Kaos i Hénon-Helies systemet

Transkript

1 Kaos i Hénon-Helies systemet Projekt i Analytisk Mekanik Av: Christian Emanuelsson Karlstads universitet hösten 2011

2 Kaos i Hénon-Helies systemet Överblick: Introducera kaos Presentera Hénon-Helias Visualisera kaos

3 Kaos Historiskt: Alla system analytiska Poincaré: Tre kropps problemet går inte att lösa analytisk Något annat som rörelse lyder under: kaos

4 Kaotiska banor Kaotiska system uppvisar stor slumpmässighet med viss grad av regelbundenhet. Kännetecknas av: Känslighet till initial värden Mixande Täta och quasi-periodiska

5 KAM teoremet När störningsteori kan användas för en störning För en Hamiltonian H =H 0 +Δ H, H 0 integrerbar, Δ H störning Δ H ska vara liten Frekvenserna till H 0 ska inte vara proportionerliga När teoremet håller är banan begränsad till ytan av en torus När KAM inte håller kan kaos ta vid

6 Liapunov exponenten Ett sätt att kvantitativt mäta hur känsligt ett system är på initial villkor. Tittar på avståndet mellan två banor när de börjar, S 0, och efter en tid, S (t ). λt Sedan löses λ ur: S (t)=s 0 e Kaotiskt system: λ > 0

7 Poincaré sektioner Ett sätt att skapa sig en bild av hur ett system uppför sig i delar av fasrummet. Om man befinner sig i ett 4D fasrum: Använd en konstant för banan => 3D Plotta banan där den skär genom ett plan => 2D Öar där systemet är integrerbart inbäddat i kaos

8 Attraktorer Kaos har en släkting, systemet behöver inte börja i stabila banor men drar sig åt något stabilt område i fasrummet över tid, en attraktor, av heltals dimension Kaos: Har attraktorer som är av fraktal dimension, mystiska attraktorer (strange attractor) Fraktaler uppvisar självlikheter, detta är också en egenskap av kaos.

9 Attraktorer Exempel Van der Pol attraktorn Lorentz attraktorn

10 Attraktorer Självlikhet, fraktaler Självlikheterna man kan se i kaotiska system är inte lika regelbundna som dessa konstruerade fraktaler De nämnda öarna brukar ha självlikheter

11 Hénon-Helies systemet Historik : Nytt intresse för en eventuell 3:e konstant integral av rörelsen gör galaktiska banor. (r, θ, z, r, θ, z ) 6D, => matematisk 5 integraler Visste om 2, visat att generellt ger 2 av de andra inget Finns det en 3:e? Man trodde inte det då ingen hittats analytiskt Observationer och numeriska beräkningar tydde på det

12 Hénon-Helies systemet Motivering till potentialen Hénon och Helies antog: En axis-symmetrisk potential Rörelsen var begränsad till ett plan De använde per enhet massa och satte: p x = x, p y = y Totala energi integralen för rörelsen: E =V ( x, y)+ ( x + y ) 2 ( Efter några försök valde de: V ( x, y)= x + y +2xy y 2 3 Lätt att finna lösningar Gav icke triviala banor )

13 Hénon-Helies systemet Potentialen Minimum i origo, tre sadelpunkter, ett bundet område E < 1/6

14 Hénon-Helies systemet Hamiltonian och fasrummet ( H = ( x + y ) x + y +2xy y ) Rörelse ekvationerna: p x = H = x = x 2xy x p y = H 2 2 = y = y x + y y Rörelsen är bunden i det nöt formade området: Triangeln i x-y planet 3 2 y =± 2E+2 y /3 y x =± 2E x 2

15 Banor Nu behövs initial villkor, denna metod användes: Sätt x=0 Använd y, y och E som parametrar Beräkna x med: x = 2 E y 2 y 2+ 2 y3 3 Sedan matar man in integrationstiden och tidsintervallen och ODE lösaren räknar ut banan

16 Banor

17 Poincaré maps E sätts konstant => 3 dimensioner Väljer att använda planet där x=0 Leta upp var banan skär genom planet: Xn < 0 and xn+1 > 0 Beräkna y och y : y n + y n+1 y= 2 y n+ y n+1 y = 2

18 Poincaré maps

19 KAM teoremet KAM teoremet ger en geometrisk beskrivning av när kaos börjar: Banan ligger inte på en torus. Kan man se detta? Idén var att plotta 3D fasrummet (x,y, y )

20 KAM teoremet

21 Liapunov exponenten Här görs beräknas två banor som initialt är på ett litet avstånd. När beräkningen är klar beräknas den nya skillnaden och sedan används: ln (s (t)) ln ( s0 ) λ= t Metoden var att låta y och y vara samma för båda banorna och lägga till ett d på x. Detta skulle göra det lättare att välja punkter.

22 Liapunov exponenten Färgade: Startpunkter Svarta: Slutpunkter

23 Liapunov exponenten Hypotesen va att skulle öka med tiden och energin, så skulle några skulle göras för olika punkter, energier och tider. Hypotesen stöter på problem: Integrations tid λ -2,72 0,21-0,31 Vad händer? Undersök genom att plotta över tid

24 Liapunov exponenten

25 Liapunov exponenten Hur λ förändras med tiden när energin ökar

26 Liapunov exponenten För punkter i olika delar av fasrummet:

27 Självlikheter Uppvisar systemet några självlikheter? Öar:

28 Självlikheter Råkade finna något intressant för låga E: Strunta i att dela med t:

29 Självlikheter En annan eventuell självlikhet i systemet som hittades, över tid för låga energier: