌÖ Ò Ð
ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ø ÑØ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ü Ñ Ò Ö Ø Ö ØØÖ Ò Ú ÙÓÖÓ ÓÔ Ð Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ÙØ ÖØ Ð Ò Ð Ò Ú Ì Ò ÓÐ Ò Ä Ò Ô Ò Ú À Ò ÖÓÐÙÒ ÄÁÌÀ¹ÁË ¹ ¹¼» ¾ ¹Ë Ä Ò Ô Ò ¾¼¼ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ä Ò Ô
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 1 maj 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström En brevväxling: Olle Häggström och Anders Hallberg Uppsala Gästabud: Ulf Persson Uppsalas
Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp, 2008-03-25 OBS! Denna tentamen avser nya versionen av kursen Beräkningsvetenskap
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò ½½ ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖ Ò Ô ËÎ ÓÒÒ ØÖ Ð ØÖÙØÙÖ ³ÙÒ Ö Ú ÓÒÒ ØÖ Ð ÙÖ Ë ÚÓ Ö Ö ÖÓÙÔ Ö ÙÒ
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Î ØÙ Ö Ö Ò Ñ ØÓ Ö ØÑÑ Ò Ú ÔÙÒ Ø Ú Ö Ò ØÑÑ
º º ËÝÒ ÔØ ÔÐ Ø Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Æ ÙÖÓØÖ Ò Ñ ØØ Ö º º º º º º º º º º
Æ ÙÖÓ Ý ÓÐÓ ¹ Ò ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ Ú Ö ÓÒ ¼º½¾ Ò Ø Ä ÙÒ ÕÙ Ø ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ö Ö Ò Ö Ú Ú Ø Ø ÓÒ ÔØ Ò ÓÑ Ö ÓÑÑ Ö Ã Ò Ð Ë Û ÖØÞ ² Â Ð Ó ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ ½
Tentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi
Ì ÒØ Ñ Ò ÌÅÅ ¾ Ì Æ½µ Å Ò Ö Ì ÒØ Ñ Ò ØÙÑ ¾¼½ ¹¼ ¹½ к ½ ¹½ º Ü Ñ Ò ØÓÖ Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº ÂÓÙÖ Ú Ò Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº Ì Ð ÓÒ ¼½ ¹¾ ½½¾¼º Ö Ø ÒØ Ñ Ò ÐÓ Ð Ò Ðº ½ Ó ½ º ¼º À ÐÔÑ Ð Ê ØÚ Ö ØÝ ÑØ ØØ ¹ Ð ÓÖµ Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ò
Tmem. ::= {mem data := Tmem data ;mem free := Tmem free ;mem null := Tmem null ;mem code := Tmem code }
ÓÖÑ Ð Î Ö Ø ÓÒ Ó Å ÑÓÖÝ ÅÓ Ð ÓÖ ¹Ä ÁÑÔ Ö Ø Ú Ä Ò Ù Ë Ò Ö Ò Ð ÞÝ Ò Ú Ö Ä ÖÓÝ ÁÆÊÁ ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò ßË Ò Ö Ò º Ð ÞÝ Ú ÖºÄ ÖÓÝÐ ÒÖ º Ö ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ÓÖÑ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÕ ÔÖÓÓ Ø ÒØ Ó Ñ ÑÓÖÝ
S(c 1 w 1 + c 2 w 2 ) = c 1 S(w 1 ) + c 2 S(w 2 ) S(c 1 w 1 + c 2 w 2 ) (c 1 S(w 1 ) + c 2 S(w 2 )).
ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ¾ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö ØÙÙÑ Ú Ò ÒйÙØ ÒÐÖÐØÓÒÖ Ð Ø ÓÑÖØ Ð ÖÚÒ ÓÑÖØ ÑØ Ò ÓÖØ ÒØÖÓÙØÓÒ ØÐÐ ÓÙÖÖØÖÒ ¹ ÓÖÑÖÒ Ñ ÅÔк À ÐÖÓÓÒ Ó ÚÒÒ ØØ ØÐÐÒк
G(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1)
ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ËÁÃÍÅ ÎÆÁÆ ËÄ ÇÊ ÌÇÊÁ Ì Ê ËÈÊÁ ÆÁÆ ¹ Á Á Ê ÃÌÁÇÆËÅ ÆËÌ Ê ÎÁ Ê ÆÌ Æ Á Ê ÃÌÁÇÆ ÆÄÁ Ì ¹Ë À ÊÊ ÊË Å ÌÇ ½ºÁÒÐ Ò Ò º ÃÓÖØ ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ÖÙÒ Ð Ò Ø ÓÖ ºµ Ç º ÒÒ ÒÐ Ò Ò Ö ÒØ Ú ØØ ÙØ ÖÐ Ø Ö
Article available at or
Å Ø º ÅÓ Ðº Æ Øº È ÒÓѺ ÎÓк ÆÓº ¾ ¾¼¼ ÔÔº ¾ ¹ ÅÓ ÐÐ Ò ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ê ÙÐ ØÓÖÝ Æ ØÛÓÖ Ò ÖØ Ð Ø Ö º Ë Ò Þ¹ a,c º È Ö ÓÒ a ºź È b Ò º ÐÓÒ ½,a,c a ÄÁÊÁË ÆÊË ÍÅÊ ¾¼ ÁÆË ¹ÄÝÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÄÝÓÒ ¾½ Î ÐÐ ÙÖ ÒÒ Ö Ò
B:=0; C:=0; B:=B+2; C:= 0; B>0 -> B:= B-2; B>0 -> B:= B-2;
ËÝÑ ÓÐ Ò ÐÝ Ó ÌÖ Ò Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÁÒÚ Ø Ô Ô Ö Ø Ø Ëž¼¼¼ ÏÓÖ ÓÔ Æ Ø Ö Ò Ë Ò Ö ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ËÊÁ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Å ÒÐÓ È Ö ¼¾ ÍË Ò Ö ÓÛÖ Ðº Ö ºÓÑ ÍÊÄ ØØÔ»»ÛÛÛº к Ö ºÓÑ» Ò Ö» È ÓÒ ½ ¼µ ¹ ¾ ¾ Ü ½ ¼µ ¹¾
¾¼ Ë Ò ÓÐ ÖØ Ö Ò ÓÒÒ Ö ËØÓ ¹ ÓÐÑ ½ ¼ º ½½ º Í ÍÍ Ë ÄÍÅ ÆÍ Å Ú Ò ØØ Ö Ú Ë Ö ØÖ Ñº ÀÒÚ ÖÒ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¼½ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ¾º ¾½ Ö À Ò ËÚ Ò Ú Ö º ÍÖ ÇÖ Ó
Ë ÙÖ Ö ÐÐ Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò Ö Ö ÐÐ ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Á Ë Ð Ò ½ ½ Ë Ð Ð Ø ÐÓ Ð³ Ô ÖÓ Ì ÐÐ ÓÔÔ Ø Ø Ö¹ Ò µº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ÒÖ ½ º Ø Ô Ô Ö ÒØÓº Ë ÑÑ ÔÙ Ð Ø ÓÒ ÓÑ ½ ¼º ¾ Ë Ô Ö ÑÓ Ô Ö Ñµº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ¹ ÒÖ ½ º ÃÓÖØ
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ
x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 2011-12-13 kl 1419 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008
![arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008](/thumbs/57/41044285.jpg "arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008")
Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁËÃ Ê ÈËÇ Á arxiv:0809.0708v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008 Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò º Ö Ð Ò Ò Ð Ö Ò ËÔ ÐÐ Ê Ð Ø Ú Ø Ø Ø ¹ ÓÖ Ò Ñ ØÓÖ ÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÑØ Ú Ö Ö ØØ ÑÓ Ö Ø ÓÖ Òº ÌÖÓØ Ñ Ö Ò ÙÒ Ö Ö Ô Ò Ò ÒÒ Ø Ò Ø ÓÑ
= =
ÌÓÑ Ö ÓÒ ¾¼½ ½ ½ ØÖ ÝØ Ó ÒØ ØØ ÔØÐ Ö Ù ÙÚÙ Ð Ô Ò Òº Â Ö ÓÒÒØÖÖØ Ñ Ô ÄÒÙܹ Ý ØÑØ ÚÒ ÓÑ Ø Ñ Ø ÐÐÖ ÚÒ Ö ÒÖ Ý ØѺ ½º½ ÒÖ ØÐ ØÓÖÖ ÖØÖ ÒÓÖÑÐØ Ñ ØÐ ÙØØÖÝØ Ò ØÚ Ó ÑÒ ØÐÖ ÖÖ ÓÑ ÒÖ Øк Ò Ø Ö Ò ÒÖ Ö ÁÒÖÝ Øµ Ú º ØØ
Från det imaginära till normala familjer
Från det imaginära till normala familjer Analytiska konvergenser Linnea Widman Vt 2010 Examensarbete 1, 15 hp Kandidatexamen i matematik, 180 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik ÖÒ
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 januari 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström Mittag-Lefflers testamente: Arild Stubhaug Reminiscenser av Mittag-Lefflerinstitutet:
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ã Ò Ø Ö Ø Ú Ð Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ø Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø ¹ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò Ú ÐÒ Ò Ò Ö ØÓÖØ Ò À ÄÅ
Problembanken. Grundskola åk 7 9, modul: Problemlösning. Hillevi Gavel, Mälardalens högskola
Problembanken Grundskola åk 7 9, modul: Problemlösning Hillevi Gavel, Mälardalens högskola ÅÓÙÐ ÈÖÓÐÑÐ ÒÒ Ð ½ ÀÐÐÚ ÚÐ ÅÐÖÐÒ ÓÐ ÒÒ ÔÖÓÐÑÒ ÒÒÐÐÖ ½ ÔÖÓÐÑ Ñ ÚÖÖÒ ÒÒÐÐ Ó ÚÖØ Öº ÌÒÒ Ö ØØ Ò ÚÐÖ ÔÖÓÐÑ ØÖ Ú ÓÑ
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2011 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Intervjuer: Raghunathan, Björner, Laptev Popular Mathematics: Ulf Persson John Milnor -
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 februari 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm What should a Mathematician Know?: Davis & Mumford Två klassiska läroböcker i analys:
S(c 1 w 1 +c 2 w 2 ) (c 1 S(w 1 )+c 2 S(w 2 )).
ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ¾ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼½¾ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ Ó ÌÓÑ ÖÒ ØÑ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö ØÙÙÑ Ú Ò ÒйÙØ ÒÐÖÐØÓÒÖ Ð Ø ÓÑÖØ Ð ÖÚÒ ÓÑÖغ ÖØÖ ÐÖ Ò ÙÔÔØ ÑØ Ò ÓÖØ Ò¹ ØÖÓÙØÓÒ ØÐÐ ÓÙÖÖØÖÒ ÓÖÑÖÒ
Imperativ programering
Imperativ programering Inlämningsuppgift 1 sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 12 juni 2007 1 Deluppgift A Nedan finns fem program skrivna i fem olika språk. Er uppgift är att skriva alla fem programmen i
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2008 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Brändén och Karlsson Wallenbergpristagare: Borcea och Benedicks Lund under luppen: Magnus
2π e. P(k, l, q Y, T) P(k, l, q)p(y, T k, l, q) = P(k, l, q) i. P(y i t i, k, l, q) 2 i (yi kti l)2 (2π) P(z Y, T, s) = P(z k, l, q, s)p(k, l, q Y, T)
ÒÐÝ Ó ÔÖØÓÒ Ú ÐØ Ô ÙÐÔÖÓÐÖ Ó ÖÓÑ Ð Ô Ø ÒÖ ÀÓÐ Ø ÑÖ ¾¼½½ ËÁË ÌÒÐ ÊÔÓÖØ Ì¾¼½½½ ÁËËÆ ½½¼¼¹ ½ ËÑÑÒØØÒÒ Î Ö ÓÑ Ò Ð Ú Ø ÎÒÒÓÚ¹ÒÒ Ö ÔÖÓØØ ÍËÌ ÙÒ¹ Ö Ø ÙÖ Ý Ò ØØ Ø ÑÓÐÐÖÒ Ó ÚÚÐ ØØÓÒ Ò ÒÚÒ Ö ØØ ÒÐÝ Ö ÐØ Ô ÙÐÔÖÓÐÖ
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð ¹ Ò Ð Ò Ôº Ì˵ Ö ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø Ò Ö Æ ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Intervjuer: Lithner och du Sautoy: Ulf Persson From Sweden with Love: An Yajun Boij och Nyström
u(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω)
Ã Ô Ø Ð ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØØ Ö Ã Ô Ø Ð Ø ÐÐ ÓÑÔ Ò Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ó Ö Ø Ñ Ô Ø ÒØ Òº Á Ô Ø Ð ¾ ÙØ Ö Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÙÖ Ñ Ò ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ö Ñ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Öº Î Ö Ó ÒØ Ø ØØ ÑÓ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÝÒ Ñ ÑÓ
ÁÒÐÒÒ Ú ØÖØÖ Ú Ò Ø ÒÒ ÐÐ ÖÚØ ÓÑ ÒÖ Ú ØØ Ò ÚĐÖÔÔÔÖ ÒĐÑÐÒ Ò Øº ØÒ ÔÖ Ú ØÒ Ø ØÒ Ñ Ë Øµº ÄØ ÒÙ Ì ÚÖ ØØ ÚØ ÖÑØ ØÙÑ Ó ÒØ ØØ ØØ Ú Ø ÖÚØ ØÒ Ò ÒÐĐÓ Ú ØÒ Ì Ó ÙØ
½º ÓÑÒÒ ÔÖÒÔÒ ØØ ÚĐÖÔÔÔÖ ÓÑ ÒÖ ØÖÑÖ Ú ÒÖ ÚĐÖÔÔÔÖ ÐÐ ØØ ¹ ÒÒ ÐÐØ ÖÚغ ÊĐØØØÒ ÑÒ ÝÐØÒ ØØ ĐÓÔ ØØ ÚØ ÚĐÖÔÔÔÖ ØØ ÖÑØ ØÙÑ ØÐÐ ØØ ĐÓÖÚĐ ÙÔÔÓÖØ ÔÖ ÐÐ Ò ĐÓÔÓÔØÓÒº ¹ ØÖ Ó ÓÔØÓÒ ÓÒØÖØ ĐÖ ÑÝØ ÑÐ ĐÓÖØÐ Öº ØÖ Ö ÚÖØ
level days
ÌÓÑÑÝ ÆÓÖÖ ÅØÑØ ØØ Ø ÐÑÖ ² Í ½ ÑÖ ¾¼¼ ÈÓ ÓÒÔÖÓ Ò Ó ÜØÖÑ Ð ØÖ ÒÒ ÖÐ ÒÒ Ú ØÓÖØ Ö ÐØ ÖÒ Ô ØÑØ ÓÚÒÐ ÒÐ Öº Î ÖÖ Ñ ØØ ÒÖ ÈÓ ÓÒÔÖÓ Ò ÓÑ ÓØ Ö Ò Ö ÑÓÐÐ Ö ÒÖ ØÒ ÓÚÒÐ ÒÐ Ö ÒØÖÖº ËÒ Ú Ñ Ò ÈÇ̹ÑØÓÒ ØØ ØÓÖÐÒ ÐÐÖ ØÝÖÒ
ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ò Ø ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ + Ú º º Ý Ø ÑØ Ò ÁÒ Øº º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ø + Ú º º Ð ØÖÓØ Ò À ÓÐ Ò Ð ÖÒ ¾¾ Ñ Ö ¾¼¼
ÅÓÐÐÖÒ Ú ÝÒÑ Ý ØÑ ÒØ ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ ËÑÙÐ ÓÒ + Úº º Ý ØÑØÒ ÁÒ Øº º ÁÒÓÖÑØÓÒ ØÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒÚÖ ØØ + Úº º ÐØÖÓØÒ À ÓÐÒ ÐÖÒ ¾¾ ÑÖ ¾¼¼ ÖÓÖ ØØ ÓÑÔÒÙÑ Ö ÙØÚÐØ ÙÒÖ ¾¼¼¹¾¼¼ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ ÑØÖÐØ ØÐÐ ÙÖ Ò ÅÓÐÐÖÒ
ÍØÚÖ Ö Ò Ú ËË ¹ Ò Ð Ö Ò ÓÑ Ö Ö Ò Ò Ø Ð ÓÔ Ö Ø Ö ÓÔ Ö Ø Ú Ú Ö Ñ Ø Å ØØ Ë Ð Ò Ö Ñ ¾¼¼ Å Ø Ö³ Ì Ò ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò ¾¼ Ö Ø ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Ø Ë¹ÍÑÍ Â ÖÖÝ Ö ÓÒ Ü Ñ Ò Ö È Ö Ä Ò ØÖ Ñ ÍÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò Ë
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm 19P 10P 2P 11P 20P 29P 6P 15P 24P P 25P 16P 7P 30P 21P 12P 3P 26P 17P 8P John Tate - Abelprisvinnare:
t
ÝÒÑ ËÝ ØÑ À̼ ÃÓÑÔÐØØÖÒ ÖÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÓÑÔÒØ ÊÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÔØÐ ÓÑÔÒØ º Á Ø ÒÔÙØ ØÓ ÖØÒ Ý ØÑ ÙÒØ ØÔ ØÒ Ø ÓÙØÔÙØ ÛÐÐ ÓÖÒ ØÓ ÙÖ º Ý Øµ ¼ ¼ Ø ÙÖ ËØÔ Ö ÔÓÒ ÓÖ º ÙÑ ØØ Ø ÒÔÙØ Ò Ø Ò ÑÔÙÐ º ÏØ ÛÐÐ Ø ÓÙØÔÙØ Ø ØÑ Ø º ÂÙ
È Ò ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò Ú Ö ØÝ ÊÓ ÖØ ÒÑ Ö ÖÓ ¼ ËØ Ò È ØØ Ö ÓÒ ØÔ Ó Ò Ò Ü Þ ½ ½¾ Ñ Ö ¾¼¼ ÈÖÓ Ø Ö Ø Ö ÙÖ Ò ÒÚÒ Ö ÒØÖ Ö Ý Ø Ñ Ò Ú ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓ
ÈÒ ÓÒ ÔÐÒÖÒ ÚÖØÝ ÊÓÖØ ÒÑÖ ÖÓ¼ ËØÒ ÈØØÖ ÓÒ ØÔ ÓÒ Ò ÜÞ ½ ½¾ ÑÖ ¾¼¼ ÈÖÓØÖØ Ö ÙÖ Ò ÒÚÒÖÒØÖÖ Ý ØÑ Ò Ú ÁÒ ØØÙØÓÒÒ Ö ÒÓÖÑØÓÒ ØÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒÚÖ ØØ ÁÒÒÐÐ ½ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ½º½ ÍÔÔØ ÖÚÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º