3. Matematisk modellering

3. Matematisk modellering 3. Matematisk modellering 3.1 Modelleringsprinciper 3.1.1 Modelltyper För design och analys av reglersystem behöver man en matematisk modell, som beskriver systemets dynamiska beteende. Vi kan skilja på två huvudtyper av modeller: Differentialekvationer, som beskriver kontinuerliga förlopp. Differensekvationer, som beskriver systemegenskaper endast vid diskreta ögonblick. Ett motiv för användning av tidsdiskreta modeller också för beskrivning av kontinuerliga system är att det kan underlätta konstruktionen av tidsdiskreta regulatorer, som är den form som vanligtvis behövs för praktisk implementering av ett reglersystem. Om önskvärt, kan man utgå från en systembeskrivning med differentialekvationer, eftersom sådana kan transformeras till differensekvationer genom s.k. sampling. Differensekvationer kan ofta, men inte alltid, transformeras till differentialekvationer. I denna kurs behandlas tidskontinuerliga modeller. Tidsdiskreta modeller behandlas bl.a. i kurserna Reglerteknik II och Modellering och reglering av stokastiska system. Reglerteknik I Grundkurs (419300) 3 1

3.1 Modelleringsprinciper 3.1.2 Modellkonstruktion Det finns två grundprinciper för konstruktion av matematiska modeller: Fysikaliskt modellbygge innebär att man återför systemets egenskaper på delsystem, vilkas egenskaper är kända. För tekniska system betyder detta vanligtvis att man använder de naturlagar som beskriver delsystemen. För icke-tekniska system (ekonomiska, sociologiska, biologiska, o.dyl.) har man i regel inga säkra naturlagar. Man måste då i stället använda hypoteser eller allmänt vedertagna samband. Systemidentifiering, eller kortare, identifiering, innebär att man använder observationer (mätningar) från systemet för att anpassa en modell till systemets beteende. Vanligtvis gör man speciella experiment för att erhålla lämpliga data för identifieringen. Identifiering används ofta som komplement till fysikaliskt modellbygge, t.ex. för att bestämma någon osäker parameter. Det är viktigt att observera att alla modeller har ett begränsat giltighetsområde. Detta gäller till och med de s.k. naturlagarna. Newtons rörelselagar gäller t.ex. inte för hastigheter nära ljusets. Speciellt för modeller bestämda genom identifiering är det skäl att inte använda dem i ett område som experimenten inte ger någon information om. 3. Matematisk modellering 3 2

3.1 Modelleringsprinciper 3.1.3 Fysikaliskt modellbygge I fortsättningen av skall vi behandla modellering utgående från fysikaliska samband. Eftersom verkliga system tenderar vara rätt komplexa, kan eller vill man i allmänhet inte beakta alla detaljer. Man försöker dock tillgodose följande något motstridiga krav: Modellen skall vara tillräckligt noggrann för sitt ändamål, vilket betyder att avvikelsen från systemets verkliga beteende inte får vara för stor. Modellen skall vara tillräckligt enkel att använda, t.ex. för systemanalys och konstruktion av reglersystem. Vid fysikaliskt modellbygge används två typer av matematiska samband: balansekvationer konstitutiva relationer Balansekvationer Balansekvationer relaterar additiva storheter av samma slag i ett avgränsat system. Man kan säga att det finns två generella typer av balansekvationer: flödesbalanser intensitetsbalanser 3. Matematisk modellering 3 3

3.1.3 Fysikaliskt modellbygge Allmänt har en flödesbalans för en storhet formen upplagring per tidsenhet = inflöde utflöde + generering per tidsenhet där upplagring och generering sker inne i systemet medan inflödet och utflödet anger det som passerar systemgränsen. När storheten i fråga inte deltar i kemiska eller atomära reaktioner saknas genereringsterm. Exempel på flödesbalanser (här utan genereringsterm) är Massbalans: upplagrad massa per tidsenhet = massflöde in massflöde ut Partikelbalans: upplagrat antal partiklar / tidsenhet = partikelflöde in partikelflöde ut Energibalans: upplagrad energi per tidsenhet = energiflöde in energiflöde ut Strömbalans (Kirchoffs 1:a lag): ström ut från knutpunkt = ström in till knutpunkt En partikelbalans är ofta en s.k. ämnesmängdbalans, där storheten är antalet molekyler eller atomer. Härvid är den använda mängdenheten ofta mol, som ju uttrycker ett visst antal. 3.1 Modelleringsprinciper 3 4

3.1.3 Fysikaliskt modellbygge Flödesbalanserna uttrycker fysikaliska konserveringslagar där storheten (under normala betingelser) är oförstörbar. Därför bör man undvika volymbalanser, eftersom volym inte är en oförstörbar storhet och därmed inte additiv. En intensitetsbalans har allmänt formen ändring per tidsenhet = drivande storhet belastande storhet där ändringen per tidsenhet avser en systemegenskap, som genom systemets växelverkan med omgivningen påverkas av drivande och belastande storheter. Allmänt kan man säga att det är frågan om tillämpningar på Newtons rörelselagar samt Kirchoffs 2:a lag. Exempel på intensitetsbalanser är Kraftbalans: ändring av rörelsemängd / tidsenhet = drivande kraft belastande kraft Momentbalans: ändring av rörelsemängdmoment / tidsenhet = drivande belastande moment Spänningsbalans (Kirchoffs 2:a lag): summan av spänningarna runt en krets = noll 3.1 Modelleringsprinciper 3 5

3.1.3 Fysikaliskt modellbygge Konstitutiva relationer Konstitutiva relationer relaterar storheter av olika slag. Dessa uttryck har ofta karaktären av materialsamband, som beskriver egenskapen hos en viss komponent eller ett visst delsystem. Dessa samband är statiska i motsats till balansekvationerna, som normalt uttrycker dynamiska samband. Exempel på konstitutiva relationer är Ohms lag: sambandet mellan spänning över och strömstyrka genom ett motstånd Ventilkarakteristika: sambandet mellan tryckfall över och flöde genom en ventil Bernoullis lag: sambandet mellan vätskenivån i en tank och vätskans utströmningshastighet Allmänna gaslagen: sambandet mellan temperatur och tryck i en gastank 3.1 Modelleringsprinciper 3 6

3.1.3 Fysikaliskt modellbygge Arbetsgången vid fysikaliskt modellbygge Följande arbetsgång vid fysikaliskt modellbygge rekommenderas: 1. Ställ upp aktuella balansekvationer. 2. Använd konstitutiva relationer för att relatera variabler till varandra samt för att introducera lämpliga nya variabler i modellen. 3. Gör dimensionsanalys, dvs kontrollera åtminstone att alla additiva termer i en ekvation har precis samma enhet! 3.1 Modelleringsprinciper 3 7

3. Matematisk modellering 3.2 Modeller för tekniska system 3.2.1 Elektriska system Figur 3.1 visar tre grundkomponenter i elektriska system. Beteckningar: u = spänning, i = strömstyrka R = resistans, C = kapacitans, L = induktans Elektriskt motstånd (Ohms lag): ut () = Rit () (3.1) t 1 Kondensator: ut () = u(0) + i( τ )dτ C (3.2) Spole: + + + i(t) i(t) u(t) motstånd kondensator spole Figur 3.1. Grundkomponenter i ett elektriskt nät. Reglerteknik I Grundkurs (419300) 3 8 0 i(t) R u(t) C u(t) L ut di () = L (3.3) d t

3.2.1 Elektriska system 4Exempel 3.1. Ett passivt analogt lågpassfilter. Figur 3.2 visar ett passivt analogt lågpassfilter. Hur beror spänningen ut () t på utgångssidan av spänningen in () t på ingångssidan R u in () C ut () om kretsen är obelastad på utgången? Beteckningar: Figur 3.2. Ett passivt lågpassfilter. ur () t = spänningen över motståndet, ir () t = strömmen genom motståndet u t = spänningen över kondensatorn, i () t = strömmen genom kondensatorn () C Om vi räknar alla spänningar (spänningsfall) som positiva, ger Kirchoffs andra lag för ett varv runt vänstra respektive högra slingan C uin () t = ur() t + uc() t (1) u () t = u () t (2) ut Då utgången är obelastad läcker ingen ström ut och vi har = (3) 3.2 Modeller för tekniska system 3 9 C i () t i () t R C

3.2.1 Elektriska system Kombinering av (1) och (2) och insättning av (3.1) ger Vidare ger kombinering av (2) och (3.2) ut u () t = u () t R i () t (4) ut in R 1 u () t = u () t = u (0) + i ( τ )dτ (5) C C C C 0 Derivering av båda leden i (5) m.a.p. tiden ger duut 1 1 ic() t ir() t dt C C där sista likheten fås från (3). Kombinering av (4) och (6) ger slutligen duut RC uut () t uin () t dt t = = (6) + = (7) Detta är en differentialekvation av första ordningen. Kretsen är ett lågpassfilter, som filtrerar bort höga frekvenser i u in () t. I praktiken har man också en förstärkare på utgångssidan, som gör att man kan belasta kretsen utan att (3) slutar gälla. 3 3.2 Modeller för tekniska system 3 10

3.2.1 Elektriska system 4Exempel 3.2. Enkel RLC-krets. Figur 3.3 visar en enkel RLC-krets driven av en strömkälla. Hur beror spänningen över kondensatorn av strömmen från strömkällan? Beteckningar: u () t = spänningen över motståndet, R ir () t = strömmen genom motståndet uc () t = spänningen över kondensatorn, ic () ul () t = spänningen över spolen, il () i R L C Figur 3.3. Enkel RLC-krets. t = strömmen genom kondensatorn t = strömmen genom spolen Kirchoffs lagar ger u () t = u () t + u () t (1) C R L it () = i () t + i () t (2) R C i () t i () t R = (3) L 3.2 Modeller för tekniska system 3 11

3.2.1 Elektriska system Insättning av (3.1) och (3.3) i (1): Eliminering av () R i t och () Enligt ekv. (6) i Ex. 3.1 gäller: L dil uc() t = R ir() t + L dt (4) d ( it ( ) ic ( t) ) uc() t = R i() t ic() t + L dt (5) duc ic () t = C dt (6) i t : ( ) duc d it ( ) C duc dt Insatt i (5) ger detta uc () t = R i() t C L + dt dt 2 d uc duc di eller efter hyfsning: LC RC u () () 2 C t R i t L dt + dt + = + dt (7) där it () är insignal och u () t är utsignal. C Detta är en differentialekvation av andra ordningen. 3 3.2 Modeller för tekniska system 3 12

3.2 Modeller för tekniska system 3.2.2 Mekaniska system Modelleringen av mekaniska system baserar sig i huvudsak på Newtons andra lag F = ma (3.4) där F är den kraft som påverkar massan m och a är massans acceleration. F 4Exempel 3.3. Odämpad pendel. u Figur 3.4 visar en odämpad svängande pendel. Pendeln kan röra sig endast i den 2-dimensionella bildens plan. Dess upphängningspunkt är på avståndet u och dess masspunkt i pendelns nedre ända på avståndet y från l h θ det vertikala planet till vänster. y m Hur beror masspunktens horisontella position y på upphängningspunktens position u? Figur 3.4. Svängande pendel. Övriga beteckningar: l = pendelns längd, θ = dess vinkel mot vertikalplanet m = masspunktens massa, h = masspunktens vertikala position F = kraft som påverkar pendeln i upphängningspunkten i pendelns negativa riktning 3. Matematisk modellering 3 13

3.2.2 Mekaniska system Då pendeln påverkas av upphängingskraften F och gravitationskraften mg, fås enligt Newtons andra lag horisontell kraftkomponent: my = F sinθ vertikal kraftkomponent: mh = F cosθ + mg (1) (2) y och h är andra tidsderivatan av y resp. h, dvs accelerationen i respektive riktningar. Antag att pendelns svängning är måttlig så att vinkeln θ alltid är liten. Då rör sig pendeln knappast alls i vertikal riktning och vi kan anta att h 0. Eliminering av F ger då y+ gtanθ = 0 (3) Vinkeln θ ges av det trigonometriska sambandet y u y u tanθ = (4) h l där sista ledet följer av att h l när θ är liten. Kombinering av (3) och (4) ger modellen y g l y g l u (5) + ( / ) = ( / ) Märk att approximationerna h 0 och θ liten begränsar modellens giltighet. 3 3.2 Modeller för tekniska system 3 14

3.2.2 Mekaniska system 4Exempel 3.4. Fjädringssystemet för en bil. a) b) k b y(t) m u(t) k 1 m 1 m 2 b 1 y 1 () t y 2 () t k 2 u(t) Figur 3.5. a) Fjäderupphängd massa med dämpning; b) bilstötdämpare. 3.2 Modeller för tekniska system 3 15

3.2.2 Mekaniska system a) Hur beror positionsavvikelsen från ett jämviktsläge, yt, () av kraften ut () för den fjäderupphängda massan m? I jämviktsläge gäller y = u = 0 (frånsett enheterna). Om den positiva vertikala riktningen räknas nedåt, ger Newtons andra lag för fjädern och dämpningscylindern my = ky by + u() t dvs my + by + ky = u() t (1) där b och k är konstanter. Gravitationskraften mg ingår inte; den påverkar även jämviktsläget och elimineras därför när avvikelsen från jämviktsläget modelleras. b) Hur beror positionsavvikelserna y 1 () t och y2 () t i en bilstötdämpar av ut, () som betecknar vertikala ojämnheter i underlaget? m 1 är bilens massa, m 2 är massan hos hjul och axel, b 1 och k 1 beskriver bilstötdämparens dynamik och k 2 däckets elasticitet. I jämviktsläge är y1 = y2 = u = 0. Då den positiva riktningen räknas uppåt, fås my 1 1= k1( y2 y1) + b1( y 2 y 1) (2) my 2 2 = k1( y1 y2) + b1( y 1 y 2) + k2( u y2) (3) Detta är två kopplade andra ordningens differentialekvationer, som beskriver bilkarossen och hjulens vertikala rörelse som funktion av vertikala ojämnheter i underlaget. 3 3.2 Modeller för tekniska system 3 16

3.2 Modeller för tekniska system 3.2.3 Processtekniska system Processtekniska system modelleras typiskt med flödesbalanser (mass- och energibalanser) och konstitutiva relationer. 4 Exempel 3.5. Vätskebehållare med fritt utflöde. En volymström u tillförs kontinuerligt behållaren u och en volymström q strömmar fritt ut genom självtryck, förorsakat av vätskehöjden h i behållaren. Behållaren har en konstant tvärarea A h och utloppsröret har effektiva tvärarean a. A a { q Hur beror vätskenivån h av inflödet u? Vi antar att vätskan har konstant densitet ρ. Figur 3.6. Behållare med fritt utflöde. d Massbalans: ( ρ Ah ) = ρu ρq (1) dt Eftersom densiteten och tvärarean är konstanta, kan detta förenklas till dh A u q dt = (2) 3. Matematisk modellering 3 17

3.2.3 Processtekniska system Enligt Bernoullis lag gäller för utströmningen av vätska den konstitutiva relationen v = 2gh (3) där v är utströmningshastigheten och g är tyngdkraftsaccelerationen. På grund av kontraktion ( vena contracta ) i början av utströmningsröret, fås volymströmmen q enligt q = av = a 2gh (4) där a är utströmningsrörets effektiva tvärarea, som är något mindre än den verkliga tvärarean. Kombinering av (2) och (4) ger slutligen dh a 2g 1 = h + u dt A A (5) dvs en olinjär differentialekvation som beskriver hur nivån h beror av inflödet u. 3 3.2 Modeller för tekniska system 3 18

3.2.3 Processtekniska system 4Exempel 3.6. Blandningstank. Två volymströmmar F 1 och F 2, med koncentrationerna (massa/volym) c 1 resp. c 2 av någon i vätskan ingående komponent X, blandas kontinuerligt i behållaren och en volymström F 3, med koncentrationen c 3, tas ut. Vätskan i behållaren, som har en konstant tvärarea A, når höjden h. Koncentrationen i behållaren av komponent X är c. Omrörningen i behållaren antas vara perfekt. Hur beror nivån h och koncentrationen c (och c 3 ) av övriga variabler? Det är rimligt att anta att vätskans densitet i de olika strömmarna är konstant och lika om vätskans temperatur är konstant och koncentrationen av komponenter är måttlig. Analogt med Ex. 3.5 fås då efter bortförkortning av densiteten Total massbalans: 1 2 3 Flöde 1 Flöde 2 F, c Figur 3.7. Blandningstank. dh A F F F dt = + (1) Utströmmen F 3 kan vi inte eliminera, eftersom vi inte vet vad den beror av. Flöde 3 F, c 3.2 Modeller för tekniska system 3 19 1 1 h c F, c 2 2 3 3

3.2.3 Processtekniska system Vi kan också ställa upp en massbalans för varje ingående komponent i inströmmarna, en d ( ) d Ahc = F c + t F c F c (2) partiell massbalans: 11 2 2 33 Om omrörningen i behållaren är perfekt har vi fullständig omblandning, vilket betyder att koncentrationen överallt i behållaren är lika. Detta betyder också att koncentrationen i utströmmen måste vara lika den i behållaren, dvs vi får den konstitutiva relationen c3 = c (3) Utveckling av derivatan i (2) enligt produktregeln samt beaktande av (3) ger varefter kombinering med (1) ger dh dc Ac + Ah = Fc 11+ F2c2 F33 c (4) dt dt dc Ah F ( c c) F ( c c) d 1 1 2 2 t = + (5) Detta är en linjär differentialekvation med (i allmänhet) icke-konstanta parametrar. 3 3.2 Modeller för tekniska system 3 20

3.2.3 Processtekniska system 4Exempel 3.7. Varmvattenberedare. Inströmmen vatten är ett massflöde m 1 med temperaturen T 1 och utströmmen ett massflöde m 2 med temperaturen T 2. Vattnet, med massan M, uppvärms i varmvattenberedaren till en temperatur T genom tillförsel av en effekt Q. Omrörningen i varmvattenberedaren antas vara perfekt. Hur beror vattenmängden och temperaturen i varmvattenberedaren av övriga variabler? d M m m dt Massbalans: = 1 2 (1) de dt Energibalans: E 1 E 2 Q (2) = + Flöde 1 m, F, T 1 1 1 där E 1 och E 2 är energiströmmar som följer med inströmmen respektive utströmmen. h Q Q M T Flöde 2 m, F, T 2 2 2 Figur 3.8. Varmvattenberedare. 3.2 Modeller för tekniska system 3 21

3.2.3 Processtekniska system Energin i en substans är proportionell mot dess massa eller massflöde och för vätskor gäller med god noggrannhet att den även är proportionell mot temperaturen. Detta ger Konstitutiva relationer: E = cptm, E 1 = cptm 1 1, E 2 = c p T 2 m 2 (3) där c p är den specifika värmekapaciteten för (i detta fall) vatten (antas vara konstant). Kombinering av (2) och (3) samt utveckling av derivatan enligt kedjeregeln ger dm dt Q T + M = Tm 1 1 T2m 2 + (4) dt dt c Antagandet om perfekt omrörning innebär att även den konstitutiva relationen T2 M t med (1) ger då gäller. Eliminering av d /d dt Q M = m1( T1 T) + dt c p p = T (5) Ekvation (1) och (5) anger hur massan och temperaturen i varmvattenberedaren beror av inströmmen och uppvärmningseffekten Q. 3.2 Modeller för tekniska system 3 22

3.2.3 Processtekniska system Om man i stället för massenheter vill använda volymenheter fås från (5) med M = ρ Ah och m 1 = ρ1f1 dt Q ρah ρ1f1( T1 T ) t c Obs. att ekv. (6) inte förutsätter att densiteten är konstant. d = + (6) En varierande densitet förefaller dock göra (1) mer komplicerad uttryckt i volymenheter. Man kan dock visa att även om densitetens beroende av temperaturen inte är försumbar, är effekterna i (1) sådana att de tenderar ta ut varandra. En helt adekvat form för (1) uttryckt i volymenheter är därför dh A F F d p 1 2 t = (7) 3.2 Modeller för tekniska system 3 23

3.2.3 Processtekniska system 4Exempel 3.8. Gas i sluten tank. Figur 3.9 illustrerar en sluten gastank med n 1, p1 u n 2, p2 volymen V, ämnesmängden (molmängden) n, trycket p och temperaturen T. Ventil 1 Ventil 2 V, n, p, T Inströmmen till tanken har molflödet n 1 Figur 3.9. Gas i sluten tank och trycket p 1, utströmmen har molflödet n 2 och trycket p 2. Ventil 2 kan användas för reglering genom justering av ventilläget u. Hur beror trycket p i tanken av övriga variabler? dn Ämnesmängdbalans: n1 n2 t = (1) d Molflödet genom en ventil i konstant läge är proportionellt mot kvadratroten av tryckdifferensen över ventilen. Dessutom kan man anta att proportionalitetsfaktorn är proportionell mot kvadraten på ventilläget. Molströmmarna ges då av 2 konstitutiva relationerna: n 1 = k 1 p 1 p, n = k u p p (2) 2 2 2 3.2 Modeller för tekniska system 3 24

3.2.3 Processtekniska system Vidare kan man anta att idealgaslagen pv = nrt (3) gäller. Här är R den allmänna gaskonstanten och T är temperaturen uttryckt i Kelvin. Om temperaturen T är konstant, ger insättning av (2) och (3) i (1) dp RT dn RT k 2 1 p 1 p k 2 u p p 2 t V t V d ( ) = = (4) d som, även om den är av första ordningen, är en relativt komplicerad olinjär differentialekvation. 3 3.2 Modeller för tekniska system 3 25

3. Matematisk modellering 3.3 Linjärisering Vi har i ett antal exempel härlett differentialekvationer som beskriver beteendet hos typiska tekniska (del)system. Differentialekvationerna är i flera fall olinjära. Även om de är linjära, har de i allmänhet icke-konstanta koefficienter, eftersom dessa vanligtvis är beroende av någon fysikalisk storhet. Därmed är det svårt, kanske omöjligt, att finna generella lösningar till differentialekvationerna. Man är då tvungen att studera specialfall och/eller göra förenklande antaganden. Vanliga förenklingar är att anta att vissa storheter är konstanta, trots att de i verkligheten kanske varierar något; anta att insignaler som förändras gör det på något idealt men rimligt sätt. I praktiken är det ofta tillräckligt att känna till systemets beteende inom något begränsat operationsområde, dvs i närheten av en given arbetspunkt. Den förenkling man då ofta kan göra är att linjärisera modellekvationerna kring denna arbetspunkt. Reglerteknik I Grundkurs (419300) 3 26

3.3 Linjärisering Det är i själva verket så, att de effektiva analys-, syntes- och designmetoder som utnyttjas både i den klassiska och den moderna en i allmänhet förutsätter att systemmodellen är linjär. Denna begränsning anses vara acceptabel när reglersystemets uppgift är att hålla systemet vid eller i närheten av en önskad arbetspunkt. Om systemet är så olinjärt, eller dess operationsområde så stort, att dess beteende inte kan beskrivas med en linjär modell, kan man ofta utnyttja flera linjära modeller som linjäriserats kring olika arbetspunkter. Av ovan nämnda orsaker efterföljs ett fysikaliskt modellbygge vanligtvis av en linjärisering av den härledda modellen, bestående av en eller flera olinjära differentialekvationer. Vi skall här begränsa oss till system som kan beskrivas med ordinära differentialekvationer; partiella differentialekvationer behandlas således inte. 3. Matematisk modellering 3 27

3.3 Linjärisering Betrakta en n:te ordningens ordinär differentialekvation skriven på formen ( n) f( y,, y, y, u ) = 0 (3.5) Vi har för enkelhets skull inte inkluderat eventuella derivator av insignalen u. Dylika kan behandlas helt analogt med derivatorna av utsignalen y. Vanligtvis ingår derivatorna linjärt i funktionen f, men härledningen kräver inte detta. Funktionen i (3.5) kan linjäriseras genom en Taylorserieutveckling av första ordningen ( n) kring en arbetspunkt ( y,, y, y, u), som satisfierar ekvation (3.5). Ofta är arbetspunkten ett stationärtillstånd (derivatorna = 0), men behöver inte vara det. Linjärisering av (3.5) genom Taylorserieutveckling ger f f( y,, y, y, u) f( y,, y, y, u) + y y + ( ) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) y f f ( y y ) ( y y) ( u u) f f f + + + y y u f f (3.6) 3. Matematisk modellering 3 28

3.3 Linjärisering Symbolen f anger att partialderivatorna bestäms vid arbetspunkten Vi introducerar variablerna y y y ( n) ( y,, y, y, u). ( n) ( n) ( n) Δ,, Δy y y, Δy y y, Δu u u (3.7) som anger storheternas avvikelser från deras värden i arbetspunkten. Vi kan kalla dylika variabler för avvikelsevariabler, eller helt enkelt Δ-variabler. Kombinering av (3.5), (3.6), (3.7) och beaktande av att arbetspunkten satisfierar (3.5) ger f ( n) f f f y y y u ( n) Δ + + Δ + Δ + Δ = y y y u f f f f 3. Matematisk modellering 3 29 0 (3.8) Detta är en linjär n:te ordningens ordinär differentialekvation med konstanta koefficienter. Om derivator av insignalen u finns i den ursprungliga olinjära ekvationen, kommer dessa att ingå i (3.8) på motsvarande sätt som derivatorna av utsignalen y. Anmärkning: Om arbetspunkten inte är ett stationärtillstånd så att t.ex. y 0, är y förstås en funktion av tiden. Därmed ger derivering av Δ y i definitionen Δy y y inte Δy y utan Δ y = y y y i enlighet med definitionen av Δ y i ekvation (3.7).

3.3 Linjärisering Derivatorna ingår ofta linjärt i ekv. (3.5). Det är då inte nödvändigt att utgå ifrån det implicita uttrycket (3.5). En 1:a ordningens ordinär differentialekvation kan t.ex. skrivas y = g( y, u) (3.9) Vi kan linjärisera vänstra ledet och högra ledet skilt för sig. När vi då beaktar att arbetspunkten skall satisfiera (3.9), får vi g g Δ y = Δ y+ Δu y u g (3.10) g Antag att vi har en konstitutiv relation, som relaterar en storhet z till y enligt sambandet z = h( y) (3.11) Linjärisering ger Δ z = ( dh dy) h Δ y (3.12) En linjär dynamikmodell med Δ z som beroende variabel kan då erhållas genom kombinering av (3.10) och (3.12), vilket ger dh g dh g Δ z = Δ y = Δ z+ Δu dy y dy u g (3.13) h g 3. Matematisk modellering 3 30 h

3.3 Linjärisering 4Exempel 3.9. Linjärisering av differentialekvation. Linjärisera den i exempel 3.5 härledda differentialekvationen kring en arbetspunkt ( hu)., dh a 2g 1 = h + u (1) dt A A Tillämpning av ekvation (3.9) och (3.10) ger dδh a 2g 1 a 2g 1 = h + u Δ h+ h + u Δu dt h A A u A A hu, hu, a 2g h 1 u a 2g 1 = Δ h+ Δ u = Δ h+ Δu A h A u h u 2A h A eller dδ h a g 1 = Δ h + Δ u (2)3 dt A 2h A 3. Matematisk modellering 3 31

3.3 Linjärisering Övning 3.1. En reglerventil har vid ett givet tryck ventilkarakteristikan x F = C( α 1)/( α 1) där F är volymströmmen vätska genom ventilen, x är ventilens läge (mellan 0 och 1), C och α är konstanter. Reglerventilens läge x påverkas av en styrsignal u enligt sambandet Tx + x = Ku där T och K är konstanta parametrar. Bestäm en linjär dynamikmodell, som anger hur volymströmmen F beror av styrsignalen u i närheten av en arbetspunkt ( F, u ). 3. Matematisk modellering 3 32