Övningstenta 015 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt tillsammans med begynnelsevillkoret v(0) = 0. Vi får: v(t) = 0,5t dt = 1 6 t3 + C och vi bestämmer konstanten C med hjälp av begynnelsevillkoret: v(0) = C =0 C =0 v(t) = 1 6 t3 och vid t = s har vi: v() = 8 m/s 1,3 m/s 6 Svar: 1,3 m/s b) Vi tecknar kraftsituationen på lådan. Det är naturligt att välja positiv riktning uppåt. Newtons andra lag ger att: T mg = ma T = m(g + a), (1) där T är spännkraften och m är lådans massa. Accelerationen vid tiden t =sär: a() = 0,5 m/s =,0 m/s Spännkraften: T = 500(9,8 +,0) N = 5,91 kn 5,9kN För att beräkna helikopterns lyftkraft, F, kan vi teckna kraftsituationen på helikoptern: F T Mg = Ma F = T + M(g + a) () 1
där M är helikopterns massa. Numeriskt får vi lyftkraften: F =5,91 kn + 000(9,8 +,0) kn = 9,6kN 30 kn Svar: Spännkraften 5,9 kn, lyftkraften 30 kn Alternativ lösning: För att beräkna lyftkraften kan man se helikoptern och lådan som en enda kropp med massan m + M. Tyngdkraften som verkar är då (m + M)g och Newtons andra lag ger att: F (M + m)g =(M + m)a F =(M + m)(g + a) Detta är samma uttryck som vi får om vi sätter in uttrycket för spännkraften (1) i ekvation (). Uppgift a) Vi söker tryckskillnaden: p A + ρgy A + 1 ρv A = p B + ρgy B + 1 ρv B p A p B = ρ g(y B y A )+ 1 (v B va) Vi vet inte strömningshastigheten i punkten B, men vi kan utnyttja kontinuitetsekvationen: Av = konstant som får utseendet πd A 4 v A = πd B 4 v B. Med det givna sambandet d B = d A / får vi: och tryckskillnaden blir: p A p B = ρ v B =4v A g(y B y A )+ 15 v A. Numeriskt får vi: p A p B =0,997 10 3 9,8( 11,0) + 15 3,00 Eftersom p A p B < 0 är trycket lägre i A. Svar: Skillnaden är 40,4 kpa. Trycket är lägre i A. = 40,4kPa
b) Friktionskraften, f, vid glidning proportionell mot normalkraften, F N, enligt: f = µ k F N där µ k är det kinetiska friktionstalet. Eftersom F har en vertikal komposant kommer normalkraften att påverkas. Vi får: f = µ k (mg F sin α) =0,35(15 9,8 00 sin 0 )N = 7,6N 8 N För att beräkna hastigheten bestämmer vi först den resulterande kraften på lådan i horistonell led: F R = F cos α f Enligt Newtons andra lag, F R = ma, blir accelerationen: a = F R /m = F cos α f m Hastigheten kan fås genom det kinematiska sambandet: v v 0 =as där v 0 är initialhastigheten, som i detta fall är noll. Alltså: v = as = F cos α f s m Numeriskt får vi: v = 00 cos 0 7,6,0 m/s = 6,5 m/s 15 Svar: Friktionskraften: 8 N, hastigheten: 6,5 m/s Alternativ lösning: Om man inte vill använda det kinematiska samband kan man teckna ändringen i kinetisk energi som det utförda arbetet: E k = W och först beräkna den kinetiska energin: (F cos α f)s = (00 cos 0 7,6),0 J = 30,7J v = E k = mv W 30,7 m = m/s = 6,5 m/s 15 3
Uppgift 3 a) Insekten rör sig i en cirkelbana med radien r =0,15 m och genomgår en accelererad rörelse. Accelerationen har två komposanter, centripetalkomposanten: a c = v r = ω r och den tangentiella komposanten, a t, som beror på ändringen i hastighetens belopp. Vinkelhastigheten vid t = 1 s är: vilket ger centripetalkomposanten: ω(1) = 0,55π s 1 a c =0,55 π 0,15 s =0,448 m/s Den tangentiella komposanten beror på fartändringen: a t = αr = ωr Vinkelaccelerationen får vi genom att derivera: vilket ger: ω = k =0,55π s a t = αr =0,55π 0,15 m/s =0,59 m/s Totala accelerationen är: a = a c + a t = 0,448 +0,59 m/s =0,517 m/s Kraften som krävs är då: Svar: 6 mn F = ma = 50,0 10 3 0,517 N 6 mn b) Inga yttre kraftmoment verkar på systemet insekter+skiva vilket innbär att rörelsemängdsmomentet, L = Iω, bevaras. Totala tröghetsmomentet är summan av skivans eget tröghetsmoment och insekternas tröghetsmoment med avseende på rotationsaxeln. Den förstnämnda får vi från Physics Handbook som: I skiva = 1 MR 4
och den senare kan vi beräkna med definitionen I = i m iri, som ger direkt: I insekt = mr och totala tröghetsmomentet med en insekt ombord blir: och med två insekter får vi: I 1 = MR + mr Numeriskt får vi: Svar: 1,5 rad/s I = MR +mr. I 1 ω 1 = I ω ω = ω 1 I 1 I = ω 1 MR /+mr = ω 1 1 m M +4m ω =,0 MR /+mr = ω M +m 1 M +4m = ω 1 1 M/m +4 1 rad/s = 1,5 rad/s 0,0/0,050 + 4 5
Uppgift 4 a) Hjulet påverkas ett kraftmoment som vi tecknar: + τ = FR (1) med positiv riktning medsols, vilket innebär att kraften F, som är riktad nedåt, ansätts positiv. Newtons andra lag för rotationsrörelse, τ = Iα, ger att: τ = FR = Iα () Vi tecknar nu kraftsituationen för klossen: mg F = ma där vi behöver sätta a (och mg) positiv då vikten rör sig nedåt i figuren, eftersom F antas positiv i ekvation (1). Spännkraften som påverkar klossen är däremot F (jfr figur nedan). Vi löser ut kraften som påverkar klossen: F = m(g a) Klossens accelerationen hänger ihop med hjulets vinkelacceleration genom rullvillkoret: a = αr (3) som är uppfyllt eftersom snöret inte glider över hjulet. Vi kan då kombinera () och (3): FR = I a R. Vi kan sätta in uttrycket för spännkraften: varur vi löser ut a: m(g a)r = I a R a(mr + I )=mgr a = mgr R mr + I a R Ifrån Physics Handbook får vi tröghetsmomentet: I = MR och uttrycket för accelerationen får utseendet: a = g 1 1+ M m 6
Numeriskt får vi: a =9,8 1 1+ 4,0,0 m/s =4,91 m/s Svar: 4,9 m/s b) Systemets kinetiska energi är av två sorter: dels rotationsenergi då hjulet snurrar, och dels translationsenergi då vikten rör sig: E k = E rot k + E trans k = 1 Iω + 1 mv Tröghetsmomentet för hjulet är I = 1 MR och eftersom snöret inte glider har vi: ω = v/r, där v är metallviktens hastighet. Accelerationen är konstant och vi kan därför beräkna hastigheten med sambandet: v =as Detta insatt i uttrycket för den kinetiska energin ger: E k = m as + 1 MR v R = mas + 1 Mas Numeriskt: Svar: 31 J E k = as(m + M/) E k =4,91 1,6(,0+4,0/) J = 31 J 7
Uppgift 5 a) Rörelsemängden bevaras i det horisontella x-ledet: p före x = p efter x och vi löser ut hastigheten: Mv 0 =(M + m)v M v = v 0 M + m 65 =5 m/s = 4,7 m/s 65 + 4 Svar: 4,7 m/s b) Den vertikala impulsen är ändringen i rörelsemängdens y-komposant: I y = p y = Mv y Hastighetens vertikala komposant vid nedslaget är: v y = gt där tiden kan fås genom sambandet: : och vi får: Svar: 00 Ns t = h = at h 0,50 g = 9,8 s=0,319 s I y = Mgt = 65 9,8 0,319 Ns = 00 Ns 8
Uppgift 6 a) Vi har sambandet: vilket ger direkt att: F = de p dx Svar: F = ad (1 e ax ) e ax F = ad 1 e ax e ax b) Vi gör en Taylorutveckling: E p = D 1 (1 ax 1! + (ax)...) = D a x D a3 x 3 +... Da x! 1!! Om vi jämför med potentiella energin för en fjäder: så ser vi att: E p (x) = 1 kx k =Da som är den motsvarande fjäderkonstanten. Vi kan nu beräkna svängningsfrekvensen genom att betrakta molekylen som en masspartikel i en fjäder, om vi sätter massan till: Vi får frekvensen: Numeriskt får vi: f = 1,90 1010 π Svar: 1,5 10 14 Hz µ = m 1m m 1 + m = m m = m. f = 1 k π µ = 1 Da π m/ f = a π D m 7,18 10 19 1,008 1,66054 10 7 Hz = 1,5 1014 Hz 9