Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder

Transkript

1 Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder Fredrik Armerin Matematisk statistik, KTH Aktuarieföreningen november 2004 Dag 1

2 INTRODUKTION TILL RÄNTEMARKNADEN 1

3 Kreditmarknaden Penningmarknaden Lån med löptid upp till ett år Korta räntor Obligationsmarknaden Lån med löptid längre än ett år Långa räntor 2

4 Riksbanken Riksbanken påverkar räntemarknaden framför allt genom reporäntan. 3

5 Penningmarknanden Reporäntan Korta räntor Obligationsmarknaden Reporäntan Långa räntor [ Konsumtion Reporäntan Inflation ] Långa räntor 4

6 Depositmarknaden Depositmarknaden är en räntemarknad utan värdepapper. Urspunget är daglånemarknaden. STIBOR: STockholm InterBank Offered Rates. STIBOR-fixing: medelvärde av bankernas STIBOR. 5

7 Räntor Enkel ränta (periodränta) Effektiv ränta Kontinuerlig ränta 6

8 Konventioner Samtliga räntor anges på årsbasis. På korta placeringar (upp till ett år) anges räntan normalt som en enkel ränta, på längre placeringar som en effektiv ränta. 7

9 Enkel ränta Här är r = P 1 P 0 P 0 d P 0 = investerat belopp P 1 = slutbelopp d = löptiden i dagar Vi har P 1 = P 0 (1 + r d ) 8

10 Effektiv ränta Här är i = ( 1 + P 1 P 0 P 0 ) /d 1 = ( 1 + r d ) /d 1 P 0 = investerat belopp P 1 = slutbelopp d = löptiden i dagar r = enkla årsräntan Den effektiva räntan är alltid högre än den enkla räntan. 9

11 Exempel. Om den enkla 30-dagarsräntan är 1.97% blir den effektiva räntan ( ) 30 /30 i = ( = ) = 1.988% 10

12 Dagräkningskonventioner actual/actual Faktiskt antal dagar/faktiskt antal dagar actual/365 Faktiskt antal dagar/365 dagar actual/ Faktiskt antal dagar/ dagar 30/ Varje månad har 30 dagar, men slutdatumet ändras till 30 endast om startdatumet är 30 eller 31/ dagar 30E/ Varje månad har 30 dagar/ dagar 30E+/ Varje månad har 30 dagar, men om slutdatumet är 31 ändras det 1 och månaden får 31 dagar/ dagar 11

13 Exempel. En statsskuldsväxel med lösendag 19 januari 2005 köps till räntan 2.072% med likviddag den 11 november Vi vill bestämma den effektiva räntan. Räntor på statsskuldsväxlar kvoteras som enkla räntor och har dagräkning actual/. Antal dagar mellan likviddagen och lösendagen är 69. Detta ger den effektiva räntan i = ( ) /69 1 = 2.732% 12

14 Sammansättning av räntor Antag en placering under d 2 dagar till den enkla räntan r 2 följt av en placering under d 3 dagar till den enkla räntan r 3. Vad blir den enkla räntan r 1 över hela perioden om d 1 = d 2 + d 3 antal dagar? 13

15 P 0 P 1 P 2 r 2, d 2 r 3, d 3 Vi har och P 2 = P 1 (1 + r 3 P 1 = P 0 (1 + r 2 ) ( d 3 = P r 2 ) d 2 ) ( d r 3 ) d 3 14

16 r 1, d 1 P0 P 2 Den sammansatta räntan r 1 över d 1 = d 2 + d 3 dagar uppfyller Räntan r 1 fås ur P 0 ( 1 + r 1 d2 + d 3 P 2 = P 0 (1 + r 1 ) = P 0 ( 1 + r 2 d 1 ) ) ( d r 3 ) d 3 15

17 r 1, d 1 P0 P 2 P 0 P 1 P 2 r 2, d 2 r 3, d 3 Den enkla sammansatta räntan r 1 ges av (( ) ( r 1 = 1 + r r 3 d 2 d 3 ) ) 1 d 2 + d 3 16

18 Exempel. Ett belopp placeras under 2 månader till 4% enkel ränta och därefter under 1 månad till 5% enkel ränta. Antag dagräkning enligt 30/. Den enkla sammansatta räntan r 1 blir i detta fall (( ) ( ) ) r 1 = = 4.24% 17

19 Terminsräntor En terminsränta är en idag överenskommen ränta för ett framtida tidsintervall. Idag r, d 18

20 Implicita terminsräntor Antag att 30-dagarsräntan är 2.05% och att 90-dagarsräntan är 2.29%. Med tidigare beteckningar har vi r 1 = 2.29% d 1 = 90 r 2 = 2.05% d 2 = 30 r 3 =? d 3 = 60 19

21 Ur sambandet ( 1 + r 1 d2 + d 3 får vi r 3 = ) = 1 + r r 2 ( 1 + r 2 d 1 d 2 ) ( d r 3 1 d 1 d 2 ) d 3 Räntan r 3 kallas den implicita terminsräntan. 20

22 Med de tidigare angivna 30- och 90-dagarsräntorna får vi terminsräntan r 3 = = 2.41% 21

23 Om vi vill placera 10 Mkr om 1 månad under 2 månader så har vi två alternativ: Vänta 1 månad och placera till den då rådande 2-månadersräntan. Ingå ett terminskontrakt idag för perioden. Det första alternativet innebär att vi utsätter oss för en ränterisk eftersom 2-månaders räntan om 1 månad inte är känd idag. För att slippa denna risk kan vi kontraktera oss idag till rådande terminsränta. 22

24 Det behöver inte finnas en marknad för denna terminsränta; vi kan skapa en implicit terminsränta. I praktiken gör vi så här: Låna /( ) = 10/ = Mkr idag på 30 dagar och placera dessa Mkr till 90-dagars räntan. Efter 30 dagar ska vi betala ränta = = 10 Mkr, vilket vi gör med de 10 Mkr vi vill placera. 23

25 Efter ytterligare 60 dagar har våra Mkr placerade på 90 dagar växt till ( ) = Mkr Observera att avkastingen på vår investering av 10 Mkr på 60 dagar blir den implicita terminsräntan: = 2.41%

26 Avkastningskurvor En avkastningskurva (yield curve) visar hur räntan förändras beroende på löptid för en grupp av obligationer med samma kreditrisk. I allmänhet har vi endast ett fåtal papper från vilka vi vill skapa en hel kurva. Detta medför ett visst godtycke i kurvans utseende. Eftersom det finns en skillnad (spread) mellan in- och utlåningsränta har vi egentligen två punkter och inte en punkt för varje obligation. 24

27 Förklaringar till avkastningskurvans utseende Förväntningshypotesen. De framtida räntorna kommer att vara lika med dagens terminsräntor. Marknadssegmenteringsteorin. Investerare föredrar vissa löptider framför andra, vilket innebär att utbudet bestämmer räntenivån för en viss löptid. Likviditetspreferensteorin. Placerare föredrar korta placeringar, och kräver en premie för att placera i länge värdepapper. 25

28 VÄRDERING AV RÄNTEINSTRUMENT 26

29 Diskonteringsinstrument Ett diskonteringsinstrument betalar inte ut någon ränta under löptiden. Diskonteringsinstrumentets pris (kurs) P är lägre än det nominella beloppet N. P 0 r N d 27

30 Priset på ett diskonteringsinstrument som utbetalar det nominella beloppet N om d dagar är P = N 1 + r d Här är r diskonteringsinstrumentets ränta. Räntan r är en enkel ränta: r = N P P d 28

31 Eftersom P = N 1 + r d för ett diskonteringsinstrument så gäller r P och r P 29

32 Kursrisk Kursrisken är den värdeförändring ett diskonteringsinstrument utsätts för då räntan stiger 1 procentenhet. Kursrisk = = N 1 + r d ( 1 + r d N 1 + (r + 1) d d N ) ( 1 + (r + 1) d )

33 Pris på diskonteringsinstrument med nominellt belopp N = Löptid 1% % Ränta 3% % % Kursrisken blir större ju längre löptiden är. 30

34 Statsskuldsväxlar actual/, enkel årsränta. Likviddag 2 bankdagar efter auktionen. Löptider från 30 till dagar. 31

35 Kupongobligationer En kupongobligation är ett ränteinstrument som (till skillnad från diskonteringsinstrument) betalar ut ränta under löptiden. Vi kommer endast att behandla obligationer av rak typ (bullet bonds). 32

36 Obligationer av rak typ F 0 C 1 C 2 C n 1 C n 33

37 Kupongerna (C) är lika stora och det är samma räntetermin (tidsintervall) mellan dem. I Sverige är ränteterminen oftast 1 år, medan det i USA oftast är 6 månader. Första räntebärande dag (0) kallas lånedatum. 34

38 Priset på en kupongobligation på lånedatumet är summan av det diskonterade värdet av kuponger och nominellt belopp. F C C C C n 1 n Diskonteringsräntan i är obligationens marknadsränta. Priset vid lånedatumet är P = n k=1 C (1 + i) k + F (1 + i) n 35

39 Detta pris kan skrivas P = C i ( 1 ) 1 (1 + i) n + F (1 + i) n Kupongräntan R är kupongens andel av det nominella beloppet: R = C F 36

40 Dividerar vi prisekvationen med F får vi P F = R i ( 1 ) 1 (1 + i) n + 1 (1 + i) n Om P/F < 1 (R < i) handlas obligationen till underkurs. Om P/F = 1 (R = i) handlas obligationen till pari. Om P/F > 1 (R > i) handlas obligationen till överkurs. 37

41 Kupongen anges oftast som kupongränta. Normalt antar man F = 100. Detta ger P = 100 [ R i ( 1 ) 1 (1 + i) n + ] 1 (1 + i) n 38

42 Exempel. En 5-års statsobligation med kupongränta 10% handlas på lånedatumet till 3.56%. Obligationens pris om det nominella beloppet är 100 blir P = ( 1 ) = Obligationen handlas alltså till överkurs.

43 Återinvesteringsrisk Avkastningen på ett diskonteringsinstrument är känd vid investeringstillfället: r = N P P d För en kupongobligation är avkastningen inte känd. Detta beror på att kupongerna investeras till rådande marknadsräntor då de utbetalas. 39

44 F C C C C n 1 n Låt V vara det totala värdet (inklusive förräntningen av de utbetalade kupongerna) som en kupongobligation med löptid n genererat vid lösendagen. Den effektiva räntan λ på investeringen fås ur V = (1 + λ)n P dvs. λ = ( V P ) 1/n 1 40

45 Obligationens pris vid en kupongutbetalning F m 1 m C m + 1 C n 1 C n Obligationens pris vid tid m: P = n k=m+1 Här är i marknadsräntan vid tid m. C (1 + i) k m + F (1 + i) n m 41

46 Detta kan skrivas P = C i ( 1 ) 1 (1 + i) n m + F (1 + i) n m eller med nominellt belopp 100 P = 100 [ R i ( 1 ) 1 (1 + i) n m + ] 1 (1 + i) n m 42

47 Obligationens pris mellan två kupongutbetalningar F m 1 d C m C n 1 C n t Obligationens pris vid tid t: P = n k=m C (1 + i) k m+d/ + F (1 + i) n m+d/ 43

48 Vi kan skriva priset i detta fall som P = F R i ( (1 + i) n m+1 1 ) + 1 (1 + i) n m+d/ Här är n m + 1 antal återstående kupongutbetalningar. 44

49 Exempel. En statsobligation med kupongränta 8% och lösendag 15 augusti 2007 handlas till 2.99% den 1 november Vi vill bestämma obligationens pris. Det finns 3 kupongutbetalningar (2005, 2006 och 2007) kvar. Statsobligationer har dagkonvention 30E/, så antal dagar till nästa kupongutbetalning är 284. Detta ger priset [ 0.08 P = ( ) + 1] (2+284/) =

50 Pris, kurs och upplupen ränta Variationen i pris över en obligations livtid är avsevärd, även om marknadsräntorna inte ändras Pris över tiden för en 5 års obligation med R=i=3% Pris Tid i år 46

51 För att få ett mer stabilt prismått har begreppet kurs införts. Låt d vara antalet dagar tills nästa kupongutbetalning. Kursen definieras enligt Kurs = Pris C d Pris (heldragen) och kurs (streckad) över tiden för en 5 års obligation med R=i=3% Pris Tid i år

52 Justeringen C d kallas upplupen ränta. Den upplupna räntan är en ersättning till den som innehaft obligationen utan att fått ta del av den senaste kupongen. Kurs = Pris Upplupen ränta 47

53 Antag nu att marknadsräntan i och kupongräntan R inte är lika. Vi får i detta fall följande typiska utseende om R < i. 104 Pris (heldragen) och kurs (streckad) över tiden för en 5 årsobligation med R=3% och i=5% Pris Tid i år

54 Om R > i så blir det typiska utseendet: 107 Pris (heldragen) och kurs (streckad) över tiden för en 5 årsobligation med R=3% och i=2% Pris Tid i år 48

55 Oavsett förhållandet mellan R och i så kommer kursen att gå mot P = F. Detta kallas pull to par. Observera att vi har antagit samma marknadsränta i under hela den 5-åriga löptiden. 49

56 Obligationer med en kupong kvar När det endast finns en kupongutbetalning kvar är obligationen i praktiken ett diskonteringsinstrument. Man brukar då diskontera den sista kupongen och det nominella beloppet med enkel ränta: P = C + F 1 + r d 50

57 Statsobligationer 30E/, effektiv ränta till 365 dagar återstår därefter enkel årsränta Likviddag 3 bankdagar efter auktionen. Löptider från 2 till 16 år. 51