Statisk Analys av Elsystem

Transkript

1 Statisk Analys av Elsystem Lennart Söder Elektriska energisystem KTH Januari 2005

2 ii

3 Innehåll Förord vii 1 Inledning 1 2 Elkraftsystemets uppbyggnad Utvecklingen av det svenska elsystemet Elkraftsystemets struktur Växelspänning Enfas växelspänning Komplex effekt Symmetrisk trefas växelspänning Modeller av elsystemkomponenter Elektrisk karakteristik för en kraftledning Resistans Shuntkonduktans Induktans Shuntkapacitans Modell för kraftledning Korta ledningar Medellånga ledningar Enfastransformatorn Trefastransformatorn iii

4 iv 5 Viktiga teorem för analys av elsystem Nodanalys, admittansmatriser Millmans teorem Superpositionsteoremet Reciprocitetsteoremet Thévenins teorem Analys av symmetriska trefassystem Enlinje-schema och impedans-nät Per-unit (PU) systemet Per-unit representation av transformatorer Beräkningar med hjälp av per-unit Effektöverföring till impedanslaster Fyrpolsteori Symmetriska fyrpoler Kraftledningsmodell Modell för förenklad ledning och transformator Anslutning till kraftnät Generell metod för beräkningar i symmetriska trefassystem med impedanslaster Utvidgad metod att utnyttjas vid effektlaster Ickelinjär statisk analys Effektflöden på en ledning Ledningsmodell med rektangulär längsimpedans Ledningsförluster Shuntkondensatorer och shuntreaktorer Seriekondensatorer Effektflödesberäkningar i elsystem (belastningsfördelning)

5 v 8.3 Belastningsfördelning för en ledning Utjämningsnod + PU-nod Utjämningsnod + PQ-nod Newton-Raphsons metod Teori Tillämpning i kraftsystem Belastningsfördelningsberäkning (BFB) med Newton-Raphsons metod Analys av trefassystem med hjälp av linjära transformationer Linjära transformationer Effektinvarians Koefficientmatrisen i originalrummet Koefficientmatrisen i bildrummet Exempel på linjära transformationer som används vid analys av trefassystem Symmetriska komponenter Clarkes komponenter Parks transformation Rumsvisarkomponenter Symmetriska komponenter Definitioner Effektberäkningar vid osymmetriska förhållanden Ledningsmodell för osymmetrisk trefas Längsimpedans för enfas friledning Längsimpedans för trefas friledning Symmetriska komponenter för en trefaslednings längsimpedans Ekvivalent schema för en lednings längsinduktans Tvärkapacitans för en trefasledning

6 vi 12 Transformatormodell för osymmetrisk trefas Analys av osymmetriska trefassystem Lastmodell för osymmetrisk analys Anslutning till kraftnät under osymmetriska förhållanden Enfasig kortslutning till jord Analys av kraftsystem med en osymmetrisk last Generell metod för beräkningar i trefassystem med impedanslaster där en av lasterna är osymmetrisk Övertoner i elsystem 153 A Nätdimensionering 159 A.1 Sannolikhetsbaserad nätdimensionering A.2 Nätdimensionering baserad på elkvalitet A.2.1 Avbrott i kraftförsörjningen A.2.2 Spänningsvariationer A.2.3 Övertoner A.2.4 Mellantoner A.2.5 Kommuteringshack A.2.6 Osymmetrier A.2.7 Transienter A.2.8 Frekvensavvikelser A.2.9 Nätimpedans A.3 Nätdimensionering baserad på ekonomisk area B MATLAB-filer för exemplen 7.2, 7.3, 13.2 och C Matlab-koder för Exempel D Matlab-koder för Exempel

7 Förord Förord till 7:e upplagan Första upplagan till detta kompendium skrevs under sommaren Kompendiet har sedan dess använts i olika teknologkurser vid Institutionen för Elektrotekniska system (ETS) vid Kungliga Tekniska Högskolan i Stockholm, vid Högskolorna i Skellefteå och Kalmar, samt i en kurs vid ABB T&D University. Författaren vill rikta ett stort tack till professor Göran Andersson samt alla doktorander och teknologer vid institutionen samt lärare i Skellefteå och Kalmar som har kommit med värdefulla kommentarer samt idéer till förbättringar och utvidgningar. Lennart Söder Januari 2005 vii

8 viii

9 Kapitel 1 Inledning I detta kompendium behandlas modeller och beräkningsmetoder för statiska förhållanden i elsystem. I kapitel 2 beskrivs hur elkraftsystemet är uppbyggt och kapitel 3 behandlar den grundläggande växelströmsteorin. Modeller för kraftledningar och transformatorer utvecklas i kapitel 4 och i kapitel 5 beskrivs några viktiga teorem som används vid analys av trefaskretsar. I kapitel 6 och 7 används bl a dessa till att utföra beräkningar i elsystem under symmetriska förhållanden. Kapitel 5-7 bygger på att man kan beskriva laster i elsystemet såsom impedanser. Detta leder till linjära förhållanden vilket ger relativt enkla lösningsmetoder. I vissa situationer är det mer relevant att beskriva elsystemets laster med effekter. Hur elsystemet analyseras under dessa förhållanden beskrivs närmare i kapitel 8. I kapitel 9 ges en översyn till möjligheterna att utnyttja linjära transformationer för att förenkla beräkningar i elsystem. I kapitel beskrivs grunderna för analys under osymmetriska förhållanden. Vid osymmetrisk analys utnyttjas normalt symmetriska komponenter vilka beskrivs utförligt i kapitel 10. Vid osymmetriska förhållanden måste ledningar, kablar och transformatorer få en noggrannare beskrivning vilket behandlas i kapitel I kapitel 13 beskrivs hur ett osymmetriskt trefasnät med impedanslaster kan analyseras. Kapitel 3 13 förutsätter att man i elsystemet har en konstant frekvens och linjära komponenter dvs sinusformade spänningar ger upphov till sinusformade strömmar. Med olinjära komponenter, såsom t ex kraftelektronik, i systemet uppstår icke rent sinusformade strömmar och spänningar. Vilka effekter det kan få på ett elsystem beskrivs översiktligt i kapitel 14. 1

10 2

11 Kapitel 2 Elkraftsystemets uppbyggnad 2.1 Utvecklingen av det svenska elsystemet Det svenska kraftsystemet uppstod vid tiden för det första världskriget kring ett antal vattenkraftstationer, Porjus i Norrland, Älvkarleby i östra Svealand, Motala i mellersta Svealand samt Trollhättan i Götaland. Produktionskällorna kompletterades så småningom också med koleldade kraftstationer i de större städerna Stockholm, Göteborg, Malmö samt Västerås. Vid tiden för det andra världskriget framlades ett omfattande program för utbyggnad av den norrländska vattenkraften. För att överföra denna till mellersta och södra Sverige, till vilka delar den tunga metallindustrin var lokaliserad, planerades ett 220 kv överföringssystem gående från norr till söder. Idag har vi ett väl utbyggt överföringssystem med en systemspänning på 220 eller 400 kv. Överföringssystemet består, grovt beskrivet, av ledningar, transformatorer och kopplingsstationer (ställverk). Ett kraftverk kan ha en installerad effekt på drygt 1000 MW (Forsmark 3 och Oskarshamn 3) medan en enskild konsument kan ha ett effektuttag på några kw. Detta innebär att vi i Sverige producerar elkraft på ett fåtal platser i hela landet medan förbrukningen, som uppvisar stora variationer i enskilda effektuttag, har en stor geografisk spridning. I figur Kärnkraft TWh/år Konv värm.kr. 50 Vattenkraft Figur 2.1. Sveriges elproduktion visas hur elproduktionen i Sverige har utvecklats under de senaste 50 åren. Vattenkraften var i början av denna period den helt dominerande elkällan fram till mitten av 60-talet då en del konventionell värmekraft (oljeeldade kraftverk, industriellt mottryck mm) började 3

12 4 komma in i systemet. Mot mitten av 70-talet startade de första kärnkraftverken och detta kraftslag har sedan stått för det dominerande tillskottet av elektrisk energi. På senare år har dock trenden med en ständigt starkt ökande elförbrukning brutits. Den 30:e november 1999 stängdes kärnkraftverket Barsebäck 1 efter ett politiskt beslut. I tabell 2.1 visas hur den svenska elproduktionen såg ut år Kraftslag Energiproduktion Installerad effekt TWh = 10 9 kwh MW Vattenkraft Kärnkraft Industrimottryck Kraftvärme Oljekondens Gasturbiner Vindkraft Totalt Tabell 2.1. Sveriges elproduktion 2000 Den totala elkonsumtionen brukar delas in i olika kategorier. I figur 2.2 visas hur denna har utvecklats under de senaste 50 åren. Som framgår av figuren så har industrin tidigare stått för den dominerande delen av elförbrukningen. I och med kärnkraftens introduktion i början på 70-talet så har även elvärmen ökat starkt. Innan 1965 ingår den i övrigsektorn. Samfärdsel, dvs tåg, spårvägar och tunnelbana, har från 1950 till 1997 ökat från 1.4 TWh/år till ca 2.2 TWh/år. 150 Förluster 100 Elvärme TWh/år 50 Övrigt Industri Samfärdsel Figur 2.2. Sveriges elkonsumtion I andel av elkonsumtionen har den sjunkit från 7.4 % till 1.6 % under samma period.

13 5 Förlusterna på transmissions- och distributions näten har från sjunkit från drygt 10 % av total konsumtion till ca 7 %. 2.2 Elkraftsystemets struktur Ett kraftsystem består av produktionskällor som via kraftledningar och transformatorer överför elkraften till de slutliga konsumenterna. Elsystemet mellan producenter och konsumenter delas in i olika delar enligt figur 2.3. ~ Transmissionsnät kv (Svenska Kraftnät) Subtransmissionsnät kv ~ Distributionsnät för primär fördelning kv Distributionsnät för sekundär fördelning lågspänning 230/400 V Figur 2.3. Elkraftsystemets struktur Transmissionsnätet, som i Sverige kallas storkraftnätet, förbinder alla stora energikällor och överför stora energimängder. Det svenska transmissionsnätet består av ca km ledningar, och är på 23 ställen förbundna med utlandet. I figur 2.4 visas en översiktsbild över det svenska och grannländernas transmissionssystem. Den primära uppgiften för transmissionssystemet är att överföra energi från produktionscentra till konsumtionscentra. Om man dessutom vill uppnå någon högre grad av effektivitet och tillförlitlighet måste även andra aspekter beaktas. Överföringssystemet skall t ex göra det möjligt att optimera produktionen inom landet samt möjliggöra handel med utlandet. Dessutom är det nödvändigt att klara av ledningsbortkopplingar, blixtnedslag, bortfall av kraftverk samt oväntade elförbrukningsvariationer utan att spänningens kvalitet minskas. Som framgår av figur 2.4 så är transmissionsnätet maskat dvs det finns många parallella transmissionsvägar. Sedan den 1 januari 1992 är det det statliga affärsverket Svenska Kraftnät som ansvarar för samtliga 400 kv ledningar och större delen av 220 kv ledningarna. Dessutom äger man och ansvarar för de svenska utlandsförbindelserna som fanns vid bildandet (alltså ej Baltic Cable mellan Sverige och Tyskland), samt all transformering mellan 400 kv och 220 kv. Subtransmissionsnät, i Sverige kallade regionnät har i varje belastningsregion helt eller delvis

14 6 samma uppgifter som transmissionsnätet. Energimängder och överföringsavstånd är dock mer begränsade än för transmissionsnäten, och tekniskt ekonomiska rimliga driftspänningar har därför lägre värden. De är anslutna till transmissionsnätet i normalt högst två nätpunkter. Distributionsnät, även kallat fördelningsnät överför och fördelar den elkraft som tas ut från ett subtransmissionsnäts fördelningsstationer till slutförbrukare av elkraft. Distributionsnäten drivs normalt radiellt dvs det finns endast en specifik matningsväg till varje enskild konsument. Olika slutförbrukares elkraftuttag varierar mycket liksom vid vilken spänningsnivå uttaget sker. Allmänt gäller att ju större en belastning är, desto högre är den spänning vid vilken den tas ut. Figur 2.4. Transmissionsnätet i Nordvästeuropa

15 7 De nominella systemspänningarna (effektivvärde för trefas huvudspänning) som utnyttjas för distribution av högspänd elkraft är normalt lägre än de som utnyttjas för transmission. I figur 2.5 visas de spänningsnivåer som utnyttjas i Sverige. I speciella industrinät används, förutom de spänningar som visas i figur 2.5, även 660 V och den icke normerade spänningen 500 V. Distribution av lågspänd elkraft till förbrukarna sker i trefasledningar med neutralledare, varvid spänningen 400/230 V (huvudspänning/fasspänning) brukar användas. ~ transmissionsnät Nominell spänning kv Benämning ultrahög spänning (UHV) extrahög spänning (EHV) subtransmissionsnät fördelningsnät högspänning högspänning endast industrinät fördelningsnät lågspänning 400/230 V lågspänning Figur 2.5. Standardspänningar för transmission och distribution. I Sverige utnyttjas maximalt 400 kv

16 8

17 Kapitel 3 Växelspänning I detta kapitel sammanfattas de grundläggande egenskaperna för växelspänning växelström och effektstorheter i symmetriska trefassystem. 3.1 Enfas växelspänning Antag att en växelspänningskälla matar en impedans enligt figur 3.1. Växelspänningen u ger i(t) + u(t) ~ X R Z=R+jX Figur 3.1. Enfas växelspänningsmatning av impedans upphov till växelströmmen i. Dessa storheter varierar med tiden enligt u(t) = U M cos ωt i(t) = I M cos(ωt φ) (3.1) där U M = toppvärdet för spänningen I M = U M Z = U M = toppvärdet för strömmen Z ω = 2πf där f är frekvensen φ = arctan X R = fasförskjutning mellan spänning och ström Den momentana effekten som impedansen Z i figur 3.1 konsumerar är p(t) = u(t) i(t) = U M I M cos ωt cos(ωt φ) = = U M I M cos ωt [cos ωt cos φ + sin ωt sin φ] = = UM 2 I M 2 [(1 + cos 2ωt) cos φ + sin 2ωt sin φ] = (3.2) = P (1 + cos 2ωt) + Q sin 2ωt 9

18 10 där P = UM 2 I M 2 cos φ = aktiv effekt Q = UM 2 I M 2 sin φ = reaktiv effekt Som framgår av ekvation (3.2) kan den momentana effekten delas upp i två delar. En del med medelvärdet P som pulserar med dubbla frekvensen och en del med amplituden Q som också pulserar med dubbla frekvensen. I figur 3.2 visas spänningen, strömmen och effekten som funktion av tiden. I figuren gäller beteckningen U = UM 2 och I = IM 2. p(t) u(t) i(t) UIcosφ tid (t) φ p(t) I II UIcosφ UIsinφ tid (t) Figur 3.2. Spänningen, strömmen och effekten som funktion av tiden Spänningens respektive strömmens effektivvärde, även kallat RMS-värde (RMS = Root Mean Square) definieras enligt 1 T U = u(t) T 2 dt (3.3) 0 1 T I = i(t) T 2 dt (3.4) Med sinusformad spänning och ström enligt ekvation (3.1) kan de respektive effektivvärdena beräknas enligt 1 T U = UM 2 1 T ( ) 1 cos 2ωt T cos2 ωt = U M + = UM (3.5) 0 T T I = IM 2 T cos2 (ωt φ) = IM (3.6) 2 0 0

19 11 Exempel 3.1 Vilken medeleffekt utvecklar en resistor om 1210 Ω som matas med en 50 Hz växelspänning med effektivvärdet 220 V. Lösning Den utvecklade effekten i resistorn kan beräknas som tidsmedelvärdet under en period enligt P = 1 T T 0 R i 2 (t)dt = 1 T T vilket kan skrivas om enligt ekvation (3.3) som 0 R u2 (t) R 2 dt = 1 1 R T P = 1 R U 2 = = 40 W T 0 u 2 (t)dt 3.2 Komplex effekt För beräkning erbjuder den komplexa metoden ett kraftfullt hjälpmedel varvid effektstorheter kan behandlas på ett elegant sätt. Den komplexa enfasiga spänningen samt strömmen kan uttryckas enligt där U = Ue j arg(u) U = komplex spänning I = Ie j arg(i) (3.7) U = U M / 2 = spänningens effektivvärde I = komplex ström Den komplexa effekten definieras enligt där I = I M / 2 = strömmens effektivvärde S = Se j arg(s) = P + jq = UI = UIe j(arg(u) arg(i)) (3.8) S = komplex effekt Med fasvinklar på spänning och ström enligt ekvation (3.1) dvs arg(u) = 0 och arg(i) = φ erhålls med ekvation (3.8) S = P + jq = UI = UIe jφ = UI(cos φ + j sin φ) (3.9) Härur följer att P = S cos φ = UI cos φ Q = S sin φ = UI sin φ dvs P = aktiv effekt och Q = reaktiv effekt. (3.10)

20 12 Exempel 3.2 Beräkna effektförbrukningen i en induktans på 3.85 H som matas med en 50 Hz växelspänning med effektivvärdet 220 V. Lösning Induktansens impedans kan först beräknas enligt Z = jωl = j 2 π = j1210 Ω Den komplexa strömmen som flyter genom induktansen kan beräknas enligt I = U Z = 220 j1210 = j A varifrån den komplexa effekten kan beräknas enligt dvs P = 0 W, Q = 40 VAr. S = UI = 220( j0.1818) = 220(j0.1818) = j40 VA Exempel 3.3 Två seriekopplade impedanser matas med en spänning med effektivvärdet 1 V enligt figuren. U 1 = 1 V 1 Z 1 = j0.2 Ω 2 I U 2 = U 2 θ 2 Z 2 = j0.2 Ω Figur 3.3. Schema till exempel 3.3 a) Beräkna Z 2 :s effektförbrukning samt cosφ i nod 1 och 2 där φ k är fasförskjutningen mellan spänning och ström i nod k. b) Beräkna U 2 när Z 2 är kapacitiv : Z 2 = 0.7 j0.5 Lösning a) I = U 1 Z 1 + Z 2 = A dvs φ 1 = och cosφ 1 = induktivt, eftersom strömmen ligger efter spänningen. U 2 = Z 2 I =

21 13 dvs φ 2 = φ 1 θ 2 = och cosφ 2 = , induktivt. Ekvationen ovan kan skrivas om polärt enligt U 2 = Z 2 I dvs φ 2 = arg(z 2 ) = arctan X R = θ 2 = arg(z 2 ) + φ 1 θ 2 φ 1 φ 2 U 1 R I U 1 U 2 = U 1 R I jx I I Figur 3.4. Lösning till exempel 3.3a Effektförbrukningen i Z 2 kan beräknas enligt eller S 2 = P 2 + jq 2 = Z 2 I 2 = (0.7 + j0.2) = j0.25 VA S 2 = P 2 + jq 2 = U 2 I = = j0.25 VA U 1 = 1 V 1 Z 1 = j0.2 Ω 2 I U 2 = U 2 θ 2 Z 2 = 0.7 j0.5 Ω b) U 2 = Z 2 Z 1 + Z U 1 = 2 Slutsatser från detta exempel är att Figur 3.5. Lösning till exempel 3.3b 0.7 j j0.3 = = = V

22 14 kapacitanser höjer spänningen - så kallad faskompensering aktiv effekt kan skickas mot högre spänning cosφ är olika i olika ändar på en ledning ledningars impedanser lasters impedanser 3.3 Symmetrisk trefas växelspänning Symmetrisk trefas växelspänning innebär att man har tre sinusformade spänningar som är sinsemellan fasförskjutna med 120, och har samma toppvärde i förhållande till nollan. Tidsstorheterna för de tre spänningarna är u a (t) = U M cos ωt u b (t) = U M cos(ωt 120 ) (3.11) u c (t) = U M cos(ωt ) I figur 3.6 visas de tre spänningarna u a (t), u b (t) och u c (t). ua(t) ub(t) uc(t) uab(t) Figur 3.6. De symmetriska spänningarna u a (t), u b (t), u c (t) och u ab (t), f =50 Hz, U M = 1 I trefassammanhang brukar man ofta utnyttja spänningen mellan två faser, den så kallade huvudspänningen. Spänningen u ab mellan fas a och b kan skrivas som u ab (t) = u a (t) u b (t) = U M cos ωt U M cos(ωt 120 ) = (3.12) = 3U M cos(ωt + 30 )

23 15 dvs huvudspänningen har en amplitud (och därmed effektivvärde, se ekvation (3.5)) som är 3 gånger större än fasspänningens amplitud. Ett exempel är lågspänningsdistribution där fasspänningens effektivvärde är 230 V och huvudspänningens effektivvärde är = 400 V. Ekvation (3.12) visar också att u ab ligger 30 före spänningen u a. Huvudspänningen u ab visas längst ner i figur 3.6. Med antagandet att fasförskjutningen mellan spänning och ström är φ (lika i varje fas pga symmetri) erhålls följande uttryck för de tre fasströmmarna : i a (t) = I M cos(ωt φ) i b (t) = I M cos(ωt 120 φ) (3.13) i c (t) = I M cos(ωt φ) För den totala symmetriska trefasiga effekten gäller : p 3 (t) = p a (t) + p b (t) + p c (t) = u a (t)i a (t) + u b (t)i b (t) + u c (t)i c (t) = = UM 2 I M 2 [(1 + cos 2ωt) cos φ + sin 2ωt sin φ] + + UM 2 I M 2 [(1 + cos 2[ωt 120 ]) cos φ + sin 2[ωt 120 ] sin φ] + (3.14) + UM 2 I M 2 [(1 + cos 2[ωt ]) cos φ + sin 2[ωt ] sin φ] = = 3 UM I M [cos φ + (cos 2ωt + cos 2[ωt 120 ] + cos 2[ωt ]) }{{} ] + (sin 2ωt + sin 2[ωt 120 ] + sin 2[ωt ]) }{{} =0 =0 = 3 UM 2 I M 2 cos φ dvs den är konstant och pulserar inte vilket den enfasiga effekten gör. Detta är en mycket viktig anledning till att elkraft normalt överförs med tre faser. Motsvarande komplexa storheter är för spänningar : U a = U f 0 U b = U f 120 (3.15) U c = U f 120 De symmetriska spänningarna visas i figur 3.7. I figuren visas även de tre huvudspänningarna U ab, U bc och U ca som även dessa tillsammans bildar ett symmetriskt trefassystem dvs de har samma amplitud och är sinsemellan fasförskjutna med 120. På samma sätt som för tidsuttrycken kan det komplexa uttrycket för huvudspänningen U ab skrivas som U ab = U a U b = U f (1 e j120 ) = 3U f 30 (3.16) varvid visats att huvudspänningens effektivvärde är 3 gånger större än fasspänningens effektivvärde.

24 16 U c U ca +120 o U bc U a 120 o U ab U b Figur 3.7. De symmetriska spänningarna U a, U b, och U c samt huvudspänningar För strömmarna blir de komplexa uttrycken enligt följande : och för den totala trefasiga effekten : I a = I (0 φ) I b = I ( 120 φ) (3.17) I c = I (120 φ) S 3 = U a I a + U b I b + U c I c = 3U f I cos φ + j3u f I sin φ = = 3U f Ie jφ (3.18) I ekvation (3.18) avser U f effektivvärdet av fasspänningen. Om man istället utnyttjar huvudspänningens belopp U = 3U f erhålls S 3 = 3UIe jφ = 3Ue j arg(u) Ie j(arg(u) δ = 3UI (3.19) När man i trefassammanhang nämner en spänningsnivå, t ex 10 kv, så avses normalt effektivvärdet av huvudspänningen. Detta gäller även i detta kompendium. Vad som också normalt gäller är att man till en spänning, som har huvudspänningens belopp, ansätter en vinkel. Denna vinkel avser normalt fasspänningens vinkel. Detta gäller även i detta kompendium. Exempel 3.4 Teknologen Elektra bor i ett hus 2 km från en transformator där en fullständigt symmetrisk trefas-spänning kan erhållas (U a = 220V 0, U b = 220V 120, U c = 220V 120 ). Huset är anslutet till denna transformator via en trefas kabel (EKKJ, 3 16 mm mm 2 ). Det är kallt och Elektra har anslutit två 1000 W elradiator (vid 220 V med cosφ = induktivt) till varje fas. Antag att kabeln kan beskrivas med fyra parallella impedanser ( z L = j0.08 Ω/fas,km, z L0 = j0.015 Ω/km) och att elradiatorerna kan betraktas som impedanser. Beräkna den erhållna värmeeffekten i huset.

25 17 I a U a o Z o L I U b a U b o Z L o I c U b U o Z o c L I U 0 c U o Z 0 L0 o U 0 Z a Z b Z c Figur 3.8. Nätschema för exemplet Lösning U a = V, U b = V, U c = V Z L = 2( j0.08) = j0.16 Ω Z L0 = 2( j0.015) = j0.03 Ω P a = P b = P c = 2000 W (vid 220 V, cos φ = 0.995) sin φ = 1 cos 2 φ = Q a = Q b = Q c = S sin φ = cos P sin φ = VAr φ Z a = Z b = Z c = U = U 2 /S = U 2 /(P I a jq a ) = j2.40 Ω = U U I U I a = U a U 0 Z L +Z a I b = U b U 0 Z L +Z b I c = U c U 0 Z L +Z c I a + I b + I c = U 0 U 0 Z L0 [ U 0 U 0 = 0.0 = U 0 0 Z L0 ] Z L0 Z L +Z a Z L +Z b Z L +Z c = U a Z L +Z a + U b Z L +Z b + U c Z L +Z c I a = A, I b = A, I c = A Den matande spänningen till elradiatorerna kan beräknas enligt : U a = U 0 + I a Z a = U b = U c = V V 0.15 V Slutligen kan effekten i radiatorerna beräknas enligt S za = Z a I 2 a = j167 VA S zb = Z b I 2 b = j167 VA S zc = Z a I 2 c = j167 VA Den totala konsumerade effekten blir

26 18 S za + S zb + S zc = j502 VA, dvs värmeeffekten = 4998 W De totala transmissionsförlusterna blir Z L (I 2 a + I 2 b + I2 c ) + Z L0 I a + I b + I c 2 ) = j33 VA dvs aktiva förlusterna är 480 W, vilket innebär en verkningsgrad på 91.2 %. Som framgår av exempel 3.4 så ger en symmetrisk spänning som matar en symmetrisk impedans upphov till en symmetrisk ström. Dessutom blir det ingen ström i returledaren. Eftersom spänningen i husets nollpunkt = 0 så är det möjligt att göra beräkningar för en fas i taget utan hänsyn till de andra faserna. Totala effektförbrukningen kan beräknas som 3 gånger effektförbrukningen i en fas. Exempel 3.5 Antag samma exempel som 3.4 men med den skillnaden att teknologen Elektra istället ansluter en 1000 W elradiator (vid 220 V med cosφ = induktivt) till fas a, 3 stycken till fas b och 2 till fas c. Beräkna den erhållna värmeeffekten i huset. Lösning U a = V, U b = V, U c = V Z L = 2( j0.08) = j0.16 Ω Z L0 = 2( j0.015) = j0.03 Ω P a = 1000 W (vid 220 V, cos φ = 0.995) sin φ = 1 cos 2 φ = Q a = S sin φ = cos P sin φ = VAr φ Z a = U 2 /S a = U 2 /(P a jq a ) = j4.81 Ω Z b = Z a /3 = j1.60 Ω Z c = Z a /2 = j2.40 Ω [ ] U Z L0 Z L +Z a Z L +Z b Z L +Z c U 0 = V = U a Z L +Z a + U b Z L +Z b + U c Z L +Z c I a = A, I b = A, I c = A Spänningen vid elradiatorerna kan beräknas enligt : U a = U 0 + I a Z a = U b = U 0 + I b Z b = U c = U 0 + I c Z c = V V V Observera att dessa spänningar inte är lokala fasspänningar eftersom dessa beräknas som U a U 0 osv. Effekten i radiatorerna kan nu beräknas enligt S za = Z a I 2 a = j101 VA S zb = Z b Ib 2 = j210 VA

27 19 S zc = Z a I 2 c = j166 VA Den totala konsumerade effekten blir S za + S zb + S zc = j477 VA, dvs värmeeffekten är 4754 W De totala transmissionsförlusterna blir Z L (I 2 a + I 2 b + I2 c ) + Z L0 I a + I b + I c 2 ) = j36 VA, dvs W vilket innebär en verkningsgrad på 89.3 %. Som framgår av detta exempel så medför en osymmetrisk impedans en osymmetrisk ström. Dessutom uppstår en spänning i nollan i huset vilket ger en ström i returledaren. Den totalt erhållna värmeeffekten i huset sjönk med ca 5 % och ledningsförlusterna ökade bl a beroende på förluster i noll-ledaren. Verkningsgraden på transmissionen minskade. Det kan noteras i detta exempel att effekten per radiator minskar med ökat antal radiatorer anslutna till samma fas. Detta beror på att spänningen i nollpunkten hamnar närmast den fas med lägst impedans dvs flest antal radiatorer.

28 20

29 Kapitel 4 Modeller av elsystemkomponenter Elektrisk energi överförs från kraftverk till konsumenter via friledningar, kablar och transformatorer. Nedan behandlas hur dessa komponenter i kraftsystemet kan beskrivas med matematiska modeller som kan användas vid symmetrisk trefas. För osymmetrisk analys hänvisas till kapitel 11 och Elektrisk karakteristik för en kraftledning Friledningar kräver stora markutrymmen och är bäst lämpade att användas på landsbygden och i glest befolkade områden medan kablar lämpar sig bäst i stadsområden och tätbebyggda trakter. För överföring av lika stor effekt är anläggningskostnaden för kabel i storleksordningen 10 ggr så stor som för friledning. Kraftledningar har resistans r på grund av ledarresistivitet och shuntkonduktans g på grund av läckströmmar i isolationen. Vidare har de induktans l på grund av de magnetiska fält som omger ledningen samt shuntkapacitans c på grund av det elektriska fältet mellan ledarna och mellan ledarna och jord. Dessa storheter anges per längdenhet och är kontinuerligt fördelade längs ledningens hela längd. Resistans och induktans ligger i serie och konduktans och kapacitans har karaktären av shuntar. Med antagande om symmetrisk trefas kan en principskiss för kraftledningens utseende skissas enligt figur 4.1. Storheterna r, g, l, och c bestämmer en kraftlednings egenskaper. Ledningar kan avbildas med enkla ekvivalenta kretsar vilka tillsammans med modeller för övriga systemkomponenter kan utgöra en modell för hela kraftsystemet eller delar därav. Detta är viktigt eftersom sådana modeller används för att analysera aktiva och reaktiva effektflöden i nätet, spänningsfall, förluster, kraftsystemets stabilitet och andra egenskaper vid störningar som t ex kortslutningar. l r l r l r l r c g c g c g c g Figur 4.1. En kraftledning med utefter sin längd fördelade storheter För de exakta härledningarna av nedanstående uttryck för induktans och kapacitans hänvisas till grundläggande litteratur i teoretisk elektroteknik. 21

30 Resistans Resistansen hos en ledare med tvärsnittsarean A mm 2 och resistiviteten ρ Ωmm 2 /km är r = ρ A Ω/km (4.1) Ledarmaterialet är antingen koppar vars resistivitet vid 20 är 17.2 Ωmm 2 /km, eller aluminium vars resistivitet vid 20 är 27.0 Ωmm 2 /km. Valet mellan aluminium och koppar betingas enbart av prisrelationerna. Den effektiva växelströmsresistansen vid normal nätfrekvens (50-60 Hz) hos ledningar med liten tvärsnittsarea ligger mycket nära värdet på DC-resistansen. Vid grövre areor blir strömtätheten ej jämnt fördelad över hela tvärsnittet. Man får en koncentration av strömtätheten i de perifera delarna av ledaren. Detta fenomen kallas strömförträngning eller skineffekt och beror på ledarens inre magnetiska flöde. De strömbanor som ligger i centrum av ledaren omkretsas av hela det inre flödet och får en mot detta svarande inre självinduktans. Strömbanor som ligger mer perifert kommer inte att omslutas av lika stort inre flöde och får följdaktligen en lägre inre induktans. En lednings resistans finns angiven i tillverkarens tabeller i vilka hänsyn tagits till skineffekten. Ledningars resistans har ett värde som ligger mellan Ω/km. Resistansen spelar ofta, i förhållande till reaktansen, en underordnad roll i fråga om högspända kraftledningars överföringsförmåga och spänningsfall. Hos ledningar för lägre spänning och vid förlustberäkningar är dock resistansen av stor betydelse Shuntkonduktans Shuntkonduktansen hos en friledning representerar förluster på grund av läckströmmar längs isolatorkedjor. Det finns inga tillförlitliga data över shuntkonduktanser för friledningar och dessa är i mycket hög grad beroende av fuktighet, salthalt och föroreningar i den omgivande luften. För kablar representerar shuntkonduktansen förluster i det dielektriska isolationsmaterialet och data fås i tillverkaren tabeller. De dielektriska förlusterna är t ex för en 12 kv PEX kabel med arean 240 mm 2 /fas 7 W/km,fas och för en 170 kv PEX kabel med samma area 305 W/km,fas. I samtliga beräkningar på kraftledningar i detta kompendium försummas shuntkonduktansen Induktans Induktansen är i de flesta fall den viktigaste kraftledningsparametern. Den har stor inverkan på ledningens överföringsförmåga, spänningsfall och indirekt på dess förluster. Induktansen för en kraftledning ges av följande formel : l = ( ln a d/ n ) H/km,fas (4.2)

31 23 där a = 3 a 12 a 13 a 23 m, = geometriska medelavståndet enligt figur 4.2. d = ledaren diameter, m n = antalet ledare per fas Beräkningen av induktansen enligt ekvation (4.2) gäller under förutsättning att ledarmaterialet är omagnetiskt som koppar och aluminium samt att kraftledningen är skruvad. De flesta långa kraftledningar är skruvade, se figur 4.3. a 12 a 23 a 13 H 2 H 3 H 1 Markplan A 3 A 1 A 2 Figur 4.2. En kraftlednings geometriska storheter för beräkning av induktans och kapacitans Skruvningsställen Skruvningscykel Figur 4.3. Skruvning av trefas kraftledning Detta innebär att vardera av de tre ledarna under en skruvningscykel intar samtliga tre möjliga platser i stolpen. Varje plats upptas under lika lång sträcka vilket innebär att varje fasledare i genomsnitt har samma data vad gäller avstånd till marken och avstånd till de andra ledarna. Detta medför en utjämning av ömsinduktansen mellan de tre faserna så att driftinduktansen, induktansen per fas, blir lika stor hos de tre faserna.

32 24 D 2 d Figur 4.4. Tvärsnitt av en multipelledare med 3 ledare per fas I många fall utförs kraftledningar med multipelledare vilket betyder att man använder fler än en ledare per fas, se figur 4.4. Multipelledare medför både lägre reaktans hos ledningen och minskad korona (glimurladdningar). Radien d/2 i ekvation (4.2) måste i detta fall ersättas med den ekvivalenta radien där (d/2) ekv = n n(d/2) n 1 (d/2) (4.3) n = antal ledare per fas D/2 = radien i den av ledarna omskrivna cirkeln Utgående från induktansen kan reaktansen för en kraftledning beräknas enligt x = ωl = 2πfl Ω/km,fas (4.4) och är vid konstant frekvens enbart beroende av det geometriska utförande av ledningen. Förhållandet mellan det geometriska medelavståndet a och ledningsdiametern d i ekvation (4.2) varierar inom ganska snäva gränser för olika kraftledningar. Detta beror på att ledningar för högre spänningar både har längre avstånd mellan faserna och större lindiameter. Termen 1 4n har jämfört med ln( a d/2 ) oftast en mycket liten inverkan på induktansen. Reaktansen vid driftfrekvens för en friledning kan variera mellan 0.3 och 0.5 Ω/km,fas med ett typiskt värde på 0.4 Ω/km,fas. Kabelreaktanser varierar mellan 0.08 och 0.17 Ω/km,fas där det högre värdet svarar mot de minsta ledarareorna. Reaktansen hos kablar är alltså betydligt lägre än hos friledningar, vilket beror på att ledarna ligger närmare varandra. Jämför med ekvation (4.2) vilken dock enbart gäller för friledningar. Exempel 4.1 Bestäm reaktansen hos en 130 kv friledning där ledarna ligger i ett plan och avståndet mellan två närliggande ledare är 4 m. Lindiametern är 20 mm. Gör samma beräkning med två ledare per fas på avståndet 30 cm från varandra. Lösning a 12 = a 23 = 4, a 13 = 8

33 25 d/2 = 0.01 m a = = 5.04 x = 2π ( ln ) = (ln(504) ) = 0.41 Ω/km,fas Mulltipelledare (duplex) (d/2) ekv = 2 2(0.3/2)0.01 = x = ( ln ) = 0.29 Ω/km,fas Reaktansen minskar i detta fall med 28 % Shuntkapacitans För en trefas friledning, som är skruvad, kan kapacitansen till jord per fas beräknas enligt c = 10 6 ( ) F/km,fas (4.5) 2H 18 ln a A (d/2) ekv där H = 3 H 1 H 2 H 3 = geometriska medelhöjden för ledarna enligt figur 4.2. A = 3 A 1 A 2 A 3 = geometriska medelavståndet mellan ledarna och dessas spegelbilder i markplanet enligt figur 4.2. Av formeln (4.5) framgår att marken har en viss inverkan på kapacitansen. Detta beror på att det elektriska fältet som bestämmer kapacitansen, påverkas av marken som är tillräckligt ledande för att bilda en ekvipotentialyta under kraftledningen. Storleken av markens inverkan på kapacitansen bestäms av faktorn 2H/A i ekvation (4.5). Denna faktor har i allmänhet ett värde mycket nära 1. Antag nu att man har en kraftledning på relativt höga stolpar ( A 2H) och att termen 1 kan försummas i uttrycket (4.2). Genom att multiplicera uttrycken för induktans och 4n kapacitans erhålls ) ( ) l c = 2 10 (ln 4 a km ( ) = = 1 (4.6) (d/2) ekv a 18 ln ( ) 2 s v 2 (d/2) ekv där v = ljusets hastighet i km/s i vakuum. Innebörden av ekvation (4.6) kan sägas vara att induktans och kapacitans för en friledning är inversen av varandra. Ekvation (4.6) är en god approximation för en friledning. Shuntsusceptansen för en kraftledning blir b = 2πf c S/km,fas (4.7) Ett typiskt värde för shuntsusceptansen för en friledning är S/km,fas. Kablar har betydligt högre värden, mellan S/km,fas.

34 26 Exempel 4.2 Antag att en kraftledning har en shuntsusceptansen som är S/km,fas. Utnyttja ekvation (4.6) till att uppskatta kraftledningens reaktans. Lösning x = ωl ω cv = ω2 2 bv = (100π) 2 = Ω/km ( ) 2 vilket stämmer väl överens med standardvärdet 0.4 Ω/km för en frilednings reaktans. 4.2 Modell för kraftledning Både friledningar och kablar har sina elektriska karakteristiker r, x, g och b jämnt fördelade utefter hela sin längd. Figur 4.1 visar en approximation av storheternas fördelning. Generellt gäller att ju finare indelning man gör av ledningen, desto noggrannare blir beräkningsresultaten. Vid en första anblick kan det tyckas förnuftigt att bilda en kraftledningsmodell vars totala serieresistans och serieinduktans beräknas som resistansen resp induktansen per längdenhet gånger ledningens längd och motsvarande för shundadmittansen. Denna approximation är acceptabel enbart för korta och medellånga ledningar. Vid långa ledningar måste man beakta storheternas r, x, g och b fördelning utmed hela ledningens längd. En sådan analys kan utföras med hjälp av differentialkalkyl. Det finns inga absoluta gränser mellan korta, medellånga och långa ledningar. Allmänt kan man som vägledning räkna ledningar under 100 km som korta, mellan 100 km och 300 km som medellånga och över 300 km som långa ledningar. För kablar, med sina betydligt högre värden för tvärkapacitansen, bör även kablar kortare än 100 km beskrivas med medellång modell. Nedan behandlas modeller för korta och medellånga ledningar Korta ledningar För korta ledningar försummas shuntparametrarna konduktans och susceptans, eftersom strömmen genom dessa bara utgör delar av procent av ledningens märkström. Den ekvivalenta modellen kan ses i figur 4.5. Denna enfasiga modell av trefassystemet gäller under förutsättning att systemet drivs under symmetriska förhållanden. U k I k Z = R + jx U j Figur 4.5. Modell för kort kraftledning

35 27 Impedansen för ledningen beräknas enligt Z = R + jx = (r + jx)s Ω/fas (4.8) där s = ledningens längd i km. Sambandet mellan spänningar och ström i figur 4.5 är U j = U k 3(R + jx)i k (4.9) där U k = 3U k fas och U j = 3U j fas Medellånga ledningar För ledningar med längder mellan 100 och 300 km kan shuntkapacitansen inte försummas. Den ekvivalenta modellen i figur 4.5 utökas nu med shuntsusceptansen, vilket ger en π- ekvivalent enligt figur 4.6. Impedansen beräknas enligt ekvation (4.8) och admittansen per U k I k Y = jb Z = R + jx I U j Y = jb Figur 4.6. Modell för lång kraftledning fas till jord beräknas enligt Y = jb = j bs S/km (4.10) 2 dvs ledningens totala shuntkapacitans delas upp i två delar, en i var ände. π-ekvivalenten är en mycket vanlig och användbar modell för beräkningar i elsystemsammanhang. Modellens elektriska beteende fås ur U j = U k 3ZI (4.11) I = I k Y U k 3 (4.12) vilket ger U j = ( 1 + ZY ) U k 3ZI k (4.13) 4.3 Enfastransformatorn En tvålindningstransformator visas schematiskt i figur 4.7. Figuren avser att illustrera principen för en transformator. I det verkliga fysiska utförandet måste kravet på stark magnetisk koppling mellan primär- och sekundärsidan beaktas. Antag att det magnetiska flödet kan delas

36 28 Järnkärna Primär lindning N 1 varv Sekundär lindning N 2 varv Figur 4.7. Schematisk bild av tvålindningstransformator upp i tre komponenter. Där finns ett sammanlänkat flöde Φ m som går genom både primär och sekundärlindningen. Det finns också läckflöden Φ l1 som endast går genom primärlindningen samt Φ l2 som endast går genom sekundärlindningen. Den primära lindningen antas ha resistansen r 1 och den sekundära lindningen har resistansen r 2. Enligt induktionslagen kan följande samband ställas upp för spänningarna i transformatorns ändar : d(φ l1 + Φ m ) u 1 = r 1 i 1 + N 1 dt u 2 = r 2 i d(φ l2 + Φ m ) 2 + N 2 dt Med antagande om linjära förhållanden så gäller att (4.14) N 1 Φ l1 = L l1 i 1 (4.15) N 2 Φ l2 = L l2 i 2 där L l1 = Primärlindningens induktans L l2 = Sekundärlindningens induktans Ekvation (4.14) kan nu skrivas om enligt di 1 u 1 = r 1 i 1 + L l1 dt + N dφ m 1 dt u 2 = r 2 i 2 + L l2 di 2 dt + N 2 dφ m dt (4.16)

37 29 Med reluktansen R för järnkärnan och strömriktningsdefinitioner enligt figur 4.7 erhålls att de magnetomotoriska krafterna N 1 i 1 och N 2 i 2 adderas enligt N 1 i 1 + N 2 i 2 = RΦ m (4.17) Antag nu att i 2 = 0 dvs transformatorns sekundärsida är oansluten. Den ström som nu flyter brukar kallas primär magnetiseringsström och dess värde kan erhållas från ekvation (4.17) enligt i m = RΦ m N 1 (4.18) Ekvation (4.18) kan nu introduceras i ekvation (4.17) vilket resulterar i där i 1 = i m N 2 N 1 i 2 = i m + N 2 N 1 i 2 (4.19) i 2 = i 2 (4.20) Med antagande om linjära förhållanden kan det inducerade spänningsfallet N dφ m 1 dt (4.16) uttryckas med hjälp av en induktans enligt i ekvation N 1 dφ m dt = L m di m dt (4.21) dvs L m = N 2 1 /R. Genom att utnyttja ekvation (4.16), (4.19) och (4.21) kan ett ekvivalent schema för enfastransformatorn ställas upp, se figur 4.8. Figur 4.8. Ekvivalent schema för en tvålindningstransformator I figur 4.8 visas också den del som representerar den ideala transformatorn, vilket är en förlustfri transformator utan vare sig läckflöden eller magnetiseringsströmmar. Det ekvivalenta schemat i figur 4.8 har den fördelen att de olika elementen representerar olika delar av den verkliga fysikaliska transformatorn. L m t ex, representerar det antagna linjära förhållandet mellan det sammanlänkade flödet Φ m och järnkärnans mmk. Dessutom är de resistiva kopparförlusterna i transformatorns lindningar representerade med r 1 och r 2. För elsystemstudier där transformatorn ingår som en komponent används ofta en förenklad modell där magnetiseringsströmmen försummas.

38 Trefastransformatorn Det finns tre grundläggande sätt på vilka enfastransformatorer kan kopplas samman till trefastransformatorer. De tre sätten är Y-Y-koppling, - -koppling samt Y- -koppling. I figur 4.9 visas de olika kopplingarna. Y-Y- koppling - - koppling Y- - koppling Figur 4.9. Standardkopplingar för trefastransformatorer Konsekvensen av de olika kopplingarna kommer att behandlas närmare i kapitel 12.

39 Kapitel 5 Viktiga teorem för analys av elsystem I många fall kan utnyttjandet av vissa teorem förenkla analysen av en elektrisk krets eller ett elektriskt system. I de följande avsnitten kommer några viktiga teorem att bevisas och beskrivas. 5.1 Nodanalys, admittansmatriser Betrakta en elektrisk krets med fyra noder vilken visas i figur 5.1. Varje nod är ansluten till de andra med en admittans y mn där indexet avser de noder som admittansen är kopplad till. I 1 1 o y 12 2 I 2 o y 13 y 23 y 14 3 o y 34 y 24 I 3 o 4 I 4 Figur 5.1. En krets med 4 noder Antag att det inte finns några ömsinduktans-kopplingar och att nodspänningarna är U 1, U 2, U 3 och U 4 medan strömmarna I 1, I 2, I 3 och I 4 antas injicerade i noderna från externa strömkällor. En balansekvation för nod 1 blir då eller I 1 = y 12 (U 1 U 2 ) + y 13 (U 1 U 3 ) + y 14 (U 1 U 4 ) (5.1) I 1 = (y 12 + y 13 + y 14 )U 1 y 12 U 2 y 13 U 3 y 14 U 4 = (5.2) = Y 11 U 1 + Y 12 U 2 + Y 13 U 3 + Y 14 U 4 där Y 11 = y 12 + y 13 + y 14 och Y 12 = y 12, Y 13 = y 13, Y 14 = y 14 (5.3) 31

40 32 På motsvarande sätt kan ekvationer skrivas ut för de övriga noderna. Dessa ekvationer kan sedan sammanställas till en matrisekvation enligt : I = I 1 I 2 I 3 I 4 = Y 11 Y 12 Y 13 Y 14 Y 21 Y 22 Y 23 Y 24 Y 31 Y 32 Y 33 Y 34 Y 41 Y 42 Y 43 Y 44 För denna matris vilken kallas admittansmatris eller Y-matris gäller : U 1 U 2 U 3 U 4 = YU (5.4) Den kan entydigt erhållas från ett givet admittansnät. Diagonalelementet Y kk = summan av alla admittanser anslutna till nod k. Icke diagonalelement Y ik = y ik där y ik är admittansen mellan nod i och nod k. Av detta följer att matrisen är symmetrisk dvs Y ik = Y ki (ett undantag är dock om nätet innehåller fasvridande transformatorer). Den är singulär, eftersom I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = 0 Med potentialen antagen = 0 i en nod kan den raden och även motsvarande kolumn strykas och matrisen är då inte längre singulär. Nodanalys med hjälp av Y-matrisen är framförallt ett analysverktyg då antalet förbindelser i ett nät eller i en krets överskrider antalet noder. Exempel 5.1 Samma som exempel 3.5. Utnyttja Y-matrisen för nätet till att beräkna den erhållna värmeeffekten i huset. I 1 U 1 o Z o L I 2 U 2 o Z L o I 3 U o Z o 3 L I 0 I 4 U o Z 0 L0 o U 4 Z a Z b Z c Figur 5.2. Nätschema för exempel 5.1 Lösning Enligt uppgiften samt enligt beräkningar i exempel 3.5 så gäller att Z L = j0.16 Ω, Z L0 = j0.03 Ω, Z a = j4.81 Ω, Z b = j1.60 Ω, Z c = j2.40 Ω. Börja med att ställa upp Y-matrisen. I 0 och U 0 utesluts eftersom systemet blir överbestämt annars.

41 33 där I = I 1 I 2 I 3 I 4 = Y 44 = 1 Z L +Z a Z L +Z a 0 1 Z L +Z b 0 1 Z L +Z b Z L +Z c 1 Z L +Z c 1 Z L +Z a 1 Z L +Z b 1 Z L +Z c Y 44 1 Z L + Z a + 1 Z L + Z b + U 1 U 2 U 3 U 4 = YU (5.5) (5.6) Z L + Z c Z L0 I matrisekvationen ovan är U 1, U 2, U 3 och I 4 (I 4 =0) samt alla impedanser dvs Y-matrisen kända storheter. Den ovan givna Y-matrisen kan inverteras vilket ger motsvarande Z-matris : U = U 1 U 2 U 3 U 4 = ZI = Y 1 I = Z 11 Z 12 Z 13 Z 14 Z 21 Z 22 Z 23 Z 24 Z 31 Z 32 Z 33 Z 34 Z 41 Z 42 Z 43 Z 44 I 1 I 2 I 3 I 4 (5.7) Eftersom Y-matriselementen är kända så kan samtliga Z-matriselement beräknas. Eftersom I 4 =0 kan U 1, U 2 och U 3 uttryckas som en funktion av I 1, I 2 och I 3 genom att endast utnyttja en del av Z-matrisen : U = U 1 U 2 U 3 = Z I = Z 11 Z 12 Z 13 Z 21 Z 22 Z 23 Z 31 Z 32 Z 33 I 1 I 2 I 3 (5.8) Eftersom spänningarna U 1, U 2 och U 3 är kända kan strömmarna I 1, I 2 och I 3 beräknas enligt : I = I 1 I 2 = (Z ) 1 U = (5.9) I 3 = 10 3 = 19.0 j j j j j j j j j A Från dessa strömmar kan sedan effekterna i elradiatorerna beräknas enligt : = S za = Z a I 2 1 = j101 VA S zb = Z b I 2 2 = j210 VA S zc = Z c I 2 3 = j166 VA = j477 VA (5.10) dvs erhållen värmeeffekt är 4754 W.

42 Millmans teorem Millmans teorem (parallellgenerator-teoremet) innebär att om ett antal admittanser Y 1, Y 2, Y 3... Y n är anslutna till en gemensam nod k, och spänningarna i förhållande till en referensnod U 10, U 20, U U n0 är kända så kan spänningen i nod k i förhållande till referensnoden, U k0 bestämmas enligt n Y i U i0 U k0 = i=1 (5.11) n Y i Antag en stjärnkoppling av admittanser enligt figur 5.3. Y-matrisen för denna koppling kan i=1 Figur 5.3. Stjärnkopplade admittanser beskrivas enligt I 1 I 2. = I n I k Denna ekvation kan skrivas som I 1 I 2. = I k Y Y 1 0 Y Y Y n Y n Y 1 Y 2... Y n (Y 1 + Y Y n ) (U 10 Y 1 U k0 Y 1 ) (U 20 Y 2 U k0 Y 2. ( U 10 Y 1 U 20 Y n i=1 Y iu k0 U 10 U 20. U n0 U k0 (5.12) (5.13) Eftersom det inte injiceras någon ström i nod k blir I k = 0. Detta innebär att den nedersta ekvationen ovan kan skrivas om som n I k = 0 = U 10 Y 1 U 20 Y Y i U k0 (5.14) i=1

43 35 Denna ekvation kan sedan skrivas som U k0 = U 10Y 1 + U 20 Y U n0 Y n (5.15) n Y i och därmed är Millmans teorem bevisat. i=1 Exempel 5.2 Lös exempel 3.5 med Millmans teorem, vilket faktiskt är den hittills enklaste metoden för detta exempel. Figur 5.4. Nätschema för exempel Lösning Enligt uppgiften samt enligt beräkningar i exempel 3.5 så gäller att Z L = j0.16 Ω, Z L0 = j0.03 Ω, Z a = j4.81 Ω, Z b = j1.60 Ω, Z c = j2.40 Ω. Med Millmans teorem kan spänningen i nod 4 beräknas enligt U 40 = n Y i U i0 i=1 = n Y i i=1 = V U 0 + U Z 1 L0 Z a+z + U 2 + U L Z b +Z 3 L Z c+z L Z L0 Z a+z = L Z b +Z L Z c+z L (5.16) Strömmarna genom impedanserna kan sedan beräknas enligt I 1 = U 1 U 4 Z a + Z L = A I 2 = U 2 U 4 Z b + Z L = A (5.17) I 3 = U 3 U 4 Z c + Z L = A

44 36 Från dessa strömmar kan sedan effekterna i elradiatorerna beräknas på samma sätt som tidigare : S za = Z a I 2 1 = j101 VA S zb = Z b I 2 2 = j210 VA S zc = Z c I 2 3 = j166 VA = j477 VA (5.18) dvs värmeeffekten är 4754 W. 5.3 Superpositionsteoremet Enligt avsnitt 5.1 kan varje admittansnät beskrivas med en Y-matris dvs där I = YU (5.19) I = vektor med strömmar som injiceras i noderna U = vektor med spänningarna i noderna Superpositionsprincipen kan tillämpas på storheter med linjärt samband som i ekvation (5.19). Detta innebär att man söker en dellösning för t ex en generator i taget. Totala lösningen erhålls genom att lägga ihop alla dellösningar : I = I 1 I 2. I n = Y U 1 U 2. U n = Y U Y 0 U Y 0 0. U n (5.20) Det kan noteras att superpositionsprincipen ej går att tillämpa på effekter eftersom dessa inte kan betraktas som linjära storheter i detta sammanhang då de är produkter av spänning och ström. Exempel 5.3 Utgå från exempel 5.1 och antag att ett fel vid den matande transformatorn medför en kortslutning av fas 2. Fas 1 och 3 ger dock fortfarande rätt spänning. Beräkna erhållen total värmeeffekt i Elektras hus. Lösning Enligt exempel 5.1, ekv (5.9) kan fasströmmarna uttryckas som funktion av matande spänningar enligt I 1 U 1 I = I 2 = (Z ) 1 U 2 (5.21) I 3 U 3