3. Matematisk modellering
|
|
- Gustav Svensson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 3. Matematisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3.. Modelltyper För att knna göra design och analys av reglersystem behöver man en matematisk modell, som beskriver systemets dynamiska beteende. Vi kan skilja på två hvyper av modeller: Dierentialekvationer, som beskriver kontinerliga örlopp. Dierensekvationer, som beskriver systemegenskaper endast vid diskreta ögonblick. Ett motiv ör användning av tidsdiskreta modeller också ör beskrivning av kontinerliga system är att det kan nderlätta konstrktionen av tidsdiskreta reglatorer, som är den orm som vanligtvis behövs ör praktisk implementering av ett reglersystem. Om önskvärt, kan man i alla all tgå rån en systembeskrivning med dierentialekvationer, etersom sådana kan transormeras till dierensekvationer genom s.k. sampling. Dierensekvationer kan i allmänhet, men inte alltid, transormeras till dierentialekvationer. I denna krs behandlas tidskontinerliga modeller. Tidsdiskreta modeller behandlas bl.a. i krserna Processreglering och Modellering och reglering av stokastiska system. 3.. Modellkonstrktion Det inns två grndprinciper ör konstrktion av matematiska modeller: ysikaliskt modellbygge och systemidentiiering. Fysikaliskt modellbygge innebär att man återör systemets egenskaper på delsystem, vilkas egenskaper är kända. För tekniska system betyder detta vanligtvis att man använder de natrlagar som beskriver delsystemen. För icke-tekniska system (ekonomiska, sociologiska, biologiska, o.dyl.) har man i regel inga säkra natrlagar ens ör enkla delsystem. Man måste då i stället använda hypoteser eller allmänt vedertagna samband. Systemidentiiering, eller kortare, identiiering, innebär att man använder observationer (mätningar) rån systemet ör att anpassa en modell till systemets beteende. Vanligtvis gör man speciella experiment ör att erhålla lämpliga data ör identiieringen. Identiiering används ota som komplement till ysikaliskt modellbygge, t.ex. ör att bestämma någon osäker parameter. Några enkla identiieringsmetoder tas pp vid behandlingen av dynamiska system i kapitel 5. Det är viktigt att observera att alla modeller har ett begränsat giltighetsområde. Detta gäller till och med de s.k. natrlagarna. Newtons rörelselagar gäller t.ex. inte ör hastigheter nära ljsets. Speciellt ör modeller bestämda genom identiiering är det viktigt att inte (tan vägande skäl) använda dem i ett område som identiieringsexperimenten inte ger någon inormation om Fysikaliskt modellbygge I ortsättningen av detta kapitel skall vi behandla modellering tgående rån ysikaliska samband. Etersom verkliga system tenderar vara rätt komplexa, kan eller vill man i allmänhet inte beakta alla detaljer. Man örsöker dock tillgodose öljande något motstridiga krav: Modellen skall vara tillräckligt noggrann ör sitt ändamål, vilket betyder att avvikelsen rån systemets verkliga beteende inte år vara ör stor. Modellen skall vara tillräckligt enkel att använda, t.ex. ör systemanalys och konstrktion av reglersystem. 3-
2 3. Matematisk modellering 3. Modelleringsprinciper Vid ysikaliskt modellbygge används två typer av matematiska samband: balansekvationer och konstittiva relationer. Balansekvationer Balansekvationer relaterar additiva storheter av samma slag i ett avgränsat system. Man kan säga att det inns två generella typer av balansekvationer: lödesbalanser och intensitetsbalanser. Allmänt har en lödesbalans ör en storhet ormen pplagring per tidsenhet = inlöde tlöde + generering per tidsenhet där pplagring och generering sker inne i systemet medan inlödet och tlödet anger det som passerar systemgränsen. När storheten i råga inte deltar i kemiska eller atomära reaktioner saknas genereringsterm. Exempel på lödesbalanser (här tan genereringsterm) är Massbalans: pplagrad massa per tidsenhet = masslöde in masslöde t Partikelbalans: pplagrat antal partiklar per tidsenhet = partikellöde in partikellöde t Energibalans: pplagrad energi per tidsenhet = energilöde in energilöde t Strömbalans (Kirchos :a lag): ström t rån kntpnkt = ström in till kntpnkt En partikelbalans är ota en s.k. ämnesmängdbalans där storheten är antalet molekyler eller atomer. Härvid är den använda mängdenheten ota mol, som j ttrycker ett visst antal. Som av exemplen ramgår ttrycker lödesbalanserna ysikaliska konserveringslagar där storheten (nder normala betingelser) är oörstörbar. Därör bör man ndvika volymbalanser, etersom volym inte är en oörstörbar storhet och därmed inte additiv. Endast om densiteten ör det strömmande mediet är konstant, som t.ex. en inkompressibel vätska vid konstant temperatr, kan man tänka sig att använda volymbalanser. En intensitetsbalans har allmänt ormen ändring per tidsenhet = drivande storhet belastande storhet där ändringen per tidsenhet avser en systemegenskap, som genom systemets växelverkan med omgivningen påverkas av drivande och belastande storheter. Allmänt kan man säga att det är rågan om tillämpningar på Newtons rörelselagar samt Kirchos :a lag. Exempel på intensitetsbalanser är Kratbalans: ändring av rörelsemängd per tidsenhet = drivande krat belastande krat Momentbalans: ändr. av rörelsemängdmoment per tidsenhet = drivande belastande moment Spänningsbalans (Kirchos :a lag): smman av spänningarna rnt en krets = noll Konstittiva relationer Konstittiva relationer relaterar storheter av olika slag. Dessa ttryck har ota karaktären av materialsamband, som beskriver egenskapen hos en viss komponent eller ett visst delsystem. Dessa samband är statiska i motsats till balansekvationerna, som normalt ttrycker dynamiska samband. Exempel på konstittiva relationer är Ohms lag: sambandet mellan spänning över och strömstyrka genom ett motstånd Ventilkarakteristika: sambandet mellan tryckall över och löde genom en ventil Bernollis lag: sambandet mellan vätskenivån i en tank och vätskans tströmningshastighet Allmänna gaslagen: sambandet mellan temperatr och tryck i en gastank 3-
3 3. Matematisk modellering 3. Modelleringsprinciper Arbetsgången vid ysikaliskt modellbygge Följande arbetsgång vid ysikaliskt modellbygge rekommenderas:. Ställ pp aktella balansekvationer.. Använd konstittiva relationer ör att relatera variabler till varandra samt ör att introdcera lämpliga nya variabler i modellen. 3. Gör dimensionsanalys, dvs kontrollera åtminstone att alla additiva termer i en ekvation har precis samma enhet! 3. Modeller ör tekniska system I detta avsnitt härleds modeller ör några typiska processer inom ett antal olika tekniska tillämpningsområden. Formlerna täcker de viktigaste samband man har anledning att använda i ysikaliskt modellbygge. 3.. Elektriska system Vi skall börja med att rekapitlera grndkomponenterna i elektriska system i(t) i(t) i(t) (t) (t) (t) R C L motstånd kondensator spole Figr 3.. Grndkomponenter i ett elektriskt nät. I igr 3. och i nedanstående ekvationer betecknar spänning och i strömstyrka. Det elektriska motståndet karakteriseras av ett linjärt statiskt samband mellan ström och spänning, nämligen Ohms lag: R i( t) (3.) För en kondensator med kapacitansen C gäller t (0) i( )d (3.) C 0 För en spole med indktansen L gäller di L (3.3) 3-3
4 3. Matematisk modellering 3. Modeller ör tekniska system Exempel 3.. Ett passivt analogt lågpassilter. R ( ) C ( ) in t t t Figr 3.. Ett passivt lågpassilter. Figr 3. visar ett passivt analogt lågpassilter. Vi skall härleda hr spänningen t på tgångssidan varierar som nktion av spänningen in ( t ) på ingångssidan nder antagande att kretsen är obelastad på tgången. Vi betecknar spänningen över motståndet med R (t), spänningen över kondensatorn med C (t), strömmen genom motståndet med i R (t) och strömmen genom kondensatorn med i C (t). Om vi räknar alla spänningar (spänningsall) som positiva, ger Kirchos andra lag ör ett varv rnt vänstra respektive högra slingan in R C () t C Då tgången är obelastad läcker ingen ström t och vi har ir ic Kombinering av () och och insättning av (3.) ger t) R i (4) t ( in Vidare ger kombinering av och (3.) t t C C (0) ic ( ) d (5) C Derivering av båda leden i (5) m.a.p. tiden ger d t ic ir (6) C C där sista likheten ås rån. Kombinering av (4) och (6) ger sltligen dt RC t in (7) Detta är en dierentialekvation av örsta ordningen. Kretsen är ett lågpassilter, som iltrerar bort höga rekvenser i in ( t ). I praktiken har man också en örstärkare på tgångssidan, som gör att man kan belasta kretsen tan att sltar gälla. R 0 3-4
5 3. Matematisk modellering 3. Modeller ör tekniska system Exempel 3.. Enkel RLC-krets. i R C L Vi skall härleda hr spänningen över kondensatorn, C (t), beror av strömmen i (t) rån strömkällan i kretsen som visas i igr 3.3. Analogt med exempel 3. betecknar vi spänningen över och strömmen genom elementen R, L och C med R (t), i R (t), L (t), i L (t), C (t) och i C (t). Figr 3.3. Enkel RLC-krets driven av en strömkälla. Kirchos lagar ger ekvationerna C R L () i ir ic ir il Insättning av (3.) och (3.3) i () ger dil C R ir L (4) vareter eliminering av i R (t) och i L (t) med och ger d i( t) ic C R i( t) ic L (5) Enligt ekvation (6) i exempel 3. gäller dc ic C (6) vilket insatt i (5) ger dc d i( t) C d C C R i( t) C L eller eter hysning d C dc di LC RC C R i( t) L (7) där i(t) är insignal och C (t) är tsignal. Detta är en dierentialekvation av andra ordningen. 3-5
6 3. Matematisk modellering 3. Modeller ör tekniska system 3.. Mekaniska system Modelleringen av mekaniska system baserar sig i hvdsak på Newtons andra lag F ma (3.4) där F är den krat som påverkar massan m och a är massans acceleration. Exempel 3.3. Odämpad pendel. Figr 3.4 visar en svängande pendel. Vi skall härleda sambandet mellan pendelns nedre position y och dess pphängningsposition, båda räknade horisontellt rån det vertikala planet till vänster i igren. Pendeln kan röra sig endast i ett vertikalt plan vinkelrätt mot det vertikala F planet till vänster (dvs endast i den -dimensionella igrens plan). Vi betecknar pendelns massa med m, pendelns längd med l, pendelns nedre vertikala position med h, kraten som påverkar pendeln i pphängningspnkten med F samt vinkeln l mellan pendeln och en vertikal linje med. h Vi tänker oss ett koordinatsystem placerat med m origo i pphängningspnkten så att horisontalaxelns värde växer mot höger och vertikal- y axelns nedåt. Värdet ör alla variabler (eller variabelkomponenter) växer i nämnda riktningar. Figr 3.4. En svängande odämpad pendel. Då pendeln påverkas av pphängingskraten F (som verkar ppåt, dvs i negativ riktning enligt det pålagda koordinatsystemet) och gravitationskraten mg (som verkar nedåt, dvs i positiv riktning i koordinatsystemet), ger Newtons andra lag (3.4) ekvationerna my F sin () mh F cos mg där ekvation () anger den horisontella kratkomponenten och den vertikala. Här betecknar y och h andra tidsderivatan av y resp. h, dvs accelerationen i respektive riktningar. Antag att pendelns svängning är måttlig så att vinkeln alltid är liten. Då rör sig pendeln knappast alls i vertikal riktning och vi kan anta att h 0. Ekvation örenklas då och ger genom kombinering med (), så att F elimineras, y gtan 0 Vinkeln ges av det trigonometriska sambandet y y tan (4) h l där sista ledet öljer av att h l när är liten. Kombinering av och (4) ger modellen y ( g / l) y ( g / l) (5) Märk väl att approximationerna h 0 och liten begränsar modellens giltighet. 3-6
7 3. Matematisk modellering 3. Modeller ör tekniska system Exempel 3.4. Fjädringssystemet ör en bil. a) b) m y ( ) t k b y(t) k b m (t) m y ( ) t k (t) Figr 3.5. a) Fjäderpphängd massa med dämpning; b) bilstötdämpare. a) Vi skall bestämma hr positionsavvikelsen rån ett jämviktsläge, y (t), beror av kraten (t) ör den jäderpphängda massan m i igr 3.5a. I jämviktsläge gäller m.a.o. y 0 (rånsett enheterna). Om den positiva vertikala riktningen räknas nedåt, ger Newtons andra lag (3.4) ör jädern, dämpningen och kraten (t), m y ky by (t) dvs m y by ky (t) () där b och k är konstanter. Gravitationskraten mg ingår inte etersom den även påverkar jämviktsläget och därör elimineras när positionens avvikelse rån jämviktsläget modelleras. b) Vi skall bestämma hr positionsavvikelserna y ( t ) och y i en bilstötdämpare, illstrerad av igr 3.5b, beror av (t), som betecknar vertikala ojämnheter i nderlaget. I jämviktsläget är y y 0. Massan m är bilens hvdmassa, m är massan hos hjl och axel, b och k beskriver bilstötdämparens dynamik och k beskriver däckets elasticitet. Då den positiva riktningen räknas ppåt, ger Newtons andra lag (3.4) m y k y y ) b ( y ) ( y ( y m y k y y ) b ( y y ) k ( ) Detta är två kopplade andra ordningens dierentialekvationer, som beskriver den vertikala rörelsen hos bilkarossen och bilens hjl som nktion av vertikala ojämnheter i nderlaget. 3-7
8 3. Matematisk modellering 3. Modeller ör tekniska system 3..3 Processtekniska system Gemensamt ör exemplen i detta avsnitt är att de baserar sig på lödesbalanser (mass- och energibalanser) och konstittiva relationer. Exempel 3.5. Vätskebehållare med ritt tlöde. h A a{ q Figr 3.6. Vätskebehållare med ritt tlöde. Betrakta vätskebehållaren i igr 3.6. En volymström tillörs (kontinerligt) behållaren och en volymström q strömmar ritt t genom självtryck, örorsakat av vätskehöjden h i behållaren. Behållaren har en konstant tvärarea A och tloppsröret har eektiva tvärarean a. Vi skall härleda en modell, som beskriver hr vätskenivån h beror av inlödet. Vi börjar med att ställa pp en massbalans, som säger att massökningen per tidsenhet i behållaren är lika med masslödet in mins masslödet t. Om vätskans densitet, som antas vara konstant, betecknas, ås då massbalansen d ( Ah) q () Etersom densiteten och tvärarean är konstanta, kan detta örenklas till dh A q Enligt Bernollis lag gäller ör tströmningen av vätska rån behållaren den konstittiva relationen v gh där v är tströmningshastigheten och g är tyngdkratsaccelerationen. På grnd av kontraktion ( vena contracta ) i början av tströmningsröret, ås volymströmmen q enligt q av a gh (4) där a är tströmningsrörets eektiva tvärarea, som är något mindre än den verkliga tvärarean. Kombinering av och (4) ger sltligen dh a g h A A (5) dvs en olinjär dierentialekvation som beskriver hr nivån h beror av inlödet. 3-8
9 3. Matematisk modellering 3. Modeller ör tekniska system Exempel 3.6. Blandningstank. Flöde Flöde F, c F, c c h Flöde 3 F 3, c 3 Figr 3.7. Blandningstank. Figr 3.7 illstrerar en blandningstank. Två volymströmmar F och F, med koncentrationerna (massa/volym) c resp. c av någon i vätskan ingående komponent X (t.ex. en kemisk komponent), blandas kontinerligt i behållaren och en volymström F 3, med koncentrationen c 3, tas t. Vätskemängden i behållaren, som antas ha en konstant tvärarea A, når höjden h. Koncentrationen i behållaren av komponent X är c. Omrörningen i behållaren antas vara perekt. Vi skall härleda en modell som beskriver hr nivån h och koncentrationen c (och c 3 ) beror av övriga variabler. Vi börjar med att ställa pp en massbalans ör vätskan inklsive alla ingående komponenter, dvs en total massbalans. Det är rimligt att anta att vätskans densitet i de olika strömmarna är konstant och lika om vätskans temperatr är konstant och koncentrationen av komponenter är måttlig. Då ås analogt med härledningen av ekvation i exempel 3.5 dh A F F F3 () Etersom vi inte vet vad som bestämmer storleken på tströmmen F 3, kan vi inte eliminera den. Vi kan också ställa pp en massbalans ör varje ingående komponent i inströmmarna, en s.k. partiell massbalans. En partiell massbalans ör komponent X ger d ( Ahc) Fc Fc F3c3 Om omrörningen i behållaren är perekt har vi llständig omblandning, vilket betyder att koncentrationen överallt i behållaren är lika. Detta betyder också att koncentrationen i tströmmen måste vara lika den i behållaren, dvs vi år den konstittiva relationen c3 c Utveckling av derivatan i enligt prodktregeln samt beaktande av ger dh dc Ac Ah Fc Fc F3c3 (4) vareter kombinering med () ger dc Ah F ( c c) F ( c c) (5) Detta är en linjär dierentialekvation med (i allmänhet) icke-konstanta parametrar. 3-9
10 3. Matematisk modellering 3. Modeller ör tekniska system Exempel 3.7. Varmvattenberedare. Flöde m F,, T Q M h T Flöde Figr 3.8. Varmvattenberedare. Figr 3.8 illstrerar en varmvattenberedare. Inströmmen vatten är ett masslöde m med temperatren T och tströmmen ett masslöde m med temperatren T. Vattnet, med massan M, ppvärms i varmvattenberedaren till en temperatr T genom tillörsel av en eekt Q. Omrörningen i varmvattenberedaren antas vara perekt. Vi skall ställa pp en modell som beskriver hr vattenmängden och temperatren i varmvattenberedaren beror av övriga variabler. Som vanligt börjar vi med att ställa pp en massbalans ör systemet, som här blir dm m m () En energibalans ör varmvattenberedaren kan ormellt skrivas de E E där E och E är energiströmmarna som öljer med inströmmen respektive tströmmen. Energin i en sbstans är givetvis proportionell mot dess massa eller masslöde och ör vätskor gäller med god noggrannhet att den även är proportionell mot temperatren. Detta ger de konstittiva relationerna E c TM, E cptm, E cptm p där c p är den speciika värmekapaciteten ör (i detta all) vatten. Denna storhet anger hr mycket energi som måste tillöras ör att värma pp kg av sbstansen med C. Kombinering av och samt tveckling av den erhållna derivatan enligt kedjeregeln ger, nder antagande av att c p är konstant, dm dt Q T M Tm Tm (4) cp Antagandet om perekt omrörning innebär att även den konstittiva relationen T T gäller. Eliminering av d M / med () ger då dt M Q p m F,, T Q m ( T T ) (5) c 3-0
11 3. Matematisk modellering 3. Modeller ör tekniska system Ekvation () och (5) anger hr massan och temperatren i varmvattenberedaren beror av inströmmen och ppvärmningseekten Q. Om man i stället ör massenheter önskar använda volymenheter blir motsvarigheten till (5) dt Q Ah F ( T T ) (6) cp där F betecknar inströmmens volymström, h betecknar vätskenivån i beredaren nder antagande av konstant tvärarea A och betecknat densiteten. Observera att ekvation (6) inte örtsätter att densiteten är konstant. En varierande densitet örealler dock göra () mer komplicerad ttryckt i volymenheter. Man kan emellertid visa att även om densitetens beroende av temperatren inte är örsmbar, är eekterna i () sådana att de tenderar ta t varandra. En helt adekvat orm ör () ttryckt i volymenheter är därör Exempel 3.8. Gas i slten tank. dh A F F (7) n, p n, p V, n, p,t ventil ventil Figr 3.9. Gas i slten tank. Figr 3.9 illstrerar en slten gastank med volymen V, ämnesmängden (molmängden) n, trycket p och temperatren T. Inströmmen till tanken har mollödet n och trycket p medan tströmmen har mollödet n och trycket p. Ventil kan användas ör reglering genom jstering av ventilläget. En ämnesmängdbalans ör tanken ger dn n n () Mollödet genom en ventil i konstant läge är proportionellt mot kvadratroten av tryckdierensen över ventilen. Desstom kan man anta att proportionalitetsaktorn är proportionell mot kvadraten på ventilläget. Molströmmarna ges då av de konstittiva relationerna n k p p, n k p p Vidare kan man anta att idealgaslagen pv nrt gäller. Här är R den allmänna gaskonstanten och T är temperatren ttryckt i Kelvin. Om temperatren T är konstant, ger insättning av och i () d p RT dn RT k p p k p p (4) V V som, även om den är av örsta ordningen, är en relativt komplicerad olinjär dierentialekvation. 3-
12 3. Matematisk modellering 3.3 Linjärisering 3.3 Linjärisering Ovan har vi i ett antal exempel härlett dierentialekvationer som beskriver beteendet hos typiska tekniska (del)system. De erhållna dierentialekvationerna är i lera all olinjära och även då de är linjära, har de i allmänhet icke-konstanta koeicienter, etersom dessa vanligtvis är beroende av någon ysikalisk storhet. Därmed är det svårt, kanske omöjligt, att inna generella lösningar till dierentialekvationerna. Man är då tvngen att stdera specialall och/eller göra örenklande antaganden. Vanliga örenklingar är att anta att vissa storheter är konstanta, trots att de i verkligheten kanske varierar något, och att insignaler som örändras gör det på något idealt men rimligt sätt, som gör att man kan lösa modellekvationerna. I praktiken är det desstom ota tillräckligt att känna till systemets beteende inom något begränsat operationsområde, dvs i närheten av en given arbetspnkt. Den örenkling man då ota kan göra är att linjärisera modellekvationerna kring denna arbetspnkt. Det är i själva verket så, att de eektiva analys-, syntes- och designmetoder som tnyttjas både i den klassiska och den moderna reglertekniken i allmänhet örtsätter att systemmodellen är linjär. Denna begränsning anses vara acceptabel när reglersystemets ppgit är att hålla systemet vid eller i närheten av en önskad arbetspnkt. Om systemet är så olinjärt, eller dess operationsområde så stort, att dess beteende inte kan beskrivas med en linjär modell, kan man ota tnyttja lera linjära modeller som linjäriserats kring olika arbetspnkter. Av ovan nämnda orsaker eteröljs ett ysikaliskt modellbygge vanligtvis av en linjärisering av den härledda modellen, bestående av en eller lera olinjära dierentialekvationer. Vi skall här begränsa oss till system som kan beskrivas med ordinära dierentialekvationer; partiella dierentialekvationer behandlas således inte Allmän ODE Betrakta en n:te ordningens ordinär dierentialekvation skriven på ormen ( y,, y, y, ) 0 (3.5) Här har ör enkelhets skll inte inklderats eventella derivator av insignalen, men dylika kan behandlas helt analogt med derivatorna av tsignalen y. Vanligtvis ingår derivatorna linjärt i nktionen, men vår härledning örtsätter inte detta. Fnktionen kan linjäriseras genom en ( ) Taylorserietveckling av örsta ordningen kring en arbetspnkt ( y n,, y, y, ), som satisierar ekvation (3.5). Ota är arbetspnkten ett stationärtillstånd där derivatorna är noll, men det behöver inte alltid vara så. T.ex. ör en kropp i rörelse, är positionsderivatan olika noll även om kroppens hastighet är konstant. Linjärisering av (3.5) genom Taylorserietveckling ger ( y,, y, y, ) ( y y y y,,,, ) ( y y n) y y y y y y ( ) där anger att partialderivatorna bestäms vid arbetspnkten ( y n,, y, y, ). Märk att vi (3.6) 3-
13 3. Matematisk modellering 3.3 Linjärisering behandlar derivatorna i (3.5) som separata variabler vid partialderiveringen. Vi introdcerar n variablerna y y y,, y y y, y y y, (3.7) som anger storheternas avvikelser rån deras värden i arbetspnkten. Vi kan kalla dylika variabler ör avvikelsevariabler, eller helt enkelt -variabler. Kombinering av (3.5), (3.6) och (3.7) samt beaktande av att arbetspnkten satisierar (3.5) ger y y y y 0 (3.8) y y där vi ör enkelhets skll använder likhet i stället ör approximativ likhet. Detta är en linjär n:te ordningens ordinär dierentialekvation med konstanta koeicienter. Om derivator av insignalen inns i den rsprngliga olinjära ekvationen, kommer dessa att ingå i (3.8) på motsvarande sätt som derivatorna av tsignalen y. Anmärkning. Om arbetspnkten inte är ett stationärtillstånd så att t.ex. y 0, är örstås y inte en konstant tan en nktion av tiden. Därmed ger derivering av y i deinitionen y y y inte y y tan y y y y i enlighet med deinitionen av y i ekvation (3.7) ODE med linjärt ingående tidsderivator Som nämndes, ingår derivatorna ota linjärt i ekvation (3.5). Det är då inte nödvändigt att vid linjäriseringen använda det implicita ttrycket (3.5), tan man kan i stället tgå irån ormen 0 ( y, ) y ( y, ) y ( y, ) 0 (3.9) n där i, i,, n, är goyckliga deriverbara nktioner av y och. Linjärisering av dessa enligt ekv. (3.6) ger ör den derivataria termen 0 0 0( y, ) 0( y, ) y y 0 0 och ör de andra termerna y y y y yy y y y () i () i () i i () i i () i i(, ) i(, ) i(, ) y Insättning i ekv. (3.9) ger eter hysning i i (3.0) (3.) där n( y, ) y ( y, ) y y (3.) 0 0 y y y i i 0 n () i i i i y (3.3) 0 Märk att 0 om arbetspnkten är ett stationärtillstånd med alla derivator lika med noll. 3-3
14 3. Matematisk modellering 3.3 Linjärisering Konstittiva relationer Antag att vi har ett olinjärt statiskt samband, dvs en olinjär konstittiv relation, som vi önskar linjärisera. En sådan relation kan allmänt skrivas gzy (,, ) 0 (3.4) där z är en ny variabel som relateras till y och/eller enligt ekv. (3.4). Linjärisering med örsta ordningens Taylorserietveckling enligt ekv. (3.6) ger g g g z y 0 z g y (3.5) g g Om den nominella arbetspnkten är ett stationärtillstånd med alla tidsderivator lika med noll, ger derivering av ekv. (3.5) m.a.p. tiden ör den i :te tidsderivatan g () i g () i g () i z y 0 z g y (3.6) g g Om y ingår i ekv. (3.5), kan ekv. (3.5) och (3.6) användas ör att ersätta y i ekv. (3.8) eller (3.) med z. Exempel 3.9. Linjärisering av dierentialekvation. Linjärisera den i exempel 3.5 härledda dierentialekvationen kring en arbetspnkt ( h, ). eller 3-4 Tillämpning av ekvation (3.9) och (3.0) ger dh a h g A a g h A h dh a g h () A A h A h h, a h h A d h a g h A h A Övning 3.. En reglerventil har vid ett givet tryck ventilkarakteristikan g A h A h, a g h A h A F C( ) /( ) där F är volymströmmen vätska genom ventilen, x är ventilens läge (mellan 0 och ), C och är konstanter. Reglerventilens läge x påverkas av en styrsignal enligt sambandet Tx x K där T och K är konstanta parametrar. Bestäm en linjär dynamikmodell, som anger hr volymströmmen F beror av styrsignalen i närheten av en arbetspnkt ( F, ). x
3. Matematisk modellering
3. Matematisk modellering 3. Matematisk modellering 3.1 Modelleringsprinciper 3.1.1 Modelltyper För design och analys av reglersystem behöver man en matematisk modell, som beskriver systemets dynamiska
Läs mer3. Matematisk modellering
3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3.. Modellyper För design oc analys av reglersysem beöver man en maemaisk modell, som beskriver sysemes
Läs merÅBO AKADEMI REGLERTEKNIK I
INSTITUTIONEN FÖR KEMITEKNIK Laboratoriet för reglerteknik ÅBO AKADEMI DEPARTMENT OF CHEMICAL ENGINEERING Process Control Laboratory REGLERTEKNIK I Grundkurs Kurt-Erik Häggblom Biskopsgatan 8 FIN-0500
Läs merEn trafikmodell. Leif Arkeryd. Göteborgs Universitet. 0 x 1 x 2 x 3 x 4. Fig.1
10 En trafikmodell Leif Arkeryd Göteborgs Universitet Tänk dig en körfil på en landsväg eller motorväg, modellerad som x axeln i positiv riktning (fig.1), och med krysset x j som mittpunkten för bil nummer
Läs merModellering av Dynamiska system. - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 2010
Modellering av Dynamiska system - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 21 Innehållsförteckning 1. Repetition av Laplacetransformen... 3 2. Fysikalisk modellering... 4 2.1. Gruppdynamik en sciologisk modell...
Läs mer3. Matematisk modellering
3. Matematisk modellering 3. Matematisk modellering 3.1 Modelleringsprinciper 3.1.1 Modelltyper För design och analys av reglersystem behöver man en matematisk modell, som beskriver systemets dynamiska
Läs mer2. Reglertekniska grunder
2.1 Signaler och system 2.1 Signaler och system Ett system växelverkar med sin omgivning via insignaler, som påverkar systemets beteende utsignaler, som beskriver dess beteende Beroende på sammanhanget
Läs merBeräkningsuppgift I. Rörelseekvationer och kinematiska ekvationer
1 Beräkningsuppgift I Vi skall studera ett flygplan som rör sig i xz planet, dvs vi har med de frihetsgrader som brukar kallas de longitudinella. Vi har ett koordinatsystem Oxyz fast i flygplanet och ett
Läs mer2. Reglertekniska grunder
2. Reglertekniska grunder 2.1 Signaler oc system Ett system växelverkar med sin omgivning via insignaler, som åverkar systemets beteende, oc utsignaler, som beskriver dess beteende. Beroende å sammananget
Läs merVågrörelselära och optik
Vågrörelselära och optik Kapitel 14 Harmonisk oscillator 1 Vågrörelselära och optik 2 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator:
Läs mer1. Inledning. 1. Inledning
För de flesta människor är ett relativt okänt begrepp trots att var och en i det dagliga livet ständigt kommer i kontakt med och t.o.m. själv utövar. Reglerteknik är varje rationell metod att styra eller
Läs merU = W + Q (1) Formeln (1) kan även uttryckas differentiells, d v s om man betraktar mycket liten tillförsel av energi: du = dq + dw (2)
Inre energi Begreppet energi är sannerligen ingen enkel sak att utreda. Den går helt enkelt inte att definiera med några få ord då den förekommer i så många olika former. Man talar om elenergi, rörelseenergi,
Läs merInlämningsuppgift 4 NUM131
Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter
Läs mer6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar
6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.13 Det som känns som barnets tyngd är den uppåtriktade kraft F som mannen påverkar barnet med. Denna fås ur Newton 2 för barnet. Svar i kilogram måste
Läs merWALLENBERGS FYSIKPRIS 2014
WALLENBERGS FYSIKPRIS 2014 Tävlingsuppgifter (Finaltävlingen) Riv loss detta blad och lägg det överst tillsammans med de lösta tävlingsuppgifterna i plastmappen. Resten av detta uppgiftshäfte får du behålla.
Läs merREPETITION (OCH LITE NYTT) AV REGLERTEKNIKEN
REPETITION (OCH LITE NYTT) AV REGLERTEKNIKEN Automatisk styra processer. Generell metodik Bengt Carlsson Huvudantagande: Processen kan påverkas med en styrsignal (insignal). Normalt behöver man kunna mäta
Läs merVad är systemteknik och reglerteknik? Föreläsning 1. Systemteknik handlar om dynamiska system
1 Föreläsning 1 Vad är systemteknik oc reglerteknik? Grundläggande begrepp Grafiska representationer Styrstrategier Öppen styrning, framkoppling Sluten styrning, återkoppling Vad är systemteknik oc reglerteknik?
Läs merKapitel IV. Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser
Kapitel IV Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser Kemiska potentialen Kemiska potentialen I många system kan inte partikelantalet antas vara konstant så som vi hittills antagit Ett exempel är
Läs mer1 Cirkulation och vorticitet
Föreläsning 7. 1 Cirkulation och vorticitet Ett mycket viktigt teorem i klassisk strömningsmekanik är Kelvins cirkulationsteorem, som man kan härleda från Eulers ekvationer. Teoremet gäller för en inviskös
Läs mer8-1 Formler och uttryck. Namn:.
8-1 Formler och uttryck. Namn:. Inledning Ibland vill du lösa lite mer komplexa problem. Till exempel: Kalle är dubbelt så gammal som Stina, och tillsammans är de 33 år. Hur gammal är Kalle och Stina?
Läs mer= 0 vara en given ekvation där F ( x,
DERIVERING AV IMPLICIT GIVNA FUNKTIONER Eempel. Vi betraktar som en funktion av och,,), given på implicit form genom + + 6 0. Bestäm partiella derivator och i punkten P,, ) a) med hjälp av implicit derivering
Läs merTvå gränsfall en fallstudie
19 november 2014 FYTA11 Datoruppgift 6 Två gränsfall en fallstudie Handledare: Christian Bierlich Email: christian.bierlich@thep.lu.se Redovisning av övningsuppgifter före angiven deadline. 1 Introduktion
Läs mer1. Lös ut p som funktion av de andra variablerna ur sambandet
Matematiska institutionen Stockholms universitet Avd matematik Eaminator: Torbjörn Tambour Tentamensskrivning i Matematik för kemister K den 0 december 2003 kl 9.00-4.00 LÖSNINGAR. Lös ut p som funktion
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 6 mars 06 Tid 8:-: Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Inge Jovik Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan
Läs merReglerteknik M3, 5p. Tentamen 2008-08-27
Reglerteknik M3, 5p Tentamen 2008-08-27 Tid: 08:30 12:30 Lokal: M-huset Kurskod: ERE031/ERE032/ERE033 Lärare: Knut Åkesson, tel 0701-749525 Läraren besöker tentamenssalen vid två tillfällen för att svara
Läs merTentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.''
Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.'' Hjälpmedel:'Valfri'räknare,'egenhändigt'handskriven'formelsamling'(4''A4Esidor'på'2'blad)' och'till'skrivningen'medhörande'tabeller.''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
Läs merEllära och Elektronik. Föreläsning 7
Ellära och Elektronik Moment Filter och OP Föreläsng 7 Bandpassilter och Bodediagram Ideala OPörstärkare OPörstärkarkopplgar Bandpass och bandspärrilter För att konstrera denna typ av ilter krävs både
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs mer10. Kinetisk gasteori
10. Kinetisk gasteori Alla gaser beter sig på liknande sätt. I slutet av 1800 talet utvecklades matematiska sätt att beskriva gaserna, den så kallade kinetiska gasteorin. Den grundar sig på en modell för
Läs merMATLAB LABORATION INOM KURSEN LINJÄR ALGEBRA MED GEOMETRI
Sidan av Daniel Helén IT, Bengt Ek ME och Christoer Lindqvist IT Innehållsörteckning: Uppgit Uppgit 6 Uppgit 9 Uppgit 4 KTH, ICT orum, 64 4 Kista Inlämningsdatum: 6-- Sidan av D. Helén B. Ek C. Lindqvist
Läs merTI-89 / TI-92 Plus. en ny teknologi med
TI-89 / TI-92 Plus en ny teknologi med När nya verktyg för matematik och naturvetenskapliga applikationer kommer på räknare behöver du nu inte köpa en ny. Om du har en Plus modul installerad i din TI-92
Läs merDatorsimuleringsuppgift i Mekanik I del 2, Ht Stela Kroppens Dynamik (TMME18) Rulle på Cylinder. Deadline för inlämning: , kl 15.
(6) Bakgrnd Datorsimleringsppgift i Mekanik I del, Ht 0 Stela Kroppens Dynamik (TMME8) Rlle på Cylinder Deadline för inlämning: 0--09, kl 5.00 I ppgiften skall d ställa pp rörelseekvationerna för ett mekaniskt
Läs merRepetition. Termodynamik handlar om energiomvandlingar
Repetition Termodynamik handlar om energiomvandlingar Termodynamikens första huvudsats: (Energiprincipen) Energi kan inte skapas och inte förstöras bara omvandlas från en form till en annan!! Termodynamikens
Läs merReglerteknik 1. Kapitel 1, 2, 3, 4. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist william@kth.se
Reglerteknik 1 Kapitel 1, 2, 3, 4 Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln Reglerteknik 1. Givare för yttertemperatur 2, 3. Givare för inomhustemperaturer Behaglig innetemperatur med hjälp av reglerteknik!
Läs merFigur 1. Skärmbild med markerade steg i videon. Diagram och tabell som visar positionerna som funktion av tiden.
Videomodellering I tillägg till videoanalys är det möjligt att skapa modeller i Tracker. Genom att använda en video av ett försök kan man utifrån denna skapa en modell som beskriver förloppet. Det finns
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merAB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys
AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma
Läs merSpolen. LE1460 Analog elektronik. Måndag kl i Omega. Allmänna tidsförlopp. Kapitel 4 Elkretsanalys.
F6 E460 Analog elektronik Måndag 005--05 kl 3.5 7.00 i Omega Allmänna tidsförlopp. Kapitel 4 Elkretsanalys. Spolen addningar i rörelse ger pphov till magnetfält. Detta gäller alltid. Omvändningen är ej
Läs mer4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. 4.1 Dynamisk programmering.
. Optimal styrning. Optimal styrning. Optimal styrning Vad är optimal styrning? I allmänna termer kan reglertekniska problem formleras på följande sätt: Välj styrsignaler så att systemet beter sig så bra
Läs merSystemkonstruktion Z2
Systemkonstruktion Z2 (Kurs nr: SSY 045) Tentamen 23 Augusti 2006 Tid: 8:30-12:30, Lokal: V-huset. Lärare: Stefan Pettersson, tel 772 5146, 0739907981 Tentamenssalarna besöks ca kl. 9.30 och 11.30. Tentamen
Läs merY=konstant V 1. x=konstant. TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.
Tangentplan Linjära approimationer TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z LINEARISERING NORMALVEKTOR NORMALRIKTNING TILL YTAN Låt z vara en dierentierbar unktion i punkten a b Då är N a b a b en normalvektor
Läs merBetygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merLaboration 2 Elektriska kretsar Online fjärrstyrd laborationsplats Blekinge Tekniska Högskola (BTH)
Laboration 2 Elektriska kretsar Online fjärrstyrd laborationsplats Blekinge Tekniska Högskola (BTH) Växelspänningsexperiment Namn: Elektriska kretsar Online fjärrstyrd laborationsplats Blekinge Tekniska
Läs mer9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn:
9- Koordinatsystem och funktioner. Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig vad ett koordinatsystem är och vilka egenskaper det har. I ett koordinatsystem kan man representera matematiska funktioner
Läs merODE av andra ordningen, och system av ODE
ODE av andra ordningen, och system av ODE Exempel på di erentialekvation av andra ordningen (innehåller andra derivata) Pendel beskrives av Newtons andra lag: Kraft = massa Acceleration Acceleration =
Läs merVecka 4 INDUKTION OCH INDUKTANS (HRW 30-31) EM-OSCILLATIONER OCH VÄXELSTRÖMSKRETSAR
Vecka 4 INDUKTION OCH INDUKTANS (HRW 30-31) EM-OSCILLATIONER OCH VÄXELSTRÖMSKRETSAR Inlärningsmål Induktion och induktans Faradays lag och inducerad källspänning Lentz lag Energiomvandling vid induktion
Läs merPartiklars rörelser i elektromagnetiska fält
Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält Handledning till datorövning AST213 Solär-terrest fysik Handledare: Magnus Wik (2862125) magnus@lund.irf.se Institutet för rymdfysik, Lund Oktober 2003 1 Inledning
Läs merEnda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper.
KTH Mekanik Fredrik Lundell Mekanik mindre kurs för E1 och Open1 Läsåret 05/06 Tentamen i 5C110 Mekanik mk, kurs E1 och Open 1 006-03-15 Var noga med att skilja på skalärer och vektorer. Rita tydliga figurer
Läs merVar försiktig med elektricitet, laserstrålar, kemikalier osv. Ytterkläder får av säkerhetsskäl inte förvaras vid laborationsuppställningarna.
Laborationsregler Förberedelser Läs (i god tid före laborationstillfället) igenom laborationsinstruktionen och de teoriavsnitt som laborationen behandlar. Till varje laboration finns ett antal förberedelseuppgifter.
Läs merMODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM OCH INLUPP 2
UPPSALA UNIVERSITET AVDELNINGEN FÖR SYSTEMTEKNIK EKL och PSA, 2002, rev BC 2009, 2013 MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM DATORSTÖDD RÄKNEÖVNING OCH INLUPP 2 1. Överföringsfunktioner 2. Tillståndsmetodik Förberedelseuppgifter:
Läs merLite fakta om proteinmodeller, som deltar mycket i den här tentamen
Skriftlig deltentamen, FYTA12 Statistisk fysik, 6hp, 28 Februari 2012, kl 10.15 15.15. Tillåtna hjälpmedel: Ett a4 anteckningsblad, skrivdon. Totalt 30 poäng. För godkänt: 15 poäng. För väl godkänt: 24
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3. Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3 Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula Sammanfattning av förra föreläsningen 2 Vi modellerar system
Läs merOrdinära differentialekvationer,
(ODE) Ordinära differentialekvationer, del 1 Beräkningsvetenskap II It is a truism that nothing is permanent except change. - George F. Simmons ODE:er är modeller som beskriver förändring, ofta i tiden
Läs merLABORATIONSINSTRUKTION DIGITAL REGLERTEKNIK. Lab nr. 3 DIGITAL PI-REGLERING AV FÖRSTA ORDNINGENS PROCESS
LABORATIONSINSTRUKTION DIGITAL REGLERTEKNIK Lab nr. 3 DIGITAL PI-REGLERING AV FÖRSTA ORDNINGENS PROCESS Obs! Alla förberedande uppgifter skall vara gjorda innan laborationstillfället! Namn: Program: Laborationen
Läs merMekanik III, 1FA103. 1juni2015. Lisa Freyhult 471 3297
Mekanik III, 1FA103 1juni2015 Lisa Freyhult 471 3297 Instruktioner: Börja varje uppgift på nytt blad. Skriv kod på varje blad du lämnar in. Definiera införda beteckningar i text eller figur. Motivera uppställda
Läs merRepetition F4. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00
Repetition F4 VSEPR-modellen elektronarrangemang och geometrisk form Polära (dipoler) och opolära molekyler Valensbindningsteori σ-binding och π-bindning hybridisering Molekylorbitalteori F6 Gaser Materien
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merFysikaliska modeller. Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment. Peter Andersson IFM fysik, adjunkt
Fysikaliska modeller Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment Peter Andersson IFM fysik, adjunkt På denna föreläsning Vad är en fysikalisk modell? Linjärisering med hjälp av logaritmer
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs mer9. Beräkna volymen av det område som begränsas av planet z = 1 och paraboloiden z = 5 x 2 y 2.
Tentamenskrivning för TMS63, Matematisk Statistik. Onsdag fm den 3 juni, 15, V-huset. Examinator: Marina Axelson-Fisk. Tel: 7-88113 Tillåtna hjälpmedel: typgodkänd miniräknare, tabell- och formelhäfte
Läs merProduktion. i samarbete med. MAO Design 2013 Jonas Waxlax, Per-Oskar Joenpelto
Prototyp Produktion i samarbete med MAO Design 2013 Jonas Waxlax, Per-Oskar Joenpelto FYSIK SNACKS Kraft och motkraft............... 4 Raketmotorn................... 5 Ett fall för Galileo Galilei............
Läs merReglerteknik M3. Inlämningsuppgift 3. Lp II, 2006. Namn:... Personnr:... Namn:... Personnr:...
Reglerteknik M3 Inlämningsuppgift 3 Lp II, 006 Namn:... Personnr:... Namn:... Personnr:... Uppskattad tid, per person, för att lösa inlämningsuppgiften:... Godkänd Datum:... Signatur:... Påskriften av
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN jan 06 Tid 5-75 Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Inge Jovik Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär
Läs merKapitel 5. Gaser. är kompressibel, är helt löslig i andra gaser, upptar jämt fördelat volymen av en behållare, och utövar tryck på sin omgivning.
Kapitel 5 Gaser Kapitel 5 Innehåll 5.1 5. 5.3 Den ideala gaslagen 5.4 5.5 Daltons lag för partialtryck 5.6 5.7 Effusion och Diffusion 5.8 5.9 Egenskaper hos några verkliga gaser 5.10 Atmosfärens kemi Copyright
Läs merModellering av Dynamiska system Bengt Carlsson Rum 2211
Modellering av Dynamiska system -2011 Bengt Carlsson bc@it.uu.se Rum 2211 Introduktion #1 System och deras modeller Dynamiska och statiska system Användning av modeller Matematisk modellering Ett modelleringsexempel
Läs merDigital- och datorteknik
LEU Digital- och datorteknik, Chalmers, /6 Föreläsning # Uppdaterad 6 september, Digital- och datorteknik Föreläsning # Biträdande professor Jan Jonsson SP- och PS-form: Vid förra föreläsningen konstaterade
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merTSIU61: Reglerteknik. Matematiska modeller Laplacetransformen. Gustaf Hendeby.
TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 2 Matematiska modeller Laplacetransformen Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 21 Innehåll föreläsning 2 ˆ Sammanfattning
Läs mer" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar
KOMIHÅG 2: 1 Cylinderkomponenter: Hastighet v = r e r + r" e " + z e z Acceleration: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturliga komponenter: v = ve t a = v e t + v 2 " e n ------------------------------------
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
150821 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 150821 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Sträckan fås genom integration: x = 1 0 sin π 2 t dt m = 2 π [ cos π 2 t ] 1 0 m = 2 π m = 0,64 m Svar: 0,64 m b) Vi antar att loket
Läs merGaser: ett av tre aggregationstillstånd hos ämnen. Flytande fas Gasfas
Kapitel 5 Gaser Kapitel 5 Innehåll 5.1 Tryck 5.2 Gaslagarna från Boyle, Charles och Avogadro 5.3 Den ideala gaslagen 5.4 Stökiometri för gasfasreaktioner 5.5 Daltons lag för partialtryck 5.6 Den kinetiska
Läs merLektion 1. Kurvor i planet och i rummet
Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation
Läs merModellering av Dynamiska system Bengt Carlsson Rum 2211
Modellering av Dynamiska system -2012 Bengt Carlsson bc@it.uu.se Rum 2211 Introduktion #1 System och deras modeller Dynamiska och statiska system Användning av modeller Matematisk modellering Ett modelleringsexempel
Läs mer8-4 Ekvationer. Namn:..
8-4 Ekvationer. Namn:.. Inledning Kalle är 1,3 gånger så gammal som Pelle, och tillsammans är de 27,6 år. Hur gamla är Kalle och Pelle? Klarar du att lösa den uppgiften direkt? Inte så enkelt! Ofta resulterar
Läs merModellering av Dynamiska system Bengt Carlsson Rum 2211
Modellering av Dynamiska system -2013 Bengt Carlsson bc@it.uu.se Rum 2211 Introduktion #1 System och deras modeller Dynamiska och statiska system Användning av modeller Matematisk modellering Ett modelleringsexempel
Läs merGaser: ett av tre aggregationstillstånd hos ämnen. Fast fas Flytande fas Gasfas
Kapitel 5 Gaser Kapitel 5 Innehåll 5.1 Tryck 5.2 Gaslagarna från Boyle, Charles och Avogadro 5.3 Den ideala gaslagen 5.4 Stökiometri för gasfasreaktioner 5.5 Daltons lag för partialtryck 5.6 Den kinetiska
Läs merKompletterande anteckningar för Mät- & Reglerteknik 1
Kompletterande anteckningar för Mät- & Reglerteknik 1 Matias Waller 12 september 2011 Föreliggande anteckningar skall tjäna som ett stöd för undervisningen i Mät- & Reglerteknik 1: Någon ambition att göra
Läs merd dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning.
Bestäm den lösning till differentialekvationen Ange även lösningens eistensintervall SF6 Differentialekvationer I MODULUPPGIFTER Första ordningens differentialekvationer med modeller d d y ( ) = y 2, som
Läs merSystemteknik/Processreglering F3
Systemteknik/Processreglering F3 Matematisk modellering Tillståndsmodeller Stabilitet Läsanvisning: Process Control: 3.1 3.4 Modellering av processer Dynamiken i våra processer beskrivs typiskt av en eller
Läs merSammanfattningar Matematikboken Z
Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform
Läs merFÖRSLAG PÅ ATT ÖKA PRODUKTIONEN OCH SÄNKA ENERGI FÖRBRUKNINGEN I BANDUGNSVERKET
FÖRSLAG PÅ ATT ÖKA PRODUKTIONEN OCH SÄNKA ENERGI FÖRBRUKNINGEN I BANDUGNSVERKET AV Bengt-Olof Drugge 2003-07-23 SAMMANFATTNING Jag har vid närmare studium av BUV kommit på ett sätt där man kan spara energi
Läs merReglerteknik Z2. Kurskod: SSY 050 och ERE080. Tentamen 2006-08-24
Reglerteknik Z2 Kurskod: SSY 050 och ERE080 Tentamen 2006-08-24 Tid: 14:00-18:00, Lokal: V-huset Lärare: Goran Cengic tel 3729, 073-903 70 10 Tentamen omfattar 25 poäng, där betyg tre fordrar 10 poäng,
Läs merUppvärmning, avsvalning och fasövergångar
Läs detta först: [version 141008] Denna text innehåller teori och korta instuderingsuppgifter som du ska lösa. Under varje uppgift finns ett horisontellt streck, och direkt nedanför strecket finns facit
Läs mer4:7 Dioden och likriktning.
4:7 Dioden och likriktning. Inledning Nu skall vi se vad vi har för användning av våra kunskaper från det tidigare avsnittet om halvledare. Det är ju inget självändamål att tillverka halvledare, utan de
Läs merTENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008
TENTAMEN TEN i HF006 och HF008 Moment TEN (analys) Datum 0 aug 09 Tid 8- Lärare: Maria Shamoun, Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs0 av ma 4 poäng För betyg A, B,
Läs merSammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)
Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 4/9 2008 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.
Läs merk x om 0 x 1, f X (x) = 0 annars. Om Du inte klarar (i)-delen, så får konstanten k ingå i svaret. (5 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2009 KL 08.00 13.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 74 16. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs mer6. Likströmskretsar. 6.1 Elektrisk ström, I
6. Likströmskretsar 6.1 Elektrisk ström, I Elektrisk ström har definierats som laddade partiklars rörelse mer specifikt som den laddningsmängd som rör sig genom en area på en viss tid. Elström kan bestå
Läs merKursombud sökes! Kursens syfte är att ge en introduktion till metoder för att förutsäga realtidsegenskaper hos betjäningssystem, i synnerhet för data- och telekommunikationssystem. Såväl enkla betjäningssystem,
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 8 jan 08 Tid 8- Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Erik Melander, Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan
Läs merTENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008
TENTAMEN TEN i HF006 och HF008 Moment TEN (analys) Datum 5 april 09 Tid 8- Lärare: Maria Shamoun, Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs0 av ma 4 poäng För betyg A,
Läs merTermodynamik Av grekiska θηρµǫ = värme och δυναµiς = kraft
Termodynamik Av grekiska θηρµǫ = värme och δυναµiς = kraft Termodynamik = läran om värmets natur och dess omvandling till andra energiformer (Nationalencyklopedin, band 18, Bra Böcker, Höganäs, 1995) 1
Läs merMål och betygskriterier för no-ämnena (bi, fy, ke)
1 (5) 2009-01-15 Mål och betygskriterier för no-ämnena (bi, fy, ke) Godkänd Redovisa elementära praktiska och teoretiska kunskaper inom ämnenas olika Väl godkänd Redovisa goda praktiska och teoretiska
Läs merAnders Logg. Människor och matematik läsebok för nyfikna 95
Anders Logg Slutsatsen är att vi visserligen inte kan beräkna lösningen till en differentialekvation exakt, men att detta inte spelar någon roll eftersom vi kan beräkna lösningen med precis den noggrannhet
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Lördagen den 1 september 2012 klockan 08.30-12.30 i M. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med valfritt
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II. Problemtentamen
010-01-14 Tentamen i SG1140 Mekanik II KTH Mekanik 1. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! Problemtentamen Triangelskivan i den plana mekanismen i figuren har en vinkelhastighet
Läs merLaplacetransform, poler och nollställen
Innehåll föreläsning 2 2 Reglerteknik, föreläsning 2 Laplacetransform, poler och nollställen Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@liu.se Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY)
Läs merMekanik Föreläsning 8
Mekanik Föreläsning 8 CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 02 19 1 / 16 Repetition Polära koordinater (r, θ): ange punkter i R 2 m h a r: avståndet från origo (0, 0) θ: vinkeln mot positiva x axeln
Läs mer