8. Val och design av reglerstruktur. 8.2 Decentraliserad reglering
|
|
- Rolf Eklund
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 8. Val och design av reglerstruktur 8.2 Decentraliserad reglering I en fabriksanläggning kan finnas hundratals eller t.o.m. tusentals variabler som skall regleras. Uppenbarligen vore det i ett sådant fall mycket opraktiskt att designa och använda ett reglersystem där alla mätsignaler tas in i en enda stor regulator, som bestämmer alla styrsignaler. I en sådan MIMO-regulator skulle regulatordesignen och ev. tillståndsestimering skulle bli ett formidabelt numeriskt problem onoggrannheter i processmodellen skulle i praktiken leda till ett reglersystem med dålig prestanda, kanske t.o.m. instabilitet Såsom illustrerades i föregående avsnitt delar man upp ett stort system i ett antal delsystem, som man behandlar var för sig. Väldigt vanligt är att reglera varje variabel, som skall regleras, med en skild regulator som använder en av de tillgängliga styrvariablerna för reglering av variabeln i fråga. Reglering med en sådan multiloop SISO-reglerstruktur kallas decentraliserad reglering. Detta är den vanligaste reglerstrategin för multivariabla system i processindustrin. Det fundamentala problemet vid decentraliserad reglering är hopparningen av in- och utsignaler för n stycken utsignaler finns n! stycken enkla hopparningsalternativ. Reglerteknik II Tillståndsmetoder (419301) 8 8
2 8.2 Decentraliserad reglering Ett illustrationsexempel Betrakta ett system, som beskrivs modellen y () s G () s G () s u () s y2() s = G21() s G22() s u2() s, 2 k G 12 11() s =, G 2 12() s = s + 3s+ 2 s + 1 k21 6 G21() s =, G 2 22() s = 2 s + 2s+ 1 s + 5s+ 6 där k 12 och k 21 är två parametrar, som har olika värden vid olika driftspunkter. Driftspunkt 1: k 12 = k 21 = 0 Vid denna driftspunkt har vi två delsystem som är oberoende av varandra. Vi skall uppenbarligen reglera y 1 med u 1 och y 2 med u 2. Reglerade delsystem med naturliga frekvensen 3 och relativa dämpningen 2/3, vilket ger en relativ översläng av storleken 6%, erhålles med regulatorerna 2 2 4,5( s + 3s+ 2) 1,5( s + 5s+ 6) Gc1() s =, Gc2() s = ss ( + 4) ss ( + 4) 8. Val och design av reglerstruktur 8 9
3 8.2.1 Ett illustrationsexempel Driftspunkt 2: k 12 = k 21 = 0,1 Figuren till höger visar ett reglerresultat när ovan bestämda regulatorer används. Regleringen fungerar uppenbarligen bra. Driftspunkt 3: k 12 = 1, k 21 = 0,5 Figuren nere till höger visar ett reglerresultat med samma regulatorer. Det reglerade systemet är stabilt, men resultatet är ändå mindre bra. Det finns en klar korskoppling mellan reglerkretsarna. Driftspunkt 4: k 12 = 2, k 21 = 1 I detta fall blir det reglerade systemet instabilt (ingen figur)! Plant outputs and ref. Plant outputs and ref Time [s] Vad beror detta på? Finns det något vi kunde göra för att förbättra regleringen? r 1 (t) r 1 (t) 8.2 Decentraliserad reglering 8 10 y 1 (t) y 1 (t) r 2 (t) Time [s] y 2 (t) r 2 (t) y 2 (t)
4 8.2 Decentraliserad reglering Val av reglerstruktur för ett 2x2 system Antag att vi har ett system med två insignaler, u 1 och u 2, och två utsignaler, y 1 och y 2. Vi önskar reglera systemet med två SISO-kretsar. Hur vet vi då om vi skall reglera y 1 med u 1 och y 2 med u 2 (reglerstruktur A) eller tvärtom (reglerstruktur B)? 8. Val och design av reglerstruktur 8 11
5 8.2.2 Val av reglerstruktur för ett 2x2 system Som ett konkret exempel kan vi betrakta en kontinuerlig blandning av två vattenströmmar för att få en vattenström av önskad storlek med en önskad temperatur. Skall vi då reglera temperaturen med inström A och totalströmmen med inström B eller tvärtom? För att ta ställning till frågan måste vi veta litet mera. Anta att inströmmarna har (de nominella) temperaturerna T A = 80 C, T B = 20 C samt att vi önskar T C = 60 C och m C = 20 kg/min. Skall vi reglera temperaturen med den inström vars temperatur ligger närmare den önskade eller tvärtom? Vi skall undersöka saken med hjälp av en processmodell. 8.2 Decentraliserad reglering 8 12
6 8.2.2 Val av reglerstruktur för ett 2x2 system Processmodell I blandningspunkten gäller massbalansen ma + mb = mc (8.2.1) samt energibalansen maha+ mbhb= mchc (8.2.2) där h betecknar specifik entalpi (enhet kj/kg). Variablerna är funktioner av tiden, men eftersom vattenströmmarna blandas ögonblickligen, förekommer inga tidsderivator. Om 0 C väljes till referenstemperatur för specifika entalpin och värmekapaciteten c p antas vara oberoende av temperaturen i det temperaturområde vi rör oss i, gäller h= cpt. Insättning i ekv. (8.2.2) ger då mt A A+ mt B B= mt C C (8.2.3) Vår processmodell utgörs av ekv. (8.2.1) och (8.2.3). Denna modell är olinjär (pga ekv. (8.2.3)) och för att underlätta den fortsatta analysen skall vi linjärisera den. 8.2 Decentraliserad reglering 8 13
7 8.2.2 Val av reglerstruktur för ett 2x2 system En linjär processmodell Linjärisering av processmodellen (8.2.1) och (8.2.3) kring ett stationärtillstånd ger Δ ma +Δ mb =Δ mc (8.2.4) TAΔ ma + maδ TA + TBΔ mb + mbδ TB = TCΔ mc + mcδ TC (8.2.5) Δ x anger en avvikelse från stationärtillståndet x. Eliminering av där Δ mc från (8.2.5) med (8.2.4) ger ( T T ) Δ m + ( T T ) Δ m + m Δ T + m Δ T = m Δ T (8.2.6) A C A B C B A A B B C C I matrisform kan (8.2.4) och (8.2.6) skrivas ΔmC 1 1 ΔmA 0 0 ΔT A TA TC TB TC ma mb T = C m + m B T Δ B C m Δ Δ C mc m C (8.2.7) 8.2 Decentraliserad reglering 8 14
8 8.2.2 Val av reglerstruktur för ett 2x2 system Modellen säger hur förändringar i reglervariablerna m A och m B påverkar m C och T C, dvs de variabler vi önskar reglera. Modellen säger också hur störningar i inströmmarnas temperaturer T A och T B påverkar utsignalerna. Alla parametrar i modellen kan beräknas utgående från givna data. Masströmmarna och m fås utgående från den olinjära processmodellen (8.2.1) och (8.2.3) enligt B T T C B ma = mc T A T B, T T C A mb = mc T B T A m A (8.2.8) Numeriskt fås då för modellen (8.2.7) ΔmC 1 1 ΔmA 0 0 ΔTA T = C m B 2/3 1/3 T Δ Δ Δ B (8.2.9) 8.2 Decentraliserad reglering 8 15
9 8.2.2 Val av reglerstruktur för ett 2x2 system Ekvation (8.2.9) utsäger följande: Det spelar ingen roll för regleringen av m C om vi använder m A eller m B. T C påverkas kraftigare av m B än av m A. För att eliminera en störning i T C räcker det då med en mindre justering i B som skulle behövas i m A. Det här betyder också att utströmmen m C störs mindre om T C regleras med B om T C regleras med m A. Om en störning i m C skall elimineras, påverkas T C i sin tur mindre om C med m A än om m C regleras med m B. Vi skall följaktligen reglera T C med m B och m C med m A. m än vad m än m regleras Om vi generaliserar, betyder detta att utströmmens temperatur skall regleras med den inström, vars temperatur ligger längre från den önskade temperaturen i utströmmen. 8.2 Decentraliserad reglering 8 16
10 8.2 Decentraliserad reglering Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar En reglerkrets kan förväntas fungera bättre ju mindre den påverkas ( störs ) av andra reglerkretsar i systemet genom korskoppling, även kallad interaktion. y u, Som ett mått på denna korskoppling för en reglerkrets med variabelparningen i- j har Edgar Bristol (1966) föreslagit den relativa förstärkningen för variabelparningen. Den definieras som förhållandet mellan den vanliga (statiska) förstärkningen mellan y i och u j och förstärkningen mellan samma variabler när alla andra utsignaler i systemet är (perfekt) reglerade. Om den relativa förstärkningen avviker mycket från 1 är det en indikation på att reglerkretsen störs av andra reglerkretsar. Matematiskt definieras den relativa förstärkningen λ ij för variabelparningen i- j ( yi / uj) uk, k j λij = (8.2.10) ( y / u ) i j y, k i Märk att de behövliga partialderivatorna kan bestämmas både för linjära och olinjära modeller. 8. Val och design av reglerstruktur 8 17 k y u
11 8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar De relativa förstärkningarna λ ij kan samlas i en matris av relativa förstärkningar, på engelska Relative Gain Array, förkortat RGA, som även blivit den benämning som ofta används på svenska. För ett system av storleken n n blir RGA-matrisen λ11 λ12 λ1 n λ21 λ22 λ 2n Λ= λn1 λn2 λnn Märk att RGA-matrisen ger information om alla tänkbara variabelparningar y -u. RGA-matrisen har bl.a. följande två egenskaper: Summan av elementen i varje rad och i varje kolonn är 1. För en RGA-matris av storleken 2x2 innebär detta att endast ett element behöver beräknas enligt definitionen, t.ex. λ 11, de övriga fås enligt summaregeln. RGA-matrisen är oberoende av variabelskalningar. En omskalning av in- eller utsignaler (t.ex. pga enhetsbyte) ändrar således inte på RGA-matrisen. (8.2.11) 8.2 Decentraliserad reglering 8 18 i j
12 8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar Val av reglerstruktur enligt RGA Man väljer variabelparningar i en decentraliserad reglerstruktur enligt följande principer: Välj variabelparningar på RG-värden (relativa förstärkningar) så nära +1 som möjligt. Speciellt bör negativa RG-värden undvikas (ger någon form av instabilitetsproblem). Mycket stora RG-värden (> , gränsen inte entydig) leder vanligtvis till dålig reglerprestanda. Ofta är valet inte entydigt när man skall jämföra RG-värden mellan 0 och 1 med >1 (skalan är olinjär, området motsvarar 1... ). Variabelparning enligt RGA-matrisen är relativt pålitligt för 2x2-system; för större system är tillförlitligheten inte lika stor. Märk att man skall välja en parning från varje rad och varje kolonn i RGA-matrisen. Märk även att dessa egenskaper/regler gäller för de valda variabelparningarna i en reglerstruktur; RGA-elementens värden för icke valda variabelparningar spelar ingen roll. Ytterligare kan konstateras att det existerar svårreglerade system där alla decentraliserade reglerstrukturer har någon variabelparning på ett negativt RG-värde. 8.2 Decentraliserad reglering 8 19
13 8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar Beräkning av RGA för ett linjärt 2x2-system Vi skall illustrera hur RGA kan beräknas för ett linjärt 2x2-system i enlighet med definitionen (8.2.10). RGA-matrisens egenskap att alla rad- och kolonnsummor är lika med 1 gör att det är tillräckligt att bestämma ett av elementen. Här skall vi bestämma λ 11. Den statiska processmodellen för ett 2x2-system har formen y1 = K11u1+ K12u2, y2 = K21u1+ K22u2 (8.2.12a,b) där K ij är statiska förstärkningar. För beräkning av nämnaren i (8.2.10) eliminerar vi u 2 från (8.2.12a) med hjälp av (8.2.12b). Vi får y = K u + K ( y K u )/ K (8.2.13) Täljaren och nämnaren i (8.2.10) fås enligt ( y1/ u1) u = K 2 11, ( y1 / u1) y = K 2 11 K12K21 / K22 (8.2.14) som ger λ 1 11 = 1 K K / K K (8.2.15) Decentraliserad reglering 8 20
14 8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar 4Exempel Beräkning av RGA för blandning av två vätskeströmmar Vi skall beräkna RGA för vattenblandningsexemplet i avsnitt Enligt ekv. (8.2.7) ges förstärkningarna av uttrycken K 11 = 1, K 12 = 1, K 21 T T A C =, mc K 22 = TB T m Insättning i ekv. (8.2.15) ger för variabelparningen 1-1 (dvs mc-m A) 1 TB TC λ11 = = 1 ( TA TC)/( TB TC) TB TA Variabelparningen i fråga är den korrekta om λ 11 > 0,5, dvs om TC > 0,5( TA + TB), vilket är i enlighet med tidigare allmänna slutsats om bästa variabelparning. Numeriskt fås med A T = 80 C, T B = 20 C, T C = 60 C att λ 11 = 2/3> 0,5. 3 Övning Illustrationsexemplet i avsnitt Försök att med RGA förklara det i avsnitt studerade systemets egenskaper i de olika driftspunkterna. Beräkningarna kan göras med systemets statiska förstärkningar. C C 8.2 Decentraliserad reglering 8 21
15 8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar Beräkning av RGA för ett godtyckligt linjärt system Vi skall här visa hur RGA enkelt kan beräknas för ett linjärt system av godtycklig storlek. Dessutom utvidgar vi behandlingen så att överföringsfunktioner kan användas i stället för de statiska förstärkningarna. Vi får då en RGA-matris där elementen är funktioner av den komplexa Laplacevariabeln s och därmed även frekvensberoende RGA-matris (genom substitutionen s = jω ). Systemet beskrivs av modellen y() s = G()() s u s (8.2.16) Detta betyder att täljaren i ekv. (8.2.10) är lika med G () s. Ekv. (8.2.16) ger även Decentraliserad reglering 8 22 ij u() s = G ()() s y s (8.2.17) Eftersom [ G ( s)] ji = ( uj / yi ) y k, k i är det klart att inversen av [ G ( s)] ji är lika med nämnaren i (8.2.10). Av detta följer att hela RGA-matrisen behändigt kan beräknas enligt T Λ() s = G() s G () s (8.2.18) T där G är den transponerade inversen av G och betecknar elementvis multiplikation T (precis som Matlab-operatorn. ) så att [ Λ( s)] = [ G( s)] [ G ( s)]. ij ij ij 1
16 8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar Några anmärkningar: Ekv. (8.2.18) möjliggör beräkning av en frekvensberoende RGA-matris. Om λ ij (dvs magnituden av λ ij) varierar mycket med frekvensen kan det vara skäl att undvika parningen yi-u j även om det statiska värdet på λ ij vore acceptabelt. Även om man avser att använda en statisk RGA-matris, får man beräkningsproblem om något element i G () s innehåller integrerande verkan. Man kan då först beräkna Λ s enligt (8.2.18) och därefter sätta s = 0 för att få den statiska RGA-matrisen. () Utgående från ekv. (8.2.18) och det faktum att G G I kan man bevisa att RGA-matrisens rad- och kolonnsummor måste vara lika med 1. 1 () s () s = 8.2 Decentraliserad reglering 8 23
17 8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar 4Exempel Beräkning av RGA för ett 3x3-system Vi skall beräkna RGA för ett system med förstärkningsmatrisen Inversen och dess transponat blir 1 2,662 8,351 8,351 K = 0,3816 0,5586 0, ,896 0,3511 0,1195 1,787 0 = 0, , , , ,5532 0,08165 K, vilket ger K T 0,3182 0,0195 0,6623 T Λ = K K = 0, , , ,9713 0, ,1195 0, , = 1, 787 0, , , ,08165 anger bästa parning Decentraliserad reglering 8 24
18 8. Val och design av reglerstruktur 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer För att decentraliserad reglering skall fungera (tillräckligt bra) måste det finnas naturliga par av in- och utsignaler som står för den dominerande dynamiken i systemet. Om inoch utsignalerna ordnas så, att den bästa variabelparningen sker längs diagonalen av överföringsmatrisen (och RGA-matrisen), kommer den dominerande dynamiken då att finnas i överföringsmatrisens diagonalelement. Detta betyder att överföringsmatrisen (med in- och utsignalerna ordnade på detta sätt) borde vara diagonaldominant, dvs i viss mån likna en diagonal matris. Om ett sådant arrangemang inte är möjligt, fungerar ren decentraliserad reglering mindre bra. Som vi sett i kursen, existerar det äkta designmetoder för multivariabla system (polplacering, LQG, MPC). Som ett mellanting mellan full decentraliserad reglering och äkta multivariabel reglering kan man tänka sig att designa en reglerstruktur genom variabeltransformationer som gör att överföringsmatrisen blir diagonaldominant med avseende på de nya variablerna. Då kan man fortfarande ha en decentraliserad reglerstruktur (multiloop SISO-reglering) med de nya variablerna som in- och utsignaler. Reglerteknik II Tillståndsmetoder (419301) 8 25
19 8.3 Variabeltransformationer Frånkoppling Betrakta ett 2x2-system, som beskrivs med modellen y () s G () s G () s u () s y2() s = G21() s G22() s u2() s (8.3.1) Figuren till höger visar ett blockschema över systemet. Om G 12 och G 21 är små jämfört med G 11 och G 22 kan vi använda vanlig decentraliserad reglering, där y 1 regleras med u 1 och y 2 regleras med u 2. Regulatorerna kan förmodligen designas utan att beakta korskopplingselementen G 12 och G 21. Om G 12 och G 21 inte är små, har vi en betydande korskoppling i systemet, som borde beaktas vid regulatordesignen. En sådan metod är frånkoppling (även kallad frikoppling, eng. decoupling). 8. Val och design av reglerstruktur 8 26
20 8.3.1 Frånkoppling s y() s = G()() s u s (8.3.2) Betrakta nu ett allmänt system med överföringsmatrisen G () så att där y är en vektor av utsignaler och u är en vektor av insignaler. Om vi ursprungligen känner systemet skrivet på tillståndsform ( ABC,, ) fås G som bekant enligt Vi söker en variabeltransformation som ger 1 G() s = C( si A) B (8.3.3) u() s = D() s m () s (8.3.4) y() s = G() s D() s m() s = H() s m () s, H() s = G() s D () s (8.3.5) så att överföringsmatrisen H () s får trevliga egenskaper för design av en regulator med m () s som styrsignal. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 27
21 8.3.1 Frånkoppling Vi kan i princip välja H () s såsom vi önskar och beräkna D () s enligt 1 D() s = G () s H () s (8.3.6) Det bör dock observeras att alla element i D () s bör vara stabila och praktiskt realiserbara. Detta medför ofta begränsningar i valet av H () s. Speciellt kan följande noteras: Om G () s innehåller en eller flera dödtider, kan (8.3.6) ge negativa dödtider i D () s, som inte kan realiseras. Kan åtgärdas genom att inkludera lämpliga dödtider i H () s. Om G () s innehåller något nollställe i högra halvplanet, kan D () s bli instabil. Kan åtgärdas genom att låta H () s ha motsvarande nollställen i högra halvplanet. Ofta nöjer man sig med frånkoppling i stationärtillstånd, dvs frånkopplingsmatrisen är en statisk matris (0) D beräknad enligt (8.3.6) med s = 0. Nästa steg är att utgående från H () s designa en regulator, vars utsignal ( ) blir insignal till frånkopplingsblocket () (normalt en diagonalmatris) och y r är y:s ledvärde. m() s = C() s yr () s y () s (8.3.7) D s. Här är C () s regulatorns överföringsmatris 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 28
22 8.3.1 Frånkoppling Fullständig frånkoppling Om vi väljer H () s som en diagonalmatris av önskade överföringsfunktioner fås fullständig frånkoppling. Detta gör den efterföljande regulatordesignen speciellt enkel. För 2x2-system talar man även om tvåvägsfrånkoppling, som kommer av att man då frånkopplar två reglerkretsar. I praktiken kan man kombinera valet av H () s och realiserbarheten av D () s genom att skriva (8.3.6) som funktion av elementen i H () s och D () s. H () s 0 = 0 H22( s) Med H () 11 (8.3.8) fås () s = s G22() s H11() s G12() s H22() s G21() s H11() s G11() s H22() s G () s G () s G () s G () s D (8.3.9) Utgående från (8.3.9) kan man se hurudana val av H 11 () s och H 22 () s som gör elementen i D () s realiserbara och som samtidigt är tillräckligt enkla för bekväm regulatordesign. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 29
23 8.3.1 Frånkoppling 4Exempel Tvåvägsfrånkoppling av ett enkelt system Vi skall bestämma en tvåvägsfrånkoppling för ett system som beskrivs av en tillståndsmodell ( ABC,, ) med A = 0 1, B = 0 1, C = 3 1. Enligt (8.3.3) fås s+ 1 2s s s s 3 s s+ 2 ( s+ 2)( s+ 1) G = = = s ( s 2)( s 1) 3 s s+ 2 ( s+ 2)( s+ 1) Insättning i (8.3.9) ger 1 ( s+ 11) H11 (2s+ 7) H22 D = 5 3( s+ 1) H11 ( s+ 1) H Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 30
24 8.3.1 Frånkoppling Här finns inga problem med dödtider eller instabilitet i D-matrisen. Vi kan t.ex. välja 1 0 H () s = s som ger s+ 1 D () s s+ s+ 1 = 3( s+ 1) 5 1 s+ 11 Här har icke-diagonalelementen i D-matrisen formen av PD-regulatorer med filtrering. Om vi vill att alla element i D skall vara strikt propra, kan vi t.ex. välja () s 1 0 ( s+ 1)( s+ 11) = 0 1 ( s+ 1)(2s+ 7) H som ger D () = s s+ 1 s s+ 11 2s+ 1 Här är alla element i D-matrisen enkla först ordningens system, som är enkla att realisera. Märk att vi inte behöver realisera H () s, den används endast för regulatordesign Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 31
25 8.3.1 Frånkoppling Partiell frånkoppling Trots att det finns frihetsgrader i valet av en diagonal H-matris så att D-matrisen blir realiserbar och inte alltför komplicerad, finns det situationer när det inte är lätt att bestämma en lämplig H-matris. Om överföringsmatrisen () s (8.3.6) dessutom att bli känslig för modellfel pga av inversen av överföringsmatrisen. G har höga RGA-värden, kommer beräkningen av D enligt I sådana fall hjälper det ofta att använda partiell frånkoppling, som karakteriseras av att H-matrisen är triangulär. Detta innebär att det finns 1 reglerkrets som är frånkopplad från alla andra reglerkretsar 1 reglerkrets som är frånkopplad från alla andra reglerkretsar utom ovannämnda krets 1 reglerkrets som är frånkopplad från alla andra reglerkretsar utom kretsarna ovan etc. Hur man väljer vilka kretsar som skall frånkopplas andra kretsar är det svårt att ge ett allmänt svar på. Rimligt förefaller t.ex. att helt frånkoppla den viktigaste kretsen. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 32
26 8.3.1 Frånkoppling Partiell frånkoppling för ett 2x2-system kallas vanligtvis envägsfrånkoppling. För envägsfrånkoppling har vi följande två möjligheter att välja en triangulär H-matris (frånsett permutationer av insignalerna): H11() s H12() s () s = 0 H22( s) H som ger () s = H11() s 0 () s = H21() s H22() s H som ger G22() s H11() s G22() s H12() s G12() s H22() s G12() s H11() s G12() s H12() s + G11() s H22() s G () s G () s G () s G () s D (8.3.10) G22() s H11() s G12() s H21() s G12() s H22() s G12() s H11() s + G11() s H21() s G11() s H22() s G () s G () s G () s G () s D (8.3.11) () s = Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 33
27 8.3.1 Frånkoppling Frånkoppling genom direkt kombination av variabler Ibland kan det vara enklare att konstruera en frånkoppling genom direkt kombination av variabler. Vi skall illustrera principen med det tidigare behandlade vattenblandningsexemplet. Då bestämdes modellen ΔmC 1 1 ΔmA 0 0 ΔTA T = C m B 2/3 1/3 T Δ Δ Δ B Vi ser att m C bäst regleras med summan av insignal i stället för m blir modellen då A m A och m B. Om vi väljer ma mb ΔmC 1 0 Δ ( ma + mb) 0 0 ΔTA T = C m B 2/3 1/3 T Δ Δ Δ B + till Märk att (8.3.13) ger precis samma samband mellan de verkliga variablerna som (8.3.12). (8.3.12) (8.3.13) 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 34
28 8.3.1 Frånkoppling Eftersom förstärkningsmatrisen i (8.3.13) blivit triangulär, motsvarar detta en envägsfrånkoppling, såsom blockschemat nedan illustrerar. På motsvarande sätt kan man ur (8.3.13) se att T C bäst skulle regleras med en variabel lika med 1( ma + mb) 3 mb dvs ma 2mB. Denna insignal ger modellen ΔmC 1 0 Δ ( ma + mb) 0 0 ΔTA T = C ( ma 2 mb) 2/3 1/3 T Δ Δ Δ B (8.3.14) 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 35
29 8.3.1 Frånkoppling Eftersom förstärkningsmatrisen i (8.3.14) är diagonal, motsvarar detta tvåvägsfrånkoppling, såsom illustreras i blockschemat nedan. Märk att vi hade erhållit samma tvåvägsfrånkoppling genom invertering av förstärkningsmatrisen i (8.3.12) och beräkning av en frånkopplingsmatris enligt (8.3.9). 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 36
30 8.3.1 Frånkoppling 4Exempel Frånkoppling av en råoljedestillationskolonn Enligt McAvoy ( Interaction Analysis, 1983) kan råoljedestillationskolonnen i figuren i stationärtillsånd beskrivas med modellen T 1 a m 1 T2 a 22 a m 2 = T a 3 33 a33 a33 0 m 3 a44 a44 a44 a44 m T 4 4 där a ii är statiska förstärkningar. Märk att alla förstärkningar olika noll på en rad är lika stora, vilket beror på att flödena m i, som påverkar de interna flödena i kolonnen, antas ha en summerande effekt på kvalitetsvariabeln Tj, j i. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 37
31 8.3.1 Frånkoppling Eftersom förstärkningsmatrisen är triangulär, är systemet redan partiellt frånkopplat. Vi skall här visa hur man kan bestämma en fullständig frånkoppling genom kombination av insignaler utan att behöva invertera förstärkningsmatrisen. Vi definierar följande nya insignaler: μ 1 = m1, μ 2 = m1+ m2, μ 3 = m1+ m2 + m3, μ 4 = m1+ m2 + m3+ m4 På grund av förstärkningsmatrisens speciella form blir modellen med de nya insignalerna T 1 a μ 1 T2 0 a μ 2 = T 0 0 a μ a T 44 μ 4 4 som visar att systemet nu är frånkopplat. För reglering av systemet kan man då använda 4 regulatorer som var för sig reglerar en kvalitetsvariabel T i med μ i. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 38
32 8.3.1 Frånkoppling För att realisera regulatorernas reglersignaler μ i, måste m i beräknas. Utgående från definitionerna på μ i fås m1 = μ1 m2 = μ2 μ1 m = μ μ m = μ μ såsom illustreras i figuren. Av sambanden ovan följer att detta är ekvivalent med att använda en frånkopplingsmatris D = Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 39
33 8.3 Variabeltransformationer Linjärisering och framkoppling Vi har sett att vi kan frånkoppla ett linjärt system med linjära variabeltransformationer. Vi skall här visa att vi med hjälp av lämpliga variabeltransformationer även kan linjärisera olinjära system globalt utan att göra någon approximation av systemet (dvs det olinjära systemet blir linjärt när det uttrycks med de nya variablerna). eliminera mätbara störningar perfekt genom framkoppling (denna framkoppling och störningseliminering blir en automatisk följd av variabeltransformationerna). Vi skall illustrera metoden med hjälp av det tidigare behandlade vattenblandningsexemplet. Den olinjära modellen bestående av ekv. (8.2.1) och (8.2.3) kan skrivas T C mc = ma + mb (8.3.15) mata + mbt = B m + m (8.3.16) A B 8. Val och design av reglerstruktur 8 40
34 8.3.2 Linjärisering och framkoppling Antag att vi definierar nya insignaler u T u = m + m (8.3.17) m m T = m A A A A B + m T + m B B B (8.3.18) Uttryckt med dessa insignaler kan modellen skrivas mc 1 0 um T = C 0 1 u T dvs ett linjärt, fullständigt frånkopplat och helt störningsokänsligt system! (8.3.19) I detta fall är härledningen av de linjäriserande, frånkopplande och störningseliminerande variabeltransformationerna enkelt eftersom systemets dynamik försummats. För olinjära dynamikmodeller kan det vara besvärlig, eller kanske t.o.m. omöjligt, att hitta dylika variabeltransformationer, men ofta är det fullt möjligt. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 41
35 8.3.2 Linjärisering och framkoppling Fast regulatorerna producerar värden för u m och u T som utsignaler, är det förstås m A och m B som i verkligheten måste användas för reglering av systemet. Dessa kan dock beräknas utgående från (8.3.17) och (8.3.18) enligt u T m B A = u T m T A T B u T m A B = u T m T B T A (8.3.20) (8.3.21) Om T A och T B kan mätas, får man automatisk störningseliminering genom (olinjär) framkoppling. Om T A och T B inte mäts, kan de ersättas med sina nominella ( typiska ) värden i (8.3.20) och (8.3.21). Man får då ingen framkopplingseffekt, men i praktiken linjäriserar och frånkopplar (8.3.20) och (8.3.21) ändå systemet. Man kan också tänka sig att estimera T A och T B. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 42
8.3 Variabeltransformationer Frånkoppling. Betrakta ett 2x2-system, som beskrivs med modellen (8.3.1)
8.3 Variabeltransformationer Betrakta ett 2x2-system, som beskrivs med modellen y () s G () s G () s u () s 1 11 12 1 y2() s = G21() s G22() s u2() s (8.3.1) Figuren till höger visar ett blockschema över
Läs mer8. Val och design av reglerstruktur
8. Val och design av reglerstruktur 8. Val och design av reglerstruktur 8.1 Översikt Processen att ta fram ett reglersystem för ett objekt är i många fall komplicerad och tidsödande. För större tekniska
Läs merLösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT06)
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT6) 216-1-15 1. (a) Känslighetsfunktionen S(iω) beskriver hur systemstörningar och modellfel påverkar utsignalen från det återkopplade systemet. Oftast
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet
6. Stabilitet 6. Stabilitet Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt
Läs merExempel 1: Flöde och temperatur i dusch. Processreglering Föreläsning Y. Exempel 2: Nivå och temperatur i tank
Processreglering Föreläsning Y Exempel : Flöde och temperatur i dusch Multivariabel reglering Flera in- och utsignaler Stabilitet och interaktion Para ihop in- och utsignaler (RGA) Eliminera interaktion
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3. Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3 Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula Sammanfattning av förra föreläsningen 2 Vi modellerar system
Läs mer2. Reglertekniska grunder
2.1 Signaler och system 2.1 Signaler och system Ett system växelverkar med sin omgivning via insignaler, som påverkar systemets beteende utsignaler, som beskriver dess beteende Beroende på sammanhanget
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9 Sammanfattning av föreläsning 8 Prestandabegränsningar Robusthet Mer generell återkopplingsstruktur Sammanfattning av förra föreläsningen H(s) W(s) 2 R(s)
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner
Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt kan bli instabilt genom för
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9 Sammanfattning av föreläsning 8 Prestandabegränsningar Robusthet Mer generell återkopplingsstruktur Sammanfattning föreläsning 8 2 F(s) Lead-lag design:
Läs merA. Stationära felet blir 0. B. Stationära felet blir 10 %. C. Man kan inte avgöra vad stationära felet blir enbart med hjälp av polerna.
Man använder en observatör för att skatta tillståndsvariablerna i ett system, och återkopplar sedan från det skattade tillståndet. Hur påverkas slutna systemets överföringsfunktion om man gör observatören
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner
Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt kan bli instabilt genom för
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 8. Sammanfattning av föreläsning 7 Framkoppling Den röda tråden!
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 8 Sammanfattning av föreläsning 7 Framkoppling Den röda tråden! Sammanfattning föreläsning 8 2 Σ F(s) Lead-lag design: Givet ett Bode-diagram för ett öppet
Läs merReglerteknik AK. Tentamen 24 oktober 2016 kl 8-13
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 24 oktober 26 kl 8-3 Poängberäkning och betygsättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Läs merFöreläsning 14-16, Tillståndsmodeller för kontinuerliga system
Föreläsning 14-16, Tillståndsmodeller för kontinuerliga system Reglerteknik, IE1304 1 / 50 Innehåll Kapitel 141 Introduktion till tillståndsmodeller 1 Kapitel 141 Introduktion till tillståndsmodeller 2
Läs mer2. Reglertekniska grunder. 2.1 Signaler och system
2.1 Signaler och system 2. Reglertekniska grunder Föreläsning 10.10.2005 Ett system växelverkar med sin omgivning via insignaler, som påverkar systemets beteende utsignaler, som beskriver dess beteende
Läs merReglerteknik AK, FRT010
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRT Tentamen januari 27 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10 Sammanfattning av föreläsning 9 Tillståndsbeskrivningar Överföringsfunktion vs tillståndmodell Stabilitet Styrbarhet och observerbarhet Sammanfattning föreläsning
Läs merF13: Regulatorstrukturer och implementering
Föreläsning 2 PID-reglering Förra föreläsningen F3: Regulatorstrukturer och implementering 25 Februari, 209 Lunds Universitet, Inst för Reglerteknik. Bodediagram för PID-regulator 2. Metoder för empirisk
Läs merIndustriell reglerteknik: Föreläsning 3
Industriell reglerteknik: Föreläsning 3 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 19 1 Sekvensstyrning: Funktionsdiagram, Grafcet. 2 Grundläggande
Läs merA
Lunds Universitet LTH Ingenjorshogskolan i Helsingborg Tentamen i Reglerteknik 2008{05{29. Ett system beskrivs av foljande in-utsignalsamband: dar u(t) ar insignal och y(t) utsignal. d 2 y dt 2 + dy du
Läs merReglerteori. Föreläsning 11. Torkel Glad
Reglerteori. Föreläsning 11 Torkel Glad Föreläsning 11 Torkel Glad Februari 2018 2 Sammanfattning av föreläsning 10. Fasplan Linjärisering av ẋ = f(x) kring jämviktspunkt x o, (f(x o ) = 0) f 1 x 1...
Läs merVälkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
Läs merSystemteknik/Processreglering F2
Systemteknik/Processreglering F2 Processmodeller Stegsvarsmodeller PID-regulatorn Läsanvisning: Process Control: 1.4, 2.1 2.5 Processmodeller I den här kursen kommer vi att huvudsakligen att jobba med
Läs merLösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19)
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT9) 26-3-6. (a) Systemet är stabilt och linjärt. Därmed kan principen sinus in, sinus ut tillämpas. Givet insignalen u(t) sin (t) sin ( t) har vi G(i )
Läs merTentamen i Systemteknik/Processreglering
Institutionen för REGLERTEKNIK Tentamen i Systemteknik/Processreglering 27 maj 2 kl 4 9 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar
Läs merVälkomna till Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
Läs merReglerteknik AK. Tentamen 16 mars 2016 kl 8 13
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 6 mars 26 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt 25
Läs merREPETITION (OCH LITE NYTT) AV REGLERTEKNIKEN
REPETITION (OCH LITE NYTT) AV REGLERTEKNIKEN Automatisk styra processer. Generell metodik Bengt Carlsson Huvudantagande: Processen kan påverkas med en styrsignal (insignal). Normalt behöver man kunna mäta
Läs merLösningar Reglerteknik AK Tentamen
Lösningar Reglerteknik AK Tentamen 060 Uppgift a G c (s G(sF (s + G(sF (s s + 3, Y (s s + 3 s ( 3 s s + 3 Svar: y(t 3 ( e 3t Uppgift b Svar: (i insignal u levererad insulinmängd från pumpen, mha tex spänningen
Läs merReglerteknik AK. Tentamen 27 oktober 2015 kl 8-13
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 27 oktober 205 kl 8-3 Poängberäkning och betygsättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Läs mer2. Reglertekniska grunder
2. Reglertekniska grunder 2.1 Signaler oc system Ett system växelverkar med sin omgivning via insignaler, som åverkar systemets beteende, oc utsignaler, som beskriver dess beteende. Beroende å sammananget
Läs merLösningar till tentamen i Industriell reglerteknik TSRT07 Tentamensdatum: Martin Enqvist
ösningar till tentamen i Industriell reglerteknik TSRT7 Tentamensdatum: 28-3-2 Martin Enqvist a) Z-transformering av sambanden som beskriver den tidsdiskreta regulatorn ger Iz) = KT Sz T i z ) Ez) = Kz
Läs mer1. Inledning. 1. Inledning
För de flesta människor är ett relativt okänt begrepp trots att var och en i det dagliga livet ständigt kommer i kontakt med och t.o.m. själv utövar. Reglerteknik är varje rationell metod att styra eller
Läs merTSRT09 Reglerteori. Reglerteknik. Vilka är systemen som man styr? Vilka är systemen som man styr? Föreläsning 1: Inledning, reglerproblemet
Reglerteori 217, Föreläsning 1 Daniel Axehill 1 / 26 Reglerteknik TSRT9 Reglerteori Föreläsning 1: Inledning, reglerproblemet Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Konsten att styra
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 9
TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 9 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 20 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merFigure 1: Blockdiagram. V (s) + G C (s)y ref (s) 1 + G O (s)
Övning 9 Introduktion Varmt välkomna till nionde övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Repetition Känslighetsfunktionen y ref + e u F (s) G(s) v + + y Figure : Blockdiagram Känslighetsfunktionen
Läs merReglerteori. Föreläsning 5. Torkel Glad
Reglerteori. Föreläsning 5 Torkel Glad Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 2 Sammanfattning av Föreläsning 4 Kalmanlter Optimal observatör Kräver stokastisk modell av störningarna Kräver lösning av
Läs merERE103 Reglerteknik D Tentamen
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för signaler och system System- och reglerteknik ERE03 Reglerteknik D Tentamen 207-0-2 08.30-2.30 Examinator: Jonas Fredriksson, tel 359. Tillåtna hjälpmedel: Typgodkänd
Läs merLaplacetransform, poler och nollställen
Innehåll föreläsning 2 2 Reglerteknik, föreläsning 2 Laplacetransform, poler och nollställen Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@liu.se Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY)
Läs merLösningsförslag TSRT09 Reglerteori
Lösningsförslag TSRT9 Reglerteori 6-8-3. (a Korrekt hopparning: (-C: Uppgiften som beskrivs är en typisk användning av sensorfusion, där Kalmanfiltret är användbart. (-D: Vanlig användning av Lyapunovfunktioner.
Läs merVälkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 12
Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 12 Sammanfattning av föreläsning 11 Återkoppling av skattade tillstånd Integralverkan Återblick på kursen Sammanfattning föreläsning 11 2 Tillstånden innehåller
Läs merTENTAMEN I REGLERTEKNIK
TENTAMEN I REGLERTEKNIK TID: 29-6-4, kl 4.-9. KURS: TSRT9 PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, tel 7-339 BESÖKER SALEN: 5., 7.3 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård,
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 6. Sammanfattning av föreläsning 5 Lite mer om Bodediagram Den röda tråden!
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 6 Sammanfattning av föreläsning 5 Lite mer om Bodediagram Den röda tråden! Sammanfattning av förra föreläsningen 2 G(s) Sinus in (i stabilt system) ger sinus
Läs merFöreläsning 11, Dimensionering av tidsdiskreta regulatorer
Föreläsning 11, Dimensionering av tidsdiskreta regulatorer KTH 8 februari 2011 1 / 28 Innehåll 1 Kapitel 19.2. Polplaceringsmetoden 2 3 4 5 6 2 / 28 Innehåll 1 Kapitel 19.2. Polplaceringsmetoden 2 3 4
Läs merTENTAMEN I REGLERTEKNIK Y/D
TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y/D SAL: TER3 TID: 8 augusti 8, klockan 8-3 KURS: TSRT, Reglerteknik Y/D PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 6 ANTAL SIDOR PÅ TENTAMEN (INKLUSIVE FÖRSÄTTSBLAD): 6 ANSVARIG
Läs mer1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser
Krister Svanberg, april 1 1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Inom ickelinjär optimering, speciellt kvadratisk optimering, är det viktigt att på ett effektivt sätt kunna avgöra huruvida
Läs merREGLERTEKNIK Laboration 5
6 SAMPLADE SYSTEM 6. Sampling av signaler När man använder en dator som regulator, kan man endast behandla signaler i diskreta tidpunkter. T.ex. mäts systemets utsignal i tidpunkter med visst mellanrum,
Läs merLÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra II LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING Lös ekvationssystemet x + y + z 9 x + 4y 3z 3x + 6z 5z med hjälp av Gausselimination Lösning:
Läs merTENTAMEN I DYNAMISKA SYSTEM OCH REGLERING
TENTAMEN I DYNAMISKA SYSTEM OCH REGLERING TID: 13 mars 2018, klockan 8-12 KURS: TSRT21 PROVKOD: TEN1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 6 ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, 070-3113019 BESÖKER SALEN: 09.30,
Läs merSystemteknik/Processreglering F6
Systemteknik/Processreglering F6 Linjärisering Återkopplade system ett exempel Läsanvisning: Process Control: 5.5, 6.1 Jämviktspunkter Olinjär process på tillståndsform: dx = f (x, u) dt y = (x, u) Processens
Läs merFlervariabel reglering av tanksystem
Flervariabel reglering av tanksystem Datorövningar i Reglerteknik fortsättningskurs M, TSRT06 Denna version: 12 februari 2015 REGLERTEKNIK KOMMUNIKATIONSSYSTEM LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA 1 Inledning
Läs merREGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen , kl
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL/EL/EL2 Tentamen 2 2 4, kl. 4. 9. Hjälpmedel: Kursboken i glerteknik AK (Glad, Ljung: glerteknik eller motsvarande) räknetabeller, formelsamlingar och räknedosa. Observeraattövningsmaterial
Läs merReglerteknik AK, FRTF05
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRTF05 Tentamen 3 april 208 kl 4 9 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 12
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 12 Sammanfattning av föreläsning 11 Integralverkan Återkoppling av skattade tillstånd Återblick på kursen LABFLYTT! 2 PGA felbokning datorsal så måste ett
Läs merÅBO AKADEMI REGLERTEKNIK I
INSTITUTIONEN FÖR KEMITEKNIK Laboratoriet för reglerteknik ÅBO AKADEMI DEPARTMENT OF CHEMICAL ENGINEERING Process Control Laboratory REGLERTEKNIK I Grundkurs Kurt-Erik Häggblom Biskopsgatan 8 FIN-20500
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs merLösningar till tentamen i styr- och reglerteknik (Med fet stil!)
Lösningar till tentamen i styr- och reglerteknik (Med fet stil!) Uppgift 1 (4p) Figuren nedan visar ett reglersystem för nivån i en tank.utflödet från tanken styrs av en pump och har storleken V (m 3 /s).
Läs merFlervariabel reglering av tanksystem
Flervariabel reglering av tanksystem Datorövningar i Reglerteori, TSRT09 Denna version: oktober 2008 1 Inledning Målet med detta dokument är att ge möjligheter att studera olika aspekter på flervariabla
Läs merModellering av Dynamiska system. - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 2010
Modellering av Dynamiska system - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 21 Innehållsförteckning 1. Repetition av Laplacetransformen... 3 2. Fysikalisk modellering... 4 2.1. Gruppdynamik en sciologisk modell...
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 7. Framkoppling Koppling mellan öppna systemets Bodediagram och slutna systemets stabilitet
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 7 Framkoppling Koppling mellan öppna systemets Bodediagram och slutna systemets stabilitet Framkoppling 2 Anledningen till att vi pratar om framkoppling
Läs merMatrismetod för analys av stångbärverk
KTH Hållfasthetslära, J aleskog, September 010 1 Inledning Matrismetod för analys av stångbärverk Vid analys av stångbärverk är målet att bestämma belastningen i varje stång samt att beräkna deformationen
Läs merEL1000/1120/1110 Reglerteknik AK
KTH ROYAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY EL1000/1120/1110 Reglerteknik AK Föreläsning 12: Sammanfattning Kursinfo: Resterande räknestugor 141208, 10-12 Q24 141210, 10-12 L21 141215, 10-12 Q34 141215, 13-15 Q11
Läs merALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift
Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2013-08-27 Sal (1) Egypten (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken
Läs merTENTAMEN I DYNAMISKA SYSTEM OCH REGLERING
TENTAMEN I DYNAMISKA SYSTEM OCH REGLERING SAL: G32 TID: 8 juni 217, klockan 8-12 KURS: TSRT21 PROVKOD: TEN1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 6 ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, 7-311319 BESÖKER SALEN: 9.3,
Läs merÖvningar i Reglerteknik
Övningar i Reglerteknik Stabilitet hos återkopplade system Ett system är stabilt om utsignalen alltid är begränsad om insignalen är begränsad. Linjära tidsinvarianta system är stabila precis då alla poler
Läs merReglerteknik AK Tentamen
Reglerteknik AK Tentamen 20-0-7 Lösningsförslag Uppgift a Svar: G(s) = Uppgift b G c (s) = G(s) = C(sI A) B + D = s. (s+)(s+2) Slutna systemets pol blir s (s + )(s + 2). G o(s) + G o (s) = F (s)g(s) +
Läs merTENTAMEN I REGLERTEKNIK Y TSRT12 för Y3 och D3. Lycka till!
TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y TSRT2 för Y3 och D3 TID: 7 mars 25, klockan 4-9. ANSVARIGA LÄRARE: Mikael Norrlöf, tel 28 27 4, Anna Hagenblad, tel 28 44 74 TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: Läroboken Glad-Ljung: Reglerteknik,
Läs merERE 102 Reglerteknik D Tentamen
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för signaler och system Reglerteknik, automation och mekatronik ERE 02 Reglerteknik D Tentamen 202-2-2 4.00 8.00 Examinator: Bo Egar, tel 372. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merTSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 1. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts.
Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 1 / 32 Sammanfattning av Föreläsning 1 TSRT9 Reglerteori Föreläsning 2: Beskrivning av linjära system Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet
Läs merLösningsförslag TSRT09 Reglerteori
Lösningsförslag TSRT9 Reglerteori 217-3-17 1. (a) Underdeterminanter 1 s + 2, 1 s + 3, 1 s + 2, 1 (s + 3)(s 3), s 4 (s + 3)(s 3)(s + 2), vilket ger MGN dvs ordningstal 3. P (s) = (s + 3)(s 3)(s + 2), (b)
Läs merREGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL En tillståndsmodell ges t.ex. av den styrbara kanoniska formen: s 2 +4s +1.
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL20 Lösningsförslag till tentamen 2009 2 5, kl. 4.00 9.00. (a) Laplacetransform av () ger s 2 Y (s)+4sy (s)+y (s) =U(s), och överföringsfunktionen blir G(s)
Läs merDIAGONALISERING AV EN MATRIS
DIAGONALISERING AV EN MATRIS Definition ( Diagonaliserbar matris ) Låt A vara en kvadratisk matris dvs en matris av typ n n. Matrisen A är diagonaliserbar om det finns en inverterbar matris P och en diagonalmatris
Läs merRobust flervariabel reglering
Föreläsning 2 Anders Helmersson andersh@isy.liu.se ISY/Reglerteknik Linköpings universitet Vad gör vi i dag Normer Representation av system Lyapunovekvationer Gramianer Balansering Modellreduktion Lågförstärkningssatsen
Läs merReglerteori. Föreläsning 12. Torkel Glad
Reglerteori. Föreläsning 12 Torkel Glad Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 2 Innehåll Styrning av instabila system, forts. Konsekvenser av begränsad insignal Hur bra kan S bli? Problem med nollställen
Läs merTENTAMEN I REGLERTEKNIK TSRT03, TSRT19
TENTAMEN I REGLERTEKNIK TSRT3, TSRT9 TID: 23 april 29, klockan 4-9 KURS: TSRT3, TSRT9 PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, 7-339 BESÖKER SALEN: 5.3, 7.3 KURSADMINISTRATÖR:
Läs merAUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 2. Här är
Martin Enqvist Återkoppling, PID-reglering, specifikationer Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Repetition: Reglerproblemet 3(21) Exempel: Farthållare i en bil 4(21) Välj
Läs merTSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning av föreläsning 8 (2/2) Andra reglerstrukturer. ˆ Sammanfattning av föreläsning 8 ˆ Framkoppling från störsignalen
TSIU61 Föreläsning 9 HT1 2016 1 / 26 Innehåll föreläsning 9 TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 9 Andra reglerstrukturer hendeby@isy.liu.se ˆ Sammanfattning av föreläsning 8 ˆ Framkoppling från referenssignalen
Läs merFöreläsning 3. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 9 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 3 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 9 september 2013 Introduktion Förra gången: PID-reglering Dagens program: Stabilitet Rotort
Läs merKan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet?
Kan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet? 1 Om svaret på frågan är ja så öppnar sig möjligheten att skapa en generell verktygslåda som fungerar för analys och manipulering
Läs merTENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp
TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp Tid: Torsdag 20 oktober 20, kl. 4.00-7.00 Plats: Gimogatan 4, sal Ansvarig lärare: jartan Halvorsen, kommer och svarar på frågor ungefär kl 5.30. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merReglerteknik AK, Period 2, 2013 Föreläsning 6. Jonas Mårtensson, kursansvarig
Reglerteknik AK, Period 2, 213 Föreläsning 6 Jonas Mårtensson, kursansvarig Senaste två föreläsningarna Frekvensbeskrivning, Bodediagram Stabilitetsmarginaler Specifikationer (tids-/frekvensplan, slutna/öppna
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merFöreläsning 7. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 26 september Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 7 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 26 september 2013 Introduktion Förra gången: Känslighet och robusthet Dagens program: Repetion
Läs merREGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen , kl
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen 2009 12 15, kl. 14.00 19.00 Hjälpmedel: Kursboken i Reglerteknik AK (Glad, Ljung: Reglerteknik eller motsvarande) räknetabeller, formelsamlingar
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs merMMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB
MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen
Läs merReglerteknik Z / Bt/I/Kf/F
Reglerteknik Z / Bt/I/Kf/F Kurskod: SSY 050, ERE 080, ERE 091 Tentamen 2007-05-29 Tid: 8:30-12:30, Lokal: M-huset Lärare: Knut Åkesson tel 3717, 0701-74 95 25 Tentamen omfattar 25 poäng, där betyg tre
Läs merReglerteknik AK, FRTF05
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRTF05 Tentamen 23 augusti 207 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2
Föreläsningar / TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs mer