Statisk Analys av Elsystem

Transkript

1 Statisk Analys av Elsystem Lennart Söder Elektriska energisystem KTH Januari 2005

2 ii

3 Innehåll Förord vii 1 Inledning 1 2 Elkraftsystemets uppbyggnad Utvecklingen av det svenska elsystemet Elkraftsystemets struktur Växelspänning Enfas växelspänning Komplex effekt Symmetrisk trefas växelspänning Modeller av elsystemkomponenter Elektrisk karakteristik för en kraftledning Resistans Shuntkonduktans Induktans Shuntkapacitans Modell för kraftledning Korta ledningar Medellånga ledningar Enfastransformatorn Trefastransformatorn iii

4 iv 5 Viktiga teorem för analys av elsystem Nodanalys, admittansmatriser Millmans teorem Superpositionsteoremet Reciprocitetsteoremet Thévenins teorem Analys av symmetriska trefassystem Enlinje-schema och impedans-nät Per-unit (PU) systemet Per-unit representation av transformatorer Beräkningar med hjälp av per-unit Effektöverföring till impedanslaster Fyrpolsteori Symmetriska fyrpoler Kraftledningsmodell Modell för förenklad ledning och transformator Anslutning till kraftnät Generell metod för beräkningar i symmetriska trefassystem med impedanslaster Utvidgad metod att utnyttjas vid effektlaster Ickelinjär statisk analys Effektflöden på en ledning Ledningsmodell med rektangulär längsimpedans Ledningsförluster Shuntkondensatorer och shuntreaktorer Seriekondensatorer Effektflödesberäkningar i elsystem (belastningsfördelning)

5 v 8.3 Belastningsfördelning för en ledning Utjämningsnod + PU-nod Utjämningsnod + PQ-nod Newton-Raphsons metod Teori Tillämpning i kraftsystem Belastningsfördelningsberäkning (BFB) med Newton-Raphsons metod Analys av trefassystem med hjälp av linjära transformationer Linjära transformationer Effektinvarians Koefficientmatrisen i originalrummet Koefficientmatrisen i bildrummet Exempel på linjära transformationer som används vid analys av trefassystem Symmetriska komponenter Clarkes komponenter Parks transformation Rumsvisarkomponenter Symmetriska komponenter Definitioner Effektberäkningar vid osymmetriska förhållanden Ledningsmodell för osymmetrisk trefas Längsimpedans för enfas friledning Längsimpedans för trefas friledning Symmetriska komponenter för en trefaslednings längsimpedans Ekvivalent schema för en lednings längsinduktans Tvärkapacitans för en trefasledning

6 vi 12 Transformatormodell för osymmetrisk trefas Analys av osymmetriska trefassystem Lastmodell för osymmetrisk analys Anslutning till kraftnät under osymmetriska förhållanden Enfasig kortslutning till jord Analys av kraftsystem med en osymmetrisk last Generell metod för beräkningar i trefassystem med impedanslaster där en av lasterna är osymmetrisk Övertoner i elsystem 153 A Nätdimensionering 159 A.1 Sannolikhetsbaserad nätdimensionering A.2 Nätdimensionering baserad på elkvalitet A.2.1 Avbrott i kraftförsörjningen A.2.2 Spänningsvariationer A.2.3 Övertoner A.2.4 Mellantoner A.2.5 Kommuteringshack A.2.6 Osymmetrier A.2.7 Transienter A.2.8 Frekvensavvikelser A.2.9 Nätimpedans A.3 Nätdimensionering baserad på ekonomisk area B MATLAB-filer för exemplen 7.2, 7.3, 13.2 och C Matlab-koder för Exempel D Matlab-koder för Exempel

7 Förord Förord till 7:e upplagan Första upplagan till detta kompendium skrevs under sommaren Kompendiet har sedan dess använts i olika teknologkurser vid Institutionen för Elektrotekniska system (ETS) vid Kungliga Tekniska Högskolan i Stockholm, vid Högskolorna i Skellefteå och Kalmar, samt i en kurs vid ABB T&D University. Författaren vill rikta ett stort tack till professor Göran Andersson samt alla doktorander och teknologer vid institutionen samt lärare i Skellefteå och Kalmar som har kommit med värdefulla kommentarer samt idéer till förbättringar och utvidgningar. Lennart Söder Januari 2005 vii

8 viii

9 Kapitel 1 Inledning I detta kompendium behandlas modeller och beräkningsmetoder för statiska förhållanden i elsystem. I kapitel 2 beskrivs hur elkraftsystemet är uppbyggt och kapitel 3 behandlar den grundläggande växelströmsteorin. Modeller för kraftledningar och transformatorer utvecklas i kapitel 4 och i kapitel 5 beskrivs några viktiga teorem som används vid analys av trefaskretsar. I kapitel 6 och 7 används bl a dessa till att utföra beräkningar i elsystem under symmetriska förhållanden. Kapitel 5-7 bygger på att man kan beskriva laster i elsystemet såsom impedanser. Detta leder till linjära förhållanden vilket ger relativt enkla lösningsmetoder. I vissa situationer är det mer relevant att beskriva elsystemets laster med effekter. Hur elsystemet analyseras under dessa förhållanden beskrivs närmare i kapitel 8. I kapitel 9 ges en översyn till möjligheterna att utnyttja linjära transformationer för att förenkla beräkningar i elsystem. I kapitel beskrivs grunderna för analys under osymmetriska förhållanden. Vid osymmetrisk analys utnyttjas normalt symmetriska komponenter vilka beskrivs utförligt i kapitel 10. Vid osymmetriska förhållanden måste ledningar, kablar och transformatorer få en noggrannare beskrivning vilket behandlas i kapitel I kapitel 13 beskrivs hur ett osymmetriskt trefasnät med impedanslaster kan analyseras. Kapitel 3 13 förutsätter att man i elsystemet har en konstant frekvens och linjära komponenter dvs sinusformade spänningar ger upphov till sinusformade strömmar. Med olinjära komponenter, såsom t ex kraftelektronik, i systemet uppstår icke rent sinusformade strömmar och spänningar. Vilka effekter det kan få på ett elsystem beskrivs översiktligt i kapitel 14. 1

10 2

11 Kapitel 2 Elkraftsystemets uppbyggnad 2.1 Utvecklingen av det svenska elsystemet Det svenska kraftsystemet uppstod vid tiden för det första världskriget kring ett antal vattenkraftstationer, Porjus i Norrland, Älvkarleby i östra Svealand, Motala i mellersta Svealand samt Trollhättan i Götaland. Produktionskällorna kompletterades så småningom också med koleldade kraftstationer i de större städerna Stockholm, Göteborg, Malmö samt Västerås. Vid tiden för det andra världskriget framlades ett omfattande program för utbyggnad av den norrländska vattenkraften. För att överföra denna till mellersta och södra Sverige, till vilka delar den tunga metallindustrin var lokaliserad, planerades ett 220 kv överföringssystem gående från norr till söder. Idag har vi ett väl utbyggt överföringssystem med en systemspänning på 220 eller 400 kv. Överföringssystemet består, grovt beskrivet, av ledningar, transformatorer och kopplingsstationer (ställverk). Ett kraftverk kan ha en installerad effekt på drygt 1000 MW (Forsmark 3 och Oskarshamn 3) medan en enskild konsument kan ha ett effektuttag på några kw. Detta innebär att vi i Sverige producerar elkraft på ett fåtal platser i hela landet medan förbrukningen, som uppvisar stora variationer i enskilda effektuttag, har en stor geografisk spridning. I figur Kärnkraft TWh/år Konv värm.kr. 50 Vattenkraft Figur 2.1. Sveriges elproduktion visas hur elproduktionen i Sverige har utvecklats under de senaste 50 åren. Vattenkraften var i början av denna period den helt dominerande elkällan fram till mitten av 60-talet då en del konventionell värmekraft (oljeeldade kraftverk, industriellt mottryck mm) började 3

12 4 komma in i systemet. Mot mitten av 70-talet startade de första kärnkraftverken och detta kraftslag har sedan stått för det dominerande tillskottet av elektrisk energi. På senare år har dock trenden med en ständigt starkt ökande elförbrukning brutits. Den 30:e november 1999 stängdes kärnkraftverket Barsebäck 1 efter ett politiskt beslut. I tabell 2.1 visas hur den svenska elproduktionen såg ut år Kraftslag Energiproduktion Installerad effekt TWh = 10 9 kwh MW Vattenkraft Kärnkraft Industrimottryck Kraftvärme Oljekondens Gasturbiner Vindkraft Totalt Tabell 2.1. Sveriges elproduktion 2000 Den totala elkonsumtionen brukar delas in i olika kategorier. I figur 2.2 visas hur denna har utvecklats under de senaste 50 åren. Som framgår av figuren så har industrin tidigare stått för den dominerande delen av elförbrukningen. I och med kärnkraftens introduktion i början på 70-talet så har även elvärmen ökat starkt. Innan 1965 ingår den i övrigsektorn. Samfärdsel, dvs tåg, spårvägar och tunnelbana, har från 1950 till 1997 ökat från 1.4 TWh/år till ca 2.2 TWh/år. 150 Förluster 100 Elvärme TWh/år 50 Övrigt Industri Samfärdsel Figur 2.2. Sveriges elkonsumtion I andel av elkonsumtionen har den sjunkit från 7.4 % till 1.6 % under samma period.

13 5 Förlusterna på transmissions- och distributions näten har från sjunkit från drygt 10 % av total konsumtion till ca 7 %. 2.2 Elkraftsystemets struktur Ett kraftsystem består av produktionskällor som via kraftledningar och transformatorer överför elkraften till de slutliga konsumenterna. Elsystemet mellan producenter och konsumenter delas in i olika delar enligt figur 2.3. ~ Transmissionsnät kv (Svenska Kraftnät) Subtransmissionsnät kv ~ Distributionsnät för primär fördelning kv Distributionsnät för sekundär fördelning lågspänning 230/400 V Figur 2.3. Elkraftsystemets struktur Transmissionsnätet, som i Sverige kallas storkraftnätet, förbinder alla stora energikällor och överför stora energimängder. Det svenska transmissionsnätet består av ca km ledningar, och är på 23 ställen förbundna med utlandet. I figur 2.4 visas en översiktsbild över det svenska och grannländernas transmissionssystem. Den primära uppgiften för transmissionssystemet är att överföra energi från produktionscentra till konsumtionscentra. Om man dessutom vill uppnå någon högre grad av effektivitet och tillförlitlighet måste även andra aspekter beaktas. Överföringssystemet skall t ex göra det möjligt att optimera produktionen inom landet samt möjliggöra handel med utlandet. Dessutom är det nödvändigt att klara av ledningsbortkopplingar, blixtnedslag, bortfall av kraftverk samt oväntade elförbrukningsvariationer utan att spänningens kvalitet minskas. Som framgår av figur 2.4 så är transmissionsnätet maskat dvs det finns många parallella transmissionsvägar. Sedan den 1 januari 1992 är det det statliga affärsverket Svenska Kraftnät som ansvarar för samtliga 400 kv ledningar och större delen av 220 kv ledningarna. Dessutom äger man och ansvarar för de svenska utlandsförbindelserna som fanns vid bildandet (alltså ej Baltic Cable mellan Sverige och Tyskland), samt all transformering mellan 400 kv och 220 kv. Subtransmissionsnät, i Sverige kallade regionnät har i varje belastningsregion helt eller delvis

14 6 samma uppgifter som transmissionsnätet. Energimängder och överföringsavstånd är dock mer begränsade än för transmissionsnäten, och tekniskt ekonomiska rimliga driftspänningar har därför lägre värden. De är anslutna till transmissionsnätet i normalt högst två nätpunkter. Distributionsnät, även kallat fördelningsnät överför och fördelar den elkraft som tas ut från ett subtransmissionsnäts fördelningsstationer till slutförbrukare av elkraft. Distributionsnäten drivs normalt radiellt dvs det finns endast en specifik matningsväg till varje enskild konsument. Olika slutförbrukares elkraftuttag varierar mycket liksom vid vilken spänningsnivå uttaget sker. Allmänt gäller att ju större en belastning är, desto högre är den spänning vid vilken den tas ut. Figur 2.4. Transmissionsnätet i Nordvästeuropa

15 7 De nominella systemspänningarna (effektivvärde för trefas huvudspänning) som utnyttjas för distribution av högspänd elkraft är normalt lägre än de som utnyttjas för transmission. I figur 2.5 visas de spänningsnivåer som utnyttjas i Sverige. I speciella industrinät används, förutom de spänningar som visas i figur 2.5, även 660 V och den icke normerade spänningen 500 V. Distribution av lågspänd elkraft till förbrukarna sker i trefasledningar med neutralledare, varvid spänningen 400/230 V (huvudspänning/fasspänning) brukar användas. ~ transmissionsnät Nominell spänning kv Benämning ultrahög spänning (UHV) extrahög spänning (EHV) subtransmissionsnät fördelningsnät högspänning högspänning endast industrinät fördelningsnät lågspänning 400/230 V lågspänning Figur 2.5. Standardspänningar för transmission och distribution. I Sverige utnyttjas maximalt 400 kv

16 8

17 Kapitel 3 Växelspänning I detta kapitel sammanfattas de grundläggande egenskaperna för växelspänning växelström och effektstorheter i symmetriska trefassystem. 3.1 Enfas växelspänning Antag att en växelspänningskälla matar en impedans enligt figur 3.1. Växelspänningen u ger i(t) + u(t) ~ X R Z=R+jX Figur 3.1. Enfas växelspänningsmatning av impedans upphov till växelströmmen i. Dessa storheter varierar med tiden enligt u(t) = U M cos ωt i(t) = I M cos(ωt φ) (3.1) där U M = toppvärdet för spänningen I M = U M Z = U M = toppvärdet för strömmen Z ω = 2πf där f är frekvensen φ = arctan X R = fasförskjutning mellan spänning och ström Den momentana effekten som impedansen Z i figur 3.1 konsumerar är p(t) = u(t) i(t) = U M I M cos ωt cos(ωt φ) = = U M I M cos ωt [cos ωt cos φ + sin ωt sin φ] = = UM 2 I M 2 [(1 + cos 2ωt) cos φ + sin 2ωt sin φ] = (3.2) = P (1 + cos 2ωt) + Q sin 2ωt 9

18 10 där P = UM 2 I M 2 cos φ = aktiv effekt Q = UM 2 I M 2 sin φ = reaktiv effekt Som framgår av ekvation (3.2) kan den momentana effekten delas upp i två delar. En del med medelvärdet P som pulserar med dubbla frekvensen och en del med amplituden Q som också pulserar med dubbla frekvensen. I figur 3.2 visas spänningen, strömmen och effekten som funktion av tiden. I figuren gäller beteckningen U = UM 2 och I = IM 2. p(t) u(t) i(t) UIcosφ tid (t) φ p(t) I II UIcosφ UIsinφ tid (t) Figur 3.2. Spänningen, strömmen och effekten som funktion av tiden Spänningens respektive strömmens effektivvärde, även kallat RMS-värde (RMS = Root Mean Square) definieras enligt 1 T U = u(t) T 2 dt (3.3) 0 1 T I = i(t) T 2 dt (3.4) Med sinusformad spänning och ström enligt ekvation (3.1) kan de respektive effektivvärdena beräknas enligt 1 T U = UM 2 1 T ( ) 1 cos 2ωt T cos2 ωt = U M + = UM (3.5) 0 T T I = IM 2 T cos2 (ωt φ) = IM (3.6) 2 0 0

19 11 Exempel 3.1 Vilken medeleffekt utvecklar en resistor om 1210 Ω som matas med en 50 Hz växelspänning med effektivvärdet 220 V. Lösning Den utvecklade effekten i resistorn kan beräknas som tidsmedelvärdet under en period enligt P = 1 T T 0 R i 2 (t)dt = 1 T T vilket kan skrivas om enligt ekvation (3.3) som 0 R u2 (t) R 2 dt = 1 1 R T P = 1 R U 2 = = 40 W T 0 u 2 (t)dt 3.2 Komplex effekt För beräkning erbjuder den komplexa metoden ett kraftfullt hjälpmedel varvid effektstorheter kan behandlas på ett elegant sätt. Den komplexa enfasiga spänningen samt strömmen kan uttryckas enligt där U = Ue j arg(u) U = komplex spänning I = Ie j arg(i) (3.7) U = U M / 2 = spänningens effektivvärde I = komplex ström Den komplexa effekten definieras enligt där I = I M / 2 = strömmens effektivvärde S = Se j arg(s) = P + jq = UI = UIe j(arg(u) arg(i)) (3.8) S = komplex effekt Med fasvinklar på spänning och ström enligt ekvation (3.1) dvs arg(u) = 0 och arg(i) = φ erhålls med ekvation (3.8) S = P + jq = UI = UIe jφ = UI(cos φ + j sin φ) (3.9) Härur följer att P = S cos φ = UI cos φ Q = S sin φ = UI sin φ dvs P = aktiv effekt och Q = reaktiv effekt. (3.10)

20 12 Exempel 3.2 Beräkna effektförbrukningen i en induktans på 3.85 H som matas med en 50 Hz växelspänning med effektivvärdet 220 V. Lösning Induktansens impedans kan först beräknas enligt Z = jωl = j 2 π = j1210 Ω Den komplexa strömmen som flyter genom induktansen kan beräknas enligt I = U Z = 220 j1210 = j A varifrån den komplexa effekten kan beräknas enligt dvs P = 0 W, Q = 40 VAr. S = UI = 220( j0.1818) = 220(j0.1818) = j40 VA Exempel 3.3 Två seriekopplade impedanser matas med en spänning med effektivvärdet 1 V enligt figuren. U 1 = 1 V 1 Z 1 = j0.2 Ω 2 I U 2 = U 2 θ 2 Z 2 = j0.2 Ω Figur 3.3. Schema till exempel 3.3 a) Beräkna Z 2 :s effektförbrukning samt cosφ i nod 1 och 2 där φ k är fasförskjutningen mellan spänning och ström i nod k. b) Beräkna U 2 när Z 2 är kapacitiv : Z 2 = 0.7 j0.5 Lösning a) I = U 1 Z 1 + Z 2 = A dvs φ 1 = och cosφ 1 = induktivt, eftersom strömmen ligger efter spänningen. U 2 = Z 2 I =

21 13 dvs φ 2 = φ 1 θ 2 = och cosφ 2 = , induktivt. Ekvationen ovan kan skrivas om polärt enligt U 2 = Z 2 I dvs φ 2 = arg(z 2 ) = arctan X R = θ 2 = arg(z 2 ) + φ 1 θ 2 φ 1 φ 2 U 1 R I U 1 U 2 = U 1 R I jx I I Figur 3.4. Lösning till exempel 3.3a Effektförbrukningen i Z 2 kan beräknas enligt eller S 2 = P 2 + jq 2 = Z 2 I 2 = (0.7 + j0.2) = j0.25 VA S 2 = P 2 + jq 2 = U 2 I = = j0.25 VA U 1 = 1 V 1 Z 1 = j0.2 Ω 2 I U 2 = U 2 θ 2 Z 2 = 0.7 j0.5 Ω b) U 2 = Z 2 Z 1 + Z U 1 = 2 Slutsatser från detta exempel är att Figur 3.5. Lösning till exempel 3.3b 0.7 j j0.3 = = = V

22 14 kapacitanser höjer spänningen - så kallad faskompensering aktiv effekt kan skickas mot högre spänning cosφ är olika i olika ändar på en ledning ledningars impedanser lasters impedanser 3.3 Symmetrisk trefas växelspänning Symmetrisk trefas växelspänning innebär att man har tre sinusformade spänningar som är sinsemellan fasförskjutna med 120, och har samma toppvärde i förhållande till nollan. Tidsstorheterna för de tre spänningarna är u a (t) = U M cos ωt u b (t) = U M cos(ωt 120 ) (3.11) u c (t) = U M cos(ωt ) I figur 3.6 visas de tre spänningarna u a (t), u b (t) och u c (t). ua(t) ub(t) uc(t) uab(t) Figur 3.6. De symmetriska spänningarna u a (t), u b (t), u c (t) och u ab (t), f =50 Hz, U M = 1 I trefassammanhang brukar man ofta utnyttja spänningen mellan två faser, den så kallade huvudspänningen. Spänningen u ab mellan fas a och b kan skrivas som u ab (t) = u a (t) u b (t) = U M cos ωt U M cos(ωt 120 ) = (3.12) = 3U M cos(ωt + 30 )

23 15 dvs huvudspänningen har en amplitud (och därmed effektivvärde, se ekvation (3.5)) som är 3 gånger större än fasspänningens amplitud. Ett exempel är lågspänningsdistribution där fasspänningens effektivvärde är 230 V och huvudspänningens effektivvärde är = 400 V. Ekvation (3.12) visar också att u ab ligger 30 före spänningen u a. Huvudspänningen u ab visas längst ner i figur 3.6. Med antagandet att fasförskjutningen mellan spänning och ström är φ (lika i varje fas pga symmetri) erhålls följande uttryck för de tre fasströmmarna : i a (t) = I M cos(ωt φ) i b (t) = I M cos(ωt 120 φ) (3.13) i c (t) = I M cos(ωt φ) För den totala symmetriska trefasiga effekten gäller : p 3 (t) = p a (t) + p b (t) + p c (t) = u a (t)i a (t) + u b (t)i b (t) + u c (t)i c (t) = = UM 2 I M 2 [(1 + cos 2ωt) cos φ + sin 2ωt sin φ] + + UM 2 I M 2 [(1 + cos 2[ωt 120 ]) cos φ + sin 2[ωt 120 ] sin φ] + (3.14) + UM 2 I M 2 [(1 + cos 2[ωt ]) cos φ + sin 2[ωt ] sin φ] = = 3 UM I M [cos φ + (cos 2ωt + cos 2[ωt 120 ] + cos 2[ωt ]) }{{} ] + (sin 2ωt + sin 2[ωt 120 ] + sin 2[ωt ]) }{{} =0 =0 = 3 UM 2 I M 2 cos φ dvs den är konstant och pulserar inte vilket den enfasiga effekten gör. Detta är en mycket viktig anledning till att elkraft normalt överförs med tre faser. Motsvarande komplexa storheter är för spänningar : U a = U f 0 U b = U f 120 (3.15) U c = U f 120 De symmetriska spänningarna visas i figur 3.7. I figuren visas även de tre huvudspänningarna U ab, U bc och U ca som även dessa tillsammans bildar ett symmetriskt trefassystem dvs de har samma amplitud och är sinsemellan fasförskjutna med 120. På samma sätt som för tidsuttrycken kan det komplexa uttrycket för huvudspänningen U ab skrivas som U ab = U a U b = U f (1 e j120 ) = 3U f 30 (3.16) varvid visats att huvudspänningens effektivvärde är 3 gånger större än fasspänningens effektivvärde.

24 16 U c U ca +120 o U bc U a 120 o U ab U b Figur 3.7. De symmetriska spänningarna U a, U b, och U c samt huvudspänningar För strömmarna blir de komplexa uttrycken enligt följande : och för den totala trefasiga effekten : I a = I (0 φ) I b = I ( 120 φ) (3.17) I c = I (120 φ) S 3 = U a I a + U b I b + U c I c = 3U f I cos φ + j3u f I sin φ = = 3U f Ie jφ (3.18) I ekvation (3.18) avser U f effektivvärdet av fasspänningen. Om man istället utnyttjar huvudspänningens belopp U = 3U f erhålls S 3 = 3UIe jφ = 3Ue j arg(u) Ie j(arg(u) δ = 3UI (3.19) När man i trefassammanhang nämner en spänningsnivå, t ex 10 kv, så avses normalt effektivvärdet av huvudspänningen. Detta gäller även i detta kompendium. Vad som också normalt gäller är att man till en spänning, som har huvudspänningens belopp, ansätter en vinkel. Denna vinkel avser normalt fasspänningens vinkel. Detta gäller även i detta kompendium. Exempel 3.4 Teknologen Elektra bor i ett hus 2 km från en transformator där en fullständigt symmetrisk trefas-spänning kan erhållas (U a = 220V 0, U b = 220V 120, U c = 220V 120 ). Huset är anslutet till denna transformator via en trefas kabel (EKKJ, 3 16 mm mm 2 ). Det är kallt och Elektra har anslutit två 1000 W elradiator (vid 220 V med cosφ = induktivt) till varje fas. Antag att kabeln kan beskrivas med fyra parallella impedanser ( z L = j0.08 Ω/fas,km, z L0 = j0.015 Ω/km) och att elradiatorerna kan betraktas som impedanser. Beräkna den erhållna värmeeffekten i huset.

25 17 I a U a o Z o L I U b a U b o Z L o I c U b U o Z o c L I U 0 c U o Z 0 L0 o U 0 Z a Z b Z c Figur 3.8. Nätschema för exemplet Lösning U a = V, U b = V, U c = V Z L = 2( j0.08) = j0.16 Ω Z L0 = 2( j0.015) = j0.03 Ω P a = P b = P c = 2000 W (vid 220 V, cos φ = 0.995) sin φ = 1 cos 2 φ = Q a = Q b = Q c = S sin φ = cos P sin φ = VAr φ Z a = Z b = Z c = U = U 2 /S = U 2 /(P I a jq a ) = j2.40 Ω = U U I U I a = U a U 0 Z L +Z a I b = U b U 0 Z L +Z b I c = U c U 0 Z L +Z c I a + I b + I c = U 0 U 0 Z L0 [ U 0 U 0 = 0.0 = U 0 0 Z L0 ] Z L0 Z L +Z a Z L +Z b Z L +Z c = U a Z L +Z a + U b Z L +Z b + U c Z L +Z c I a = A, I b = A, I c = A Den matande spänningen till elradiatorerna kan beräknas enligt : U a = U 0 + I a Z a = U b = U c = V V 0.15 V Slutligen kan effekten i radiatorerna beräknas enligt S za = Z a I 2 a = j167 VA S zb = Z b I 2 b = j167 VA S zc = Z a I 2 c = j167 VA Den totala konsumerade effekten blir

26 18 S za + S zb + S zc = j502 VA, dvs värmeeffekten = 4998 W De totala transmissionsförlusterna blir Z L (I 2 a + I 2 b + I2 c ) + Z L0 I a + I b + I c 2 ) = j33 VA dvs aktiva förlusterna är 480 W, vilket innebär en verkningsgrad på 91.2 %. Som framgår av exempel 3.4 så ger en symmetrisk spänning som matar en symmetrisk impedans upphov till en symmetrisk ström. Dessutom blir det ingen ström i returledaren. Eftersom spänningen i husets nollpunkt = 0 så är det möjligt att göra beräkningar för en fas i taget utan hänsyn till de andra faserna. Totala effektförbrukningen kan beräknas som 3 gånger effektförbrukningen i en fas. Exempel 3.5 Antag samma exempel som 3.4 men med den skillnaden att teknologen Elektra istället ansluter en 1000 W elradiator (vid 220 V med cosφ = induktivt) till fas a, 3 stycken till fas b och 2 till fas c. Beräkna den erhållna värmeeffekten i huset. Lösning U a = V, U b = V, U c = V Z L = 2( j0.08) = j0.16 Ω Z L0 = 2( j0.015) = j0.03 Ω P a = 1000 W (vid 220 V, cos φ = 0.995) sin φ = 1 cos 2 φ = Q a = S sin φ = cos P sin φ = VAr φ Z a = U 2 /S a = U 2 /(P a jq a ) = j4.81 Ω Z b = Z a /3 = j1.60 Ω Z c = Z a /2 = j2.40 Ω [ ] U Z L0 Z L +Z a Z L +Z b Z L +Z c U 0 = V = U a Z L +Z a + U b Z L +Z b + U c Z L +Z c I a = A, I b = A, I c = A Spänningen vid elradiatorerna kan beräknas enligt : U a = U 0 + I a Z a = U b = U 0 + I b Z b = U c = U 0 + I c Z c = V V V Observera att dessa spänningar inte är lokala fasspänningar eftersom dessa beräknas som U a U 0 osv. Effekten i radiatorerna kan nu beräknas enligt S za = Z a I 2 a = j101 VA S zb = Z b Ib 2 = j210 VA

27 19 S zc = Z a I 2 c = j166 VA Den totala konsumerade effekten blir S za + S zb + S zc = j477 VA, dvs värmeeffekten är 4754 W De totala transmissionsförlusterna blir Z L (I 2 a + I 2 b + I2 c ) + Z L0 I a + I b + I c 2 ) = j36 VA, dvs W vilket innebär en verkningsgrad på 89.3 %. Som framgår av detta exempel så medför en osymmetrisk impedans en osymmetrisk ström. Dessutom uppstår en spänning i nollan i huset vilket ger en ström i returledaren. Den totalt erhållna värmeeffekten i huset sjönk med ca 5 % och ledningsförlusterna ökade bl a beroende på förluster i noll-ledaren. Verkningsgraden på transmissionen minskade. Det kan noteras i detta exempel att effekten per radiator minskar med ökat antal radiatorer anslutna till samma fas. Detta beror på att spänningen i nollpunkten hamnar närmast den fas med lägst impedans dvs flest antal radiatorer.

28 20

29 Kapitel 4 Modeller av elsystemkomponenter Elektrisk energi överförs från kraftverk till konsumenter via friledningar, kablar och transformatorer. Nedan behandlas hur dessa komponenter i kraftsystemet kan beskrivas med matematiska modeller som kan användas vid symmetrisk trefas. För osymmetrisk analys hänvisas till kapitel 11 och Elektrisk karakteristik för en kraftledning Friledningar kräver stora markutrymmen och är bäst lämpade att användas på landsbygden och i glest befolkade områden medan kablar lämpar sig bäst i stadsområden och tätbebyggda trakter. För överföring av lika stor effekt är anläggningskostnaden för kabel i storleksordningen 10 ggr så stor som för friledning. Kraftledningar har resistans r på grund av ledarresistivitet och shuntkonduktans g på grund av läckströmmar i isolationen. Vidare har de induktans l på grund av de magnetiska fält som omger ledningen samt shuntkapacitans c på grund av det elektriska fältet mellan ledarna och mellan ledarna och jord. Dessa storheter anges per längdenhet och är kontinuerligt fördelade längs ledningens hela längd. Resistans och induktans ligger i serie och konduktans och kapacitans har karaktären av shuntar. Med antagande om symmetrisk trefas kan en principskiss för kraftledningens utseende skissas enligt figur 4.1. Storheterna r, g, l, och c bestämmer en kraftlednings egenskaper. Ledningar kan avbildas med enkla ekvivalenta kretsar vilka tillsammans med modeller för övriga systemkomponenter kan utgöra en modell för hela kraftsystemet eller delar därav. Detta är viktigt eftersom sådana modeller används för att analysera aktiva och reaktiva effektflöden i nätet, spänningsfall, förluster, kraftsystemets stabilitet och andra egenskaper vid störningar som t ex kortslutningar. l r l r l r l r c g c g c g c g Figur 4.1. En kraftledning med utefter sin längd fördelade storheter För de exakta härledningarna av nedanstående uttryck för induktans och kapacitans hänvisas till grundläggande litteratur i teoretisk elektroteknik. 21

30 Resistans Resistansen hos en ledare med tvärsnittsarean A mm 2 och resistiviteten ρ Ωmm 2 /km är r = ρ A Ω/km (4.1) Ledarmaterialet är antingen koppar vars resistivitet vid 20 är 17.2 Ωmm 2 /km, eller aluminium vars resistivitet vid 20 är 27.0 Ωmm 2 /km. Valet mellan aluminium och koppar betingas enbart av prisrelationerna. Den effektiva växelströmsresistansen vid normal nätfrekvens (50-60 Hz) hos ledningar med liten tvärsnittsarea ligger mycket nära värdet på DC-resistansen. Vid grövre areor blir strömtätheten ej jämnt fördelad över hela tvärsnittet. Man får en koncentration av strömtätheten i de perifera delarna av ledaren. Detta fenomen kallas strömförträngning eller skineffekt och beror på ledarens inre magnetiska flöde. De strömbanor som ligger i centrum av ledaren omkretsas av hela det inre flödet och får en mot detta svarande inre självinduktans. Strömbanor som ligger mer perifert kommer inte att omslutas av lika stort inre flöde och får följdaktligen en lägre inre induktans. En lednings resistans finns angiven i tillverkarens tabeller i vilka hänsyn tagits till skineffekten. Ledningars resistans har ett värde som ligger mellan Ω/km. Resistansen spelar ofta, i förhållande till reaktansen, en underordnad roll i fråga om högspända kraftledningars överföringsförmåga och spänningsfall. Hos ledningar för lägre spänning och vid förlustberäkningar är dock resistansen av stor betydelse Shuntkonduktans Shuntkonduktansen hos en friledning representerar förluster på grund av läckströmmar längs isolatorkedjor. Det finns inga tillförlitliga data över shuntkonduktanser för friledningar och dessa är i mycket hög grad beroende av fuktighet, salthalt och föroreningar i den omgivande luften. För kablar representerar shuntkonduktansen förluster i det dielektriska isolationsmaterialet och data fås i tillverkaren tabeller. De dielektriska förlusterna är t ex för en 12 kv PEX kabel med arean 240 mm 2 /fas 7 W/km,fas och för en 170 kv PEX kabel med samma area 305 W/km,fas. I samtliga beräkningar på kraftledningar i detta kompendium försummas shuntkonduktansen Induktans Induktansen är i de flesta fall den viktigaste kraftledningsparametern. Den har stor inverkan på ledningens överföringsförmåga, spänningsfall och indirekt på dess förluster. Induktansen för en kraftledning ges av följande formel : l = ( ln a d/ n ) H/km,fas (4.2)

31 23 där a = 3 a 12 a 13 a 23 m, = geometriska medelavståndet enligt figur 4.2. d = ledaren diameter, m n = antalet ledare per fas Beräkningen av induktansen enligt ekvation (4.2) gäller under förutsättning att ledarmaterialet är omagnetiskt som koppar och aluminium samt att kraftledningen är skruvad. De flesta långa kraftledningar är skruvade, se figur 4.3. a 12 a 23 a 13 H 2 H 3 H 1 Markplan A 3 A 1 A 2 Figur 4.2. En kraftlednings geometriska storheter för beräkning av induktans och kapacitans Skruvningsställen Skruvningscykel Figur 4.3. Skruvning av trefas kraftledning Detta innebär att vardera av de tre ledarna under en skruvningscykel intar samtliga tre möjliga platser i stolpen. Varje plats upptas under lika lång sträcka vilket innebär att varje fasledare i genomsnitt har samma data vad gäller avstånd till marken och avstånd till de andra ledarna. Detta medför en utjämning av ömsinduktansen mellan de tre faserna så att driftinduktansen, induktansen per fas, blir lika stor hos de tre faserna.

32 24 D 2 d Figur 4.4. Tvärsnitt av en multipelledare med 3 ledare per fas I många fall utförs kraftledningar med multipelledare vilket betyder att man använder fler än en ledare per fas, se figur 4.4. Multipelledare medför både lägre reaktans hos ledningen och minskad korona (glimurladdningar). Radien d/2 i ekvation (4.2) måste i detta fall ersättas med den ekvivalenta radien där (d/2) ekv = n n(d/2) n 1 (d/2) (4.3) n = antal ledare per fas D/2 = radien i den av ledarna omskrivna cirkeln Utgående från induktansen kan reaktansen för en kraftledning beräknas enligt x = ωl = 2πfl Ω/km,fas (4.4) och är vid konstant frekvens enbart beroende av det geometriska utförande av ledningen. Förhållandet mellan det geometriska medelavståndet a och ledningsdiametern d i ekvation (4.2) varierar inom ganska snäva gränser för olika kraftledningar. Detta beror på att ledningar för högre spänningar både har längre avstånd mellan faserna och större lindiameter. Termen 1 4n har jämfört med ln( a d/2 ) oftast en mycket liten inverkan på induktansen. Reaktansen vid driftfrekvens för en friledning kan variera mellan 0.3 och 0.5 Ω/km,fas med ett typiskt värde på 0.4 Ω/km,fas. Kabelreaktanser varierar mellan 0.08 och 0.17 Ω/km,fas där det högre värdet svarar mot de minsta ledarareorna. Reaktansen hos kablar är alltså betydligt lägre än hos friledningar, vilket beror på att ledarna ligger närmare varandra. Jämför med ekvation (4.2) vilken dock enbart gäller för friledningar. Exempel 4.1 Bestäm reaktansen hos en 130 kv friledning där ledarna ligger i ett plan och avståndet mellan två närliggande ledare är 4 m. Lindiametern är 20 mm. Gör samma beräkning med två ledare per fas på avståndet 30 cm från varandra. Lösning a 12 = a 23 = 4, a 13 = 8

33 25 d/2 = 0.01 m a = = 5.04 x = 2π ( ln ) = (ln(504) ) = 0.41 Ω/km,fas Mulltipelledare (duplex) (d/2) ekv = 2 2(0.3/2)0.01 = x = ( ln ) = 0.29 Ω/km,fas Reaktansen minskar i detta fall med 28 % Shuntkapacitans För en trefas friledning, som är skruvad, kan kapacitansen till jord per fas beräknas enligt c = 10 6 ( ) F/km,fas (4.5) 2H 18 ln a A (d/2) ekv där H = 3 H 1 H 2 H 3 = geometriska medelhöjden för ledarna enligt figur 4.2. A = 3 A 1 A 2 A 3 = geometriska medelavståndet mellan ledarna och dessas spegelbilder i markplanet enligt figur 4.2. Av formeln (4.5) framgår att marken har en viss inverkan på kapacitansen. Detta beror på att det elektriska fältet som bestämmer kapacitansen, påverkas av marken som är tillräckligt ledande för att bilda en ekvipotentialyta under kraftledningen. Storleken av markens inverkan på kapacitansen bestäms av faktorn 2H/A i ekvation (4.5). Denna faktor har i allmänhet ett värde mycket nära 1. Antag nu att man har en kraftledning på relativt höga stolpar ( A 2H) och att termen 1 kan försummas i uttrycket (4.2). Genom att multiplicera uttrycken för induktans och 4n kapacitans erhålls ) ( ) l c = 2 10 (ln 4 a km ( ) = = 1 (4.6) (d/2) ekv a 18 ln ( ) 2 s v 2 (d/2) ekv där v = ljusets hastighet i km/s i vakuum. Innebörden av ekvation (4.6) kan sägas vara att induktans och kapacitans för en friledning är inversen av varandra. Ekvation (4.6) är en god approximation för en friledning. Shuntsusceptansen för en kraftledning blir b = 2πf c S/km,fas (4.7) Ett typiskt värde för shuntsusceptansen för en friledning är S/km,fas. Kablar har betydligt högre värden, mellan S/km,fas.

34 26 Exempel 4.2 Antag att en kraftledning har en shuntsusceptansen som är S/km,fas. Utnyttja ekvation (4.6) till att uppskatta kraftledningens reaktans. Lösning x = ωl ω cv = ω2 2 bv = (100π) 2 = Ω/km ( ) 2 vilket stämmer väl överens med standardvärdet 0.4 Ω/km för en frilednings reaktans. 4.2 Modell för kraftledning Både friledningar och kablar har sina elektriska karakteristiker r, x, g och b jämnt fördelade utefter hela sin längd. Figur 4.1 visar en approximation av storheternas fördelning. Generellt gäller att ju finare indelning man gör av ledningen, desto noggrannare blir beräkningsresultaten. Vid en första anblick kan det tyckas förnuftigt att bilda en kraftledningsmodell vars totala serieresistans och serieinduktans beräknas som resistansen resp induktansen per längdenhet gånger ledningens längd och motsvarande för shundadmittansen. Denna approximation är acceptabel enbart för korta och medellånga ledningar. Vid långa ledningar måste man beakta storheternas r, x, g och b fördelning utmed hela ledningens längd. En sådan analys kan utföras med hjälp av differentialkalkyl. Det finns inga absoluta gränser mellan korta, medellånga och långa ledningar. Allmänt kan man som vägledning räkna ledningar under 100 km som korta, mellan 100 km och 300 km som medellånga och över 300 km som långa ledningar. För kablar, med sina betydligt högre värden för tvärkapacitansen, bör även kablar kortare än 100 km beskrivas med medellång modell. Nedan behandlas modeller för korta och medellånga ledningar Korta ledningar För korta ledningar försummas shuntparametrarna konduktans och susceptans, eftersom strömmen genom dessa bara utgör delar av procent av ledningens märkström. Den ekvivalenta modellen kan ses i figur 4.5. Denna enfasiga modell av trefassystemet gäller under förutsättning att systemet drivs under symmetriska förhållanden. U k I k Z = R + jx U j Figur 4.5. Modell för kort kraftledning

35 27 Impedansen för ledningen beräknas enligt Z = R + jx = (r + jx)s Ω/fas (4.8) där s = ledningens längd i km. Sambandet mellan spänningar och ström i figur 4.5 är U j = U k 3(R + jx)i k (4.9) där U k = 3U k fas och U j = 3U j fas Medellånga ledningar För ledningar med längder mellan 100 och 300 km kan shuntkapacitansen inte försummas. Den ekvivalenta modellen i figur 4.5 utökas nu med shuntsusceptansen, vilket ger en π- ekvivalent enligt figur 4.6. Impedansen beräknas enligt ekvation (4.8) och admittansen per U k I k Y = jb Z = R + jx I U j Y = jb Figur 4.6. Modell för lång kraftledning fas till jord beräknas enligt Y = jb = j bs S/km (4.10) 2 dvs ledningens totala shuntkapacitans delas upp i två delar, en i var ände. π-ekvivalenten är en mycket vanlig och användbar modell för beräkningar i elsystemsammanhang. Modellens elektriska beteende fås ur U j = U k 3ZI (4.11) I = I k Y U k 3 (4.12) vilket ger U j = ( 1 + ZY ) U k 3ZI k (4.13) 4.3 Enfastransformatorn En tvålindningstransformator visas schematiskt i figur 4.7. Figuren avser att illustrera principen för en transformator. I det verkliga fysiska utförandet måste kravet på stark magnetisk koppling mellan primär- och sekundärsidan beaktas. Antag att det magnetiska flödet kan delas

36 28 Järnkärna Primär lindning N 1 varv Sekundär lindning N 2 varv Figur 4.7. Schematisk bild av tvålindningstransformator upp i tre komponenter. Där finns ett sammanlänkat flöde Φ m som går genom både primär och sekundärlindningen. Det finns också läckflöden Φ l1 som endast går genom primärlindningen samt Φ l2 som endast går genom sekundärlindningen. Den primära lindningen antas ha resistansen r 1 och den sekundära lindningen har resistansen r 2. Enligt induktionslagen kan följande samband ställas upp för spänningarna i transformatorns ändar : d(φ l1 + Φ m ) u 1 = r 1 i 1 + N 1 dt u 2 = r 2 i d(φ l2 + Φ m ) 2 + N 2 dt Med antagande om linjära förhållanden så gäller att (4.14) N 1 Φ l1 = L l1 i 1 (4.15) N 2 Φ l2 = L l2 i 2 där L l1 = Primärlindningens induktans L l2 = Sekundärlindningens induktans Ekvation (4.14) kan nu skrivas om enligt di 1 u 1 = r 1 i 1 + L l1 dt + N dφ m 1 dt u 2 = r 2 i 2 + L l2 di 2 dt + N 2 dφ m dt (4.16)

37 29 Med reluktansen R för järnkärnan och strömriktningsdefinitioner enligt figur 4.7 erhålls att de magnetomotoriska krafterna N 1 i 1 och N 2 i 2 adderas enligt N 1 i 1 + N 2 i 2 = RΦ m (4.17) Antag nu att i 2 = 0 dvs transformatorns sekundärsida är oansluten. Den ström som nu flyter brukar kallas primär magnetiseringsström och dess värde kan erhållas från ekvation (4.17) enligt i m = RΦ m N 1 (4.18) Ekvation (4.18) kan nu introduceras i ekvation (4.17) vilket resulterar i där i 1 = i m N 2 N 1 i 2 = i m + N 2 N 1 i 2 (4.19) i 2 = i 2 (4.20) Med antagande om linjära förhållanden kan det inducerade spänningsfallet N dφ m 1 dt (4.16) uttryckas med hjälp av en induktans enligt i ekvation N 1 dφ m dt = L m di m dt (4.21) dvs L m = N 2 1 /R. Genom att utnyttja ekvation (4.16), (4.19) och (4.21) kan ett ekvivalent schema för enfastransformatorn ställas upp, se figur 4.8. Figur 4.8. Ekvivalent schema för en tvålindningstransformator I figur 4.8 visas också den del som representerar den ideala transformatorn, vilket är en förlustfri transformator utan vare sig läckflöden eller magnetiseringsströmmar. Det ekvivalenta schemat i figur 4.8 har den fördelen att de olika elementen representerar olika delar av den verkliga fysikaliska transformatorn. L m t ex, representerar det antagna linjära förhållandet mellan det sammanlänkade flödet Φ m och järnkärnans mmk. Dessutom är de resistiva kopparförlusterna i transformatorns lindningar representerade med r 1 och r 2. För elsystemstudier där transformatorn ingår som en komponent används ofta en förenklad modell där magnetiseringsströmmen försummas.

38 Trefastransformatorn Det finns tre grundläggande sätt på vilka enfastransformatorer kan kopplas samman till trefastransformatorer. De tre sätten är Y-Y-koppling, - -koppling samt Y- -koppling. I figur 4.9 visas de olika kopplingarna. Y-Y- koppling - - koppling Y- - koppling Figur 4.9. Standardkopplingar för trefastransformatorer Konsekvensen av de olika kopplingarna kommer att behandlas närmare i kapitel 12.

39 Kapitel 5 Viktiga teorem för analys av elsystem I många fall kan utnyttjandet av vissa teorem förenkla analysen av en elektrisk krets eller ett elektriskt system. I de följande avsnitten kommer några viktiga teorem att bevisas och beskrivas. 5.1 Nodanalys, admittansmatriser Betrakta en elektrisk krets med fyra noder vilken visas i figur 5.1. Varje nod är ansluten till de andra med en admittans y mn där indexet avser de noder som admittansen är kopplad till. I 1 1 o y 12 2 I 2 o y 13 y 23 y 14 3 o y 34 y 24 I 3 o 4 I 4 Figur 5.1. En krets med 4 noder Antag att det inte finns några ömsinduktans-kopplingar och att nodspänningarna är U 1, U 2, U 3 och U 4 medan strömmarna I 1, I 2, I 3 och I 4 antas injicerade i noderna från externa strömkällor. En balansekvation för nod 1 blir då eller I 1 = y 12 (U 1 U 2 ) + y 13 (U 1 U 3 ) + y 14 (U 1 U 4 ) (5.1) I 1 = (y 12 + y 13 + y 14 )U 1 y 12 U 2 y 13 U 3 y 14 U 4 = (5.2) = Y 11 U 1 + Y 12 U 2 + Y 13 U 3 + Y 14 U 4 där Y 11 = y 12 + y 13 + y 14 och Y 12 = y 12, Y 13 = y 13, Y 14 = y 14 (5.3) 31

40 32 På motsvarande sätt kan ekvationer skrivas ut för de övriga noderna. Dessa ekvationer kan sedan sammanställas till en matrisekvation enligt : I = I 1 I 2 I 3 I 4 = Y 11 Y 12 Y 13 Y 14 Y 21 Y 22 Y 23 Y 24 Y 31 Y 32 Y 33 Y 34 Y 41 Y 42 Y 43 Y 44 För denna matris vilken kallas admittansmatris eller Y-matris gäller : U 1 U 2 U 3 U 4 = YU (5.4) Den kan entydigt erhållas från ett givet admittansnät. Diagonalelementet Y kk = summan av alla admittanser anslutna till nod k. Icke diagonalelement Y ik = y ik där y ik är admittansen mellan nod i och nod k. Av detta följer att matrisen är symmetrisk dvs Y ik = Y ki (ett undantag är dock om nätet innehåller fasvridande transformatorer). Den är singulär, eftersom I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = 0 Med potentialen antagen = 0 i en nod kan den raden och även motsvarande kolumn strykas och matrisen är då inte längre singulär. Nodanalys med hjälp av Y-matrisen är framförallt ett analysverktyg då antalet förbindelser i ett nät eller i en krets överskrider antalet noder. Exempel 5.1 Samma som exempel 3.5. Utnyttja Y-matrisen för nätet till att beräkna den erhållna värmeeffekten i huset. I 1 U 1 o Z o L I 2 U 2 o Z L o I 3 U o Z o 3 L I 0 I 4 U o Z 0 L0 o U 4 Z a Z b Z c Figur 5.2. Nätschema för exempel 5.1 Lösning Enligt uppgiften samt enligt beräkningar i exempel 3.5 så gäller att Z L = j0.16 Ω, Z L0 = j0.03 Ω, Z a = j4.81 Ω, Z b = j1.60 Ω, Z c = j2.40 Ω. Börja med att ställa upp Y-matrisen. I 0 och U 0 utesluts eftersom systemet blir överbestämt annars.

41 33 där I = I 1 I 2 I 3 I 4 = Y 44 = 1 Z L +Z a Z L +Z a 0 1 Z L +Z b 0 1 Z L +Z b Z L +Z c 1 Z L +Z c 1 Z L +Z a 1 Z L +Z b 1 Z L +Z c Y 44 1 Z L + Z a + 1 Z L + Z b + U 1 U 2 U 3 U 4 = YU (5.5) (5.6) Z L + Z c Z L0 I matrisekvationen ovan är U 1, U 2, U 3 och I 4 (I 4 =0) samt alla impedanser dvs Y-matrisen kända storheter. Den ovan givna Y-matrisen kan inverteras vilket ger motsvarande Z-matris : U = U 1 U 2 U 3 U 4 = ZI = Y 1 I = Z 11 Z 12 Z 13 Z 14 Z 21 Z 22 Z 23 Z 24 Z 31 Z 32 Z 33 Z 34 Z 41 Z 42 Z 43 Z 44 I 1 I 2 I 3 I 4 (5.7) Eftersom Y-matriselementen är kända så kan samtliga Z-matriselement beräknas. Eftersom I 4 =0 kan U 1, U 2 och U 3 uttryckas som en funktion av I 1, I 2 och I 3 genom att endast utnyttja en del av Z-matrisen : U = U 1 U 2 U 3 = Z I = Z 11 Z 12 Z 13 Z 21 Z 22 Z 23 Z 31 Z 32 Z 33 I 1 I 2 I 3 (5.8) Eftersom spänningarna U 1, U 2 och U 3 är kända kan strömmarna I 1, I 2 och I 3 beräknas enligt : I = I 1 I 2 = (Z ) 1 U = (5.9) I 3 = 10 3 = 19.0 j j j j j j j j j A Från dessa strömmar kan sedan effekterna i elradiatorerna beräknas enligt : = S za = Z a I 2 1 = j101 VA S zb = Z b I 2 2 = j210 VA S zc = Z c I 2 3 = j166 VA = j477 VA (5.10) dvs erhållen värmeeffekt är 4754 W.

42 Millmans teorem Millmans teorem (parallellgenerator-teoremet) innebär att om ett antal admittanser Y 1, Y 2, Y 3... Y n är anslutna till en gemensam nod k, och spänningarna i förhållande till en referensnod U 10, U 20, U U n0 är kända så kan spänningen i nod k i förhållande till referensnoden, U k0 bestämmas enligt n Y i U i0 U k0 = i=1 (5.11) n Y i Antag en stjärnkoppling av admittanser enligt figur 5.3. Y-matrisen för denna koppling kan i=1 Figur 5.3. Stjärnkopplade admittanser beskrivas enligt I 1 I 2. = I n I k Denna ekvation kan skrivas som I 1 I 2. = I k Y Y 1 0 Y Y Y n Y n Y 1 Y 2... Y n (Y 1 + Y Y n ) (U 10 Y 1 U k0 Y 1 ) (U 20 Y 2 U k0 Y 2. ( U 10 Y 1 U 20 Y n i=1 Y iu k0 U 10 U 20. U n0 U k0 (5.12) (5.13) Eftersom det inte injiceras någon ström i nod k blir I k = 0. Detta innebär att den nedersta ekvationen ovan kan skrivas om som n I k = 0 = U 10 Y 1 U 20 Y Y i U k0 (5.14) i=1

43 35 Denna ekvation kan sedan skrivas som U k0 = U 10Y 1 + U 20 Y U n0 Y n (5.15) n Y i och därmed är Millmans teorem bevisat. i=1 Exempel 5.2 Lös exempel 3.5 med Millmans teorem, vilket faktiskt är den hittills enklaste metoden för detta exempel. Figur 5.4. Nätschema för exempel Lösning Enligt uppgiften samt enligt beräkningar i exempel 3.5 så gäller att Z L = j0.16 Ω, Z L0 = j0.03 Ω, Z a = j4.81 Ω, Z b = j1.60 Ω, Z c = j2.40 Ω. Med Millmans teorem kan spänningen i nod 4 beräknas enligt U 40 = n Y i U i0 i=1 = n Y i i=1 = V U 0 + U Z 1 L0 Z a+z + U 2 + U L Z b +Z 3 L Z c+z L Z L0 Z a+z = L Z b +Z L Z c+z L (5.16) Strömmarna genom impedanserna kan sedan beräknas enligt I 1 = U 1 U 4 Z a + Z L = A I 2 = U 2 U 4 Z b + Z L = A (5.17) I 3 = U 3 U 4 Z c + Z L = A

44 36 Från dessa strömmar kan sedan effekterna i elradiatorerna beräknas på samma sätt som tidigare : S za = Z a I 2 1 = j101 VA S zb = Z b I 2 2 = j210 VA S zc = Z c I 2 3 = j166 VA = j477 VA (5.18) dvs värmeeffekten är 4754 W. 5.3 Superpositionsteoremet Enligt avsnitt 5.1 kan varje admittansnät beskrivas med en Y-matris dvs där I = YU (5.19) I = vektor med strömmar som injiceras i noderna U = vektor med spänningarna i noderna Superpositionsprincipen kan tillämpas på storheter med linjärt samband som i ekvation (5.19). Detta innebär att man söker en dellösning för t ex en generator i taget. Totala lösningen erhålls genom att lägga ihop alla dellösningar : I = I 1 I 2. I n = Y U 1 U 2. U n = Y U Y 0 U Y 0 0. U n (5.20) Det kan noteras att superpositionsprincipen ej går att tillämpa på effekter eftersom dessa inte kan betraktas som linjära storheter i detta sammanhang då de är produkter av spänning och ström. Exempel 5.3 Utgå från exempel 5.1 och antag att ett fel vid den matande transformatorn medför en kortslutning av fas 2. Fas 1 och 3 ger dock fortfarande rätt spänning. Beräkna erhållen total värmeeffekt i Elektras hus. Lösning Enligt exempel 5.1, ekv (5.9) kan fasströmmarna uttryckas som funktion av matande spänningar enligt I 1 U 1 I = I 2 = (Z ) 1 U 2 (5.21) I 3 U 3

45 37 Figur 5.5. Exempel 5.3 Kortslutning av fas 2 är detsamma som att man i serie med spänningskällan för fas 2 kopplar in en likadan spänningskälla men med omvänt tecken. Fasströmmarna i det förändrade systemet kan nu enkelt beräknas enligt : I 1 U I = I 2 = (Z ) 1 U 2 + (Z ) 1 U 2 = I 3 U j j j j j j = j j j = A (5.22) S za = Z a I 2 1 = j91 VA S zb = Z b I 2 2 = j0.830 VA S zc = Z c I 2 3 = j151 VA = j243 VA (5.23) dvs värmeeffekten är 2421 W Som framgår av detta exempel kan superpositionsprincipen bl a användas till att studera inverkan av förändringar i systemet. Det kan än en gång påminnas om att detta endast gäller under förutsättning att lasterna (radiatorerna i exemplet) kan beskrivas med impedanser. 5.4 Reciprocitetsteoremet Antag att en spänningskälla, ansluten till en punkt a i ett linjärt reciprokt elektriskt nät orsakar en ström i b. Enligt reciprocitetsteoremet orsakar spänningskällan samma ström i a om den istället är ansluten till b. Med ett reciprokt elektriskt nät avses att motsvarande Y-matris (och därmed Z-matris) är symmetrisk.

46 38 Antag att ett elektriskt nät med n noder kan beskrivas med en symmetrisk Y-matris dvs I 1 Y 11 Y Y 1n U 1 I 2. = I = YU = Y 21 Y Y 2n U (5.24).. I n Y n1 Y n2... Y nn U n Antag att alla spänningar = 0 utom U a. Detta innebär att strömmen i b blir I b = Y ba U a (5.25) Antag nu istället att alla spänningar = 0 utom U b. Detta innebär att strömmen i a blir I a = Y ab U b (5.26) Om U a = U b så blir I a = I b eftersom Y-matrisen är symmetrisk dvs Y ab = Y ba. Därmed är reciprocitetsteoremet bevisat. 5.5 Thévenins teorem Thévenins teorem (efter telegrafingenjören och läraren Léon Charles Thévenin som ställde upp teoremet 1883) även kallat Helmholtz-Thévenins teorem (egentligen var Hermann von Helmholz först, redan 1853 beskrev han teoremet) kan beskrivas enligt Antag 2 punkter a och b i ett linjärt elektriskt nät. Sett från dessa punkter kan det övriga nätet beskrivas av en spänningskälla U T i serie med en impedans Z T. U T har samma spänning som den mellan punkterna a och b, medan Z T är impedansen mellan a och b med alla i nätet förekommande spänningskällor kortslutna, och strömkällor ersatta med avbrott. Bevis : Antag 2 punkter a och b i ett linjärt elektriskt nät mellan vilka spänningen är U T. Mellan a och b anslutes en impedans Z genom vilken strömmen I flyter. Detta är liktydigt med att man har en krets med en spänningskälla U T mellan a och b i serie med impedansen Z, samt en krets med spänningskällan U T och övriga spänningskällor i nätet kortslutna. Strömmen I erhålls nu genom superpositionsteoremet som summan av I 1 och I 2. I 1 = 0 eftersom spänningen är densamma på båda sidor om impedansen Z. I 2 = ( U T )/(Z + Z T ) eftersom nätets impedans mellan a och b är Z T. Slutsatsen blir att linjärt elektriskt nät = linjärt elektriskt nät + spännings källor kortslutna I I 1 I 2 a Z b a b a b Z Z ~ U T ~ U T

47 39 I = I 1 + I 2 = vilket är detsamma som erhålls enligt Thévenins teorem dvs U T Z + Z T (5.27) linjärt elektriskt nät a ~ U T = b U T ~ Z T a b

48 40

49 Kapitel 6 Analys av symmetriska trefassystem En analys av ett trefas-system vid symmetriska förhållanden kan genomföras genom att endast studera en fas. Figur 6.1 visar ett enkelt trefas-system. Z G I a Z n I n =0 + U a ~ U b N ~ + I b ~ Z G Z L U + c n Z L Z L Z G I c Figur 6.1. Symmetriskt trefas-system Eftersom förhållandena är symmetriska så har nollpunkten vid generatorn och vid lasten samma potential vilket innebär att I n = 0. Impedansen i nolledaren Z n saknar därför betydelse och ekvationen för fas a kan skrivas enligt : U a = (Z G + Z L )I a (6.1) Strömmarna och spänningarna i de andra faserna har samma belopp som motsvarande storheter i fas a men är fasförskjutna 120. Ekvation (6.1) motsvarar den enfasiga beskrivningen av nätet i figur 6.2. Lösningen till detta system ger även den fullständiga lösningen till systemet i figur 6.1. Antag nu att en del av det elektriska nätet består av en trefas- I a Z G + U a ~ Z L Z=R+jX Figur 6.2. Enfasig ekvivalent till symmetriskt trefas-system transformator. Om transformatorn är Y-Y-kopplad som visas i figur 6.3 så blir den enfasiga ekvivalenten enligt figur 6.4 med samma omsättning som den trefasiga transformatorn. Om transformatorn istället är Y -kopplad enligt figur 6.5, så måste -sidan ersättas med en ekvivalent Y-koppling enligt den streckade modellen i figuren. 41

50 42 Figur 6.3. Trefas Y-Y-kopplad transformator Figur 6.4. Enfasekvivalent av trefas Y-Y-kopplad transformator Den enfasiga ekvivalenten av Y -transformatorn visas i figur 6.6. Man måste dock notera att det sker en fasvridning av både ström och spänning i denna typ av transformatorer (Y ). Detta beror på att huvudspänningen på ena sidan motsvarar en fasspänning på den andra sidan. Fasförskjutningen mellan huvudspänning och fasspänning är 30, vilket visats i ekvation (3.12) och (3.16). Om denna fasvridning är av intresse utför man först beräkningarna enligt enfasekvivalenten för att sedan vrida fasvinklarna på aktuella storheter enligt transformatorkopplingar. Det bör dock påpekas att oavsett transformatorkopplingen så är spänningsomsättningen densamma för enfasekvivalenten som för trefastransformatorn. Figur 6.5. Trefas Y -kopplad transformator

51 43 Figur 6.6. Enfasekvivalent av trefas Y -kopplad transformator 6.1 Enlinje-schema och impedans-nät Ett enlinje-schema över ett elsystem visar de huvudsakliga komponenterna samt kopplingarna mellan dem. Varje komponent visas enbart i schemat ifall den är nödvändig för den studie som skall genomföras. I figur 6.7 finns ett exempel på hur ett enlinje-schema kan se ut. Brytare representeras av fyrkanter, ledningar med streck, generatorer och transformatorer med sina kopplingar och laster som pilar. Impedansnätet (egentligen plusföljdsnätet, se kapitel 13 ) Figur 6.7. Enlinje-schema för ett enkelt kraftsystem Generator 1 : 30 MVA, 10 kv, X = 1.6 Ω Generator 2 : 15 MVA, 6 kv, X = 1.2 Ω Generator 3 : 25 MVA, 6 kv, X = 0.56 Ω Transformator T 1 (3-fas) : 15 MVA, 30/10 kv, X = 15.2 Ω/fas på högspänningssidan. Transformator T 2 (3-fas) : 15 MVA, 30/6 kv, X = 16 Ω/fas på högspänningssidan. Kraftledningen : R = 5 Ω/fas, X = 7 Ω/fas Last A : 15 MW, 10 kv, cos φ=0.9 induktivt Last B : 40 MW, 6 kv, cos φ=0.85 induktivt Generatorer är specificerade med trefas-mva, huvudspänning och per-fas reaktans (Ykopplad). Transformatorer är specificerade som trefas-mva, huvudspännings-omsättning och perfas impedans på ena sidan. Laster är specificerade som trefas-mw, huvudspänning och effektfaktor. för systemet, att användas vid symmetriska förhållanden kan enkelt ritas upp utgående från enlinje-schemat. I figur 6.8 visas impedansnätet för kraftsystemet beskrivet med ett enlinjeschema i figur 6.7. Enfas-transformators-ekvivalenter visas som ideala transformatorer med den aktuella impedansen på rätt sida. Magnetiseringsreaktansen har försummats. Genera-

52 44 Gen 1 Last A Transf. T Ledning Transf. T Last B Gen 2 Gen 3 Figur 6.8. Impedans-nät för ett enkelt kraftsystem torer representeras som en spänningskälla bakom en impedans. Kraftledningen representeras som en Π-länk och lasterna antas kunna representeras med impedanser. De olika kopplingarna av transformatorer samt jordnings-impedanser förekommer inte eftersom symmetriska förhållanden förutsätts. Tre spänningsnivåer (6, 10 och 30 kv) finns i systemet. Analysen av systemet kan genomföras genom att man transformerar alla spänningar och impedanser till samma spänningsnivå t ex den för kraftledningen dvs 30 kv. Denna metod kräver ofta omfattande beräkningar. Det normala tillvägagångssättet när man har ett system med flera spänningsnivåer är att man utnyttjar per-unit-systemet. 6.2 Per-unit (PU) systemet En vanlig metod att uttrycka spänningar, strömmar, effekter och impedanser i en elektrisk krets är i per-unit (eller procent) av en viss bas eller ett referens-värde. Per-unit värdet av en storhet definieras enligt Per-unit värde = verkligt värde bas-värdet för storheten (6.2) Per-unit metoden är speciellt lämplig för elsystem med flera spänningsnivåer och transformatorer. I ett trefas-system kan per-unit-värden beräknas utgående från motsvarande bas-storheter. Utgående från en basspänning U b = huvudspänning = basspänning, kv (6.3) och en baseffekt kan basströmmen S b = tre-fas baseffekt, MVA (6.4) I b = S b 3Ub = basström/fas, ka (6.5) och en basimpedans Z b = U 2 b S b = basimpedans, Ω (6.6)

53 45 beräknas. Ovan har antagits storheter kv och MVA vilket ger ka och Ω. Man kan givetvis även använda t ex kombinationerna V, VA, A, Ω eller kv, kva, A, kω. Motivet till att man använder per-unit systemet är bl a att Man ser direkt på pu-spänningar vilket procentuellt spänningsfall som erhålls. Det blir möjligt att göra rationella beräkningar på system med flera spänningsnivåer. Vid flera spänningsnivåer kan man direkt se på impedansernas pu-värden vilken relativ betydelse de har. Vid större system erhålls värden av samma storleksordning vilket ger bättre numerisk noggrannhet vid beräkningar Per-unit representation av transformatorer Som nämnts ovan kan en trefas-transformator som ingår i ett elsystem under symmetriska förhållanden representeras av en enfas-transformator. En -kopplad transformator ersätts då med en Y-kopplad med motsvarande omsättning. Figur 6.9 visar en enfas-transformator representerad med en läckreaktans på primärsidan Figur 6.9. Representation av enfas-transformator med försummad magnetiserings-impedans och en på sekundärsidan samt en ideal transformator med omsättningen 1:a. Magnetiseringsimpedansen försummas. Utgå från en baseffekt S b och välj basspänningar på båda sidor av transformatorn i förhållande till omsättningen dvs U 1b U 2b = 1 a (6.7) Av detta följer att och I 1b I 2b = a (eftersom S b är gemensam) (6.8) Z 1b = U 1b 3I1b, Z 2b = U 2b 3I2b (6.9)

54 46 Utgående från figur 6.9 kan spänningen U 2 uttryckas som Med definitionen (6.2) kan ekvation (6.10) skrivas om som U 2 = [U 1 3I 1 Z p ]a 3I 2 Z s (6.10) U 2 (pu)u 2b = [U 1 (pu)u 1b 3I 1 (pu)i 1b Z p (pu)z 1b ]a (6.11) 3I2 (pu)i 2b Z s (pu)z 2b Genom att dividera med U 2b samt utnyttja relationerna (6.7), (6.8) och (6.9) erhålls Men eftersom så är U 2 (pu) = U 1 (pu) I 1 (pu)z p (pu) I 2 (pu)z s (pu) (6.12) I 1 I 2 = I 1b I 2b = a Ekvation (6.12) kan därför skrivas som där eller I 1 I 1b = I 2 I 2b (6.13) I 1 (pu) = I 2 (pu) = I(pu) (6.14) U 2 (pu) = U 1 (pu) I(pu)Z(pu) (6.15) Z(pu) = Z p (pu) + Z s (pu) (6.16) Ekvation (6.15) kan nu representeras av en enkel krets enligt figur 6.10, vilken alltså inte fordrar en ideal transformator. Som framgår av detta medför ett utnyttjande i per-unit- Figur Per-unit representation av symmetriskt belastad transformator systemet av en gemensam effektbas och spänningsbaser enligt transformatoromsättningar, att transformatorer i elsystem kan ersättas med endast impedanser. Z(pu) kan bestämmas direkt från impedansvärdet i ohm från endera primär eller sekundärsidan genom att utnyttja rätt basstorheter. På primärsidan : Z 1 = Z p + Z s /a 2 (6.17) Z 1 (pu) = Z 1 Z 1b = Z p Z 1b + Z s Z 1b 1 a 2

55 47 Men vilket medför att a 2 Z 1b = Z 2b (6.18) Z 1 (pu) = Z p (pu) + Z s (pu) = Z(pu) (6.19) Liknande beräkningar kan givetvis utföras från sekundärsidan med motsvarande resultat. Slutsatsen är att transformatorns impedans i per-unit är densamma oavsett från vilken sida den beräknas. Det måste påpekas att om impedansen för en transformator är given i % dvs intern per-unit så måste den först räknas om till systemets per-unit om en annan baseffekt och/eller basspänning utnyttjats. Exempel 6.1 Antag att man har en 15 MVA-transformator med omsättningen 6 kv/30 kv och en procentuell kortslutnings-reaktans om 8 %. Beräkna dess p.u.-impedans när baseffekten för systemet är 20 MVA och basspänningen på 30 kv-sidan är 33 kv. Lösning Beräkna först transformatorns impedans i ohm på 30 kv-sidan och beräkna därefter impedansen i per-unit. Z 30kv = Z % 100 Z trafo bas = Z % Utrafo 30kV 2 = 100 S trafo Z pu = Z 30kV Z b 30kV = Z 30kV S b U 2 b 30kV = j = j4.8ω j = j0.088pu Man kan även direkt beräkna värdet i pu genom att transformera till en ny bas enligt Z pu ny = Z pu S b ny S b U 2 b U 2 b ny = j = j0.088pu (6.20) Beräkningar med hjälp av per-unit Utgående från ett enlinje-schema kan som visats ovan ett impedans-nät tas fram. Detta innehåller dock transformatorer vilka genom införande av per-unit ersätts med impedanser. Beräkningsgången för analys av ett elsystem är den följande : 1. Välj en lämplig baseffekt för systemet. Den bör rimligen vara av samma storleksordning som ingående effektstorheter. 2. Välj en spänningsbas i en sektion av systemet. Transformatorer delar in ett elsystem i olika sektioner. 3. Beräkna spänningsbaser i de övriga sektionerna av elsystemet med hjälp av transformatoromsättningarna. 4. Beräkna per-unit värden av samtliga ingående komponenter i systemet.

56 48 5. Bygg upp ett enfasigt impedansnät som beskriver systemet. 6. Utför den analys som är efterfrågad. 7. Transformera tillbaka till nominella värden Exempel 6.2 I figur 6.11 visas ett elsystem där en elförbrukning försörjs från en generator via en kraftledning och två transformatorer. Beräkna spänningen över lasten samt erhållen aktiv effekt. ~ G T1 L T2 LD Figur Elsystemet i exempel 6.2 Generator G : 13.8 kv huvudspänning Transformator T1 : 10 MVA, 13.8/69 kv, j1.524 Ω (13.8 kv-sidan) Ledning L : 10 km, j0.8 Ω/fas,km Transformator T2 : 5 MVA, 66/13.2 kv, x = 8 % Lasten LD : 4 MW, cosφ = 0.8, 13.2 kv, impedanslast Lösning 1. Antag baseffekten 10 MVA 2. Antag basspänningen 13.8 kv vid generatorn 3. Transformatoromsättningar ger basspänningen 69 kv för ledningen och /66 = 13.8 kv för lasten. I figur 6.12 visas hur elsystemet delats in i olika sektioner. 4. Beräkna komponenternas per-unit värden. ~ 10 MVA 10 MVA 10 MVA 13.8 kv 69 kv 13.8 kv Figur Exempel 6.2, elsystemets olika sektioner

57 49 G: U g = U g nom = 13.8 U 1 bas 13.8 = 1.0p.u. T1: Z t1 = Z t nom = j Z 1 bas 13.8 = j0.080p.u. 2 L: Z L = sz L 10 j = = j0.017p.u. Z 2 bas 69 2 T2: Z T kV (Ω) = j = j2.788ω Z T 2 = Z T kV (Ω) j = = 0.146p.u. Z 3 bas LD: Z LD (Ω) = = Z LD = U 2 LD S LD = U 2 LD S LD (cos φ j sin φ) = U 2 LD S LD (cos φ + j sin φ) = (0.8 + j0.6) = j20.91ω 4/0.8 Z LD (Ω) Z 3 bas = ( j20.91) = j1.098p.u. 5. Utgående från dessa data kan ett impedansnät enligt figur 6.13 byggas upp. Figur Exempel 4.2, pu-impedans-nät 6. Strömmen genom kretsen kan nu beräknas enligt I = Spänningen över lasten blir 1 + j0 = j0.3402pu (6.21) j j j j1.098 Den erhållna effekten i lasten blir U LD = IZ LD = j0.0903pu (6.22) S LD = U LD I LD = pu (6.23) 7. De nominella värdena för lastens spänning och aktiva effektförbrukning erhålls genom att multiplicera med motsvarande bas-storheter. U LDkV = U LD U 3 bas = = 12.72kV (6.24) P LDMW = Real(S LD )S bas = = 3.71MW (6.25)

58 50

59 Kapitel 7 Effektöverföring till impedanslaster Kraftledningar och kablar arbetar normalt under balanserade förhållanden, dvs vid symmetrisk trefas. Man kan då representera en ledning med en enfasig ekvivalent. Denna ekvivalent kan beskrivas med en fyrpol. (Egentligen en plusföljdsekvivalent, se kapitel 11.) 7.1 Fyrpolsteori Antag att man har en linjär, reciprok fyrpol där spänningen och strömmen in i ena änden är U a och I a medan spänningen och strömmen ut i andra änden är U b och I b. Förhållandena i denna fyrpol kan då beskrivas med ABCD-konstanter enligt [ ] [ ] [ ] U a A B U = b (7.1) C D I a Antag att fyrpolen kortslutes i mottagaränden (dvs U b = 0) enligt figur 7.1, och att spänningen U läggs på sändaränden. Systemet enligt figur 7.1 kan skrivas som I b I a1 U A C B D I b1 Figur 7.1. Fyrpol, kortsluten i mottagaränden U = B I b1 (7.2) I a1 = D I b1 (7.3) Antag nu istället att fyrpolen kortslutes i sändaränden (U a = 0) enligt figur 7.2, och att spänningen U istället läggs på mottagaränden. I b2 U I a2 A C B D Figur 7.2. Fyrpol, kortsluten i sändaränden Systemet enligt figur 7.2 kan skrivas som 0 = A U B I b2 (7.4) I a2 = C U D I b2 (7.5) 51

60 52 Reciprocitets-teoremet innebär att Ur ovanstående ekvationer kan följande uttryck härledas : I a2 = I b1 = I (7.6) ekv. (7.4) I b2 = A B U (7.7) ekv. (7.7)+(7.6)+(7.2) I b2 = A I (7.8) ekv. (7.2)+(7.5)+(7.8) I = C B I D A I (7.9) ekv. (7.9), I 0 A D B C = 1 (7.10) dvs determinanten för en reciprok fyrpol = 1. Detta innebär att om man kopplar ihop flera reciproka fyrpoler efter varandra så är determinanten för den totala fyrpolen också = 1. Med tre reciproka fyrpoler F 1, F 2 och F 3 sammankopplade efter varandra erhålls t ex alltid : det(f 1 F 2 F 3 ) = det(f 1 ) det(f 2 ) det(f 3 ) = = 1 (7.11) Symmetriska fyrpoler Antag att man har en symmetrisk, linjär, reciprok fyrpol. I figur 7.3 ger en i sändaränden I a I 1 U A B a U C D 1 Figur 7.3. Symmetrisk fyrpol, koppling a inmatad ström I a vid spänningen U a upphov till en ström I 1 vid spänningen U 1 i mottagaränden. Detta kan även beskrivas med ekvationen [ ] [ ] [ ] U a A B U = 1 C D I a I 1 (7.12) Antag nu istället att kretsen matas åt andra hållet så att U 1 och I 1 erhålls i sändaränden enligt figur 7.4. I 1 I b U 1 A C B D U b Figur 7.4. Symmetrisk fyrpol, koppling b

61 53 Denna koppling kan även formuleras matematiskt enligt : [ ] [ ] [ U 1 A B U = b I 1 C D I b ] (7.13) Genom att flytta in minustecknen i matrisen kan ekvation (7.13) skrivas om till [ ] [ ] [ ] U 1 A B U = b C D I 1 I b (7.14) Matrisen i ekvation (7.14) kan nu inverteras vilket ger [ ] [ U b 1 D B = I b } A D {{ B C C A } =1 ] [ U 1 I 1 ] (7.15) Eftersom fyrpolen är symmetrisk gäller att [ ] [ U b U a I b I a ] (7.16) Ekvationerna (7.12), (7.15) och (7.16) ger då tillsammans att [ ] [ ] A B D B = C D C A (7.17) För symmetriska fyrpoler gäller således att A = D. 7.2 Kraftledningsmodell En kraftledning kan vid symmetriska förhållanden beskrivas men en enfasig ekvivalent (egentligen plusföljdsekvivalent) bestående av serie- och parallellkoppling av induktanser, resistanser, konduktanser och kapacitanser enligt figur 7.5, vilket beskrivits i kapitel 4. För en noggrannare beskrivning av en kraftledning eller kabel hänvisas till kapitel 11. l r l r l r l r c g c g c g c g Figur 7.5. Enfasekvivalent beskrivning av en kraftledning Ett vanligt sätt att förenkla denna kraftledningsekvivalent är att Shunt-konduktansen g försummas.

62 54 Shunt-kapacitansen c delas upp i två delar, hälften i varje ände. Alla längs-induktanser l och -resistanser r seriekopplas till en enda längsimpedans. Resultatet av dessa förenklingar blir den mycket använda Π-modellen för ledningen enligt figur 7.6. Z n Y n /2 Y n /2 Figur 7.6. Nominell Π-modell av kraftledning De nominella värdena för parametrarna i figur 7.6 är : Z n = l(r + j2πfl) Y n = l(j2πfc) där l = ledningens längd i km r = ledningens resistans i Ω/km l = ledningens induktans i H/km f = frekvensen (50 eller 60 Hz) c = ledningens kapacitans i F/km Med en per-unit representation av ledningen (Y = Y n /Y bas, Z = Z n /Z bas ) och beteckningar enligt figur 7.7 kan följande ekvationer ställas upp för spänningar och strömmar i ledningens U a Z U b I a Y/2 I b Y/2 Figur 7.7. Π-modell av kraftledning, pu-värden ändar. U a = U b + ( I b U b Y ) Z (7.18) I a = 1 2 U a Y + I b U b Y

63 55 Dessa ekvationer kan skrivas om som U a = ( Z Y ) U b + Z I b (7.19) I a = 1 2 Y ( Z Y ) U b + ( 1 2 Z Y + 1) I b vilket i matrisform kan skrivas som en fyrpolsekvation enligt [ U a I a ] = A B {}}{{}}{ 1 + 1Y Z Z 2 Y (1 + 1Y Z) 4 }{{} C Y Z }{{} D [ U b I b ] (7.20) Som framgår av ekvation (7.20) är en ledning symmetrisk vilket gör att A = D. Eftersom ledningen även är reciprok så är A D B C = Modell för förenklad ledning och transformator I vissa fall försummas ledningens tvärkapacitans, vilket innebär att ledningen enbart representeras av en längsimpedans Z. Detta är som visats tidigare även den representation som används för en transformator (se figur 6.10) dvs endast en serieimpedans. Med denna modell blir alla Y = 0 i ekvation (7.20) och den förenklade ledningen respektive transformatorn kan representeras med följande fyrpol : [ U a I a ] = [ 1 Z 0 1 ] [ U b I b ] (7.21) Anslutning till kraftnät Om man i en viss punkt i ett kraftnät tar ut effekt så sjunker normalt spänningen något i förhållande till hur mycket effekt som tas ut. För ett starkt nätgäller att spänningen är konstant även om effekt tas ut. Enligt Thévenins teorem kan ett linjärt nät sett i en punkt ersättas med en konstant spänningskälla bakom en impedans, se avsnitt 5.5. Antag t ex att man i en punkt kan ersätta hela det bakomliggande kraftnätet med en Thévenin-ekvivalent enligt figur 7.8. a U T ~ Z T b Figur 7.8. Thévenin-ekvivalent till en punkt i ett kraftnät

64 56 Antag att en metallisk kortslutning (Z k = 0) inträffar i punkten, dvs mellan a och b. Med denna modell innebär det att man får en kortslutningsström som är I k = U T Z T (7.22) i per-unit-systemet. Som framgår av figur 7.8 så erhålls spänningen U T inte belastas alls. i punkten när den Frågan är dock hur väl en linjär modell stämmer med verkligheten. Studera det förenklade nätet i figur 7.9. D E ~ G T1 L1 T2 L2 Figur 7.9. Enkelt kraftnät Antag att transformatorn T 2 automatiskt reglerar spänningen vid D till 10 kv. 1: Antag först att man har en kortslutning i punkt D. Det övriga kraftnätet kan beskrivas av en spänningskälla U T D bakom en impedans Z T D där spänningen U T D = spänningen i D innan kortslutningen och Z T D = Z T 2 + Z L1 + Z T 1 + Z G1 (alla värden i per-unit). Detta innebär förstås att det blir en spännings-sänkning i D vid en kortslutning. Om man istället antar att man kopplar in en last vid D så sjunker visserligen spänningen momentant, men sedan sätter transformatorns reglering igång och efter en viss tid erhålls nominell spänning = 10 kv. I detta fall är alltså Thévenins ekvivalent ej tillämplig. 2: Antag nu istället en kortslutning vid punkt E. Det övriga kraftnätet kan då beskrivas av en spänningskälla U T E bakom en impedans Z T E där spänningen U T E = spänningen i E innan kortslutningen och Z T E = Z L2 + Z T 2 + Z L1 + Z T 1 + Z G1 (alla värden i perunit). På samma sätt som i fall 1: innebär detta att det blir en spännings-sänkning i E vid en kortslutning. Om man istället antar att man kopplar in en last vid E så sjunker spänningen momentant, men även nu sätter transformatorn T 2:s reglering igång och efter en viss tid erhålls nominell spänning = 10 kv vid D. I detta fall finns dock en viss del av spänningssänkningen kvar eftersom det är spänningen vid D som regleras. Den impedans som finns kvar dvs Z L2 är skillnaden mellan Thévenin impedansen för punkt E och D. Slutsatsen är alltså att i en punkt en bit ut i ett distributionsnät (dvs i en relativt svag punkt) kan man räkna ut impedansen till närmaste konstanta spänning som skillnaden mellan Thévenin-impedansen för punkten och Thévenin-impedansen för punkten med spänningsreglering.

65 57 För beräkning av spänningsfall vid inkoppling av last är det denna impedans som skall ingå i Thévenin-ekvivalenten för kraftnätet. I vissa fall används begreppet kortslutningseffekt S k för en punkt i ett kraftsystem. Denna definiers enligt S k = U T I k (7.23) vilket alltså är den effekt som vid kortslutning utvecklas i Thévenin-impedansen. Eftersom denna impedans oftast är huvudsakligen reaktiv får också kortslutningseffekten en vinkel som ligger nära +90. Kortslutningseffekten är bl a intressant för att få en approximativ uppskattning på hur stor effekt man kan belasta en punkt med utan att få för stora spänningssänkningar (eller spänningshöjning vid effektproduktion). Exempel 7.1 I en nod med kortslutningseffekten 500 MVA och cos φ k = 0 induktivt, kopplas en impedanslast in med effekten 4 MW, cos φ LD = 0.8 vid nominell spänning. Beräkna erhållen spänningssänkning i noden vid inkoppling av lasten. Lösning Antag spänningen 1 pu och baseffekten S b = 500 MVA. Elsystemet kan då beskrivas enligt figur Z T pu U LD U T = 1pu ~ Z LD pu Figur Enfasig beskrivning av exempel 5.1 Thévenin-impedansen kan beräknas enligt ekvation (7.22) och (7.23) : Z T pu = U T I k Lastimpedansen kan beräknas enligt = U 2 T S k = 1 = j1 (7.24) 1 90 Z LD pu = (U 2 LD pu/s LD pu) = (1/[4/( )])(0.8 + j0.6) = 80 + j60 (7.25) Genom enkel spänningsdelning kan spänningen U LD över lasten beräknas enligt U LD = U T Z LD pu Z T pu + Z LD pu = dvs en spänningssänkning om ca 0.6 %. 1 (80 + j60) j j60 = (7.26) Slutsats : En i en nod inkopplad last som har en skenbar märkeffekt som är 1 % av kortslutningseffekten i noden orsakar en spänningssänkning i noden som också är 1 %.

66 58 Exempel 7.2 En mindre industri matas från en transformator (5 MVA, 70/10 kv, x = 4 %) som ligger 5 km bort. Industrin drar 400 kw vid cosφ=0.8, induktivt vid spänningen 10 kv. Industrin kan approximativt betraktas som en impedanslast. 10 kv-ledningen har längsimpedansen 0.9+j0.3 Ω/fas,km samt tväradmittansen j S/fas, km. Antag Π- modell av ledningen samt beräkna spänningsnivån vid industrin och på ledningen inmatad effekt vid transformatorn. Innan industrin anslöts till transformatorn kunde där erhållas en kortslutningsström om 0.3 ka (rent induktiv) på 70 kv-sidan vid trefasig kortslutning och nominell spänning. Lösning Kraftnät Transformator Ledning Industri Figur Elsystem i exempel 7.2 Välj bas-storheter (MVA, kv, ka, Ω) : S b = 500 kva = 0.5 MVA, U b10 = 10 kv I b10 = S b / 3U b10 = ka, Z b10 = U 2 b10 /S b = 200 Ω, U b70 = 70 kv I b70 = S b / 3U b70 = ka Beräkna per-unit-värden för kraftnätets Thévenin-ekvivalent : Ekvation (7.22) Z T h = U T h /I k Z T hpu = (U T h /U b70 ) (I b70 /I k ) = (70 0 /70) ( / ) = j0.0137, U T hpu = U T h /U b70 = Beräkna per-unit-värden för transformatorn : Z trapu = (Z tra% /100) Z btra70 /Z b70 = (Z tra% /100) S b /S tra = (j4/100) 0.5/5 = j0.004 Beräkna per-unit-värden för ledningen : Z lpu = 5 [0.9 + j0.3]/z b10 = j Y lpu = 5 [j ]/Y b10 = 5 [j ] Z b10 = j0.003 A L = Y lpu Z lpu = j B L = Z lpu = j C L = Y lpu ( Y lpu Z lpu ) = j D L = A L = j Beräkna per-unit-värden för industrins impedans : Z indpu = (U 2 ind /S ind)/z b10 = (10 2 /[0.4/0.8]) (0.8 + j0.6)/200 = j0.6 Fyrpolen för hela nätet mellan det starka nätetöch industrin, (kraftnät + transformator +

67 59 ledning) kan nu ställas upp enligt [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ U T h 1 ZT = hpu + Z trapu U 2 1 ZT = hpu + Z T pu AL B L U 3 I I C L D L I 3 [ ] [ ] [ ] [ ] A B U = j j U = 3 C D j j I 3 Hela nätets impedans (inklusive industrins) kan nu beräknas enligt I 3 ] = Z totpu = U T h I 1 = AU 3 + BI 3 I 2 = A U 3 + B I 3 CU 3 + DI 3 C U 3 I 3 + D = AZ indpu + B CZ indpu + D I 1 = U T hpu /Z totpu = I 1 = j Inmatad effekt från transformator till ledning beräknas enligt [ ] [ ] 1 [ ] [ ] U 2 1 ZT = hpu + Z trapu U T h = I 3 S 2 = U 2 I 2S b = j MVA Spänningen vid industrin kan beräknas enligt [ ] [ ] 1 [ ] [ ] U 3 A B U = T h = C D I 1 U 3 (kv) = U 3 U b10 = kv 7.3 Generell metod för beräkningar i symmetriska trefassystem med impedanslaster I större system är det nödvändigt att ha ett systematiskt angreppssätt för att kunna analysera spänningar, strömmar och effekter. Nedan demonstreras detta på ett mindre system men samma metod kan utnyttjas även för stora system. I figur 7.12 visas ett exempel på ett enkelt elsystem där en impedans Z LD1 matas från ett starkt nät U 3 via en transformator Z T I 3 3 Z T 2 Z 1 L U 3 ~ I 2 I 1 Z LD1 Figur Impedansdiagram för ett symmetriskt elsystem och en ledning Z L. Y-matrisen för detta system kan ställas upp enligt 1 I Z I 2 LD1 Z L Z L U 1 = I = YU = Z L Z L Z T Z T U 2 (7.27) I U Z T Z 3 T

68 60 Y-matrisen kan inverteras vilket ger motsvarande Z-matris : U = Y 1 I = ZI (7.28) Eftersom I 1 = I 2 = 0 så kan tredje raden i ekvation (7.28) skrivas som U 3 = Z(3, 3) I 3 I 3 = U 3 /Z(3, 3) (7.29) där Z(3, 3) är element i Z-matrisen. Med detta värde på strömmen insatt i ekvation (7.28) erhålls samtliga spänningar. U 1 = Z(1, 3) I 3 (7.30) U 2 = Z(2, 3) I 3 Motsvarande beräkningar kan utföras för godtyckligt stora system med endast impedanslaster och en spänningskälla. Antag att man nu dessutom kopplar in en impedans Z LD2 i punkt 2 enligt figur 7.13a. Detta förändrar spänningarna i noderna. U = U + U (7.31) där U är spänningarna efter förändringen och U är den orsakade förändringen. Denna ekvation kan även illustreras grafiskt enligt figur 7.13, dvs den totala spänningen erhålls som superposition mellan två elsystem med samma impedanser men med olika spänningskällor inkopplade. Som framgår av elsystemet i figur 7.13c, så är den matande spänningen U 2 medan spänningskällan U 3 är kortsluten. Y-matrisen för detta elsystem erhålls genom att stryka rad 3 och kolumn 3 i Y (ekvation (7.27)) eftersom knutpunkt 3 har jordats. Skulle knutpunkt 3 fortfarande vara med skulle Y (3, 3) = eftersom impedansen till jord = 0. [ I 1 I 2 ] [ = I = Y U = Z LD1 Z L Z L 1 Z L 1 Z L + 1 Z T ] [ U 1 U 2 Ovanstående uttryck kan även inverteras vilket ger motsvarande Z-matris : ] (7.32) U = Y 1 I = Z I (7.33) I denna ekvation är som framgår av figur 7.13c I 1 = 0 vilket gör att rad 2 kan skrivas som U 2 = Z (2, 2)I 2 (7.34) Figur 7.12 ger samma strömmar som figur 7.13b eftersom spänningen över Z LD2 i figur 7.13b är = 0. Detta medför att strömmen genom Z LD2 =0. Detta medför att I 2 = I LD2. För nod 2 i figur 7.13a gäller att U 2 = I LD2 Z LD2 = I 2 Z LD2 (7.35)

69 61 3 Z T 2 Z 1 L a) U 3 ~ Z U Z LD2 I LD2 LD1 = 3 Z T 2 Z 1 L b) U 3 ~ ~ I LD2 =0 Z LD1 U +U 2 Z LD2 + Z T 2 Z 1 L I 1 =0 c) U 2 Z LD2 ~ I 2 = I LD2 Z LD1 U Figur Total spänning erhålls medelst superposition Genom att kombinera ekvation (7.31), (7.34) och (7.35) erhålls I 2 = U 2 Z LD2 + Z (2, 2) (7.36) Genom att sätta in detta värde i ovanstående ekvationer erhålls uttryck för samtliga spänningar efter förändring av nätet : U 2 = Z LD2 Z LD2 + Z (2, 2) U 2 (7.37) U 1 = Z (1, 2) U 1 Z LD2 + Z (2, 2) U 2 (7.38) Ovanstående beskrivning kan generaliseras till godtyckligt stort nät. Antag att impedansen Z r kopplas in i nod r och att en godtycklig nod har nummer i. Strömmen I r (= I r ) genom

70 62 Z r samt spänningarna efter inkoppling av impedansen Z r i nod r kan då beräknas enligt I r = U r Z r + Z (r, r) (7.39) U r = Z r Z r + Z (r, r) U r (7.40) U i = U i Z (i, r) Z r + Z (r, r) U r i r (7.41) Thévenin-ekvivalenten till en punkt i ett symmetriskt kraftnät kan beräknas genom att närmare studera ekvationerna (7.31) och (7.33). Dessa kan tillsammans för knutpunkt r (r=2 i dessa ekvationer) skrivas som där U(r) = Thévenin-spänningen i knutpunkt r, se figur U (r) = U(r) + Z (r, r)i r (7.42) Z (r, r) = Thévenin-impedansen i knutpunkt r, se figur I r = Den ström som flyter in i knutpunkt r. U (r) = Spänningen i knutpunkt r. U(r) ~ Z (r,r) U (r) o o I r Figur Thévenin-ekvivalent till punkten r i ett symmetriskt trefas-nät Som framgår av ekvation (7.42) samt figur 7.14, gäller att U (r) = U(r) när I r = 0. Denna beskrivning visar att Thévenin-spänningen i knutpunkt r kan beräknas som spänningen i knutpunkt r då knutpunkten ej belastas dvs I r = 0. Thévenin-impedansen kan beräknas som r-te diagonalelementet för impedans-matrisen Z vilken beräknas med samtliga spänningskällor kortslutna. Exempel 7.3 I figur 7.15 visas ett internt nät i en industri. Energi tas från ett starkt kraftnät med nominell spänning vid 1 och förs via transformatorn T 1, ledningen L2 och transformatorn T 2 till lasten LD2. Det finns också en högspänningslast LD1 ansluten till T 1 via ledningen L1. Data för ingående komponenter är :

71 T1 L1 LD1 L2 4 T2 5 LD2 Figur En-linjeschema för en industris lokala nät Transformator T 1 : 800 kva, 70/10 kv, x = 7 % Transformator T 2 : 300 kva, 0.4/10 kv, x = 8 % Ledning L 1 : r = 0.17 Ω/km, ωl = 0.3Ω/km, ωc = S/km, s = 2 km Ledning L 2 : r = 0.17 Ω/km, ωl = 0.3Ω/km, ωc = S/km, s = 1 km Lasten LD1 : Impedanslast, 500 kw, cosφ = 0.80, induktivt vid 10 kv Lasten LD2 : Impedanslast, 200 kw, cosφ = 0.95, induktivt vid 400 V Antag Π-modell för kraftledningarna. Beräkna verkningsgraden i det lokala kraftnätet samt vilken kortslutningsström som kan erhållas vid 3-fasig kortslutning i nod 4. Lösning 1 2 Z L1pu 3 Z T1pu Y L2pu /2 Y L1pu /2 Z LD1pu Z L2pu Z T2pu Y L1pu /2 Y L2pu /2 4 T2 5 Z LD2pu Figur Elsystem i exempel 7.3 Välj bas-storheter (MVA, kv, ka, Ω) : S b = 500 kva = 0.5 MVA, U b10 = 10 kv I b10 = S b / 3U b10 = ka, Z b10 = U 2 b10 /S b = 200 Ω, U b04 = 0.4 kv I b04 = S b / 3U b04 = ka, Z b04 = U 2 b04 /S b = 0.32 Ω, Beräkna per-unit-värden för det starka kraftnätet : U 1 = 1

72 64 Beräkna per-unit-värden för transformatorn T 1 : Z T 1pu = (Z T 1% /100) Z bt 1 10 /Z b10 = (Z T 1% /100) S b /S T 1 = (j7/100) 0.5/0.8 = j Beräkna per-unit-värden för transformatorn T 2 : Z T 2pu = (Z T 2% /100) S b /S T 2 = (j8/100) 0.5/0.3 = j Beräkna per-unit-värden för ledningen L1 : Z L1pu = 2 [ j0.3]/z b10 = j0.003 Y lpu = 2 [ ] Z b10 = j Beräkna per-unit-värden för ledningen L2 : Z L2pu = 1 [ j0.3]/z b10 = j Y lpu = 1 [ ] Z b10 = j Beräkna per-unit-värde för LD1:s impedans : Z LD1pu = (U 2 LD1 /S LD1)/Z b10 = (10 2 /[0.5/0.8]) (0.8 + j0.6)/200 = j0.48 Beräkna per-unit-värde för LD2:s impedans : Z LD2pu = (U 2 LD2 /S LD2)/Z b04 = (0.4 2 /[0.2/0.95]) (0.95+j )/0.32 = j Ställ först upp Y-matrisen för detta nät. Nollpunkten tas inte med i Y-matrisen eftersom systemet blir överbestämt då. där Y = Z T 1pu Z T 1pu 1 Z T 1pu Y 22 1 Z L1pu 1 Z L2pu Z L1pu Y Z L2pu 0 Y 44 1 Z T 2pu Z T 2pu 1 Z T 2pu + 1 Z LD2pu (7.43) Y 22 = Y 33 = Y 44 = Y L1pu Y L2pu Z T 1pu Z L1pu 2 Z L2pu Y L1pu + Z L1pu 2 1 Z LD1pu 1 + Y L2pu + 1 Z L2pu 2 Z T 2pu Y-matrisen är definierad enligt I = YU (7.44) vilken kan skrivas om som U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 = U = Y 1 I = ZI = Z I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 (7.45)

73 65 Z-matrisen kan beräknas som inversen till Y-matrisen : Z = j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j0.397 (7.46) Eftersom alla injicerade strömmar utom I 1 är = 0 så kan I 1 lösas ut ur den första raden i ekvation (7.45) : U 1 = Z 11 I 1 I 1 = U 1 /Z 11 = 1.0/( j0.375) = (7.47) Spänningarna i de övriga noderna löses nu enkelt från ekvation (7.45) : U 2 = Z 21 I 1 = ( j0.331) ( ) = U 3 = Z 31 I 1 = ( j0.329) ( ) = (7.48) U 4 = Z 41 I 1 = ( j0.331) ( ) = U 5 = Z 51 I 1 = ( j0.298) ( ) = Totalt levererad effekt till det lokala kraftnätet är Förlusteffekt i ledning L1 kan beräknas enligt S 1 = U 1 I 1 S b = j MVA (7.49) I L1 = (U 2 U 3 )/ZL1pu = (7.50) P fl1 = Real(Z L1pu )I 2 L1 S b = MW På samma sätt kan förlusteffekt i ledning L2 kan beräknas : Verkningsgraden för kraftnätet blir då I L2 = (U 2 U 4 )/ZL2pu = (7.51) P fl2 = Real(Z L2pu )I 2 L2 S b = MW η = Real(S 1) P fl1 P fl2 Real(S 1 ) = % (7.52) Om en kortslutning inträffar i nod 4 så är det detsamma som att man i nod 4 kopplar in en impedans med Z 4 = 0. Enligt avsnitt 7.3 kan strömmen genom impedansen Z 4 bestämmas genom att man först stryker den rad och den kolumn i Y-matrisen som motsvarar noden med generatorn, i detta exempel är det nod 1 Y = Y 22 1 Z L1pu 1 Z L2pu 0 1 Z L1pu Y Z L2pu 0 Y 44 1 Z T 2pu Z T 2pu 1 Z T 2pu + 1 Z LD2pu (7.53)

74 66 Inversen till denna matris är Z = Y 1 = j j j j j j j j j j j j j j j j Kortslutningsströmmen i nod 4 kan sen beräknas enligt ekvation (7.39). I k4 = Z 4 + U 4 Z (4, 4) }{{} I b10 = element (3,3) i Z ( j0.0434) = (7.54) = ka (7.55) 7.4 Utvidgad metod att utnyttjas vid effektlaster Metoden beskriven i avsnitt 7.3 förutsätter att samtliga laster kan betraktas som impedanser vilket innebär att lastens effektkonsumtion varierar kvadratiskt med spänningen. I många fall är dock lastens effektkonsumtion oberoende av spänningen åtminstone i stationärt tillstånd. Den i avsnitt 7.3 beskrivna metoden kan då utnyttjas iterativt på följande sätt : 1. Beräkna per-unit-värden för samtliga komponenter. För laster med given effektförbrukning (oberoende av spänningen) beräknas en impedans med antagandet om nominell spänning : Impedansen för en last i noden k beräknas enligt Z LDk = U 2 k /S LDk där U k = 1 pu, och S LDk är lastens specificerade effektförbrukning. 2. Beräkna Y-matrisen och motsvarande Z-matris för nätet inklusive beräknade lastimpedanser. Enligt metoden i avsnitt 7.3 (ekvation (7.29) och (7.30)) kan sedan spänningen i samtliga noder beräknas. 3. Beräkna erhållen effekt i samtliga laster. Beräknad effektförbrukning S LDk b för lasten LDk erhålls enligt S LDk b = U 2 k /Z LDk där U k är beräknad spänning i nod k. 4. Beräkna skillnaden mellan beräknad och specificerad effektförbrukning för samtliga effektlaster : P LDk = Re(S LDk b ) Re(S LDk ) (7.56) Q LDk = Im(S LDk b ) Im(S LDk ) (7.57) 5. Om P LDk och/eller Q LDk är oacceptabelt stora för någon nod : (a) Beräkna nya lastimpedanser enligt Z LDk = U 2 k /S LDk där U k är senast uppskattade värde på spänningen i nod k. (b) Fortsätt ovan från punkt 2

75 67 Om P LDk och Q LDk är acceptabelt små för samtliga effektlaster är iterationsproceduren avslutad. Först illustreras metoden med ett enkelt exempel. Exempel 7.4 Antag en kraftledning där spänningen i ena änden är U 1 = kv och den andra änden belastas med P D2 = 80 MW och Q D2 = 60 MVAr. Ledningen är 100 km lång och har x = 0.4 Ω/km, r = 0.04 Ω/km och b = S/km. Beräkna spänningens belopp i nod 2. Lösning I figur 7.17 visas hur elsystemet kan beskrivas med en impedanslast. U 1 Z 12 = R + jx U 2 I 12 Y = jb Y = jb Z D Figur Impedansschema för exempel 7.4 Antag S b = 100 MVA och U b = 225 kv vilket ger Z b = U 2 b /S b = Ω Detta ger följande pu-värden för ledningen U 1 = 225/U b = 1.0 pu, P D = P D2 /S b = 0.8 pu, Q D = Q D2 /S b = 0.6 pu, R = /Z b = pu, X = /Z b = pu, B = Z b /2 = pu Iterationsprocessen kan nu inledas : 1. U 2 = 1 pu, Z D = U 2 2 /(P D jq D ) = j0.6 pu 2. I 12 = U 1 /(Z + 1 jb Z D) = j pu U 2 = U 1 I 12 Z = pu 3. S D = U 2 2 /Z D = j pu 4. P D = , Q D = Z D = j U 2 = P D = , Q D = Z D = j U 2 = P D = , Q D = Z D = i

76 68 2. U 2 = P D = , Q D = Detta kan anses vara acceptabelt vilket gör att spänningens belopp i nod 2 blir U 2 = U b = kv. Detta enkla exempel kan även lösas exakt med ett ickelinjärt uttryck vilket visas i exempel 8.4. Exempel 7.5 En mindre industri matas från en transformator (5 MVA, 70/10 kv, x = 4 %) som ligger 5 km bort. Industrin drar 400 kw vid cosφ=0.8, induktivt oberoende av spänningen. 10 kv-ledningen har längsimpedansen 0.9+j0.3 Ω/fas,km. Ledningens tväradmittans kan försummas. Beräkna spänningsnivån vid industrin. Innan industrin anslöts till transformatorn kunde där erhållas en kortslutningsström om 0.3 ka (rent induktiv) på 70 kv-sidan vid trefasig kortslutning och nominell spänning. Samma som exempel 7.2 men effektlast och försummad tväradmittans för ledningen. Lösning I 1 U indpu Z Thpu ~ U Thpu Z trapu Z lpu Z indpu Kraftnät Transformator Ledning Industri Figur Elsystem i exempel : Välj bas-storheter (MVA, kv, ka, Ω) : S b = 500 kva = 0.5 MVA, U b10 = 10 kv I b10 = S b / 3U b10 = ka, Z b10 = U 2 b10 /S b = 200 Ω, U b70 = 70 kv I b70 = S b / 3U b70 = ka Enligt beräkningar i exempel 7.2 gäller : U T hpu = pu Z T hpu = j pu Z trapu = j0.004 pu Z lpu = j pu Den totala impedansen mellan U T hpu och industrins impedans kan beräknas enligt : Z totpu = Z T hpu + Z trapu + Z lpu = j pu Beräkna per-unit-värden för industrins effektbehov samt motsvarande impedans vid nominell spänning: S indpu = (P ind + j[p ind / cos φ] sin φ)/sb = j pu Z indpu = (Uind 2 /S indpu)/ub10 2 = j0.6 pu

77 69 2 : Y-matrisen för nätet kan nu beräknas enligt : [ ] Y = 1 Z totpu 1 Z totpu 1 Z totpu 1 Z totpu + 1 Z indpu = [ j j j j22.68 Z-matrisen beräknas som inversen på Y-matrisen : [ ] j j0.60 Z = Y 1 = j j0.60 Spänningen över industrin beräknas nu enligt ekvation (7.30) : ] (7.58) (7.59) U indpu = Z(2, 1) U T hpu /Z(1, 1) = (7.60) 3 : Erhållen effekt i industrin kan nu beräknas enligt : S indpu b = U 2 ind/z indpu = j (7.61) 4 : Skillnaden mellan beräknad och specificerad effekt kan nu beräknas enligt P ind = Re(S indpu b ) Re(S indpu ) = (7.62) Q ind = Im(S indpu b ) Im(S indpu ) = (7.63) 5 : Dessa avvikelser är för stora vilket medför att man bör beräkna en ny industriimpedans utgående från den nya spänningen : Fortsätt sedan från punkt 2. 2, 3 : S indpu b = j : P ind = , Q ind = Oacceptabelt 5 : Z indpu = j Fortsätt sedan från punkt 2. 2, 3 : S indpu b = j : P ind = , Q ind = Oacceptabelt 5 : Z indpu = j Fortsätt sedan från punkt 2. 2, 3 : S indpu b = j : P ind = , Q ind = Acceptabelt U ind = U indpu U b10 = Z indpu = (U 2 indpu/s indpu) = j (7.64)

78 70

79 Kapitel 8 Ickelinjär statisk analys I kapitel 6-7 förutsattes att elsystemen endast hade en produktionsnod samt laster som kunde beskrivas med impedanser. Detta ledde fram till att elsystemet kunde beskrivas av ett linjärt ekvationssystem vilket är relativt enkelt att lösa. Antag nu istället att lasterna kan beskrivas som effektlaster och att effektproduktion kan ske på flera ställen. Först skall här överföring av effekt på en ledning beskrivas och därefter utnyttjas detta till att analysera effektflöden i ett helt system. 8.1 Effektflöden på en ledning Ledningar kan vid analys representeras på olika sätt beroende på vad som är känt och vad som önskas i analysen. Detta leder fram till olika uttryck för effektflöden på ledningen. Spänningarna representeras polärt med belopp och vinkel enligt U k = U k e jθ k (8.1) U j = U j e jθ j (8.2) där fasvinkelskillnaden mellan två noder förenklat brukar skrivas I framställningen nedan försummas ledningens tvärkonduktans. θ kj = θ k θ j (8.3) Ledningsmodell med rektangulär längsimpedans Den här beskrivna modellen representerar ledningen med en π-länk och längsimpedansen uttrycks rektangulärt enligt figur 8.1. S U Z kj k I kj = R + jx U kj j I kj0 Y = jb Y = jb Figur 8.1. Ledningsmodell 71

80 72 Den rektangulära representationen av ledningens längsimpedans innebär att den beskrivs med sin resistiva del R och sin reaktiva del X enligt Z kj = R + jx Z kj = Z = R 2 + X 2 (8.4) Effekten S kj som matas in i ledningen i noden k kan nu i pu-systemet beräknas enligt ( ) S kj = U k (I kj0 + I kj = U k U ky + U k U j Z kj = Uk 2 ( jb) + U k 2 R jx U ku j R jx ej(θ k θ j ) = ) = (8.5) = U 2 k ( jb) + U 2 k Z 2 (R + jx) U ku j Z 2 (R + jx) (cos θ kj + j sin θ kj ) Genom att dela upp ekvation (8.5) i reell och imaginär del erhålls uttryck för aktiv och reaktiv effekt enligt P kj = U 2 k Z 2 R + U ku j Z 2 (X sin θ kj R cos θ kj ) (8.6) Q kj = BU 2 k + U 2 k Z 2 X U ku j Z 2 (R sin θ kj + X cos θ kj ) (8.7) En viktig slutsats som kan dras från ekvation (8.6) och (8.7) är att om spänningarna i ledningens båda ändar är kända till belopp och vinkel så är effektflödena därmed fullständigt kända. Detta innebär att om man i ett ledningssystem känner spänningen i samtliga förgreningspunkter (noder) så är samtliga effektflöden därmed kända. Man brukar beskriva detta med att spänningarna definierar systemets tillstånd. Exempel 8.1 Antag en kraftledning där spänningen i ena änden är U 1 = kv och i den andra änden U 2 = kv. Ledningen är 100 km lång och har x = 0.4 Ω/km, r = 0.04 Ω/km och b = S/km. Beräkna hur mycket effekt som går från nod 1 till nod 2. Lösning Antag S b = 100 MVA och U b = 225 kv vilket ger Z b = Ub 2/S b = Ω Detta ger följande pu-värden för ledningen U 1 = 225/U b = 1.0 pu, U 2 = /U b = pu, θ 12 = 0-(-3.572) = R = /Z b = pu, X = /Z b = pu, B = Z b /2 = pu, Z = R 2 + X 2 = pu

81 73 Effektflödena i pu kan nu beräknas enligt ekvation (8.6) och (8.7) : P 12 = ( sin cos ) = = pu Q 12 = ( sin cos ) = pu vilket omräknat till nominella storheter ger P 12 = S b = 80.81MW Q 12 = S b = 53.73MVAr För detta enkla exempel är det givetvis möjligt att göra beräkningarna utan att utnyttja pu-systemet. Genom att utnyttja relation (6.6) kan ekvation (8.6) först skrivas om enligt P kj (MW) = P kj (pu)s b = U { b 2 U 2 k Z b Z R + U } ku j (X sin θ 2 Z 2 kj R cos θ kj ) = = U k 2(kV) Z 2 (Ω) R(Ω) + U k(kv) U j (kv) (X(Ω) sin θ Z 2 kj R(Ω) cos θ kj ) (Ω) dvs denna ekvation ser exakt likadan ut med nominella värden som med pu-värden. För en högspänd kraftledning (U > 70 kv) så är normalt reaktansen betydligt större än resistansen, dvs R X i ekvation (8.6). Denna ekvation kan då approximeras enligt P kj U ku j X sin θ kj (8.8) dvs tecknet på θ kj bestämmer åt vilket håll den aktiva effekten går på ledningen. Att äktiv effekt går mot lägre vinkel är något som gäller så gott som alltid, alltså även för ledningar med större resistiv del. Antag nu att spänningarna U k och U j är i fas och att man har en dominerande reaktans på ledningen. Detta medför att den aktiva överföringen är mycket låg. Ekvation (8.7) kan då skrivas om enligt Q kj = BUk 2 + U k(u k U j ) (8.9) X Ekvation (8.9) visar att för denna typ av ledning så går reaktiva flöden på ledningen mot lägre spänning. Ekvationen visar också att om spänningens beloppsskillnad är liten så producerar ledningen reaktiv effekt pga dess tvärkapacitanser. Att reaktiv effekt går mot lägre spänninggäller ofta men är inte alls en lika generell regel som att äktiv effekt går mot lägre vinkel. Att lågt lastade kraftledningar, och framförallt kablar, kan producera reaktiv effekt är dock synnerligen viktigt att känna till. Exempel 8.2 Beräkna det aktiva och reaktiva effektflödet på ledningen i exempel 8.1 med de approximativa uttrycken (8.8) respektive (8.9).

82 74 Lösning P Q sin = pu MW 1.0( ) = pu MW vilket alltså ger rätt storleksordning och riktning men ca 8 % för litet värde för den aktiva effekten och 11 % för stort värde för den reaktiva Ledningsförluster Förluster på en trefas kraftledning är beroende av ledningens resistans samt den aktuella strömmen och kan med nominella beteckningar skrivas enligt Strömkvadraten i ekvation (8.10) kan skrivas om enligt I 2 = Ie j arg(i) Ie j arg(i) = II = Förlusterna för kraftledningen i figur 8.1 kan nu skrivas som P f = 3RI 2 (8.10) S S = S2 3U 3U 3U = P 2 + Q 2 (8.11) 2 3U 2 P f = R P 2 kj + (Q kj + BU 2 k )2 U 2 k (8.12) där BU 2 k = den av ledningskapacitansen producerade reaktiva effekten i nod k Uttrycket enligt ekvation (8.12) gäller såväl nominellt som i pu-systemet. Som framgår av ekvationen så ger alltså en dubbling av överförd effekt en fyrdubbling av förlusterna. En dubbling av spänningen medför att förlusterna minskar till en fjärdedel. Antag nu att effektinmatningen i ledningen har beräknats i båda ändarna dvs både P kj och P jk med ekvation (8.6). Förlusterna kan då beräknas som De reaktiva förlusterna i ledningen blir på motsvarande sätt P f = P kj + P jk (8.13) Q f = 3XI 2 = X P 2 kj + (Q kj + BU 2 k )2 U 2 k (8.14) Av ekvation (8.11) och (8.12) framgår att förlusterna är proportionella mot S 2 och att överföring av reaktiv effekt ökar förlusterna. Man försöker därför i största möjliga mån att producera reaktiv effekt så lokalt som möjligt. Detta gäller förstås även aktiv effekt men då har själva produktionskostnaden en dominerande betydelse.

83 75 Exempel 8.3 Antag samma ledning som i exempel 8.1 och beräkna de aktiva ledningsförlusterna. Lösning Förlusterna på kraftledningen kan beräknas med ekvation (8.12) enligt P f (MW) = R P (Q 12 + BU1 2 ) 2 S U1 2 b = = ( ) = 0.81 MW Förlusterna kan även beräknas utgående från den andra ändan på kraftledningen enligt P f (MW) = R P (Q 21 + BU2 2 ) 2 S U2 2 b = eller med hjälp av ekvation (8.13) = ( 0.80)2 + ( ) = 0.81 MW P f (MW) = [P 12 + P 21 ]S b = [ ( 0.80)]100 = 0.81 MW Shuntkondensatorer och shuntreaktorer Som nämnts ovan i avsnitt så orsakar överföring av reaktiv effekt att förluster på kraftledningar ökar. För att motverka detta försöker man att producera reaktiv effekt lokalt genom att koppla in shuntkondensatorer. I figur 8.2 visas hur en shuntkondensator kopplas in fas a fas b fas c c c c Trefasig koppling c Enfasig ekvivalent Figur 8.2. Y -kopplad shuntkondensator mellan faserna samt dess enfasiga ekvivalent vilken kan användas vid symmetrisk trefas. En shuntkondensator producerar reaktiv effekt vilken beror på spänningen U i inkopplingspunkten. I pu-systemet blir uttrycket Q sh = B sh U 2 = 2πfcU 2 (8.15) Den ökande reaktiva produktionen på grund av shuntkondensatorn gör att spänningen i noden ökar, se exempel 8.6. Inkoppling av shuntkondensatorer brukar även kallas faskompensering. Detta beror på att fasförskjutningen mellan spänning och ström minskar när den reaktiva överföringen på ledningen minskar.

84 76 Som nämnts i avsnitt 8.1 så producerar lågt lastade, framförallt långa, kraftledningar reaktiv effekt. I dessa situationer finns det istället för stor produktion av reaktiv effekt. Det är då nödvändigt att koppla in shuntreaktorer för att inte spänningarna skall bli för höga. Dessa kopplas in och modelleras på samma sätt som shuntkondensatorer med den skillnaden att shuntreaktorer konsumerar reaktiv effekt enligt ekvation (8.15) Seriekondensatorer Genom att studera ekvation (8.8) kan uttrycket för maximalt överförbar effekt på en viss kraftledning vid given spänningsnivå approximeras till P kj max max θ kj U k U j X sin θ kj = U ku j X (8.16) dvs ju större reaktans en ledning har desto mindre effekt kan överföras på den. Ett sätt att öka den stabilt överförbara mängden aktiv effekt på en ledning är att kompensera ledningens längsreaktans genom att använda seriekondensatorer. I figur 8.3 visas hur seriekondensatorerna fas a c U k Z = R + j(x X c ) U j fas b fas c c c Y = jb Y = jb Trefasig koppling Enfasig ledningsekvivalent Figur 8.3. Seriekondensatorer kopplas in samt hur en ledning förenklat kan beskrivas då den är seriekompenserad. Uttrycket för maximalt överförbar effekt för en seriekompenserad ledning blir nu P kj max U ku j X X c (8.17) där det helt klart framgår att seriekompensering av en ledning gör att maximalt överförbar effekt ökar. Installation av seriekondensatorer gör också att spänningsfallet på kraftledningen minskar, se exempel Effektflödesberäkningar i elsystem (belastningsfördelning) Tekniken för att utgående från vissa indata bestämma spänningen i samtliga punkter i ett kraftnät brukar benämnas belastningsfördelning. Med kunskap om spänningens belopp och

85 77 fasvinkel i samtliga punkter är det relativt enkelt att beräkna hur ledningarna belastas, vilka förluster som uppstår etc. I ett ledningssystem kan effektinmatningar och effektuttag ske på ett flertal punkter i systemet. Dessa punkter samt förgreningspunkter för ledningar benämns därvid ofta noder. I figur 8.4 visas hur noden k representeras vid antagandet om symmetrisk trefas. ~ I Gk U k I k1 I k2 I Dk I kn Figur 8.4. Beskrivning av nod k i ett elsystem Från generatorn levereras strömmen I Gk, lasten i noden drar strömmen I Dk och på ledningar till de övriga noderna går strömmarna I k1, I k2... I kn. Enligt Kirchoffs första lag måste summan av alla strömmarna till nod k vara noll dvs I Gk I Dk = N I kj (8.18) j=1 Genom att konjugera ekvation (8.18) och multiplicera ekvationen med nodspänningen erhålls följande uttryck N U k I Gk U k I Dk = U k I kj (8.19) Detta kan skrivas om som uttryck för komplex effekt i pu-systemet enligt j=1 S Gk S Dk = N S kj (8.20) j=1 där S Gk = P Gk + jq Gk S Dk = P Dk + jq Dk = av generatorn producerad komplex effekt = av lasten förbrukad komplex effekt S kj = P kj + jq kj = transmitterad effekt till nod j Effektbalansen i noden enligt ekvation (8.20) måste givetvis gälla både för den reella och den imaginära delen. Med P GDk och Q GDk som beteckningar för aktiv respektive reaktiv

86 78 nettoproduktion i noden k erhålls uttryck enligt P GDk = P Gk P Dk = Q GDk = Q Gk Q Dk = N P kj (8.21) j=1 N Q kj (8.22) j=1 dvs för varje nod i systemet måste effektbalans råda för såväl den aktiva som den reaktiva effekten. Antag nu att vi har ett kraftsystem under symmetriska förhållanden enligt figur 8.5. ~ P G1 +jq G1 1 P 13 +jq 13 U 1 θ 1 P 12 +jq 12 3 P 31 +jq 31 P 21 +jq 21 P 32 +jq 32 U 3 θ 3 P D3 +jq D3 P G2 +jq G2 2 ~ P 23 +jq 23 P D2 +jq D2 U 2 θ 2 Figur 8.5. Elsystem med tre noder Genom att utnyttja ekvation (8.21) och (8.22) för varje nod i systemet så kan ett ekvationssystem ställas upp enligt följande. P G1 = P 12 + P 13 Q G1 = Q 12 + Q 13 P G2 P D2 = P 21 + P 23 (8.23) Q G2 Q D2 = Q 21 + Q 23 P D3 = P 31 + P 32 Q D3 = Q 31 + Q 32 För varje nod i figur 8.5 finns 4 variabler : 1 aktiv nettogenerering P GDk, 1 reaktiv nettogenerering Q GDk, 1 spänningsbelopp U k samt 1 fasvinkel för spänningen θ k. Detta innebär att det finns total 3 4 = 12 variabler i systemet. För fasvinklarna måste man dock ange en referensvinkel i en nod eftersom det inte finns några absoluta fasvinklar utan endast relativa.

87 79 Detta minskar antalet variabler i systemet till 12 1 = 11. Vi har dock endast 6 ekvationer i ekvationssystemet (8.23), varför 5 storheter måste vara kända för att de övriga 6 skall kunna beräknas. Beroende på vilka storheter som är kända i en viss nod brukar noderna betecknas på i huvudsak 3 olika sätt. Belastningsnod, PQ-nod : I denna nodtyp antas nettogenerering P GDk och Q GDk kända, därav namnet. Däremot är spänningen U k och dess fasvinkel θ k okända. En PQ-nod är oftast en nod med enbart belastning som nod 3 i figur 8.5. Den representerar då en punkt i ett kraftsystem där effektförbrukningen kan betraktas som oberoende av spänningen. Denna modell är tillämplig t ex då lasten i verkligheten finns på nersidan av en reglerbar transformator vilken är ansluten till noden. Den reglerbara transformatorn håller spänningen över den verkliga lasten konstant oavsett spänningen i noden. En PQ-nod kan också vara en förgreningspunkt i ett system utan vare sig förbrukning eller generering dvs P GDk = Q GDk = 0. Generatornod, PU-nod : I generatornoden antas nettogenerering av P GDk samt spänningens belopp U k kända medan däremot den reaktiva nettogenereringen Q GDk och fasvinkeln θ k är okända. I denna PU-nod måste det finnas någon spänningsreglerande utrustning eftersom spänningen antas given oavsett behovet av reaktiv effekt. I t ex en synkronmaskin kan spänningen regleras genom att styra magnetiseringen. Reglering av spänning kan även ske med hjälp av styrbara shuntkondensatorer och shuntreaktorer, så kallad SVC, Static VAr Compensation. Vid spänningsreglering påverkas alltid den reaktiva nettoproduktionen i utrustningen. Med antagandet att nod 2 i figur 8.5 är en PU-nod så innebär detta att generatorns och lastens aktiva effektproduktion respektive förbrukning antas känd. Även lastens reaktiva förbrukning är känd. Spänningen i noden upprätthålls genom att magnetiseringen i generatorn antas styrd så att generatorn producerar (eller konsumerar) reaktiv effekt vilket medför att balans uppnås i noden enligt ekvation (8.22). Utjämningsnod, Uθ-nod : I utjämningsnoden (endast 1 i varje system) är referensvinkeln θ k ansatt (oftast 0 ) och spänningen antas känd. Okända storheter är nettogenerering av såväl aktiv som reaktiv effekt. På samma sätt som i en PU-nod måste det i utjämningsnoden finnas någon spänningsreglerande utrustning. Eftersom även den aktiva effekten förutsätts kunna regleras så innebär det att noden förutsätts ha en generator eller vara en nod där den aktiva inmatningen kan variera såsom anslutning till ett kraftnät. Namnet utjämningsnod kommer av att det är denna nod som utjämnar den övriga effekten. Om t ex en ledning faller bort från ett kraftsystem och lasten i noderna är konstant så måste den totala produktionen ändras eftersom förlusterna förändras. Om detta simuleras med en belastningsfördelning så medför detta att den produktionen i utjämningsnoden ändras. Med nod 1 som utjämningsnod i systemet i figur 8.5, så är P G1 och Q G1 okända medan spänningen U 1 är given och referensvinkeln θ 1 = 0. Antag att det totalt i systemet finns N noder och att M av dessa är PU-noder. En sammanfattning av de olika nodtyperna visas nu i tabell 8.1. Som beskrivits i avsnitt 8.1, ekvation (8.6)-(8.7), så kan överföringen av aktiv och reaktiv effekt på en ledning uttryckas som funktion av spänningens belopp och fasvinkel i båda ändar på ledningen. Antag nu att vi har ett elsystem enligt figur 8.5 där nod 1 är utjämningsnod, nod 2 är PU-nod och nod 3 är

88 80 Nodnamn Antal Kända storheter Okända storheter Utjämningsnod, Uθ-nod 1 U, θ P GD, Q GD Generatornod, PU-nod M P GD, U Q GD, θ Belastningsnod, PQ-nod N-M-1 P GD, Q GD U, θ Tabell 8.1. Nodtyper vid belastningsfördelning PQ-nod. Ekvationssystemet (8.23) kan nu skrivas om enligt P GD1 (okänd) = P 12 (U 1, θ 1, U 2, θ 2 ) + P 13 (U 1, θ 1, U 3, θ 3 ) Q G1 (okänd) = Q 12 (U 1, θ 1, U 2, θ 2 ) + Q 13 (U 1, θ 1, U 3, θ 3 ) P GD2 = P 21 (U 1, θ 1, U 2, θ 2 ) + P 23 (U 2, θ 2, U 3, θ 3 ) Q GD2 (okänd) = Q 21 (U 1, θ 1, U 2, θ 2 ) + Q 23 (U 2, θ 2, U 3, θ 3 ) P GD3 = P 31 (U 1, θ 1, U 3, θ 3 ) + P 32 (U 2, θ 2, U 3, θ 3 ) Q GD3 = Q 31 (U 1, θ 1, U 3, θ 3 ) + Q 32 (U 2, θ 2, U 3, θ 3 ) (8.24) där även θ 2, U 3 och θ 3 är okända storheter medan övriga är kända. Som framgår av ekvation (8.24) så förekommer okända effektstorheter i utjämningsnod och PU-nod endast i vänsterledet i varsin ekvation och kan enkelt räknas ut när alla spänningar och vinklar är kända. Dessa ekvationer bidrar därför inte till ekvationssystemet eftersom de endast ger en extra ekvation och en extra, lätt beräknad, variabel. Ekvationssystemet (8.24) kan därför förenklas till ett ekvationssystem med okända U och θ enligt P GD2 = P 21 (U 1, θ 1, U 2, θ 2 ) + P 23 (U 2, θ 2, U 3, θ 3 ) P GD3 = P 31 (U 1, θ 1, U 3, θ 3 ) + P 32 (U 2, θ 2, U 3, θ 3 ) Q GD3 = Q 31 (U 1, θ 1, U 3, θ 3 ) + Q 32 (U 2, θ 2, U 3, θ 3 ) (8.25) Ekvationssystemet (8.25) är ickelinjärt eftersom uttrycken för effektflöden på en ledning (ekvation (8.6)-(8.7)) innehåller både kvadratiska spänningar samt sinus- och cosinusuttryck av vinklar. Detta ekvationssystem kan lösas t ex med Newton-Raphsons metod. Ekvationssystemet (8.25) kan generaliseras till att gälla ett elsystem med N noder varav M är spänningsreglerade. En sammanställning av detta system visas i tabell 8.2. Som framgår Nodtyp Antal Balansekvationer Okända variabler P GDk = P kj Q GDk = Q kj U k θ k Utjämningsnod 1 0 st 0 st 0 st 0 st PU-nod M M st 0 st 0 st M st PQ-nod N-M-1 N-M-1 st N-M-1 st N-M-1 st N-M-1 st Totalt N 2N-M-2 2N-M-2 Tabell 8.2. Sammanställning av ekvationer och okända vid belastningsfördelning av tabell 8.2 så innehåller ekvationssystemet lika många okända variabler som ekvationer och är därmed lösbart.

89 Belastningsfördelning för en ledning Som framgår av avsnitt 8.2 så ger effektlaster upphov till ett ickelinjärt ekvationssystem. Detta leder generellt till relativt omfattande beräkningar. När man bara har en ledning blir dock uttrycken mer hanterliga. Nedan presenteras uttrycken för de två olika nodkombinationerna som är möjliga för en enskild ledning. Eftersom en utjämningsnod alltid måste finnas blir kombinationerna utjämningsnod + PQ-nod och utjämningsnod + PU-nod Utjämningsnod + PU-nod Denna kombination är aktuell när spänningens belopp är känd i båda ändarna av kraftledningen och den aktiva effekten är känd i den ena. Detta innebär att den enda okända variabeln är spänningens fasvinkel i PU-noden dvs i den nod där den aktiva nettoinmatningen är känd. Med PU-noden som nod k kan ekvation (8.6) utnyttjas och skrivas om så att spänningens fasvinkel erhålls. Definiera först Z = Ze j( π 2 δ) R = Z sin δ X = Z cos δ δ = arctan R X Spänningens fasvinkel erhålls nu från ekvation (8.6) enligt ( Z P kj U ) k 2 U k U j Z R = cos δ sin θ 2 kj sin δ cos θ kj = sin(θ kj δ) ( ( Z θ k = θ j + δ + arcsin P kj U )) k 2 U k U j Z R 2 (8.26) (8.27) Exempel 8.4 Utgå från kraftledningen i exempel 8.1 och antag att spänningen är känd i båda ändarna, kv respektive U 2 = kv, samt att nod 2 belastas med P D2 = 80 MW. Beräkna spänningens fasvinkel i nod 2 (samma som exempel 7.4). Lösning Aktiva nettoproduktionen i nod 2 är P 21 = P D2 /S b = -0.8 pu. Fasvinkeln kan nu beräknas med ekvation (8.27) där nod k motsvarar nod 2: δ = arctan = 5.71 θ 2 = θ 1 + δ + arcsin ( )) ( = Utjämningsnod + PQ-nod Denna kombination är aktuell när spänningen är känd i den ena ändan av kraftledningen och nettoproduktionen av aktiv och reaktiv effekt i den andra. Antag här att effekterna är kända i

90 82 nod k och att spänningens belopp är känd i nod j. Detta gör att nod j blir utjämningsnod och att referensvinkeln där ansätts till θ j = 0. Det aktuella ekvationssystemet kan nu erhållas genom att skriva om ekvation (8.6) och (8.7) enligt P kj = U k 2 Z 2 R + U ku j Z 2 (X sin θ k R cos θ k ) Q kj = BU 2 k + U 2 k Z 2 X U ku j Z 2 (R sin θ k + X cos θ k ) (8.28) Okända variabler i ekvationssystemet (8.28) är spänningen U k och dess fasvinkel θ k. Genom att bryta ut cosinus- och sinus-uttrycken innehållande θ k kan ett uttryck för Uk 2 erhållas enligt ( Uk 2 = a ) a4 1 (a 2 2a ( ) 1 + a 2 3 2a 3 a 2) (8.29) 3 där a 1 = RP kj XQ kj Spänningen U k kan nu beräknas enligt a 2 = XP kj + RQ kj a 3 = (1 XB) 2 + R 2 B 2 a 4 = 2 a 1 (1 XB) U 2 j + 2a 2 RB U k = + ( ) U 2 k (8.30) Exempel 8.5 Antag samma kraftledning som i exempel 8.1 där spänningen i nod 1 antas vara kv och nod 2 belastas med P D2 = 80 MW och Q D2 = 60 MVAr. Beräkna spänningens belopp och fasvinkel i nod 2. Lösning Utnyttja ekvation (8.29)-(8.30) vilket ger a 1 = ( 0.8) ( 0.6) = a 2 = ( 0.6) ( 0.8) = a 3 = ( ) = a 4 = ( ) = U2 2 = ( ) U 2 = + ( ) = = U 2 kv = S b = kv Spänningens fasvinkel kan nu beräknas på samma sätt som ovan i exempel 8.4 vilket ger samma svar.

91 83 Exempel 8.6 Antag som i exempel 8.5 att P D2 = 80 MW och Q D2 = 60 MVAr. Utgå från detta basfall samt beräkna spänningen U 2 när aktiv respektive reaktiv effekt varierar från MW respektive MVAr. Lösning Genom att utnyttja ekvation (8.29)-(8.30) kan spänningen beräknas. Resultatet visas i figur 8.6. U2 [kv] PD2=80 MW, QD2=0-100 MVAr QD2=60 MVAr, PD2=0-100 MW MW eller MVAr Figur 8.6. Spänningen U 2 som funktion av P D2 och Q D2 Basfallet dvs P D2 = 80 MW och Q D2 = 60 MVAr är markerat på båda kurvorna med en cirkel. Som framgår av figuren så sjunker spänningen i nod 2 när effektförbrukningen ökar. Spänningen i noden är betydligt känsligare för ändringar av reaktiv effekt än av ändringar i aktiv effekt. Antag t ex att man vid den reaktiva effektförbrukningen 60 MVAr skulle ansluta shuntkondensatorer i nod 2 som producerar 10 MVAr. Nettokonsumtionen av reaktiv effekt skulle därvid minska till 50 MVAr och spänningen öka med 2 kv från 213 kv till 215 kv. Som nämnts tidigare i avsnitt så medför ett minskat behov av reaktiv effekt även att förlusterna på kraftledningen minskar. Exempel 8.7 Antag som i exempel 8.5 att P D2 = 80 MW och Q D2 = 60 MVAr. Utgå från detta basfall samt beräkna spänningen U 2 när ledningen seriekompenseras från %. Lösning Seriekompensering % innebär att % av ledningens reaktans kompenseras med seriekondensatorer. 0 % innebär ingen seriekompensering och 100 % innebär att X c = X. Med ekvation (8.29)-(8.30) kan spänningen beräknas. Resultatet visas i figur 8.7. Som visas i figur 8.7 så medför seriekompensering även att spänningen höjs. Om t ex längsreaktansen seriekompenseras till 40 % så höjs spänningen vid detta driftsfall med 4.5 kv (= 2 %) från kv till kv.

92 U2 [kv] % kompensering Figur 8.7. Spänningen U 2 som funktion av X c :s kompenseringsgrad För korta ledningar och vid approximativa beräkningar kan tvärkapacitansen försummas. Därvid försvinner B-termen i ekvation (8.29) och ekvationen kan skrivas om enligt (U Uj 2 U k = 2a j 2a ) 2 1 (a 2 2 ( ) 1 + a 2 2 2) (8.31) där a 1 = RP kj XQ kj a 2 = XP kj + RQ kj Exempel 8.8 Antag samma kraftledning som i exempel 8.5 men beräkna istället spänningens belopp approximativt med ekvation (8.31). Lösning Ekvation (8.31) ger a 1 = ( 0.8) ( 0.6) = a 2 = ( 0.6) ( 0.8) = U 2 = U 2 kv = S b = kv dvs spänningen blir 0.6 % för låg, jämfört med det icke approximativa uttrycket. En ytterligare approximation som ofta används är att försumma a 2 i ekvation (8.31). Denna ekvation kan då skrivas om enligt U k U j 2 + Uj RP kj + XQ kj (8.32)

93 85 Exempel 8.9 Antag samma kraftledning som i exempel 8.5 men beräkna istället spänningens belopp approximativt med ekvation (8.32). Lösning Ekvation (8.32) ger U 2 = U 2 (kv ) = S b = kv dvs spänningen blir 0.4 % för låg. Som framgår av detta exempel så ger även ekvation (8.32) en god uppskattning av spänningsfallet på ledningen. I ekvationen framgår också tydligt att aktiv och reaktiv förbrukning påverkar spänningsfallet. Att spänningsfallets storlek i redovisade exempel är mest känslig för ändringar i den reaktiva konsumtionen beror på att ledningen har en dominerande reaktans. 8.4 Newton-Raphsons metod Teori Newton-Raphsons metod kan tillämpas vid numerisk lösning av följande icke linjära ekvationssystem: g 1 (x 1, x 2,, x n ) = f 1 (x 1, x 2,, x n ) b 1 = 0 g 2 (x 1, x 2,, x n ) = f 2 (x 1, x 2,, x n ) b 2 = 0. g n (x 1, x 2,, x n ) = f n (x 1, x 2,, x n ) b n = 0 (8.33) eller i vektorform g(x) = f(x) b = 0 (8.34) med x 1 g 1 (x) f 1 (x) b 1 x 2 x =., g(x) = g 2 (x)., f(x) = f 2 (x)., b = b 2. g n (x) f n (x) x n b n x är en n 1 vektor som innehåller variabler, b är en n 1 vektor som innehåller konstanter och f(x) är en n 1 vektorvärd funktion. Numerisk lösning av (8.34) med Newton-Raphsons metod grundas på Taylorutveckling av (8.34). Genom att Taylorutveckla (8.34) löser Newton-Raphsons metoden ekvationssystemet med ett iterativt sätt. Från en startgissning x (0) bildas en följd av successivt bättre approximationer x (1), x (2), x (3), som förhoppningsvis konvergerar mot någon lösning x.

94 86 Låt x vara lösningen (eller roten) till (8.34), dvs. g(x ) = 0, och x (i) vara en skattning av x. Låt vidare x (i) = x x (i). Nu kan (8.34) skrivas som Taylorutveckling av (8.35) ger g(x ) = g(x (i) + x (i) ) = 0 (8.35) g(x (i) + x (i) ) = g(x (i) ) + JAK (x(i)) x (i) = 0 (8.36) där [ ] g(x) JAK (x(i)) = x x=x (i) = där, JAK kallas för Jakobianmatrisen till g. g 1 (x) x g n(x) x 1 g 1 (x) x n. g n(x) x n x=x(i) (8.37) Nu, kan x (i) beräknas från (8.36) enligt följande JAK (x(i)) x (i) = 0 g(x (i) ) = g(x (i) ) (8.38) [ x (i) = JAK )] 1 (x(i) g(x (i) ) (8.39) Eftersom g(x (i) ) = f(x (i) ) b, ges g(x (i) ) av Vidare, eftersom b är konstant ges JAK (x(i)) också av [ ] g(x) JAK (x(i)) = x g(x (i) ) = b f(x (i) ) = g(x (i) ) (8.40) x=x (i) = [ ] f(x) x x=x (i) = f 1 (x) f 1 (x) x n x f n (x) x 1 f n (x) x n x=x(i) (8.41) Därför kan x (i) beräknas enligt följande x (i) = x (i) 1. x (i) n Slutligen erhåller man = f 1 (x) f 1 (x) x n x f n (x) x 1 f n (x) x n i = i x=x (i) x (i) = x (i 1) + x (i 1) b 1 f 1 (x (i) 1,, x (i) n ). b n f n (x (i) 1,, x (i) n ) (8.42) Tanken är att x (1) ska skatta roten x bättre än vad x (0) gör. Med samma teknik kan x (2), x (3), bestämmas tills något givet villkor är satisfierat. Vi får alltså en iterativ metod enligt flödesschemat i figur 8.8.

95 87 Sätt i = 0 Ange x ( i) Steg 1 ( i) Beräkna g( x ) Steg 2 Är beloppet av samtliga elementen i ( i) g( x ) mindre än ett litet positivt tal ε? Nej Ja Steg 3 x = x ( i) Beräkna JAK ( i) Steg 4 Beräkna x ( i) Steg 5 i = i + 1 ( i) ( i 1) ( i 1) x = x + x Steg 6 Exempel 8.10 Lös ekvationssystemet Figur 8.8. Flödesschema för Newton-Raphsons metod. g(x) = k 1 x + k 2 cos(x k 3 ) k 4 = 0 med Newton-Raphsons metod. Låt k 1 = 0.2, k 2 = 1.2, k 3 = 0.07, k 4 = 0.4 och ɛ = (Detta ekvationssystem används i hemuppgift D1.) Lösning Detta ekvationssystem är av formen given i (8.34), med f(x) = k 1 x + k 2 cos(x k 3 ) och b = k 4. Steg 1 Sätt i = 0 och x (i) = x (0) = (radianer), dvs 3 grader. Steg 2 g(x (i) ) = b f(x (i) ) = 0.4 [( ) cos( )] = Gå till Steg 4 eftersom g(x (i) ) > ɛ Steg 4 JAK (x(i)) = [ ] f = sin( ) = x x=x (i) Steg 5 x (i) = Steg 6 [ JAK (x(i) )] 1 g(x (i) ) = =

96 88 i = i + 1 = = 1 x (i) = x (i 1) + x (i 1) = = Gå till Steg 2 Efter 5 iterationer, dvs i = 5, fann man att g(x (i) ) < ɛ för x (5) = (radianer). Därför blir lösningen x = (radianer) eller x = (grader) MATLAB-koder för detta exempel kan finnas i appendix C. Analys av Exempel 8.10 Figur 8.9 visar variationer av g(x) mot x. Figuren visar att systemet har tre lösningar (eller rötter), dvs de punkter där g(x) = 0. På grund av praktiska skäl är x den intressanta lösningen (eller roten) som visas med (O) i figuren x * g(x) x Figur 8.9. Variationer av g(x) mot x. Figur 8.10 visar hur ekvationssystemet löses med Newton-Raphsons metod. Först gissar man ett startvärde, i det här fallet x (0) = (radianer), dvs 3 grader. Tangenten genom punkten ( x (0), g(x (0) ) ) [ ], dvs g (x (0) ) = dg(x) = JAK(x(0)) skär x dx x=x (0) axeln i x (1). Tangentens ekvation är Y g(x (0) ) = g (x (0) ) (x x (0) ) Skärningen x (1) med x axeln erhålls genom att sätts Y = 0, dvs x (1) = x (0) g(x(0) ) g (x (0) ) = x(0) ( g (x (0) ) ) 1 g(x (0) ) x (1) = x (1) x (0) = ( g (x (0) ) ) [ 1 g(x (0) ) = JAK )] 1 (x(0) g(x (0) )

97 89 g(x) g(x (0) ) JAK (x(0) ) 0 x (0) x (2) (1) x JAK (x(1) ) g(x (1) ) Figur Variationer av g(x) mot x. Med samma teknik bestäms x (2) som är en bättre skattning än x (1). I figuren kan man se att från x (2) kan ett x (3) bestämmas som är ännu bättre skattning av x än x (2) gör. Man fortsätter med ytterligare iterationer tills g(x) < ɛ. Exempel 8.11 Lös ekvationssystemet i Exempel 8.10 med startvärde x (0) = (radianer), dvs 1 grad. Lösning G.D.S, (dvs, Gör Det Själv) Tillämpning i kraftsystem Betrakta ett kraftsystem med N noder. Målet är att bestämma spänningen i samtliga noder i kraftsystemet med hjälp av Newton-Raphsons metod. Alla variabler i det här avsnittet är i p.u. Betrakta igen figur 8.1. Låt b kj0 = B g kj + j b kj = 1 Z kj = g kj = R Z 2 b kj = X Z 2 1 R + j X = R Z + j X 2 Z 2 (8.43)

98 90 I enlighet med beteckningar i (8.43) skrivs ekvationer (8.6) och (8.7) om enligt: P kj = g kj U 2 k U k U j [g kj cos(θ kj ) + b kj sin(θ kj )] (8.44) Q kj = U 2 k ( b kj0 b kj ) U k U j [g kj sin(θ kj ) b kj cos(θ kj )] (8.45) Strömmen genom ledningen, och förlusterna i ledningen beräknas enligt: I kj = P kj j Q kj U k (8.46) P lkj = P kj + P jk (8.47) Q lkj = Q kj + Q jk (8.48) Betrakta igen figur 8.4. Låt Y = G + jb beteckna kraftsystemets admittansmatris (eller Y- matris), där Y är en N N matris, dvs systemet har N noder. Sambandet mellan strömmar som injiceras i noderna och spänningarna i noderna ges av I = Y U, se avsnitt 5.1. Därför ges den injicerade strömmen i nod k av I k = N j=1 Y kj U j. Den injicerade komplexa effekten i nod k kan nu beräknas enligt följande: = ( U k N S k = U k I k = U k Y kju j = U k N j=1 j=1 U j [G kj cos(θ kj ) + B kj sin(θ kj )] N j=1 ) (G kj jb kj ) U j (cos(θ kj ) + j sin(θ kj )) + j ( N U k j=1 ) U j [G kj sin(θ kj ) B kj cos(θ kj )] Låt P k beteckna real delen av S k, dvs den injicerade aktiva effekten, och Q k beteckna imaginär delen, dvs den injicerade reaktiva effekten, enligt följande: P k = U k Q k = U k N j=1 N j=1 U j [G kj cos(θ kj ) + B kj sin(θ kj )] U j [G kj sin(θ kj ) B kj cos(θ kj )] (8.49) Observera att G kj = g kj och B kj = b kj för k j. Vidare P k = Q k = N j=1 N j=1 P kj Q kj Ekvationer (8.21) och (8.22) kan nu skrivas om enligt P k P GDk = 0 Q k Q GDk = 0 (8.50)

99 91 som är av formen i ekvation (8.34), där θ 1. θ θ N f P (θ, U) x = =, f(θ, U) = = U U 1 f Q (θ, U). U N P 1. P N Q 1. Q N, b = b P b Q = P GD1. P GDN Q GD1. Q GDN (8.51) Målet är att bestämma x = [θ U] T med hjälp av Newton-Raphsons metod. Anta att det finns 1 utjämningsnod och M PU-noder i kraftsystemet. Detta medför att θ blir en (N 1) 1 vektor och U blir en (N 1 M) 1 vektor, varför? I enlighet med ekvation (8.40) definieras följande: P k = P GDk P k Q k = Q GDk Qk Enligt ekvation (8.41) ges Jakobianmatrisen av där, JAK = f P (θ,u) θ f Q (θ,u) θ k utjämningsnod k utjämningsnod och PU-nod f P (θ,u) U f Q (θ,u) U H är en (N 1) (N 1) matris N är en (N 1) (N M 1) matris J är en (N M 1) (N 1) matris L är en (N M 1) (N M 1) matris Elementen av dessa matriser ges enligt följande: (8.52) H N = (8.53) J L H kj = P k θ j k utjämningsnod j utjämningsnod N kj = P k U j k utjämningsnod j utjämningsnod och PU-nod J kj = Q k θ j k utjämningsnod och PU-nod j utjämningsnod L kj = Q k U j k utjämningsnod och PU-nod j utjämningsnod och PU-nod Enligt ekvationer (8.38), (8.52) och (8.53) erhålls följande: [ ][ ] [ ] H N θ P J L = U Q (8.54) För att förenkla elementen i matriserna N och L multipliceras dessa matriser med U. Då skrivs ekvation (8.54) om enligt: [ ][ ] [ ] H N θ P U = (8.55) J L Q U

100 92 där, för k j H kj = P k θ j = U k U j [G kj sin(θ kj ) B kj cos(θ kj )] N kj = J kj = U j N kj = U j P k U j = U k U j [G kj cos(θ kj ) + B kj sin(θ kj )] Q k θ j = U k U j [G kj cos(θ kj ) + B kj sin(θ kj )] (8.56) och för k = j L kj = U j L kj = U j Q k U j = U k U j [G kj sin(θ kj ) B kj cos(θ kj )] H kk = P k θ k = Q k B kk U 2 k N kk = J kk = U k P k U k Q k θ k = P k + G kk U 2 k = P k G kk U 2 k (8.57) L kj = U k Q k U k = Q k B kk U 2 k Nu erhålls följande enligt ekvation (8.42): [ ] θ U = U [ H N J L ] 1 [ ] P Q (8.58) Slutligen uppdateras U och θ enligt följande: θ k = θ k + θ k ) U k = U k (1 + U k U k k utjämningsnod k utjämningsnod och PU-nod (8.59) Belastningsfördelningsberäkning (BFB) med Newton-Raphsons metod BFB med Newton-Raphsons metod utförs enligt följande: Steg 1 1a) Läs noddata, ledningsdata, och identifiera Uθ-nod, PU-noder och PQ-noder. 1b) Bilda Y-matrisen och beräkna nettoproduktioner, dvs P GD = P G P D och Q GD = Q G Q D. 1c) Ange startvärdena för okända variabler, dvs U för PQ-noder och θ för PU- och PQ-noder. Det är mycket vanligt att sätta U = U Uθ nod och θ = θ Uθ nod. 1d) Gå till Steg 2. Steg 2

101 93 2a) Beräkna den injicerade effekten i noderna enligt ekvation (8.49). 2b) Beräkna differensen mellan nettoproduktionen och den injicerade effekten i varje nod, dvs P och Q enligt ekvation (8.52). 2c) Är beloppet av alla elementen i vektorn [ P Q] T mindre än ett litet positivt tal ɛ? Steg 3 Om ja, gå till Steg 3. Om nej, gå till Steg 4. 3a) Beräkna effektflödena enligt ekvationer (8.44) och (8.45). 3b) Beräkna effektinmatningarna, dvs P G och Q G i utjämningsnoden, och Q G i PUnoderna med hjälp av ekvation (8.50). 3c) Skriv ut resultaten. Steg 4 4a) Beräkna Jakobianmatrisen enligt ekvationer (8.56) och (8.57). 4b) Gå till Steg 5. Steg 5 5a) Beräkna [ ] U T θ U enligt ekvation (8.58). 5b) Gå till Steg 6. Steg 6 6a) Uppdatera U och θ enligt ekvation (8.59). 6b) Gå till Steg 2. Exempel 8.12 Betrakta kraftsystemet i Figur 8.5. Följande data (alla i p.u.) är kända: Ledningen mellan Nod 1 och Nod 2: kort ledning, Z 12 = j 0.2 Ledningen mellan Nod 1 och Nod 3: kort ledning, Z 13 = j 0.4 Ledningen mellan Nod 2 och Nod 3: kort ledning, Z 23 = j 0.5 Nod 1: U 1 = 1, θ 1 = 0 Nod 2: U 2 = 1, P G2 = 2, P D2 = 1, Q D2 = 0.2 Nod 3: P D3 = 2, Q D3 = 0.4 Genom att tillämpa Newton-Raphsons metod, beräkna P G1, Q G1 och Q G2 efter 4 iterationer.

102 94 Lösning Steg 1 1a) ȳ 12 = 1 Z 12 = j 5, ȳ 13 = 1 Z 13 = j 2.5, ȳ 23 = 1 Z 23 = j 2 Nod 1= Uθ-nod, Nod 2= PU-nod, Nod 3= PQ-nod 1b) ȳ 11 = ȳ 12 + ȳ 13, ȳ 22 = ȳ 12 + ȳ 23, ȳ 33 = ȳ 13 + ȳ 23 ȳ 11 ȳ 12 ȳ 13 jb 11 jb 12 jb 13 j 7.5 j 5 j 2.5 Y = ȳ 12 ȳ 22 ȳ 23 = jb 21 jb 22 jb 23 = j 5 j 7 j 2 = jb ȳ 13 ȳ 23 ȳ 33 jb 31 jb 32 jb 33 j 2.5 j 2 j 4.5 Observera att Y = G + jb, men eftersom det inte finns resistanser i ledningarna blir G = 0. P GD2 = P G2 P D2 = 2 1 = 1 P GD3 = P G3 P D3 = 0 2 = 2 Q GD3 = Q G3 Q D3 = 0 ( 0.4) = 0.4 1c) U 3 = 1, θ 2 = 0, θ 3 = 0 Iteration 1 Steg 2 2a) P 1 = U 1 [U 2 B 12 sin(θ 1 θ 2 ) + U 3 B 13 sin(θ 1 θ 3 )] = = 1 [1 5 sin(0 0) sin(0 0)] = 0 P 2 = U 2 [U 1 B 21 sin(θ 2 θ 1 ) + U 3 B 23 sin(θ 2 θ 3 )] = = 1 [1 5 sin(0 0) sin(0 0)] = 0 P 3 = U 3 [U 1 B 31 sin(θ 3 θ 1 ) + U 2 B 32 sin(θ 3 θ 2 )] = = 1 [1 2.5 sin(0 0) sin(0 0)] = 0 Q 1 = U 1 [U 2 B 12 cos(θ 1 θ 2 ) + U 3 B 13 cos(θ 1 θ 3 ) + U 1 B 11 ] = = 1 [1 5 cos(0 0) cos(0 0) + 1 ( 7.5)] = 0 Q 2 = U 2 [U 1 B 21 cos(θ 2 θ 1 ) + U 3 B 23 cos(θ 2 θ 3 ) + U 2 B 22 ] = = 1 [1 5 cos(0 0) cos(0 0) + 1 ( 7)] = 0 Q 3 = U 3 [U 1 B 31 cos(θ 3 θ 1 ) + U 2 B 32 cos(θ 3 θ 2 ) + U 3 B 33 ] = = 1 [1 2.5 cos(0 0) cos(0 0) + 1 ( 4.5)] = 0 2b) [ ] [ ] P2 PGD2 P P = = 2 = P 3 P GD3 P 3 [ ] [ ] = 2 0 2

103 95 Q = [ Q 3 ] = [ QGD3 Q 3 ] = [ ] = [ 0.4 ] 2c) Gå direkt till Steg 4 Steg 4 4a) H = P 2 P 2 θ 2 θ 3 P 3 θ 2 P 3 θ 3 H JAK = L där,, N = N = J P 2 θ 2 P 2 P 3 θ 2 P 3 P U 2 3 U 3 U 3 P 3 U 3 P θ 3 U 2 3 U 3 P θ 3 U 3 3 U 3 Q 3 θ 2 Q 3 θ 3 U 3 Q 3 U 3, L = [ ] Q3 Q 3 θ 2 θ 3, J = [ ] Q U 3 3 U 3 H: P 2 θ 2 = Q 2 B 22 U2 2 = 0 ( ) = 7 P 2 θ 3 = U 2 U 3 B 23 cos(θ 2 θ 3 ) = cos(0 0) = 2 P 3 θ 2 = U 3 U 2 B 32 cos(θ 3 θ 2 ) = cos(0 0) = 2 P 3 θ 3 = Q 3 B 33 U3 2 = 0 ( ) = 4.5 N: U 3 P 2 U 3 = U 2 U 3 B 23 sin(θ 2 θ 3 ) = sin(0 0) = 0 U 3 P 3 U 3 = P 3 = 0 J: Q 3 θ 2 = U 3 U 2 B 32 sin(θ 3 θ 2 ) = sin(0 0) = 0 Q 3 θ 3 = P 3 = 0

104 96 L: U 3 Q 3 U 3 = Q 3 B 33 U 2 3 = 0 ( ) = 4.5 Steg 5 5a) θ 2 θ 3 = U 3 U 3 P 2 θ 2 P 2 P 3 θ 2 P 3 P θ 3 U 2 3 U 3 P θ 3 U 3 3 U 3 Q 3 θ 2 Q 3 θ 3 U 3 Q 3 U 3 1 P P 3 = = Q Steg 6 6a) θ 2 = θ 2 + θ 2 = = θ 3 = θ 3 + θ 3 = 0 + ( ) = U 3 = U 3 (1 + U 3 U 3 ) = 1 ( ) = b) Gå till steg 2 Iteration 2 Steg 2 2a) P 1 = 1 [1 5 sin( ) sin( )] = P 2 = 1 [1 5 sin( ) sin( )] = P 3 = [1 2.5 sin( ) sin( )] = Q 1 = 1 [1 5 cos( ) cos( ) + 1 ( 7.5)] = Q 2 = 1 [1 5 cos( ) cos( ) + 1 ( 7)] = Q 3 = [1 2.5 cos( ) cos( ) ( 4.5)] = b) [ ] [ ] [ ] [ ] P2 PGD2 P P = = = = P 3 P GD3 P Q = [ ] [ ] [ ] [ ] Q 3 = QGD3 Q 3 = = c) Gå direkt till Steg 4 Steg 4

105 97 4a) H: P 2 θ 2 = Q 2 B 22 U2 2 = ( ) = P 2 θ 3 = U 2 U 3 B 23 cos(θ 2 θ 3 ) = cos( ) = P 3 θ 2 = U 3 U 2 B 32 cos(θ 3 θ 2 ) = cos( ) = P 3 θ 3 = Q 3 B 33 U3 2 = ( ) = N: U 3 P 2 U 3 = U 2 U 3 B 23 sin(θ 2 θ 3 ) = sin( ) = U 3 P 3 U 3 = P 3 = J: Q 3 θ 2 = U 3 U 2 B 32 sin(θ 3 θ 2 ) = sin( ) = Q 3 θ 3 = P 3 = L: U 3 Q 3 U 3 = Q 3 B 33 U 2 3 = ( ) = Steg 5 5a) 1 θ θ 3 = = U 3 U 3 Steg 6 6a) θ 2 = θ 2 + θ 2 = = θ 3 = θ 3 + θ 3 = = U 3 = U 3 (1 + U 3 U 3 ) = ( ) =

106 98 6b) Gå till steg 2 Iteration 3 Med de nya värdena ovan för θ 2, θ 3 och U 3 körs den tredje iterationen. Då erhålls ytterligare nya värden, dvs θ 2 = , θ 3 = och U 3 = Nu med de nya värdena körs den fjärde iterationen: Steg 2 Steg 4 Steg 5 5a) θ 2 0 θ 3 = = U 3 U 3 Steg 6 6a) θ 2 = θ 2 + θ 2 = = θ 3 = θ 3 + θ 3 = = U 3 = U 3 + (1 + U 3 U 3 ) = ( ) = Nu gå till steg 3 Steg 3 3b) P 1 = U 1 [U 2 B 12 sin(θ 1 θ 2 ) + U 3 B 13 sin(θ 1 θ 3 )] = = 1 [1 5 sin( ) sin( )] = Q 1 = U 1 [U 2 B 12 cos(θ 1 θ 2 ) + U 3 B 13 cos(θ 1 θ 3 ) + U 1 B 11 ] = = 1 [1 5 cos( ) cos( ) + 1 ( 7.5)] = Q 2 = U 2 [U 1 B 21 cos(θ 2 θ 1 ) + U 3 B 23 cos(θ 2 θ 3 ) + U 2 B 22 ] = = 1 [1 5 cos( ) cos( ) + 1 ( 7)] = P G1 = P 1 + P D1 = = 1 Q G1 = Q 1 + Q D1 = = Q G2 = Q 2 + Q D2 = = Matlab-koder för detta exempel kan finnas i appendix D.

107 Kapitel 9 Analys av trefassystem med hjälp av linjära transformationer I detta kapitel beskrivs översiktligt möjligheterna att utnyttja linjära transformationer för att förenkla beräkningarna i trefassystem. Dessa transformationer är generella och gäller för såväl symmetriska som osymmetriska förhållanden. Genom att generalisera uttrycken för symmetrisk trefas spänning i ekvationerna (3.11) och (3.15) erhålls motsvarande uttryck för godtycklig trefas spänning vid konstant frekvens enligt u a (t) = U Ma cos(ωt + γ a ) u b (t) = U Mb cos(ωt + γ b ) u c (t) = U Mc cos(ωt + γ c ) U a = U a γ a U b = U b γ b U c = U c γ c (9.1) där U Ma, U Mb, U Mc är toppvärden, U a, U b, U c är effektivvärden och γ a, γ b, γ c är fasvinklar för de tre spänningarna. För de osymmetriska strömmarna blir motsvarande uttryck i a (t) = I Ma cos(ωt + γ a φ a ) i b (t) = I Mb cos(ωt + γ b φ b ) i c (t) = I Mc cos(ωt + γ c φ c ) I a = I a γ a φ a I b = I b γ b φ b I c = I c γ c φ c (9.2) där I Ma, I Mb, I Mc är toppvärden, och I a, I b, I c är effektivvärden för de tre fasströmmarna medan φ a, φ b, φ c är fasströmmarnas fasläge i förhållande till respektive fasspänning. Den totala trefasiga aktiva effektens medelvärde kan beräknas enligt P 3 = U Ma 2 I Ma 2 cos φ a + U Mb 2 I Mb 2 cos φ b + U Mc 2 I Mc 2 cos φ c (9.3) medan den trefasiga totala komplexa effekten är S 3 = U a I a + U b I b + U c I c = (U a I a cos φ a + U b I b cos φ b + U c I c cos φ c ) + + j(u a I a sin φ a + U b I b sin φ b + U c I c sin φ c ) (9.4) Denna fasrepresentation är i många fall tillräcklig för att utföra beräkningar i trefassystem. Det finns dock ett flertal viktiga frågeställningar där beräkningsarbetet underlättas väsentligt genom användandet av linjära transformationer. Detta kapitel innehåller först en allmän behandling av linjära transformationer för analys av trefassystem. Därefter behandlas olika specifika transformationer som används vid olika tillämpningar. För att verkligen förstå och inse nyttan av de olika transformationerna hänvisas till kurser i elektromaskinlära, kraftelektronik etc. I kapitel 10 behandlas en av de införda transformationerna, symmetriska komponenter, mer ingående. Syftet med detta kapitel är att visa att idén och matematiken bakom de införda transformationerna är desamma, det är bara valet av linjär transformation, dvs transformationsmatris, som är olika. 99

108 Linjära transformationer Transformationer innebär att man avbildar komponenter i ett originalrum (här är originalrummet fas-storheternas momentanvärde eller komplexa representation) med andra komponenter i ett bildrum. En linjär transformation innebär att komponenterna i bildrummet är en linjärkombination av komponenterna i originalrummet. Fas-spänningarnas komplexvärden kan t ex avbildas med en linjär transformation enligt vilket i matrisform kan skrivas som U A U B = U C eller kortare U A = w aa U a + w ab U b + w ac U c U B = w ba U a + w bb U b + w bc U c (9.5) U C = w ca U a + w cb U b + w cc U c w aa w ab w ac w ba w bb w bc w ca w cb w cc U a U b U c (9.6) U ABC = WU abc (9.7) Elementen i matrisen W är oberoende av värdena på original- och bildrumskomponenterna. I detta exempel avbildas således originalrumskomponenterna U a, U b och U c med den linjära transformationen W till bildrumskomponenterna U A, U B och U C. Från bildrumskomponenterna kan originalrumskomponenter beräknas genom att matrisen W inverteras (W 1 = T) dvs U abc = W 1 U ABC = TU ABC (9.8) Det är enbart avbildningar där W 1 existerar som är meningsfulla. I fortsättningen kommer matrisen T eller inversen T 1 representera den linjära transformationen Effektinvarians Ett vanligt krav på linjära transformationer som ställs vid analys av trefassystem är att det skall vara möjligt att beräkna effekter även i bildrummet med samma uttryck som i originalrummet, och att resultatet skall bli detsamma, dvs transformationen skall vara effektinvariant. För den komplexa representationen kan effekten i originalrummet beräknas enligt ekv (9.4) dvs S abc = U a I a + U b I b + U c I c = U T abci abc (9.9) och i bildrummet blir motsvarande Effektinvarians innebär att S ABC = S abc dvs S ABC = U A I A + U B I B + U C I C = U T ABCI ABC (9.10) U T ABCI ABC = U T abci abc = (TU ABC ) T (TI ABC ) = U T ABCT T T I ABC (9.11)

109 101 Detta innebär att för transformationsmatrisen T måste följande gälla : T T T = E = (9.12) vilket kan skrivas om som T 1 = (T ) T (9.13) dvs matrisen T är unitär. Om T är reell så innebär ekv. (9.13) att T är ortogonal Koefficientmatrisen i originalrummet Antag att en trefasledning går mellan två punkter. Spänningsfallet U abc över denna ledning beror då på strömmen I abc som flyter i de olika faserna enligt U a Z aa Z ab Z ac I a U abc = U b = Z ba Z bb Z bc I b = Z abc I abc (9.14) U c Z ca Z cb Z cc I c där Z abc är koefficientmatrisen för ledningen. Observera att samtliga element i Z abc är 0 eftersom en ström i en fas även påverkar spänningsfallet i de andra faserna p g a ömsinduktansen, se kapitel 11. Symmetriska matriser En symmetrisk matris innebär att den är symmetrisk runt diagonalen. För Z-matrisen i ekvation (9.14) innebär det att Z ab = Z ba, Z ac = Z ca och Z bc = Z cb dvs Z abc = Z aa Z ab Z ac Z ab Z bb Z bc Z ac Z bc Z cc = Z T abc (9.15) Ett exempel på en symmetrisk matris är den för en kraftledning eller en kabel där icke diagonalelementen beror på ömsinduktansen, vilken förstås är lika mellan faserna a b och faserna b a, se vidare kapitel 11. Cyklosymmetriska matriser En cyklosymmetrisk matris innebär för Z-matrisen i ekvation (9.14) att Z ab = Z bc = Z ca, Z ba = Z ac = Z ca och Z aa = Z bb = Z cc, dvs Z aa Z ab Z ba Z abc = Z ba Z aa Z ab (9.16) Z ab Z ba Z aa

110 102 Alla normala trefassystem är cyklosymmetriska, dvs om i a, i b, i c permuteras till i b, i c, i a, så permuteras också spänningarna u a, u b, u c till u b, u c, u a. Detta innebär att normala kraftledningar, kablar, transformatorer och elektriska maskiner kan representeras av cyklosymmetriska matriser Koefficientmatrisen i bildrummet Om man multiplicerar båda sidor i ekvation (9.14) med matrisen T 1 erhålls U ABC = T 1 U abc = T 1 Z abc I abc = (T 1 Z abc T)I ABC = Z ABC I ABC (9.17) där Z ABC = T 1 Z abc T (9.18) Z ABC är koefficientmatrisen Z abc :s avbildning i bildrummet. Detta innebär att om U ABC representerar spänningarna och I ABC representerar strömmarna i bildrummet, så representerar Z ABC impedanserna i bildrummet. Ett motiv till att utföra en linjär transformation kan vara att få koefficientmatrisen i bildrummet att bli diagonal dvs Z AA 0 0 Z ABC = 0 Z BB 0 (9.19) 0 0 Z CC Med en diagonal koefficientmatris kan ekvation (9.17) skrivas som U A = Z AA I A U B = Z BB I B (9.20) U C = Z CC I C dvs matrisekvationen (9.17) med ömskopplingar mellan faserna ersätts med tre okopplade ekvationer. Med Z ABC diagonal enligt ekvation (9.19) kan båda leden i ekvation (9.18) multipliceras med T och skrivas om enligt Z AA 0 0 TZ ABC = t 1 t 2 t 3 0 Z BB Z CC = Z abc T = Z abc t 1 t 2 t 3 = Z AA t 1 Z BB t 2 Z CC t 3 = (9.21) där t 1, t 2, t 3 är kolumner i T. Ekvation (9.21) kan skrivas om enligt Z abc t 1 Z AA t 1 = 0 Z abc t 2 Z BB t 2 = 0 (9.22) Z abc t 3 Z CC t 3 = 0

111 103 dvs Z AA, Z BB och Z CC är matrisen Z abc :s egenvärden och vektorerna t 1, t 2 och t 3 är motsvarande egenvektorer. En transform som överför matrisen Z till diagonal form skall alltså ha en transformationsmatris T vars kolumner är matrisen Z:s egenvektorer, så när som på en skalfaktor. 9.2 Exempel på linjära transformationer som används vid analys av trefassystem Nedan kommer fyra olika vanligt använda linjära transformer att beskrivas kortfattat. Generellt gäller att olika författare definierar transformerna något olika. När man i litteraturen stöter på någon av dessa transformer måste man därför se vilken definition som just den författaren använder, annars kan felaktiga resultat erhållas Symmetriska komponenter För analys av osymmetriska förhållanden i elsystem, utnyttjas normalt symmetriska komponenter. Denna linjära komplexa transformation utnyttjar det faktum att alla komponenter (ledningar, maskiner etc) i normala elsystem är cyklosymmetriska, dvs deras impedanser kan avbildas enligt ekvation (9.16). Den effektinvarianta transformationsmatrisen och dess invers för de symmetriska komponenterna är T S = 1 T 1 S = 1 (9.23) α 2 α 1 α α α α 2 1 α 2 α där α = e j120. Som framgår av definitionen är T 1 S = (T S )T vilket stämmer med antagandet om effektinvarians enligt ekvation (9.13). Med denna transformation övergår cyklosymmetriska matriser till diagonal form enligt ekvation (9.19), dvs matrisen T S :s kolumner består av egenvektorerna till en cyklosymmetrisk matris. Detta förenklar väsentligt systemberäkningar enligt ekvation (9.20). Med givna fasspänningar U a, U b, U c kan de effektinvarianta symmetriska komponenterna beräknas enligt U s = U 0 U 1 U 2 = T 1 S U abc = α α 2 1 α 2 α U a U b U c (9.24) De tre komponenterna U 0, U 1 och U 2 benämns nollföljd, plusföljd respektive minusföljd. En cyklosymmetrisk impedansmatris enligt ekv. (9.16) kan diagonaliseras med symmetriska komponenter enligt ekv. (9.18) som Z S = T 1 S Z aa Z ab Z ba Z ba Z aa Z ab Z ab Z ba Z aa T S = Z Z Z 2 (9.25)

112 104 där Z 0 = Z aa + Z ab + Z ba = nollföljdsimpedans Z 1 = Z aa + α 2 Z ab + αz ba = plusföljdsimpedans (9.26) Z 2 = Z aa + αz ab + α 2 Z ba = minusföljdsimpedans De tre impedanserna Z 0, Z 1 och Z 2 är alltså den cyklosymmetriska impedansmatrisens egenvärden. För en impedansmatris som är både cyklosymmetrisk och symmetrisk, dvs Z ba = Z ab blir resultatet av en diagonalisering att Z 0 = Z aa + 2Z ab Z 1 = Z aa Z ab (9.27) Z 2 = Z aa Z ab Transformatorer, kraftledningar, kablar och symmetriska laster (ej elektriska maskiner) kan normalt representeras med impedansmatriser som är cyklosymmetriska och symmetriska dvs alla diagonalelement är lika och alla icke-diagonala element är lika. För dessa gäller således att plusföljdsimpedansen och minusföljdsimpedansen är lika. För att t ex plusföljdskomponenten för fasspänningen skall bli lika med fasspänningen brukar för de symmetriska komponenterna en referensinvariant form av transformationen användas. Den referensinvarianta transformationsmatrisen och dess invers för de symmetriska komponenterna är T S = α 2 α 1 α α 2 = 3 T S T 1 S = α α 2 1 α 2 α = 1 3 T 1 S (9.28) Den referensinvarianta transformationer är alltså inte effektinvariant, eftersom T 1 S = 1 3 (T S )T. Beteckningen referensinvariant beror på att vid symmetriska förhållanden blir U 1 = U a. Det kan påpekas att transformationer av koefficientmatriser enligt ekv. (9.18) inte påverkas av om man använder den effektinvarianta eller referensinvarianta formen eftersom Z ABC (eff inv) = T 1 S Z abct S = ( 1 3 T 1 S ) ( ) Z abc 3TS = = T 1 S Z abc T S = Z ABC (ref inv) (9.29) En tredje variant av transformationsmatrisen för de symmetriska komponenterna uppkommer då ordningsföljden för plus- minus- och nollföljden ändras. Med plusföljden först och nollföljden sist permuteras kolumnerna i T-matrisen och raderna i T 1 vilket ger följande referensinvarianta transformationsmatriser : T S = α 2 α 1 α α 2 1 T 1 S = α α 2 1 α 2 α (9.30) Det är denna form som utnyttjas i den utförligare framställning av de symmetriska komponenterna som finns i kapitel 10. Det enda som händer med koefficientmatrisen i bildrummet är att diagonalelementen byter plats.

113 105 Som framgår av ovanstående så finns det ett flertal varianter av de symmetriska komponenterna, vilka samtliga har samma grundläggande funktion, nämligen diagonalisering av de cyklosymmetriska impedansmatriserna Clarkes komponenter Clarkes komponenter, även kallade α β-komponenter eller ortogonalkomponenter, delar upp den nollföljdsfria delen av fasstorheterna i två ortogonala komponenter. Med nollföljd avses på samma sätt som vid symmetriska komponenter, summan av faskomponenterna. Med nollföljdsfri avses att summan av faskomponenterna = 0. Den effektinvarianta (T 1 = (T ) T, se ekv. (9.13)) transformationsmatrisen och dess invers för Clarkes komponenter är T C = T 1 C = (9.31) Clarkes komponenter är en reell ortogonal transformation som huvudsakligen används för att transformera tidsstorheter t ex i 0 (t) i α (t) 2 2 i a (t) = i 0αβ (t) = T 1 C i abc(t) = i 2 2 b (t) (9.32) 3 i β (t) 0 i c (t) där i 0 (t) är nollföljdskomponenten, i α (t) är α-komponenten och i β är β-komponenten för Clarkes transformation av fasströmmarna i a (t), i b (t) och i c (t). Att transformationen är ortogonal framgår av att kolumn 2 och 3 i T C (motsvarande α- och β-komponenterna) är ortogonala. För en symmetrisk trefasström enligt ekvation (3.13) dvs i a (t) = I M cos(ωt φ) i b (t) = I M cos(ωt 120 φ) (9.33) i c (t) = I M cos(ωt φ) erhålls Clarkes komponenter enligt ekvation (9.32) i 0 (t) = 1 (i a (t) + i b (t) + i c (t)) = 0 3 ( 2 i α (t) = i a (t) i b(t) 1 ) 2 i c(t) = ( ) i β (t) = 3 2 i b(t) 2 i c(t) = 3 2 I M cos(ωt φ) (9.34) 3 2 I M cos(ωt φ 90 ) Som framgår av ovanstående kan nollföljdsfria förhållanden representeras fullständigt av Clarkes α- och β-komponenter. Nollföljdsfria förhållanden är relativt vanliga bl a beroende på transformatorkopplingar.

114 106 Matriser som är både cyklosymmetriska och symmetriska kan diagonaliseras med Clarkes transform enligt t ex Z aa Z ab Z ab Z C = T 1 C Z ab Z aa Z ab T C = Z ab Z ab Z aa = Z aa + 2Z ab Z aa Z ab Z aa Z ab (9.35) För denna typ av matriser ger alltså en diagonalisering med Clarkes komponenter exakt samma resultat som en diagonalisering med symmetriska komponenter, se ekv. (9.25) och (9.27). Således kan matrisrepresentationer för transformatorer, kraftledningar, kablar och symmetriska laster (dock ej elektriska maskiner) diagonaliseras. Fördelen med Clarkes komponenter är att transformen är reell vilket gör att reella momentanvärdens avbildningar också är reella. Nackdelen är att elektriska maskiner inte kan representeras av tre oberoende variabler med Clarkes komponenter. Clarkes komponenter används för att förenkla beräkningarna bl a vid studier av flerfasfel, analys av transienter i ledningsnät, omriktardrifter mm Parks transformation Parks transformation (även kallad dq-transformationen eller Blondells transformation) är en linjär transformation mellan de tre fysiska faserna och tre nya komponenter. Denna transformation används ofta vid analys av synkronmaskiner. I figur 9.1 visas en förenklad bild av förhållandena i en synkronmaskin med utpräglade poler. Två ortogonala axlar definieras. En som är riktad längs den axel som fältströmmen i rotorn alstrar ett flöde i, samt en som är vinkelrät mot denna. Den första kallas längsaxeln (d-axeln efter engelskans direct) och den andra kallas tväraxeln (q-axeln efter engelskans quadrature). Det kan noteras att detta koordinatsystem alltså följer med rotorn när den snurrar. Maskinen i figur 9.1 är tvåpolig men Parks transformation kan tillämpas för maskiner med godtyckligt poltal. Parks transformation är som nämnts ovan tidsberoende eftersom förskjutningen mellan dqaxlarna och abc-axlarna ändras då rotorn vrids. I Parks transformation ingår förutom d- och q-komponenter även nollföljden för att erhålla en fullständig representation. Sambandet mellan fasströmmar i a, i b, i c och dq0-komponenter ges med beteckningar enligt figur 9.1 av i 0 = 1 (i a + i b + i c ) 3 i d = i q = 2 3 (i a cos θ + i b cos (θ 120 ) + i c cos (θ )) (9.36) 2 3 ( i a sin θ i b sin (θ 120 ) i c sin (θ ))

115 107 a-axel d-axel θ fb n i b sc i Q Rotationsriktning sa i D i F i D i F i Q n i a fa b-axel q-axel n fc i c sb c-axel Figur 9.1. Definitioner av storheter i Parks transformation d-axel Denna ekvation kan skrivas på matrisform d enligt i 1 ω i 0dq = i d 2 2 = cos θ cos (θ ) cos (θ ) i q sin θ sin D(θ 120 ) sin (θ ) q-axel F Matrisen T P är matrisen T 1 P transponerad enligt q 1 Q 2 T P = (T 1 2 cos θ sin θ P ) 1 1 = 3 2 cos (θ 120 ) sin (θ 120 ) 1 2 cos (θ ) sin (θ ) i a i b i c = T 1 P i abc (9.37) = (T 1 P )T (9.38) Transformationen är således effektinvariant enligt ekv. (9.13). Parks transformation är reell och användbar för att transformera tidsstorheter. Observera att Parks transformation är linjär men att transformationsmatrisen är tidsberoende, vid konstant frekvens gäller ju att θ = ωt + θ 0. Parks transformation är en frekvenstransformerad form av Clarkes transform. För θ = 0 (Parks transformation) gäller att transformationsmatriserna är lika dvs T C = T P (θ = 0) Rumsvisarkomponenter Rumsvisarkomponenter används huvudsakligen för att beskriva momentanvärden hos olika storheter vid studium av enstaka eller flera sammankopplade elektriska maskiner. Den effektinvarianta (T 1 = (T ) T, se ekv. (9.13)) transformationsmatrisen och dess invers för dessa

116 108 komponenter är T R = 1 3 T 1 R = e jθ e jθ 1 α 2 e jθ αe jθ 1 αe jθ α 2 e jθ e jθ αe jθ α 2 e jθ e jθ α 2 e jθ αe jθ (9.39) där α = e j120. Med trefasströmmarna i a (t), i b (t) och i c (t) erhålls rumsvisarkomponenter enligt i 0 (t) i s (t) i z (t) = i 0sz (t) = T 1 R i abc(t) = e jθ αe jθ α 2 e jθ e jθ α 2 e jθ αe jθ i a (t) i b (t) i c (t) (9.40) där i 0 (t) är nollföljdskomponenten och i s (t) benämns fältvektorströmmen eller den komplexa planvektorn för strömmen. i s (t) är en komplex storhet eftersom transformationsmatrisen är komplex. Med antagandet att i a (t), i b (t) och i c (t) är reella kan uttrycket för i z (t) skrivas om enligt i z (t) = 1 e ( jθ i a (t) + α 2 i b (t) + αi c (t) ) = (9.41) 3 = [ 1 3 e jθ ( i a (t) + αi b (t) + α 2 i c (t) )] = i s(t) dvs i z (t) är känd om fältvektorn i s (t) är känd. För nollföljdsfria förhållanden beskriver således fältvektorn fullständigt en godtycklig reell trefasstorhet. För en symmetrisk trefasström enligt ekvation (9.33) erhålls rumsvisarkomponenter enligt ekv. (9.40) i 0 (t) = 1 (i a (t) + i b (t) + i c (t)) = 0 3 i s (t) = e jθ ( ia (t) + αi b (t) + α 2 i c (t) ) 3 = 3 2 I Me j(ωt φ θ) (9.42) i z (t) = ejθ ( ia (t) + α 2 i b (t) + αi c (t) ) 3 = 3 2 I Me j(ωt φ θ) = i s(t) För θ = ωt erhålls slutligen i 0 (t) = 0 3 i s (t) = 2 I Me jφ (9.43) 3 i z (t) = 2 I Me jφ = i s(t) dvs fältvektorströmmen i s (t) har konstant belopp, oberoende av tiden.

117 109 Med antagandet om reella, nollföljdsfria fasströmmar kan dessa beräknas från fältvektorströmmen enligt i a (t) i b (t) = T R i 0sz (t) = 1 1 e jθ e jθ 0 1 α 2 e jθ αe jθ i s (t) = (9.44) i c (t) 3 1 αe jθ α 2 e jθ i s(t) [ e = 1 jθ i s (t) ] + [ e jθ i s (t) ] [ α 2 e jθ i s (t) ] + [ α 2 e jθ i s (t) ] 3 [ αe jθ i s (t) ] + [ α 2 e jθ i s (t) ] = 2 Re [ e jθ i s (t) ] Re [ α 2 e jθ i s (t) ] 3 Re [ αe jθ i s (t) ] Rumsvisarkomponenter är en frekvenstransformerad form av de symmetriska komponenterna. För θ = 0 (rumsvisarkomponenter) gäller att transformationsmatrisen för rumsvisarkomponenter och de symmetriska komponenterna är lika, dvs T R (θ = 0) = T S.

118 110

119 Kapitel 10 Symmetriska komponenter 10.1 Definitioner Antag en godtycklig osymmetrisk kombination av tre faser, exemplifierad av strömmarna I a, I b och I c vilket visas i figur 10.1a. Fortesque har visat hur det är möjligt att ersätta tre faskomponenter med tre symmetriska komponenter : A. Med plusföljd avses tre komponenter med samma amplitud och förskjutna med 120 respektive 240 samt har fasföljden abca, figur 10.1b. B. Med minusföljd avses tre komponenter med samma amplitud och fasförskjutna med 240 respektive 120 samt har fasföljden acba, figur 10.1c. C. Med nollföljd avses tre komponenter med samma amplitud och fas, figur 10.1d. De tre komponentsystemen symboliseras med 1 (plusföljd), 2 (minusföljd) och 0 (nollföljd). I c0 I c2 I b0 I c1 I b I c I a I a1 I a2 I a0 I b2 I b1 (a) I c1 I b1 I a1 I b2 I c2 I a2 I a0 I b0 I c0 (b) (c) (d) Figur Osymmetrisk trefasström uttryckt som summan av plus-, minus- och nollföljd. Det som visas i figur 10.1 kan matematiskt uttryckas enligt : I a = I a1 + I a2 + I a0 I b = I b1 + I b2 + I b0 (10.1) I c = I c1 + I c2 + I c0 111

120 112 De tre plusföljdskomponenterna kan beskrivas enligt I b1 = I a1 e j120 (10.2) I c1 = I a1 e j120 För minusföljden och nollföljden har vi på motsvarande sätt I b2 = I a2 e j120 I c2 = I a2 e j120 (10.3) I a0 = I b0 = I c0 Genom att sätta in ekvation (10.2) och (10.3) i ekvation (10.1) erhålls I a = I a1 + I a2 + I a0 I b = α 2 I a1 + αi a2 + I a0 (10.4) I c = αi a1 + α 2 I a2 + I a0 För att förenkla uttrycken har symbolen α introducerats α = e j120 = cos j sin 120 = j 3 2 (10.5) Man kan enkelt visa att följande uttryck gäller för α α 2 = e j240 = e j120 = 1 2 j 3 2 α 3 = α + α 2 = 0 (10.6) α = α 2 (α 2 ) = α Ekvation (10.4) kan även skrivas kompakt i matrisform I f = TI s (10.7) där matrisen T = α 2 α 1 α α 2 1 (10.8) vilken benämns transformationsmatrisen för symmetriska komponenter. Denna matris är alltså lika med den referensinvarianta T S enligt ekv. (9.30). Strömvektorn I f = I a I b I c (10.9)

121 113 representerar faskomponenterna för strömmen medan I a1 I s = I a2 eller kortare I s = I a0 representerar de symmetriska komponenterna för strömmen. I 1 I 2 I 0 (10.10) Från ekvation (10.7) kan vi erhålla de symmetriska komponenterna som en funktion av faskomponenterna : I s = T 1 I f (10.11) där T 1 = α α 2 1 α 2 α (10.12) vilken = T 1 S enligt ekv. (9.30). Det går naturligtvis att utnyttja symmetriska komponenter även för spänningar. Med vektorerna U f = U a U b U c och U s = U a1 U a2 U a0 eller kortare U s = U 1 U 2 U 0 (10.13) representerande fasstorheter och symmetriska komponenter kan relationen mellan dem beskrivas med U f = TU s (10.14) U s = T 1 U f (10.15) Exempel 10.1 Beräkna de symmetriska komponenterna för de följande balanserade spänningarna Lösning U f = U a U b U c = volt (10.16) Genom att utnyttja ekvation (10.12) och (10.15) kan de symmetriska komponenterna för spänningen U f beräknas U 1 U 2 = U s = T 1 U f = 1 1 α α 2 U a 1 α 2 α U b = (10.17) 3 U U c = = 0 0 =

122 114 Som framgår av exemplet ger ett balanserat trefassystem med abc-följd endast en plusföljdsspänning som är lika stor till belopp och vinkel som spänningen i fas a. Exempel 10.2 För en Y-kopplad trefas-last med nolledare är fas b frånkopplad och vid ett tillfälle belastar den nätet med följande strömmar : I a 10 0 I f = I b = 0 A (10.18) I c Beräkna de symmetriska komponenterna för strömmen till lasten samt strömmen i nolledaren, I n. Lösning I 1 I 2 I 0 = 1 3 = = (10.19) I n = I a + I b + I c = = = 3I 0 (10.20) Som framgår av exemplet blir strömmen i nolledaren tre gånger nollföljdsströmmen Effektberäkningar vid osymmetriska förhållanden Den trefasiga komplexa effekten kan för faskomponenter beräknas enligt S = P + jq = U a I a + U b I b + U c I c = U T f I f (10.21) Genom att införa symmetriska komponenter omformas ovanstående uttryck till Uttrycket T T T kan skrivas om som 1 α 2 α T T T = 1 α α S = U T f I f = (TU s ) T (TI s ) = U T s T T T I s (10.22) α α 2 1 α 2 α 1 = (10.23) dvs transformen är inte effektinvariant, se avsnitt 9.1.1, ekvation (9.12). Ekvation (10.22) kan nu skrivas om enligt S = 3U T s I s = 3U s1 I s1 + 3U s2 I s2 + 3U s0 I s0 (10.24)

123 115 Eftersom huvudspänningar till beloppet är 3 fasspänningar och S b = 3 U b I b innebär införandet av per-unit att ekvation (10.24) kan skrivas om enligt S pu = 3( 3Us ) T I s 3 Ub I b = U s1 pu I s1 pu + U s2 pu I s2 pu + U s0 pu I s0 pu (10.25) Detta innebär att den totala effekten i ett obalanserat system kan beräknas som summan av plusföljds- minusföljds- och nollföljds-effekterna.

124 116

125 K Kapitel 11 Ledningsmodell för osymmetrisk trefas 11.1 Längsimpedans för enfas friledning Teorin för en friledning med marken som återledare beskrevs av Carson Carson antog en enkel ledare a som var en enhet (t ex en meter) lång och parallell med marken vilket visas i figur Lokal jord Referens a + U a I a D ad Z aa Z ad Markyta vid mottagaränden U d = 0 + d I d d = Ia Z dd Fiktiv återledare i jord 1 enhet a Figur Carsons enfas friledning med marken som återledare I ledaren går strömmen I a med återledning under markytan via d d. Marken antas ha en uniform resistans och ha oändlig utsträckning. Strömmen I d (= I a sprids ut över en stor area, letandes efter lägsta möjliga resistans, uppfyllandes Kirchoffs lag om samma spänningsfall för varje enskild väg. Det har visats att denna utspridda återledare i marken för beräkningar kan ersättas med en enda återledare på avståndet D ad från friledningen enligt figur 11.1 och radien = r d. D ad är en funktion av markens resistivitet ρ, med ökande D ad för ökande ρ. Induktansen för denna krets kan skrivas som L a = µ 2π ln 1 D a } {{ } L aa + µ 2π ln 1 D d } {{ } L dd 2 µ 2π ln 1 D }{{ ad} L ad = µ ( ln D ad + ln D ) ad 2π D a D d (11.1) där µ = permeabiliteten för ledaren D a = e 1/4 r a för enkelledare med radien r a D d = e 1/4 r d för returledaren i marken med radien r d Induktansen kan enligt ekvation (11.1) delas upp i tre delar med två skenbara självinduktanser (L aa, L dd ) och en skenbar ömsinduktans (L ad ). Det kan noteras att dessa storheter endast är matematiska storheter utan fysikalisk betydelse. De har t ex fel dimension med 117

126 118 enhet innanför ln-tecknet. Det är endast när de summeras som en fysikalisk betydelse erhålls. Uppdelningen ökar dock förhoppningsvis förståelsen för hur en trefas-ledning fungerar. Den totala längsreaktansen för denna ledare blir då X a = ωl a = ω(l aa + L dd 2L ad ) (11.2) Med denna ledningsmodell med skenbara induktanser kan spänningsfallet över enfasledningen beräknas enligt [ ] [ ] [ ] [ ] U aa U = a U a zaa z = ad Ia volt/längdenhet (11.3) U dd U d U d z ad z dd I a där U a, U a, U d och U d mäts i förhållande till samma referens. Eftersom U d = 0 och U a U d = 0 kan U a erhållas genom att subtrahera de två ekvationerna från varandra : Enligt definition är alltså Impedanserna i denna ekvation kan beräknas enligt där U a = (z aa + z dd 2z ad )I a = Z a I a (11.4) Z a z aa + z dd 2z ad Ω/längdenhet (11.5) z aa = r a + jx aa = r a + jωl aa Ω/längdenhet z dd = r d + jx dd = r d + jωl dd Ω/längdenhet (11.6) z ad = jx ad = jωl ad Ω/längdenhet Z a = r a + r d + jx a Ω/längdenhet r a = Ledarens resistans per längdenhet r d = Markens resistans per längdenhet 11.2 Längsimpedans för trefas friledning För att erhålla längsimpedansen för en trefasledare görs beräkningarna på precis samma sätt som för enfasledaren. I figur 11.2 visas impedanser, spänningar och strömmar för ledaren. Eftersom alla ledare är jordade vid a, b, c erhålls I d = (I a + I b + I c ) (11.7) U a U d = 0 U b U d = 0 U c U d = 0 Spänningsfallet över ledarna kan beräknas enligt U aa U a U a z aa z ab z ac z ad U bb U cc = U b U b U c U c = z ab z bb z bc z bd z ac z bc z cc z cd U dd U d U d z ad z bd z cd z dd I a I b I c I d volt/längdenhet (11.8)

127 119 U a U b Ref. a b c U c Ia Ib Ic U d = 0 + d I d Z aa Z bb Z cc Z dd Z ad Z bd Z cd Z ab Z bc Z ac a b c d Alla ledare är jordade till lokal jordpotential 1 enhet Figur Trefas friledning med marken som återledare På samma sätt som med enfasledaren är impedanserna i ekvation (11.8) skenbara utan fysikalisk betydelse. Med U d = 0 och genom att utnyttja ekvation (11.7) kan rad 4 subtraheras från rad 1 i ekvation (11.8) vilket ger U a (U a U d ) = (z aa 2z ad + z dd )I a + (z ab z ad z bd + z dd )I b + + (z ac z ad z cd + z dd )I c (11.9) Detta kan förenklas till U a = Z aa I a +Z ab I b +Z ac I c med definitioner enligt nedan för Z aa, Z ab och Z ac. Det kan noteras att när I b = I c = 0 så är Z aa exakt impedansen för en enledare med retur i marken enligt avsnitt Om ovanstående repeteras för faserna b och c erhålls där U a U b U c = Z aa Z ab Z ac Z ab Z bb Z bc Z ac Z bc Z cc I a I b I c Z aa = z aa 2z ad + z dd Ω/längdenhet Z bb = z bb 2z bd + z dd Ω/längdenhet volt/längdenhet (11.10) Z cc = z cc 2z cd + z dd Ω/längdenhet (11.11) Z ab = Z ba = z ab z ad z bd + z dd Ω/längdenhet Z bc = Z cb = z bc z bd z cd + z dd Ω/längdenhet Z ac = Z ca = z ac z ad z cd + z dd Ω/längdenhet De ingående impedansernas storlek kan beräknas på samma sätt som impedanserna i avsnitt 11.1, ekvation (11.1) och (11.6). Det som är viktigt att notera är den koppling som finns mellan de olika faserna. En ström i en fas påverkar alltså spänningsfallet även på de andra faserna. Att ersätta en trefas-ledare med tre parallella impedanser är alltså en approximation som innebär att man i ekvation (11.10) försummar samtliga icke-diagonal element i

128 120 Z-matrisen dvs man försummar ömsinduktansen mellan ledarna. Hur stort felet blir beror på omständigheterna som t ex avståndet mellan ledarna, hur lång ledningen är och hur stora strömmar som flyter Symmetriska komponenter för en trefaslednings längsimpedans Vid beräkningar med system där trefasledningar ingår utnyttjas normalt de symmetriska komponenterna för kraftledningen för att på ett enkelt sätt kunna hantera de komplicerade korskopplingarna mellan faserna. Definiera först storheterna i ekvation (11.10) enligt: U a U b U c = U f = Z f I f = Z aa Z ab Z ac Z ab Z bb Z bc Z ac Z bc Z cc I a I b I c (11.12) Fasvektorerna för spänningar (U f ) och strömmar (I f ) kan ersättas med respektive symmetriska komponenter multiplicerade med matrisen T enligt avsnittet om symmetriska komponenter : U f = TU s = Z f TI s = Z f I f (11.13) Denna ekvation kan skrivas om enligt Z s = T 1 Z f T = 1 3 U s = T 1 Z f TI s = Z s I s (11.14) Med antagandet om en symmetrisk kraftledning (eller kabel) dvs Z aa = Z bb = Z cc och Z ab = Z bc = Z ac erhålls 1 α α 2 Z aa Z ab Z ac α 2 α Z ab Z bb Z bc α 2 α 1 = Z ac Z bc Z cc α α 2 1 = Z aa Z ab Z aa Z ab Z aa + 2Z ab (11.15) Ekvation (11.14) kan nu skrivas om enligt U 1 U 2 = U s = Z s I s = (11.16) där U 0 = Z aa Z ab Z aa Z ab Z aa + 2Z ab I 1 I 2 I 0 Z 1 = Z aa Z ab = plusföljdsimpedans = Z 1 I 1 Z 2 I 2 Z 0 I 0 Z 2 = Z aa Z ab = minusföljdsimpedans (11.17) Z 0 = Z aa + 2Z ab = nollföljdsimpedans

129 121 Genom att sätta in uttrycken från ekvation (11.11) i ekvation (11.17) erhålls Z 1 = Z 2 = z aa z ab (11.18) Z 0 = z aa + 2z ab 6z ad + 3z dd Som framgår av detta så finns kopplingen till jord (element med index d i Z-matrisen i ekvation (11.8)) inte med i uttrycket för plus och minusföljdsimpedanserna. Detta är naturligt eftersom nollströmmen är noll för plus och minusföljden. All koppling till jord finns dock representerad i nollföljdsimpedansen. Som framgår av ovan kan ledningen med denna modell betraktas med tre särkopplade komponenter : plus- minus- och nollföljd. Det kan dock påpekas att viss information försvinner vid denna modellering. Om man endast har plus- minus- och nollföljdsdata för en ledning kan man t ex inte räkna ut nollpotentialen U d i figur För detta krävs mer detaljerade data. Den modell av kraftledningen som beskrivs i avsnitt 7.2 utnyttjar endast plusföljdsimpedansen för ledningen eftersom symmetriska förhållanden förutsätts Ekvivalent schema för en lednings längsinduktans Som framgår av ovan gäller för en symmetrisk kraftledning att Z 1 = Z 2. Antag att denna kraftledning kan ersättas med en ekvivalent krets enligt figur 11.3, dvs U a I a Z α U a U b I b Z α U b U c I c Z α U c U o I o Z β U o Figur Ekvivalent schema för en lednings längsimpedans 3 fasimpedanser Z α och en returimpedans Z β där ömsinduktansen = 0 mellan faserna. Med tre faser och returledare gäller för ekvivalenten i figur 11.3 att I 0 = I a + I b + I c (11.19) Genom att utnyttja ekvation (11.19), kan spänningsfallet mellan faserna och returledaren beräknas enligt U a U 0 = U a U 0 I a Z α (I a + I b + I c )Z β U b U 0 = U b U 0 I b Z α (I a + I b + I c )Z β (11.20) U c U 0 = U c U 0 I c Z α (I a + I b + I c )Z β

130 122 vilket på matrisform kan skrivas om enligt U a U 0 U a U 0 Z α + Z β Z β Z β U b U 0 = U b U 0 Z β Z α + Z β Z β U c U U 0 c U 0 Z β Z β Z α + Z β eller I a I b I c (11.21) U f = U f Z αβ I f (11.22) Eftersom matrisen Z αβ är både symmetrisk och cyklosymmetrisk kan den alltså representera en kraftledning enligt antagandet ovan. Matrisen Z αβ kan överföras till symmetriska komponenter genom att applicera ekvation (11.15) : Z sαβ = T 1 Z αβ T = Z α Z α Z α + 3Z β (11.23) Med de symmetriska komponenterna Z 1 = Z 2 och Z 0 kända för ledningen erhålls således att Z α = Z 1 Z β = Z 0 Z 1 3 (11.24) Med dessa värden på Z α och Z β kan alltså ekvivalenten i figur 11.3 användas till att med ekvation (11.21) beräkna spänningsfallet mellan faserna och returledningen (= U f U f ) över ledningen som funktion av fasströmmar (= I f ). Observera att ekvivalenten inte kan utnyttjas till att räkna ut t ex U 0 U 0 eller U a U a utan enbart t ex (U a U 0) (U a U 0 ). Exempel 11.1 Lös exempel 3.5 med symmetriska komponenter. I a U a o Z o L I U b a U b o Z L o I c U b U o Z o c L I U 0 c U o Z 0 L0 o U 0 Z a Z b Z c Figur Nätschema för exempel 11.1 Lösning Enligt uppgiften samt enligt beräkningar i exempel 3.5 gäller att Z L = j0.16 Ω, Z L0 = j0.03 Ω, Z a = j4.81 Ω, Z b = j1.60 Ω, Z c = j2.40 Ω.

131 123 Beräkna först de symmetriska komponenterna för ledningen. Observera att ledningen i exemplet stämmer med representationen enligt ekvivalenten. De symmetriska komponenterna kan då erhållas med ekv. (11.23) : Z 1 = Z 2 = Z L = j0.16 Ω Z 0 = Z L + 3Z L0 = j0.25 Ω (11.25) vilket ger Z s = Z Z Z 0 = j j j0.25 (11.26) De symmetriska komponenterna för lasten kan beräknas enligt ekv. (11.15) Z LDS = 1 3 = 1 α α 2 1 α 2 α Z a Z b Z c α 2 α 1 α α j j j j j j j j j2.94 = Ω (11.27) Den drivande spänningen är symmetrisk dvs den har endast en plusföljdskomponent : U S = T 1 U f = 0 0 V (11.28) Ekvationen för denna osymmetriska trefaskrets kan nu skrivas enligt U S = (Z s + Z LDS )I S (11.29) vilken kan skrivas om enligt I S = (Z s + Z LDS ) 1 U S = A (11.30) De symmetriska komponenterna för spänningen över lasten kan beräknas enligt U LDs = Z LDS I S = V (11.31) Erhållen effekt i radiatorerna kan nu beräknas enligt ekvation (10.24) S = 3U T LDsI s = j477 VA (11.32) dvs värmeeffekten är 4754 W.

132 124 Som visas ovan kan med hjälp av de symmetriska komponenterna endast spänningsfallet över lasten samt fasströmmar genom lasten beräknas. Nollpotentialen vid lasten kan inte beräknas, men denna är man oftast inte intresserad av. I tidigare exempel 3.5, 5.1 och 5.2 har potentialen i nollpunkten vid lasten beräknats genom andra typer av kretsanalyser. Det bör här påpekas att detta värde inte har någon fysikalisk betydelse, om värden på Z L och Z L0 har erhållits från de symmetriska komponenterna för ledningen enligt ekvation (11.24). Som framgår av lösningarna blir dock effektförbrukning i lasten, fasspänningar över lasten samt fasströmmar genom lasten fysikaliskt korrekta med samtliga fyra lösningsmetoder Tvärkapacitans för en trefasledning En lednings resistans och induktans består av element som tillsammans bildar ledningens serie-impedans. Kapacitansen som skall diskuteras här bildar istället shunt-element. Serie-elementen och då oftast induktansen, sätter en gräns för hur mycket ström som kan flyta på en ledning och därmed hur mycket effekt som kan överföras. De kapacitiva shuntelementen utgör istället en källa för reaktiv generering. Den genererade reaktiva effekten är proportionell mot kvadraten på spänningen, och därför ökar kapacitansens betydelse med ökad spänning. För spänningsnivåer på kv och långa ledningar om 200 km, är dessa kapacitanser av stor betydelse. I högspännings-kablar där de olika ledarna är närmare varandra blir kapacitansen upp till gånger högre än för en friledning. Den reaktiva genereringen kan då bli ett problem redan för kablar som är endast 10 km långa. Det finns en grundläggande lag om elektriska fält som innebär att man på ett visst avstånd r från en punktladdning q får en elektrisk potential v : v = q 4πɛ 0 r V (11.33) där ɛ 0 = F/m, dielectricitetskonstanten för vakuum. Denna lag innebär att det finns ett direkt samband mellan potentialskillnad och anhopning av laddningar. För två långa parallella ledare gäller att om det finns en spänningsskillnad, v 1 v 2, mellan dessa så blir det en anhopning av laddningar med olika tecken, +Q och Q, på dessa. Hur stor laddningen Q blir beror huvudsakligen på avståndet mellan ledarna men även på hur de olika enskilda ledarna är konstruerade. För kablar gäller att materialet mellan ledarna även påverkar laddningsanhopningen. Kapacitansen mellan de två ledarna är lika med kvoten mellan laddningen Q och potentialskillnaden : C Q v 1 v 2 (11.34) För en trefasledning gäller att motsvarande kapacitans finns mellan samtliga par av ledare. Vid potentialskillnad mellan en ledare och marken sker också en laddningsanhopning i förhållande till hur stor kapacitansen är. I figur 11.5 visas de olika kapacitanserna för en trefas friledning.

133 125 Figur Kapacitanser för en trefas friledning utan jordlinor En kraftledning konstrueras normalt symmetrisk dvs det genomsnittliga avståndet mellan samtliga par av faser är detsamma. Dessutom är det genomsnittliga avståndet mellan varje enskild fas och marken detsamma för samtliga faser. Detta motsvarar i figur 11.5 att c ab = c bc = c ac och c ag = c bg = c cg när en hel ledning avses. På motsvarande sätt som för beräkningen av längsimpedanser kan plusföljds- minusföljdsoch nollföljdskapacitanser beräknas. Här redovisas dock endast resultatet av dessa beräkningar. där enligt figur 11.6 C 1 = C 2 = C 0 = 2πɛ 0 ln [ ] 2Ha Ar F/m (11.35) 2πɛ 0 ln [ ] 2HA 2 ra 2 F/m (11.36) C 1 = plusföljdskapacitansen C 2 = minusföljdskapacitansen C 0 = nollföljdskapacitansen H = 3 H 1 H 2 H 3 A = 3 A 1 A 2 A 3 a = 3 a 12 a 13 a 23 r = ledarens ekvivalenta radie = e 1/4 verklig radie för enledare Det kan noteras att C 1 och C 2 är lika medan C 0 skiljer sig. Om man studerar formlerna närmare så ser man att för C 1 så är 2H/A 1 enligt figur 11.6, vilket innebär att avståndet till marken har en relativt liten betydelse. Om ledarna är nära varandra blir 2H = A. Den modell av kraftledningen som beskrivs i avsnitt 7.2 utnyttjar endast plusföljdskapacitansen C 1 för ledningen. Man kan i princip se den modellen som att man gör en Y -transformation av kapacitanserna mellan faserna eftersom det faktiskt är dessa som ger det dominerande bidraget till plusföljds- och minusföljds-kapacitansen. Kopplingen till jord är av mindre betydelse. För kablar gäller allmänt att plusföljds- och minusföljds-kapacitansen är betydligt högre eftersom faserna är närmare varandra.

134 126 a 12 a 23 a 13 H 2 H 3 H 1 Markplan A 3 A 1 A 2 Figur En kraftlednings geometriska storheter för beräkning av kapacitans För C 0 är däremot kopplingen till jord mycket viktig. För C 0 gäller att samtliga faser har samma potential enligt definition för nollföljd. Detta medför att kapacitanserna mellan faserna c ab, c bc, c ac inte är aktuella. Däremot förändras den elektriska fältbilden eftersom alla tre ledarna har samma potential. Som framgår av formeln är avståndet till marken mycket viktigt (upphöjt till tre innanför ln) för beräkning av nollföljdskapacitansen.

135 Kapitel 12 Transformatormodell för osymmetrisk trefas Vid analys av osymmetriska tillstånd i trefaskretsar representeras en transformator av sina plus- minus- och nollföljdsimpedanser. Dessa kan bestämmas genom att analysera en trefastransformator, t ex den Y -koppling som visas i figur 12.1 Figur Y -transformator för att bestämma plus- minus- och nollföljdsimpedanser Tre enfastransformatorer utnyttjas i denna koppling, och transformatorns nollpunkt är jordad via impedansen Z n. Impedansen Z e avser den ekvivalenta impedansen för varje enfastransformator och består av såväl läckreaktans för primär och sekundärlindning som lindningarnas resistans. Transformatorns magnetiseringsström kan i detta sammanhang försummas, dvs magnetiseringsimpedansen antas vara oändligt stor. Med strömriktningar enligt figur 12.1 erhålls följande uttryck för transformatorns tre faser U a = I a Z e + I n Z n U b = I b Z e + I n Z n (12.1) U c = I c Z e + I n Z n Eftersom I n = I a + I b + I c kan detta skrivas om enligt U a = I a ( Ze + Z n ) + Ib Z n + I c Z n U b = I a Z n + I b ( Ze + Z n ) + Ic Z n (12.2) U c = I a Z n + I b Z n + I c ( Ze + Z n ) 127

136 128 vilket på matrisform kan formuleras som U a Z e + Z n Z n Z n U = U b = Z n Z e + Z n Z n U c Z n Z n Z e + Z n I a I b I c = Z t I t (12.3) Genom att diagonalisera matrisen Z t erhålls de symmetriska komponenterna för transformatorn som egenvärdena till Z t Z e 0 0 Z ts = T 1 Z t T = 0 Z e 0 (12.4) 0 0 Z e + 3Z n dvs Z 1 = Z e = plusföljdsimpedans Z 2 = Z e = minusföljdsimpedans (12.5) Z 0 = Z e + 3Z n = nollföljdsimpedans Som framgår av ovan är plus- och minusföljdsimpedanserna samma och lika med läckimpedansen för varje fas. Att Z 1 = Z 2 är naturligt eftersom en transformators impedans inte ändras om man ändrar fasföljden abc (plusföljd) till acb (minusföljd). Nollföljdsimpedansen innehåller också läckimpedansen men till denna adderas 3Z n där Z n är den impedansen som kopplas in mellan transformatorns nollpunkt och referensjord. Om Z n = 0 är således även nollföljdsimpedansen densamma som transformatorns läckimpedans. Det måste dock påpekas att denna analys angående nollföljdsimpedansen förutsätter just Y -koppling enligt figur För att en nollföljdsström överhuvudtaget skall kunna flyta måste det finnas en förbindelse mellan transformatorns nollpunkt och referensjord. För sekundärsidans -koppling i figur 12.1 finns inte någon sådan, dvs sett från sekundärsidan är Z 0 = och någon nollföljdsström kan inte flyta. I figur 12.2 visas nollföljdsimpedans-schema för några olika transformatorkopplingar. Medan en transformators plusföljds- och minusföljds-impedans är oberoende av från vilken sida man ser transformatorn, så kan nollföljdsimpedansen skifta med mycket stora belopp. I figur 12.2a visas en Y 0Y 0-koppling vilken medför att en nollföljdsström kan gå rakt igenom. Detta gör att nollföljdsimpedansen blir densamma som läckimpedansen enligt ovan. I figur 12.2b visas en Y 0 -koppling vilken endast tillåter en nollföljdsström på Y 0-sidan eftersom returledare existerar och mmk-balans kan uppstå tack vare -lindningen. På - sidan tillåts dock ingen nollföljdsström. I figur 12.2c e tillåts inte någon nollföljdsström på någon sida beroende på kopplingstyperna.

137 129 Koppling Ekvivalent nollföljdsschema Figur Nollföljdsdiagram för olika transformatorkopplingar

138 130

139 Kapitel 13 Analys av osymmetriska trefassystem Som framgår av kapitel 11 och 12 kan ledningar och transformatorer representeras av sina plus- minus- och nollföljdsimpedanser. Dessa är okopplande vilket t ex innebär att en viss nollföljdsström endast orsakar ett nollföljdsspänningsfall medan plusföljds- och minusföljdsspänningar förblir opåverkade. Även trefas-generatorer kan på motsvarande sätt beskrivas med okopplade plus- minus- och nollföljdssystem. Konsekvensen av detta blir att hela system bestående av generatorer, ledningar och transformatorer kan beskrivas som tre särkopplade system Lastmodell för osymmetrisk analys En last antas här kunna modelleras med hjälp av impedanser. En trefas-last är normalt Y - eller -kopplad enligt figur U Z a a U I a I a a Z U Z ab b I b b U U Z b I c I c b c Z bc Z n I U a +I b +I c c I c a) Y kopplad last b) kopplad last Z ac Figur Två typer av lastkopplingar Som framgår av figur 13.1a kan en Y -kopplad last även ha en impedans mellan nollpunkten och jord. För Y-kopplad last gäller följande ekvation för faskomponenterna : U f = U a U b U c = Z a + Z n Z n Z n Z n Z b + Z n Z n Z n Z n Z c + Z n Denna ekvation kan transformeras till symmetriska komponenter : I a I b I c = Z f I f (13.1) U f = TU s = Z f I f = Z f TI s U s = T 1 Z f TI s = Z s I s (13.2) 131

140 132 där Z s T 1 Z f T = (13.3) = 1 Z a + Z b + Z c Z a + α 2 Z b + αz c Z a + αz b + α 2 Z c Z a + αz b + α 2 Z c Z a + Z b + Z c Z a + α 2 Z b + αz c 3 Z a + α 2 Z b + αz c Z a + αz b + α 2 Z c Z a + Z b + Z c + 9Z n Som framgår av denna matris så finns det icke-diagonal-element som 0 dvs det finns kopplingar mellan plus- minus- och nollföljd. Ett specialfall är dock när Z a = Z b = Z c. I detta fall kan Z s skrivas som Z s = Z a Z a Z a + 3Z n (13.4) För Y -kopplad symmetrisk last med impedans mellan nollpunkt och jord gäller således att de tre symmetriska komponenterna är okopplade. Det kan tilläggas att om det inte finns någon koppling mellan nollpunkten och jord (Z n = ) så är nollföljdsimpedansen =, dvs det kan inte flyta någon nollföljdsström. För -kopplad last enligt figur 13.1b kan impedanserna först Y transformeras vilket istället ger en Y -koppling utan impedans till jord : Z a = Z b = Z ab Z ac Z ab + Z ac + Z bc (13.5) Z ab Z bc Z ab + Z ac + Z bc (13.6) Z c = Z ac Z bc Z ab + Z ac + Z bc (13.7) Z n = (13.8) För en symmetrisk -kopplad last, dvs Z ab = Z bc = Z ac, kan de symmetriska komponenterna beräknas med ekvation (13.4) till (13.8) : Z 1 = Z ab /3 (13.9) Z 2 = Z ab /3 (13.10) Z 0 = (13.11) 13.2 Anslutning till kraftnät under osymmetriska förhållanden I avsnitt beskrevs hur en anslutning till ett kraftnät kan beskrivas vid symmetriska förhållanden. Enligt detta avsnitt kan ett kraftnät sett från en punkt beskrivas med en Thévenin-ekvivalent dvs en spänningskälla bakom en impedans. Värdet på impedansen

141 133 fick man fram genom att känna till den trefasiga kortslutningsströmmen i punkten (eller tvärtom). Antag att man har ett kraftsystem bestående enbart av komponenter som kan beskrivas med okopplade symmetriska komponenter, vilket är fallet om samtliga komponenter är symmetriska. Detta innebär att kraftsystemet kan beskrivas med tre system : ett plusföljdsett minusföljds- och ett nollföljds-system. Modellen för plusföljdssystemet är den som gäller under symmetriska förhållanden enligt avsnitt Enligt Thévenins teorem kan ett linjärt nät sett i en punkt ersättas med en spänningskälla bakom en impedans. För minus- och nollföljden finns det dock inga spänningskällor i ett kraftnät. Detta innebär att i en punkt i ett kraftnät kan I 1 I 2 I 0 U T ~ Z T1 U Z U 1 T2 2 Z T0 U 0 a) Plusföljd b) Minusföljd c) Nollföljd Figur Thévenin-ekvivalenter för en punkt i ett kraftnät kraftnätets minus- och nollföljd ersättas med enbart impedanser enligt figur Förhållandena i figur 13.2 kan även beskrivas enligt U 1 = U T Z T 1 I 1 U 2 = 0 Z T 2 I 2 (13.12) U 0 = 0 Z T 0 I Enfasig kortslutning till jord Antag att man i en punkt i ett kraftnät får en enfasig (fas a) kortslutning till jord över impedansen Z f, vilket visas i figur Enligt figur 13.3 gäller I b = I c = 0 vilket med ekvation (10.11) ger I s = I 1 I 2 I 0 = α α 2 1 α 2 α I a 0 0 = 1 3 I 1 = I 2 = I 0 = 1 3 I a (13.13) Från figur 13.3 gäller även att U a = Z f I a. Genom att utnyttja första raden i ekvation (10.14) samt ekvation (13.13) erhålls U a = U 1 + U 2 + U 0 = Z f I a = 3Z f I 1 (13.14) I a I a I a

142 134 a b c I a I b I c U a + Z f Figur Enfasigt fel i fas a Genom att kombinera ekvationerna (13.12), (13.13) och (13.14) erhålls U T Z 1 I 1 Z 2 I 1 Z 0 I 1 = 3Z f I 1 I a = 3I 1 = 3U T Z 1 + Z 2 + Z 0 + 3Z f (13.15) Denna ekvation förutsätter förstås att p.u.-systemet utnyttjats. Genom att i det ekvivalenta schemat för en kraftledning i figur 11.3 förbinda U a med U 0 över en impedans Z f erhålls med hjälp av ekvation (11.24) fasströmmen I a enligt I a = U a U 0 Z α + Z β + Z f = U a U 0 = 3(U a U 0 ) (13.16) Z 1 + Z 0 Z 1 + Z 3 f 2Z 1 + Z 0 + 3Z f vilket överensstämmer med ekv. (13.15). För att beräkna strömmen vid enfasigt fel kan alltså ekvivalenten enligt figur 11.3 utnyttjas förutsatt att Z 1 = Z 2. Exempel 13.1 I en punkt i ett 400 kv-nät erhålls vid trefasig metallisk kortslutning en felström om 20 ka per fas. Vid enfasigt metalliskt fel i punkten erhålls en ström om 15 ka i fasen med fel. Plusföljdens och minusföljdens Théveninimpedanser i punkten kan antas lika och reaktiva. (Detta är normalt vid dessa höga spänningar eftersom det dominerande bidraget är ledningar och transformatorer med dominerande reaktiva impedanser, vilka är lika för plusoch minusföljden). Även nollföljdsimpedansen kan antas enbart reaktiv. Beräkna Théveninekvivalenterna för plus- minus- och nollföljden i felpunkten. Lösning Metallisk kortslutning innebär att Z f även strömmarna induktiva dvs = 0. Eftersom samtliga impedanser är induktiva är Trefasigt fel : I 3k = j20 ka I 1k = j15 ka (13.17) Enligt ekvation (7.22) (observera att den ekvationen är i p.u.) kan plusföljdsimpedansen (=

143 135 minusföljdsimpedansen i detta exempel) beräknas enligt Enfasigt fel : Z 1 = Z 2 = U T = 400 = Ω 3I3k 3 20 Z 1 = Z 2 = j11.55 Ω (13.18) Från ekvation (13.15) (omvandlad till nominella storheter) kan nollföljdsimpedansen lösas ut enligt Z 0 = 3U T 3I1k Z 1 Z 2 3Z f = ( j15) 2 (j11.55) = j23.09 Ω (13.19) 13.4 Analys av kraftsystem med en osymmetrisk last Som framgår av avsnitt 13.1 blir de symmetriska komponenterna okopplade för symmetriska laster. För osymmetriska laster blir de dock kopplade. Antag att man har ett elsystem bestående av ledningar, transformatorer, en anslutning till ett kraftnät samt laster varav en är osymmetrisk. Detta system kan nu analyseras enligt följande : 1. Bygg upp impedansschema för plus- minus- och nollföljden för hela systemet med undantag av den osymmetriska lasten. 2. Beräkna Thévenin-ekvivalenter för plus- minus- och nollföljden i den punkt där den osymmetriska lasten finns. 3. Beräkna plus- minus- och nollföljdsströmmar genom lasten. 4. Beräkna plus- minus- och nollföljdsspänningar på de ställen i systemet där detta önskas. 5. Beräkna plus- minus- och nollföljdsströmmar genom komponenter i systemet där detta önskas. 6. Transformera tillbaka efterfrågade fasstorheter från motsvarande symmetriska komponenter De olika punkterna ovan kan behandlas på något olika sätt vilket framgår av följande exempel. Exempel 13.2 En mindre industri matas från en transformator (5 MVA, 70/10 kv, x = 4 %, Y 0-kopplad med Y 0 på 10 kv-sidan) som ligger 5 km bort. Industrin drar normalt 400 kw vid cosφ=0.8, induktivt vid spänningen 10 kv. Industrin kan approximativt betraktas som en impedanslast. 10 kv-ledningen har längsimpedansen Z L1 =0.9+j0.3 Ω/fas,km samt tväradmittansen Y L1 = j S/fas, km. Ledningen har nollföljdsdata Z L0 = 3Z L1 samt Y L0 = 0.5Y L1. Industrilasten kan antas vara Y-kopplad med jordad nollpunkt och vid det

144 136 aktuella tillfället har hälften av den normala lasten kopplats bort från fas a medan de övriga faserna belastas som vanligt. Antag Π-modell av ledningen samt beräkna spänningsnivån vid industrin och på ledningen inmatad effekt vid transformatorn. Innan industrin anslöts till transformatorn kunde där erhållas en kortslutningsström om 0.3 ka på 70 kv-sidan vid trefasig kortslutning och nominell spänning samt 0.2 ka vid enfasig kortslutning och nominell spänning. De 3 Thévenin-impedanserna för kraftnätet kan antas reaktiva och Z T h1 = Z T h2. (Samma som exempel 7.2 men halv last på fas a i industrilasten, dvs osymmetriskt). Lösning 1: Börja med att bygga upp impedansschema för plus- minus- och nollföljden för hela kretsen utom den osymmetriska lasten, se figur I A1 I B1 U B1 Z lpu1 U C1 I C1 Z Thpu1 ~ U Thpu Z trapu1 Y lpu1 /2 Y lpu1 /2 Industrins anslutnings punkt Kraftn ät Transformator Ledning a) Plusf öljdsdata I A2 I B2 U B2 Z lpu2 U C2 I C2 Z Thpu2 Z trapu2 Y lpu2 /2 Y lpu2 /2 Industrins anslutnings punkt Kraftn ät Transformator Ledning b) Minusf öljdsdata I A0 I B0 U B0 Z lpu0 U C0 I C0 Z Thpu0 U T0 I T0 Z trapu0 Y lpu0 /2 Y lpu0 /2 Industrins anslutnings punkt Kraftn ät Transformator c) Nollf öljdsdata Ledning Figur Elsystem i exempel 13.2 Välj bas-storheter (MVA, kv, ka, Ω) : S b = 500 kva = 0.5 MVA, U b10 = 10 kv I b10 = S b / 3U b10 = ka, Z b10 = U 2 b10 /S b = 200 Ω, U b70 = 70 kv I b70 = S b / 3U b70 = ka, Z b70 = U 2 b70 /S b = 9800 Ω

145 137 Beräkna per-unit-värden för kraftnätets Thévenin-ekvivalenter : Metallisk kortslutning Z f = 0 Trefasigt fel : Ekvation (7.22) Z T hpu = U T hpu /I kpu Z T hpu1 = Z T hpu2 = (U T h /U b70 ) (I b70 /I 3k ) = (70/70) ( /0.3) Z T hpu1 = Z T hpu2 = j0.0137, U T hpu = U T h /U b70 = Enfasigt fel : Ekvation (13.15) Z 0 = 3U T /I 1k Z 1 Z 2 3Z f (i pu) Z T hpu0 = 3U T /( 3I 1k Z b70 ) Z T hpu1 Z T hpu2 3 0 = j Beräkna per-unit-värden för transformatorn : Z trapu1 = Z trapu2 = Z trapu0 = (Z tra% /100) Z btra70 /Z b70 = (Z tra% /100) S b /S tra = (j4/100) 0.5/5 = j0.004 Beräkna per-unit-värden för ledningen : Z lpu1 = Z lpu1 = 5 [0.9 + j0.3]/z b10 = j Z lpu0 = 3Z lpu1 = j Y lpu1 = Y lpu2 = 5 [ ]/Y b10 = 20 [ ] Z b10 = j0.003 Y lpu0 = 0.5Y lpu1 = j A L1 = A L2 = Y lpu1 Z lpu1 = j B L1 = B L2 = Z lpu1 = j C L1 = C L2 = Y lpu1 ( Y lpu1 Z lpu1 ) = j D L1 = D L2 = A L1 = j A L0 = Y lpu0 Z lpu0 = j B L0 = Z lpu0 = j C L0 = Y lpu0 ( Y lpu0) Z lpu0 = j D L0 = A L1 = j : Nästa steg är att ersätta näten med Thévenin-ekvivalenter (U T hc, Z T hc1, Z T hc2 och Z T hc0, se figur 13.2) vid industrins anslutningspunkt. Fyrpolen för hela plusföljdsnätet mellan det starka nätet (U T hpu ) och industrin, (kraftnät + transformator + ledning) kan nu ställas upp enligt [ U T hpu I A1 ] = = = [ ] [ ] [ ] 1 ZT hpu1 + Z trapu1 AL1 B L1 U C1 = 0 1 C L1 D L1 I C1 [ ] [ ] A1 B 1 U C1 = (13.20) C 1 D 1 I C1 [ ] [ ] j j U C j j I C1 Genom att jämföra med figur 13.2a erhålls U C1 = U T hc när I C1 = 0 : U T hpu = A 1 U C1 + B 1 0 U T hc = U C1 = U T hpu /A 1 = (13.21)

146 138 Thévenin-impedansen Z T hc1 erhålls som kvoten U C1 /I C1 då U T hpu = 0 : 0 = A 1 U C1 + B 1 I C1 Z T hc1 = U C1 /I C1 = B 1 /A 1 = j (13.22) Thévenin-impedansen för minusföljden vid industrins anslutningspunkt är densamma som den för plusföljden eftersom impedansnäten endast skiljer sig i fråga om spänningskällas U T hpu : Z T hc2 = Z T hc1 = j Enligt figur 12.2c skall nollföljden för en Y 0-transformator modelleras med en impedans till jord på Y 0-sidan vilket visas i figur 13.4c. Som framgår av figuren är det matande kraftnätet ej sammankopplat nollföljdsmässigt med industrilasten pga denna transformator. Fyrpolen för nätet från transformatorn till industrins anslutningspunkt (transformator+ledning) kan nu ställas upp enligt [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] U T Ztrapu1 AL0 B = = L0 U C0 = I T 0 I T C L0 D L0 I C0 [ ] [ ] A0 B = 0 U C0 = C 0 D 0 I C0 [ ] [ ] j j U = C0 (13.23) j j Thévenin-impedansen Z T hc0 erhålls som kvoten U C0 /I C0 eftersom U T 0 = 0 : 0 = A 0 U C0 + B 0 I C0 Z T hc0 = U C0 /I C0 = B 0 /A 0 = j (13.24) 3: Beräkna per-unit-värden för industrins impedans under normala förhållanden : Z indpu = (U 2 ind/s ind)/z b10 = (10 2 /[0.4/0.8]) (0.8 + j0.6)/200 = j0.6 (13.25) Vid halv last på fas a (Z a = 2Z indpu ) kan impedansmatrisen för de symmetriska komponenterna beräknas enligt ekvation (13.3) : 2Z indpu 0 0 Z lds = T 1 Z f T = T 1 0 Z indpu 0 T (13.26) 0 0 Z indpu j j j = j j j j j j Ekvationen för hela systemet kan nu ställas upp enligt : U Th = U T hc 0 = (Z s + Z lds )I s (13.27) 0 I C0

147 139 där Z s = Z T hc Z T hc Z T hc0 och I s = De symmetriska komponenterna för strömmarna genom lasten kan nu beräknas enligt I s = (Z s + Z lds ) 1 U Th = (13.28) : De symmetriska komponenterna för spänningsnivån vid industrin kan nu beräknas enligt U C U C = U C2 = Z lds I s = (13.29) U C Spänning och ström för plusföljden vid transformatorns anslutning till ledningen kan nu beräknas enligt : [ ] [ ] [ ] [ ] U B1 AL1 B = L1 U C = I B1 C L1 D L1 I C (13.30) I C1 I C2 I C0 S B1 = U B1 I B1S b = j MVA (13.31) Observera att effekten S B1 är den trefasiga effekten. Spänning och ström för minusföljden vid transformatorns anslutning till ledningen samt den trefasiga minusföljdseffekten kan beräknas på motsvarande sätt : [ ] [ ] [ ] [ ] U B2 AL2 B = L2 U C = (13.32) I B2 C L2 C L2 I D2 S B2 = U B2 I B2S b = 0 j MVA (13.33) Slutligen kan spänning och ström för nollföljden och trefasig nollföljdseffekt beräknas : [ ] [ ] [ ] [ ] U B0 AL0 B = L0 U C = (13.34) I B0 C L0 C L0 I D0 S B0 = U B0 I B0S b = 0 j MVA (13.35) 6: För fasspänningar gäller att de måste multipliceras med en basspänning som = aktuell bashuvudspänning/ 3 för att erhålla nominella värden. Faskomponenterna för spänningen vid industrin kan nu beräknas enligt : U Ca U Cb U Cc = TU C Ub10 3 = (13.36) Enligt avsnitt 10.2 ekvation (10.25) kan den totala effekten levererad från transformatorn beräknas som summan av plus- minus- och nollföljdseffekterna : S = S B1 + S B2 + S B0 = j MVA (13.37)

148 Generell metod för beräkningar i trefassystem med impedanslaster där en av lasterna är osymmetrisk Vid större osymmetriska system är det nödvändigt att utnyttja systematiska metoder för att analysera spänningar och strömmar. I detta avsnitt behandlas specialfallet att allt är symmetriskt utom en last. Nedan demonstreras detta på ett mindre system men samma metod kan utnyttjas även för stora system. I det följande betyder variablers index 1 plusföljd, 2 minusföljd och 0 nollföljd. För vektorer är motsvarande index 1, 2 och 0. Exemplet nedan är identiskt med det i avsnitt 7.3 med den skillnaden att lasten som nedan kopplas in i nod 2 är osymmetriskt. Inledningsvis är alltså endast skillnaden mot det symmetriska fallet att nya beteckningar införts. I figur 13.5 visas ett exempel på ett enkelt symmetriskt elsystem. Eftersom symmetriska förhållanden antas gälla kan samtliga komponenter representeras med sina plusföljdsstorheter. I systemet matas en last Z LD1 1 I Z T 1 2 Z 1 L 1 U 3 1 ~ I 2 1 I 1 1 Z LD1 1 Figur Impedansdiagram för symmetriskt elsystem från ett starkt nät U 3 1 via en transformator Z T 1 och en ledning Z L 1. Y-matrisen för plusföljden för detta system kan ställas upp enligt 1 I Z I 2 1 LD1 1 Z L 1 Z L 1 U 1 1 = I 1 = Y 1 U 1 = Z L 1 Z L 1 Z T 1 Z T 1 U 2 1 (13.38) I U Z T 1 Z 3 1 T 1 Denna Y-matris kan inverteras vilket ger motsvarande Z-matris : U 1 = Y 1 1 I 1 = Z 1 I 1 (13.39) Eftersom I 1 1 = I 2 1 = 0 så kan tredje raden i ekvation (13.39) skrivas som U 3 1 = Z 1 (3, 3) I 3 1 I 3 1 = U 3 1 /Z 1 (3, 3) (13.40) där Z 1 (3, 3) är element i Z-matrisen. Med detta värde på strömmen insatt i ekvation (13.39) erhålls samtliga spänningar. U 1 1 = Z 1 (1, 3) I 3 1 (13.41) U 2 1 = Z 1 (2, 3) I 3 1 (13.42)

149 141 Hittills är beräkningarna identiska med de i avsnitt 7.3. Motsvarande beräkningar kan utföras för godtyckligt stora system med endast impedanslaster och en spänningskälla. Antag ett annat system med en spänningskälla i nod i. Strömmen i nod i samt spänningen i en godtycklig punkt r kan då beräknas enligt I i 1 = U i 1 /Z 1 (i, i) (13.43) U r 1 = Z 1 (r, i) I i 1 (13.44) Antag att man nu dessutom kopplar in en osymmetrisk impedanslast i punkt 2. Då påverkas strömmar och spänningar i hela systemet. De nya spänningarna kan enligt superpositionsprincipen beräknas som summan av spänningarna innan inkopplingen och spänningsförändringen orsakad av inkopplingen. Detta kan uttryckas med symmetriska komponenter enligt : där U 1 = U 1 + U 1 U 2 = U 2 + U 2 (13.45) U 0 = U 0 + U 0 U 1 = vektor med plusföljds-spänningar i samtliga noder efter inkoppling av osymmetrisk last U 2 = vektor med minusföljds-spänningar i samtliga noder efter inkoppling av osymmetrisk last U 0 = vektor med nollföljds-spänningar i samtliga noder efter inkoppling av osymmetrisk last U 1 = vektor med plusföljds-spänningar i samtliga noder innan inkoppling av osymmetrisk last, samma vektor som ovan U 2 = vektor med minusföljds-spänningar i samtliga noder innan inkoppling av osymmetrisk last. Här är denna vektor 0 eftersom förhållandena är symmetriska innan inkoppling av den osymmetriska lasten U 0 = vektor med nollföljds-spänningar i samtliga noder innan inkoppling av osymmetrisk last.här är denna vektor 0 eftersom förhållandena är symmetriska innan inkoppling av den osymmetriska lasten U 1 = vektor med förändringen av plusföljds-spänningar i samtliga noder orsakad av inkopplingen av en osymmetrisk last U 2 = vektor med förändringen av minusföljds-spänningar i samtliga noder orsakad av inkopplingen av en osymmetrisk last U 0 = vektor med förändringen av nollföljds-spänningar i samtliga noder orsakad av inkopplingen av en osymmetrisk last

150 142 Ekvation (13.45) kan skrivas om genom att uttrycka spänningsförändringarna med en Z- matris multiplicerat med i noderna injicerade strömförändringar. där U 1 = U 1 + Z 1 I 1 U 2 = 0 + Z 2 I 2 (13.46) U 0 = 0 + Z 0 I 0 Z 1 = Z-matris för plusföljds-data med spänningskällor kortslutna Z 2 = Z-matris för minusföljds-data Z 0 = Z-matris för nollföljds-data I 1 = vektor med i noderna injicerade förändring av plusföljds-strömmar, endast I 1 (2) 0, eftersom det är där som lasten kopplas in I 2 = vektor med i noderna injicerade förändring av minusföljds-strömmar, endast I 2 (2) 0 I 0 = vektor med i noderna injicerade förändring av nollföljds-strömmar, endast I 0 (2) 0 I figur 13.6 visas hur de plus- minus- och nollföljdssystem ser ut som används för att beräkna förändringen av spänningarna vid inkoppling av en osymmetrisk last i någon nod. Skillnaden mellan plusföljdssystemet i figur 13.6 och det -system som utnyttjas i avsnitt 7.3 är att lasten här representeras av de strömmar som den injicerar i noderna. Det starka nätet antas vara direktjordat och transformatorn är Y oy o-kopplad. Y-matriserna för näten i figur 13.6 kan ställas upp enligt [ ] Z Y 1 = LD1 1 Z L 1 Z L (13.47) Z L 1 Z L 1 Z T 1 Y 2 = Y 0 = [ [ Z LD1 2 Z L 2 Z L Z L 2 Z L 2 Z T Z LD1 0 Z L 0 Z L Z L 0 Z L 0 Z T 0 ] ] (13.48) (13.49) Matrisen Y 1 är matrisen Y 1 men med raden och kolumnen för generatorn (= nod 1) struken, jämför avsnitt 7.3. Med endast ledningar, transformatorer och symmetriska laster i systemet är Y 2 = Y 1 eftersom samtliga komponenter har plusföljdsdata lika med minusföljdsdata. Från dessa Y-matriser kan motsvarande Z-matriser beräknas enligt Z 1 = Y 1 1 (13.50) Z 2 = Y 1 2 (13.51) Z 0 = Y 1 0 (13.52)

151 143 Z T 1 2 Z 1 L 1 I 1 (1)= 0 I 1 (2) Z LD1 1 Plusföljd Z T 2 2 Z 1 L 2 I 2 (1)= 0 I 2 (2) Z LD1 2 Minusföljd Z T 0 2 Z 1 L 0 I 0 (1)= 0 I 0 (2) Z LD1 0 Nollföljd Figur Plus- minus- och nollföljdsschema för beräkning av spänningsförändringar Det är endast i noden med den osymmetriska lasten som de injicerade strömmarna 0. Detta innebär att raderna motsvarande noden med den inkopplade osymmetriska lasten (här nod 2) i ekvation (13.46) kan skrivas om enligt U 2 1 = U 1(2) = U }{{ 2 1 } från ekv. (13.44) +Z 1 (2, 2)I 1 (2) U 2 2 = U 2(2) = Z 2 (2, 2)I 2 (2) (13.53) U 2 0 = U 0(2) = Z 0 (2, 2)I 0 (2) Med antagandet att den osymmetriska lasten kopplas in i nod r (här gäller r = 2) kan dessa ekvationer sammanställas till U U r 1 (r) = U r 2 = U(r) + Z (r, r)i (r) (13.54) U r 0 U r Z 1 (r, r) Z 2 (r, r) Z 0 (r, r) I 1 (r) I 2 (r) I 0 (r) Det kan tilläggas att ekvation (13.54) beskriver Thévenin-ekvivalenten för nod r, där spänningen bakom plusföljdsimpedansen är U r (2) och de tre Thévenin-impedanserna är Z 1 (r, r), Z 2 (r, r) och Z 0 (r, r). Antag att den osymmetriska lasten är Y-kopplad med jordad nollpunkt och består av 3 olika impedanser i de tre faserna : Z LD2 a, Z LD2 b och Z LD2 c. Spänningsfallet (i faskomponenter)

152 144 över denna last blir då U LD2 a Z LD2 a 0 0 I LD2 a U LD2 fas = U LD2 b = 0 Z LD2 b 0 I LD2 b U LD2 c 0 0 Z LD2 c I LD2 c Z LD2 fas I LD2 fas (13.55) (13.56) Med införande av symmetriska komponenter kan detta omformas till U (2) = U 2 1 U 2 2 = T 1 U LD2 fas = T 1 Z LD2 fas I LD2 fas = U 2 0 = T 1 Z LD2 fas T I }{{} LD2 sym = Z LD2 sym I (2) =Z LD2 sym eftersom definitionsriktningen för strömmar i ekvation (13.55) är ned i lasten (=ut från noden) medan I (2) har definitionsriktning in i noden. Med antagandet att den osymmetriska lasten kopplas in i nod r (här är r = 2) kan strömmen I (r) beräknas genom att sammanställa ekvation (13.54) och (13.56). I (r) = [Z (r, r) + Z LDr sym ] 1 U(r) (13.57) Dessa värden på de symmetriska komponenterna för strömmen i nod r kan sedan sättas in i ekvation (13.46) varvid de symmetriska komponenterna för samtliga spänningar kan beräknas. Spänningen i noden k kan då erhållas enligt : U 1(k) = U 1 (k) + Z 1 (k, r)i 1 (r) U 2(k) = Z 2 (k, r)i 2 (r) (13.58) U 0(k) = Z 0 (k, r)i 0 (r) Exempel 13.3 I figur 13.7 visas ett internt nät i en industri. Energi tas från ett sstarkt kraftnät med jordad nollpunkt och nominell spänning vid 1 och förs via transformatorn T 1, ledningen L2 och transformatorn T 2 till lasten LD2. Det finns också en högspänningslast T1 L1 LD1 L2 4 T2 5 LD2 Figur En-linjeschema för en industris lokala nät LD1 ansluten till T 1 via ledningen L1. Data för ingående komponenter är :

153 145 Transformator T 1 : 800 kva, 70/10 kv, x = 7 %, Y 0 med Y 0 på 10-kV sidan Transformator T 2 : 300 kva, 0.4/10 kv, x = 8 %, Y 0 Y 0 Ledning L 1 : r L1 1 = 0.17 Ω/km, ωl L1 1 = 0.3 Ω/km, ωc L1 1 = S/km, l = 2 km, Z L1 0 = 3Z L1 1, Y L1 0 = 0.5Y L1 1, Ledning L 2 : r L2 1 = 0.17 Ω/km, ωl L2 1 = 0.3 Ω/km, ωc L2 1 = S/km, l = 1 km, Z L2 0 = 3Z L2 1, Y L2 0 = 0.5Y L2 1, Lasten LD1 : Impedanslast, 500 kw, cosφ = 0.80, induktivt vid 10 kv, -kopplad. Lasten LD2 : Impedanslast, 200 kw, cosφ = 0.95, induktivt vid 400 V, Y -kopplad med jordad nollpunkt. Antag Π-modell för kraftledningarna. Vid ett tillfälle kopplas halva lasten i fas a bort i LD2. Beräkna verkningsgraden i det lokala kraftnätet vid detta tillfälle. Samma som exempel 7.3 men med en osymmetri i LD2. Lösning I det följande betyder index 1 plusföljd, 2 minusföljd och 0 nollföljd. Exempel : Z L1 2 är ledningen L1:s minusföljdsimpedans och U 5 0 är nollföljdsspänningen i nod 5. 1: Börja med att beräkna pu-värden för plus- minus- och nollföljden för hela kretsen utom den osymmetriska lasten LD2 Välj bas-storheter (MVA, kv, ka, Ω) : S b = 500 kva = 0.5 MVA, U b10 = 10 kv I b10 = S b / 3U b10 = ka, Z b10 = U 2 b10 /S b = 200 Ω, U b04 = 0.4 kv I b04 = S b / 3U b04 = ka, Z b04 = U 2 b04 /S b = 0.32 Ω Beräkna per-unit-värden för det starka kraftnätet : Starkt kraftnät vid nominell spänning och jordad nollpunkt innebär att U 1 = 1 p.u. och att Thévenin-impedanserna för plus- minus- och nollföljden = 0, dvs inga impedanser mellan knutpunkt 1 och jord i figur 13.8a, b och c. Beräkna per-unit-värden för transformatorn T 1 : Z T 1 1 = (Z T 1% /100) Z bt 1 10 /Z b10 = (Z T 1% /100) S b /S T 1 = (j7/100) 0.5/0.8 = j0.0438, Z T 1 2 = Z T 1 0 = Z T 1 1 = j0.0438, koppling av nollföljdsschema enligt figur 13.8c. Beräkna per-unit-värden för transformatorn T 2 : Z T 2 1 = (Z T 2% /100) S b /S T 2 = (j8/100) 0.5/0.3 = j0.1333, Z T 2 2 = Z T 2 0 = Z T 2 1 = j0.1333, nollföljds-koppling enligt figur 13.8c. Beräkna per-unit-värden för ledningen L1 : Z L1 1 = 2 [ j0.3]/z b10 = j0.003, Z L1 2 = Z L1 1 = j0.003, Z L1 0 = 3Z L1 1 = j0.009 Y L1 1 = 2 [ ] Z b10 = j0.0013, Y L1 2 = Y L1 1 = j0.0013, Y L1 0 = 0.5Y L1 1 = j Beräkna per-unit-värden för ledningen L2 : Z L2 1 = 1 [ j0.3]/z b10 = j0.0015, Z L2 2 = Z L2 1 = j0.0015,

154 Z L1 1 3 Z T1 1 Y L2 1 /2 Y L1 1 /2 Z LD1 1 ~ U 1 Z L2 1 Z T2 1 Y L1 1 /2 Y L2 1 /2 4 5 Z LD1 2 a) Plusföljds schema 1 2 Z L1 2 3 Z T1 2 Y L2 2 /2 Y L1 2 /2 Z L2 2 Z T2 2 Y L1 2 /2 Y L2 2 /2 4 5 b) Minusföljds schema 1 2 Z L1 0 3 Z Y T1 0 L1 0 /2 Y L2 0 /2 Z L2 0 Z T2 0 Y L1 0 /2 Y L2 0 /2 4 5 c) Nollföljds schema Figur Elsystem i exempel 13.3 Z L2 0 = 3Z L2 1 = j Y L2 1 = 1 [ ] Z b10 = j , Y L2 2 = Y L2 1 = j , Y L2 0 = 0.5Y L2 1 = j Beräkna per-unit-värde för lasten LD1:s impedans : Räkna som Y -kopplad last med isolerad nollpunkt, vilket ger samma resultat enligt avsnitt 13.1 : Z LD1 1 = (U 2 LD1/S LD1)/Z b10 = (10 2 /[0.5/0.8]) (0.8 + j0.6)/200 = j0.48, Z LD1 2 = Z LD1 1 = j0.48. Ingen nollföljd eftersom nollpunkten är isolerad, se figur 13.8c. Utgående från dessa data är det möjligt att ställa upp Y-matrisen för plusföljden på samma sätt som i avsnitt Nod 1 tas med som knutpunkt för att kunna bestämma spänningar i samtliga knutpunkter innan den osymmetriska lasten ansluts. Nollpunkten tas inte med i Y-matriserna eftersom systemet blir överbestämt då. Jämfört med exempel 7.3 tas alltså

155 147 inte lasten LD2 med i Y-matrisen. där Y 1 = Y 22 1 = Y 33 1 = Y 44 1 = Z T 1 1 Z T Z T 1 1 Y Z L1 1 1 Z L Z L1 1 Y Z L2 1 0 Y Z T Z T Z T Y L Y L2 1 Z T 1 1 Z L1 1 2 Z L Y L Z L1 1 2 Z LD Y L Z L2 1 2 Z T 2 1 (13.59) 2: Nästa steg är att ersätta hela kraftnätet med Thévenin-ekvivalenter (U T h5, Z T h5 1, Z T h5 2 och Z T h5 0 ) i noden med osymmetri, dvs nod 5, enligt ekvation (13.54). 2a: Thévenin-spänningen U T h5 kan beräknas enligt ekvation (13.44). Första steget är att beräkna Z-matrisen vilken erhålls som inversen på Y-matrisen : Z 1 = Y 1 = j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j Genom att tillämpa ekvation (13.44) erhålls Thévenin-spänningen U T h5 (13.60) U T h5 = Z 1 (5, 1)I 1 1 = (13.61) 2b: Enligt ekvation (13.54) erhålls plusföljds-impedansen för Thévenin-ekvivalenten från Z- matrisen för plusföljdssystemet med kortslutna spänningskällor. Y-matrisen för detta system erhålls genom att stryka den rad och kolumn i matrisen Y 1 ovan som motsvarar knutpunkten med en generator. dvs rad och kolumn 1. Y 1 = Y Z L1 1 1 Z L Z L1 1 Y Z L2 1 0 Y Z T 2 1 Matrisen Z 1 erhålls nu som inversen till denna : Z 1 = Y 1 1 = Z T Z T j j j j j j j j j j j j j j j j (13.62) (13.63)

156 148 Observera att element (4,4) motsvarar nod 5 eftersom nod 1 är struken. Detta medför att Z T h5 1 = j (13.64) 2c : Thévenin-impedansen för minusföljden Z T h5 2 kan beräknas utgående från motsvarande matris för minusföljden. Enda skillnaden på plus- och minusföljden är att det inte finns några drivande spänningar i minusföljdssystemet. För att beräkna Y 2 -matrisen försvinner dock denna skillnad eftersom Y 1 -matrisen även den har kortslutna spänningskällor här. Eftersom plusföljds- och minusföljds-storheterna är lika för samtliga komponenter i systemet blir också motsvarande Y-matriser lika : Y 2 = Y 1 (13.65) Detta innebär också att motsvarande inverser är lika vilket medför att Z T h5 2 = Z T h5 1 = j (13.66) 2d : Y-matrisen för nollföljden är dock en annan, både på grund av olika numeriska värden på impedanserna, samt på nollföljdskopplingar i transformatorer och laster. där Y 0 = Y Z L1 0 1 Z L Z L1 0 Y Z L2 0 0 Y Z T Z T Z T 2 0 (13.67) Y 22 0 = Y 33 0 = Y 44 0 = Y L Y L2 0 Z T 1 0 Z L1 0 2 Z L Y L1 0 Z L Y L Z L2 0 2 Z T 2 0 Motsvarande Z-matris erhålls som inversen enligt Z 0 = Y 1 0 = j j j j j j j j j j j j j j j j (13.68) Observera att element (4,4) motsvarar nod 5 eftersom nod 1 är struken. Detta medför att Z T h5 0 = j (13.69) Därmed är samtliga Thévenin-storheter för nod 5 beräknade och spännings-vektorn och

157 149 impedansmatrisen enligt ekvation (13.54) är beräknade enligt U(5) = Z (5, 5) = = U T h5 0 0 = Z T h Z T h Z T h5 0 = (13.70) j j j : Beräkna per-unit-värden för LD2:s impedans under normala förhållanden : Z LD2pu = (U 2 LD2/S LD2)/Z b04 = (13.71) = (0.4 2 /[0.2/0.95]) ( j )/0.32 = j Vid halv last på fas a (Z a = 2Z LD2 ) kan impedansmatrisen för de symmetriska komponenterna beräknas enligt ekvation (13.3) : = Z LD2 sym = T 1 Z LD2 fas T = T 1 2Z LD2pu Z LD2pu Z LD2pu j j j j j j j j j T = (13.72) De symmetriska komponenterna för strömmarna genom lasten kan nu beräknas enligt ekvation (13.57) och med data från ekvation (13.70) I (5) = [Z (5, 5) + Z LDr sym ] 1 U(5) = (13.73) 4: De symmetriska komponenterna för samtliga spänningar kan nu beräknas enligt ekvation

158 150 (13.58) och (13.44). U 1(2) = Z 1 (2, 1) I Z 1 (2, 5)I 1 (5) = U 2(2) = Z 2 (2, 5)I 2 (5) = U 0(2) = Z 0 (2, 5)I 0 (5) = U 1(3) = Z 1 (3, 1) I Z 1 (3, 5)I 1 (5) = U 2(3) = Z 2 (3, 5)I 2 (5) = U 0(3) = Z 0 (3, 5)I 0 (5) = (13.74) U 1(4) = Z 1 (4, 1) I Z 1 (4, 5)I 1 (5) = U 2(4) = Z 2 (4, 5)I 2 (5) = U 0(4) = Z 0 (4, 5)I 0 (5) = U 1(5) = Z 1 (5, 1) I Z 1 (5, 5)I 1 (5) = U 2(5) = Z 2 (5, 5)I 2 (5) = U 0(5) = Z 0 (5, 5)I 0 (5) = Det kan noteras i dessa ekvationer avser matrisernas element-nummer nodnumret, medan det i praktiken faktiskt är ett annat eftersom rad och kolumn 1 har strukits. T ex motsvarar Z 2 (2, 5) element (1,4) i Z 2 -matrisen. Plus- minus och nollföljds-strömmarna genom ledningarna kan beräknas enligt I L1 1 = U 1(2) U 1(3) Z L1 1 = I L1 2 = U 2(2) U 2(3) Z L1 2 = I L1 0 = U 0(2) U 0(3) Z L1 0 = (13.75) I L2 1 = U 1(2) U 1(4) Z L2 1 = I L2 2 = U 2(2) U 2(4) Z L2 2 = I L2 0 = U 0(2) U 0(4) Z L2 0 = Plus- minus- och nollföljds-effekten som går in i ledningen L1 från nod 2 kan beräknas enligt S L1 nod2 1 = U 1(2)I L1 1 = j S L1 nod2 2 = U 2(2)I L1 2 = ( j5.72) 10 6 (13.76) S L1 nod2 0 = U 0(2)I L1 0 = j Utgående från ekvation (10.25) kan den totala effekten in på ledning L1 vid nod 2 beräknas enligt S L1 nod2 = S L1 nod2 1 + S L1 nod2 2 + S L1 nod2 0 = j (13.77)

159 151 På samma sätt kan totala effekten ut från ledning L1 till nod 3, samt effekterna in och ut ur ledning L2 beräknas till S L1 nod3 = j S L2 nod2 = j (13.78) S L2 nod4 = j De enda förlusterna i systemet är de som inträffar på ledningarna. Dessa förluster kan beräknas som skillnaden mellan inmatad och utmatad aktiv effekt. Verkningsgraden kan nu beräknas enligt : η = 100 Real(S L1 nod3) + Real(S L2 nod4 ) Real(S L1 nod2 ) + Real(S L2 nod2 ) = % (13.79)

160 152

161 Kapitel 14 Övertoner i elsystem Strömmar och spänningar som inte är rent sinusformade uppstår på grund av att det förekommer olinjära komponenter i ett elsystem. Olinjära komponenter medför att t ex komplex beskrivning av spänningsfall såsom U = ZI (14.1) över en komponent inte kan tillämpas direkt eftersom komponenten inte kan beskrivas enbart med en impedans. Exempel på olinjära komponenter är kraftelektronik och transformatorer i mättning. Hur olinjära komponenter kan påverka ett elsystem illustreras här med ett exempel. Antag att en symmetrisk trefasspänning, U M = 400V, f=50 Hz, matar en resistiv Y-kopplad trefaslast, R = 400 Ω, via antiparallellkopplade tyristorer enligt figur u a (t) T1 R i a (t) u b (t) T3 T2 R i b (t) u c (t) T5 T4 R i c (t) T6 i 0 (t) u 0 =0 Figur Trefaslast matad via tyristorer med samma styrvinkel α Tyristorer används i elsystem för att kunna styra effekter. En tyristor är en tändbar diod där styrvinkeln α beskriver hur lång tid efter en nollgenomgång som tyristorn tänds. Antiparallellkopplade tyristorer används t ex i en dimmer för att reglera ljusstyrkan i en lampa. I figur 14.2 visas spänningen i fas a i figur 14.1 samt hur strömmen varierar vid olika utstyrningar av tyristorerna T1 och T2. Som framgår av figur 14.2 så minskar i a när styrvinkeln α ökar. α kan ökas maximalt till 180 dvs en halv period. Tyristorutstyrningen α = 45 innebär att tyristorn tänds och börjar leda efter 45 = 1 period dvs efter s. När i adt minskar så minskar även den levererade medeleffekten dvs tyristorerna styr effekten. Figuren visar även att när vinkeln α 0 så blir strömmen inte rent sinusformad. Om samtliga tyristorer i figur 14.1 har styrvinkeln α = 0 så blir samtliga fasströmmar i a, i b och i c sinusformade och lasten drar därmed en symmetrisk sinusström. Strömmen i 0 blir därmed noll. Antag nu att samtliga tyristorer istället styrs ut till 45. De tre fasströmmarna samt strömmen i neutralledaren får då ett utseende enligt figur

162 154 Som framgår av figur 14.3 så gör förekomsten av tyristorer att det även uppstår ström i neutralledaren. Om utstyrningen av tyristorerna i den studerade kretsen, figur 14.1, ökar så förändras också strömmarna utseende. I figur 14.4 visas strömmarna vid utstyrningen 135 i samtliga tyristorer. ua ia_ ia_ ia_ Figur Spänningen u a (t) samt strömmen i a vid olika utstyrningar av T1 och T2: 0, 45 och 135, ia(t) 1 T1 T1 0 T2 T ib(t) 1 T3 T3 0 T4 T ic(t) 1 T5 T5 0 T6 T i0(t) Figur Strömmar i kretsen enligt figur 14.1 vid tyristorutstyrning 45 Vid analys av icke rent sinusformade storheter i elsystem används ofta Fourieranalys. Därvid betraktas den studerade storheten som summan av sinusstorheter med en grundfrekvens och multiplar därav s k övertoner. Strömmen i t ex fas a kan då skrivas som i a (t) = a 0 + a n cos(nωt + γ n ) (14.2) n=1

163 155 Amplituderna a n och fasvinklarna γ n för strömmens grundton och övertoner kan beräknas med Fast Fourier Transform, FFT, utgående från samplade värden av strömmens tidsfunktion enligt figur ia(t) ib(t) ic(t) i0(t) Figur Strömmar i kretsen enligt figur 14.1 vid tyristorutstyrning Fas a Fas b Fas c Retur Figur Frekvensspektrum för de olika strömmarna i figur 14.3 I figur 14.5 visas resultatet av en Fourieranalys av strömmarna i figur Som framgår av figuren så blir övertonsutseendet likadant i de tre faserna eftersom strömmens tidsfunktion ser likadan ut. För strömmen i 0 blir dock övertonshalten annorlunda. Övertonsinnehållet visas även i tabell 14.1 vilken också innehåller en övertonsanalys vid utstyrningen 135. Som framgår av tabell 14.1 så förekommer inga jämna övertoner. Det beror på att de respektive antiparallellkopplade tyristorerna i de tre faserna har samma utstyrning vilket gör att

164 156 α = 45 α = 135 i a i 0 i a i 0 Ton Hz A % av 50 Hz A % av 150 Hz A % av 50 Hz A % av 150 Hz THD RMS Tabell Övertonsinnehåll för fasströmmarna i kretsen enligt figur 14.1 vid α = 45 och α = 135 den positiva och den negativa delen av strömmen får samma utseende, dvs spegelsymmetriska i noll-linjen, se figur 14.3 och I tabell 14.1 visas också det totala övertonsinnehållet, THD, Total Harmonic Distorsion, vilket är effektivvärdet för samtliga övertoner T HD = 1 2 a 2 n (14.3) Som framgår av tabell 14.1 så förekommer i neutralledaren endast övertoner som är multiplar av 3 gånger grundfrekvensen. (De låga nivåer på övriga övertoner som visas i tabellen beror på begränsningar i den utnyttjade beräkningsrutinen.) Dessutom är amplituden för dessa högre i neutralledaren än i fasledarna. Detta beror på att dessa övertoner får samma fasläge i de tre faserna eftersom fasförskjutningen, 120 är ett jämt antal cykler för dessa frekvenser enligt i 0 3n = i a 3n + i b 3n + i c 3n = n=2 = a n cos(3nωt + γ n ) + a n cos(3nωt + γ n ) + (14.4) + a n cos(3nωt + γ n 120 ) = 3a n cos(3nωt + γ n ) För de andra övertonerna tar däremot strömmarna i de olika faserna ut varandra i neutralledaren eftersom de var för sig representerar en symmetrisk fasföljd

165 RMS(ia) RMS(i0) RMS(i0) / RMS(ia) alfa [grader] Figur RMS(i a ) ( ), RMS(i 0 ) ( ), samt kvoten RMS(i 0 )/RMS(i a ) (... ) i 0 (3n±1) = i a (3n±1) + i b (3n±1) + i c (3n±1) = = a n cos(3nωt + γ n ) + a n cos(3nωt + γ n ± 120 ) + (14.5) + a n cos(3nωt + γ n 120 ) = 0 Det kan noteras att om det inte hade funnits någon neutralledare så hade inte övertoner av multiplar av grundfrekvensen 3 kunnat förekomma i fasledarna heller. Eftersom övertoner av multiplar av grundfrekvensen 3 har samma fasläge, så har de nollföljdskaraktär, vilket bl a innebär att de stoppas av Y -kopplade transformatorer. Utstyrningen av tyristorerna påverkar självfallet strömmarna i faserna och i neutralledaren. I figur 14.6 visas hur effektivvärdet för strömmen påverkas då utstyrningen av samtliga tyristorer ökar. Som framgår av figur 14.6 så är i 0 -strömmen relativt liten för utstyrningar upp till ca 20. Vid en utstyrning om ca 70 är dock effektivvärdet för nollströmmen lika stor som effektivvärdet för fasströmmen. Nollströmmens effektivvärde når en topp vid α = 90 och för höga utstyrningar är nollströmmen 3 fasströmmen.

166 158

167 Appendix A Nätdimensionering I detta appendix beskrivs vissa grundläggande metoder och standarder som används vid dimensionering av kraftnät. I avsnitt A.1 beskrivs först hur olika elförbrukningar sammanlagras och hur man utgående från kunskap om detta kan uppskatta den nivå som används som dimensionerande total elförbrukning. I avsnitt A.2 beskrivs begreppet elkvalitet och i avsnitt A.3 beskrivs hur man vid dimensioneringen måste beakta kostnaderna för förluster. A.1 Sannolikhetsbaserad nätdimensionering Vid dimensionering av kraftöverföringar är det av stor vikt att veta vilken maximal effekt som skall överföras. Detta bestämmer vilka krav man skall ställa på överföringen. Maximal effekt som skall överföras är lika med maximal summa av samtliga elförbrukningar i området som kraftförsörjningen går till. Vad som är viktigt att beakta är att de olika förbrukningarna inte ligger på maximal nivå samtidigt. Detta beror dels på att olika förbrukare har olika tidsmönster med olika nivåer vid olika tider på dygnet. Dessutom sker en viss sammanlagring på så sätt att alla elförbrukare för varje enskild tidpunkt inte tar ut maximalt samtidigt. I [2] finns en beskrivning på hur man kan beräkna typkurvor. En typkurva beskriver hur en konsuments elförbrukning kan variera under ett dygn. En typkurva kan tas fram för olika typer av kunder och är olika för olika veckor och temperaturer. I figur A.1 visas ett exempel. Typkurvor kan användas till att ta fram dimensionerande effekter för projektering av elnät [2]. I figur A.1 visas förutom genomsnittskurvan även standardavvikelsen. I figuren visas t ex att klockan 6 är elförbrukningen i ett hus 2.4 kw ± 0.6 kw, dvs m(1) = 2.4 kw (A.1) σ(1) = 0.6 kw (A.2) Med antagande om normalfördelning så innebär det att elförbrukningen klockan 6 vilket är den dimensionerande timmen kan beskrivas enligt figur A.2. Antag nu att man har n=10 st elvärmda hus med typkurvor enligt figur A.1. Antag också att de olika elvärmda husens variation utifrån medelvärdet kan antas oberoende. Detta oberoende antas t ex i [2]. Den totala effektförbrukningen kl 6 blir med dessa antaganden m(10) = 10 m(1) = 24 kw (A.3) σ(10) = 10 σ 2 (10) = 10 σ(1) = 1.9 kw (A.4) Med antagande om normalfördelning erhålls frekvensfunktionen för elförbrukningen från dessa 10 hus kl 6 enligt figur A.3. Antag nu att man skall dimensionera en överföring till dessa 10 hus med maximal typkurva per hus enligt figur A.1. Detta innebär att frekvensfunktionen för den dimensionerande tim- 159

168 160 Figur A.1. Typkurva för elförbrukningen under ett vardagsdygn i ett småhus med direktelvärme [2] men kan beskrivas enligt normalfördelningen i figur A.3. Utgående från denna måste man bestämma sig för vilken risk som kan accepteras att den dimensionerande effekten överskrids. Om man t ex väljer nivån 25.9 kw (=m10+σ10) så kan andelen av tiden som systemet inte kommer att överlastas beräknas enligt 25.9 ( ) 25.9 m(10) p = f(y)dy = φ = (A.5) σ(10)10 dvs under ca 84 % av de timmar som representeras av normalfördelningen i figur A.3. Den marginal som är nödvändig för att uppnå en viss sannolikhet att den dimensionerande effekten inte överskrids kan beräknas med formeln P max = m + λ σ (A.6) 0.6 f(x) σ(1) m(1) σ(1) x Figur A.2. Normalfördelningsapproximation av elförbrukningen klockan 6 i figur A.1

169 f(y) σ(10) m(10) σ(10) Area = 1 % y Figur A.3. Normalfördelningsapproximation av elförbrukningen klockan 6 för 10 småhus med direktelvärme där P max = dimensionerande effekt för timmen m = medelvärde för förbrukningen under timmen σ = standardavvikelsen för förbrukningen under timmen λ = faktor som beror på kravet på marginalen Faktorn λ:s storlek beror på med vilken sannolikhet man vill att lasten skall klaras. Antag att man vill att lasten skall klaras med sannolikheten α %. Följande förhållande gäller då mellan α och λ : α = 100 φ(λ) (A.7) där α = sannolikhet att dimensionerande lasten inte överskrids I tabell A.1 visas olika kombinationer av α och λ. Som exempel kan nämnas att om den α λ Tabell A.1. λ som funktion av α dimensionerande effekten för överföringen till de 10 direktelvärmda husen ovan inte skall överskridas under 99 % av timmarna vilka beskrivs av figur A.3, så måste man dimensionera överföringen enligt P max = = 28.4 kw (A.8)

170 162 vilket också visas i figur A.3. Om man nu förutom dessa 10 hus har (mycket småskalig) vindkraft med en antagen produktion om 3 kw och en standardavvikelse på 2 kw, så kan nettolastens medelvärde och standardavvikelse beräknas enligt m(10 + v) = 24 3 = 21 kw (A.9) σ(10 + v) = = 2.76 kw (A.10) Observera att detta beräkningssätt innebär att vindkraftens produktion antas oberoende av hur sammanlagringen mellan husen ser ut. Det måste också noteras att den antagna vindkraftproduktionen antas representativ för den tid och dag som beskrivs av husens typkurva. Med antagandet om samma krav på dimensioneringen (99 %) kan den nya dimensionerande effekten beräknas enligt P max = = 27.4 kw (A.11) dvs den dimensionerande effekten är något lägre. Den minskar inte lika mycket som medelproduktionen vilket beror på produktionens standardavvikelse. I [2] finns en betydligt mer utförlig beskrivning av olika typer av typkurvor för olika kundkategorier, och dess temperaturberoende mm. I [3] används kravet 99 %, dvs samma som ovan. I denna rapport finns också en beskrivning hur man kan utföra sammanlagringsstudier om man har en korrelation, dvs ett beroende, mellan olika kunders effektuttag. A.2 Nätdimensionering baserad på elkvalitet För att en nätägare skall kunna bedriva nätverksamhet dvs ställa elektriska starkströmsledningar till förfogande för överföring av ström, är det nödvändigt att hålla en viss spänning på nätet. I Sverige är den absolut största mängden kraftledningar av trefastyp. I figur A.4 visas ett exempel på ett symmetriskt trefassystem. Detta system betecknas av att spänningarna och strömmarna i de tre faserna är sinusformade, har samma amplitud och är sinsemellan fasförskjutna 120. Detta kan för spänningarna uttryckas matematiskt som u a (t) = U M cos ωt u b (t) = U M cos(ωt 120 ) (A.12) u c (t) = U M cos(ωt ) där U M är spänningens toppvärde. För strömmarna blir motsvarande uttryck i a (t) = I M cos(ωt φ) i b (t) = I M cos(ωt 120 φ) (A.13) i c (t) = I M cos(ωt φ) där I M är strömmarnas amplitud och φ är fasförskjutningen mellan spänning och ström. Fördelen med symmetrisk trefas är bl a att Den totalt levererade effekten är konstant och = 3 UM 2 I M 2 cos φ. För varje fas pendlar effekten med dubbla systemfrekvensen.

171 163 1 fas a fas b fas c Figur A.4. Ett symmetriskt trefassystem Strömmen i returledaren blir = 0 eftersom summan av strömmarna = 0. Sett från produktinsanläggningars och elkonsumenters synvinkel så vore idealet att spänningen på nätet alltid skulle vara en symmetrisk trefas med utseende enligt figur A.4. Ur nätägarens synvinkel vore idealet att samtliga produktionsanläggningar och elkonsumenter orsakade strömmar med utseende enligt figur A.4. Det är dock inte ekonomiskt rimligt att bygga ett nät som ger en konstant spänningsprofil, eftersom man alltid har spänningsfall i olika delar av nätet. Det är dessutom orealistiskt att förutsätta att anslutna objekt skall orsaka konstanta, symmetriska strömmar. När spänningen i en punkt i nätet inte ser ut som i figur A.4 och detta orsakar någon typ av problem, brukar detta betecknas som ett elkvalitetsproblem eller oacceptabel spänningsgodhet. Vid dimensionering av elnät måste detta göras utgående från vissa rimliga krav på den spänningskvalitet (spänningsgodhet) som föreligger i olika delar av nätet. Nedan beskrivs vilka spänningskvalitetsproblem som kan uppstå och vilka krav man kan ställa vid dimensionering av nätet. De enda formella regelverk som finns i Sverige idag [1], som reglerar ansvaret för god elkvalitet på det allmänna elnäten, är ellagen med stöd av den svenska normen SS [4]. Europanormen EN [5] som är den europeiska spänningsgodhetsnormen för låg- och mellanspänning, har ännu inte antagits som svensk norm. Dess ställning är dock något oklar varför den här ändå nämns som ett alternativt exempel på hur gränser kan formuleras. Då inte annat anges så avser hänvisning nedan till Europanormen EN [5] den del av normen som gäller lågspänningsdistribution, dvs samma spänningsområde som i [4]. Någon

172 164 svensk norm för spänningar över lågspänning (> 250 V mellan ledare och jord) finns inte, men i EN finns även normer för spänningar upp till 35 kv. En kommentar till de följande avsnitten kan vara på sin plats. I SS formuleras normerna som specifika gränser som inte får över- eller underskridas. Som framgår av appendix A.1 accepterar man dock vid beräkning av den dimensionerande effekten att denna faktiskt överskrids ibland. Om man då dimensionerar efter den dimensionerande effekten och klarar nedanstående krav precxis så kommer man eventuellt inte att klara kraven då den dimensionerande effekten överskrids. Detta innebär att man då måste avvika från kraven. Detta behandlas i SS genom formuleringen Ibland måste vissa överskridanden av spänningsgodhetskriterierna i denna standard accepteras på grund av rådande impedansförhållanden. Att ändra på dessa kan kräva stora ekonomiska insatser. I EN är normerna istället formulerade så att man under en viss andel av tiden måste uppfylla kraven. Detta sammanfaller mer med hur den dimensionerande effekten fastställs enligt appendix A.1. A.2.1 Avbrott i kraftförsörjningen Det allvarligaste kvalitetsproblemet är om man inte får någon leverens alls dvs ett avbrott, vilket schematiskt visas i figur A Figur A.5. Avbrott i elförsörjningen Det finns ett flertal orsaker till elavbrott t ex Åska som slår ner i ledning vilken kopplas bort. Träd som faller på kraftledning vilket ger en felström som i sin tur gör att kraftledningen kopplas bort. Transformator- och ledningsfel Generatorfel Avbrott definieras enligt [5] som ett tillstånd då spänningen i en punkt sjunker till under 1 % av den normala spänningen i punkten. Beroende på hur långt avbrottet är brukar de delas in i

173 165 kortvarigt avbrott vilket är ett avbrott kortare än 0.5 sekunder [4] respektive kortare är 3 minuter [5]. längre avbrott vilket är ett avbrott längre än 0.5 sekunder [4] respektive 3 minuter [5]. Några normer för vilken nivå man måste ha på leverenssäkerheten mätt som t ex timmar per år med avbrott, finns inte enligt [4]. I [5] anges att normalt bör antalet långa avbrott (längre än 3 minuter) understiga mellan gånger per år beroende på typ av distributionsområde. A.2.2 Spänningsvariationer Sänningsvariationer kan innebära såväl ökning av spänningsnivå som minskning av densamma, se figur A.6. 1 Spänningsminskning 1 Spänningsökning Figur A.6. Spänningsvariationer Spänningens grundnivå varierar med årstid och tid på dygnet beroende på belastningsändringar. På lågspänningsnivå gäller enligt [4] att nivån skall vara V. Enligt [5] skall nivån under normala förhållanden, ej medräknat avbrott, under varje period om en vecka, under 95 % av alla 10 minutersmedelvärden, vara inom ±10 %. Förutom dessa långsamma variationer av spänningens effektivvärde finns det snabba variationer. Med snabba spänningsändringar avses enligt [4] : 1. Enstaka stegvisa ändringar av spänningens effektivvärde som förekommer mer sällan än varannan minut. 2. Mer eller mindre regelbundna ändringar av spänningens effektivvärde i området en ändring per minut till trettio ändringar per sekund. Snabba spänningssänkningar kan orsakas av Åska som orsakar fel på ledning vilken då kopplas bort och därmed ökar spänningsfallet till laster på lastsidan av ledningen, förutsatt att det finns annan matning.

174 166 Uppstart av energikrävande laster vilket ökar strömmarna genom transformatorer och ledningar varvid spänningen sjunker vid lasten så länge inte någon reglermekanism i systemet justerar spänningen. Snabba spänningsökningar kan orsakas av Bortkoppling av stor last Osymmetriska fel, se nedan avsnitt A.2.6 I figur A.7 visas en gränskurva för acceptabla stegvisa spänningsändringar enligt [4]. Relativ spänningsändring Antal spänningsändringar per sekund Figur A.7. Gränskurva för acceptabla stegvisa spänningsändringar [4] En speciell form av spänningsvariationer benämns flimmer (engelska : flicker) och består av snabba spänningsvariationer i området Hz, se figur A.8.

175 Figur A.8. Flimmer Flimmer orsakas av cykliska lastförändringar och speciella laster såsom ljusbågsugnar. Problemet med denna typ av spänningsvariationer är att den ger upphov till effektvariationer i glödlampor. Detta i sin tur ger upphov till ljusvariationer som kan vara mycket irriterande. Människan är känsligast för ljusvariationer i frekvensområdet 8-10 Hz. Tillåten flimmerintensitet enligt den svenska normen kan avläsas som funktion av frekvensen i figur A.7. Flimmerintensiteten kan mätas på ett sätt som avspeglar ögats känslighet på så sätt att olika frekvenser vägs tillsammans. På detta sätt kan ett Short-term flicker severity-värde, P st och ett Long-term flicker severity-värde, P lt erhållas. I [5] skrivs att i varje enveckas-period måste P lt 1 under 95 % av tiden. A.2.3 Övertoner Övertoner är ett fenomen som har ökat under senare år framför allt beroende på den ökande mängden kraftelektronik i allt fler utrustningar, såväl i hemmen som i industrin och övriga samhällssektorer. Övertoner är ström- eller spänningskomponenter med en frekvens som är en heltalsmultipel av grundtonsfrekvensen och som överlagrade på denna ger en periodiskt återkommande deformation av sinuskurvan. Vanligast förekommande är udda övertoner. I figur A.9 visas ett exempel där det förutom en grundton (50 Hz) finns en 5:e-ton (250 Hz) med en amplitud som är 20 % av grundtonen, en 7:e-ton (350 Hz) med en amplitud som är 10 % av grundtonen samt en 11:e-ton (550 Hz) med en amplitud som är 5 % av grundtonen Figur A.9. Övertoner

176 168 Källor till övertoner är likriktare lysrörsarmaturer strömriktare för motordrifter ljusvariatorer magnetiska kretsar som arbetar nära sin mättningspunkt, t ex transformatorer Enligt [4] gäller att övertonshalten hos distributionsspänningen, mätt som medelvärde under 3 sekunder, inte får överstiga 4 % av grundtonsnivån för enskild udda överton. För jämna övertoner gäller högst 1 % för enskild ton. Totalt gäller att den totala övertonshalten inte får överstiga 6 % av grundtonen. Enligt [5] gäller att under normala förhållanden så får under 95 % av alla 10 minutersmedelvärden av effektivvärdet av enskilda övertoner inte överskrida nivån enligt tabell A.2. Det kan tilläggas att den totala övertonshalten (Total Harmonic Distorsion, THD) vilken udda övertoner jämna övertoner icke multiplar av 3 multiplar av 3 nummer relativ nummer relativ nummer relativ spänning spänning spänning 5 6 % 3 5 % 2 2 % 7 5 % % 4 1 % % % % 13 3 % % 17 2 % % % % Tabell A.2. Tillåtna värden på upp till den 25:e övertonen enligt [5] i procent av grundtonen definieras enligt T HD = 40 dvs alla övertoner upp till nummer 40, måste vara lägre än 8 % av grundtonen enligt [5]. h=2 u 2 h (A.14) A.2.4 Mellantoner Mellantoner är spännings- och strömkomponenter med en frekvens som ej är en heltalsmultipel av grundtonen och som överlagrad på denna ger en deformation som är olika från

177 169 period till period. I figur A.10 visas ett exempel där det förutom grundtonen (50 Hz) finns en överlagrad 83 2 Hz (= 5 50 Hz) med en amplitud som är 20 % av grundtonens samt en Hz (= 7 Hz) med en amplitud som är 10 % av grundtonens Figur A.10. Mellantoner Mellantoner orsakas av bl a Omriktare Banverkets omriktare vilka ger mellantoner på n Hz (= n 50 3 Hz) Det kan nämnas att för lägre frekvenser < 30Hz räknas mellantoner som ett flimmerproblem, se avsnitt A.2.2. Enligt [4] får varje enskild mellanton, mätt som medelvärde under 3 sekunder, inte överstiga 0.3 % av spänningens nominella värde. I Europanormen [5] finns inga specifika gränser angivna. A.2.5 Kommuteringshack Ett specialfall av övertonsdistorsion är de periodiskt förekommande kommuteringshacken i strömmen från en omriktare. Dessa strömmar kan ge upphov till en spänningsdeformation enligt figur A Figur A.11. Kommuteringshack

178 170 För kommuteringshack finns inga speciella normer vare sig enligt [4] eller [5] utan dessa ingår under normer för över- och mellantoner. A.2.6 Osymmetrier Osymmetrier är tillstånd då strömmar eller spänningar i de tre faserna inte har samma amplitud och/eller inte är fasförskjutna 120, se figur A fas a fas b fas c Figur A.12. Exempel på osymmetrier Osymmetrier förekommer hela tiden i distributionssystemet eftersom många elförbrukningar är enfasiga och därmed inte ger symmetriska strömmar. Däremot sker oftast en sammanlagring vilket minskar problemet på högre spänningsnivåer. Osymmetriska förhållanden brukar behandlas genom att man istället för tre faskomponenter studerar tre så kallade symmetriska komponenter : A. Med plusföljd avses tre komponenter med samma amplitud och förskjutna med 120 respektive 240 samt har fasföljden abca, figur A.13b. B. Med minusföljd avses tre komponenter med samma amplitud och fasförskjutna med 240 respektive 120 samt har fasföljden acba, figur A.13c. C. Med nollföljd avses tre komponenter med samma amplitud och fas, figur A.13d. De tre komponentsystemen symboliseras med 1 (plusföljd), 2 (minusföljd) och 0 (nollföljd).

179 171 I c0 I c2 I b0 I c1 I b I c I a I a1 I a2 I a0 I b2 I b1 (a) I c1 I b1 I a1 I b2 I c2 I a2 I a0 I b0 I c0 (b) (c) (d) Figur A.13. Osymmetrisk trefasström uttryckt som summan av plus-, minus- och nollföljd. Det som visas i figur A.13 kan matematiskt uttryckas enligt : Osymmetrier vid normal drift orsakas av : Osymmetriska laster I a = I a1 + I a2 + I a0 I b = I b1 + I b2 + I b0 (A.15) I c = I c1 + I c2 + I c0 Osymmetriska ledningar, dvs olika impedanser för olika fasledare De normer som finns på området bygger på att de symmetriska komponenterna studeras. Enligt [4] gäller att en spänningsosymmetri, kännetecknad av minusföljdsspänningens effektivvärde, kan tillåtas om detta, eller dess medelvärde mätt under 1 minut, understiger 2 % av nominell fasspänning. Enligt [5] så måste, under varje period av en vecka, 95 % av alla 10 minuters-medelvärden av minusföljds-komponenten av spänningen vara inom 0-2 % av plusföljds-komponentens värde. Enligt denna norm tillåts värden upp till 3 % i områden med enfasig eller tvåfasig distribution. A.2.7 Transienter Transienter av betydelse för elkvaliten kan hänföras till kopplingsöverspänningar eller atmosfäriska överspänningar. Figur A.14 visar ett exempel på transienter som uppkommer vid enstaka tillfällen.

180 Figur A.14. Transienter Kopplingsöverspänningar innebär att överspänningar uppstår vid varje förändring av nätbilden och vid varje in- eller urkoppling av apparater eller bruksföremål. I kopplingsögonblicket uppstår då en transient störning. Höga amplituder på dessa kan uppstå vid brytning av induktiva belastningar. Inkoppling av större kondensatorbatterier ger också upphov till transienter i nätspänningen. Atmosfäriska överspänningar uppkommer vid åskväder vilka inducerar överspänningar som kan nå tiotals kilovolt. Dessa kan orsaka skador om inte avledare finns installerat. Enligt [4] finns inga normer för vilka nivåer som är acceptabla. Inte heller [5] innehåller några gränsvärden för transienter. A.2.8 Frekvensavvikelser I vissa situationer kan den elektriska frekvensen ändras, se figur A Figur A.15. Frekvensavvikelser Frekvensavvikelser i ett kraftsystem beror på hur väl en konsumtionsändringar kan mötas med en produktionsförändring, Frekvensen beror inte på enskilda laster, nätdelar eller generatorer utan är en kraftsystemvariabel. Enligt [4] skall frekvensen vara 50 ± 0.5 Hz. Normalt är den dock 50 ± 0.1 Hz. Enligt [5] skall

181 173 frekvensen för nät som är synkront kopplade till nationella nät vara 50 ± 0.5 Hz under 95 % av varje vecka samt 50 ± 2 3 Hz under 100 % av varje vecka. A.2.9 Nätimpedans Nätets impedans i en punkt visar hur stark nätet är. Ett starkt nät (nätimpedans = 0) innebär att man har en konstant spänning enligt figur A.4 helt oberoende av om strömmarna är osymmetriska, innehåller övertoner eller har andra kvalitetsproblem enligt avsnitt A.2.1 A.2.7. (Observera att frekvensproblem är en systemfråga där man t ex inte kan ha en frekvens för strömmen och en annan för spänningen.) Ett svagt nät (nätimpedans > 0) innebär att strömkvalitetsproblem enligt avsnitt A.2.1 A.2.7 ger upphov till spänningskvalitetsproblem på nätet, eftersom strömmar med kvalitetsproblem ger upphov till spänningsfall med kvalitetsproblem. Med en given störnivå hos strömmarna så kommer alltså spänningskvaliten vara mycket god om nätet är starkt men betydligt sämre om nätet är svagt. Det finns inga normer för hur starkt nätet måste vara, vare sig enligt [4] eller enligt [5]. Nätimpedansens storlek, dvs nätets styrka, är dock mycket central för spänningens kvalitet i en given punkt. Att minska nätimpedansen, dvs förstärka nätet, kan dock kräva stora investeringar, vilket måste vägas mot nyttan av den förbättrade kvaliten. A.3 Nätdimensionering baserad på ekonomisk area Kostnaden per år för en kabel eller ledning beror såväl på anläggningskostnaden som på driftskostnaden. En approximativ formel är K = k F L + k A AL + k p ˆPf + k w τ f ˆPf (A.16) där K = kostnaden per år k F = fast kostnad, kr/km, år k A = ledarareaberoende kostnad, kr/mm 2,km,år k p = effektkostnad, kr/kw,år k w = energikostnad, kr/kwh L = kraftledningens längd, km A = kraftledningens area, mm 2 τ f = förlusternas utnyttjningstid = (förlustenergi per år)/(maximal förlusteffekt) ˆP f = maximal förlusteffekt

182 174 k F, k A och k p är investeringskostnader omräknade till en kostnad per år. Ekvation (A.16) kan skrivas om till en fast kostnad, en areaberoende kostnad och en förlustenergiberoende kostnad. Samtliga kostnader är förstås beroende på ledningens längd : [ ] ρ Ŝ 2 K = L k F + k A A + k s (A.17) A U 2 där k s = k p + k w τ f ρ = ledarmaterialets resistivitet, Ωmm 2 /km Ŝ = maximivärdet på överförd effekt i kva. U = huvudspänning Som framgår av denna ekvation så ökar den areaberoende kostnaden om arean ökar, medan förlustkostnaden däremot minskar. Ett minimum kan erhållas genom att sätta derivatan med avseende på A = 0 : [ ] 0 = dk da = L ρ Ŝ 2 k A k s A 2 U 2 ks ρ Ŝ A = (A.18) U Detta ger alltså en optimal area som i princip innebär en avvägning mellan förlustkostnaden k s och den areaberoende kostnaden k A. För olika kombinationer av dessa samt överförd effekt blir resultatet olika. k A Referenser [1] Begränsning av övertoner i elnät inom tätort, Elforsk Rapport 97:3, Januari 1997 [2] Belastningsberäkning med typkurvor, Svenska Elverksföreningen 1991 [3] Emanuelson P.,Grunder A., Belastningsfördelning i maskade lågspänningsnät, SE Elnät AB och Institutionen för Elkraftteknik, KTH, Augusti 1997 [4] Spänningsgodhet i lågspänningsnät för allmän distribution, Svensk Standard SS , fastställd [5] Voltage characteristics of electricity supplied by public distribution systems, European Standard EN : 1994, CENELEC, European Committee for Electrotechnical Standardization, (1994)

183 Appendix B MATLAB-filer för exemplen 7.2, 7.3, 13.2 och 13.3 %--- Exempel 7.2 l=5 ; zled=0.9+j*0.3 ; yled=j*3e-6 ; % pind=0.400 ; cosind=0.8 ; uind=10 ; % ik=-j*0.3 ; uk=70 ; % stra=5 ; xtraproc=4 ; %--- Valj bastorheter Sb=0.5 ; Ub10=10 ; Ub70=70 ; Ib10=Sb/sqrt(3)/Ub10 ; Ib70=Sb/sqrt(3)/Ub70 ; Zb10=Ub10^2/Sb ; %--- Berakna per-unit-varden for Theveninekvivalenten Uthpu=uk/Ub70 ; Zthpu=uk/Ub70*Ib70/ik ; %--- Berakna per-unit-varden for transformatorn ztra=j*xtraproc/100*sb/stra ; %--- Berakna per-unit-varden for ledning LZ = zled*l/zb10 ; LY = yled*l*zb10 ; LA = 1+0.5*LY*LZ ; LB = LZ ; LC = LY*(1+0.25*LY*LZ) ; LD = LA ; %--- Berakna per-unit-varden for industrins impedans Zindpu=uind^2/(pind/cosind)*(cosind+j*sqrt(1-cosind^2))/Zb10 ; %--- Berakna fyrpol for kraftnat+trafo+ledning fyrpol = [1 Zthpu ; 0 1]*[1 ztra ; 0 1]*[LA LB ; LC LD] ; A= fyrpol(1,1) ; B= fyrpol(1,2) ; C= fyrpol(2,1) ; D= fyrpol(2,2) ; %--- Berakna natets totala impedans 175

184 176 Ztot = (A*Zindpu+B)/(C*Zindpu+D) ; i1 = Uthpu/Ztot ; %--- Berakna u2 och i2 trakramat=[1 Zthpu+ztra ; 0 1] ; u2i2=inv(trakramat)*[uthpu ;i1] ; s2=u2i2(1)*conj(u2i2(2))*sb ; %--- Berakna spanningen vid industrin ; matmat = [A B ; C D] ; u3i3=inv(matmat)*[uthpu ;i1] ; u3=u3i3(1)*ub10 ; %--- Exempel 7.3 l1=2 ; l2=1 ; zled=0.17+j*0.3 ; yled=j*3.2e-6 ; % pld1=0.500 ; cosld1=0.8 ; uld1=10 ; pld2=0.200 ; cosld2=0.95 ; uld2=0.4 ; % st1=0.8 ; xt1proc=7 ; st2=0.3 ; xt2proc=8 ; %--- Valj bastorheter Sb=0.5 ; Ub10=10 ; Ub04=0.4 ; Ib10=Sb/sqrt(3)/Ub10 ; Ib04=Sb/sqrt(3)/Ub04 ; Zb10=Ub10^2/Sb ; Zb04=Ub04^2/Sb ; %--- Berakna per-unit-varden for det starka kraftnatet u1=1 ; %--- Berakna per-unit-varden for transformatorn T1 zt1pu=j*xt1proc/100*sb/st1 ; %--- Berakna per-unit-varden for transformatorn T2 zt2pu=j*xt2proc/100*sb/st2 ; %--- Berakna per-unit-varden for ledning L1 zl1pu = zled*l1/zb10 ; yl1pu = yled*l1*zb10 ; %--- Berakna per-unit-varden for ledning L2 zl2pu = zled*l2/zb10 ; yl2pu = yled*l2*zb10 ;

185 177 %--- Berakna per-unit-varden for LD1:s impedans zld1pu=uld1^2/(pld1/cosld1)*(cosld1+j*sqrt(1-cosld1^2))/zb10 ; %--- Berakna per-unit-varden for LD2:s impedans zld2pu=uld2^2/(pld2/cosld2)*(cosld2+j*sqrt(1-cosld2^2))/zb04 ; %--- Stall upp Y-matrisen for natet y22=1/zt1pu+1/zl1pu+(yl1pu/2)+1/zl2pu+(yl2pu/2) ; y33=1/zl1pu+(yl1pu/2)+1/zld1pu ; y44=1/zl2pu+(yl2pu/2)+1/zt2pu ; Ybus=[1/zT1pu -1/zT1pu ; -1/zT1pu y22-1/zl1pu -1/zL2pu 0 ; 0-1/zL1pu y ; 0-1/zL2pu 0 y44-1/zt2pu ; /zT2pu 1/zT2pu+1/zLD2pu] ; Zbus=inv(Ybus) ; %--- Berakning av verkningsgrad i1=u1/zbus(1,1) ; u2=zbus(1,2)*i1 ; u3=zbus(1,3)*i1 ; u4=zbus(1,4)*i1 ; u5=zbus(1,5)*i1 ; S1=u1*conj(i1)*Sb ; il1=(u2-u3)/zl1pu ; PfL1=real(zL1pu)*abs(iL1)^2*Sb ; il2=(u2-u4)/zl2pu ; PfL2=real(zL2pu)*abs(iL2)^2*Sb ; verkn=100*( real(s1)-pfl1-pfl2 )/real(s1) ; %---Berakning av Z-matris for kortslutningberakningar Ybusk=Ybus(2:5,2:5) ; Zbusk=inv(Ybusk) ; ik4 = u4/zbusk(3,3)*ib10 ; %--- Exempel 13.2 alfa = exp(j*120*pi/180) ; tmat = [1 1 1 ; alfa*alfa alfa 1 ; alfa alfa*alfa 1 ] ; l=5 ; zled1=0.9+j*0.3 ; zledz=3*zled1 ; yled1=j*3e-6 ; yledz=0.5*yled1 ; % pind=0.400 ; cosind=0.8 ; uind=10 ; fasafaktor=2 ; % ik3=-j*0.3 ; ik1=-j*0.2 ; uk=70 ; % stra=5 ;

186 178 xtraproc=4 ; %--- Valj bastorheter Sb=0.5 ; Ub10=10 ; Ub70=70 ; Ib10=Sb/sqrt(3)/Ub10 ; Ib70=Sb/sqrt(3)/Ub70 ; Zb10=Ub10^2/Sb ; Zb70=Ub70^2/Sb ; %--- Berakna per-unit-varden for Theveninekvivalenten Uthpu=uk/Ub70 ; Zthpu1=uk/Ub70*Ib70/ik3 ; Zthpuz=3*uk/Ub70*Ib70/ik1-2*Zthpu1 ; %--- Berakna per-unit-varden for transformatorn Ztrapu1=j*xtraproc/100*Sb/stra ; Ztrapuz=Ztrapu1 ; %--- Berakna per-unit-varden for ledning Zlpu1 = zled1*l/zb10 ; Zlpuz = zledz*l/zb10 ; Ylpu1 = yled1*l*zb10 ; Ylpuz = yledz*l*zb10 ; AL1 = 1+0.5*Ylpu1*Zlpu1 ; BL1 = Zlpu1 ; CL1 = Ylpu1*(1+0.25*Ylpu1*Zlpu1) ; DL1 = AL1 ; ALz = 1+0.5*Ylpuz*Zlpuz ; BLz = Zlpuz ; CLz = Ylpuz*(1+0.25*Ylpuz*Zlpuz) ; DLz = ALz ; %--- Berakna plusfoljds-fyrpol for kraftnat+trafo+ledning plusmat = [1 Zthpu1 ; 0 1]*[1 Ztrapu1 ; 0 1]*[AL1 BL1 ; CL1 DL1] ; A1= plusmat(1,1) ; B1= plusmat(1,2) ; C1= plusmat(2,1) ; D1= plusmat(2,2) ; UThc=Uthpu/A1 ; ZThC1=B1/A1 ; ZThC2=ZThC1 ; %--- Berakna nollfoljds-fyrpol for trafo+ledning nollmat = [1 Ztrapu1 ; 0 1]*[ALz BLz ; CLz DLz] ; Az= nollmat(1,1) ; Bz= nollmat(1,2) ; Cz= nollmat(2,1) ; Dz= nollmat(2,2) ; ZThCz=Bz/Az ; Zs=[ZThC1 0 0 ; 0 ZThC2 0 ; 0 0 ZThCz] ; %--- Berakna per-unit-varden for industrins impedans under normala forhaallanden Zindpu=uind^2/(pind/cosind)*(cosind+j*sqrt(1-cosind^2))/Zb10 ; Zlds=inv(tmat)*[fasafaktor*Zindpu 0 0 ; 0 Zindpu 0 ; 0 0 Zindpu]*tmat ;

187 179 %--- Berakna symm. komp. for strommarna vid industrin Is=inv(Zs+Zlds)*[UThc ;0 ;0] ; %--- Berakna symm. komp. for spanningen vid industrin Uc=Zlds*Is ; %--- Berakna plusfoljds-spanning och -strom fraan trafo till ledning UBIB1 = [AL1 BL1 ; CL1 DL1]*[Uc(1) ; Is(1)] ; UB1 = UBIB1(1) ; IB1 = UBIB1(2) ; SB1=UB1*conj(IB1)*Sb ; %--- Berakna minusfoljds-spanning och -strom fraan trafo till ledning UBIB2 = [AL1 BL1 ; CL1 DL1]*[Uc(2) ; Is(2)] ; UB2 = UBIB2(1) ; IB2 = UBIB2(2) ; SB2=UB2*conj(IB2)*Sb ; %--- Berakna nollfoljds-spanning och -strom fraan trafo till ledning UBIBz = [ALz BLz ; CLz DLz]*[Uc(3) ; Is(3)] ; UBz = UBIBz(1) ; IBz = UBIBz(2) ; SBz=UBz*conj(IBz)*Sb ; %--- Berakna faskomponenterna for spanningen vid industrin Ucf=tmat*Uc ; %--- Berakna totalt levererad effekt fraan trafon till ledningen Stot=SB1+SB2+SBz ; %--- Exempel 13.3 alfa = exp(j*120*pi/180) ; tmat = [1 1 1 ; alfa*alfa alfa 1 ; alfa alfa*alfa 1 ] ; % l1=2 ; l2=1 ; zled=0.17+j*0.3 ; yled=j*3.2e-6 ; zledz=3*zled ; yledz=0.5*yled ; % pld1=0.500 ; cosld1=0.8 ; uld1=10 ; pld2=0.200 ; cosld2=0.95 ; uld2=0.4 ; %fasafaktor=2 ; % st1=0.8 ; xt1proc=7 ; st2=0.3 ; xt2proc=8 ; %

188 180 %--- Valj bastorheter Sb=0.5 ; Ub10=10 ; Ub04=0.4 ; Ib10=Sb/sqrt(3)/Ub10 ; Ib04=Sb/sqrt(3)/Ub04 ; Zb10=Ub10^2/Sb ; Zb04=Ub04^2/Sb ; % %--- Berakna per-unit-varden for det starka kraftnatet u1=1 ; % %--- Berakna per-unit-varden for transformatorn T1 zt1_1=j*xt1proc/100*sb/st1 ; zt1_z=zt1_1 ; % %--- Berakna per-unit-varden for transformatorn T2 zt2_1=j*xt2proc/100*sb/st2 ; zt2_z=zt2_1 ; % %--- Berakna per-unit-varden for ledning L1 zl1_1 = zled*l1/zb10 ; zl1_2 = zl1_1 ; yl1_1 = yled*l1*zb10 ; zl1_z = zledz*l1/zb10 ; yl1_z = yledz*l1*zb10 ; % %--- Berakna per-unit-varden for ledning L2 zl2_1 = zled*l2/zb10 ; zl2_2 = zl2_1 ; yl2_1 = yled*l2*zb10 ; zl2_z = zledz*l2/zb10 ; yl2_z = yledz*l2*zb10 ; % %--- Berakna per-unit-varden for LD1:s impedans zld1_1=uld1^2/(pld1/cosld1)*(cosld1+j*sqrt(1-cosld1^2))/zb10 ; % %--- Stall upp Y-matrisen for plusfoljdsnatet y22_1=1/zt1_1+1/zl1_1+(yl1_1/2)+1/zl2_1+(yl2_1/2) ; y33_1=1/zl1_1+(yl1_1/2)+1/zld1_1 ; y44_1=1/zl2_1+(yl2_1/2)+1/zt2_1 ; Ybus_1=[1/zT1_1-1/zT1_ ; -1/zT1_1 y22_1-1/zl1_1-1/zl2_1 0 ; 0-1/zL1_1 y33_1 0 0 ; 0-1/zL2_1 0 y44_1-1/zt2_1 ; /zT2_1 1/zT2_1] ; % %--- 2a) Berakna Thevenin-spanningen for knutpunkt 5 Zbus_1=inv(Ybus_1) ; U_Th5=Zbus_1(5,1)*u1/Zbus_1(1,1) ; %

189 %--- 2b) Berakna plusfoljds-thevenin-impedansen Ybus_D1=Ybus_1(2:5,2:5) ; Zbus_D1=inv(Ybus_D1) ; Z_Th5_1=Zbus_D1(4,4) ; % %--- 2c) Berakna minusfoljds-thevenin-impedansen Zbus_D2=Zbus_D1 ; Z_Th5_2=Zbus_D2(4,4) ; % %--- 2d) Berakna nollfoljds-thevenin-impedansen y22_z=1/zt1_z+1/zl1_z+(yl1_z/2)+1/zl2_z+(yl2_z/2) ; y33_z=1/zl1_z+(yl1_z/2) ; y44_z=1/zl2_z+(yl2_z/2)+1/zt2_z ; Ybus_Dz=[y22_z -1/zL1_z -1/zL2_z 0 ; -1/zL1_z y33_z 0 0 ; -1/zL2_z 0 y44_z -1/zT2_z ; 0 0-1/zT2_z 1/zT2_z] ; Zbus_Dz=inv(Ybus_Dz) ; Z_Th5_z=Zbus_Dz(4,4) ; % %--- 3) Berakna per-unit-varden for LD2:s impedans zld2pu=uld2^2/(pld2/cosld2)*(cosld2+j*sqrt(1-cosld2^2))/zb04 ; ZLD2s=inv(tmat)*[fasafaktor*zLD2pu 0 0 ; 0 zld2pu 0 ; 0 0 zld2pu]*tmat ; Zs=[Z_Th5_1 0 0 ; 0 Z_Th5_2 0 ; 0 0 Z_Th5_z] ; I5s=-inv(Zs+ZLD2s)*[U_Th5 ;0 ;0] ; % %--- 4) Berakna symmetriska komponenter for samtliga spanningar UTh2_1=Zbus_1(2,1)*u1/Zbus_1(1,1) + Zbus_D1(1,4)*I5s(1) ; UTh2_2=Zbus_D2(1,4)*I5s(2) ; UTh2_z=Zbus_Dz(1,4)*I5s(3) ; UTh3_1=Zbus_1(3,1)*u1/Zbus_1(1,1) + Zbus_D1(2,4)*I5s(1) ; UTh3_2=Zbus_D2(2,4)*I5s(2) ; UTh3_z=Zbus_Dz(2,4)*I5s(3) ; UTh4_1=Zbus_1(4,1)*u1/Zbus_1(1,1) + Zbus_D1(3,4)*I5s(1) ; UTh4_2=Zbus_D2(3,4)*I5s(2) ; UTh4_z=Zbus_Dz(3,4)*I5s(3) ; UTh5_1=Zbus_1(5,1)*u1/Zbus_1(1,1) + Zbus_D1(4,4)*I5s(1) ; UTh5_2=Zbus_D2(4,4)*I5s(2) ; UTh5_z=Zbus_Dz(4,4)*I5s(3) ; % %--- 5) Berakna plus- minus- och nollfoljdsstrommar genom ledningar. IL1_1=(UTh2_1-UTh3_1)/zL1_1 ; IL1_2=(UTh2_2-UTh3_2)/zL1_2 ; IL1_z=(UTh2_z-UTh3_z)/zL1_z ; IL2_1=(UTh2_1-UTh4_1)/zL2_1 ; IL2_2=(UTh2_2-UTh4_2)/zL2_2 ; IL2_z=(UTh2_z-UTh4_z)/zL2_z ; ILD1_1=UTh3_1/zLD1_1 ; ILD1_2=UTh3_2/zLD1_1 ; ILD1_z=UTh3_z/zLD1_1 ; 181

190 182 % %--- Berakning av verkningsgrad SL1_n2_1=UTh2_1*conj(IL1_1) ; SL1_n2_2=UTh2_2*conj(IL1_2) ; SL1_n2_z=UTh2_z*conj(IL1_z) ; SL1_n2=Sb*(SL1_n2_1+SL1_n2_2+SL1_n2_z) ; SL1_n3_1=UTh3_1*conj(IL1_1) ; SL1_n3_2=UTh3_2*conj(IL1_2) ; SL1_n3_z=UTh3_z*conj(IL1_z) ; SL1_n3=Sb*(SL1_n3_1+SL1_n3_2+SL1_n3_z) ; SL2_n2_1=UTh2_1*conj(IL2_1) ; SL2_n2_2=UTh2_2*conj(IL2_2) ; SL2_n2_z=UTh2_z*conj(IL2_z) ; SL2_n2=Sb*(SL2_n2_1+SL2_n2_2+SL2_n2_z) ; SL2_n4_1=UTh4_1*conj(IL2_1) ; SL2_n4_2=UTh4_2*conj(IL2_2) ; SL2_n4_z=UTh4_z*conj(IL2_z) ; SL2_n4=Sb*(SL2_n4_1+SL2_n4_2+SL2_n4_z) ; verkn=100*( real(sl1_n3)+real(sl2_n4 ))/(real(sl1_n2)+real(sl2_n2))

191 Appendix C Matlab-koder för Exempel 8.10 % Start of file clear, clear global deg=180/pi; maxiter=10; EPS=1e-4; k1=-0.2; k2=1.2; k3=-0.07; k4=0.4; % Step 1 converged=0; iter=0; x=3/deg; while ~converged & iter < maxiter, % Step 2 delta_gx=k4-(k1*x+k2*cos(x-k3)); % Step 3 if all(abs(delta_gx)< EPS), converged=1; iter=iter, xdeg=x*deg else % Step 4 Jac=k1-k2*sin(x-k3); %Jac=dfx/dx; % Step 5 delta_x=inv(jac)*delta_gx; % Step 6 x=x+delta_x; iter=iter+1; end, % if all if iter==maxiter, iter=iter, disp( The equation has no solutions ) disp( or ) disp( bad initial value, try with another initial value ) end, % iter end, % while % End of file 183

192 184

193 Appendix D Matlab-koder för Exempel 8.12 % Start of file clear, clear global deg=180/pi; rad=1/deg; nbus=3; %Number of buses %Step 1 % 1a) U1=1; theta1=0; PD1=0; QD1=0; U2=1; PG2=2; PD2=1; QD2=0.2; PG3=0; QG3=0; PD3=2; QD3=-0.4; Z12=j*0.2; y12=1/z12; Z13=j*0.4; y13=1/z13; Z23=j*0.5; y23=1/z23; y11=y12+y13; y22=y12+y23; y33=y13+y23; %1b) Y=[y11 -y12 -y13 ; -y12 y22 -y23 ; -y13 -y23 y33]; G=real(Y); B=imag(Y); PGD2=PG2-PD2; PGD3=PG3-PD3; QGD3=QG3-QD3; %1c) %Bus 1 is slack bus %Bus 2 is PU-bus %Bus 3 is PQ-bus bus1=1; bus2=2; bus3=3; n_pu_pq=2; %number of PU-buses and PQ-buses PGD=[PGD2;PGD3]; QGD=[QGD3]; %1d) theta2=0; U3=1; theta3=0; iter=0; VOLT=[U1;U2;U3]; ANG=[theta1;theta2;theta3]; while iter <4 % Step 2 %2a) for m=1:nbus for n=1:nbus PP(m,n)=VOLT(m)*VOLT(n)*(G(m,n)*cos(ANG(m)-ANG(n))+B(m,n)*sin(ANG(m)-ANG(n))); QQ(m,n)=VOLT(m)*VOLT(n)*(G(m,n)*sin(ANG(m)-ANG(n))-B(m,n)*cos(ANG(m)-ANG(n))); 185

194 186 end, %for n end, % for m P=sum(PP ); Q=sum(QQ ); %2b) deltap=pgd-p([bus2 bus3]) ; deltaq=qgd-q([bus3]) ; % Step 4 %4a) for m=1:nbus for n=1:nbus if m==n, H(m,m)=-Q(m)-B(m,m)*VOLT(m)*VOLT(m); N(m,m)= P(m)+G(m,m)*VOLT(m)*VOLT(m); J(m,m)= P(m)-G(m,m)*VOLT(m)*VOLT(m); L(m,m)= Q(m)-B(m,m)*VOLT(m)*VOLT(m); else H(m,n)= VOLT(m)*VOLT(n)*(G(m,n)*sin(ANG(m)-ANG(n))-B(m,n)*cos(ANG(m)-ANG(n))); N(m,n)= VOLT(m)*VOLT(n)*(G(m,n)*cos(ANG(m)-ANG(n))+B(m,n)*sin(ANG(m)-ANG(n))); J(m,n)=-VOLT(m)*VOLT(n)*(G(m,n)*cos(ANG(m)-ANG(n))+B(m,n)*sin(ANG(m)-ANG(n))); L(m,n)= VOLT(m)*VOLT(n)*(G(m,n)*sin(ANG(m)-ANG(n))-B(m,n)*cos(ANG(m)-ANG(n))); end, %if end, %for n end, % for m H(bus1,:)=[]; H(:,bus1)=[]; N(bus1,:)=[]; N(:,[bus1 bus2])=[]; J([bus1 bus2],:)=[]; J(:,bus1)=[]; % L([bus1 bus2],:)=[] ; L(:,[bus1 bus2])=[]; JAC=[H N ; J L]; % Step 5 %5a) DX=inv(JAC)*[deltaP;deltaQ]; delta_theta=dx(1:n_pu_pq); delta_u=dx(n_pu_pq+1:length(dx)); % Step 6 %6a) iter=iter+1; ANG([bus2 bus3])=ang([bus2 bus3])+delta_theta; VOLT([bus3])=VOLT([bus3]).*(1+delta_U); end, %while % Step 3

195 187 %3b) for m=1:nbus for n=1:nbus PP(m,n)=VOLT(m)*VOLT(n)*(G(m,n)*cos(ANG(m)-ANG(n))+B(m,n)*sin(ANG(m)-ANG(n))); QQ(m,n)=VOLT(m)*VOLT(n)*(G(m,n)*sin(ANG(m)-ANG(n))-B(m,n)*cos(ANG(m)-ANG(n))); end, %for n end, % for m P=sum(PP ); Q=sum(QQ ); PG1=P(bus1)+PD1, QG1=Q(bus1)+QD1, QG2=Q(bus2)+QD2, % End of file