StaM-Bladet. Informationsblad för medlemmar i StaM (Statistisk Metodik), sektion inom SFK, Svenska Förbundet för Kvalitet

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "StaM-Bladet. Informationsblad för medlemmar i StaM (Statistisk Metodik), sektion inom SFK, Svenska Förbundet för Kvalitet"

Transkript

1 StaM-Blaet Iformatiosbla för melemmar i StaM (Statistisk Metoik), sektio iom SFK, Sveska Förbuet för Kvalitet Jui 997 årgåg 7 ummer 3 Trettoe umret I etta trettoe StaM-Blaet har vi återige samlat ågra olika artiklar. E såa iskuterar ågra egeskaper hos e populära måtte "mi" och "ma" och sammahägae variatiosvi. Sture Ryi frå Stora Cell svarar på fråga "Hur ofta skall ma mäta?" och Mats Frazé på Ericsso Cables hjälper oss att hitta på iteret. Vi skriver också ågra raer om Tjebysjevs olikhet, e av måga bra grejer att ha å ma stuerar statistisk metoik. De yfike bör slå upp ea, och ara olikheter och tumregler, i ågo bok om statistik. Orföraes ruta Jag heter Susaa Weiberger och är y orförae i SFK-StaM och tillika bergsigejör. Jag kom i kotakt me SFK-StaM i börja på 90- talet är jag letae efter bättre sätt att geomföra försök i prouktioe. Via Taguchis metoer kom jag att gå viare till gruera i statistisk försöksplaerig och ärme Bo Bergmas grupp i Liköpig och SFK-StaM:s semiarieagar. I mitt uvarae arbete som riftsigejör på Ovako Steel i Hofors har jag äu ite huit ta iitiativ till ågra statistiskt plaerae försök, me et kommer säkert att bli tillfälle till et. SFK-StaM är e lite iéell orgaisatio me vi blev till vår förvåig äå kotaktae set i höstas av Royal Statistical Society i Egla. I brevet uttrycker e sitt itresse att orgaisera e semiarievecka tillsammas me oss uer 998 eller 999 i Sverige! Vi hoppas att vi me ara orgaisatioer, uiversitet och högskolor i Sverige skall kua få till e kommitté som ka ta sig a etta. Jag har tittat igeom alla StaM-Blaet som vi har givit ut. Det fis mycket matyttigt i em och måga fuerigar och tips som äve persoer uta statistisk eame ka ta till sig. Vi kommer äve i fortsättig att balasera viare på kate mella populärstatistik och lite svårare ilägg. Vissa ummer väger över åt eera hållet me målet är som tiigare att itressera er melemmar för olika typer av statistisk metoik. Tala gära om för oss om i har speciellt itresse iom ett områe. Vi ka kopiera upp åt er om et fis ilägg i tiigare StaM-blaet som i själva ite har. Till sist: Låa ut era StaM-Blaet, låt em gå på cirkulatio till kollegor som ka ha ytta av em! Hälsigar Susaa Weiberger, Ovako Steel AB Översta figure är ite e parabel vs e aragraskurva, uta resultatet å ma plottar f() mot F() för e ormalförelig N[0, ]. Om ma apassar e aragraskurva me regressiosaalys till kurva och sea plottar resiualera, erhålles e ure kurva. Förteckig över styrelse fis på sista sia

2 StaM-Blaet r 3, jui -97 De valigaste uppgifte är ma sammafattar ett atamaterial är ataglige meelväret, och e flesta mäiskor har iga svårigheter att vare sig beräka eller förstå ess egeskaper. Dock har ma ofta lättare att framhäva ess egativa sior (jfr eemplet me frysboe och kokplatta) ä ess positiva sior (väteväresriktighet m.m.). De som arbetar me umeriska ata käer ock sart behovet av ågot slags spriigsmått, t.e. variatiosvie som efiieras som skillae mella atamäges ma- och mi-väre och beteckas ofta me R (Rage) Mi, meel och ma frå e ormalförelig N(50; 5) stickprov me 50 väre Väre frå e ormalförela variabel N(50; 5) Figur. Diagrammet visar 0 simulerae stickprov frå e ormalförelig. I varje stickprov har mi-, meel- och maväret markerats me ett vertikalt streck. Alla essa har sea sammaförts på iagrammets X-ael. Det framgår tyligt att mi- och maväret har e mycket större spriig ä meelväret. Eftersom mi- och mavärea är gaska praktiska och lätta att förstå, aväs e ofta å ma iskuterar eller aalyserar spriige hos e eller flera atamäger. Ma bör å ha e viss förståelse för figur och. Figur. Diagrammet visar förelige för mi-, meel- samt maväret om ma tar 50 väre ur e ormalförelig me väteväre 50 och staaravvikelse 5. Förelige för mi- respektive maväret är skeva (vs ej symmetriska). Resultate frå figur är också iritae i figur. Något om spriige hos mi och ma Vi skall här ite iskutera variatiosvies olika egeskaper uta sarare titta på ma- och mivärea, eras spriig och eras förhållae till staaravvikelse (s). Detta väre, som tiigare iskuterats ett atal gåger i StaM-Blaet, är ett valigt mått på spriige i ett atamaterial. Nackele me R är att väret ökar å atalet mätväre () ökar. Föräras ite staaravvikelse me ökat? Nej, bara skattiges oggrahet föräras, vs ju fler mätväre esto bättre skattar s et saa väret σ (Se figur 3-4 eller StaM-Blaet r ). Vaå variatio? Hos mi och ma?

3 3 StaM-Blaet r 3, jui 'Staaravvikelse' () och 'variatiosvi' () Stickprovstorlekar frå N(50; 5). 50 väre per pukt Kvote 'variatiosvi' / 'staaravvikelse' Stickprovstorlekar frå N(50; 5). 50 väre per pukt. Figur 3. Diagrammet visar simulerae väre frå e ormalförelig me stickprovstorlekar väre. Varje stickprov storlek har simulerats 50 gåger. Det framgår tyligt av figure att variatiosvie R ökar å ökar. Speciellt är etta tyligt å ökar frå 5 till t.e. 80. Staaravvikelse visar ige såa tees. Dock ser ma att variatioe hos e beräkae staaravvikelse miskar. Figur 4. Ibla aväs tumregel att förhållaet mella variatiosvie och staaravvikelse är ugefär 6. Figure visar att ea tumregel ka aväas å är ågorlua stort t.e. > 50 väre. Diagrammet visar simulerae väre frå e ormalförelig me stickprovstorlekar väre. Varje stickprov storlek har simulerats 50 gåger. Därefter har kvote beräkats. Se också e matematiska behalige av förhållaet mella mi, ma och meelväret. Något om variatiosvie Atag att vår ata kommer frå e förelig som vi beteckar me f(). Dess föreligsfuktio kallar vi F(). Då ka vi beräka förelige för mista, största, äst mista etc i stickprov me väre. Detta brukar reovisas uer Orer statistics i läroböckera i statistik. Vi aväer bokstave k för att betecka et väre vi är itresserae av: f k k f F F k k k ( )! ( )! ( )! ( ) ( ) ( ) = [ ] [ ] Om vi är itresserae av mista väret (mi) vs vi sätter k =, får vi följae uttryck: f f F ( ) ( ) ( ( )) = Om vi är itresserae av största väret (ma) vs vi sätter k =, får vi i stället följae uttryck: f f F ( ) ( ) ( ) = [ ] Observera att et ite är lätt (eller es allti möjligt) att ge ett uttryck för f k (). I figur har vi avät e ator för att beräka kurvora för mi- respektive maväret me ågot eskilt uttryck för kurvora har vi ite. Något mer om ma och mi och staaravvikelse På e följae siora fis et ytterligare e betraktelse av förhållaet mella mi-, ma och staaravvikelse.

4 Atag m = 5.3 och s = 0.34 och =. Va blir å största möjliga variatiosvi? Va blir mista möjliga variatiosvi? Atag att vi har beräkat meelväret och staaravikelse i ett atamaterial. Va ka vi säga om storleke på mi- respektive maväret? Me east e två atauppgiftera ova, och uta e eskila mätvärea, ka vi aturligtvis ite säga eakt va miimum eller maimum är. Vi ka ock ge ett itervall som stäger i essa båa väre. Vi utgår ifrå uttrycket stickprovsvariase och omvalar et ågot (summa kallas ofta kvaratsumma eller kvaratavvikelsesumma): Vi ka här skriva e totala kvaratsumma på följae sätt och få ett uttryck av : = ( ) s = s vilket ger mista möjliga variatiosvi (R mi ): ± s R = s mi s Σ( i ) = Σ( i ) = ( ) s Största möjliga variatiosvi erhålles om atapuktera förelas eligt följae figur: Här har vi ett ua atal atapukter. Det ger ågot mer komplicerae uttryck. Me följae två formler, e första är uttrycket för kvaratsumma och e ara visar e "jämviktsformel" rut meelväret (meelväret är allti atamäges tygpukt), får vi ett uttryck för och ett aat för (vi visar ite etaljera): Formel ova ka å skrivas på följae sätt: ( ) + ( ) + + ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) s K är () och () är mista respektive största väret. Vi ka u beräka väret på avstået : vilket ger = ( ) s = s Största möjliga variatiosvi (R ma ) blir u: ± s Mista möjliga variatiosvi. Mista möjliga variatiosvi erhålles å atapuktera förelas eligt följae figur: R = s ma Här har vi ett jämt atal atapukter. Hälfte vi mi- och hälfte vi maväret. s = ( ) =.. = s = s ( ) ( + ) + Dessa två uttryck gäller å vi har ett ua atal atapukter. Ett räkeeempel. Atag att = 5.3, s = 0.34 och = vs ua. Största möjliga variatiosvi blir: 53. ± =. 506 Mista möjliga variatiosvi (R mi ) å är ua: ( ) mi = = ( + ) + ma = = R mi = = StaM-Blaet r 3, jui -97 4

5 Kommetarer Om ma matar i , 9 st 5.3-väre (vs ) samt erhålles = 5.3 och s = Hela variatioe består alltså av e två etrempuktera eligt figur och största möjliga variatiosvi blir.506. Om ma matar i 6 stycke väre och 5 stycke väre, erhålles = 5.3 och s = 0.34 och mista möjliga variatiosvi blir Självklart ka e atapuktera förelas på e oäligt måga sätt och äå ge = 5.3 och s = Beräkigara ova ger bara gräsväre. Observera att vi ite har blaat i ågo iskussio av typ av förelig. De som vill lära sig mer om ovaståee resoemag och itilliggae teorier bör stuera ågo bok i matematisk statistik och å bl.a. slå upp Tjebysjovs olikhet (se också sia 9). Ytterligare kommetarer Om vi låter bli stort är et ibla lättare att se va formlera ger. Vi ersätter ( ) och ( + ) me bara i formlera (felet blir litet). Största möjliga variatiosvi, givet ett visst väre på staaravvikelse, blir: ± s Mista variatiosvi blir = = = s och vi får: ± s Eempel. Låt som tiigare = 5.3, s = 0.34, = 300. Vi matar i 50 väre = 4.96 och 50 väre = 5.64 i ator. E beräkig av meelväre och staaravvikelse ger värea 5.3 respektive Det är ite ofta som StaM-Blaet preseterar verk frå e Nobelpristagare. Nea fis ock ett Birag till statistike Av hura mäiskor är e som vet bäst mist femtiotvå, e som me tveka tar ett steg ästa hela reste, e som är reo att hjälp till, bara et ite tar för mycket ti, så måga som fyrtioio, e som allti är sälla, för e ka ite aat, fyra eller kaske fem, e som ka beura e uta avu arto stycke, e som har förts vilse av si ugom som förgått setio, setiofem, e som ite är att leka me fyrtio plus fyra, e som lever i stäig ågest för ågo eller ågotig hela sjuttiosju, e begåvae för lycka ite fler ä tjugofem, e harmlösa e och e, som förvilas i hop, säkert över hälfte, e grymma, å läget tvigar em ärtill, lika bra att ite veta es på ett ugefär, e visa av skaa ite måga fler ä e som var kloka förut, e som ite får ut åtig av livet utom tige trettio stycke, fast jag öskar att jag hae fel, e hopkurae och piae, uta lyse ute i mörkret, räkas till åttiotre förr eller seare e rättfäriga gaska måga, trettiofem, me om et raget ska häga ihop me e sträva att förstå tre, e som är vära att tyckas sy om ittioio av hura, e öliga hura av hura E siffra som hittills har stått sig. Wislava Szymborska Övers. Aers Boegår 5 StaM-Blaet r 3, jui -97

6 Hur ofta ska ma mäta? I alla tillverkigsprocesser förekommer itermittet provig och aalys. Detta är kaske speciellt valigt iom pappers och massaiustri, är e mäg storheter mäts i processflöet för att kua säkerställa processivåer och i slutäa, kvalite på e färiga proukte. Helst skulle ma vilja kua mäta alla itressata storheter olie me hjälp av smarta istrumet me så är äu icke fallet, åtmistoe ite iom skogsiustri. När ma iom processiustri gör upp schema över provtagigsfrekvese för olika storheter, så sker et i e flesta fall på basis av sletria eller va ma tror sig hia me att aalysera och rapportera. Problemet togs upp iom STORA CORPO- RATE RESEARCH av två persoer (Joha Wieslaer och Mats Hierter) som utvecklae e meto att bestämma et totala mätfelet vi itermittet provig och aalys, som beskrivs ea. Metoe har me framgåg aväts iom STORAkoceres massafabriker och pappersbruk i syfte att få klarhet i om rätt provtagigsfrekves aväts. I samba me metoes utyttjae är följae två frågor av cetral betyelse:. Ka ma me et vala provtagigsitervallet följa processes variatioer tillräckligt väl?. Hur stor är osäkerhete i mätige i förhållae till processes variatio till ästa mättipukt? Eftersom mätigara syftar till att ge e go beskrivig av e störig, så rekommeeras, att tie mella mätigara väljs eligt et iealiserae sätt, som visas i figur. /fma Figur. Regel för val av mätfrekves. Dt bör vara hälfte av tie mella e sabbast käa förärigara hos storhete (Nyquists sampligsteorem). Dt Dt Meto Metoe bygger på ett atagae om, att ma ka ela upp e totala variatioera i mätata i lågsamma variatioer, eller treer och brus. Me brus avses här:. e variatioer, som är så sabba, att e me et vala provtagigsitervallet ej sys i två på varara följae mätigar. e variatioer, som beror på osäkerhete i själva mätige. StaM-Blaet r 3, jui -97 6

7 I e lågsamma variatioera fis i regel e korrelatio mella uväre och föregåee mätig. Geom att beräka mätseries autokovariasfuktio, ka ma också erhålla e öskae uppelige i processvarias och mätosäkerhet. E förutsättig är att ata atas vara geererae av e autoregressiv process av första orige eligt följae statistiska moell som också visas schematiskt i figur : y t = k t + ( k) y t Filter y + ε v Figur. Data atas geereras av e autoregressiv process av första orige, vs AR(). = vitt brus, som tillsammas me ett filter aväs för att beskriva processe y = processes väre k = filterkostat ε = brus v = uppmätt väre Uer förutsättig, att t är e oberoee, stokastisk variabel me meelväret µ och staaravikelse σ, så blir meelväret för y t (om t är tillräckligt stort): k µ y = µ och variase för y t blir σy = σ k Autokovariase, A, för y är kovariase mella e två tiseriera y t och y t-, är T är tisförskjutige, vs k( k) AT ( ) = k T σ Eftersom ( k) < får vi å T > k AT ( ) = σ e k T/ τ τ = processes tiskostat. Processes tiskostat är e ti, som processe aväer för att återhämta sig frå e störig. Det är alltså e sabbaste förärige i processe, som är etekterbar me et mätitervall, som har valts. Autokovariase för v är summa av autokovariase för y och ε. Detta baseras på atagae att båe och ε är oberoee. Autokovariasfuktioes utseee framgår av figur 3. σ matig Osäkerhet om processes väre σ total σ process Figur 3. Autokovariasfuktio - pricipbil. Dt = ti mella mätigara Tisförskjutig 7 StaM-Blaet r 3, jui -97

8 E tumregel för e bra mätig av e ostyr variabel är att förhållaet mella mätosäkerhet och totalvarias bör vara < Om variabel äremot är e styr ito, ska mätosäkerhete, eller bruset, omiera. Några praktiska eempel Neaståee eempel är hämtae frå e svesk massafabrik. De variabel, som valts att stueras är e färiga massas ljushet (Eg. Brightess ), som mäts geom itermittet provtagig och aalys var 45:e miut. Figur 4 visar e tiserie på ea storhet. 9 Plot of variable: BRIGHTNESS 9 (%) Figur 4. Tiskurva för ljushet på pappersmassa. E mätig var 45:e miut Time ( hours) Motsvarae föreligskurva för e igåee observatioera ges i figur Histogram; variable: BRIGHTNESS No of 0obs Figur 5. Föreligskurva för tiserie i figur , 87,6 88,0 88,4 88,8 89, 89,6 90,0 90,4 90,8 9, 9,6 9,0 Upper Bouaries (<=bouary) Epecte Normal StaM-Blaet r 3, jui -97 8

9 Mätseries autokovariasfuktio me e öskae, beräkae osäkerhetsmåtte samt me processes tiskostat visas i figur 6. 0,5 0, Total varias: 0.4 Mätosäkerhet: 0.08 Processosäkerhet: 0.6 Mätosäkerhet/Total varias: 0.33 Tiskostat: 00 mi Autokovarias 0,5 0, 0,05 0 A( T) = 06. e T / 00 Figur 6. Autokovariasfuktio för ljushet Tisförskjutig, T De observatioer på ljushet, som reovisas i et här eemplet, mäts i processes slutkeja och är i e ele av tillverkigsprocesse att ase som e ostyr variabel. Kvote mella mätosäkerhet och totalvarias ligger på 0.33, vilket är på gräse till att vara acceptabelt. De sabbast etekterbara förärig, som ka mätas me et mätitervall som aväs, är 00 miuter. Också etta är på gräse till va som ka ases som acceptabelt. De agiva metoe utyttjas iom STORA-kocere för att å och å trimma i ya provtagigs och aalysfrekveser, vilket i regel blir fallet å ya aalyser iförs i processe eller å et har gjorts e större om- eller tillbygga i prouktiosaläggige. Sture Ryi, Stora Cell AB Tjebysjevs olikhet På siora 4 och 5 visar vi att givet meelväre, staaravvikelse och atal mätväre, ka vi beräka största möjliga variatiosvi. Resoemaget är allmägiltigt och geomföres uta referes till ågo speciell statistisk förelig. När ma lär sig att hatera ormalförelige lär ma sig ofta att iom ± staaravvikelse fis cirka 68 % av alla väre, iom ± staaravvikelse fis cirka 95 % osv. Me hjälp av Tjebysjevs olikhet (eg. Chebyshev's iequality) ka ma göra likae uttalae me å gällae för alla föreligar. Så här ka ma skriva olikhete (obs att stavige av amet varierar mella olika böcker): Låt X vara e slumpvariabel me väteväre µ och staaravvikelse σ. Då gäller följae: P( X µ t σ) t "Saolikhete att vi får ett väre på slumpvariabel som avviker mer ä t staaravvikelser frå meelväret, är mire eller lika me /t ". Saolikhete att få ett väre som ligger mer ä staaravvikelser frå meelväret är mire ä eller lika me 5 % (för t = 3 gäller 9 %). Olikhete aväs ofta för att bevisa ara viktiga teoretiska aspekter av statistisk teori me är också e 'bra-att-ha'-grej i et praktiska arbetet. Pröva teori på ågo ovalig förelig m.hj.a. simulerig! 9 StaM-Blaet r 3, jui -97

10 Statistik på Iteret Då et iag talas mycket om Iteret, ka et vara på si plats att visa eempel på e resurser som erbjus iom områet statistik. Alla som rea har erfarehet av att surfa på Iteret vet att et fis bra sökverktyg för att fia e iformatio ma söker. Det gäller ofta att fia e igåg till ett äme och efter att e är fue hittar ma ofta e mäg iformatio. Nea visar jag ågra igågar iom ämet statistik. Aressera är skriva me kursiv stil. Aresser till bibliotek Det fis översiktliga samligar me bl a aresser till ara resurser iom ämet. Frå eaståee aresser ka ma hitta mycket av itresse. Juha Purae, Dep of Statistics, Uiversity of Helsiki: WWW virtual library of statistics: stat.ufl.eu/vlib/statistics.html Statlib: lib.stat.cmu.eu/ För e vetgirige fis e elektroisk lärobok i gruläggae statistik: Aresser till programvara De flesta valiga statistikprogram har hemsior på Iteret t.e. Miitab, Statistica, SPSS m.fl. Demostratiosprogram brukar ibla fias att kopiera för utvärerig. Det fis aa programvara att hämta hem via Iteret båe för Mac, DOS och Wiows. Vissa är gratis, ara skall ma betala för. E aress till samlig av programvara för bl.a. statistik: archives.math.utk.eu/software.html Tre PC-program (DOS) vära att pröva EPI-ifo (ver 6.04b) är ett gratis programpaket utvecklat av bl a WHO. Paketet är främst täkt för isamlig och aalys vi meiciska uersökigar, me är fleibelt och ypperligt för bl.a. ekätuersökigar (imatig och korstabulerigar och aalyser) samt eklare statistisk aalys. Data ka importeras och eporteras frå/till olika ataformat och me bra fleibilitet. EPI-ifo program: Olie maual: SSS (ver ) är ett gratis program för aalys av tisserier, t e skattig av ARIMA-moeller. Det ka hatera atafiler frå bl a EPI-ifo. SSS program: SPCEX är ett s.k. shareware program, utvecklat av Mark Shewhart. Efteramet är bekat, eller hur? Programmet är mycket lätt att aväa. Det preseterar och aalyserar ata me bl.a. styriagram, histogram, paretoiagram, uglighetsie m m. Uer samma aress som SPCEX fis mycket aat att pröva. SPCEX hittas uer aress: emig.eg.clemso.eu/pub/tqmbbs/software/ Lycka till och mycket öje!! Mats Frazé, Ericsso Cables StaM-Blaet r 3, jui -97 0

11 Multivariat ataaalys 8 oktober 997 i Göteborg Varför? Jo, vi skall vi vår årliga koferes försöka förklara va som meas me multivariat ataaalys och va e ka aväas till. Uer e seaste åre har itresset för att aalysera sitt ata me multivariata metoer ökat. Me multivariata metoer mear ma å allt frå multipel regressio till iskrimiataalys, pricipalkompoetaalys, PLS eller kaoisk aalys. E forskargrupp iom kemometri vi Umeå uiversitet har uer måga år avät multivariata metoer för att aalysera kemiska processer är ma mätt måga variabler me ite så måga replikat. Ite mist e moera aalysistrumete har hjälpt till me e utvecklige. Detta har visat sig vara e mycket framgågsrikt varför itresset för metoera har vuit iom t e skogsiustri och ara verksamheter me kemilaboratorier. Som följ av ökat itresse har flera mycket bra programvaror för såaa aalyser kommit ut på markae varför tillgäglighete för gemee ma är stor. Därför har et uppstått ett stort behov av utbilig. Dea koferes får ses som e börja på e utbilige är i bl a får stifta kotakt me arbetsplatser som rea börjat aväa essa tekiker och ta lärom av eras erfareheter. Plaerige för koferese har just börjat varför i har stora möjligheter att påverka iehållet. Om i vill biraga me ett ilägg eller har ett bra förslag på förerag hör av er till Susaa Weiberger eller Leart Nilsso, Matematisk statistik, Umeå uiversitet, Umeå, tel , e-post StaM-Blaet r 3, jui -97

12 Styrelse Orförae: Sekreterare: Kassör: Susaa Weiberger Clas Mellby Aers Hyé Ovako Steel AB IVF ABB Corporate Research 83 8 Hofors Argogata 30 av R Mölal 7 78 Västerås Leamöter: A Bräström-Steberg Leart Nilsso Göra Lae Högskola i Karlsta Matematisk statistik Ericsso Raio Systems AB Istitutioe för tekik Uiversitetet Karlsta Umeå Sture Ryi Mats Frazé Reaktioskommitté: Stora Cell AB Ericsso Cables AB Leart Nilsso 84 8 Skutskär 84 8 Huiksvall Igemar Sjöström Susaa Weiberger Birag accepteras gära via 3.5"-iskett me tetmäge i format WorPerfect, Wor e.. Ma blir melem i SFK StaM geom att kotakta Sveska Förbuet för Kvalitet telefo eller (fa ). Kaslisekreterare är Berit Wisjö. SFKs iteret-aress är aresse till Sveska Förbuet för Kvalitet Som valigt välkomar vi birag frå läsara! StaM-Blaet r 3, jui -97

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser Korrelatoes betydelse vd GUM-aalyser Hela koceptet GUM geomsyras av atagadet att gåede mätgar är okorrelerade. Gude betoar och för sg att ev. korrelato spelar, me ger te mycket vägledg för hur ma då ska

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

Visst kan man faktorisera x 4 + 1

Visst kan man faktorisera x 4 + 1 Visst ka ma faktorisera + 1 Per-Eskil Persso Faktoriserig av polyomuttryck har alltid utgjort e svår del av algebra. Reda i slutet av grudskola möter elever i regel dea omvädig till multiplikatio med hjälp

Läs mer

Linjär regression - kalibrering av en våg

Linjär regression - kalibrering av en våg Lijär regressio Saolikhet och statistik Regressiosaalys HT 2008 Uwe.Mezel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Samba mella två storheter ofta av itresse:... solarium hucacer... BN växelkurs... rökaet

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive

Läs mer

MARKNADSPLAN Kungälvs kommun 2010-2014

MARKNADSPLAN Kungälvs kommun 2010-2014 MARKNADSPLAN Kugälvs kommu 2010-2014 Fastställd av KF 2010-06-17 1 Iehåll Varför e markadspla? 3 Mål och syfte 4 Markadsförutsättigar 5 Processer, styrig och orgaisatio 6 Politisk styrig 7 Politisk styrig,

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner Istitutioe för data- och elektrotekik Digital sigalbehadlig Fösterfuktioer 2-2-7 Fösterfuktioer aväds för att apassa mätserie vid frekvesaalys via DFT och FFT samt vid dimesioerig av FIR-filter via ivers

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med

Läs mer

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26 Avdelige för elektriska eergisystem EG225 DRIFT OCH PLANERING AV ELPRODUKTION Vårtermie 25 Tetame 9 mars, 8: 2:, Q22, Q26 Istruktioer Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Det är valfritt att också

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg

Läs mer

SveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på?

SveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på? SveTys Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2 Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2008 SveTys, Uta Schulz, Reibek 3 Iledig När ma gör affärer i Tysklad eller

Läs mer

Samtal med Karl-Erik Nilsson

Samtal med Karl-Erik Nilsson Samtal med Karl-Erik Nilsso,er Ert av Svesk Tidskrifts redaktörer, Rolf. Ertglud, itejuar här Karl-Erik Nilsso, ar kaslichej på TCO och TCO:s represetat ed i litagarfodsutredige. er e t or så å g. ). r

Läs mer

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider... Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type

Läs mer

Doktorandernas uppfattningar om sin forskarutbildning vid Uppsala universitet

Doktorandernas uppfattningar om sin forskarutbildning vid Uppsala universitet Doktoraderas uppfattigar om si forskarutbildig vid Uppsala uiversitet Resultat frå e uiversitetsövergripade ekätudersökig: Språkveteskapliga fakultete Ehete för kvalitet och utvärderig Maria Wolters Maj

Läs mer

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning...

Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning... Iehåll Grafräkare och diskret matematik...1 Vad hadlar diskret matematik om?...1 Permutatioer och kombiatioer...3 Något om heltalsräkig...4 Modulusoperator...4 Faktoriserig i primfaktorer...5 Talföljder...7

Läs mer

Så här kommer byggherren och entreprenören överens om energianvändningen

Så här kommer byggherren och entreprenören överens om energianvändningen Så här kommer byggherre och etrepreöre överes om eergiavädige Så här kommer byggherre och etrepreöre överes om eergiavädige Sveby står för Stadardisera och verifiera eergiprestada i byggader och är ett

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Liöpigs uiversitet Matematisa istitutioe Matemati och tillämpad matemati Kursod: TATA4 Provod: TEN Iga hjälpmedel är tillåta. Tetame i Evariabelaalys 4-4-3 l 4 9 Lösigara sall vara fullstädiga, välmotiverade,

Läs mer

Saltsjötunneln. Saltsjötunneln i korthet. Bil- och tunnelbanelänken för östra Östra Stockholm

Saltsjötunneln. Saltsjötunneln i korthet. Bil- och tunnelbanelänken för östra Östra Stockholm Saltsjötuel i korthet uelbaa till Nacka geom att Blå lije förlägs frå Kugsträdgårde. Norra läke och Södra läke kyts ihop med e tuel uder Saltsjö. Ett sammahållet projekt ger samordigsvister och stordriftsfördelar

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe ER-modellerig Programutvecklig Förstudie, behovsaalys Programdesig, databasdesig Implemetatio Programdesig, databasdesig Databasdesig Koceptuell desig Koceptuell

Läs mer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle

Läs mer

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1 Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret

Läs mer

Digital pedagogik en naturlig del av framtidens skola!

Digital pedagogik en naturlig del av framtidens skola! Rabatt om i är 2 eller fler! Digital pedagogik e aturlig del av framtides skola! Aktuell forskig och kokreta arbetssätt med fokus på ökat lärade Hur ser läradet ut i digitala miljöer och vilka är effektera?

Läs mer

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I Föreläsig 5 732G04 Surveymetodik 732G19 Utredigskuskap I Dages föreläsig Klusterurval Estegs klusterurval Tvåstegs klusterurval Klusterurval med PPS 2 Klusterurval De urvalsdesiger som diskuterats hittills

Läs mer

tullinge FLEMINGSBERG TULLINGE Kommunens avsikter för Tullinge som helhet

tullinge FLEMINGSBERG TULLINGE Kommunens avsikter för Tullinge som helhet tullige VILLASTAD r be e tri Tulligesjö e äg v gs FLEMINGSBERG Ka TRÄDGÅRDSSTAD Nib ble väg e PARKHEM 10 BERG Tullige är e attraktiv plats i Stockholmsregioe att bo och bygga på. Tullige är också de del

Läs mer

Mätbar vetskap om nuläget och tydliga målbilder om framtiden. Genomför en INDICATOR självvärdering och nulägesanalys inom tre veckor

Mätbar vetskap om nuläget och tydliga målbilder om framtiden. Genomför en INDICATOR självvärdering och nulägesanalys inom tre veckor Mätbar vetskap om uläget och tydliga målbilder om framtide Geomför e INDICATOR självvärderig och ulägesaalys iom tre veckor Självvärderig e del av dokumetatioskravet i ya skollage Skollage ställer också

Läs mer

Statistik för ingenjörer 1MS008

Statistik för ingenjörer 1MS008 Statistik för igejörer MS8 Föreläsig Kursmål: För godkät betyg på kurse skall studete käa till ett flertal metoder och tekiker för visualiserig av datamaterial; kua geomföra ekla beräkigar av saolikheter;

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe Databasdesig Förstudie, behovsaalys ER-modellerig Kravspecifikatio För att formulera e kravspecifikatio: Idetifiera avädare Studera existerade system Vad

Läs mer

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder;

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder; MKB till detaljpla Förbifart Stockholm Hälsoeffekter av tuelluft Studier idikerar att oöskade korttidseffekter, blad aat ökat atal iflammatiosmarkörer, börjar uppstå vid e expoerig som motsvaras av tuelluft

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Istitutioe för matematisk statistisk Statistiska metoder, 5 poäg MSTA36 Peter Ato LÖSNINGSFÖRSLAG 005-10-6 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statistiska metoder, 5 poäg

Läs mer

Markanvisningsavtal för och försäljning av fastigheten Gesällen 25

Markanvisningsavtal för och försäljning av fastigheten Gesällen 25 TJÄNSTSKRIVLS Hadläggare atum Äredebeteckig Johaa Kidqvist -05- KS /05 50 Kommufullmäktige Markavisigsavtal för och försäljig av fastighete Gesälle 5 Förslag till beslut Kommufullmäktige godkäer förslag

Läs mer

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT 11.1-11.) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst

Läs mer

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}: CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal

Läs mer

Identfiera orsaker och ge förslag på åtgärder och resultatmått Åtgärdstyp Ska risken åtgärdas genom att orsaken: Bakomliggande orsaker

Identfiera orsaker och ge förslag på åtgärder och resultatmått Åtgärdstyp Ska risken åtgärdas genom att orsaken: Bakomliggande orsaker Risk (möjlighet att e egativ RiskID Beskrivig av risk 4.1 R1 Öskemåle kommer osorterat och geererar måga aalyser - ökad arbetsisats och kostader Ma hittar ite 4.1 R2 produktera i lista 4.2 R3 Svårigheter

Läs mer

Allmänna avtalsvillkor för konsument

Allmänna avtalsvillkor för konsument Godkäare 7.2 Kudakuta Godkät Kommuikatio Distributio Kudservice Kommuikatio, deltagade och samråd Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras av fjärrvärme Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras

Läs mer

KONSEKVENSANALYS 1 (5) INDIVID ALT ORGANISATION (markera vad bedömningen avser)

KONSEKVENSANALYS 1 (5) INDIVID ALT ORGANISATION (markera vad bedömningen avser) KONSEKVENSANALYS 1 (5) INDIVID ALT ORGANISATION (markera vad bedömige avser) Orgaisatio Faktorer att bedöma Påverkar förädrige? Kosekves av förädrige Kosekvesbeskrivig Åtgärdsförslag Asv. sig Klart datum

Läs mer

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3 Kuskapsbaserade system, tetame 2000-03-0 Istitutioe för tekik Tetame i Kuskapsbaserade system, 5p, Data 3 Datum: 2000-03-0 Tid: 8.00-3.00 Lärare: Potus Bergste, 3365 Hjälpmedel: Miiräkare Uppgiftera ska

Läs mer

Förena Förbättra Förändra

Förena Förbättra Förändra Lässamordig ANDT Förea Förbättra Förädra Lässamordara för ANDT-frågor arbetar med olika förebyggade åtgärder iom alkolhol- och drogområdet. I vår lässamordarroll igår att förverkliga de politiska mål som

Läs mer

Lärarhandledning Att bli kvitt virus och snuva - När Lisa blev av med förkylningen

Lärarhandledning Att bli kvitt virus och snuva - När Lisa blev av med förkylningen Lärarhadledig Att bli kvitt virus och suva - När Lisa blev av med förkylige För ytterligare iformatio kotakta projektledare: Charlotte.Kristiasso@phs.ki.se 1 Iledig Atibiotikaresistes är ett växade problem

Läs mer

Bibelordet. januari februari. Årstema 2011. Program tyrels onse Kontakt-sida mm. Högs Personligt

Bibelordet. januari februari. Årstema 2011. Program tyrels onse Kontakt-sida mm. Högs Personligt g li m T a s T r Y ö SN f s G M a A d S a lt FÖR Ve a i N l I l A L Årstema 2011 jauari februari 2012 fo a i e pe Program tyrels s r A o S ose Kotakt-sida mm. Past r Högs Persoligt Nr: 23 Bibelordet Vad

Läs mer

PTKs stadgar. Fastställda vid stämman 2009 06 16

PTKs stadgar. Fastställda vid stämman 2009 06 16 PTKs stadgar Fastställda vid stämma 2009 06 16 INNEHÅLLSFÖRTECKNING SYFTE OCH UPPGIFTER Syfte och uppgifter 3 Medlemskap 4 Orgaisatio 7 Stämma 8 Överstyrelse 12 Styrelse 15 Förhadligsorgaisatio 17 PTK-L

Läs mer

Solgläntans föräldrakooperativ Kvalitet och måluppfyllelse läsåret 2012/13

Solgläntans föräldrakooperativ Kvalitet och måluppfyllelse läsåret 2012/13 1 s föräldrakooperativ Kvalitet och måluppfyllelse läset 2012/13 Iehåll: Iledig 2 Förutsättigar...2 Bedömig av kvalitet och måluppfyllelse 3 Beslutade mål och åtgärder 6 Slutord 7 Bilaga: Resultat - seaste

Läs mer

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ) Normalfördeliges betydelse Empirisktse gur: måga storheter approximativt ormalfördelade Summa av måga ugefär oberoede och ugefär likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad CGS Exempel: mätfel =

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x) Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås

Läs mer

Formelblad Sannolikhetsteori 1

Formelblad Sannolikhetsteori 1 Formelblad Saolikhetsteori Bayes formel: Låt A och D vara två hädelser Då gäller P A D = P D AP A P D Chebyshevs olikhet: Låt X vara e stokastisk variabel med vätevärde µ och varias Då gäller för alla

Läs mer

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion. Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10

Läs mer

7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter

7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter 7 Sjude lektioe 7. Digitala filter 7.. Flera svar Ett lijärt tidsivariat system ka karakteriseras med ett flertal svar, t.ex. impuls-, steg- och amplitudsvare. LTI-system ka ju äve i de flesta fall beskrivas

Läs mer

Remiss Remissvar lämnas i kolumnen Tillstyrkes term och Tillstyrkes def(inition) och eventuella synpunkter skrivs i kolumnen Synpunkter.

Remiss Remissvar lämnas i kolumnen Tillstyrkes term och Tillstyrkes def(inition) och eventuella synpunkter skrivs i kolumnen Synpunkter. 1(10) Svar lämat av (kommu, ladstig, orgaisatio etc.): Remiss Remissvar lämas i kolume Tillstyrkes term och Tillstyrkes (iitio) och evetuella sypukter skrivs i kolume Sypukter. Begreppe redovisas i Socialstyrelses

Läs mer

KMR. mjölkersättning för kattungar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com

KMR. mjölkersättning för kattungar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com KMR mjölkersättig för kattugar BRUKSANVISNING De bästa starte för e yfödd kattuge är självklart att dia mammas mjölk. För e yfödd kattuge är det framför allt viktigt att få i sig mammas mjölk de två första

Läs mer

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt Lektio 3 Kära Bidigseergi och assdefekt Några begre och beteckigar Nuklid Nukleo Isotoer Isobarer Masstal A Atouer Z E ato ed ett bestät atal rotoer och eutroer. Beteckas ofta A ed skrivsättet Z Xx där

Läs mer

förebygg.nu Stor kartläggning av ungas drogvanor den isländska onsdag 13 november

förebygg.nu Stor kartläggning av ungas drogvanor den isländska onsdag 13 november osdag 13 ovember förebygg.u Så fugerar de islädska modelle Programmet för ett drogfritt Islad har pågått i 15 år. Sida 3 Smart Ugdom Stora framsteg för de prisade ideella ugdomsföreige. Sida 7 Foto Peter

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23 1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n Tolkig av saolikhet Statistikes gruder, 15p dagtid HT 01 Föreläsigar F4-F6 Frekvetistisk A / A) då Klassisk atal(a) / atal(ω) = A) storlek(a) / storlek(ω) = A) Subjektiv (persolig) isats/total vist = A)

Läs mer

Kanbansystem vid stora orderkvantiteter

Kanbansystem vid stora orderkvantiteter Habok i materialstyrig - Del C Materialstyrigsmetoer C 57 Kabasystem vi stora orerkvatiteter Materialstyrig iebär föreklat att styra materialflöe geom att för varje artikel fatta beslut om e kvatitet som

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall: LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,

Läs mer

Funktionsteori Datorlaboration 1

Funktionsteori Datorlaboration 1 Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa

Läs mer

TRIBECA Finansutveckling

TRIBECA Finansutveckling TRIBECA Rådgivare iom fiasiella helhetslösigar TRIBECA a s k r e i v g S f a s k r i e v g S f g g r r e e a r a r e e i i f f TRIBECA s målsättig är att bidra med råd & produkter som hela tide gör att

Läs mer

god stiftelsepraxis www.saatiopalvelu.fi

god stiftelsepraxis www.saatiopalvelu.fi god stiftelsepraxis SÄÄTIÖIDEN JA RAHASTOJEN NEUVOTTELUKUNTA RY DELEGATIONEN FÖR STIFTELSER OCH FONDER RF www.saatiopalvelu.fi 1 Cotets God stiftelsepraxis 1 Iledig 3 2 God stiftelsepraxis 3 Stipedier

Läs mer

Detaljplan Ekedal södra. Behovsbedömning 1/5. Sektor samhällsbyggnad

Detaljplan Ekedal södra. Behovsbedömning 1/5. Sektor samhällsbyggnad 1/5 Sektor samhällsbyggad Datum Beteckig 2015-02-10 PLAN.2014.19 Plaehete Hadläggare Jey Olausso Detaljpla Ekedal södra Behovsbedömig Förslag Geomföradet av plaförslaget bedöms ite medföra ågo betydade

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

Stadsbyggande och farligt gods

Stadsbyggande och farligt gods Stadsbyggade och farligt gods Dialog-pm 2004:2 Aktualiserig av Översiktspla 2000 Malmö Stadsbyggadskotor mars 2004 Dialog-pm 2004:2 Stadsbyggade och farligt gods Sammafattig Dialog-pm 2004:2 Stadsbyggade

Läs mer

Universitetet: ER-diagram e-namn

Universitetet: ER-diagram e-namn Databaser Desig och programmerig Fortsättig på relatiosmodelle: Normaliserig fuktioella beroede ormalformer iformatiosbevarade relatiosschemauppdelig Varför ormalisera? Metod att skydda oss frå dum desig

Läs mer

Hur månfa indianer...? och andra gåtor Lärarmaterial. Vad handlar boken om? Mål från Lgr 11: Att arbeta med gåtor. Lek med ord och bokstäver

Hur månfa indianer...? och andra gåtor Lärarmaterial. Vad handlar boken om? Mål från Lgr 11: Att arbeta med gåtor. Lek med ord och bokstäver Lärarmaterial sida 1 Författare: Keld Peterse Vad hadlar boke om? Här får ma täka till! Ka du lösa gåtora? Mål frå Lgr 11: Lässtrategier för att förstå och tolka texter samt för att apassa läsige efter

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer

Familje- juridik Här är dina rättigheter. Bostad& fastighet. Sambo eller gift? Sambo eller gift? Privata Affärers serie om. Del 3

Familje- juridik Här är dina rättigheter. Bostad& fastighet. Sambo eller gift? Sambo eller gift? Privata Affärers serie om. Del 3 Äkteskap& samboförhållade Huvudregel eligt sambolage är att bostad och bohag, som skaffats för Är i ekoomiskt jämställda, det vill säga har ugefär lika stora skulder eller tillgågar, har det kaske ite

Läs mer

Smärtlindring vid medicinsk abort

Smärtlindring vid medicinsk abort Smärtlidrig vid medicisk abort EN JÄMFÖRANDE STUDIE VETENSKAPLIGT ARBETE UNDER ST ELIN SJÖLANDER HANDLEDARE MARIE BOLIN Itroduktio Smärta vid medicisk abort valig, smärtlidrig vid medicisk abort dåligt

Läs mer

förebygg.nu Alkohol och sex UNG KREATIVITET onsdag 16 november Kombinationen alkohol och sexualitet är ett ämne som diskuteras alltför lite Sidan 3

förebygg.nu Alkohol och sex UNG KREATIVITET onsdag 16 november Kombinationen alkohol och sexualitet är ett ämne som diskuteras alltför lite Sidan 3 osdag 16 ovember förebygg.u UNG KREATIVITET Vi måste hitta ett sätt att få uga att täka till ett extra varv Sidora 4-5 Alkohol och sex Kombiatioe alkohol och sexualitet är ett Effekter av förebyggade arbete

Läs mer

Linköping University Tentamen TEN1 vt 2011 Kurs TMMV09 Johan Hedbrant 2011-05-25

Linköping University Tentamen TEN1 vt 2011 Kurs TMMV09 Johan Hedbrant 2011-05-25 Liköpig Uiversity etame EN vt 0 Joha edbrat 0-05-5 eoridel. I kg helt torr ved fis eligt e valig formel 9. MJ eergi. Om dea mägd ved ligger i fukt lagom läge väger de kg, där hälfte av vikte är fukt. Om

Läs mer

Redovisning av det systematiska kvalitetsarbetet, grundskolan. Stångenässkolan

Redovisning av det systematiska kvalitetsarbetet, grundskolan. Stångenässkolan Redovisig av det systematiska kvalitetsarbetet, grudskola Stågeässkola 1 Presetatio av skola Stågeässkola är e F-6 skola i Brastad, Lysekils kommu. Skola har uder läsåret 2011-2012 haft i geomsitt 235,

Läs mer

Frasstrukturgrammatik

Frasstrukturgrammatik UALA UNIVERITET Metoder och tillämpigar i språktekologie Istitutioe för ligvistik och filologi Föreläsigsateckigar Mats Dahllöf http://stp.lig.uu.se/~matsd/uv/uv07/motist/ Oktober 2007 Frasstrukturgrammatik

Läs mer

Systemdesign fortsättningskurs

Systemdesign fortsättningskurs Systemdesig fortsättigskurs Orgaisatio Föreläsare Potus Boström Assistet? Tider mådagar och tisdagar kl. 8-10 Börjar 3.9 och slutar 16.10 Rum B3040 Orgaisatio Iga föreläsigar 24.9, 25.9, 1.10 och 2.10

Läs mer