StaM-Bladet. Informationsblad för medlemmar i StaM (Statistisk Metodik), sektion inom SFK, Svenska Förbundet för Kvalitet

Transkript

1 StaM-Blaet Iformatiosbla för melemmar i StaM (Statistisk Metoik), sektio iom SFK, Sveska Förbuet för Kvalitet Jui 997 årgåg 7 ummer 3 Trettoe umret I etta trettoe StaM-Blaet har vi återige samlat ågra olika artiklar. E såa iskuterar ågra egeskaper hos e populära måtte "mi" och "ma" och sammahägae variatiosvi. Sture Ryi frå Stora Cell svarar på fråga "Hur ofta skall ma mäta?" och Mats Frazé på Ericsso Cables hjälper oss att hitta på iteret. Vi skriver också ågra raer om Tjebysjevs olikhet, e av måga bra grejer att ha å ma stuerar statistisk metoik. De yfike bör slå upp ea, och ara olikheter och tumregler, i ågo bok om statistik. Orföraes ruta Jag heter Susaa Weiberger och är y orförae i SFK-StaM och tillika bergsigejör. Jag kom i kotakt me SFK-StaM i börja på 90- talet är jag letae efter bättre sätt att geomföra försök i prouktioe. Via Taguchis metoer kom jag att gå viare till gruera i statistisk försöksplaerig och ärme Bo Bergmas grupp i Liköpig och SFK-StaM:s semiarieagar. I mitt uvarae arbete som riftsigejör på Ovako Steel i Hofors har jag äu ite huit ta iitiativ till ågra statistiskt plaerae försök, me et kommer säkert att bli tillfälle till et. SFK-StaM är e lite iéell orgaisatio me vi blev till vår förvåig äå kotaktae set i höstas av Royal Statistical Society i Egla. I brevet uttrycker e sitt itresse att orgaisera e semiarievecka tillsammas me oss uer 998 eller 999 i Sverige! Vi hoppas att vi me ara orgaisatioer, uiversitet och högskolor i Sverige skall kua få till e kommitté som ka ta sig a etta. Jag har tittat igeom alla StaM-Blaet som vi har givit ut. Det fis mycket matyttigt i em och måga fuerigar och tips som äve persoer uta statistisk eame ka ta till sig. Vi kommer äve i fortsättig att balasera viare på kate mella populärstatistik och lite svårare ilägg. Vissa ummer väger över åt eera hållet me målet är som tiigare att itressera er melemmar för olika typer av statistisk metoik. Tala gära om för oss om i har speciellt itresse iom ett områe. Vi ka kopiera upp åt er om et fis ilägg i tiigare StaM-blaet som i själva ite har. Till sist: Låa ut era StaM-Blaet, låt em gå på cirkulatio till kollegor som ka ha ytta av em! Hälsigar Susaa Weiberger, Ovako Steel AB Översta figure är ite e parabel vs e aragraskurva, uta resultatet å ma plottar f() mot F() för e ormalförelig N[0, ]. Om ma apassar e aragraskurva me regressiosaalys till kurva och sea plottar resiualera, erhålles e ure kurva. Förteckig över styrelse fis på sista sia

2 StaM-Blaet r 3, jui -97 De valigaste uppgifte är ma sammafattar ett atamaterial är ataglige meelväret, och e flesta mäiskor har iga svårigheter att vare sig beräka eller förstå ess egeskaper. Dock har ma ofta lättare att framhäva ess egativa sior (jfr eemplet me frysboe och kokplatta) ä ess positiva sior (väteväresriktighet m.m.). De som arbetar me umeriska ata käer ock sart behovet av ågot slags spriigsmått, t.e. variatiosvie som efiieras som skillae mella atamäges ma- och mi-väre och beteckas ofta me R (Rage) Mi, meel och ma frå e ormalförelig N(50; 5) stickprov me 50 väre Väre frå e ormalförela variabel N(50; 5) Figur. Diagrammet visar 0 simulerae stickprov frå e ormalförelig. I varje stickprov har mi-, meel- och maväret markerats me ett vertikalt streck. Alla essa har sea sammaförts på iagrammets X-ael. Det framgår tyligt att mi- och maväret har e mycket större spriig ä meelväret. Eftersom mi- och mavärea är gaska praktiska och lätta att förstå, aväs e ofta å ma iskuterar eller aalyserar spriige hos e eller flera atamäger. Ma bör å ha e viss förståelse för figur och. Figur. Diagrammet visar förelige för mi-, meel- samt maväret om ma tar 50 väre ur e ormalförelig me väteväre 50 och staaravvikelse 5. Förelige för mi- respektive maväret är skeva (vs ej symmetriska). Resultate frå figur är också iritae i figur. Något om spriige hos mi och ma Vi skall här ite iskutera variatiosvies olika egeskaper uta sarare titta på ma- och mivärea, eras spriig och eras förhållae till staaravvikelse (s). Detta väre, som tiigare iskuterats ett atal gåger i StaM-Blaet, är ett valigt mått på spriige i ett atamaterial. Nackele me R är att väret ökar å atalet mätväre () ökar. Föräras ite staaravvikelse me ökat? Nej, bara skattiges oggrahet föräras, vs ju fler mätväre esto bättre skattar s et saa väret σ (Se figur 3-4 eller StaM-Blaet r ). Vaå variatio? Hos mi och ma?

3 3 StaM-Blaet r 3, jui 'Staaravvikelse' () och 'variatiosvi' () Stickprovstorlekar frå N(50; 5). 50 väre per pukt Kvote 'variatiosvi' / 'staaravvikelse' Stickprovstorlekar frå N(50; 5). 50 väre per pukt. Figur 3. Diagrammet visar simulerae väre frå e ormalförelig me stickprovstorlekar väre. Varje stickprov storlek har simulerats 50 gåger. Det framgår tyligt av figure att variatiosvie R ökar å ökar. Speciellt är etta tyligt å ökar frå 5 till t.e. 80. Staaravvikelse visar ige såa tees. Dock ser ma att variatioe hos e beräkae staaravvikelse miskar. Figur 4. Ibla aväs tumregel att förhållaet mella variatiosvie och staaravvikelse är ugefär 6. Figure visar att ea tumregel ka aväas å är ågorlua stort t.e. > 50 väre. Diagrammet visar simulerae väre frå e ormalförelig me stickprovstorlekar väre. Varje stickprov storlek har simulerats 50 gåger. Därefter har kvote beräkats. Se också e matematiska behalige av förhållaet mella mi, ma och meelväret. Något om variatiosvie Atag att vår ata kommer frå e förelig som vi beteckar me f(). Dess föreligsfuktio kallar vi F(). Då ka vi beräka förelige för mista, största, äst mista etc i stickprov me väre. Detta brukar reovisas uer Orer statistics i läroböckera i statistik. Vi aväer bokstave k för att betecka et väre vi är itresserae av: f k k f F F k k k ( )! ( )! ( )! ( ) ( ) ( ) = [ ] [ ] Om vi är itresserae av mista väret (mi) vs vi sätter k =, får vi följae uttryck: f f F ( ) ( ) ( ( )) = Om vi är itresserae av största väret (ma) vs vi sätter k =, får vi i stället följae uttryck: f f F ( ) ( ) ( ) = [ ] Observera att et ite är lätt (eller es allti möjligt) att ge ett uttryck för f k (). I figur har vi avät e ator för att beräka kurvora för mi- respektive maväret me ågot eskilt uttryck för kurvora har vi ite. Något mer om ma och mi och staaravvikelse På e följae siora fis et ytterligare e betraktelse av förhållaet mella mi-, ma och staaravvikelse.

4 Atag m = 5.3 och s = 0.34 och =. Va blir å största möjliga variatiosvi? Va blir mista möjliga variatiosvi? Atag att vi har beräkat meelväret och staaravikelse i ett atamaterial. Va ka vi säga om storleke på mi- respektive maväret? Me east e två atauppgiftera ova, och uta e eskila mätvärea, ka vi aturligtvis ite säga eakt va miimum eller maimum är. Vi ka ock ge ett itervall som stäger i essa båa väre. Vi utgår ifrå uttrycket stickprovsvariase och omvalar et ågot (summa kallas ofta kvaratsumma eller kvaratavvikelsesumma): Vi ka här skriva e totala kvaratsumma på följae sätt och få ett uttryck av : = ( ) s = s vilket ger mista möjliga variatiosvi (R mi ): ± s R = s mi s Σ( i ) = Σ( i ) = ( ) s Största möjliga variatiosvi erhålles om atapuktera förelas eligt följae figur: Här har vi ett ua atal atapukter. Det ger ågot mer komplicerae uttryck. Me följae två formler, e första är uttrycket för kvaratsumma och e ara visar e "jämviktsformel" rut meelväret (meelväret är allti atamäges tygpukt), får vi ett uttryck för och ett aat för (vi visar ite etaljera): Formel ova ka å skrivas på följae sätt: ( ) + ( ) + + ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) s K är () och () är mista respektive största väret. Vi ka u beräka väret på avstået : vilket ger = ( ) s = s Största möjliga variatiosvi (R ma ) blir u: ± s Mista möjliga variatiosvi. Mista möjliga variatiosvi erhålles å atapuktera förelas eligt följae figur: R = s ma Här har vi ett jämt atal atapukter. Hälfte vi mi- och hälfte vi maväret. s = ( ) =.. = s = s ( ) ( + ) + Dessa två uttryck gäller å vi har ett ua atal atapukter. Ett räkeeempel. Atag att = 5.3, s = 0.34 och = vs ua. Största möjliga variatiosvi blir: 53. ± =. 506 Mista möjliga variatiosvi (R mi ) å är ua: ( ) mi = = ( + ) + ma = = R mi = = StaM-Blaet r 3, jui -97 4

5 Kommetarer Om ma matar i , 9 st 5.3-väre (vs ) samt erhålles = 5.3 och s = Hela variatioe består alltså av e två etrempuktera eligt figur och största möjliga variatiosvi blir.506. Om ma matar i 6 stycke väre och 5 stycke väre, erhålles = 5.3 och s = 0.34 och mista möjliga variatiosvi blir Självklart ka e atapuktera förelas på e oäligt måga sätt och äå ge = 5.3 och s = Beräkigara ova ger bara gräsväre. Observera att vi ite har blaat i ågo iskussio av typ av förelig. De som vill lära sig mer om ovaståee resoemag och itilliggae teorier bör stuera ågo bok i matematisk statistik och å bl.a. slå upp Tjebysjovs olikhet (se också sia 9). Ytterligare kommetarer Om vi låter bli stort är et ibla lättare att se va formlera ger. Vi ersätter ( ) och ( + ) me bara i formlera (felet blir litet). Största möjliga variatiosvi, givet ett visst väre på staaravvikelse, blir: ± s Mista variatiosvi blir = = = s och vi får: ± s Eempel. Låt som tiigare = 5.3, s = 0.34, = 300. Vi matar i 50 väre = 4.96 och 50 väre = 5.64 i ator. E beräkig av meelväre och staaravvikelse ger värea 5.3 respektive Det är ite ofta som StaM-Blaet preseterar verk frå e Nobelpristagare. Nea fis ock ett Birag till statistike Av hura mäiskor är e som vet bäst mist femtiotvå, e som me tveka tar ett steg ästa hela reste, e som är reo att hjälp till, bara et ite tar för mycket ti, så måga som fyrtioio, e som allti är sälla, för e ka ite aat, fyra eller kaske fem, e som ka beura e uta avu arto stycke, e som har förts vilse av si ugom som förgått setio, setiofem, e som ite är att leka me fyrtio plus fyra, e som lever i stäig ågest för ågo eller ågotig hela sjuttiosju, e begåvae för lycka ite fler ä tjugofem, e harmlösa e och e, som förvilas i hop, säkert över hälfte, e grymma, å läget tvigar em ärtill, lika bra att ite veta es på ett ugefär, e visa av skaa ite måga fler ä e som var kloka förut, e som ite får ut åtig av livet utom tige trettio stycke, fast jag öskar att jag hae fel, e hopkurae och piae, uta lyse ute i mörkret, räkas till åttiotre förr eller seare e rättfäriga gaska måga, trettiofem, me om et raget ska häga ihop me e sträva att förstå tre, e som är vära att tyckas sy om ittioio av hura, e öliga hura av hura E siffra som hittills har stått sig. Wislava Szymborska Övers. Aers Boegår 5 StaM-Blaet r 3, jui -97

6 Hur ofta ska ma mäta? I alla tillverkigsprocesser förekommer itermittet provig och aalys. Detta är kaske speciellt valigt iom pappers och massaiustri, är e mäg storheter mäts i processflöet för att kua säkerställa processivåer och i slutäa, kvalite på e färiga proukte. Helst skulle ma vilja kua mäta alla itressata storheter olie me hjälp av smarta istrumet me så är äu icke fallet, åtmistoe ite iom skogsiustri. När ma iom processiustri gör upp schema över provtagigsfrekvese för olika storheter, så sker et i e flesta fall på basis av sletria eller va ma tror sig hia me att aalysera och rapportera. Problemet togs upp iom STORA CORPO- RATE RESEARCH av två persoer (Joha Wieslaer och Mats Hierter) som utvecklae e meto att bestämma et totala mätfelet vi itermittet provig och aalys, som beskrivs ea. Metoe har me framgåg aväts iom STORAkoceres massafabriker och pappersbruk i syfte att få klarhet i om rätt provtagigsfrekves aväts. I samba me metoes utyttjae är följae två frågor av cetral betyelse:. Ka ma me et vala provtagigsitervallet följa processes variatioer tillräckligt väl?. Hur stor är osäkerhete i mätige i förhållae till processes variatio till ästa mättipukt? Eftersom mätigara syftar till att ge e go beskrivig av e störig, så rekommeeras, att tie mella mätigara väljs eligt et iealiserae sätt, som visas i figur. /fma Figur. Regel för val av mätfrekves. Dt bör vara hälfte av tie mella e sabbast käa förärigara hos storhete (Nyquists sampligsteorem). Dt Dt Meto Metoe bygger på ett atagae om, att ma ka ela upp e totala variatioera i mätata i lågsamma variatioer, eller treer och brus. Me brus avses här:. e variatioer, som är så sabba, att e me et vala provtagigsitervallet ej sys i två på varara följae mätigar. e variatioer, som beror på osäkerhete i själva mätige. StaM-Blaet r 3, jui -97 6

7 I e lågsamma variatioera fis i regel e korrelatio mella uväre och föregåee mätig. Geom att beräka mätseries autokovariasfuktio, ka ma också erhålla e öskae uppelige i processvarias och mätosäkerhet. E förutsättig är att ata atas vara geererae av e autoregressiv process av första orige eligt följae statistiska moell som också visas schematiskt i figur : y t = k t + ( k) y t Filter y + ε v Figur. Data atas geereras av e autoregressiv process av första orige, vs AR(). = vitt brus, som tillsammas me ett filter aväs för att beskriva processe y = processes väre k = filterkostat ε = brus v = uppmätt väre Uer förutsättig, att t är e oberoee, stokastisk variabel me meelväret µ och staaravikelse σ, så blir meelväret för y t (om t är tillräckligt stort): k µ y = µ och variase för y t blir σy = σ k Autokovariase, A, för y är kovariase mella e två tiseriera y t och y t-, är T är tisförskjutige, vs k( k) AT ( ) = k T σ Eftersom ( k) < får vi å T > k AT ( ) = σ e k T/ τ τ = processes tiskostat. Processes tiskostat är e ti, som processe aväer för att återhämta sig frå e störig. Det är alltså e sabbaste förärige i processe, som är etekterbar me et mätitervall, som har valts. Autokovariase för v är summa av autokovariase för y och ε. Detta baseras på atagae att båe och ε är oberoee. Autokovariasfuktioes utseee framgår av figur 3. σ matig Osäkerhet om processes väre σ total σ process Figur 3. Autokovariasfuktio - pricipbil. Dt = ti mella mätigara Tisförskjutig 7 StaM-Blaet r 3, jui -97

8 E tumregel för e bra mätig av e ostyr variabel är att förhållaet mella mätosäkerhet och totalvarias bör vara < Om variabel äremot är e styr ito, ska mätosäkerhete, eller bruset, omiera. Några praktiska eempel Neaståee eempel är hämtae frå e svesk massafabrik. De variabel, som valts att stueras är e färiga massas ljushet (Eg. Brightess ), som mäts geom itermittet provtagig och aalys var 45:e miut. Figur 4 visar e tiserie på ea storhet. 9 Plot of variable: BRIGHTNESS 9 (%) Figur 4. Tiskurva för ljushet på pappersmassa. E mätig var 45:e miut Time ( hours) Motsvarae föreligskurva för e igåee observatioera ges i figur Histogram; variable: BRIGHTNESS No of 0obs Figur 5. Föreligskurva för tiserie i figur , 87,6 88,0 88,4 88,8 89, 89,6 90,0 90,4 90,8 9, 9,6 9,0 Upper Bouaries (<=bouary) Epecte Normal StaM-Blaet r 3, jui -97 8

9 Mätseries autokovariasfuktio me e öskae, beräkae osäkerhetsmåtte samt me processes tiskostat visas i figur 6. 0,5 0, Total varias: 0.4 Mätosäkerhet: 0.08 Processosäkerhet: 0.6 Mätosäkerhet/Total varias: 0.33 Tiskostat: 00 mi Autokovarias 0,5 0, 0,05 0 A( T) = 06. e T / 00 Figur 6. Autokovariasfuktio för ljushet Tisförskjutig, T De observatioer på ljushet, som reovisas i et här eemplet, mäts i processes slutkeja och är i e ele av tillverkigsprocesse att ase som e ostyr variabel. Kvote mella mätosäkerhet och totalvarias ligger på 0.33, vilket är på gräse till att vara acceptabelt. De sabbast etekterbara förärig, som ka mätas me et mätitervall som aväs, är 00 miuter. Också etta är på gräse till va som ka ases som acceptabelt. De agiva metoe utyttjas iom STORA-kocere för att å och å trimma i ya provtagigs och aalysfrekveser, vilket i regel blir fallet å ya aalyser iförs i processe eller å et har gjorts e större om- eller tillbygga i prouktiosaläggige. Sture Ryi, Stora Cell AB Tjebysjevs olikhet På siora 4 och 5 visar vi att givet meelväre, staaravvikelse och atal mätväre, ka vi beräka största möjliga variatiosvi. Resoemaget är allmägiltigt och geomföres uta referes till ågo speciell statistisk förelig. När ma lär sig att hatera ormalförelige lär ma sig ofta att iom ± staaravvikelse fis cirka 68 % av alla väre, iom ± staaravvikelse fis cirka 95 % osv. Me hjälp av Tjebysjevs olikhet (eg. Chebyshev's iequality) ka ma göra likae uttalae me å gällae för alla föreligar. Så här ka ma skriva olikhete (obs att stavige av amet varierar mella olika böcker): Låt X vara e slumpvariabel me väteväre µ och staaravvikelse σ. Då gäller följae: P( X µ t σ) t "Saolikhete att vi får ett väre på slumpvariabel som avviker mer ä t staaravvikelser frå meelväret, är mire eller lika me /t ". Saolikhete att få ett väre som ligger mer ä staaravvikelser frå meelväret är mire ä eller lika me 5 % (för t = 3 gäller 9 %). Olikhete aväs ofta för att bevisa ara viktiga teoretiska aspekter av statistisk teori me är också e 'bra-att-ha'-grej i et praktiska arbetet. Pröva teori på ågo ovalig förelig m.hj.a. simulerig! 9 StaM-Blaet r 3, jui -97

10 Statistik på Iteret Då et iag talas mycket om Iteret, ka et vara på si plats att visa eempel på e resurser som erbjus iom områet statistik. Alla som rea har erfarehet av att surfa på Iteret vet att et fis bra sökverktyg för att fia e iformatio ma söker. Det gäller ofta att fia e igåg till ett äme och efter att e är fue hittar ma ofta e mäg iformatio. Nea visar jag ågra igågar iom ämet statistik. Aressera är skriva me kursiv stil. Aresser till bibliotek Det fis översiktliga samligar me bl a aresser till ara resurser iom ämet. Frå eaståee aresser ka ma hitta mycket av itresse. Juha Purae, Dep of Statistics, Uiversity of Helsiki: WWW virtual library of statistics: stat.ufl.eu/vlib/statistics.html Statlib: lib.stat.cmu.eu/ För e vetgirige fis e elektroisk lärobok i gruläggae statistik: Aresser till programvara De flesta valiga statistikprogram har hemsior på Iteret t.e. Miitab, Statistica, SPSS m.fl. Demostratiosprogram brukar ibla fias att kopiera för utvärerig. Det fis aa programvara att hämta hem via Iteret båe för Mac, DOS och Wiows. Vissa är gratis, ara skall ma betala för. E aress till samlig av programvara för bl.a. statistik: archives.math.utk.eu/software.html Tre PC-program (DOS) vära att pröva EPI-ifo (ver 6.04b) är ett gratis programpaket utvecklat av bl a WHO. Paketet är främst täkt för isamlig och aalys vi meiciska uersökigar, me är fleibelt och ypperligt för bl.a. ekätuersökigar (imatig och korstabulerigar och aalyser) samt eklare statistisk aalys. Data ka importeras och eporteras frå/till olika ataformat och me bra fleibilitet. EPI-ifo program: Olie maual: SSS (ver ) är ett gratis program för aalys av tisserier, t e skattig av ARIMA-moeller. Det ka hatera atafiler frå bl a EPI-ifo. SSS program: SPCEX är ett s.k. shareware program, utvecklat av Mark Shewhart. Efteramet är bekat, eller hur? Programmet är mycket lätt att aväa. Det preseterar och aalyserar ata me bl.a. styriagram, histogram, paretoiagram, uglighetsie m m. Uer samma aress som SPCEX fis mycket aat att pröva. SPCEX hittas uer aress: emig.eg.clemso.eu/pub/tqmbbs/software/ Lycka till och mycket öje!! Mats Frazé, Ericsso Cables StaM-Blaet r 3, jui -97 0

11 Multivariat ataaalys 8 oktober 997 i Göteborg Varför? Jo, vi skall vi vår årliga koferes försöka förklara va som meas me multivariat ataaalys och va e ka aväas till. Uer e seaste åre har itresset för att aalysera sitt ata me multivariata metoer ökat. Me multivariata metoer mear ma å allt frå multipel regressio till iskrimiataalys, pricipalkompoetaalys, PLS eller kaoisk aalys. E forskargrupp iom kemometri vi Umeå uiversitet har uer måga år avät multivariata metoer för att aalysera kemiska processer är ma mätt måga variabler me ite så måga replikat. Ite mist e moera aalysistrumete har hjälpt till me e utvecklige. Detta har visat sig vara e mycket framgågsrikt varför itresset för metoera har vuit iom t e skogsiustri och ara verksamheter me kemilaboratorier. Som följ av ökat itresse har flera mycket bra programvaror för såaa aalyser kommit ut på markae varför tillgäglighete för gemee ma är stor. Därför har et uppstått ett stort behov av utbilig. Dea koferes får ses som e börja på e utbilige är i bl a får stifta kotakt me arbetsplatser som rea börjat aväa essa tekiker och ta lärom av eras erfareheter. Plaerige för koferese har just börjat varför i har stora möjligheter att påverka iehållet. Om i vill biraga me ett ilägg eller har ett bra förslag på förerag hör av er till Susaa Weiberger eller Leart Nilsso, Matematisk statistik, Umeå uiversitet, Umeå, tel , e-post l@matstat.umu.se StaM-Blaet r 3, jui -97

12 Styrelse Orförae: Sekreterare: Kassör: Susaa Weiberger Clas Mellby Aers Hyé Ovako Steel AB IVF ABB Corporate Research 83 8 Hofors Argogata 30 av R Mölal 7 78 Västerås Leamöter: A Bräström-Steberg Leart Nilsso Göra Lae Högskola i Karlsta Matematisk statistik Ericsso Raio Systems AB Istitutioe för tekik Uiversitetet Karlsta Umeå Sture Ryi Mats Frazé Reaktioskommitté: Stora Cell AB Ericsso Cables AB Leart Nilsso 84 8 Skutskär 84 8 Huiksvall Igemar Sjöström Susaa Weiberger Birag accepteras gära via 3.5"-iskett me tetmäge i format WorPerfect, Wor e.. Ma blir melem i SFK StaM geom att kotakta Sveska Förbuet för Kvalitet telefo eller (fa ). Kaslisekreterare är Berit Wisjö. SFKs iteret-aress är aresse till Sveska Förbuet för Kvalitet Som valigt välkomar vi birag frå läsara! StaM-Blaet r 3, jui -97