Version 1:0 :

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Version 1:0 :"

Transkript

1 Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr Versio : : -5-5 Progrmområde: Udersöigstp: Ldsp Jordbrusmr Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr, grid- oc dptiv sticprovsmetod Bgrud oc sfte med udersöigstpe De udersöigstp besriver två metoder som utttjr provrutor som sticprovseeter till tt stt föreomstfreves v i först d ärlväxter. För reltivt vlig rter oc för rter som är jämt fördelde föreslås gridmetode. För rter som växer ggregert, lumpt oc äve föreommer reltivt sällst i gräsmre föreslås dptiv sticprovstgig. Adptiv sticprovtgig r e omplicerd sticprovsdesig som blir mcet tidsrävde om rte föreommer med e ög freves i gräsmre. Förutom föreomst/ice föreomst v ärlväxter sticprove i båd metoder väds till tt stt popultiostätet, totlpopultioer oc popultiosförädrigr v e rt eller grupp v rter, t.ex. tpis rter. Det gäller äve t som föreommer i provrutor, t.ex. lättidetifierde mrlevde mossor oc lvr, busr, igeväxigsvegettio m.m. Udersöigstpe tillämps för gräsmrsobjet iom både miljöövervige oc uppföljigseeter/sddde område. För sällst rter med få föreomster föreslås florvätrmetode som ett br ltertiv (se ref ). Smordig Udersöigr eligt udersöigstpe smords med dr iveterigr som ser uder smm tidsperiod. Adptiv sticprovtgig är doc svår tt utför smtidigt som gridmetode på grud v de omplicerde oc tidsrävde sticprovstgige med rututläggig rut vrje påträffd föreomst. De bör elst utförs i särsild ordig oc pssr br för strt lumpde föreomster os e rt. Hdledig för miljöövervig Udersöigstp

2 Strtegi Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr Versio : : -5-5 Udersöigstpe besriver två metoder som tillämps i smm sfte, tt stt föreomstfreves ltertivt popultiosstorle v mrlevde växter. Det som vgör vlet v metod för e viss rt är föreomstfreves oc rumsligt växtsätt. Gridmetode väds för reltivt vlig rter oc rter som ocså är jämt fördelde i grässvåle. Mätigr ser lägs jämt fördelde lijer med vdrtis provrutor (.5 m ) i ett gridsstem, figur. Avstådet mell lijer psss så tt provrutor får e jäm fördelig över t. Lägs dess lijer fördels provrutor jämt i e grid med ett mist vståd för tt uppå e jäm täcig över uppföljigseete, dett ger e god represettivitet i sticprovtgige iom det tuell objetet. M utgå frå tt m beöver åtmistoe 5 provrutor per objet. M både registrer föreomstfreves (rte fis/fis ej) oc/eller rä ll idivider v e rt (popultiostätet). Adptiv sticprovtgig pssr för rter som föreommer strt lumpt i gräsmre som t.ex. viss oridéer, fältgeti oc slåttergubbe m.fl. Vid dptiv sticprovtgig eftersps de utvld rter i e orridor, vrs mittput utgörs v lije, figur. är e utvld rt påträffs i orridore läggs provrut ut så tt rte ligger iom provrut. Därefter mäts föreomst i itilliggde gräst med rutrme. Fis rte i ågo v de itilliggde rutor uppreps utlägget på smm sätt för dess rutor, figur 4. De rutor som r föreomst v rte utgör ett luster som oters oc tlet idivider iom respetive rut registrers. Sttig v popultiostätet respetive totlpopultio ser geom räig v ll idivider v e viss rt iom provrutor. Figur. Gridsstem med 5 provputer per uppföljigseet iom ett sddt område för uppföljig v tlet tpis rter med gridmetode. Hdledig för miljöövervig Udersöigstp

3 3 Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr Versio : : -5-5 För sällst rter som br föreommer på e dfull växtpltser iom uppföljigseete florvätrmetode väds. Växtpltser oorditsätts oc tlet idivider oters. Altertivt bestäms t som rte föreommer iom. Se vidre ref. Figur : Lije- oc orridorsstem för sticprovtgig med dptiv sticprovtgig med strt vid påträffd rt iom orridore. Lijesstemet smords med ett gridsstem v provputer. Sttistis speter Med gridmetode föreomst/ice föreomst mäts v t.ex. tpis rter i provrutor. Gridmetode ocså väds för tt stt e eller fler rters popultiosstorle, tätet oc förädrig över tid. I först fllet r mätvribel br två möjlig utfll, rte fis i provrut eller ej. Vrje område r e viss föreomst v rter. är vi lägger ut e provrut så ommer soliete tt vr p tt vi påträffr ågo rt ( rter). Geom tt lägg ut provrutor i området, så ger medelvärdet v tlet föreomster oc tlet ice-föreomster e sttig v soliete p med e vris li med p(-p). Om är stort, c 5 rutor, biomilfördelige pproximers med e ormlfördelig oc ett 95-procetigt ofidesitervll för tlet föreomster beräs eligt p ±.96 p( p) där,96 är t-fördeliges prmetervärde vid (-) frietsgrder oc 95-procetigt ofidesitervll. Hdledig för miljöövervig Udersöigstp

4 4 Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr Versio : : -5-5 Sttig v popultiosstorlee (Y) för e rt med gridmetode beräs geom tt medelvärdet () beräs för ll sticprovsrutor () multiplicert med totl tlet rutor (A) för udersöt rel. Y * Arel/,5. Prmetrr S vrise oc SE Stdrd Error för totlpopultioe fås geom beräig v medelvärdet för smtlig sticprov () där beräig v SE ± S * rel m /,5 oc 95 % KI ±,96 S * rel m /,5 Om m äer till ur stor del v rutor som r föreomst v e eller fler rter (t.ex. tpis rter) m berä de sticprovsstorle som rävs för tt deteter e viss silld i föreomst. Exempelvis om vi sll test om ett område vvier frå uppstt målsättig så måste vi specificer två ser:. Hur stor vvielse edåt vi ccepter i % v föreomstes storle.. Med vile säeret (t.ex. 95 % ofidesitervll) sll vi vgör de vvielse. Ett exempel fis illustrert i figur 3 där ödvädigt tl provtor för tt deteter e förädrig eller vvielse på 3 % är givet som e futio v dele provtor med föreomst v tpis rter. De tre lijer represeterr oli ofidesitervll för möjligete tt deteter e förädrig. Vill m t.ex. med 95 % säeret u deteter e 3 %-ig förädrig/vvielse v tpis rter som föreommer i 4 % v provtor rävs ett sticprov beståede v 64 rutor. 7 SE 95% SE 9% SE 68% 6 ödvädigt tl provtor % % 4% 6% 8% Adel provtor med föreomst v tpis rter Figur 3. Atl provtor som rävs för tt deteter e 3 %-ig förädrig v föreomst/ice föreomst v tpis rter. SE 95% 95 % ofidesitervll. Hdledig för miljöövervig Udersöigstp

5 5 Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr Versio : : -5-5 Beräig v tlet ödvädig sticprov för tt deteter e give vld förädrig i popultiosstorle beräs med e räesurr som fis tt väd på Iteret på följde ställe: ttp:// Här fis ocså e br översit v oli sttistis metoder oc ders vädig med exempel. Plts/sttiosvl Gräsmrsobjet iom miljöövervige eller utslumpde område iom respetive uppföljigseet t.ex. gräsmr v ett visst bitt. Mätprogrm Vribler Tbell. Översitstbell med vribler som mäts i udersöigstpe Område Udersöt område (trseter etc.) Provrut Företeelse Mätvribel (Determid) Referes till metodi Iveterigsmetod Arter v ärlväxter Arter v mossor Arter v lvr Metodmomet Eet / lssde värde gridmetod, dptiv sticprovsmetod Are m Föreomst Atl idivid Föreomst Atl idivid Föreomst Atl idivid Mätig i Klsst rutrm.5 m J/ej Mätig i rutrm.5 m Mätig i Klsst rutrm.5 m J/ej Mätig i rutrm.5 m Mätig i Klsst rutrm.5 m J/ej Mätig i rutrm.5 m Sttistis värdetp prmeter föreomst/ice föreomst Medelvärde föreomst/ice föreomst Atl idivid föreomst/ice föreomst Atl idivid Prioritet Freves oc tidputer Freves oc tidputer Mätig v mrlevde ärlväxter bör se uder periode mj - ugusti, beroede på vr i ldet iveterige geomförs. Arbetet bör ocetrers till e period på e måd, elst uder periode jui - juli. Observtios/provtgigsmetodi GPS väds för tt itt lijers strt oc ädputer. Provrutors positio sll fis ilgd i GPS:e eller stegs ut. Ritige ts ut med jälp v sftompss. Smtlig provrutors positioer sprs i GPS:e eller oters i protooll. I vrje provrut oters föreomst v esild rter som ligger iom e.5 m stor t (vdrtis rutrm vädes). Hdledig för miljöövervig Udersöigstp

6 6 Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr Versio : : -5-5 Tide som ägs åt tt let i rut bör begräss till 3 miuter ltertivt i rtri gräsmrer miut efter sest fu rt. Lijer utgör mitte v e orridor med e rutrms bredd (.5 m) iom vile m smtidigt som m tr sstemtis sticprov vspr föreomst v ett tl, förutbestämd, rter särsilt utpede som sddsvärd rter i sötselpl eller bevrdepl för det sddde området oc som sll mäts med dptiv sticprovstgig. är e såd rt påträffs iom orridore m övergå till dptiv sticprovtgig. Förutsättige är doc tt rte ite föreommer med för ög freves då är det bättre tt geomför dptivmetode i särsild ordig eller br väd gridmetode. För tt geomför dptivmetode smtidigt med gridmetode rävs tt m red frå börj r e viss äedom om rtes föreomst iom uppföljigseete d.v.s. ur spridd rte är iom objetet. E provrut läggs i orridore så tt rte mr i bre te v rut. De ruts positio sprs i GPS:e. är provrut är uppmätt sll fr rigliggde provtor udersös eligt det möster som viss i figur 4. Fis rte i ågo v de ärliggde provtor uppreps utlägget på smm sätt för dess tor. Dett förfrde uppreps äd tills ll ärliggde rutor sr rte. Därefter återgår m till tt sö lägs lije oc fortsätter med sstemtis sticprovsudersöig. Metoder sll betrts som oberoede v vrdr oc ibld smm rutor bli föremål för båd sortes mätigr. Om båd metoder tillämps smtidigt oc stegig ser mell de fst rutor bör m oter viet steg m bef sig på är m vbrter för dptiv provtgig. A B C Figur 4. Förfrde vid dptiv sticprovtgig. A: är e rt påträffs i orridore läggs rutrme ut så tt fdet mr i bre te på rut. B: fr rutor läggs ut gräsde till de först rut C: om de rutor ieåller de efterspde rte fortsätter förfrdet tills ll gräsde rutor är tomm. Hdledig för miljöövervig Udersöigstp

7 7 Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr Versio : : -5-5 Adptivt sticprov Sstemtist sticprov.5 m Figur 5. Exempel på lije med provt för mätig v föreomst v rter oc dptiv sticprovstgig. Utrustigslist Krt över iveterigstor med lijer oc provputer GPS med wpoits List över rter som sll iveters Fältprotooll ltertivt ddtor Kvdrtis rutrm.5m Hdledig för miljöövervig Udersöigstp

8 8 Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr Versio : : -5-5 Fältprotooll Fältprotooll fis i bilg. Det först protoollet väds vid Gridmetode där föreomst/ice föreomst eller tl idivider registrers per provrut. Det dr protoollet väds till dptiv sticprovstgig. Koorditer (wpoits) för lijes strt, först t i vrje luster oc lijes slut lgrs i GPS. I protoollet tecs rte m fuit, positioer på rutor, tl idivider per t. Rutors positio ges med oorditer där de först rut (grå rut i figur 6) r positioe _. I Figur 6 viss ur _ - _ Art Figur 3 x Atl -_ - - -_- _- _- _ fde i Figur 5 oorditsätts. I dett fll r tlet idivider i vrje rut oterts. Figur 6. Pricip för ur provrutor i dptiv sticprovstgig oorditsätts i protoollet oc exempel på ur fde i figur 5 oters. De grå rut får positioe _. Hdledig för miljöövervig Udersöigstp

9 9 Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr Versio : : -5-5 I fält det vr besvärligt tt åll ordig på oorditer. Ett ltertiv är tt väd ett rutt ppper där m för i resulttet frå vrje provrut efter d som m flttr rutrme figur 7. Koorditer srivs i i fältprotoollet vid ett sere tillfälle. Wpoit först t: 3 Figur 7. Exempel på ur fde i provrutor frå Figur 5 tecs i fält för sere oterig v oorditer. Mrer vile som är de först provrut (suggd) oc dess wpoitummer. Bgrudsiformtio För gridmetode oc utlägget v provtgigsputer är e bsiveterig v bitttor iom udersöigsområdet vitig för uppföljig v tpis rter eligt tur sstemet. E först sttig v föreomste v e rt oc dess fördelig iom objetet är v stort värde för bedömig v vädbrete v dptiv metode respetive gridmetode. Kvlitetssärig Registrerig v dt ser lämplige med ddtor. Ett Arc-pd bsert imtigsprogrm fis tt ldd ed frå turvårdsverets webbplts. I progrmmet fis ibggd leversotrollsfutioer. Hos ommde dtvärdsp för dt ismlde med metoder ommer tterligre leversotroller tt bggs i som otrollerr tt obligtoris dt fis med oc tt dt är i rätt formt oc ieåller godäd värde. I de fll lässtrelser är beställre v dt ommer e godädeprocess tt fis os dtvärd i slutlig lgrig ser os dtvärd. Vid de vlitetsgrsig s rimliget betde registrerde tx oc geogrfis positioer på provtor görs. Fältpersole bör erfreet v iveterigr oc äve erbjuds utbildig för tt på ett effetivt sätt rbet eligt metodbersrivige. Hdledig för miljöövervig Udersöigstp

10 Dtbedlig, dtvärd Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr Versio : : -5-5 Asvrig för tioell eller regiol miljöövervig respetive uppföljig v sddde område (som vser tt väd metoder som besrivs i de udersöigstp) bör ott turvårdsverets dtvärdssvrig i dtismlig påbörjs. Rpporterig, utvärderig Utvärderig se både iom uppföljigseeter oc övervigsobjet. Utvärderig ocså se smordt beroede på iveterigsfreveser oc bitt. Kostdsuppsttig Fst ostder Omfttr ostder för det mteriel som ges i utrustigslist. Tidsåtgåg Mätig v e provrut t oli tid beroede på sftet med udersöige. Vid mätig v tpis rter mximers iveterigstide lämplige till tre miuter per provrut. Därtill ommer förflttig mell provrutor. I geomsitt e iveterre mät drgt sticprovsrutor per dg, vid rterige v ett urvl lättidetifierde rter. Adptiv-metode r testts på fältgeti i e rtri ägsvegettio. Ägsområdet vr omrig,5 stort oc fältgeti r e strt lumpd föreomst i grässvåle. Atlet m rutor är 5 oc fältgeti ittdes i 93 rutor fördelde på 6 oli luster i äge. Totlt registrerdes 3 getior. Tio orridorer med m ibördes vståd tog iveterige v orridorer oc utläggige v rutrme med m storle drgt 55 mi. Totlt geomsötes 87 rutor oc vrje rut tog geomsittligt,3 miuter tt lser. Edst blommde oc stor pltor eftersötes. Totlt sulle sticprovtgige v ett etr t två timmr uder förutsättig tt rte är lätt tt loliser oc idetifier. Kostde beräs till 4 r/timm oc per etr blir ostde 8 r är ett reltivt stort tl rutor måste geomsös Förfttre oc övrig ottpersoer Progrmområdessvrig, turvårdsveret: Le eregård Miljöövervigseete turvårdsveret 6 48 Stocolm Tel: E-post: Hdledig för miljöövervig Udersöigstp

11 Förfttre: Hs Alexdersso Lässtrelse Västr Götld 46 8 Väersborg Tel: E-post: Jo Truvé oc Kjell Wlli Sves turförvltig AB Rullregt Göteborg Tel: E-post: Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr Versio : : -5-5 Refereser Metodrefereslist. Florvätrmetode besrive i Mul för uppföljig i sddde område Sddsvärd ärlväxter oc rslger, smt ärlväxter igåede i Art- oc bittdiretivets bilg II --9 Eedl s. 73 ttp:// tur/uppfoljig/-uppfoljig-mulkrlvxter.pdf Reommederd littertur. Tompso, S. K. (). Smplig. Jo Wile & Sos. 3. Wlli, K., Alexdersso, H., Ålud, M. 3. Övervig v bevrdesttus i tur område öpp biotoper i jordbrusldspet oc strdbiotoper vid vet. 4. ttp:// räesurr för beräig v tlet sticprov. Uppdterigr, versiosterig Versio :, udersöigstp. Hdledig för miljöövervig Udersöigstp

12 Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr Versio : : -5-5 Bilg. Fältprotooll Område: Dtum: Iveterre: Gridmetode Lije: Rut: Föreomst/tl Lije: Rut: idivider Föreomst/tl idivider Wpoit: Wpoit: Arter: Arter: Bergsr Blodäv Blodrot Bocrot

13 3 Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr Versio : : -5-5 Område: Dtum: Iveterre: Adptiv sticprovstgig Lijes r Strt (w-poit) : t Slut Lijes r Strt (w-poit) : t Slut Lijes r Strt (w-poit) : t Slut Art X Y Atl Art X Y Atl Art X Y Atl

14 Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr 4 Versio : : -5-5 Bilg. Adptiv sticprov beräig v prmetrr är e rut påträffs med rte som eftersös utgör de esm eller tillsmms med dr rutor ett luster. Soliete tt stöt på lustret beräs eligt där ( )!!! där är tlet rutor i lustret, är områdets totl t dividert med provtors storle oc är tlet provtor. Provtors tl är orridorers re dividert med provtors storle. För vrje luster beräs vrefter popultioes tätet beräs eligt T där är det totl tlet rutor i vrje luster där växt påträffts oc är tlet luster i området. Vrise för tätetssttige beräs eligt [ ] - - T Vr + oc medelfelet [ ] T Vr SE är soliete tt lustre oc är med i provrutor oc beräs eligt +

15 Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr 5 Versio : : -5-5 Bilg 3. Adptiv sticprov beräig v prmetrr är e rut påträffs med rte som eftersös utgör de esm eller tillsmms med dr rutor ett luster. Soliete tt stöt på lustret beräs eligt där ( )!!! där är tlet rutor i lustret, är områdets totl t dividert med provtors storle oc är tlet provtor. Provtors tl är orridorers re dividert med provtors storle. För vrje luster beräs vrefter popultioes tätet beräs eligt T där är det totl tlet rutor i vrje luster där växt påträffts oc är tlet luster i området. Vrise för tätetssttige beräs eligt [ ] - - T Vr + oc medelfelet [ ] T Vr SE är soliete tt lustre oc är med i provrutor oc beräs eligt +

16 6 Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr Versio : : -5-5 Bilg 4. Exempel på uträig v tätet vid dptiv sticprovtgig Adptiv sticprovstgig ett exempel Tä er tt m delr el sitt studieområde i ett ät v rutor. M ommer då tt rutor som är möjlig tt udersö. Av dess rutor väljer vi tt udersö rutor (slumpmässigt eller sstemtist utvld). Vi rär tlet idivider, Y, i vrje luster.om rte fis i rut sll vi udersö de fr itilliggde rutor oc rä tlet idivider i dess. Sulle vi fi rte i ågo v dess rutor, upprepr vi förfrdet oc udersöer de rutor som ligger ärmst dess rutor. Dett rbetssätt uppreps till dess vi ite itt tor som är ocuperde v rte (se figur 8). Geom dett förfrde vi bestämm lustret :s storle X (tlet provtor som rte ocuperr) oc tlet luster i studieområdet Figur 8. Studieområdet r delts i i rutor ( ). Av dess r vi slumpt ut rutor vilet mrers som gul fält (). Observer tt dett exempel r e sticprovsdesig som siljer sig frå de föreslg dptivmetode som väder sig v sstemtist utlgd orridorer med rutor. är rtes fis i rut udersös de ärliggde tor(mrerde som ljusgul fält). Med jälp v slumpige ittde vi 4 tor som vr ocuperde v studierte oc geom tt udersö de ärliggde tor tterligre tor med rte. Vi r således fr oli luster mrerde ibördes med röd siffror. De först prmeter vi sttr är soliete tt stöt på lustret vilet ser ut som följer

17 Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr 7 Versio : : -5-5 X där ( )!!! Med jälp v dett vi berä popultioes tätet eligt T Slutlige sttr vi medelfelet för tätetssttige, SE [ ] - - T Vr + Där medelfelet [ ] T Vr SE Vi u smmftt det cetrl i vårt fältrbete. Dett fis i tbelle ed oc exemplifierr ågr vitig beräigr Vi sttr först soliete tt träff på luster ummer (), vilet är 9,6 På motsvrde sätt beräs för vrje luster (se tbelle). Därmed är det möjligt tt få e uppfttig v rtes tätet i vårt studieområde. Dett ser ut på följde vis;

18 8 Föreomst v ärlväxter, mrlevde mossor oc lvr Versio : : -5-5 T, + 9,6 +,9 +,9 För tt berä SE måste vi väd oss v tterligre två tbeller. Till tt börj med sll vi ttj de sist olume i tbelle ov. De först tbelle represeterr, vilet är soliete tt mist e rut frå både lustre oc fis represeterde i det urspruglig sticprovet. 3 4,6,8,8,5,5 3,35 Ieållet i tbelle utgör e del v beräigr v SE oc är ocså e del v det uderlg som beövs för tt ostruer äst tbell oc till dubbelsumm i SE-evtioe, d.v.s. Tbelle ser ut som följer: oc Sttige v SE blir till slut 43,6.

DIAGONALISERING AV EN MATRIS

DIAGONALISERING AV EN MATRIS Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris DIAGONALISERING AV EN MATRIS Defiitio ( Digoliserbr mtris ) Låt A vr e vdrtis mtris dvs e mtris v typ. Mtrise A är digoliserbr om det fis e iverterbr

Läs mer

TILLÄMPNINGAR AV DIAGONALISERING Beräkning av potenser A n. Rekursiva samband (s.k. differensekvationer).

TILLÄMPNINGAR AV DIAGONALISERING Beräkning av potenser A n. Rekursiva samband (s.k. differensekvationer). rmi Hlilovic: ETR ÖVNINGR Tillämpigr v digoliserig TILLÄMPNINGR V DIGONLISERING Beräig v poteser. Reursiv smbd s.. differesevtioer. Beräig v poteser med hjälp v digoliserig Om mtrise är digoliserbr dvs

Läs mer

är ett tal som betecknas det(a) eller Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system.

är ett tal som betecknas det(a) eller Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system. Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Determiter DETERMINANTER A Determiter v r orige Determite v e mtris A följe är ett tl som etes eta eller Eempel: 6. oh efiiers eligt Motiverig: Determiter utveles i sm me lösigsmetoer

Läs mer

c k P ), eller R n max{ x k b dx def lim max n f ( def definition. [a,b] om

c k P ), eller R n max{ x k b dx def lim max n f ( def definition. [a,b] om RIEMANNSUMMOR OCH DEFINITIO ONEN AV INTEGRALI LEN f ( x) dx Låt f ( Låt P={xx 0,x 1,...,x } där = x 0 x 1,..., x = =, vr e idelig vv itervllet [,]. I vrje delitervll [x -1, x ] väljer och e put c. Alltså

Läs mer

Följande begrepp används ofta vid beskrivning av ett statistiskt material:

Följande begrepp används ofta vid beskrivning av ett statistiskt material: Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Besrivade statisti BESKRIVANDE STATISTIK. GRUNDBEGREPP Följade begrepp aväds ofta vid besrivig av ett statistist material: LÄGESMÅTT (medelvärde, media och typvärde): Låt

Läs mer

TENTAMEN. Tillämpad digital signalbehandling. Sven Knutsson. Typgodkänd räknare Sven Knutsson: Signalprocessorn ADSP-2105

TENTAMEN. Tillämpad digital signalbehandling. Sven Knutsson. Typgodkänd räknare Sven Knutsson: Signalprocessorn ADSP-2105 Istitutioe för dt- och eletrotei 4-8- TETAME KURSAM PROGRAM: m Eletroigejörslije å / läsperiod årsurs /läsperiod 4 KURSBETECKIG LET39 EAMIATOR Sve Kutsso TID FÖR TETAME Fredg 7 ugusti 4 l 3.3 7.3 HJÄLPMEDEL

Läs mer

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel. ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst

Läs mer

vara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i närheten av punkten )

vara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i närheten av punkten ) rmi Hliloi: EXTR ÖVNINGR Tlors ormel ör utioer ler riler TYLORS FORMEL FÖR FUNKTIONER V FLER VRIBLER PPROXIMTIONER FELNLYS --------------------------------------------------------------------------------------------

Läs mer

Rättande lärare: Niclas Hjelm & Sara Sebelius Examinator: Niclas Hjelm Datum: Tid:

Rättande lärare: Niclas Hjelm & Sara Sebelius Examinator: Niclas Hjelm Datum: Tid: TENTAMEN Kursummer: HF00 Mtemtik för bsår I Momet: TENA /TEN Progrm: Tekiskt bsår Rättde lärre: Nicls Hjelm & Sr Sebelius Emitor: Nicls Hjelm Dtum: Tid: 08-06-0 :00-7:00 Hjälpmedel: Formelsmlig: ISBN 978-9-7-779-8

Läs mer

Matte C. Översikt. Funktioner. Derivatan. Användning av derivatan. Exponentialfunktionen. Logaritmiska funktioner. Geometriska summor

Matte C. Översikt. Funktioner. Derivatan. Användning av derivatan. Exponentialfunktionen. Logaritmiska funktioner. Geometriska summor Mtte C Översikt Fuktioer Poteslgr Potesuktioer Polomuktioer o Väde/vtgde uktio o M/mi pukter tersspukt o Tget Lösigsmetoder ör : grdre Rtioell uktioer Derivt Deiitio v derivt o Vis ör C Deriverigsregler:

Läs mer

Symmetriska komponenter, Enlinjediagram och Kortslutningsberäkningar

Symmetriska komponenter, Enlinjediagram och Kortslutningsberäkningar 0-0-8 F6: Per uit system ymmetris ompoeter, Elijedigrm och Kortslutigsberäigr t i Per uit (pu) beräigr Aväds ot iom elrtei och eletris drivsystem Ager impedser, strömmr och späigr som reltiv mått. viss

Läs mer

TENTAMEN. Digital signalbehandling. Sven Knutsson. Typgodkänd räknare

TENTAMEN. Digital signalbehandling. Sven Knutsson. Typgodkänd räknare Istitutioe för dt- och eletrotei 5-5-4 TETAME KURSAM PROGRAM: m Eletro- och dtigejörslije å / läsperiod årsurs /läsperiod 3 KURSBETECKIG LET39 96 EAMIATOR Sve Kutsso TID FÖR TETAME Fredg 7 ugusti 4 l 3.3

Läs mer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder

Läs mer

Integraler. Integraler. Integraler. Integraler. Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab. cos(3 xdx ) Från labben: Informationsteknologi

Integraler. Integraler. Integraler. Integraler. Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab. cos(3 xdx ) Från labben: Informationsteknologi Itegrler Frå le: Itegrler Beräkigsveteskp I/KF Trpetsformel oc Simpsos formel Itegrler Itegrler Frå le: Frå le: Adptiv metod (dptiv Simpso) Lösig v itegrl i Mtl: är itegrde är kotiuerlig fuktio: väd itegrl.

Läs mer

I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak

I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR SERIER (OÄDLIGA SUMMOR) Defiitio E serie är e summ v oädligt måg termer I de här stecile etrtr vi huvudslige reell tlserie, dvs serier vrs termer är reell tl (I slutet v stecile

Läs mer

Kompletterande material till kursen Matematisk analys 3

Kompletterande material till kursen Matematisk analys 3 Kompletterde mteril till kurse Mtemtisk lys 3 Augusti 2011 Adrzej Szulki 1 Supremum, ifimum och kotiuerlig fuktioer I ppedix A3 i [PB2] defiiers begreppe supremum och ifimum. mooto tlföljder är ekvivlet

Läs mer

www.kitas.se Kitas Frisörgymnasium Nytänkande och kvalitet

www.kitas.se Kitas Frisörgymnasium Nytänkande och kvalitet www.kits.se Kits Frisörgymsium Nytäkde och kvlitet Stimulerde miljö på Mgsisgt Kits Frisör är e lite friskol med 90 elever som erbjuder e kretiv och ispirerde miljö. Utbildige är yrkesförberedde, håller

Läs mer

Tentamen med lösningar i IE1304 Reglerteknik Måndag 16/

Tentamen med lösningar i IE1304 Reglerteknik Måndag 16/ Tetme me löigr i IE4 Reglertei Måg 6/ 9.-. Allmä iformtio Emitor: Willim Sqvit. Avrig lärre: Willim Sqvit, tel 8-79 4487 Cmpu Kit, Tetmeuppgifter behöver ite återläm är u lämr i i rivig. Hjälpmeel: Räre/rfräre.

Läs mer

f(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s.

f(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s. Dg. Remsummor och tegrler Rekommederde uppgfter 5.. Del upp tervllet [, 3] lk stor deltervll och väd rektglr med dess deltervll som bs för tt beräk re v området uder = +, över =, smt mell = och = 3. V

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Liöpigs uiversitet Matematisa istitutioe Matemati och tillämpad matemati Kursod: TATA4 Provod: TEN Iga hjälpmedel är tillåta. Tetame i Evariabelaalys 4-4-3 l 4 9 Lösigara sall vara fullstädiga, välmotiverade,

Läs mer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod ör umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder

Läs mer

Approximationen med den här metoden kallas minstakvadratmetoden.

Approximationen med den här metoden kallas minstakvadratmetoden. Ari Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR MINSTAKVADRATMETODEN Mistvdrtetode. INLEDNING frå lijär lger) Låt vr ett olösrt sste dvs. ett sste so sr lösig). Vi sriv ssteet på fore A = ss ) där...... A, och................

Läs mer

FÖ 5: Kap 1.6 (fr.o.m. sid. 43) Induktionsbevis

FÖ 5: Kap 1.6 (fr.o.m. sid. 43) Induktionsbevis FÖ 5: K.6 fr.o.m. sid. Idutiosevis Fultet och iomiloefficieter Defiitio v! "-fultet" och iomiloefficieter " över " Disussio och evis v egeser.7 och.8. och.7 för ll =,,,...,.8 Av.8 följer t.e. tt, och Disussio

Läs mer

4 Signaler och system i frekvensplanet Övningar

4 Signaler och system i frekvensplanet Övningar Signler och system i frevensplnet Övningr. Bestäm fourierserieoefficientern för de periodis signlern ) 7 δ [ n ] N = b) { δ [ n ] δ [ n 6] } N = c) { δ [ n + ] δ [ n ] } N =. T frm fourierserieoefficientern

Läs mer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder

Läs mer

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Sätesventiler (PN 16) VF 2-2-vägsventil, fläns VF 3-3-vägsventil, fläns

Sätesventiler (PN 16) VF 2-2-vägsventil, fläns VF 3-3-vägsventil, fläns Datablad Sätesvetiler (PN 16) VF 2-2-vägsvetil, fläs VF 3-3-vägsvetil, fläs Besrivig Egesaper: Bubbeltät ostrutio. Meais säppaslutig av AMV(E) 335 och AMV(E) 435. Tillhörade 2- och 3-portsvetil ämplig

Läs mer

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER rmi Hliloic: EXTR ÖVNINGR EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Defiitio. Egeektor och egeärde för e lijär bildig Låt V r ett ektorrum och T : V V e lijär bildig frå V till V. Om det fis e ollskild ektor och e sklär

Läs mer

VINDKRAFTFAKTA. Teknik och säkerhet. Teknik. Säkerhet

VINDKRAFTFAKTA. Teknik och säkerhet. Teknik. Säkerhet VINDKRAFTFAKTA Tekik och säkerhet Tekik Aktuell vidkrftverk bedöms få e vhöjd på som mest 14 meter och e rotordimeter på mell 8-13 meter. Ovsett Totlhöjd verkstyp kommer totlhöjde ite tt överstig 185 meter.

Läs mer

INTEGRALKRITERIET ( även kallas CAUCHYS INTEGRALKRITERIUM )

INTEGRALKRITERIET ( även kallas CAUCHYS INTEGRALKRITERIUM ) Armi Hlilovic: EXTA ÖVIGA Cuchys itegrlriterium ITEGALKITEIET ( äve lls CAUCHYS ITEGALKITEIUM ) POSITIVA SEIE Defiitio E serie är ositiv om 0 för ll Eftersom delsummor v e ositiv serie bildr e väde ositiv

Läs mer

1 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

1 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Tylors ormel TAYLORS FOREL Tylors ormel krig pukte Om uktioe oh dess + örst derivtor är kotiuerlig i det slut itervllet [, ] eller [,], dvs vi tillåter < då gäller. som ligger

Läs mer

Sätra. Skärholmen. kurva. Sätraskogens naturreservat. vara minst 10 meter höga för att påverkan på närområdet ska bli liten.

Sätra. Skärholmen. kurva. Sätraskogens naturreservat. vara minst 10 meter höga för att påverkan på närområdet ska bli liten. Upprättd de 5 mj 2011 Arbetspl, Beskrivig, E4 Förbifrt Stockholm f å Sätr Sätr Sätrskoges turreservt Gåg- och cykelbro blir kvr i smm läge sv ä ge Skärhol msbäcke Sk ä rh ol m VA-sttio och mottgigssttio

Läs mer

TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektrovetenskap. Tentamen i Digital Signalbehandling ESS040 (ETI240/ETI275)

TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektrovetenskap. Tentamen i Digital Signalbehandling ESS040 (ETI240/ETI275) EKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Istitutioe för eletrovetesp etme i Digitl Siglbehdlig ESS EI/EI75 7-5- id:. -. Sl: MA F-J Hjälpmedel: Formelsmlig, Räedos. Motiver tgde. De oli lede i lösigr s u följs. Rit gär

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

Analys av polynomfunktioner

Analys av polynomfunktioner Aals av polomfutioer Aals36 (Grudurs) Istuderigsuppgifter Dessa övigar är det tät du sa göra i aslutig till att du läser huvudtete. De flesta av övigara har, om ite lösigar, så i varje fall avisigar till

Läs mer

Redovisning av det systematiska kvalitetsarbetet, grundskolan. Bro skola

Redovisning av det systematiska kvalitetsarbetet, grundskolan. Bro skola Redovisig v det systemtisk kvlitetsrbetet, grudskol Bro skol 1 Presettio v skol Bro skol är e F-3 skol i Brodle, Lysekils kommu. Skol hr uder läsåret 2011/2012 hft i geomsitt 52, fördelde på e förskoleklss,

Läs mer

Per Linder Sid 1 ( 5 ) Detta dokument är utformat för att svara på Trafikförvaltningens yttrande från programsamrådet.

Per Linder Sid 1 ( 5 ) Detta dokument är utformat för att svara på Trafikförvaltningens yttrande från programsamrådet. rev 20-04 - 04 Per Lider Sid ( ) Tuelb Dett dokumet är utformt för tt svr på Trfikförvltiges yttrde frå progrmsmrådet. Slutsts och Smmfttig Tillgäglighete till tuelbs biljetthll kommer tt vr fortstt god

Läs mer

16.3. Projektion och Spegling

16.3. Projektion och Spegling 6.3 Projektio oh Speglig 67 6.3. Projektio oh Speglig Exempel 6.4. Bestäm mtrise för projektioe P v rmmet vikelrät mot plet W : x y z = 0. Bestäm okså ilde v svektorer e, e, e 3 oh w = e + e + 3e 3. (N-s.

Läs mer

F4 Matematikrep. Summatecken. Summatecken, forts. Summatecken, forts. Summatecknet. Potensräkning. Logaritmer. Kombinatorik

F4 Matematikrep. Summatecken. Summatecken, forts. Summatecken, forts. Summatecknet. Potensräkning. Logaritmer. Kombinatorik 03-0-4 F4 Matematirep Summatece Summatecet Potesräig Logaritmer Kombiatori Säg att vi har styce tal x,, x Summa av dessa tal (alltså x + + x ) srivs ortfattat med hjälp av summatece: x i i summa x i då

Läs mer

5 Signaler och system i z-planet Övningar 5.1 Bestäm överföringsfunktionen i z-planet för ett system med impulssvaret

5 Signaler och system i z-planet Övningar 5.1 Bestäm överföringsfunktionen i z-planet för ett system med impulssvaret Sigler och sstem i -plet Övigr. Bestäm överförigsfutioe i -plet för ett sstem med impulssvret ) h[ ] [ ] 9 [ ] [ ] b) h [ ] u[ ] u[ ] h [] h[ ] c) d). Bestäm -trsforme för de sigler som besrivs v följde

Läs mer

SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP

SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR, SF676 Sysem v lijär DE Sid v 6 SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP Iehåll: Mrisorm Begyelsevärdesprobleme Eises- och eydighessse ör lijär sysem

Läs mer

Vi bygger ut Blå linje till Nacka

Vi bygger ut Blå linje till Nacka Vi bygger ut Blå lije till ck Välkomme till smråd om förlägige v tuelbs Blå lije frå Kugsträdgårde till ck C. Tyck till om möjlig läge för sttiosuppgågr. et sker i smbd med rbetet tt t frm ett förslg till

Läs mer

Diskreta stokastiska variabler

Diskreta stokastiska variabler Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Här preseters förslg på lösigr oc tips till måg uppgifter i läroboke Mtemtik 000 kurs C Komvu som vi opps kommer tt vr till jälp är du rbetr

Läs mer

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion. Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).

Läs mer

Huvud metod för beräkning av massan för en av en kropp med densiteten ρ ( x, är trippelintegral

Huvud metod för beräkning av massan för en av en kropp med densiteten ρ ( x, är trippelintegral ri Hlilovic: EX ÖVNING Mss och tgdput ILLÄMPNING V INEGLE. MSSN OCH YNGDPUN MSSN Huvud etod för eräig v ss för e v e ropp ed desitete, är trippelitegrl, dd so hör till urse i flervriells. Me, ågr el prole

Läs mer

UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor

UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR Om vi betratar e futio ff() som är otiuerlig i itervallet [aa, bb] då atar futioe sitt mista

Läs mer

Föreläsning 3. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 3. Z-transformen. LTH 2015 Nedelko Grbic (mtrl. från Bengt Mandersson)

Föreläsning 3. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 3. Z-transformen. LTH 2015 Nedelko Grbic (mtrl. från Bengt Mandersson) Sigalbeadlig i multimedia - ETI65 Föreläsig 3 Sigalbeadlig i multimedia - ETI65 Kapitel 3 Z-trasforme LT 5 Nedelo Grbic mtrl. frå Begt Madersso Departmet of Electrical ad Iformatio Tecolog Lud Uiversit

Läs mer

TATM79: Föreläsning 3 Binomialsatsen och komplexa tal

TATM79: Föreläsning 3 Binomialsatsen och komplexa tal TATM79: Föreläsig 3 Biomialsatse och omplexa tal Joha Thim augusti 016 1 Biomialsatse Ett miestric för att omma ihåg biomialoefficieter (åtmistoe för rimligt små är Pascals triagel: 0 1 1 1 1 1 1 3 1 3

Läs mer

Ekvationen (ekv1) kan beskriva vågutbredning, transversella svängningar i en sträng och andra fysikaliska förlopp.

Ekvationen (ekv1) kan beskriva vågutbredning, transversella svängningar i en sträng och andra fysikaliska förlopp. VÅGEKVATIONEN Vi betratar följade PDE u( u( x t, där > är e ostat, x, t (ev) Evatioe (ev) a besriva vågutbredig, trasversella svägigar i e sträg och adra fysialisa förlopp Radvärdesproblemet består av

Läs mer

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR v Ivers mtriser KVDRISK MRISER, DIGONLMRISER, MRISENS SPÅR, RINGULÄR MRISER, ENHESMRISER, INVERS MRISER KVDRISK MRISER Defiitio E mtris me rer oh oloer, lls vrtis typ Defiitio

Läs mer

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN 48 5 LINJER OCH PLAN 5. Lijer och pla 5.. Lijer Eempel 5.. Låt L ara e lije i rummet. Atag att P är e pukt på L och att L är parallell med e ektor, lijes riktigsektor. Då gäller att e pukt P ligger på

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

Lektionssammanfattning Syra-Bas-Jämvikter

Lektionssammanfattning Syra-Bas-Jämvikter Lektiossmmfttig SyrBsJämvikter Det fis ytterligre e typ v jämvikter som vi sk t upp i vi käer oss öjd. Nämlige Syrsjämvikter. De type v jämvikter väds huvudsklige för svg syror oh ser. Ett exempel på e

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Uiversitet Matematisa Istitutioe Thomas Erladsso LÄSANVISNINGAR VECKA -5 BINOMIALSATSEN Ett uttryc av forme a + b allas ett biom eftersom det är summa av två moom. För uttrycet (a + b) gäller de

Läs mer

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK EXAMENSARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Iterpolatio och approimatio av Elhoussaie Ifoudie 8 - No 5 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 69 STOCKHOLM Iterpolatio

Läs mer

1 av 12. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:

1 av 12. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd: Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekvioem Guelimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekvioem med oek m m m m () m ekvioer: E lföljd (-ippel) är e löig ill eme om uiuioe ifierr

Läs mer

============================================================ ============================================================

============================================================ ============================================================ Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tillämpigr v iegrler TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. AREABERÄKNING Lå D vr e pl område mell e oiuerlig urv y f (), där f ( ), och -el som defiiers med, y f ( ), dvs D {(, y)

Läs mer

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P( Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett

Läs mer

Något om funktionsföljder/funktionsserier

Något om funktionsföljder/funktionsserier mtemtis metoder E, del D, FF Något om futiosföljder/futiosserier. Putvis och liformig overges Vi etrtr reellvärd futioer med gemesm defiitiosmägd D IR, M D. Me (äst) llt går helt logt för omplevärd futioer

Läs mer

Kontrollskrivning 2 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: To Σ p P/F Extra Bonus

Kontrollskrivning 2 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: To Σ p P/F Extra Bonus Kotrollsrivig till Disret Matemati SF60, för CINTE, vt 09 Eamiator: Armi Halilovic Datum: To 09-04-5 Versio B Resultat: Σ p P/F Etra Bous Iga hjälpmedel tillåta Mist 8 poäg ger godät Godäd KS r medför

Läs mer

Kontingenstabell (Korstabell) 2. Oberoende-test. Stickprov beror av slumpen. Vad vi förvf. är r oberoende: kriterier är r oberoende: kriterier

Kontingenstabell (Korstabell) 2. Oberoende-test. Stickprov beror av slumpen. Vad vi förvf. är r oberoende: kriterier är r oberoende: kriterier . Oberoede-test Kotgestabell (Korstabell) Oberoedet av två rterer för lassfato udersöes xempel: V vll veta om röadet är beroede av ö V tar ett stcprov ur befolge (=50) och lassfcera persoera elgt dessa

Läs mer

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0 TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd

Läs mer

KTH/ICT IX1501:F7 IX1305:F2 Göran Andersson Statistik: Skattningar

KTH/ICT IX1501:F7 IX1305:F2 Göran Andersson Statistik: Skattningar KTH/ICT IX50:F7 IX305:F Göra Adero goera@th.e Statiti: Sattigar Statiti Vi all u tudera obervatioer av toatia variabler. Vad blev det för värde? Dea obervatioer alla ett ticprov (ample). Iom tatitie fi

Läs mer

Kapitel 4.1. 4101, 4102, 4103, 4104 Exempel som löses i boken. = = = = 1. 4105 a) n a1 + a a a = = = = a a a

Kapitel 4.1. 4101, 4102, 4103, 4104 Exempel som löses i boken. = = = = 1. 4105 a) n a1 + a a a = = = = a a a Kompletterde löigförlg och ledigr, Mtemtik 000 kur C, kpitel Kpitel. 0, 0, 0, 0 Exempel om löe i boke. 0 ) 7 0 + + + 6 + 8 + 06 ) +, + 6 6 + + + 69 69 + +, + + 6 6+ 9 8+ + 07 Se boke ledig. Kotkt di lärre

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, olikheter och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, olikheter och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsig Absolutbelopp, oliheter och biomialoefficieter Joha Thim augusti 018 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Defiitio. För varje reellt x defiieras absolutbeloppet x eligt { x, x 0 x x, x < 0.

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

JADO Gislavedsvägen 18, AMBJÖRNARP Tel

JADO Gislavedsvägen 18, AMBJÖRNARP Tel TK FORESKRFTER RÅSPOT 17 MM T KSTOLR r 3289 7 r 1627 3255 1628 LJ7 LJ7 LJ7._- VÄGGR 17x12 FUKSPEL VDPPP REGELSTOMME 35x7 TOTLT 16 VÄGGMODULER MODUL VL SE KTUELL KTLOG ELLER.jabo.se DÖRRR URVL SE KTLOG

Läs mer

Allmänna val, valdeltagandeundersökningen

Allmänna val, valdeltagandeundersökningen Statistisa cetralbyrå SCBDOK 3. (4) Allmäa val, valdeltagadeudersöige 0 ME005 Iehåll 0 Allmäa uppgifter... 0. Ämesområde... 0. Statistiområde... 0.3 SOS-lassificerig... 0.4 Statistiasvarig... 0.5 Statistiproducet...

Läs mer

Följande begrepp används ofta vid beskrivning av ett statistiskt material:

Följande begrepp används ofta vid beskrivning av ett statistiskt material: Am Hllovc: EXTRA ÖVNINGAR Besvde sttst BESKRIVANDE STATISTIK GRUNDBEGREPP Följde egepp väds oft vd esvg v ett sttstst mtel: LÄGESMÅTT medelväde, med och tpväde: Låt D[,,, v e tllst som esve ett sttstst

Läs mer

Nykroppagatan, Farsta Omgivningsbuller

Nykroppagatan, Farsta Omgivningsbuller Rpport uer: 20 - r0 rev Dtu: 20-08 - 22 Nykroppgt, Frst Ogivigsbuller c x d o ṙ le u sb g i g iv O t p g ro k y N v re r0-0 \2 r rte o p p \R B A d re p tre E e H sk e v S, t g p ro y k N E H S N S Å -

Läs mer

vara en T- periodisk funktion som är integrerbar på intervallet ges av formlerna

vara en T- periodisk funktion som är integrerbar på intervallet ges av formlerna Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR FOURIERSERIER Deiitio (rigoometrisk serie Ett utryck v öljde orm [ cos( Ωx b si( Ω x är e trigoometrisk serie ] Amärkig: Först terme skriver vi som v prktisk skäl som vi örklrr

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

JADO Gislavedsvägen 18, AMBJÖRNARP Tel

JADO Gislavedsvägen 18, AMBJÖRNARP Tel FORESKRFTER r B7 3289 7 r t 1627 3255 1628 t._- TK RÅSPOT 17 MM PUPET T KSTOR c18s VÄGGR 17x12 STÅEDE FUKSPE 17x12 GGDE SVSJÖPE GVESPETS OCH OVERKT FROT VDPPP REGESTOMME 35x7 TOTT 16 V GGMODUER MODU V

Läs mer

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A, B OCH C

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A, B OCH C FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A, B OCH C ALGEBRA Kdeigsegle ( + ) + + ( ) + Kojugtegel ( + )( ) Adgdsektioe Ektioe + p + q 0 ötte p p p p + q o 4 4 id + p o q q ARITMETIK Pefi Tiopotes

Läs mer

Binomialsatsen och lite kombinatorik

Binomialsatsen och lite kombinatorik Biomialsatse och lite ombiatori Sammafattig Aders Källé MatematiCetrum LTH adersalle@gmail.com Här disuteras e del grudläggade ombiatori, som utgår ifrå biomialoefficieteras ombiatorisa betydelse. Vi härleder

Läs mer

Befolkning per födelseland Reviderad metod vid framskrivningar. Version: 2

Befolkning per födelseland Reviderad metod vid framskrivningar. Version: 2 Befolkig per födelselad Reviderad metod vid framskrivigar Versio: 2 Tillväxtverket stärker Sverige geom att stärka företages kokurreskraft Vi skapar bättre förutsättigar för företagade och bidrar till

Läs mer

11.7 Kortversion av Kapitel INTEGRALBEGREPPET

11.7 Kortversion av Kapitel INTEGRALBEGREPPET 498 11. INTEGRALBEGREPPET Defiitio 11.16 R är e obestämd itegrl. De beteckr e primitiv fuktio till f(x). Vi smmfttr skillder mell bestämd och obestämd itegrler: Obestämd itegrl: itegrle skr gräser. De

Läs mer

Matematisk statistik

Matematisk statistik Tetame TEN, HF, 8 aug Kursod: HF Srivtid: 8:-: Lärare och examiator: Armi Halilovic Matematis statisti Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statisti ") och miiräare av vile typ som

Läs mer

Förslag till övningsuppgifter FN = Forsling/Neymark, K = Kompendiet Vektorer, linjer och plan, ÖT = Övningstentamen

Förslag till övningsuppgifter FN = Forsling/Neymark, K = Kompendiet Vektorer, linjer och plan, ÖT = Övningstentamen TNA00 Förslag till övigsugiter FN = Forslig/Neymar, K = Komediet Vetorer, lijer och la, ÖT = Övigstetame Vetorer, lijer och la ÖT:4,, K, K och Ugitera, och eda Ugit x Lije y t, t R z a) Beräa avstådet

Läs mer

Ny lagstiftning från 1 januari 2011

Ny lagstiftning från 1 januari 2011 Ny lagstiftig frå 1 jauari 2011 1. Ny lag lage om allmäyttiga kommuala bostadsaktiebolag 2. Förädrigar i hyreslage De ya lagstiftige - Bakgrud Klicka här för att ädra format på uderrubrik i bakgrude q

Läs mer

vara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i en öppen omgivning D av punkten ) A =.

vara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i en öppen omgivning D av punkten ) A =. rmi Hlilovi: EX ÖVNING lors ormel ör utioer v ler vriler v 9 YLOS FOMEL FÖ FUNKIONE V FLE VIBLE. PPOXIMIONE. FELNLYS. --------------------------------------------------------------------------------------------

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Finaltävling den 20 november 2010

Finaltävling den 20 november 2010 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning

Läs mer

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren? Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok

Läs mer

som är styckvis kontinuerlig och har styckvis kontinuerlig derivatan. Notera att f (x)

som är styckvis kontinuerlig och har styckvis kontinuerlig derivatan. Notera att f (x) Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR cosiusserier,siusserier SINUSSERIER OCH COSINUSSERIER I föregåede lektio (stecil om Fourierserier) hr vi vist hur m utvecklr e periodisk fuktio i e trigoometrisk serie K vi

Läs mer

KOM IHÅG ATT NOTERA DITT TENTAMENSNUMMER NEDAN OCH TA MED DIG TALONGEN INNAN DU LÄMNAR IN TENTAN!!

KOM IHÅG ATT NOTERA DITT TENTAMENSNUMMER NEDAN OCH TA MED DIG TALONGEN INNAN DU LÄMNAR IN TENTAN!! Göteborgs uiversitet Psykologiska istitutioe Tetame Psykologi kurskod PC106, Kurs 6: Idivide i ett socialt sammahag (15 hp) och PC 145. Tid för tetame: 6/5-01. Hel och halvfart VT 1. Provmomet: Socialpsykologi

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

FAFF Johan Mauritsson 1. Geometrisk optik - reflektion och brytning. Våglära och optik. Geometrisk optik - reflektion och brytning

FAFF Johan Mauritsson 1. Geometrisk optik - reflektion och brytning. Våglära och optik. Geometrisk optik - reflektion och brytning Våglär och optik Geometrisk optik - relektio och rytig FFF30 JOHN MUITSSON Geometrisk optik system Geometrisk optik - relektio och rytig elektioslge rytigslge (Sell s lg) Totlrelektio 3 4 Ljusets utredig

Läs mer

JADO Gislavedsvägen 18, AMBJÖRNARP Tel

JADO Gislavedsvägen 18, AMBJÖRNARP Tel FORESKRFTER l 9x1ö 4371 l 434 148 138 148 TK RÅSPOT 17 MM TKSTOLR VÄGGR 17x12 FUKSPEL VDPPP REGELSTOMME 35x7 TOTLT 18 V ÄGGMODULER MODUL VL SE KTUELL KTLOG ELLER.jabo.se DÖRRR URVL SE KTLOG ELLER HEMSD.jabo.se

Läs mer

a VEKTORRUMMET R, - dimesioella etorer.. STANDARDBASEN i R. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER LINJÄRT BEROENDE OCH OBEROENDE VEKTORER LINJÄRT HÖLJE (LINJÄRT SPAN) -----------------------------------------------------------------

Läs mer

1. Test av anpassning.

1. Test av anpassning. χ -metode. χ -metode ka avädas för prövig av hypoteser i flera olika slag av problem: om e stokastisk variabel följer e viss saolikhetsfördelig med käda eller okäda parametrar. om två stokastiska variabler

Läs mer

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning ydkraft Nät AB, Tekiskt Meddelade för Jordigsverktyg : Dimesioerig, kotroll och besiktig 2005-04-26 Författare NUT-050426-006 Krister Tykeso Affärsområde Dokumettyp Dokumetam Elkrafttekik Rapport 1(6)

Läs mer

Föreläsning 3: Strängmatchning

Föreläsning 3: Strängmatchning 2D1458, Prolemlösning oh progrmmering under press Föreläsning 3: Strängmthning Dtum: 2006-09-18 Srienter: Miel Elisson, Joim Erisson oh Mts Linnder Föreläsre: Miel Goldmnn Denn föreläsning ehndlr prolemet

Läs mer

ARTIKEL 29-ARBETSGRUPPEN

ARTIKEL 29-ARBETSGRUPPEN ARTIKEL 29-ARBETSGRUPPEN 18/SV WP25 rev. 01 Arbetsdokumet med e tbell över de elemet och priciper som sk fis med i Atget de 28 ovember 2017 Sest revidert och tget de februri 2018 De rbetsgrupp irättdes

Läs mer

Digital signalbehandling Alternativa sätt att se på faltning

Digital signalbehandling Alternativa sätt att se på faltning Istitutioe för data- oc elektrotekik 2-2- Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig Faltig ka uppfattas som ett kostigt begrepp me adlar i grude ite om aat ä att utgåede frå e isigal x [],

Läs mer