Olinjärt med Whats Best!
|
|
- Lisbeth Sundqvist
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Olinjärt med Whats Best! WhatsBest har ett flertal olika lösare. Har vi ett linjärt problem känner den igen det och använder sig normalt av simplexmetoden, har vi olinjära problem har den ett flertal metoder som den testar. Ibland kan automatiken dock vara lite förvirrande. Vid olinjära problem är man ofta hänvisad till olika numeriska sökmetoder. De har dock nackdelen att de normalt endast hittar lokala optimum, så om vi har ett problem där vi kan tänka oss att det finns flera lokala optimum får man kolla om det är rätt lösning som hittats. Det finns flera olika typer av beslutsvariabler i WhatsBest! Adjustable Positivt reelt tal Skapas lättast via snabbknappen För mer info se sidan 17-0 (Make Adjustable), Free Integer Reelt tal som både kan vara positivt och negativt. WB! / Adjustable / Make Adjustable & Free, OBS man måste namnge områden med Free-variabler För mer info se sidan 19-0 ickenegativt heltal {0, 1,, 3..} WB! / Integer (välj General WBINT) OBS man måste namnge områden med Integer-variabler Se sidan Binary heltal, endast {0, 1} WB! / Integer (välj Binary WBBIN) OBS man måste namnge områden med Integer-variabler Se sidan WhatsBest arbetssätt: 1. Läser av excelfilen. Skapar en modell 3. Klassificerar problemet och väljer lösningsmetod 4. Löser problemet 5. Lagrar resultatet i excelfilen (beslutsvariabler) 6. Kontrollerar att excel räknar ut samma värde på målcellen. En konsekvens av detta är att WhatsBest måste förstå alla funktioner vi använder. Om WhatsBest stöter på en cell som den inte förstår hur den ska beräkna, varnar den och betraktar cellen som ett konstant värde som inte påverkas av beslutsvariablerna. Ofta får man också en varning om att WhatsBest och excel kommer fram till olika värden på målcellen. Ett exempel på en funktion som inte stöds är radians() (konvertering av grader till radianer) Exempel på funktion som stöds, men bör undvikas om möjligt är IF() Se kapitel 5 för tillåtna funktioner. 1
2 WhatsBest klassificerar ett problem som Linear (lättlösta problem) Quadratic (kräver licens som vi inte har) Nonlinear (är ofta lite trixiga) Alla tre ovan kan vara med eller utan tillägg för heltal. Heltalsproblem bygger i princip på att man testar alla möjliga kombinationer av heltal, men det görs enligt en metod som åtminstone tillsammans med linjära problem reducerar antalet kombinationer som måste testas avsevärt. Metoden kallas branch-and-bound. Framgången för olinjära problem beror mycket på hur man formulerar problemet. Bra startvärden kan vara avgörande för om WhatsBest ska hitta en tillåten lösning och rätt maximum. Vid en del felmeddelanden nollställs alla beslutsvariabler, så ofta får man en betydligt beskedligare modell om man formulerar modellen så att nollställda beslutsvariablerna ger en modell som är matematiskt korrekt. Om bivillkoren dessutom är uppfyllda fungerar det i allmänhet ännu bättre. Om vi tänker oss att vi har ett isolerat rör som ska dimensioneras: r1=rörets innerdiameter r=rörets ytterdiameter r3=isoleringens ytterdiameter Om man sätter r1, r och r3 som adjustable får vi ganska lätt problem om någon diameter är noll, eller om de ligger i fel ordning. Detta kan styras upp med olikheter, men det är betydligt snällare att formulera det liknande: r1=a1+0,001 r=r1+a+0,001 r3=r+a3+0,001 där a1, a och a3 är adjustable och 0,001 är ett för problemet relativt litet tal. Rekommenderar att ni läser igenom Guidlines for Modelling with WhatsBest! sidan Resten av kapitel 6 är också lärorikt. Rekommenderade exempel: Flow Network Modeling sid Seasonal sales factoring sid Blending sid
3 Låt oss lösa vårt gamla demo-problem från Lagrange, P8.7 Konvektionskoefficienten, h, ges av: h θ = D där D är diametern på en sfärisk reaktor och θ är temperaturskillnaden till omgivningen. Värmeförlusten ges av q = ha T s T ) ( a Den sfäriska reaktorns yta ges av: A = πd Pga hållfasthetskrav har vi villkoret: D θ = 75 Bestäm de D och som ger den minsta värmeförlusten. Vi startar excel och skriver in nedanstående: Diameter 1 Theta 1 h=,55 A= 3, Krav 1 75 q= 8, Cellerna till höger om Diameter och Theta sätter vi till ett godtyckligt numeriskt värde 1 Cellerna till höger om h=, A=, Krav och q= beräknas enligt de samband vi har. Cellen till vänster om 75 markeras och vi trycker sedan på villkorsknappen =. Sedan markerar vi de två godtyckliga cellerna och trycker på knappen Make adjustable Vi markerar cellen till höger om q= och trycker sedan på knappen Minimize Excelarket visar då följande: Diameter 1 Theta 1 h=,55 A= 3, Krav 1 Not = 75 q= 8, Nu är det dags att lösa problemet, vi trycker på knappen Solve (måltavlan) Whats Best skapar nu ett nytt kalkylblad, WB! Status, där den lägger en del information om lösningen: 3
4 What'sBest! (Apr 06, 006) - Library Status Report - DATE GENERATED: apr 10, :53 PM MODEL INFORMATION: CLASSIFICATION DATA Current Capacity Limits Numerics 5 Variables 7 Adjustables 000 Constraints Integers/Binaries 0/0 00 Nonlinears 4 00 Coefficients 14 Minimum coefficient value: 1 on Blad1!D8 Minimum coefficient in formula: Blad1!D8 Maximum coefficient value: 75 on <RHS> Maximum coefficient in formula: Blad1!E10 MODEL TYPE: Nonlinear SOLUTION STATUS: LOCALLY OPTIMAL OPTIMALITY CONDITION: SATISFIED OBJECTIVE VALUE: DIRECTION: Minimize SOLVER TYPE: Multistart TRIES: 10 INFEASIBILITY: 0 Den viktigaste informationen är Solution status: Locally Optimal Växlar vi över till kalkylbladet där vi matade in nyss, ser vi: Diameter 0,54945 Theta 136,4996 h= 6,55319 A= 0,94844 Krav 75 = 75 q= 809,839 Nu kan vi gå in i menyn WB! / Options / Global solver och sätta en bock framför Global Solver, OK. 4
5 Ett nytt tryck på knappen Solve-knappen ger efter några sekunder följande rapport: What'sBest! (Apr 06, 006) - Library Status Report - DATE GENERATED: apr 10, :59 PM MODEL INFORMATION: CLASSIFICATION DATA Current Capacity Limits Numerics 5 Variables 7 Adjustables 000 Constraints Integers/Binaries 0/0 00 Globals 4 10 Coefficients 14 Minimum coefficient value: 1 on Blad1!D8 Minimum coefficient in formula: Blad1!D8 Maximum coefficient value: 75 on <RHS> Maximum coefficient in formula: Blad1!E10 MODEL TYPE: Nonlinear SOLUTION STATUS: GLOBALLY OPTIMAL OPTIMALITY CONDITION: SATISFIED OBJECTIVE VALUE: DIRECTION: Minimize SOLVER TYPE: Global TRIES: INFEASIBILITY: 0 BEST OBJECTIVE BOUND: STEPS: 73 Nu anser Whats Best att den hittat ett globalt minimum! 5
6 Lämpliga övningsuppgifter: Övningsuppgifterna P1 och P3 från Lagrange. Exempel P8.7 löst med Lagrange: (för jämförelse) Konvektionskoefficienten, h, ges av: där D är diametern på en sfärisk reaktor h = θ D (1) Där vi har θ = Ts Ta () där T s är reaktorns yttemperatur och T a är omgivningstemperaturen. Värmeförlusten ges av q = ha T s T ) (3) där A = πd är ytan på den sfäriska reaktorn. ( a Pga hållfasthetskrav har vi villkoret: D θ = 75 (4) Bestäm de D och som ger den minsta värmeförlusten mha Lagrange multiplikatormetod. Målfunktionen som funktion av D och är U = haθ = ( θ D ) πd θ = πd θ πθ D 0.8 (5) med villkoret G = Dθ 75 (6) Langrange multipliers. U G λ = 4πθD πθ D + λθ = 0 D D (7) U G λ = πd πθ D + λd = 0 θ θ (8) (7)D -(8): πθD πθ D + λdθ πθd πθ D λdθ = 0 πθd = π 0.44π θ D (9) ( ) 8 θ = 75D : 150π D = ( π 0.44π ) 75 D (10) ( ) ( π 0.44π ) D = (11) 150π 1/ D = m 1 θ = 75D 75/ C U = πd θ πθ D 809.9W πθD πθ D λ = 1.8 W/m C θ Känslighetskoefficienten, λ, anger hur en förändring av talet 75 påverkar värmeförlusterna hos reaktorn. Heat transfer Diameter 6
4. Olinjärt med Whats Best!
4. Olinjärt med Whats Best! WhatsBest har ett flertal olika lösare. Har vi ett linjärt problem känner den igen det och använder sig normalt av simplexmetoden, har vi olinjära problem har den ett flertal
Läs mer4. Olinjärt med What sbest!
4. Olinjärt med What sbest! What sbest! har ett flertal olika lösare. Har vi ett linjärt problem känner den igen det och använder sig normalt av simplexmetoden, har vi olinjära problem har den ett flertal
Läs mer4. Nonlinear problems with What s Best!
4. Nonlinear problems with What s Best! What s Best! have a number of solvers. If we have a linear problem, it recognizes that and normally uses the simplex method. If we have a nonlinear problem it has
Läs merNär det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att hålla nere bränslekostnaden men inte till vilket pris som helst.
Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum, när något är bäst. Men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att
Läs mer1. Vad är optimering?
. Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum, när något är bäst, men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. För att kunna jämföra olika fall samt avgöra vad som är bäst måste man
Läs merNär det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att hålla nere bränslekostnaden men inte till vilket pris som helst.
Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum när något är bäst. Men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att
Läs merMICROECONOMICS Mid Sweden University, Sundsvall (Lecture 2) Peter Lohmander &
MICROECONOMICS 2018 Mid Sweden University, Sundsvall (Lecture 2) Peter Lohmander www.lohmander.com & Peter@Lohmander.com NYTT MÖTE: Diskutera Ert förslag till lämpligt problem med kursledaren (Peter Lohmander)
Läs merOptimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition
Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 9 Institutionen för matematik KTH VT 2018 1 Dagens program Extremvärdesproblem (största och minsta värde) kap 13.2 Extremvärdesproblem med bivillkor Lagranges multiplikatormetod kap 13.3 (+ev
Läs merIntroduktion till att använda sig av GLPK
Introduktion till att använda sig av GLPK 1. Det finns inget grafiskt gränssnitt, som i Minitab eller Excel, utan man kör direkt i ett kommandofönster. 2. Programmet glpsol.exe och dess drivrutin (glpk44.dll-fil)
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 3 Problemklassificering Global/lokal optimalitet Konvexitet Generella sökmetoder Agenda Problemklassificering (kap 1.4, 2.1 2.3) Lokalt/globalt optimum
Läs merOlinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i
Olinjär optimering med bivillkor min då f (x) g i (x) 0 för alla i Specialfall: Konvext problem. Linjära bivillkor: Ax b. Linjära likhetsbivillkor: Ax = b. Inga bivillkor: Hanterat tidigare. Metodprinciper:
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merOptimeringslara = matematik som syftar till att analysera och. Optimeringslara ar en gren av den tillampade matematiken.
Optimal = basta mojliga. Optimeringslara = matematik som syftar till att analysera och nna det basta mojliga. Anvands oftast till att nna ett basta handlingsalternativ i tekniska och ekonomiska beslutsproblem.
Läs merRichard Öhrvall, http://richardohrvall.com/ 1
Läsa in data (1/4) Välj File>Open>Data Läsa in data (2/4) Leta reda på rätt fil, Markera den, välj Open http://richardohrvall.com/ 1 Läsa in data (3/4) Nu ska data vara inläst. Variable View Variabelvärden
Läs merTNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 6
TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 6 Agenda Kursens status Tolkning av utdata Intro lösningsmetoder Linjära optimeringsproblem (LP) på standardform Algebraisk formulering av LP Konveitet
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,
Läs merLinjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin
Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering
Läs merOptimering och simulering: Hur fungerar det och vad är skillnaden?
Optimering och simulering: Hur fungerar det och vad är skillnaden? Anders Peterson, Linköpings universitet Andreas Tapani, VTI med inspel från Sara Gestrelius, RIS-SIS n titt i KAJTs verktygslåda Agenda
Läs merTAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y. Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 27 augusti 2013 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.
Läs merMICROECONOMICS Mid Sweden University, Sundsvall (Lecture 1) Peter Lohmander &
MICROECONOMICS 2018 Mid Sweden University, Sundsvall (Lecture 1) Peter Lohmander www.lohmander.com & Peter@Lohmander.com BAKGRUND: Utdrag ur kursplanen: Industriell organisation och ekonomi GR (B), Mikroekonomisk
Läs merLP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
Läs merVårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
Läs merSpeciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j j= a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Vi har ett nätverksflödesproblem med 5 noder. Låt x = (x 2, x 3, x
Läs merSolutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 2014
Solutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 14 1.(a) The considered problem may be modelled as a minimum-cost network flow problem with six nodes F1, F, K1, K, K3, K4, here called 1,,3,4,5,6, and
Läs merHemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-10
Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-1 Kursansvarig: Per Enqvist, tel: 79 6298, penqvist@math.kth.se. Assistenter: Mikael Fallgren, werty@kth.se, Amol Sasane, sasane@math.kth.se. I denna uppgift
Läs merOptimering Linjär programmering
Optimering Linjär programmering Ett optimeringsprolem estår av: En målfunktion, f(), vars maimum, eller minimum ska sökas. En eller flera -varialer (eslutsvarialer som man str över). Eventuellt okså ett
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs mer7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden
Nr 7, 1 mars -5, Amelia 7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Största och minsta värden handlar om en funktions värdemängd. Värdemängden ligger givetvis mellan det största och minsta värdet,
Läs merLösningar till tentan i SF1861/51 Optimeringslära, 3 juni, 2015
Lösningar till tentan i SF86/5 Optimeringslära, 3 juni, 25 Uppgift.(a) Första delen: The network is illustrated in the following figure, where all the links are directed from left to right. 3 5 O------O
Läs merExtrempunkt. Polyeder
Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den. Dvs. finna en optimal lösning, x, till modellen. Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan bättre. Upprepa, tills
Läs merLinjärprogrammering (Kap 3,4 och 5)
Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5) Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet 16 september 2015 Dessa sidor innehåller kortfattade
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-08-31 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och
Läs merEulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.
Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är
Läs merVinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.
TNSL05 2(8) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F2. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal
Läs mer1 Ickelinjär optimering under bivillkor
Krister Svanberg, maj 2012 1 Ickelinjär optimering under bivillkor Hittills har vi behandlat optimeringsproblem där alla variabler x j kunnat röra sig fritt, oberoende av varann, och anta hur stora eller
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
Läs merTAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 19 april 2017 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Läs merLP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter
LP-problem Vårt första exempel Ett LP-problem: max z = c T x då Ax b, x 0. Den tillåtna mängden är en polyeder och konvex. Målfunktionen är linjär och konvex. Så problemet är konvext. Var ligger optimum?
Läs merExaminator: Torbjörn Larsson Jourhavande lärare: Torbjörn Larsson, tel Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 21 augusti 2012 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.
Läs merPreliminärt lösningsförslag till del I, v1.0
Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merTAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 23 augusti 2016 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs merOptimering. Optimering av transportproblem. Linköpings universitet SL. Campusveckan VT2013
Optimering Optimering av transportproblem Campusveckan VT2013 Linköpings universitet SL 1 Optimering - Distributionsproblem Företaget Kulprodukter AB producerar sina kulor vid fyra olika fabriksanläggningar
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 augusti 2015 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merHistogram, pivottabeller och tabell med beskrivande statistik i Excel
Histogram, pivottabeller och tabell med beskrivande statistik i Excel 1 Histogram är bra för att dem på ett visuellt sätt ger oss mycket information. Att göra ett histogram i Excel är dock rätt så bökigt.
Läs merLösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
Läs merHögskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Läs merOptimering med bivillkor
Kapitel 9 Optimering med bivillkor 9.1. Optimering med bivillkor Låt f(x) vara en funktion av x R. Vi vill optimera funktionen f under bivillkoret g(x) =C (eller bivllkoren g 1 (x) =C 1,..., g k (x) =C
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 9 Icke-linjär optimering Konveitet Metoder ör problem utan bivillkor Optimalitetsvillkor ör icke-linjära problem Icke-linjär programmering Non-linear
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
Läs merFlöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2012-03-24 kl 14.30-19.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merTentamen i Matematik 2: M0030M.
Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 2010-01-12 Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merFör studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas
Läs merLösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 1 juni 2017
Lösningar till tentan i SF86 Optimeringslära, juni 7 Lösningarna är på svenska, utom lösningen av (a som är på engelska (a The considered network is illustrated in FIGURE below, where the supply at the
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 1 oktober 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:
Läs merTentamensinstruktioner
TNSL05 1(7) TENTAMEN Datum: 1 april 2016 Tid: 14-18 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p,
Läs merEXISTENS AV EN UNIK LÖSNING TILL FÖRSTAORDNINGENS BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM
EXISTENS AV EN UNIK LÖSNING TILL FÖRSTAORDNINGENS BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM Vi betraktar ett begnnelsevärdesproblem IVP, initial-value problem) av första ordningen som är skrivet på normal form IVP1) Man
Läs merVinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.
TNSL05 (10) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal
Läs merAvslutande föreläsning LGMA65
Avslutande föreläsning LGMA65 Innehåll Modulerna Modelleringscykeln Strategier för problemlösning Två exempel från uppgifterna Diskussion: För lite teori? Otydliga frågor Matematik vs. fysik Problemlösningsplan
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 2016 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merTentamensinstruktioner
TNSL05 (6) TENTAMEN Datum: augusti 07 Tid: 8- Provkod: TEN Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt p, betyg kräver
Läs merOptimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden.
Optimering, exempel Exempel 1 (optimering över kompakt mängd) Bestäm största och minsta värdet till funktionen f(x,y) = x 4 + y 4 + 4x 2 + 16 i cirkelskivan {x 2 + y 2 4}. Lösning: Cirkelskivan är kompakt
Läs merLaborationsinformation
Linköpings Tekniska Högskola 2017 03 16 Matematiska institutionen/optimeringslära Kaj Holmberg Laborationsinformation 1 Information om GLPK/glpsol 1.1 Introduktion till GLPK GLPK (GNU Linear Programming
Läs mersamma sätt. Spara varje uppgift som separat Excelfil. För att starta Excel med Resampling-pluginet, välj Resampling Stats for Excel i Start-menyn.
LABORATION 1: SANNOLIKHETER Lös Uppgift 1-8 nedan. Första uppgiften har ledning steg för steg, resterande uppgifter löser du på samma sätt. Spara varje uppgift som separat Excelfil. För att starta Excel
Läs merTentamensinstruktioner
TNSL05 1(7) TENTAMEN Datum: 21 april 2017 Tid: 14-18 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs mermin c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då n c j x j j= n a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 9--7 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och x 7 Starta med slackvariablerna
Läs merKaos i Hénon-Helies systemet
Kaos i Hénon-Helies systemet Projekt i Analytisk Mekanik Av: Christian Emanuelsson Karlstads universitet hösten 2011 Kaos i Hénon-Helies systemet Överblick: Introducera kaos Presentera Hénon-Helias Visualisera
Läs merBo E. Sernelius Residuer och Poler 27
Komple Analys Bo E Sernelius Residuer och Poler 7 RESIDUER OCH POLER I detta kapitel studerar vi de punkter där en funktion inte är analytisk Vi inför begreppet pol och lär oss räkna ut residuen i en pol
Läs merEn introduktion till och första övning i @Risk5 for Excel
LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg / Lars Wahlgren VT2012 En introduktion till och första övning i @Risk5 for Excel Vi har redan under kursen stiftat bekantskap med Minitab
Läs mermin c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j a ij x j b i x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland u j
Läs merMMA127 Differential och integralkalkyl II
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9..19 8. 11. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).
Läs merTENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 2
Numerisk Analys - Institutionen för Matematik KTH - Royal institute of technology 218-5-28, kl 8-11 SF1547 TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 2 Rättas endast om del 1 är godkänd. Betygsgräns
Läs merz = min 3x 1 2x 2 + y Fixera y, vilket ger subproblemet
Bendersdekomposition Blandade heltalsproblem med ett stort antal kontinuerliga variabler och få heltalsvariabler. Mycket lättare att lösa om heltalsvariablerna fixeras. Bendersdekomposition (primal dekomposition)
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 1 april 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP6/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: januari 2016 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merDatorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska)
Datorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska) I processövningen som ni ska genomföra ingår det att konstruera samt sammanställa en enkät. Denna sammanställning ska göras med hjälp av programmet
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merTENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20
Numerisk Analys - Institutionen för Matematik KTH - Royal institute of technology 2016-05-31, kl 08-11 SF1547+SF1543 TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20 Uppgift 1 Man vill lösa ekvationssystemet
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 4--3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Elin Solberg, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från
Läs mer(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jörgen Östensson Prov i matematik X, geo, frist, lärare LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 200 0 08 Skrivtid: 8.00.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs merTentamensinstruktioner
TNSL05 1(8) TENTAMEN Datum: 1 april 2016 Tid: XXX Sal: XXX Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA4 Flervariabelanalys E2 21-8-1 kl. 8. 12. Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anders Martinsson, telefon: 7 88 4 Hjälpmedel: bifogat
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken
Läs mer