Dina anteckningar: Semifysikalisk modellering i kursen Modellering

Transkript

1 Måns Östring, Control & Communication, sid 1 Dina anteckningar: Semifysikalisk modellering i kursen Modellering Måns Östring Control & Communication, ISY Innehåll Orientering med miniexempel Större exempel: Soluppvärmt hus Tekniska detaljer, svårigheter Referenser Orientering Måns Östring, Control & Communication, sid 2 Modeller Modellstruktur θparametrar som ska estimeras. ϕ(t) känd kvantitet, typiskt in- och utsignaler. y(t) =g(t, θ, ϕ(t)) Ofta vill man ha linjär modellstruktur eftersom det är enkelt att skatta parameterarna i en sådan. g = i θ i ϕ i (t) =θ T ϕ(t)

2 Orientering Måns Östring, Control & Communication, sid 3 Modellstrukturtyper Black-box: Typiskt sätter man ordningstalen för täljare och nämnare i en linjär modell. Black-box White-box: Helt fysikaliskt bestämd. Fysikaliskt parameteriserade (White-box) Grey-box Semifysikaliska modeller Grey-box: Delvis fysikaliskt bestämd, men det behövs indetifieringsmetoder för att skatta vissa delar/parametrar. Orientering Måns Östring, Control & Communication, sid 4 Ex: Semifysikalisk modellering; element i ett rum Vi vill bygga en modell för hur spänningen till elementet påverkar temperaturen i rummet. ARX för enkel (ger ej bra resultat). Genom en intuitiv transformering av insignalen har vi större chans att kunna beskriva systemet med en linjär modell. P = UI U = RI P = U 2 /R Att bygga en fysikalisk modell är för krånglig. Man kan misstänka att det är bättre att ha effekten som insignal? Kvadrera spänningen och använd denna som insignal till modellen.

3 Orientering Måns Östring, Control & Communication, sid 5 Identifieringsgång Simple things first, enkla linjära modeller tex ARX. Vad vet du om systemet? Kan du göra någon enklare transformation av tex in- utsignalerna? Olinjära modellstrukturer, tex Neurala nätverk. Orientering Måns Östring, Control & Communication, sid 6 Semifysikalisk modellering Det kan även vara så att man vet att det finns en integration i systemet så varför inte använda den kunskapen. Använd bara fundamentala fysikaliska principer som tex energiprincipen. Om dom ursprungliga parametrarna uppträder på ett komplicerat olinjärt sätt inför nya parametrar som uppträder linjärt. Dock kan man fråga sig om detta är enkelt. Vad är det för problem man kan stöta på? Välj ut dom viktigaste regressorerna och inkludera endast dom i modellen.

4 Soluppvärmt hus Måns Östring, Control & Communication, sid 7 Soluppvärmt hus I(t) Målet är att modellera inloppstemperaturn till förvaringsplatsen och hur den påverkas av pumphastigheten och solstrålningen. Mätningar görs var 20 minut under totalt 48 timmar. 20 första timmarna används till modellbygge och resterande till validering av modellen. x (t) 1 Solar panel Pump u(t) y(t) = x (t) 2 Heat storage Mätsignaler: 1) I(t) solstrålningen. (icke styrbar insignal) 2) u(t) pumphastigheten (styrbar men bara två lägen; av eller på) 3) y(t) inloppstemperaturen (utsignal) Soluppvärmt hus Måns Östring, Control & Communication, sid 8 Signalerna Input signals Sun intensity I(t). Pump speed, u(t) Time (hours) Modeling data Validation data Storage temperature - 21 ( C) Storage temperature - 21 y(t) Time (hours)

5 Soluppvärmt hus Måns Östring, Control & Communication, sid 9 Try simple things first y(t) = θ 1 y(t 1) θ 2 y(t 2) + θ 3 u(t 1) + θ 4 u(t 2) + θ 5 I(t 1) + θ 6 I(t 2) 45 Measured storage temperature. Simulated storage temperature of the 6:th order linear model. En-stegsprediktion med en modellstruktur men 6 fria parametrar. Dom skattade paramerarna fås från ˆθ =argmin (y(t) ŷ(t, θ)) 2 θ } t {{} V (θ) 40 Storage temperature ( C) Gick ju inte så bra. Simulering följer verkligheten. Den den övergripande formen är dock fångad av modellen Time (hours) Soluppvärmt hus Måns Östring, Control & Communication, sid 10 try simple physical things next Förenklat: Solstrålningen och pumphastigheten är ju knappast additiva: Om pumpen är avstängd påverkar solstrålningen inte inloppstemperaturen. Vi kan förvänta oss ett multiplikativt uppförande mellan de bägge insignalerna. Uppvärming av solfångaren x 1 (t +1) x 1 (t) påverkas av strålningen prop. mot I(t) och förlust till omgivningen prop. mot x 1 (t) och förlust till fövaringsplatsen prop. mot x 1 (t)u(t). Vi tittar på energiprincipen för solfångaren och gör en väldigt grovt approximativ modell. Låt medeltemeraturen hos solfångaren vara x 1 (t) x 1 (t +1) x 1 (t)=θ 1 I(t) θ 2 x 1 (t) θ 3 x 1 (t)u(t)

6 Soluppvärmt hus Måns Östring, Control & Communication, sid 11 Vi tittar på energiprincipen för förvaringsplatsen: y(t +1) y(t)=θ 3 x 1 (t)u(t) θ 4 y(t) Uppvärming av förvaringsplatsen y(t +1) y(t) påverkas av energi in till förvaringsplatsen prop. mot. x 1 (t)u(t) och förlust till omgivningen prop. mot y(t) Vi eliminerar x 1 i ekvationerna och får y(t) =(1 θ 4 )y(t 1) + θ 1 θ 3 u(t 1)I(t 2) θ 3 u(t 1)y(t 1) u(t 1)y(t 1) +θ 3 (1 θ 4 )u(t 1)y(t 2) + (1 θ 2 ) u(t 2) u(t 1)y(t 2) (1 θ 2 )(1 θ 4 ) u(t 2) Eftersom vi inte mäter x 1 måste vi elimnera den ur ekvationerna. Soluppvärmt hus Måns Östring, Control & Communication, sid 12 Omparameterisera! Nackdel: 2 fler parametrar θ1 =(1 θ 4) ϕ 1 (t)=y(t 1) θ2 = θ 1θ 3 ϕ 2 (t) =u(t 1)I(t 2) θ3 = θ 3 ϕ 3 (t) =u(t 1)y(t 1) θ4 = θ 3(1 θ 4 ) ϕ 4 (t) =u(t 1)y(t 2) θ5 =(1 θ 2) ϕ 5 (t)=u(t 1)y(t 1)/u(t 2) θ6 = (1 θ 2)(1 θ 4 ) ϕ 6 (t) =u(t 1)y(t 2)/u(t 2) Nu kan vi skriva det som linjär regression 6 y(t) = θi ϕ i(t) i=1 och vi kan göra estimeringen av parametrarna med minsta-kvadrat-metoden.

7 Soluppvärmt hus Måns Östring, Control & Communication, sid Storage temperature ( C) Measured storage temperature. Simulated storage temperature of the 6:th order nonlinear model. På grund av att vi fick en extra flexibel model finns risk för övermodellering. Vi har ju ingen separat brusmodell Time (hours) Bättre men inte tillräckligt. Det kan finnas risk för övermodellering. (Anpassning av modellen till det aktuella bruset). Soluppvärmt hus Måns Östring, Control & Communication, sid 14 Väljer 2 av regressorerna: y(t) =θ1 y(t 1) + θ 2u(t 1)I(t 2) Nu har vi verkligen gjort modellen semifysikalisk eftersom vi inte tog med alla regressorerna. Det går även att gå vidare med dessa regressorer och tex. tillämpa neurala nätverk med dess 2 regressorer. 45 Measured storage temperature. Simulated storage temperature of the 2:nd order nonlinear model. 40 Storage temperature ( C) Time (hours)

8 Svårigheter Måns Östring, Control & Communication, sid 15 Svårigheter 1. Finna ett dynamiskt samband mellan in och utsignaler. 2. Givet ett dynamiskt samband, hitta en ny mängd ekvationer som inte innehåller icke mätbara storheter x(t). Punkt 1 antar vi att vi redan har. Punkt 3 kan hanteras med flertal olika metoder, tex euler. Punkt 6, hänvisar jag till identifieringskursen. Punkt 2,4 och 5 kommer att behandlas här. 3. Om sambandet är kontinuerligt transformera till diskret motsvarighet. 4. Skriv om ekvationerna så att dom blir linjära i parametrarna. 5. Välja ut dom viktigaste regressorerna. 6. Estimera en bra modell från data. Svårigheter Måns Östring, Control & Communication, sid 16 Punkt 2: Givet ett dynamiskt samband, hitta en ny mängd ekvationer som inte innehåller icke mätbara storheter x(t). ADE = Algebraisk differentialekvation Om ADE: Ritts algorithm (liknar Gausselimination) Eller commutative algebra som hanterar polynomiska differentialekvationer. Här kommer Gröbnerbaser in. Dock är detta mycket beräkningsskrävande, tex kan 5 ekvationer ta flera timmar att lösa. Gröbnerbaser är till för att hantera: x 1 2x 2 2 x 3 =0 x 1 2x 2 x 3 1=0 x 2 +x 2 x 3 2=0 eliminera x 1 och x 2

9 Svårigheter Måns Östring, Control & Communication, sid 17 Gröbnerbaser Vi har eliminerat dom önskade variablerna i sista elementet i Gröbnerbasen. Antag att vi har polynomen F = {x 1 2x 2 2 x 3,x 1 2x 2 x 3 1,x 2 +x 2 x 3 2} Då blir, med avseende på en viss ordning, Gröbnerbasen till F GB = {5x 1 +10x x 3 1, 5x 2 +20x 2 3 7x 3 +8, 10x 3 3 6x2 3 +8x 3 1} Svårigheter Måns Östring, Control & Communication, sid 18 Hur gör man om sin ODE till ADE? ODE = ordinär differentialekvation Ex: Svängande pendel, med massa m, längd l och friktion k. φ(t) = k m φ(t) g l sin(φ) Lösningen till denna ekvation uppfyller ADEn φ (3) (φ (3) + 2k m φ)+ φ 2 ( φ 2 + k2 m 2) + 2k m φ φ 3 + φ 2 ( k2 m 2 φ 2 g2 l 2)=0 Det kan bli problem med falska lösningar. Dock är inte det så allvarligt eftersom vi sedan utför identifiering av parametrarna och då försvinner förhoppningsvis dom falska lösningarna.

10 Svårigheter Måns Östring, Control & Communication, sid 19 Hur gör man om sin ODE till ADE? Det finns tabeller där man kan slå upp ADEn för olika funktioner. Om man tex har e x(t) kan vi döpa den till z 1 (t). Om vi deriverar och utnyttjar att z 1 (t) =e x(t) får vi följande ż 1 (t) =ẋ(t)z 1 (t) Kedjeregeln gör att detta kan tillämpas succesivt. Man kan göra detta för dom flesta typer av vanliga elementära funktioner. Svårigheter Måns Östring, Control & Communication, sid 20 Punkt 4: Skriv om ekvationerna så att dom blir linjära i parametrarna. Problem: y(t 1) + u(t) y(t) = θ 1 y(t 2) Går ej att skriva om på formeny(t)= θ i ϕ i (t) Problem med att lösa ut y(t), eller inte unikt. Detta kan hanteras med formen θi ϕ(t) =0

11 Svårigheter Måns Östring, Control & Communication, sid 21 Punkt 5: Välja ut dom viktigaste regressorerna. backward elimination Börja med alla regressorerna och ta bort den som ökade förlustfunktionen minst. forward selection Lägg till en regressor i taget. stepwise regression Tag varannan av forward selection och backward elimination. För jobbigt att testa alla möjliga modeller 20 regressorer modeller! backward elimination : Här blir värsta fallet för 20 regressorer 209 modeller. Om illa konditionerat kan man göra ett dåligt val av regressorer. forward selection är inte lika känslig för detta. forward selection : Dock kan man göra ett dåligt val om det är stor korrelation mellan regressorer. mm ( principal component regression, partial least squares...) Svårigheter Måns Östring, Control & Communication, sid 22 Existerande verktyg IdKit från KTH som är en del av MoCaVa. SEMI gjort av P. Lindskog. Mathematica eller Maple och SITB (Matlabtoolbox).

12 Referenser Måns Östring, Control & Communication, sid 23 Referenser [?], se Part III för en utförlig beskrivning. [1] C. Halfmann, O. Nelles, and H. Holzmann. Semi-physical modeling of the veritcal vehicle dynamics. In Proceedings of the American Control Conference, [2] Peter Lindskog. Methods, Algorithms and Tools for System Identification Based on Prior Knowledge. PhD thesis, Linköping University, May [3] Peter Lindskog and Lennart Ljung. Tools for semiphysical modelling. Technical Report LiTH-ISY-R-1820, Dept of EE. Linköping University, S Linköping, Sweden, Jan [4] L. Ljung. System Identification: Theory for the User. Prentice-Hall, Upper Saddle River, N.J. USA, 2:nd edition, [5] J. Pettersson, P-O Gutman, T. Bohlin, and B. Nilsson. A grey box bending stiffness model for paper board manufacturing. In Preceedings of the 1997 IEEE International Conference on Control Applications, [6] James Sörlie. On Grey-Box Model Definition and Symbolic Derivation of Extended Kalman Filters. PhD thesis, KTH, [?], för en 15 sidor lång artikel som bl.a. inkluderar solfångarexemplet. [?], för mer information om identifieringsbiten. [?], för info om MoCaVa, men mer också på seminariet nästa vecka. Exempel där semi-fysikalisk modellering är använt finns i [?,?]