Boken Förstå och använda tal en handbok behandlar 22 områden av elevers

Transkript

1 Marie Mäkiranta Att diagnostisera elevers kunskaper och missuppfattningar Författaren har i ett fördjupningsarbete under en kurs i Lärarlyftet arbetat med boken Förstå och använda tal en handbok av Alistair McIntosh. Boken bygger på resultat från forskning och utvecklingsarbete och syftar till att ge lärare ett verktyg för att förebygga och reda ut elevers svårigheter och missuppfattningar när det gäller taluppfattning. I artikeln undersöker författaren elevernas kunskaper om bråk. Boken Förstå och använda tal en handbok behandlar områden av elevers utveckling av förståelse för tal, och beskriver vanliga typer av missuppfattningar, vad man kan göra åt dessa och, framför allt, hur man som lärare kan undervisa för att eleverna över huvud taget inte ska utveckla dessa felaktiga uppfattningar. Dessutom innehåller boken ett antal översiktstest. I mitt fördjupningsarbete ville jag prova att arbeta med hjälp av den nyutkomna boken. Syftet var att se om handboken fungerar. Frågan var: Skulle jag hitta några missuppfattningar som med handbokens hjälp sedan skulle kunna kopplas till aktiviteter eller andra åtgärder för att klargöra missuppfattningarna för eleverna? Jag ville ta reda på i vilken utsträckning missuppfattningar skulle kunna identifieras och om jag med hjälp av handboken skulle kunna starta ett inledande åtgärdsarbete. Mitt arbete startade med att eleverna i en årskurs under hösten fick göra översiktstest. En sammanställning av resultatet visade på stora kunskapsbrister inom flera områden. Jag kommer dock här att koncentrera mig på de uppgifter som behandlar bråk. Varför bråk? Alistar McIntosh hävdar i handboken (00, s 9) att: Övergången från de hela talen till tal i bråkform [...] är en kritisk punkt för de flesta elever. [...] Traditionellt sett har undervisning i bråk inte givit eleverna tillräckligt med tid och möjligheter för att utveckla förståelse för vad bråk är. Däremot har mycket tid lagts på att lära ut regler för de fyra räknesätten. Dessa är svåra nog i sig själva och blir ännu svårare om man inte förstår de tal man skall operera med. [...] I Sverige använder vi i vardagslivet inte längre tal i bråkform så mycket som förr i tiden. Men de är ändå viktiga för att förstå och kunna Nämnaren nr 009

2 uttrycka storleken av olika andelar och [...] därmed grundläggande för att förstå både tal i decimalform och procentbegreppet. Baskunskaper om bråkformen och bråkräkning är också nödvändiga när man skall lära sig algebra. Min undersökning Av klassens elever svarade följande antal korrekt på de uppgifter i översiktstestet som behandlade bråk: Uppgift nr 6 Antal korrekta svar 9 9 Efter resultatsammanställningen valde jag ut sex elever att intervjua för att få reda på hur de tänkt när de löst uppgifterna. Dessa elever hade på testet svarat fel på tre till åtta av de tio bråkuppgifterna. Jag ville se om även elever med många korrekta svar hade missuppfattningar som skulle komma att synliggöras vid en intervju därför valde jag elever med spridda resultat i testet. Intervjuerna videofilmades och jag följde handbokens instruktioner om att inte under intervjun tala om för eleven om denne löst uppgifterna korrekt eller ej, samt att låta eleven stå för pratandet. Syftet med samtalen är enligt handboken, att eleven ska få möjlighet att visa och förklara och att läraren ska upptäcka hur eleven tänker när hon löser problem (s ). Intervjun är alltså inte ett undervisningstillfälle utan en möjlighet att få underlag till undervisning efter intervjun. I mina analyser av intervjuerna/samtalen har jag delat in elevernas 60 lösningar (sex elever löste tio uppgifter var) i åtta kategorier. I sju av lösningarna finns två kategorier med, därför blir summan av lösningarna nedan 6 istället för 60. De åtta kategorierna Antal lösningar A. Korrekt svar. Samtalet bekräftar att eleven tänkt rätt. 9 B. Korrekt svar, men efter att eleven ritat en bild. C. Felaktigt svar som borde varit korrekt, pga visade kunskaper vid andra lösningar tidigare under samtalet. 6 D. Korrekt svar, men med hjälp av samtalet identifieras missuppfattning. Svaret råkade bara bli rätt, eleven har inte förstått. E. Felaktig lösning och tanke. Samtalet identifierar missuppfattning. F. Eleven har försökt, men gett upp. Efter frågan Hur skulle du göra om du skulle gissa, chansa eller räkna ut på ett ungefär, då? löser eleven uppgiften korrekt respektive felaktigt. 6 resp G. Felaktigt svar. Vid frågan Hur tänkte du? inser eleven sitt misstag. H. Felaktigt svar pga enkla räknefel. Rätt tänkt. I. Sex lösningar med korrekt respektive felaktigt svar gav mig ingen information. Antingen hördes elevens förklaring för dåligt på filmen, eller så missade jag att ställa tillräckligt klargörande frågor. resp Nämnaren nr 009

3 Utdrag ur elevintervjuerna Förklaring till intervjutexten: Mina frågor föregås av talstreck ( ). [Text inom hakparentes anger vad eleven gör, eller mina förklaringar till läsaren.] Övrig text representerar elevens kommentarer. Kategori A. Korrekt svar. Samtalet bekräftar att eleven tänkt rätt 6 Rita en ring runt det tal som ska stå på den tomma linjen för att exemplet ska stämma. = 6 [Ringar in.] Om man tar ½ så blir det ju ½. Om man multiplicerar med ett tal mindre än så blir det ju mindre än. Att multiplicera med ½, det är ju samma som att halvera det är egentligen som division, ungefär. Kategori B. Korrekt svar, men efter att eleven ritat en bild Vilken summa är större än? Svara utan att räkna fram svaret. Gör en ring om ditt svar. 9 Här vet jag att man ska göra om till samma nämnare... Kan du se vilken summa som är störst utan att behöva räkna ut alla? [Adderar då alla täljare för sig och alla nämnare för sig. Ringar sedan in ett felaktigt alternativ, har blandat ihop täljare och nämnare och får för sig att ₉ är två och en fjärdedel. Funderar vidare.] Nej så kan det inte vara... [Kommer på sitt misstag och funderar igen. Ritar upp två rektanglar med två markerade femtedelar respektive tre markerade sjundedelar. Jämför sina bilder och anser att de tillsammans borde bli mindre än en hel. Fortsätter med resten av uttrycken, men räknar nu i huvudet om täljaren är mer eller mindre än hälften av sin respektive nämnare. Kommer fram till korrekt svar och ringar in det.] Äntligen kom jag fram till det rätta svaret! Är du säker på att det är rätt? Ja, nu är jag säker! Nämnaren nr 009

4 Kategori C. Felaktigt svar som borde varit korrekt, pga visade kunskaper vid andra lösningar tidigare under samtalet Här får man studera uppgift, och i en sekvens. Samma elev löser uppgift och korrekt, men i uppgift blir det fel. Ringa in alla sanna påståenden om talet Det är större än Det är lika mycket som 0, Det är samma sak som, Det är större än [Ringar först in Det är lika mycket som 0, och sedan Det är större än ¹ ₃.] Jo, om man delar 00 i så blir det 0. Har man då två [syftar på ² ₅] så blir det ju 0,. Sen ¹ ₃ är ju 0, som är mindre än 0,. Uttryck 60 % i bråkform och i decimalform. [Skriver ² ₃ och 0,60.] Jo, ¹ ₃ är ju 0,0, eller... Om man dubblar upp det blir det ja det blir det. Och 0,60, det är ju 60 %. Skriv följande tal i storleksordning med det största först. 0, % [Löser uppgiften korrekt och förklarar:] % är ju 0,; en tredjedel är 0,; sen 0, är ju mindre än en tredjedel och sedan är det här 0. Kategori D. Korrekt svar, men med hjälp av samtalet identifieras missuppfattning. Svaret råkade bara bli rätt, eleven har inte förstått 0 Rita en ring runt det största talet. 6 6 Nämnaren nr 009

5 [Eleven har i testen korrekt svarat att ¾ är det största talet.] Hur vet du att ¾ är större än ₅? [Förklarar korrekt att är mindre än en halv, att 6 är lika mycket som en halv, att är mer än en halv och att ¾ är nästan en hel.] Hur vet du att ¾ är mer än ₅? [Ritar två rektanglar och markerar tre femtedelar respektive tre fjärdedelar gör dock alla bitar lika stora, vilket medför att de markerade delarna blir exakt lika stora. (Rektangeln med femtedelar blir alltså större än den med fjärdedelarna.)] Nej, de här är ju lika stora. Kan jag ringa in två tal? Det står rita en ring runt det största talet, så det ska bara vara ett tal. Ok, då behåller jag det som det är, jag kan inte förklara varför de är lika stora. Kategori E. Felaktig lösning och tanke. Samtalet identifierar missuppfattning Ringa in det tal som är större än men mindre än. [Ringar in både ₃ och.] Jo, tre delar av fyra, det är ju lika mycket som två delar av tre och samma med fyra delar av fem. Det fattas en del, liksom. F. Eleven har försökt, men gett upp. Efter frågan Hur skulle du göra om du skulle gissa, chansa eller räkna ut på ett ungefär, då? löser eleven uppgiften korrekt respektive felaktigt 0 Du ska gå runt det kvadratiska fältet. Du startar vid hörnet S och rör dig i pilens riktning. Sätt ett X där du är efter att ha gått av vägen. S Jag vet inte hur jag ska göra... ska man mäta med linjal, eller? Hur skulle du göra om du inte hade någon linjal? Jag skulle dela in hela sträckan i fem delar. Då blir första lite kortare än första sidan, men inte så kort som hälften, för då blir det. [Visar hela vägen runt hur kvadraten delas in i fem nästan lika stora delar. Placerar sitt X på korrekt plats.] Nämnaren nr 009

6 av 00 Hur mycket är av 00? Det är väl. =. [Funderar ett tag.] Nej, vänta nu... 0 = 0. Då går det ju inte... 0 är kvar... det är två åttor... vad är det... hm, nej jag kan inte. Hur skulle du göra om du skulle gissa hur man gör? Då tänker jag så här: Om man har 0... =, då har man kvar. = 0, eller är det det...? Jo... [Här trasslar det till sig med räknandet. Efter en stund räknar eleven, med hjälp av huvudräkning via 0, fram att = 96, och tycks sedan fortsätta där tanken var innan det trasslade till sig.] Då har jag kvar, och det är ju en halv åtta, alltså blir det,. Sådär, det blir,! [Känner sig klar med hela uppgiften.] Vad har du räknat ut nu? Ja, vad har jag räknat... det blir,. Vad är det som är,? Hm... av 00! Vänta då måste jag fortsätta..., blir det! Hur kom du fram till det? Jo, det var ju av 00, så då var jag tvungen att multiplicera, med. [Räknade åter med hjälp av huvudräkning.] Kategori G. Felaktigt svar. Vid frågan Hur tänkte du? inser eleven sitt misstag Rita en ring runt det största talet. 6 [Ringar in ₆.] Jo, det är ju hälften. [Tänker. Ändrar sig sedan, och ringar istället in ¾.] Nej, det här måste vara större. Man har ju nästan alla delar av, de andra är mindre. Kategori H. Felaktigt svar pga enkla räknefel. Rätt tänkt av 00 [Skriver upp 00 /. Kan inte räkna ut det. Tänker istället 0.] Det blir 0, då är det 0 kvar till 00. Då tar jag 0 /. Det blir [räknar fel]. Jo, för det blir Nämnaren nr 009

7 [räknar på fingrarna],,, 6, 0 ja, det blir gånger. Då lägger jag ihop 0, som jag fick fram förut, och som jag fick nu. Då blir det. Sen tar jag tre gånger. [Använder multiplikationsalgoritmen.] Det blir. Sammanfattning Vid analysen av intervjuerna fick jag en oerhört nära kunskap om varje elevs tänkande. Då kunde jag förstå vad eleven hade missuppfattat vilket gjorde att det blev väldigt enkelt att snabbt hitta exakt vad jag sökte i handboken. Detta gjorde att jag direkt förstod vad eleven behövde få hjälp med. Bland de sex elever som deltog i mitt arbete förekom många svårigheter/ missuppfattningar när det gäller utbytbara bråk (¼ = osv) och relativa storleken på tal i bråkform (Är ₉ större eller mindre än ⁵? Varför?). I linje med handbokens förslag arbetade vi bl a med rektanglar som vi delade och färglade för att synliggöra utbytbara bråk. Vi använde även lappar med tal i bråkform mindre än, som jag tillverkade och lät eleverna sätta upp på en nästan tom tallinje (med endast talen 0 och markerade) för att få eleverna att förstå bråktalens rätt inbördes ordning. Eleverna fick berätta hur de resonerade och vi kunde diskutera varför bråken hamnade där de hamnade samt visa symbolspråk kopplat till de laborativa övningarna. Under intervjuerna och i det efterföljande arbetet med eleverna framkom även en del grundläggande svårigheter som inte direkt handlade om bråk. Flera av eleverna hade brister i sin förståelse av multiplikation. Även här fick jag hjälp av handboken för att på ett verkningsfullt sätt kunna hjälpa eleverna. Alla eleverna uttryckte att de lärt sig något nytt om något de tidigare haft svårigheter med. Följ handbokens rekommenderade arbetsgång! Elever som arbetat laborativt, t ex flyttat stenar, klippt snören och satt upp lappar med klädnypor samt berättat vad de gjort och varför, har mycket lättare att sedan förstå övergången till de abstrakta symbolerna. I och med det kan vi ännu bättre utnyttja den dyrbara lektionstiden till att reda ut nya missförstånd istället för att i åratal hänga kvar vid de gamla! Involvera skolledningen om så behövs, för att skapa tid och organisation som möjliggör intervjuer med eleverna! Kanske får man som lärare höra att resurserna inte räcker till. I praktiken innebär intervjuerna en enorm tidsbesparing. Det efterföljande arbetet kan inriktas direkt på relevanta moment då den exakta informationen från intervjun leder läraren rakt på rätt ställe i handboken. Enligt min analys av intervjuerna framkom det ju även att vissa uppgifter som redovisats med ett korrekt svar, dolde en missuppfattning som slumpmässigt resulterat i korrekt svar. Dessa missuppfattningar hade varit svåra att upptäcka så snabbt om ens alls. Det är lätt att i handboken hitta förslag till åtgärder för att reda ut elevernas missuppfattningar tack vare kommentarerna med kapitelhänvisningar som finns efter varje uppgift i översiktstesten. Gedigna texter redogör för grundläggande kunskaper inom respektive avsnitt. Kritiska punkter i undervisningen samt vanliga missuppfattningar pekas ut. Därtill redovisas ett antal förslag på övningar som är lämpliga att använda i undervisningen. Även utan intervjuer är handboken riktigt bra. Med intervjuer är den fantastisk! Litteratur McIntosh, A. (00). Förstå och använda tal en handbok. Göteborgs universitet, NCM. Bentley, P-O. (00). Svenska eleverers matematikkunskaper i TIMSS 00. Skolverket. Bentley, P-O. (009) TIMSS 00 En djupanalys av svenska elevers matematikkunskaper. Nämnaren 6(). Nämnaren nr 009 9