tal på tallinjen Ur det centrala innehållet Förmågor Problemlösning Metod

Transkript

1 taluppfattning Kapitlets innehåll Kapitlet inleds med ett avsnitt om potenser, det decimala och det binära. Därefter följer ett avsnitt om olika historiska talsystem. Sist får eleverna träna på olika sorters tal på tallinjen, både hela tal, tal i decimalform och tal i bråkform. Ur det centrala innehållet Naturliga tal och deras egenskaper. (åk 3) Det binära och talsystem som använts i några kulturer genom historien, till exempel den babyloniska. Tal i bråk- och decimalform och deras användning i vardagliga situationer. Potensform för att uttrycka små och stora tal. (åk 7 9) rabiska siffror är de siffersymboler som vi använder och som är vanligast internationellt. Ett annat välkänt talsystem är det romerska med bokstäver. Dessa talsymboler kan man se på vissa urtavlor, byggnader mm. I Grekland använde man siffror som man baserade på det grekiska alfabetet, alfa beta, gamma och så vidare. Det eleverna kan känna igen sedan tidigare och som skrivs på det här sättet är enheten för area, till exempel m. De vet att arean för en kvadrat som har sidan m är m m = m. Några elever kan säkert dra slutsatsen att 3 då måste vara detsamma som 3 3 = 9. Talsystem Vi skriver med arabiska siffror. Vilka andra sorters siffror känner du till? Var har du sett dem? 98 4 och tals användning och tal på tallinjen Mål för kapitlet Du kommer att utveckla kunskaper om: potenser vårt talsystem med basen tio det binära historiska talsystem tal på tallinjen Förmågor Förmågor Problemlösning egrepp Metod Exempel på uppgifter kopplade till respektive förmåga. Kommunikation och resonemang Problemlösning Uppgift : Vilket är det största talet som kan skrivas med fem siffror i det binära vårt talsystem egrepp Uppgift 8: Skriv potensen som en upprepad multiplikation. 7 c) 4 Metod Uppgift 3: Skriv talet i vårt talsystem. III XII c) IV d) XVII e) LX f) XL Kommunikation och resonemang, sidan 4: Skriv hur gammal du är med babyloniska siffersymboler. Jämför och resonera. 3 3 Vad kan 3 betyda? Jämför med enheten för area.

2 egrepp potenser bas historiska talsystem decimala tallinje binära exponent Det finns andra talsystem än vårt. Vilka andra talsystem känner du till? egrepp Vilka slags tal kan placeras på en tallinje? Mattekollen Det här kan jag redan om talsystem och tal på tallinjen. lla begrepp finns beskrivna på sidan 3 i elevboken. Här har vi valt att beskriva några begrepp som kanske inte är bekanta för eleverna. potenser I en potens multipliceras basen med sig själv så många gånger som exponenten visar. bas 3 4 bas exponent Exponenten i en potens. decimala Vårt talsystem har basen och vi använder tio siffror, 9. binära Det binära har basen och vi använder två siffror,. 7 På den här tallinjen kan man placera positiva och negativa tal. Man kan även placera tal i decimalform och tal i bråkform. Utifrån de förslag på tal som eleverna kommer med kan du som lärare rita upp tallinjen och gemensamt fylla i talen som passar. Många elever har säkert stött på det egyptiska på lågstadiet med bildsymboler för olika tal. Kanske känner även några elever igen att man använder ettor och nollor då man kommunicerar med datorer. Detta kallas för det binära. Några fler talsystem som eleverna kommer att stöta på i kapitlet är det babyloniska, Mayafolkets talsystem och det romerska. Mattekollen Se sidan XX i Lärarguiden.

3 vsnittsintroduktion Talsystem Potenser Första avsnittet syftar till att eleverna skall få en djupare förståelse för vårt eget talsystem, det decimala. Vi börjar avsnittet med att gå igenom potenser. Detta har vi valt att göra, trots att det centrala innehållet hör till åk 7 9, för att kunna koppla det till vårt talsystem där varje talsort är en potens med basen. Vårt talsystem kallas ju även för tiosystemet. Till sist visar vi även hur det binära, tvåsystemet, är uppbyggt. Där är varje talsort en potens med basen = 8 Istället för att skriva talet som en upprepad multiplikation kan du skriva på ett kortare sätt: = 3 4 Talet är skrivet i potensform. 3 4 bas exponent Skriv talet 5 i potensform med basen 5. Jämför och resonera. I en potens multipliceras basen med sig själv så många gånger som exponenten visar. Potensen 3 4 (tre upphöjt till fyr betyder 3 multiplicerat med sig själv fyra gånger. Kommentarer till faktarutan I faktarutan presenterar vi vad potenser är och visar hur man kan skriva tal i potensform. Tal i potensform används för att på ett enkelt sätt kunna skriva väldigt stora eller väldigt små tal. Fördelen med detta skrivsätt är att det tar mindre plats och att det är lättare att göra beräkningar. Vi lyfter potensformen här för att sedan kunna visa på att vårt talsystem bygger på potenser med basen. Detta för att skapa en större förståelse för hur vårt talsystem är uppbyggt. Låt gärna eleverna möta flera potenser med andra baser, till exempel 9 eller 3. De flesta talsystem bygger på potenser med olika baser. Här kan eleverna först pröva själva och sedan jämföra med andra för att till sist resonera i helklass. 5 3 Tänk på Skriv som en potens. två upphöjt till fem sju upphöjt till tre c) fem upphöjt till sex d) fyra upphöjt till två Skriv talet i potensform. c) d) Skriv potensen som en upprepad multiplikation. 8 3 c) 3 d) Skriv potensen som ett vanligt tal. 3 4 c) 4 3 d) 5 5 Skriv talet i potensform med basen c) 3 d) 7 8 Talsystem och tal på tallinjen ktivitet Många elever fascineras av stora tal. Låt eleverna två och två skriva egna tal i potensform, som de sedan skriver som vanliga tal. Här blir det gärna väldigt stora tal så låt dem använda räknare när de ska räkna ut talen. Låt även eleverna skriva olika tal i potensform med en specifik bas. De kan till exempel skriva: 4 i potensform med basen 4, 4 = 4 3 i potensform med basen, = i potensform med basen 5, 3 5 = 5 5 Även här behöver eleverna ha en räknare till hjälp. ild: hålkort Uppgift 4: Med vanligt tal menar vi ett tal skrivet på det vanliga sättet i vårt talsystem 4 skrivs, till exempel som som ett vanligt tal. talsystem och tal på tallinjen

4 Talsystem Decimala Det finns olika talsystem. Vårt talsystem kallas det decimala eller tiosystemet. Det har basen och vi använder tio siffror, 9. Varje talsort är en potens med basen. tusental 3 hundratal tiotal ental Kommentarer till faktarutan 3 = = = = = = Eftersom talet skrivs som och talet skrivs som skrivs talet som. Skriv potensen 5 som ett vanligt tal. Skriv som en potens. tio upphöjt till två tio upphöjt till fyra c) tio upphöjt till åtta d) tio upphöjt till nio 7 Skriv talet i potensform. c) d) 8 Skriv potensen som en upprepad multiplikation. 7 c) 4 9 Skriv potensen som ett vanligt tal. c) Skriv talet i potensform med basen. c) d) I faktarutan visar vi positionssystemet, med tusenkuben, hundraplattan, tiostaven och entalsklossen. Här visar vi även hur man kan skriva de olika talsorterna som en potens med basen. Visa gärna fler exempel än det i faktarutan: 4 = = tusen 5 = = tusen = = miljon 9 = = miljard ktivitet Talsystem och tal på tallinjen 9 Vi rekommenderar att eleverna skriver svaren till de -uppgifter som klassen inte gör gemensamt. Låt eleverna söka på nätet efter hur man skriver stora tal i det decimala. Låt dem rita av och fylla i tabellen. Namn Potens Vanligt tal biljon biljard triljon triljard rbetsblad : talsystem och tal på tallinjen 3

5 inära Kommentarer till faktarutan Talsystem Ett annat talsystem är det binära, tvåsystemet. Det har basen och vi använder två siffror,. Varje talsort är en potens med basen. 4 sextontal 3 åttatal fyrtal tvåtal ental i betyder två och i det binära är basen, därför endast två siffror, och. Det binära är precis som vårt ett positionssystem. För varje steg åt vänster i positionssystemet ökar värdet med en faktor, det vill säga värdet fördubblas för varje steg åt vänster i positionssystemet. När man ska omvandla ett binärt tal till ett tal i det decimala kan man lägga in talet i ett positionssystem så som i faktarutan och summera från den största till den minsta talsorten, alltså = 9. Man kan även börja med den minsta talsorten och summera från den minsta till den största talsorten. Till exempel: = två = 4 = = 3 = = 8 = = 4 = = Det binära talet består av sextontal åttatal fyrtal tvåtal ental I vårt talsystem är det = 9 två = 9 Skriv talet två i vårt talsystem. Skriv talet i det binära? åttatal fyrtal tvåtal ental c) d) Skriv talet i vårt talsystem. sextontal 4 3 två två c) två d) två c) d) åttatal 3 fyrtal tvåtal ental två Två innebär att talet är skrivet i tvåsystemet, det binära. sextontal åttatal fyrtal tvåtal ental 4 två två c) två d) två Talsystem och tal på tallinjen Vi rekommenderar att eleverna skriver svaren till de -uppgifter som klassen inte gör gemensamt. 7 Tänk på Uppgift 4d: Talet i denna uppgift har fem positioner, så eleverna behöver använda sig av sextontalet. ktivitet Säg till eleverna att du är tankeläsare. nvänd korten som finns på rbetsblad :3. DDe en elev tänka på ett tal mellan och 3. DDe eleven peka på alla rutor där talet finns. Talet 9 skrivs i det binära som = Rutorna på rbetsblad : är uppbyggda så att de rutor som börjar med talen, 8, 4, innehåller talet 9. För att lista ut vilket tal eleven tänker på summerar du alltså bara första siffran i de rutor där talet som eleven tänker på finns. Låt sedan eleverna vara tankeläsare och pröva på sina kamrater! rbetsblad :3 4 talsystem och tal på tallinjen

6 Talsystem När du ska skriva talet 5 som ett binärt tal kan du tänka så här: Talet 5 räcker till fyratal. Det är kvar. Det räcker inte till något tvåtal, tvåtal. Det är kvar som räcker till ental. 5 = två Vad heter positionen närmast till vänster om sextontalet? Skriv talet 35 i det binära. 5 Skriv antalet kolor i det binära. Skriv antalet klubbor i det binära. Skriv talet i det binära. 9 c) 5 d) 7 c) 4 d) 7 8 Skriv talet i vårt talsystem. två två c) två d) två 9 Skriv talet i det binära c) 45 d) 5 Skriv talet i vårt talsystem. två två c) två d) två Vilket är det största talet som kan skrivas med fem siffror i det binära vårt talsystem sextontal 4 åttatal 3 fyrtal tvåtal ental nvänd dig gärna av det binära på fliken längst bak i boken. Talsystem och tal på tallinjen Kommentarer till faktarutan När eleverna har lärt sig hur mycket varje position i det binära är värd får de här göra tvärt om och lära sig hur man gör när man ska omvandla ett tal från det decimala till ett tal i det binära. Man delar upp talet från det decimala i talsorterna i det binära. Talet 5 delas upp i fyratal, tvåtal och ental, vilket ger det binära talet två Visa gärna fler exempel och låt eleverna kontrollera om dina lösningar stämmer, ex: Skriv talet 8 som ett binärt tal. Talet 8 räcker till sextontal. Det är kvar. Det räcker inte till något åttatal, åttatal. Det räcker heller inte till något fyrtal, fyrtal. Det räcker till tvåtal. Och inget ental, ental. Talet 8 = två ktivitet inära tal på fingrarna. Håll fram din högra hand med handflatan uppåt. DDtummen har värdet DDpekfingret har värdet DDlångfingret har värdet 4 DDringfingret har värdet 8 DDlillfingret har värdet När ett finger är uppfällt symboliseras och när ett finger är nedfällt symboliseras. Talet kan man visa genom att lillfingret, långfingret och pekfingret fälls upp ( ) som visar det binära talet två Låt eleverna pröva att visa tal upp till och med 3 eftersom det är det största tal man kan visa med 5 fingrar, fem positioner ( = 3), vilket ger det binära talet två Vi rekommenderar att eleverna skriver svaren till de -uppgifter som klassen inte gör gemensamt. Eftersom positionen dubblas för varje steg i positionssystemet åt vänster, heter positionen trettiotvåtal. 35 = två Tänk på Uppgift : Positionen närmast till vänster om sextontalet heter 3-tal, så här är alla tal större än 3. rbetsblad : :3 Läxa talsystem och tal på tallinjen 5

7 rbetsgång Talsystem På Välj bland förmågorna-sidorna tränas kapitlets centrala innehåll utifrån de matematiska Ord & begrepp förmågorna. Skriv den potens där Här kan du som lärare eller eleven själv välja i vilken ordning övningarna ska göras. Det kan antingen vara att ni tillsammans kommit fram till en viss förmåga/förmågor som eleven behöver utveckla. Det kan också vara att du som lärare vill få tillfälle att bedöma en specifik förmåga. I vissa kapitel kan eleven själv i Mattekollen upptäckt någon förmåga som den behöver/vill Problemlösning utveckla. eroende på hur man tar sig an olika övningar kan eleverna utveckla även de andra matematiska förmågorna än den som framgår av rubriken. Vissa av övningarna kan du välja att göra i helklass. Eleverna kan när som helst längre fram i boken gå tillbaka till tidigare Välj bland förmågornasidor. basen är 7 och exponenten 3 basen är och exponenten 3 basen är och exponenten 4 4 basen är 8 och exponenten 5 basen är 5 och exponenten 7 basen är 3 och exponenten 5 Vilket tal är hälften så stort som c) 3 d) 4 Matematisk gåta: Det finns bara sorters människor. De som förstår binära tal och de som inte gör det. Vad menar man med det tror du? 3 Marie och Klara har tillsammans 5 kr. Marie har 5 % mer än Klara. Hur mycket pengar har de båda flickorna? 4 Summan av två tal är 87. Det ena talet är 9 mindre än det andra talet. Vilka är talen? Träna metod Vilket tal i det binära kommer närmast efter två två c) två d) två Ord & begrepp Talsystem och tal på tallinjen Träna metod Problemlösning Uppmärksamma eleverna på att talen är skrivna i tiosystemet. 5 5 c) 5 d) 5 är skrivet i det binära och visar därför talet. 3 Marie har 5 kr och Klara har kr och 48 två två c) två d) två talsystem och tal på tallinjen

8 Talsystem Träna metod Skriv det binära talet i vårt talsystem. Vårt talsystem inära 4-tal 3-tal -tal 8-tal 4-tal -tal -tal c) d) e) f) Rita av tabellen. Skriv talet i det binära. Vårt talsystem 9 c) 4 d) 87 e) Valfritt f) Valfritt inära 4-tal 3-tal -tal 8-tal 4-tal -tal -tal Talsystem och tal på tallinjen 3 Träna metod d) 8 9 e) 38 c) 5 f) 8 Vårt talsystem inära 4-tal 3-tal -tal 8-tal 4-tal -tal -tal 9 c) 4 d) 87 e) Valfritt f) Valfritt talsystem och tal på tallinjen 7

9 vsnittsintroduktion Historiska Kapitlets andra avsnitt handlar om fyra olika historiska talsystem, det babyloniska, Mayafolkets talsystem, det romerska och till sist det egyptiska. När eleverna ska lösa uppgifter till dessa olika talsystem kan de använda fliken längst bak i boken. talsystem abyloniska abylonierna hade precis som vi ett positionssystem, det vill säga siffrans värde beror på vilken position siffran står på. Det babyloniska använder två olika tecken. Det för, och det för, Med hjälp av dessa tecken byggde man upp 59 siffersymboler för talen 59. abylonierna hade inget tecken för talet utan man tänkte på som att det inte fanns något, alltså inget tal Kommentarer till faktarutan Faktarutan handlar om hur det babyloniska är uppbyggt. Först ser man hur talen ser ut. Talen är en kombination av ett tecken för tiotalet och tecken för entalen. Talen 3 är uppbyggda på samma sätt fast två tior och därefter ental. 3 4 har tre tior med efterföljande ental o.s.v. Det babyloniska är uppbyggt med basen. Det vi känner igen som har basen är hur vi delar in tid. En timme är minuter och en minut är sekunder. tt vi mäter tid med basen kommer här ifrån. Det babyloniska är ett positionssystem med basen, vilket innebär att varje position är en potens av. Det svåra med det babyloniska är att det inte finns någon symbol för talet. Om man tittar på tal skrivna i det babyloniska är det därför svårt att veta om symbolen för talet ett betyder talet ett eller talet sextio. Man får helt enkelt gissa av sammanhanget vilket värde siffer symbolen ska ha. På grund av denna svårighet har vi valt att bara arbeta med talen upp till 59. Det babyloniska användes av människor i dåvarande Mesopotamien, nuvarande Irak. Vår kunskap om babylonisk matematik är hämtad från 4 lertavlor som man har grävt fram. På lertavlorna kunde man se hur de använde bladvass när de skrev. Denna skrift kallas för kilskrift. Här kan eleverna först pröva själva och sedan jämföra med andra för att till sist resonera i helklass. Om man är tolv år skriver man så här: Skriv hur gammal du är med babyloniska siffrersymboler. Jämför och resonera. Skriv talet i vårt talsystem. c) d) 3 c) d) 4 Skriv talet med babyloniska siffersymboler. 5 c) 3 d) 3 5 Välj tre egna tal och skriv dem med babyloniska siffersymboler och i vårt talsystem. 4 Talsystem och tal på tallinjen ktivitet I gamla Mesopotamien använde man sig av en slags fingerräkning. Detta gör man även idag i vissa delar av sien. Här räknar man mellan lederna på fingrarna. Tänk dig att är längst ner på pekfingret på högerhanden. är ovanför och 3 är högst upp på pekfingret. 4 är längst ner på långfingret och fortsätt så uppåt. Längst upp på lillfingret är då. För att räkna på högerhanden pekar man med tummen på de olika delarna av handen. När du räknat till med tummen på högerhanden höjer man ett finger (pekfingret) på den vänstra handen. Talet 8 är ett finger upp på vänsterhanden och högst upp på långfingret på högerhanden. e eleverna räkna till 35 med hjälp av den här metoden och beskriv hur talet ser ut. Låt gärna eleverna arbeta i par eller i mindre grupper med att hitta på egna tal och visa varandra hur talen ser ut. 8 talsystem och tal på tallinjen

10 Historiska talsystem Mayafolkets talsystem Mayafolket hade precis som vi ett positionssystem, det vill säga siffrans värde beror på vilken position siffran står på. Mayafolket använde tre olika tecken. Punkter, streck och ett snäckskal för. Med hjälp av dessa tecken byggde man upp siffersymboler för talen Från talet och uppåt använde man olika positioner. Positionerna skrevs uppifrån och ner med ett litet mellanrum. Eftersom Mayafolket har basen skrivs talet 49 med två positioner. Skriv talet 5 med Mayafolkets siffersymboler. Skriv talet i vårt talsystem. c) d) 7 c) d) 8 Skriv talet med Mayafolkets siffersymboler. 4 9 c) 4 d) 57 9 Välj tre egna tal och skriv dem med Mayafolkets siffersymboler och i vårt talsystem. två tjugotal nio ental fyrahundratal = 4 tjugotal = ental = Talsystem och tal på tallinjen 5 Kommentarer till faktarutan Mayafolkets talsystem bygger på basen istället för som vi är vana vid att använda. Kanske valde de för att det är det sammanlagda antalet fingrar och tår hos en människa. Mayafolket var en av de första kulturerna att använda en symbol för talet. Genom att använda sig av punkter, streck och snäckskal kan man skriva talen 9 som i fakta rutan. När man sedan ska skriva tal som är mellan och 399 skriver man talet i två våningar. En högre position skrevs alltså ovanpå en lägre istället för till vänster om som vi brukar göra. Den översta positionen är tjugotalsplatsen och den undre är entalsplatsen. Eftersom Mayafolket använder sig av basen, får det plats upp till och med 9 på entalsplatsen. Gå gärna igenom ytterligare ett exempel med eleverna. Talet 75 skrivs med tre punkter och tre streck med ett mellanrum mellan. Det är viktigt att det är ett tydligt mellanrum mellan punkterna och strecken så att man förstår att det är 3 tjugotal, det vill säga och 5 ental, så att man inte tror att det är siffersymbolen för talet 8. Vi rekommenderar att eleverna skriver svaren till de -uppgifter som klassen inte gör gemensamt. Tänk på Uppgift c och d: Uppmärksamma eleverna på att de båda talen har ett tjugotal. Uppgift 7: lla talen har här ett, två eller tre tjugotal. talsystem och tal på tallinjen 9

11 Romerska Kommentarer till faktarutan Historiska talsystem I det romerska skrivs talen med bokstäver. Det romerska saknar en symbol för talet noll. Romerska M D L X V I Vårt talsystem Romarna använde sig av sju siffersymboler när de skulle skriva ett tal. Det romerska är egentligen bokstäver som symboliserar olika talsorter. eräkningar gjordes däremot alltid på en abacus eller kulram. Romerska tal bildades genom att man adderar eller subtraherar talen efter vissa regler. Gå igenom reglerna tillsammans med eleverna. Talet som står inom parentes är ytterligare ett exempel på regeln.. Ett mindre tal som står till vänster om ett större subtraheras från det större. IX = 9 (XL = 4). Ett mindre tal som står till höger om ett större adderas till det större. VII = 7 (L = 5) 3. Två eller tre lika tal bredvid varandra adderas. XXX = 3 (MM = ) Det romerska används nu mest till att ange år, ordningstal på kungar/drottningar, på vissa urtavlor och numreringar av listor. Det romerska är uppbyggt utifrån följande regler:. Ett mindre tal som står till vänster om ett större subtraheras från det större. IX = 9. Ett mindre tal som står till höger om ett större adderas till det större. VII = 7 3. Två eller tre lika tal bredvid varandra adderas. XXX = 3 Talet 9 skrivs XIX. Vilket årtal visar bilden? 3 Vilket romerskt tal står det på myntet? Svara i vårt talsystem. Skriv talet i vårt talsystem. 3 III XII c) IV d) XVII e) LX f) XL 3 L c) MD d) MDL e) MD f) XVIII 33 Vilket årtal står det på byggnaden? Svara i vårt talsystem. 34 Skriv med romerska siffror. 5 3 c) 99 d) Skriv ditt födelseår med romerska siffror. Talsystem och tal på tallinjen Vi rekommenderar att eleverna skriver svaren till de -uppgifter som klassen inte gör gemensamt. 889 ktivitet Låt eleverna arbeta i par eller i mindre grupper med att hitta byggnader eller andra bilder på nätet där det finns romerska siffror. Uppmana dem att först skriva upp de romerska siffrorna och sedan översätta dem sedan till vårt talsystem. talsystem och tal på tallinjen

12 Historiska talsystem Egyptiska Det egyptiska bygger precis som vårt talsystem på basen, även om det inte är ett positionssystem. Eftersom olika tecken symboliserar olika talsorter spelar det ingen roll i vilken ordning man skriver dem. Varje tecken adderas för att veta vilket tal som menas. Egyptiska Vårt talsystem Talet 34 skrivs Vilket år är det nu? Skriv talet med egyptiska tecken. Skriv talet i vårt talsystem. Kommentarer till faktarutan Det egyptiska är ett talsystem som många elever kan ha stött på tidigare. Det är precis som vårt ett talsystem som bygger på basen. Det som skiljer vårt talsystem från det egyptiska är att vårt är ett positionssystem vilket inte det egyptiska är. De egyptiska siffersymbolerna kan skrivas i vilken ordning som helst men vi har valt att presentera dem i storleksordning. 3 c) d) 37 c) d) 38 Skriv talen med egyptiska tecken c) 8 d) 39 Skriv ditt födelseår med egyptiska tecken. 4 Välj tre egna tal och skriv dem med egyptiska siffersymboler och i vårt talsystem. Vi rekommenderar att eleverna skriver svaren till de -uppgifter som klassen inte gör gemensamt. Eleven skriver nuvarande år med egyptiska tecken. Talsystem och tal på tallinjen 7 Tänk på Uppgift 39: Om eleverna är olika gamla kommer svaret att skilja sig åt. De behöver inte skriva siffersymbolerna i storleksordning men det är oftast lättare att utläsa talet då. Uppgift 4: Uppmana eleverna att pröva att skriva minst ett tal som är större än. ktivitet Låt eleverna arbeta i par eller i mindre grupper. Eleverna använder sex tärningar. De slår dem och bildar ett valfritt tal, till exempel Låt sedan eleverna skriva talet i det egyptiska. rbetsblad :4 Läxa talsystem och tal på tallinjen

13 rbetsgång Historiska talsystem På Välj bland förmågorna-sidorna tränas kapitlets centrala innehåll utifrån de matematiska förmågorna. Här kan du som lärare eller eleven själv välja i vilken ordning övningarna ska göras. Det kan antingen vara att ni tillsammans kommit fram till en viss förmåga/förmågor som eleven behöver utveckla. Det kan också vara att du som lärare vill få tillfälle att bedöma en specifik förmåga. I vissa kapitel kan eleven själv i Mattekollen upptäckt någon förmåga som den behöver/vill utveckla. Träna metod Rita av tabellen och fyll i den. Decimala 5 Valfritt Valfritt inära abyloniska Mayafolkets talsystem Romerska Egyptiska eroende på hur man tar sig an olika övningar kan eleverna utveckla även de andra matematiska förmågorna än den som framgår av rubriken. Vissa av övningarna kan du välja att göra i helklass. Eleverna kan när som helst längre fram i boken gå tillbaka till tidigare Välj bland förmågornasidor. Problemlösning Skriv talet i vårt talsystem. Vilket tal är hälften så stort som c) d) e) XXIV f) L g) h) Gör en egen liknande problemlösningsuppgift. Problemlösning 8 Talsystem och tal på tallinjen 5 d) 4 g) 55 3,5 e) h) 3 c) 7 f) 75 Visa din lärare (eleven gör en liknande problemlösningsuppgift). Träna metod Decimala inära abyloniska Mayafolkets talsystem Romerska Egyptiska I 5 V X XI XX XXI Valfritt Valfritt talsystem och tal på tallinjen

14 Historiska talsystem Ord & begrepp Rätta meningen. I stället för att skriva en upprepad addition kan man skriva 3 4. Potensen 4 5 betyder 5 multiplicerat med sig själv fyra gånger. 3 Det decimala kan även kallas det binära. 4 är lika med. Problemlösning Hitta på ett eget talsystem. Du kan göra varianter av de vi har arbetat med i kapitlet. Gör egna uppgifter som en klasskamrat ska lösa utifrån ditt egna talsystem. 5 I det binära använder man siffrorna 9. Mayafolkets talsystem bygger på basen. 7 En regel i det romerska är om ett mindre tal står till höger om ett större subtraheras det från det större. 8 Det egyptiska är ett positionssystem. Decimala Ditt talsystem Talsystem och tal på tallinjen 9 Ord & begrepp I stället för att skriva en upprepad multiplikation kan man skriva 3 4. Potensen 4 5 betyder 4 multiplicerat med sig självt fem gånger. Potensen 5 4 betyder 5 multiplicerat med sig självt fyra gånger. 3 Det decimala kan även kallas tiosystemet. Tvåsystemet kan även kallas det binära. 4 är lika med. är lika med. 5 I det binära använder man siffrorna. I det decimala använder man siffrorna 9. Mayafolkets talsystem bygger på basen. Det decimala bygger på basen. 7 En regel i det romerska är om ett mindre tal står till höger om ett större adderas det från det större. En regel i det romerska är om ett mindre tal står till vänster om ett större subtraheras det från det större. 8 Det decimala är ett positionssystem. - Det egyptiska är inte ett positionssystem. Problemlösning Visa din lärare (eleven gör ett eget talsystem). Visa din lärare (eleven gör ett eget talsystem). talsystem och tal på tallinjen 3

15 Hela vsnittsintroduktion Det sista avsnittet handlar om tal på tallinjen. Här börjar vi med de hela talen, både positiva och negativa, övergår till tal i decimalform för att till sist avsluta med tal i bråkform. På sista sidan i avsnittet har vi blandat olika sorters tal på tallinjen. Tal på tallinjen tal Tallinjen visar talens värde i förhållande till varandra. Tal som är större än kallas positiva tal. Tal som är mindre än kallas negativa tal. 5 5 Pil pekar på talet 8. Ju längre till höger ett tal är placerat på tallinjen, desto större är det. Kommentarer till faktarutan I den här faktarutan visar vi positiva och negativa heltal på en tallinje. Var noga med att understryka att för att kunna utläsa tals värde på en tallinje måste man utgå från de värden som man ser på tallinjen och sedan se vilket förhållande de har till varandra. Pil pekar på 8 och pil är precis mellan och 5, det vill säga 5. Vilket tal pekar pil på? Räkna uppåt med i taget och skriv talen från 4 till. nvänd dig av tallinjen i faktarutan. Jämför och resonera. 4 Vilket tal pekar pilen på? Räkna uppåt med 5 i taget och skriv talen från till. nvänd dig av tallinjen. 5 4 Vilket tal pekar pilen på? Här kan eleverna först pröva själva och sedan jämföra med andra för att till sist resonera i helklass. Pil pekar på 5. 4, 3,,,, och 5 5 Räkna nedåt med 5 i taget och skriv talen från 5 till 5. nvänd dig av tallinjen. Talsystem och tal på tallinjen ktivitet Tänk på Uppgift 4a: Det är mellan varje markering. Här pekar pilarna mellan två markeringar. Med hjälp av en tom tallinje kan eleverna undersöka tal och deras förhållande till varandra. Den tomma tallinjen kan till exempel vara en ritad linje på tavlan, ett uppspänt snöre, en ritad linje på ett papper eller ett ritat streck ute på asfalten. Markera tallinjens ändar med valfria tal till exempel till eller till. Dela ut lappar med utvalda tal till eleverna att sätta ut på tal linjen. Låt eleverna diskutera valet av placering och sedan sätta ut talen. Vill en elev ändra placering av något tal måste den motivera sin ändring. Eleverna kan även själva placera ut valfria tal på tallinjen och motivera dess placering. 4 talsystem och tal på tallinjen

16 Tal på tallinjen Tal i decimalform Det finns många decimaltal mellan två heltal, även mellan de negativa heltalen.?,5,5,5,5 Kommentarer till faktarutan Pilen pekar på talet,. På den här sidan får eleverna fortsätta att träna på tal på tallinjen men här med tal i decimalform. I faktarutan visas en tallinje som är indelad i tiondelar. Pilen pekar på talet,.,9,8,7,,5,4,3,, Vilket tal pekar pil på? Vilket tal pekar pil på? 43 Vilket tal pekar pilen på? 3 c),,,3,4,5,,7,8,9 44 Rita en tallinje från 3 till 3. Rita pilar som pekar på talen,5,5 c),5 d),5 45 Räkna nedåt med,5 i taget och skriv talen från till. nvänd dig av din tallinje. Vi rekommenderar att eleverna skriver svaren till de -uppgifter som klassen inte gör gemensamt. Här visas en tallinje som är indelad i hundra - delar. Pil pekar på,85. Pil pekar på,3. Talsystem och tal på tallinjen Tänk på ktivitet Låt eleverna arbeta i par. Här kan eleverna föreställa sig en tallinje eller använda sig av den som de ritade i uppgift 44. En av eleverna tänker på ett tal mellan 3 och 3. Den andre eleven ska försöka lista ut vilket tal eleven tänker på genom att ställa ja- eller nej-frågor. Exempel på frågor: DDÄr talet större än noll? DDÄr talet mindre än ett? DDÄr talet ett decimaltal? Här kan eleverna själva bestämma mellan vilka tal den tänkta tallinjen ska vara. Uppgift 44: Här kan man antingen rita en tallinje som visar tiondelar eller en tallinje med heltal där pilarna pekar mitt emellan heltalen. talsystem och tal på tallinjen 5

17 Tal Tal på tallinjen i bråkform Tallinjen visar talens värde i förhållande till varandra. Det finns många bråktal mellan två heltal. Kommentarer till faktarutan? lla olika sorters tal kan placeras på en tallinje, så även tal i bråkform. Tallinjen i faktarutan är delad i fyra lika delar mellan och vilket leder till att varje del är 4 Pilen pekar på 3 4 Tallinjen mellan och kan även delas i andra delar till exempel tiondelar eller hundradelar. Detta innebär att det kan finnas oändligt många tal i bråkform mellan två heltal. 4 Pilen pekar på talet Vilket tal i bråkform pekar pilen på? Rita en tallinje från till och placera ut talet 3 5 ktivitet c) 5 Med hjälp av en tom tallinje kan eleverna undersöka tal och deras förhållande till varandra. Den tomma tallinjen kan till exempel vara en ritad linje på tavlan, ett uppspänt snöre, en ritad linje på ett papper eller ett ritat streck ute på asfalten. Markera tallinjens ändar med valfria tal till exempel till eller till. Dela ut lappar med utvalda tal till eleverna att sätta ut på tallinjen. Låt eleverna diskutera valet av placering och sedan sätta ut talen. Vill en elev ändra placering av något tal måste den motivera sin ändring. Eleverna kan även själva placera ut valfria tal på tallinjen och motivera dess placering Rita en tallinje från till. Rita pilar som pekar på talen 3 c) 7 7 d) nvänd dig av din tallinje. Räkna uppåt med i taget och skriv talen från till 8 Talsystem och tal på tallinjen 9 Vi rekommenderar att eleverna skriver svaren till de Pröva och se om du förstår-uppgifter som klassen inte gör gemensamt. 3 talsystem och tal på tallinjen

18 Tal på tallinjen 49 Vilken pil pekar på d) D E F G H I,3 c) 4 e),7 f) 5 Rita en tallinje som visar tal från till. Rita pilar som pekar på talen,5 3 4 c), d),8 5 Kommentarer till sidan Eleverna får fortsätta att arbeta med tal på tallinjen. Här blandar vi hela tal, tal i decimalform och tal i bråkform. 5 Vilket tal pekar pilen på? Svara i decimalform och i bråkform. D,,,3,4,5,,7,8,9 5 Rita en tallinje från till 5. Markera och sätt ut 3 valfria tal i decimalform bråkform 53 Storleksordna talen. örja med det minsta. 5,8 7,4 3, , Tänk på Uppgift 5: Här passar det bäst att rita en tallinje som är indelad i tiondelar. Uppgift 5: Här kan eleverna antingen rita en tallinje med tiondelar utsatta eller bara en med heltal och markera ett decimaltal mellan heltalen. ktivitet Talsystem och tal på tallinjen 3 Som aktivitet till den här sidan kan eleverna konstruera egna tallinjer där man sätter ut heltal, tal i decimalform och tal i bråkform på samma tallinje. rbetsblad :5 : Läxa 3 talsystem och tal på tallinjen 7

19 rbetsgång Tal På Välj bland förmågorna-sidorna tränas kapitlets centrala innehåll utifrån de matematiska förmågorna. Här kan du som lärare eller eleven själv välja i vilken ordning övningarna ska göras. Det kan antingen vara att ni tillsammans kommit fram till en viss förmåga/förmågor som eleven behöver utveckla. Det kan också vara att du som lärare vill få tillfälle att bedöma en specifik förmåga. I vissa kapitel kan eleven själv i Mattekollen upptäckt någon förmåga som den behöver/vill utveckla. eroende på hur man tar sig an olika övningar kan eleverna utveckla även de andra matematiska förmågorna än den som framgår av rubriken. Vissa av övningarna kan du välja att göra i helklass. Eleverna kan när som helst längre fram i boken gå tillbaka till tidigare Välj bland förmågornasidor. på tallinjen Spela & kommunicera Från 5 till 5 Spel för 3 personer. Ni behöver penna, papper och en tärning. Ni slår en tärning och lägger till tusen efter det ni slår på tärningen. En femma är alltså värd 5. Den spelare som först kommer till 5 har vunnit. Spelet börjar på 5. Första spelaren slår tärningen upprepade gånger och summerar poängen efter hand. Det är tillåtet att slå tärningen hur många gånger som helst, men slår spelaren en etta förloras omgångens poäng. Problemlösning Vilka siffror gömmer sig bakom de geometriska figurerna så att uträkningen stämmer? + = Vid ett föräldramöte i aulan kom föräldrarna vid olika tidpunkter. Första gången dörren öppnades kom en förälder in. Varje gång som dörren öppnades därefter gick tre fler föräldrar in än gången innan. Dörren öppnades sammanlagt gånger. Hur många föräldrar var på mötet? Den spelare som väljer att stoppa innan han/ hon slår en etta, antecknar sin summa. Den spelare som först kommer till 5 vinner. Problemlösning 4 Talsystem och tal på tallinjen = 98 Här måste man tänka att kvadraten är mindre än triangeln och sedan får man pröva sig fram. Man ska bara använda sig av två siffror. 8 föräldrar 8 talsystem och tal på tallinjen

20 Tal på tallinjen Träna metod Tillverka en tallinje rbeta i par eller i mindre grupper. Tillverka en tallinje genom att rita en linje på ett papper eller använd ett snöre och placera ut lappar med tal på tallinjen. Tillverka en tallinje som går från till. Markera och skriv ut talen 5, 5,, 8 och 89. Tillverka en tallinje som går från till. Markera och skriv ut talen,8,5 3,5 och 99 3 Tillverka en tallinje som går från till. Markera och skriv tre tal som ni tycker är enkla och tre tal som ni tycker är svåra. Spela & kommunicera Tåget Ni behöver två tärningar. Rita elva tågvagnar var. 7???????? 7 Vagnarna ska fyllas med åtta tvåsiffriga decimaltal i storleksordning. Slå tärningarna varannan gång. ilda ett tvåsiffrigt decimaltal av de siffror du får. Välj vilken siffra som ska vara ental och vilken som ska vara tiondel. Om du slår en trea och en sexa kan du bilda 3, eller,3. Placera ditt tal i valfri tågvagn. Varannan gång är ditt tal ett positivt tal och varannan gång ett negativt tal. Om du inte kan placera ut ditt tal i någon vagn blir det näste spelares tur. Den spelare som först har fyllt sina vagnar vinner. Mattekollen Så här arbetar jag vidare med talsystem och tal på tallinjen. Talsystem och tal på tallinjen 5 Träna metod ,8,9 3,5 99,5,5 3 Eleverna har tillverkat en tallinje som går från till. Mattekollen Se sid XXX i Lärarguiden. talsystem och tal på tallinjen 9

21 Kommentar till sidorna ktivitet På Träna mera-sidorna ges eleverna möjlighet att repetera de delar som de fortfarande är osäkra på. Varje sida motsvarar ett avsnitt från grundkursen. Det betyder alltså inte att eleverna måste göra hela Träna mera utan bara de delar som berörs. När eleven sedan är säker på alla delar kan han/hon gå vidare till Fördjupning. Gå gärna tillbaka till aktiviteterna i kapitlet och låt eleverna arbeta praktiskt, för att befästa sina kunskaper. Talsystem Träna mera Träna mera Talsystem 54 Historiska talsy abyloniska talsystem Skriv som en potens. tre upphöjt till fyra Uppgift 54 55: Först får eleverna träna på att skriva tal i potensform. 55 Uppgift 5: Här ska eleverna skriva potensen som en upprepad multiplikation. c) Ta hjälp av det babyloniska talsys Skriv talet i vårt talsystem 3 c) 5 Skriv talet med babylonisk Skriv potensen som ett vanligt tal. Uppgift 57: Här ska eleverna skriva ut talet som ett vanligt tal. Skriv potensen som en upprepad multiplikation c) åtta upphöjt till två sex upphöjt till fem Skriv talet i potensform. 4 c) 33 Romerska Ta hjälp av det romerska talsystem 58 Uppgift 59: Här ska eleverna skriva det binära talet i vårt talsystem. Till skillnad från grundkursen har de här hjälp av att de skriver de olika tal sorterna i ett binärt positionssystem. 59 Skriv talet i det binära? åttatal fyrtal tvåtal ental Vårt talsystem Uppgift : Här ska de skriva tal i det binära. Till skillnad från grundkursen har de här hjälp av ett binärt positionssystem. Rita av tabellen. Skriv talet i det binära. inära Vårt talsystem tal -tal -tal c) 8-tal 8-tal 4-tal -tal -tal Vilket ordningstal har kun inära 3 Skriv det binära talet i vårt talsystem. c) d) e) f) g) h) Karl XII 4 Skriv talet i vårt talsystem IV 5 Skriv med romerska siffror c) 3 d) rbetsblad : : e) 8 Talsystem och tal på tallinjen Historiska talsystem Träna mera 54 Historiska talsystem abyloniska Skriv som en potens. tre upphöjt till fyra 55 sex upphöjt till fem c) åtta upphöjt till två Ta hjälp av det babyloniska på fliken längst bak i boken. På dessa träna mera-sidor som handlar om historiska talsystem har vi valt bort det egyptiska eftersom många elever redan stött på det under lågstadiet och Mayafolkets talsystem eftersom det är ganska svårt. Skriv talet i potensform c) c) 5 4 Skriv talet i det binära? åttatal fyrtal tvåtal ental 59 c) d) c) d) 5 Romerska 8-tal 4-tal -tal -tal c) Rita av tabellen. Skriv talet i det binära. 5 3 inära 8-tal 4-tal -tal -tal 3 d) e) f) g) h) Vilket ordningstal har kungen? inära Uppgift 3 5: De här uppgifterna handlar om det romerska. Vårt talsystem Ta hjälp av det romerska på fliken längst bak i boken. Skriv det binära talet i vårt talsystem. Vårt talsystem c) rbetsblad :4 4 c) 33 Uppgift : Första halvan av sidan handlar om det babyloniska. Till skillnad från grundkursen behöver eleverna inte skriva några tal som är större än 3. Skriv talet med babyloniska siffersymboler. Skriv potensen som ett vanligt tal. 58 Skriv talet i vårt talsystem. Skriv potensen som en upprepad multiplikation Träna mera Talsystem c) Skriv talet i vårt talsystem. IV 5 Gustav VI dolf Erik XIV Karl XII 4 XVII c) XI d) M c) d) 9 Skriv med romerska siffror. 8 c) 3 d) e) 8 Talsystem och tal på tallinjen 7 Talsystem och tal på tallinjen Tal på tallinjen Träna mera Uppgift 7: Eleverna får här träna på hela tal, positiva och negativa, på tallinjen. Uppgift 9 7: Här får eleverna träna på att läsa av tal i decimalform och tal i bråkform på en tallinje. Till skillnad från grundkursen har vi inte några uppgifter med hundradelar. rbetsblad : Vilket tal ska stå istället fö 7 7x = x3 = 74 Hur många gånger större 75 Vilket tal är störst? eller Rita en tallinje från till. Placera ut talen Eleverna Helge, Jennifer o Helge svarar, Jennifer s Vem har rätt? Räkna nedåt med fem i taget och skriv talen från 5 till. nvänd dig av tallinjen i uppgift b. 7 c) 8 Skriv talet i det binära tals 39 Vilket tal pekar pilen på? 43 c) 55 d) Skriv talet i vårt talsystem c) två Titta på mönstret i det bin Vad heter de tre följande p två Vilket tal i bråkform pekar pilen på? 79 Skriv talet i det binära tals 9 8 Talsystem och tal på tallinjen 3 talsystem och tal på tallinjen Talsystem och t Vilket tal pekar pilen på? Uppgift 8: Här får eleverna själva konstruera en tallinje och placera ut tal på den. Fördjupning Tal på tallinjen 5 c) 8 Vilka fördelar ser du med v jämfört med det binära tal när man ska skriva stora ta

22 tusental 3 hundratal tiotal ental 3 = = = = = = 4 sextontal 3 åttatal fyrtal tvåtal ental 4 = = 3 = = 8 = = 4 = = Romerska M D L X V I Vårt talsystem Egyptiska Vårt talsystem,5,5,5,5 tusental 3 hundratal tiotal ental 3 = = = = = = 4 sextontal 3 åttatal fyrtal tvåtal ental 4 = = 3 = = 8 = = 4 = = Romerska M D L X V I Vårt talsystem Egyptiska Vårt talsystem,5,5,5,5 Kommentar till sidorna På Fördjupningssidorna ges eleverna möjlighet att gå djupare in i kapitlets innehåll. Här kan de hitta uppgifter som är lite mer krävande. Fördjupning Talsystem och tal på tallinjen Talsystem och tal på tallinjen Eleverna Helge, Jennifer och Enar skriver potensen 4 3 som ett vanligt tal. Helge svarar, Jennifer svarar 4 och Enar svarar 8. Vem har rätt? Förklara vilka fel de andra eleverna har gjort. Vilket tal ska stå istället för x så att likheterna stämmer? 7 7 x = 49 x = 8 c) x = 73 x 3 = x = c) x = miljon Uppgift 74 75: Dessa uppgifter blir enklast om man skriver talet som ett vanligt tal. c) 8 74 Hur många gånger större är 3 3 än 3? 75 Vilket tal är störst? eller 4 3 eller 3 4 c) 5 eller 5 7 Skriv talet i det binära c) 55 d) 77 Titta på mönstret i det binära. Vad heter de tre följande positionerna till vänster om sextontalet? 78 Skriv talet i vårt talsystem. trettiotvåtal 5 två två sextontal 4 åttatal 3 fyrtal tvåtal ental Uppgift 78 79: Dessa binära tal är svårare än på grundkursen eftersom de även innehåller positionen 8-tal. Uppgift 8: Med vårt talsystem kan man skriva stora tal med färre antal siffror. c) två d) två 79 Skriv talet i det binära c) d) 5 8 Vilka fördelar ser du med vårt talsystem jämfört med det binära när man ska skriva stora tal? Talsystem och tal på tallinjen 9 8 Skriv talet med Mayafolkets siffersymboler c) 9 d) 8 Fördjupning Talsystem och tal på tallinjen 8 Jämför vårt talsystem med det babyloniska. Vilka för och nackdelar finns det med de båda talsystemen? Decimala inära Sätt dig in i exemplet ovan hur man adderar binära tal. nvänd dig av din nya kunskap och lös följande uppgifter Gör uträkningen i det decimala. Gör om de två talen så att de är skrivna i det binära. c) Gör uträkningen i det binära. två + två = två Gör uträkningen i det decimala. Gör om de två talen så att de är skrivna i det binära. c) Gör uträkningen i det binära. Talsystem och tal på tallinjen egrepp och metoder Talsystem och tal på tallinjen egrepp Förklaring Exempel potenser I en potens multipliceras basen med sig självt så = 8 många gånger som exponenten visar = 3 4 bas 3 Uppgift 4 bas 83 8: När man ska addera binära tal måste man tänka på att med exponent 3 basen 4 exponent decimala Vårt talsystem är har basen varje och vi använder tio position fylld när man har av den talsorten. Har man två av siffror, -9. samma talsort måste man växla till närmaste större talsort, till exempel två binära Det binära har basen och vi använder två siffror, -. ental växlas till ett tvåtal eller två tvåtal växlas till ett fyrtal och så vidare. historiska talsystem I det babyloniska byggde man upp 5 59 siffersymboler för talen 59. I Mayafolkets talsystem byggde man upp 49 siffersymboler för talen 9. I det romerska skrivs siffrorna med bokstäver. Det egyptiska bygger precis som vårt talsystem på basen. Varje talsort har ett speciellt tecken Gör uträkningen i det decimala. Gör om de två talen så att de är skrivna i det binära. c) Gör uträkningen i det binära Gör uträkningen i det decimala. Gör om de två talen så att de är skrivna i det binära. c) Gör uträkningen i det binära. tallinje En tallinje visar talens förhållande till varandra. Mattekollen Det här kan jag nu om talsystem och tal på tallinjen. 3 3 Talsystem och tal på tallinjen Talsystem och tal på tallinjen 3 n egrepp och metoder Talsystem och tal på tallinjen egrepp Förklaring Exempel egrepp och metoder Mattekollen 3 potenser I en potens multipliceras basen med sig självt så = 8 många gånger som exponenten visar = 3 4 bas 3 4 bas exponent 3 4 exponent decimala Vårt talsystem har basen och vi använder tio siffror, -9. egrepp och metoder-sidan kan användas aktivt av elever. Den kan användas som Se sidan XXX i Lärarguiden. två + två = två träkningen i det decimala temet. m de två talen så att de är na i det binära. träkningen i det binära temet. träkningen i det decimala temet. m de två talen så att de är na i det binära. träkningen i det binära temet. binära historiska talsystem tallinje Det binära har basen och vi använder två siffror, -. I det babyloniska byggde man upp 59 siffersymboler för talen 59. I Mayafolkets talsystem byggde man upp siffersymboler för talen 9. I det romerska skrivs siffrorna med bokstäver. Det egyptiska bygger precis som vårt talsystem på basen. Varje talsort har ett speciellt tecken. En tallinje visar talens förhållande till varandra Mattekollen Det här kan jag nu om talsystem och tal på tallinjen. 3 DDen uppslagsbok till begreppen DDen formelsamling där alla kapitlets begrepp och metoder är beskrivna DDrepetition inför testet Projekt Extrauppgift till kapitlet, se projekten sidan XX i Lärarguiden. Talsystem och tal på tallinjen 3 talsystem och tal på tallinjen 3