Fyra fyror. Mikael Knutsson. Tredje utgåvan, Mikael Knutsson

Transkript

1 Fyra fyror Mikael Knutsson Tredje utgåvan, Mikael Knutsson

2 1 Inledning Man får använda fyra fyror, varken mer eller mindre. Med dem skall man skriva talet n. Man får sätta in dem efter varandra (exempelvis bilda talet med två fyror), sätta parenteser och använda de fyra vanliga räknesätten (addition, subtraktion, multiplikation och division) samt potenser och rötter. (Till exempel 6 = + + eller 10 = ( + ).) Så lyder ursprungsproblemet ur vilket utmaningen att skriva samtliga tal mellan noll och hundra uppstod. I ursprungsproblemet tillåts konstruktioner upp till vad som i detta dokument klassas som grad B. Jag har inte bevisat det, men är ändå säker på att ursprungsproblemets metoder inte räcker för att skriva alla tal mellan noll och hundra med enbart fyra fyror. Målet med detta dokument är att införa nya metoder som klassificeras inom olika grader och sedan skriva alla tal mellan noll och hundra med metoder av så låg grad som möjligt. Fortfarande gäller att exakt fyra fyror skall användas. Metoderna är till stor del valda och graderade subjektivt. Dokumentet är uppbyggt enligt följande: Kapitel 2 behandlar otillåtna konstruktioner, det vill säga konstruktioner som jag inte anser lämpliga att använda av olika anledningar. I kapitel 3 presenterar jag de matematiska operatorer och funktioner jag övervägt att använda, samt motiverar varför jag valt de jag valt. I kapitel är de olika grader jag delat upp konstruktioner i angivna. Bilaga A och B tabellerar lösningar med de lägsta graderna jag hittills funnit. Jag vill belysa att det kan finnas lösningar med lägre grad än de angivna. Jag lämnar det öppet för den engagerade att utmana mig och sig själv att hitta lösningar av lägre grader. OBSERVANDUM: Du som själv är intresserad av att lösa problemet uppmanas att använda dokumentet på följande sätt: Läs först kapitel 2 och ta till Dig av innehållet. Börja därefter själv skriva lösningar från noll och uppåt med ursprungsproblemets metoder. Om, och i så fall när, Du kör fast rekommenderas Du att i första hand lämna talet och försöka Dig på ett annat. Lyckas Du vid ett senare tillfälle ändå inte lösa det kan kapitel 3 och ge Dig uppslag till lösningar. Om Du ändå inte lyckas komma på lösningen på ett tal återstår att leta upp min föreslagna lösning i Bilaga A. Tänk på att det är mångt mer tillfredställande att lösa ett problem på egen hand. 2 Otillåtna konstruktioner Endast redan definierade och erkända matematiska funktioner och operatorer får användas. Ej erkända funktioner som kvadrat(x) = x 2 är inte tillåtna. Egendefinierade funktioner är inte tillåtna. Vore så fallet skulle samtliga tal n enkelt kunna skrivas med fyra fyror enligt n = f() där f(x) = n enligt egen definition. Konstanter andra än fyror är inte tillåtna att använda. Namngivna konstanter som π 3,1159, e 2,71828 och F n (Fibonaccital nummer n) är därmed heller inte tillåtna. Vore exempelvis konstanten k tillåten att använda skulle alla tal n kunna skrivas med fyra fyror enligt k k k n = ( ) där den sista parentesen innehåller n termer. Den imaginära k k k enheten i är av liknande orsak heller inte tillåten att använda. Variabler är inte tillåtna att använda. Vore de det skulle alla tal n kunna skrivas med fyra fyror d d d enligt n = ( ) + x + x + + x där den sista parentesen innehåller n termer. dx dx dx Booleska operatorer är inte tillåtna att använda av den enkla anledningen att resultatet av dem inte är tal utan något av värdena sant och falskt. Decimalkomma är inte tillåtet att använda på annat än siffror och endast om det bildade talet har både heltals- och decimaldel. 2,2 =, och, är inte tillåtna. Det är däremot, och,. Procent och promille är inte tillåtna att använda. De båda är i det närmsta konstanter. 2 (10)

3 3 Övervägda matematiska operatorer och funktioner Ursprungsproblemets metoder de fyra räknesätten, parenteser, potenser, rötter och möjligheten att bilda talen, och med två, tre respektive fyra fyror kommer jag givetvis använda mig av. Ursprungsproblemets metoder kommer klassificeras som den lägsta graden av metoder. Undantaget är rötter, som kommer att tillhöra en snäppet högre klassad grad än övriga metoder. En konstruktion som jag tycker borde ha nämnts i ursprungsproblemet är decimalkomma. Även om jag inte ser någon solklar användning för decimala tal, graderar jag dem likvärdigt med rötter. Målet med att kika närmare på matematiska operatorer och funktioner är att finna metoder att skriva vissa tal med endast en eller två fyror. Detta är nämligen nyckeln till att kunna skriva vissa annars omöjliga (?) tal. Med en metod att skriva höga tal med få fyror kan man utan att förbruka alltför många fyror få ett utgångstal från vilket närliggande tal kan nås. Med en metod att skriva låga tal med få fyror kan man nå de tal som ligger nära denna utgångspunkt. 3.1 Rötter, komplexa tal och absolutbelopp Användandet av rötter förenklar problemet: Kvadratroten, x, är en operator som direkt kan tillämpas på alla tal x. Övriga typer av rötter, n x, använder dessutom ett tal n tal för att specificera vilken rot som skall dras. ( x är ett specialfall av n x där n = 2 inte behöver anges.) n x kan n skrivas på formen x 1 /. Det man vinner på formen n n x är att ettan i formen x 1/ inte behöver konstrueras. Den stora vinsten vid användning av kvadratroten är att talet 2 kan skrivas med en enda fyra eftersom 2 =. Att låta användandet av rötter tillhöra en högre grad anser jag vara motiverat eftersom det underlättar problemet en hel del. Användandet av rötter tillför några viktiga aspekter: För det första kan som nämndes ovan operatorn x tillämpas på alla tal x. En följd av detta är att talet 1 skulle kunna skrivas med en enda fyra som 1 = n = lim. Dras kvadratroten ur talet oändligt många gånger blir n resultatet talet 1. Den första formen (nästlade rottecken) är ett oegentligt skrivsätt för den andra formen (gränsvärdet) som innehåller både en variabel och en konstant ( ). Detta sätt att skriva talet 1 anser jag inte lämpligt att använda i samma grad som vanliga rötter kommer klassas inom. Därför kommer jag introducera formen med nästlade rottecken i en högre klassad grad. En annan viktig aspekt är komplexa tal som kan uppstå ur operationer med rötter, exempelvis = 2i. Absolutbeloppsoperatorn, x, innebär för reella tal informellt att negativa tal blir positiva och positiva tal förblir positiva. För komplexa tal är betydelsen något annorlunda: a bi = a b. Exempelvis skulle talen 5 och 13 med denna metod kunna skrivas som = + 9 = + 3i = 3 och = = i = Jag har inte lyckats skriva vare sig talet 5 eller talet 13 på detta sätt med ursprungsproblemets metoder. Andra möjliga heltal som kan bildas med denna metod är multipler av 5 och 13, och inte heller utvalda tal från denna mängd har jag lyckats skriva med ursprungsproblemets metoder. Jag är övertygad om att denna metod inte underlättar problemet och ser därför ingen anledning att använda mig av den. Jag kommer alltså inte använda mig av absolutbelopp och komplexa tal. 3.2 Logaritmer Användandet av logaritmer anser jag inte kunna göra problemet lättare. Den generella logaritmen skrivs log b a = c där b c = a. För denna logaritm behöver basen b för logaritmen anges. Det finns även två speciella logaritmer: lg a = c där 10 c = a och basen är 10, samt ln a = c där e c = a och basen är e 2, ln a och lg a är operatorer som direkt kan tillämpas på ett tal a > 0. ln a genererar irrationella tal för alla rationella tal a utom a = 1 och får därför anses ointressant. lg a ger talet 0 om a = 1, 1 om a = 10, 2 om a = 100 och 3 om a = Att med ursprungsproblemets 3 (10)

4 metoder konstruera a är i samtliga av dessa fyra angivna fall mer kostsamt vad gäller antal fyror som måste förbrukas, än att direkt konstruera det tal som lg a genererar. lg a får därmed anses vara ointressant. Ej heller kan jag hitta någon praktisk användning på den ännu mer krävande logaritmen log a. Det skulle i så fall vara att skriva talet 3 som = log 8 eller = log 6, eller talet 5 som b = log Ursprungsproblemet bjuder dock metoder som gör att talen 3 och 5 kan skrivas med lika många eller färre fyror. Därför kommer jag inte använda mig av logaritmer. 3.3 Trigonometriska funktioner Användandet av trigonometriska funktioner tillför tillsammans med ursprungsproblemets metoder enligt min uppfattning inte någon hjälp att lösa problemet. Antalet trigonometriska funktioner är ganska stort: De tre funktionerna sinus, cosinus och tangens har alla tre motsvarigheter kallade sekant, cosekant och cotangens. Dessa sex har var sin invers med tillägget arcus framför funktionens namn. Dessa tolv har i sin tur en besläktad funktion med tillägget hyperbolicus efter funktionens namn. Av dessa totalt tjugofyra funktioner anser jag endast tre vara värda att beakta. Sekant, cosekant och cotangens anser jag inte vara helt matematiskt erkända funktioner. Hyperbolicusvarianterna är definierade med konstanten e 2,71828 och genererar därför, utom i några få ointressanta undantag, irrationella tal. Arcusvarianterna genererar inte tal, utan vinklar. Exempelvis gäller att arctan(1) = 5 = 50 g = π/, där vinklarna är angivna i grader, gradienter och radianer från vänster. Arcusvarianterna anser jag endast vara tillåtna att använda om det genererade värdet är angivet i radianer eftersom radianer är det egentliga måttet på vinklar och dessutom inte måste skrivas tillsammans med någon vinkelsymbol. Eftersom radianer är irrationella tal är inte arcusvarianterna intressanta. Återstår gör sinus, cosinus och tangens. Sinus och cosinus genererar tal i intervallet [-1, 1], varav vissa är rationella och vissa kan skrivas som en kvot innehållande rötter. Tangens genererar tal i intervallet (-, ), och definieras sin ( ) ( x) tan x =. Som nämndes i början av detta avsnitt har jag inte funnit de trigonometriska cos( x) funktionerna vara till mycket hjälp, men cosinus har den mycket intressanta egenskapen cos(0) = cos(0 ) = cos(0 g ) = 1. I avsnitt 3. introducerar jag dock en operator med samma egenskap, vilket gör cosinus överflödig. Trigonometriska funktioner kommer jag inte att använda mig av. 3. Kombinatorik Kombinatoriken innehåller åtminstone en operator som är av stort värde för problemet: Fakultet. Fakulteten av ett tal n skrivs n! och definieras n! = n ( n 1)!, 0! = 1 och n 1. Talet 2 kan skrivas med en fyra enligt! = 3! = 3 2! = 3 2 1! = ! = = 2. Detta underlättar problemet, men får anses tillhöra en metod av högre grad än rötter. Jag kommer använda fakultet. Fakultet har också egenskapen 0! = 1. I avsnitt 3.6 nyttjas detta för att skriva talet 1 med en fyra. Två kombinatoriska funktioner som definieras i termer av fakultet är permutation och n! kombination. Permutation definieras enligt P( n, r) = och kombination definieras enligt ( n r)! n n! C( n, r) = =. I likhet med övriga flerställiga funktioner som tas upp i detta kapitel är r r!( n r)! det svårt att finna konstruktioner där permutation och kombination är till någon nytta, men beroende på hur jag graderar dem i förhållande till andra operatorer jag behandlar kan de ändå vara till hjälp. Semifakultet definieras som n! = n ( n 2 )!!, 1!! = 0!! = 1 och n 2. Detta tillåter att talet 8 skrivs med en fyra enligt!! = 2!! = 2 0!! = 2 1 = 8. Semifakultet är en mycket hjälpfull operator, men jag brottas med det faktum att jag är osäker på om semifakultet kan klassas som en erkänd matematisk operator eller ej. Det som gör att jag överhuvudtaget brottas med semifakultet är att operatorn till en början verkade oumbärlig för att lösa många av de högre talen. Jag använde tidigare semifakultet och klassade operatorn som den högsta graden, men har numera löst problemet utan operatorn. Lösningarna i Bilaga A är ett bevis för att semifakultet inte behövs. (10)

5 3.5 Matriser, vektorer och determinanter Eftersom högst fyra värden kan användas till följd av begränsningen till fyra fyror, blir utbudet av möjliga matriser, vektorer och determinanter mycket begränsat. En matris på formen [ a b] som c multipliceras med en matris på formen resulterar i en skalär. Skalären s räknas fram enligt d s = a c + b d och utan vidare argumentering är det visat att matriser inte tillför något till problemets lösning. Ett liknande resonemang gäller för skalärprodukten av två vektorer. a b a b Determinanten av en matris på formen skrivs och beräknas a d b c. Utan vidare c d c d argumentering är det visat att inte heller determinanter tillför något till problemets lösning. De skalärer som kan bildas med de matriser, vektorer och determinanter som kan formas kan skrivas med ursprungsproblemets metoder och därmed finns det ingen anledning att använda matriser, vektorer eller determinanter. Jag kommer alltså inte använda dessa modeller. 3.6 Derivator och integraler Derivator och integraler opererar på funktioner. Funktioner är uttryck bestående av andra funktioner, variabler och/eller konstanter. Eftersom variabler inte är tillåtna att använda kommer endast derivator och integraler som opererar på konstanter att behandlas. Den obestämda integralen för en konstant k skrivs k dx = k x + C där x är en variabel och C en godtycklig konstant. Obestämda integraler är utan argumentering inte aktuella att tillämpas. Den bestämda integralen för en konstant k skrivs k dx = k ( b a) b a. Ett uttryck med tre tal ersätts alltså med ett uttryck med samma tre tal, som dessutom går att formulera med ursprungsproblemets metoder. Bestämda integraler är utan argumentering heller inte aktuella att tillämpas. d Derivatan av en konstant k skrivs k = Dk = 0. Detta är ett mycket intressant resultat eftersom dx d det möjliggör att skriva talet 0 med en enda fyra enligt = D = 0. För att undvika en dx d diskussion om huruvida bokstaven x i notationen y är en variabel eller ej kommer jag att dx använda notationen Dy för att ange operatorn derivata. Jag kommer använda derivata i kombination med operatorn fakultet i en högt klassad grad för att kunna skriva talet 1 med en enda fyra enligt 1 = ( D)!. 3.7 Tak- och golvfunktionerna Takfunktionen definieras som n = m där, p Ζ = {..., 2, 1,0,1,2,... } m, m n, p n och p : p < m. Informellt avrundar takfunktionen ett tal uppåt till närmsta heltal. Golvfunktionen m m, p Ζ =..., 2, 1,0,1,2,..., m n, p n och p : p > m. definieras som n = där { } Informellt avrundar golvfunktionen ett tal nedåt till närmsta heltal. Med tak- och golvfunktionerna kan, i kombination med fakultet och kvadratroten, flera låga tal skrivas med en enda fyra: Till exempel 1 =, =! 5 =!. Tak- och golvfunktionerna förenklar enligt mig problemet i så hög grad att de, om de används, bör klassas som den högsta graden. Vidare tycker jag att användandet av dem indikerar att man endast nästan löst ett tal. Mina lösningar i bilaga A är dock ett bevis på att problemet är lösligt utan tillämpning av tak- och golvfunktionerna. Jag kommer därmed inte använda dessa funktioner. 3 och 5 (10)

6 Grader Grad A är vad som eftersträvas, även om grad B är tillåten i ursprungsproblemet. Anledningen till gradernas utformning och rangordning är subjektiv. Min förhoppning är Du som läsare kan hålla med om att följande tre regler motiverar vilka operatorer graderna innehåller och gradernas inbördes rangordning: 1. Ju högre grad, desto mer tveksamma matematiska funktioner och operatorer införs. 2. En högre grad möjliggör att fler tal kan skrivas. 3. Varje ny grad ger minst ytterligare ett tal som kan skrivas med endast en eller två fyror..1 Grad A Metod: De fyra räknesätten (addition, subtraktion, multiplikation och division), parenteser, potenser och möjligheten att bilda talen, och med två, tre respektive fyra fyror. Definition: Trivial. Exempel: 15 + =.2 Grad B Metod: Rötter. = och ( ) + 1 =. Definition: Roten ur ett tal x definieras som n x x 1/ n = där 0 vilket gör att talet 2 kan skrivas med en fyra enligt = 2. n. Speciellt gäller att x = 2 x, Exempel: 11 =. + (Även decimaltal med heltals- och decimaldel som båda utgörs av siffror, se kapitel 2 och 3.) (Även absolutbelopp för reella och komplexa tal, se avsnitt 3.1.).3 Grad C Metod: Fakultet. Definition: Fakultet definieras som n! = n ( n 1)!, 0! = 1 och n 1. Fakultet medför att talet 2 kan skrivas med en fyra enligt! = 3! = 3 2! = 3 2 1! = ! = = 2. Exempel: 21 = +!. (Även logaritmer, se avsnitt 3.2.) (Även de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus, tangens, arcus sinus, arcus cosinus och arcus tangens med restriktionen att den vinkel som arcus sinus, arcus cosinus och arcus tangens genererar är angiven i radianer, se avsnitt 3.3.) (Även permutation och kombination, se avsnitt 3..). Grad D Metod 1: Derivata (i kombination med fakultet). d Definition 1: För en konstant k definieras derivata som k = Dk = 0. Derivata gör att talet 0 kan dx d skrivas med en fyra enligt = D = 0. I kombination med fakultet som introducerades som dx d primär metod i grad C kan även talet 1 skrivas med en fyra enligt! = ( D )! = 1 eftersom 0! = 1. dx 6 (10)

7 Exempel 1: 1 = ( D)!. Metod 2: Oändligt många nästlade rottecken. Definition 2: Se definition för rötter i grad B (avsnitt.2). Tillägget att oändligt många nästlade rottecknen får skrivas som n =1 eftersom = lim = 1. x görs. Detta medför att talet 1 kan skrivas med en fyra enligt n Exempel 2: 1 =. Kommentar: Att skriva talet 0 med endast en fyra är något som är önskvärt endast om ett visst tal erhålls med tre fyror, eftersom det då går att addera talet 0 med den sista fyran. Men att addera med talet 0 ger samma resultat som att multiplicera med talet 1. Därför blir, i och med introduktionen av möjligheten att skriva talet 1 med en fyra, möjligheten att skriva talet 0 med en fyra överflödig. Det är möjligheten att skriva talet 1 med en enda fyra som är tyngdpunkten i grad D. Metod 1 och metod 2 kan för detta ändamål användas synonymt med varandra allt efter tycke och smak. Själv kommer jag använda metod 2 eftersom den egentligen inte introducerar någon ny operator. 5 Slutsats Jag har i Bilaga A skrivit alla tal mellan noll och hundra med exakt fyra fyror. Ursprungsproblemet tillåter användandet av de fyra räknesätten, parenteser, potenser, rötter samt möjligheten att bilda talen, och med två, tre respektive fyra fyror. Jag har utökat ursprungsproblemets metoder med andra matematiska funktioner och operatorer för att kunna skriva tal som annars inte verkar möjliga att bilda. Dessa metoder har jag graderat efter vissa subjektiva ramar, där ursprungsproblemets metoder har låg gradering. Lösningarna har jag sedan försökt skriva med metoder av så låg grad som möjligt. De metoder jag använt mig av utöver ursprungsproblemets är mycket begränsade. Jag förbjöd användandet av några metoder som i flera fall gör problemet trivialt. Vidare övervägde jag ett antal potentiella metoder, men motiverade varför de inte är nödvändiga. De som återstod var få, men fullt tillräckliga. Jag har tillåtit oändligt många nästlade rottecken, vilket egentligen kan ses som en del av ursprungsproblemets metoder eftersom rötter ingår där. Utöver det har jag endast använt operatorerna fakultet och, om än i begränsad skala, kombination. Fler metoder behövs inte för att skriva alla tal mellan noll och hundra med fyra fyror. Beviset för detta är innehållet i Bilaga A. I bilaga B är antalet lösningar inom varje grad angivna. Anmärkningsvärt är att mer än hälften av alla tal mellan noll och hundra går att skriva med ursprungsproblemets metoder. Framtida mål med dokumentet är att minska antalet tal skrivna med metoder av de högre graderna och därmed öka antalet tal skrivna med metoder av de lägre graderna. Mitt primära mål var att lösa alla tal utan att nyttja semifakultet, eftersom jag inte vet om jag själv anser semifakultet vara en helt erkänd matematisk operator. Dagen kom också då jag lyckades med detta. Vad som tidigare var grad E kunde därmed strykas och mitt primära mål var nått. Mina förhoppningar är att Du som läsare fått upp intresset för problemet och själv ger Dig i kast med att finna lösningar av lägre grader för tal av grad B, C och framförallt D. 7 (10)

8 A Tabell med lösningar 0 = 1 = + 2 = = = = + 6 = + ( ) 7 = + 8 = = = (B) 11 = + 12 = (B) 13 = + (B) 1 = = 16 = = + (B) 18 = + 19 = +! 20 = + (B) 21 = (B) 22 = ( + ) (B) + 23 = 2 = + + (B) 25 = + 26 = = +! 28 = ( + ) 29 = + +! 30 = + (B) ( ) (B) ( )! + ( + ) 31 =! 32 = + 33 =! + (B) 3 = ( + ) + 35 = +! 36 = + + ( ) +! 37 = +! (B) 38 = 39 + = +! (B) 0 = (D) 1 = (B) 2 = + 3 = = + 5 = + (B) 6 = + 7 = +! 8 = = +! (B) 50 = + + ( ) (D) 51 = + +! 52 = + +! 8 (10)

9 (D) 53 = + +! 5 = + +! 55 = 56 = + +! (D) 57 = (! + ) + 58 = + ( +! ) (D) 59 = 60 = + (D) 61 = (B) 62 = ( + )!! 63 = 6 = + + ( ) ( ) 65 = + (B) 66 = ( + ) +! 67 = 68 = +! 69 = + 70 = + +!! 71 = + 72 =!! 73 = + 7 = +! +! +!! +! 75 = 76 = ( +! ) (D) 77 = 78 = ( +! ) (D) 79 = ( +! ) 80 = ( + ) 81 = 82 = +! + ( ) (D) 83 = + (B) 8 = (D) 85 = + (B) 86 = (D) 87 = 88 = + (D) 89 = + (B) 90 = + 91 = (B) 92 = +! 93 = +! 9 = +! 95 = +! (B) 96 = ( + ) 97 = +! 98 = +! (D) 99 = + +! (B) 100 = ( + + ) 9 (10)

10 B Tabell över lösningarnas grad 0, 1, 2, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 2, 28, 32, 36, 3,, 5, 8, 52, 60, 63, 6, 65, 68, 80, 81, 88. (B) 11, 13, 1, 18, 21, 22, 23, 25, 26, 30, 3, 38, 0, 2, 6, 50, 62, 66, 8, 86, 90, 92, 96, , 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 7, 9, 5, 55, 56, 58, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 7, 75, 76, 78, 82, 91, 93, 9, 95, 97, 98. (D) 1, 51, 53, 57, 59, 61, 77, 79, 83, 85, 87, 89, tal. (B) 2 tal. 31 tal. (D) 13 tal. Not: Nio lösningar av grad C (39, 55, 67, 69, 71, 73, 75, 91 och 93) använder kombination. Samtliga av dessa har tidigare haft lösningar av grad D. C Förbättrade lösningar Sedan första utgåvan : 31 D C (Ruth Carver). 32 B A (Ruth Carver). 33 D C E C (Ruth Carver). 55 E D E D E C (Fredrik Nilsson). 59 E D E D D A (Ruth Carver). 65 D A E D D C E D D C E C (Ruth Carver). 71 E D D C E D D C (Ruth Carver). 7 E C (Ruth Carver). 77 E D C A D A (Fredrik Nilsson). 83 E D E D B A (Ruth Carver). 93 D C (Ruth Carver). 100 C B Sedan andra utgåvan : 39 D C D C D C D C (10)