Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik



Relevanta dokument
Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914

Ytterligare övningsfrågor finansiell ekonomi NEKA53

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3.

Tentamen i Finansmatematik I 19 december 2003

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Del 3 Utdelningar. Strukturakademin

Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission FIGUR 1. Utdelning. Återinvesterade utdelningar Ej återinvesterade utdelningar

Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer.

Ekonomisk styrning Delkurs Finansiering

Övningsexempel i Finansiell Matematik

Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder

S t : Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK.

Del 16 Kapitalskyddade. placeringar

Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission LÅNG KÖPOPTION. Värde option. Köpt köpoption. Utveckling marknad. Rättighet

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version Finansmatematik II Kapitel 1

Del 1 Volatilitet. Strukturakademin

Del 2 Korrelation. Strukturakademin

Del 20 Optimalfunktionen

Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 21 mars 2015, kl. 09:00-13:00

Asa Hansson. Sign: ECTS: D Civilekonom D Ekon.kand. D Pol.kand. D Fristående D LTH D Utbytesstudent D Annat. Betyg: Nationalekonomiska institutionen

Apoteket AB:s Pensionsstiftelse. Absolutavkastning

Black-Scholes. En prissättningsmodell för optioner. Linnea Lindström

(A -A)(B -B) σ A σ B. på att tillgångarna ej uppvisar något samband i hur de varierar.

Del 15 Avkastningsberäkning

Del 15 Avkastningsberäkning

AVANCERAD HANDEL MED AKTIEOPTIONER S A M M A N F AT T N I N G S T E G 3-12 D E C W E B B I N A R I U M

HQ AB sakframställan. Del 5 Prissättning av optioner

Kurs 311. Finansiell ekonomi

Warranter En investering med hävstångseffekt

Ekonomisk styrning Delkurs Finansiering

Prissättning av optioner

under en options löptid. Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission

VAD ÄR EN AKTIEOPTION? OPTIONSTYPER AN OTC TRANSACTION WITH DANSKE BANK AS COUNTERPARTY.

HANDLA MED OPTIONER I N T R O D U K T I O N S A M M A N F AT T N I N G S T E G 1 - W E B B I N A R I U M D E N 6 D E C E M B E R 2018

SF1544 LABORATION 2 INTEGRATION, MONTE-CARLO OCH BLACK-SCHOLES EKVATION FÖR OPTIONER

Hedging och Försäkring (prisskydd/prisförsäkring)

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för:

Del 17 Optionens lösenpris

Del 18 Autocalls fördjupning

AID:... Uppgift 1 (2 poäng) Definiera kortfattat följande begrepp. a) IRR b) APR c) Going concern d) APV. Lösningsförslag: Se Lärobok och/alt Google.

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för:

EMPIRISK STUDIE AV BLACK-SCHOLES PRISSÄTTNINGSMODELL

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR

Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission

Avd. Matematisk statistik

Del 4 Emittenten. Strukturakademin

Optionspriser och marknadens förväntningar

Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission

Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 19 november 2016

Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden

OPTIONER OCH FUTURES PÅ VETE

Finansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för:

Del 6 Valutor. Strukturakademin

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för:

Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder

Del 13 Andrahandsmarknaden

AVANCERAD OPTIONSHANDEL NASDAQ STOCKHOLM 23 NOVEMBER 2017

Innehåll. Standardavvikelse... 3 Betarisk... 3 Value at Risk... 4 Risknivån i strukturerade produkter... 4

c S X Värdet av investeringen visas av den prickade linjen.

Prissättning av europeiska köpoptioner då aktietillväxterna är NIG-fördelade

I n f o r m a t i o n o m a k t i e o p t i o n e r

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för:

AID:... LÖSNINGSFÖRSLAG TENTA Aktiedelen, uppdaterad

Tentamen Finansiering (2FE253) Torsdagen den 16 februari 2017

En undersökning av kvantiloptionens egenskaper

TENTA G28/723G29 (uppdaterad )

Kurser inom profilen Teknisk matematik (Y)

Del 7 Barriäroptioner. Strukturakademin

Inlämningsuppgift 1: Portföljvalsteori

CAPM (capital asset pricing model)

1997 års ekonomipristagare: Robert C. Merton och Myron S. Scholes

Innehåll. Översikt Värde. Konsumtion, Nytta & Företag. Kassaflöden. Finansiella Marknader

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari Lösningar

Innehåll. Kursfallsskydd... 3 Lock & Secure... 3 Konstruktion av Lock & Secure funktionen... 3 Avkastning och risk... 4

Påbyggnad/utveckling av lagen om ett pris Effektiv marknad: Priserna på en finansiell marknad avspeglar all relevant information

Least Squares Monte Carlo-metoden & korgoptioner

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

Finansiering. Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7. Jonas Råsbrant

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för:

TENTAMEN. Finansiell Planering 7,5 poäng Lönsamhetsanalys & Finansiering 7,5 poäng Lönsamhetsanalys & Finansiering för fatighetsmäklare7,5 poäng

HÖGSKOLAN I BORÅS Sektionen Företagsekonomi och Textil Management

LÖSNINGSFÖRLAG

Del 7 Barriäroptioner

Finans. Jörgen Blomvall.

Tentamen Finansiering (2FE253) Tisdagen den 29 september 2015, kl. 14:00-18:00

OMTENTAMEN. Finansiell Planering 7,5 poäng Lönsamhetsanalys & Finansiering för fatighetsmäklare7,5 poäng

FINANSRAPPORT. Alingsås Kommunkoncern

Värdering av warranter

Information som saknas i media om hur försäkringstagarna påverkas av finanskrisen. Mikael Nyman Pensionsnyheterna Exakt Media AB

-4,6% Startdatum Jämförelseindex. Rådgivare 56,3%

Grundkurs i nationalekonomi, hösten 2014, Jonas Lagerström

Obligationsbaserade futures, forwards och optioner

TENTA: G29/28 Uppdaterar

Practice Set #3 and Solutions

Hur man gör och varför.

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering

Warranter och optioner En prisjämförelse En kvantitativ studie av hur avkastning och pris skiljer sig mellan warranter och optioner.

Transkript:

STOCKHOLMS UNIVERSITET 13 december 006 Matematiska institutionen Avd. för matematisk statistik Mikael Andersson Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik 1 Fundamental Theorem of Asset Pricing På en arbitragefri marknad existerar en sannolikhet P på mängden av alla scenarier Ω så att P (ω) > 0 för varje scenario ω Ω och att diskonterade priser för primära tillgångar S j (n) = S j (n)/a(n) och derivat D i (n) = D i (n)/a(n), där A(n) betecknar priset för en riskfri tillgång, bildar martingaler med avseende på P, det vill säga att E [ S j (n + 1) S(n)] = S j (n) E [ D i (n + 1) S(n)] = D i (n) Portföljoptimering.1 Minimal variansportfölj Den portfölj som har minimal varians av alla portföljer av formen V (t) = w 1 S 1 (t) + w S (t) +... + w n S n (t) där w 1 + w +... + w n = 1, har vikterna uc 1 w = uc 1 u T där w betecknar radvektorn bestående av vikterna w 1, w,..., w n, u är en radvektor av längd n innehållande ettor och C är kovariansmatrisen för avkastningarna.. Minimal varianslinje Den portfölj som har minimal varians av alla portföljer av formen V (t) = w 1 S 1 (t) + w S (t) +... + w n S n (t) där w 1 + w +... + w n = 1, och förväntad avkastning µ V har vikterna 1 uc 1 m T µ V mc 1 m T uc 1 + uc 1 u T 1 mc 1 u T µ V mc 1 w = uc 1 u T uc 1 m T mc 1 u T mc 1 m T där m betecknar radvektorn bestående av de förväntade avkastningarna. 1

.3 Effektiva fronten Vikterna w för varje portfölj på den effektiva fronten (utom minimala variansportföljen) uppfyller villkoret γwc = m µu för några reella tal γ > 0 och µ..4 Betafaktor Betafaktorn β V β V = Cov(K V, K M ) σ M för en portfölj definieras som där K M och σm betecknar avkastningen och risken för marknadsportföljen. Risken σ V delas upp enligt kan σ V = Var(ε V ) + β V σ M där Var(ε V ) är den diversifierbara risken och βv σ M förväntade avkastningen kan skrivas är den odiversifierbara risken. Den µ V = r F + (µ M r F )β V där r F är den riskfria räntan och µ M är förväntad avkastning för marknadsportföljen. 3 Optioner 3.1 Köp-säljparitet (Put-Call Parity) Priserna för en europeisk köption C E och en europeisk säljoption P E med löptid (exercise time) T och slutpris (exercise price) X på en aktie med nuvärde S(0) uppfyller villkoret C E P E = S(0) Xe rt där r är riskfri ränta under kontinuerlig avsättning. Priserna för en amerikansk köption C A och en amerikansk säljoption P A uppfyller villkoret S(0) X C A P A S(0) Xe rt 3. Intervall för optionspriser Priserna för europeiska optioner ligger alltid i intervallen (S(0) Xe rt ) + C E < S(0) ( S(0) + Xe rt ) + P E < Xe rt och priserna för amerikanska optioner ligger alltid i intervallen (S(0) Xe rt ) + C A < S(0) ( S(0) + X) + P A < X

3.3 Cox-Ross-Rubinsteins formel Priserna för en europeisk köption C E (0) och en europeisk säljoption P E (0) med löptid T = Nτ och slutpris X på en aktie vars värde kan beskrivas enligt en binomialträdsmodell med nuvärde S(0) ges av där C E (0) = S(0)[1 Φ(m 1, N, q)] (1 + r) N X[1 Φ(m 1, N, p )] P E (0) = S(0)Φ(m 1, N, q) + (1 + r) N XΦ(m 1, N, p ) Φ(m, N, p) = m k=0 ( ) N p k (1 p) N k k är fördelningsfunktionen för binomialfördelningen, m är det minsta heltal där S(0)(1 + u) m (1 + d) N m > X r är riskfri ränta under periodisk avsättning, p = r d u d är riskneutral sannolikhet och q = p 1 + u 1 + r 3.4 Black-Scholes formel Priserna för en europeisk köption C E (t) och en europeisk säljoption P E (t) med löptid T och slutpris X på en aktie vars värde kan beskrivas enligt modellen S(t) = S(0) exp(mt + σw (t)) med nuvärde S(0), där m och σ är driften och volatiliteten och W (t) är en Brownsk rörelse, ges av C E (t) = S(t)N(d 1 ) Xe r(t t) N(d ) P E (t) = S(t)N( d 1 ) + Xe r(t t) N( d ) där N(x) är fördelningsfunktionen för standard normalfördelning och d 1 = d = ln S(t) X ln S(t) X σ + (r + )(T t) σ T t σ + (r )(T t) σ T t 3

3.5 Hedging För en europeisk köpoption gäller delta C E = CE S = N(d 1) gamma C E = C E S = theta C E = CE t vega C E = CE σ 1 Sσ πt e d 1 / rho C E = CE r = T Xe rt N(d ) 4 Obligationer (Bonds) 4.1 Terminer = Sσ / πt e d 1 rxe rt N(d ) = S T e d 1 / π Priset B(n, N) för en enhetsobligation (F = 1) vid tiden t = nτ med löptid T = Nτ bestäms av B(n, N) = e (N n)τy(n,n) 4. Forwardränta Forwardräntan f(n, M, N) på en framtida investering (eller lån) bestäms av B(n, N) = B(n, M)e (N M)τf(n,M,N) 4.3 Duration Durationen D(y) för en kupongobligation med löptid T = n N τ, slutpris (face value) F och kuponger C 1, C,..., C N som utbetalas vid tidpunkterna t 1 = n 1 τ, t = n τ,..., t N = n N τ definieras som D(y) = t 1C 1 e t 1y(0,n 1 ) + t C e t y(0,n ) +... + t N (C N + F )e t N y(0,n N ) C 1 e t 1y(0,n 1 ) + C e t y(0,n ) +... + (C N + F )e t N y(0,n N ) 4.4 Prissättning av obligationer Priset för en obligation B(n, N; s n ) i en binomialträdsmodell uppfyller villkoret B(n, N; s n ) = [p B(n + 1, N; s n u) + (1 p )B(n + 1, N; s n d)] exp{ τr(n; s n )} där r(n; s n ) är korta räntan i tillstånd s n, p = exp{τr(n; s n )} exp{k(n + 1, N; s n d)} exp{k(n + 1, N; s n u)} exp{k(n + 1, N; s n d)} 4

är riskneutral sannolikhet och k(n, N; s n ) = ln är logaritmisk avkastning. B(n, N; s n ) B(n 1, N; s n ) 5