Linnéuniversitetet Matematik Hans Frisk

Transkript

1 Linnéuniversitetet Matematik Hans Frisk Diskreta Dynamiska System, del I 1. Inledning. Denna föreläsningen handlar om diskreta dynamiska system vilket här innebär punkter som hoppar runt i planet. Även i de fall som tiden är en kontinuerlig parameter så väljer vi att studera systemet vid vissa diskreta tider. Som vi skall se så uppkommer då naturligt geometriska frågeställningar och intressanta geomteriska mönster kan bildas. I andra delen tar jag upp tillämpningar mot biologin. En fin bok på svenska om just detta är [1]. Nästan alla figurer är gjorda med Mathematica och jag har alltid tyckt det varit väldigt roligt att utforska saker och ting med hjälp av datorn.

2 2. Cirkulär Biljard. Tänk dig ett biljardbord där vi täppt igen hålen, där kulan fått bli en punkt och där ingen friktion finns så kulan far fram med konstant fart. Dessutom så tänker vi oss alternativa biljardbord som cirkel, ellips eller varför inte som Afrika! Det sistnämda fallet är lite knivigare för hur beskriver man matematiskt en form liknande Afrikas? Låt oss börja med cirkeln som du ser i figuren nedan. För att förstå ett dynamiskt system är det bra om man har koll på de periodiska banorna, alltså de banor som efter ett antal studsar kommer tillbaks till samma punkt med samma hastighet. De utgör ett slags skelett för all annan rörelse. I cirkeln är diametrar, trianglar och kvadrater de kortaste. När man kommer till fem studsar finns två möjligheter, banan går ett eller två varv runt origo innnan man man kommer tillbaks. Varje periodisk bana kan beskrivas med två tal som (5,1) för pentagon och (5,2) för pentagram. Fem oscillationer i radiell led på 1 respektive 2 varv i vinkelled. Lite häftigt att tänka sig att det var i denna figuren som antagligen Pythagoras insåg att alla tal inte är bråktal [2]. Han ville se vilket gemensamt mått diagonalen och sidan i pentagonen har och använde då Euklides algoritm men insåg efter ett tag att processen aldrig tar slut. Skälet är att diagonalerna bildar en ny pentagon i mitten och efter några steg i algoritmen skall man dra bort sidan i den lilla pentagonen från diagonalen i den lilla pentagonen och de var ju precis det man började med, fast i den stora pentagonen. Diagonalerna i den lilla 5-hörningen bildar en ny pentagon och så vidare. En annan viktig aspekt är vilka storheter som är bevarade under rörelsen. Farten, eller den kinetiska energin, är en bevarad men finns det någon mer? Ja, det minsta, vinkelräta, avståndet från en korda till origo är detsamma under rörelsen. Inom mekaniken säger man att rörelsemängdsmomentet är bevarat. Den cirkulära biljarden rör sig i två dimensioner och har två rörelsekonstanter, det är den högsta graden av ordning man kan tänka sig. En trevlig mer lättläst introduktion till biljarder är [3]. Oordnad rörelse i Afrika-biljarden kan du läsa om i l [4]. Frågor: 1) Finns det en periodisk bana med (5,3)? 2) Hur ser (7,3) ut? 3) Visa att det vinkelräta avståndet till origo är det samma för varje korda. Tänk på att infallsvinkel är lika med refexionsvinkel på randen.

3 3. Elliptisk biljard. I cirkeln så är all rörelse rotationsrörelse men i ellipsbiljarden finns det två typer av rörelse, rotationer och vibrationer. Ellipsens ekvation är x 2 a 2 + y2 = 1. (1) b2 Om a = b = r så får vi en cirkel med radien r. Här i figuren är a/b = 2. Av alla diameterbanor i cirkeln finns nu bara två isolerade periodiska banor kvar, en längs storaxeln och en längs lillaxeln. Figuren visar fyra studsars rotationsrörelse och vibrationsrörelse. Ellipsen har två brännpunkter, F 1 och F 2 i figuren, och åker kulan iväg mellan brännpunkterna så kommer den alltid att göra det (vibration). För rotationsrörelsen så roterar man runt brännpunkterna. Hur kan man veta det? Jo det finns faktiskt en andra rörelsekonstant också för ellipsbiljarden, den är produkten av rörelsemängdsmomenten med avseende på de två brännpunkterna. Denna produkt är negativ för vibrationsrörelse och positiv för vibrationsrörelse. Frågor: 1) Av de två diameterbanorna, vilken tror du är stabil? Det vill säga små ändringar i startposition och starthastighet ger upphov till en väldigt liknande bana. 2) Finn med t.ex. GeoGebra en (3,1) rotationsrörelse i ellipsen. 3) Visa med ett exempel att minsta avståndet till origo inte är bevarat för billjardrörelsen i ellipsen.

4

5 4. Poincare yta. På sätt och vis kan man säga att rörelsen inne i biljarden är bara en transportsträcka till nästa reflexion vid kanten. Den store franske matematikern Henri Poincare ( ) kom på att man kan förstå dynamiska system genom att bara titta på var partikeln befinner sig vid vissa tider eller positioner, t.ex. vid randen av biljarden. Här i figuren har vi på x-axeln positionen på randen, den ges av en vinkel, α, mellan 0 och 2π. x = 2 då α = 0 = 2π och x = 2 då α = π. På y-axeln har vi en vinkel, β, mellan 0 och π den anger vinkeln mellan hastighetsvektorn efter reflexion och tangentvektorn i moturs riktning i den punkten. Är β nära noll så rör sig kulan moturs längs biljardens rand. 25 slumpmässigt valda banor har i figuren itererats tusen gånger. De två typerna av rörelse som beskrevs i föregående figur syns här tydligt. Vibrationsrörelsen (ringarna) och rotationsrörelsen (överst och nederst i figuren). En alldeles speciell bana separerar de två typern av rörelse, nämligen den som efter att gått genom en fokalpunkt går genom den andra fokalpunkten (ej med i figuren). I mitten av ringarna finns den isolerade periodiska bana som går längs den korta axeln, β = π/2 och α = π/2 följt av α = 3π/2, β = π/2. Frågor: 1) Markera de två periodiska banorna i föregående figur här i denna figur. 4 punkter för var och en. 2) Använd GeoGebra för att finna punkter på separatrisen, alltså banan som separarerar rotations- och vibrationsrörelse

6 5. Yttre triangulär biljard. Den svenske kungen Oscar den andre utlyste i slutet av talet ett pris till den som kunde avgöra vårt solsytems stabiltet. Vår hjälte Poincaré vann priset även om frågan inte fick en tillfredsställande lösning förrän En liten rolig, förenklad, modell för detta är att tänka sig vår yttersta planet, Pluto, som en punktpartikel som rör sig utanför solen och planeterna. Dessa sammantaget kan vi se som t.ex. en ellips. Regeln för rörelse är nu följande: sett från Pluto finns två tangeringspunkter, välj en av dem och rör dig först till tangeringspunkten och sedan lika långt till. Hela tiden i rät linje. Sedan fortsätter man på samma sätt mot en ny tangeringspunkt och så vidare. Man kan bestämma att all rörelse sker medurs. På detta sätt har man fått en yttre biljard. Frågan man kan ställa sig är nu om rörelsen kan avlägsna sig från ellipsen eller kommer vårt låtsas-pluto att alltid hålla sig nära ellipsen. För att förenkla ytterligare så låter vi solsystemet symboliseras av regelbundna månghörningar, triangel (svart) i denna figur och pentagon i nästa. Nu finns hörnpunkter i stället för tangeringspunkter men regeln är den samma: gå mot ett hörn och sedan lika långt till, forsätt sedan mot nästa hörn. Observera att banan aldrig får gå igenom den svarta triangeln. En periodisk bana av längd 6 visas i figuren, längd 6 eftersom den har 6 segement. Faktum är att om man förlänger tringelns sidor så är inte biljardrörelsen väldefinierad på dessa. Man kallar linjerna kollapslinjer för biljardrörelsen har kollapsat när punktpartikeln kommit dit. Speglar man dessa linjer i det tredje hörnet och upprepar detta så får man en övertäckning av planet med hjälp av hexagoner och trianglar. Startar man i en hexagon (triangel) så kommer man alltid röra sig en annan hexagon (triangel) och all rörelse är periodisk. Introduktioner till de yttre biljarderna är [5] och [6]. Frågor: 1) Vad händer med rörelsen då vi har en 2-hörning, alltså ett linjesegment? 2) Vad händer om partikeln startar i en av de trianglar som har ett hörn gemensamt med den liksidiga svarta triangeln? Använd graderad linjal för att finna den periodiska banan. 3) Vilka liksidiga n-hörningar kan täcka hela planet? Vi tänker oss att vi har ett oändligt förråd av likadana mosaikbitar och ingen bit får ligga över en annan och det får inte vara några mellanrum. Man kallar sådana övertäckningar tesseleringar.

7

8 6. Yttre Pentagon biljard. I figuren till vänster ser vi pentagonen (svart) och de fem kollapslinjerna fast bara i framåtriktningen, rörelsen sker medurs. I mittenfiguren så har kollapslinjerna itererats en gång. Observera diskontinuiteterna (hoppen) när man byter närliggande hörn. I figuren till höger har processen upprepats 40 gånger till. Alla linjer i en figur skall itereras till nästa. För triangeln fick vi ett mönster av trianglar och hexagoner men här här är bilden mer komplex. Vi ser ringar av 10-hörningar och tittar man noga så ser man också öar med femhörningar. Startar rörelsen i dessa vita områden så är den periodisk. Men mönstret bli aldrig riktigt färdigt, vi har här ett exempel på en fraktal. Till skillnad från triangeln finns här banor som inte är periodiska. De finns t.ex. i det stjärnformade området närmast den svarta pentagonen och är det som blir över när man skär bort fem- och tio-hörningar. På [7] finns otroligt mycket om dessa yttre biljarder och Mathematica-programmet för denna figur har jag hämtat därifrån. Frågor: 1) Varför bildas bara 5- och 10-hörningar för pentagonen? För triangel så bildades på samma sätt 3- och 6-hörningar. 2) Om du startar i mitten i av en av de stora 10hörningarna, vilken blir då perioden? Vad händer om startpunkten inte ligger i mitten av 10-hörningen?

9 7. Henons avbildning. När man studerar modeller för vädret så är detta diskreta dynamiska system intressant xn+1 = yn x2n, yn+1 = 0.3xn. Det är en Poincare yta för en kontinuerlig modell som metrologen Lorentz studerade ingående. Vi startar alltså med en punkt någonstans i (x,y) planet och regeln ovan talar alltså om till vilken punkt partikeln hoppar. Precis som vattnet i badkaret dras till hålet så kommer partikeln att dras till en geometriskt objekt, en så kallad säregen attraktor. Du ser den i den vänstra delen av figuren. Här startade jag i (0,0) och itererade gånger. Efter ett litet tag så har partikelrörelsen lagt sig nära attraktorn. Säregen kallas attraktorn för det finns ett fraktalt mönster. Det utmärkande för fraktaler är att de uppvisar någon form av självupprepning [8]. Mittenfiguren är en förstoring av en del av den vänstra figuren ( övre högra delen) och fortsätter man att förstora övre högra delen ser man samma mönster igen, se högra figuren. Frågor: 1) En punkt i det förstorade området är (x, y)=(0.63, 0.19). Om partikeln befinner sig där, vart kom den ifrån och var är den på väg? 2) Lägg en liten cirkel kring (x, y)=(0.63, 0.19) med radien Försök förstå hur cirkeln deformeras efter 1 och 2 iterationer. Referenser [1] Bengt Uhlin, Matematisk design i naturen, Telleby förlag, [2] Auden Holme, Geoemetry - our cultural heritage, Springer, [3] [4] [5] [6] [7]

10 [8] Michael F. Barnsley, Fractals everywhere, Academic Press, 1993.