Reglerteknikens grunder
|
|
- Ingeborg Lindberg
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Reglerteknikens grunder Formelsamling Bengt Lennartson
2
3 Introduktion Öppen styrning v r Styrfunktion u Styrdon System y Återkopplad reglering v r e Regulator u Styrdon System y y = processens utsignal u = styrsignal (styrfunktionens utsignal) v = processtörning (laststörning) r = referenssignal (börvärde) e = reglerfel (r y)
4 2 Linjära modeller för dynamiska system Laplacetransformen F (s) = 0 f(t)e st dt Linjär differentialekvation y (n) (t)a y (n ] (t)... a n y(t) =b 0 u (n) (t)b u (n ) (t)... b n u(t) Överföringsfunktion G(s) = b 0s n b s n... a n s b n s n a s n... a n s a n Viktfunktion (Y (s) =G(s)U(s)) y(t) = t 0 g(τ)u(t τ)dτ Tabell : Viktiga egenskaper för Laplacetransformen Superposition Derivering L{a y (t)a 2 y 2 (t)} = a Y (s)a 2 Y 2 (s) { dy } L = sy (s) y(0) dt L{y (k) } = s k Y (s) s k y(0) s k 2 y () (0)... y (k ) (0) Integration Begynnelsevärdessatsen Slutvärdessatsen Fördröjningssatsen { t L 0 } y(τ) dτ = s Y (s) lim y(t) = lim sy (s) t 0 s lim y(t) = lim sy (s) t s 0 (Förutsättning: y( ) existerar) L{y(t T )σ(t T )} = e st Y (s) Dämpningssatsen L{e at y(t)} = Y (s a) Faltningsintegralen { } t L 0 y (τ)y 2 (t τ) dτ = Y (s)y 2 (s) 2
5 Tabell 2: Vanligt förekommande Laplacetransformpar y(t) (y(t) =0 t < 0) Y (s) δ(t) σ(t) = t s s 2 e at s a t m e at (m )! (s a) m e at a s(s a) e at e bt b a (s a)(s b) t a ( a e at ) s 2 (s a) ( at)e at a 2 e at sin ωt e at cos ωt s(s a) 2 ω (s a) 2 ω 2 s a (s a) 2 ω 2 Tidsförlopp vid avvikelse från arbetspunkt För ett dynamiskt (stabilt) system Y (s) =G(s)U(s) gäller enligt slutvärdessatsen, då insignalen är konstant u(t) =u 0,att y(t) y 0 = G(0)u 0 Då insignalen avviker från denna arbetspunkt, d.v.s. då u(t) =u 0 Δu(t), blir ΔY (s) =G(s)ΔU(s) och y(t) =y 0 Δy(t) =G(0)u 0 L {G(s)ΔU(s)} 3
6 Återkopplat system v G v(s) r F (s) u G(s) y w Reglerfelet e(t) =r(t) y(t) Kretsöverföring L(s) = den öppna överföringsfunktion som erhålls då man går ett varv runt i återkopplingsslingan och multiplicerar med. För ovanstående återkopplade system blir därför L(s) =G(s)F (s) Direktkoppling = överföringsfunktionen från insignal direkt till utsignal utan hänsyn taget till återkopplingen. Överföringsfunktion för återkopplat system direktkoppling kretsöverföring I figuren ovan gäller därför att G ry (s) =G wy (s) = G ru (s) =G wu (s) = L(s) L(s) F (s) L(s) G vy (s) = G v(s) L(s) G vu (s) = G v(s)f (s) L(s) där Y (s) =G ry (s)r(s), Y (s) =G wy (s)w (s) etc, d.v.s. indexen motsvarar insignal följt av utsignal. Kvarstående felet, då referenssignalen är ett steg R(s) =r 0 /s, blir för ovanstående återkopplade system r 0 e s = lim r(t) y(t) =( G ry (0))r 0 = t L(0) Regulatorer P-regulator PI-regulator F (s) =K p ( F (s) =K p ) = K p K i T i s s 4
7 3 Tillståndsmodeller Linjär tillståndsmodell ẋ(t) =Ax(t)Bu(t) y(t) =Cx(t)Du(t) Överföringsfunktion G(s) =C(sI A) B D Poler det(si A) =0 Olinjär tillståndsmodell ẋ(t) =f(x(t),u(t)) y(t) =g(x(t),u(t)) Linjärisering Arbetspunkt (x 0,u 0,y 0 ) ẋ 0 = f(x 0,u 0 ) (oftast gäller att ẋ 0 =0) y 0 = g(x 0,u 0 ) Linjäriserad modell kring arbetspunkten Δẋ(t) = AΔx(t)BΔu(t) Δy(t) = CΔx(t)DΔu(t) där och Δx(t) =x(t) x 0, Δu(t) =u(t) u 0, Δy(t) =y(t) y 0 A = f x (x0,u 0 ) B = f u (x0,u 0 ) C = g x (x0,u 0 ) D = g u (x0,u 0 ) De partiella derivatorna har följande elementvisa tolkning f x = f. f n [ x ] = x n f x. f n x f x n. f n x n 5
8 Tillståndstransformation ξ = Tx ξ = Āξ Bu y = Cξ Du Ā = TAT, B = TB, C = CT Från överföringsfunktion till tillståndsmodell G(s) = b s n... b n s b n s n a s n... a n s a n d Styrbar kanonisk form ẋ(t) = a a 2 a n a n x(t) 0. u(t) y(t) = [b b 2 b n b n ] x(t)du(t) Observerbar kanonisk form ẋ(t) = a 0 0 a a n 0 0 x(t) a n y(t) = [ 0 0 0]x(t)du(t) b b 2. b n b n u(t) G(s) = g... g n d = s p s p n n i= g i s p i d Diagonalform ẋ(t) = p p p n 0 x(t) p n g g 2. g n g n u(t) y(t) = [ ]x(t)du(t) 6
9 Tidssvar för linjär tillståndsmodeller Lösning av tillståndsekvation för godtycklig insignal t x(t) =Φ(t t 0 )x(t 0 ) Φ(t τ)bu(τ) dτ t 0 Övergångsmatrisen Φ(t) =e At = L {(si A) } = I At A2 t 2 2! A k t k...= k! k=0 Några regler för övergångsmatrisen d Φ(t) =AΦ(t) dt Φ(0) = I Φ(t τ) =Φ(τ)Φ(t) Tillståndsuppdatering vid styckvis konstant insignal u(kh τ) =u(kh), 0 τ<h x(kh h) =A d x(kh)b d u(kh) där [ ] ([ ] ) Ad B d A B = exp h 0 I 0 0 7
10 4 Dynamiska modeller för tekniska system Första ordningens flödesprocesser ic i R u c C u Elektrisk krets med flödeskälla i och intensitetskälla u C du c dt R u c = i R u Tank med fritt utflöde (endast flödeskälla Δq) Tank med uppvärmning Blandningstank (endast intensitetskälla c in ) A Δh dt q 0 2h 0 Δh =Δq cρv dt dt (cρq λ)t = P (cρq λ)t in V dc dt qc = qc in Tabell: Analogier mellan flödesprocesser. Elektrisk krets Tank med fritt utflöde Tank med uppvärmning Blandningstank Intensitet Spänning u Höjd Δh Temperatur T Koncentration c Flöde Ström i Flöde Δq Effekt P Partikelflöde qc Upplagring Kapacitans C Area A cρv Volym V Ledningsförmåga Resistans R q 0 2h 0 cρq λ Flöde q Tidskonstant RC 2V 0 /q 0 V/q då λ=0 V/q 8
11 Andra ordningens resonanta system i L R u C Translatorisk rörelse Rotationsrörelse Elektrisk krets Fluid m dv dt bv k J dω dt Bω K L di dt Ri C t ρl dq A dt R f q ρg A T 0 t 0 t 0 vdτ = F t ωdτ = T idτ = u 0 qdτ = p Tabell: Analogier mellan resonanta system. Translation Rotation Elektrisk krets Fluid Intensitet Kraft F Vridande Spänning u Tryck p moment T Flöde Hastighet v Vinkel- Ström i Flöde q hastighet ω (flöde)dt Läge y Vinkel θ Laddning q Volym V Tröghet Massa m Tröghetsmoment J Induktans L Induktans ρl A Dämpning Dämpning b Dämpning B Resistans R Strypning R f Elasticitet Fjädring k Styvhet K Kapacitans = C Kapacitans = ρg A T 9
12 Återkopplad förstärkare Z 2 Z i A u in u g uut U ut (s) U in (s) = Z 2(s) Z (s) U ut (s) = A(s)U g (s) A (s)( Z 2 (s)/z (s)) Bernoullis ekvation v,p h v 2,p 2 h 2 p ρgh ρv2 2 = p 2 ρgh 2 ρv
13 5 Tids- och frekvensanalys Stegsvar y(t) y( ) M 2π/ω d 0. t p t 5% t t r T 63% Stigtiden t r (rise time) = tiden det tar för utsignalen y(t) att gå från 0% till 90% av dess slutvärde. Insvängningstiden t 5% = tiden då utsignalen y(t) har svängt in innanför området 0.95y( ) < y(t) <.05y( ). Utsignalen får följaktligen ej hamna utanför detta område efter tiden t 5%. Ekvivalent tidskonstant T 63% = tiden då utsignalen y(t) nått 63% av dess slutvärde Maximal relativ översläng M = t p = tiden då max(y(t)) inträffar max(y(t)) y( ) y( ) Dämpad självsvängningsfrekvens ω d =2π/T p där T p = periodtiden för den dämpade resonanssvängning som uppträder för system som har komplexkonjugerade poler.
14 Amplituddiagram G(jω) M G G(0) ω b ω p ω 3 db G(0) 2 Maxvärde eller resonanstopp M G =max ω G(jω) Resonansfrekvens ω p = den frekvens vid vilken resonanstoppen inträffar. Bandbredd ω b = den frekvens vid vilken amplituden sjunkit ner en faktor / 2 jämfört med lågfrekvensförstärkningen G(j0), d.v.s. G(jω b ) G(j0) = 2 = 3 db Första ordningens system Stegsvar G(s) = K st y(t) =K( e t/t ) y K 0.63K T t Stigtid Insvängningstid Ekvivalent tidskonstant Bandbredd t r =2.20T t 5% =3.00T T 63% = T ω b =/T 2
15 Andra ordningens system med reella poler G(s) = K ( Ts)( αt s) Im.5 y/k /αt /T Re 0.5 α= t 6 Stigtid Insvängningstid Ekvivalent tidskonstant t r (2.2α)T t 5% (3.0.6α)T T 63% (.α)t 3
16 Andra ordningens system med komplexkonjugerade poler G(s) = Kω 2 n s 2 2ζω n s ω 2 n = K 2ζs/ω n (s/ω n ) 2 Poler Stegsvar s = a ± jω d där { a = ζωn ω d = ω n ζ 2 y(t) =K( e at ζ 2 sin(ω dt ϕ)) där ϕ = arccos(ζ) ω n Im ω d = ω n ζ 2 y/k 2.5 ζ = ϕ a = ζω n ζ =cosϕ Re ω nt Stigtid t r ( 0.3ζ 2ζ 2 )/ω n Insvängningstid t 5% 3 a ζ 0.9 Max relativ översläng M = e πa/ωd = e πζ/ ζ 2 Bandbredd ω b /ω n = Resonansfrekvens ω p = Resonanstopp M G = 2ζ 2 ( 2ζ 2 ) ζ då 0.4 ζ { ωn 2ζ 2 0 ζ</ 2 0 ζ / 2 2ζ 0 <ζ< ζ 2 2 ζ 2 4
17 Bodediagram decibel (db) = 20 log 0 G(jω) oktav = frekvenskvot :2 eller 2: dekad = frekvenskvot :0 eller 0: lutning [±m] = ±m 20 db/dekad brytfrekvens ω i = skärningspunkt för asymptoter Typiska värden i decibel G G db G G db / /.25 0 Bodediagram för första ordningens process G(s) = s/ω Korrektion av beloppskurvan jämfört med asymptoten ω ω /4 ω /2 ω 2ω 4ω Korrektion Korrektion db 0.2 db.0 db 3 db.0 db 0.2 db Fasvridning ω ω /4 ω /2 ω 2ω 4ω G(jω)
18 G Lågfrekvensasymptot [0] Högfrekvens asymptot G 0 [ ] ω/ω Figur: Bodediagram, inklusive låg- och högfrekvensasymptoterna, för överföringsfunktionen G(s) =. Belopp heldragen linje, fasvridning streckad linje. En ruta motsvarar 4 db s/ω och 20. Bodediagram för andra ordningens resonant process G(s) = 2ζs/ω (s/ω ) 2 G ζ = ζ = [ 2] 0 G ω/ω Figur: Bodediagram inklusive asymptoter för överföringsfunktionen G(s) =. Belopp heldragen linje, fasvridning streckad linje. En ruta motsvarar 2 db och 0 2ζs/ω (s/ω ) 2. 6
19 G(jω) = (ω/ω ) 2 2ζjω/ω = ( (ω/ω ) 2 ) 2 (2ζω/ω ) 2 r G(jω)= arccos (ω/ω ) 2 r Bodediagram för dödtidsprocess G(jω) = G(s) =e s/ω G(jω)= 80 ω πω ω ω /4 ω /2 ω 2ω 4ω G(jω) G G ω/ω Figur: Bodediagram för överföringsfunktionen G(s) =e s/ω. Belopp heldragen linje, fasvridning streckad linje. En ruta motsvarar 20. Padéapproximation av n:te ordningen G (s) = 2 st d 2sT d e st d G n (s) G 2 (s) = 2 6sT d (st d ) 2 2 6sT d (st d ) 2 G 3 (s) = 20 60sT d 2(sT d ) 2 (st d ) sT d 2(sT d ) 2 (st d ) 3 G 4 (s) = sT d 80(sT d ) 2 20(sT d ) 3 (st d ) sT d 80(sT d ) 2 20(sT d ) 3 (st d ) 4 7
20 Enligt följande tabell avviker :a, 2:a, 3:e och 4:e ordningens Padéapproximation från dödtidsprocessen mindre än en grad för fasvridningar ner till 35, 00, 75 respektive 260. e jωt d = ωt d 80 /π G (jωt d ) G 2 (jωt d ) G 3 (jωt d ) G 4 (jωt d )
21 6 Stabilitet och stabilitetsmarginaler Stabilt system då samtliga rötter till karakteristiska ekvationen a 0 s n a s n a 2 s n 2 a 3 s n 3...=0 ligger i vänstra halvplanet. För en överföringsfunktion motsvarar rötterna till karakteristiska ekvationen systemets poler. Routh-Hurwitz stabilitetskriterium Koefficienterna i ovanstående ekvation införs i följande tablå: där s n a 0 a 2 a 4 a 6... s n a a 3 a 5 a 7... s n 2 c 0 c c 2... s n 3 d 0 d d s 0 c 0 = a a 2 a 3 a 0 a c = a a 4 a 5 a 0 a d 0 = c 0a 3 c a c 0 etc Observera mönstret för de korsvisa produkterna: Tomrum längst till höger i tablån fylls ut med nollor. Koefficienter genereras tills man får n rader i tablåns första kolumn. Stabilitetsvillkor: (förutsatt a 0 > 0) Nödvändigt men ej tillräckligt stabilitetsvillkor: Alla koefficienterna i karaktäristiska ekvationen är strikt positiva. Nödvändigt och tillräckligt stabilitetsvillkor: Alla koefficienterna i tablåns första kolumn (a 0,a,c 0,...) är strikt positiva. 9
22 Stabilitet för återkopplade system L(s) Kretsöverföringen L(s) = överföringsfunktionen då man går ett varv runt i återkopplingsslingan och multiplicerar med, se ovanstående figur. Karakteristisk ekvation för ett återkopplat system med kretsöverföring L(s) L(s) Då L(s) =B L (s)/a L (s) blir karakteristiska ekvationen Nyquistkriteriet A L (s)b L (s) =0 Nyquist kontur i s-planet samt avbildning av Nyquists kontur i L(s)- planet. Pol i origo för L(s) jω L(s) ω =0 ImL σ ω = ReL ω ω =0 Stabilitetsvillkor: Z = P N =0 ger ett stabilt återkopplat system Z = antalet nollställen i högra halvplanet för L(s) P = antalet poler i högra halvplanet för L(s) N = antalet varv i medurs riktning som L(s)-kurvan omsluter punkten (, 0) 20
23 Nyquists förenklade kriterium Då kretsöverföringen L(s) inte har några poler i högra halvplanet är det återkopplade systemet stabilt om man går utefter kurvan L(jω) från ω =0till ω = och finner att punkten (, 0) hamnar till vänster om kurvan. Plotten L(jω) från ω =0till ω = kallas för ett förenklat Nyquistdiagram. Fas- och amplitudmarginaler L L ω c 0 o /A m ω π ϕ m 90 o 0. ϕ m 80 o ω (rad/s) 0 ω c ω π A m Fasmarginal Amplitudmarginal Minimal amplitudmarginal ϕ m = L(jω c ) ( 80 ) > 0 där L(jω c ) = A m = A min = L(jω π ) > där L(jω π)= 80 L(jω π ) < där L(jω π)= 80 Maximal amplitudmarginal A max = A m 2
24 Maximala känslighetsfunktioner M T =.3 M S =.7 Känslighetsfunktion Komplementär känslighetsfunktion S(s) = L(s) T (s) = S(s) = L(s) L(s) M S =max S(jω) och M T =max T (jω) ω ω innebär att kretsöverföringen inte passerar innanför en cirkel med medelpunkt i (, 0) och radie /M S, medan måttet M T motsvarar resonanstoppen för T (s). min(m S,M T ) 2sin ϕ m 2 M S A m A m ϕ m 2 arcsin 2min(M S,M T ) A m M S M S 22
25 Relation mellan kretsöverföring och återkopplat system Då kretsöverföringen L(s) = ω 2 n s(s 2ζω n ) där 0 <ζ blir överföringsfunktionen G ry (s) för motsvarande återkopplade system G ry (s) = L(s) L(s) = ω 2 n s 2 2ζω n s ω 2 n Överkorsningsfrekvensen och motsvarande fasmarginal för L(s) blir då ω c = ω n 4ζ 4 2ζ 2 ϕ m =90 arctan ω c 2ζ = arctan 2ζω 4ζ n 4 2ζ 2 vilket resulterar i följande bandbredd ω b, stigtid t r och relativ översväng M för det återkopplade systemet G ry (s) ω b.6 ω c t r.25/ω c M(%) 70 ϕ m För godtyckliga processmodeller gäller inte denna precision, men följande approximationer där endast en värdesiffra ingår är relativt allmängiltiga ω b 2 ω c t r /ω c 23
26 7 Principer för dimensionering av regulatorer I: Prestanda v G v(s) r F (s) u G(s) y w Känslighetsfunktioner Kretsöverföring Känslighetsfunktion S(s) = L(s) =G(s)F (s) L(s) = G re(s) Relation mellan öppen styrning och återkopplad reglering Y ol (s) =G v (s)v (s) Y cl (s) =S(s)G v (s)v (s) innebär att Y cl (s) =S(s)Y ol (s) Komplementär känslighetsfunktion Störkänslighetsfunktion Styrkänslighetsfunktion T (s) = S(s) = G v (s)s(s) = F (s)s(s) = L(s) L(s) G v(s) L(s) F (s) L(s) = T (s) G(s) Återkopplat system Y (s) =G ry (s)r(s)g vy (s)v (s)g wy (s)w (s) = T (s)r(s)g v (s)s(s)v (s)t (s)w (s) U(s) =G ru (s)r(s)g vu (s)v (s)g wu (s)w (s) = F (s)s(s)r(s) F (s)s(s)g v (s)v (s)f (s)s(s)w (s) 24
27 Prestandakriterier Antag att regulatorn innehåller integralverkan, d.v.s. att F (s) K i då s = jω 0 s Prestandakriterium för kompensering av stegstörning V (s) =v 0 /s alternativt lågfrekvent störning J v = K i = v 0 0 y(t) dt G(0) G v (0) = lim ω 0 jω G vy(jω) G(0) G v (0) Alternativa generella prestandakriterier vid processtörningar respektive referenssignalvariationer Styrsignalkriterier J vmax =max ω J rmax =max ω Regulatorns högfrekvensbeteende F (s) = K s p m... s p... ω G vy(jω) =max ω ω G v(jω)s(jω) ω G re(jω) =max ω ω S(jω) K s m då s = jω Styrsignalkriterium vid referenssignalsteg R(s) =r 0 /s för m =0 Alternativt generellt styrsignalkriterium J umax =max ω J u = K = u(0) r 0 G wu(jω) =max ω G ru(jω) =max F (jω)s(jω) ω Då maximum inträffar när ω (gäller endast för m =0) gäller att J umax = J u = K. Tumregel för ekonomisk gräns på styrsignalaktiviteten Dimensioneringsstrategi J umax G(0) 5 20 Minimera med avseende på regulatorns inställningsparametrar lämpligt prestationsmått J v, J vmax, J rmax eller ω b med bivillkor på stabilitetsmarginaler och styrsignalaktivitet M S.7, M T.3 alternativt ϕ m 45, A m 2.5 J umax c u G(0) alternativt för m =0 J u c u G(0) där konstanten c u =
28 Kvarstående fel och den interna modellprincipen Kvarstående fel efter signalen R(s) =B r (s)/a r (s) (A r (s) har rötter på imaginäraxeln) undviks då polynomet A r (s) ingår i kretsöverföringens nämnare, d.v.s. då L(s) = L(s)/A r (s) Kvarstående fel efter processtörningen V (s) =B v (s)/a v (s) (A v (s) har rötter på imaginäraxeln) undviks då polynomet A v (s) ingår i regulatorns nämnare, d.v.s. då F (s) = F (s)/a v (s) Stegsignaler, R(s) =/s alternativt V (s) =/s, kräver därför integralverkan (faktorn /s) i L(s) respektive F (s) för att undvika kvarstående fel. 26
29 8 Dimensionering av PID-regulatorer Dimensionering baserat på önskad fasmarginal Villkoren L(jω c ) = och L(jω c )= 80 ϕ m där önskad överkorsningsfrekvens ω c och fasmarginal ϕ m antas givna, ger följande krav på regulatorn F (jω c ) = G(jω c ) F (jω c )= 80 ϕ m G(jω c ) PI-regulator Bodediagram för PI-regulatorn ( F PI (s) =K p ) T i s = K i T i s s där K i = K p T i F PI F PI K i s K p /T i 0 o 90 o ω (rad/s) Givet önskad fasmarginal och överkorsningsfrekvens följer att (se också figur på nästa sida) T i = K i = ω c tan( F PI (jω c )) ω c G(jω c ) (ω c T i ) 2 Som en första rekommendation vid val av fasmarginal och överkorsningsfrekvens föreslås ϕ m =50 ω c =0.4ω G50 där ω G50 är den frekvens för vilken processens överföringsfunktion har fasvridningen G(jω G50 )=
30 T iω c F PI(jω c) K i G(jω c) /ω c F PI(jω c) PD-regulator F PD (s) =K p ( T ds T f s )=K sτ d p sτ d /b b> Bodediagram för PD-regulatorn F PD F PD bk p bkp K p /τ d b/τd b/τ d ϕ max ω (rad/s) 0 o 28
31 Då PD-regulatorns maximala faslyft ϕ max placeras vid önskad överkorsningsfrekvens ω c gäller att b = sinϕ max sin ϕ max τ d = b/ω c b ϕ max Förstärkningen K p bestäms så att G(jω c ) F PD (jω c ) = G(jω c ) bk p =, vilket innebär att K p = G(jω c ) b PID-regulator ( F PID (s) =K p T i s T ) ds 2ζsτ (sτ) 2 = K i T f s s( sτ/β) Den första formuleringen används normalt vid realisering, medan den andra utnyttjas vid dimensionering. Följande samband råder T f = τ β T i =2ζτ T f T d = τ 2 T i T f K p = K i T i Givet önskad fasmarginal ϕ m, överkorsningsfrekvens ω c, parametern β samt ζ =bestäms τ enligt den första figuren på nästa sida, medan den andra ger K. Eftersom högfrekvensförstärkningen K = F PID ( ) = K i τβ bestäms till sist K i. Som en första rekommendation föreslås ϕ m =50 ω c =0.6ω G50 β =0 29
32 ω cτ β = F PID(jω c) K G(jω c) β = F PID(jω c) 30
33 Inställningsregler för stabila processer med reella poler Kappatalet κ 80 = G(jω G80) G(0) där G(jω G80 )= 80 Inställningsregler då κ Notera att β = K /(τk i ) för PID-regulatorn. K i G(0) ω G80 τω G80 ζ K G(0) PI κ κ 80 PID κ κ κ κ 80 Alternativ bestämning av τ via stegsvar vid PID-reglering τ = T 63% /3 Eventuell dödtid ingår i T 63%. Detta samband gäller oberoende av κ 80, möjligen med en mindre justering nedåt för processer med mycket enkel dynamik (κ 80 < 0.). För en första ordningens process med kort dödtid föreslås i stället τ = T 63% /5. Modifierade inställningsregler för processer med enkel dynamik (litet kappatal) Modifierat kappatal κ 35 = G(jω G35) G(0) där G(jω G35 )= 35 Inställningsregler då κ 80 < 0. eller ej existerar. Iakttag att β = K /(τk i ) för PID-regulatorn. K i G(0) ω G35 τω G35 ζ K G(0) PI κ κ 35 PID κ κ κ min(4 0.5 κ 35, 25) Ziegler-Nichols parameterval K p G(jω G35 ) T i ω G80 T i T d T d T f PI π PID 0.6 π 4 0 3
34 Experimentell bestämning av regulatorparametrar. PID-regulatorn ställs in som en P-regulator (T i =,T d =0). 2. Förstärkningen K p höjs tills stabilitetsgränsen uppnås. 3. Med hjälp av den erhållna förstärkningen vid självsvängning, K p = K 0, och periodtiden T 0 erhålls G(jω G80 ) = K 0 ω G80 = 2π T 0 4. Processens statiska förstärkning bestäms som G(0) = Δy/Δu, där Δu är insignaländringen från en konstant nivå u 0 till en annan nivå u 0 Δu, och Δy är den resulterande konstanta utsignaländringen efter att eventuella transienter klingat av. Självsvängning med hjälp av relä Återkopplat reglersystem där en reläfunktion med amplituden d åstadkommer en begränsad självsvängning y(t) =a sin(ω G80 t) e(t)= y(t) u(t) G(s) y(t)=a sin(ω G80t) Genom att fourierserieutveckla reläets utsignal (fyrkantvåg), och endast beakta fourierseriens grundkomponent, kan reläet uppfattas som en förstärkning K 0 =4d/(πa), vilket ger G(jω G80 ) = πa 4d 32
35 Kontinuerlig PID-regulator baserat på operationsförstärkare F PID (s) =K p ( T i s T ) ds = K p K i T f s s K ds T f s U(s) = R R U (s) R ( R U R2 2(s) = /R C sr ) 4C 2 E(s) R s sr 3 C 2 Realisering med hjälp av operationsförstärkare, där proportionalförstärkningen K p = R 2 /R, integralförstärkningen K i =/R C, deriveringsförstärkningen K d = R 4 C 2 och filtertidskonstanten T f = R 3 C 2. PI-del R 2 C R R Teckenskift R D-del R 4 Summator e R 3 C 2 R u 33
36 9 Principer för dimensionering av regulatorer II: Robusthet Osäkerhetsmodeller Additiv osäkerhet Multiplikativ osäkerhet Δ a G(s) =G 0 (s) G(s) Δ G (s) = G 0(s) G(s) G(s) Robust stabilitet Nyquistdiagram där L(jω) är den nominella kretsöverföringen och L 0 (jω) den verkliga kretsöverföringen Im L - Re L 0 L L(jω) L 0(jω) Ett stabilt återkopplat system garanteras då den multiplikativa osäkerheten Δ G (jω) uppfyller följande villkor relaterat till den nominella komplementära känslighetsfunktionen T (s). T (jω) < Δ G (jω) ω Robust prestanda Δ T (s) = T 0(s) T (s) T (s) Antag enhetsåterföring (u = F (r y)) och multiplicera täljare och nämnare med R(s). Resultatet blir Δ T (s) = Y 0(s) Y (s) Y (s) Robust prestanda innebär att Δ T (s) =S 0 (s)δ G (s) = L 0 (s) Δ G(s) 34
37 Fundamentala begränsningar för återkopplade system Bodes integralsats då L(s) ej har poler i högra halvplanet och dess belopp avtar med minst /ω 2 då ω ln S(jω) dω =0 0 Övre gräns för överkorsningsfrekvensen ω c för processer med transportfördröjning T d ω c T d Positivt icke-minimumfasnollställe z i kretsöverföringen begränsar, med rimliga krav på M S (exempelvis M S.7), överkorsningsfrekvensen ω c och integralförstärkningen K i approximativt till ω c 0.5z K i 0.5z G(0) En instabil pol p i kretsöverföringen begränsar, med rimliga krav på framförallt M T,överkorsningsfrekvensen ω c approximativt till ω c 2p 35
38 0 Alternativa designprinciper och regulatorstrukturer Inre återföring Reglerobjekt r K p u z Ḡ(s) s y K d Eftersom vi i denna regulatorstruktur har flera utsignaler (y och z) är inte längre kretsöverföringen ett entydigt begrepp. En uppbrytning av återkopplingsslingan vid utsignalen y ger kretsöverföringen Ḡ(s) K p L y (s) = Ḡ(s)K d s medan en uppbrytning vid styrsignalen u ger Framkoppling L u (s) =(K p K d s)ḡ(s)/s Regulator v F f G v r u ff u u fb F G u y G y Då man bortser från återkopplingen (F u =0), gäller att Framkopplings-styrlagen förutsätter att Y (s) = G y (s)(g u (s)u(s)g v (s)v (s)) = ( G y (s)g u (s) U(s) G ) v(s) G u (s) V (s) U(s) =F f (s)v (s) där F f (s) = G v(s) G u (s) 36
39 . framkopplingslänken F f (s) går att realisera, d.v.s. att inversen av G u (s) är stabil och att nämnarens gradtal för G u (s) är högre eller lika med täljarens gradtal. Det första kravet innebär att nollställena till G u (s) måste ligga i vänstra halvplanet (stabila nollställen). 2. överföringsfunktionerna, d.v.s. modellen, stämmer med det verkliga systemet. Dödtidskompensering Reglerad process Ḡ(s)e st d Otto-Smith-regulatorn F (s) F (s) = ( e st d ) Ḡ(s) F (s) resulterar med L(s) =Ḡ(s) F (s) i kretsöverföringen L(s) = L(s)e st d L(s)( e st d ) Inversen av ett system Stabil överföringsfunktion, där nollställena med positiv realdel är samlade i polynomet B (s) (därav plustecknet), medan de återstående nollställena representeras av polynomet B (s), d.v.s. Polöverskott för G(s) =B(s)/A(s) Realiserbar approximativ invers där polynomet G(s) = B (s)b (s) A(s) p G = grad A(s) grad B(s) G (s, m, τ) = A(s) B ( s)b (s)a m (s, τ) A m (s, τ) =(τs)( ατs)...( α m τs) och m p G = grad A(s) grad B(s). Eftersom G(jω)G (jω,m,τ) =/ A m (jω,τ), väljs τ (och α) såatt/ A m (jω,τ) gäller upp till en rimlig bandbredd ω b. För en multipelpol (α =) av ordning m är τ = 2 ω /m b 37
40 Generell processmodell och regulatorstruktur v G v r r f Fr F u u G u G y y F y w Regulator Process Kretsöverföring L(s) =G y (s)g u (s)f u (s)f y (s) Överföringsfunktionerna från den filtrerade referenssignalen r f till y och u G rf y(s) = G y(s)g u (s)f u (s) L(s) G rf u(s) = F u(s) L(s) Referenssignalfiltret väljs som den approximativa inversen till G rf y(s), d.v.s. F r (s) =G r f y(s, m, τ) se avsnittet Approximativ invers på föregående sida. Här är m p Grf y (polöverskottet för G rf y(s)), och τ väljs så att önskad bandbredd från r till y erhålls. Detta innebär att G ry (s) =F r (s)g rf y(s) =G r f y(s, m, τ)g rf y(s) vilket innebär att G ry (s) upp till den eftersökta bandbredden. Enkel referenssignalhantering vid PID-reglering ( U(s) =K p ( T ds T f s )( br(s) Y m(s)) ) T i s (R(s) Y m(s)) Då b =återfås vanlig enhetsåterföring, medan b =0medför att endast den integrerade referenssignalen påverkar styrsignalen. PID-regulator med lågpassfiltrering PID-regulator med ett andra ordningens filter F PIDf (s) = K i s 2ζsτ (sτ) 2 2ζ f sτ/β (sτ/β) 2. Dimensionera först en vanlig PID-regulator F PID (s), se sid Ersätt F PID (s) med F PIDf (s) där samtliga parametervärden kopieras och där ζ f = Integralförstärkningen K i justeras sedan något så att kraven på M S och M T fortfarande uppfylls. 38
41 Dimensionering av regulatorer på tillståndsform Styrbarhet Styrbarheten för en tillståndsmodell (A, B, C, D) kan undersökas genom att bilda styrbarhetsmatrisen S =[B AB A n B ] Tillståndsmodellen är styrbar då rang S = n Då antalet insignaler är ett (n u =) motsvaras detta krav av att det S 0. Observerbarhet Observerbarheten för en tillståndsmodell (A, B, C, D) kan undersökas genom att bilda observerbarhetsmatrisen C CA Tillståndsmodellen är observerbar då O =. CA n rang O = n Då antalet utsignaler är ett (n y =) motsvaras detta krav av att det O 0. Tillståndsåterkoppling. Formulera systemet som ska regleras på tillståndsform. Om möjligt se till att tillståndsvariablerna har en direkt fysikalisk motsvarighet, eftersom man då oftare kan mäta samtliga tillståndsstorheter och därför kan genomföra tillståndsåterkoppling. Alternativt introduceras en observatör, om inte alla tillstånd är mätbara, se nästa avsnitt. 2. Kontrollera systemets styrbarhet, eftersom ett grundläggande krav för att erhålla önskad polplacering är att systemet är styrbart. 3. Bestäm den önskade karakteristiska ekvationen α c (s) =0för det återkopplade systemet. För enklare system väljs förslagsvis väl dämpade komplexkonjugerade polpar. Redan väl placerade poler för systemet kan man också välja att ej flytta på, d.v.s. låta dessa poler ingå i α c (s). Val av poler med hjälp optimering är ett kraftfullt och enkelt alternativ. 4. Identifiera koefficienterna l,...,l n i radvektorn L u så att 5. Bestäm överföringsfunktionen från r till y det(si A BL u )=α c (s) G ry (s) =C(sI A BL u ) BK r och välj K r så att G ry (0) =, d.v.s. så att denna överföringsfunktions lågfrekvensförstärkning blir ett. 39
42 6. Studera lämpliga överföringsfunktioner för det återkopplade systemet ẋ(t) = (A BL u )x(t)bk r r(t)b v v(t) y(t) = Cx(t) u(t) = L u x(t)k r r(t) i tids- och frekvensplanet för att kontrollera att önskade egenskaper erhålls. Notera också speciellt kretsöverföringen L(s) =L u (si A) B och tillhörande känslighetsfunktioner S(s) och T (s). Tillståndsskattning En observatör ˆx(t) =Aˆx(t)Bu(t)K y (y m (t) C ˆx(t)) erhålls enligt följande steg:. Kontrollera att systemet givet på tillståndsform (A, B, C) är observerbart, eftersom det krävs för att åstadkomma en observatör med godtycklig polplacering. 2. Bestäm den önskade karakteristiska ekvationen α o (s) =0för observatören. För enklare system väljs förslagsvis väl dämpade komplexkonjugerade polpar. I kombination med tillståndsåterkoppling (se nästa avsnitt) bör observatörens dynamik vara något snabbare (längre avstånd från imaginäraxeln) än motsvarande dynamik för tillståndsåterkopplingen. Mätstörningar begränsar dock snabbheten hos observatören. Val av poler med hjälp optimering är ett enkelt alternativ, där hänsyn tas till mätstörningens omfattning i förhållande till processtörningens storlek. 3. Identifiera koefficienterna k,...,k n i kolonnvektorn K y så att det(si A K y C)=α 0 (s) 4. Studera skattningsfelet x(t) =(A K y C) x(t)b v v(t)k y w(t) speciellt den transienta insvängningen i tidsplanet då x(0) 0, samt störningarnas inverkan i frekvensplanet, för att kontrollera att önskade egenskaper erhålls. Tillståndsåterkoppling från skattade tillstånd Tillståndsåterkoppling från skattade tillstånd med hjälp av observatör erhålls enligt följande steg:. Beräkna tillståndsåterkopplingsvektorn L u, och vid autonom observatör även förstärkningen K r. 2. Beräkna observatörens förstärkningsvektor K y. 40
43 3. Regulatorn ges av tillståndsmodellen ˆx(t) = (A BL u K y C)ˆx(t) K y y m (t)(bk r K rˆx )r(t) u(t) = L uˆx(t)k r r(t) Speciellt noteras regulatorns överföringsfunktion från den mätta utsignalen y m, som är U(s) = F (s)y m (s) = L u (si A BL u K y C) K y Y m (s) 4. Slutna systemets överföringsfunktion från r till y vid autonom observatör (K rˆx =0)blir G ry (s) =C(sI A BL u ) BK r I övrigt utnyttjas F (s) för att bestämma kretsöverföringen L(s) = G(s)F (s), känslighetsfunktionen S(s) =/( L(s)) etc. på samma sätt som vid analys av reglersystem givna på överföringsfunktionsform. 4
44 2 Tidsdiskreta regulatorer Tidsdiskreta modeller Differensekvation (h = samplingsintervallets längd) y(kh)a y(kh h) a n y(kh nh) = b 0 u(kh)b u(kh h) b n u(kh nh) Z-transformen för en tidsdiskret signal y(kh), k =0,, 2,... Exponentialsignal Tidsförskjutning Överföringsfunktion Tidsdiskret tillståndsmodell Z{y(kh)} = Y (z) = Z{e akh } = y(kh)z k k=0 e ah z = z z e ah Z{y(kh lh)} = z l Y (z) G d (z) = Y (z) U(z) = b 0 b z b n z n a z a n z n x(khh) =A d x(kh)b d u(kh) y(kh) =C d x(kh)d d u(kh) Överföringsfunktion för en tidsdiskret tillståndsmodell G d (z) =C d (zi A d ) B d D d Relation mellan tidskontinuerliga och tidsdiskreta poler z = e sh Avbildning av komplexkonjugerat polpar s = ζω n ± jω n ζ 2 på z-planet för olika värden på ζ och ω n h: Im ζ = ω nh= Re 42
45 Diskretisering vid styckvis konstant insignal Styckvis konstant insignal Integralprocess Första ordningens process u(t) =u(kh) G(s) = s kh t<kh h G d (z) = hz z G(s) = a s a G d (z) = ( e ah )z e ah z Överföringsfunktioner med reella icke-multipla poler kan alltid partialbråksuppdelas så att de får formen av en summa av första ordningens delsystem G(s) =b 0 n i= b i s a i som var och en diskretiseras enligt ovan. En tidsdiskret motsvarighet till den tidskontinuerliga PID-regulatorn ges av överföringsfunktionen F (s) =K p K i s K ds T f s hz F d (z) =K p K i z K d z e h/t f z En tidskontinuerlig tillståndsmodell (A, B, C, D) motsvaras av en tidsdiskret tillståndsmodell (A d,b d,c,d), där [ ] ([ ] ) Ad B d A B = exp h 0 I m 0 0 Systemidentifiering T f Med parametervektorn och mätvektorn θ T =[a a na b b nb ] ϕ T (kh) =[ y(kh h) y(kh n a h) u(kh h) u(kh n b h)] kan differensekvationen y(kh)a y(kh h) a na y(kh n a h)=b u(kh h) b nb u(kh n b h)ε(kh) formuleras som y(kh) =ϕ T (kh)θ ε(kh) där ε(kh) representerar modellfelet som uppstår då denna modell inte lyckas beskriva det verkliga sambandet mellan insignalen u och utsignalen y på ett perfekt sätt. 43
46 Minsta kvadratmetoden innebär att kriteriet J(θ) = 2 N ε 2 (kh) minimeras med avseende på θ. Den optimala lösningen ˆθ ges av normalekvationen ( N ) N ϕ(kh)ϕ T (kh) ˆθ = ϕ(kh)y(kh) k= k= Summan till vänster om ˆθ är en kvadratisk matris av dimensionen (n a n b,n a n b ), medan summan till höger är en vektor med (n a n b ) rader. Frekvensanalys Frekvensfunktionen G d (e jωh ) erhålls genom att ersätta z med e jωh i motsvarande överföringsfunktion G d (z). Den tidsdiskreta frekvensfunktionen (n = heltal) är periodisk, eftersom k= G d (e j(ωn 2π h )h )=G d (e jωh e jn2π )=G d (e jωh ) Lågfrekvensasymptoten blir lim ω 0 G d(e jωh )=G d () Stabilitet En tidsdiskret överföringsfunktion är stabil då polerna hamnar innanför denna cirkel, d.v.s. då samtliga poler z i uppfyller villkoret z i <. Tidsdiskret återkopplat system v G vd (z) r F d (z) u G d (z) y m y w Process Regulator Kretsöverföring Y (z) =G d (z)u(z)g vd (z)v (z) U(z) =F d (z)(r(z)w (z) Y (z)) L d (z) =G d (z)f d (z) 44
47 Känslighets- och komplementär känslighetsfunktion S d (z) = L d (z) T d (z) = L d(z) L d (z) De maximala beloppen för S d (e jωh ) och T d (e jωh ) ger stabilitetsmarginalmåtten M S och M T, där det minsta avståndet mellan kretsöverföringen och punkten (, 0) i Nyquistdiagrammet är /M S. Approximativ försämring av fasmarginalen vid tidsdiskret reglering jämfört med tidskontinuerlig reglering Δˆϕ m = 80 ω s /ω c där ω c är amplitudkurvans överkorsningsfrekvens ( L(jω c ) =) och samplingsfrekvensen ω s = 2π/h. Kompensering av processtörningar Styrsignalens känslighet för mätstörningar Val av samplingsintervall G vyd (z) =G vd (z)s d (z) = G wud (z) =F d (z)s d (z) = Välj samplingsfrekvensen ω s =2π/h så att G vd(z) L d (z) F d(z) L d (z) ω s ω b = 2π ω b h = N N =20 50 där ω b är det återkopplade systemets bandbredd för den komplementära känslighetsfunktionen T d (e jωh ). Polplacering Process Regulator G d (z) = B(z) A(z) = b z b nb z nb a z a na z na F d (z) = D(z) C(z) = d 0 d z d nd z nd c z c nc z nc Kretsöverföringen blir då L d (z)=b(z)d(z)/(a(z)c(z)). Med antagande om enhetsåterföring fås följande överföringsfunktioner för det återkopplade systemet G ryd (z) = L d(z) L d (z) = B(z)D(z) P (z) G vyd (z) = G d(z) L d (z) = B(z)C(z) P (z) där polynomet P (z) uppfyller polynomidentiteten P (z) =A(z)C(z)B(z)D(z) 45
48 Önskad polplacering, exempelvis som en multipelpol av ordning m i z = p, innebär att P (z) =( pz ) m Polynomidentiteten bestämmer C(z) och D(z), där gradtalen nc = nb nd = na Gradtalet räknat i z för polynomet P (z) får då inte överstiga na nb. Integralverkan fås då C(z) =( z )C (z) vilket ger polynomidentiteten P (z) =A (z)c (z)b(z)d(z) där A (z) =A(z)( z ). Gradtalen blir då nc = nb och nd = na. Aliaseffekten En högfrekvent signal med frekvensen ω>ω s /2=π/h uppfattas efter sampling som en långsammare svängning med frekvensen ω 0 ω s /2. Mera exakt gäller för n =0,, 2,...att { ω nωs nω s ω (n/2)ω s Antialias-filter ω 0 = (n)ω s ω (n/2)ω s ω (n)ω s Aliasfenomenet undviks då ett antialias-filter filtrerar bort frekvenser ω högre än Nyquistfrekvensen ω N = ω s /2. Ett andra ordningens analogt lågpassfilter med överföringsfunktionen G LP (s, ζ, ω f )= ω 2 f s 2 2ζω f s ω 2 f bestäms av dämpningen ζ och brytfrekvensen ω f. Antialias-filter med Butterworth-karakteristik av andra, fjärde och sjätte ordningen med bandbredden ω bf erhålls med följande seriekopplade kombinationer av andra ordningens lågpassfilter G 2 f (s) =G LP (s, 0.7,ω bf ) G 4 f (s) =G LP (s, 0.38,ω bf )G LP (s, 0.92,ω bf ) G 6 f (s) =G LP (s, 0.26,ω bf )G LP (s, 0.7,ω bf )G LP (s, 0.97,ω bf ) För ett n:te ordningens Butterworth-filter (n =2, 4, 6) blir högfrekvensasymptoten G n f (jω) = ( ωbf ω ) n 46
49 Styrsignalbegränsning och antiwindup De följande delavsnitten är tillämpbara både för tidskontinuerliga och tidsdiskreta system. Antag en begränsad styrsignal u max u>u max u s = u u min u u max u min u<u min Antag dessutom att regulatorns täljar- och nämnarpolynom har samma gradtal (lika många poler och nollställen). Detta innebär att F = F ( ) 0, där F för tidskontinuerliga system motsvarar den tidigare introducerade högfrekvensförstärkningen K. Integratoruppvridning (windup) undviks genom att introducera överföringsfunktionen i följande blockschema F s (s) = F F (s) r e u F u s G(s) y F s(s) Här antas att regulatorn F (s) har stabila nollställen, vilket innbär att F s (s) är stabil. Antiwindup-funktion för regulatorer med lågpassfiltrering För en regulator med lågpassfiltrering introduceras ett stabilt polynom A m (s) =(s /T s ) m så att F (s) = lim s (F (s)s m ) A m (s) F s (s) = F (s) F (s) där multipeln m väljs så att F (s)a m (s) får samma nämnar- och täljargradtal. Tidskonstanten T s väljs kort i förhållande till dynamiken för det återkopplade systemet. Antiwindup-funktion för regulatorer på tillståndsform För regulatorer på tillståndsform, som bygger på tillståndsåterkoppling från skattade tillstånd ˆx(t), erhålls naturligt antiwindup genom att i observatören introducera den begränsade styrsignalen u s (t). Regulatorn blir då på tillståndsform ˆx(t) =(A K y C)ˆx(t)Bu s (t)k y y m (t)k rˆx r(t) u(t) = L uˆx(t)k r r(t) 47
50 Ryckfri övergång mellan automatisk och manuell mod Regulatorstruktur med ryckfri övergång mellan manuell och automatisk mod, samt antiwindupfunktion för hantering av styrsignalbegränsningar: u m r M A e F u M A u s G(s) y F s(s) 48
Reglerteknik Z / Bt/I/Kf/F
Reglerteknik Z / Bt/I/Kf/F Kurskod: SSY 050, ERE 080, ERE 091 Tentamen 2007-05-29 Tid: 8:30-12:30, Lokal: M-huset Lärare: Knut Åkesson tel 3717, 0701-74 95 25 Tentamen omfattar 25 poäng, där betyg tre
Läs merFigur 2: Bodediagrammets amplitudkurva i uppgift 1d
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y (för Y och D) (TSRT) 008-06-0. (a) Vi har systemet G(s) (s3)(s) samt insignalen u(t) sin(t). Systemet är stabilt ty det har sina poler i s 3 samt s. Vi kan
Läs merFigure 1: Blockdiagram. V (s) + G C (s)y ref (s) 1 + G O (s)
Övning 9 Introduktion Varmt välkomna till nionde övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Repetition Känslighetsfunktionen y ref + e u F (s) G(s) v + + y Figure : Blockdiagram Känslighetsfunktionen
Läs merERE103 Reglerteknik D Tentamen
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för signaler och system System- och reglerteknik ERE03 Reglerteknik D Tentamen 207-0-2 08.30-2.30 Examinator: Jonas Fredriksson, tel 359. Tillåtna hjälpmedel: Typgodkänd
Läs merA. Stationära felet blir 0. B. Stationära felet blir 10 %. C. Man kan inte avgöra vad stationära felet blir enbart med hjälp av polerna.
Man använder en observatör för att skatta tillståndsvariablerna i ett system, och återkopplar sedan från det skattade tillståndet. Hur påverkas slutna systemets överföringsfunktion om man gör observatören
Läs merERE 102 Reglerteknik D Tentamen
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för signaler och system Reglerteknik, automation och mekatronik ERE 02 Reglerteknik D Tentamen 202-2-2 4.00 8.00 Examinator: Bo Egar, tel 372. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merREGLERTEKNIK Laboration 5
6 SAMPLADE SYSTEM 6. Sampling av signaler När man använder en dator som regulator, kan man endast behandla signaler i diskreta tidpunkter. T.ex. mäts systemets utsignal i tidpunkter med visst mellanrum,
Läs merReglerteknik AK, FRTF05
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRTF05 Tentamen 3 april 208 kl 4 9 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar
Läs merLösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19)
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT9) 26-3-6. (a) Systemet är stabilt och linjärt. Därmed kan principen sinus in, sinus ut tillämpas. Givet insignalen u(t) sin (t) sin ( t) har vi G(i )
Läs merKap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system. Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Samband poler - respons i tidsplanet
Kap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Överföringsfunktion Poler, nollställen, stabilitet Samband poler - respons i tidsplanet Slut- och begynnelsevärdesteoremen
Läs merFöreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system
Föreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system Reglerteknik, IE1304 1 / 26 Innehåll Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering 1 Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2
Föreläsningar / TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merFormelsamling i Automationsteknik FK
Formelsamling i Automationsteknik FK Z-transformation Antag att f(k),k = 0,,2, är en tidsdiskret signal Z-transformen av f(k) definieras av Slutvärdesteoremet F(z) = Z(f(k)) = lim k f(k)z k k=0 f(k) =
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10 Sammanfattning av föreläsning 9 Tillståndsbeskrivningar Överföringsfunktion vs tillståndmodell Stabilitet Styrbarhet och observerbarhet Sammanfattning föreläsning
Läs merREGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL En tillståndsmodell ges t.ex. av den styrbara kanoniska formen: s 2 +4s +1.
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL20 Lösningsförslag till tentamen 2009 2 5, kl. 4.00 9.00. (a) Laplacetransform av () ger s 2 Y (s)+4sy (s)+y (s) =U(s), och överföringsfunktionen blir G(s)
Läs mer1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B
RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Fredag 9 mars 208, kl. 4.00-7.00 Plats: BMC B:3 Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl 5.30. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merLösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y/D (TSRT12)
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y/D (TSRT) 0-03-8. (a) Nolställen: - (roten till (s + ) 0 ) Poler: -, -3 (rötterna till (s + )(s + 3) 0) Eftersom alla poler har strikt negativ realdel är systemet
Läs mer1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Torsdag 17 mars 2016, kl
Tentamenskod Klockslag för inlämning Utbildningsprogram Bordnummer 1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Torsdag 17 mars 2016, kl. 8.00-11.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal 1 Ansvarig lärare:
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 10
TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 10 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 15 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merREGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL0 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 00 0 4, kl. 4.00 9.00. (a) Stegsvaret ges av y(t) =K( e t/t ). Från slutvärdet fås K =, och tiskonstanten kan avläsas
Läs merTSIU61: Reglerteknik
TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 11 Tidsdiskret implementering Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 17 Innehåll föreläsning 11 ˆ Sammanfattning av föreläsning
Läs mer1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Torsdag 15 december 2016, kl
Tentamenskod Klockslag för inlämning Utbildningsprogram Bordnummer 1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Torsdag 15 december 2016, kl. 8.00-11.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal 1 Ansvarig lärare:
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 8. Sammanfattning av föreläsning 7 Framkoppling Den röda tråden!
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 8 Sammanfattning av föreläsning 7 Framkoppling Den röda tråden! Sammanfattning föreläsning 8 2 Σ F(s) Lead-lag design: Givet ett Bode-diagram för ett öppet
Läs merLösningar Reglerteknik AK Tentamen
Lösningar Reglerteknik AK Tentamen 15 1 3 Uppgift 1a Systemet är stabilt ( pol i ), så vi kan använda slutvärdesteoremet för att bestämma Svar: l = lim y(t) = lim sg(s)1 t s s = G()1 = 5l = r = 1 Uppgift
Läs merTENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3
OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller i första hand för Reglerteknik 4.5hp. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 11
Föreläsningar / 5 TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merFrekvenssvaret är utsignalen då insginalen är en sinusvåg med frekvens ω och amplitud A,
Övning 8 Introduktion Varmt välkomna till åttonde övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Repetition Frekvenssvar Frekvenssvaret är utsignalen då insginalen är en sinusvåg med frekvens
Läs merReglerteknik AK, FRT010
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRT Tentamen januari 27 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Läs merFöreläsning 2. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 3 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 2 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 3 september 2013 Introduktion Förra gången: Dynamiska system = Differentialekvationer Återkoppling
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 5
TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 5 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar / 23 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 9
TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 9 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 20 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merTentamen i Reglerteknik. 7,5 hp varav tentamen ger 4,5 hp
KTH-ICT-ES Tentamen i Reglerteknik. 7,5 hp varav tentamen ger 4,5 hp Kurskod: IE304 Datum: 0-03-4 Tid: 9.00-3.00 Examinatorer: Jan Andersson och Leif Lindbäck Tentamensinformation: Hjälpmedel: Bilagd formelsamling,
Läs merTentamen i Reglerteknik. 7,5 hp varav tentamen ger 4,5 hp
KTH-ICT-ES Tentamen i eglerteknik. 7,5 hp varav tentamen ger 4,5 hp Kurskod: IE304 Datum: 20-06-09 Tid: 9.00-3.00 Examinatorer: Jan Andersson och Leif Lindbäck Tentamensinformation: Hjälpmedel: Bilagd
Läs merÖvning 3. Introduktion. Repetition
Övning 3 Introduktion Varmt välkomna till tredje övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Nästa gång är det datorövning. Kontrollera att ni kan komma in i XQ-salarna. Endast en kort genomgång,
Läs merReglerteknik AK. Tentamen 27 oktober 2015 kl 8-13
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 27 oktober 205 kl 8-3 Poängberäkning och betygsättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Läs mer1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B
RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Torsdag 5 december 206, kl. 3.00-6.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Fredrik Olsson, tel. 08-47 7840. Fredrik kommer och svarar på frågor
Läs merFöreläsning 11, Dimensionering av tidsdiskreta regulatorer
Föreläsning 11, Dimensionering av tidsdiskreta regulatorer KTH 8 februari 2011 1 / 28 Innehåll 1 Kapitel 19.2. Polplaceringsmetoden 2 3 4 5 6 2 / 28 Innehåll 1 Kapitel 19.2. Polplaceringsmetoden 2 3 4
Läs merFöreläsning 1 Reglerteknik AK
Föreläsning 1 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik, KTH 29 augusti, 2016 2 Introduktion Example (Temperaturreglering) Hur reglerar vi temperaturen i ett hus? u Modell: Betrakta en
Läs merLaplacetransform, poler och nollställen
Innehåll föreläsning 2 2 Reglerteknik, föreläsning 2 Laplacetransform, poler och nollställen Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@liu.se Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY)
Läs merReglerteknik. Kurskod: IE1304. Datum: 12/ Tid: Examinator: Leif Lindbäck ( )
Tentamen i Reglerteknik (IE1304) 12/3-2012 ES, Elektroniksystem Reglerteknik Kurskod: IE1304 Datum: 12/3-2012 Tid: 09.00-13.00 Examinator: Leif Lindbäck (7904425) Hjälpmedel: Formelsamling, dimensioneringsbilaga,
Läs merLösningar Reglerteknik AK Tentamen
Lösningar Reglerteknik AK Tentamen 060 Uppgift a G c (s G(sF (s + G(sF (s s + 3, Y (s s + 3 s ( 3 s s + 3 Svar: y(t 3 ( e 3t Uppgift b Svar: (i insignal u levererad insulinmängd från pumpen, mha tex spänningen
Läs merREGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen , kl
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL20 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 202 2 7, kl. 9.00 4.00. (a) (i) Överföringsfunktionen ges av G(s)U(s) = G 0 (s)u(s)+g (s)(u(s)+g 0 (s)u(s)) = [G
Läs merFöreläsning 7. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 26 september Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 7 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 26 september 2013 Introduktion Förra gången: Känslighet och robusthet Dagens program: Repetion
Läs merReglerteknik AK, Period 2, 2013 Föreläsning 12. Jonas Mårtensson, kursansvarig
Reglerteknik AK, Period 2, 213 Föreläsning 12 Jonas Mårtensson, kursansvarig Sammanfattning Systembeskrivning Reglerproblemet Modellering Specifikationer Analysverktyg Reglerstrukturer Syntesmetoder Implementering
Läs mer1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Onsdag 23 augusti 2017, kl
Tentamenskod Klockslag för inlämning Utbildningsprogram Bordnummer RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Onsdag 23 augusti 207, kl. 4.00-7.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Hans
Läs mer1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B
RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Tisdag 23 oktober 208, kl. 4.00-7.00 Plats: Polacksbackens skrivsal Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl
Läs merÖvningar i Reglerteknik
Övningar i Reglerteknik Stabilitet hos återkopplade system Ett system är stabilt om utsignalen alltid är begränsad om insignalen är begränsad. Linjära tidsinvarianta system är stabila precis då alla poler
Läs merÖverföringsfunktion 21
Vad är reglerteknik? 8 Analys och styrning av dynamiska system Välj styrsignalen (u(t)) så att systemet (mätsignalen y(t)) uppför sig som önskat (referenssignalen r(t)) trots störningar (v(t)) Vi betraktar
Läs merReglerteknik AK Tentamen
Reglerteknik AK Tentamen 20-0-7 Lösningsförslag Uppgift a Svar: G(s) = Uppgift b G c (s) = G(s) = C(sI A) B + D = s. (s+)(s+2) Slutna systemets pol blir s (s + )(s + 2). G o(s) + G o (s) = F (s)g(s) +
Läs merNyquistkriteriet, kretsformning
Sammanfattning från föreläsning 5 2 Reglerteknik I: Föreläsning 6 Nyquistkriteriet, kretsformning Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@it.uu.se Kontor 2236, ITC Hus 2, Systemteknik Institutionen för informationsteknologi
Läs merTSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning från föreläsning 3 (2/4) ˆ PID-reglering. ˆ Specifikationer. ˆ Sammanfattning av föreläsning 3.
TSIU6 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT 207 / 22 Innehåll föreläsning 4 TSIU6: Reglerteknik Föreläsning 4 PID-reglering Specifikationer Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se ˆ Sammanfattning av föreläsning
Läs merReglerteknik AK, Period 2, 2013 Föreläsning 6. Jonas Mårtensson, kursansvarig
Reglerteknik AK, Period 2, 213 Föreläsning 6 Jonas Mårtensson, kursansvarig Senaste två föreläsningarna Frekvensbeskrivning, Bodediagram Stabilitetsmarginaler Specifikationer (tids-/frekvensplan, slutna/öppna
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 6. Sammanfattning av föreläsning 5 Lite mer om Bodediagram Den röda tråden!
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 6 Sammanfattning av föreläsning 5 Lite mer om Bodediagram Den röda tråden! Sammanfattning av förra föreläsningen 2 G(s) Sinus in (i stabilt system) ger sinus
Läs merTSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning av kursen. Gustaf Hendeby.
TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 12 Sammanfattning av kursen Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 56 Innehåll föreläsning 12: 1. Reglerproblemet 2. Modellbygge
Läs merTSIU61: Reglerteknik. PID-reglering Specifikationer. Gustaf Hendeby.
TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 4 PID-reglering Specifikationer Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 22 Innehåll föreläsning 4 ˆ Sammanfattning av föreläsning
Läs mer1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Onsdag 22 augusti 2018, kl
Tentamenskod Klockslag för inlämning Utbildningsprogram Bordnummer RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Onsdag 22 augusti 208, kl. 4.00-7.00 Plats: Bergsbrunnagatan 5, sal Ansvarig lärare: Hans
Läs mer8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K =, antages K > 0
8. Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret 8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K G ( s) =, antages K > 0 Ts + A R ( ω) = G( jω) = K + ( ωt ) ϕ( ω) = arg G( jω) = arctan(
Läs merTENTAMEN I REGLERTEKNIK
TENTAMEN I REGLERTEKNIK TID: 29-6-4, kl 4.-9. KURS: TSRT9 PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, tel 7-339 BESÖKER SALEN: 5., 7.3 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård,
Läs merReglerteknik AK. Tentamen 9 maj 2015 kl 08 13
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 9 maj 5 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt 5 poäng.
Läs merKompletterande material till föreläsning 5 TSDT08 Signaler och System I. Erik G. Larsson LiU/ISY/Kommunikationssystem
ompletterande material till föreläsning 5 TSDT8 Signaler och System I Erik G. Larsson LiU/ISY/ommunikationssystem erik.larsson@isy.liu.se November 8 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI
Läs merLösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp (a) Statiska förstärkningen = (0), och ( )= [ ( )].
Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp --5. (a) Statiska förstärkningen (), och ( ) [ ( )]. ( ) [ 4 +4 ] +4 + 4 + () 5 (b) Systemet står på observerbar kanonisk form, så vifår direkt att ( ) 3 +5.
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet
6. Stabilitet 6. Stabilitet Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt
Läs merTSIU61: Reglerteknik. Matematiska modeller Laplacetransformen. Gustaf Hendeby.
TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 2 Matematiska modeller Laplacetransformen Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 21 Innehåll föreläsning 2 ˆ Sammanfattning
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3. Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3 Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula Sammanfattning av förra föreläsningen 2 Vi modellerar system
Läs merREGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 2015 04 08, kl. 8.00 13.00
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL0 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 05 04 08, kl. 8.00 3.00. (a) Signalen u har vinkelfrekvens ω = 0. rad/s, och vi läser av G(i0.) 35 och arg G(i0.)
Läs merReglerteknik AK. Tentamen 24 oktober 2016 kl 8-13
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 24 oktober 26 kl 8-3 Poängberäkning och betygsättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Läs merReglerteknik I: F10. Tillståndsåterkoppling med observatörer. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik
Reglerteknik I: F10 Tillståndsåterkoppling med observatörer Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 14 2 / 14 F9: Frågestund F9: Frågestund 1) När ett system är observerbart då
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 23-- Sal () T,T2,KÅRA (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal
Läs merÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp
ÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp Tid: Denna övn.tenta gås igenom 25 maj (5h skrivtid för den riktiga tentan) Plats: Ansvarig lärare: Bengt Carlsson Tillåtna hjälpmedel: Kurskompendiet
Läs merFöreläsning 14-16, Tillståndsmodeller för kontinuerliga system
Föreläsning 14-16, Tillståndsmodeller för kontinuerliga system Reglerteknik, IE1304 1 / 50 Innehåll Kapitel 141 Introduktion till tillståndsmodeller 1 Kapitel 141 Introduktion till tillståndsmodeller 2
Läs merTSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning från föreläsning 5 (2/4) Stabilitet Specifikationer med frekvensbeskrivning
TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT 206 / 7 Innehåll föreläsning 6 TSIU6: Reglerteknik Föreläsning 6 Stabilitet Specifikationer med frekvensbeskrivning Gustaf Hendeby ˆ Sammanfattning av föreläsning
Läs merTENTAMEN Reglerteknik 3p, X3
OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller i första hand för Reglerteknik 3p. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans med
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9 Sammanfattning av föreläsning 8 Prestandabegränsningar Robusthet Mer generell återkopplingsstruktur Sammanfattning föreläsning 8 2 F(s) Lead-lag design:
Läs merLösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL1000/EL1100/EL
Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL000/EL00/EL20 20-0-3 a. Överföringsfunktionen från u(t) till y(t) ges av Utsignalen ges av G(s) = y(t) = G(iω) A sin(ωt + ϕ + arg G(iω)) = 2 sin(2t). Identifierar
Läs merVälkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
Läs merTSRT21 Dynamiska system och reglering Välkomna till Föreläsning 10
TSRT21 Dynamiska system och reglering Välkomna till Föreläsning 10 Johan Löfberg Avdelningen för Reglerteknik Institutionen för systemteknik johan.lofberg@liu.se Kontor: B-huset, mellan ingång 27 och 29
Läs merReglerteknik. Datum: 20/ Tid: Examinator: Leif Lindbäck ( ) Hjälpmedel: Formelsamling, dimensioneringsbilaga, miniräknare.
Tentamen i Reglerteknik (IE1304) 20/3-2014 ES, Elektroniksystem Reglerteknik Kurskod: IE1304 Datum: 20/3-2014 Tid: 09.00-13.00 Examinator: Leif Lindbäck (7904425) Hjälpmedel: Formelsamling, dimensioneringsbilaga,
Läs merTSIU61: Reglerteknik. Poler och nollställen Stabilitet Blockschema. Gustaf Hendeby.
TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 3 Poler och nollställen Stabilitet Blockschema Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 26 Innehåll föreläsning 3 ˆ Sammanfattning
Läs merTENTAMEN I REGLERTEKNIK TSRT03, TSRT19
TENTAMEN I REGLERTEKNIK TSRT3, TSRT9 TID: 23 april 29, klockan 4-9 KURS: TSRT3, TSRT9 PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, 7-339 BESÖKER SALEN: 5.3, 7.3 KURSADMINISTRATÖR:
Läs merTENTAMEN I REGLERTEKNIK Y TSRT12 för Y3 och D3. Lycka till!
TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y TSRT2 för Y3 och D3 TID: 7 mars 25, klockan 4-9. ANSVARIGA LÄRARE: Mikael Norrlöf, tel 28 27 4, Anna Hagenblad, tel 28 44 74 TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: Läroboken Glad-Ljung: Reglerteknik,
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12
TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 15 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9 Sammanfattning av föreläsning 8 Prestandabegränsningar Robusthet Mer generell återkopplingsstruktur Sammanfattning av förra föreläsningen H(s) W(s) 2 R(s)
Läs merTENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp
TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp Tid: Torsdag 7 december 205, kl. 8.00-.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel. 08-473070. Tillåtna hjälpmedel: ursboken(glad-ljung), miniräknare,
Läs merTENTAMEN I DYNAMISKA SYSTEM OCH REGLERING
TENTAMEN I DYNAMISKA SYSTEM OCH REGLERING SAL: G32 TID: 8 juni 217, klockan 8-12 KURS: TSRT21 PROVKOD: TEN1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 6 ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, 7-311319 BESÖKER SALEN: 9.3,
Läs merTSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 1. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts.
Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 1 / 32 Sammanfattning av Föreläsning 1 TSRT9 Reglerteori Föreläsning 2: Beskrivning av linjära system Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet
Läs merTSIU61: Reglerteknik. Frekvensbeskrivning Bodediagram. Gustaf Hendeby.
TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 5 Frekvensbeskrivning Bodediagram Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 1 Innehåll föreläsning 5 ˆ Sammanfattning av föreläsning
Läs merA
Lunds Universitet LTH Ingenjorshogskolan i Helsingborg Tentamen i Reglerteknik 2008{05{29. Ett system beskrivs av foljande in-utsignalsamband: dar u(t) ar insignal och y(t) utsignal. d 2 y dt 2 + dy du
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner
Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt kan bli instabilt genom för
Läs merAUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 3 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET
Martin Enqvist Överföringsfunktioner, poler och stegsvar Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Repetition: Reglerproblemet 3(8) Repetition: Öppen styrning & återkoppling 4(8)
Läs merREGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen , kl
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL/EL/EL2 Tentamen 2 2 4, kl. 4. 9. Hjälpmedel: Kursboken i glerteknik AK (Glad, Ljung: glerteknik eller motsvarande) räknetabeller, formelsamlingar och räknedosa. Observeraattövningsmaterial
Läs mer1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B
RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Tisdag 8 oktober 206, kl. 2.00-5.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-47070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl.0.
Läs merINLÄMNINGSUPPGIFT I. REGLERTEKNIK I för STS3 & X4
SYSTEMTEKNIK, IT-INSTITUTIONEN UPPSALA UNIVERSITET DZ 2015-09 INLÄMNINGSUPPGIFTER REGLERTEKNIK I för STS3 & X4 INLÄMNINGSUPPGIFT I Inlämning: Senast fredag den 2:a oktober kl 15.00 Lämnas i fack nr 30,
Läs merTENTAMEN Reglerteknik I 5hp
TENTAMEN Reglerteknik I 5hp Tid: Tisdag 8 juni 00, kl 8.00 3.00 Plats: Polacksbackens skrivsal Ansvarig lärare: Kjartan Halvorsen, tel 08-473070. Kjartan kommer och svarar på frågor ungefär kl 9.30 och
Läs mer