Fyra fyror. Mikael Knutsson. Tredje utgåvan, Mikael Knutsson

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Fyra fyror. Mikael Knutsson. Tredje utgåvan, Mikael Knutsson"

Transkript

1 Fyra fyror Mikael Knutsson Tredje utgåvan, Mikael Knutsson

2 1 Inledning Man får använda fyra fyror, varken mer eller mindre. Med dem skall man skriva talet n. Man får sätta in dem efter varandra (exempelvis bilda talet med två fyror), sätta parenteser och använda de fyra vanliga räknesätten (addition, subtraktion, multiplikation och division) samt potenser och rötter. (Till exempel 6 = + + eller 10 = ( + ).) Så lyder ursprungsproblemet ur vilket utmaningen att skriva samtliga tal mellan noll och hundra uppstod. I ursprungsproblemet tillåts konstruktioner upp till vad som i detta dokument klassas som grad B. Jag har inte bevisat det, men är ändå säker på att ursprungsproblemets metoder inte räcker för att skriva alla tal mellan noll och hundra med enbart fyra fyror. Målet med detta dokument är att införa nya metoder som klassificeras inom olika grader och sedan skriva alla tal mellan noll och hundra med metoder av så låg grad som möjligt. Fortfarande gäller att exakt fyra fyror skall användas. Metoderna är till stor del valda och graderade subjektivt. Dokumentet är uppbyggt enligt följande: Kapitel 2 behandlar otillåtna konstruktioner, det vill säga konstruktioner som jag inte anser lämpliga att använda av olika anledningar. I kapitel 3 presenterar jag de matematiska operatorer och funktioner jag övervägt att använda, samt motiverar varför jag valt de jag valt. I kapitel är de olika grader jag delat upp konstruktioner i angivna. Bilaga A och B tabellerar lösningar med de lägsta graderna jag hittills funnit. Jag vill belysa att det kan finnas lösningar med lägre grad än de angivna. Jag lämnar det öppet för den engagerade att utmana mig och sig själv att hitta lösningar av lägre grader. OBSERVANDUM: Du som själv är intresserad av att lösa problemet uppmanas att använda dokumentet på följande sätt: Läs först kapitel 2 och ta till Dig av innehållet. Börja därefter själv skriva lösningar från noll och uppåt med ursprungsproblemets metoder. Om, och i så fall när, Du kör fast rekommenderas Du att i första hand lämna talet och försöka Dig på ett annat. Lyckas Du vid ett senare tillfälle ändå inte lösa det kan kapitel 3 och ge Dig uppslag till lösningar. Om Du ändå inte lyckas komma på lösningen på ett tal återstår att leta upp min föreslagna lösning i Bilaga A. Tänk på att det är mångt mer tillfredställande att lösa ett problem på egen hand. 2 Otillåtna konstruktioner Endast redan definierade och erkända matematiska funktioner och operatorer får användas. Ej erkända funktioner som kvadrat(x) = x 2 är inte tillåtna. Egendefinierade funktioner är inte tillåtna. Vore så fallet skulle samtliga tal n enkelt kunna skrivas med fyra fyror enligt n = f() där f(x) = n enligt egen definition. Konstanter andra än fyror är inte tillåtna att använda. Namngivna konstanter som π 3,1159, e 2,71828 och F n (Fibonaccital nummer n) är därmed heller inte tillåtna. Vore exempelvis konstanten k tillåten att använda skulle alla tal n kunna skrivas med fyra fyror enligt k k k n = ( ) där den sista parentesen innehåller n termer. Den imaginära k k k enheten i är av liknande orsak heller inte tillåten att använda. Variabler är inte tillåtna att använda. Vore de det skulle alla tal n kunna skrivas med fyra fyror d d d enligt n = ( ) + x + x + + x där den sista parentesen innehåller n termer. dx dx dx Booleska operatorer är inte tillåtna att använda av den enkla anledningen att resultatet av dem inte är tal utan något av värdena sant och falskt. Decimalkomma är inte tillåtet att använda på annat än siffror och endast om det bildade talet har både heltals- och decimaldel. 2,2 =, och, är inte tillåtna. Det är däremot, och,. Procent och promille är inte tillåtna att använda. De båda är i det närmsta konstanter. 2 (10)

3 3 Övervägda matematiska operatorer och funktioner Ursprungsproblemets metoder de fyra räknesätten, parenteser, potenser, rötter och möjligheten att bilda talen, och med två, tre respektive fyra fyror kommer jag givetvis använda mig av. Ursprungsproblemets metoder kommer klassificeras som den lägsta graden av metoder. Undantaget är rötter, som kommer att tillhöra en snäppet högre klassad grad än övriga metoder. En konstruktion som jag tycker borde ha nämnts i ursprungsproblemet är decimalkomma. Även om jag inte ser någon solklar användning för decimala tal, graderar jag dem likvärdigt med rötter. Målet med att kika närmare på matematiska operatorer och funktioner är att finna metoder att skriva vissa tal med endast en eller två fyror. Detta är nämligen nyckeln till att kunna skriva vissa annars omöjliga (?) tal. Med en metod att skriva höga tal med få fyror kan man utan att förbruka alltför många fyror få ett utgångstal från vilket närliggande tal kan nås. Med en metod att skriva låga tal med få fyror kan man nå de tal som ligger nära denna utgångspunkt. 3.1 Rötter, komplexa tal och absolutbelopp Användandet av rötter förenklar problemet: Kvadratroten, x, är en operator som direkt kan tillämpas på alla tal x. Övriga typer av rötter, n x, använder dessutom ett tal n tal för att specificera vilken rot som skall dras. ( x är ett specialfall av n x där n = 2 inte behöver anges.) n x kan n skrivas på formen x 1 /. Det man vinner på formen n n x är att ettan i formen x 1/ inte behöver konstrueras. Den stora vinsten vid användning av kvadratroten är att talet 2 kan skrivas med en enda fyra eftersom 2 =. Att låta användandet av rötter tillhöra en högre grad anser jag vara motiverat eftersom det underlättar problemet en hel del. Användandet av rötter tillför några viktiga aspekter: För det första kan som nämndes ovan operatorn x tillämpas på alla tal x. En följd av detta är att talet 1 skulle kunna skrivas med en enda fyra som 1 = n = lim. Dras kvadratroten ur talet oändligt många gånger blir n resultatet talet 1. Den första formen (nästlade rottecken) är ett oegentligt skrivsätt för den andra formen (gränsvärdet) som innehåller både en variabel och en konstant ( ). Detta sätt att skriva talet 1 anser jag inte lämpligt att använda i samma grad som vanliga rötter kommer klassas inom. Därför kommer jag introducera formen med nästlade rottecken i en högre klassad grad. En annan viktig aspekt är komplexa tal som kan uppstå ur operationer med rötter, exempelvis = 2i. Absolutbeloppsoperatorn, x, innebär för reella tal informellt att negativa tal blir positiva och positiva tal förblir positiva. För komplexa tal är betydelsen något annorlunda: a bi = a b. Exempelvis skulle talen 5 och 13 med denna metod kunna skrivas som = + 9 = + 3i = 3 och = = i = Jag har inte lyckats skriva vare sig talet 5 eller talet 13 på detta sätt med ursprungsproblemets metoder. Andra möjliga heltal som kan bildas med denna metod är multipler av 5 och 13, och inte heller utvalda tal från denna mängd har jag lyckats skriva med ursprungsproblemets metoder. Jag är övertygad om att denna metod inte underlättar problemet och ser därför ingen anledning att använda mig av den. Jag kommer alltså inte använda mig av absolutbelopp och komplexa tal. 3.2 Logaritmer Användandet av logaritmer anser jag inte kunna göra problemet lättare. Den generella logaritmen skrivs log b a = c där b c = a. För denna logaritm behöver basen b för logaritmen anges. Det finns även två speciella logaritmer: lg a = c där 10 c = a och basen är 10, samt ln a = c där e c = a och basen är e 2, ln a och lg a är operatorer som direkt kan tillämpas på ett tal a > 0. ln a genererar irrationella tal för alla rationella tal a utom a = 1 och får därför anses ointressant. lg a ger talet 0 om a = 1, 1 om a = 10, 2 om a = 100 och 3 om a = Att med ursprungsproblemets 3 (10)

4 metoder konstruera a är i samtliga av dessa fyra angivna fall mer kostsamt vad gäller antal fyror som måste förbrukas, än att direkt konstruera det tal som lg a genererar. lg a får därmed anses vara ointressant. Ej heller kan jag hitta någon praktisk användning på den ännu mer krävande logaritmen log a. Det skulle i så fall vara att skriva talet 3 som = log 8 eller = log 6, eller talet 5 som b = log Ursprungsproblemet bjuder dock metoder som gör att talen 3 och 5 kan skrivas med lika många eller färre fyror. Därför kommer jag inte använda mig av logaritmer. 3.3 Trigonometriska funktioner Användandet av trigonometriska funktioner tillför tillsammans med ursprungsproblemets metoder enligt min uppfattning inte någon hjälp att lösa problemet. Antalet trigonometriska funktioner är ganska stort: De tre funktionerna sinus, cosinus och tangens har alla tre motsvarigheter kallade sekant, cosekant och cotangens. Dessa sex har var sin invers med tillägget arcus framför funktionens namn. Dessa tolv har i sin tur en besläktad funktion med tillägget hyperbolicus efter funktionens namn. Av dessa totalt tjugofyra funktioner anser jag endast tre vara värda att beakta. Sekant, cosekant och cotangens anser jag inte vara helt matematiskt erkända funktioner. Hyperbolicusvarianterna är definierade med konstanten e 2,71828 och genererar därför, utom i några få ointressanta undantag, irrationella tal. Arcusvarianterna genererar inte tal, utan vinklar. Exempelvis gäller att arctan(1) = 5 = 50 g = π/, där vinklarna är angivna i grader, gradienter och radianer från vänster. Arcusvarianterna anser jag endast vara tillåtna att använda om det genererade värdet är angivet i radianer eftersom radianer är det egentliga måttet på vinklar och dessutom inte måste skrivas tillsammans med någon vinkelsymbol. Eftersom radianer är irrationella tal är inte arcusvarianterna intressanta. Återstår gör sinus, cosinus och tangens. Sinus och cosinus genererar tal i intervallet [-1, 1], varav vissa är rationella och vissa kan skrivas som en kvot innehållande rötter. Tangens genererar tal i intervallet (-, ), och definieras sin ( ) ( x) tan x =. Som nämndes i början av detta avsnitt har jag inte funnit de trigonometriska cos( x) funktionerna vara till mycket hjälp, men cosinus har den mycket intressanta egenskapen cos(0) = cos(0 ) = cos(0 g ) = 1. I avsnitt 3. introducerar jag dock en operator med samma egenskap, vilket gör cosinus överflödig. Trigonometriska funktioner kommer jag inte att använda mig av. 3. Kombinatorik Kombinatoriken innehåller åtminstone en operator som är av stort värde för problemet: Fakultet. Fakulteten av ett tal n skrivs n! och definieras n! = n ( n 1)!, 0! = 1 och n 1. Talet 2 kan skrivas med en fyra enligt! = 3! = 3 2! = 3 2 1! = ! = = 2. Detta underlättar problemet, men får anses tillhöra en metod av högre grad än rötter. Jag kommer använda fakultet. Fakultet har också egenskapen 0! = 1. I avsnitt 3.6 nyttjas detta för att skriva talet 1 med en fyra. Två kombinatoriska funktioner som definieras i termer av fakultet är permutation och n! kombination. Permutation definieras enligt P( n, r) = och kombination definieras enligt ( n r)! n n! C( n, r) = =. I likhet med övriga flerställiga funktioner som tas upp i detta kapitel är r r!( n r)! det svårt att finna konstruktioner där permutation och kombination är till någon nytta, men beroende på hur jag graderar dem i förhållande till andra operatorer jag behandlar kan de ändå vara till hjälp. Semifakultet definieras som n! = n ( n 2 )!!, 1!! = 0!! = 1 och n 2. Detta tillåter att talet 8 skrivs med en fyra enligt!! = 2!! = 2 0!! = 2 1 = 8. Semifakultet är en mycket hjälpfull operator, men jag brottas med det faktum att jag är osäker på om semifakultet kan klassas som en erkänd matematisk operator eller ej. Det som gör att jag överhuvudtaget brottas med semifakultet är att operatorn till en början verkade oumbärlig för att lösa många av de högre talen. Jag använde tidigare semifakultet och klassade operatorn som den högsta graden, men har numera löst problemet utan operatorn. Lösningarna i Bilaga A är ett bevis för att semifakultet inte behövs. (10)

5 3.5 Matriser, vektorer och determinanter Eftersom högst fyra värden kan användas till följd av begränsningen till fyra fyror, blir utbudet av möjliga matriser, vektorer och determinanter mycket begränsat. En matris på formen [ a b] som c multipliceras med en matris på formen resulterar i en skalär. Skalären s räknas fram enligt d s = a c + b d och utan vidare argumentering är det visat att matriser inte tillför något till problemets lösning. Ett liknande resonemang gäller för skalärprodukten av två vektorer. a b a b Determinanten av en matris på formen skrivs och beräknas a d b c. Utan vidare c d c d argumentering är det visat att inte heller determinanter tillför något till problemets lösning. De skalärer som kan bildas med de matriser, vektorer och determinanter som kan formas kan skrivas med ursprungsproblemets metoder och därmed finns det ingen anledning att använda matriser, vektorer eller determinanter. Jag kommer alltså inte använda dessa modeller. 3.6 Derivator och integraler Derivator och integraler opererar på funktioner. Funktioner är uttryck bestående av andra funktioner, variabler och/eller konstanter. Eftersom variabler inte är tillåtna att använda kommer endast derivator och integraler som opererar på konstanter att behandlas. Den obestämda integralen för en konstant k skrivs k dx = k x + C där x är en variabel och C en godtycklig konstant. Obestämda integraler är utan argumentering inte aktuella att tillämpas. Den bestämda integralen för en konstant k skrivs k dx = k ( b a) b a. Ett uttryck med tre tal ersätts alltså med ett uttryck med samma tre tal, som dessutom går att formulera med ursprungsproblemets metoder. Bestämda integraler är utan argumentering heller inte aktuella att tillämpas. d Derivatan av en konstant k skrivs k = Dk = 0. Detta är ett mycket intressant resultat eftersom dx d det möjliggör att skriva talet 0 med en enda fyra enligt = D = 0. För att undvika en dx d diskussion om huruvida bokstaven x i notationen y är en variabel eller ej kommer jag att dx använda notationen Dy för att ange operatorn derivata. Jag kommer använda derivata i kombination med operatorn fakultet i en högt klassad grad för att kunna skriva talet 1 med en enda fyra enligt 1 = ( D)!. 3.7 Tak- och golvfunktionerna Takfunktionen definieras som n = m där, p Ζ = {..., 2, 1,0,1,2,... } m, m n, p n och p : p < m. Informellt avrundar takfunktionen ett tal uppåt till närmsta heltal. Golvfunktionen m m, p Ζ =..., 2, 1,0,1,2,..., m n, p n och p : p > m. definieras som n = där { } Informellt avrundar golvfunktionen ett tal nedåt till närmsta heltal. Med tak- och golvfunktionerna kan, i kombination med fakultet och kvadratroten, flera låga tal skrivas med en enda fyra: Till exempel 1 =, =! 5 =!. Tak- och golvfunktionerna förenklar enligt mig problemet i så hög grad att de, om de används, bör klassas som den högsta graden. Vidare tycker jag att användandet av dem indikerar att man endast nästan löst ett tal. Mina lösningar i bilaga A är dock ett bevis på att problemet är lösligt utan tillämpning av tak- och golvfunktionerna. Jag kommer därmed inte använda dessa funktioner. 3 och 5 (10)

6 Grader Grad A är vad som eftersträvas, även om grad B är tillåten i ursprungsproblemet. Anledningen till gradernas utformning och rangordning är subjektiv. Min förhoppning är Du som läsare kan hålla med om att följande tre regler motiverar vilka operatorer graderna innehåller och gradernas inbördes rangordning: 1. Ju högre grad, desto mer tveksamma matematiska funktioner och operatorer införs. 2. En högre grad möjliggör att fler tal kan skrivas. 3. Varje ny grad ger minst ytterligare ett tal som kan skrivas med endast en eller två fyror..1 Grad A Metod: De fyra räknesätten (addition, subtraktion, multiplikation och division), parenteser, potenser och möjligheten att bilda talen, och med två, tre respektive fyra fyror. Definition: Trivial. Exempel: 15 + =.2 Grad B Metod: Rötter. = och ( ) + 1 =. Definition: Roten ur ett tal x definieras som n x x 1/ n = där 0 vilket gör att talet 2 kan skrivas med en fyra enligt = 2. n. Speciellt gäller att x = 2 x, Exempel: 11 =. + (Även decimaltal med heltals- och decimaldel som båda utgörs av siffror, se kapitel 2 och 3.) (Även absolutbelopp för reella och komplexa tal, se avsnitt 3.1.).3 Grad C Metod: Fakultet. Definition: Fakultet definieras som n! = n ( n 1)!, 0! = 1 och n 1. Fakultet medför att talet 2 kan skrivas med en fyra enligt! = 3! = 3 2! = 3 2 1! = ! = = 2. Exempel: 21 = +!. (Även logaritmer, se avsnitt 3.2.) (Även de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus, tangens, arcus sinus, arcus cosinus och arcus tangens med restriktionen att den vinkel som arcus sinus, arcus cosinus och arcus tangens genererar är angiven i radianer, se avsnitt 3.3.) (Även permutation och kombination, se avsnitt 3..). Grad D Metod 1: Derivata (i kombination med fakultet). d Definition 1: För en konstant k definieras derivata som k = Dk = 0. Derivata gör att talet 0 kan dx d skrivas med en fyra enligt = D = 0. I kombination med fakultet som introducerades som dx d primär metod i grad C kan även talet 1 skrivas med en fyra enligt! = ( D )! = 1 eftersom 0! = 1. dx 6 (10)

7 Exempel 1: 1 = ( D)!. Metod 2: Oändligt många nästlade rottecken. Definition 2: Se definition för rötter i grad B (avsnitt.2). Tillägget att oändligt många nästlade rottecknen får skrivas som n =1 eftersom = lim = 1. x görs. Detta medför att talet 1 kan skrivas med en fyra enligt n Exempel 2: 1 =. Kommentar: Att skriva talet 0 med endast en fyra är något som är önskvärt endast om ett visst tal erhålls med tre fyror, eftersom det då går att addera talet 0 med den sista fyran. Men att addera med talet 0 ger samma resultat som att multiplicera med talet 1. Därför blir, i och med introduktionen av möjligheten att skriva talet 1 med en fyra, möjligheten att skriva talet 0 med en fyra överflödig. Det är möjligheten att skriva talet 1 med en enda fyra som är tyngdpunkten i grad D. Metod 1 och metod 2 kan för detta ändamål användas synonymt med varandra allt efter tycke och smak. Själv kommer jag använda metod 2 eftersom den egentligen inte introducerar någon ny operator. 5 Slutsats Jag har i Bilaga A skrivit alla tal mellan noll och hundra med exakt fyra fyror. Ursprungsproblemet tillåter användandet av de fyra räknesätten, parenteser, potenser, rötter samt möjligheten att bilda talen, och med två, tre respektive fyra fyror. Jag har utökat ursprungsproblemets metoder med andra matematiska funktioner och operatorer för att kunna skriva tal som annars inte verkar möjliga att bilda. Dessa metoder har jag graderat efter vissa subjektiva ramar, där ursprungsproblemets metoder har låg gradering. Lösningarna har jag sedan försökt skriva med metoder av så låg grad som möjligt. De metoder jag använt mig av utöver ursprungsproblemets är mycket begränsade. Jag förbjöd användandet av några metoder som i flera fall gör problemet trivialt. Vidare övervägde jag ett antal potentiella metoder, men motiverade varför de inte är nödvändiga. De som återstod var få, men fullt tillräckliga. Jag har tillåtit oändligt många nästlade rottecken, vilket egentligen kan ses som en del av ursprungsproblemets metoder eftersom rötter ingår där. Utöver det har jag endast använt operatorerna fakultet och, om än i begränsad skala, kombination. Fler metoder behövs inte för att skriva alla tal mellan noll och hundra med fyra fyror. Beviset för detta är innehållet i Bilaga A. I bilaga B är antalet lösningar inom varje grad angivna. Anmärkningsvärt är att mer än hälften av alla tal mellan noll och hundra går att skriva med ursprungsproblemets metoder. Framtida mål med dokumentet är att minska antalet tal skrivna med metoder av de högre graderna och därmed öka antalet tal skrivna med metoder av de lägre graderna. Mitt primära mål var att lösa alla tal utan att nyttja semifakultet, eftersom jag inte vet om jag själv anser semifakultet vara en helt erkänd matematisk operator. Dagen kom också då jag lyckades med detta. Vad som tidigare var grad E kunde därmed strykas och mitt primära mål var nått. Mina förhoppningar är att Du som läsare fått upp intresset för problemet och själv ger Dig i kast med att finna lösningar av lägre grader för tal av grad B, C och framförallt D. 7 (10)

8 A Tabell med lösningar 0 = 1 = + 2 = = = = + 6 = + ( ) 7 = + 8 = = = (B) 11 = + 12 = (B) 13 = + (B) 1 = = 16 = = + (B) 18 = + 19 = +! 20 = + (B) 21 = (B) 22 = ( + ) (B) + 23 = 2 = + + (B) 25 = + 26 = = +! 28 = ( + ) 29 = + +! 30 = + (B) ( ) (B) ( )! + ( + ) 31 =! 32 = + 33 =! + (B) 3 = ( + ) + 35 = +! 36 = + + ( ) +! 37 = +! (B) 38 = 39 + = +! (B) 0 = (D) 1 = (B) 2 = + 3 = = + 5 = + (B) 6 = + 7 = +! 8 = = +! (B) 50 = + + ( ) (D) 51 = + +! 52 = + +! 8 (10)

9 (D) 53 = + +! 5 = + +! 55 = 56 = + +! (D) 57 = (! + ) + 58 = + ( +! ) (D) 59 = 60 = + (D) 61 = (B) 62 = ( + )!! 63 = 6 = + + ( ) ( ) 65 = + (B) 66 = ( + ) +! 67 = 68 = +! 69 = + 70 = + +!! 71 = + 72 =!! 73 = + 7 = +! +! +!! +! 75 = 76 = ( +! ) (D) 77 = 78 = ( +! ) (D) 79 = ( +! ) 80 = ( + ) 81 = 82 = +! + ( ) (D) 83 = + (B) 8 = (D) 85 = + (B) 86 = (D) 87 = 88 = + (D) 89 = + (B) 90 = + 91 = (B) 92 = +! 93 = +! 9 = +! 95 = +! (B) 96 = ( + ) 97 = +! 98 = +! (D) 99 = + +! (B) 100 = ( + + ) 9 (10)

10 B Tabell över lösningarnas grad 0, 1, 2, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 2, 28, 32, 36, 3,, 5, 8, 52, 60, 63, 6, 65, 68, 80, 81, 88. (B) 11, 13, 1, 18, 21, 22, 23, 25, 26, 30, 3, 38, 0, 2, 6, 50, 62, 66, 8, 86, 90, 92, 96, , 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 7, 9, 5, 55, 56, 58, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 7, 75, 76, 78, 82, 91, 93, 9, 95, 97, 98. (D) 1, 51, 53, 57, 59, 61, 77, 79, 83, 85, 87, 89, tal. (B) 2 tal. 31 tal. (D) 13 tal. Not: Nio lösningar av grad C (39, 55, 67, 69, 71, 73, 75, 91 och 93) använder kombination. Samtliga av dessa har tidigare haft lösningar av grad D. C Förbättrade lösningar Sedan första utgåvan : 31 D C (Ruth Carver). 32 B A (Ruth Carver). 33 D C E C (Ruth Carver). 55 E D E D E C (Fredrik Nilsson). 59 E D E D D A (Ruth Carver). 65 D A E D D C E D D C E C (Ruth Carver). 71 E D D C E D D C (Ruth Carver). 7 E C (Ruth Carver). 77 E D C A D A (Fredrik Nilsson). 83 E D E D B A (Ruth Carver). 93 D C (Ruth Carver). 100 C B Sedan andra utgåvan : 39 D C D C D C D C (10)

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π 48 a sin x + cos x = cos x Trigonometriska ettan sin v + cos v = 1 1 = cos x cos x = 1 x = ±cos 1 (1) + n π x = 0 + n π x = n π b sin x cos x = 1 Multiplicera båda led med sin x cos x = 1 sin x cos x =

Läs mer

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER 2015-09-02 GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER Nils Karlsson INDEX MATEMATISKA TAL...2 Värdesiffror...2 Absolutbelopp...3 Skala...3 STATISTIK...4 Lägesmått...4 Spridningsmått...4 Normalfördelning...4

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Avsnitt 5, introduktion.

Avsnitt 5, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 5:1 5:1 Avsnitt 5, introduktion. Radianer Vinkelmåttet radianer är i matematiska sammanhang bättre än grader, särskilt när man sysslar med de trigonometriska funktionerna

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk) UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-24 SÄL 1-10p Avsnitt 1.1 Grundläggande begrepp Detta avsnitt behandlar de symboler som används

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x 33 a Använd additionsformel för sinus sin(x + 55 ) = sin x cos 55 + cos x sin 55 cos 55 och sin 55 beräknas med tekniskt hjälpmedel TI-räknare c Använd additionsformel för sinus sin (x + π ) = sin x cos

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1.

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Det är viktigt att du inför tentan kan alla standardgränsvärden/derivator/primitiver utan till så att dessa inte stoppar dig på vägen mot

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

Exponentialform av komplexa tal Postad av Michell Andersson - 06 dec :27

Exponentialform av komplexa tal Postad av Michell Andersson - 06 dec :27 Exponentialform av komplexa tal Postad av Michell Andersson - 06 dec 2014 00:27 Jag bestämde för en vecka sedan att det kan vara praktiskt att lära sig ω-metoden. Jag har fastnat på något och det är exponentialformen

Läs mer

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2 Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.

Läs mer

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9 Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9 Matematik Extrauppgifter för skolår 7-9 Pärm med kopieringsunderlag. Fri kopieringsrätt inom utbildningsenheten! Författare: Mikael Sandell Copyright 00 Sandell

Läs mer

PASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens

PASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens PASS. POTENSRÄKNING.1 Definition av en potens Typiskt för matematik är ett kort, lätt och vackert framställningssätt. Den upprepade additionen går att skriva kortare i formen där anger antalet upprepade

Läs mer

Tal och polynom. Johan Wild

Tal och polynom. Johan Wild Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Abstrakt algebra för gymnasister

Abstrakt algebra för gymnasister Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag.8. 8.. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen

Läs mer

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor 5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas, såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt

Läs mer

Faktiska förkunskapskrav för vissa behörigheter

Faktiska förkunskapskrav för vissa behörigheter Malmö högskola / Gemensamt verksamhetsstöd Studentcentrum 1(5) Mars 2016 Faktiska förkunskapskrav för vissa behörigheter Ersättning för behörighetskursen Engelska B En del utbildningar anger Engelska B

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken X

Sammanfattningar Matematikboken X Sammanfattningar Matematikboken X KAPITEL 1 TAL OCH RÄKNING Naturliga tal Med naturliga tal menas talen 0, 1,,, Jämna tal 0,,, 6, 8 Udda tal 1,,, 7 Tallinje Koordinater En tallinje kan t ex användas för

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8) De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)

Läs mer

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Logik. Boolesk algebra. Logik. Operationer. Boolesk algebra

Logik. Boolesk algebra. Logik. Operationer. Boolesk algebra Logik F4 Logik Boolesk algebra EDAA05 Roger Henriksson Jonas Wisbrant Konsten att, och vetenskapen om, att resonera och dra slutsatser. Vad behövs för att man ska kunna dra en slutsats? Hur kan man dra

Läs mer

Övning log, algebra, potenser med mera

Övning log, algebra, potenser med mera Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Linjär Algebra, Villkor och Logik 1 Linjär Algebra Programsystemet Matlab utvecklades ursprungligen för att underlätta beräkningar från linjär

Läs mer

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING Institutionen för naturvetenska, teknik och matematik (NAT) Institutionen för teknik och hållbar utveckling (THU) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA 2 Innehåll Notation, mängdlära och logik........................

Läs mer

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08 Tentamen i Matematik DD-DP08 (Kursnummer HF90) 2009-03-2, kl. 3:5-7:00 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Svaren ska alltid förkortas

Läs mer

Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003

Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003 Gränsvärden Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003 Innehåll Introduktion 3 2 Gränsvärden 4 2. Gränsvärden då går mot.................... 4 2.2 Gränsvärden då går mot a.....................

Läs mer

1Mer om tal. Mål. Grunddel K 1

1Mer om tal. Mål. Grunddel K 1 Mer om tal Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de: kunna multiplicera och dividera med positiva tal mi ndre än veta vad ett negativt tal är kunna addera och subtrahera negativa tal kunna

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n)

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén Algebra I, 5 hp Sammanfattning av föreläsning 9. Kongruenser Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

Kapitel 3. Approximation av funktioner

Kapitel 3. Approximation av funktioner Kapitel 3. Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner. I allmänhet kan inte ens elementära funktioner såsom sinus- och cosinusfunktionerna

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har

Läs mer

Lite extramaterial i anslutning till boken

Lite extramaterial i anslutning till boken Lite extramaterial i anslutning till boken Kapitel 1 Elementär algebra Prioritetsregler för räknesätten Det är av avgörande betydelse i vilken ordning räkneoperationer utförs. För att på ett otvetydigt

Läs mer

BA II PLUS Räknarna BA II PLUS PROFESSIONAL

BA II PLUS Räknarna BA II PLUS PROFESSIONAL BA II PLUS Räknarna BA II PLUS PROFESSIONAL Viktigt Texas Instruments lämnar inga uttryckliga eller underförstådda garantier för något program eller bok. Detta innefattar, men är inte begränsat till, underförstådda

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4 Logövningar Uppgift nr 1 lg y -2 Uppgift nr 2 Huvudräkna lg200 + lg5 Uppgift nr 3 71 z 70 Uppgift nr 4 Ange derivatan till y e x Uppgift nr 5 Skriv 3 lg5 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr

Läs mer

HEM KURSER SKRIV UT HEM ÄMNE SKRIV UT

HEM KURSER SKRIV UT HEM ÄMNE SKRIV UT Matematik HEM KURSER SKRIV UT MA200 - Matematik A 110 poäng inrättad 1994-07 SKOLFS: 1994:9 et för kursen är att ge de matematiska kunskaper som krävs för att ta ställning i vardagliga situationer i privatliv

Läs mer