Punktskriftens skrivregler

Transkript

1 SVENSK PUNKTSKRIFT Punktskriftens skrivregler för matematik och naturvetenskap Andra upplagan

2 I skriftserien Svensk punktskrift har följande titlar utkommit: Fonetik och punktskrift, av Lillemor Andersson och Catharina Johansson (2005) Kortskrift. Nivå 1 och 2 (1997) Kortskrift. Nivå 3 och 4, för anteckningar (1997) Louis Braille Skapare av ett skriftsystem, av Beatrice Christensen Sköld (andra upplagan, 2011) Punktskriften och dess användning (andra upplagan, 2010) Punktskriftens termer (2001) Redigering och avskrivning (1999) Punktskriftens skrivregler för matematik och naturvetenskap (andra upplagan, 2012) Svenska skrivregler för punktskrift (andra upplagan, 2009) Tactile maps Guidelines for the production of maps for the visually impaired (2003), av Yvonne Eriksson, Gunnar Jansson och Monica Strucel Taktila kartor Handledning i kartframställning (2003), av Yvonne Eriksson, Gunnar Jansson och Monica Strucel Teckentabell som norm för svensk åttapunktsskrift (1997) Tidigare utgivning: Handledning i reliefbildframställning på svällpapper (1994), av Yvonne Eriksson och Monica Strucel A guide to the production of tactile graphics on swellpaper (1995), av Yvonne Eriksson och Monica Strucel Distribution: Talboks- och punktskriftsbiblioteket Box Johanneshov E-post: [email protected] Punktskriftsnämnden, Talboks- och punktskriftsbiblioteket Redaktör: Björn Westling Omslag: Helena Lunding Hultqvist, Tecknar nu Tryck: Elanders Sverige AB, 2012 ISBN

3 Innehåll Förord till den andra upplagan 7 Inledning 9 Om denna bok 9 Blanktecken i matematisk punktskrift 10 Aritmetiska operatorer 10 Pilar 10 Streck 10 Jämförelseoperatorer 10 Mängdlära och logik 10 Del 1 TECKEN OCH SKRIVREGLER FÖR MATEMATIK OCH NATURVETENSKAP 1 Speciella punktskriftstecken Förtecken Blanktecken Hjälptecken Avslutnings- och avskiljningstecken Varningstecken Fortsättningstecken Hjälpparentes Bråksammanhållare Tecken som inte har ett definierat skrivsätt i punktskrift Regler för radbrytning 17 2 Bokstäver Latinska bokstäver Grekiska bokstäver Enstaka framhävda tecken Strukna tecken 23 3 Siffror Arabiska siffror Blanktecken i sifferföljder 25 INNEHÅLL 3

4 3.1.2 Komma och punkt i sifferföljder Romerska siffror 26 4 Storheter och enheter Några särskilda enhetstecken Övriga enheter 28 5 Aritmetiska operatorer 30 6 Bråk Tal och variabler i bråkform Bråk i blandad form Komplicerade bråk Bråk med huvudbråkstreck Bråkliknande uppställningar 39 7 Exponenter, rötter och index Övre och nedre index Rotuttryck 45 8 Parenteser, streck och pilar Parenteser Parenteser över flera rader Streck Vanliga pilar Övriga pilar 55 9 Övriga operatorer och tecken Jämförelseoperatorer Mängdlära och logik Geometriska tecken Analys (derivator och integraler) Övriga tecken Tecken i datorsammanhang 67 4 INNEHÅLL

5 Del 2 EXEMPELSAMLING, ÄMNESVIS ORDNAD 10 Matematik Aritmetik och algebra Analys Några funktionstyper Intervall och gränser Derivator Integraler Differentialekvationer Exponential- och logaritmfunktioner Gränsvärden, talföljder och serier Komplexa tal Mängdlära och logik Geometri Trigonometriska funktioner Sannolikhetslära och statistik Fysik och astronomi Kemi och biologi Kemiska beteckningar och formler Strukturformler Programmering och Internet 99 BILAGA förändringar i den andra upplagan 102 Tecken med nytt utseende i punktskrift 102 Pilar med nytt utseende i punktskrift 105 Nya tecken i punktskrift 106 Borttagna tecken 108 Alfabetiskt register 109 Teckenregister 129 INNEHÅLL 5

6

7 Förord till den andra upplagan Punktskriftens skrivregler för matematik och naturvetenskap är en samling regler och rekommendationer för hur man skriver matematik och andra naturvetenskapliga ämnen i svensk punktskrift. Denna andra reviderade upplaga har tagits fram av Ulf Aldener, Lillemor Andersson, Stig Becker, Fredrik Larsson, Björn Nyqvist, Anders Sennerö och Björn Westling. Den tidigare upplagan utgavs I den nya utgåvan har bland annat ett nytt förtecken för matematiska tecken ï (p12456) införts. En lista över gjorda ändringar på teckennivå finns mot slutet av boken. Förändringar har gjorts för att göra det lättare att använda matematisk punktskrift. De matematiska tecknens utseenden i punktskrift har valts för att vara lättare att minnas än tidigare. Det rekommenderas vidare att större uppmärksamhet ska ges till den matematiska punktskriftens layout, bland annat genom att blanktecken kan användas för att skapa bättre läsbarhet i en följd av tecken och att varje ekvation i ett ekvationssystem ska skrivas på ny rad. En grundläggande förutsättning för utformningen av den matematiska punktskriften är att få så stor överensstämmelse med skrivregler för övrig punktskrift som möjligt. Detta har lyckats i princip fullt ut och kan tjäna som en förebild för konstruktion av motsvarande skrivregler för punktskrift i andra länder. Att till exempel 3 4 m² skrivs på samma sätt i punktskrift i en roman som i en vetenskaplig artikel tycker vi är mycket viktigt för att punktskriften ska vara läsbar och tillgänglig. Johanneshov, augusti 2012 Björn Westling Sekreterare i Punktskriftsnämnden FÖRORD 7

8

9 Inledning Om denna bok Punktskriftens skrivregler för matematik och naturvetenskap är en sammanställning av regler med tillhörande exempel för punktskrift i matematik och naturvetenskap. Skriften består av två delar. I nio kapitel i den första delen presenteras skrivregler och olika grupper av tecken och symboler. I den andra delen ges exempel sorterade i fyra kapitel för olika områden eller ämnen. Skrivreglerna för matematik och naturvetenskap bygger på och är en utvidgning av de skrivregler som finns beskrivna i Svenska skrivregler för punktskrift. Punktskriftens skrivregler för matematik och naturvetenskap täcker behovet av punktskriftstecken till och med gymnasiet och i många fall även högskolenivån. Med ledning av hur punktskriftstecknen är utformade går det att vid behov skapa ytterligare punktskriftstecken för att på så sätt även helt täcka behovet för högskolelitteraturen. Svartskriftsböcker har ofta en layout som för ögat ger en snabb överblick över ganska komplicerade samband. Sådan layout kan vara svår att återge i punktskrift och kan ibland bli till mer hinder än hjälp för punktskriftsläsaren. Typiska skrivsätt i svartskrift som är svåra att exakt efterlikna i punktskrift är till exempel uppställningar där man med hjälp av pilar visar ett korsvist flöde, trappan som illustrerar divisionsuträkning samt atom- och molekylstrukturer i kemi. Sådana svartskriftsillustrationer bör kommenteras och kan även kompletteras med reliefbilder. Exemplen i Punktskriftens skrivregler för matematik och naturvetenskap är i huvudsak autentiska och har valts för att illustrera företeelser som inte alltid framgår klart av texten. Notera att exemplen i vissa fall introducerar skrivsätt och tecken som tas upp först senare i boken. INLEDNING 9

10 Blanktecken i matematisk punktskrift I de flesta fall har blanktecken inte någon betydelsebärande funktion i matematisk punktskrift utan kan användas för att skapa en bättre läsbarhet åt längre teckenföljder. I vissa fall måste punktskriftstecken omges av blanktecken för att undvika missförstånd. Aritmetiska operatorer Aritmetiska operatorer (kapitel 5) kan som i svartskrift skrivas med eller utan blanktecken på ömse sidor. Pilar Punktskriftstecken för olika pilar presenteras i avsnitt 8.4 och 8.5. De representationer som vanliga pilar (avsnitt 8.4) har i punktskrift är tänkta att grafiskt efterlikna de utseenden tecknen har i svartskrift. Denna princip gäller inte för de flesta andra tecken. Samtliga punktskriftstecken som representerar vanliga pilar måste omges av blanktecken. Övriga pilar (avsnitt 8.5) representeras i punktskrift genom att betydelsen av tecknet skrivs inom hjälpparentes i en förkortad form. Streck Streck presenteras i avsnitt 8.3. Två enkla lodstreck intill varandra bör skiljas av blanktecken för att inte misstolkas som ett dubbelt lodstreck. Jämförelseoperatorer Jämförelseoperatorer presenteras i avsnitt 9.1. Det är ofta lämpligt och ibland nödvändigt att låta dessa punktskriftstecken omges av blanktecken. Mängdlära och logik De tecken och symboler som används i mängdlära och logik presenteras i avsnitt 9.2. Även för dem gäller att det ofta är lämpligt att motsvarande punktskriftstecken omges av blanktecken. 10 INLEDNING

11 Del 1 TECKEN OCH SKRIVREGLER FÖR MATEMATIK OCH NATURVETENSKAP

12

13 1 Speciella punktskriftstecken 1.1 Förtecken Förtecken ger det närmast följande punktskriftstecknet eller de närmast följande punktskriftstecknen en särskild betydelse. Betydelsen av förtecknet upphävs av blanktecken, avslutningsoch avskiljningstecken eller annat förtecken om inget annat nämns. _ Förtecken för versal bokstav. Se avsnitt 2.1. Förtecken för flera versala bokstäver i följd. Se avsnitt 2.1. Förtecken för flera ord med versaler i följd. Se avsnitt 2.1. " Förtecken för en grekisk gemen bokstav. Se avsnitt 2.2. ^ Förtecken för en grekisk versal bokstav. Se avsnitt 2.2. Förtecken för enstaka framhävt tecken. Se avsnitt 2.3. Även förtecken för plusminustecken och minusplustecken. Förtecken för struket tecken, ofta med betydelsen inte/ej. Se avsnitt 2.4. # Förtecken för siffror. Se avsnitt 3.1. Förtecken för exponent eller övre index. Se avsnitt 4.2 och 7.1. ê Förtecken för nedre index. Se avsnitt SPECIELLA PUNKTSKRIFTSSYMBOLER 13

14 Förtecken för centrerat övre index. Se avsnitt 7.1. êê Förtecken för centrerat nedre index. Se avsnitt 7.1. ï Förtecken för flera matematiska tecken. Se kapitel 9. ~ Förtecken för några tecken som bland annat förekommer i datorsammanhang, exempelvis Se avsnitt 9.6. Tecknet används även som varningstecken, se avsnitt Blanktecken Blanktecken liksom radbyte upphäver betydelsen av närmast föregående förtecken om inget annat sägs. Då blanktecken är en del av en sifferföljd upprepas siffertecknet. I sifferföljder grupperade med blanktecken får man inte använda. för att återge blanktecken. Se även avsnittet Blanktecken i matematisk punktskrift i inledningen till denna bok. 1.3 Hjälptecken Avslutnings- och avskiljningstecken Tecknet används som avskiljningstecken mellan siffra och de gemena bokstäverna a j för att undvika feltolkning, se även Svenska skrivregler för punktskrift, avsnitt 5.5 Siffror och bokstäver. Ibland används tecknet även mellan olika gemener för att markera växlingen mellan rak och kursiv stil. Se avsnitt 2.3. Tecknet används också som avslutningstecken för att avsluta komplicerade exponenter, index, rotuttryck, tecken med streck ovanför, samt understrukna tecken som inletts med varningstecknet ~. Se kapitel SPECIELLA PUNKTSKRIFTSSYMBOLER

15 Ex a 5B 7ab #4a<<#5_b<<#7ab<<<<<<<<<<<< Om siffran följs av versal behöver man inte något avskiljningstecken. Då citattecken förekommer före fristående latinsk bokstav i matematisk text ska citattecknet följas av för att undvika förväxling med förtecken för grekisk bokstav (gäller både gemener och versaler). " Avslutnings- och avskiljningstecken efter citattecken, för att undvika förväxling med förtecknen för grekiska bokstäver. Ex. 1.2 Han sa: p är ungefär 3,3. _han<sa:<"p<är<ungefär<<<<<< #3,3".<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 1.3 π är ungefär 3,14 "p<är<ungefär<#3,14<<<<<<<<<< När bokstaven o kombineras med jämförelseoperatorer där punktskriftstecknet o ingår ska blanktecken användas för att undvika sammanblandning med tecknet för mycket större än. Alternativt kan avskiljningstecknet användas. Det samma gäller när bokstaven ö kombineras med jämförelseoperatorer där punktskriftstecknet ö ingår för att undvika sammanblandning med tecknet för mycket mindre än. Se även avsnitt 9.1. Ex. 1.4 a > o b a<#o<o<#oo<b<<<<<<<<<<<<<<<<< 1 SPECIELLA PUNKTSKRIFTSSYMBOLER 15

16 1.3.2 Varningstecken Varningstecken ~ föregår långa uttryck som behöver hållas ihop. Det kan gälla komplicerade exponenter, index, tecken med streck ovanför, understrukna tecken eller rotuttryck. Varningstecken avslutas med. Se exempel 7.6 och Fortsättningstecken Om radbrytning måste göras i punktskrift i en teckenföljd som inte får delas i svartskrift måste fortsättningstecken ïï användas. Den radbrytning som då görs i punktskrift ska inte tolkas som blanktecken, därför ska exempelvis ett siffertecken inte upprepas, se exempel 1.5 nedan. Ex. 1.5 π är ungefär lika med 3, _Pi<är<ungefär<lika<med<<<<<< #3, ïï <<<<<<<<<<<<<<<<<< Hjälpparentes Text i en punktskriftsupplaga som inte finns i motsvarande svartskriftsupplaga ska markeras på något sätt, till exempel med hjälpparentes ~(<~). För att återge tecken som inte har någon representation i punktskrift kan man skriva ut betydelsen eller teckennamnet inom hjälpparentes. Se avsnitt 1.4 och exempel Bråksammanhållare Bråksammanhållare, som består av bråkbörjan é( samt bråkslut é), ska skrivas för att synliggöra början och slut av ett bråk när det krävs för att den matematiska innebörden ska förmedlas rätt. Se vidare kapitel SPECIELLA PUNKTSKRIFTSSYMBOLER

17 1.4 Tecken som inte har ett definierat skrivsätt i punktskrift När man vill återge ett tecken som saknar representation i punktskrift bör man skriva ut betydelsen i klartext alternativt en intuitiv förkortning inom hjälpparentes. Alternativt kan ett tecken ges en tillfällig representation. Att i detta sammanhang använda punktskriftstecken som grafiskt liknar ett tecken i svartskrift rekommenderas inte, sådana avbildningar är inte alltid intuitiva utan kan vara svåra att tolka. Ex. 1.6 I följande exempel har tecknen för hona respektive hane återgivits i klartext inom hjälpparentes. ~(hona~) hona ~(hane~) hane ~(alltså~) alltså ~(därför<att~) därför att Alternativ skrivning i förkortad form: ~(aå~) alltså ~(d.a.~) därför att 1.5 Regler för radbrytning Punktskriftsraderna bör delas där det är naturligt, exempelvis efter plustecken, minustecken, multiplikationstecken, bråkstreck eller före eller efter jämförelseoperatorer, till exempel likhetstecken. Plustecken, minustecken, plusminustecken, minusplustecken, likhetstecken, multiplikationstecken samt divisionstecken bör upprepas på nästa rad för att underlätta läsbarheten. Se exempel 6.12 och Dessa rader bör skrivas med två blankteckens indrag jämfört med den första raden, även detta för att underlätta läsbarheten. 1 SPECIELLA PUNKTSKRIFTSSYMBOLER 17

18 Tecken som i punktskrift består av flera punktskriftstecken får inte delas. Index, exponenter och rotuttryck bör inte heller delas. Man ska om möjligt undvika att dela en ekvation på två rader. När en ekvation måste delas ska man i regel främst söka få vänstra och högra ledet på var sin rad; delningen sker alltså vid likhetstecknet. Om sådan delning inte är möjlig eller lämplig, bör ekvationen delas vid till exempel plustecken, minustecken eller multiplikationstecken. Ett tal, en storhetsbokstav eller ett kort uttryck bör dock inte stå för sig i den ena raden. Ett parentesinnehåll ska om möjligt inte delas. Korta parentesinnehåll, till exempel (A B), får inte delas. Om radbrytningen i punktskrift måste ske där svartskriften inte får byta rad, där det inte finns en operator, måste fortsättningstecken ïï sättas sist på punktskriftsraden. I dessa fall ska inte heller något indrag göras på följande rad. Ex. 1.7 ( a + b) 6 = ( a + b)( a + b)( a + b)( a + b)( a + b)( a + b ) (a$b) #6=(a$b)(a$b)(a$b)ïï<<< (a$b)(a$b)(a$b)<<<<<<<<<<<<<< 18 1 SPECIELLA PUNKTSKRIFTSSYMBOLER

19 2 Bokstäver 2.1 Latinska bokstäver Gemena latinska bokstäver skrivs utan förtecken. Versal skrivs med _ före bokstaven. Flera versaler i följd skrivs med _ före varje bokstav eller med före den första bokstaven. Versaltecknen upphävs av blanktecken eller andra ickebokstavstecken. Flera ord med versaler i följd kan skrivas med före den första versalen och avslutningstecknet efter den sista. För att markera gemener i en lång följd av versaler, kan antingen en versalmarkering upprepas före den sista versalen (se exempel 2.2) eller kan ett avslutningstecken användas efter den sista versalen. Ex. 2.1 kwh k_wh<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 2.2 ABCDEFGHijklm ABCDEFG_Hijklm<<<<<<<<<<<<< Ex. 2.3 E[X + Y] = E[X] + E[Y] _Eà_X<$<_Yù<=<_Eà_Xù<$<_Eà_Yù 2.2 Grekiska bokstäver Gemena grekiska bokstäver skrivs med " före bokstaven och versaler med "_ före bokstaven. Förtecknet gäller endast den närmast följande bokstaven. 2 BOKSTÄVER 19

20 Gemener Versaler α "a Α "_a alfa β "b Β "_b beta γ "g Γ "_g gamma ξ "d "_d delta ε "e Ε "_e epsilon ζ "z Ζ "_z zeta η "j Η "_j eta θ "h Θ "_h teta ι "i Ι "_i jota κ "k Κ "_k kappa λ "l Λ "_l lambda µ "m Μ "_m my ν "n Ν "_n ny ξ "x Ξ "_x xi ο "o Ο "_o omikron π "p Π "_p pi ρ "r Ρ "_r ro σ "s Σ "_s sigma τ "t Τ "_t tau υ "u Υ "_u ypsilon ϕ "f Φ "_f fi χ "\ Χ "_\ chi ψ "y Ψ "_y psi ω "w Ω "_w omega 20 2 BOKSTÄVER

21 Ex. 2.4 x( y) = y( x + h) y( x) "_dx(y)<=<y(x<$<h)<-<y(x)<<<< Ex , η ( t) #1,<"j(t)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 2.6 ω = 2π T "w<=<#2"p/_t<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 2.7 T ( αu + βv) = αtu + βtv _T("au<$<"bv)<=<"a_Tu<$<"b_Tv Ex. 2.8 ϕ = arctan1 a "f<=<arctan<#1/a<<<<<<<<<<<<< Ex. 2.9 ϕ(0) = ϕ( a) = 0 "f(#0)<=<"f(a)<=<#0<<<<<<<<<< Ex r α = θ r<=<"aü"h<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 2 BOKSTÄVER 21

22 Ex ( ψ f ϕ) = ( f ψϕ) ("yf "f)<=<(f "y"f)<<<<<<<<<< 2.3 Enstaka framhävda tecken Enstaka framhävda bokstäver och andra tecken, fetstilta eller kursiva, föregås Då framhävd bokstav är versal är ordningen mellan förtecknen Förtecknet för framhävt tecken gäller endast närmast följande punktskriftstecken. När man vill återge att ord eller stycken har en viss stilsort, eller i de fall det är viktigt att visa på vilket sätt ett tecken är framhävt, ska reglerna för markering av olika stilsorter användas. Se Svenska skrivregler för punktskrift, avsnitt 3.4. Notera att kursiva bokstäver som beteckning för variabler normalt inte markeras i punktskrift. Vid risk för feltolkning av rak och kursiv stil kan avskiljningstecken eller blanktecken användas, se exempel Ex Bestäm h så att sin hx = sinh x Kommentar till exemplet: Lägg märke till att det finns två funktioner i detta exempel: sin = sinus sinh = sinus hyperbolicus _Bestäm<h<så<att<sin<hx<=<<<< <<=<sinh<x<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Alternativ skrivning i punktskrift: avskiljningstecken i stället för blanktecken. _Bestäm<h<så<att<sinhx<=<<<< <<=<sinhx<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 22 2 BOKSTÄVER

23 Ex Ex Ag = λg _a@g<=<"l@g<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex λ0 = 0 "l@#0<=<@#0<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex AX = 0 _a@_x<=<@#0<<<<<<<<<<<<<<<<<< 2.4 Strukna tecken För att markera strukna tecken (tecken med streck på eller genom) används ^ före punktskriftstecknet. Ex / (överstruken trea) ^#3<(överstruken<trea)<<<<<<< Ex (ej lika med, skild från) ^=<(ej<lika<med,<skild<från)< Ex /b (överstruket gement b) ^b<(överstruket<gement<b)<<<< 2 BOKSTÄVER 23

24 Ex /R (överstruket versalt r) ^_R<(överstruket<versalt<r)<< Ex λ/ ^"l<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< För flera exempel på strukna tecken, se avsnitt 9.1 och BOKSTÄVER

25 3 Siffror 3.1 Arabiska siffror Betydelsen av siffertecknet # upphävs av blanktecken eller andra punktskriftstecken med undantag för komma och punkt. Ex #1<<#2<<#3<<#4<<#35<<#148<<<< Blanktecken i sifferföljder Blanktecken i sifferföljder, för till exempel tusental, återges med blanktecken på samma sätt som i svartskriften. Detta innebär att man upprepar siffertecknet efter varje blanktecken. Notera att man i svartskrift och i punktskrift kan skilja siffror i en uppräkning från en talföljd med extra mellanrum (extra blanktecken). Ex är ungefär 18 miljoner. #18<#305<#116<är<ungefär<#18< miljoner.<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< är en uppräkning av tre tal. #18<<#305<<#116<är<en<uppräkning<av<tre<tal.<<<<<<<<<<<<< Komma och punkt i sifferföljder Komma och punkt i sifferföljder återges på samma sätt som i svartskrift. Siffertecknet upprepas inte efter komma eller punkt. I engelskspråkig litteratur kan decimalpunkten stå först. 3 SIFFROR 25

26 Ex ,37 #5,37<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex # <<<<<<<<<<<<< Ex , 4, 8, 16,... #2,<#4,<#8,<#16,<...<<<<<<<<< Ex. 3.6 Semikolon används här för att tydligt skilja x- och y-värdet. (0,4; 2) (#0,4;#2)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex = #5<=<-#0.5<<<<<<<<<<<<<<<<< 3.2 Romerska siffror Romerska siffror behandlas som motsvarande bokstäver. Detta gäller både gemener och versaler. Ex. 3.8 I II _I< II<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 26 3 SIFFROR

27 Ex = MDCCCCLXXXVIIII = MCMLXXXIX #1989<=< MDCCCCLXXXVIIII<=<< <<=< MCMLXXXIX<<<<<<<<<<<<<< Ex Förordet omfattar sidorna i xii. _Förordet<omfattar<sidorna<<< i--xii.<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 3 SIFFROR 27

28 4 Storheter och enheter 4.1 Några särskilda enhetstecken Några enheter m.m. skrivs i svartskrift med särskilda enhetstecken (inte bokstäver) och har därför också särskild representation i punktskrift: ïg gradtecken ' minut, fot " sekund, tum % ô procent ôô promille Ex C = +32 F = 273,15K #0ïg_C<=<$#32ïg_F<=<#273,15_K Ex #29ïg<#15'<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex % av 7,50 kr = 45 öre #6<ô<av<#7,50<kr<=<#45<öre<<< 4.2 Övriga enheter Snedstreck i enhet skrivs med /. I mätetal används vanligtvis blanktecken mellan storheten och enheten på samma sätt som i svartskrift. I enheter med exponent används omedelbart före exponenten. Se även avsnitt STORHETER OCH ENHETER

29 Ex l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml #1<l<=<#10<dl<=<#100<cl<=<<<< <<=<#1000<ml<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex ,5 m/s = 4,5 3600/1000 km/h = 16,2 km/h #4,5<m/s<=<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<=<#4,5ï.#3600/#1000<km/h<=< <<=<#16,2<km/h<<<<<<<<<<<<<<< Ex ,9 MW = 3, W #3,9< MW<=<#3,9<ï.<#10 #6<_W Ex m #6<m<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex db #50<d_B<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex m² #8<m #2<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex kg/dm³ #13<kg/dm #3<<<<<<<<<<<<<<<<< 4 STORHETER OCH ENHETER 29

30 5 Aritmetiska operatorer Aritmetiska operatorer ska skrivas som i svartskrift, det vill säga antingen med eller utan blanktecken på ömse sidor. Beträffande radbrytning se avsnitt $ plustecken, additionstecken - minustecken minusplustecken ï. multiplikationstecken (punkt) multiplikationstecken (punkt i fetstil) ïx multiplikationstecken (kryss) * * multiplikationstecken (asterisk) ü divisionstecken (horisontellt bråkstreck) / / divisionstecken (snett bråkstreck) : : skaltecken (kolon, relationstecken) ~(fkom~) funktionskomposition Ex #5<$<#12<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex ,99 + 0,001 #9,99$#0,001<<<<<<<<<<<<<<<<< 30 5 ARITMETISKA OPERATORER

31 Ex #1/#2<$<#1/#2<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 5.4 y = 5 + x y<=<#5<$<x<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex #613<-<#221<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex ,1 3, 05 #10,1-#3,05<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex #3#1ü#4<-<#1#3ü#4<<<<<<<<<<<< Ex ,5 + 3, ,5 0, 02 #0,5<$<#3,4<$<#6<-<#7,5<-<<<< <<-<#0,02<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 5.9 α ± 2π "a@$-#2"p<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 5 ARITMETISKA OPERATORER 31

32 Ex #15<ï.<#13<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex #4.5ï.#1.4<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex ab 2ab 2ab #2ab<ï.<#2ab<ï.<#2ab<<<<<< Ex rin = Ex LET C=A*B LET<_C=_A*_B<<<<<<<<<<<<<<< Ex #24<ïx<#36<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex #231ü#7<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 32 5 ARITMETISKA OPERATORER

33 Ex ,64 0,08 #0,64ü#0,08<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex , 2 / 0,004 #0,2/#0,004<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex Ritningen var i skala 1:100. _Ritningen<var<i<skala<<<<<<< #1:#100.<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex Förhållandet mellan triangelns sidor är 2:3:4. _Förhållandet<mellan<tri-<<<< angelns<sidor<är<#2:#3:#4.<<< 5 ARITMETISKA OPERATORER 33

34 6 Bråk 6.1 Tal och variabler i bråkform / / snett bråkstreck ü horisontellt bråkstreck é( bråkbörjan (del av bråksammanhållare) é) bråkslut (del av bråksammanhållare) Bråksammanhållare, bråkbörjan é( respektive bråkslut é), ska skrivas för att synliggöra början och slut av ett bråk. Bråksammanhållare behövs för att översätta det tvådimensionella skrivsättet i bråkuppställningar till punktskriftens linjära skrivsätt och används när täljaren och/eller nämnaren innehåller mer än ett tal, variabel eller konstant. Detta gäller även bråk i samband med grundläggande funktioner, av typen ln, lg, tan, sin och cos, samt summa och produkt (se exempel 6.7 och 6.8). Ex. 6.1 x = 9 2 xü#2<=<#9<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex = 1 #5/#5<=<#1<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Kommentar till ovanstående båda exempel: Notera att blanktecknen enbart finns där för att öka läsbarheten BRÅK

35 Ex = + = #3ü#4<$<#1ü#3<=<<<<<<<<<<<<<< <<=<#9ü#12<$<#4ü#12<=<#13ü#12 Ex. 6.4 ( x + 1) ( x 1) (x$#1)ü(x-#1)<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 6.5 x + 1 x 1 é(x$#1üx-#1é)<<<<<<<<<<<<<<<< Ex a = a b b #2é(aübé)<=<é(#2aübé)<<<<<<< Kommentar till exemplet: Bråksammanhållare används både i vänster- och högerleden för att tydligare visa de båda bråkens utseenden. Ex. 6.7 lg x = 0,1lg x 10 é(lg<xü#ajé)<=<#j,a<lg<x<<<<< Ex. 6.8 x lg = lg x 1 10 lgé(xü#10é)<=<lg<x<-<#1<<<<<< 6 BRÅK 35

36 6.2 Bråk i blandad form I bråk i blandad form behöver inte heltal åtskiljas med blanktecken utan bråkdelarna kan skrivas omedelbart efter heltalet. Siffertecknet upprepas i både täljare och nämnare. Ex = 2 1 = 1 = #3#1ü#4<-<#1#3ü#4<=<<<<<<<<<< <<=<#2#5ü#4<-<#1#3ü#4<=<<<<<< <<=<#1#2ü#4<=<#1#1ü#2<<<<<<<< Ex /4 1 3/4 = 2 5/4 1 3/4 = 1 2/4 = 1 1/2 I svartskrift är det inte ett rekommenderat skrivsätt att använda snedstreck i bråk skrivet i blandad form (heltal och delar). När det ändå förekommer skriver man i punktskrift blanktecken på samma sätt som svartskrift: #3<#1/#4<-<#1<#3/#4<=<<<<<<<< <<=<#2<#5/#4<-<#1<#3/#4<=<<<< <<=<#1<#2/#4<=<#1<#1/#2<<<<<< 6.3 Komplicerade bråk I svartskrift är det enkelt att se vad som hör till täljare respektive nämnare, till exempel genom placeringen av ett likhetstecken mitt för ett huvudbråkstreck. Vad som hör till täljare respektive nämnare i punktskriften är inte lika lätt att uppfatta, eftersom den skrivs linjärt, och måste i många fall markeras med bråksammanhållare. Då täljaren och/eller nämnaren innehåller mer än ett tal, variabel eller konstant måste bråket omges av bråksammanhållare. Bråksammanhållare kan även behövas i bråk med huvudbråkstreck, se avsnitt 6.4. En bråkuppställning med enbart text behandlas på samma sätt som komplicerade bråk. (Se exempel 6.14.) 36 6 BRÅK

37 Ex é(#13<ï.<#7ü#2é)<<<<<<<<<<<<< Ex ( 18) 2 ( 63) ( 3) ( 7) é(#55$(-#18)<ï.<#2-(-#63)<ü<< <<ü<(-#3)-(-#7)é)<<<<<<<<<<<< Ex n( n 1)... ( n k + 1) k! é(n(n-#1)<...<(n-k$#1)ük!é)<< Ex Number of outcomes in A P( A) = Total number of outcomes _P(_A)<=<é(_Number<of<out-<<< <<comes<in<_a<ü<_total<number <<of<outcomesé)<<<<<<<<<<<<<< Ex b 0 a1 + a2 b1 + an b b n bê#0<$<é(aê#1übê#1<$<é(aê#2ü< <<übê#2<$<...<$<aênübêné)é)<< 6 BRÅK 37

38 6.4 Bråk med huvudbråkstreck Då ett bråk består av bråk i täljare och/eller nämnare kan det vara nödvändigt att särskilt ange vilket av bråkstrecken som är huvudbråkstreck. Detta återges av dubbeltecknade raka eller sneda bråkstreck. I svartskrift är huvudbråkstrecket ofta längre än övriga bråkstreck eller anges genom att ett likhetstecken står mitt för det. üü horisontellt huvudbråkstreck / // snett huvudbråkstreck Ex x 6y 5x + 8y z = 7x 6y 8y + 5x z<=<é(#7x-#6yü#5x$#8yé)<üü<<< <<üü<é(#7x-#6yü#8y$#5xé)<<<<< Ex x 6y + 5 x + 8 y z = 7x 6y 8y + 5x z=é(#1$é(#7x-#6yü#5x$#8yé)<üü <<üü<é(#7x-#6yü#8y$#5xé)é)<<< Ex x + y x + y = 1 6x 2x 3 é(x$yü#6xé)//é(x$yü#2xé)<=<<< <<=<#1ü#3<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 38 6 BRÅK

39 Ex ,5, 3 och betecknar talet é(#9ü#6üü#3é),<é(#9ü#6//#3é)< och<é(#9/#6üü#3é)<betecknar<< talet<#1,5ü#3<<<<<<<<<<<<<<<< Ex α + β tan a + b = 2 a b α β tan 2 é(a$büa-bé)<=<<<<<<<<<<<<<<<< <<=<é(tané("a$"bü#2é)<üü<<<<< <<üü<tané("a-"bü#2é)é)<<<<<<< 6.5 Bråkliknande uppställningar ~ü osynligt bråkstreck I matematiken förekommer skrivsätt där symboler står ovanför varandra liknande bråkuppställningar, fast utan bråkstreck. I punktskriften används då ett så kallat osynligt bråkstreck ~ü (se exempel 6.21 nedan och exempel 10.74). Ex n n! = k ( n k )! k! (n~ük)<=<é(n!ü(n-k)!k!é)<<<<< 6 BRÅK 39

40 7 Exponenter, rötter och index 7.1 Övre och nedre index För att visa att ett huvudtecken har ett övre index används. För att visa att ett huvudtecken har ett nedre index används ê. Nedre index skrivs före övre index. Index till vänster om huvudtecknet skrivs före och index till höger om huvudtecknet skrivs efter detta. Se exempel Centrerade index skrivs efter huvudtecken och före eventuella högerställda index. Notera att detta skiljer sig från hur diakriter skrivs. För bokstäver med diakritiska tecken, se Svenska skrivregler för punktskrift, avsnitt 4.1. Normalt anger man inte i punktskrift att index är högerställda eller centrerade, men ibland behöver man ändå markera att vissa index skrivs rakt ovanför/nedanför huvudtecken. Ett sådant exempel är när både centrerade och högerställda index förekommer i samma sammanhang. I dessa fall ska följande indexförtecken användas (se även exempel och exempel 12.16): êê rakt nedanför (centrerat nedre index) rakt ovanför (centrerat övre index) Ett index inleds av ett indexförtecken och slutar efter närmast följande tal, konstant, variabel eller symbol. För alla övriga (längre) index inleder man med varningstecknet ~ före indexförtecknet och avslutar indexet med. För att undvika förväxling då ett huvudtecken med ett högerställt index följs av ett huvudtecken med ett vänsterställt index används blanktecken alternativt som avskiljningstecken för att skilja dem åt och underlätta tolkningen. Se exempel Om ett index är rakt ovanför eller rakt nedanför flera huvudtecken måste varningstecken skrivas före och avslutningstecken efter huvudtecknen (se exempel ) EXPONENTER, RÖTTER OCH INDEX

41 Här följer några konstruktioner som använder ovanstående regler: - streck (rakt ovanför huvudtecken) ~ : tilde (rakt ovanför huvudtecken) ^! toppvärde (tak) (rakt ovanför huvudtecken) _ êê- streck (rakt nedanför huvudtecken) ˇ êê= bottenvärde (bock) (rakt nedanför huvudtecken) êê= dubbla streck (rakt nedanför huvudtecken) :o vektorpil - vektor Exempel 7.24 nedan ger en översikt av tillämpningarna av reglerna för skrivning av index. Ex (2 ) = 2 (#2 #5) #3<=<#2 #15<<<<<<<<<< Ex x y x y x #2y<ï.<x #3y #2<<<<<<<<<<<< Ex. 7.3 f (2m 1) f (#2m-#1)<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex #10 -#12<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 7 EXPONENTER, RÖTTER OCH INDEX 41

42 Ex. 7.5 z = ( re θ ) = r e n i n n inθ z n<=<(re~ i"h) n<=<<<<<<<<< <<=<r ne~ in"h<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.6 e π ( + 2 nπ ) + iln 2 2 e~ -("pü#2$#2n"p)<$<iln#2<<< Ex n #2 #2~ n-#1<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.8 log x + log y = log xy a a a alog<x<$< alog<y<=< alog<xy< Ex. 7.9 e x /4 a y /4 b z /4c e~ -x #2/#4a-y #2/#4b-<<<<< <<-z #2/#4c<<<<<<<<<<<<<<<< Ex x1, x2,..., x m 1 xê#1,<xê#2,<...,<x~êm-#1<<<< Ex U ê#92 #238_U<<<<<<<<<<<<<<<<<< 42 7 EXPONENTER, RÖTTER OCH INDEX

43 Ex SO 4 SOê#4~ #2-<<<<<<<<<<<<<<<< Ex H 1 ê#1 #1_Hê#1 $<<<<<<<<<<<<<<<< Ex lim a existerar lim a a = 0 n n m m n n lim~êên:o#é<aên<existerar<<< <<ö=o<lim~êêm:o#é<ïï<<<<<<<< <<~êên:o#é< aêm-aên <=<#0<<< Ex b a a -b<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex ab ab -<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex ɶy = y y :<=<y<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex v = v vêê=<=<vêê-<<<<<<<<<<<<<<<<<< 7 EXPONENTER, RÖTTER OCH INDEX 43

44 Ex σ ˆ 2 = s 2 "s! #2<=<s #2<<<<<<<<<<<<<< Ex ω 2 = K M ~"w - #2<=<_Kü_M<<<<<<<<<<< Ex b* a = a * b b*a=~a*b -<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex AB ~ AB :o<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex x + y = xˆ + y ˆ ~x$y!<=<x!$y!<<<<<<<<< Ex Detta exempel har konstruerats endast för att visa på ordningen mellan olika index, exemplet betyder alltså inte något i sig. Huvudtecknet är en bokstav x med tecknen för bottenvärde och toppvärde under respektive ovanför, samt fyra index, två stycken före och två efter, nedre respektive övre index. 2 b x^ 1 a ˇ ê#1 #2xêê= +êa b<<<<<<<<<<<< 44 7 EXPONENTER, RÖTTER OCH INDEX

45 Indexen skrivs i följande ordning: Nedre vänsterställt index (1). Övre vänsterställt index (2). Huvudtecknet x. Centrerat index under huvudtecknet ( ˇ ). Centrerat index över huvudtecknet (^). Nedre högerställt index (a). Övre högerställt index (b). 7.2 Rotuttryck î rottecken, kvadratrot Rottecknet skrivs omedelbart före det uttryck som roten omfattar. Punktskriftens rottecken gäller endast närmast följande tal, konstant eller variabel (eller det av parentes eller absolutbelopp sammanhållna uttrycket). För övriga längre rotuttryck inleder man med varningstecknet ~ före rotuttrycket och avslutar med. Då rottecknet har ett övre index, exempelvis en trea för kubikrot, skrivs indexet före rottecknet. Se även avsnitt 7.1 och exempel 7.31 och Ex = 5 î#25<=<#5<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex ,5 î#1,5<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex c n î #5cên <<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 7 EXPONENTER, RÖTTER OCH INDEX 45

46 Kommentar till exemplet: Notera att används som avskiljningstecken för att skilja siffran 5 från bokstaven c (se även exempel 1.1). Ex a a = 2 2 ~î1ü#2=î(1ü#2)<<<<<<<<<<<<<< Ex a r = 4 5 r<=<aü#4îé(#50$#22î#5<ü<#5é)< Kommentar till exemplet: Notera att blanktecknen enbart finns här för att öka läsbarheten. Ex a sa = bc 1 + c b sêa<=<~îbcà#1<-<(aüb$c) #2ù< Ex = 3 #3î#27<=<#3<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex n m mn m n a a = a + nîa mîa<=<~ mnîa~ m$n<<<< Kommentar till exemplet: Notera att används som avskiljningstecken för att inte m ska tolkas som ett övre index till a i det första rotuttrycket EXPONENTER, RÖTTER OCH INDEX

47 8 Parenteser, streck och pilar 8.1 Parenteser ( ( vänster rundparentes ) ) höger rundparentes [ à vänster hakparentes ] ù höger hakparentes { _à vänster klammerparentes, vänster spetsparentes } _ù höger klammerparentes, höger spetsparentes _( vänster vinkelparentes _) höger vinkelparentes ~( vänster hjälpparentes ~) höger hjälpparentes Ex. 8.1 ( a, b) = ( c, d) (a,b)<=<(c,d)<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 8.2 s( s( s (0))) s(s(s(#0)))<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex p q D = _D<=<(pü#3) #3<$<(qü#2) #2<<< 8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR 47

48 Ex. 8.4 S = { 0, 1} _S<=<_à#0,<#1_ù<<<<<<<<<<<<<< Ex. 8.5 [(4x + 4)-(4x + 3)] = [4x + 4-4x - 3] = 1 à(#4x$#4)<-<(#4x$#3)ù<=<<<<<< <<=<à#4x$#4-#4x-#3ù<=<<<<<<<< <<=<#1<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 8.6 a = a _(a_)<=<a -<<<<<<<<<<<<<<<<<< 8.2 Parenteser över flera rader Parenteser som omfattar flera rader i svartskrift (enkelsidiga och dubbelsidiga) består i punktskrift av ett parentestecken i början och avslutas alltid med. Exempelvis inleds ensidig vänsterklammer, som används i ekvationssystem, med ï_à och avslutas med. Ensidig högerklammer inleds med ï_ù och avslutas med. Notera att dubbelsidiga parenteser i punktskrift inleds med båda parentestecknen och avslutas med (trots att högerparentesen i svartskrift avslutar uttrycket och står till höger). ( ï( ) ï) ensidig vänster rundparentes över flera rader ensidig höger rundparentes över flera rader 48 8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR

49 ( ) ï(ï) [ ïà ] ïù [ ] ïàïù { ï_à } ï_ù { } ï_àï_ù ï_( ï_) ï_(ï_) dubbelsidig rundparentes över flera rader ensidig vänster hakparentes över flera rader ensidig höger hakparentes över flera rader dubbelsidig hakparentes över flera rader ensidig vänsterklammer (ensidig vänster spetsparentes) över flera rader ensidig högerklammer (ensidig höger spetsparentes) över flera rader dubbelsidig klammerparentes (dubbelsidig spetsparentes) över flera rader ensidig vänster vinkelparentes över flera rader ensidig höger vinkelparentes över flera rader dubbelsidig vinkelparentes över flera rader 8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR 49

50 För samtliga ovanstående tecken gäller att de ska skrivas ensamma på en rad, det samma gäller det tillhörande avslutningstecknet. De rader som omfattas av en parentes över flera rader ska skrivas med två teckens indrag jämfört med raden med parentesen. Ex. 8.7 x + y = 3 (1) 2x + 3y = 8 (2) ï_à<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#1)<x<$<y<=<#3<<<<<<<<<<<<<< (#2)<#2x<$<#3y<=<#8<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Varje ny ekvation i ett ekvationssystem ska skrivas på ny rad. När en ekvation inte ryms på en rad i punktskrift byter man rad enligt reglerna för radbrytning. Se exempel Några skillnader mellan lösning av ekvationssystem med svartskrift och med punktskrift: I punktskrift skrivs ekvationernas nummer före respektive ekvation, i svartskrift skrivs de vanligtvis efter. Ekvationerna i punktskrift skrivs i vänsterkant på ny rad, medan övriga uträkningar och mellanled skrivs med två blankteckens indrag. Före varje ekvationssystem skrivs ï_à på en egen rad. Punktskriftstecknet betyder vänster klammerparentes över flera rader. Efter varje ekvationssystem skrivs avslutningstecknet på en egen rad. Det anger här att omfattningen av vänster klammerparentes, det vill säga ekvationssystemet, avslutas. Ex. 8.8 W = F s F = 0N W = 0Nm s = 10m Kommentar till exemplet: Notera att här används en uppställning som liknar ett ekvationssystem fast med högerklammer över flera rader PARENTESER, STRECK OCH PILAR

51 ï_ù<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< _W<=<_F<ï.<s<<<<<<<<<<<<<<<<< _f<=<#0<_n<<<<<<<<<<<<<<<<<<< s<=<#10<m<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< _W<=<#0<_Nm<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex A = _A=<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ï(ï)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<#1<<<#0<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<#10<<#1<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<#2<<<#1<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 8.3 Streck / / ï ï / ^ snedstreck lodstreck, delare, mängdbyggare, sådana att, vänster och höger absolutbelopp, determinant dubbelsidigt lodstreck över flera rader ej delare till dubbelt lodstreck; norm 8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR 51

52 \ ~/ ':, "=; omvänt snedstreck, backstreck, backslash, differens (vid mängder) enkelstreck (enkelbindning) dubbelstreck (dubbelbindning) él trippelstreck (trippelbindning) Punktskriftstecknen för dubbelsidigt lodstreck över flera rader skrivs på egen rad i början av uttrycket. Detta avslutas alltid med, likaså på egen rad. Se ex nedan. För jämförelse med parenteser över flera rader, som skrivs enligt samma principer, se avsnitt 8.2. För enkelstreck, dubbelstreck och trippelstreck, se även avsnitt Ex { x x } A = N är jämt _A<=<_àx<ï_t<@_N< <x<är<<<<<< <<jämnt_ù<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex A\B _A~/_B<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex a 11 1n m1 a A = a a mn Kommentar till exemplet: Dubbelsidigt lodstreck över flera rader skrivs enligt samma principer som parenteser över flera rader, se avsnitt PARENTESER, STRECK OCH PILAR

53 _A<=<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ï ï <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<aê#11<<<...<a~ê#1n<<<<<<<< <<<<<<<<<<...<<<<<<<<<<<<<<<< <<a~êm#1<...<a~êmn<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex i = = 29 #5<$<#2i <=<~î#25<$<#4<=<< <<=<î#29<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex x y Kommentar till exemplet: Multiplikation av två absolutbelopp ska i punktskrift skrivas med mellanrum så att de båda enkla lodstrecken inte misstolkas som ett dubbelt lodstreck, alternativt med multiplikationstecken emellan. x < y <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex x y x y x-y <#o=< < x - y < <<<<<<<< Ex yɶ y y = y :<-<y <ü< y <=<# PARENTESER, STRECK OCH PILAR 53

54 8.4 Vanliga pilar Före och efter följande tecken ska blanktecken användas. :o ö: enkel högerriktad pil enkel vänsterriktad pil ö:o :oö: enkel dubbelriktad pil enkel högerriktad pil ovanför enkel vänsterriktad pil ö::o =o ö= enkel vänsterriktad pil ovanför enkel högerriktad pil dubbel högerriktad pil (implicerar, medför) dubbel vänsterriktad pil (nödvändig för) ö=o :o dubbel dubbelriktad pil (ekvivalent med) högerpil med tvärstreck ( funktionspil ) Ex A + B AB _A<$<_B<:o<_A_B<<<<<<<<<<<<<< Ex mol NaCl 1 mol Cl #1<mol<_Na_Cl<ö:o<#1<mol<_Cl< 54 8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR

55 Ex CO + H O HCO + OH Coê#3~ #2-<$<_Hê#2_O<:oö:< << HCOê#3 -<$< OH -<<<<<<<< Kommentar till exemplet: Här är det för läsbarhetens skull lämpligt att omge plustecknen med blanktecken, de kemiska beteckningarna framträder bättre. Ex x = = 2 2 x 4 x<=<#2<=o<x #2<=<#4<<<<<<<<<< Ex C κ 0 _C<ö=o<"k<==<#0<<<<<<<<<<<<<< Ex x x + x x< :o<x #2<$<x<<<<<<<<<<<<<<< 8.5 Övriga pilar Följande pilar återges (inom hjälpparentes) med förkortningar av teckennamnen. Versalt p i pil betyder här att pilen är dubbel. ր ~(nopil~) տ ~(nvpil~) ւ ~(svpil~) ց ~(sopil~) nordostpil (pekar mot nordost) nordvästpil (pekar mot nordväst) sydvästpil (pekar mot sydväst) sydostpil (pekar mot sydost) 8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR 55

56 ~(upil~) ~(npil~) ~(vharpun~) ~(hharpun~) ~(vhharpun~) ~(hvharpun~) ~(avbildas< på~) Alternativ kortform: ~(avb~) ~(u_pil~) ~(n_pil~) pil uppåt pil nedåt vänsterriktad harpun högerriktad harpun vänsterriktad harpun ovanför högerriktad harpun högerriktad harpun ovanför vänsterriktad harpun enkel böjd högerriktad pil (avbildas på) dubbel uppåtriktad pil dubbel nedåtriktad pil Ex P Q Q P _P<~(upil~)<_Q<ö=o<_Q<<<<<<<< <<~(upil~)<_p<<<<<<<<<<<<<<<< Ex A + H O HA + OH _A -<$<_Hê#2_O<~(hvharpun~)<< << HA<$< OH -<<<<<<<<<<<<<< 56 8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR

57 9 Övriga operatorer och tecken 9.1 Jämförelseoperatorer De här listade operatorerna inkluderar långtifrån alla de tecken som förekommer i svartskrift, det finns därför behov av att kunna konstruera egna tecken. Se avsnitt 1.4 för hur man hanterar tecken och symboler som inte har någon representation i punktskrift. Det är ofta lämpligt att omge jämförelseoperatorerna med blanktecken för att göra punktskriften tydligare. Det är dessutom ibland nödvändigt, se avsnitt Blanktecken i matematisk punktskrift i bokens inledning. = = lika med (likhetstecken) ^= ej lika med, skild från :$ negationen av == identisk med ^== ej identisk med (eller) ~: proportionell mot, likformig med ^~: ej likformig med ~:- likformig eller lika med ^~:- ej likformig eller lika med ~:= kongruent med ^~:= ej kongruent med ~:: ungefär lika med > #o större än (större än-tecken) ^#o ej större än #o= större än eller lika med ^#o= ej större än eller lika med 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN 57

58 #oo mycket större än < #ö mindre än (mindre än-tecken) ^#ö ej mindre än #ö= mindre än eller lika med ^#ö= ej mindre än eller lika med #öö mycket mindre än #oö större eller mindre än #öo mindre eller större än parallell med ^ ej parallell med Ex = 7 #3<$<#4<=<#7<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex = = 23 #5<ï.<#3<$<#8<=<#15<$<#8<=<<< <<=<#23<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex #5<ï.<#3<^=<#23<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.4 P P :$<:$<_P<ö=o<_P<<<<<<<<<<<<<< 58 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN

59 Ex. 9.5 P Q _P<~:<_Q<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.6 εa ε a a a 0 "eêaüa<~::<"eêaüaê#0<<<<<<<<< Ex. 9.7 π > 3 "p#o#3<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.8 a b a#o=b<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.9 x y x<^#o=<y<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex < b 5 #0<#ö<b<#ö=<#5<<<<<<<<<<<<<<< Ex T T C _T<#öö<_Tê_c<<<<<<<<<<<<<<<<< 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN 59

60 Ex a > o b a<#o<o<#oo<b<<<<<<<<<<<<<<<<< Alternativ skrivning i punktskrift: avskiljningstecken i stället för blanktecken. a#oo#oob<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Kommentar till exemplet: Blanktecken eller avskiljningstecknet ska användas de gånger bokstaven o eller ö kombineras med vissa jämförelseoperatorer. Detta för att undvika sammanblandning med tecknen för mycket större än respektive mycket mindre än. Se även avsnitt Mängdlära och logik Se även avsnitt Det är ofta lämpligt att omge följande tecken med blanktecken det är inte nödvändigt men gör punktskriften tydligare. ^o ï_t ^ï_t ïi ^ïi ï_ö= ^ï_ö= ï_ö ï_o ï_o= ^ï_o= tomma mängden tillhör tillhör inte innehåller innehåller inte innehålls i innehålls inte i innehålls strängt i innehåller (som äkta delmängd) innehåller (som delmängd) innehåller inte (som delmängd) 60 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN

61 \ ~/ ïu ïs ïo ïe ~(xor~) ~(nor~) ~(nand~) ïa ^ïa #é ï_a ï_k ï_e =o ö= ö=o ï-c ï$c differens (även backstreck, omvänt snedstreck, backslash) union snitt och eller XOR-tecken NOR-tecken NAND-tecken assertion spegelvänd assertion oändligheten allkvantor komplement existenskvantor implicerar, medför (dubbel högerriktad pil) nödvändig för (dubbel vänsterriktad pil) ekvivalent med (dubbel dubbelriktad pil) cirkel med minus cirkel med plus Ex P Q Q é(_p<:o<_q<ü<~(aå~)<_qé)<<<<< 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN 61

62 Ex ( x) P( x) P( a) é((ï_ax)_p(x)<ü<<<<<<<<<<<<<< <<ü<~(aå~)<_p(a)é)<<<<<<<<<<< Ex ( x) P( x ) (ï_ex)_p(x)<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex a A a<ï_t<_a<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex A ( B C) = ( A B) ( A C ) _A<ïs<(_B<ïu<_C)<=<<<<<<<<<<< <<=<(_A<ïs<_B)<ïu<(_A<ïs<_C)< Ex A B _A<ï_ö<_B<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex B A A B _B<ï_ö=<_A<=o<_A<ï_o=<_B<<<<< Ex B ^o<ï_ö<_b<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 62 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN

63 Ex ], [ (obegränsat intervall) ù-#é,<#éà<(obegränsat<inter-< vall)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex A = G \ A ï_k_a<=<_g~/_a<<<<<<<<<<<<<<< Ex AiB = ( A B) B _A<@ï.<_B<=<(_A<ï$c<_B)<<<<<< <<ï-c<_b<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 9.3 Geometriska tecken I representationen i punktskrift av alla geometriska tecken används förtecknet ï följt av en bokstav. Se även avsnitt ïn normal mot, vinkelrät mot ïd diameter ïc cirkel ït triangel ïv vinkel ïk kvadrat ïr rektangel Ex DAE CAB ït< DAE<~:<ït< CAB<<<<<<<<< 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN 63

64 Ex AB CD AB<ïn< CD<<<<<<<<<<<<<<<<< 9.4 Analys (derivator och integraler) Se även avsnitt och ' '' '''. ; ;. prim (även fot, minut) biss (notera att tum och sekund har ett likartat utseende i svartskrift, men skrivs annorlunda i punktskrift) triss, trippelprim tidsderivata (punkt ovanför bokstav) tidsderivata (dubbelpunkt ovanför bokstav, trema ovanför bokstav) tidsderivata (trippelpunkt ovanför bokstav) ï"_d ï"d ï_n è èè èèè ïè Laplace delta partiell derivata nabla (gradient) integral dubbelintegral trippelintegral cirkelintegral, konturintegral Det nedre av en integrals gränsvärden ska skrivas före det övre (i likhet med hur index skrivs) ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN

65 Ex d r = r d( x) düd(x)<r''<=<r'''<<<<<<<<<<<< Ex a = vɺ = ɺɺ r a<=<.v<=< ;r<<<<<<<<<<<<<<<< Ex ɺɺ r vt ɺ n = ɺɺ r vt ɺ n<=<é( ;r<-<.vt<ü<<<<<<<<<<< <<ü< ;r<-<.vt é)<<<<<<<<<<< Ex ( fg) = f g + g f ï_n(fg)=fï_ng<$<gï_nf<<<<<<<< Ex b f ( x ) dx a èêa b<f(x)<dx<<<<<<<<<<<<<<<< Ex f ( z ) dz = 0 C ïèê_c<f(z)dz<=<#0<<<<<<<<<<<< 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN 65

66 Ex r ds = 3π S èèê@_s<@r<ï.<d@_s<=<#3"p<<<<< 9.5 Övriga tecken "_s summatecken "_p produkttecken!! fakultetstecken ïm modulo ℵ ï~a alef ב ï~b bet ד ï~d dalet ג ï~g gimel ï.c cirkel med punkt ïxc cirkel med kryss Ex n i= 1 x i "_s~êi=#1 n<xêi<<<<<<<<<<<<< Ex n k = 1 2 k= 1 x x x... x n "_p~êk=#1 n<xêk<=<xê#1xê#2<< <<...<xên<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 66 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN

67 Ex n lim (1 + ak ) = p = n k 1 lim~ên<:o<#é<"_p~êk=#1 n<<< <<(#1<$<aêk)<=<p<<<<<<<<<<<<< Ex n! = n( n 1) n!<=<n(n-#1)<...<#2<ï.<#1<<<< Ex n! k! k!... k! 1 2 r é(n!ükê#1!<kê#2!<...<kêr!é)<< Ex P F Q F _P<ïm<_F<ö=o<_Q<ïm<_F<<<<<<<< 9.6 Tecken i datorsammanhang Se även kapitel 13. Några tecken som förekommer i datorsammanhang: " citattecken (varianter på citattecken, t.ex. raka citattecken, har samma utseende i punktskrift) ~ ~: fristående tilde (äv. likformig med) ` ~? fristående grav accent ~* fristående akut accent _ ~- fristående understreck 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN 67

68 ^ ~! fristående cirkumflex # ~# nummertecken, ~à snabel-a, at-tecken < #ö mindre än (mindre än-tecken) (se även avsnitt 9.1) > #o större än (större än-tecken) (se även avsnitt 9.1) \ ~/ backstreck, omvänt snedstreck, backslash (se även avsnitt 9.2) Observera att teckensträngar (med citattecken eller apostrof runt) inte bör delas på två rader. Det kan, om uttrycket är långt, trots allt bli nödvändigt i punktskrift och i sådana fall sätts fortsättningstecken ïï ut sist på punktskriftsraden för att göra läsaren uppmärksam på att uttrycket fortsätter på nästa rad. Detta gäller även kommentarer i programkod. Lägg märke till att det i punktskrift framgår tydligt var blanktecken finns, i svartskrift däremot kan det vara svårt att se beroende på teckensnitt. Blanktecken markeras därför i svartskrift ibland med ett överstruket b eller ett tecken som liknar en liggande/undre hakparentes. I punktskrift kan man använda ^b respektive ~ ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN

69 Del 2 EXEMPELSAMLING, ÄMNESVIS ORDNAD

70

71 10 Matematik 10.1 Aritmetik och algebra Ex (7 4) = 15 3 = 45 #15ï.(#7-#4)=#15ï.#3=#45<<<<< Ex ( a + b) = 2 ( a a + 2 a b + b b) = 2 ( a + 2 ab + b ) = 2a + 4ab + 2b #2ï.(a$b) #2<=<<<<<<<<<<<<<<< =<#2ï.(aï.a$#2ï.aï.b$bï.b)<=< =<#2ï.(a #2$#2a2$b #2)<=<<<< =<#2a #2$#4ab$#2b #2<<<<<< Kommentar till exemplet: För att undvika att göra radbrytning i parentesuttryck har inte indrag gjorts vid raderna 2 4. Ex ( a b)( a + b) = a b 2 2 (a<-<b)(a<$<b)<=<a #2<-<b #2< Ex x 6x + 9 = ( x 3) 2 2 x #2<-<#6x<$<#9<=<(x<-<#3) #2 10 MATEMATIK 71

72 Ex Kommentar till exemplet: Ekvationer separeras från löpande text med blankrad före textrader. Se även exempel x - y = -3 (1) 4x - 5y + z = -8 (2) 8x - 3y + 6z = 14 (3) 1 ger ( ) y = 2x + 3 ( 4) ( ) ( ) ( ) x ( x + ) + z = - x ( x + ) + z = 4 insatt i 2 och 3 ger (5) (6) 4x 10x 15 + z = 8 (7) 8x 6x 9 + 6z = 14 (8) 6x + z = 7 (9) 2x + 6z = 23 (10) (9)+3 (10) ger (, ) ( ) ( ) ( ) 6x + z + 6x + 18z = z = 76 z = 76 / 19 z = 4 z = 4 insatt i 9 ger 6x + 4 = 7 6x = 3 x = 3 / 6 x = 0, 5 x = 0, 5 insatt i 4 ger y = y = 2 Svar: x = 0, 5 y = 2 z = MATEMATIK

73 ï_à<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#1)<#2x-y=-#3<<<<<<<<<<<<<<< (#2)<#4x-#5y$z=-#8<<<<<<<<<<< (#3)<#8x-#3y$#6z=#14<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#1)<ger<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#4)<y=#2x$#3<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#4)<insatt<i<(#2)<och<(#3)<< <<ger<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ï_à<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#5)<#4x-#5(#2x$#3)$z=-#8<<<< (#6)<#8x-#3(#2x$#3)$#6z=#14<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ï_à<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#7)<#4x-#10x-#15$z=-#8<<<<<< (#8)<#8x-#6x-#9$#6z=#14<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ï_à<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#9)<-#6x$z=#7<<<<<<<<<<<<<<< (#10)<#2x$#6z=#23<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#9)$#3ï.(#10)<ger<<<<<<<<<<< (#11)<-#6x$z$#6x$#18z=#7$#69< <<#19z=#76<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<z=#76/#19<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<z=#4<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 10 MATEMATIK 73

74 <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< z=#4<insatt<i<(#9)<ger<<<<<<< <<-#6x$#4=#7<<<<<<<<<<<<<<<<< <<-#6x=#3<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<x=#3/-#6<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<x=-#0,5<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< x=-#0,5<insatt<i<(#4)<ger<<<< <<y=#2(-#0,5)$#3<<<<<<<<<<<<< <<y=#2<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< _Svar:<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ï_à<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< x=-#0,5<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< y=#2<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< z=#4<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex x px q + + = 0 p p x = ± q x #2<$<px<$<q<=<#0<<<<<<<<<<< x<=<-pü#2<@$-<<<<<<<<<<<<<<<< <<@$-<~î(pü#2) #2<-<q<<<<<<< MATEMATIK

75 Ex n n( n 1) + = ! 2! n( n 1)( n 2) n 3 3 n + a b b 3! n n n 1 n 2 2 ( a b) a a b a b (a$b) n=a n$nü#1!a~ n-#1b$<< $é(n(n-#1)ü#2!é)a~ n-#2b #2$ $é(n(n-#1)(n-#2)ü#3!é)ïï<<<<< a~ n-#3b #3$...$b n<<<<<<<<< Kommentar till exemplet: För att undvika att använda flera fortsättningstecken har inte indrag gjorts vid raderna 2 4. Ex n k ( 1) Dn = n! n! e k! k = 0 1 _Dên<=<n!<"_s~êk=#0 nïï<<<<< (-#1) kük!<~:-<n!e -#1<<<<<<< 10.2 Analys Några funktionstyper Ex = #2 #3<=<#2<ï.<#2<ï.<#2<<<<<<< Ex = = 3 #2 -#3<=<#1ü#2 #3<=<#1ü#8<<<< 10 MATEMATIK 75

76 Ex x f ( x) eller x y, y = f ( x) x< :o<f(x)<eller<x< :o<y,<<<< y<=<f(x)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex y = x 2, x 0 x = y, y 0 y<=<x #2,<x<#o=<#0<ö=o<x<=<<< <<=<îy,<y<#o=<#0<<<<<<<<<<<<< Ex y ax bx c a = + +, 0 y<=<ax #2<$<bx<$<c,<a<^=<#0<< Ex n n+ 1 x x x x x θ x e = Rn ( x), Rn ( x) = e, 0 θ 1, x R. 1! 2! n! ( n + 1)! e x<=<#1<$<xü#1!<$<x #2ü#2!<$ <<$<...<$<x nün!<$<_rên(x),<< <<_Rên(x)<=<é(x~ n$#1ü<<<<<< <<ü(n$#1)!é)<e~ "hx,<<<<<<<< <<#0<#ö=<"h<#ö=<#1,<xï_t_R.<< Kommentar till exemplet: I detta fall används bråksammanhållare eftersom raden bryts mitt i bråket, det skulle dock inte ha behövts för bråkets matematiska tolkning. Ett alternativ hade varit att inte göra indrag på raderna 2 4 och att använda fortsättningstecken MATEMATIK

77 Intervall och gränser Ex f ( x) A då x a f(x)<:o<_a<då<x<:o<a<<<<<<<<< Ex x < a, x > a, x a, x a x<#ö<a,<x<#o<a,<x<#ö=<a,<<<<< <<x<#o=<a<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex f ( x) A < ε f(x)<-<_a <#ö<"e<<<<<<<<<<<< Ex lim = 0 x x lim~ê x <:o<#é<#1üx<=<#0<<<< Ex [ a, b[ = { x R : a x < b } är det halvöppna intervallet mellan a och b àa,<bà<=<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<=<_àxï_t_r:<a<#ö=<x<#ö<b_ù< <<är<det<halvöppna<inter-<<<< <<vallet<mellan<a<och<b<<<<<< Ex lim x = 4 x 2 lim~êx:o#2<x #2<=<#4<<<<<<<< 10 MATEMATIK 77

78 Ex x lim x 1 3 2x x + 2 lim~êx:o#1<é(x #3<-<#2x<$<<< <<$<#1üx #3<$<#2é)<<<<<<<<<<< Ex x < x f ( x ) f ( x ) xê#1<#ö<xê#2<=o<f(xê#1)<#ö=<< <<f(xê#2)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex f ( x) =, x 0 2 x f(x)<=<#1üx #2,<x<^=<#0<<<<<< Ex f ( x) =, x 0 1/ x 1+ 2 f(x)<=<é(#1ü#1<$<#2~ #1/xé), <<x<^=<#0<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Derivator Ex a = vɺ = ɺɺ r a<=<.v<=< ;r<<<<<<<<<<<<<<<< Ex d y dx 2 d #2yüdx #2<<<<<<<<<<<<<<<<<< MATEMATIK

79 Ex f x + h f x lim h 0 ( ) ( ) h lim~êh:o#0<é(f(x<$<h)<-<<<<< <<-<f(x)ühé)<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex n 1 x x x ( n 1) f ( x) = f (0) + f (0) + f (0) f (0) + R 1! 2! ( n 1)! f(x)<=<f(#0)<$<xü#1!<f'(#0)<$ <<$<x #2ü#2!<f (#0)<$<...<$< <<$<x~ n-#1ü(n<-<#1)!ïï<<<<< <<f (n-#1)(#0)<$<_rên<<<<<<<< n Ex n x ( n R ) n = f ( Θx) för något Θ 0,1 n! ] [ _Rên<=<x nün!<f (n)("_hx)<för något<"_h<ï_t<ù#0,<#1à<<<<<<< Ex f x f f = Dx f = = x x y fêx=_dêxf=é(ï"dfüï"dxé)<=<<<< <<=<(é(ï"dfüï"dxé))êy<<<<<<<< 10 MATEMATIK 79

80 Integraler Ex ( x + 3x 4) dx = + 3 4x x x èê#2 #3<(x #2<$<#3x<-<#4)dx<= <<=àx #3ü#3<$<#3é(x #2ü#2é)<- <<-<#4xùê#2 #3<<<<<<<<<<<<<<< Kommentar till exemplet: Bråksammanhållare é(<é) används för att visa att siffran 3 inte står i täljaren. Notera också att utan bråksammanhållare blir det samma matematiska betydelse. Ex C Q P P dx + Q dy = dxdy x y D ïèê_c<_p<dx<$<_q<dy<=<èèê_dïï <<(é(ï"d_qüï"dxé)<-<<<<<<<<<< <<-<é(ï"d_pü<ï"dyé))<dxdy<<<< Differentialekvationer Ex y = f ( x) dx + C y<=<è<f(x)dx<$<_c<<<<<<<<<<<< Ex y + ay + by = R( x ) y''<$<ay'<$<by<=<_r(x)<<<<<<< MATEMATIK

81 Exponential- och logaritmfunktioner Ex x lg = lg x 1 10 lgé(xü#10é)<=<lg<x<-<#1<<<<<< Ex a a = a x y x+ y a x<ï.<a y<=<a~ x$y<<<<<<<<< Ex ,4 x x + 3 > 2 #0,4 x<#o<é(x<$<#3ü#2é)<<<<<< Ex ln = x dt x t 1 lnx<=<èê#1 x<é(dtüté)<<<<<<<< Gränsvärden, talföljder och serier Ex a1 = 1 och an = 1 + ger talföljden 1, 2,,,,... a n 1 aê#1<=<#1<och<aên<=<#1<$<<<<< <<$<#1üa~ên-#1<ger<talfölj-< <<den<#1,<#2,<#3ü#2,<#5ü#3,<< <<#8ü#5,<...<<<<<<<<<<<<<<<<< 10 MATEMATIK 81

82 Ex n 3 lim = 2 n n + 5 lim~ên:o#é<é(#2n<-<#3ün<$<<< <<$<#5é)<=<#2<<<<<<<<<<<<<<<< Ex lim s = lim( a + a a ) n n n 1 2 n lim~ên:o#é<sên<=<<<<<<<<<<<< <<=<lim~ên:o#é<(aê#1<$<<<<<< <<$<aê#2<$<...<$<aên)<<<<<<<< Ex s 1 n =, n N n sên<=<#1<ï.<é(#1-(#1ü#2) nüü< <<üü#1<-<#1ü#2é),<n<ï_t<_n<<< Ex { a n} 1 _àaên_ùê#1 #é<<<<<<<<<<<<<<<< Ex an lim = 0 n n! lim~ên:o#éaênün!<=<#0<<<<<<< MATEMATIK

83 10.3 Komplexa tal Ex = i, i 2 = 1 i = den imaginära enheten î-#1<=<i,<i #2<=<-#1<<<<<<<<< i<=<den<imaginära<enheten<<<< Ex z = x + iy = x + y z <=< x<$<iy <=< ~îx #2<$<<< <<$<y #2 <<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex ( ϕ ϕ ) z = r cos + isin, r = z z<=<r<(cos"f<$<isin"f),<r<=<< <<=< z <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex n n ( cosϕ sinϕ ) ( cos ϕ sin ϕ ) n z = r + i = r n + i n z n<=<àr(cos"f<$<isin"f)ù n<= <<=<r n(cosn"f<$<isinn"f)<<<< Ex π ( + 2 nπ ) + iln 2 i ilog(2 i) 2 i = e = e (2 ) (#2i) i<=<e~ ilog(#2i)<=<< <<=<e~ -("pü#2$#2n"p)$iln#2< 10 MATEMATIK 83

84 Ex iy e = cos y + i sin y e cos y = e sin y = iy iy + e 2 e 2i iy iy e~ iy<=<cosy<$<isiny<<<<<<<< cosy<=<é(e~ iy<$<e~ -iy<ü<< <<ü#2é)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< siny<=<é(e~ iy<-<e~ -iy<ü<< <<ü#2ié)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 10.4 Mängdlära och logik Ex P(Ø) = 0 _P(^o)<=<#0<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex A B=Ø _A<ïs<_B<=<^o<<<<<<<<<<<<<<<< Ex a A a<ï_t<_a<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex e A e^ï_t_a<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< MATEMATIK

85 Ex { 2,4,6} { 0,2,4,6,... } _à#2,<#4,<#6_ù<ï_ö=<_à#0,<#2, <<#4,<#6,<..._ù<<<<<<<<<<<<<< Ex B A, A A, Ø B, 0 B _B<ï_ö=<_A,<_A<ï_ö=<_A,<<<<<< <<^o<ï_ö<_b,<#0<^ï_t<_b<<<<<< Ex N A = { x x är jämnt} _A<=<_àx<ï_t<@_N< <x<är<<<<<< <<jämnt_ù<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex P Q (P Q) _P<~(npil~)<_Q<ö=o<<<<<<<<<<< <<:$<(_P<ïe<_Q)<<<<<<<<<<<<<< Ex ( x)( x A x B) (ï_ax)(x<ï_t<_a<=o<x<ï_t<_b)< Ex ℵ =c(q) 0 ï~aê#0<=<c(_q)<<<<<<<<<<<<<<< 10 MATEMATIK 85

86 Ex P(A1 A 2... A n) = P(A 1)P(A 2)... P(A n ) _P(_Aê#1<ïs<_Aê#2<ïs<...ïï<<< ïs_aên)<=<_p(_aê#1)ïï<<<<<<<< _P(_Aê#2)<ï.<...<ï._P(_Aên)<< Ex {( x, y) : x + y = 5} _à(x,<y)<:<x #2<$<y #2<=<#5_ù 10.5 Geometri Ex AN : NB = AP : PH = 1 : 1 NP BE NP AC NP NL AN<:< NB<=< AP<:< PH<=<< <<=<#1<:<#1<~(aå~)<<<<<<<<<<< << NP< < BE<~(aå~)<<<<<<<< << NP<ïn< AC<~(aå~)<<<<<<<< << NP<ïn< NL<<<<<<<<<<<<<<< Ex ABC = 120 BCA ïv abc<=<#120ïg<-<ïv bca<<< Ex Parallellogram: d + d = 2a + 2b _Parallellogram:<dê#1 #2<$<<< <<$<dê#2 #2<=<#2a #2<$<<<<<< <<$<#2b #2<<<<<<<<<<<<<<<<<< MATEMATIK

87 Ex = ( a b Arean i parallelltrapets A h ) 2 _Arean<i<parallelltrapets<<<< <<_A<=<hé((a<$<b)ü#2é)<<<<<<< Ex O = 2π r A = π r 2 _O<=<#2"pr<<_A<=<"pr #2<<<<<< 10.6 Trigonometriska funktioner Ex sin( t + 2 π ) = sin t sin(t<$<#2"p)<=<sin<t<<<<<<<< Ex π 1 = rad rad 180 #1ïg<=<"pü#180<rad<~::<<<<<<< <<# c<rad<<<<<<<<<<<<<< Ex cos v = cos<v<=<#2ü#3<~::<#0.6667<<<< Ex OP = 2(cos70, sin 70 ) :o~ OP<=<#2<(cos<#70ïg,<<< <<sin<#70ïg)<<<<<<<<<<<<<<<<< 10 MATEMATIK 87

88 Ex π arctan x, x > arctan = x π arctan x, x < 0 2 arctan<#1üx<=<<<<<<<<<<<<<<<< ï_à<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<"pü#2<-<arctan<x,<x<#o<#0<< <<-"pü#2<-<arctan<x,<x<#ö<#0< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex n+ 1 n+ 1 x 1 x arcsin x n + 1 n x 2 dx é(x~ n$#1ün<$<#1é)<ïï<<<<<<< <<arcsin<x<-<é(#1ün<$<#1é)<ïï è<é(x~ n$#1ü~î#1<-<<<<<<<<<< <<-<x #2é)<dx<<<<<<<<<<<<<<< Kommentar till exemplet: Vid radbrytning vid implicit multiplikationstecken måste fortsättningstecken användas. Se även exempel 1.5, 1.7 och Sannolikhetslära och statistik Ex n P k p p k n k k ( ) ( 1 ) n = k, { 0, 1, 2..., } _P(k)<=<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<=<(n~ük)p k<(#1<-<p)~ n-k, <<k<ï_t<_à#0,<#1,<#2...,<n_ù< MATEMATIK

89 Ex n E( Y ) = P( u ) g( u ) i= 1 i i _E(_Y)<=<"_s~êi=#1 n<ïï<<<<< _P(uêi)<ï.<g(uêi)<<<<<<<<<<<< Ex s s P(0 x < s) = f ( t) dt =, 0 < s _P(#0<#ö=<x<#ö<s)<=<<<<<<<<<< <<=<èê#0 s<f(t)dt<=<sü#15,<<< <<#0<#ö<s<#ö=<#15<<<<<<<<<<<< Ex σ = E ( X µ ) = ( x µ ) f ( x ) dx Ω "s #2<=<_Eà(_X-"m) #2ù<=<<<<< <<=<èê"_w<(x-"m) #2<f(x)dx<<< 10 MATEMATIK 89

90 11 Fysik och astronomi Ex E0 = m c 2 _Eê#0<=<m<ï.<c #2<<<<<<<<<<<< Ex E = mc 1 v 2 c 2 2 _E<=<é(mc #2<ü<<<<<<<<<<<<<<< <<ü<~î#1<-<v #2/c #2é)<<<<<< Ex U = E Ri I _U<=<_E<-<_Rêi<ï.<_I<<<<<<<<< Ex m v F 2 a = = r a = r ω m m a<=<_füm<=<<<<<<<<<<<<<<<<<<< =<é(m<ï.<v #2ür<üü<mé)<=o<a<= =<r<ï.<"w #2<<<<<<<<<<<<<<<<< Kommentar till exemplet: Radbrytning har gjorts vid likhetstecknet för att slippa göras inuti bråksammanhållaren FYSIK OCH ASTRONOMI

91 Ex uˆ ω ˆ; ˆ ˆ L = L i u R = R i u!ê_l<=<"w<ï.<_l<ï.<i!;<< u!ê_r<=<_r<ï.<i!<<<<<<<<< Ex µ Cephei Position (2000.0) 21h 43,5 min + 58 o 57 magn 3,4 5,1 period 730 dygn "m<_cephei<_position<<<<<<<<< <<(#2000.0)<#21<h<#43,5<min<< <<$#58ïg<#57'<<<<<<<<<<<<<<<< <<magn<#3,4--#5,1<<<<<<<<<<<< <<period<#730<dygn<<<<<<<<<<< Ex α arc α = 360 2π "aïgü#360ïg<=<é(arc"aü#2"pé)< Ex log 2,512 0,4 #10log<#2,512<~::<#0,4<<<<<< Ex m* λ = 2 d *[sin( I + α) ± sin( I α)] m*"l<=<#2d*àsin(_i$"a)<@$-<< <<@$-<sin(_i-"a)ù<<<<<<<<<<<< 11 FYSIK OCH ASTRONOMI 91

92 Ex PTZ = [(N - N)/(N * N * R)] PTZ<=<"_s<à(_N'<-<_N)/<<<<< <</(_N<*<_N'<*<_R)ù<<<<<<<<<< FYSIK OCH ASTRONOMI

93 12 Kemi och biologi För olika typer av kemiska bindningar se avsnitt 8.3. För olika typer av pilar, se avsnitt 8.4 och 8.5. Nedre index skrivs före övre index. Index till vänster om huvudsymbolen skrivs före och index till höger om huvudsymbolen skrivs efter denna. Se även avsnitt Kemiska beteckningar och formler Ex EPK = erytrocytpartikelkoncentration; 3,7 5, /l 4,0 5, /l Kommentar till exemplet: Notera att här har tecknen för hona respektive hane återgivits i klartext inom hjälpparentes. Se avsnitt 1.4 för hur man kan återge tecken och symboler som saknar representation i punktskrift. EPK<=<erytrocytpartikel-<<< <<koncentration;<<<<<<<<<<<<< <<~(hona~)<#3,7--#5,0<ïx<<<<< <<<<#10 #12/l<<<<<<<<<<<<<<<< <<~(hane~)<#4,0--#5,5<ïx<<<<< <<<<#10 #12/l<<<<<<<<<<<<<<<< Ex H2C2O 2 kallas glyoxal _Hê#2_Cê#2_Oê#2<kallas<<<<<<< glyoxal<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 12 KEMI OCH BIOLOGI 93

94 Ex NaCl _Na_Cl<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex NO X _N_Oê_x<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex Na, K, Cl, Fe _Na $,<_K $,<_Cl -,<_Fe~ #3$ Ex H + 1 ê#1 #1_Hê#1 $<<<<<<<<<<<<<<<< Ex NH +CO NH CO NH +H O #2 NHê#3<$< COê#2<:o<<<<<<< << Nhê#2':, CO':, NHê#2<$< <<$<_Hê#2_O<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex P = [Mg ] [OH #2$ù<ï.<<<<<<<<< <<ï.<à OH -ù #2<<<<<<<<<<<<< Ex n (C H O ) (_Cê#6_Hê#10_Oê#4)ên<<<<<<<<< KEMI OCH BIOLOGI

95 Ex Na 2Z(s) + Ca (aq) CaZ(s) + 2Na (aq) _Naê#2_Z(s)<$<_Ca~ #2$(aq)<< <<~(hharpun<ovanför<<<<<<<<<< <<vharpun~)<_ca_z(s)<$<<<<<<< <<$<#2_Na $(aq)<<<<<<<<<<<<<< Ex H 2 O NaOH(s) >Na + (aq) + OH (aq) Kommentar till exemplet: Här står H 2 O på raden ovanför pilen i svartskriftsförlagan. I punktskriften omsluts H 2 O av varningstecken ~ och avslutningstecken samt föregås av två för att visa att texten befinner sig rakt ovanför pilen. Se även avsnitt 7.1. _Na_O_H(s)<:o~ _Hê#2_O<<<<< <<_Na $(aq)<$<_o_h -(aq)<<<<< Ex N +3H 2NH H < _Nê#2<$<#3_Hê#2<:oö:<<<<<<<<< <<#2 NHê#3<"_d_H<#ö<#0<<<<<< Ex CO + H O H CO H + HCO Coê#2<$<_Hê#2_O<:oö:<<<<<<< <<_Hê#2 COê#3<:oö:<_H $<$<<< <<$< HCOê#3 -<<<<<<<<<<<<<<< 12 KEMI OCH BIOLOGI 95

96 Ex Al + H O Al(OH) + H _Al~ #3$<$<_Hê#2_O<:o<<<<<<< <<_Al( OH)~ #2$<$<_H $<<<<< Ex NH NH NH 3 3 Cu NH ïàïù<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< << NHê#3< NHê#3<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<_Cu<<<<<<<<<<<<<<<<<< << Nhê#3< NHê#3<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ~ #2$<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Kommentar till exemplet: Alternativt kan detta exempel återges taktilt med en reliefbild, på svällpapper eller på ritmuff. Ex solljus 6CO 2 + 6H 2 O > C 6 H 12 O 6 + 6O 2 klorofyll (glukos) Kommentar till exemplet: Fotosyntesen är återgiven på tre rader. Orden solljus står ovanför och klorofyll står under reaktionspilen. Ordet glukos står inom parentes rakt under formeln. Exemplet återges med hjälp av tecknen för rakt nedanför êê respektive rakt ovanför (se avsnitt 7.1), samt varningstecken ~ och avslutningstecken KEMI OCH BIOLOGI

97 #6 COê#2<$<#6_Hê#2_O<<<<<<<< <<:o~êêklorofyll~ Solljus< <<<_Cê#6_Hê#12_Oê#6<<<<<<<<<< <<êê(glukos)<$<#6_oê#2<<<<<<< 12.2 Strukturformler Komplicerade strukturformler bör illustreras med taktil bild. Ex HC CH h3 él ch<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex H H C C H = H Här återges hur strukturformeln skulle kunna se ut på en taktil bild, förslagsvis en svällpappersbild. 12 KEMI OCH BIOLOGI 97

98 Ex H C C H Här återges hur strukturformeln skulle kunna se ut på en taktil bild, förslagsvis en svällpappersbild. Ex H H C H H <<<<<_H<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< _H':,_C':,_H<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<_H<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< KEMI OCH BIOLOGI

99 13 Programmering och Internet När programkod ska skrivas i punktskrift ska blanktecken återges exakt som i förlagan. Indrag ska användas enligt förlaga för att tydliggöra struktur. Notera att fortsättningstecken ïï ska användas när man i punktskrift är tvungen att byta rad (p.g.a. punktskriftens kortare radlängd) bindestreck får då inte användas. Detta gäller skrivning av Internetadresser, e-postadresser och vid skrivning av programkod. Se avsnitt 9.6 för ytterligare tecken som förekommer vid programmering och Internetanvändning. Ex C:\> _C:~/#o<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex Internetadressen _Internetadressen< Ex E-postadressen [email protected] _E-postadressen<anna-maria.ïï johansson~àcomhem.se<<<<<<<<< 13 PROGRAMMERING OCH INTERNET 99

100 Ex PROCEDURE A (i:integer); BEGIN IF i > 0 THEN BEGIN d(i-1); x := x-h; Plotta; a(i-1); y := y - h; Plotta; a(i-1); x := x + h; Plotta; b(i-1); END; END; PROCEDURE<_a<(i:_Integer);< BEGIN<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< << IF<i<#o<#0< THEN< BEGIN <<<<d(i-#1);<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<x<:=<x-h;<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<_Plotta;<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<a(i-#1);<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<y<:=<y<-<h;<<<<<<<<<<<<<< <<<<_Plotta;<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<a(i-#1);<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<x<:=<x<$<h;<<<<<<<<<<<<<< <<<<_Plotta;<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<b(i-#1);<<<<<<<<<<<<<<<<< << END;<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< END;<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex $ cat > script.ksh #! /bin/ksh ^s<cat<#o<script.ksh<<<<<<<<< ~#!</bin/ksh<<<<<<<<<<<<<<<<< PROGRAMMERING OCH INTERNET

101 Ex #include <sys/stat.h> int chmod(path, mode) char *path; mode_t mode; ~#include<#ösys/stat.h#o<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< int<chmod(path,<mode)<<<<<<<< char<*path;<<<<<<<<<<<<<<<<<< mode~-t<mode;<<<<<<<<<<<<<<<< 13 PROGRAMMERING OCH INTERNET 101

102 BILAGA förändringar i den andra upplagan Nedan är de viktigaste förändringarna och nyheterna i den andra upplagan av Punktskriftens skrivregler för matematik och naturvetenskap listade: Användningen av förtecknet ï (p12456) har ändrats till att bli ett generellt förtecken för matematiska tecken. För att göra det lättare att komma ihåg olika representationer i punktskrift har detta förtecken i många fall kombinerats med punktskriftstecknen för de bokstäver som är den första bokstaven i olika teckennamn. Ett exempel på det är ïu för union. Även kombinationer med detta förtecken och andra förtecken som versaltecken har använts, exempelvis ï_k för komplement. Varje ny ekvation i ett ekvationssystem ska skrivas på ny rad. Se exempel 8.6. Tecken med nytt utseende i punktskrift Tecken Nytt utseende Tidigare utseende Teckennamn ïg ^) gradtecken ï.. ïx x multiplikationstecken (punkt) multiplikationstecken (kryss) ïn #. normal, vinkelrät mot ïa : assertion ^ïa :l % procent promille spegelvänd assertion 102 BILAGA FÖRÄNDRINGAR I DEN ANDRA UPPLAGAN

103 Tecken Nytt utseende Tidigare utseende Teckennamn ï.c ï. ï-c ï- ï$c ï$ ïxc ïx ï"_d \"d ï"d \d ï_n \n ℵ ï~a \a ïd ï/o ïc ï ït ï! ïv ïö ïk ï= ïr ïé ïu ~î, ïs ~, eller ~: ë"a { ï_à } ï_ù ( ) [ ] cirkel med punkt cirkel med minus cirkel med plus cirkel med kryss Laplace delta partiell derivata nabla (gradient) alef diameter (cirkel med snedstreck) cirkel triangel vinkel kvadrat rektangel union snitt proportionell mot, likformig med ensidig vänsterklammer (ensidig vänster spetsparentes) över flera rader ensidig högerklammer (ensidig höger spetsparentes) över flera rader dubbelsidig rundparentes över flera rader dubbelsidig hakparentes över flera rader BILAGA FÖRÄNDRINGAR I DEN ANDRA UPPLAGAN 103

104 Tecken Nytt utseende Tidigare utseende Teckennamn { } ï_àï_ù <@ '' " biss dubbelsidig klammerparentes (dubbelsidig spetsparentes) över flera rader dubbelsidigt lodstreck över flera rader ''' "' triss, trippelprim ï_t \e tillhör ^ï_t ^\e tillhör inte ï_ö= ~ö= innehålls i ï_ö ~ö. ï_o ~o, ï_o= ~o= ïo, ïe î, ïu ~î, ïs ~, ~(xor~) ê-î, ~(nor~) -î, ~(nand~) -, ï_a \, ï_k \c innehålls strängt i innehåller (som äkta delmängd) innehåller (som delmängd) och eller union snitt XOR-tecken NOR-tecken NAND-tecken allkvantor komplement 104 BILAGA FÖRÄNDRINGAR I DEN ANDRA UPPLAGAN

105 Tecken Nytt utseende Tidigare utseende Teckennamn existenskvantor ï_e \? ~(rvinkel~) rät vinkel ï) ïm = modulo Förutom de båda följande tecknen har ytterligare tio tecken av samma typ fått nytt utseende i punktskrift efter samma princip till exempel ej större än. Se avsnitt 9.1 Jämförelseoperatorer. > #o ~o, < #ö ~ö. större än (större äntecken) mindre än (mindre än-tecken) Ett hjälptecken har också fått nytt utseende i punktskrift: ïï ~ fortsättningstecken Pilar med nytt utseende i punktskrift Följande pilar återges i punktskrift genom att en variant av teckennamnet skrivs inom hjälpparentes. Tecken Nytt utseende Tidigare utseende ~(upil~) o ~(npil~) êo ~(vharpun~),: Teckennamn pil uppåt (upil) pil nedåt (npil) vänsterriktad harpun (vharpun) ~(hharpun~) :' högerriktad harpun (hharpun) BILAGA FÖRÄNDRINGAR I DEN ANDRA UPPLAGAN 105

106 Tecken Nytt utseende Tidigare utseende ~(vhharpun~),::' Teckennamn vänsterriktad harpun ovanför högerriktad harpun (vharpun ovanför hharpun) ~(hvharpun~) :',: ~(avbildas< på~) Alternativ kortform: ~(avb~)?o högerriktad harpun ovanför vänsterriktad harpun (vharpun ovanför hharpun) enkel böjd högerriktad pil (avbildas på) Nya tecken i punktskrift Tecken i svartskrift [Ingen motsv.] Punktskrift êê [Ingen motsv.] [Ingen motsv.] [Ingen motsv.] é( [Ingen motsv.] é) i ב ד ג ï~b ï~d ï~g Teckennamn rakt nedanför rakt ovanför bråksammanhållare bråkbörjan bråkslut multiplikationstecken (punkt i fetstil) bet dalet gimel 106 BILAGA FÖRÄNDRINGAR I DEN ANDRA UPPLAGAN

107 Tecken i svartskrift Punktskrift ï_( ï_) ï_(ï_) ( ï( ) ï) [ ïà ] ïù ր տ ւ ց ïi ^ïi ^ï_ö= ^ï_o= ~(nopil~) ~(nvpil~) ~(svpil~) ~(sopil~) ~(u_pil~) ~(n_pil~) Teckennamn ensidig vänster vinkelparentes över flera rader ensidig höger vinkelparentes över flera rader dubbelsidig vinkelparentes över flera rader ensidig vänster rundparentes över flera rader ensidig höger rundparentes över flera rader ensidig vänster hakparentes över flera rader ensidig höger hakparentes över flera rader innehåller innehåller inte innehålls inte i innehåller inte (som delmängd) nordostpil nordvästpil sydvästpil sydostpil dubbel uppåtriktad pil dubbel nedåtriktad pil BILAGA FÖRÄNDRINGAR I DEN ANDRA UPPLAGAN 107

108 Borttagna tecken Tecken i svartskrift Punktskrift Teckennamn ^/ /. :: :: :* \ alltså därför att identisk med delbar med, avgår förtecken för vissa matematiska tecken 108 BILAGA FÖRÄNDRINGAR I DEN ANDRA UPPLAGAN

109 Alfabetiskt register A absolutbelopp vänster och höger, lodstreck, delare, mängdbyggare, sådana att, determinant (8.3) accent fristående akut ~* (9.6) accent fristående grav ~? (9.6) additionstecken, plustecken + $ akut accent fristående ~* (9.6) alef (första bokstaven i det hebreiska alfabetet) allkvantor ℵ ï~a ï_a apostrof; minut, fot ' assertion ïa assertion spegelvänd ^ïa asterisk, multiplikationstecken * * at-tecken, ~à avbildas på (enkel böjd högerriktad pil) ~(avbildas på~) (5) (9.5) (9.2) (4.1) (9.2) (9.2) (5) (9.6) (8.5) Alternativ kortform: ~(avb~) avskiljningstecken, avslutningstecken (1.3) avslutningstecken, avskiljningstecken (1.3) ALFABETISKT REGISTER 109

110 B backslash, backstreck, omvänt snedstreck backstreck, omvänt snedstreck, backslash \ ~/ \ ~/ bet ב ï~b biss '' bindestreck i vanlig text, minustecken, - subtraktionstecken blanktecken < bock (bottenvärde) (rakt nedanför huvudtecken) ˇ êê= bråkstreck horisontellt, horisontellt divisionstecken ü (8.3, 9.6) (8.3, 9.6) (9.5) (9.4) (5) (1.2) (7.1) (5, 6.1) bråkstreck osynligt ~ü (6.5, 10.7) bråkstreck, horisontellt huvudbråkstreck üü (6.1, 6.4) bråkstreck snett, snedstreck, divisionstecken bråkstreck, snett huvudbråkstreck / / / // (4.2, 5, 6.1, 8.3) (6.4) C centrerat nedre index (index rakt nedanför) êê (7.1) centrerat övre index (index rakt ovanför) (7.1) cirkel ïc (9.3) cirkel med kryss ïxc (9.5) cirkel med minus ï-c (9.2) cirkel med plus ï$c (9.2) cirkel med punkt (9.5) ï.c cirkelintegral, (9.4) konturintegral ïè 110 ALFABETISKT REGISTER

111 cirkumflex fristående ^ ~! (9.6) citattecken " (1.3, 9.6) D dalet ד ï~d divisionstecken horisontellt, horisontellt bråkstreck divisionstecken, snett bråkstreck, snedstreck dubbel dubbelriktad pil (ekvivalent med) dubbel högerriktad pil (implicerar, medför) ü / / ö=o (9.5) (5, 6.1) (4.2, 5, 6.1, 8.3) (8.4, 9.2) (8.4, 9.2) =o dubbel nedåtriktad pil ~(n_pil~) (8.5) dubbel uppåtriktad pil ~(u_pil~) (8.5) dubbel vänsterriktad pil (nödvändig för) dubbelbindning (dubbelstreck) ö= (8.4, 9.2) "=; (8.3, 12.2) dubbelintegral èè (9.4) dubbelpunkt ovanför bokstav (tidsderivata, trema ovanför bokstav) dubbelsidig hakparentes över flera rader dubbelsidig klammerparentes (dubbelsidig spetsparentes) över flera rader dubbelsidig rundparentes över flera rader dubbelsidig vinkelparentes över flera rader ; [ ] ïàïù { } ï_àï_ù ( ) ï(ï) ï_(ï_) (9.4) (8.2) (8.2) (8.2) (8.2) ALFABETISKT REGISTER 111

112 dubbelsidigt lodstreck över flera rader ï ï "=; dubbelstreck (dubbelbindning) dubbelt lodstreck, norm dubbla streck (rakt nedanför huvudtecken) (8.3) (8.3, 12.2) (8.3) êê= (7.1) E ej delare till / ^ (8.3) ej identisk med ^== (9.1) ej kongruent med ^~:= (9.1) ej lika med, skild från ^= (2.4, 9.1) ej likformig eller lika med ^~:- (9.1) ej likformig med ^~: (9.1) ej mindre än ^#ö ej mindre än eller lika med (9.1) ^#ö= (9.1) ej parallell med ^ (9.1) ej större än (9.1) ^#o ej större än eller lika med ekvivalent med (dubbel dubbelriktad pil) eller ïe enkel böjd högerriktad pil (avbildas på) enkel dubbelriktad pil ^#o= (9.1) ö=o ~(avbildas på~) Alternativ kortform: ~(avb~) ö:o (8.4, 9.2) (9.2) (8.5) (8.4) enkel högerriktad pil :o (8.4) 112 ALFABETISKT REGISTER

113 enkel högerriktad pil ovanför enkel vänsterriktad pil :oö: (8.4) enkel vänsterriktad pil ö: (8.4) enkel vänsterriktad pil ovanför enkel högerriktad pil enkelstreck (enkelbindning) enkelbindning (enkelstreck) ensidig höger hakparentes över flera rader ensidig höger rundparentes över flera rader ensidig höger vinkelparentes över flera rader ensidig högerklammer (ensidig höger spetsparentes) över flera rader ensidig vänster hakparentes över flera rader ensidig vänster rundparentes över flera rader ensidig vänster vinkelparentes över flera rader ensidig vänsterklammer (ensidig vänster spetsparentes) över flera rader ö::o (8.4) ':, (8.3, 12.2) ':, (8.3, 12.2) ] ïù ) ï) ï_) } ï_ù [ Ïà ( ï( ï_( { ï_à (8.2) (8.2) (8.2) (8.2) (8.2) (8.2) (8.2) (8.2) existenskvantor ï_e (9.2) ALFABETISKT REGISTER 113

114 F fakultetstecken (utropstecken) fortsättningstecken (markerar vid punktskriftsradens slut att svartskriftsraden fortsätter)!! (9.5) ïï (1.3, 1.5, 9.6, 10.6, 13) fot, apostrof; minut (4.1) ' fristående akut accent (9.6) ~* fristående cirkumflex ^ ~! (9.6) fristående grav accent ~? (9.6) fristående tilde ~ (9.6) ~: fristående understreck _ ~- (9.6) funktionskomposition ~(fkom~) (5) funktionspil (högerpil (8.4) med tvärstreck) :o fyrkant (nummertecken) förtecken för enstaka framhävt tecken (gäller endast det närmast följande tecknet) förtecken för exponent eller övre index(även paragraftecken ) förtecken för flera ord med versaler i följd förtecken för flera versala bokstäver i följd # Û (9.6) (1.1, 2.3) (1.1, 4.2, 7.1) (1.1, 2.1) (1.1, 2.1) förtecken för gemen grekisk bokstav " (1.1, 2.2) förtecken för grekisk versal bokstav förtecken för nedre index "_ ê (1.1, 2.2) (1.1, 7.1) 114 ALFABETISKT REGISTER

115 förtecken för några tecken som bland annat förekommer i datorsammanhang ~ förtecken för siffror # (1.1, 9.6) (1.1, 3.1) förtecken för struket tecken, ofta med betydelsen inte/ej förtecken för versal bokstav förtecken för flera matematiska tecken ^ _ ï (1.1, 2.4) (1.1, 2.1) (1.1, 9.2, 9.3, 9.4) G gimel ג ï~g gradient (nabla) ï_n gradtecken ïg grav accent fristående ~? (9.5) (9.4) (4.1) (9.6) H hakparentes ensidig höger över flera rader hakparentes ensidig vänster över flera rader ] ïù [ ïà hakparentes höger ] ù hakparentes vänster [ à (8.2) (8.2) (8.1) (8.1) harpun (högerriktad) ~(hharpun~) (8.5) harpun (högerriktad ovanför vänsterriktad) ~(hvharpun~) (8.5) harpun (vänsterriktad) ~(vharpun~) (8.5) ALFABETISKT REGISTER 115

116 harpun (vänsterriktad ovanför högerriktad) hjälpparentes vänster ~( hjälpparentes höger ~) horisontellt bråkstreck, horisontellt divisionstecken horisontellt huvudbråkstreck huvudbråkstreck horisontellt ~(vhharpun~) (8.5) ü üü üü huvudbråkstreck snett // höger hakparentes ] ù höger ensidig hakparentes över flera rader ] ïù höger hjälpparentes ~) höger klammerparentes, höger spetsparentes } _ù höger rundparentes ) ) höger rundparentes, ensidig över flera rader höger spetsparentes, höger klammerparentes ) ï) } _ù höger vinkelparentes _) högerklammer ensidig (höger spetsparentes) över flera rader högerpil med tvärstreck ( funktionspil ) } ï_ù (1.3.4, 1.4, 8.1) (1.3.4, 1.4, 8.1) (5, 6.1) (6.1, 6.4) (6.1, 6.4) (6.1, 6.4) (8.1) (8.2) (1.3.4, 1.4, 8.1) (8.1) (8.1) (8.2) (8.1) (8.1) (8.2) :o (8.4) högerriktad enkel pil :o (8.4) högerriktad harpun ~(hharpun~) (8.5) 116 ALFABETISKT REGISTER

117 högerriktad harpun ovanför vänsterriktad harpun högerriktad enkel pil ovanför enkel vänsterriktad pil ~(hvharpun~ (8.5) :oö: (8.4) I identisk med == implicerar, medför (dubbel högerriktad pil) index = förtecken för nedre index index = rakt nedanför (centrerat nedre index) =o ê êê index = rakt ovanför (centrerat övre index) innehåller ïi innehåller (som delmängd) innehåller (som äkta delmängd) ï_o= ï_o innehåller inte ^ïi innehåller inte (som delmängd) (9.1) (8.4, 9.2) (1.1, 7.1) (7.1) (7.1) (9.2) (9.2) (9.2) (9.2) ^ï_o= (9.2) innehålls i ï_ö= (9.2) innehålls inte i innehålls strängt i ï_ö inte/ej, förtecken för struket tecken, ofta med betydelsen inte/ej ^ integral è integral (cirkelintegral, konturintegral) ïè ^ï_ö= (9.2) (9.2) (1.1, 2.4) (9.4) (9.4) ALFABETISKT REGISTER 117

118 integral (dubbelintegral) èè integral (trippelintegral) èèè (9.4) (9.4) K klammer ensidig höger (ensidig höger spetsparentes) över flera rader klammer ensidig vänster (ensidig vänster spetsparentes) över flera rader klammerparentes dubbelsidig (dubbelsidig spetsparentes) över flera rader klammerparentes höger, höger spetsparentes klammerparentes vänster, vänster spetsparentes kolon, skaltecken, relationstecken } ï_ù { ï_à { } ï_àï_ù } _ù { _à : : komma,, komplement ï_k kongruent med ~:= konturintegral, cirkelintegral ïè kryss, multiplikationstecken ïx kvadrat ïk kvadratrot, rottecken î (8.2) (8.2) (8.2) (8.1) (8.1) (5) (3.1.2) (9.2) (9.1) (9.4) (5) (9.3) (7.2) 118 ALFABETISKT REGISTER

119 L Laplace delta ï"_d lika med (likhetstecken) = = likformig eller lika med ~:- likformig med, proportionell mot ~ eller ~: likhetstecken, lika med = = (9.4) (9.1) (9.1) (9.1) (9.1) lodstreck dubbelsidigt över flera rader ï ï lodstreck dubbelt, norm lodstreck, delare, mängdbyggare, sådana att, vänster och höger absolutbelopp, determinant (8.3) (8.3) (8.3) M medför, implicerar (dubbel högerriktad pil) mindre eller större än mindre än (mindre äntecken) =o #öo < #ö mindre än eller lika med #ö= minustecken, bindestreck i vanlig text, subtraktionstecken - minut, apostrof; fot ' modulo ïm (8.4, 9.2) (9.1) (9.1, 9.6) (9.1) (5) (5) (4.1) (9.5) multiplikationstecken (asterisk) * * (5) ALFABETISKT REGISTER 119

120 multiplikationstecken (kryss) multiplikationstecken (punkt) multiplikationstecken (punkt i fetstil) ïx ï. mycket mindre än #öö mycket större än #oo mängdbyggare, lodstreck, delare, sådana att, vänster och höger absolutbelopp, determinant (5) (5) (5) (9.1) (9.1) (8.3) N nabla (gradient) ï_n NAND-tecken ~(nand~) nedåt pil ~(npil~) nedåtriktad pil dubbel ~(n_pil~) (9.4) (9.2) (8.5) (8.5) negationen av :$ nordostpil nordvästpil norm, dubbelt lodstreck ր ~(nopil~) տ ~(nvpil~) normal, vinkelrät mot ïn NOR-tecken ~(nor~) nummertecken, fyrkant # ~# nödvändig för (dubbel vänsterriktad pil) (9.1) (8.5) (8.5) (8.3) (9.3) (9.2) (9.6) ö= (8.4, 9.2) 120 ALFABETISKT REGISTER

121 O och ïo omvänt snedstreck, backslash, backstreck \ ~/ (9.2) (8.3, 9.6) osynligt bråkstreck ~ü (6.5, 10.7) oändligheten (observera att den fulla cellen är en del av symbolen) P #é parallell med partiell derivata ï"d pil dubbel dubbelriktad (ekvivalent med) pil dubbel högerriktad (implicerar, medför) ö=o =o pil dubbel nedåtriktad ~(n_pil~) (9.2) (9.1) (9.4) (8.4, 9.2) (8.4, 9.2) (8.5) pil dubbel uppåtriktad ~(u_pil~) (8.5) pil dubbel vänsterriktad (nödvändig för) pil enkel böjd högerriktad (avbildas på) ö= (8.4, 9.2) pil enkel dubbelriktad ö:o ~(avbild as<på~) Alternativ kortform: ~(avb~) (8.5) (8.4) pil enkel högerriktad :o (8.4) pil enkel högerriktad ovanför enkel vänsterriktad pil :oö: (8.4) pil enkel vänsterriktad ö: (8.4) ALFABETISKT REGISTER 121

122 pil enkel vänsterriktad ovanför enkel högerriktad pil ö::o (8.4) pil nedåt ~(npil~) (8.5) pil uppåt ~(upil~) (8.5) plustecken, additionstecken + $ plusminustecken prim ' procent % ô produkttecken "_p promille ôô (5) (5) (9.4) (4.1) (9.5) (4.1) proportionell mot, likformig med ~ eller ~: (9.1) punkt.. (3.1.2) punkt, multiplikationstecken punkt ovanför bokstav (tidsderivata) ï.. (5) (9.4) R rakt nedanför (centrerat nedre index) êê rakt ovanför (centrerat övre index) rektangel relationstecken, kolon, skaltecken rottecken, kvadratrot : : ïr î rundparentes höger ) ) rundparentes vänster ( ( (7.1) (7.1) (9.3) (5) (7.2) (8.1) (8.1) 122 ALFABETISKT REGISTER

123 rundparentes dubbelsidig över flera rader rundparentes ensidig höger över flera rader rundparentes ensidig vänster över flera rader S ( ) ï(ï) ) ï) ( ï( (8.2) (8.2) (8.2) sekund, tum " " (4.1) semikolon ; ; skaltecken, kolon, : relationstecken : snabel-a, ~à snedstreck omvänt, backslash, backstreck snedstreck, snett bråkstreck, divisionstecken snett bråkstreck, snedstreck, divisionstecken \ ~/ / / / / snett huvudbråkstreck / // snitt ïs spegelvänd assertion ^ïa spetsparentes dubbelsidig (dubbelsidig klammerparentes) över flera rader spetsparentes ensidig höger (ensidig höger klammer) över flera rader { } ï_àï_ù } ï_ù (3.1.2) (5) (9.6) (8.3, 9.6) (4.2, 5, 6.1, 8.3) (4.2, 5, 6.1, 8.3) (6.1, 6.4) (9.2) (9.2) (8.2) (8.2) ALFABETISKT REGISTER 123

124 spetsparentes ensidig vänster (ensidig vänster klammer) över flera rader spetsparentes höger, höger klammerparentes spetsparentes vänster, vänster klammerparentes { ï_à } _ù { _à (8.2) (8.1) (8.1) streck dubbla (rakt nedanför huvudtecken) êê= (7.1) streck (rakt nedanför huvudtecken) _ êê- (7.1) streck (rakt ovanför huvudtecken) struket tecken = förtecken för struket tecken, ofta med betydelsen inte/ej större eller mindre än - ^ #oö (7.1) (1.1, 2.4) (9.1) subtraktionstecken, minustecken, bindestreck i vanlig text - större än eller lika med #o= större än (större äntecken) > #o summatecken "_s (5) (9.1) (9.1, 9.6) (9.5) sydostpil ց ~(sopil~) (8.5) sydvästpil ւ ~(svpil~) (8.5) 124 ALFABETISKT REGISTER

125 T tak, toppvärde (rakt ovanför huvudtecken) tidsderivata (dubbelpunkt ovanför bokstav, trema ovanför bokstav) ^! ; (7.1) (9.4) tidsderivata (punkt ovanför bokstav) tidsderivata (trippelpunkt ovanför bokstav) tilde (rakt ovanför huvudtecken). ;. ~ : tilde fristående ~ ~: (9.4) (9.4) (7.1) (9.6) tillhör ï_t (9.2) tillhör inte ^ï_t tomma mängden ^o toppvärde (tak) (rakt ovanför huvudtecken) trema ovanför bokstav (tidsderivata, dubbelpunkt ovanför bokstav) ^! ; triangel ït trippelbindning (trippelstreck) él trippelintegral èèè (9.2) (9.2) (7.1) (9.4) (9.3) (8.3, 12.2) (9.4) trippelprim, triss ''' (9.4) trippelpunkt ovanför bokstav (tidsderivata) trippelstreck (trippelbindning) ;. él (9.4) triss, trippelprim ''' (9.4) tum, sekund " " (4.1) (8.3, 12.2) ALFABETISKT REGISTER 125

126 U understreck fristående _ (9.6) ~- ungefär lika med (9.1) ~:: union ïu (9.2) uppåt pil ~(upil~) (8.5) uppåtriktad dubbel pil ~(u_pil~) (8.5) utropstecken, fakultetstecken!! (9.5) V varningstecken ~ (1.3.2) vektor - vektorpil :o versalt pi "_p versalt sigma "_s vinkel ïv vinkelparentes dubbelsidig över flera rader vinkelparentes ensidig höger över flera rader vinkelparentes ensidig vänster över flera rader ï_(ï_) ï_) ï_( vinkelparentes höger _) vinkelparentes vänster _( vinkelrät mot, normal ïn vänster hakparentes [ à (7.1) (7.1) (2.2) (2.2) (9.3) (8.2) (8.2) (8.2) (8.1) (8.1) (9.3) (8.1) 126 ALFABETISKT REGISTER

127 vänster hakparentes ensidig över flera rader [ ïà vänster hjälpparentes ~( vänster klammer ensidig (ensidig vänster spetsparentes) över flera rader vänster klammerparentes, vänster spetsparentes { ï_à { _à vänster rundparentes ( ( (8.2) (1.3.4, 1.4, 8.1) (8.2) (8.1) (8.1) vänster rundparentes ( ï( ensidig över flera rader vänster vinkelparentes _( vänster vinkelparentes ensidig över flera rader vänsterriktad dubbel pil (nödvändig för) ï_( (8.2) (8.1) (8.2) ö= (8.4, 9.2) vänsterriktad enkel pil ö: (8.4) vänsterriktad enkel pil ovanför enkel högerriktad pil ö::o (8.4) vänsterriktad harpun ~(vharpun~) (8.5) vänsterriktad harpun ovanför högerriktad ~(vhharpun~) (8.5) X XOR-tecken ~(xor~) (9.2) ALFABETISKT REGISTER 127

128

129 Teckenregister Sorteringen i teckenregistret är gjord efter antal punkter i punktskriftstecknen från en till sex. Punktskriftstecken med samma antal punkter är sorterade efter den inbördes nummerordningen. Tecken som i punktskrift återges med flera punktskriftstecken har sorterats först efter det första punktskriftstecknet, därefter det andra o.s.v. ^~: ^~:- ^~:= ^o ej likformig med (9.1) ej likformig eller lika med (9.1) ej kongruent med (9.1) tomma mängden (9.2) ^ / ej delare till (8.3) ^ ^= ^== ^#o ^#o= ^#ö ^#ö= ^ïa ^ï_o= ^ï_ö= ^ï_t ^ïi ' '' ej parallell med (9.1) ej lika med, skild från (2.4, 9.1) ej identisk med (9.1) ej större än (9.1) ej större än eller lika med (9.1) ej mindre än (9.1) ej mindre än eller lika med (9.1) spegelvänd assertion (9.2) innehåller inte (som delmängd) (9.2) innehålls inte i (9.2) tillhör inte (9.2) innehåller inte (9.2) apostrof; minut, fot (4.1): prim (9.4) biss (9.4) TECKENREGISTER 129

130 ''' triss, trippelprim (9.4) ':, ( _) _à _ù ; : :o :oö: :$ / // * - ~ ~: ~: enkelstreck (enkelbindning) (8.3, 12.2) förtecken för versal bokstav (1.1, 2.1) förtecken för flera versala bokstäver i följd (1.1, 2.1) förtecken för flera ord med versaler i följd (1.1, 2.1) vänster vinkelparentes (8.1) höger vinkelparentes (8.1) { } vänster klammerparentes, vänster spetsparentes (8.1) höger klammerparentes, höger spetsparentes (8.1) ; semikolon (3.1.2) : kolon, skaltecken, relationstecken (5) enkel högerriktad pil (8.4) enkel högerriktad pil ovanför enkel vänsterriktad pil (8.4) negationen av (9.1) / snedstreck, snett bråkstreck, divisionstecken (4.2, 5, 6.1, 8.3) / snett huvudbråkstreck (6.1, 6.4) * multiplikationstecken (asterisk) (5) ~ eller minustecken, subtraktionstecken, bindestreck i vanlig text (5) varningstecken (1.3); förtecken för bl.a. några tecken som förekommer i datorsammanhang (1.1, 9.6) ~ fristående tilde (9.6) proportionell mot, likformig med (9.1) 130 TECKENREGISTER

131 ~:: ~:- ~:= ~? ~/ ungefär lika med (9.1) likformig eller lika med (9.1) kongruent med (9.1) \ fristående grav accent (9.6) backstreck, omvänt snedstreck, backslash (8.3, 9.6); differens (vid mängder)(9.2) ~* fristående akut accent (9.6) ~- ~! ~( _ fristående understreck (9.6) ^ fristående cirkumflex (9.6) vänster hjälpparentes (1.3.4, 1.4, 8.1) ~(avbildas<på~) enkel böjd högerriktad pil (avbildas på) (8.5) ~(fkom~) funktionskomposition (5) ~(hharpun~) högerriktad harpun (8.5) ~(hvharpun~) högerriktad harpun ovanför vänsterriktad harpun (8.5) ~(u_pil~) dubbel uppåtriktad pil (8.5) ~(upil~) pil uppåt (8.5) ~(sopil~) ց sydostpil (8.5) ~(svpil~) ւ sydvästpil (8.5) ~(vharpun~) vänsterriktad harpun (8.5) ~(vhharpun~) ~(nand~) ~(n_pil~) ~(nopil~) ր ~(nor~) NAND-tecken (9.2) vänsterriktad harpun ovanför högerriktad harpun (8.5) dubbel nedåtriktad pil (8.5) nordostpil (8.5) NOR-tecken (9.2) TECKENREGISTER 131

132 ~(npil~) ~(nvpil~) տ ~(xor~) ~) ~ü " "_ "_s "_p "=; ê êê êê- êê= êê= pil nedåt (8.5) nordvästpil (8.5) XOR-tecken (9.2) höger hjälpparentes (1.3.4, 1.4, 8.1) osynligt bråkstreck (6.5, 10.7) # nummertecken, fyrkant snabel-a, at-tecken (9.6) förtecken för enstaka framhävt tecken (gäller endast det närmast följande tecknet) (1.1, 2.3) minusplustecken (5) ± plusminustecken (5) i multiplikationstecken (punkt i fetstil) (5) citattecken (1.3, 9.6); sekund, tum (4.1); förtecken för gemen grekisk bokstav (1.1, 2.2) förtecken för grekisk versal bokstav (1.1, 2.2) summatecken (9.5); versalt sigma (2.2) produkttecken (9.5); versalt pi (2.2) _ ˇ dubbelstreck (dubbelbindning) (8.3, 12.2) förtecken för nedre index (1.1, 7.1) rakt nedanför (centrerat nedre index) (7.1) streck (rakt nedanför huvudtecken) (7.1) bottenvärde (bock) (rakt nedanför huvudtecken) (7.1) dubbla streck (rakt nedanför huvudtecken) (7.1) 132 TECKENREGISTER

133 î! ( ö: ö::o ö:o ö= ö=o $ rottecken, kvadratrot (7.2) avslutningstecken, avskiljningstecken (1.3)! fakultetstecken (utropstecken) (9.5) ( vänster rundparentes (8.1) enkel vänsterriktad pil (8.4) enkel vänsterriktad pil ovanför enkel högerriktad pil (8.4) enkel dubbelriktad pil (8.4) dubbel vänsterriktad pil (nödvändig för) (8.4, 9.2) dubbel dubbelriktad pil (ekvivalent med) (8.4, 9.2) + additionstecken, plustecken (5) förtecken för exponent eller övre index (1.1, 4.2, 7.1) (även paragraftecken ). ; tidsderivata (punkt ovanför bokstav) (9.4) tidsderivata (dubbelpunkt ovanför bokstav, trema ovanför bokstav) (9.4) ;. : :o - -! tidsderivata (trippelpunkt ovanför bokstav) (9.4) rakt ovanför (centrerat övre index) (7.1) ~ tilde (rakt ovanför huvudtecken) (7.1) ^ vektorpil (7.1) streck (rakt ovanför huvudtecken) (7.1) vektor (7.1) toppvärde (tak) (rakt ovanför huvudtecken) (7.1) TECKENREGISTER 133

134 ) :o - él ü üü ô ôô è èè èèè = =o == # #o #oo #oö #o= #ö ) höger rundparentes (8.1) lodstreck, delare, mängdbyggare, sådana att, vänster och höger absolutbelopp, determinant (8.3) högerpil med tvärstreck ( funktionspil ) (8.4) vektor (7.1) dubbelt lodstreck, norm (8.3); parallell med (9.1) trippelstreck (trippelbindning) (8.3, 12.2) horisontellt bråkstreck, horisontellt divisionstecken (5, 6.1) horisontellt huvudbråkstreck (6.1, 6.4) % procent (4.1) promille (4.1) integral (9.4) dubbelintegral (9.4) trippelintegral (9.4) = lika med (likhetstecken) (9.1) dubbel högerriktad pil (implicerar, medför) (8.4, 9.2) identisk med (9.1) förtecken för siffror (1.1, 3.1) > större än (större än-tecken) (9.1, 9.6) mycket större än (9.1) större eller mindre än (9.1) större än eller lika med (9.1) < mindre än (mindre än-tecken) (9.1, 9.6) 134 TECKENREGISTER

135 #öo #öö #ö= #é À Ï Ïa ï. ï_a ï_k ï.c ï_e ï_o ï_o= ï_( ï_(ï_) ï_ö ï_ö= ï_) ï_n mindre eller större än (9.1) mycket mindre än (9.1) mindre än eller lika med (9.1) oändligheten (observera att den fulla cellen är en del av symbolen)(9.2) [ vänster hakparentes (8.1) förtecken för flera matematiska tecken (1.1, 9.2, 9.3, 9.4) assertion (9.2) multiplikationstecken (punkt) (5) allkvantor (9.2) komplement (9.2) cirkel med punkt (9.5) existenskvantor (9.2) innehåller (som äkta delmängd) (9.2) innehåller (som delmängd) (9.2) ensidig vänster vinkelparentes över flera rader (8.2) dubbelsidig vinkelparentes över flera rader (8.2) innehålls strängt i (9.2) innehålls i (9.2) ensidig höger vinkelparentes över flera rader (8.2) nabla (gradient) (9.4) TECKENREGISTER 135

136 ï_t tillhör (9.2) ï_à ï_àï_ù ï_ù ïk ïc ïe ïi ï-c ï~a ï~g ï"_d ï~b ï~d ï"d ïm ïo { { } } ensidig vänsterklammer (ensidig vänster spetsparentes) över flera rader (8.2) dubbelsidig klammerparentes (dubbelsidig spetsparentes) över flera rader (8.2) ensidig högerklammer (ensidig höger spetsparentes) över flera rader (8.2) kvadrat (9.3) cirkel (9.3) eller (9.2) innehåller (9.2) cirkel med minus (9.2) ℵ alef (första bokstaven i det hebreiska alfabetet) (9.5) ג gimel (9.5) Laplace delta (9.4) ב bet (9.5) ד dalet (9.5) partiell derivata (9.4) modulo (9.5) och (9.2) ïu union (9.2) ïd ïs ï( diameter (9.3) snitt (9.2) ( ensidig vänster rundparentes över flera rader (8.2) 136 TECKENREGISTER

137 ï(ï) ï$c ï) ï ï Ïr Ïv Ïg Ïn Ïx Ïxc Ït ( ) dubbelsidig rundparentes över flera rader (8.2) cirkel med plus (9.2) ) ensidig höger rundparentes över flera rader (8.2) dubbelsidigt lodstreck över flera rader (8.3) rektangel (9.3) vinkel (9.3) gradtecken (4.1) normal, vinkelrät mot (9.3) multiplikationstecken (kryss) (5) cirkel med kryss (9.5) triangel (9.3) Ïè cirkelintegral, konturintegral (9.4) Ïà Û Ïàïù Û Ïï Ïù Û Ù é( [ [ ] ] ensidig vänster hakparentes över flera rader (8.2) dubbelsidig hakparentes över flera rader (8.2) fortsättningstecken (markerar vid punktskriftsradens slut att svartskriftsraden fortsätter) (1.3, 1.5, 9.6, 10.6, 13) ensidig höger hakparentes över flera rader (8.2) ] höger hakparentes (8.1) bråkbörjan (1.3.5, 6.1) TECKENREGISTER 137

138 é(<é) é) bråksammanhållare (1.3.5, 6.1) bråkslut (1.3.5, 6.1) 138 TECKENREGISTER